автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численная реализация математических моделей процессов разработки нефтяных месторождений Арктической зоны

На правах рукописи

ШИРОКИХ Федор Федорович

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССОВ РАЗРАБОТКИ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ АРКТИЧЕСКОЙ ЗОНЫ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск 2003

Работа выполнена в Институте математики и информатики Якутского государственного университета им. М.К.Аммосова Министерства образования Российской Федерации

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,

профессор, Васильев В.И.

доктор физико-математических наук,

профессор, Воеводин А.Ф.

доктор физико-математических наук,

Цыпкин Г. Г.

Институт математического моделирования РАН, г.Москва

УГ

Защита состоится ". г. в ^"часов на заседании

диссертационного совета Д 212.306.04 в Якутском государственном университета по адресу: 677000, Якутск, ул.Кулаковского, 48. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УЛК ЯГУ. Автореферат разослан

" / " 200 5 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Яковлев Б.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена созданию численных моделей некоторых процессов разработки северных нефтяных месторождений с помощью технологии вычислительного эксперимента.

Состояние вопроса и актуальность проблемы.

В создание и развитие теоретических основ математического моделирования процессов разработки месторождений углеводородного сырья большой вклад внесен И.М.Губкиным, Л.С.Лейбензоном, А.П.Крыловым, С.А.Христиановичем, Ф.А. Требиным, Б.Б.Лапуком, И.А.Чарным, В.Н.Щелкачевым, Маскетом, Виковым, Ботсетом, Левереттом. С конца 40-х и начала 50-х годов XX века, ознаменовавшихся резким ростом числа исследований в области разработки нефтяных месторождений и невозможности получения аналитических решений для некоторых задач теории фильтрации, было значительно увеличено применение математических методов. Подробное изложение общих вопросов теории многофазного течения в пористых средах можно найти в монографиях Л.С.Лейбензона, В.Н. Щел-качева, Р.И. Нигматулина, Г.И.Баренблатта, В.М.Ентова и В.М.Рыжика, Ю.П. Желтова,Р.Ксшлинза, Б.Б.Лапука и Ф.А.Требипа, Л.И.Рубинштейна, И.А.Чарного, Э.Б.Чекалюка, К.С.Басниева, В.Н.Николаевского, А.Б.Золотухина, Э.А.Бондарева и др.

Развитие проектирования, анализа и регулирования разработки нефтяных месторождений требовало использования сложных математических методов и вычислительных средств. До 50-х годов XX века при расчетах использовали в основном точные и приближенные методы решения задач подземной гидродинамики, а в конце 50-х и в 60-х годов стали применять численные методы решения задач фильтрации. В конце 50-х и начале 60-х годов XX века заводнение стало основным методом воздействия на нефтяные пласты. Однако в эти же годы стало ясным, что таким способом нельзя полностью решить проблему максимального извлечения нефти из недр, особенно при разработке высоковязких и высокопарафиновых неф-тей. Были проведены фундаментальные исследования и даны инженерные решения, послужившие основой развития тепловых методов разработки нефтяных месторождений, связанных с закачкой в пласт теплоносителей и внутрипластовым горением. В настоящее время имеется ряд монографий, посвященных численным методам решения разнообразных задач теории фильтрации: Х.Азиза и Э.Се л тт " , А.Ф.Воеводина,

Г.Г.Вахитова, С.Н.Закирова и Б.Б.Лапука, Г.Б.Кричлоу, М.М.Максимова и Л.П.Рыбицкой, В.И.Васильева, Г.Г.Цыпкина, А.Н.Чекалина и других авторов, а также большое количество статей как отечественных, так и зарубежных исследователей.

В нефтепромысловом деле сложность физических процессов скорее правило, чем исключение. Современная нефтедобывающая промышленность выдвигает такой комплекс вопросов, связанных с изучением механики движения флюидов в пористой среде, оценкой первоначальных запасов пластовой нефти, планированием режима добычи, исследованием взаимовлияния скважин и т.д., который требует, во-первых, весьма общей постановки са- « мой задачи о фильтрации многофазной жидкости и во-вторых, разработки соответствующих методов решения этой задачи.

Задачи фильтрации, о которых будет идти речь, обладают целым рядом специфических особенностей, затрудняющих, а зачастую делающих невозможным применение стандартных численных методов, хорошо зарекомендовавших себя для других классов задач. К одной из специфических особенностей задач фильтрации относится длительность (временная) рассматриваемых процессов, что приводит к требованию асимтотической устойчивости используемых разностных схем. Вследствие использования метода фиктивных областей задачи фильтрации относятся к классу задач с сильноменяющимися коэффициентами в подобластях, поэтому для их решения должны применяться итерационные методы, скорость сходимости которых не зависит от величины разброса коэффициентов.

При вытеснении пысоковязких нефтей закачиванием воды с температурой, не превышающей существенно пластовую температуру, нефтеотдача залежи до обводнения эксплуатационных скважин получается низкой. Известно, что вязкость таких нефтей является функцией, сильно зависящей от их температуры, а именно, на интервале температуры от 273 до 373 К вязкость нефти может меняться в сотни раз.

Таким образом, возникла необходимость построить достаточно эффек- ' тивные вычислительные методы решения задач неизотермической фильтрации многофазной сжимаемой жидкости в упруго-деформируемой пористой среде.

Целью настоящей работы являются:

- построение численной модели трехмерного неустановившегося движения жидкости в пористой среде вобласти со сложной границей;

- разработка эффективных вычислительных алгоритмов, пригодных для численной реализации трехмерной задачи неустановившейся изотермической фильтрации двухфазной сжимаемой жидкости в пористой среде со сложной границей;

- использование итерационного метода сопряженных градиентов для решения систем линейных алгебраических уравнений, получающихся после линеаризации дискретного аналога дифференциальных уравнений, описывающих фильтрацию двухфазной жидкости в пористой среде;

- численное моделирование трехмерной задачи неустановившегося неизотермического течения двухфазной жидкости в пористой среде со сложной границей.

Основные результаты работы:

1. Разработан эффективный вычислительный алгоритм, пригодный для численной реализации трехмерной задачи неустановившейся изотермической фильтрации сжимаемой жидкости в упруго-деформируемом коллекторе со сложной границей на основе чисто неявных разностных схем;

2. Предложен эффективный метод численного решения трехмерной фильтрации двухфазной сжимаемой жидкости в упруго-деформируемой пористой среде со сложной границей и произвольным числом и расположением нагнетательных и эксплуатационных скважин. Данный метод базируется на устойчивых разностных схемах, на трехслойном итерационном процессе сопряженных градиентов и методе фиктивных областей;

3. Численно реализована модель неизотермической двухфазной фильтрации, исследован характер движения флюида при неизотермической фильтрации. Выявлено, что на скорость движения и величину скачка насыщенности на достаточном дальнем удалении от скважины нагнетание подогретой воды существенного влияния не оказывает, так как очень быстро остывает попадая в коллектор;

4. На основе разработанных алгоритмов создан комплекс прикладных программ "Численная модель нефтяного месторождения Арктической зоны", который был принят к использованию в ННГК "Саханефтегаз" по договору на создание научно-технической продукции №1059/13/02 от 29.06.2002 "Численная модель нефтяных месторождений на примере Республики Саха (Якутия)".

Научная новизна. Предложен эффективный метод численного решения трехмерной фильтрации двухфазной сжимаемой жидкости в упруго-дефор-

мируемой пористой среде со сложной границей и произвольным числом и расположением нагнетательных и эксплуатационных скважин; численно реализована модель неизотермической двухфазной фильтрации; исследован характер движения флюида при неизотермической фильтрации.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов подтверждается:

- использованием при выборе и разработке математических моделей фундаментальных законов механики многофазных сред; *

- применением современных эффективных и теоретически обоснованных вычислительных методов; ^

- совпадением результатов расчета с точными решениями на тестовых задачах.

Теоретическая ценность.Предложепные вычислительные алгоритмы могут служить основой для построения численных алгоритмов решения широкого класса задач фильтрации многофазной жидкости в пористой среде. Разработана схема уточненной аппроксимации вблизи скважины, за основу взята схема А.Н.Чекалина (1986). Построен эффективный разностный метод определения поля насыщенности вокруг скважин.

Практическая ценность. Разработанное программное обеспечение можно использовать для решения актуальных задач нефтедобычи, как планирование режима добычи, исследование взаимовлияния скважин, оптимизация систем нефтедобычи, определение области вытеснения нефти водой при данном расположении скважин.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики Института математики и информатики Якутского государственного университета; на XXXIV международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (г.Новосибирск, апрель 1996); на 38-ом международном научном форуме молодежи (Лондон, Великобритания, июль-август 1996); на научной конференции студентов и молодых ученых РС(Я) ^ в рамках программы "Лаврентьевские чтения" (г.Якутск, апрель 1997 г.); на научно-практической конференции "Математика. Информатика. Образование" (г.Якутск, ноябрь 2002 г.)

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-6].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 124 страницах машинописного текста, состоит из введения, пяти глав, заключения и списка

цитируемой литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность выбранной темы, формулируются цели исследования и дается краткое изложение содержания диссертации.

В разделе 1.1 первой главы приведен краткий обзор литературы. В разделе 1.2 главы 1 дается определение основных понятий фильтрации, прилагается вывод основных уравнений установившейся и неустановившейся теории фильтрации сжимаемой и несжимаемой жидкости в однородной пористой среде.

В второй главе рассматривается трехмерная модель неустановившегося движения сжимаемой жидкости в упруго-деформируемой пористой среде со сложной границей контура нефтеносности. В разделе 2.1 приводится вывод уравнения упругого режима фильтрации.

Имеется некоторое объемное тело (нефтяное месторождение), с границей <951, которая будет обозначать условный контур нефтеносности. Тело пересекает вертикальная прямая, которая моделирует эксплуатационную скважину с дебитом <3. Приток нефти к скважине описывается уравнением:

-дб(х - хс,у - ус),(х,у, г) еп, < € {0,Ц.

где х = к/(рР) ~ коэффициент пъезопроводности, к - проницаемость пласта, /х - коэффициент динамической вязкости, /3 - коэффициент совместной упругоемкости.

На границе 80. введено условие непроницаемости.

Ц = 0, {х,у,г)едп, te{Q,t\. (2)

Здесь 8{х — хс, у — ус) - функция Дирака, п - внешняя нормаль к границе дП.

Ищется решение уравнения (1), удовлетворяющее на границе краевому условию (2). В виду того, что граница области имеет сложную геометрию для решения задачи использован метод фиктивных областей. Согласно этому методу рассматриваемую область дополняем до стандартной области

расчета - до прямоугольного параллелепипеда Б. В дополненной "фиктивной" области Г2 вместо коэффициента пьезопроводности пласта вводим достаточно малый параметр е2. Специфику рассматриваемой задаче придает наличие скважины или скважин (радиуса гс) диаметр которой неизмеримо мал по сравнению с размерами пласта. В окрестности скважины с дебитом <2, решение в случае постоянных коэффициентов имеет вид

л. ® 1 (Г

где рс - давление на контуре скважины.

В разделе 2.2 описываются разностные схемы для численного расчета поставленной задачи. Чтобы достаточно точно учесть указанные особенности в приближенном решении, необходимо пользоваться специальными разностными схемами, не требующими аппроксимации контуров скважин. В области Dt = О х (0,Ц введена равномерная сетка с шагом к по х, у, г так, чтобы источник попадал в один из узлов сетки. И пусть т - шаг по временной сетке. Для рассматриваемой задачи построен ее конечно-разностный аналог краевых задач с несимметричной матрицей. Неявные дискретные схемы обеспечивают абсолютную устойчивость.

Для уравнения (1) строим чисто-неявную схему с поправочными коэффициентами

Р{ = (VХРх)т + {~ПХРу)у + (яХРг)?. ~ (х, у, г, г) € шкт, (3)

Здесь бь является сеточным аналогом функции Дирака

^ _ | 1/Ь ) хг — Хс, Уу — ус\

\ 0, в противном случае.

Поправочные коэффициенты г) определены в полуцелых точках сетки и отличны от 1 только в окрестности точек каждой скважины (окрестность - цилиндр с радиусом р = л/2к). Точнее, пусть (хс, ус) - координаты скважины, г'1 = (хс - г)2 + (ус - з)2. Тогда

Ли,к

О.бтг 2 1

Ггл = 7> К = 0,1, ..., Пз,

1п(/»/гс)' м 4' 1п(2.5)

1п(2) ' у 4 „2

ГЬ = 7' к = 0,1,...,П3,

1, <,>7, к = 0,1,..., щ.

Эта формула получена из точного решения р = рс Н--1п (—).

В разделе 2.3 второй главы описан вычислительный алгоритм, пригодный для численного решения задачи, поставленной в пункте 2.1. Для нахождения решения уравнения (3) применен трехслойный итерационный процесс сопряженных градиентов с использованием модифицированного попеременно-треугольного метода, который эффективен для расчетов в произвольной области и в случае сильно меняющихся коэффициентов. В качестве начального приближения рассмотрен случай когда в Dt давление везде одинаково = р0\ ? = 0,1 ,...,п\\з = 0,1,...п2\к = 0,1,...щ.

Результаты численных расчетов в виде графиков изобар приведены в разделе 2.4. При этом, рассмотрены разные режимы отбора нефти, а также случаи отбора через произвольное количество скважин и при различном их расположении. Изобары близкие к скважинам имеют форму окружности. Далее двигаясь от скважин изобары "обтекают" области вокруг скважин.

В разделе 2.5 приводится сравнение результатов с точным решением для случая установившейся фильтрации с постоянным дебитом в однородном пласте к одной скважине. Результаты расчетов по предложенной схеме показали хорошее совпадение с точным решением.

В третьей главе предлагается численное решение задачи двухфазной фильтрации несжимаемых жидкостей в недеформируемой пористой среде со сложной границей. В разделе 3.1 описана математическая модель двухфазной фильтрации. Добыча нефти в большинстве случаев происходит при замещении ее в поровом пространстве продуктивного пласта водой или газом как при естественных режимах эксплуатации, так и при искусственных методах поддержания пластового давления заводнением или нагнетанием газа. Основой для расчета таких процессов служит теория многофазной многокомпонентной фильтрации.

Имеется некоторое объемное тело П (нефтяное месторождение), с границей д£1, которая обозначает условный контур нефтеносности заданы две скважины: одна нагнетательная, другая эксплуатационная. На границе дО, задано постоянное граничное давление и насыщенность р = р0, в = в о. Требуется определить в области Г2 давление р(х, у, г, £), насыщенность я(х, у, 2, £) вытесняющей фазы, удовлетворяющие системе уравнений

pdt

■ div к

Щ grad р) -М2/ )

т

—QS(x \

hi

Xcl ,У~ Ус l) + Q5{ X - Xc2, у - yd), (x,y,z) e n, 16 (o,i],

+

/2(5)

(dp d<p dp dip dp dip\ \dx dx dy dy dz dz) '

(5)

dt \ р.1 №

{х,у,г)£П, * € (0,4].

При Ь — 0 р = ро, в — ¿0! (х, у, z) € сЮ. На нагнетательной скважине 5 =

В разделе 3.2 описаны разностные схемы использованные при расчетах и приведен вычислительный алгоритм. Вводится равномерная сетка, так чтобы скважины попадали в один из узлов сетки хОу. Для рассматриваемой задачи построен ее конечно-разностный аналог краевых задач. Уравнению (4) поставлена в соответствие чисто неявная схема с уточненной аппроксимацией функции точечного источника на квадратной пространственной сетке аналогично как в главе 2. Эта схема обеспечивает абсолютную устойчивость. Для нахождения решения разностных уравнений использован трехслойный итерационный процесс сопряженных градиентов в связке с модифицированным попеременно-треугольным методом. В качестве начального приближения рассмотрен случай, когда в Dt давление везде одинакового^ = ро, г — 0, П\] ] = 0, п2; к = 0, п3.

Водонасыщенность определяем по явной разностной схеме с аппроксимацией производных по пространственным переменим "против потока":

Sf А ^ о ^

то_ы:-!£_ = 4- Wy 4. Wz%

(6)

Так например, дискретный аналог потока по оси х вычисляется следующим образом:

wx =

/K/i(atJ,fc) K,h{Sj,jtk)\ P,+ij,k ~ Pu,к 4>1,],к ~ <A-ij,fc

\ №. fJ-2 ) h h

Pi+io,k < P%-1,j,к]

K/i(g»j,fc) + Kf2{shJtk)\ phhk ~ P>-i,j,fc y»+i,j,fc ~ V.j.fc

/¿1 M2 ) h h

Pi+ij,k > Pi-\,j,k-

Аналогично вычисляются и потоки wy, wz.

тт т т(т)к

Накладываем условие устойчивости т < —

тах(го)

Результаты расчетов приведены в разделе 3.3 в виде графиков распределения поля давления и насыщенности для вытесняемой и вытесняющей фазы. Рассмотрены случаи при разном количестве и расположении скважин. Значение давления более усиливается со временем на нагнетательных скважинах, чем на эксплуатационных. На рисунке 1 приведена динамика изменения поля давления вокруг одной, расположенной в центре, эксплуатационной и четырех нагнетательных скважин через 100 дней в плоскости л = Ь/2, где Ь - протяженность по оси 2 месторождения.

Рис.1

Из графиков видно, что фронт насыщенности вытесняющей фазы движется очень медленно. Для продвижения на 50 метров при таком режиме закачки необходимо 2 года.

В четвертой главе рассмотрена численная реализация модели совместного изотермического движения двух несмешивающихся жидкостей в однородной пористой среде, учитывая при этом сжимаемость флюидов и деформируемость пористой среды. В разделе 4.1 этой главы предложен вывод математической модели и постановка задачи.

т (к+ж) I=(к (£+Э§гаа р) ~

-<Э5(:Е -хс1,у- ус1) + дв(х - хс2, У - 7/с2),

(х,у,г)ЕО., ¿6(0,1],

в др / Д (в) (дрдц> с>рс></Л

ей ей у ¡12 )\дхдх дуду дгдг)'

{х,у,г)еп, ¿е(о,г]

г = 0, р = р0,.ч = (10)

Здесь П - это нефтяное месторождение с границей сЮ, которая будет обозначать условный контур нефтеносности. На границе дП зададим постоянное граничное давление и насыщенность р = ро, в = в о- При задании области отличающейся от стандартной прямоугольной необходимо использовать метод фиктивных областей.

В пункте 4.2 приведена схема расчета и необходимые разностные схемы. Вводится равномерная сетка с шагом /1 по я, у, г так, чтобы скважины попадали в один из углов сетки хОу. Для рассматриваемой задачи построен ее конечно-разностный аналог краевых задач: водонасыщенность определяем по явным схемам в зависимости от направления потока, аналогично как в главе 3:

т - §г„к + ад,- =у,х + 10 + (И)

\ Т К\ Г )

для распределения поля давлений поставлена в соответствие чисто неявная схема с уточненной аппроксимацией функции точечного источника на квадратной пространственной сетке аналогично как в главе 2.

Результаты расчетов по приведенной схеме помещены в разделе 4.3 в виде графиков распределения поля давления и насыщенности для вытесняемой и вытесняющей фазы. На рисунке 2 приведено распределение поля насыщенности в области вокруг одной нагнетательной скважины через 800 дней после начала работы скважин в плоскости г = Ь/2.

«

4

Рис.2

В пятой главе предложено численное решение задачи неизотермической двухфазной фильтрации жидкостей в пористой среде учитывающее упругие свойства пласта и флюида. В разделе 5.1 приведены некоторые особенности неизотермической фильтрации, а также вывод уравнения теплопере-носа.

Имеется некоторое объемное тело О, (нефтяное месторождение), с границей 90, которое обозначает условный контур нефтеносности Через эксплуатационную скважину {хс\,ус\) отбирается двухфазный флюид с суммарным дебитом СЦЬ), через нагнетательную скважину (хС2,Ус2) в залежь закачивается однородная подогретая жидкость с тем же дебитом С2(Т) и температурой Ть. На границе дП задано постоянное граничное давление, насыщенность и температура р — ро, в = Т = То. Требуется определить в области О, давление р(х, у, г, £), температуру Т(х, у, г, £) и насыщенность й(з:, у, 2, ¿) вытесняющей фазы, удовлетворяющие системе уравнений (12),

(13), (14):

(12)

+Ть5(х-хс2,у-усг), (х,у,г)€&, «€(0Д

= сПУ

нмм

(13)

-08(х - хс1, у - ус1) + С}5{х - хс2,у- ус2), (х,у,г)еП, te{o,t\,

]

Здесь Т - температура; Ср, А - усредненные объемная теплоемкость, коэффициент теплопроводности флюида и коллектора соответственно, тп -коэффициент пористости. Ср - объемная теплоемкость двухфазного потока При вытеснении нефти водой зависимость их коэффициентов динамической вязкости от температуры вычисляются по следующим эмпирическим формулам

• т =_М01_

Я ) (0,11622 + 0,005(Г - 273,15))2

- формула В.Я.Булыгина для нефти;

№

М(Т) =

(1 + 0,0337(Т - 273,15) + 0,000221(Т - 273,15))2

- формула Пуазейля для воды, где ца - вязкость воды при температуре 273,15 К.

Для решения задачи, как и в предыдущих главах, использован метод фиктивных областей.

В пункте 5.2 описана схема вычислений и приведены разностные схемы. Вводится равномерная сетка с шагом к по х, у, г так, чтобы источники попадали в узлы сетки хОу. Для рассматриваемой задачи построен ее конечно-разностный аналог краевых задач: для температуры разностная схема с чисто неявной дискретизацией кондуктивного члена и явной аппроксимацией "против потока"конвективного члена. Для давления тоже чисто-неявная схема аналогичная как в главе 2, а насыщенность определяем аналогично как в главе 4, по явной разностной схеме. Схема расчета аналогична схеме приведенной в предыдущей главе. Линеаризованный дискретный аналог уравнения для температуры после необходимых преобразований решается с помощью метода сопряженных градиентов в связке с модифицированным попеременно-треугольным методом.

В разделе 5.3 приведены графики распределения поля давления, насыщенности и температуры для двух фаз. На рисунке 3 проиллюстрировано распределение температур в области вокруг одной скважины через 100 дней после начала работы скважин в плоскости 2 = Ь/2.

Рис.3

Закачка горячей воды оказывает существенное влияние на распределение насыщенности вытесняющей жидкости только в окрестности галереи нагнетательных скважин. На скорость движения и величину скачка насыщенности нагнетание подогретой воды существенного влияния не оказывает. Это объясняется тем, что вода попадая в коллектор, очень быстро остывает и скорость движения переднего фронта температурной волны невелика.

Математические модели и вычислительные алгоритмы, рассмотренные в работе, реализованы в виде комплекса прикладных программ "Численная модель нефтяного месторождения Арктической зоны".

В заключении приведены основные результаты работы.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Широких Ф.Ф. Численное моделирование процесса разработки нефтяного месторождения с помощью горизонтальной скважины // Математические заметки ЯГУ. Якутск. 1997. Т.4, Вып. 1. С.171-178.

2. Широких Ф.Ф. Численное моделирование процесса разработки нефтяного месторождения с помощью горизонтальной скважины // Материа-

\822( " 1822 1

лы XXXIV международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск. 1996. С.96.

3. Широких Ф.Ф. Численное моделирование установившегося движения несжимаемой жидкости в пористой среде // Математические заметки ЯГУ. Якутск. 2000. Т.7, Вып. 2. С.174-185.

4. Широких Ф.Ф. Численное моделирование неустановившегося движения упругой жидкости в пористой среде // Математические заметки ЯГУ. Якутск. 2001. Т.8, Вып. 1. С.110-121.

5. Широких Ф.Ф. Нестационарная трехмерная модель геофильтрации подземных вод в проницаемых однородных слоях с постоянными коэффициентами фильтрации // Научные исследования аспирантов и молодых ученых. Якутск. 2001. Вып. 3. С.104-108.

6. Широких Ф.Ф. Численное моделирование неизотермической двухфазной фильтрации // Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции "Математика. Информатика. Образование". Якутск. 2002. С.55-56.

Изд. лиц. №000053 от 20.09.97. Подписано в печать 29.10.2003. Формат 60x84/16. Бумага тип. №2. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Печл. 1,0. Уч.-издл. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ (ЬО.

Издательство ЯГУ, 677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

Отпечатано в типографии издательства ЯГУ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ.И

1.1. Краткий обзор литературы.

1.2. Основные понятия и законы фильтрации нефти и воды. Вывод основных уравнений.

ГЛАВА 2. ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГО-ДЕФОРМИРУЕМОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ.

2.1. Вывод уравнения упругого режима фильтрации. Математическая модель.

2.2. Аппроксимация скважины.

2.3. Разностная схемы, использованные при расчетах.

2.4. Описание вычислительного алгоритма.

2.5. Результаты численных расчетов.

2.6. Сравнение результатов с точным решением.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ.

3.1. Математическая модель двухфазной фильтрации.

3.2. Описание конечно-разностных аналогов рассматриваемой задачи и вычислительного алгоритма.

3.3. Результаты расчетов по приведенному алгоритму.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСМЕШИВАЮГЦИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ ПРИ УЧЕТЕ УПРУГИХ

СВОЙСТВ ПЛАСТА И ФЛЮИДОВ.

4.1. Математическая модель.

4.2. Описание конечно-разностных аналогов рассматриваемой задачи и вычислительного алгоритма.

4.3. Результаты расчетов.

ГЛАВА 5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИ

ЧЕСКОЙ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ.

5.1. Особенности неизотермической фильтрации. Вывод уравнения теп-лопереноса. Математическая модель.

5.2. Описание схемы вычислений.

5.3. Результаты расчетов и выводы.

Актуальность темы. Основными веществами, находящимися в земной коре в жидком и газообразном состоянии, являются вода и углеводороды. Природные углеводороды расположены в земной коре в виде нефти, газа и битумов. Углеводороды - химические соединения, состоящие из углерода и водорода, различаются между собой соотношением атомов углерода и водорода в молекулах, структурой молекул. Существуют углеводороды парафинового и олефинового ряда, а также нафтеновые и ароматические углеводороды.

Начиная с 20-х годов нашего века на первое место среди источников химического сырья вышли нефть и природные газы. Нефть - это смесь углеводородов, кислородных, сернистых и азотистых соединений. Нефть возникла на земле в прошлые геологические эпохи в результате разложения грандиозных скоплений растительных и животных останков, особенно морского планктона. История добычи и переработки нефти уходит в глубину веков. Еще за 6000 - 4000 лет до нашей эры па берегах Евфрата нефть применяли как топливо. Промышленная же добыча нефти началась гораздо позже -только с середины XIX века, когда стали применять бурение скважин. В те времена нефть перерабатывалась в основном на осветительные и смазочные масла. С появлением двигателей внутреннего сгорания, продукты перегонки нефти нашли широкое применение в качестве топлива для этих двигателей. Со второй половины XX века нефть используют также и как сырье для химического синтеза, то есть для получения искусственных и синтетических веществ.

Скопления нефти в земной коре - нефтяные залежи - находятся только в таких геологических структурах, откуда они не могли мигрировать в течении геологического времени, прошедшего с момента их образования. В нефтяной геологии структурные формы, содержащие нефть и газ, называют "ловушками". Распространенным типом структуры - ловушки является антиклинальная складка, продуктивный пласт в которой перекрыт непроницаемыми породами 1.

В самом пласте, представленном пористыми горными породами, содержатся газ 2, нефть 3 и вода 4. Под действием силы тяжести нефть, газ и вода разделяются, причем газ, как более легкое занимает верхнюю часть структуры, нефть - среднюю, а вода - самую нижнюю. Разделение пластовых углеводородов на нефть и газ может быть условным. Пластовые углеводороды в залежах представляют собой системы, в которых при различных условиях могут изменяться не только относительно содержания газовой фазы в нефти, по и происходить более сложные превращения. Будем основываться на представлении пластовой нефти как смеси, состоящей из двух компонентов - жидкой нефти и растворяющегося в ней газа, тем более потому, что это дает удовлетворительные результаты в целом ряде инженерных расчетов.

В нефтепромысловом деле сложность физических процессов скорее правило, чем исключение. Современная нефтедобывающая промышленность выдвигает такой комплекс вопросов, связанных с изучением механики движения флюидов в пористой среде, оценкой первоначальных запасов пластовой нефти, планированием режима добычи, исследованием взаимовлияния скважин и т.д., который требует, во-первых, весьма общей постановки самой задачи о фильтрации многофазной жидкости и во-вторых, разработки соответствующих методов решения этой задачи. При этом следует помнить, что даже самая сложная математическая модель лишь приближенно описывает исследуемое явление, так как на определенном этапе ее построения мы вынуждены отсекать некоторые связи, заменяя их априорными соотношениями. Система взаимосвязанных количественных представлений о разработке месторождения - модель его разработки, которая состоит из модели пласта и модели процесса разработки месторождения. Модель пласта - это система количественных представлений о его геолого-физических свойствах, используемая в расчетах разработки нефтяного месторождения. Модель процесса разработки месторождения - система количественных представлений о процессе извлечения нефти из недр. Главная задача инженера, занимающегося расчетом разработки нефтяного месторождения, заключается в составлении расчетной модели на основе отдельных представлений, полученных в результате геолого-геофизического изучения месторождения, а также гидродинамических исследований скважин.

Качественные математические модели и численные методы решения, позволяют значительно сэкономить, сократить расходы на научные эксперименты и, при правильном моделировании, дополняют результаты натурных наблюдений, что достигается легкостью изменения входных данных математической модели, чем натурного эксперимента. Тем самым, достигается получение широкого спектра результатов при самых разных режимах протекания природных процессов.

Задачи фильтрации, о которых будет идти речь, обладают целым рядом специфических особенностей, затрудняющих, а зачастую делающих невозможным применение стандартных численных методов, хорошо зарекомендовавших себя для других классов задач.

К одной из специфических особенностей задач фильтрации относится длительность (временная) рассматриваемых процессов. Например, заводнение при вытеснении нефти водой. Это приводит к требованию асимтоти-ческой устойчивости используемых разностных схем. Также, задачи фильтрации относятся к классу задач с силыюмепяющимися коэффициентами в подобластях. Поэтому для решения этих задач применяются итерационные методы, скорость сходимости которых не зависит от величины разброса коэффициентов.

Извлечение нефти из пластов при помощи обычного заводнения проходит довольно эффективно в условиях, когда отношение вязкости нефти к вязкости воды не превышает десяти. При вытеснении высоковязких нсф-тей закачиванием воды с температурой, не превышающей существенно пластовую температуру, нефтеотдача залежи до обводнения эксплуатационных скважин получается низкой. Известно, что вязкость таких нефтей является функцией, сильно зависящей от их температуры, а именно, на интервале температуры от 273 до 373 К вязкость нефти может меняться в сотни раз [10].

В настоящее время одно и двухмерные задачи фильтрации многофазной жидкости достаточно изучены. Для них построены рациональные модели и схемы расчета. В то же время, многомерные задачи фильтрации рассчитывались в основном с помощью методов расщепления как по пространственным направлениям, так и по физическим процессам. В последнее время с учетом появления возможности применения новых компьютеров с большей памятью и быстродействием решение такого рода задач без расщепления вполне оправдывает себя.

Условный контур нефтеносности месторождения нефти, как правило, имеет произвольную форму, что затрудняет построение разностной сетки и, вообще, расчета по ней. Упростить вычисления позволяет метод фиктивных областей [12], успешно применяемый для задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Данный метод также возможно использовать, как метод моделирования краевых условий.

Таким образом, возникла необходимость в дополнение к другим методам решения задач фильтрации, построить достаточно эффективные вычислительные схемы решения задач неизотермической фильтрации многофазной сжимаемой жидкости в упруго-деформируемой пористой среде.

Целью настоящей работы является:

- построение численной модели трехмерного неустановившегося движения жидкости в пористой среде в области со сложной границей;

- разработка эффективных вычислительных алгоритмов, пригодных для численной реализации трехмерной задачи неустановившейся изотермической фильтрации двухфазной сжимаемой жидкости в пористой среде со сложной границей;

- использование итерационного метода сопряженных градиентов для решения систем линейных алгебраических уравнений, получающихся после линеаризации дискретного аналога дифференциальных уравнений, описывающих фильтрацию двухфазной жидкости в пористой среде;

- численное моделирование трехмерной задачи неустановившегося неизотермического течения двухфазной жидкости в пористой среде со сложной границей.

Научная новизна. Предложен эффективный метод численного решения трехмерной фильтрации двухфазной сжимаемой жидкости в упруго-деформируемой пористой среде со сложной границей и произвольным числом и расположением нагнетательных и эксплуатационных скважин; численно реализована модель неизотермической двухфазной фильтрации; исследован характер движения флюида при неизотермической фильтрации.

Теоретическая ценность. Предложенные вычислительные алгоритмы могут служить основой для построения численных алгоритмов решения широкого класса задач фильтрации многофазной жидкости в пористой среде. Разработана схема уточненной аппроксимации вблизи скважины, за основу взята схема А.Н.Чекалина (1986). Построен эффективный разностный метод определения поля насыщенности вокруг скважин.

Практическая ценность. Предложенные численные методы решения можно использовать для решения актуальных задач нефтедобычи, как планирование режима добычи, исследование взаимовлияния скважин, оптимизация систем нефтедобычи, вычисление области вытеснения нефти водой при данном расположении скважин, так и вопросы экономической целесообразности, экономии средств. На основе разработанных алгоритмов создан комплекс прикладных программ, который был принят к использованию в ННГК "Саханефтегаз"по договору на создание (передачу) научно-технической продукции за номером 1059/13/02 от 29.06.2002 "Численная модель нефтяных месторождений на примере Республики Саха (Якутия)"

Апробация работы.Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики Института математики и информатики Якутского государственного университета; на XXXIV международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (г.Новосибирск, апрель 1996); на 38-ом международном научном форуме молодежи (Лондон, Великобритания, июль-август 1996); на научной конференции студентов и молодых ученых PC (Я) в рамках программы "Лаврентьевские чтения" (г.Якутск, апрель 1997 г.); на научно-практической конференции "Математика. Информатика. Образование" (г.Якутск, ноябрь 2002 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [88, 89, 90, 91, 92, 93].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 124 страницах машинописного текста, состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение

Полученные в работе результаты могут быть обобщены следующим образом:

1. Разработан эффективный вычислительный алгоритм, пригодный для численной реализации трехмерной задачи неустановившейся изотермической фильтрации сжимаемой жидкости в упруго-деформируемом коллекторе со сложной границей на основе чисто неявных разностных схем;

2. Предложен эффективный метод численного решения трехмерной фильтрации двухфазной сжимаемой жидкости в упруго-деформируемой пористой среде со сложной границей и произвольным числом и расположением нагнетательных и эксплуатационных скважин. Данный метод базируется на устойчивых разностных схемах, на трехслойном итерационном процессе сопряженных градиентов и методе фиктивных областей;

3. Численно реализована модель неизотермической двухфазной фильтрации, исследован характер движения флюида при неизотермической фильтрации. Выявлено, что на скорость движения и величину скачка насыщенности на достаточном дальнем удалении от скважины нагнетание подогретой воды существенного влияния не оказывает, так как очень быстро остывает попадая в коллектор;

4. На основе разработанных алгоритмов создан комплекс прикладных программ "Численная модель нефтяного месторождения Арктической зоны", который был принят к использованию в ННГК "Саханефтегаз" по договору на создание научно-технической продукции №1059/13/02 от 29.06.2002 "Численная модель нефтяных месторождений па примере Республики Саха (Якутия)".

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М.: Недра, 1982.

2. Акулылин А.И. Прогнозирование разработки нефтяных месторождений. М.: Недра. 1988.3j Андреев В.Б. О сеточных аппроксимациях задачи о скважине // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск. 1987. с. 13-23.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.:Недра, 1984.

4. Басниев К.С., Власов A.M., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1986.

5. Бондарев Э.А., Бабе Г.Д., Гройсман А.Г. и др. Механика образования гидратов в газовых потоках. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1976.

6. Бондарев Э.А.,Васильев В.И.,Воеводин А.Ф.,Павлов Н.Н.,Шадрина А.П. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа. Новосибирск. Наука. СО РАН. 1988.

7. Бондарев Э.А., Красовицкий Б.А. Температурный режим нефтяных и газовых скважин. Новосибирск: Наука. 1974.

8. Бочаров О.Б., Монахов В.Н. Краевые задачи неизотермической двухфазной фильтрации в пористых средах. // Динамика сплошной среды. Вып.86. Новосибирск, 1988.

9. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.:Недра, 1978.

10. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд. МГУ. 1987.

11. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.: Изд. МГУ. 1991.

12. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Изд. МГУ. 1993.

13. Васильев В.И. Численное интегрирование дифференциальных уравнений с нелокальными граничными условиями. ЯФ СО АН СССР. Якутск. 1985.

14. Васильев В.И. Численное моделирование процессов разработки углеводородного сырья // Наука и образование. 1996. Вып.З. с.57-63.

15. Васильев В.И., Тимофеева Т.С. Численное моделирование двухфазного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей // Ученые записки ЯГУ. Сер. математика, физика. Юбил.вып. 1994. с.51-62.

16. Васильев В.И., Тимофеева Т.С. Численное решение задачи Баклея-Леверетта // Математические заметки ЯГУ. 1995. т.2, N1. с.110-119.

17. Васильев В.И., Тимофеева Т.С. Неизотермическая двухфазная фильтрация флюидов // Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1996. т.2, с.36-40. с. 110-119.

18. Васильев В.И.,Попов В.В.,Тимофеева Т.С. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа. Новосибирск. Изд-во СО РАН. 2000.

19. Васильев В.И., Максимов A.M., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Теплоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука. Физматлит. 1997.

20. Вахитов Г.Г. Эффективные способы решения задач разработки неоднородных нефтеводопосных пластов методом конечных разностей. М.: Гостоптехиздат, 1963.

21. Воеводин А.Ф. Газотермический расчет потоков в простых и сложных трубопроводах // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. 1969. N8, вып.2. с.45-55.

22. Воеводин А.Ф. Метод прогонки для разностных уравнений, определенных на комплексе // Журн. вычисл. математики и мат.физики. 1973. Т13. N2. с.494-497.

23. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расщепления по физическим процессам для расчета задач конвекции // Математическое моделирование. 2001. т. 13, N5. с90-96.

24. Воеводин А.Ф., Павлов Н.Н. О решении смешанных краевых задач для двумерных уравнений теплопроводности // Динамика сплошной среды. Новосибирск, Сб.науч.тр./ Ип-т гидродинамики им.М.А.Лаврентьева. 1978. Вып.35. с.29-39.

25. Воеводин А.Ф., Шургип С.М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск: Наука, 1981. -208 с.

26. Годунов С.К. Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1962.

27. Головизнин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечно-разностных математических моделей. Докл. АН СССР, т.235, т, 1977, с. 1285-1288.

28. Головизнин В.М. Трехмерные дифференциально разностные схемы МГД. Диффер. уравнения, 1981 т.17, №7, с. 1222-1227.

29. Головизнин В.М., Коршунов В.К., Сабитова А., Самарская Е.А. Об устойчивости вариационно- разностных схем газовой динамики. Диффер. уравнения, 1984, т. 20, №7, с. 1173-1181.

30. Головизнин В.М., Коптелова Н.А., Симачева О.Г. Метод динамических потенциалов для численного моделирования нестационарных задач гидродинамики со свободными границами. Дифф. уравнения, 1983, т. 19, №5, с. 870-878.

31. Головизнин В.М., Кашокова В.Д., Самарская Е.А. Сверхнеявные разностные схемы газовой динамики. Дифф. уравнения, 1983, т. 19, №7, с. 1186-1197.

32. Головизнин В.М., Рязанов М.А., Самарский А.А., Сороковикова О.С. Полностью консервативная коррекция потоков в задачах газовой динамики. Докл. АН СССР, 1984, т.274, №3, с. 524-528.

33. Головизнин В.М., Самарская Е.А., Чуданов В.В. Метод "факторизо-ванных тепловых смещений"для экономичного решения задач теплопроводности на неортогональных сетках. Дифф. уравнения, 1987, т.23, № 7, с. 1143-1154.

34. Головизнин В.М., Коршунов В.К., Сабитова А., Самарская Е.А. Об устойчивости вариационно- разностных схем газовой динамики. -Дифф. уравнения, 1984, т.20, №7,1173,1181.

35. Головизнин В.М., Симачева О.Г., Сороковикова О.С. Метод расчета конвективных течений страфицированных жидкостей и газов со свободной верхней границей. Математическое моделирование, том 4, №9, 1992 год, стр. 101 -113.

36. Желтов Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта. М.: Недра, 1975.

37. Желтов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений. М.: Недра, 1986.

38. Жумагулов Б.Т., Зубов Н.В., Монахов В.Н., Смагулов Ш.С. Новые компьютерные технологии в нефтедобыче. Ал маты: Гылым, 1996. 167 с.

39. Закиров С.Н., Лапук Б.Б. Проектирование и разработка газовых месторождений. М.: Недра, 1974.

40. Золотухин А.Б. Моделирование процессов извлечение нефти из пластов с использованием методов увеличения нефтеотдачи. М.: Изд-во МИНГП, 1990.

41. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964.

42. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск. Наука. СО РАН. 1988.

43. Коновалов А.Н. Метод расщепления по физическим процессам в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости / ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1972. с.119-122.

44. Коновалов А.Н., Монахов В.Н. О некоторых моделях фильтрации многофазных жидкостей // Динамика сплошной среды. 1976. Вып.27. с.51-65.

45. Кричлоу Б.Генри. Современная разработка нефтяных месторождений -проблемы моделирования. М.: Недра, 1979.

46. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика (Теоретическая физика; Т.6) М.: Наука, 1986. 736 с.

47. Лапук Б.Б., Требин Ф.А. О состоянии и задачах дальнейшего развития теоретических основ разработки газовых месторождений // Тр. МИНХ и ГП. ГОСИНТИ. 1961.

48. Лейбензон Л.С. Подземная гидрогазодинамика // Собр. трудов. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1953.

49. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.: Недра, 1976.

50. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

51. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

52. Михайлов Г.К., Николаевский В.Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах. Механика в СССР за 50 лет. Т. 2. М.: Наука, 1970. С. 585-648.

53. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.

54. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: СО Наука. 1977. 420 с.

55. Монахов В.Н. Фильтрация жидкости со свободной границей в неидеальных пористых средах. // Проблема математики и механики. Новосибирск: СО Наука. 1983. с. 138-150.

56. Монахов В.Н. Математическая модель фильтрации неоднородной жидкости. // Динамика сплошной среды. Вып.90. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН. 1989. с.64-71.

57. Монахов В.Н., Хуснутдинова Н.В. О сопряжении каналовых и фильтрационных течений вязкой несжимаемой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1995. N88. с.95-99.

58. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 2. М.: Наука, 1987.

59. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970.

60. Николаевский В.Н., Бондарев Э.А., Миркин М.И. и др. Движение углеводородных смесей в пористой среде. М.: Недра, 1968.

61. Панфилов М.Б., Панфилова И.В. Осредненные модели фильтрационных процессов с неоднородной внутренней структурой. М.: Наука, 1996.

62. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. (1917-1967). М.: Наука, 1969.

63. Рубинштейн Л.И. Температурные поля в нефтяных пластах. М.: Недра, 1972.

64. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

65. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений- М.: Наука, 1976.

66. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Васильев В.И. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Мат. моделирование. 1997. т.9, N7. с.119-127.

67. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Эдиториал УРСС, 2003.

68. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск, 1998.

69. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

70. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

71. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

72. Самарский А.А, Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997.

73. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

74. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1981.

75. Тихонов А.Н, Костомаров Д.М. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984.

76. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

77. Цыпкова О.Э., Мясникова Н.А., Баишев Б.Т. Гидродинамические методы увеличения нефтеотдачи. М.: Недра, 1993.

78. Цыпкин Г.Г. Математическая модель фазовых переходов лсд-вода-пар в слабопроницаемых мерзлых грунтах /У Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. N6. С.72-78.

79. Цыпкин Г.Г. Математическая модель диссоциации газовых гидратов, сосуществующих со льдом в природных пластах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1993. N2. С.84-92.

80. Цыпкин Г.Г. О влиянии подвижности жидкой фазы на диссоциацию газовых гидратов в пластах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. N4. С. 105114.

81. Цыпкин Г.Г. О режимах диссоциации газовых гидратов, сосуществующих с газом в природных пластах // Инженерно-физический журнал. 2001. т.72. N5.

82. Цыпкин Г.Г. Разложение газовых гидратов в низкотемпературных пластах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1998. N1. С.101-111.

83. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963.

84. Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра , 1975.

85. Шевченко Д.В. Применение многосеточных методов для расчета давления в нефтяном пласте // Математическое моделирование. 2002. Т. 14, № 8, С.113-118.

86. Шелкачев В.Н. Упругий режим пластовых водонапорных систем. М.: Гостотехиздат, 1948.

87. Широких Ф.Ф. Численное моделирование процесса разработки нефтяного месторождения с помощью горизонтальной скважины // Математические заметки ЯГУ. Якутск. 1997. Т.4, Вып. 1. С. 171-178.

88. Широких Ф.Ф. Численное моделирование процесса разработки нефтяного месторождения с помощью горизонтальной скважины // Материалы XXXIV международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск. 1996. С.96.

89. Широких Ф.Ф. Нестационарная трехмерная модель геофильтрации подземных вод в проницаемых однородных слоях с постоянными коэффициентами фильтрации // Научные исследования аспирантов и молодых ученых. Якутск. 2001. Вып. 3. С.104-108.

90. Широких Ф.Ф. Численное моделирование неизотермической двухфазной фильтрации // Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции "Математика. Информатика. Образование". Якутск. 2002. С.55-56.

91. Яненко Н.Н. Введение в разностные методы математической физики. Ч. 2. / НГУ. Новосибирск, 1968.

92. Янепко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1967.

93. Янепко Н.Н., Преображенский Н.Г., Разумовский О.С. Методологические проблемы математической физики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1986.

94. Darsy.H, Les Fonntaines publiques de la ville de Dijon (Paris: Victor Dalmont, 1856).1. СПРАВКА О ВНЕДРЕНИИ