автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса в криолитозоне

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК. Ордена Ленина Сибирское отделение п Вычислительный центр

На правах рукописи

ВАСИЛЬЕВ Василий Иванович

УДК 519.6:532.5:536.4

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО-И МАССОПЕРЕНОСА В КРИОЛИТОЗОНЕ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

,л

Новосибирск 1995

Работа выполнена в Ордена Дружбы народов Якутском государственном университете им. М. К. Аммосова Государственного комитета Российской Федерации по высшему образованию и Государственного комитета по высшей школе, науке и технической политике Республики Саха. (Якутия)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор П. Н. Вабшцевич, доктор физико-математических наук, профессор В. И. Дробышевич, доктор физико-математических наук, профессор А. В. Федоров

Ведущая организация: Институт проблем нефти и газа Российской академии наук

Защита состоится ^^ 1995 г. в часов на заседании

диссертационного совета. Д 002.10. 02 в Вычислительном центре Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск - 90, ул. акад. Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ СО РАН.

Автореферат разослан " ^ 1995 г.

Учений секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук '/¿£-/¿1Забиняко

С- ^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена численному исследованию некоторых избранных проблем освоения северных территорий с помощью технологии вычислительного эксперимента.

Состояние вопроса и актуальность проблемы. Эффективность решения любой проблемы во многом зависит от правильного учета протекающих в нем процессов. Б настоящее время усилиями школ А.Н.Тихонова, А. А. Самарского, Н. Н. Яненко, Г. И. Марчука и Н. Н.Моисеева выработана эффективная технология проведения научных исследований - вычислительный эксперимент. Суть вычислительного эксперимента состоит в комплексном изучении всей технологической цепочки: изучаемый процесс - математическая модель - вычислительный алгоритм - программа на компьютере. Во многих случаях вычислительный эксперимент, заменяя дорогостоящий натурный эксперимент, позволяет с минимальными затратами эффективно прогнозировать и управлять исследуемым процессом или объектом.

В соответствии с методологией вычислительного эксперимента, сначала строится математическая модель изучаемого объекта или процесса, которая обязана быть корректно поставленной и допускать численную реализацию. Последнее требование впервые было высказано А. Н. Коноваловым. Далее на базе современных достижений вычислительной математики разрабатывается эффективный вычислительный алгоритм, реализующий рассматриваемую модель на компьютере. Как правило, это даже не одна модель, а целое семейство математических моделей. В результате вычислительного эксперимента, представляющего собой многовариантные расчеты, очерчиваются области эффективного применения каждой из рассматриваемых моделей.

Определяющее значение в вычислительном эксперименте имеет разработка эффективного вычислительного алгоритма. Основные принципы н методы построения разностных методов решения краевых задач, разработаны в трудах А.Н.Тихонова, А. А. Самарского, Г. И. Марчука, Н. Н. Яненко и их школ: это и принципы однородности и консервативности; метод геометрического растепления многомерных краевых задач по направлениям и физическим процессам; метод фиктивных областей; принципы установления и регуляриза-

ции; а также различные способы построения дискретных аналогов краевых задач, такие как интегро-интерполяционный метод, методы интегральных тождеств, аппроксимации соответствующего квадратичного функционала и сумматорных тождеств.

Освоение северных территорий, в которой сосредоточены значительные запасы полезных ископаемых, имеет ряд специфических проблем, обусловленных суровыми климатическими условиями. В первую очередь, они связаны с наличием мощной толщи много-летнемерзлых горных пород. Исследования по математическому моделированию процессов тепло- и массопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах обобщены в монографиях Э.Д.Ершова, Н. С. Иванова, А. В. Лыкова, В. Г. Меламеда, А. В. Павлова, Л. И. Рубинштейна, Г. М. Фельдмана и А. Ф. Чудновского. Эффективные численные методы решения задач тепло- и массопереноса в технологических процессах и природных средах разработаны в работах П.Н. Вабище-вича, В. И. Дробышевича, Н. И. Никитенко, Е. Е. Петрова, В. И. Полежаева, В. А. Чугунова и др.

Г. Г. Цыпкиным и А.М.Максимовым выполнен цикл работ, посвященных разработке наиболее полных замкнутых математических моделей промерзающих и протаивающих насыщенных пористых сред в предпожении, что они представляют собой многофазные насыщенные дисперсные среды, в которых в зависимости от имеющихся термодинамических условий происходит фазовое превращение воды в лед или обратно. Эти модели позволяют изучить механизмы движения поровой влаги, перераспределения давления, температуры и концентрации растворенной примеси, а также их влияние на термодинамические условия фазового превращения поровой влаги в лед и обратно. Подобные модели процессов кристаллизации бинарных сплавов построены, например, в работах Н.А. Авдонина, В. Т. Борисова, В. В. Мансурова. Для задач с непостоянной температурой фазового перехода аналогичные модели с переходной зоной построены и исследованы А. М. Мейрмановым и его учениками.

В математическом плане близкий круг проблем связан с добычей углеводородного сырья. В последние годы в связи с тем, что исчерпаны запасы нефти, добываемые традиционными методами, в стране наблюдается устойчивое падение ее добычи. Поэтому стала насущной необходимостью разработка принципиально новых

высокоэффективных технологий разработки "сложных" месторождений, не поддающихся разработке традиционными методами. Нужны технологии, увеличивающие конечную нефтеотдачу пластов. В то же время надо принять меры, не допускающие падение добычи газа. Следует отметить, что широкое внедрение в промысловую практику даже вторичных методов разработки нефтяных залежей, таких как вытеснение нефти водой или растворителями приводит, к необходимости углубленного изучения как самих математических моделей, так и методов их численной реализации.

Теоретические основы математического описания движения жидкостей и газов в пористых средах заложены в трудах Л. С. Лей-бензона, И. А. Чарного, Н. Н. ПолуОариновой-Кочиной, Р. И. Нигмату-лина и их учеников. Математическое моделирование процесса разработки месторождений углеводородов является достаточно наукоемкой проблемой. Оно основано на законах механики гетерогенных сплошных сред. Подробное изложение общих вопросов теории многофазного течения в пористых средах можно найти в монографиях К. С. Басниева, Э.А.Бондарева, В. Я. Булыгина, Ю. П. Желтова, Р. Коллинза, Б. Б. Лапука, Л. С. ЛейОензона, В.А.Максимова, В. Н. Николаевского, Р. И. Нигматулина, Л. И. Рубинштейна, И. А. Чарного, Э. Б. Чекалюка, В. Н. Щелкачева. Численным методам решения задач теории фильтрации посвящены книги X. Азиза и Э. Сеттари, Г.Г'.Ва-хитова, С. Н. Закирова, Б. Б. Лапука, Б. И. Леви, А. Н. Коновалова, Г. Б. Кричлоу, Н.М.Максимова, А. Н. Чекалина, В. Е. Шаманского и др.

Задачи из рассматриваемых классов обладают следующими специфическими особенностями: наличие сильного ц контактного разрывов; вырождение определяющих уравнений; необходимость интегрирования на больших временных интервалах; одно и то же уравнение одновременно описывает несколько физических процессов с различными характерными временами, отличающимися на несколько порядков; необходимость интегрирования "жестких" систем дифференциальных уравнений и т. п.

Эти особенности, как правило, исключают или. при благоприятном стечении обстоятельств, затрудняют использование классических разностных методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении других классов задач. И это может быть связано либо с существом изучаемых процессов, либо с выбором соответст-

■

вующей математической модели.

Исследования по теоретическим основам математического моделирования процессов тепло- и массопереноса с фазовыми переходами и разработке эффективных вычислительных алгоритмов, предназначенных для их численной реализации, во многом определяют успех применения вычислительных средств при решении проблем освоения северных территорий, и поэтому представляются актуальными.

Целью работы являются:

- отбор и, при необходимости, разработка математических моделей процессов тепло- и массопереноса в криолитозоне с фазовыми переходами;

- разработка эффективных разностных методов для численного исследования процесса неизотермической фильтрации природного газа и тепло- и массопереноса в пористых средах, сопровождающихся фазовыми переходами, в том числе и в объеме;

- создание комплексов прикладных программ и численное исследование с их помощью некоторых актуальных прикладных проблем, встречающихся при освоении северных территорий.

Основные результаты работы:

1- Разработаны эффективные разностные методы решения некоторых нелинейных краевых и обратных задач для параболических уравнений. Для квазилинейного параболического уравнения построена симметричная линейная разностная схема второго порядка точности. Для численного решения задачи Стефана предложена модификация разностной схемы сквозного счета с размазыванием функции источника и разрывных коэффициентов в одном пространственном интервале. Разработан эффективный вычислительный алгоритм решения граничных обратных задач для параболических уравнений.

2. Построены разностные схемы для задач фильтрации природного газа в пористых средах. Численно исследован процесс неизотермической фильтрации влажного природного газа с гидра-тообразованием в призабойной зоне эксплуатационной скважины. Проведено численное моделирование процесса неизотермической фильтрации газа с учетом теплообмена с подошвой и кровлей залежи.

3. Предложены вычислительные алгоритмы, пригодные для численной реализации математических моделей двухфазных течений в пористых средах. Для задачи Баклея-Леверетта построена консервативная разностная схема с ловлей скачка насыщенности в узел сетки. Разработаны и численно реализованы математические модели двухфазных течений, учитывающие деформируемость пористой среды, сжимаемость флюидов и неизотермичность.

4. Разработаны эффективные методы численной реализации термодиффузионной модели с фазовыми переходами и модели замораживания жидкости в замкнутом объеме. Показана, как правило, противоречивость термодиффузионной фронтовой модели, выражающаяся в "переохлаждении" и "перегреве". Численно реализованы непротиворечивые математические модели рассматриваемых процессов с объемными фазовыми переходами.

5. На основе разработанных алгоритмов и созданных комплексов прикладных программ численно исследованы: а) теплообмен зданий и инженерных сооружений с сезоино-оттаивающими основаниями; б) тепловое взаимодействие подземных инженерных сооружений с вмещающими массивами мерзлых горных пород; в; процесс искусственного замораживания фильтрующих грунтов.

Научная новизна. Основные результаты являются новыми. В отдельных случаях новизна проявляется в модификации известных результатов, учитывающих специфические особенности изучаемых процессов.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается:

- использованием при выборе и разработке математических моделей фундаментальных законов механики многофазных сред;

применением современных эффективных и теоретически обоснованных вычислительных метилов;

- проверкой работоспособности разработанных вычислительных алгоритмов на тестовых задачах с известными решениям!!;

- удовлетворительным совпадением результатов расчета с результатами другкх авторов.

Практическая ценность. Разработанные в работе эффективные вычислительные алгоритмы решения краевых задач тепло- и массо-

переноса, соответствующее программное обеспечение могут найти применение при решении многих прикладных проблем строительства, разработки месторождений полезных ископаемых, добычи и транспорта нефти и газа в северных регионах страны.

Реализация исследований. Разработанные методики расчета нестационарного температурного режима многослойных конструкций, в том числе и с фазовыми превращениями некоторых из слоев, реализующие их комплексы прикладных программ внедрены в Центральном научно-исследовательском институте специального машиностроения МОП СССР (г. Хотьково Московской области, 1986-1990 г. г.). Метод определения оптимального расположения скважин при кустовом способе разбуривания нефтяных месторождений в зоне вечной мерзлоты внедрен в Сибирском научно-исследовательском институте нефтяной промышленности (Тюмень, 1980 г. ).

Апробация работы. Отдельные положения и разделы, по мере выполнения, докладывались на:

- Ш и IX Всесоюзных семинарах "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" (г. Алма-Ата, 1976 и г. Якутск, 1988 г.);

- 1У и У Всесоюзных школах молодых ученых "Численные методы решения задач математической физики" (г.Вильнюс, 1979 и г.Минск, 1981);

УП Всесоюзной конференции по тепломассообмену (г. Минск, 1984):

- Всесоюзной школе-семинаре по вычислительным методам и математическому моделированию" (г. Минск, 1984);

- объединенном УП семинаре "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" и П семинаре "Современные проблемы теории фильтрации" (г. Москва, 1984);

- Всесоюзной школе молодых ученых "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (г. Рига, 1985);

- 11 Всесоюзной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (г. Киев, 1985);

- У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной

механике (г. Ташкент, 1986);

- конференции "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (г. Дрогобыч, 1987);

- IX Всесоюзной школе по моделям механики сплошной среды (г.Якутск, 1987);

- семинаре "Современные проблемы теории фильтрации" (г. Москва, 1989);

Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики (Горный Алтай, 1989) ;

объединенном семинаре "Численные методы механики сплошной среды" и "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики" (Красноярск, 1989);

- У1 Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород" (г. Новосибирск, 1991);

- Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1994);

- Международной конференции по математическому моделированию (г.Якутск, 1994);

- семинаре отдела прикладной гидродинамики ИГпЛ СО РАН под руководством проф. В. В. Пухначева (Новосибирск, 1986);

- заседании секции разработки нефтегазовых месторождений Ученого Совета Института проблем нефти и газа РАН (Москва, 1994);

- объединенном семинаре ИВТ СО РАН и кафедры вычислительных методов механики сплошной среды НГУ под руководством акад.

Ю. И. Шокина и проф. В. М. Ковенп (Новосибирск, 1995).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 23 работах, в том числе, двух монографиях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов и заключения, изложенных на 255 страницах, включает 73 рисунка, 2 таблицы, списка источников из 191 наименования и приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цели исследования и дается краткое изложение

содержания диссертации.

Первая глава посвящена отбору и разработке эффективных разностных методов решения одномерных базовых задач тепло- и массопереноса на основе сравнения их точности на модельных задачах с точными решениями. В разделе 1.1 рассмотрены линейные и нелинейные разностные схемы, применяемые для численного решения краевых задач для квазилинейных параболических уравнений, в частности, для уравнения со степенной нелинейностью:

дь

= (Х,Ь)<=(0,1)х(0,Т] (1)

с б >о.

Используя подстановку В. Н. Абрашина и=т°\ уравнение (1) приведем к виду, имеющему квадратичную нелинейность:

ЗГ Ж = (*-*>е<о,1)*<о.Ъ. (2)

о 4 '

На квазиравномерной пространственно-временной сетке уравнению (2) поставим в соответствие его симметричный линейный дискретный аналог:

V

У "У ^

-V1 = ¿(УУ>-. -(1-1/б)у_ у , 1=лГй=1, teит. (3)

О XX , { г, { X, 1

Численное сравнение точности разностной схемы (3) при соответствующих начальном и граничных условиях с известными разностными схемами проводилась на сложных с вычислительной точки зрения модельных задачах с точными решениями вида "бегущей температурной волны" и "остановившейся температурной волны", построенными в работе А. А. Самарского и И. М. Соболя.

В результате численного сравнения точности известных разностных схем на модельной задаче с точным решением типа "бегущей температурной волны" предпочтение отдано симметричной разностной схеме (3), позволившей вести счет с достаточно крупным шагом. При подходящем подборе величины временного шага 'существенно мелком; удовлетворительные результаты дают и другие разностные схемы. Апробация рассмотренных разностных схем на примере об "остановившейся температурной волне" позволила сделать аналогичные выводы. Следует отметить, что здесь лучшие

результаты дает чисто неявная разностная схема из коллективной монографии А.А.Самарского и его учеников, но она устойчиво считает лишь при очень мелком шаге временной сетки.

В разделе 1.2 рассмотрены различные известные методы численного решения краевой задачи для уравнения конвективной диффузии. Особое внимание уделено рассмотрению эффективности разностных схем в случае интересной и с точки зрения проблем освоения северных территорий ситуации - значительного превосходства коэффициента при конвективном члене над коэффициентом при кондуктивном члене (у»г):

дт д2т дт _

— = а?— - V—- , хе(0,1), ье(0,т]. (4)

дь дх дх

Методом неопределенных коэффициентов построены два дискретных аналога уравнения (4) повышенного порядка точности вида:

_ С С ) (<Т >

у. = ®У_ ' - г ' (5)

где

[1+у Ь / (V П+12£) ]я;

Г б,= [Г +12*')]

(6)

/6; б-б / (у2Х). (?)

Уравнение (4) одновременно описывает два различных физических процесса: кондуктивный и конвективный теплоперенос. Поэтому наиболее эффективные методы решения краевых задач для него удается построить с помощью метода расщепления по физическим процессам (Г. И. Марчук, А.Н.Коновалов), в которой переход с одного временного слоя на следующий осуществляется в два этапа. А именно, на первом этапе решается смешанная задача Коши для уравнения конвективной теплопроводности относительно вспомогательного распределения температуры:

дт дт V

— + V— =о/ (0,1], teft/tJ,

дъ дх

- V V

Т(Х,Ь) = Т(х,Ь), хе[0,1].

На втором этапе ищем решение краевой задачи для уравнения кондуктлвноп теплопроводности:

дт д2т V

— = г— , хе(0,1), teft,tJ/

дь дхг

V ~

Т(х, Ь) = Т(х,Ь), хе[0,1].

С помощью численных расчетов на модельных задачах для рассматриваемого случая показано преимущество подхода, основанного на идее расщепления по физическим процессам.

Раздел 1.3 посвящен построению разностной схемы сквозного счета с размазыванием функции источника и разрывных коэффициентов в одном пространственном интервале, пригодной для численного решения многофронтовых многофазных задач типа Стефана. Она в сочетании с методом расщепления по направлениям может быть использована и для численного решения многомерных задач стофановского типа. По существу, предлагаемая разностная схема яьллотся некоторой модификацией разностной схемы /.. А. Самарско1 о и Б. Д. Моисеенко. Проведенные численные расчеты на задаче с автомодельным решением, несмотря на некоторую громоздкость, подтвердили эффективность предлагаемой разностной схемы. На рис.1 представлены результаты численного моделирования начального этапа формирования "вечной мерзлоты" в рамках фронтовой модели, сводящейся к поиску периодического решения иногофронтопой двухфазной задачи Стефана.

В разделе 1.Л разработан новый метод решения граничных обратных ■■.•¡Уыч для параболических уравнений. Метод основан на сведении исходной задачи на каждом временном слое к задаче с нелоК'! .'п.пип : ранпчным условием. Здесь изложение начинается с рассмоI рения простейшей I раннчной обратной задачи для уравнения параболического чипа:

др д''р

= , хе(0,1], ье(о,Т]; (8)

о I дх'

¿;(0,1)=и }(Ь), tef0,Т]; (9)

13 .о 1Э .3 12 .О 10 .3

о. о

7.3 6.0 4.3

э.о 1.3

6DD 1200 1800 Э100 СШОи

Рис. 1.

М te-(°'Tl' ¡0,

р(х,0) = ро(Х) . ХЕ[0,1]. (И;

В этой задаче оба дополнительных условия заданы на левой границе, зато нет краевого условия на правой границе.

Уравнению (8; поставим в соответствие чисто неявную

дифференциально-разностную схему Роте: v

Р-Р в р

- = &- , x<z(o,l), teo .

г дх* т

Следовательно, при переходе с одного временного слоя на следующий получили задачу Кови для обыкновенного лифС'";.•:"!-. • анального уравнения второго порядка \ \2t с начальными условиями (9) и (10). Теперь, интегрируя уравнение <1С > по х от с до 1, вместо дополнительного условия (10) получаем нелокальное граничное условие:

о о

Таким образом, исходную граничную обратную задачу свели к серии неклассических краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Численная реализация предлагаемого метода решения граничной обратной задачи на примере с точным решением показала, что при малых временах решение построенной разностной схемы может сильно отличаться от точного решения. При больших временах точность возрастает. Этот кажущийся парадокс объясняется тем обстоятельством, что возмущения распространяются с конечной скоростью, и при малых временах передний фронт возмущения еще не дошел до другой . границы области. Рассмотрена и двухфазная граничная обратная задача Стефана, в которой по известному закону движения границы фазового перехода требуется определить функцию, входящую в краевое условие на левой границе. Предложен аналогичный вышеизложенному метод решения поставленной задачи с ее сведением к линейной задаче с нелокальным дополнительным условием. Численная апробация предложенного метода на автомодельной задаче показала его экономичность и высокую точность.

Вторая глава посвящена численному моделированию процесса разработки залежей природного газа. В разделе 2. 1 сначала рассматриваются два разностных метода решения задачи притока идеального газа к одиночной эксплуатационной скважине, пробуренной в центре горизонтальной залежи круговой формы: симметричная линейная разностная схема и классическая чисто неявная разностная схема. Численная апробация обеих разностных схем показала, что симметричная линейная разностная схема требует вычисления начинать с более мелкого временного шага, нежели чисто неявная разностная схема. Затем рассмотрена начально-краевая задача для системы эволюционных уравнений относительно распределений давления газа и усредненной температуры системы газ - пористая среда, служащей математической моделью неизотермического притока природного газа к одиночной скважине. Модель представляет собой математическую запись

законов сохранения массы газа и энергии с учетом закона Дарси и уравнения состояния реального газа с коэффициентом сверхсжимаемости газа, вычисляемым по эмпирической формуле Латонова-Гуревича. Уравнение энергии описывает несколько физических процессов: кондуктивную и конвективную теплопроводности, охлаждение газа за счет эффекта дросселирования и адиабатического расширения. В отличие от работ других авторов здесь на стенке скважины ставится только одно краевое условие - массовый расход газа, ибо неизвестно, с какой температурой придет газ к скважине, поскольку в прискважинной зоне в уравнении энергии конвективный член и слагаемое, отвечающее за эффект дросселирования, значительно превосходят кондуктивное слагаемое. Таким образом, в окрестности скважины фактически имеем дело с гиперболическим уравнением, характеристики которого изнутри пересекают только правую границу области. При численном решении поставленной задачи используется метод расщепления по физическим лроцессам. Численная реализация модели показала существенное охлаждение газа, притом в основном за счет эффекта дросселирования.

Раздел 2.2 посвящен изучению добычи газа с невысокой пластовой температурой. При фильтрации такого газа через некоторое время после пуска скважины создаются условия, благоприятные для гидратообразования в призабойной зоне эксплуатационной скважины. Методами механики многофазных сред построена фронтовая модель гидратообразования, в которой закон сохранения энергии представляет собой задачу Стефана для распределения температуры. Ее численная реализация, в связи с тем что наряду с полями давления и температуры определению подлежит единственный фронт гидратообразования, проведена с помощью метода ловли фронта в узел сетки. Численные расчеты показали, что при некоторых значениях начальной температуры фронтовая модель вступает в противоречие с физикой процесса. Разработана уточненная математическая модель изучаемого процесса с протяженной областью гидратообразования, свободная от указанного недостатка.

В разделе 2.3 разработана и численно реализована двумерная математическая модель фильтрации природного газа, учиты-

ваюшая теплообмен газа с кровлей и подошвой залежи. При построении дискретного аналога этой задачи использованы аддитивные разностные схемы с расщеплением по направлениям и физическим процессам. Численные расчеты показали, что в случае залежей с малой мощностью, интенсивный теплообмен с кровлей и подошвой залежи воспрепятствует значительному охлаждению системы газ -пористая среда. На рис. 2 представлены результаты численного моделирования процесса неизотермической фильтрации природного газа с учетом теплопотерь через подошву и кровлю продуктивного пласта в момент времени с=2417 сут. На рисунках выведены изотермы: 1-340 К; 2-338 К: 3-333 К: 4-328 К и 5-323 К.

8.О 13.0 16.О 20.0

-> В.к

///////.'.'/.'///'// / / /'/ //.'// /////// / / /'/'/ / /'/ / / ////// ///У///'// /////// //.'/////////,' /// / / /

*/'//////////'//////// / /у //'//////

■.Г////////'//////.'/////''//'//У '////////////////// / / / / / / / / / /■/'/'

Рис. 2.

Третья глава посвящена численному моделированию двухфазных течений в пористых средах. В разделе 3. 1 первой рассматривается простейшая математическая модель двухфазного течения в пористых средах - задача Баклея-Леверетта, как правило, имеющая разрывное решение. Построена модифицированная разностная схема "уголок", позволяющая определить положение стационарного скачка насыщенности:

Я -

т —-+ Оо--й-=0, 1=Г,п, teuт,

^ =5 , ь ео , <13>

о т

о . ---о

й = э , 1=1, п , э =э .

г о ' ' о '

при этой величина временного шага выбирается из условия

г = тЬ/[Оои>^(б' ) ], (14)

где значение фронтовой насыщенности э* определяется из условия стационарного скачка с помощью итерационного процесса. Поскольку за фронтом скачка насыщенности производная от функции Баклея - Леверетта по насыщенности является монотонно убывающей функцией, выбор величины временного шага из условия (14) гарантирует устойчивость разностной схемы (13).

Одним из основополагающих принципов теории разностных схем является принцип консервативности. Базируясь на этом принципе, определим величину насыщенности вытесняющей жидкости на галерее нагнетательных скважин. Для достижения этой цели выпишем закон сохранения массы вытесняющей жидкости при переходе с одного временного слоя на следующий на выбранной пространственной сетке:

Г г Ь = т Г в Ь + т о

и I I г г С

т

1 = О I - О

где сумма в левой части означает массу воды в текущий момент времени; сумма в правой части - масса воды в предыдущий момент времени; слагаемое тс>о - есть масса поды, закачанная в пласт за интервал времени г. В том случае, если для опреде ленпя динамики распределения насыщенности применяется явная разнос тая схема "уголок" (13), то выписанное соотношение приводится к виду.

гп^Ё-л^з + тОф = то

2 о 2 о о о о

Отсюда имеем следующий алгоритм для вычисления величины насыщенности вытесняющей фазы на галерее нагнетательных скважин:

2Х

э = Б И—гО (1-10 ) . о о тп о1

Естественно, при использовании подобного граничного условия модифицированная разностная схема "уголок" служит более точной математической моделью изучаемого процесса, чем классическая задача Баклея-Леверетта, поскольку в последней при величине насыщенности на галерее нагнетательных скважин б(0,Ь)>б" определяющее уравнение вырождается.

В разделе 3.2 методами механики многофазных сред построена эффективно численно реализуемая математическая модель совместного течения несмешивающихся сжимаемых жидкостей в деформируемой пористой среде:

дэ б др д/ к дрл

и — + га ---= — —г _ , х€ (0,1], Ь>0, (15)

°дь К дt <5х1М» 1дх>

(Б 1-Б\др д, к к -V др'

Х€(0,1), t>0. (16)

Вычислительные алгоритмы построены следующим образом: из первого уравнения системы определяется распределение насыщенности, а из второго уравнения распределение давления. Здесь представлены разностные схемы, в которых смешанная задача Кожи относительно распределения насыщенности аппроксимирована с помощью явной схемы "уголок" и чисто неявной разностной схемы "уголок". Второе уравнение исходной системы в обоих случаях аппроксимировано с помощью чисто неявной дивергентной разностной схемы сквозного счета.

Представлена также и математическая модель совместного плоскопараллельного течения двух несмешивающихся сжимаемых жидкостей в упругодеформируемой пористой среде с учетом действия капиллярных сил, представляющая собой систему эволюционных уравнений с частными производными:

дэ г, б 1 \др 1-б др

г, я 1 ч др^ 1-б -| др,

'■'■к л1 К 'дь К га

-+Б

дt "-Ч

с о т си

к дБ др к д2р

--1--- + х€(0,1], ь>0.

иг <1б дх дх ц> 1дх2

я [(!_ + .

°1[К К }дЬ К дЬ *

1 2 1

д

к

дх

При этом динамическое равновесие в пористой среде, заполненной двумя движущимися несмешивающимися жидкостями, возможно благодаря наличию капиллярного скачка:

где функция р (б) при заданных характеристиках пористой среды и заданной пары флюидов выражается через эмпирическую функцию Леверетта (И. А. Чарный).

Раздел 3.3 посвящен построению и численной реализации неизотермической модели двухфазного течения в пористой среде. Исследован вторичный метод добычи нефти посредством закачки подогретой воды. Результаты счета показали медленную скорость движения температурной волны, оказывающей существенное влияние на вязкость вытесняемой нефти. На скорость и величину скачка насыщенности подогрев воды не влияет.

Четвертая глава работы посвящена численному исследованию некоторых актуальных проблем тепло- и массопереноса с учетом фазовых переходов встречающихся при освоении северных территорий. В разделе 4.1 с помощью разработанного вычислительного алгоритма, основанного на геометрическом расщеплении и, на разностной схеме сквозного счета, численно исследованы процесс формирования вечной мерзлоты и теплообмен наземных -зданий и инженерных сооружений с многолетнемерзлыми сезонно-протаиваю-щими основаниями слоистой структуры. Эти задачи характеризуются непостоянным числом поверхностей фазового перехода. В том случае, если расстояние между зданиями небольшое, то через несколько лет их чаии протаивания сливаются, образуя одну общую чажу для обоих зданий. В пространстве между зданиями появляется сезонно-промерзающий слой грунта (см. рис.3), мощность которого, уменьшаясь с течением времени, достигает своего предельного состояния.

Рг ~ Р, =

(19)

3 3 в 10 13 13 1а 20 23 23

Рис. 3.

В разделе 4. 2 разработан эффективный вычислительный алгоритм решения задачи о взаимодействии вентиляционного воздуха, подаваемого в горизонтальную подземную выработку, с вметающим массивом многолетнемерзлых горных пород. Проведено численное исследование изучаемого процесса при различных значениях входных параметров.

Раздел 4.3 посвящен численному исследованию процесса искусственного замораживания горных пород, насыщенных фильтрующимися подземными водами. Математическая модель изучаемого процесса построена в предположении, что фильтрующая горная порода замораживается с помощью вертикальной цилиндрической выработки, а течение подземных вод плоскопараллельное. Вследствие теплообмена вокруг цилиндра образуется и растет ледопородное тело. При конструировании вычислительного алгоритма использованы методы фиктивных областей, геометрического расщепления и разностная схема сквозного счета, разработанная в разделе 1.3. Проведенные численные расчеты показали, что при малых значениях времени поверхность раздела мерзлой и талой

зон почти не отличается от окружности. С ростом времени ледопородное тело принимает яйцеобразную форму. При дальнейшем увеличении времени наблюдается сильный рост толщины замороженного слоя в кормовой части (Рис.4). На рисунке приведены положения поверхности раздела талой и мерзлой зон в моменты времени: 1-0; 2-1.5; 3-7.9; 4-28.4; 5-123 и 6-365 (сут. ).

V.n

Рис. 4.

Представленные в настоящей главе математические модели и вычислительные алгоритмы реализованы в виде удобных для рядового пользователя надежных комплексов прикладных программ для персональных компьютеров, совместимых с ibm pc/at и выше. Все комплексы имеют модульную структуру, управление их функционированием осуществляется с помощью последовательно разворачивающихся ветрикальных меню.

Пятая глава посвящена численной реализации нестандартных математических моделей процессов тепло- и массопереноса с фазовыми переходами, протекающими при непостоянных температурах, определяемых в ходе решения задачи. В разделе 5. 1 разработана разностная схема с ловлей фронта фазового перехода в узел пространственной сетки, пригодная для численного

исследования термодиффузионной модели замораживания толщи водного раствора соли. Численные расчеты показали, как правило, неадекватность рассматриваемой фронтовой модели изучаемому процессу. Типичная картина представлена на рис. 5, из которой видно "переохлаждение" рассола перед фронтом фазового перехода: равновесная температура (кривая 2), вычисленная по распределению концентрации соли в смеси, лежит выше температуры рассола (кривая 1).

»,°С ЭО»С

Рис. а.

Разработке разностных методов решения новых математических моделей замораживания пористых сред, насыщенных водным раствором соли, посвяаен раздел 5. 2. Особенность рассматриваемых моделей заключается в предположении существования протяженной области фазовых переходов, в которой лед и вода сосуществуют в состоянии термодинамического равновесия. Построены и численно реализованы разностные схемы, обладающие суммарной аппроксимацией на решениях исходных задач. На рис.6 и рис.? представлены распределения температуры (кривая 1). концентрации соли (кривая 2) и влажности (кривая 3) для двух

случаев взаимодействия рассола с частично мерзлым грунтом.

Т<°С ЮмС, и

Рис. 6.

Рис. 7.

В разделе 5. 3 численно реализована математическая модель замораживания жидкости в замкнутом объеме. Здесь температура фазового перехода зависит от величины давления в рассматриваемом объеме. Повышение давления инициировано разностью плотностей воды и льда. В модели учитываются деформируемость льда и сжимаемость воды.

Большинство рассмотренных в работе математических моделей и вычислительных алгоритмов реализованы в виде удобных для рядового пользователя надежных комплексов прикладных программ для персональных компьютеров, совместимых с 1вм рс/ат-3860Х и выше. Все программы написаны на языке Паскаль, имеют модульную структуру и могут быть использованы проектировщиками строительной, нефте- газодобывающей и горнодобывающей промышлен-ностей.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Бондарев Э. А. , Васильев В. И. К численному решению задач типа Веригина. // Численное решение задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР. 1977. С. 25-29.

2. Охлопков Н. М. , Васильев В. И. , Попов Ф. С. , Капитонова Т. А., Петров Е.Е. Численные методы решения задач теплообмена подземных и наземных сооружений с мерзлым грунтом. // Методы механики сплошных сред. Якутск. 1977. С. 5-18.

3. Васильев В. И. , Михайлова Р. С. Численное решение задач конвективной диффузии. // Процессы переноса в деформируемых пористых средах. Якутск. 1980. С. 102-110.

4. Васильев В. И. О двуточечных краевых задачах общего вида. // Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики. М. 1981. С. 42-44.

5. Васильев В. И. О линейных двухслойных разностных схемах для задач нестационарной фильтрации. // ДАН БССР. 1983. Т. 27. № 4. С. 304-306.

6. Бондарев Э. А. , Васильев В. И. 0 причинах пульсации давления при замерзании воды в замкнутом объеме. // Тезисы докладов П Всесоюзной конференции по механике и физике льда. М. 1983. С. 37.

7. Бондарев Э. А. , Васильев В. И. Задача Стефана с неизвес-1 -i^ii температурой фазового перехода. // Тепломассообмен УП. Т. 7. Минск. 1984. С. 155-159.

8. Бондарев Э. А. , Васильев В. И. Численное решение одного класса неклассических краевых задач теории фильтрации. // Механика .многофазных сред. Новосибирск. 1985. С. 26-32.

9. Бондарев 3. А. , Васильев В. И. Влияние характера деформирования твердой фазы на кристглизацию в замкнутом объеме. // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Киев: ИМ АН УССР. 1985. С. 40-42.

10. Васильев В.И. Численное интегрирование дифференциальных уравнений с нелокальными граничными условиями. Якутск: Изд. ЯФ СО АН СССР. 1985. 159 с.

И. Васильев В. И. К численному решению краевых задач для линейных параболических уравнений с нелинейными граничными условиями // Изв. АН БССР, сер. физ. -мат. наук. 1985. №5. С. 41-45.

12. Васильев В. И. Линейные разностные схемы для краевых задач с неизвестными границами. // Дифференциальные уравнения и их применение. Вып. 37. Вильнюс. 1985. С. 16-26.

13. Бондарев Э. А. , Васильев В. И. , Мамбетов У.М. , Пазылов М. Методы решения задач фильтрации с подвижными границами. // Тезисы докладов У1 Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Ташкент. 1986. С. 124-125.

14. Бондарев 3. А. , Васильев В. И. , Файко Л. И. Динамика температурных полей при нарастании плавучего льда. // Проблемы инженерной гляциологии. Новосибирск: Наука. 1986. С.39-42.

15. Бондарев Э. А. , Васильев В. И. Искусственное замораживание фильтрующих грунтов. // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск 1987. С. 38-47.

16. Бондарев Э. А. , Васильев В. И. , Воеводин А. Ф. и др. Термогидродинамика систем (добычи и транспорта газа. Новосибирск: Наука. 1988. 272 cjj

17. Bondarev Е.А., Väsiliev V.l. Pecularities of soil freezing-thawing during periodical temperature changes on soil surfase. // Frost in geotechnical engineering. Espoo, Finland.

1989. Р. 209-218.

18. Бондарев Э. А. , Васильев В. И. Особенности математических моделей неизотермической фильтрации газа. Красноярск: Препринт ВЦ СО АН СССР. 1990. № 15. 38 с.

19. Бондарев Э. А. . Васильев В. И. Особенности математического моделирования неизотермической фильтрации. // Нефтегазо-ностность и вопросы освоения месторождений нефти и газа Якутии. Сборник научных трудов. Якутск: ЯНЦ СО АН СССР. 1990. С. 128-142.

20. Васильев В.И. 0 фронтовой модели замораживания толщи раствора // Матем. заметки ЯГУ. 1994. Вып. 1. С. 136-144.

21. Васильев В. И. , Тимофеева Т. С. Численное моделирование двухфазного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей // Ученые записки ЯГУ. Серия: математика, физика. 1994. С. 51-62.

23. Васильев В. И. Численное моделирование процесса неизотермической фильтрации природного газа // Тезисы докладов Международной конференции по математическому моделированию. Якутск. 1994. С. 131-133.

23. Васильев В. И. , Максимов А. М. , Петров Е. Е. , Цыпкин Г. Г. Математическая модель замерзания-таяния засоленного мерзлого грунта // Тезисы докладов Международной конференции по математическому моделированию. Якутск. 1994. С. 133-134.