автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование многомерных задач геофильтрации

ВВЕДЕНИЕ.

I. ПОСТАНОВКИ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГЕОФИЛЬТРАЦИИ

1.1 Обзор существующих моделей.

1.2 Физические основы теории фильтрации.

1.2.1 Грунты. Почвы.

1.2.2 Состояние воды в грунтах.

1.2.3 Напор.

1.2.4 Скорость фильтрации. Закон Дарси. Коэффициент фильтрации.

1.2.5 Обобщение закона Дарси.

1.3 Математические модели фильтрации.

1.3.1 Уравнение неразрывности в насыщенных и ненасыщенных грунтах.

1.3.2 Уравнения фильтрации.

1.33 Фильтрация в слоистых грунтах.

1.3.4 Граничные и начальные условия.

1.3.5 Плановая и профильная фильтрация.

1.3.6 Постановка задачи для реальной области

II. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГЕОФИЛЬТРАЦИИ.

2.1 Разностные схемы для модельных задач геофильтрации.

2.2 Локально-одномерные и локально-двумерные схемы для задач геофи л ьтра ции.

2.2.1 Локально-одномерный метод.

2.2.2 Локально-двумерные схемы для многомерного уравнения фильтрации в декартовых координатах.

2.3 Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностных краевых задач геофильтрации.

III. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГЕОФИЛЬТРАЦИИ.

3.1 Прогноз процессов фильтрации протекающих в грунтах.

3.2 Результаты численного моделирования.

3.2.1 Численный эксперимент для задачи фильтрации в модельной области.

3.2.2 Численное решение нестационарной трехмерной задачи геофильтрации для зоны мыса Таганий Рог.

3.2.3 Анализ результатов расчетов

3.3 Сравнение эффективности итерационных методов.

Многочисленные научные публикации и экспериментальные исследования свидетельствуют о необходимости всестороннего изучения процессов геофильтрации. Для успешного развития отраслей народного хозяйства, связанных с мелиорацией земель, строительством гидротехнических сооружений, оценкой запасов подземных вод, охраной окружающей среды, защитой территорий от подтоплений и др., необходимо правильно определять существующие гидрогеологические условия и с требуемой точностью их прогнозировать. Надежная количественная оценка процессов тепло и массопереноса в ненасыщенных и насыщенных грунтах может быть получена методами математического моделирования и вычислительного эксперимента. Сущность математического моделирования состоит в замене объекта исследования соответствующей математической моделью и изучение её с помощью ЭВМ. Работа с моделью позволяет оперативно получить подробную и наглядную информацию, вскрывающую внутренние связи объекта, его качественные характеристики и количественные параметры, многократно уменьшить материальные и трудовые затраты, присущие традиционным экспериментальным подходам. Даёт возможность учесть многочисленные связи и факторы, влияющие на * протекающие в объекте процессы, исследовать объект в реальных и экстремальных условиях и тем самым решить многие проблемы, связанные с экологической безопасностью.

Само по себе математическое моделирование порождает целый комплекс вопросов, начиная с анализа физических особенностей исследуемого объекта, разработки численных алгоритмов, создания проблемно ориентированного программного обеспечения и завершая анализом и интерпретацией результатов вычислительного эксперимента. В связи с появлением ЭВМ большой мощности значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента.

Задачи, связанные с процессом фильтрации подземных вод, относятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений эллиптического или параболического типа. Как правило, рассматриваемые в различной литературе задачи геофильтрации — двумерные (часто — плановые, изредка профильные), что объясняется спецификой гидрогеологических условий. Природное многообразие факторов, формирующих подземный поток, не может быть отражено в одномерной модели без грубых искажений. В связи с этим возникает необходимость построения многомерных моделей, отражающих процессы фильтрации в грунтах. Однако, современный уровень опытно- фильтрационных полевых исследований зачастую не позволяет получить необходимый объем информации для построения пространственной трехмерной модели, поэтому, в случае сложного строения водоносной толщи (планово- пространственный поток) расчетная схема представляется в виде набора слоев, математической моделью которой является система двумерных и одномерных уравнений, поскольку водоносные горизонты в слоистой толще имеют, как правило, не совпадающие друг с другом напоры.

В основе методики решения задач геофильтрации лежат численные методы решения дифференциальных уравнений. В данной работе рассматриваются численные методы, основанные на конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений.

Работа посвящена развитию методов решения дифференциальных уравнений параболического типа с переменными коэффициентами, возникающих при математическом моделировании фильтрационных течений в пористых средах.

Актуальность темы обусловлена необходимостью моделирования изменения уровня грунтовых вод с учетом местных особенностей строения грунта с целью предотвращения аварийных ситуаций, связанных с процессами геофильтрации.

Целью работы явилось развитие математических моделей фильтрации жидкости в пористых средах. При этом решались следующие задачи:

- дискретизация исходной модели;

- разработка алгоритмов реализации полученной разностной схемы -итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений;

- Проведение вычислительного эксперимента для модельной области правильной формы (параллелепипед) и реальной области сложной формы -мыс Таганий Рог.

Методы исследования. В диссертации для решения поставленных задач используется аппарат теории разностных схем. Применяемые методы базируются на теории аддитивных схем, на фундаментальном понятии суммарной аппроксимации. Исследование разностных схем базируется на использовании общей теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем.

Научная новизна. В диссертационной работе построены двух-однокомпонентные схемы расщепления (ЛДС) для пространственно-трехмерных задач геофильтрации в областях сложной формы, которые допускают экономичную численную реализацию. Построен вариант модифицированного попеременно - треугольного метода, обладающий высокой скоростью сходимости для систем разностных уравнений, матрицы которых имеют существенное диагональное преобладание, и может являться основным для реализации ЛДС. В диссертационной работе построена прогнозная модель геофильтрации для зоны мыса Таганий Рог, позволяющая учитывать различные внешние факторы, влияющие на положение грунтовых вод.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением обоснованных методов исследования, использованием в численных экспериментах надежных алгоритмов и отлаженных программ. Для оценки надежности расчетных данных была проведена серия методических вычислительных экспериментов. Изучались различные постановки задач и краевых условий. Данные, полученные на разных сетках аппроксимации, для различных временных интервалов сравнивались с результатами полученными по другим схемам и с имеющимися данными по наблюдательным скважинам. Полученные результаты были согласованными между собой.

Практическая значимость выполненной работы заключается в том, что методы и программный инструментарий, разработанные в диссертации могут быть использованы для численного моделирования различных режимов течения грунтовых вод. А так же позволяют прогнозировать изменения уровня грунтовых вод в зоне мыса Таганий Рог. Данная модель позволяет исследовать зависимость изменения уровня грунтовых вод в зависимости от различных метеорологических и климатических факторов, моделировать последствия прорывов городского водопровода, учитывать эксплуатацию водоносного горизонта посредством скважин. После верификации предложенной модели, уточнения коэффициентов проводимости, граничных и начальных условий, её можно использовать для решения практических задач связанных с выбором места расположения водозаборных сооружений, а также в производственных и научных гидрогеологических организациях для решения задач подземной гидродинамики.

Апробация работы. Основные положения и выводы, содержащиеся в диссертационной работе, докладывались автором на Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, РЖ-Фурье спектроскопия и их комбинации) для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (г.Ростов-на-Дону, 2001г.); на научных семинарах «Математическое моделирование экологических систем» кафедры Высшей Математики Таганрогского Радиотехнического Университета (2000-2003г).

Краткое содержание работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены методы решения дифференциальных уравнений параболического типа с переменными коэффициентами, возникающих при математическом моделировании фильтрационных течений в пористых средах. Были построены локально-двухмерно-одномерные схемы (ЛДС), которые во многих практически важных случаях форм областей и зависимостей для коэффициентов, входящих в уравнение фильтрации, обладают лучшей реальной точностью по сравнению с ЛОС, являясь экономичными или квазиэкономичными.

Построен вариант модифицированного попеременно-треугольного метода (МГГГМ) с чебышевским набором параметров, требующий 0(Ы5/4) арифметических операций, где N — число узлов сетки, при аппроксимации трехмерной задачи фильтрации ЛДС, если шаг т по времени удовлетворяет условию т=0(||11||) где ||Ь||- максимальный из шагов сетки. Данный вариант МПТМ можно рассматривать в качестве базового для реализации ЛДС. Метод позволил существенно — в 2,5-5-9 раз сократить число итераций по сравнению с другими известными итерационными методами. Проведенные численные эксперименты для модельной области подтвердили его эффективность.

В диссертационной работе предложена нестационарная прогнозная трехмерная модель движения подземных вод применительно к реальной области - зоны мыса Таганий Рог. Проведенные исследования позволили выявить основные количественные характеристики, участвующие в водном балансе горизонта на данном участке.

Модель геофильтрации позволяет исследовать зависимость изменения свободной поверхности (уровня грунтовых вод) от количества осадков, дождевания, поливов, расположения водозаборных скважин, прорывов городского водопровода и других источников и стоков. Привязка модели к конкретным областям фильтрации осуществляется на уровне входной информации. Это значит, что для практического использования модели требуется создание специальной информационной базы, содержащей сведения о геологических и гидрогеологических характеристиках исследуемой зоны.

Полученные результаты численных экспериментов показывают качественно верную картину движения свободной поверхности (уровня грунтовых вод).

Методы и программный инструментарий, разработанные в диссертации, могут быть использованы для численного моделирования различных режимов течения грунтовых вод.

1. Аксенов С.Н., Истомин В. И., Смирнов A.C., Решение плоских задач установившейся фильтрации методом конечных элементов. Труды координационных совещаний по гидротехнике. Вып.113.Л.,1977, с 43-47.

2. Аравин В.Н., Нумеров С.Б. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой, пористой среде. М., Гостехиздат, 1953, 616 с.

3. Афонин A.A. Решение задачи о свободной поверхности стационарной фильтрации в дамбе с вертикальными границами. Материалы XLVII Научно-технической конференции. Таганрог. Известия ТРТУ. №1, 2002. с. 212.

4. Байокки К., Капело. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука. 1988. 445с.

5. Байокки К., Мадженес Э. О задачах со свободной границей, связанных с течением жидкости через пористые материалы // Успехи мат. наук —1979.

6. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984.

7. Белов Ю.Я. О расщеплении параболических уравнений.// Численные методы механики сплошной среды. 1884, № 2.

8. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.:Наука,1984,520 с.

9. Береславский Э.Н., Панасенко Л.А., Самигулин И.З., Применение метода конечных элементов к решению задач теории фильтрации. Ужгород, Изд. Ужгородского ун-та, 1976, с.7-8.

10. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

11. Бугров А.Н. Итерационные схемы решения сеточных уравнений, возникающих в методе фиктивных областей. // Численный анализ. Новосибирск. 1978, с. 10-23.

12. Бугров А.Н. Метод фиктивных областей для уравнений с частными производными эллиптического типа. // Труды V Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. И. Новосибирск, 1978, с. 24-36.

13. Вабишевич П.Н. О решении задачи со свободной границей для эллиптических уравнений. //ЖВМ и МФ. 1982, Т. 22, № 5. с. 1109-1117.

14. Вабишевич П.Н. Численное решение задачи стационарной фильтрации со свободной границей. Разностные методы математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984, с.128-133.

15. Вабишевич П.Н., Самарский A.A. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции-диффузии.//Ж.Вычислит. мат. и мат.физ.1998.-T.37.-c. 182-186.

16. Васильев B.C., Целых А.Н. Принятие прогнозных решений в экологических задачах на основе методов численного моделирования.-Ростов-на-Дону. Изд-во Северо-Кавказского научного центра высшей школы.1999.-48с.

17. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988,-512 с.

18. Войцеховский С.А., Гаврилюк И.П., Макаров B.JI. О методе фиктивных областей для решения задач математической физики в областях сложной формы и его реализация. Вычислительная и прикладная математика, №51. Киев: Вища школа, 1983, с. 23-34.

19. Гладкий JI.B, Ляшко И.И., Мистецкий Г.Е. Алгоритмизация и численный расчет фильтрационных схем. Киев: Вища школа. 1981, 251с.

20. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971.

21. Годунов С.К. Элементы механики сплошных сред. М.: Наука, 1978.-303с.

22. Демченко Л.И., Лычман В.В., Мистецкий Г.Е. О применение метода конечных элементов к решению некоторых задач фильтрации.// Вычисл. и прикл. математика. 1983.-Вып.49. С.84-90.

23. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных параболических уравнений с переменными коэффициентами, обладающие вторым порядком точности. Вычисл. методы и пограмир. Вып. III.- М.: Изд-во МГУ, 1965.

24. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для нестационарных уравнений. ДАН СССР. 1962, № 1.

25. Дьяконов Е.Г. Экономические разностные методы, основанные на расщеплении разностного оператора, для некоторых систем уравнений в частных производных.//Вычислит. методы и программирование. Вып. VI., М.: Изд-во МГУ, 1967.

26. Ильин А М. Устойчивость разностных схем задачи Коши для систем дифференциальных уравнений в частных производных. ДАН СССР. 1965, №3.

27. Ильин В.П. Разностные методы решения эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1970.

28. Ильинский Н.Б., Фомин В.М., Шешуков Е.Г., Применение метода Бергмана-Назарова к решению уравнений нелинейной теории фильтрации. — В кн.: Вычислительная и прикладная математика. Вып. 17. Изд. Киевского ун-та, 1972, с.3-18.

29. Капорин И.Е.Николаев Е.С. Метод фиктивных неизвестных — сопряженных направлений для разностных эллиптических задач с переменными коэффициентами.//Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 7, с. 1202-1207.

30. Карчевский М.М., Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. О разностных схемах для уравнения нестационарной нелинейной фильтрации. — Дифференциальные уравнения, №9, 1979, с.1693-1706.

31. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир. 1983.

32. Кобнов В.Ц. Об итерационном методе расщепления. Численные методы механики сплошной среды. 1976, № 5.

33. Ковени В.М. Применение метода расщепления для построения экономичных разностных схем. ЖВМ и МФ. 1980, № 3 ,с. 20.

34. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск. :Изд-во НГУ, 1972.

35. Коновалов А.Н. Метод расщепления по физическим процессам в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск, 1972.

36. Копченов В.Д. Метод фиктивных областей для второй и третьей краевых задач. Труды МИАН СССР. 1974. Т. 131. с. 119-127.

37. Костерин A.B. Об одном случае фильтрации под плотиной в неоднородном грунте. — Изд.ВУЗов. Математика. Изд. Казанского ун-та, 1974, №4, с.40-42.

38. Котляр J1.M., Скворцов Э.В. Плоские стационарные задачи фильтрации жидкости с предельным градиентом. Казань: Изд-во Казанского университета, 1978.

39. Крукиер JI.A., Шевченко И,В. Моделирование гравитационного режима течения грунтовых вод//УШ Всероссийская школа-семинар, «Современные проблемы математического моделирования»,поселок Дюрсо, изд-во РГУ,1999, с.125-131.

40. Кузнецов H.H., Ривкинд В.Я. Решение одной задачи фильтрации. Численные методы механики сплошной среды. 1974, № 4.

41. Кучеров А.Б. Попеременно-треугольный метод для систем с симметричной ленточной S-матрицей- В кн.: Численные методы линейной алгебры . М.: Изд-во МГУ ,1982, с. 94-102.

42. Кучеров А.Б., Макаров М.М. Варианты попеременно- треугольного метода приближенной факторизации для решения сеточных эллиптических уравнений. Численные методы решения задач математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1986.

43. Кучеров А.Б., Николаев Е.С. Параллельные алгоритмы итерационных методов с факторизованным оператором для решения эллиптических краевых задач. Дифференц. Уравнения, 1984, Т. 20, № 7. с. 1230-1237.

44. Кучеров А.Б., Николаев Е.С. Попеременно-треугольный метод решения сеточных эллиптических уравнений в прямоугольнике. — Журнал вычислительной математики и математической физики, т. 16, N 5, 1976, с 1164-1174.

45. Кучеров А.Б., Николаев Е.С. Попеременно-треугольный итерационный метод решения сеточных уравнений в прямоугольнике. ЖВМ и МФ.1976, Т. 16, № 5, с. 1164-1174.

46. Кучеров А.Б., Николаев Е.С. Попеременно-треугольный итерационный метод решения сеточных эллиптических уравнений в произвольной области. ЖВМ и МФ. 1977, Т. 17, № 3, с 664-675.

47. Лаврик В.И. О двух краевых задачах неустановившейся конвективной диффузии в случае фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью. — УМЖ, 1976,28, №5, с.677-681.

48. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.:Наука,1973,407с.

49. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.-М.: Наука, 1973.-576с.

50. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. -М.: Наука, 1967.-736с.

51. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М: Наука, 1986,736с

52. Ляшко А.Д., Карачевский М.М. Разностные методы решения нелинейных задач теории фильтрации. Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 1983. № 7, с. 28-45.

53. Ляшко И.И., Великоиваненко И.М. Численно-аналитическое решение краевых задач теории фильтрации. К., «Наукова Думка», 1973, 264 с.

54. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло и массопереноса в пористых средах. Киев. Наукова Думка. 1991.

55. Макаров М.М. О решении сеточных эллиптических уравнений методом приближенной факторизации. Численные методы решения задач математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1986.

56. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.: Недра, 1976, 264 е., с илл.

57. Маринова И.В. Математическое моделирование задачи геофильтрации со свободной границей в зоне мыса Таганий Рог.// Материалы ХЬУН Научно-технической конференции. Таганрог. Известия ТРТУ. №1, 2002. с. 216.

58. Маринова И.В. Об уравнениях движения жидкости в пористой среде.// Известия ТРТУ. Таганрог: изд-во Таганрогский гос. ун-т, -2000. с.75-78.

59. Маринова И.В. Численное решение некоторых задач геофильтрации.// Известия ТРТУ. Таганрог: изд-во Таганрогский гос. ун-т, -2003, с. 172-173.

60. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

61. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

62. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука. 1988,263 с.

63. Мейланов Р.П. К теории фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой.// Письма в Журнал технической физики. 1996.Т.22, №23.-с.40-43.

64. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М. «Наука», 1974, 512 с.

65. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.-301 с.

66. Нахушев А.М.Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000.-299 с.

67. О состоянии окружающей среды г. Таганрога. Сб. ст. Таганрог. 1997 г.

68. О состоянии окружающей среды г. Таганрога. Сб. ст. Таганрог. 1998 г.

69. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука,1977.-664с.

70. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). М., «Наука»,1969, 545 с.

71. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.

72. Самарский A.A. Исследование точности разностных схем для задач с обобщенными решениями. Актуальные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1984. с. 174-183.

73. Самарский A.A. Об одном экономичном алгоритме численного решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений.- Журнал вычислительной математики и математической физики, т.4, N 3, 1964, с 580585.

74. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука, 1983.-654с.

75. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.:Наука,1976,352с.

76. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973,415 с.

77. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.гНаука,1989,432с.

78. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.:Наука,1978.-590с.

79. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980.

80. Сербина Л.И. Анализ математической модели динамики грунтовых вод.// Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2002.№2. с 19-21.

81. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002.-144с.

82. Сербина Л.И. Об одной математической модели безнапорного движения грунтовых вод.// Известия КБНЦ РАН. 2002.№1(8). с. 94-102.

83. Сербина Л.И. Об одной проблеме длчя линеаризованного уравнения Буссинеска с нелокальным условием Самарского // Дифференц. Уравнения.-2002. Т.38, №8.-c.l 113-1119.

84. Стампаккья Г.О. Фильтрация жидкости через пористую среду с переменным поперечным сечением //Успехи мат. Наук.-1974.-29, №4.-с.89-101.

85. Сухинов А.И. Модифицированный попеременно-треугольный метод для задач теплопроводности и фильтрации. В кн.: Вычислительные системы и алгоритмы.- Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ,1984, с. 35-42.

86. Сухинов А.И., Харина О.Д. О параллельном алгоритме решения задачи фильтрации. — Электронное моделирование. Киев: Наукова Думка, т.5, №1, 1983, с.80-83.

87. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977 , 724с.

88. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений. Успехи математических наук, т. 18, вып.2, 1973, с 121-181.

89. Чарный И.А. Основы подземной гидравлики. М., Гостоптехиздат, 1956, 260с.

90. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М., Гостоптехиздат, 1963, 369с.

91. Чекалин А.Н., Шевченко В.А. Вычисление функции давления и водонасыщенности в многосвязной области. В кн.: Вычислительные методы и математическое обеспечение ЭВМ. Казань: Изд-во Казанского гос. Ун-та, 1979, с. 7-22.

92. Шаманский В.Е. Численное решение задач неустановившейся фильтрации со свободными поверхностями жидкости. ЖВМ и МФ. 1970, Т. 10, №2, с. 505-514.

93. Шаманский В.Е. Численное решение задач фильтрации грунтовых вод на ЭЦВМ. Киев : Наук. Думка, 1969.-375 с.

94. Яненко H.H., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, «Наука», 1967, 195 с.

95. Alt H.W. Numerical solution of steady-state porous flow free boundary problems. Numer. Math. 1980. V. 36, N 1. p.73-98.

96. D.Braess. The convergence rate of a multigrid method with Gauss-Seidel relaxation for the Poisson's eguation.- Multigrid Methods: Lecture Notes in Math., vol. 960.,1982, p.368-385.

97. G.W. Hedstrom, G.H. Rodrigue. Adaptive-grid methods for time dependent partial differential equations. — Multigrid Methods: Lecture Notes in Math., vol.960, 1982, p.474-484.

98. Hackbusch W. A fast iterative method for solving Poisson's equation in a general region. Lecture Notes in Math; vol.651, 1978, p.51-62.

99. O. Axelsson. On multigrid methods of the two- lewel type. Multigrid Methods: Lecture Notes in Math., vol.960,1982, p. 352-367.

100. Thatcher R.W., Askew S.L. A complementary solution to the dam problem. IMA J. Numer. Anal. 1982.V. 2, N 2. p.229-239.