автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование работы системы скважин в однородных и неоднородных слоях с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости

Введение

Глава 1. Постановка задачи о работе системы скважин в неоднородном слое с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости.

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Сведение задачи к основной системе интегральных и дифференциальных уравнений.

§1.3. Представление основной системы алгебраическими уравнениями

§ 1.4. Сведение основной системы уравнений к вычислению квадратур и системы разностных соотношений в случае модели «разноцветных» жидкостей

Глава 2. Математические модели плоскопараллельного движения границы к скважинам в однородных слоях.

§2.1. Одномерное (радиальное) продвижение границы

раздела жидкостей различной вязкости

§ 2.2. Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей

§2.3. Продвижение границы раздела жидкостей к центральной скважине с круговым контуром питания большого радиуса.

§ 2.4. Работа скважины с подвижной границей раздела жидкостей и каноническими контурами питания.

§2.5. Система скважин с первоначально каноническими подвижными границами раздела жидкостей.

§2.6. Скважина в слое, содержащем линию сброса и подвижную границу раздела жидкостей.

§2.7. Продвижение границы раздела жидкостей в случае заданных давлений на контурах скважины и питания.

Глава 3. Математические модели двумерных движений границы к скважине в неоднородных слоях.

§ 3.1. Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в слоях проводимости

Р = у* (s > о или s < 0).

§ 3.2. Продвижение границы раздела жидкостей в слое проводимости Р = y~s.

§ 3.3. Работа скважины с подвижной границей раздела жидкостей и каноническими контурами питания в слое проводимости Р — y~s.

§ 3.4. Работа скважины в слое проводимости Р — y~s с границами раздела жидкостей канонического вида в начальный момент времени

§3.5. Продвижение границы раздела жидкостей в слое проводимости Р = ys

§ 3.6. Продвижение границы раздела жидкостей при заданных давлений на контурах скважины и питания в неоднородном слое проводимости Р = y~s

Актуальность темы и обзор литературы. Эксплуатация нефтяных и газовых месторождений, водоносных слоев грунта, решение задач о совместной фильтрации загрязненной и незагрязненной жидкостей, значимых в вопросах охраны окружающей среды, а также исследование других процессов, в которых одна жидкость вытесняет другую, обусловили разработку математических моделей совместной фильтрации различных жидкостей.

Задачами, связанными с совместной фильтрацией двух и более жидкостей, занимались многие исследователи. В общем случае, когда жидкости имеют различные физические свойства, решить эти задачи чрезвычайно сложно. Поэтому был построен ряд моделей, позволяющий исследовать этот процесс. Рассмотрим эти модели в порядке возрастания их сложности.

Наиболее проста модель «разноцветных» жидкостей. В этой модели физические и механические свойства вытесняемой и вытесняющей жидкостей полагаются одинаковыми [36, 152]. Граница раздела «разноцветных» жидкостей представляет собой линию отмеченных частиц. Модель «разноцветных» жидкостей широко используется, так как позволяет получить решения задач в конечном виде.

В книге В.Н. Щелкачева [188] исследована плоская задача продвижения границы раздела «разноцветных» жидкостей в случае, когда область фильтрации ограничена линиями сброса. На основе проведенных исследований сформулированы рекомендации о наиболее выгодной расстановке скважин. Эти рекомендации приближенно скорректированы для случая различия вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей.

Пространственный случай перемещения водонефтяного контакта в однородном слое, без учета различия физических свойств воды и нефти, рассмотрен М.Д. Миллионщиковым [104]. Он изучил движение подошвенной воды к скважине, моделируемой пространственным стоком.

В общем виде параметрические уравнения движения границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородных слоях получены О.В. Голубевой [35, 36, 152]. В качестве примера она рассмотрела течение к совершенной скважине и к галерее с постоянным дебитом.

С помощью модели «разноцветных» жидкостей решено большое количество конкретных задач. Так в работе Б.Э. Казарновской и П.Я. Полубариновой - Кочиной [75] решена задача продвижения границы раздела «разноцветных» жидкостей в пластах в форме сферического купола и куполоцилиндрического свода, а в работе Б.Э. Казарновской [74] задача продвижения полосообразной нефтяной залежи большой протяженности к системе скважин, расположенных в линейном порядке параллельно контуру питания.

Случай перемещения водо - нефтяного контакта в наклонном пласте постоянной мощности рассмотрел Я.М. Сулейманов [164]. Плоской задаче стягивания контура нефтеносности к прямолинейной батарее скважин в пласте, состоящем из двух зон различной проницаемости, посвящены исследования [70, 71]. Причем в работе [71] рассмотрен случай системы скважин, состоящей из двух эксплуатационных и одного нагнетательного рядов, а в работе [70] рассмотрен случай цепочки равноудаленных скважин с попарно чередующимися дебитами. В этих работах границы раздела зон, ряды скважин и начальный контур нефтеносности параллельны.

Н.П. Петровым [111] изучено продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в слоях, связанных конформными преобразованиями.

В случае, когда течение подчиняется нелинейному закону фильтрации, продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей исследовано в трудах О.В. Голубевой и В.Ф. Пивня [37, 112, 114 - 119].

Исследование влияния на перемещение контура нефтеносности расстояния от непроницаемой границы до эксплуатационных скважин, расположенных в два ряда, выполнено в работе [34].

На основе одножидкостной системы В.Ф. Пивень [120] оценил размеры очага загрязнения при его вымывании поступательным потоком из заполненного отходами хранилища, расположенного в клиновидном слое. Рассмотрены конкретные случаи первоначальной границы очага загрязнения: эллипс и парабола. В работе [89] построены последовательные положения водо-нефтяного контакта при его продвижении к системе из трех скважин, в случае однородного слоя.

Исследовано продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородном слое, толщина которого изменяется по экспоненциальному закону в статье [25], а в [171] по степенному закону.

На основе одножидкостной системы изучено вытеснение нефти водой в площадных системах расстановки скважин [147].

В данной работе модель «разноцветных» жидкостей применена к решению новых задач (см. § 2.2 и § 3.1) и использована, как тестовая, при численном решении новых задач о движении жидкостей различной вязкости.

В случае первичной разработки нефтяного месторождения используется модель «поршневого» вытеснения. В этой модели одна жидкость вытесняет другую полностью, в результате чего граница раздела жидкостей является резкой. Вытесняющая и вытесняемая жидкости имеют различные физические свойства.

Наиболее полно исследованы одномерные задачи «поршневого» вытеснения, когда удается получить решения в конечном виде. Так, линейное и радиальное продвижение водо - нефтяного контакта, с учетом различия вязкостей воды и нефти, рассмотрено в однородных пластах в трудах [183, 188, 189, 203], в кусочно - однородных пластах в работе [194], в плоском пласте с неоднородной проницаемостью и пористостью в исследованиях [150]. Перемещение границы раздела воды и нефти в слабонаклоненных пластах изучено в [139].

Более подробный обзор одномерных задач за 40 - 60 годы можно найти в книгах [144, 153, 183].

Известны и более поздние исследования. Так, в статье [72] отыскивается неизвестная подвижная граница при фильтрации через деформируемую, чисто трещиноватую породу, в случае сжимаемых и несмешивающихся жидкостей; в работе [33] доказывается единственность решения задачи о изотермическом движении двух вязких жидкостей при отсутствии фазовых переходов; модель Н.Е. Жуковского рассмотрена в [НО]; в статье [113] рассмотрена нелинейная фильтрация жидкостей различной вязкости.

Для решения плоских и двумерных задач «поршневого» вытеснения многие исследователи используют ряд дополнительных условий, которые облегчают решение этих задач. В «поршневой» модели, предложенной J1.C. Лейбензоном, вязкость вытесняющей жидкости полагается равной нулю [97, 98], вследствие чего граница раздела жидкостей является контуром постоянного давления.

Для плоской задачи продвижения контура нефтеносности (контура постоянного давления) в однородном пласте

М. Маскетом [204] предложен путь его последовательного построения, требующий на каждом этапе определения давления в пласте. Рассмотрен случай, когда внутри контура нефтеносности имеется одна совершенная скважина.

В постановке JI.C. Лейбензона задача о продвижении водо -нефтяного контакта решена П.Я. Кочиной и Н.Н. Кочиной [86 — 88, 141 — 143] методами теории функции комплексного переменного. Нахождение последовательных положений водо -нефтяного контакта сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов ряда, определяющего функцию комплексного переменного, которая отображает неизвестную область течения на круг вспомогательной плоскости. В качестве границы, ограничивающей начальную область, занятую нефтью, выбирались полиномиальные кривые второго порядка: окружность и кардиоида. Найдены последовательные положения контура нефтеносности при его стягивании к единичной скважине и кольцевой батарее равнодебитных скважин, также приводятся аналитические формулы для времени заводнения скважин.

П.Я. Полубариновой - Кочиной было показано, что на водо -нефтяном контакте по мере продвижения (до прорыва воды в скважину) возникает точка заострения. Для случая области фильтрации, ограниченной полиномиальной кривой, JI.A. Галиным, несколько другим методом, также установлено, что возникновение точки заострения связано с потерей однолистности решения [32]. Задачи, связанные с образованием точек заострения, исследуются в работах [165, 176, 196, 198 - 200, 207, 208].

Теоретический результат об образовании точек заострения до того, как вытесняющая жидкость попадет в скважину, не подтвердился в экспериментах, проведенных на горизонтальном щелевом лотке [14 — 16, 146] П.Я. Полубариновой- Кочиной и А.Р. Шкирич [145], В.Л. Даниловым и Ю.А. Тепловым [62]. Объясняется это явление неучетом влияния поверхностного натяжения и сил инерции. Так, П.Я. Полубариновой - Кочиной [145] установлено, что при учете сил инерции в уравнениях фильтрации в окрестности теоретической точки возврата вместо бесконечно большой скорости движения границы раздела реализуется очень большая, но конечная скорость. Устранение точки возврата при учете межфазного натяжения в модели движения вязкой жидкости в узкой щели показано B.JI. Даниловым и Э.В. Скворцовым [63].

Случай, когда начальная область фильтрации представляет собой полуплоскость, рассмотрен в статьях П.П. Куфарева и Ю.П. Виноградова [94] и Н.А. Котеленца [84]. Здесь получены решения о продвижении контура нефтеносности к единичной скважине. В работе П.П. Куфарева [92] рассматривается стягивание контура нефтеносности к прямолинейной цепочке скважин в случае, когда первоначальная область фильтрации моделируется прямолинейной полосой параллельной цепочке скважин. Кроме того, П.П. Куфарев решил задачу о стягивании контура нефтеносности, первоначально имеющего форму окружности, к эксцентричной скважине [91] и к системе скважин [93].

Методом П.Я. Полубариновой - Кочиной В.А. Карпычев [77] решал задачу о продвижении границы раздела между нефтью и водой в двухслойном пласте. В кусочно - однородном пласте, состоящем из пяти зон, вытеснение нефти газом исследовано Ф.Г. Огуджалиевым и Н.М. Гашиевым [109]. Батареи скважин расположены в первой и пятой зонах.

А. Р. Цицкишвили [177] предложил обобщение метода П.Я. Полубариновой - Кочиной на задачи двумерной фильтрации в односвязных областях, границы которых, наряду с известными границами (прямые, полупрямые, отрезки), содержат неизвестные (кривые депрессии, линии раздела двух жидкостей).

С. Ричардсон [207, 208] задачу о вытеснении несжимаемых жидкостей в пористой среде в постановке JI.C. Лейбензона решал методом нахождения бесконечной серии первых интегралов движений границы раздела.

Другой подход, позволяющий получить приближенные решения двумерных задач «поршневого» вытеснения, развит И.А. Чарным [180, 181, 183]. Этот подход состоит в том, что в рамках модели «поршневого» вытеснения полагается неизменность (жесткость) трубок тока в процессе вытеснения. Такой подход решения плоских задач «поршневого» вытеснения получил название метода жестких трубок тока.

Используя метод жестких трубок тока, И.А. Чарным в трудах [180, 181, 183] решены задачи фильтрации к совершенной скважине в полубесконечном пласте, в работах [95, 96, 181, 186] изучены задачи о наивыгоднейшей расстановке батареи скважин, в исследованиях [165, 187] решена задача стягивания водо нефтяного контакта в случае первоначальной круговой границы раздела воды и нефти к эксцентричной скважине. Использованные в методе жестких трубок тока допущения проверены в работе [90] на электрогенераторе.

Наибольший успех в решении задач «поршневого» вытеснения одной жидкости другой был достигнут методами распределения на подвижной границе потенциалов простого и двойного слоя. В теории фильтрации эти методы первоначально использовали для решения задач сопряжения в кусочно - однородных пластах [27, 28, 31, 39, 40, 167 — 169]. Впервые потенциал простого слоя для решения обратных задач (см. ниже) с подвижной границей применил Г.Г. Тумашев [166].

Подход Г.Г. Тумашева был развит B.JI. Даниловым, который предложил способ сведения задач взаимного вытеснения несжимаемых жидкостей к одному или системе интегро — дифференциальных уравнений [44, 45, 51, 52, 68, 153, 195]. Подвижную границу он моделировал потенциалом простого слоя. Для решения интегро - дифференциального уравнения предложены методы: линеаризации, степенных рядов по времени, графо - аналитический, конечно - разностный и последовательного приближения. Предложенный метод позволил решить большой круг задач вытеснения. Рассмотрим их.

Плоские задачи «поршневого» вытеснения нефти водой из недеформируемого пласта постоянной мощности и проницаемости рассмотрены в работах B.J1. Данилова, В.В. Скворцова и A.M. Власова [44, 45, 51]. Интегро - дифференциальное уравнение в этих работах записано относительно искомой функции, описывающей границу раздела жидкостей в каждый момент времени. Особенности численного решения интегро -дифференциального уравнения накладывают ограничения на область, ограниченную контуром питания: она должна быть звездной.

Изучено продвижение контура нефтеносности, первоначально имеющего форму окружности, к эксцентрично расположенной скважине [52, 60, 61, 159, 160]. Установлено влияние вязкостей нефти и воды на стягивание контура нефтеносности и время обводнения скважин. В работах [52, 68] рассмотрен случай продвижения первоначально прямолинейного контура нефтеносности к единичной скважине и бесконечной цепочке прямолинейных скважин.

Исследовано перемещение контура нефтеносности с учетом пониженной проницаемости в зоне вытеснения [47].

Отметим, что в случае, когда месторождение ограничено контуром питания, B.JI. Данилов предлагает использовать функцию Грина [52, 68]. Это позволяет моделировать контур питания только каноническими кривыми, для которых функции Грина известны.

A.M. Власовым [30] сопоставлены метод нанесения на подвижную границу потенциала простого слоя и метод жестких трубок тока, на примере плоской задачи стягивания контура нефтеносности, имевшего первоначально форму круга, к эксцентричной скважине.

Вертикальное перемещение поверхности раздела двух жидкостей, имеющих различные вязкости и удельные веса, к дрене в однородном пласте изучено Э.В. Скворцовым [161 — 163]. Ю.С. Абрамовым и P.M. Кацем решены пространственные (осесимметричные) задачи о продвижении границы раздела воды и нефти. В работе [1] исследовано продвижение границы раздела воды и нефти к точечной скважине, расположенной на кровле пласта, с учетом их удельных весов и пренебрежением различия их вязкостей и капиллярных эффектов. В статье [2] рассмотрено движение границы раздела воды и нефти к несовершенной по степени вскрытия скважине при интенсивном отборе нефти (то есть пренебрегая различием удельных весов жидкостей). А в исследованиях [3] различие удельных весов воды и нефти учитывается.

Вытеснение нефти водой в площадных системах расстановки скважин исследуется в работах Н.К. Паведникова, P.M. Каца и Р.Т. Фазлыева [67, 78, 148, 170].

Задача движения границы раздела упругих жидкостей в упругих пластах с использованием тепловых потенциалов B.J1. Даниловым [48, 52] была также сведена к задаче Коши для интегро - дифференциального уравнения. В трудах [53 — 58] B.JI. Данилов предлагает использовать потенциал простого и двойного слоя для решения обратных задач в теории фигуры Земли и гравитационной разведке.

Моделирование процесса взаимного вытеснения вязких жидкостей в узкой щели постоянной толщины, с учетом капиллярных сил, выполнено в работах B.JI. Данилова и Э.В. Скворцова [49, 50, 52, 63]. Задача решалась методом нанесения на подвижную границу потенциалов простого и двойного слоя.

B.J1. Даниловым и Ю.А. Тепловым [62] в ходе экспериментальных исследований найдены условия, при которых учет межфазного натяжения необходим.

Для решения двумерных задач «поршневого» вытеснения в статье В.Ф. Пивня и Ю.С. Федяева [137] предложен метод интегро - дифференциального уравнения, отличный от метода B.JI. Данилова. Подвижная граница в этом методе моделируется вихревым слоем. Результаты численного счета сопоставлены с результатами, полученными автором данной работы, и результатами B.J1. Данилова. Установлено хорошее совпадение результатов.

Я.В. Прониным [149] построена двумерная модель продвижения границы раздела несжимаемых жидкостей различной плотности, находящихся в гравитационном поле. Граница раздела разноплотных жидкостей моделируется потенциалом двойного слоя. На основе построенной модели исследуется неустойчивость Релея - Тейлора, возникающую, когда тяжелая жидкость находится над легкой в поле тяжести. Для сглаживания границы на поздних стадиях Я.В. Пронин использует метод «вихревых капель».

Рассмотренные задачи являются прямыми задачами, в которых по заданным гидродинамическим условиям находится закон перемещения границы раздела жидкостей. Но интерес также представляют обратные задачи, в которых закон движения границы раздела известен, а искомыми являются гидродинамические условия (например, значения дебитов нагнетательных и эксплуатационных скважин), обеспечивающие перемещение границы раздела жидкостей по заданному закону. Обратным задачам посвящены работы Г.С. Салехова, B.JT. Данилова, Г.П. Цыбульского,

A.В. Рослякова, Б.А. Азимова, Ш.М. Рагимова, В.Ю. Кима,

B.Я. Булыгина и В.Д. Чугунова [6, 22, 41, 42, 43, 52, 59, 155 - 158, 178, 179, 184]. В этих работах исследования проведены на основе моделей «разноцветных» жидкостей и «поршневого» вытеснения.

При изучении вытеснения одной жидкости другой, на основе «поршневой» модели вытеснения, важное значение имеет проблема устойчивости их границы раздела. Исследованием неустойчивости границы раздела двух жидкостей занимались многие исследователи. В работе [197] установлено, что при вдувании воздуха в канал, заполненный глицерином, образуется перемещающийся «язык» воздуха. В.Я. Булыгин и Б.И. Плещинский [24] провели более сложные опыты в лотке, заполненном стеклянной крошкой.

Изучалось вытеснение подкрашенной водой смеси керосина и а - монобромнафталина, с коэффициентом преломления равным коэффициенту преломления стекла. Схемы стягивания границы раздела жидкостей к одной и двум «скважинам» фотографировались. Установлено, что первоначальная граница раздела жидкостей, имеющая форму окружности, в моменты времени t > 0 принимает неправильную извилистую форму, то есть имеет место образование «языков» (или «пальцев») вытесняющей жидкости.

В ходе экспериментальных исследований на горизонтальных моделях несцементированного пласта [81] установлено, что при отношении вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей ^ 10 — 13 [ji вязкость нефти, вязкость воды) даже при больших скоростях течение под действием капиллярных сил устойчивое, если же fi/ц* > 13, то для устойчивости необходимо снижение скоростей течения.

Результаты более общих экспериментальных и теоретических исследований образования «языка» вытесняющей жидкости, проведенных в вертикальном лотке Хеле - Шоу и в круглом капилляре, приведены в статье [201]. В работе [210] показано, что основными параметрами, определяющими потерю устойчивости, являются смачиваемость пористой среды вытесняющей жидкостью, разность плотностей и вязкостей фильтрующихся жидкостей, величина поверхностного натяжения на границе раздела жидкостей и направление течения по отношению к силе тяжести.

Теоретическое исследование задачи об устойчивости границы раздела нефти и воды рассмотрено в трудах [23, 138, 182, 183, 193]. В работе [193] исследуется влияния капиллярных сил на устойчивость границы раздела, а в [138, 182, 183] исследуется проблема устойчивости перемещения контура нефтеносности относительно бесконечно малых возмущений.

В случае вторичной разработки месторождения учет переходной смеси вытесняемой и вытесняющей жидкостей необходим. В этом случае используется модель двухфазной (многофазной) фильтрации.

Без учета сил тяжести двухфазная фильтрация для линейного вытеснения рассмотрена в работах [140, 192]. Математические модели двухфазной фильтрации с учетом и без учета капиллярных и гравитационных сил исследуются в [76, 83]. Численное решение трехмерных задач двухфазной фильтрации исследовано в [190].

При определенных режимах разработки нефтяных месторождений в пласте возникает многофазное течение многокомпонентной смеси (например, при вытеснении газированной нефти водой). Здесь необходима модель многофазной фильтрации. Классические модели многофазной фильтрации рассмотрены в работах [5, 18, 19, 20, 102].

Существуют более сложные модели. Н.Ф. Айдашев [7] разработал и исследовал математическую модель, описывающую фильтрацию многофазной жидкости в деформируемом карбонатном коллекторе нефтяной залежи. В.В. Васильев [26] изучал движение фронта воды и границы водонефтяного контакта по толщине неоднородного нефтеносного коллектора, составленного из единичных блоков и блоков матрицы карбонатных трещиноватых пород.

B.JI. Данилов и P.M. Кац разработали метод зональной линеаризации [64 — 66, 68]. В этом методе область переходной зоны, в которой происходит совместная фильтрация вытесняющей и вытесняемой жидкостей, разбивается на подобласти с потенциальным течением. Вследствие чего в каждой из этих подобластей можно использовать рассуждения, применимые в случае «поршневой» модели (модели Лейбензона - Маскета). Таким образом, результаты, полученные В.Л. Даниловым и P.M. Кацем, подчеркивают значимость модели «поршневого» вытеснения при исследовании движения жидкостей с учетом неполноты вытеснения.

Используя метод зональной линеаризации, в [69] решена плоская задача в однородном пласте о притоке первоначально круговой нефтяной зоны к эксцентрично расположенной скважине, в [73] изучена плоская задача двухфазной фильтрации к цепочке скважин.

Известны задачи с подвижной границей другого рода. Это задачи со свободной поверхностью — линией раздела между сухим и влажным грунтом. Такие задачи поставлены в гидродинамической теории безнапорной фильтрации. Они возникают при моделировании различных процессов: фильтрация несжимаемой жидкости через пористую преграду, под действием силы тяжести [4]; безнапорный приток жидкости к совершенной скважине, расположенной в центре кругового пласта [209]; приток жидкости из бесконечности к дренажной щели, расположенной на непроницаемом основании [146]; движение грунтовых вод в двух горизонтальных слоях, разделенных слабо проницаемым горизонтальным слоем [85]; вытеснение жидкости из бассейна в сухой грунт и приток грунтовых вод в бассейн [17]; растекание бугра двухслойной жидкости в однородной пористой среде под действием силы тяжести [211].

Отметим, что задачи со свободной поверхностью возникают и в других процессах различной физической природы: кристаллизация бинарных систем [151] (здесь свободная граница — граница раздела твердой и жидкой фаз); процессы оплавления, термической деструкции, сублимации, и так далее [185].

Построенные в нашей работе модели могут быть использованы для решения задач со свободной поверхностью.

В данной работе для решения задач о продвижении границы раздела жидкостей различной вязкости используется метод интегральных уравнений. Отметим, что этот метод применяется и в других работах по теории фильтрации и гидродинамики идеальной и вязкой жидкости. В работах В.Ф. Пивня, А.А. Аксюхина, А.А. Квасова, М.А. Фролова и C.J1. Ставцева [8 — 13, 79, 125, 129 — 134, 136, 172, 173, 175, 205] исследованы двумерные и трехмерные задачи сопряжения в неоднородных пластах. Рассмотрены случаи кусочно - неоднородных пластов с проводимостью характеризуемой степенной, гармонической и метагармонической функциями. Границы сопряжения и контур питания кусочно - гладкие кривые класса Ляпунова. Изложенные идеи метода решения задач сопряжения используются в данной работе.

В статьях [212, 206] интегральное уравнение применяется к решению задач продвижения частиц произвольной формы в вязкой жидкости. В работе [202] метод граничных интегральных уравнений применяется к трехмерной задаче образования водяного конуса. В книге [100] решаются задачи аэрации территории методом дискретных вихрей.

Таким образом, из приведенного обзора следует, что в известных трудах не исследованы задачи о работе системы скважин в неоднородных слоях с первоначально произвольной подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости при наличии произвольного контура питания и линии сброса.

Целью работы является создание и исследование новых математических моделей работы системы скважин в однородных и неоднородных слоях в случае, когда подвижная граница раздела жидкостей различной вязкости и границы области фильтрации этих жидкостей моделируются кривыми класса Ляпунова. На основе этих моделей изучить влияние неоднородности слоев, границ области фильтрации и первоначальной формы границы раздела жидкостей, расположения скважин на продвижение этой границы, а также на дебиты скважин и распределение на них квазипотенциалов (давлений).

Научная новизна и теоретическое значение работы состоят в следующем:

1. Построены и исследованы новые двумерные математические модели работы системы скважин в однородных и неоднородных слоях с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости. Контур питания и граница раздела жидкостей различной вязкости моделируются кривыми класса Ляпунова.

2. Контур питания и граница раздела жидкостей различной вязкости моделируются потенциалами двойных слоев, что позволяет учесть условие затухания возмущений на бесконечности в случае неограниченных областей (содержащих бесконечноудаленную точку).

3. Получены в конечном виде решения новых задач о продвижении границы раздела «разноцветных» жидкостей, а также получено новое решение задачи о радиальном стягивании границы раздела жидкостей различной вязкости к центральной скважине. Эти решения использованы как тестовые.

4. Задача о работе системы скважин с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости, принадлежащей классу Ляпунова, сведена к обобщенной задаче Коши для системы интегральных и дифференциальных уравнений, совместно с интегральными соотношениями. Эта система решена численно на основе метода дискретных особенностей.

5. Исследовано влияние первоначальной формы границы раздела жидкостей, неоднородности слоя, расположения скважин, формы контура питания и линии сброса на продвижение этой границы, дебиты скважин и распределение на них квазипотенциалов (давлений).

Предложенные модели могут быть применены для исследования явлений и процессов различной физической природы, которые описываются уравнениями такого же математического вида, как и используемые в работе основные уравнения фильтрационного движения.

Практическая значимость. Построенные модели применены к актуальным задачам практики в случае однородных и неоднородных слоев (пластов). Решены конкретные задачи практики, возникающие при разработке нефтеносных (водоносных) слоев грунта сложной геологической структуры.

В случае, когда движение жидкостей различной вязкости радиальное, и в случае модели «разноцветных» жидкостей найдены решения в конечном виде для времени заводнения (загрязнения) скважины. В случае двумерных движений жидкостей различных вязкостей время заводнения (загрязнения) скважины найдено численно.

В работе исследованы важные для практики характеристики: изменение квазипотенциала (давления) на контурах скважин с течением времени при заданных дебитах скважин и изменение дебитов скважин при заданных квазипотенциалах на контурах скважин.

Исследовано влияние на продвижение границы раздела жидкостей различной вязкости к системе скважин неоднородности слоя, формы первоначальной границы раздела жидкостей, контура питания и линии сброса, расположения скважин. Это позволило указать критерии использования простых формул для времени заводнения (загрязнения) скважин в модели «разноцветных» жидкостей вместо сложных численных расчетов.

Достоверность результатов работы обеспечивается применением строгого математического аппарата, подтверждена сопоставлением полученных результатов с известными результатами, найденными на основе других моделей, являющихся частным случаем построенных в работе моделей.

Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: «Проблемы гидродинамики» Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), «Интегральные уравнения» факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Б.В. Захаров и профессор И.К. Лифанов), по вычислительным методам в

Институте вычислительной математики (рук. Е.Е. Тыртышников), на заседании кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. кафедрой профессор В.Ф. Пивень).

По мере получения основные результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики» кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень 1998 — 2001 г.г.); ежегодных научных конференциях Орловского госуниверситета (1998 — 2001 г.г.); на Международной научно - практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии» (Орел, 1999 г.), на X Международном симпозиуме «МДОЗМФ — 2001», посвященном памяти профессора С.М. Белоцерковского (Херсон, 29 мая — 5 июня 2001 г.).

Результаты работы представлены в виде докладов на Международной конференции, посвященной П.Я. Полубариновой -Кочиной "Modern approaches to flow in porous media" (г. Москва, 6 — 8 сентября 1999 г.), на IX Международном симпозиуме «МДОЗМФ — 2000», посвященном 80 - летию со дня рождения профессора С.М. Белоцерковского (Орел, 29 мая — 2 июня 2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [105 — 108, 134, 135, 205].

На защиту выносятся: построенные и исследованные новые математические модели двумерных задач о работе системы скважин с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости в однородных и неоднородных слоях с проводимостью, характеризуемой степенной функцией в случае, когда область совместной фильтрации жидкостей ограничена контуром питания и линией сброса; исследованные влияния неоднородности слоя, формы границ, расположения скважин на продвижение границы раздела, на дебиты скважин и распределение на них квазипотенциалов (давлений).

Структура и краткое содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, трех приложений и 114 иллюстраций. Общий объем работы составляет 191 страницу. Библиография содержит 212 наименований.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Построены и исследованы новые двумерные математические модели работы системы скважин в однородных и неоднородных слоях с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости. Проводимости неоднородных слоев моделируются степенными функциями координат.

2. Получены в конечном виде решения конкретных задач о продвижении границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородных и однородных слоях, а также задачи о радиальном стягивании границы раздела жидкостей различной вязкости к центральной эксплуатационной скважине в однородном слое. Найденные решения используются как тестовые.

3. Когда границы моделируются кривыми класса Ляпунова и жидкости имеют различную вязкость, исследование этих задач сведено к решению обобщенной задачи Коши для основной системы, состоящей из интегральных уравнений, интегральных соотношений и дифференциальных уравнений. Эта система решена численно методом дискретных особенностей.

4. Построенные математические модели применены к конкретным задачам практики, связанных с продвижением границы раздела жидкостей к системе скважин. Изучено влияние на продвижение этой границы ее первоначальной формы, неоднородности слоев, формы контура питания и линии сброса. Установлено влияние размещения скважин и их дебитов на перемещение границы. Исследовано изменение со временем квазипотенциала (давления) на контуре скважины, работающей с постоянным дебитом, и изменение дебита скважины при фиксированном на ее контуре квазипотенциале (давлении). Указаны условия, при которых вместо сложных численных расчетов основной системы можно использовать простые аналитические формулы, полученные для модели «разноцветных» жидкостей.

Исследованные в работе двумерные задачи о продвижении границы раздела жидкостей различной вязкости не исчерпывают возможностей метода интегральных уравнений. Этот метод может быть применен к широкому кругу процессов различной физической природы, описываемых уравнениями вида (1.1.1) — (1.1.3).

Заключение

1. Абрамов Ю.С., Кац P.M. Уравнения движения границы раздела двух несжимаемых жидкостей в пористой среде в условиях пространственной фильтрации// ВНИИ. Научно -техн. сб. по добыче нефти. Изд. Недра. 1967. № 30. С. 21 — 28.

2. Абрамов Ю.С., Кац P.M. О пространственном движении границы раздела двух несжимаемых жидкостей в пористой среде// Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 6. С. 176 180.

3. Абрамов Ю.С. О пространственном движении границы раздела двух весомых жидкостей в пористой среде// Изв. АН СССР. МЖГ. № 1. 1968. С. 166 169.

4. Абушов О.Г. Решение задач фильтрации жидкости в плотине методом оптимизации формы области. Автореф. кан. дисс. Казань. 2000. 15 с.

5. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. Москва. Недра. 1982. 407 с.

6. Азимов Б.А., Рагимов Ш.М. Применение методов линейного програмирования к задачам управления продвижения водонефтяного контакта (ВНК)// За технический прогресс. Баку. 1966. № 8. С. 15 17.

7. Айдашов Н.Ф. Математическое моделирование гидродинамики нефтяного месторождения в процессе продуктивной эксплуатации. Канд. дисс. Ижевск. 2000. 150 с.

8. Аксюхин А.А. Математическое моделирование граничных задач фильтрации к скважине в неоднородных слоях грунта. Канд. дисертации. Москва. 2000. 153 с.

9. Аксюхин А.А. Определение дебита наклонных скважин методом дискретных особенностей// Тр. X Международного симп. «МДОЗМФ 2001». Херсон. 2001. С.11 - 17.

10. Аксюхин А.А., Пивень В.Ф. Определение дебита скважины в неоднородном слое, толщина которого изменяется по степенному закону// Вестник науки. Сб. тр. ученых Орл. обл. В. 5. Т. 1. Орел. ОГТУ. 1999. С.284 289.

11. Аксюхин А.А., Пивень В.Ф. Решение трехмерной задачи о дебите скважины в кусочно однородной среде методом дискретных особенностей// Тр. IX Международного симп. «МДОЗМФ - 2000». Орел. ОГУ. 2000. С.19 - 27.

12. Аравин В.И. Основные вопросы экспериментального исследования движения грунтовых вод в щелевом лотке// Изв. НИИ гидротехники. 1938. Т. 23. С. 35 57.

13. Аравин В.И. Об экспериментальном исследовании неустановившегося движения грунтовых вод// Изв. НИИ гидротехники. 1941. Т. 30. С. 79 88.

14. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. Москва. Гостехиздат. 1953. 616 с.

15. Баренбатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. Москва. Недра. 1972. 288 с.

16. Басниев К.С., Власов A.M., Кочина Н.Н., Максимов В.М. Подземная гидравлика. Москва. Недра 1986. 303 с.

17. Басниев К.С., Кочина Н.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. Москва. Недра. 1993. 416 с.

18. Бойко B.C. Разработка и эксплуатация нефтяных месторождений. Москва. Недра. 1990. 427 с.

19. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Москва. Наука. 1986. 544 с.

20. Булыгин В.Я. К задаче об управлении движением контура нефтеносности// Уч. зап. Казан, ун-та. 1955. Т. 115. № 12. С. 85 97.

21. Булыгин В.Я. О вытеснении нефти краевой водой// Изв. АН СССР. ОТН. 1957. № 9. С. 140 145.

22. Булыгин В.Я., Плещинский Б.И. Моделирование вытеснения краевой водой нефти// Учен. зап. Казан, ун-та им. В.И. Ульянова Ленина. 1959. Т. 116. Кн. 5. С. 41 - 44.

23. Буравлев И.В., Ларин А.И. Исследование продвижения границы раздела «разноцветных» жидкостей в экспонециальном слое// Тр. IX Международного симп. «МДОЗМФ 2001». Херсон. 2001. С.79 - 83.

24. Васильев В.В. Математическое моделирование водонефтяного контакта в карбонатном коллекторе нефтяного месторождения// Канд. дисс. Ижевск. 2000. 125 с.

25. Векилов Ш.И. Решение общей задачи фильтрации в среде с кусочно постоянным коэффициентом проницаемости// ДАН АзССР. 1952. Т. 8. № 7. С. 339 - 344.

26. Векилов Ш.И. О единственности решения общей задачи фильтрации в среде с кусочно постоянным коэффициентом проницаемости// ДАН АзССР. 1952. Т. 8. № 10. С. 441 - 444.

27. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Москва. Наука. 1971. 512 с.

28. Власов A.M. К расчету движения границы раздела двух жидкостей в пористой среде// Изд-во АН СССР. Инженерный журнал. 1962. Т. II. Вып. 3. С. 168 172.

29. Гагаев Б.М. Единственность одной задачи сопряжения функций, удовлетворяющих эллиптическому уравнению// Уч. зап. Казан, ун-та. 1956. Т. 116. Кн. 1.

30. Галин Jl.А. Неустановившаяся фильтрация со свободной поверхностью// Докл. АН СССР. 1945. Т. 47. № 4. С. 250 -253.

31. Галкина Е.Г., Папин А.А. Автомодельное решение уравнения фильтрации с учетом зависимости их вязкостей от градиентов скорости// Мат. модели фильтрации и их приложения. Ин-т гидродинам. СО РАН Новосибирск. 1999. С.71 — 77.

32. Гасанов Ф.Г., Гусейнова Р.А., Кязимова P.M. Исследование на модели ЭМ-8 влияния отдельных факторов на перемещение водо-нефтяного контакта и обводнение нефтяных пластов// Изв. АН АзербССР. Сер. физ.-техн. и матем. н. 1965. № 1. С.89 95.

33. Голубева О.В. О границе раздела «разноцветных» жидкостей. Калининградский университет. Тр. кафедры теоретической физики. 1968. С.З 10.

34. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. Москва. Наука. 1971. 368 с.

35. Голубева О.В., Пивень В.Ф. О продвижении границы раздела жидкостей при нелинейной фильтрации// ПММ. 1977. Вып. 4. С. 754 758.

36. Градштейн И.С., Рыжик Н.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва. Физматгиз. 1963. 1100 с.

37. Гусейнов А.И. Об одной задаче теории потенциала// Тр. Азерб. ун-та. Сер. Матем. Т. 1. Вып. 1. Баку. 1942. С. 31 42.

38. Гусейнов А.И. Об одной задаче теории потенциала// ПММ. Т. 12. Вып. 1. 1948. С. 3 18.

39. Данилов В.Л. Управление перемещением контура нефтеносности с учетом различия вязкостей нефти и воды// Изв. Казанск. фил. АН СССР. Сер. физ матем. и техн. 1955. Вып. 8. С. 30 - 54.

40. Данилов В.Л. К задаче определения поля давлений при заданном законе стягивания контура нефтеносности// Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ. мат. и техн. наук. 1955. Вып. 6. С. 53 - 62.

41. Данилов B.JI. К задаче управления перемещением контура нефтеносности// Изв. Казанск. фил. АН СССР. Сер. физ -матем. и техн. 1955. Вып. 8. С. 55 — 67.

42. Данилов B.JI. Интегро дифференциальные уравнения движения водонефтяного контакта в пористой среде// Тр. Всес. матем. съезда. Москва. Из-во АН СССР. 1956. T.I. С. 203.

43. Данилов B.JI. Интегро дифференциальные уравнения движения границы раздела жидкостей в пористой среде// Изв. Казанского филиала АН СССР. Сер. физ. - мат. и тех. наук. 1957. Вып. 11. С. 99 - 133.

44. Данилов B.JI. Условия геометрической инвариантности контуров нефтеносности// Изв. Казан, фил. АН СССР. 1959. Вып.13. С.49 -53.

45. Данилов B.JI. О влияниии фазовой проницаемости в зоне вытеснения нефти водой на перемещение водо нефтяного контакта// Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1959. Вып. 13. С. 63 -80.

46. Данилов B.JI. О движении водо нефтяного контакта в пласте при упругом водонапорном режиме// Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1959. Вып. 13. С. 117 -124.

47. Данилов B.JI. Движение границы раздела вязких жидкостей в узкой щели и моделирование перемещения контура нефтеносности// Всесоюзный съезд по теор. и прикл. механ. Аннотация докладов. Изд. АН СССР. 1960. С. 43.

48. Данилов B.JI. О движении границы раздела вязких жидкостей в узкой щели// Докл. АН СССР. 1961. Т. 137. № 2. С. 299 302.

49. Данилов B.JI. Об одном аналитическом решении задачи стягивания контура нефтеносности// Изв. АН СССР. ОТН. Механ. и машин. 1962. № 1. С.185 188.

50. Данилов B.JI. Краевые задачи гидродинамической теории фильтрации и гидромеханики с подвижной гарницей. Док. диссерт. Казан, гос. университет. 1962. 239 с.

51. Данилов В.JI. Динамический подход к определению фигуры равновесия вращающейся жидкости и фигуры Земли// ДАН СССР. Т. 217. № 6. 1974. С. 1266 1269.

52. Данилов В.Л. Динамический метод определения фигуры геоида (линеаризованная задача)// Изв. вузов. Сер. Геодезия и аэрофотосъемка. 1975. № 5. С. 63 — 71.

53. Данилов В.Л. Динамический метод определения фигуры геноида (нелинейная задача)// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1976. № 12. С. 3 10.

54. Данилов В.Л. Определение равновесной фигуры жидкого однородного вращающегося сфероида динамическим методом// В кн.: Численные методы механики сплошной среды. ВЦ СО АН СССР. Т. 7. № 4. 1976. С. 61 70.

55. Данилов В.Л. Методы гидродинамической теории фильтрации в обратной задаче гравиметрической разведки// В кн.: Численное решение задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. 1977. С. 64 74.

56. Данилов В.Л. Методы установления в прикладных обратных задачах потенциала гравитационной разветки и теории фигур Земли. Москва. Наука. 1996. 248 с.

57. Данилов В.Л., Салехов Г.С., Цыбульский Г.П. Исследования по теории фильтрации жидкостей в нефтяных пластах в Казанском филиале Академии наук СССР в 1951 57 гг.// Изв. Казанск. фил. АН СССР. Сер. физ. - матем. и техн. н. 1957. Вып. 11. С.5 - 14.

58. Данилов В.Л., Скворцов В.В. Решение одной задачи о стягивании контура нефреносности с учетом различия вязкостей нефти и воды// Изв. Казанского филиала АН СССР. Сер. физ. матем. и техн. наук. 1959. Вып. 13. С.37 — 48.

59. Данилов В.Л., Скворцов В.В. Расчеты перемещения водо-нефтяного контакта и времени обводнения скважины на электронно цифровой машине// Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и машин. 1960. № 4. С. 182 184.

60. Данилов В.JI., Теилов Ю.А. О моделировании стягивания контура нефтеносности на щелевом лотке// Изв. Казан, филиала АН СССР. Сер. физ.-матем. и техн. наук. 1962. № 15. С. 33 44.

61. Данилов В.Д., Скворцов В.В. Решение задачи о стягивании близкого к круговому пятня жидкости под действием межфазного натяжения// Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 2. С. 137 139.

62. Данилов B.JI., Кац В.М. Метод однородных зон решения нелинейных многомерных задач массопереноса в пористых средах// ДАН СССР. 1971. Т. 201. № 2. С. 292 295.

63. Данилов В.Д., Кац В.М. Об одном новом методе решения многомерных задач массопереноса в пористых средах/ / Архив горного дела. Краков. 1972. Т. XVII. Вып. 4. С. 353 360.

64. Данилов В.Д., Кац В.М. Метод зональной линеаризации в нелинейных многомерных задачах массопереноса в пористых средах// Изв. АН СССР. Сер. Мех. жид. и газа. 1973. № 4. С. 66 80.

65. Данилов В.Д., Кац В.М. Решение нелинейных задач движения границы раздела жидкостей в пористой среде// Тр. Всесоюз. конф. по матем. методам решения задач подземной нефтяной гидрогазодинам. Баку. Изд. ЭЛМ. 1974. С. 178 — 190.

66. Данилов В.Д., Кац В.М. Гидродинамические расчеты взаимного вытеснения жидкостей в пористой среде. Москва. Недра. 1980. 264 с.

67. Данилов В.Д., Кац В.М., Пругалова Н.А. Расчет обводнения нефтяных скважин методом зональной линеаризации// В кн.: Численные методы решения задач фильтрации многофазной жидкости. ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. 1975. С. 93 107.

68. Джалалов Г.И. О перемещениии контура нефтеностности к прямолинейной батарее неравнодебитных скважин в неоднородном пласте// Изв. АН АзербСССР. Сер. геолого -географ, наук. 1965. № 5. С.97 104.

69. Джалилов К.Н., Морозова С.С. Гидродинамическое исследование процесса обводнения скважин в неоднородной фазе// Изв. АН АзербСССР, сер. геолого географ, наук. 1965. № 2. С.82 - 88.

70. Искендеров А.Д., Гарданом Т.Б., Ибрагимов Т.М. Решение задачи Стефана для квазилинейного уравнения фильтрации в автомодельном режиме// Изв. АН АзСССР. Сер. наук о Земле. 1989. № 2. С.85 91.

71. К исследованию вытеснения нефти водой методом зональной линеризации/ В.Л. Данилов, М.М. Мусин, Г.А. Розенцвайг и др.// Тр. ТатНИПИнефть. 1975. Вып. XXX. С. 278 282.

72. Казарновская Б.Э. Перемещение водо-нефтяного контакта и обводнение скважин при водонапорном режиме месторождения// Докл. АН СССР. 1945. Т. 55. № 8. С.639 -696.

73. Казарновская Б.Э., Полубаринова Кочина П.Я. О движении подошвенных вод в нефтяных пластах// ПММ. 1943. Т. 7. Вып. 6. С. 439 - 454.

74. Карабасов С.А., Семенов В.Н. Одномерная модель фвухфазной фильтрации жидкости в пористых средах// РАН. Ин-т пробл. безопас. развит, атом, энерг. 1997. № 97. 104. С. 1 11.

75. Карпычев В.А. О движении границы раздела между водой и нефтью в неоднородных пластах// Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и машиностр. 1962. № 1. С. 189 191.

76. Кац P.M. О движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде// Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 5. С. 154 -160.

77. Квасов А.А. Плоскопараллельная задача о работе водозабора вблизи кусочно гладкой границы загрязнения// Тр. X Международного симп. «МДОЗМФ — 2001». Херсон. 2001. С.163 - 167.

78. Ким В.Ю. Управление движением контура нефтеносности с учетом влияния сбросов// Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ. матем. и техн. 1957. Вып. 11. С. 45 — 56.

79. Кисиленко Б.Е. Эксперементальное изучение характера продвижения водонефтяного контакта в пористой среде// Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. № 6. С.80 — 84.

80. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. Москва. Мир. 1987. 311 с.

81. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жикости. Новосибирск. Наука. Сиб. отделение. 1988. 166 с.

82. Котеленец Н.А. К расчетам неустановившейся фильтрации при постоянном давлении на границе// Инж. сб. 1952. Т. 12. С. 223 228.

83. Кочина Н.Н. Нелинейная задача о установившемся движении грунтовых вод с перетоками// Задачи динамических процессов в сплошных средах. Сб. науч. трудов. Свердловск. 1991. С. 103 108.

84. Кочина П.Я. Гидродинамика и теория фильтрации. Избранные труды. Москва. Наука. 1991. 351 с.

85. Кочина П.Я., Кочина Н.Н. О контуре нефтеностности // ПММ. 1996. Т. 760. Вып. 6. С.972 977.

86. Кочина П.Я., Кочина Н.Н. К вопросу о контуре нефтеностности // Мат. модели фильтрации и их приложения. Сб. науч. тр. Новосибирск: инст. гидродинамики им. Н. А. Лаврентьева. 1999. 204 с. Изд-во СО РАН. С. 12 20.

87. Кочина Н.Н., Кочина П.Я., Николаевский В.Н. Мир подземных жидкостей. Москва. ИФЗ РАН. 1994. 111 с.

88. Куранов И.Ф., Коган Л.Г. Расчет вытеснения нефти водой в системе скважин// Тр. Всесоюз. нефтегаз. н.и.и-т. 1959. Вып. 21. С. 25 51.

89. Куфарев П.П. Решение задачи стягивания контура нефтеносности для круга// Докл. АН СССР. 1948. Т. 60. № 8. С. 1333 1334

90. Куфарев П.П. Решение задачи о контуре нефтеносности для полосы с цепочной скважиной// Докл. АН СССР. 1950. Т. 75. № 3. С. 353 355.

91. Куфарев П.П. Задача о контуре нефтеносности для круга при любом числе скважин// Докл. АН СССР. 1950. Т. 75. № 4. С. 507 510.

92. Куфарев П.П., Виноградов Ю.П. О некоторых частных решениях задачи фильтрации// Докл. АН СССР. 1947. Т. 57. № 4. С. 335 338.

93. Крылов А.П., Белаш П.М., Мирчик М.Ф., Николаевский Н.М., Чарный И.А. Научные основы разработки нефтяных месторождений. Гостоптехиздат. 1948. 416 с.

94. Крылов А.П., Белаш П.М., Борисов Ю.П., Бучин А.Н., Воинов В.В., Глоговский М.М., Максимов М.И., Николаевский Н.М., Розенберг М.Д. Проектирование разработки нефтяных месторождений. Принципы и методы. Гостоптехиздат. 1962. 430 с.

95. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. Гостехиздат. 1947. 546 с.

96. Лейбензон Л.С. Нефтепромысловая механика. Москва. Госгоргеолнефтеиздат. 1934. Ч. 2. 352 с.

97. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. Москва. ТОО. Янус. 1995. 520 с.

98. Лифанов И.К., Гутников В.А., Скотченко А.С. Моделирование аэрации в городе. Москва. Диалог — МГУ. 1998. 134 с.

99. Маделунг Э. Математический аппарат физики. Москва. 1961. 618 с.

100. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. Москва. Недра. 1976. 264 с.

101. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики Москва. Наука. 1989. 608 с.

102. Миллионщиков М.Д. Гидромеханический анализ некоторых способов эксплуатации нефтяных скважин. Докт. дисс. Москва. Ин-т механики АН СССР. 1944. 129 с.

103. Никольский Д.Н. Продвижение границы раздела разноцветных жидкостей к скважине в неоднородном слое, проводимость которого характеризуется степенным законом// Сб. ОрелГТУ. «Вестник науки». 1999. Т. 1. Вып. 5. С. 276 279.

104. Никольский Д.Н., Пивень В.Ф. Плоскопараллельная задача о движении границы загрязнения// Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ 2000». Орел. 2000. С.325 - 328.

105. Никольский Д.Н., Пивень В.Ф. Исследование работы системы скважин в однородным слое с подвижным контуром нефтеностности// Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ 2001». Херсон. 2001. С. 241 - 245.

106. Огуджалиев Ф.Г., Гашиев Н.М. Влияние расположения скважин на вытеснение нефти газом// Изв. АН АзССр. Сер. наук о Земле. 1989. № 2. С. 46 52.

107. Петров Н.П. К вопросу о продвижении границы раздела несмешивающихся жидкостей. Канд. диссертация. Москва. 1970. 165 с.

108. Пивень В.Ф. Вытеснение несмешивающихся жидкостей при нелинейной фильтрации// Гидромеханика: Сб. трудов Московского области, пединститута. Москва. Изд-во МОПИ. 1974. Вып. 3. С. 152 157.

109. Пивень В.Ф. Одномерная нелинейная фильтрация жидкостей различной вязкости// Гидромеханика: Сб. трудов Московского области, пединститута. Москва. Изд-во МОПИ. 1974. Вып. 3. С. 157 163.

110. Пивень В.Ф. Нелинейная фильтрация несмешивающихся жидкостей в слоях, расположенных на различных стыкующихся поверхностях// Гидромеханика: Сб. трудов Московского области, пединститута. Москва. Изд-во МОПИ. 1974. Вып. 3. С. 163 168.

111. Пивень В.Ф. О нелинейной фильтрации сжимаемой жидкости// Новые вопросы гидродинамики: Московское общество испыт. природы. Москва. Наука. 1974. С. 40 — 42.

112. Пивень В.Ф. О продвижении границы раздела нелинейной фильтрующейся одножидкостной системы// Новые вопросы гидродинамики: Московское общество испыт. природы. Москва. Наука. 1974. С. 42 44.

113. Пивень В.Ф. Пример продвижения границы раздела при нелинейной фильтрации// Новые вопросы гидродинамики: Московское общество испыт. природы. Москва. Наука. 1974. С. 44 46.

114. Пивень В.Ф. Вопросы теории вытеснения жидкостей при нелинейной фильтрации. Канд. диссертация. Москва. 1974. 119 с.

115. Пивень В.Ф. Влияние нелинейных эффектов на вытеснение жидкостей при нелинейной фильтрации// Гидромеханика: Сб. трудов Московского области, пединститута. Москва. Изд-во МОПИ. 1975. Вып. 4. С. 27 35.

116. Пивень В.Ф. О двумерной фильтрации в слоях с прерывно изменяющейся проводимостью вдоль кривых второго порядка// МЖГ. 1993. № 1. С. 120 128.

117. Пивень В.Ф. Функции комплексного переменного в динамических процессах. Орел. Издательство ОГУ. 1994. 147 с.

118. Пивень В. Ф. Теория двумерных процессов в неоднородных слоях со степенным законом изменения их проводимостей// ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 595 605.

119. Пивень В.Ф. Математическое моделирование граничных задач гидродинамики в неоднородных слоях// Докт. диссертация. Орел. 1998. 266 с.

120. Пивень В.Ф. Сведение граничной задачи сопряжения обобщенных аналитических функций к интегральному уравнению// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 9. С. 1194 1198.

121. Пивень В.Ф. Интегральное уравнение граничной задачи сопряжения фильтрационных течений в неоднородной среде// Тр. IX Международного симп. «МДОЗМФ 2000». Орел. 2000. С. 343 - 348.

122. Пивень В.Ф. Интегральное уравнение задачи сопряжения обобщенных аналитических функций на нестационарной границе// Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 40. С. 1405 -1409.

123. Пивень В.Ф. Единственность решения граничных задач сопряжения физических процессов в неоднородной среде// Тр. X Международного симп. «МДОЗМФ — 2001». Херсон. 2001. С. 265 269.

124. Пивень В.Ф. Интегральные и дифференциальные уравнения двумерной задачи о работе системы скважин в неоднородном слое с нестационарной границей раздела жидкостей// Тр. X Международного симп. «МДОЗМФ — 2001». Херсон. 2001. С. 270 275.

125. Пивень В.Ф., Аксюхин А.А. Применение интегрального уравнения к решению задач сопряжения фильтрационных течений в неоднородных средах// Сучасш проблеми теорй фшьтрацп. В1сник Украшско1 державно1 академй водного господарства. Р1вне. 1998. С. 123 — 127.

126. Пивень В.Ф., Аксюхин А.А., Квасов А.А., Фролов М.А. Математическое моделирование граничных задач сопряжения двумерных течений в неоднородных слоях// Тезисы конф. «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж. ВГУ. 1998. С. 56.

127. Пивень В.Ф., Аксюхин А.А., Квасов А.А., Фролов М.А. Математическое моделирование граничных задач сопряжения двумерных течений в неоднородных слоях// Труды конф. «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж. ВГУ. 1999. С.131 136.

128. Пивень В.Ф., Никольский Д.Н. Двумерная задача продвижения раздела жидкостей в слое со степенным законом изменения проводимости / / Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ 2000». Орел. 2000. С. 348 - 354.

129. Пивень В.Ф., Ставцев C.JI. Численное решение интегрального уравнения задачи сопряжения осесимметричной фильтрации// Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ — 2000». Орел. 2000. С. 354 358.

130. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Исседование плоскопараллельного продвижения границы разела жидкостей различной вязкости методом интегро дифференциального уравнения// Тр. X Международного симп. «МДОЗМФ — 2001». Херсон. 2001. С. 275 - 279.

131. Пилатовский В.Н. Постановка и исследование задач об устойчивости перемещения границы раздела жикостей в неонородном фильтрационном потоке// Укр. мат. журнал. 1958. Т. 10. № 2. С. 160 177.

132. Пирвердян A.M. О движении подошвенной воды в слабонаклоненных пластах// ПММ. 1952. Т. 16. Вып. 2. С. 223 226.

133. Пирвердян A.M. Физика и гидравлика нефтяного пласта. Москва. Недра. 1982. 192 с.

134. Полубаринова Кочина П.Я. О неустановившихся движениях в теории фильтрации. I. К вопросу о перемещении контура нефтеносности// ПММ. 1945. Т. 9. Вып. 1. С.79 - 80.

135. Полубаринова Кочина П.Я. К вопросу о перемещении контура нефтеносности// Докл. АН СССР. 1945. Т. 47. № 4. С. 254 - 257.

136. Полубаринова Кочина П.Я. О неустановившихся движениях грунтовых вод// ДАН СССР. 1950. Т. LXXV. № 3. С. 357 - 360.

137. Полубаринова Кочина П.Я., Фалькович С.В. Теория фильтрации жидкостей в пористой среде// ПММ. 1947. Т. 11. Вып. 6. С. 629 - 674.

138. Полубаринова Кочина П.Я., Шкирич А.Р. К вопросу о перемещении контура нефтеносности// Изв. АН СССР. ОТН. 1954. № 11. С.105 - 107.

139. Полубаринова Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. Москва. Наука. 1977. 664 с.

140. Праведников Н.К., Кац P.M. К вопросу движения водо -нефтяного контакта при площадном заводнении// Тр. ТанНИИ. 1965. Вып. 8. С. 424 434.

141. Праведников Н.К., Кац P.M. Об уравнениях движения водо -нефтяного контакта в системах площадного заводнения// Тр. ВНИИ. 1965. Вып. 42. С. 222 234.

142. Пронин Я.В. Вихревой метод расчета эволюции границ раздела несжимаемых жидкостей. Снежинск. 2000. 25 с.

143. Пыхачев Г.Б. К вопросу о вытеснении нефти водой из неоднородного проницаемого пласта// Тр. ГНИ и Грозн.НИИ. 1944. Вып. 2. 28 с.

144. Радкевич Е.В., Меликулов А.С. Задачи со свободной границей. Ташкент. Из-во ФАН Академии наук республики Узбекистан. 1991. 184 с.

145. Радыгин В.М. Голубева О.В. Применение функции комплексного переменного в задачах физики и техники. Москва. Высш. шк. 1983. 160 с.

146. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917 -1967 гг.). Москва. Наука. 1969. 456 с.

147. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьтеров. Москва. Высш. шк. 1998. 383 с.

148. Салехов Г.С. Прямые и обратные задачи о продвижении водо -нефтяного контакта// Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер физ. -матем. и техн. 1954. Вып. 5. С. 3 — 15.

149. Салехов Г.С. Постановка и метод решения гидродинамических задач управления движением контура нефтеностности// Докл. АН СССР. Сер. физ. матем. и техн. 1955. Т. 101. № 5. С. 809 -812.

150. Салехов Г.С. Решение некоторых задач управления движением контура нефтеносности по характеру размещения скважин// Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ. матем. и техн. 1957. Вып. И. С.79 - 84.

151. Скворцов Э.В. Расчет на ЭВМ перемещения контура нефтеносности, близкого к окружности// Ж. прик. мех. и техн. физ. 1962. № 2. С. 139 141.

152. Скворцов Э.В. Приближенное аналитическое решение некоторых задач о стягивании контура нефтеносности// Сб. «Теоретические и эксперементальные исследования разработки нефтяных месторождений». Казань. 1964. С.58 — 62.

153. Скворцов Э.В. О поднятии водо нефтяного контакта к дрене в полубесконечном пласте// Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 124. Кн. 9. 1967. Вопросы подземной гидромеханики. 1968. С. 26 — 32.

154. Скворцов Э.В. О движении границы раздела двух жидкостей в бесконечном пласте// Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 125. Кн. 5. 1967. Вопросы подземной гидромеханики. 1968. С. 44 — 48.

155. Скворцов Э.В. О перемещении границы раздела двух жидкостей в ограниченном по мощности пласте// Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 125. Кн. 5. 1967. Вопросы подземной гидромеханики. 1968. С. 49 — 65.

156. Сулейманов Я.М. О плоской задаче стягивания контура нефтеносности// Изв. АН АзербССР. сер физ. техн. и матем. н. 1965. № 1. С. 96 - 101.

157. Тихов М.Н. Несколько замечаний о перемещении контура нефтеносности// Тр. Грозн. нефт. науч.- исслед. ин-та. Сбор, раб. Вып. 2. 1947. С. 83 89.

158. Тумашев Г. Г. К задаче о стягивании контура нефтеностности// Уч. зап. Казанского ун-та. Сбор. раб. НИИММ им. Н. П. Чеботарева. 1953. Т. ИЗ. № 10. С. 113 137.

159. Тумашев Г.Г. Сведение некоторых задач сопряжения функций к интегральным уравнениям// Уч. зап. Казанского ун-та. 1956. Т. 116. № 1. С.31 32.

160. Тумашев Г.Г. Определене поля давлений в кусочно -однородных пластах// Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 1958. № 3. С. 203 216.

161. Тумашев Г.Г., Стержнев В.А. К вопросу определения поля давлений в кусочно однородных по проницаемости пластах// Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 117. Кн. 9. 1957. С. 110 - 113.

162. Фазлыев Р.Т. Уравнение движения границы раздела воды и нефти с учетом различной их вязкости при площадном заводнении// НТС по добыче нефти. ВНИИИ. 1965. Вып. 27. С. 23 27.

163. Федяев Ю.С. Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей к скважине в степенном слое// Тр. X Международного симп. «МДОЗМФ — 2000». Орел. 2000. С. 445 448.

164. Фролов М.А. Нахождение дебита скважины в кусочно -неоднородном слое с экспонециальным законом изменения его толщины// Вестник наук. Сб. тр. ученых Орл. обл. В. 5. Т. 1. Орел. ОГТУ. 1999. С.306 312.

165. Фролов М.А. Двумерная задача о работе нескольких скважин в кусочно неоднородном слое проводимости Р = сН2(цу)// Тр. IX международного симпозиума «МДОЗМФ — 2000». Орел. 2000. С. 451 - 456.

166. Фролов М.А. Исследование двумерных граничных задач о дебитах системы скважин в неоднородных слоях, проводимости которых моделируются гармоническими и метагармоническими функциями координат. Канд. диссертация. Орел. 2001. 148 с.

167. Фролов М.А., Аксюхин А.А. Решение двумерных граничных задач о дебите скважин в неоднородных слоях грунта методом интегральных уравнений// Тр. X Международного симп. «МДОЗМФ 2001». Херсон. 2001. С. 364 - 373.

168. Ховисон С.Д., Хохлов Ю.Е. О классификации решений в задаче о течениях Хеле Шоу с неизвестной границей// Докл. РАН. 1992. Т. 325. № 6. С. 1161 - 1166.

169. Цицкишвили А.Р. Методы решения одного класса плоских задач теории фильтрации// Мат. модели фильтрации и их приложения. Ин-т гидродин. СО РАН. Новосибирск. 1999. С. 177 188.

170. Цыбульский Г.П. Решение задачи управления движением незвездных контуров нефтеносности// Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ. матем. и техн. 1956. Вып. 9. С.35 - 47.

171. Цыбульский Г.П. Задача управления движением незвездного контура нефтеносности при дискретном задании// Изв. Казанск. фил. АН СССР. Сер. физ. матем. и техн. 1957. Вып. 11. С. 37 - 44.

172. Парный И.А. О наивыгоднейшей расстановке скважин в нефтяных пластах с водонапорным режимом// Изв. АН СССР. ОТН. № 1-2. 1945.

173. Парный И. А. Подземная гидромеханика. Гостехиздат. 1948. 196 с.

174. Парный И.А. Методы расчета перемещения границы раздела нефти и воды в пластах// Изв. АН СССР. ОТН. 1954. № 4. С. 107 120.

175. Парный И. А. Подземная гидрогазодинамика. Москва. Гостоптехиздат. 1963. 396 с.

176. Чугунов В.Д. Некоторые частные случаи управления продвижением водо нефтяного контакта// Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ. - матем. и техн. 1955. Вып. 6. С.39 - 52.

177. Шведов А.С. Численное решение задач со свободными границами для одномерного уравнения конвекции диффузии. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. № 90. Москва. 1996. 14 с.

178. Щелкачев В.Н. Расстановка скважин в пластах с водонапорным режимом. В сб. науч. иссл. работы нефтяников Вып. III. Добыча нефти. Гостоптехиздат. 1944.

179. Щелкачев В.Н. Подсчеты времени стягивания контура нефтеносности в поцессе законтурного заводнения. Башк. нефт. 1950. № 1. С. 54 61.

180. Щелкачев В.Н. Избранные труды. Москва. Недра. 1990. Т. 1. Ч. 2. 232 с.

181. Щелкачев В.Н., Лапчук Б.Б. Подземная гидравлика. М. Л. Гостоптехиздат. 1949. 524 с.

182. Юльметьев Т.И. Совершенствование технологии разработки нефтяных зон и залежей нефти с подошвенной водой. Канд. дисс. Москва. 1999. 122 с.

183. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Москва. Наука. 1977. 344 с.

184. Buskley S.E., Leverett М.С. Mechanism of fluid displacement in sands// Trans. AIME. 1942. V. 146. P. 107 116.

185. Chuoke R.L., Meurs P. van Poel C. vander. The instability of show immiscible viscous liquid displacement in permeable media// Trans. AIME. 1959. V. 216. P. 188 194.

186. Cristea N. Hidraulica Subterana. V. 1. Editura Tehnica. Bucuresti. 1956.

187. Danilov V.L. Method of integro differential equation (IDE) in hydrodynamic theory of filtration// Modern approaches to flow in porous media. Intern, conference dedicated to P.Ya. Polubarinova - Kochina. Moscow. Sept. 1999. P. 9 — 10.

188. Hohov Y.E., Howison S.D., Huntengford C., Ockendon J.R., Lacey A.A. A model for non-smooth free boundaries in Hele-Shaw flow// Quart. J.Mech. Appl. Math. 1994. V. 47. N. 1. P. 107 128.

189. Howison S.D. Fingering in Hele Shaw cell// J. Fluid Mech. V. 167. 1986. P. 439 - 453.

190. Howison S.D., King J.R. Explicit solutions to six free-boundary problems in fluid flow and diffusion// IMA J. Appl. Math. 1989. V. 42. N. 2. P. 155 175.

191. Howison S.D., Richardson S. Cups development in free boundaries, and two-dimensional slow viscous flows// Europ. J.Appl. Math. 1995. V. 6. N. 5. P. 441 454.

192. King J.R., Lacey A.A., Vazquez J.L. Persistence of corners in free boundaries in Hele-Shaw flow// Europ. J. Appl. Math. 1995. V. 6. N. 5. P.455 490.

193. Lajeunesse E., Martin J., Rakotomalala N., Salin D., Yortsos Y.C. Miscible displacement in a Hele Shaw cell at high rates// J. Fluid Mech. 1999. 398. P. 299 - 319.

194. Lucas S.K., Kucera A. A boundary integral method applied to the 3D water coning problem// Phys. Fluids. 1996. V. 8. N. 11. P.3008 3022.

195. Muskat M. A hote on a problem in Potential Theory// Journ. Appl. Physics. V. 8. N. 6. 1937.

196. Muskat M. The Flow of homogemeous fluids throus media. N.Y.; London; McGraw Hill. 1937. 763 p.; Рус. перев.: Маскет M. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М. - JI. Гостоптехиздат. 1949. 628 с.

197. Power Henry, Power B. Febres de Seconkind integral equation formulation for theslow motion of particle of arbitrary shape near a plane wall in a viscous fluid// SIAM J. Appl. Math. 1993. 53. 1. P. 60 70.

198. Richardson S. Hele Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into narrow channel// J. Fluid Mech. 1972. V. 56. N. 4. P. 609 - 618.

199. Richardson S. Some Hele Shaw with time-dependent free boundaries// Ibid. 1981. V. 102. P. 263 - 278.138—

200. Sun Ying, Guo Xiaoming, She Yinghe. Free boundary problem of non steady state seepage flow// Apll. Math, and Mech. Engl. Ed. 1999. 20. № 7. C. 807 - 811.

201. Wang Zhi, Feyen Jan, Elrick David E. Prediction of fingering in porous media// Water Resour. 1998. Res. 34. № 9. C. 2183 — 2190.

202. Woods Andrew W., Mason Robert. The dinaics of two layes gravity - dviven flows in permeable rock// J. Fluid Mech. 2000. 421. C. 81 - 114.

203. Fan Xijun, Yeow Y.L. A boundary integral equation method for the Stokes problem of multiparticle system // Phys. Fluids. A. 1992. V. 4. N. 5 P. 1074 1076.