автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование трехмерных граничных задач о дебите системы несовершенных скважин в кусочно-неоднородных слоях

На правах рукописи

Ставцев Станислав Леонидович

Исследование трёхмерных граничных задач о дебите системы несовершенных скважин в кусочно-неоднородных слоях

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва—2003

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

И.К. Лифанов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е. В. Захаров,

нии д , , нституте вычислительной мате-

матики РАН по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

кандидат физико-математических наук, А.А. Аксюхин

Ведущая организация:

Федеральное государственное унитарное предприятие «Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского» ЦАГИ.

года в /¿~-Оо часов на заседа-

Автореферат разослан « г /» " ' -"". 2003 года.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

\JoSS

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Решение задач о движении жидкости в пористых средах имеет важное значение. К решению трёхмерных задач фильтрации приводят исследования эксплуатации нефтеносных и водоносных слоев грунта, расчёты строительства гидротехнических сооружений, исследования в области охраны и мониторинга окружающей среды. В частности для практики интерес представляет расчёт фильтрационных течений к системе скважин, расположенных в областях со сложной геологической структурой, а также расчёт дебитов такой системы скважин. Для решения задач фильтрации необходимо построить математическую модель и провести исследование решаемых задач.

Задачами фильтрации занимались целый ряд исследователей: В.Д. Бабушкин, М. Маскет, П.Я. Полубаринова-Кочина, Г.Г. Тумашев, М.А. Гусейн-Заде, И. А. Чарный и др. В их работах исследовались как двумерные, так и трёхмерные фильтрационные задачи, описываемые линейными или нелинейными законами фильтрации. При этом течение рассматривалось в кусочно-однородных или неоднородных слоях.

Интерес представляет изучение фильтрационных течений в слоях со сложной геологической структурой, когда среда является кусочно-неоднородной, то есть когда свойства среды меняются скачкообразно на некоторой гладкой поверхности. При этом область фильтрации может быть ограничена поверхностью питания или непроницаемыми поверхностями, в том числе сингулярными поверхностями. Решение подобных трёхмерных задач значительно сложнее, чем решение аналогичных двумерных.

Использование теории потенциала для линейных задач фильтрации позволяет перейти от трёхмерных дифференциальных уравнений к сингулярным и гиперсингулярным интегральным уравнениям, записанных на двумерных поверхностях, что сокращает объём вычислений и позволяет провести многовариантный анализ расположения скважин.

В случае напорной фильтрации, когда течение жидкости в грунте обусловлено разностью давлений, задаваемых на поверхности питания и в скважинах, практическую ценность имеет расчёт дебита скважины. На искомую величину оказывает влияние не только область фильтрации (свойства среды, поверхности, ограничивающие, область фильтрации), но и модели фильтров скважин.

Разного рода модели фильтров скважин описаны в работах В.М. Гаврилко, Н.Н. Виригина, В.А. Мироненко, М. Маскета, В.В. Черных, И.Г. Ярмахова. В случае задач двумерной фильтрации используется самая простая модели скважины - модель точечного стока. Для решения задач трёхмерной фильтрации используется модель в виде линейного с ~ а-

ние грубых моделей значительно искажают рассчитываемые течения и соответственно рассчитываемый параметр скважин. Поэтому целесообразно построить новую, более точную модель фильтра скважины и провести сравнительный анализ различных моделей. Тем самым можно указать границы применимости построенных ранее моделей и отметить круг задач, в которых требуется применение уточнённой модели.

Цель работы. Целью работы является создание и исследование новых трёхмерных математических моделей работы системы скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях в случае, когда границы области фильтрации моделируются поверхностями класса Ляпунова. На основе этих моделей изучить влияние на дебит системы скважин неоднородности среды, границ области фильтрации, их взаимного расположения и интерференцию скважин. Построить новую математическую модель фильтров скважины, провести сравнительный анализ новой и известных моделей и обосновать использования этих моделей для конкретных задач практики.

Научная новизна и теоретическое значение работы состоят в следующем:

1) построены и исследованы новые трёхмерные математические модели работы системы скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях, ограниченных поверхностью питания и непроницаемой поверхностью. Все граничные поверхности моделируются кусочно-гладкими поверхностями, коэффициенты проницаемости сред в области фильтрации описываются произвольными гладкими функциями.

2) для кусочно-неоднородных слоёв в случае канонических границ области фильтрации (сферы (полусферы) и плоскости (полуплоскости)) получены решения в конечном виде. Эти решения представляют интерес как модели те' чений к системе несовершенных скважин. Также эти решения используются

для практической оценки скорости сходимости метода дискретных особенно' стей (в том числе и метода замкнутых дискретных вихревых рамок) для решения задач трёхмерной фильтрации с поверхностями класса Ляпунова.

3) в случае произвольных гладких границ исследование поставленных задач сводится с помощью потенциала двойного слоя к системе интегральных уравнений второго рода типа Фредгольма и гиперсингулярных интегральных уравнений.

4) для решения полученных гиперсингулярных интегральных уравнений обобщён метод замкнутых дискретных вихревых рамок, применяемый, на случай неоднородной среды, когда коэффициент проницаемости её является функцией одной переменной.

5) численное решение фильтрационных задач позволяет использовать многозвенную аппроксимацию коэффициента проницаемости среды. Это позволяет построить эффективную методику расчёта дебитов скважин в средах с произвольными проницаемостями К(г) с помощью решения задачи с помощью системы интегральных уравнений.

6) построена новая модель скважины с перфорированным фильтром. Проведён сравнительный анализ разных моделей скважины, что позволило указать условия применимости известной модели "линейный сток" к решению задач. Отображены результаты сравнения разных моделей скважины, приведено уточнение старой модели. Дано обоснование использования указанной модели в конкретных задачах практики. Построение новой модели привело к решению задач с принципиально новыми граничными условиями. Исследование этих задач сведено к решению гиперсингулярных интегральных уравнений с 8— функциями Дирака в правой части.

7) исследовано влияние на дебиты скважин границ области фильтрации, неоднородности слоя, их взаимное расположение и интерференция. Приведён сравнительный анализ дебитов горизонтальных, наклонных и вертикальных скважин. Указаны условия, при которых дебит системы скважин максимален.

Практическая значимость. Построенные модели применены к актуальным задачам практики в случае кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоёв грунта. Решены конкретные задачи практики, возникающие при разработке нефтеносных (водоносных) слоев грунта сложной геологической структуры.

В работе показано, что для целого ряда исследований можно воспользоваться упрощённой моделью "линейный сток". При решении задач о нахождении дебитов системы скважин как в кусочно-однородных, так и кусочно-неоднородных слоях большую роль играют размеры и взаимное расположение областей фильтрации, а также расположение в них скважин, чем их форма. Указаны практические рекомендации по размещению скважин в области фильтрации относительно её границ, их взаимного расположения в случае, когда взаимное влияние скважин друг на друга велико.

Приведены примеры расчёта расположения скважин, при котором дебит скважин, расположенных в грунте сложной геологической структуры, максимален.

На основе проведённого численного эксперимента показана целесообразность использования горизонтальных и наклонных скважин по сравнению с вертикальными скважинами.

Построенная новая модель скважин, позволяют более точно рассчитать дебиты как вертикальных, так и горизонтальных скважин при их близком расположении друг от друга.

Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: "Проблемы гидродинамики" Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), "Интегральные уравнения" факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров и профессор И.К. Лифанов), "Вычислительная математика и математическая физика" (рук. академик Н.С. Бахвалов и профессор В.И. Лебедев).

По мере получения основные результаты диссертационной работы докладывались:

1) на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики» кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень 1998-2003 гг.);

2) на X Международном симпозиуме "МДОЗМФ - 2001", посвященном памяти профессора С.М. Белоцерковского;

3) на школе молодых учёных "МДОЗМФ - 2002";

4) на XI Международном симпозиуме "МДОЗМФ-2003".

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 5 статьях.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и иллюстраций. Общий объём работы составляет 173 страницы. Библиография содержит 121 наименование.

Содержание работы

Во введении даётся краткий обзор проблем, возникающих в задачах фильтрации, обосновывается актуальность темы и даётся обзор содержания диссертации.

Глава 1 посвящена постановке задачи о работе системы из п несовершенных скважин, расположенных в кусочно-неоднородном слое. В работе рассмотрена линейная стационарная напорная фильтрация, которая имеет место в случае, когда скважины работают с независящим от времени дебитом.

Будем рассматривать течение жидкости в кусочно-неоднородной среде к системе и несовершенных скважин, то есть будем считать, что в области D; проницаемость среды характеризуется коэффициентом Ki(M), а в области D2 -К2(М). Границу раздела областей DKv=l,2 обозначим через ег. Область фильтрации D~D] uZ>2 ограничена поверхностью питания ап и поверхностями сква-

О, К,

А

М

„2 °02

/ц+1 \

"П1+И2 /_~

Ъг К2

Оп--

0(11 Рис. 1. Область фильтрации

жин а„. Область /) может быть ограничена непроницаемой поверхностью &02 и сингулярной поверхностью с% (см. рис.1).

Пусть в области Ву течение описывается квазипотенциалом <р„ (М). Квазипотенциалы (р„ (М) удовлетворяют уравнениям эллиптического типа

V ■ (Ку (М)Уру (Л/)) = О, М е Д,, V = 1,2. (1)

На поверхности сопряжения ст выполняются граничные условия

ф;<М)=9;(М):

д<Р,(М)

д<р2(М)

,М 6 ст.

(2)

дпы ) I дп

Здесь пи - единичный вектор нормали,"+" и "-" обозначают предельные значения соответствующих функций при подходе к сгиз областей I); и В2 соответственно.

На поверхности питания заданы квазипотенциалы:

= = (3)

Здесь сгд - часть поверхности ст„, которая ограничивает область О^см. рис.1). В результате аналогичного представления поверхности в виде Со^о^, и<7022, граничные условия на ней записываются как

д<ре№ дп

Если коэффициент проницаемости среды в некоторых точках обращается в ноль, то существует сингулярная поверхность ст01, на которой необходимо потребовать выполнение условия

КЛМ)Щт = 0Ме*т. (5)

о"»

Во втором параграфе рассмотрены различные модели скважин, которые будут использоваться в дальнейших исследованиях, а именно, модель линейного стока, а также модель скважины в виде перфорированного цилиндра (см. рис. 2). В зависимости от выбранной модели скважины задаются различные условия на каждой скважине.

В случае, когда скважина моделируется линейным стоком условие зада- ^ ётся на поверхности скважины:

рх(Мс1) = С,Ма бста,«' = 1,2,...и,;

<Р1(Мс1) = С„Мс,е<та,1 = п, +1,...«;

Так как скважина представляет собой цилиндр с отверстиями, то скважину можно моделировать в виде непроницаемого цилиндра с системой точечных стоков. Рассмотрим систему из т стоков, расположенных на 2-й скважине (число стоков на каждой скважине будем считать одинаковыми). Общее

число стоков, расположенных на скважинах в области обозначим через тПу-т-Пу. Мощность стоков для одной и той же г-ой скважины будем считать одинаковой = т(г'-1) + 1,...,т-1.

Согласно работам И.К. Лифанова на непроницаемых поверхностях сгс1 задаются граничные условия

где Мс! - точка на поверхности * скважины.

=0,Af €<ra,i = n, + l,...n;

Физический смысл граничных условий (7) состоит в том, что во всех точках поверхности кроме M=MV, в котором расположены стоки, нормальная составляющая скорости равна нулю, то есть выполняется условие непротекания. Это же условие выполняется для всех точек М —> Мю из области £>„• (область, ограниченная поверхностью скважины ста), то есть течение в области Dci является гладким, а в области Dv течение имеет особенности, расположенные в точках Mv. Таким образом, в силу граничных условий (72) и (7*) при замкнутой поверхности aci скорости течения в области Da будут равны нулю.

Для нахождения дебитов скважин в случае модели перфорированного цилиндра необходимо задать дополнительные условия для каждой скважины:

= ci'Mc, еDc„i = 1Д...в,;

= C„Md s Dd,i = л, + 1,...П;

где Mci - произвольная точка Dci в силу постоянства квазипотенциала <р/М) в области Dci.

Таким образом, задача сводится к нахождению квазипотенциалов фильтрационного течения <р/М), от которых зависят искомые дебиты скважин.

Квазипотенциалы возмущения (pj(M) будем искать в виде

РЛМ) = <р0ЛМ) + ®ЛМ),М е D,,v г-1,2, (9)

где <pov(M) - невозмущённый квазипотенциал, описывающий течение жидкости к скважинам в отсутствие поверхностей а, сгп, сги, а также поверхностей ас1 (если используется модель скважины в виде перфорированного цилиндра).

Вид (ро/М) определяется используемой моделью скважины. Для модели "линейный сток" эти функции можно записать как

= £<?, \Fy{M,N)dlN,M1,2. (10)

1=1 L,

Здесь q, - дебиты скважин, L, - отрезок точечных стоков, расположенных по оси скважины; FJM.N) - фундаментальное решение уравнения (1), а также

введены обозначения г. = J1,v r2 = \"l'V ^

1 (и, +l,v = 2; 2 l«,v = 2.

Для модели скважины в виде перфорированного цилиндра квазипотенциалы фо/М) имеют вид

<РоЛЮ = = + еБу,у = 1,2. (11)

¿'Г, 1.1

В случае использования модели линейного стока для нахождения Ф/М) (потенциала возмущения) из (9) можно использовать различные подходы. Для канонических поверхностей о; од, о,02 в виде сферы (полусферы), плоскости (полуплоскости) использование соответствующих теорем о сфере и плоскости позволяют получить ФХ(М) в конечном виде. Для поверхностей класса Ляпунова, следуя В.Ф. Пивню, Ф/М) будем искать в виде потенциала двойного слоя:

ФЛЮ= ^ЛЮКЛЮ1

дпк

дпр

• (-г, ^ ОПп.

(12)

Здесь записан квазипотенциал возмущения для случая, когда скважины моделируются перфорированным цилиндром. Если используется модель скважин "линейный сток", то последняя сумма отсутствует.

Если область О, не ограниченна, то необходимо, чтобы для Ф¡(М) выполнялись условия:

Ф,(М)

= 1 К, (М)УФ, (М) = 1 (13)

где N есг, гш- расстояние между точками МеД и N.

Выполняя для квазипотенциалов (9) граничные условия (2) - (5), (7) приходим к системе интегральных уравнений

дп.

дп,

дпи

дпи

ЯМ)

(И)

+ Ф„(М) = р0ДМ),М Б = 1,2

дФУ(М)_ д<р0у(М)

дпи 8пи

,М е а^у = 1,2

м 2 ® дпи

в которую входят как уравнения типа Фредгольма (140 и (143), так и гиперсингулярные интегральные уравнения (142), (14/0, (15). Особенностью решения задачи сопряжения в кусочно-неоднородных средах является то, что на поверхности сопряжения заданы две функции: одна определяет течение в одной области, другая в другой. Для их нахождения на одной поверхности записываются

два интегральных уравнения: одно гиперсингулярное, второе является уравнением Фредгольма.

Дополнительные условия (6) и (8) для каждой модели скважины приводят к следующим интегральным соотношениям. Для модели линейный сток:

= С,. -ф0у(Ма),Мс, е ег,, (16)

для модели перфорированного цилиндра

Ф ЛМ^^С.-^МЛМ^О«. (17)

Итак, для нахождения дебитов скважин имеем систему интегральных уравнений и соотношений (14), (16) (для модели линейный сток) или (14), (15) и (17) (для модели перфорированного цилиндра).

Для решения системы интегральных уравнений применён метод дискретных особенностей, развитый в трудах И.К. Лифанова. Используя этот метод, решение задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Каждая из поверхностей задаётся параметрически, например, а = где | и С - параметры, заданные на множестве П = {0 < £ < 1,0 < 77 < 1} - единичном квадрате. Поверхности разбиваются равномерно по каждому из параметров на ячейки иц.

Для интегральных уравнений второго рода типа Фредгольма интегралы заменим на суммы по квадратурной формуле прямоугольников. Для решения гиперсингулярных интегральных уравнений воспользуемся обобщением метода замкнутых дискретных вихревых рамок {(МЗДВР)} на случай неоднородных сред, когда К(М)=К(ги). Для кусочно-однородных сред применяется МЗДВР в том виде, как он был предложен в работе И.К. Лифанова. Идея метода основана на том, что в силу квазипотенциальности течения можно показать, что скорости, создаваемые замкнутой вихревой нитью С$, постоянной интенсивности, совпадают со скоростями, создаваемыми потенциалом двойного слоя, распределённым с постоянной плотностью на поверхности опирающейся на этот контур. То есть, если Г (М) - вектор скорости, создаваемый в точке М от ячейки о,) то, как показано в диссертации, её компоненты можно вычислить по формулам

<=ч

ащмл) , а^лмль

г~ "Уы ^ я**

дРу{М,Щ дх„

(18)

оп.. '

дУн

<Ьс„---'-с!уы

Эх*

где введена вспомогательная функция Ч'(М,Ы), удовлетворяющая соотношению

1 дУ{М,Ы)

х

(19)

Для гиперсингулярного интегрального уравнения с 5-функцией в правой части решение основано на замене 8-функции её дискретным аналогом - ступенькой.

Если поверхность, на которой записано гиперсингулярное интегральное уравнение является замкнутой, то получаемая система алгебраических уравнений оказывается вырожденной. Такая ситуация возникает для поверхности сопряжения, непроницаемой поверхности, в частности на поверхности скважин. В данном случае необходимо провести регуляризацию системы алгебраических уравнений с помощью ввода регуляризирующей переменной. Поскольку внутренняя задача Неймана решается с точностью до константы, то зафиксировав функцию в некоторой точке, мы тем самым фиксирует квазипотенциал внутри замкнутой области (так как д(М) определяет скачок потенциала на непроницаемой поверхности) и задача решается однозначно. Для поверхности скважины такой метод регуляризации применять нельзя, так как в постановку задачи входит дополнительное условие, определяющее потенциал внутри скважины и поэтому дебит скважины будет зависеть от выбора точки, в которой будем задавать ё(М). В данном случае условие регуляризации будет заключаться в том, что поток через замкнутую поверхность равен нулю.

В главах 2 и 3 показаны результаты системных исследований влияния поверхностей, ограничивающих область фильтрации, интерференция скважин. Исследования проводились для разных моделей фильтров скважин.

В частности, в главе 2 приведены результаты конкретных исследований

Рис. 3. Сетка на поверхностях Оп ст и ст0

по расчётам дебитов системы скважин в кусочно-однородных средах.

графе представлены результаты расчётов дебитов скважин, расположенных в кусочно-однородных средах, когда плоскость (или часть плоскости) ОХУ является непроницаемой поверхностью, сфера (полусфера) единичного радиуса

В первом пара-

является поверхностью питания, а плоскость ОХ2 является поверхностью сопряжения (рис.3).

Полученные решения позволяют провести ряд исследований. В частности, расчёты показали, что при 100% приближении скважины к по-

2- Я- 05- верхности питания дебит сква-

3 ■ Х=-05- жины увеличивается, а при при-

4 :Л=-Л ближении к непроницаемой поверхности наоборот- убывает. При приближении скважины к поверхности сопряжения с рос-

к. — к*

том Я = -

дебит скважины

Рис. 4. Влияние поверхности сг на дебит скважины

^ +к2

возрастает. Этот результат показан на рисунке 4, где по оси ординат откладывался относительный дебит скважины (до - дебит скважины в отсутствие поверхности о), а по оси абсцисс - расстояние от скважины до поверхности сг (расстояние й измерялось в радиусах полусферы). Расчёты, проведённые как для наклонных, так и вертикальных скважин, показали, что воздействие поверхностей на дебит скважин аналогично и для наклонных и для вертикальных скважин.

Решённые задачи в конечном виде в дальнейшем используются для исследования сходимости численных методов.

Во втором параграфе показаны особенности получения системы интегральных уравнений для кусочно-однородных сред. Представлено использование МЗДВР для решения гиперсингулярных интегральных уравнений в случае кусочно-однородных сред: вычисление интеграла по замкнутому контуру сводится к аналитическим формулам.

м п

В третьем параграфе проведён анализ модели линейный сток. Исследовалась зависимость дебита скважины от выбора точки Мс, в которой задавалось дополнительное условие на дебит скважины. Результаты исследований представлены на рисунке 5. Здесь по оси абсцисс откладывалось расстояние от точки Мы на поверхности скважины

60 40 20 0

01 0,2 0,3 0,4 0,5

0,9 1,0

Рис. 5. Зависимость дебита от положения ТОЧКИ Ма На (Та

до основания цилиндра, в котором расположена точка М0, (см. рис.2). По оси ординат отмечена величина т\=^--1^00% (д0 - дебит скважины при 5=0,5, что

соответствует положению точки Мси изображённому на рисунке 2).

Расчёты .показали, что значения дебита могут варьироваться в пределах

50-60%, что сопоставимо с влиянием на дебит скважины поверхности питания или непроницаемой поверхности (сравните рис. 4 и 5). Поэтому модель линейного стока нуждается в уточнении: необходимо уточнить выбор расположения точки Мс на поверхности скважины. Для этого предлагается использовать модель скважины в виде перфорированного цилиндра.

В дальнейшем приводятся примеры расчётов для разных моделей. В случае, когда в области фильтрации имеется одна скважина или скважины расположены далеко друг от друга и мало влияют друг на друга, то задачу можно решать используя как более сложную модель, так и модель линейного стока. Поверхностей сопряжения, непроницаемой поверхности и поверхности питания оказывают одинаковое воздействие на дебит скважин при использовании различных моделей: отклонения в дебитах составляют не более 5-10%. Этот результат продемонстрирован на рисунке 6, где изображены зависимости относительных дебитов скважины от расстояния между скважиной и плоскостью ОХУ. Область фильтрации изображена на рисунке 1 при отсутствии поверхности ст. На рисунке 6 сплошной линией показана зависимость для дебита скважины, моделируемой перфорированным цилиндром, пунктирной линией аналогичная зависимость для модели скважины в виде линейного стока при 5=0,5, а штрих пунктирной - для модели линейного стока при 5=0,93.

Таким образом, при моделировании скважины линейным стоком необходимо брать точку Мс вблизи одного из концов линейного стока. Как показывают расчёты наиболее оптимальный вариант, когда расстояние МоМс (М0 - точка одного из концов фильтра) составляет 0,9 от длины скважины Ь. В дальнейшем, когда проводились исследования, использовалась именно модель линейного стока с соответствующим выбором точки Мс на поверхности скважины.

80 706050403020" ю-

-ю--20"

"7/

'0,1

од-

0,3"

0",4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Го

Рис. 6. Сравнение дебитов скважин для разных моделей фильтров скважин

Для исследования адекватности построения новой модели была исследована задача о точечном стоке, расположенном на сферической непроницаемой поверхности. Для этой задачи, решаемой с помощью интегрального уравнения известно решение в конечном виде.

Сравнение полученного решения в конечном виде и численного решения задачи показывает целесообразность использования МЗДВР для данного класса

Число разбиений: 1:14x14; 2:20x20; 3: 26x26.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Рис. 7. Относительная погрешность вычисления дебита скважины методом дискретных особенностей

задач. Особенностью решения задач со стоком на непроницаемой поверхности является то, что для достижения требуемой точности в расчётах (1-5%) требуется большее число разбиений непроницаемой поверхности: функция g(M) терпит разрыв в точке, где расположен сток.

В четвёртом параграфе показана сходимость метода дискретных особенностей к точному решению: сравнивались решения из §2.1,

полученные в конечном виде и решения, полученные в результате численных расчётов. На рисунке 7 приведены графики зависимостей относительной погрешности дебита скважины от расстояния между скважиной и плоскостью ОХУ. Область фильтрации изображена на рисунке 1 в отсутствие поверхности <т. Как видно из рисунка 7, при приближении скважины к поверхностям а или <т0 погрешность в расчётах дебита возрастает и с увеличением числа разбиений погрешность уменьшается. Поэтому при решении уравнения Фредгольма для достижения точности в 5% достаточно 400 точек разбиения на каждой из поверхностей. Для гиперсингулярного уравнения для достижения аналогичной точности требуется увеличить число разбиений до 600. Это объясняется тем,

что в ядро гиперсингулярного уравнения входит особенность вида

гын

Далее проводятся исследования влияния поверхности сопряжения и непроницаемой поверхности на дебит скважины. Показано, что на дебит скважины влияет расстояние от скважин до поверхности и взаимное расположение поверхностей (например, непроницаемых включений) друг относительно друга, а форма поверхности роли не играет. Поэтому в ряде случаев для проведения

расчётов достаточно заменить действительную поверхность на соответствующую каноническую поверхность (например, сферу или плоскость) и провести упрощённые расчёты с использованием формул в конечном виде.

Как было показано выше, при приближении скважины к поверхности питания дебит возрастает, при приближении к непроницаемой поверхности - наоборот, убывает. Таким образом, целесообразно располагать скважины вблизи поверхности питания и вдали от непроницаемой поверхности. В ряде случаев без численного эксперимента нельзя однозначно сказать, где нужно расположить скважину, чтобы её дебит был максимален.

В качестве примера рассмотрим скважину в кусочно-

Рис. 8. Область фильтрации для решения задачи по нахождению оптимального расположения скважины

однородной среде со сложной геологической структурой (см. рис. 8). Здесь сгп -поверхность питания, моделирующая речное или морское дно, а<>- непроницаемая поверхность (подошва слоя), а - более плотное чем окружающая среда включение. Определим положение скважины, при котором её дебит максимален. Для расчёта используем метод градиентного спуска. Поле скоростей, соответствующее оптимальному расположению скважины, изображено на рисунке 9. Здесь с - поверхность непроницаемого включения, расстояния измерялись в длинах фильтра скважины.

В пятом параграфе было проведено исследование взаимного влияния наклонных и горизонтальных скважин. В частности показано, что целесообразно использовать почти горизонтальные скважины. Исследования проводились для разных моделей скважин. При близко расположенных скважинах необходимо ис-

Рис. 9. Поле скоростей к скважине

пользовать модель скважины в виде системы стоков, расположенных на непроницаемой поверхности. С увеличением числа скважин происходит уменьшение удельного дебита (дебит приходящийся на одну скважину).

Глава 3 посвящена решению трехмерных задач фильтрации в кусочно-неоднородных средах.

В первом параграфе решены задачи в конечном виде, когда поверхностью сопряжения является сфера (полусфера) или плоскость (полуплоскость) в гармонических и метагармонических слоях, то есть в слоях, коэффициенты проницаемости которых, меняются по закону (гармонический слой)

Kv(M) = br(zu —аУУ,а„,Ьу =const (20)

или (метагармонический слой)

Kr(M) = {ave"-"' +bve-~'*y,av,bv,nv = const. (21)

Для этих слоёв известны фундаментальные решения уравнения (1) и они принимают соответственно вид:

FV(M,N) =

1

FV(M,N) =

1___1_

-йДД К) е

+ bve*-" ]Гl{ave**" + Y --> 0;

4гг R Ь„

1

4TtKvsh{fiv(zu -ar))sh(flv(zN -ay)) где введены обозначения

a.

„-v.*

К

r:

(22)

(23)

'k

<0,

К = т/(*и-хк?+{Ум ~Уы)г + 0« -2av)\

=-4avbv, av =-In

2 M,

Фундаментальные решения удовлетворяют граничному условию (5) (если сингулярная поверхность с% существует).

Полученные решения сравниваются с аналогичными решениями для кусочно-однородных сред. Решение этих простейших задач фильтрации показало, что сингулярная поверхность по-разному влияет на горизонтальные и вертикальные скважины: в случае горизонтальных скважин при приближении скважины к поверхности приведённый дебит возрастает, а в случае вертикальных -уменьшается. Под приведённым дебитом рассматривается дебит, приходящийся на единицу проницаемости среды, в которой расположена скважина, то есть

д=—. Для неоднородной среды с коэффициентом проницаемости К

результаты исследований влияния сингулярной поверхности сг01 (^лгФ) на приведённый дебит скважины показаны на рисунке 10. Исследования также показывают, что влияние поверхности сопряжения, поверхности питания и непроницаемой поверхности на дебит скважины как в кусочно-однородных, так и кусочно-неоднородных средах одинаковое.

Во втором параграфе показаны особенности решения гиперсингулярного интегрального уравнения для неоднородных сред, когда К=К(хм)- В частности

доказаны формулы (18), (19).

С помощью метода дискретных особенностей (в том числе МЗДВР, обо-щённого на случай неоднородных сред) проведены исследования влияния неоднородности среды на дебита скважин. Показаны практические оценки скорости сходимости расчётов численных методов. Показано влияние неоднородности среды на оптимальное расположение скважины в кусочно-неоднородных слоях. Исследования проводились как для гармонических, так и метагармонических слоев.

Решение задач фильтрации в кусочно-неоднородных средах приводит к необходимости нахождения фундаментальных решений уравнения (1) для соответствующей функции К(М). Это представляет собой отдельную сложную математическую задачу, в которой необходимо учитывать сингулярную поверхность. Для произвольных К(М) её решить можно только численно. Проведённый ряд исследований для неоднородных сред показывает, что если заменить среду с некоторой проницаемостью на среду с близкой проницаемостью, то на рассчитываемый дебит скважины такая замена влияет мало. Поэтому в §3.3 предлагается задачи о дебите скважин, расположенных в средах с прони-цаемостями К=К(г) решать как задачу о скважине, расположенной в кусочно-неоднородной среде с проницаемостями, соответствующие фундаментальные решения которых выражаются через элементарные функции. Это приводит к значительному ускорению в расчётах и если среда слоистая, то позволяет сразу учитывать с помощью интегральных уравнений граничные условия на границах раздела неоднородности сред.

В качестве примера рассмотрим случай, когда коэффициент проницаемости среды меняется вдоль оси 02 по следующему закону:

1: 0= —;2: £=—;3: £=-;4: 0= 0. 2 20 3

Рис. 10. Влияние сингулярной поверхности на дебит скважины

254, 0<,2Ы< 0,2; К(М) = \ 1, 0,2 <2и< 0,8; (24)

25(гм -I)2, 0,8 < <1.

График зависимости дебита горизонтальной скважины при изменении её положения вдоль оси 07. показан на рисунке 11. Как видно из рисунка, вблизи плоскостей г=0,2 и 2=0,8 увеличивается погрешность в вычислении дебита скважины. Это объясняется тем, что на этих поверхностях сингулярные и гиперсингулярные уравнения решаются численно.

320 280 240 200 160 120 80 40

\ )

\ /

\ У

В последнем параграфе показано взаимное влияние наклонных и горизонтальных скважин, расположенных в не-

однородной среде. Продемонстрирована

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0^ 0,9 1,0 интерференция скважин: с ростом проницаемости наблюдается уменьшение взаимного влияния скважин.

В заключении подводятся итоги работы и излагаются её основные результаты.

Автор выражает благодарность и огромную признательность доктору физико-математических наук, профессору Орловского государственного университета Пивню В.Ф. за оказанное внимание и поддержку при подготовке диссертационной работы.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Рис. 11. Зависимость дебита скважины от расстояния при перемещении скважины вдоль оси 02.

Основные результаты работы

1. Построены и исследованы новые трёхмерные математические модели работы системы скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях, ограниченных поверхностью питания и непроницаемой поверхностью. Все поверхности моделируются поверхностями класса Ляпунова, проницаемости сред в области фильтрации описываются произвольными гладкими функциями.

2. Численно решена система фредгольмовских и гиперсингулярных интегральных уравнений. Обобщён метод замкнутых дискретных вихревых ра-

мок, применяемый для решения гиперсингулярных интегральных уравнений, на случай неоднородных сред, когда проницаемость среды является функцией одной переменной.

3. Показана эффективная методика расчёта дебитов скважин в средах с произвольными проницаемостями К(г) с помощью решения задачи через систему интегральных уравнений и проведены примеры расчётов. Полученный результат обобщён на случай решения трёхмерных задач фильтрации в слоистых средах.

4. Построены новые модели фильтров скважин. Отображены результаты сравнения разных моделей скважины, приведено уточнение известных моделей. Дано обоснование использования той или иной модели в конкретных задачах практики. Построение новой модели привело к решению граничных задач с принципиально новыми граничными условиями, а также к решению гиперсингулярных интегральных уравнений с обобщёнными функциями в правой части.

5. Исследовано влияние на дебиты скважин границ области фильтрации, неоднородности слоя, их взаимное положение и интерференция скважин. Решена задача оптимального расположения скважины в области фильтрации. Приведён сравнительный анализ дебитов горизонтальных и наклонных скважин с вертикальными скважинами.

I

I

Публикации по теме диссертации

1. Пивень В.Ф., Ставцев C.JI. Численное решение интегрального уравнения задачи сопряжения осесимметричной фильтрации. // Труды IX международного симпозиума "МДОЗМФ-2000", с. 354-358.

2. Ставцев C.JI. Точное решение задачи о дебите системы скважин для контура питания в виде полусферы при наличии непроницаемой границы. // Труды X международного симпозиума "МДОЗМФ-2001", с. 340-345.

3. Ставцев C.JI. Особенности расчёта поля скоростей трёхмерных течений в кусочно-неоднородной среде. // Труды "Школы молодых учёных МДОЗМФ-2002", 2002, с. 92-97.

4. Ставцев C.JI. "Математические модели фильтров скважин" Bicronc Харювського национального университету, № 590,2003г, с.231-235.

5. Lifanov I.K., Piven' V.F., Stavtsev S.L. Mathematical modelling of the three-dimensional boundary value problem of the discharge of the well system in a homogeneous layer // Russian Journal Numerical Analysis and Mathematical Modeling, v.17, №1,2002, p.99-112.

Подписано в печать 14.07.2003 г. Формат 60x90,1/16. Объем 1,5 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 428

Отпечатано в ООО "Фирма Блок" 107140, г. Москва, ул. Русаковская, д.1. т. 264-30-73 www.blokOlcentre.narod.ru Изготовление брошюр, авторефератов, переплет диссертаций.

»13055

1JOSST

I

I

Введение

Глава 1. Постановка граничной задачи о дебите системы несовершенных скважин в кусочно-неоднородных слоях.

§1.1. Основные уравнения и граничные условия задачи.

§ 1.2. Модели фильтров скважин

§ 1.3. Сведение задачи о дебите к системе интегральных уравнений

§ 1.4. Сведение задачи о дебите системы скважин к системе алгебраических уравнений

Глава 2. Моделирование работы скважин в кусочно-однородных слоях.

§2.1. Работа системы скважин в кусочно-однородной среде с каноническими поверхностями о, стп, сто

§ 2.2. Работа системы скважин в кусочно-однородной среде ограниченной произвольными гладкими поверхностями

§ 2.3. Сравнительный анализ разных моделей скважин.

§ 2.4. Исследование влияния поверхностей, ограничивающих область фильтрации на дебит скважины.

§ 2.5. Исследование интерференции скважин.

Глава 3. Моделирование работы скважин в кусочно-неоднородных слоях.

§ 3.1. Работа системы скважин в кусочно-неоднородной среде с канонической поверхностью а

§ 3.2. Исследование влияния границы сопряжения на дебит скважины.

§ 3.3. Фильтрация жидкости в средах с произвольной проницае-• мостью K(zm).

§ 3.4. Интерференция скважин, расположенных в неоднородных средах.

Актуальность темы и обзор литературы. Решение задач о движении жидкости в пористых средах имеет важное значение. К решению трёхмерных задач фильтрации приводят исследования эксплуатации нефтеносных и водоносных слоёв грунта, расчёты строительства гидротехнических сооружений, исследования в области охраны и мониторинга окружающей среды. В частности для практики интерес представляет расчёт фильтрационных течений к системе скважин, расположенных в областях со сложной геологической структурой, а также расчёт дебитов такой системы скважин. Для решения задач фильтрации необходимо построить математическую модель.

В связи с важностью и актуальностью задач фильтрации к настоящему времени проведено значительное количество исследований и этим проблемам посвящен целый ряд работ. Во этих работах в основном выделяются два аспекта:

1) построение моделей и решение соответствующих задач, характеризующих течение жидкостей в грунтах - движение разноцветных жидкостей, модель "поршневого вытеснения" (модель Лейбензона-Маскета), модели двуфазной и многофазной жидкости;

2) построение моделей, характеризующие свойства среды - задачи фильтрации в однородных, кусочно-однородных, неоднородных, кусочно-неоднородных, анизотропных средах.

Такое разделение объясняется особенностями, которые отличают задачи фильтрации: движение жидкости (модели жидкости) в пористой среде (модели среды).

Большинство исследований посвящены решению задач с различными моделями фильтрующихся жидкостей. Это работы В.Л.Данилова [28,29], A.M. Пир-вердяна [57], Д.Н. Никольского [44], а также целый ряд других работ [1,8,11,38]. В работе В.Ф. Пивня [47] расчёты основаны на нелинейных законах фильтрации, отличных от линейного закона Дарси. Отметим работы В.Л. Данилова и

P.M. Каца, которыми разработан метод зональной линеаризации [30,31]. В этом методе область переходной зоны, в которой происходит совместная фильтрадия вытесняющей и вытесняемой жидкостей, разбивается на подобласти с потенциальным течением. Вследствие чего в каждой из этих подобластей можно р использовать рассуждения, применимые в случае "поршневой" модели. Задача сводилась к решению системы интегро-дифференциальных уравнений. Таким образом, результаты, полученные B.JI. Даниловым и P.M. Кацем, подчеркивают значимость модели "поршневого"вытеснения при исследовании движения жидкостей с учетом неполноты вытеснения.

Число работ по использованию различных моделей фильтрационных сред ограниченно. В основном решаются фильтрационные задачи для однородных и кусочно-однородных сред. Такие исследования были проведены в работах Г.Г. Тумашева [79,80], П.Я. Полубариновой-Кочиной [58,61], О.В. Голубевой [23,24], М.И. Хмельника [85]. В работе В.Ф. Пивня [53] задача фильтрации в кусочно-однородных средах решалась с использованием интегральных уравнений. Когда границами, ограничивающими область фильтрации с однородной средой являются прямые, фильтрационное течение жидкости было рассчитано в работах В.Н. Щелкачёва [91], И.А. Чарного [87].

На практике часто возникают проблемы, когда можно ограничиться решением двумерных задач в слоях переменной проводимости (переменной являются проницаемость и/или толщина слоя) - так называемых неоднородных слоях. Решению этих задач посвящены работы В.А. Белова [13], Ю.А. Гладышева [22], В.Ф. Пивня [50, 49], С.Д. Осятинского [45], Г.С. Салехова [68], Чарного И.А [86], М.А. Гусейн-Заде [27] и многих других. Особо хотелось бы отметить целый ряд работ А.А. Аксюхина [2-5] и М.А. Фролова [81-84]. В этих работах с использованием интегральных уравнений были исследованы задачи о нахождения дебита скважины в кусочно-неоднородных слоях, проницаемости которых меняются по гармоническому и метагармоническому закону.

В отличии от двумерных задач фильтрации, число решённых трёхмерных задач в однородных, а особенно в неоднородных слоях существенно меньше. Начало решения трёхмерных задач фильтрации в однородных средах было положено В.Д. Бабушкиным [9] М. Маскетом [40], Н.К. Гиринским [20,21]. В дальнейшем трехмерные задачи фильтрации были исследованы в работах Я.И. Алехашкина

6,7], П.Я. Полубариновой-Кочиной [61], И.Н. Кочиной [34], И.А. Чарного [86,87]. В ряде исследований [64,25,26] рассматривались фильтрационные течения жидкости в анизотропных средах. Решение таких трёхмерных задач затруднено. В указанных исследованиях рассматривалось решение только двумерных задач.

В большинстве указанных выше работ используется закон линейной фильтрации - закон Дарси. Целесообразность его использования объясняется линейностью процесса фильтрации почти во всех области фильтрации, за исключением течения жидкости вблизи скважин, где велики скорости течения жидкости. Исключение также делается для жидкостей с большой вязкостью и в средах с особыми структурами (например, трещиноватых средах). Подобные случаи в данной работе рассматриваться не будут.

В последнее время за счёт использования вычислительной техники усложнились модели трёхмерных задач фильтрации, число решённых трёхмерных задач возрасло. Значительно повысилась сложность решённых трёхмерных задач за счёт использования эффективных алгоритмов. В настоящее время наиболее распространёнными методами расчёта фильтрационных течений являются конечно-разностные методы [37,95,96,101,104,106] . Многими отечественными и зарубежными авторами [69,70,93,108,110,111,113] приводятся расчёты с использованием как горизонтальных, так и вертикальных скважин конечно-разностными методами для конкретных месторождений, анализируются расхождения между фактическими и расчётными данными.

При выборе вида и размера ячейки в ряде работ [115] используются конечно-разностные уравнения Писмана, разработанные для вертикальных скважин. Писманом показано, что на выбор размера и конфигурации ячейки, а также числа узлов вблизи скважины существенным образом влияют положение скважины относительно границ и свойства среды. Однако на практике чаще всего используются горизонтальные и наклонные скважины. Поэтому в дальнейших работах [117] представлены формулы, специально разработанные для горизонтальных скважин, приводятся соответствующие усовершенствованные уравнения и критерии применимости этих уравнений для расчёта размера ячейки для горизонтальных скважин.

Однако подобные численные методы расчёта необходимых процессов требуют большого объёма памяти, большого объёма компьютерного времени. Их использование в ряде случаев приводят к значительным погрешностям в оценке ряда параметров скважин, что не позволяет проводить многовариантный анализ для различного размещения скважин, который необходим при проектировании оптимального взаимного расположения скважин. Ведь применение конечно-разностных методов для расчёта процессов разработки осложнено отдельной задачей определения конфигурации сетки и поэтому введение новой скважины в систему или переориентация скважин приводит к необходимости каждый раз решать новую задачу выбора сетки.

Альтернатива использованию сеточных методов в задачах фильтрации была найдена в работах В.Ф. Пивня [53-56], А.А. Аксюхина [2-5], М.А. Фролова [81-84] и Д.Н. Никольского [44]. В трудах этих авторов было предложено для решения задач фильтрации использовать интегральные уравнения, которые записываются на границах раздела сред неоднородностей и подвижной границе водо-нефтяного контакта. Это позволяет сократить размерность решаемых уравнений (происходит переход от трёхмерных дифференциальных задач к интегральным уравнениям, записанных на двумерных поверхностях) и соответственно сокращает объём вычислений, что позволяет провести многовариантный анализ расположения скважин. В отмеченных работах интегральные уравнения применялись только для линейных задач фильтрации. Для фильтрационных течений, описываемых с помощью более сложных уравнений, полученные результаты можно использовать как хорошее приближение для дальнейших исследований.

Решение интегральных уравнений основано на методике, предложенной И.К. Лифановым, которая освещена в ряде работ [14,16,33,36]. На этой же методике, с помощью интегральных уравнений, основано решение задач фильтрации в данной работе. Полученные в последнее время решения интегральных уравнений с обобщёнными функциями в правой части [16,73-74], позволили значительно расширить круг решаемых задач, в том числе и задач фильтрации.

Именно использование конечно-разностных численных методов и вычислительной техники позволили более точно провести расчёты горизонтальных и наклонных скважин. Дело в том, что в отличии от вертикальных скважин, где геометрия и физические процессы вблизи скважины имеют азимутальную симметрию, что позволяет получить результаты в конечном виде [11,61], физические модели для горизонтальных скважин являются трёхмерными. Это существенно усложняет расчёты.

В настоящее время системы горизонтальных и наклонных скважин используются широко [66,67,119,120, 121]. Как показывают исследования, их применение предпочтительно для неоднородных пластов, для продуктивных пластов малой толщины (когда размеры скважин сравнимы с толщиной пласта), для морских месторождений, при которых важно уменьшить число морских платформ. Исследованию горизонтальных и наклонных скважин посвящён целый ряд работ [88,97-103,107,109]. Авторами показано, что дебит наклонных и горизонтальных скважин при прочих равных условиях выше дебита вертикальных скважин. Эти результаты подтверждаются исследованиями, которые были проведены в данной работе.

Таким образом, если при исследованиях вертикальных скважин задачу фильтрации можно в ряде случаев свести к двумерной, то при расчёте наклонных и горизонтальных скважин необходимо построение трёхмерных моделей фильтрации.

Большое значение для решения трёхмерных задач фильтрации имеет адекватное построение модели скважины или модели её работающей части - фильтра. На расчёт характеристик скважины, в частности её дебита, влияют не только поверхности, моделирующие непроницаемый грунт, поверхность питания, поверхности сопряжения, но и модель самой скважины. Действительно, выбор модели скважины определяет фильтрационное течение вблизи самой скважины, а значит и поток жидкости через поверхность скважины, который определяет дебит скважины. Поэтому наряду с разными моделями, описывающими свойства среды, целесообразно обратить внимание на модели скважин, которые приведены в литературе.

Простейшей моделью эксплуатационной скважины является точечный сток, расположенный в неоднородной (или однородной) среде. Эта модель применяется в основном для задач двумерной фильтрации [2, 15, 44, 61, 83]. Она позволяет выяснить особенности течения в тонких слоях с переменной проводимостью, решить определённый круг задач по исследованию влияния неоднородности среды на дебит скважины. В задачах двумерной фильтрации с помощью стока возможно моделирование несовершенных скважин. Эта модель скважины для трёхмерной фильтрации довольна груба, она не позволяет показать особенности трёхмерной задачи, провести расчёты для горизонтальных и наклонных скважин.

В ряде исследований, например, в работах П.Я. Полубариновой-Кочиной [59,60], А.А. Аксюхина [2], К.С. Басниева [11], В.А. Мироненко, В.М. Шестакова [41,89], В.В. Черных [88], Ярмахова И. Г. [94] используется трёхмерная модель скважины в виде "линейного стока", то есть скважина представляет собой отрезок точечных стоков, равномерно с одинаковой плотностью расположенных по оси скважины. На этой модели основаны также работы В.П. Пилатовского [66], B.C. Шевченко [67], С.Д. Джоши [112], P.M. Батлером [107]. В работе В.В. Черных [88], P.A. Goode [109] и A.J. Rosa [119] используется модификация этой модели скважины: ствол горизонтальной скважины (модель применяется только к горизонтальным скважинам) представлен в виде линии равных давлений и считается, что потери давления при движении жидкости в горизонтальном стволе равны нулю. Обычно эту модель называют моделью ствола с бесконечно большой проводимостью.

Обсуждение этих подходов среди специалистов США и Канады вызвало полемику в научных публикациях в вопросе об оценке продуктивности горизонтальных скважин [97-105, 116,118,120, 121]. Причём у ряда исследователей происходило изменение точек зрения на этот вопрос. Так, например, в статьях Супруновича и Батлера первоначально утверждалось, что модель линейного стока и модель с бесконечной проводимостью приводят к одним и тем же результатам. Однако в последующем авторы приходят к выводу, что давление в скважине нельзя считать, используя допущения о равенстве стоков, а дебит скважины нельзя рассчитывать исходя из условия постоянства давлений по длине скважины.

Вместе с тем Бабу и Одех, основываясь на результатах численных расчётов для нефтяных скважин, показали, что при обоих подходах значения давлений в середине скважины практически совпадают. Этот же результат получен и в данной работе. Но в тоже время они отмечают, что в модели линейного стока давление изменяется по длине скважины и на его торцах достигает максимума, а для модели при постоянстве давления дебит становится бесконечно большим на торце скважины. Таким образом, физическая некорректность представления горизонтальной скважины связана с проявлением концевых эффектов. В работе В.В. Черных [88] приведены оценки этих эффектов.

Для проведения расчётов в этих моделях задаётся давление в скважине.

Однако, как показывают исследования, проведённые в данной работе, а также они были указаны у В.А Мироненко [41] нужно выбрать точку на поверхности скважины, в котором будем задавать давление и от выбора этой точки будет зависеть дебит скважины. Для этого использовались разными исследователями разные искусственные приёмы. Например, по Маскету [40] в качестве такой точL ки выбиралась точка, находящаяся на расстоянии — от конца фильтра скважи8 ны. Здесь L - длина фильтра скважины. В.Д. Бабушкиным [10] было получено решение из условия равенства объёмов внутри эквипотенциальной поверхности, которая представляла собой эллипсоид вращения и объёма скважины. В.Н. Николаевским [43] и Н.Н. Веригиным [17] было предложено отождествлять давление в скважине со средним давлением на цилиндрической поверхности скважины. Радиус цилиндра предполагалось брать равным радиусу скважины, а образующая цилиндра должна быть прямой, задаваемой параметрически с изменяемым параметром s, изменяемом в пределах —0,5L < s < 0,5L.

В действительности приток жидкости к сважинам носит более сложный характер. Присутствуют существенные деформации в прискваженной зоне, искажающие её сопротивление, при течении жидкости в самой скважине имеются гидравлические потери, фильтр имеет своё сопротивление. В реальных условиях приток к скважине ещё больше осложняется за счёт геологической сложности пласта. Поэтому описанных выше моделей явно оказывается не достаточно для изучения движения жидкости к скважине.

В работах И.Г. Ярмахова [94,95] рассматривается течение жидкости не только вне скважины, но и внутри её. Трудности при создании такой математической модели скважины является построение описание двух пространственных гидродинамических процессов: фильтрация жидкости в пласте и её течение в самом стволе скважины. Учёт производится с помощью уравнения неразрывности, которое учитывает приток жидкости из пласта через стенку скважины. В этой работе также учитывается монотонное падение давления от окончания скважины к её устью (устье скважины - это пересечение горизонтальной части ствола с вертикальным участком скважины), благодаря динамическому напору и потери давления жидкости вследствие трения. Расчёты ведутся конечно-разностными методами.

В работах Ю.П. Борисова [15], К.С. Басниева [11] при моделировании скважин также учитывался массообмен скважины с окружающей средой.

Интересный подход к построению модели скважины был сделан в работе В.М. Гаврилко и B.C. Алексеева [19]. Скважина состоит из глухой части, по которой откачивается жидкость и рабочей части - фильтра Так как фильтр скважины представляет собой цилиндр с отверстиями, то скважину можно моделировать в виде непроницаемого цилиндра с отверстиями. В работе В.М. Гаврилко [19] приводится различный вид отверстий: круговые, эллиптические, линейные поперечние и линейные продольные и так далее.

В этой работе В.М. Гавриленко расчёт течения жидкости к таким скважинам производится из предположения, что в зоне, наиболее удалённой от скважины, можно пренебречь влиянием конструкции водоприёмной части на характер течения. В общем случае дебит скважины можно рассчитать гидравлические потери в прифильтровой зоне и на фильтре скважины с помощью дополнительных показателей безразмерного сопротивления или с помощью введения приведённого (фиктивного) радиуса вместо фактического радиуса скважины. Это сопротивление может быть найдено аналитически или экспериментально.1

1 Такой подход широко распространён в работах, основанных на использовании полуэмпирических формул, без построения сложных моделей. Например, в монографии [65] исследо

Аналитические решения притока жидкости к фильтру с круглыми отверстиями были получены М.Маскетом и A.JI. Хейном. Круглые отверстия при решении задачи заменялись стоками, размещёнными по образующим трубы-фильтра. В монографии [40] рассматривались только стоки, без непроницаемой цилиндрической поверхности, влияние которой в некоторой степени учитывалось за счёт интерференции стоков. Решение М. Маскета было детально исследовано В.И. Шуровым. Влияние фильтра учитывалось в виде безразмерного сопротивления и конечные результаты были получены путём аппроксимирования аналитических решений М. Маскета эмпирическими уравнениями.

A.JI. Хейном были получены решения для определения притока к фильтру с круглыми отверстиями в условиях неустановившегося течения. В результате было доказано, что эффект неустановившегося течения в прифильтровой зоне прослеживается в течение очень коротких промежутков времени, поэтому в практических расчётах можно ограничиться рассмотрением стационарного режима фильтрации.

В тех работах, где рассмотрены различные трёхмерные модели скважин, проводились различные исследования наклонных и горизонтальных скважин, расчёты проводились только для однородных сред, влияние неоднородности или анизотропии пласта не учитывалось.

Построенные модели скважин или являются очень грубыми, или учитывают тонкие эффекты, что проводит к значительному увеличению трудоёмкости вычислений. Использование же грубых моделей значительно искажает расчитываемые течения жидкости и расчитываемые параметры скважин.

Таким образом, из приведенного обзора следует, что в известных трудах не исследованы трёхмерные задачи о работе системы наклонных (в частности горизонтальных) скважин в кусочно-неоднородных слоях, в частности, не исследовалась влияние сингулярной поверхности на дебиты скважин. В указанных выше работах был проведён узкий круг исследований посвящёный влиянию вания основаны на формуле Дюпюи, расчитывающей дебит скважины в задачах двумерной фильтрации. Несовершенность скважины, влияние среды учитываются при помощи поправочных слагаемых неоднородности пласта на дебит скважины: исследования проводились только для двумерных задач. Также не проводились исследования, посвященные влиянию неоднородности среды на интерференцию скважин.

Целью работы является создание и исследование новых трёхмерных математических моделей работы системы скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях в случае, когда границы области фильтрации моделируются поверхностями класса Ляпунова. На основе этих моделей изучить влияние на дебит системы скважин неоднородности среды, границ области фильтрации, их взаимного расположения и интерференцию скважин. Построить новую математическую модель фильтров скважины, провести сравнительный анализ новой и известных моделей и обосновать использования этих моделей для конкретных задач практики.

Научная новизна и теоретическое значение работы состоят в следующем:

1. Построены и исследованы новые трёхмерные математические модели работы системы скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях, ограниченных поверхностью питания и непроницаемой поверхностью. Все граничные поверхности моделируются поверхностями класса Ляпунова, коэффициенты проницаемости сред в области фильтрации описываются произвольными гладкими функциями.

2. Для кусочно-неоднородных слоёв в случае канонических границ области фильтрации (сферы (полусферы) и плоскости (полуплоскости)) получены решения в конечном виде. Эти решения представляют интерес как модели течений к системе несовершенных скважин. Также эти решения используются для практической оценки скорости сходимости метода дискретных особенностей (в том числе и метода замкнутых дискретных вихревых рамок) для решения задач трёхмерной фильтрации с поверхностями класса Ляпунова.

3. В случае произвольных гладких границ исследование поставленных задач сводится с помощью потенциала двойного слоя к системе сингулярных интегральных уравнений второго рода типа Фредгольма и гиперсингулярных интегральных уравнений.

4. Для решения полученных гиперсингулярных интегральных уравнений обобщён метод замкнутых дискретных вихревых рамок, применяемый, на случай неоднородной среды, когда коэффициент проницаемости её является функцией одной переменной.

5. Численное решение фильтрационных задач позволяет использовать многозвенную аппроксимацию коэффициента проницаемости среды. Это позволяет построить эффективную методику расчёта дебитов скважин в средах с произвольными проницаемостями K(z) с помощью решения задачи через систему интегральных уравнений.

6. Построена новая модель скважины с перфорированным фильтром. Проведён сравнительный анализ разных моделей скважины, что позволило указать условия применимости известной модели "линейный сток" к решению задач. Отображены результаты сравнения разных моделей скважины, приведено уточнение старой модели. Дано обоснование использования указанной модели в конкретных задачах практики. Построение новой модели привело к решению задач с принципиально новыми граничными условиями. Исследование этих задач сведено к решению гиперсингулярных интегральных уравнений с S- функциями Дирака в правой части.

7. Исследовано влияние на дебиты скважин границ области фильтрации, неоднородности слоя, их взаимное расположение и интерференция. Приведён сравнительный анализ дебитов горизонтальных, наклонных и вертикальных скважин. Указаны условия, при которых дебит системы скважин максимален.

Практическая значимость. Построенные модели применены к актуальным задачам практики в случае кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоёв грунта. Решены конкретные задачи практики, возникающие при разработке нефтеносных (водоносных) слоев грунта сложной геологической структуры.

В работе показано, что для целого ряда исследований можно воспользоваться упрощённой моделью "линейный сток" . При решении задач о нахождении де-битов системы скважин как в кусочно-однородных, так и кусочно-неоднородных слоях большую роль играют размеры и взаимное расположение областей фильтрации, а также расположение в них скважин, чем их форма. Указаны практические рекомендации по размещению скважин в области фильтрации относительно её границ, их взаимного расположения в случае, когда взаимное влияние скважин друг на друга велико. Приведены примеры расчёта расположения скважин, при котором дебит скважин, расположенных в грунте сложной геологической структуры, макимален.

На основе проведённого численного эксперимента показана целесообразность использования горизонтальных и наклонных скважин по сравнению с вертикальными скважинами.

Построенная новая модель скважин, позволяют более точно рассчитать де-биты как вертикальных, так и горизонтальных скважин при их близком расположении друг от друга.

Достоверность результатов работы обеспечивается применением строгого математического аппарата, подтверждена сопоставлением полученных результатов с известными результатами общепризнанных математических моделей.

Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: "Проблемы гидродинамики "Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), "Интегральные уравнения "факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров и профессор И.К. Лифанов), "Вычислительная математика и математическая физика" (рук. академик Н.С. Бахвалов и профессор В.И. Лебедев).

По мере получения основные результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики» кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень 1998 — 2003 г.г.); на X Международном симпозиуме "МДОЗМФ — 2001", посвященном памяти профессора С.М. Белоцерковского; на школе молодых учёяых "МДОЗМФ - 2002"; на XI Международном симпозиуме "МДОЗМФ -2003".

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [114,54, 75,76,77].

Структура и краткое содержание работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и иллюстраций. Общий объём работы составляет 173 страницы. Библиография содержит 121 наименование.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Построены и исследованы новые трёхмерные математические модели работы системы скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях, ограниченных поверхностью питания и непроницаемой поверхностью. Все поверхности моделируются поверхностями класса Ляпунова, проницаемости сред в области фильтрации описываются произвольными гладкими функциями.

2. Для кусочно-неоднородных слоёв в случае канонических границ области фильтрации (сферы (полусферы) и плоскости (полуплоскости)) получены решения в конечном виде.

3. Численно решена система фредгольмовских и гиперсингулярных интегральных уравнений. Обобщён метод замкнутых дискретных вихревых рамок, применяемый для решения гиперсингулярных интегральных уравнений, на случай неоднородных сред, когда проницаемость среды является функцией одной переменной.

4. С помощью решения задач трёхмерной фильтрации в конечном виде получены практические оценки скорости сходимости метода дискретных особенностей (в том числе и метода замкнутых дискретных вихревых рамок). Эти решения также использованы как тестовые.

5. Показана эффективная методика расчёта дебитов скважин в средах с произвольными проницаемостями K(z) с помощью решения задачи через систему интегральных уравнений и проведены примеры расчётов. Полученный результат обобщён на случай решения трёхмерных задач фильтрации в слоистых средах.

6. Построены новые модели фильтров скважин. Отображены результаты сравнения разных моделей скважины, приведено уточнение известных моделей. Дано обоснование использования той или иной модели в конкретных задачах практики. Построение новой модели привело к решению граничных задач с принципиально новыми граничными условиями, а также к решению гиперсингулярных интегральных уравнений с обобщёнными функциями в правой части.

7. Исследовано влияние на дебиты скважин границ области фильтрации, неоднородности слоя, их взаимное положение и интерференция скважин. Решена задача оптимального расположения скважины в области фильтрации. Приведён сравнительный анализ дебитов горизонтальных и наклонных скважин с вертикальными скважинами.

Проведённые исследования значительно расширяют круг решённых трёхмерных задач фильтрации. Предложенные в работе методы и исследования граничных задач могут быть использованы для исследования других физических процессов, описываемых уравнением (1.1.6) и соответсвующими граничными условиями.

Заключение

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. Москва. Недра. 1982. 407 с.

2. Аксюхин А.А. Математическое моделирование граничных задач фильтрации к скважине в неоднородных слоях грунта. Автореф. канд. дисс. Орёл. ОГУ. 2000, 20с.

3. Аксюхин А.А. Определение дебита наклонных скважин методом дискретных особенностей// Тр. X Международного симп. «МДОЗМФ — 2001». Херсон. 2001. с. 11 — 17.

4. Аксюхин А.А., Пивень В.Ф. Определение дебита скважины в неоднородном слое, толщина которого изменяется по степенному закону// Вестник науки. Сб. тр. ученых Орл. обл. В. 5. Т. 1. Орел. ОГТУ. 1999. с.284 289.

5. Алехашкин Я.И. Один способ расчёта дебита для напорного притока к несовершенной скважине // Вычислительная математика. 1957. №1, с. 131135.

6. Алехашкин Я.И. Решение задач о несовершенной скважине методом прямых // Вычислительная математика. 1957. №1, с. 136-152.

7. Айдашов Н.Ф. Математическое моделирование гидродинамики нефтяного месторождения в процессе продуктивной эксплуатации. Канд. дисс. Ижевск. 2000. 150 с.

8. Бабушкин В.Д. Указания по определению коэффициента фильтрации при опытных откачках из несовершенных скважин. М.: ВОДГЕО. 1950. 36с.

9. Бабушкин В.Д., Абрамов С.К. Методы расчёта притока воды к буровым скважинам. М.: Госстройиздат, 1955, 195с.

10. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. М. Недра, 1993г.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. .Наука, 1987г.

12. Белов А.В. К вопросу двумерного течения жидкости в слоях, толщина или проницаемость которых изменяется по чётному степенному закону. Кандид, дисс. М.: МОПИ. 1966. 196с.

13. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука. 1985, 253с.

14. Борисов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений горизонтальными и многозабойными скважинами. М. Недра, 1964, 154с.

15. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложениях.М. Янус-К, 2001, 507с.

16. Веригин Н.Н. Методы определения фильтрационных свойств горных пород. М., Госстройиздат, 1962, 180с.

17. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М. Наука, 1971, 512с.

18. Гаврилко В.М., Алексеев B.C. Фильтры буровых скважин. М.: Недра, 1985г., 330с.

19. Гиринский Н.К. Некоторые вопросы динамики подземных вод. Гидрогеолог. и инж. геолог. 1947. No 9, с. 3-100

20. Гиринский Н.К. Определение коэффициента фильтрации по данным опытного водопонижения. Разведка недр. 1952. No 5, с. 46-48.

21. Гладышев Ю.А. Течения идеальной жидкости в слоях, толщина которых изменяется по степенному закону. Уч. зап. МОПИ. 1961. Т.99. Теоретическая физика. Вып.5. с. 59-67.

22. Голубева О.В. О моделировании работы скважин при напорной фильтрации жидкости в горизонтальных пластах. // Уч. зап. МОПИ. Т. XCIX. Тр. каф.физики. Вып.5. 1961.

23. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1972, 368с.

24. Голубева О.В., Петров Н.П. О продвижении границы раздела жидкостей в анизотропных средах. // Проблемы теоретической гидродинамики. Межвузовский сб. науч. трудов. Тула. 1978. с. 32-35.

25. Голубева О.В. Модели анизотропных сред, приводящие к канонической форме уравнения фильтрации. // МОИП М.: Наука, 1988, с. 1-12.

26. Гусейн-Заде М.А. Особенности движения жидкости в неоднородном пласте. М.: "Недра" 1965. 276с.

27. Данилов B.JI. Интегро дифференциальные уравнения движения водо-нефтяного контакта в пористой среде// Тр. Всес. матем. съезда. Москва. Из-во АН СССР. 1956. T.I. с. 203.

28. Данилов B.JI. Интегро дифференциальные уравнения движения границы раздела жидкостей в пористой среде// Изв. Казанского филиала АН СССР. Сер. физ. - мат. и тех. наук. 1957. Вып. 11. с. 99 — 133.

29. Данилов B.J1., Кац В.М. Об одном новом методе решения многомерных задач массопереноса в пористых средах// Архив горного дела. Краков. 1972. Т. XVII. Вып. 4. с. 353 360.

30. Данилов B.JI., Кац В.М. Метод зональной линеаризации в нелинейных многомерных задачах массопереноса в пористых средах// Изв. АН СССР. Сер. Мех. жид. и газа. 1973. № 4. с. 66 80.

31. Дворецкий П.И., Ярмахов И.Г. Электромагнитные и гидродинамические методы при освоении нефтегазовых месторождений. М.: ОАО Изд-во "Недра". 1998. 318с.

32. Довгий С.А., Лифанов И.К. Методы решения интегральных уравнений. Теория и приложения. Наукова Думка, Киев, 2002,343с.

33. Кочина И.Н. Приток к щелевому фильтру. Труды МНИ. 1957. Вып. 20.

34. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974г., 831с.

35. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М. ТОО Янус. 1995. 520с.

36. Магаршак Т.О. Трёхмерная аналитическая модель двухфазного вытеснения с применением горизонтальных скважин. М. Кандид, дисс. 1995, 103с.

37. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. Москва. Недра. 1976. 264 с.

38. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М. Наука. 1989. 609с.

39. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.-Л.: Го-стоптехиздат. 1949.628с.

40. Мироненко В.А., Шестаков В.М. Теория и методы интерпретации опытно-фильтрационных работ. М.: Недра, 1978г, 326с.

41. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М. Физмат-гиз, 1959г, 232с.

42. Николаевский В.Н. О расчёте дополнительного фильтрационного сопротивления скважин несовершенных по степени вскрытия. // Известия АН СССР, ОТН, №8, 1957, с. 161-165

43. Никольский Д.Н. Математическое моделирование работы системы скважин в однородных и неоднородных слоях с подвижной границей разделажидкостей различной вязкости. Автореф. канд. дисс. Орёл. ОГУ. 2002, 16с.

44. Осятинский С.Д. К расчёту дебита скважины в неоднородном пласте // Известия ВУЗов. Нефть и газ. №11. 1964, с. 43-44.

45. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М. Наука. 1965г. 127с.

46. Пивень В.Ф, Вопросы теории вытеснения жидкостей при нелинейной фильтрации. Канд. диссертация. Москва. 1974. 119 с.

47. Пивень В.Ф. Пространственная фильтрация в кусочно-неоднородной среде. / / Теоретические основы гидродинамики. Межвузовский сб. науч. трудов. Тула. 1980. с. 11-14.

48. Пивень В.Ф. К задаче фильтрации в кусочно-неоднородной среде. // Теоретические основы гидродинамики. Тула: изд-во тульского пед. института, 1981. с. 24-29.

49. Пивень В.Ф. О течениях в кусочно-неоднородной пористой среде. // Исследования по специальным задачам гидродинамики. МОИП. М.: Наука. 1982г. с. 85-88.

50. Пивень В.Ф. Точечный источник в неоднородной пористой среде. // Некоторые модели сплошных сред и их приложения МОИП. М.: Наука. 1988г. с. 48-54

51. Пивень В.Ф. Функции комплексного переменного в динамических процессах. Орёл. Изд-во ОГПИ. 1994. 148с.

52. Пивень В.Ф. Сведение граничной задачи сопряжения обобщённых аналитических функций к интегральному уравнению. Дифференциальные урав-нения.1999. с. 1194-1198

53. Пивень В.Ф., Ставцев C.JI. Численное решение интегрального уравнения задачи сопряжения осесимметричной фильтрации. // Труды IX международного симпозиума "МДОЗМФ-2000", с. 354-358

54. Пивень В.Ф. Интегральное уравнение граничной задачи сопряжения фильтрационных течений в неоднородной среде. Труды "МДОЗМФ -2000", 2000, с. 343 348.

55. Пивень В.Ф. Единственность решения граничных задач сопряжения физических процессов в неоднородной среде. Труды "МДОЗМФ 2001", 2001, с. 265 - 270.

56. Пирвердян A.M. Физика и гидравлика нефтяного пласта. Москва. Недра. 1982. 192 с.

57. Полубаринова-Кочина П.Я. Некоторые задачи плоского движения грунтовых вод. М.: Изд-во АН СССР. 1942. 142с.

58. Полубаринова-Кочина П.Я. Задача о системе горизонтальных скважин. // Arhiwum mechaniki stosowaney. 1955. Т.7, вып. 3, с. 287-300

59. Полубаринова-Кочина П.Я. О наклонных горизонтальных скважинах конечной длины. // прикладная математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 1, с. 95-108

60. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М. Наука. 1977. 664с.

61. Радыгин В.М., Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высшая школа. 1983, 160с.

62. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М. "Наука". 1969 г. 546с.

63. Разработка нефтяных месторождений наклонно-направленными скважинами. // под ред. Маркова Ю.М. М.: Недра, 1986, 278с.

64. Разработка нефтяных месторождений. // под ред. Ибрагимова Г.З., Хи-самутдинова Н.И., Муравленко С.В. и др. Т.2. М.: Всероссийский научно-исследовательский институт организации, управления и экономики нефтегазовой промышленности, 1994, с.272

65. Разработка нефтяных месторождений горизотальными и многозабойными скважинами // под ред. Ю.П. Борисова, В.П. Пилатовского, В.П. Табакова. М.: Недра, 1964

66. Разработка нефтяных месторождений наклонно-направленными скважинами // под ред. B.C. Шевченко, Н.П. Захарченко, Я.М. Кагана, В.П. Максимова и др. М.: Недра, 1986, с. 278

67. Салехов Г.С. К определению функции давления в неоднородных пластах нефтяных месторождений // ДАН СССР. Т. 105, №. 1955. с. 1174-1176

68. Саттаров М.М., Мусин М.Х., Полудень И.А. Системы разработки месторождений с помощью горизонтальных скважин. М.: ВИНИТИ, 1991, 141с.

69. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том II. М. Наука. 1994. 560с.

70. Сетуха А.В. Уравнения математической физики. Учебное пособие. Издание ВВИА им. проф. Жуковского, 1998 г. 326с.

71. Сетуха А.В. Краевая задача Неймана с граничным условием на разомкнутой плоской поверхности. // Дифференциальные уравнения. Т.37, №10, 2001г.

72. Сетуха А.В. О плоской краевой задаче Неймана с обобщёнными граничными условиями. // Дифференциальные уравнения. Т. 38, №9, 2002 г.

73. Ставцев С.JI. Точное решение задачи о дебите системы скважин для контура питания в виде полусферы при наличии непроницаемой границы. // Труды X международного симпозиума "МДОЗМФ-2001", с. 340-345

74. Ставцев С.Л. Особенности расчёта поля скоростей трёхмерных течений в кусочно-неоднородной среде. // Труды "Школы молодых учёных МДОЗМФ-2002", 2002, с. 92-97

75. Ставцев С.Л. Моделирование фильтров скважин.// Вкник Харшвського нацюнального ушверситету. Т.590, 2003, с. 231-235

76. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.М. Наука. 1966. 724с.

77. Тумашев Г.Г. Определение поля давлений в кусочно-однородных пластах. // Известия ВУЗов. Математика. 1958. № 3, с. 203-216.

78. Тумашев Г.Г., Плещинский Б.И. Вычисление функции давления в одном кусочно-однородном пласте. // Уч. зап. Казанского ун-та, 1958. Т.118. Вып.2, с. 228-233.

79. Фролов М.А. Нахождение дебита скважины в кусочно неоднородном слое с экспонециальным законом изменения его толщины// Вестник наук. Сб. тр. ученых Орл. обл. В. 5. Т. 1. Орел. ОГТУ. 1999. с.306 - 312.

80. Фролов М.А. Двумерная задача о работе нескольких скважин в кусочно -неоднородном слое проводимости Р = ch2(iiy)// Тр. IX международного симпозиума «МДОЗМФ — 2000». Орел. 2000. с. 451 — 456.

81. Фролов М.А. Исследование двумерных граничных задач о дебитах системы скважин в неоднородных слоях, проводимости которых моделируются гармоническими и метагармоническими функциями координат. Канд. диссертация. Орел. 2001. 148 с.

82. Фролов М.А., Аксюхин А.А. Решение двумерных граничных задач о дебите скважин в неоднородных слоях грунта методом интегральных уравнений// Тр. X Международного симп. «МДОЗМФ — 2001». Херсон. 2001. с. 364 373.

83. Хмельник М.И. Исследование некоторых течений в двусвязной области и их применение в теории фильтрации // Уч. зап. каф. теорет. физики Московского областного пед. института. М.: Из-во МОПИ, 1968. Т. 200. Вып.7. с. 100-113.

84. Чарный И.А. Приток к скважинам в пластах с неоднородной проницаемостью. // Инженерный сборник. Т. 18. 1954. с. 31-40.

85. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963. 396с.

86. Черных В.В. Метода расчёта продуктивности многоствольных газовых скважин. М.: ООО "ВНИИГАЗ", 2001, 194с.

87. Шестаков В.М. Динамика подземных вод. М. Изд-во Московского ун-та, 1979г.

88. Щелкачёв В.Н., Пыхачёв Г.Б. Интерференция скважин и теория пластовых водонапорных систем. Баку. АЗГОНТИ. 1939. 288с.

89. Щелкачёв В.Н., Лапук Б.Б., Подземная гидравлика. М.-Л.: Гостоптехиздат, 1949, 524с.

90. Ювченко Н.В. Математическое моделирование разработки нефтяных месторождений системами горизонтальных скважин при режимах вытеснения. М.: ВНИИОЭНГ, 1989г.

91. Ювченко Н.В. Некоторые задачи притока к горизонтальным скважиным. М.: ВНИИОЭНГ, 1989г.

92. Ярмахов И.Г. Численное иследование процессов фильтрации и полей постоянного тока в задачах каротажа скважин. Автореф. канд. дисс. М., МГУ, 1983. Юс.

93. Ярмахов И. Г., Дворецкий П. И. Электромагнитные и гидродинамические методы при освоении нефтегазовых месторождений. М.: Недра, 1998, с.щ 317.

94. Adagbesan К.О. Reservoir simulation study of a thermal horizontal well pilot in the cold lake oil sands // SPE Reservoir Eng. (1992), 7(4), 403-406

95. Babu D.K., Odeh A.S. Authors reply to discussion of productivity of a horizontal well // SPE Reservoir Engineering. 1990. V.5 №2, p. 256

96. Babu D.K., Odeh A.S. Authors reply to discussion of productivity of a horizontal well // SPE Reservoir Engineering. 1990. V.5 №3, p. 438

97. Babu D.K., Odeh A.S. Authors reply to discussion of productivity of a• horizontal well // SPE Reservoir Engineering. 1991. V.6 №1, p. 148

98. Babu D.K., Odeh A.S. Authors reply to discussion of productivity of a horizontal well // SPE Reservoir Engineering. 1991. V.6 №1, p. 151-152

99. Babu D.K., Odeh A.S. Al- Khalifa A.J., McCann R.C. The relation between well-block and wellbore pressure in numerical simulation of horizontal wells. // SPE RE (August 1991), p. 324-328

100. Babu D.K., Odeh A.S. Authors reply to discussion of productivity of a horizontal well // SPE Reservoir Engineering. 1992. V.7 №4, p. 454-455

101. Babu D.K., Odeh A.S. Authors reply to discussion of productivity of a horizontal well // SPE Reservoir Engineering. 1993. V.8 №2, p. 161

102. Bergin S.R., Weinstain C. A., Damodaran R.M. The combined use of reservoir simulation and horizontal drilling technologies in gas storage operations / / Oper. Sect. Proc. Am. Gas Assoc. 1994, p. 718-722

103. Brigham W.E. Discussion of productivity of a horizontal well // SPE Reservoir Engineering. 1990. V.5 №2, p. 254-255

104. Broman W.H., Stagg Т.О., Rosenzweig J.J. Horizontal well performance at prodhol bay. JPT, J. Pet. Technol. 1992, 44(10)

105. Butler R.M. Horizontal well for the recovery of oil, gas and bitumen. Calgary. Canada, 1994

106. Chang H.L., Ali S.M.F., George A.E. Performance of horizontal-vertical combinations for streamflooding bottom water formations. J. Can. Pet. Technol. 1992, 31(5), p. 41-51

107. Goode P.A., Thambynayagan R.K.M. Pressure drawdown and build up analysis of horizontal wells in anisotropic media // SPE Formation Evaluation. 1989. V.4 №, p. 559-575.

108. Gussis G. Simulation of steam injection trough horizontal wellbores for viscous oil recovery. // Paper JV&HCTS/CF.31817, proceedings of the 3-rd international conference on heavy oil and tars sands. Long beach. California, 1985, p. 699-725

109. Huang W.S., Hight M.A. Evaluation of streamflood processes with horizontal wells // SPE Reservoir. Eng. 1989, №4(1) p. 69-76

110. Joshi S.D. Horizontal well technology. Oklahoma. USA, 1991

111. Ко S.C.M., Bakes P.A., Kehrig R., Chodzicki Z., Simulation of horisontal well performance while waterflooding the weyburn midale beds pool of south eastern Saskatchewan. J. Can. Pet. Technol., 1993, 32(9), p. 28-36.

112. Peaceman D.W. Interpretation of well block pressures in numerical reservoir simulation with non square grid blocks and anisotropic permeability. / / SPE J, June, 1983, p. 531 -543.

113. Peaceman D.W. Further discussion of productivity of a horizontal well // SPE Reservoir Engineering. 1990. V.5 №3, p. 437-438

114. Peaceman D.W. Representation of a horizontal well in numerical research reservoir simulation.// SPE Symposium on reservoir simulation. Anaheim, C.A, Feb. 1991, p. 17-20.

115. Peaceman D.W. Further discussion of productivity of a horizontal well // SPE

116. Reservoir Engineering. 1991. V.6 №1, p. 149-150

117. Rosa A. J., Renato de Souza Carvalho A mathematical model for pressure evaluation in an infinite-conductivity horizontal well // SPE Formation Evaluation. 1989. V.4 №4, p. 559-575.

118. Suprunowicz R., Butler R.M. Discussion of productivity of horizontal well // SPE Reservoir Engineering. 1992. V.7 №4, p. 453-454

119. Suprunowicz R., Butler R.M. Further discussion of productivity of horizontal well // SPE Reservoir Engineering. 1993. V.8 №2, p. 1601. Иллюстрации7oi

120. Рисунок 1.1. Область фильтрации1. К Z2(И1. Мы1. Va,1. Л*