Математическое моделирование двумерных фильтрационных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения

Квасов, Андрей Александрович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование двумерных фильтрационных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения

кандидата физико-математических наук: Квасов, Андрей Александрович
город: Орел
год: 2003
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математическое моделирование двумерных фильтрационных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения»

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование двумерных фильтрационных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения"

ВОЕННО - ВОЗДУШНАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н.Е. ЖУКОВСКОГО

На правах рукописи

Квасов Андрей Александрович

' УДК 532.546

Математическое моделирование двумерных фильтрационных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2003

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Орловского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

В.Ф. Пивень

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор

М.И. Хмельник

кандидат физико-математических наук,

доцент

A.B. Сетуха

Ведущая организация:

факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Защита состоится «¿5» 200года в /У^часов на за-

седании диссертационного совета Д 115.001.01 Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского по адресу: 125190, г. Москва, ул. Планетная, д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Военно -воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского.

{

А.Ю. Анфиногенов

Автореферат разослан « » ¿^^$^200^ года.

Учёный секретарь диссертационного совета, / кандидат физико-математических наук х^Гр

В автореферате пронумеровано 21 стр.

2.003-Д

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Общие запасы воды на земном шаре составляют около 1386 млн. км3. Из них большая часть значительно минерализована или засолена. Объём пресных вод составляет 35 млн. км3, т.е. 2,5% общего запаса воды на Земле. Причём их основная часть представлена ледниками и снежными покровами Антарктиды, использование которых в промышленности и быту крайне осложнено. Потребление же пресной воды во всём мире неуклонно возрастает. Открытые водные бассейны уже не могут удовлетворить потребности в пресной воде. Поэтому в последнее время всё более широко и интенсивнее потребляются подземные воды.

Важнейшая роль подземных вод в жизни человечества определяет необходимость надёжной их охраны. Если профилактические мероприятия по предупреждению загрязнения подземных вод оказались не эффективными, или они вообще не проводились, то в области фильтрации появляются очаги загрязнения от которых распространяются загрязнённые воды. Источники загрязнения, из которых в подземные воды поступают загрязняющие вещества, могут быть весьма разнообразными. Это и хранилища промстоков, и участки складирования нефтяной, газовой, химической промышленности, а так же, многие другие участки скопления жидких и твёрдых отходов жизнедеятельности человека. Источниками загрязнения могут быть также районы техногенных катастроф и чрезвычайных происшествий.

Изучению фильтрационных течений вблизи очагов загрязнений в однородных и неоднородных средах посвящены работы Ж. Фрида, В.М. Гольдберга, Е.Л. Минкина, О.В. Голубевой, Ф.М. Бочевера,

A.Е. Орадовской, И.Г. Бобковой, И.С. Муродова, А.Н. Куликова,

B.Д. Бабушкина и других исследователей. При изучении течений и определении условий, исключающих возможность подтягивания загрязнения к эксплуатационной скважине, в подавляющем большинстве работ, проводились для загрязнённых или засолённых водоёмов. На практике часто встречаются очаги загрязнения, проводимость которых конечна и отличается от проводимости соприкасающегося с ним грунта. Расчёты предельно допустимого дебита водозабора, работающего без загрязнения в основном проводились для слоёв постоянной проводимости и границ загрязнения в виде прямых, окружностей. При этом, в задачах об определении предельно допустимого дебита водозабора не рассматривались вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. Известны работы, в которых определены вымываемые только поступательным потоком грунтовых вод шлейфы из очагов загрязнения, ограниченных кривыми второго порядка. Другой, важной в практическом отношении, является задача 01 г^^^щ^^^аянгарной охраны водозаборов. Она решена в предпол эжен^ Грунта.

С.Петербург чг I

оэ I

Естественные же фильтрационные слои имеют сложную структуру. К тому же, в фильтрационном слое могут находиться очаги загрязнения, проводимость которых отлична от проводимости чистого грунта. Границами очагов загрязнения в общем случае являются произвольные кривые.

Целью работы является построение и исследование новых математических моделей двумерных течений к водозаборам в неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения, исследование вымываемых загрязнённых шлейфов, определение условий работы водозаборов без загрязнения, а в случае загрязнения — коэффициента загрязнения водозабора.

Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:

1. Построены и изучены новые математические модели двумерных течений к водозаборам, работающим без загрязнения в сложных по геологической структуре слоях. Проводимость слоев моделируется степенной функцией координат, а границы загрязнения — кривыми класса Ляпунова.

2. Поставлена новая задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения. Решение этой задачи позволяет указать условия, при которых водозабор не загрязняется (указать расположение водозабора и его критический дебит), а в случае загрязнения — определить коэффициент загрязнения водозабора.

3. Для канонических границ (прямая, окружность) получены в конечном виде новые решения задач об определении шлейфа вымываемого загрязнения, найден критический дебит водозабора, работающего без загрязнения. Эти решения используются в качестве тестовых при численных расчётах задач в случае сложных границ загрязнения.

4. Для сложных границ загрязнения, моделируемых кривыми класса Ляпунова, исследование шлейфа вымываемого загрязнения сводится к решению интегрального уравнения второго рода типа Фредгольма. Для его решения используется метод дискретных особенностей (МДО). Этот метод позволил значительно расширил класс исследуемых задач и рассмотреть очаги загрязнения, ограниченные кусочно-ляпуновскими кривыми.

5. Построены вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. Указаны условия, при которых водозаборы, расположенные в кусочно-неоднородных слоях работают без загрязнения: найдены их местоположения в слое и критические дебиты. Исследовано влияние различных параметров фильтрационного течения на размеры вымываемых шлейфов загрязнения, на предельно допустимый дебит водозабора.

Построенные и исследованные модели граничных задач двумерных фильтрационных течений могут быть применены к другим физическим процессам, описываемыми аналогичными уравнениями.

Практическая значимость работы. В работе построен и изучен широкий класс новых двумерных (в том числе осесимметричных) моделей фильтрационных течений. Эти модели применены к расчёту конкретных природных слоёв (пластов), содержащих очаги загрязнения и имеющие сложную геологическую структуру.

Найден вымываемый шлейф загрязнения, указаны условия работы водозаборов без загрязнения, определены области захвата эксплуатационных скважин (зоны их санитарной охраны). Исследованы влияния на размеры вымываемых шлейфов и на предельно допустимую мощность работающего без загрязнения водозабора неоднородности слоя, формы, размера и проницаемости очагов загрязнения, удалённости водозабора от загрязнённой области. Исследовано влияние симметрии задачи на предельно допустимый дебит водозабора. Результаты этих исследований позволили определить условия, при которых вместо сложных численных расчётов на основе интегральных уравнений, можно использовать простые (в ряде случаев известные) формулы для нахождения предельно допустимого дебита.

Результаты исследований могут быть использованы в природоохранных мероприятиях, в частности, для определения зон санитарной охраны водозаборов и расчёта их предельно допустимых дебитов.

Достоверность результатов работы обеспечивается строгостью проведённых математических исследований, подтверждена сопоставлением полученных аналитических и численных решений конкретных задач с известными результатами, которые являются частными случаями полученных решений.

Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: «Проблемы гидродинамики» Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), «Интегральные уравнения» факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров, профессор И.К. Лифанов), на заседании кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. кафедрой профессор В.Ф. Пивень).

дискретных особенностей в задачах математической физики» (посёлок Лазурное Херсонской области, ХГПИ, 2001 г.), на VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», (г. Казань, Казанский гос. техн. ун-т, 2002 г.).

Кроме того, основные результаты работы представлены в виде опубликованных докладов и тезисов докладов на Всероссийской научно-практической конференции «Новое содержание образования и проблемы готовности сельской школы к его реализации» (г. Орёл, 20 - 23 мая 1996 г.); на международной конференции «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)» (г. Красноярск, 25 - 30 августа 1997 г.); на «VII Международной научной конференции им. академика М. Кравчука» (Украина, Киез, 1998 г.); на международных конференциях: «Математическое моделирование систем: методы, приложения и средства» (г. Воронеж, 12 -16 октября 1998 г.), «Modern approaches to flows in porous media» (г. Москва, 6-8 сентября 1999 г.), «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, 17-19 ноября 1999 г.).

На защиту выносятся: постановка новой задачи об определении шлейфа вымываемого загрязнения в кусочно-неоднородных слоях; полученные в конечном виде новые решения для границ загрязнения в виде прямой и окружности; решение на основе интегрального уравнения поставленной задачи в случае сложных границ очага загрязнения; разработанная схема численного эксперимента по определению критического дебита водозабора; найденные: зоны санитарной охраны водозабора, условия работы водозаборов без загрязнения, коэффициенты загрязнения водозабора, работающего с дебитом, превышающем предельно допустимое значение; исследованные зависимости размеров и формы вымываемых шлейфов загрязнения, величины предельно допустимого дебита водозабора от неоднородности слоя, размеров и формы очага загрязнения, расположения водозабора, симметрии задачи.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Библиография содержит 176 наименований. Общий объём работы составляет 200 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведён обзор литературы по теме исследования. Указана цель работы, её новизна, теоретическая и практическая значимость, достоверность полученных результатов, их апробация. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся в безразмерном виде основные уравнения двумерной фильтрации в тонких неоднородных изотропных слоях проводимости Р = КН> 0 (К — коэффициент проницаемости слоя, Я — его толщина) с горизонтальной подошвой.

В комплексной плоскости г = х + 'ху ставится задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения. Область фильтрации О состоит из чистой области Д и очага загрязнения, занимающего область Д>. Области и сопрягаются по кривой Г. В рамках одножидкостной модели, считаем,

что протекая через область £)2, жидкость загрязняется и за областью Сг образуется шлейф вымываемого загрязнения. Пусть фильтрационное течение обусловлено поступательным потоком, скорость которого равна и, и работой водозабора, представляющего собой совершенную скважину суммарного дебита П. Работа водозабора моделируется точечным стоком мощности д = П1Р{г0), расположенным в точке га = хо + гуй. В результате фильтрационного течения жидкости возможны, изображённые на рис. 1 и рис. 2, схемы промывания загрязнения с образованием шлейфов загрязнения (области С, и С,).

Если {д> зависит от неоднородности слоя, размера и формы очага загрязнения, расположения водозабора относительно загрязнённой области £>г), то нейтральная линия (линия, ограничивающая область захвата водозабора и проходящая через критическую точку г*) не пересекает очага загрязнения (рис. 1). Она может лишь только касаться области й2 при ц = д.. Вымываемый шлейф загрязнения С7( имеет стационарные границы: Г0 и две линии тока гхгт 2г а также, не

стационарную границу У,. Шлейф С, (рис. 1) в водозабор не попадает и при неограниченном возрастании времени — локализован (заключён между частью границы загрязнения Г'0 и частью нейтральной линии тока

Таким образом, при q<q• шлейф вымываемого загрязнения не попадает в водозабор, а следовательно, эксплуатационная скважина работает без загрязнения. Величину д• называют критическим (предельно допустимым) дебитом.

При <у > д., как показано на рис. 2, нейтральная линия тока пересекает область загрязнения Шлейф как и в случае рис. 1, при неограниченном возрастании времени, уходит в бесконечность и имеет стационарные границы: линии тока 2\2Х, 222^ и часть границы загрязнения Г0, заключённую между точками и 2г. Вторая часть шлейфа вымываемого загрязнения С, рис. 2 имеет стационарные границы: Г'0 (часть границы загрязнения Г, заключённую между точками 23 и 2а), одну из ветвей нейтральной линии тока 2»г.2о и линию тока 2з20. Шлейф С, при ц> ц- подтягивается к водозабору и в определённый момент времени попадает в него. В этом случае важно оценить степень загрязнения вод в водозаборе. .Для этого необходимо указать ту часть у0 границы Г, откуда вымываемое загрязнение попадает в водозабор.

Таким образом, для определения и исследования шлейфа вымываемого загрязнения необходимо во первых, найти число т (т= 1, 2, ..^таких линий тока, каждая из которых имеет с Столько одну общую точку гт (рис. 1, рис.2). Во вторых, необходимо выяснить взаимное расположение области захвата водозабора и очага загрязнения.

Итак, задача состоит в том, чтобы при заданных: проводимости слоя, дебите и положении эксплуатационной скважины, скорости поступательного потока, очаге загрязнения, необходимо найти и исследовать шлейф вымываемого загрязнения. Это позволит определить зону санитарной охраны водозабора (его область захвата), указать условия работы водозабора без загрязнения, а в случае его загрязнения — определить коэффициент загрязнения водозабора.

Согласно В.Ф. Пивню, сформулированную выше задачу поставим для комплексного потенциала. Фильтрационное течение описывается следующими из закона Дарси и уравнения неразрывности уравнениями:

Ь(р____

дх =Р~ду' ду~ Р дх' ( }

записанными в безразмерных величинах. Введя комплексный потенциал

уравнения (1) запишем в виде:

+ z е Д D = D,UD2, (2)

где A(Z) = ¿lnV^, 2¿ = |- + i|-. ¿г я & Зу

В кусочно-неоднородном слое грунт в областях Di и £>2 характеризуется непрерывными коэффициентами проницаемости Aj и К2. Считаем, что их скачёк на границе сопряжения Г областей D\, D2 имеет вид KJyZ) = kJC(z) (к\ и кг — const, v= 1, 2). Полагаем, что толщина слоя Я непрерывна во всей области фильтрации D. Тогда проводимость слоя в областях D] и D2 характеризуем функциями PJj) - kJP(z), v- 1, 2. Течение в областях Di и D2 опишем удовлетворяющими уравнению (2) комплексными потенциалами

zeDt, v ~ 1,2. (3)

P(z)

Границу сопряжения Г моделируем кривой класса Ляпунова. Пусть она задана параметрическим уравнением:

z = z(l) (X =*(/), .И =Х0), (4)

где /—параметр.

На границе сопряжения Г выполняются граничные условия: непрерывность давления и расхода жидкости, которые для комплексных потенциалов (3) записываются следующим образом:

(1 - X)Wx+ (z) = W{ (z) 4- XW2 (z), zef, (5)

h j —

где Я = —--, А € [-1, 1), «+» и «-» обозначены предельные значения со-

кх +к2

ответствующих функций при подходе к /"из области Dl и £>2.

Область фильтрации может быть ограничена сингулярной линией ¿о, на которой проводимость Р обращается в ноль либо в бесконечность и линией сброса (либо эквипотенциалью) £. Граничные условия на £0 и Ь имеют вид:

.dgy(z)

дп d<pv(z)

P(z) ^ =0, либо (p¿z) = const, v= 1 и (или) 2, zeL0. (6) дп

= 0, либо $>„(?) = const, v= 1 и (или) 2, z е £. (7)

дп

Не стационарные границы Л и /7 (рис. 1, рис. 2) шлейфа вымываемого загрязнения будем описывать параметрическими уравнениями:

2=2(/,/) ^ б г, и г;.

Полагаем, что в начальный момент времени г = 0 границы Г, и Г\ совпадают с Г. Тогда, в силу (4), задаётся начальное положение Го, Гд подвижных границ Г, и Г', уравнениями:

2о=2(/,0) (*=*(/, 0),у = х(1, 0)), г е Г0 и Г'0. (8)

В рамках одножидкостной модели для нахождения положения границ .Г, и Г', в моменты времени / > 0, имеем в комплексной форме дифференциальное уравнение их движения:

которое интегрируем при начальных условиях (8).

Пусть в отсутствии границ Г (к\= к2= 1) и течение описывается комплексным потенциалом

W0(z)=<p0(z) + i,^, (Ю)

Полагаем, что его действительная часть (р^г) удовлетворяет условию (6). Комплексный потенциал (10) записывается в виде:

И"^) = <§(?) + го), я е Д (11)

где функция ^(г) описывает поступательный поток со скоростью м; ."/(г, 2о) — функция, описывающая течение к стоку единичной мощности, расположенному в точке го и имеющая в этой точке особенность логарифмического типа.

При наличии в области фильтрации границы смены неоднородностей Г и границы Ь, течение возмущается. Учитывая течение, описываемое комплексным потенциалом (11), комплексные потенциалы й'у(г) ищем в виде:

7€ Д,, н=1,2, (12)

где — комплексный потенциал возмущений, вызванных наличием границ Г и Ь\

1Г. (2)= (13)

Задачу сопряжения (2), (5) - (7) переформулируем для комплексного потенциала возмущения Условия (5)-(7), с учётом (12), запишем в виде:

(l-A.)1V.+(z) = lV,-(z) + m-(z) + A[w0(z) + Wo(zj\, z e Г, (14)

= либо <p.(z) = 0, z e L0, (15)

d<p*(z) cty>0(z) _ . . . . _

V =--f—, либо (p.(z) = const - <p0(z), zeL. nji

on on y '

Для единственности решения задачи сопряжения (2), (5) - (7), потребуем выполнения условия в бесконечности:

«*(*) = Oflzl"'), K(z)\Vcp.(z)\ = 0(|z|"2), при |z--»со (^eTUioUI). (17)

Таким образом, задача сопряжения для потенциала возмущений W.(z) состоит в следующем: заданы проводимость слоя P{z)\ дебит скважины и её положение, скорость поступательного потока (то есть, комплексный потенциал (11)); очаг загрязнения (параметр Я и уравнение (4) граница Г). Необходимо найти в классе обобщённо-аналитических функций комплексный потенциал возмущений W,(z), удовлетворяющий уравнению (2) и условиям (14) - (17).

Имея комплексный потенциал W*(z), согласно формулы (12), определяем комплексные потенциалы Wv(z) течения в областяхDv(v= 1, 2).

Имея комплексные потенциалы (3), найдём шлейфы G( и G,' вымываемого из области D2 загрязнения. Для определения границ этих шлейфов ищем: во первых, такие линии тока, которые имеют с Г только одну общую точку zm=xm + iym, m=l, 2, 3, ...; во вторых, выясняем взаимное расположение области захвата водозабора и очага загрязнения, для чего находим координату критической точки z- = х* + iy* (рис. 1, рис. 2).

Так как точки zm, ш = 1, 2, 3, ... являются точками, в которых нормальная составляющая скорости фильтрации равна нулю, то р.се они определяются из совместного решения задающего границу загрязнения уравнения (4) и условия:

= z = zm, гтбГ,ш= 1,2,3,.... (18)

on.

Координату критической точки z. определяем из условия, что в ней скорость фильтрации равна нулю:

Kv{z)d<Pv^z) = 0, z = z., z. е DUTULqUL. (19)

Далее, выделяя из комплексного потенциала (12) мнимые части и, построив линии тока

уф) = ¥Фг), V = 1 и (или) 2, (20)

проходящие через точки г, е {гт, г.}, т = 1, 2.....находим стационарные

границы вымываемых шлейфов загрязнения С, и С, и определяем ту часть шлейфа С,, которая попадает в водозабор.

Для определения не стационарных границ У, и Г\ шлейфов (71 и С, в момент времени Г > 0 имеем, следующее из (9), дифференциальное уравнение:

К{г)^[<рй(2.) + <р.(7.)), 2 е У,и У,', (21)

ш от

которое интегрируем при начальных условиях (8).

Исследуя в ходе проведения численного эксперимента форму шлейфа С, при различных значениях дебита водозабора д, находится критический дебит д>. Суть этого эксперимента заключается в том, что для фиксированного дебита водозабора д решается задача сопряжения (2), (14) - (17). Определяется шлейф вымываемого загрязнения С, и анализируется, попадает ли он в водозабор или нет. Изменяя входящий в (11) дебит д и решая задачу определения шлейфа С,, находим такое значение дебита водозабора д., при котором он не загрязняется, а при д = д* + Ад (Ад — малая величина, равная требуемой точности определения дебита водозабора) — в эксплуатационную скважину попадает загрязнённая жидкость. Значение и есть найденный в ходе проведения численного эксперимента критический дебит водозабора.

В случае, если водозабор работает с дебитом д > д., то в него, спустя некоторый промежуток времени, определяемый в результате исследования эволюции границы Г\, попадает прошедшая через область Г>2 загрязнённая жидкость. В этих условиях оценивается степень загрязнения эксплуатационной скважины, что позволяет выбрать такой режим её эксплуатации (подобрать её дебит), при котором она работает с допустимой нормой загрязнения.

Степень загрязнения водозабора характеризуется коэффициентом загрязнения водозабора р, равным относительному загрязнению вод в водозаборе:

р = АП/П,

где АП — количество загрязнённой жидкости в водозаборе, П — суммарный дебит водозабора. Количество загрязнённой жидкости в водозаборе определяется по формуле

ЛЛ= или

го

где иг2 — начальная и конечная точки кривой уо-

В работе решение задачи сопряжения (2), (14) — (17) для канонических границ Г (прямая, окружность) получено в конечном виде методами классической теории аналитических функций комплексного переменного и теории обобщённых аналитических функций. Линия сброса (либо эквипо-тенциаль) Ь моделируется прямой линией. Тогда, используя функцию Грина, граница I учитывается в комплексном потенциале (10), а условия (16) становятся однородными. В случае сложных границ Г, моделируемых кривыми класса Ляпунова, следуя В.Ф. Пивню, ищем 1¥>(г) в виде потенциала двойного слоя, непрерывно распределённого с плотностью g(z) — вещественная функция) на границе Г:

К (г) = , 2 е Я, V = 1,2, (22)

где £) — первое фундаментальное решение уравнения (2), имеющее в точке 1/7 особенность логарифмического типа, п^ —орт нормали к

границе Г, направленный в область Д. Функция Г^г, удовлетворяет условиям (15), (16). В силу свойств потенциала двойного слоя, задач» сопряжения (2), (14)-(17) сводим относительно искомой функции %{£) к неоднородному интегральному уравнению второго рода типа Фредгольма:

8(г) - IX ¿1 = 2ХП(г), геГ, (23)

где Ф|(г, Q = ReF^(z, £). Решение уравнения (23) ищем методом дискретных особенностей, развитым в трудах С.М. Белоцерковского, И.К. Лифанова и их последователей. Этот метод позволил рассмотреть наряду с ляпуновскими и кусочно-ляпуновские границы загрязнения, что значительно расширило класс исследуемых задач. Определив из уравнения (23) функцию находим комплексный потенциал возмущений (22). Тогда, в силу (12), (11), имеем комплексные потенциалы и Щ(г), течений в областях А и Дг.

Следуя В.Ф. Пивню, при учёте формул (22), (12), (10), (13), преобразуем уравнения (18) - (20):

ЁШ-Л. .... (24)

дп2 Р(г)1 д!( д!: <

еЦ. =0, 2 = 2., г. еО\}Г\ЗЬй\ЗЬ, (25) & 9/^ дг *

Го (*) + Qdl, = 4>{zr), z, 6 {zm, z.), m = 1,2,..(26)

г dli

где (z> О - P{z)ImF2 (z, О > ^(z, — второе фундаментальное решение уравнения (2). Имея решение задачи сопряжения (2), (14)-(17), в уравнениях (24) и (25) неизвестными являются только координаты точек zm, (ш= 1, 2, ...) и z.. Применяя к (24), (25) численные методы, находим zm (m= 1, 2, ...), z.. Построив проходящие через эти точки линии тока (26), определяем стационарные границы вымываемых шлейфов загрязнения G% и g;.

В тех случаях, когда функцию тока не удаётся представить в простом аналитическом виде, то для построения линий тока, проходящих через точки zx (zr е {zm, z.}, ш = 1, 2,...), вместо уравнения (26) используем дифференциальное уравнение линий тока:

_dx___dy

дщ{2) 1 dl~~ Эц^Т, 1 j-3g(Qач>2(2,р '

дх P(z)J 5L ду С ду P(z)i dl( дх с

которое решается численно.

Для определения положения не стационарных границ Г, и Г', шлейфов загрязнения G, и G'n уравнение (21) представлено в виде:

г \

z е Г, \]Г', (27)

и решается численно при начальных условиях (8).

Во emopov главе исследуются новые пгоскопараллельиые модели течения в кусочно-однородном слое. Уравнение (2) принимает вид уравнения типа Коши-Римана. Комплексные потенциалы Wi(z), W-£(z) являются аналитическими функциями комплексной переменной z. Получены в конечном виде новые решения задачи о работе водозабора без загрязнения и задачи об определении вымываемого шлейфа загрязнения при наличии в области фильтрации загрязнённой области, моделируемой полуокружностью и полупрямой. Эти задачи могут быть моделями фильтрационных течений в естественных пластах грунта и используются в работе как тестовые в случае границ загрязнения /"общего вида.

Исследованы вымываемые шлейфы, когда очаги загрязнения моделируются прямой либо окружностью. Используя соответственно фильтрационную теорему о прямой либо окружности, находим для работающей в условиях поступательного потока грунтовых вод эксплуатационной скважины, решение задач сопряжения (2), (14) - (17) в виде:

= 2

К(г)Ш21__L_ гMl^iQdi

dz #(z) J dlc dz s

z) = - игеГ'Р -~ 2тг

ln(z-x0)+Aln(-z-x0) ,

где р— угол между вектором скорости поступательного потока и отрицательным направлением оси Ох (угол отсчитывается против часовой стрелки, (5 € [0; тс/2)), либо:

Wt(z)= -и

z + Х-

. JL

2ж

In(z-z0) + Aln

■ч

W2(z)= -(l-A)|Mz + ^-ln(z-z0)|.

Для прямолинейной границы загрязнения анализ расположения точек zm (rn = 1, 2, 3, ...) и г. позволил указать условия появления шлейфа вымываемого загрязнения. Так, при дебите водозабора, не превышающем значения

2 mvc,, cos В

д = (2g)

шлейфа вымываемого загрязнения не образуется. В случае, если дебит водозабора рассчитывается по формуле

2якхп cos Р

<7 =-у-

1-Я

(29)

то критическая точка течения г. попадает на границу загрязнения. Исследования показали, что критический дебит больше значения (28), но не превышает значения, рассчитываемого по формуле (29).

При моделировании границы загрязнения окружностью, шлейф вымываемого загрязнения образуется при любом значении дебита водозабора. В случае, если водозабор расположен на оси абсцисс, картина течения обладает симметрией и при дебите водозабора, удовлетворяющем условию

q < 2т(хй + а),

имеется такой шлейф вымываемого загрязнения, подвижная граница Д которого при неограниченном возрастании времени / уходит в бесконеч-

ность. При этом, линии тока, являющиеся стационарными границами этого шлейфа, имеют асимптоты:

ул=±а( 1-Я)

зхп д2 + -2— агЩ -

втв-,

Ъаш со$в2-х0 /а, где полярный угол $х точки г2 определяется по формуле

в2 = агссоБ

„2 2___

* + 2ли

2жи I жи

(30)

(31)

4аха

1.«

1.2

0.8

Согласно формул (30), (31), исследовано влияние параметра А, дебита водозабора д и размера очага загрязнения на размеры вымываемого шлейфа загрязнения.

Используя численный эксперимент, определён предельно-допустимый дебкг. На рис.3 представлена зависимость критического дебита водозабора от его положения в области фильтрации. Видно, что критический дебит растёт с удалением водозабора от очага загрязнения. При некотором положении водозабора, его критический дебит равен нулю. Значит, скважина, расположенная в этой точке не может работать без загрязнения (точка забоя водозабора не должна располагаться на границе и в самом шлейфе загрязнения С?,). Предельные случаи (6Ь = 0) рис. 3 согласуются с известными результатами, что подтверждает справедливость проведённых исследований.

Для водозабора, работающего с дебитом, превышающем критический дебит, рассчитана степень загрязнения водозабора и исследована её зависимость от мощности водозабора.

Исследованные выше задачи усложнены введением, ограничивающей область фильтрации О линией сброса Ь, моделируемой осью Ох (прямолинейная граница ортогональна I, а граница загрязнения, моделируемая

0.4

гкиа

ч.

\ у

\ <г3

5=2 \ V

(£1.5 Ч \

я/б

«3

я/2

2яй

3*Я

Рис. 3. Зависимость критического дебита от расположения водозабора

полуокружностью, имеет центр в точке, расположенной на Ь). Для решения задачи сопряжения (2), (14) - (17) использованы фильтрационные теоремы о полупрямой и полуокружности. Несмотря на усложнение задачи сопряжения, в задаче об определении критического дебита водозабора получено в конечном виде аналитическое решение. Так, проводя анализ расположения в области фильтрации И найденных из уравнений (4), (18), (19) точек гт (т = 1, 2, ...) и г., для водозабора, расположенного под лучом, исходящим из общей точки границ Г и Ь (для полуокружности из двух общих точек Г и Ь следует выбрать ближайшую к водозабору) и наклонённым к оси абсцисс под углом л/6, получены формулы для расчёта критического дебита:

В частных случаях, при уо = 0 и X = -1, формулы (32), (33) совпадают с результатами, полученными О.В. Голубевой и А.Н. Куликовым.

Исследованы течения в случае сложных границ загрязнения, моделируемых кривыми класса Ляпунова. Задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения решена численно на основе метода дискретных особенностей. Для этой задачи, полученные в работе аналитические решения использованы как тестовые. Проведено исследование влияния величины, формы и проницаемости загрязнённой области, местоположение водозабора на его предельно допустимый дебит.

В третьей главе исследуются задачи в кусочно-неоднородных слоях. Изменение проводимости моделируется степенной функцией координат Р = У (s = const). Скорость поступательного потока грунтовых вод направлена параллельно линии у = 0. Особенностью слоя является наличие в нём сингулярной линии L0 (у = 0), на которой проводимость слоя обращается в ноль, либо в бесконечность.

Исследованы течения, когда очаги загрязнения промоделированы полупрямой, ортогональной сингулярной линии (Г моделируется осью Оу), либо полуокружностью с центром в начале координат. Используя фильтрационные теоремы, получены в конечном виде решения задачи сопряжения (2), (14) - (17). В случае границы загрязнения в виде полупрямой, получена простая формула для расчёта критического дебита водозабора, расположенного у сингулярной линии:

(33)

(32)

lujji Гр+2 r(s/2+1/2) 1-Я x0ys0 sT(s/2) '

где Г\х) — гамма функция аргумента х. При я -» 0 в пределе эта формула переходит в формулу (32). В случае, если водозабор удалён от сингулярной линии ¿о на значительные расстояния по сравнению с расстоянием до прямолинейной границы загрязнения, то проводимость слоя на предельно допустимый дебит <7. не влияет и он определяется по формуле

_ 2итес0

С/т —-.

4 1-Л

Проведённые исследования показали, что влияние закона изменения проводимости слоя на д> незначительно и им можно пренебречь, если ордината водозабора вдвое больше его абсциссы. В работе исследовано влияние закона изменения проводимости слоя на критический дебит Так, на рис. 4 представлены графики зависимостей д, от параметра Я для различных значений показателя .у в законе изменения проводимости слоя. Видно, что при прочих равных условиях, критический Рис.4. Зависимость критического дебита оп параметра X дебит больше для

больших значений 5.

Согласно рис. 4, заключаем, что в случае моделировании очага загрязнения полупрямой, с увеличением Л растёт.

В том случае, если очаг загрязнения не примыкает к сингулярной линии ¿о или он имеет сложную форму, то граница загрязнения моделируется кривой класса Ляпунова. Исследованы и решены на основе численных расчётов с использованием интегрального уравнения (23) задачи в случае эллиптической границы Г. Определены шлейфы вымываемых загрязнений и изучена их эволюция.

Как частный случай двумерных течений (при 5= 1), исследованы осесимметричные течения. Получены в конечном виде новые аналитические формулы для расчёта критического дебита водозабора. Так, для границы загрязнения, моделируемой полуокружностью с центром на оси симметрии, с погрешностью, не превышающей 5%, критический дебит

2« = Я./а, приходящийся на единицу угла а раскрытия слоя, определяется по формуле:

е>и__12 и х1 (х0 - а)2__

х0(3 + фх0 - л(х0 - а))+ Л(1 + Я)(х0 -

В работе проводятся исследования влияния на критический дебит удалённости водозабора от очага загрязнения; параметра Л, характеризующего скачёк проницаемостей грунта на Г; размера и формы загрязнения. Проведено исследование влияния симметрии задачи на предельно допустимый дебит.

В заключении излагаются основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. Поставлена новая задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях. Проводимость кусочно-неоднородных слоев моделируется степенной функцией координат.

2. Получены в конечном виде новые решения этой задачи для границ загрязнения в виде: прямой и окружности. Эти решения используются в качестве тестовых при исследовании задач с границами общего вида.

3. В случае сложных границ очага загрязнения, моделируемых кривыми класса Ляпунова, исследование поставленной задачи сведено к интегральному уравнению. Это уравнение решается численно на основе метода дискретных особенностей. Такой подход к решению интегрального уравнения позволил исследовать задачи с границами загрязнения, моделируемыми кривыми кусочно-ляпуновского класса.

4. Разработана схема численного эксперимента по определению критического дебита водозабора.

5. Решение поставленной задачи позволило получить следующие, значимые для практики, результаты: определена зона санитарной охраны водозабора; указаны условия при которых водозабор работает без загрязнения; вычислен коэффициент загрязнения водозабора, работающего с дебитом, превышающем предельно допустимое значение.

6. Изучена зависимость размеров, формы вымываемых шлейфов загрязнения, их эволюции, величины предельно допустимого дебита водозабора и коэффициента его загрязнения от неоднородности слоя, размеров и формы очага загрязнения, расположения водозабора и симметрии задачи. Эти исследования позволили указать простые формулы для расчёта предельно допустимого дебита в случае границ загрязнения в виде прямой и окружности, указать условия применимости этих формул в случае границ загрязнения сложного вида.

Поставленная и исследованная задача позволяет моделировать возникающие при чрезвычайных происшествиях и экологических катастро-

фах очаги загрязнения и вымываемые из них шлейфы, указать условия, при которых водозабор может работать без загрязнения. Проведённые исследования значительно расширяют класс решённых двумерных граничных задач фильтрации в кусочно-неоднородных слоях (пластах) грунта и вносят вклад в теорию их решения.

Исследованные в работе двумерные задачи не исчерпывают возможностей метода интегрального уравнения. Этот метод может быть применён к широкому кругу процессов различной физической природы, описываемых уравнениями вида (1).

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

1. Квасов A.A. Работа скважины без загрязнения в неоднороднеом слое. Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Новое содержание образования и проблемы готовности сельской школы к её реализации», Орёл, 20-23 мая 1996. С. 375-379.

2. Квасов A.A. Влияние полуэллиптической формы хранилища отходов на очаг вымываемого из него загрязнения // Сборник научных трудов учёных Орловской обласити. Выпуск 5, т. 1. Орёл. 1999. С. 295-298.

3. Квасов A.A. Применение метода дискретных особенностей к одной задаче о работе скважины без загрязнения // Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ-2000». - Орёл: Изд-во Орловского госуниверситета. 2000. С. 253-258.

,4. Квасов A.A. Решение интегрального уравнения типа Фредгольма второго рода на окружности для задач фильтрации // Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ-2000». - Орёл: Изд-во Орловского госуниверситета. 2000. С. 259-262.

5. Квасов A.A. Определение максимально возможного очага загрязнения при нсличии поступательного потоха в осесимметричных задачах // Научный альманах Орловского гос. пед. ун-та. Серия: естественные науки. Орёл, 2000. С. 44-48.

6. Квасов A.A. Плоскопараллельная задача о работе водозабора вблизи кусочно-гладкой границы загрязнения // Труды X Международного симпозиума «МДОЗМФ-2001». Херсон "Айлант". 2001. С. 263-267.

7. Квасов A.A. Осесимметричная задача о работе несовершенной скважины в слое с резко отличающимися границами загрязнения // Сборник научных трудов ОГУ. Вып. 2, Орёл, 2002. С. 15-20.

8. Квасов A.A. Исследование шлейфа вымываемого загрязнения в плоскопараллельной задаче с прямолинейной границей смены однородностей. // Труды международных школ-семинаров «МДОЗМФ». 2002. С. 44-49.

9. Квасов A.A., Пивень В.Ф. Граничные задачи о работе водозабора в неоднородном слое, содержащем загрязнённую область // Научно-методические материалы. «Численные методы интегральных уравнений

в прикладных задачах». Изд-во ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского. 1998. С. 24-35.

I О.Квасов A.A., Пивень В.Ф. О работе водозабора без загрязнения // VIII

Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Тезисы докладов. Казань: Изд-во Казанского гос. техт. ун-та. 2002. С. 263.

II .Пивень В.Ф., Аксюхин A.A., Квасов A.A. Математические модели двумерных граничных задач эксплуатации водоносных неоднородных пластов и их охрана от загрязнения // Тезисы Международной конф. «Математические модели и методы их исследования». Красноярск. КГУ. 1997. С. 146- 147.

12.Пивень В.Ф., Аксюхин A.A., Квасов A.A., Никольский Д.Н., Фролов М.А. Математическое моделирование некоторых экологических задач подземной гидродинамики // Сборник трудов Международной научно-практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии». Орёл. ОрёлГТУ. 2000. С. 126-130.

13.Пивень В.Ф., Аксюхин A.A., Квасов A.A., Фролов М.А. Математическое моделирование граничных задач сопряжения двумерных течений в неоднородных слоях // Современные проблемы механики и прикладной математики. Тезисы конференции. Воронеж, 1998. С. 56.

М.Пивень В.Ф., Аксюхин A.A., Квасов A.A., Фролов М.А. Математическое моделирование граничных задач сопряжения двумерных течений в неоднородных слоях // Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства. Труды конференции. Воронеж, 1998. С. 131-136.

15.Пивень В.Ф., Квасов A.A. Теоретическое моделирование двумерных течений к водозабору в неоднородных слоях, содержащих загрязнённые области. Орловский гос. пед. институт, деп в ВИНИТИ 03.01.96г. № 10В 96,28 с.

1 б.Пивень В.Ф., Квасов A.A. Двумерная задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения И Труды международных школ-семинаров "МДОЗМФ". 2002. С. 74-80.

17.Пивень В.Ф., Квасов A.A., Аксюхин A.A., Фролов М.А. Применение обобщённых аналитических функций к решению задач сопряжения двумерных процессов в неоднородных слоях // Седьмая Международная научная конференция им. Академика М. Кравчука. Материалы конференции. Киев, 1998. С. 393.

18.Piven V.F., Aksyukhin A.A., Kvasov A.A., Nicolskii D.N., Frolov M.A.. Research of boundary problems of conjunction of two-dimensional seepage in inhomogeneous layers // Modern approaches to flows in porous media. Intern. Conference dedicated to P.Ya. Polubarinova-Kochina. Moscow, Sept. 1999. P. 92-94.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Орловского областного комитета государственной статистики 302001, г. Орел, пер. Воскресенский, 24 Подписано в печать 15.05.2003 г. Формат 60x84 1/16 Печать офсетная Объем 1,0 пл. Тираж 100 экз. Заказ № 28

I I

ÛOO5~A

* 14 3 9 7

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Квасов, Андрей Александрович

Введение.

Глава 1. Постановка задачи двумерных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения.

§1.1. Постановка задачи.

§1.2. Сведение задачи сопряжения к интегральному уравнению и определение шлейфа вымываемого загрязнения.

§1.3. Представление интегрального уравнения системой алгебраических уравнений и дифференциальных уравнений — разностными соотношениями.

Глава 2. Моделирование плоскопараллельных течений к водозаборам в кусочно-однородных слоях с очагами загрязнений.

§2.1. Течение к водозабору в слое с прямолинейной границей загрязнения.

§2.2. Течение к водозабору в слое с границей загрязнения в виде • окружности.

§2.3. Течение к водозабору в слое с прямолинейной границей загрязнения, ортогональной линии сброса.

§2.4. Течение к водозабору в слое с границей загрязнения в виде полуокружности, примыкающей к линии сброса.

§2.5. Течение к водозабору в слое с границей загрязнения, моделируемой сложной кривой класса Ляпунова.

Глава 3. Моделирование двумерных течений к водозаборам в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения.

§3.1. Течение к водозабору в слое Р =ys (s > 0) с прямолинейной границей загрязнения, перпендикулярной сингулярной линии.ьУ.

§3.2. Течение к водозабору в слое Р =ys (s > 0) с границей загрязнения в виде полуокружности с центром на сингулярной линии.

§3.3. Двумерные течения к водозабору в слое проводимости P = ys (s > 0, s < 0) с границей загрязнения, моделируемой сложной кривой класса Ляпунова.

§3.4. Осесимметричные течения к водозабору в слоях с загрязнёнными областями.

Введение 2003 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Квасов, Андрей Александрович

Актуальность темы исследования и обзор литературы. Общие запасы воды на земном шаре составляют 1386 млн. км3 [56]. Из них большая часть значительно минерализована или солёная. Объём пресных вод составляет 35 млн. км3, т.е. 2,5% общего запаса воды на Земле, причём их основная часть представляет собой ледники и снежные покровы Антарктиды, использование которых в промышленности и быту крайне осложнено. Потребление же пресной воды во всём мире неуклонно возрастает. Открытые водные бассейны уже не могут удовлетворить потребности в пресной воде. Поэтому в последнее время всё более широко и интенсивно потребляются подземные воды.

Подземные воды издавна используются человеком как источники питьевой воды. Без них не получили бы освоение и развитие обширные территории Австралии, засушливые районы Африки, Азии и Америки. На использовании подземных вод основывается современное водоснабжение крупнейших городов европейской части России. Такие города, как Курск, Брянск, Тула, Рязань получают воду, главным образом, из подземных горизонтов. Сейчас всё большую и большую роль подземные воды начинают играть даже в тех районах, где ранее водоснабжение основывалось на поверхностных водах. Связано это в первую очередь с тем, что в поверхностные воды попадают загрязнённые стоки с предприятий, животноводческих ферм, возделываемых полей. Сотни рек во всех развитых в промышленном отношении странах загрязнены настолько, что не могут уже служить источниками водоснабжения. К таким рекам, частично или полностью, относятся все большие реки европейской части России — Дон, Волга, Ока, Кама. Не менее важным фактором, определяющим преимущество использования подземных вод над поверхностными, является то обстоятельство, что они значительно лучше защищены от любого вида загрязнения, не имеют механической загрязнённости и в ряде случаев не требуют специального обеззараживания.

Таким образом, важнейшая роль подземных вод в жизни человечества определяет необходимость надёжной их охраны. Если профилактические мероприятия по предупреждению загрязнения подземных вод оказались не эффективными, или они вообще не проводились, то в области фильтрации появляются участки распространения загрязнённых вод — очаги загрязнения. Источники загрязнения, из которых в подземные воды поступают загрязняющие вещества, могут быть весьма разнообразны. Это и хранилища промстоков, и участки складирования нефтепродуктов или газовой продукции и сырья химической промышленности, и многие другие участки скопления жидких и твёрдых отходов. Источниками загрязнения могут быть также загрязнённые реки, горные выработки, районы техногенных катастроф и чрезвычайных происшествий. Потребление же подземных вод выдвигает важную проблему изучение условий, обеспечивающих их чистоту. Прогноз процесса загрязнения, выявление областей (очагов) загрязнения, изучение условий работы водозаборов без загрязнения и другие направления исследований относятся к числу основных гидрогеологических задач [15].

Впервые работа водозаборных скважин с учётом естественного потока подземных вод была рассмотрена Форхгеймером [152]. Им было показано, что наличие потока подземных вод приводит к существенным изменениям фильтрационного течения к скважинам, а при работе береговых скважин вблизи поверхностного водоёма наличие естественного потока, стекающего в водоём, препятствует проникновению поверхностных вод в пласт. Форхгеймером даются условия, наложенные на дебит одиночной скважины и скважин линейного ряда, при которых не происходит подтягивания воды из загрязнённого водоёма. Опираясь на проведённые исследования [152] и моделируя скважины точечными стоками, задача об установившейся фильтрации к водозаборным скважинам в однородном пласте сводится к задаче о наложении прямолинейно-поступательного потока на систему точечных стоков. Эта задача разбирается в курсе гидродинамики [74] и для её решения применяется один из наиболее мощных средств математического анализа — аппарат теории функций комплексного переменного [35, 163, 110]. При решении задач в простейших кусочно-однородных средах используется метод подбора особых точек. Так, в работах В.П. Пилатовского [127-129], С.Д. Осятинского [102], М.И. Хмельника [155 - 160], М.Ф. Бариновой [5] и других, непроницаемые включения или каверны имитируются соответствующим образом подобранными особыми точками. Для кусочно-однородных сред с каноническими границами (окружностью, прямой) в работах Г.Б. Пыхачёва [138], П.Я. Полубариновой-Кочиной [134, 135], В.Н. Щелкачёва [165, 166], A.M. Пирвердяна [131, 132] применяется метод изображения особых точек. Разработанный Н.Е. Жуковским [54] метод конформных отображений позволил решить большое число задач для однородного грунта. Применительно к кусочно-однородным и кусочно-неоднородным средам лишь некоторые частные задачи решены этим методом [35, 36, 139, 110]. Используя известные решения фильтрационных задач, метод конформных отображений позволяет строить новые течения, однако, полученные результаты не всегда могут представлять практический интерес [35].

Нахождению эффективных решений задач фильтрации при частном предположении о характере течения посвящено большое число работ [139]. В них изучаются поступательные фильтрационные потоки, течения, обусловленные точечными источниками или стоками при наличии разнообразных межзональных границ. Все известные работы, посвященные граничным задачам в неоднородных средах, можно разделить на плоскопараллельные и двумерные, частным случаем последних являются осесимметричные. Проведённые рядом авторов исследования плоскопараллельных задач фильтрации можно разделить на три группы. К первой относятся фильтрационные задачи, в которых межзональные границы моделируются прямыми линиями. Этим исследованиям посвящены работы М.А. Лукомской [83], В.Н. Шелкачёва и Б.Б. Лапука [166], Г.Г. Тумашева [148], О.В. Голубевой [33 -35, 139], Л.В. Костицыной [73], И.А. Чарного [162], A.M. Пирвердяна [131], Г.Б. Пыхачёва [138], А.Н.Куликова [75]. Моделирование межзональных границ окружностями рассмотрены в работах П.Я. Полубариновой-Кочиной [134, 135], М.А. Лукомской [84], О.В. Голубевой [34, 35, 41, 139]; Н.В. Ламбина [76-79], М.А. Гусейн-Заде [48], Л.И. Костициной [72]. Для произвольных межзональных границ общие методы решения предложены Н.В. Ламбиным [76-79], В.П. Пилатовским [130]. Исследованию частных задач посвящены работы Г.Г. Тумашева [148, 149], Г.В. Голубева [29 - 32], Ш.И. Георгице [169, 170], И.А. Чарного [162, 163], О.В. Голубевой и А.Я. Шпилевого [41], В.Ф. Пивня [109, 103], М.И. Хмельника [155].

Так как реальные фильтрационные слои имеют сложную геологическую структуру, то большой интерес представляют двумерные течения в этих слоях. В работах А. Вайнштейна [174- 176] разработан аппарат обобщённых осесимметричных функций. О.В. Голубевой развита теория двумерного движения идеальной жидкости в слоях на криволинейных поверхностях [35]. Г.С. Салеховым [143] и А.Г. Тукаевым [147] рассмотрена фильтрация в пластах, для которых проводимость Р удовлетворяет уравнению Aj~P - ал[Р = 0 {а = const). В слоях со степенным законом изменения проводимости развит метод построения решений в работах Ю.А. Гладышева [27] и Н.И. Гайдукова [26]. Для пласта с экспоненциальным законом изменения проводимости найден ряд частных решений в работах В.А. Юрисова [167]. В работах [16, 17] К.Н. Быстровым предложен способ нахождения частных решений основанный на использовании операции Е-дифференцирования и Е-интегрирования. В дальнейшем К.Н. Быстров разработал метод изучения течений в пластах с переменной проводимостью, основанный на использовании теории квазианалитических функций [18-21]. Изучению течений в пластах с переменной проводимостью посвящены исследования Г.Б. Пыхачёва [137, 138], P.M. Насырова [97, 98], Н.С. Пискунова [133], Г.Г. Вахитова [22, 23], Ф.М. Мухаметзянова [96], Т. Оровяна [171], П.Я. Полубариновой-Кочиной [134, 135], О.В. Голубевой [35], В.Ф. Пивня [104, 105, 112, 113, 116, 172],

С.Е. Холодовского [161] и других авторов. Развивая теорию двумерных задач, в своих работах такие авторы, как И.И. Данилюк [51, 52], В.Ф. Пивень [106 -108, 111, 112], Ю.А. Гладышев [28] изучают осесимметричные течения. Эти исследования обогащают класс решённых в конечном виде трёхмерных фильтрационных задач в неоднородных и кусочно-неоднородных слоях.

Обладая известным преимуществом, отмеченные аналитические методы решения граничных задач весьма «чувствительны» к изменению области фильтрации. При сложных формах её границ применение этих методов связано со значительными (часто непреодолимыми) трудностями. Поэтому, разрабатываются и усовершенствуются , обладающие большей универсальностью, приближённые методы решения граничных задач. Так, в аэродинамике широкое распространение получил метод дискретных особенностей [80 - 82, 49, 68, 145]. К интегральным уравнениям сводятся и решаются численными методами краевые задачи электродинамики [70, 54, 25]. В неоднородных фильтрационных слоях грунта В.Ф. Пивнем и его учениками задачи сопряжения исследуются численными методами [115-123, 101, 153, 67, 60, 63].

Богатый опыт, накопленный в решении граничных задач, является прочной основой для дальнейших исследований в области подземной гидродинамики. В силу отмеченной актуальной проблемы защиты подземных вод от загрязнения насущной задаче об эксплуатации водозаборов в слоях (пластах грунта), содержащих очаги загрязнения, посвящены работы [11 — 15, 36 — 40, 42-46, 85, 87-91, 93-95, 99, 140, 141, 150, 154]. Большой вклад в развитие указанного направления исследования в гидродинамике сделан такими учёными, как В.М. Гольбергом, E.JL Минкиным, О.В. Голубевой, Ф.М. Бочевером, А.Е. Орадовской, И.Г. Бобковой, И.С. Муродовым и другими. Для обоснования качества отбираемых эксплуатационными скважинами подземных вод в работах В.М. Гольберга [42-44] исследуется структура фильтрационного потока к совершенным скважинам с учётом потока подземных вод. Определению зон санитарной охраны водозаборов посвящены труды E.JI. Минкина [88, 89]. Критерии работы берегового водозабора без загрязнения для различных частных случаев рассмотрены И.Г. Бобковой [7 - 9], А.Н. Куликовым [75] В.Д. Бабушкиным [4] О.В. Голубевой и И.С. Муродовым [39]. Максимальный дебит скважины, работающей вблизи водного бассейна с границей в виде окружности, рассчитан в работе [10]. Фильтрационные течения в пласте-полосе с непроницаемыми границами изучены В.М. Гольбергом [44], в полосе между двумя водоёмами — А.В. Романовым [142], С.Ф. Аверьяновым [1]. В.М. Шестаковым рассматриваются две принципиально различные постановки задачи оценки условий загрязнения подземных вод [164]. В первой постановке оцениваются условия загрязнения водозабора подземных вод за счёт подтягивания воды из известного очага загрязнения. Во второй — оценивается характер распространения загрязнения в подземных водах (при фильтрации из бассейнов промстоков и при закачке промстоков в подземные водоносные горизонты).

В первой постановке, при изучении возможностей загрязнения водозабора, прежде всего оценивается область захвата подземных вод водозабором, из которой вода может поступать в эксплуатационные скважины. В пределах этой области устанавливается зона санитарной охраны водозабора [88], территория на которой ограничивается хозяйственное использование земли требованием предотвращения загрязнения подземных вод. Область захвата определяется как область, в которой линии тока направлены к водозаборным скважинам. Эта область ограничена, так называемой, нейтральной линией тока. Расчёт области захвата обычно производится в условиях стационарного или квазистационарного режима (см. работы [164, 88, 11, 44]).

Во второй постановке, при изучении распространения загрязнения, искусственно подаваемого в водоносные слои грунта или находящегося в них в виде захоронения (могильника), оценивается развитие его области во времени. Причем ставится условие, чтобы это загрязнение не могло достигнуть мест возможного использозания воды.

Систематические исследования и решение конкретных задач о течениях к скважине в сложных гидрогеологических условиях и определение условий работы скважины без загрязнения, проведено О.В. Голубевой. В её работе [36] изучены задачи о течениях к скважине в условиях поступательного потока грунтовых вод в слоях с " различными границами загрязнённого бассейна. Здесь же указаны общие математические методы решения задач о загрязнении скважины. В работах [7, 10, 36, 39, 75, 139] поставлены и решены задачи об определении критического дебита водозабора, работающего в слое с очагами загрязнения, моделируемыми каноническими кривыми (прямой, окружностью). С счётом особенностей рассмотренных задач (задачи обладают симметрией или в качестве очага загрязнения рассмотрен бассейн со свободной жидкостью) удаётся предсказать характер области захвата водозабора, а следовательно — использовать простой критерий для определения критического дебита: критическая точка течения расположена на границе загрязнения.

Таким образом, в подавляющем большинстве известных работ при изучении течений и определении условий, исключающих возможность подтягивания загрязнения к эксплуатационной скважине проводились для загрязнённых или засолённых водоёмов. Расчёты предельно допустимого дебита водозабора, работающего без загрязнения в основном проводились для слоёв постоянной проводимости и границ загрязнения в виде прямых, окружностей.

При этом, в задачах об определении предельно допустимого дебита водозабора не рассматривались вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. Известны работы [109], в которых определены вымываемые только поступательным потоком грунтовых вод шлейфы из очагов загрязнения, ограниченных кривыми второго порядка. Другая, важная в практическом отношении задача об определении зон санитарной охраны водозаборов решена в предположении однородности грунта. Естественные же фильтрационные слои имеют сложную структуру, да и границами загрязнения в общем случае являются произвольные кривые, которые лишь в грубом приближении можно считать прямыми и окружностями. К тому же, в фильтрационном слое могут находиться очаги загрязнения, проводимость которых конечна и отличается от проводимости соприкасающегося с ним грунта. Границами очагов загрязнения в общем случае являются произвольные кривые. В частности такие очаги загрязнения появляются в районах техногенных катастроф и чрезвычайных происшествий.

Таким образом, в известных трудах не исследованы задачи о работе эксплуатационных скважин без загрязнения в неоднородных слоях при наличии в них произвольных границ загрязнения и в этих условиях не рассмотрены вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. В связи с этим, в сложном по геологической структуре фильтрационном слое поставим задачу об определении шлейфа вымываемого загрязнения. Решение и исследование этой задачи, помимо самого шлейфа, позволяет найти условия при которых водозабор не загрязняется (указать расположение водозабора в области фильтрации, его критический (предельно допустимый) дебит), а в случае загрязнения водозабора — определить относительное загрязнение вод в водозаборе (коэффициент загрязнения водозабора).

Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:

1. Построены и изучены новые математические модели двумерных течений к водозаборам, работающим без загрязнения в сложных по геологической структуре слоях. Проводимость слоёв моделируется степенной функцией координат, а границы загрязнения — кривыми класса Ляпунова.

Сведение задачи к интегральному уравнению и применение МДО позволили значительно расширить класс решаемых задач. Построенные и исследованные модели граничных задач двумерных фильтрационных течений могут быть применены к другим физическим процессам, описываемыми аналогичными уравнениями.

Практическая значимость работы. В работе построен и изучен широкий класс новых двумерных (в том числе осесимметричных) моделей фильтрационных течений. Эти модели применены к расчёту конкретных природных слоев (пластов), содержащих очаги загрязнения и имеющие сложную геологическую структуру.

Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: «Проблемы гидродинамики» Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), «Интегральные уравнения» факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров, профессор И. К. Лифанов), на заседании кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. кафедрой профессор В.Ф. Пивень).

По мере получения основные результаты работы докладывалась на семинарах «Проблемы гидродинамики» в ОГУ (1999 - 2003 г.), ежегодных конференциях преподавателей ОГУ (1997-2003 г.), на Международной научно-практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, ОрёлГТУ, 1999 г.), на IX Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орёл, ОГУ, 2000 г.), на X Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (посёлок Лазурное Херсонской области, ХГПИ, 2001 г.), на VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», (г. Казань, Казанский гос. техн. ун-т, 2002 г.).

Кроме того, основные результаты работы представлены в виде опубликованных докладов и тезисов докладов на Всероссийской научно-практической конференции «Новое содержание образования и проблемы готовности сельской школы к его реализации» (г. Орёл, 20 -23 мая 1996 г.); на международной конференции «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)» (г.Красноярск, 25-30 августа 1997г.); на «VII Международной научной конференции им. академика М. Кравчука» (Украина, Киев, 1998 г.); на международных конференциях: «Математическое моделирование систем: методы, приложения и средства» (г. Воронеж, 12-16 октября 1998 г.), «Modem approaches to flows in porous media» (г. Москва, 6-8 сентября 1999 г.), «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, 17-19 ноября 1999 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях и тезисах [58 - 67,120-126,173].

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Библиография содержит 176 наименований. Общий объём работы составляет 200 страниц.

Заключение диссертация на тему "Математическое моделирование двумерных фильтрационных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения"

Основные результаты работы состоят в следующем:

2. Получены в конечном виде новые решения этой задачи для канонических границ: прямая, окружность. Эти решения используются в качестве тестовых при исследовании задач с границами общего вида.

4. Разработана схема численного эксперимента по определению критического дебита водозабора.

6. Изучена зависимость размеров, формы вымываемых шлейфов загрязнения, величины критического дебита водозабора и коэффициента его загрязнения от неоднородности слоя, размеров и формы очага загрязнения, расположения водозабора и симметрии задачи. Эти исследования позволили указать простые формулы для расчёта критического дебита в случае границ загрязнения в виде прямой и окружности, указать условия применимости этих формул в случае не канонических границ.

Проведённые исследования значительно расширяют класс решённых двумерных граничных задач фильтрации в кусочно-неоднородных слоях (пластах) грунта и вносят вклад в теорию их решения. Поставленная и исследованная задача позволяет моделировать возникающие при чрезвычайных происшествиях и экологических катастрофах очаги загрязнения и вымываемые из них шлейфы, указать условия, при которых водозабор может работать без загрязнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Библиография Квасов, Андрей Александрович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Аверьянов С.Ф. Расчёт линейной системы артезианских колодцев. Инж. сб. 1949. Т. 5. Вып. 2. С. 194-203.

2. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.: Наука. 1990. 672 с.

3. Андре Анго Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука. 1965. 779 с.

4. Бабушкин В.Д., Гольдберг В.М. Об оценке запасов пресных вод морских побережий // Изв. высш. учебных заведений. Геология и разведка. 1971. № 6. С. 78-83.

5. Баринова М.Ф. О влиянии неоднородности пласта на дебит изолированной скважины. Моск. обл. пед. ин-т им. Н. К. Крупской. Уч. зап., т. 164, вып. 6, 1966.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука. 1974. 294 с.

7. БобковаИ.Г. Допустимый дебит береговой скважины // Гидромеханика. Сб. научных трудов МОПИ им Н.К. Крупской. 1974. Вып. 3. С. 124-133.

8. Бобкова И.Г. Интерференция береговых скважин // Гидромеханика. Сб. научных трудов МОПИ им Н.К. Крупской. 1974. Вып. 3. С. 134142.

9. БобковаИ.Г. Допустимый дебит батареи береговых скважин // Гидромеханика. Сб. научных трудов МОПИ им Н.К.Крупской. 1975. Вып. 14. С. 67-75.

10. БобковаИ.Г. О работе скважины вблизи загрязнённой области или водного бассейна с границей в виде окружности // Проблемы теоретической гидродинамики. Респ. сборник научных трудов. Тула. 1977. С. 21-22.

11. Бочевер Ф.М., Ородовская А.Е. Гидрогеологическое обоснование защиты подземных вод и водозаборов от загрязнения. М.: «Недра». 1972. 129 с.

12. Бочевер Ф.М., Ородовская А.Е. Проблемы охраны подземных вод от загрязнения. // Советская геология. 1976. № 3. С. 59-70.

13. Бочевер Ф.М., Ородовская А.Е. О санитарной охране водозаборов подземных вод. // Разведка и охрана недр. 1977. № 5. С. 35-38.

14. Бочевер Ф.М., Лапшин Н.Н., Хохлатов Э.М. Оценка производительности водозаборов подземных вод в речных долинах. // Водные ресурсы. 1978. № 1.С. 16-28.

15. Бочевер Ф.М., Лапшин Н.Н., Ородовская А.Е. Защита подземных вод от загрязнения. М.: Недра. 1979. 254 с.

16. Быстрое К.Н. О построении источников, вихрей и мультиполей в искривлённых слоях жидкости переменной толщины // Уч. зап. каф. физики МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1956. Т. 43. Вып. 3. С. 203-223.

17. Быстров К.Н. О двумерных установившихся течениях жидкости в слое с экспоненциально изменяющейся толщиной // Уч. зап. каф. теоретической физики МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1959. Т. 75. Вып. 4. С. 31-59.

18. Быстров К.Н. О течениях жидкости в слоях переменной толщины с разделяющимися переменными // Уч. зап. каф. теоретической физики МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1964. Т. 142. Вып. 5. С. 13-31.

19. Быстров К.Н. О непрерывных распределениях диполей, интегралах Коши и типа Коши для течений в слоях переменной толщины // Уч. зап. каф. теоретической физики МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1966. Т. 164. Вып. 6. С. 34-41.

20. Быстров К.Н. О сопоставлении течений в слоях жидкости переменной толщины и плоскопараллельных потоков // Уч. зап. каф. теоретической физики МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1966. Т. 164. Вып. 6. С. 2433.

21. Быстров К.Н. Функция давления в пластах переменной проницаемости // Уч. зап. каф. теоретической физики МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1966. Т. 164. Вып. 6. С. 42-46.

22. Вахитов Г.Г. Решение задач подземной гидродинамики методом конечных разностей. Тр. ВНИИ. 1957. Вып. 10. С. 53-87.

23. Вахитов Г.Г. О независимости формы водонефтяного контакта в неоднородном пласте от величины перепадов давлений в скважинах. Изв. Казанск. Фил. АН СССР. Сер. физ.-матем. и техн. Наук. 1959. Вып. И.С. 55-62.

24. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы. Минск: «Вышейшая школа». 1988. 269 с.

25. Гандель Ю.В., Ерёменко С.В., Полянская Т.С. Математические вопросы метода дискретных токов. Обоснование численного метода дискретных особенностей решения двумерных задач дифракции электромагнитных волн: Учебное пособие. Ч. И. Харьков. 1992. 145 с.

26. Гайдуков Н.И. О построении решений эллиптических уравнений и их применении в гидродинамике II Уч. зап. МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1966. Т. 164. Теоретическая физика. Вып. 6. С. 63-67.

27. Гладышев Ю.А. Течения идеальной жидкости в слоях, толщина которых изменяется по степенному закону. Уч. зап. МОПИ. 1961. Т. 99. Теоретическая физика. Вып. 5. С. 59-67.

28. Гладышев Ю.А. Об одном новом методе построения осесимметрич-ных полей в неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1980. С. 96-111.

29. Голубев Г.В. Определение поля давлений в кусочно-однородном пласте, состоящем из т софокусных эллипсов, при наличии контура питания // Уч. зап. Казанского ун.-та. 1957. Т. 117. Вып. 9. С. 84-89.

30. Голубев Г.В. Определение поля давлений в кусочно-однородных пластах различных форм // Уч. зап. Казанского ун.-та. 1958. Т. 118. Вып. 2. С. 166-192.

31. Голубев Г.В. К определению функции давления в неоднородных по проницаемости пластах // Уч. зап. Казанского ун.-та. 1961. Т. 121. Вып. 5. С. 157-166.

32. Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань. Изд-во Казанского ун-та. 1972. 196 с.

33. ГолубеваО.В. О моделировании работы скважин при напорной фильтрации жидкости в горизонтальных пластах. // Уч. зап. МОПИ. Т. XCIX. Тр. каф. Физики. Вып. 5. 1961.

34. ГолубеваО.В. Обобщение теоремы об окружности на фильтрационные течения (К вопросу о течениях в кусочно-неоднородных грунтах) //Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 1. С. 113-166.

35. ГолубеваО.В. Курс механики сплошных сред. М.: «Высшая школа». 1972.368 с.

36. Голубева О.В. Фильтрация к скважинам и критерии их работы без загрязнения. ИПМ РАН. Препринт № 182. 1981. 60 с.

37. Голубева О.В., Муродов И.С. О загрязнении скважин, расположенных в анизотропных слоях. // Движение растворимых примесей в фильтрационном потоке. Межвузовский сборник научных трудов. Тула. 1984. С. 8-14.

38. Голубева О.В., Муродов И.С. Математические методы исследования динамических процессов в анизотропных средах. // Известия АН Таджикской ССР. Душанбе. 1985. № 4. С. 38-41.

39. ГолубеваО.В., Муродов И.С. Модель работы скважины в потоке грунтовых вод вблизи загрязнённого бассейна // Некоторые модели сплошных сред и их приложения: Московское общество испытат. Природы. М.: Наука, 1988. С. 12-17.

40. ГолубеваО.В., Муродов И.С. Загрязнение скважины в анизотропном слое. // Известия АН Таджикской ССР. Душанбе. 1991. № 1. С. 74-76.

41. Голубева О.В., Шпилевой А .Я. О плоской фильтрации в средах с прерывно изменяющейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 2. С. 174-179.

42. Гольдберг В.М. Структура фильтрационного потока в районах берегового водозабора // ВСЕГИНГЕО. М. 1968. Вып. 10. С. 58-79.

43. Гольдберг В.М. Гидрогеологические прогнозы движения загрязнённых подземных вод. М.: Недра. 1973. 170 с.

44. Гольдберг В.М. Гидрогеологические прогнозы качества подземных вод на водозаборах. М.: Недра. 1976. 152 с.

45. Гольдберг В.М. Взаимосвязь подземных вод и природной среды. Л.: Гидрометеоиздат. 1987. 257 с.

46. Гольдберг В.М., Газда С. Гидрогеологические основы охраны подземных вод от загрязнения. М.: Недра. 1984. 262 с.

47. Градштейн И.С., Рыжик Н.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз. 1963. 1100 с.

48. Гусейн-Заде М.А. Особенности движения жидкости в неоднородном пласте. М.: Недра. 1965. 276 с.

49. Гутников В.А., Кирякин В.Ю., Лифанов И.К., Сетуха А.Н. Математическое моделирование аэродинамики городской застройки. М.: Изд.-во "Пасьва". 2002. 244 с.

50. Гюнтер Н.М. Теория потенциалов и её применение к основным задачам математической физики. М.: «ГИТТЛ». 1953. 416 с.

51. ДанилюкИ.И. Об общем представлении осесимметричных полей // ПМТФ. 1960. № 2. С. 22-33.

52. Данилюк И.И. Исследование пространственных осесимметричных краевых задач // Сибирский мат. журнал. 1963. Т. IV. №6. С. 12711310.

53. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Из. -во МГУ. 1987. 167 с.

54. Жуковский Н.Е. Просачивание воды через плотины. Сборн. соч. т. 7. ГТИЗ. 1950.

55. Заварыкин В.М. и другие. Численные методы. М.: Просвящение. 1990.176 с.

56. Зекцер И.С., Ковалевский B.C., Язвин Л.С. Исследование ресурсов подземных вод в СССР. // Водные ресурсы. 1987. №6. С. 27-37.

57. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука. 1978. 512 с.

58. Квасов А.А. Работа скважины без загрязнения в неоднороднеом слое. Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Новое содержание образования и проблемы готовности сельской школы к её реализации". Орёл. 20-23 мая 1996. С. 375-379.

59. Квасов А.А. Влияние полу эллиптической формы хранилища отходов на очаг вымываемого из него загрязнения // Сборник научных трудов учёных Орловской обласити. Выпуск 5, т. 1. Орёл. 1999. С. 295-298.

60. Квасов А.А. Применение метода дискретных особенностей к одной задаче о работе скважины без загрязнения // Труды IX Международного симпозиума "МДОЗМФ-2000". Орёл. Изд-во Орловского госуниверситета. 2000. С. 253-258.

61. Квасов А.А. Решение интегрального уравнения типа Фредгольма второго рода на окружности для задач фильтрации // Труды IX Международного симпозиума "МДОЗМФ-2000". Орёл: Изд-во Орловского госуниверситета. 2000. С. 259-262.

62. Квасов А.А. Определение максимально возможного очага загрязнения при наличии поступательного потока в осесимметричных задачах // Научный альманах Орловского гос. пед. ун-та. Серия: естественные науки. Орёл. 2000. С. 44-48.

63. Квасов А.А. Плоскопараллельная задача о работе водозабора вблизи кусочно-гладкой границы загрязнения // Труды X Международного симпозиума "МДОЗМФ-2001". Херсон. 2001. С. 263-267. •

64. Квасов А.А. Осесимметричная задача о работе несовершенной скважины в слое с резко отличающимися границами загрязнения // Сборник научных трудов ОГУ. Вып. 2, Орёл, 2002. С. 15-20.

65. Квасов А.А Исследование шлейфа вымываемого загрязнения в плоскопараллельной задаче с прямолинейной границей смены однородностей. // Труды международных школ-семинаров "МДОЗМФ". 2002. С. 44-49.

66. Квасов А.А., Пивень В.Ф. О работе водозабора без загрязнения // VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Тезисы докладов. Казань: Изд-во Казанского гос. техт. ун-та, 2002. С. 263.

67. КирякинВ.Ю., МискоВ.А., Понарин JI.H., СетухаА.В. Расчёт аэра-ционной (ветровой) обстановки на местности // Труды X Международного симпозиума "МДОЗМФ 2001". Херсон. 2001. С. 168 - 170.

68. Коллинз Р. Течения жидкости через пористые материалы. Изд. "Мир", 1964. 350с.

69. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеивания. М.: Мир. 1987. 311 с.

70. Конторович JI.B., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз. 1962. 708 с.

71. Костицина Л.И. К вопросу об обтекании поступательным потоком полупроницаемого цилиндра // Уч. зап. каф. теорет. физики МОПИ. М.: Изд-во МОПИ, 1966. Т. 164. Вып. 6. С. 83-91.

72. Костицына Л.И, К вопросу о движении фильтрационного потока в кусочно-однородной пористой среде // Уч. зап. МОПИ. 1966. Т. 164. Теоретическая физика. Вып. 6. С 83-91.

73. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. 4.1, 6-е изд. перераб. и доп. М.: Физматгиз, 1963. 583 с.

74. Куликов А.Н. Об одной задаче работы водозаборной скважины вблизи загрязнённого бассейна // Проблемы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1977. Вып. 4. С. 22-24.

75. Ламбин Н.В. Решение краевых задач методом симметрии // ПММ. 1950. Т. 14. №6. С. 611-618.

76. Ламбин Н.В. Решение методом симметрии одной краевой задачи с граничной кривой в форме кардиоиды. В кн.: Дифференциальные уравнения. Минский ун.-т. 1959. С. 3-16.

77. Ламбин Н.В. Об одном методе построения кусочно-аналитических функций, связанных с теорией фильтрации. В. сб.: Исследование по современным проблемам теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз. 1960. С. 351-358.

78. Ламбин Н.В. Метод симметрии и его применение к решению краевых задач. Минск. 1960. 40 с.

79. Лифанов И.К. О вычислении скоростей в методе дискретных вихрей //■ ДАН СССР. 1990. Т. 313. № 6. С. 1399-1402.

80. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус». 1995. 520 с.

81. Лифанов И.К., Гутников В.А., Скотченко А.С. Моделирование аэрации в городах. М. Диалог-МГУ. 1998. 134 с.

82. Лукомская М.А. Решение некоторых задач о притоке жидкости к скважинам // ПММ. 1947. Т. 11. Вып. 6. С. 621-628.

83. Лукомская М.А. О притоке жидкости к скважине в неоднородном пласте // ПММ. 1948. Т. 12. Вып. 2. С. 207-208.

84. ЛялькоВ.И., БутЮ.С., Филиппов Ю.Ф., Шнейдерман Г.А. Моделирование гидрогеологических условий охраны подземных вод. Киев.: Наукова думка. 1980. 190 с.

85. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1987. 456 с.

86. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидромеханика. М.: «Мир». 1964. 655 с.

87. Минкин Е.Л. Гидрогеологические расчёты для выделения зон санитарной охраны водозаборов подземных вод. М.: Недра. 1967. 124 с.

88. Минкин Е.Л. Исследование и прогнозирование расчёта для охраны подземных вод. М.: Недра. 1972. 109 с.

89. Минкин Е.Л. Взаимосвязь подземных и поверхностных вод и её значение при решении некоторых гидрогеологических и хозяйственных задач. М.: Стройиздат. 1973. 103 с.

90. Мироненко В.А. и другие. Охрана подземных вод в горнодобывающих районах в опытах гидрогеологических исследований. М.: Недра. 1980. 230 с.

91. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: ГИТТЛ. 1947. 304 с.

92. Муродов И.С. Конформные и квазиконформные преобразования в задачах загрязнения скважин. // ДАН Таджикской ССР. 1990. Т. 33. № 3. С. 158-161.

93. Муродов И.С. О загрязнении водозаборной скважины в ограниченной анизотропной среде. // Известия АН Таджикской ССР. Душанбе. 1990. № 4. С. 66-69.

94. Муродов И.С. Загрязнение скважины в зависимости от формы бассейна. // Задачи динамических процессов в сплошных средах. Межвузовский сборник научных трудов. Свердловск.: Изд.-во СГПИ. 1991. С. 71-77.

95. Мухаметзянов Ф.М. О решении некоторых задач установившейся фильтрации жидкости в неоднородном пласте. Изв. вузов. Нефть и газ. 1962. №7. С. 43-49.

96. Насыров P.M. К вопросу расчёта поля давлений в пласте переменной проницаемости с учётом различия вязкостей воды и нефти. Уч. зап. Киевск. ун-та. 1956. Т. 116. Кн. 5. С. 45-49.

97. Насыров P.M. К определению неоднородности пласта гидродинамическим методом. Уч. зап. Киевск. ун-та. 1957. Т. 117. Кн. 9. С. 133138.

98. НедригаВ.П. Инжинерная защита подземных вод от загрязнения промышленными стоками. М.: Стройиздат. 1976. 96 с.

99. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1 М.: Наука. 1990. 528 с.

100. Никольский Д.Н. Математическое моделирование работы системы скважин в однородных и неоднородных слоях с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости. Канд. диссертация. Орёл. 2001.194 с.

101. Осятинский С.Д. О влиянии непроницаемых включений в однородном плоском пласте на дебит скважины при напорной фильтрации. МОПИ им. Н.К. Крупской. Учёные записки, тр. каф. теор. физики, т. 142, вып. 5, 1964. С. 125-141.

102. Пивень В.Ф. О плоскопараллельной фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1979. С. 39-43.

103. Пивень В.Ф. О фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Избранные вопросы динамики сплошных сред: Московское общество испытателей природы. М.: Наука, 1980. С. 80-84.

104. Пивень В.Ф. К задаче фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1981. С. 24-29.

105. Пивень В.Ф. К теории осесимметричных обобщенных аналитических функций в динамических процессах // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313. № 6. С. 1424-1426.

106. Пивень В.Ф. Комплексные потенциалы осесимметричных процессов с произвольно расположенными особенностями // Задачи динамических процессов в сплошных средах. Свердловск: Изд-во Свердловского пединститута, 1991. С. 44-48.

107. Пивень В.Ф. Метод осесимметричных обобщенных аналитических функций в исследовании динамических процессов // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 228-234.

108. Пивень В.Ф. О двумерной фильтрации в слоях с прерывно изменяющейся проводимостью вдоль кривых второго порядка И Изв. РАН. МЖГ. 1993. № 1. С 120-128.

109. Пивень В.Ф. Функции комплексного переменного в динамических процессах. Орёл.: Изд.-во Орловского пед. инст.-та. 1994. 148 с.

110. Пивень В.Ф. Двумерная фильтрация в слоях переменной проводимости, моделируемой гармонической функцией координат // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №3. С 102-112.

111. Пивень В.Ф. О теории двумерных процессов в слоях переменной проводимости, характеризуемых степенью гармонической функции // Докл. АН. 1995. Т. 344, № 5. С. 627-629. ^

112. Пивень В.Ф. Граничные задачи сопряжения двумерных процессов в слоях переменной проводимости, моделируемой степенным законом // Докл. АН. 1997. Т. 357, № 3. С. 343-345.

113. Пивень В.Ф. Теория двумерных процессов в неоднородных слоях со степенным законом изменения их проводимостей // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 595-605.

114. Пивень В.Ф. Математическое моделирование двумерных граничных задач гидродинамики в неоднородных слоях. Докторская диссертация. Орёл. Орловский гос. ун-т. 1998. 265с.

115. Пивень В.Ф. Сведение граничной задачи сопряжения обобщенных аналитических функций к интегральному уравнению // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 9. с. 1194-1198.

116. Пивень В.Ф. Интегральное уравнение задачи сопряжения обобщённых аналитических функций на нестационарной границе. // Дифференциальные уравнения. Т. 36, № 10. 2000. С. 1405-1409.

117. Пивень В.Ф. Интегральное уравнение граничной задачи сопряжения фильтрационных течений в неоднородной среде II Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ-2000». Орёл. Орловский госуниверситет. 2000. С. 343-348.

118. Пивень В.Ф. Единственность, решения граничных задач сопряжения физических процессов в неоднородной среде // Труды X международного симпозиума «МДОЗМФ-2001». Херсон. ООО «Айлант» 2001г. С. 265-269.

119. Пивень В.Ф., Аксюхин А.А., Квасов А.А., Фролов М.А. Математическое моделирование граничных задач сопряжения двумерных течений в неоднородных слоях // Современные проблемы механики и прикладной математики. Тезисы конференции. Воронеж, 1998. С. 56.

120. Пивень В.Ф., Квасов А.А. Теоретическое моделирование двумерных течений к водозабору в неоднородных слоях, содержащих загрязнённые области. Орловский гос. пед. институт, деп в ВИНИТИ 03.01.96г. № 10-В 96, 28 с.

121. Пивень В.Ф., Квасов А.А. Двумерная задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения // Труды международных школ-семинаров "МДОЗМФ". 2002. С. 74-80.

122. Пилатовский В.П. Влияние призабойной макронеоднородности пласта на дебит скважины. Докл. АН СССР, 1953, 93, №3.

123. Пилатовский В.П. Фильтрация жидкости в несовершенном пласте. Изв. АН СССР ОТН №4, 1954.

124. Пилатовский В.П. Решение некоторых задач подземной гидродинамики. Дисс. М., 1956.

125. Пилатовский В.П. Основы гидромеханики тонкого пласта. М.: Недра. 1966.309 с.

126. Пирвердян A.M. Нефтяная подземная гидравлика. Баку. Азнефтеиз-дат. 1956. 332 с.

127. Пирвердян A.M. Фильтрация к горизонтальной скважине. Тр. Азерб. н.- и. ин-т по добыче нефти, 1956, вып. 3.

128. Пискунов Н.С. К вопросу о фильтрации жидкости в неоднородном по мощности и проницаемости пласте. Тр. ВНИИ. 1956. Вып. 8. С. 232-249.

129. Полубаринова-Кочина П.Я. О притоке жидкости к скважинам в неоднородной среде. ДАН СССР. т. 34. №2. 1942.

130. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. 2-е изд. Перераб. и дополн. М.: Наука, 1977. 664 с.

131. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: наука, 1981. 798 с.

132. Пыхачёв Г.Б. О дебите скважины в неоднородно-проницаемом пласте // Труды ГНИ и Гроз. НИИ. 1944. Вып. 1. 47 с.

133. Пыхачёв Г.Б. Подземная гидравлика. М.: Гостоптехиздат. 1961. 387 с.

134. Радыгин В.М., Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высшая школа. 1983. 160 с.

135. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: «Наука». 1969. 546 с.

136. Роварин П.Н. Искусственное пополнение подземных вод в борьбе с вторжением морской воды. // Журнал Советская геология. 1968. № 8. С. 37-48.

137. Романов А.В. Приток грунтовых вод к водозаборам подземных вод и к дренам // Вопросы фильтрационных расчётов гидрогеологических сооружений. М.: Госстройиздат. 1952. С. 62-131.

138. Салехов Г.С. К определению функции давления в неоднородных пластах нефтяных месторождений II ДАН СССР. Т. 105, № 6. 1955. С. 1174-1176.

139. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989. 432 с.

140. Сетуха А.В. О краевой задаче Неймана в полупространстве // Труды IX Международного симпозиума "МДОЗМФ -2000". Орёл. Изд.-во Орловского госуниверситета. 2000. С. 421 424.

141. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966. 724 с.

142. Тукаев А.Г. К задаче определения функции давления в пластах нефтяных месторождений переменной проницаемости. Изв. Вузов. Нефть и газ. 1960. №6. С. 111-118.

143. Тумашев Г.Г. Определение поля давлений в кусочно-однородных пластах. Изв. ВУЗов. Математика. 1958. № 3. С. 203-216.

144. Тумашев Г.Г., Плещинский Б.И. Вычисление функции давления в одном кусочно-однородном пласте // Уч. зап. Казанского ун.-та. 1958. Т. 118. Вып. 2. С. 228-233.

145. Тютнова Ф.И. и другие. Прогноз качества подземных вод в связи с их охраной от загрязнения. М.: Недра. 1978. 207 с.

146. Фаронов В.В. Deiphi 3. Учебный курс. М.: «Колидж». 1998. 400 с.

147. Форхгеймер Ф. Гидравлика (пер. с нем.). М.-Л., ОНТИ ГРЭЛ. 1935. 615 с.

148. Фролов М.А. Исследование двумерных граничных задая о дебитах системы скважин в неоднородных слоях, проводимости которых моделируются гармоническими и метагармоническими функциями координат. Канд. диссертация. Орёл. 2001. 155 с.

149. Фрид Ж. Загрязнение подземных вод. М.: Недра. 1981. 304 с.

150. Хмельник М.И. Исследование некоторых течений в двусвязной области и их применение в теории фильтрации // Уч. зап. каф. теорет.физики Московского области. Пединститута. М.: Изд-во МОПИ. 1968. Т. 200. Вып. 7. С 100-113.

151. Хмельник М.И., Исманбаев А.И.; К вопросу о выборе оптимальной формы флютбета плотины в кусочно-однородном пласте // Проблемы теоретической гидродинамики. Тула, 1978. С. 5-9.

152. Хмельник М.И., Исманбаев А.И., Ронжин И.С., Шамшиев У. О применении метода особых точек в теории фильтрации // Математика и проблемы водного хозяйства. Изд. ИМ АН УССР. Киев. Нау-кова Думка, 1986.

153. Хмельник М.И., Исманбаев А.И., Шамшиев У. Исследование фильтрационных течений при наличии полупроницаемых включений. Изв. АН КирССР. №1. Фрунзе. 1983.

154. Хмельник М.И., Исманбаев А.И., Шамшиев У. Фильтрация к горной выработке при наличии включений в грунте // Изучение процессов разработки горных пород. Фрунзе, изд. ФПИ, 1990.

155. Хмельник М.И., Шамшиев У., Исманбаев А.И. О расчёте влияния включений в пласте на фильтрацию под плотиной // Некоторые модели сплошных сред и их приложения. М.: Моск. общество испытателей природы. 1988. С. 82-91.

156. Холодовский С.Е. О фильтрации жидкости в кусочно-неоднородных грунтах // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1980. С. 18-19.

157. Чарный И.А. Приток к скважинам в пластах с неоднородной проницаемостью //Инженерный сборник. Т. 18. 1954. С. 31-40.

158. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963.396 с.

159. Шестаков В.М. Динамика подземных вод. М.: Изд.-во Московского ун.-та. 1979. 368 с.

160. Щелкачёв В.Н., Пыхачёв Г.Б. Интерференция скважины и теория пластовых водонапорных систем. Баку. АЗГОНТИ. 1939. 288 с.

161. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. М.-Л.: Гостоптехиздат, 1949. 524 с.

162. Юрисов В.А. Метагармоническое семейство слоёв II Уч. зап. МОПИ. 1964. Т. 142. Тр. каф. теорет. физики. Вып. 5. С. 93-107.

163. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М.: Наука. 1977. 344 с.

164. Gheorghita St.J. О движении жидкостей в неоднородной пористой среде, когда границами раздела служат софокусные эллипсы. Bull. Math. Soc. sci. Math, et phys. R.P.R. 1960. V. 4. N. 2.

165. Gheorghita St.J. Citeva miscorai in medii poroase neomogene. О течении в неоднородной пористой среде. Bull. St. Mat. Fiz. 1954. V. 6. N4. P. 823-838.

166. Oroveanu Т. Scurgerea fluidelor prin medii poroase neomogene. О течении сжимаемой жидкости через неоднородную пористую среду. Ви-curesti, Ed. Acad. RPR. 1963. 328 p.

167. Piven' V.F. The theory of two-dimensional processes in inhomogeneaus layers with power law of their conductivity variation // J. Appl. Maths. Mechs. 1997. Vol. 61. № 4. P. 577-586.

168. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory. Разрывные интегралы и обобщённая теория потенциала. Trans, of the Amer. Math. Soc. 1948. V. 63. P. 342-354.

169. Weinstein A. On axially symmetric flow. Об осесимметричных течениях. Quart. Appl. Math. 1948.

170. Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory. Обобщённая теория осесимметричных потенциальных течений. Bull. Amer. Math. Soc. 1953. V. 59. P. 20-38.148

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00