автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование двумерных граничных задач гидродинамики в неоднородных слоях

Введение.

Глава 1. Математическое моделирование задачи сопряжения двумерных течений в случае произвольной гладкой границы. Основные свойства комплексного потенциала

§1.1. Постановка задачи сопряжения для комплексного потенциала течения.

§ 1.2. Основные свойства комплексного потенциала.

§ 1.3. Выражение комплексной скорости через комплексный потенциал. Е-дифференцирование.

§ 1.4. Определение комплексного потенциала течения по известной комплексной скорости, ^-интегрирование.

Глава 2. Системы комплексных потенциалов с особыми точками, моделирующими источники течения.

§ 2.1. Фундаментальные решения, моделирующие течения от источника, вихря и вихреисточника.

§ 2.2. Комплексные потенциалы течений с полюсами в конечных точках полуплоскости.

§ 2.3. Комплексные потенциалы течений с полюсами в бесконечности.

§ 2.4. Комплексные потенциалы течений в изотермических координатах.

Глава 3. Интегральные представления решений основных уравнений и их применение к задаче сопряжения двумерных течений.

§3.1. Выражение квазипотенциала скорости и функции тока течения обобщенными потенциалами.

§ 3.2. Представление комплексного потенциала обобщенным интегралом Коши.

§ 3.3. Определение комплексного потенциала через обобщенный интеграл типа Коши.

§ 3.4. Сведение задачи сопряжения к интегральному уравнению.

Глава 4. Представление комплексных потенциалов течений в круговой и кольцевой областях обобщенными степенными рядами. Основы теории вычетов и обобщенного аналитического продолжения.

§ 4.1. Представление комплексного потенциала обобщенным рядом

Тейлора.

§ 4.2. Выражение комплексного потенциала обобщенным рядом

Лорана.

§ 4.3. Основы теории вычетов для комплексного потенциала.

§ 4.4. Обобщенное аналитическое продолжение.

Глава 5. Математические модели задач сопряжения двумерных фильтрационных течений в неоднородных слоях.

§5.1. Постановка задачи.

§ 5.2. Фильтрация в слоях с прямолинейными границами сопряжения.

§ 5.3. Фильтрация в слоях, сопрягающихся вдоль кривых второго порядка.

§ 5.4. Фильтрация в слое с двумя границами сопряжения.

§ 5.5. Двумерные граничные задачи о работе скважины в неоднородных слоях.

§ 5.6. Граничные задачи о работе водозабора в слоях, содержащих загрязнённые области.

Глава 6. Математическое моделирование краевых задач осесимметричного обтекания тел идеальной жидкостью.

§ 6.1. Постановка задачи.

§ 6.2. Стационарное обтекание тел вращения.

§ 6.3. Нестационарное обтекание тел вращения переменных размеров.

Актуальность темы и обзор литературы

Решение значимых для практики проблем, связанных с охраной окружающей среды, эксплуатацией нефтеносных (водоносных) слоев грунта, развитием авиационной и космической техники и т. д., обусловило разработку математических моделей движения жидкости. Первоначальным шагом в этом направлении явилось создание моделей плоскопараллельных течений в однородных слоях, опирающееся на широкое применение классической теории аналитических функций комплексного переменного. Однако, решение задач, выдвигаемых практикой для неоднородных слоёв сложной геологической структуры и пространственного обтекания тел, потребовало построения новых математических моделей двумерных (в том числе осесиммтричных) течений.

Созданию таких моделей посвящены труды П.Я. Кочиной [14б], М.А. Лаврентьева [79], A.A. Самарского [l5l], Л.И. Седова [152], С.М. Белоцерковского [9], О.В. Голубевой [41,148], Н.Б. Ильинского [59,60], И.К. Лифанова [80] и многих других исследователей.

Реальные слои (пласты) грунта, как правило, неоднородны. Неоднородность слоя характеризуется проводимостью, которая является функцией координат точек слоя и может скачком изменяться на некоторых линиях. Решение актуальных проблем практики привело к необходимости построения и изучения математических моделей граничных задач сопряжения в таких слоях. Поставим задачу сопряжения — укажем основные уравнения и граничные условия.

Как известно [148], различной природы физические явления и процессы в среде можно описать вектором V и скаляром (р, которые определяются основным линейным законом и уравнением неразрывности:

V = KV(p, V-V = 0. (0.1)

Здесь V — оператор Гамильтона, К — коэффициент, характеризующий свойства среды.

Уравнения (0.1) описывают как стационарные (статические), так и нестационарные явления, изучаемые в классической гидродинамике, теории фильтрации, теплопроводности, электродинамике и т.д. Для нелинейных явлений основной закон значительно усложняется [57, 59, 67—69, 149, 181].

Далее будем говорить о движении жидкости в пористых средах и свободном течении идеальной жидкости. В терминах гидродинамики V и (р — скорость и квазипотенциал скорости течения жидкости, К — коэффициент проницаемости среды: в случае однородной среды К = const, для неоднородной среды К — функция координат, для анизотропной среды К — симметричный тензор второго ранга. Полагаем далее, что среда изотропная. В случае течения идеальной жидкости К = 1. Для течений в среде различают скорость фильтрации V и физическую d у скорость -— (г — радиус-вектор малой частицы жидкости, t — время). d t d y

Эти скорости связаны равенством [148]: V - а-, где сг — пористость d t среды (безразмерная величина), для свободной жидкости сг = 1.

При решении практических задач целесообразно использовать г t V безразмерные координаты г'- —, время ? = —, скорость V'=—,

LQ TQ V0 ф К квазипотенциал скорости коэффициент К'=—. Здесь L0, TQ, V0, ф0 Ко

Ф0, К0 — характерные значения соответствующих величин, причём

148]: V0 = , Г0 = G . Тогда в безразмерных величинах V - ^-и L0 V0 dt уравнения (0.1) сохраняют свой вид, если опустить штрихи над величинами.

Таким образом, исследование течений в средах связано с интегрированием системы уравнений (0.1) при заданных граничных, а в нестационарном случае, и начальных условиях.

Далее будем изучать двумерные течения в неоднородном тонком слое, для описания которых наряду с квазипотенциалом скорости (р используем функцию тока у/. иЕшналкныи усшрвмяжной толщины Н расположен на плоскости (основание слоя — плоскость), где выбраны декартовы оси координат 77, то из (0.1) имеем систему уравнений [148]: = (0.2) ь ^ Н dt] V дг\ V ;

Как следует из. основного закона (0.1), в случае неоднородной среды (К = К (г)) поле скоростей V завихрено (V х V * 0). Однако, поле вектора

V у в У г, = £ (0.3) который назовём приведённой скоростью, будет потенциальным (Уху = 0). Используя вектор (0.3), запишем уравнения (0.2) следующим образом

0.4)

71 дг; Рд$ где Р = КН — проводимость слоя, Р = г}) > 0.

Отметим, что к виду (0.4) сводятся вытекающие из системы (0.1) уравнения двумерных явлений (процессов) как в изотропных, так и анизотропных слоях, расположенных на криволинейных поверхностях, где выбрана изотермическая система координат [148]. Используя преобразование, известное в гидродинамике как принцип обратимости: (р* = у/, у/* = -(р, получим относительно уравнения вида (0.4) для течений в слое проводимости Р* = [41]. Следовательно, этот принцип позволяет уравнения в слое проводимости Р* записать в форме (0.4).

Центральное место в работе занимает построение математических моделей граничных задач сопряжения двумерных течений, аналитическое и численное исследование этих моделей. Задачу сопряжения, двумерных1 течений можно поставить для функции либо у/. Сформулируем её для (р как функции координат точки М(^,г\), вообще говоря, неограниченной области П. Полагаем, что гладкая кривая Г' делит область П на области Д1 и Э2' с проводимостями слоя Р1 и Р2 (Ру = £■#■,./' = 1, 2 ). Течения в них описывают квазипотенциалы скорости <рх и (р2, имеющие особенности в конечном числе т точек Ма{Ъ,а,г|а), а = \,2,.,т. Толщина Н слоя изменяется непрерывно на Г'. Тогда задача сопряжения состоит в интегрировании вытекающих из системы (0.4) уравнений д

Г я т \

Р] д(Р}\ . д ( п ддЕ, ) д г]\ дг] 0, 7 = 1,2, (0.5)

1 Трёхмерная задача сопряжения состоит в интегрировании следующего из (0.1) уравнения У-(К Уср) = 0 при выполнении на границе Г' условия (0.6).

Задача сопряжения на кусочно-гладкой кривой рассмотрена в [143].

Р]=Р]{М)> 0, (р]=ср]{М), М*Ма, а = \,2,.,т, М е£>/ при заданных на границе Г' условиях непрерывности давления и расхода жидкости (условия сопряжения) [148]:

М = ъ(М), = , М еГ'.(0.6)

V дп дп

В условиях (0.6) п - нормаль к Г', направленная внутрь области Dx\ " + " и "-" обозначены предельные значения соответствующих функций при подходе к Г' из областей Д' и D2'. В случае области D', ограниченной кривой L, необходимо задать условия также на I. Если область П не ограничена, то условия задаются в бесконечности (см. §1.1).

Частными случаями задачи сопряжения (0.5), (0.6) являются краевые задачи Дирихле (когда, например, область D21 занимает свободная жидкость, К2 = оо) и Неймана (когда в области D2' — непроницаемая среда, К2 = 0) для уравнения (0.5).

Аналогично можно сформулировать задачу сопряжения относительно функции тока у/ при выполнении для неё на Г' соответствующих условий [148]. Однако, используя уравнения (0.4), условия (0.6) целесообразно представить относительно функций ср и у/ в виде [148]:

Р\ (М) = q?2 (М), = МеГ. (0.7)

В этом случае задача сопряжения состоит в отыскании решений (Pj,y/j,j = 1,2 системы уравнений (0.4) при условиях (0.7).

Формулировки задачи сопряжения в виде (0.5), (0.6) и (0.4), (0.7) эквивалентны. Однако, представление этой задачи в виде (0.4), (0.7) позволяет поставить её для комплексного потенциала течения (см. § 1.1).

Принципиальной особенностью задачи сопряжения (0.4), (0.7) является то, что уравнения (0.4) имеют сингулярную (особую) линию, на которой проводимость слоя равна нулю: P(^,rf) = 0. На этой линии уравнения (0.4) вырождаются (теряют физический смысл). Сингулярная линия может быть непроницаемой границей области течения (тогда она представляет собой линию тока у/ = const) либо линией с распределёнными на ней особыми точками функций (р и у/, моделирующими источники течения.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда сингулярная линия — прямая. Воспользуемся тем, что уравнения (0.4) и условия (0.7) являются конформно ковариантными [134, 148]. Это позволяет представить задачу сопряжения в каноническом виде для случая, когда проводимость Р слоя можно моделировать следующим образом i> =/*(£?), i = const, (0.8) где — положительная гармоническая функция координат %, 77

Л/(£,rf) = 0). Введём комплексные плоскости + и z-x + iy, которые связаны взаимно однозначным конформным преобразованием z = F(0 (y = bnF(Q = f^,r?)), C=F,(z), (0.9)

7 77* где----конечно и не равно нулю в области Dj'U^'UT'. Обозначая dС, через vx = Cv|, v^ = Cv7 (С2 dF{Q2 уравнения (0.4) запишем в канонической форме составляющие скорости, д (р 1 dw д (р 1 dw ах ду су ys ах

В этом случае сингулярная кривая f{%,rj) = 0 и граница Г' на плоскости С, согласно (0.9)преобразуются соответственно в прямую у - 0 (ось х ) и границу Г областей Dx и D2 на плоскости z. Уравнения (0.10) описывают течения в полуплоскости у = Im z > 0 для слоя проводимости

Р = / , s = const. (0.11)

Задачу нахождения решений <pj,y/j,j = 1,2 уравнений (0.10) при условиях (0.7) на границе Г назовём канонической задачей сопряжения. Этой задаче можно дать эквивалентную формулировку для функции (р (или у/) либо для комплексного потенциала (см. § 1.1).

Исследование задачи сопряжения привело к необходимости систематической разработки математического аппарата для функций, удовлетворяющих уравнениям (0.10). Он является усложнённым аналогом теории аналитических функций. При этом аналитические функции являются частным случаем (при s = 0) изученного класса функций, отвечающих уравнениям (0.10).

Проанализируем развитие теории функций, определяемых уравнениями (0.4),(0.10) и более общего вида эллиптическими системами уравнений, и её приложения к исследованию граничных задач. Идея построения теории функций, удовлетворяющих общей эллиптической системе уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, подобно теории аналитических функций высказана впервые Е. Пикаром в 1891 г. [199, 200]. Эта идея была развита JI. Берсом и А. Гельбартом [193, 194], которые ввели понятия Е-дифференцирования и £ -интегрирования для класса функций, удовлетворяющих определённой системе уравнений, названных Z-моногеннымй функциями. Аналогичные операции дифференцирования и интегрирования ввёл ранее Е. Бельтрами [188, 189] для функций, описывающих осесимметричные течения идеальной жидкости. А. Вайнштейн [206—209] разработал теорию обобщённого осесимметричного потенциала.

В дальнейшем параллельно развивалось несколько направлений обобщения основных положений теории аналитических функций, удовлетворяющих различным эллиптическим системам уравнений. Развитием первоначальных идей явилось создание Л. Берсом [6—8, 191, 192] теории псевдоаналитических функций, при построении которой за исходные принимаются, так называемые, обобщённые или порождающие пары. И.Н. Векуа [25, 26] последовательно разработал теорию обобщенных аналитических функций, для которых установлены аналоги теоремы Коши и формулы Коши, классифицированы особые точки функций, а также полечены другие результаты. Многие свойства, присущие обобщённым аналитическим функциям, распространены на решения эллиптических систем уравнений общего вида [17, 196, 197]. Г.Н. Положий [144, 145] систематически развил теорию р-аналитических и (p,q) -аналитических функций, для которых введены операции дифференцирования и интегрирования, найдены аналоги теоремы Коши и формулы Коши, классифицированы особые точки функций, построена теория вычетов, получены интегральные представления этих функций, а также ряд других результатов. Между классами функций, рассмотренных JL Берсом, И.Н. Векуа и Г.Н. Положим, существует определённая связь[145].

Понятие ^-интегрирования расширено А.И. Маркушевичем (см. статью И.Г. Петровского [94]), М.А. Лукомской [84—85], Л. Берсом и

А. Гельбартом [195], С. Агмоном и Л. Берсом [187] на наиболее общие эллиптические системы уравнений. М.А. Лаврентьев [73—79], Б.В. Шабат [176, 177], З.Я. Шапиро [179], Л.И. Волковыский [28] обобщили геометрические свойства аналитических функций на широкий класс линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа. Это привело к созданию теории квазиконформных отображений. Б.В. Боярский [16, 17] получил ряд результатов для эллиптических систем уравнений с 2п (п > 1) искомыми функциями. В исследованиях [6, 8, 12, 13, 24, 81] проведены обобщения на случай эллиптических уравнений второго и высших порядков.

Все известные обобщения теории аналитических функций тесно связаны как с определёнными проблемами математического анализа и геометрии, так и практически важными граничными задачами механики и физики. Последнее в значительной мере стимулировало развитие теории функций, удовлетворяющих разнообразным эллиптическим системам уравнений. Следует отметить прикладные работы по гидродинамике и теории фильтрации [18—21, 31—43, 47, 48, 51, 55, 60, 63, 79, 145, 148, 149, 162, 165, 167, 171, 183—185], газовой динамике [6, 78, 79, 93, 209], электродинамике [50, 56, 58, 154], теории упругости [1, 24—26, 62, 145, 169,170].

Существование и единственность решения задачи сопряжения при условиях вида (0.6) изучались для уравнения Лапласа [52, 160], уравнения вида (0.5) [36], а также более общего уравнения эллиптического типа [29]. Из исследований [29, 36] можно заключить, что решения задачи сопряжения (0.5), (0.6) могут отличаться только аддитивной постоянной. Если область Д'Ц) ¿V конечна и ограничена простым кусочно-гладким контуром, на котором искомая функция (р принимает заданное значение, то решение этой задачи будет единственным.

Так как (р и у/ — сопряжённые функции (они связаны уравнениями (0.4)), то решения (р, у/ задачи сопряжения (0.4), (0.7) также могут отличаться только постоянными слагаемыми. Для ограниченной простым кусочно-гладким контуром области £уи ¿V можно получить единственное решение для функции ср (либо у/), если задать на этом контуре значения^» (либо у/).

Плоскопараллельные задачи сопряжения для уравнения Лапласа в случае канонических границ Г' (Г'- прямые линии и кривые второго порядка) изучены в [36, 41, 87, 146, 148, 168, 182, 198] для конкретных областей Д'и ¿V- Для уравнения вида (0.5) в случае фильтрации в слое постоянной толщины (Н = 1) и переменной проницаемости

Kj = (ajX + bjy + Cj)2, 7 = 1,2 при различных значениях констант aJ} bj, Cj исследованы задачи сопряжения, когда область D^ijD^ представляет собой полосу [174], плоскость, круг, прямоугольник [153]. Исследованы также задачи сопряжения для частного вида закона изменения проницаемости слоя. [173].

В работе [175] показано, что задачу сопряжения для общего вида уравнения эллиптического типа можно свести к задаче Римана для кусочно-аналитической функции.

Разработаны приближённые аналитические и численные методы исследования краевых задач плоскопараллельной фильтрации в неоднородных слоях (см. обзор в [36]).

Анализ исследований показывает, что не известны решения двумерных задач сопряжения (0.4), (0.7) для широкого класса слоёв (0.8). Так как задача сопряжения имеет большую практическую значимость, то её решение в конечном виде актуально. Исследование этой задачи потребовало разработки математического аппарата функций, определяемых уравнениями (0.4). Они относятся к классу уравнений, изученных в работах JI. Берса, Н.Н. Веку а, Г.Н. Положего и других авторов. Однако, все известные результаты этих работ справедливы только для областей течения, не содержащих сингулярную линию P(%,rj) = 0, Наличие этой линии в области течения приводит к принципиально новым свойствам решений уравнений (0.4). Так как в работе исследуются течения в областях, включающих сингулярную линию, то возникает необходимость в систематическом изучении этих свойств.

Целью работы является создание и исследование новых математических моделей граничных задач сопряжения двумерных фильтрационных течений в неоднородных слоях и краевых задач стационарного и нестационарного осесимметрчного обтекания тел идеальной жидкостью на основе разработанного математического аппарата для широкого класса обобщённых аналитических функций в случае областей с сингулярной.линией.

Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:

1. Построены новые математические модели двумерных течений в неоднородных слоях широкого диапазона проводимостей. Получены классы комплексных потенциалов, особые точки которых моделируют как изолированные, так и непрерывно распределённые источники (стоки) этих течений. Найдены также фундаментальные решения основных уравнений, описывающих течения от точечного вихря и вихреисточника.

2. Созданы математические модели задач сопряжения на одной и нескольких границах для двумерных (в том числе осесимметричных) течений в неоднородных слоях. Решение этих задач получено в конечном виде, когда границами сопряжения являются прямые линии и кривые (в пространстве поверхности вращения) второго порядка. В случае произвольных гладких границ, представимых в параметрическом виде, задачи сопряжения сводятся к неоднородному интегральному уравнению второго рода типа Фредгольма, что позволяет решить эти задачи численно.

3. Построены новые математические модели краевых задач стационарного ц нестационарного осесимметричного обтекания тел произвольным потоком идеальной несжимаемой жидкости. В нестационарном случае сечение тел может изменяться с течением времени. Решение задач найдено в конечном виде, когда поверхности тел можно моделировать поверхностями вращения обширного класса.

4. Разработан математический аппарат для широкого класса обобщённых аналитических функций. Он даёт ряд методов (разложение в обобщённые степенные ряды, обобщённая формула Коши, обобщённое аналитическое продолжение и т. д.) решения в конечном виде граничных задач для областей течений, содержащих сингулярную линию. Этот аппарат является усложнённым аналогом классической теории аналитических функций комплексного переменного. Аналитические функции являются частным случаем этих функций.

Развитый аппарат можно применить для исследования двумерных процессов и явлений различной физической природы, описываемых уравнениями вида (0.4). Полученные в конечном виде решения граничных задач могут быть использованы при исследовании таких процессов.

Практическая значимость. Построенные математические модели применены к актуальным граничным задачам практики в случае неоднородных слоёв. Решены конкретные задачи, возникающие при разработке нефтеносных (водоносных) слоёв грунта, сложной геологической структуры. Найдены формулы для вычисления дебита совершенной скважины в таких слоях. Изучено влияние неоднородности слоёв на дебит. Это, в частности, позволило указать условия, при которых вместо полученных сложных формул расчёта дебита можно использовать на практике простые (в ряде случаев известные) выражения для дебита.

Изучены практические задачи разработки водоносных слоёв грунта, содержащих области загрязнения, либо подпитывающихся со стороны моря (солёного озера). Найдены формулы вычисления дебита водозабора в виде совершенной и несовершенной (по степени вскрытия слоя) скважины в таких слоях. Указаны предельно допустимые значения дебита водозабора, при которых он не загрязняется в заданных условиях работы.

Исследованы значимые для охраны окружающей среды граничные задачи о промывании областей загрязнения (засоления) потоками грунтовых вод в неоднородных слоях. Найдены условия, при которых возникающие в результате такого промывания следы (очаги) загрязнения грунта минимальны.

Построенные и исследованные модели осесимметричного обтекания тел могут быть использованы в качестве тестовых при решении практических задач, связанных с гидродинамическими расчётами в судостроении и авиационной технике.

Апробация работы. По мере получения основных результатов и в завершённом виде диссертация докладывалась на гидродинамическом семинаре Института проблем механики и Московского общества испытателей природы при МГУ (рук. академик П.Я. Кочина, профессор О.В. Голубева). Диссертация доложена и обсуждена в МГУ на заседаниях семинаров факультета ВМК: по вычислительным методам (рук. академик

A.A. Самарский), интегральным уравнениям (рук. профессор Е.В. Захаров, профессор И.К. Лифанов), методам математической физики (рук. профессор В.И. Дмитриев); на гидродинамическом семинаре мехмата (рук. профессор Н.Р. Сибгатуллин, профессор А.Г. Петров); на семинаре отдела уравнений с частными производными Математического института им.

B.А. Стеклова РАН (рук. член-корреспондент A.B. Бицадзе); на объединённом семинаре Вычислительного центра РАН (рук. профессор Ю.Д. Шмыглевский, профессор Б.В. Пальцев, доктор физ.-мат. наук Е.Д. Терентьев); на семинаре по проблемам нестационарной аэродинамики Гос. НИЦ ЦАГИ (рук. профессор С.М. Белоцерковский); на объединённом семинаре НИММ им. Н.Г. Чеботарёва при Казанском университете (рук. профессор Н.Б. Ильинский, доктор физ.-мат. наук A.B. Костерин, доктор физ.-мат. наук Е.Г. Шешуков); на семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного Казанского университета (рук. профессор Л.А. Аксентьев); на семинаре по краевым задачам математической физики Киевского университета (рук. член-корреспондент УАН А.Ф. Улитко). Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции "Краевые задачи теории фильтрации и их приложения" (Казань, 1991 г.), на Лобачевских чтениях, посвящённых 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского (Казань, 1992 г.), на Международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории в теории дифференциальных уравнений (Орёл, 1996 г.), на ежегодных научных конференциях Орловского университета. Также результаты работы представлены в виде опубликованных докладов и тезисов докладов на международных конференциях: "Математическое моделирование" (Якутск, 1994 г.), "Краевые задачи, специальные функции и дробные исчисления", посвящённой 90-летию со дня рождения академика Ф.Д. Гахова, (Минск, 1996 г.), "Математические проблемы экологии" (Новосибирск, 1996 г.), "Математические модели и методы их исследования" (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)" (Красноярск, 1997 г.), "Математическое моделирование систем" (Воронеж, 1998 г.), "Современные проблемы теории фильтрации" (Украина, Ривне, 1998 г.), "Седьмая межд. научн. конф им. академикам. Кравчука" (Украина, Киев, 1998 г.), в Воронежской школе "Современные проблемы механики и прикладной математики" (Воронеж, 1998 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в монографии [132], в статьях [109—126, 128—132, 134—137, 139—143, 201—203] и тезисах докладов [127, 133, 138]. Во всех совместных статьях автором работы поставлены задачи и получены их аналитические решения, по которым проведён соавторами численный расчёт.

Краткое содержание работы. Работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, приложений и иллюстраций.

В первой главе строится математическая модель граничной задачи сопряжения на произвольных гладких кривых для комплексного потенциала двумерных течений в слоях проводимости (0.11). Она представляет собой каноническую форму задачи сопряжения в слое проводимости (0.8). Её частными случаями являются краевые задачи Дирихле.

Указываются основные свойства комплексного потенциала как обобщённой аналитической функции, принадлежащей широкому классу. Среди этих свойств принципиальное значение имеют преобразование инверсии, I -дифференцирование, I -интегрирование, обобщённая формула Ньютона-Лейбница, обобщённая теорема Коши.

Во второй главе отыскиваются системы комплексных потенциалов, которые моделируют двумерные течения в неоднородных слоях проводимости (0.11). Изучено известное фундаментальное решение, описывающее источник (сток). Получены новые фундаментальные решения, которые определяют вихрь и вихреисточник. Они обладают особенностями логарифмического типа и имеют принципиальное значение при развитии математического аппарата для комплексного потенциала как обобщённой аналитической функции.

Е-дифференцированием и ^-интегрированием находятся системы комплексных потенциалов мультиполей в виде формальных степеней обобщённых аналитических функций, имеющих полюсы и-го порядка в конечных и бесконечно удалённых точках полуплоскости 1шг>0.

Получены также системы комплексных потенциалов в криволинейных изотермических координатах.

В третьей главе развивается метод решения граничных задач, опирающийся на обобщённые интегралы Коши и типа Коши. Они определяют комплексные потенциалы в области, ограниченной произвольной кусочно-гладкой линией. Ядра обобщенного интеграла Коши представлены через нормированный комплексный потенциал диполя.

Вводится понятие предельного значения обобщённого интеграла Коши, и находятся обобщённые формулы Сохоцкого.

Задача сопряжения на произвольных гладких кривых сводится к неоднородному интегральному уравнению второго рода типа Фредгольма.

В четвёртой главе излагается метод решения граничных задач, основанный на применении принципа суперпозиции к полученным системам комплексных потенциалов. Задачи решаются путём разложения комплексного потенциала в обобщённые ряды Тейлора и Лорана.

Для графического изображения течений используются обобщенное аналитическое продолжение и принцип симметрии, которые являются аналогами соответствующих понятий для аналитических функций.

Пятая глава посвящается построению и исследованию математических моделей двумерных (в том числе осесимметричных) фильтрационных течений в неоднородных слоях, для широкого круга границ сопряжения. Находятся в конечном виде решения для произвольных течений, когда границами раздела однородности слоев являются кривые (в пространстве — поверхности вращения) второго порядка. В случае границ в виде произвольных гладких кривых, представимых в параметрической форме, задачи сопряжения сводятся к интегральному уравнению, которое решается численно. Эти решения применяются к новым актуальным проблемам, которые связаны с охраной природы, работой водозаборов при наличии в грунте загрязнённых областей, эксплуатацией нефтяных месторождений в пластах сложной геологической структуры.

В шестой главе строятся и изучаются математические модели стационарных и нестационарных краевых задач осесимметричного обтекания тел произвольным потоком идеальной несжимаемой жидкостью. Размеры этих тел постоянны либо могут изменяться с течением времени. Решения задач получены в конечном виде. Они могут служить тестовыми при разработке численных методов исследования осесимметричного обтекания тел с переменным сечением.

В заключении излагаются основные результаты работы.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Построены и исследованы двумерные (включая осесимметричные) математические модели фильтрационных задач сопряжения на одной и нескольких границах в широком диапазоне слоев с переменной проводимостью. Когда границами являются прямые линии и кривые (в пространстве — поверхности вращения) второго порядка, решения получены в конечном виде для произвольных течений. В случае произвольных гладких границ задачи сопряжения сведены к интегральному уравнению, которое решается численно.

2. Найденные решения применены для моделирования работы совершенных скважин в неоднородных нефтеносных (водоносных) слоях сложной геологической структуры. Получены формулы дебитов скважин в случае гладких границ сопряжения и контуров питания. Изучено влияние неоднородности слоев на эти дебиты для различных контуров питания.

3. Построены и исследованы модели двумерных (в том числе оссесмметричных) граничных задач о работе водозабора в неоднородных водоносных слоях, содержащих области загрязнения. Найдены предельно допустимые значения дебита, при которых он не загрязняется. Изучено влияние неоднородности слоя и конфигурации областей загрязнения на этот дебит. Исследованы модели двумерных граничных задач о промывании грунтовыми водами загрязнённых областей в неоднородных слоях.

4. Построены новые математические модели стационарного и нестационарного осесимметричного обтекания тел идеальной несжимаемой жидкостью. Решены в конечном виде краевые задачи обтекания произвольным потоком широкого класса осесимметричных тел, в том числе переменного сечения.

5. С целью исследования указанных проблем разработан математический аппарат для широкого класса обобщённых аналитических функций, описывающих течения в областях, включающих сингулярную линию. Он представляет собой усложнённый аналог классической теории аналитических функций комплексного переменного. Аналитические функции являются частным случаем разработанных функций. Развитый аппарат даёт ряд методов решения в конечном виде задач сопряжения для канонических границ и позволяет в случае произвольных гладких границ свести эти задачи к интегральному уравнению.

Эти методы и полученные с их помощью точные решения граничных задач могут быть использованы для изучения широкого круга двумерных явлений и процессов различной физической природы, описываемых уравнениями вида (0.4).

Заключение

1. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (применение методов теории функций комплексного переменного). М.: Наука, 1978. 464 с.

2. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 431 с.

3. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970. 712 с.

4. Бабушкин В.Д., Плотников H.H., Чуйко В.М. Методы изучения фильтрационных свойств неоднородных пород. М.: Недра, 1974. 208 с.

5. Белов В.А. О построении течений в слоях переменной толщины // Уч. зап. каф. теорет. физики Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1968. Т. 200. Вып. 7. С 19-31.

6. Берс JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961.208 с.

7. Берс Л. Теоретико-функциональная точка зрения на эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными. Дополн. к гл. IV (с. 372-404) в кн. Р. Курант. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

8. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 351 с.

9. Белоцерковский С.М. О методологии создания, проверки достоверности и применения математических моделей в авиации // В кн. Вопросы кибернетики. Проблемы создания и применения математических моделей. М.: 1983. С. 3 — 20.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973. 294 с.

11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1974. 295 с.

12. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1953. Т. 41.

13. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1966. 203 с.

14. Бочевер Ф.М., Лапшин H.H., Орадовская А.Е. Защита подземных вод от загрязнения. М.: Недра, 1979. 254 с.

15. Боярский Б. В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Мат. сб. 1957. Т. 43, № 4. С. 451-503.

16. Боярский Б.В. Общее представление решений эллиптической системы уравнений на плоскости // Докл. АН СССР. 1958. Т. 122, № 4. С. 543-546.

17. Боярский Б.В. Некоторые граничные задачи для системы уравнений эллиптического типа на плоскости // Докл. АН СССР. 1958. Т. 124, № 1.

18. Быстров К.Н. О течениях в искривленных слоях с изотермическим законом изменения толщины // Уч. зап. каф. теорет. физики Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1959. Т. 75. Вып. 4. С. 11-29.

19. Быстров К.Н. О непрерывных распределениях диполей, интегралах Коши и типа Коши для течений в слоях переменной толщины // Уч. зап. каф. теорет. физики Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1966. Т. 164. Вып. 6. С. 34-41.

20. Быстров К.Н. Квазианалитические функции комплексного переменного в некоторых задачах гидродинамики. Докт. дисс. Московский области, пединститут. 1966. 321 с.

21. Быстров К.Н. Инвариантная производная и инвариантный интеграл в классе квазианалитических функций комплексного переменного // Гидродинамика: Московское общество испытат. природы. М.: Изд-во МГУ, 1970. С 3-6.

22. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. М.: Мир, 1971. 451 с.

23. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 757 с.

24. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений . M.-JL: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. 296 с.

25. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек // Мат. сб. 1952. Т. 31(73), № 2. С. 234-314.

26. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1988. 512 с.

27. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. 3-е изд., М.: Наука, 1976. 527 с.

28. Волковыский JI. И. Квазиконформные отображения. Львов. 1955.

29. Гагаев Б.М. Единственность одной задачи сопряжения функций, удовлетворяющих эллиптическому уравнению // Уч. зап. Казанского ун-та, 1956. Т. 116, кн. 1. С. 33-35.

30. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз. 1962. 639 с.

31. Гайдуков Н.И. Осесимметричное течение идеальной несжимаемой жидкости с особенностями на оси симметрии и в бесконечно удаленных точках // Уч. зап. Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1966. Т. 164. Вып. 6. С. 58-62.

32. Гладышев Ю.А. Краевые задачи гидродинамики и метод функций формальных переменных // Специальные вопросы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1976. Вып. 3. С. 15-74.

33. Гладышев Ю.А. Об одном новом методе построения осесимметричных полей в неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1980. С. 96-111.

34. Глущенко A.A. Решение некоторых пространственных краевых задач теории фильтрации. Докт. диссертация. Киевский ун-т. 1970. 307 с.

35. Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань. Изд-во Казанского ун-та. 1972. 196 с.

36. Голубева О.В. Уравнения двумерных движений идеальной жидкости по криволинейной поверхности и их применение в теории фильтрации // ПММ. 1950. Т. 14. Вып. 3. С. 287-294.

37. Голубева О.В. Некоторые задачи ламинарной фильтрации жидкости в неоднородных искривленных слоях переменной толщины // ПММ. 1953. Т. 17. Вып. 4. С. 485-490.

38. Голубева О.В. О комплексном потенциале и комплексной скорости течений в искривленных пленках переменной толщины // Уч. зап. каф. теорет. физики Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1959. Вып. 4. С. 3.9.

39. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1971.452 с.

40. Голубева О.В. Безразмерные уравнения фильтрации // Математическая физика и гидродинамика: Московское общество испытат. природы. М.: Изд-во МГУ, 1972. С. 7-10.

41. Голубева О.В. Двумерные динамические процессы в анизотропных средах//ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 1. С. 166-171.

42. Голубева О.В. Фильтрация к скважинам и критерий их работы без загрязнения. Препринт № 182. М.: ИПМ АН СССР. 1981.59с.

43. Голубева О.В. Вопросы загрязнения скважин и окружающей среды фильтрационными потоками. Препринт № 315. М.: ИПМ АН СССР. 1988. 41 с.

44. Голубева O.B. Промывка загрязненных областей подземными водами // Задачи динамических процессов в сплошных средах. Свердловск: Изд-во Свердловского пединститута, 1991. С. 3-9.

45. Голубева О.В., Хмельник М.И. Динамические процессы, описываемые квазианалитическими функциями // Теория гидродинамических моделей технических задач. Свердловск: Изд-во Свердловского пединститута, 1988. С. 9-16.

46. Голубева О.В., Сапиянов Т.Н. Комплексные потенциалы временных процессов технических задач. Препринт № 517. М.: ИПМ РАН. 1992. 54 с.

47. Градштейн Н.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз. 1963. 1100 с.

48. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.; Л.: Изд-во АН СССР. 1948. 728 с.

49. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука. 1979. 536 с.

50. Гусейнов А.И. Об одной задаче теории потенциала // ПММ 1948. Т. 12. Вып. 1.С. 103-108.

51. Данилюк И.И. Об общем представлении осесимметричных полей // ПМТФ. 1960. № 2. С. 22-33.

52. Данилюк И.И. Обобщенная формула Коши для осесимметричных полей // Сибирский мат. журнал. 1963. Т. IV. № 1. С. 48-85.

53. Данилюк И.И. Исследование пространственных осесимметричных краевых задач // Сибирский мат. журнал. 1963. Т. IV. № 6. С. 1271-1310.

54. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во М.ГУ. 1987. 168 с.

55. Ентов В.М. Исследования фильтрации аномальных жидкостей с приложениями к разработке месторождений нефти с предельным градиентом. Докт. диссертация. ИПМ АН СССР. 1972.

56. Журавлев М.Н., Салимов Н.Б. Об одной осесимметричной задаче магнитостатики // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та-. 1976. Вып. 13. С. 86-92.

57. Ильинский Н.Б., Фомин В.М., Шешуков Е.Г. О нелинейных законах фильтрации специального вида и решении краевых задач // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та. 1972. Вып. 9. С. 92-102.

58. Ильинский Н.Б., Краснов В.К. Об одном способе решения осесимметричных задач взрыва на выброс по модифицированной твердожидкостной модели // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1990. Вып. 24. С. 87-91.

59. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л. Физматгиз. 1962. 708 с.

60. Капшивый A.A. Методы обобщенных аналитических функций в осесимметричных задачах теории упругости. Докт. диссертация. Киевский ун-т . 1988, 333 с.

61. Капшивый A.A., Язкулыев М. Решение одной задачи фильтрации в неоднородной среде методом ^-аналитических функций // Вычислит, и прикл. мат. Киев. 1988. № 65. С. 55-56.

62. Копаев A.B., Радыгин В.М. Фильтрационные теоремы о сферах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. № 2. С. 105-109.

63. Копенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963. 406 с.

64. Костерин A.B. Об уравнениях нелинейной анизотропной фильтрации // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. № 5. С. 158-160.

65. Костерин A.B., Шешуков Е.Г. О краевых задачах нелинейной анизотропной фильтрации // Докл. АН СССР. 1981. Т. 256. № 3. С. 548-551.

66. Костерин A.B., Шешуков Е.Г. О преобразовании годографа и постановке краевых задач нелинейной фильтрации в анизотропном случае // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та,1982. Вып. 18. С. 124-129.

67. Костицына Л.И. Обобщение сферической теоремы Вейса на фильтрационные течения в средах со сферической границей раздела зон однородности // Математическая физика и гидродинамика: Московское общество испытат. природы. М.: Изд-во МГУ, 1972. С. 19-22.

68. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Ч. 1, 6-е изд. перераб. и доп. М.: Физматгиз, 1963. 583 с.

69. Коул Р. Подводные взрывы. М.: ИЛ, 1950. 494 с.

70. Лаврентьев М.А. Об одном классе непрерывных отображений // Мат. сб. 1935. Т. 42. С. 407-434.

71. Лаврентьев М.А. Общая задача теории квазиконформных отображений плоских областей // Мат. сб. 1947. Т. 21. С. 285-320.

72. Лаврентьев М.А. Основная теорема теории квазиконформных отображений плоских областей // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1948. Т. 12. С. 513-554.

73. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М.: Изд-во АН СССР. 1962. 136 с.

74. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Геометрические свойства решений нелинейных систем уравнений с частными производными // Докл. АН СССР. 1957. Т. 112. С. 810-811.

75. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 3-е изд. исправл. М.: Наука, 1965. 716 с.

76. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.

77. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО "Янус", 1995. 520 с.

78. Лопатинский Ю.Б. Об одном обобщении понятия аналитической функции // Укр. мат. журнал. 1950. Т. 2. № 2. С. 56-73.

79. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. 3-е изд. перераб. и дополн. М.: Наука, 1970. 904 с.

80. Лукомская М.А. Об одном обобщении аналитических функций // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73. С. 885-888.

81. Лукомская М.А. О циклах систем линейных однородных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1951. Т. 29(71). С. 551-558.

82. Лукомская М.А. Решение некоторых систем уравнений с частными производными посредством включения в цикл // ПММ. 1953. Т. 17, № 6. С. 745-747.

83. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1987. 456 с.

84. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.-Л.: Гостоптехиздат. 1949. 628 с.

85. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964. 655 с.

86. Михайлов Л.Г. Задачи с сопряжением для уравнений с частными производными // Науч. тр. Юбил. семинара по краевым задачам. Минск: Изд-во "Университетское". 1985. С. 77-85.

87. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: ГИТТЛ. 1947. 304 с.

88. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. 3-е изд. М.: Наука, 1968. 512 с.

89. Мухамедзянов Ф.М. О решении некоторых задач установившейся фильтрации жидкости в неоднородном пласте // Изв. ВУЗов. Нефть и газ. 1962. № 7. С. 43-49.

90. Назаров Г.И. О новых аналитических решениях системы уравнений типа Чаплыгина // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1968. Вып. 5. С. 182-186.

91. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. 528 с.

92. Петровский И.Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными // Успехи мат. наук. 1946. Т. 1. Вып. 3-4 (13-14). С. 44-70.

93. Пивень В.Ф. Построение простейших фильтрационных течений, не следующих закону Дарси // Гидромеханика: Уч. записки Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1971. Т. 299. Вып. 1. С. 170-176.

94. Пивень В.Ф. О нелинейной фильтрации в неоднородном искривленном пласте переменной толщины // Гидромеханика: Сб. научн. трудов Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1973. Вып. 2. С. 94-99.

95. Пивень В.Ф. Применение метода С.А. Христиановича к построению течений в грунтах с законом фильтрации В.В. Соколовского // Гидромеханика: Сб. научн. трудов Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1973. Вып. 2. С. 100-105.

96. Пивень В.Ф. Обтекание непроницаемого включения и каверны в грунтах с законом фильтрации В.В. Соколовского // Гидромеханика: Сб. научн. трудов Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1973. Вып. 2. С. 106-110.

97. ЮО.Пивень В.Ф. Вытеснение несмешивающихся жидкостей при нелинейной фильтрации // Гидромеханика: Сб. трудов Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1974. Вып. 3. С. 152-157.

98. Пивень В.Ф. Одномерная нелинейная фильтрация жидкостей различной вязкости // Гидромеханика: Сб. трудов Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1974. Вып. 3. С. 157-163.

99. Пивень В.Ф. Нелинейная фильтрация несмешивающихся жидкостей в слоях, расположенных на различных стыкующихся поверхностях // Гидромеханика: Сб. трудов Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1974. Вып. 3. С. 163-168.

100. Пивень В.Ф. О нелинейной фильтрации сжимаемой жидкости // Новые вопросы гидродинамики: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1974. С. 40-42.

101. Пивень В.Ф. О продвижении границы раздела нелинейной фильтрующейся одножидкостной системы // Новые вопросы гидродинамики: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1974. С. 42-44.

102. Пивень В.Ф. Пример продвижения границы раздела при нелинейной фильтрации // Новые вопросы гидродинамики: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1974. С. 44-46.

103. Пивень В.Ф. Влияние нелинейных эффектов на вытеснение жидкостей при нелинейной фильтрации // Гидромеханика: Сб. трудов

104. Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1975. Вып. 4. С. 27-35.

105. Пивеиь В.Ф. Приближенные решения задачи о вытеснении жидкости при нелинейной фильтрации // Гидромеханика: Сб. трудов Московского области, пединститута. М.: Наука, 1975. Вып. 4. С. 35-47.

106. Пивень В.Ф. Приближенное решение задачи о нелинейной фильтрации к скважине // Избранные задачи гидродинамики. Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1977. С. 15-18.

107. Пивень В.Ф. О фильтрации в неоднородной пористой среде // Проблемы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1977. Вып. 4. С. 54-56.

108. Пивень В.Ф. Обобщение фильтрационной теоремы об окружности на течения в кусочно-неоднородной среде // Проблемы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1978. С. 48-51.

109. Пивень В.Ф. О плоскопараллельной фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1979. С. 39-43.

110. Пивень В.Ф. О фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Избранные вопросы динамики сплошных сред: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1980. С. 80-84.

111. Пивень В.Ф. Пространственная фильтрация в кусочно-неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1980. С. 11-14.

112. Пивень В.Ф. К задаче фильтрации в кусочно-неоднородной среде // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1981. С. 24-29.

113. Пивень В.Ф., Савков С.А. О нестационарной фильтрации жидкости в слое кусочно-переменной толщины // Теоретические основы гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1981. С. 30-33.

114. Пивень В.Ф. О течениях в кусочно-неоднородной пористой среде // Исследования по специальным задачам гидродинамики: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1982. С. 85-88.

115. Пивень В.Ф. О фильтрации в неоднородной анизотропной среде // Движение растворимых примесей в фильтрационных потоках. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1984. С. 44-49.

116. Пивень В.Ф. Поступательное движение сферы переменного радиуса в идеальной жидкости // Задачи гидродинамики при усложненных моделях среды: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1985. С. 7-10.

117. Пивень В.Ф., Алехин Е.И. К задаче о несовершенной скважине в кусочно-однородной среде // Задачи гидродинамики при усложненныхмоделях среды: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1985. С. 11-17.

118. Пивень В.Ф. Точечный источник в неоднородной пористой среде // Некоторые модели сплошных сред и их приложения: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1988. С. 48-54.

119. Пивень В.Ф. Исследование пространственных течений в кусочно-однородной среде определенного вида // Теория гидродинамических моделей технических задач. Свердловск: Изд-во Свердловского пединститута, 1988. С. 32-36.

120. Пивень В.Ф. Осесимметричные обобщенные аналитические функции. Орловский пединститут. Орел. 1990. 29 с. Деп. в ВИНИТИ 29.03.90 г., № 1679-В90.

121. Пивень В.Ф. Квазистационарная задача обтекания сферы переменного радиуса // Некоторые проблемы математики в задачах физики, механики, экономики. М.: Изд-во МФТИ, 1990. С. 91-95.

122. Пивень В.Ф. К теории осесимметричных обобщенных аналитических функций в динамических процессах // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313. №6. 1424-1426. .

123. Пивень В.Ф. Метод осесимметричных обобщенных аналитических функций в исследовании динамических процессов // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 228-234.

124. Пивень В.Ф. Комплексные потенциалы осесимметричных процессов с произвольно расположенными особенностями // Задачи динамических процессов в сплошных средах. Свердловск: Изд-во Свердловского пединститута, 1991. С. 44-48.

125. Пивень В.Ф. Пространственные краевые задачи теории фильтрации в структурно-неоднородных средах // Краевые задачи теории фильтрации и их приложения. Тезисы доклада Всес. научн. конф. Казань. 1991. С. 88-89.

126. Пивень В.Ф. Одно обобщение понятий дифференцирования и интегрирования функций,, описывающих осесимметричные процессы // Задачи технической гидродинамики: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1991. С. 88-94.

127. Пивень В.Ф. Обобщенная формула Коши для определенного вида канонических уравнений динамических процессов // Проблемы математики в задачах физики и техники. М.: Изд-во МФТИ. 1992. С. 120-124.

128. Пивень В.Ф., Толпекин С.И. Исследование двумерных задач фильтрации в неоднородных слоях переменной толщины. Орловский пединститут. Орел. 1992. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 25.02.93 г., № 464-В93.

129. Пивень В.Ф. О двумерной фильтрации в слоях с прерывно изменяющейся проводимостью вдоль кривых второго порядка // Известия РАН. МЖГ. № 1, 1993. С. 120-128.

130. Пивень В.Ф. Функции комплексного переменного в динамических процессах. Орел. Изд-во Орловского пединститута. 1994. 148 с.

131. Пивень В.Ф. Двумерные и пространственные граничные задачи разработки и защиты подземных вод от загрязнения // Тезисы доклада. Межд. конф. по математическому моделированию. 1994. Якутск. С. 89-90.

132. Пивень В.Ф: Двумерная фильтрация в слоях переменной проводимости, моделируемой гармонической функцией координат // Известия РАН. МЖГ. № 3. 1995. С. 102-112.

133. Пивень В.Ф. Исследование обтекания тела с нестационарной поверхностью второго порядка. Орел. 1995. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 19.12.95 г. №3359-В95.

134. Пивень В.Ф., Квасов A.A. Теоретическое моделирование двумерных течений к водозабору в неоднородных слоях, содержащих загрязненные области. Орел. 1995. 28 с. Деп. в ВИНИТИ 03.03.96 г. № 10-В96.

135. Пивень В.Ф. О теории двумерных процессов в слоях переменной проводимости, характеризуемых степенью гармонической функции // Докл. АН. 1995. Т. 344, № 5. С. 627-629.

136. Пивень В.Ф. Математическое моделирование граничных задач разработки подземных вод в неоднородных пластах и их защита от загрязнения // Сборник "Математические проблемы экологии". Труды III Межд. конф. МАПЭК-96. Новосибирск. СО. РАН. 1996. С. 66-71.

137. Пивень В.Ф. Теория двумерных процессов в неоднородных слоях со степенным законом изменения их проводимостей // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 595-605.

138. Пивень В.Ф., Аксюхин A.A. Применение интегрального уравнения к решению задач сопряжения фильтрационных течений в неоднородных средах // Сучасш проблеми теорй' фшьтрацп. Вюник Украшсько1 державно! академи водного господарства. Р1вне. 1998. С. 123—127.

139. Положий Т.Н. Обобщение интегральной формулы Коши // Мат. сб. 1949. Т. 24(66). Вып. 3. С. 375-384.

140. Положий Г.Н. Теория и применение /^-аналитических и ip,q)~ аналитических функций. 2-е изд., перераб. и дополн. Киев: Наукова думка, 1973. 423 с.

141. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. 2-е изд. перераб. и дополн. М.: Наука, 1977. 664 с.

142. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 11-е изд. М.: Наука, 1967. 444 с.

143. Радыгин В.М., Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высшая школа. 1983. 160 с.

144. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). М.: Наука, 1969. 545 с.

145. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. 1989. 432. с.

146. Самарский A.A., Курдюмов С.П., Ахромеева Т.С. и др. Моделирование нелинейных явлений в современной науке // Информатика и научно-технический прогресс. М.: Наука, 1987. С. 69 — 91.

147. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1970. 568 с.

148. Скворцов Э.В., Фарзан Б.Х., Чилап А.Я. Решение некоторых задач сопряжения сведением к обобщенной задаче Римана // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 2. С. 351-355.

149. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: ИЛ, 1954. 604 с.

150. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2, 21-е изд. М.: Наука, 1974. 656 с.

151. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3, ч. 2. 9-е изд. М.: Наука, 1974. 672 с.

152. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука. 1966. 292 с.

153. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ. 1955. 668 с.

154. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Под ред. А.Абрамовица, И.Стиган. М.: Наука, 1979. 830 с.

155. Стрежнев В. А. К решению задачи сопряжения функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа // Труды Казанского авиационного ин-та. 1962. Вып. 71. С. 73-77.

156. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. 3-е изд. М.: Наука. 1966. 724 с.

157. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.-Л.: ГИТТЛ. 1947. 192 с.

158. Тумашев Г.Г. Сведение некоторых задач сопряжения функций к интегральным уравнениям // Уч. записки Казанского ун-та. 1956. Т. 116, кн. 1.С. 31-32.

159. Хаппель Дж. Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 630 с.

160. Хмельник М.И. Математическая модель течения на многосвязных и многолистных поверхностях // Некоторые проблемы математики в задачах физики и механики. М.: Изд. МФТИ, 1988. С. 95-100.

161. Холт М. Подводные взрывы. Сб. Вихри и волны. М.: Мир, 1984. С. 234-265.

162. Цицкишвили А.Р. Об одном частном решении пространственных осесимметричных задач теории фильтрации // Соврем, пробл. мат. физ. Труды Всес. симп. Тбилиси, 22-25 апр. 1987. Т. 2. Тбилиси: 1987. С. 367-373.

163. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963.396 с.

164. Чемерис B.C. Об интегральных уравнениях осесимметричной теории упругости // Прикладная механика. 1965. Т. 1. Вып. 5. С. 36-46.

165. Чемерис B.C. Застосування р-аналггичных функцш в осесимметричнш теори пружност1 // Доповда АН УРСР. Сер. А. 1967. № 8. С. 716-719.

166. Черняев А.П. Фильтрация в искривленных неоднородных пластах с проводимостью некоторого класса // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 6. С. 1047-1049.

167. Черняев А.П. Фундаментальные решения дифференциальных уравнений некоторого класса в анизотропных пространствах обобщенных функций // УМН. 1988. Т. 43. Вып. 1.(259). С. 215-216.

168. Чилап А.Я. Об одной задаче сопряжения для секториальной области // Журнал выч. математика и матем. физика. 1962. Т. 2. № 6. С. 1054-1061.

169. Чилап А.Я. Определение поля давлений в полосообразном кусочно-неоднородном пласте // Изв. АН СССР ОТН. Механика и машиностроение, 1964. № 4. С. 185-189.

170. Чилап А.Я. Задача сопряжения для уравнений эллиптического типа // Изв. ВУЗов. Математика. № 9. 1968. С. 106-111.

171. Шабат Б.В. Об обобщенных решениях одной системы уравнений в частных производных // Мат. сб. 1945. Т. 17. С. 193-209.

172. Шабат Б.В. Об отражениях, осуществляемых решениями системы Карлемана // УМН, 1956. Т. II. № 3. С. 203-206.

173. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ . Ч. 1. Изд. 2-е. М.: Наука. 1976.320 с.

174. Шапиро З.Я. О существовании квазиконформных отображений // Докл. АН СССР. 1941. Т. 30. С. 685-687.

175. Шестаков В.М. Динамика подземных вод. М.: Изд-во МГУ, 1979. 368 с.

176. Шешуков Е.Г. Нелинейная фильтрация в анизотропном грунте // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та. 1975. Вып. 12. С. 198-203.

177. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. М.-Л.: Гостоптехиздат, 1949. 524 с.

178. Якимов Н.Д. Вариационные теоремы для задач с кривыми депрессии // Труды семинара по краевым задачам. Казань. Изд-во Казанского унта, 1976. Вып. 13. С. 258-275.

179. Якимов Н.Д. Вариационные свойства некоторых обратных краевых задач фильтрации // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1978. Вып. 15. С. 191-201.

180. Якимов Н.Д. Качественные исследования задач механики сплошной среды с неизвестными границами. Докт. диссертация. Казанский ун-т. 1986.310 с.

181. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. 2-е изд. М.: Наука, 1968. 344 с.

182. Agmon S., Bers L. The expansion theorem for pseudo-analytic functions // Proc. Amer. math. soc. 1952. V. 3,1 5. P. 757-764.

183. Beltrami E. Sulle funzioni potenziali di sistemi simmetrici intorno ad unasse // Opere matematice. Milano. 1911. V. 3. P. 115-128.

184. Beltrami E. Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche. Jbid. P. 349-377.

185. Bergman S., Shiffer M. Kernel function and elleptic differentional equations in mathematical physics. New York. 1953.

186. Bers L. Theory of pseudo-analytic functions. Lecture notes (mimeographed). New-York University. 1953.

187. Bers L. A remark on an application of pseudo-analitic functions // Amer. J. math. 1956. V. 78, № 3. P. 486-496.

188. Bers L., Gelbart A. On a class of differential equations in mechanics of continua // Quart, of appl. math. 1943. V. 1. P. 168-188.

189. Bers L., Gelbart A. On a class of functions defined by partial differential equations // Trans, of the Amer. math. soc. 1944. V. 56. P. 67-93.

190. Bers L. , Gelbart A. On generalized Laplase transformations // Ann. of math. 1947, V. 48. P. 342-357.

191. Bers L., Nirenberg L. On a representation theorem for liner elleptic systems with discontinuous coefficients and its applications // Convegno internaz. equazioni lineary aile derivate parzially. Roma. 1954-1955. P. 111-140.

192. Picard E. Sur une sysfeme d' équations dux dérivees partiells // Paris. C. R. Acad. Sei. 1891. V. 112. P. 685-688.

193. Picard E. Sur une généralisation des équations de la théorie des fonctions d'une variable complexe. Jbid. P. 1399-1403.

194. Piven' V.F. Two-dimensional flow in porous strata with condactivity varying discontinuously along second-order curves // Fluid Dynamics. 1993. Vol. 28. № 1. P. 90-97.

195. Piven' V.F. Two-dimensional flow in porous strata with condactivity modeling by a harmonic function of the coordinates // Fluid Dynamics. 1995. Vol. 30. №3. P. 418-427.

196. Piven' V.F. The theory of two-dimensional processes in inhomogeneaus layers with power law of their conductivity variation // J. Appl. Maths. Mechs. 1997. Vol. 61. № 4. P. 577-586.

197. Sadowsky M.A., Sternberg E. Elleptic integral representation of axially symmetric flows // Quart, of Appl. Math. 1950. Vol. 8, № 2. P. 113-126.

198. Van Tuly A. On the axially symmetric flow around a new family of half-bodies // Quart, of appl, math. 1950. V. 7, № 4. P. 399-409.

199. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized theory of potential // Trans, of the Amer. math. soc. 1948. V. 3, № 2. P. 342-354.

200. Weinstein A. On axially simmetric flows // Quart, of appl. math. 1948. V. 5, № 4. P. 429-444.

201. Weinstein A. Generalized axially simmetric potential theory // Bull. Amer, math. soc. 1953. V. 59. P. 20-38.

202. Weinstein A. Some applications of generalized axially simmetric potential theory to continuum mechanics // Механика жидкости и газа, математические методы: Труды Международ, симпозиума в Тбилиси 17-23 сентября 1963. М.: Наука, 1965. Т. 2. С. 440-453.