автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели упругого режима фильтрации жидкости в криволинейных пластах переменной толщины

На правах рукописи

Баско Дмитрий Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРУГОГО РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПЛАСТАХ ПЕРЕМЕННОЙ

ТОЛЩИНЫ

Специальность 05.13.18- Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата технических наук

О 31!ЮН 2009

Ставрополь — 2009

003472022

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Северо-Кавказский государственный технический университет" на кафедре "Прикладная математика и компьютерные технологии'"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Толпаев Владимир Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Холодовский Святослав Евгеньевич доктор технических наук, профессор Кандаурова Наталья Владимировна

Ведущая организация: Российский государственный университет

нефти и газа им. И. М. Губкина (г. Москва)

Защита состоится 1 июля 2009 года в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.245.09 при ГОУ ВПО "Северо-Кавказский государственный технический университет" по адресу: 355028, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2, ауд. 305.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Северо-Кавказского государственного технического университета по адресу: 355028, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2; с авторефератом - на сайте www.ncstu.ru.

Автореферат разослан ¿У "лшя 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

О. В. Мезенцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Протяженные продуктивные пласты, такие как Ромашинское месторождение в Татарии, имеют искривленную форму и неременную толщину. Как правило, рассчеты упругого режима фильтрации и протяженных месторождениях строятся в приближенной плоскопараллельной модели фильтрации, поэтому разрабатываемая математическая модель упругого режима фильтрации жидкости для искривленных пластов переменной толщины будет актуальной как с теоретической, так и с прикладной точек зрения.

Цслыо данного диссертационного исследования является построение и анализ нового метода математического моделирования линейного упругого режима фильтрации жидкости в криволинейных пластах переменной толщины.

Научная задача исследований состоит в разработке новых и совершенствовании существующих методов математического моделирования упругого режима фильтрации жидкости в криволинейных пластах конечной толщины.

В данной работе применены следующие методы исследования: использован математический аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных, численные методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных на основе проекционно-сеточных методов (метод конечных элементов). Численное моделирование производилось с использованием вычислительной техники и пакетов прикладных программ для выполнения аналитических расчетов (Maplesoft Maple), для оценки точности полученных численных решений (The MathWorks MatLab) и системы, реализующие различные вариации метода конечных элементов (Comsol Multiphysics).

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов диссертации подтверждается корректностью применения апробированного математического аппарата (дифференциальная геометрия, уравнения математической физики, численные методы), корректностью использования апробированных специализированных пакетов прикладных программ. Кроме

того, результаты исследований других авторов (О. В. Голубевой, Ю. А. Гладышева) вытекают из результатов защищаемой работы как предельные частные случаи, когда толщина искривленного слоя стремится к нулю.

Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:

1. Построен новый метод математического моделирования упругого режима фильтрации жидкости в искривленных слоях постоянной и переменной конечной толщины.

2. Предложены двумерные математические модели течений жидкости в искривленных слоях для общего случая и для слоев конкретных типов (горизонтальный плоскопараллельный пласт, клиновидный и сферический).

Практическая значимость. Построенные математические модели применены к решению задачи об упругом режиме фильтрации к скважине, расположенной в куполе сферического пласта. Проведен сравнительный анализ различных методов. Определены погрешности в вычислении дебита скважины.

Апробация работы. По мере получения основных результатов и в завершенном виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерных технологий Северо-Кавказского Государственного Технического Университета (рук. д.ф.-м.н. Толпаев В.А.).

Отдельные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. VIII и IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, 2007г., Кисловодск, 2008г.).

2. Ш международная научно-техническая конференция "Инфокоммуника-ционные технологии в науке, производстве и образовании (Инфоком-З)" (г. Кисловодск, 2008г.).

3. IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах (Краснодар, 2007г.).

4. Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягипекие чтения -XIX" (Воронеж, 2008г.).

5. Международная школа-семинар ''Методы дискретных особенностей н задачах математической физики" (Орел. 2008г.).

По теме диссертации опубликовано в соавторстве 11 работ. Из них в реферируемой центральной научной печати 4 работы. В опубликованных в соавторстве работах соискателю принадлежат выводы расчетных формул и разработка программ для выполнения вычислительных экспериментов. Руководителю - постановка проблемных задач, общее руководство, проверка выводов расчетных формул и независимые сопоставительные расчеты.

Структура работы. Общий объем диссертации 135 страниц, из них 90 страниц основной части. Основная часть состоит из введения, четырёх глав, содержащих 22 пункта, заключения и списка литературы из 91 названия, из которых 15 на иностранных языках. Диссертация содержит 4 таблицы, 41 график и рисунок и приложения объемом 45 страниц.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новый метод математического моделирования трехмерной упругой фильтрации в тонких искривленных пластах и искривленных пластах конечной толщины.

2. Новый метод построения двумерной математической модели упругого режима фильтрации в искривленных пластах конечной толщины.

3. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию точное!и аппроксимации трехмерных фильтрационных течений в искривленных пластах конечной толщины их двумерными математическими моделями.

Реализации н внедрение результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы в ОАО СевКавНИПИГАЗ (г. Ставрополь) для выполнения расчетов по оценке эффективности геолого-технических мероприятий по интенсификации притока флюида к нефтедобывающей скважине.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследования, формулируются его цели и задачи, научная новизна, практическая значимость, указываются выносимые на защиту основные положения.

Целью 1-ой главы диссертации является построение упрощенной линейной математической модели упругого режима фильтрации в изотропных пористых средах, одновременно охватывающей оба случая неоднородной и однородной среды. Упрощенная математическая модель формируется путем объединения закона сохранения массы фильтрующейся жидкости, динамического уравнения ее движения и уравнений состояния жидкости и пористой среды.

Уравнение состояния упругой жидкости имеет вид:

Линейность уравнения (1) отражает предположение о том, что при изменении давления деформация жидкости подчиняется закону Гука.

Представляет интерес оценка "'колебания плотности" Др, то есть разность между возможным максимальным и минимальным значением плотности жидкости в данной точке пласта:

= Ро ■ Рж ■ (Ршх - Aniii) = Ро ■ Рж ■ &Р-

В (2) через Ар обозначена разность /?гаах - ртт между наибольшим значением давления в пласте (пластовое давление) и наименьшим (давление на скважине). Если теперь воспользоваться экспериментальными данными и считать, что

-з 1

Рж. » 10 -•. а перепад давлений рП1ах - pmin в пласге во всех практически

МПа

важных случаях составляет величину порядка ХОМПа, то получим, что

&Р &Р о А

относительное изменение плотности жидкости -= — = р/к.- лр в каждой

Р = Ро[1 + 0ж(Р - Ро)]-

(1)

АР = Р,пах - Р,nin = Pq\ 1 + Рж(рmax ~ Ро)]~ PoV + Рж(Ртin ~ А))]

(2)

точке пласта является величиной, порядка ~ 1%.

Таким образом, плотность жидкости и данной точке пласта при изменении давления в максимально возможных пределах меняется, как видим, весьма незначительно. Значит и при переходе от одной точки пласта к другой плотность жидкости тоже практически не изменяется и, следовательно, в первом приближении можно считать, что плотность жидкости не зависит от координат точек пласта.

Уравнение состояния упругой изотропной неоднородной пористой среды, описывающие зависимость пористости >п среды от гидродинамического давления р имеет вид:

Уравнение (3) связывает линейными зависимостями изменения в какой-либо точке пористой среды пористости т с изменением давления р. Линейность уравнения (3) отражает предположения о том, что при изменении давления деформация пористой среды подчиняется закону Гука.

Математической формулировкой закона сохранения массы фильтрующейся жидкости является уравнение неразрывности:

Производная по времени в уравнении (4) характеризует скорость изменения плотности жидкости и пористой среды в фиксированной точке пространства. Производные по координатам в уравнения (4) характеризуют интенсивность изменения плотности и скорости фильтрации жидкости в окрестности фиксированной точки (то есть при переходе от этой точки к соседним).

Воспользовавшись замечанием о том, что в первом приближении в линейной математической модели упругой фильтрации жидкости можно считать, что плотность жидкости не зависит от координат точек пласта, можно в (4) положить р=р0 = const. Однако следует заметить, что замена переменной плотности постоянной величиной в производной по времени

т = т0 (х, у, г) + Рс (х, у, г) ■ (р -/?„).

(3)

(4)

недопустима, так как в моменты пуска скважины значение этой производной во много раз превосходит значение производных по координатам.

Упрощенное уравнение неразрывности будет иметь вид

+ ^ = (5)

д!

Обобщенный закон Дарси линейной фильтрации сжимаемой жидкости в изотропной как однородной, так и неоднородной пористой среде выражается в виде формулы:

у =--(%mdp + pgcz). (6)

М

Учитывая, что плотность жидкости р практически не отличается от постоянной величины р0, заменим в уравнении (6) переменную плотность ее начальной величиной и введем в рассмотрение (по аналогии с теорией фильтрации несжимаемой жидкости) величину Р=р + р^2 - приведенное давление. Тогда окончательно динамическое уравнение линейной фильтрации малосжимаемой упругой жидкости в изотропной неоднородной (в частном случае, однородной) пористой среде запишется в виде

(7)

М

Уравнения (1), (3), (5) и (7) представляют собой замкнутую систему (число независимых уравнений равно числу искомых функций) для определения независимых величин $,р,р,т (в трехмерном пространстве вектор скорости имеет три компоненты, каждая из которых является искомой функцией) в любой точке фильтрационного потока и в любой момент времени. Следовательно, шесть перечисленных величии должны быть определены как функции координат и времени. Для вывода основного дифференциального уравнения движения упругой жидкости в упругой пористой среде надо объединить упомянутые выше уравнения.

Окончательно получим следующее линейное уравнение трехмерной упругой фильтрации жидкости в изотропной неоднородной среде с проницаемостью К = к0 - k(x,y,z):

к'(х,у,:)-div{/c(x,j/,r)- gradр]= —. (8)

at

Во 2-ой главе приводится метод построения двумерных моделей фильтрации для пластов, непроницаемые подошва и кровля которых могут быть заданы гладкими координатными поверхностями £ = = const и £ —¿¿2 — const соответственно в некоторой криволинейной ортогональной системе координат (рисунок I).

Рисунок i. Сечение искривленного слоя (пласта) конечной толщины.

Под "толщиной" Н(М) слоя в точке М понимается длина дуги ММ' £ -координатной линии. За поверхности тока стационарных и нестационарных фильтрационных течений в искривленных слоях принимаются координатные поверхности Q = const.

В этом случае скорость фильтрации будет представима в виде

V = ^ с{ + v4(i,n,C,ty с2, (9)

где ё,, <?2. ёг - орты локального базиса в системе //, С . a Vr и v,; - проекции скорости фильтрации на и /7-координатные линии.

Для данного типа пластов в диссертации отдельно было выведено усредненное по толщине слоя уравнение неразрывности:

где //1, Н2 и //3 - параметры Ламе выбранной расчетной ортогональной криволинейной системы координат , а р и т - плотность флюида и

пористость пласта соответственно.

Примем проницаемость пористой среды в виде К -к0- где к0 —

постоянный коэффициент с размерностью проницаемости, а -

безразмерная функция. Для проницаемости, представленной в такой форме, уравнение фильтрации (7) будет иметь вид:

где Р~р+р^г - приведенное давление, при подсчете которого 2 отечитывается от некоторой зафиксированной (нивелировочной) горизонтальной плоскости хОу.

Окончательно основное уравнение упругого режима фильтрации жидкости получим в виде:

д{ру^Н2Н2) д{рупН^Нъ)^ д(р т)

д£ д)I д(

Н1Н2НЛс1С = О, (10)

(11)

(12)

где

(13)

Естественно, для решения конкретных задач упругого режима фильтрации в искривленных неоднородных пластах конечной толщины для уравнения (12) еще необходимо будет задать начальные и граничные условия.

Тот факт, что выведенное с общепринятыми допущениями и ограничениями уравнение (12) оказалось линейным, указывает на значительную схематизацию полученной модели упругого режима фильтрации в изотропных неоднородных искривленных пластах конечной толщины. Однако при изучении фильтрационных потоков при упругом режиме в пластах естественной формы, к каким и относятся искривленные слои, важно выделить главные особенности фильтрационного процесса, что и позволяет сделать уравнение (12) с помощью всевозможных линейных математических моделей, которые получаются на его основе.

В З-сй главе рассматривается применение пакетов прикладных программ к решению задач упругого режима фильтрации жидкости.

Система аналитических рассчетов Maple находит применение па первом этапе построения математической модели и позволяет избавиться от рутинной работы по составлению общего уравнения математической модели из отдельных элементов. В диссертации рассматривается применение Maple к определению коэффициентов (13), что позволяет автоматизировать работу и избавиться от выполнения сложных аналитических преобразований вручную.

Программный продукт Cortisol Multiphysics предназначен для решения задач методом конечных элементов, ориентирован на описание задачи аналитическими математическими выражениями и является удобным инструментом для численного решения сложных уравнений и их систем. Кроме того, система позволяет вести обмен данными с пакетом MatLab, что оказывается весьма удобным для дальнейшей обработки результатов численного эксперимента.

Программа Comsol Multiphysics рассматривается более подробно в приложении к диссертации, так как имеет большую область применения и позволяет выполнять решение рассматриваемых в данной работе задач.

В частности, в диссертации приводится пример применения Согто1 МиШрИу.ч'^э в решении основного дифференциального уравнения упругой фильтрации (12).

Система численных вычислений Ма1ЬаЬ используется на последнем этапе математического моделирования для анализа полученных результатов и оценки их погрешностей. В приложении к диссертации приведена программа для МЫЬаЬ, которая создает видео-файл из последовательности решений нестационарной задачи. Так как задача нестационарная, то использование видио-материала для визуализации решения позволяет наиболее наглядно отобразить результаты диссертационного исследования.

В 4-ой главе рассматривается применение предложенных математических моделей к решению задачи об упругом режиме фильтрации к скважине, расположенной в куполе сферического пласта.

В естественных условиях, как правило, пласт-коллектор бывает искривленным. При этом, поскольку плотность нефти меньше плотности воды, нефть находится в вершинах куполообразных пластов (рисунок 2). Снизу нефть "подпирает" вода. Когда построенная скважина вскрывает пласт, то в ней устанавливают давление Рс меньшее, чем давление. Рп на границе между водоИ и нефтью. Эту границу водонефтяного контакта называют контуром питания. Давление Рп считается известным. Разность давлений Рп - Р( создает течение нефти из пласта в скважину (рисунок 2).

Рисунок 2. Схема притока нефти к скважине, расположенной в куполе сферического пласта.

скважина

х

Точные решения задач упругого режима фильтрации и искривленных пластах сводятся к интегрированию трехмерного уравнения параболического типа в частных производных (8) с соответствующими начальными и краевыми условиями.

Рассмотрим однородный сферический пласт с коэффициентом пьезопроводности лг, непроницаемые подошва и кровля которого имеют радиусы и R2 соответственно. Скважина расположена в центре купола и имеет радиус гс. Для удобства описания задачи будем пользоваться сферической системой координат (а,в,р). В сферическом пласте с расположенной в центре скважиной фильтрационное течение будет осесимметричным относительно оси г.

Для упрощения описания расчетной области будем вместо цилиндрической скважины рассматривать скважину в виде конуса с углом 9* = const. Угол в* выбираем из условия равенства боковых поверхностей цилиидрической скважины и скважины п виде конуса (рисунок 3).

г.

->

Рисунок 3. Схема замены цилиндрической скважины на скважину в виде конуса.

В этом случае угол в* находится из выражения:

В ходе эксперимента было установлено, что при фильтрации к скважине, расположенной в куполе сферического пласта, поверхности тока всюду в пласте являются сферическими, за исключением областей близких к скважине и, следовательно, такая замена вносит незначительные погрешности в решение.

В точной постановке (метод 1) задачи осесимметричной упругой

фильтрации жидкости к вертикальной скважине в куполе однородного

сферического пласта с конечной толщиной (пьезопроводность и проницаемость

которого постоянны), уравнение для приведенного давления Р имеет вид

дР ' 81 '

к I д [ . а дР) д( 2 . а дР

-т--<— 31П0--+— г ■ ятв--

/ ■ 5ш 0 [М дв) зЛ дг

(14)

Перейдем в уравнении (14) к новым независимым безразмерным переменным (¿;,р,т) по формулам

£ = 1п

р = 1п

,1

да

и будем искать решение уравнения (14) в виде

Р = (РС-РП)-

'е 1

рс Л

(15)

где и(^,р,т) - новая безразмерная искомая функция.

Для новой безразмерной функции С/(^,р,т) получаем такое же, как и для Р,уравнение:

1 + е20 д2Ц 1 д2Ц | дЦ _Г Я, д{2+др2~+~5р (ль

ди

(16)

2ё I д£1 до' др ОЪ } дт Граничные и начальные условия для новой искомой функции примут вид:

Л „I = и\_ . =0. ^ дР

_ 8Ц, о дР

= 0,

(17)

р=Р

где - значение координаты соответствующее контуру скважины:

4е =1п

с1Е

, р - значение координаты р, соответствующая кровле

пласта: р = In

Если рассматривать метод 1, но за поверхности тока принять сферические поверхности г = const, то давление будет функцией только двух переменных (<f, г) и рассматриваемая задача может быть сведена к решению уравнения (метод 2)

1 + е

2f

« N2

2е<

<TU_=dU д£г ~ дт

(18)

с соответствующими граничными и начальными условиями

4=0 = 4=o = t/U=°-

(19)

Здесь безразмерная искомая функция как и давление, является

функцией двух переменных (иг.

Связь безразмерной функции и и давления такая же, как и в первом методе и определяется по формуле

Р = (РС-Р„>

L^c J

Рассмотрим применение, к задаче фильтрации к скважине в куполе сферического пласта метод, описанный во второй главе диссертации (метод 3). Применение данного метода сводится к решению уравнения (12):

Ар [ 3

dP~\ д

di]

г^фАШ^

где коэффициенты Т: определяются через параметры Ламе выбранной криволинейной системы координат по формулам (13):

н

Т2 (£,//)=-

stn(i)

Т&,1}) = /} Н-

—+ЛЬ2 12 0

sin(f).

где Я - толщина пласта (// = Р2 - ), Р — коэффициент упругоемкости пласта.

Окончательно основное уравнение упругого режима фильтрации к скважине расположенной в куполе сферического пласта при постоянных проницаемости и упругоемкости будет иметь следующий вид:

дРV 8 ( 1 дР) 1 (н2 . . _ дР

) оц

) д1]

12

2

где к =■ —— коэффициент пьезопроводности.

/<•Р

В качестве граничных условий заданы давления на контуре скважины и контуре питания:

Начальное условие соответствует установившемуся начальному давлению в пласте, которое совпадает с давлением на контуре питания:

В качестве четвертого приближенного метода решения используем метод, построенный исходя из теории тонких слоев: считается, что изменением параметров Ламе по толщине слоя можно пренебречь и считать их постоянными по толщине слоя и равными своему значению на подошве слоя. При реализации данного метода вводится криволинейная система координат, так же как и в методе 3. Однако, следуя описанному методу, значение параметров Ламе считается неизменным по толщине слоя и принимается равным их значениям на подошве слоя.

Основное уравнение фильтрации в данном случае примет следующий вид: д ( . ... дР) д ( 1 дрЛ 1 „2 . дР

В качестве граничных условий, как и в методе 3, будут заданы давления на контуре скважины и контуре питания:

Начальное условие соответствует установившемуся начальному давлению в пласте, которое совпадает с давлением на контуре питания:

Р\„о = Рп ■

Для сравнения описанных выше четырех методов использована безразмерная функция давления

Г = —(20)

1'с-Рц

Для методов 3 и 4 эта безразмерная функция давления определяется на основе распределения давления, которое вычисляется в процессе решения основного уравнения задачи. В методах 1 и 2 безразмерная функция давления определяется посредством безразмерной функции С/ из уравнения (15) по следующей формуле: ■

Р'Рп

Рс-Рп (с

Для описания рассматриваемой области (сферического пласта) в диссертации вводятся безразмерные параметры:

, Н

Л —--параметр, определяющий толщину пласта;

гс

у = —— параметр, определяющий радиус скважины.

Таблица 1, содержит результаты сравнения описанных методов. В качестве критерия оценки используется среднеквадратическое отклонение приближенного метода решения'(2,'3 и 4) от точного метода 1.

Среднеквадратические отклонения вычислялись по формулам:

где х, и у, - значения точного и приближенного решения в точке I. п - общее количество точек.

Тг

Среднеквадратические погрешности при расчете приближенными методами (х 10 3)

0,25 0.50 0,75 1.00

«о 2 3 !_ 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4

0,01 0,1 0,0017 0.0038 0,7839 0,0169 0,0223 2,9402 0,0554 0,0625 4,7788 0,1168 0,0708 6,96

1 0,0037 0.0045 1,3116 0,0361 0,0384 5,0452 0,1182 0,1200 8,9486 0,2531 0,2040 12,82

5 0,0059 0.0071 2,0061 0,0571 0,0743 6,6468 0,1873 0,2052 11,7888 0,4010 0.4286 17,12

10 0,0070 0.0036 2,4199 0,0691 0,0921 7,8665 0,2271 0,2833 13,9649 0,4865 0,6097 20,27

30 0,0077 0.0122 3,3247 0,0934 0,1285 10,5273 0,3086 0.4249 18,7470 0,6622 0.9171 27,19

100 0.0026 0.0067 4.9891 0.1152 0.1675 15,0940 0,4305 0,6225 26,6388 0,9361 1,3563 38,62

500 0,0009 0,С005 9.0110 0,0243 0.0733 28,4545 0,3613 0,6326 48,2754 1,2032 1,9020 67,47

0,05 0,1 0,0082 0,0127 2,9613 0,0846 0,1349 9,0883 0,2774 0,4563 16,3042 0,5947 0,9685 23,72

1 0.0219 0,0380 6,1578 0,1789 0,30Э7 19,0488 0,5893 1,0073 33,9773 1,2641 2,1355 49.08

5 0,0034 0,0123 10,7061 0,2231 0,4133 31,0549 0.9006 1,5660 54,2971 1,9834 3,3785 78,10

10 0,0(Г17 0.0045 13,5711 0,1502 0.3302 39,8288 0,9318 1,6374 67,9224 2,3049 3,9721 96,33

30 0,0013 0,0019 19,6461 0,0133 0,0988 62,4845 0,4369 1,0991 106,4154 1,9497 3,8130 146.11

100 0,0060 0,0018 31,5265 0,0356 0,0123 105,3949 0,0231 0,2256 192,4985 0,2863 1,4091 272,34

500 0,0017 0,0003 24251 0,0344 0.0002 17.0235 0,1838 0,0005 52,1379 0,4433 0,0012 111.75

0.10 _ 0,1 0.0356 0,0457 5,6574 0.1689 0.2939 18,0951 0,5552 0,9526 32,4810 1,1910 2,0134 47,22

1 0,0075 0,0181 13,4039 0,3112 0,5641 38,9660 1,1597 2.0103 68,6369 2,5189 4,2940 98.95

5 0,0083 0.0049 23,5781 0,0657 0,2412 71,7690 0,9396 1,9566 120,8376 3,1167 5,6588 167,24

10 0.0105 0,0126 30,3465 0,0493 0,0348 96,1352 0,3599 1,1382 165,4688 2,1250 4,5537 226,24

30 0.0189 0,0050 42,7382 0,0628 0,0105 146,1091 0,0464 0,2139 273,1834 0.1981 1,4542 393,04

100 0,0179 0.0065 5,9893 0,0585 0,0002 33,1912 0,2692 0,0000 95,1959 0,5340 0,0149 192,17

500 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 О.ЮОО 0,0001 0.0003 0,0001 0,0С

0.15 0,1 0,0231 0,0428 8,8720 0,2536 0,4433 27,2324 0,8335 1,4351 48,8759 1,7884 3,0372 71,02

1 0,0013 0,0091 21,2749 0,2722 0,5743 62.1271 1,5314 2,7449 106,2956 3,6719 6,3155 151.2С

5 0,0104 0,0021 38,2621 0,0123 0,0852 122.1104 0,3371 1,2039 211,1019 2,2705 5,1062 288,3£

10 0,0135 0,0018 48,5357 0.0503 0,0242 161.9685 0,0422 0,4386 294,0845 0.6419 2,6272 412,67

30 0,0103 0,0005 17,8965 0.1047 0,0001 86,2650 0.3179 0,0090 209,7636 0,3443 0,1815 369,4«

100 0,0001 0,0004 0,0054 0.0008 0,0001 0.1108 0,0168 сдав 1,0373 0.1248 0,0069 5,21

500 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000| 0,0001 0,0000 0,0000 о,юоо 0,0000 0.0000 0.0000 о.ос

Н с

?. = -—, у = —, где гс - радиус скважины, Н - толщина слоя, - радиус подошвы слоя. К, Я,

Анализируя погрешности, приведенные в таблице 1, можно сделать вывод об идентичности методов 2 и 3, так как погрешности этих методов отличаются незначительно и кореллируют друг с другом.

Для всех методов были построены распределения безразмерной функции давления /г в пласте. В случае методов 3 и 4 было использовано осреднение по координате г]. Графики функции Р приведены в Приложении к диссертации. Графики даны для моментов времени, соответствующих параметрам Фурье /о = [0.1, 1, 5, 10, 30, 100, 500].

Метод 1 - точное решение дает распределение давления по толщине слоя и давление на подошве слоя оказывается, меньше давления на кровле слоя. При этом следует заметить, что давления на подошве и кровле пласта равны в момент пуска скважины, и выравниваются при переходе в стационарный режим фильтрации. Для сравнения методов в качестве точного принято распределение давления па срединной линии пласта. Очевидна зависимость разности давлений на подошве и кровле сферического пласта от толщины пласта и чем больше толщина пласта, тем большей становится разность давлений на его подошве и кровле в начальной фазе при неустановившемся фильтрационном процессе. Можно, так же заметить зависимость разности давлений на подошве и кровле пласта от радиуса скважины: при увеличении радиуса скважины увеличивается разность давлений на подошве и кровле пласта. Поэтому, следует говорить о наличии зависимости между разностью давлений на подошве и кровле пласта от отношения длины пласта к его толщине при неустановившемся процессе фильтрации. При использовании скважины в виде конуса с углом вершины вс, то можно говорить о зависимости разности давлений на подошве и кровле пласта от величины ¿7. ■ //.

В процессе исследования задачи было получено 736 решений (т.е. распределений функции /г), которые позволяют получить распределение давления в пласте при произвольных давлениях на контуре питания и на скважине: Р = Г• (Рс - Рп) + Рп.

1

Погрешности в вычислении дебита скважины, расположенной в куполе сферического пласта (в %)

0,25 0,50 0,75 1,00

г 3 4 2 3 4 2 3 4 2 I 3 4

0,10 0,34 10,07 26,84 1,11 26,78 48,40 2,11 28,57 57,35 3,22! 32,88 64,4

1,00 0,27 8,15 24,14 0,89 15,36 40,ёб 1,69 16,37 50,00 "2,54 17,98 57,2

5,00 0.21 8,22 23,03 0,73 15,40 39,22 1,39 16,07 48,24 2,131 17,59 55.Э

0,01 10,00 0.18 8,26 22,62 0,65 15,62 38,70 1,27 16,36 47,61 1.95| 17,98 54,6

30,00 0,11 8,34 22,08 0,53 15,89 37,97 1,07 16,74 46,72 1,681 18.48 53,7

100,00 0,02 8,43 21,64 0,36 16,13 37,35 0,84 17,08 45,06 1,371 18,92 52,8

500.00 0,04 8,51 21,20 0,04 16,48 36,84 0,36 17.59 45.35 0,811 19,54 52,2

» 0,00 1,39 12,35 0,00 12,47 29,97 0,00 14,25 37.84 0,001 16.54 44,0

0,21 11.11 0.67 20,00 173 27,27 ! 1,84 33,3

0,10 0,29 1,08 20,13 1.10 0,10 33,43 2,10 1,03 43 33 3,211 2,56 50,9

1,00 0.17 1,30 18,55 0,В0 0,73 30,89 1,61 0,23 40,23 2,511 1,20 47,5

5,00 0,00 1,53 17,47 0,44 1,18 29,19 1,12 0,43 38,13 1,88} 0,31 45,2

10,00 0,05 1,57 17,07 0,23 1,42 28.62 0,83 0,77 37,42 1,53| 0,12 44,4

0,05 30,00 0,07 1,66 16,51 0,07 1,76 27,91 0,27 1,40 36,82 о.зз! 0,93 43,4

100,00 0,07 1,64 16,14 0,19 1,91 27,37 0,21 1,93 36,13 0,02! 1,85 43.0

500,00 0,03 1,65 13,70 0,14 1.95 23,97 0,32 215 3261 0,49| 2,43 39,8

•• 0,00 0,15 11,24 0,00 0,23 20,19 0,00 0,35 27,53 о.оо! 0,46 33,6

<«> 0,30 11,02 0,75 19,94 1.30 27,22 ! 1,89 33,3

01С 0,31 6,49 19,16 1,06 0,99 32,65 2,07 2,31 42,62 3,19! 3,78 50,2

1,00 0,02 5,91 17,68 0,59 0,39 30,18 1,40 1.41 39,55 2,321 2.56 46,8

5,00 0,07 " 5,ёз 16,53 0,01 0,26 28,69 0,55 0.40 37,74 1.29| 1,30 44,7

10,00 0.05 6,03 16,19 0,16 0.47 28,17 0,12 0,09 37,20 0,70 0,62 44,2

0,10 30,00 0,09 5,97 15,81 0,24 0,58 27,57 0,32 0,59 36,64 0.17 0,35 43,7

100,00 0,04 6,03 13,28 0,20 0,62 24,22 0,42 0.78 33,32 0,591 0,86 40,8

500.00 0,00 5,95 11,50 0,00 0,61 20,49 О.ОО 0.77 27,84 0,02| 0,91 33,8

0,00 0,35 . 10,80 О.ОО 0,26 1Й,?9 0,00 0,19 27,13 о.оо! 0,13 33,2

<-> 0,61 10,75 0,99 19.74 1,50 27,08 1 2.06 33,1

0,10 0,06 5,801 18,70 1,01 1,69 32,21 2,02 2,98 42.27 3,14) 4,44 499

1,00 0,10 5,22| 17,17 0,33 0.6Э 29,92 1,12 1,84 39,38 2,0б| 2,99 48,7

5,00 0,17 5,36 16,14 0,21 0,27 23,54 0,04 0.61 37,86 0,ё4| 1,35 45,С

10,00 0,13 5,18 15,81 0,27 0,19 28,09 0,29 0,23 37,43 о.оо! 0,63 44,е

0,15 30,00 0,10 5,23 14,10 0,27 0,14 26,03 0,48 0,02 35,55 0,59| 0,03 43,1

100,00 0,01 5,28 10,83 0,03! 0,14 20,14 0,12! 0,03 23,00 0,32| 0,30 34.Е

500,00 0,0С 5,33 10,77 0,00 0,14 19,89 0,001 0,06 27,32 о,оо| 0,22 33.4

-> 0,00 0,90 10,31 0,00 0,71 ■ 19,43 0,СС! 0,58 26,85 0,00! 0,47 33,С

1,13 10,20 1.41 19,41 ! 1.85 26,83 ! 2,35 32,

/о = =о - стационарные решения, /о =< со > - аналитические формулы.

Используя полученные распределения давления в пласте, были найдены значения дебита скважины в куполе сферического пласта в различные моменты времени. В общем случае дебит вычисляется по формуле:

f ¡h ■ dqdÇ, jjch

s . . .

где S - поверхность ствола скважины, //,,//2,tf3 - параметры Ламе выбранной криволинейной ортогональной системы координат.

Таблица 2 содержит погрешности вычисления дебита при использовании приближенных методов. В таблице дана относительная погрешность, которая была вычислена по формуле

S = 100%,

Q

где Q - точное значение дебита, Q - приближенное значение дебита.

Из таблицы 2 погрешности дебитов видно, что при малом радиусе скважины (^ = 0.01) полученные численно по методам 3 и 4 значения дебита для стационарного режима фильтрации несут значительную погрешность и оказываются хуже известных аналитических формул. Однако при относительно большом радиусе скважины численные методы дают более точный результат и по точности превосходят полученные аналитически формулы. Значительная погрешность численных методов при малом радиусе скважины может быть уменьшена при использовании более мелкой сетки, однако измельчение сетки значительно увеличит количество конечных элементов и затраты системных ресурсов на решение задачи..

Таким образом, на основе полученных экспериментальных данных, можно сделать вывод, что модель 3, имеет больший порядок точности, чем используемая ранее модель 4 и по точности сравним с мегодом осреднения по толщине слоя параметров Ламе (метод.2).

В заключении кратко перечисляются результаты научного исследования по теме диссертации.

В приложении, содержащем четыре пункта, приводятся необходимые сведения о физической природе используемых в диссертации коэффициентов и параметров пористой среды и жидкости. Приводятся таблицы среднеквадратичных погрешностей для решений различными методами, погрешности вычисления дебита скважины при использовании различных методов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Предложен новый метод построения математических моделей трехмерной линейной упругой фильтрации жидкости в изотропных неоднородных средах и в тонких искривленных изотропных неоднородных пластах. Кроме того, построены математические модели упругой фильтрации жидкости в искривленных пластах специального вида: горизонтальный плоскопараллельный пласт, пласт в виде клиновидного слоя, пласт в пиде сферического слоя.

2. Предложен общий метод математического моделирования упругой фильтрации жидкости в широкой серии криволинейных слоев. Метод построения двумерных математических моделей упругого режима фильтрации, основанный на аппроксимации трехмерного фильтрационного течения двумерным, учитывающим особенности пространственного строения пласта, путем описания его геометрии с помощью специально выбираемой криволинейной ортогональной системы координат позволяет упростить описание расчетной области за счет внесения в основное уравнение системы дополнительных коэффициентов, описывающих геометрию пласта.

3. Проведены исследования точности аппроксимации трехмерного течения упругой жидкости к скважине, расположенной в куполе сферического пласта двумерными математическими моделями упругого режима фильтрации. Точность аппроксимации определялась по безразмерной функции давления через среднеквадратические отклонения. Также были построены таблицы

погрешностей в вычислении дебита скважины, расположенной в куполе сферического пласта, различными ' предложенными методами. Для стационарного режима фильтрации дебит скважин также был вычислен по известным аналитическим формулам.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Баско, Д. В.; Демонстрационные примеры использования вариационных методов и решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона [Текст] / Д. В. Баско // Сборник научных трудов Северо-Кавказского Государственного Технического Университета. Серия "Естественнонаучная". № 3. Издательство СевКавГТУ. 2007г. - С. 20-23

2. Баско, Д. В. Упругий режим фильтрации к скважине в куполе сферического пласта [Текст] / Д. В. Баско // Актуальные проблемы и инновации в экономике, управлении, образовании, информационных технологиях. Материалы международной научной конференции. Вып. 5, Т. IV. Ставрополь. 2009г. - С. 21-23.

3. Баско, Д. В. Вывод уравнения линейной фильтрации жидкости при упругом режиме в однородных искривленных пластах переменной толщины [Текст] / Д. В. Баско, В. А. Толпаев // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: Материалы VIII Междунар. научн.-практ. конф., г. Новочеркасск, 25 февраля 2008г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НИИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2008г. - С. 22-25.

4. Баско, Д. В. Вывод уравнения фильтрации сжимаемой жидкости при упругом режиме фильтрации в искривленных слоях переменной толщины [Текст] / Д. В. Баско, В. А. Толпаев // Труды IV Всероссийской научной ■конференции молодых ученых и студентов. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. 'Г. 2. Секции: "Физика и астрономия", "Математика, механика и информатика". Краснодар: Просвещение-Юг, 2007. - С. 105-106.

5. Баско, Д. В. Математическая модель линейного упругого режима фильтрации в искривленных пластах переменной толщины. [Текст] / Д. В. Баско, В. А. Толпаев // Нефтепромысловое дело. Декабрь, 2008г. № 12. М.: ОАО "ВНИИОЭНГ". - С. 9-13.

6. Баско, Д. В. Математическая модель упругой фильтрации жидкости в пластах в виде тонких криволинейных жил [Текст] / Д. В. Баско, В. А. Толпаев // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математический школы "Понтрягинские чтения -XIX". Воронеж: ВГУ, 2008г.,-С. 208-209.

7. Баско, Д. В. Основное уравнение упругого режима фильтрации в искривленных пластах переменной толщины. [Текст] / Д. В. Баско, В. А. Толпаев // Обозрение прикладной и промышленной математики. Том J5. Выпуск 3. Девятый Всероссийский симпозиум но прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) и Региональный макросимпозиум "насущные задачи прикладной математики в Ставрополье". Тезисы докладов. Часть I. М.: Редакция журнала "ОПиПМ". 2008г.-С. 524-526.

8. Баско. Д. В. Уравнение неразрывности для фильтрации сжимаемой жидкости в пластах в виде криволинейных жил [Текст] / Д. В. Баско,

B. А. Толпаев // Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании. Часть III. Ставрополь: Издательство СевероКавказского государственного технического университета, 2008г., -

C. 289-291.

9. Баско, Д. В. Линейные математические модели упругой фильтрации жидкости в изотропных неоднородных средах [Текст] / Д. В. Баско, В. А. Толпаев, С. А. Гоголева // Труды Международных школ-семинаров ''Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". Выпуск б. Орел: Издательство ГОУ ВПО "Орловский государственный университет", Полиграфическая фирма "Картуш". 2008г. - С. 103-108.

10. Баско, Д. В. Двумерные математические модели линейной фильтрации жидкости и газа [Текст] / Д. В. Баско, В. А. Толпаев, В. В. Палиев // Обозрение прикладной и промышленной математики. Том 14. Выпуск 6. Восьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия). Тезисы докладов. Часть IV. М.: Редакция журнала "ОПиПМ", 2007г. - С. 1138-1139.

11. Баско, Д. В. Двумерные математические модели линейной фильтрации жидкости и газа в искривленных пластах конечной толщины [Текст] / Д. В. Баско, В. А. Толпаев, В. В. Палиев // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2008г. №2. -С. 43-47.

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать 27.05.2009 Формат 60x84 1/16 Усл. печ. л. - 1,6 Уч.-изд. л. - 1,1 Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ № 255 Тираж 100 зкз. ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» 355028, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2

Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета Отпечатано в типографии СевКавГТУ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ИЗОТРОПНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

1.1. Уравнение состояния упругой жидкости.

1.2. Уравнение состояния упругой изотропной неоднородной пористой среды.

1.3. Уравнение неразрывности для трехмерного фильтрационного потока сжимаемой жидкости в форме Эйлера.

1.4. Основной линейный закон фильтрации — динамическое уравнение линейной упругой фильтрации жидкости.

1.5. Вывод основного дифференциального уравнения теории упругого режима для изотропных неоднородных сред.

1.6. Построение линейных математических моделей упругого режима фильтрации жидкости в искривленных изотропных неоднородных пластах.

1.6.1. Общий случай.

1.6.2. Горизонтальный плоскопараллельный пласт.

1.6.3. Неоднородный изотропный пласт в виде клиновидного слоя.

1.6.4. Неоднородный изотропный пласт в виде сферического слоя

1.7. Вывод основного дифференциального уравнения линейной математической модели упругой фильтрации в тонких искривленных изотропных неоднородных пластах.

Основные результаты главы 1.

ГЛАВА 2. ДВУМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ИСКРИВЛЕННЫХ ПЛАСТАХ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ.

2.1. Задание геометрии искривленных пластов конечной толщины. Двумерная аппроксимация кинематики реальных фильтрационных течений в искривленных пластах конечной толщины.

2.2. Вывод интегрального уравнения неразрывности теории упругого режима для течений в искривленных пластах конечной толщины.

2.3. Вывод основного дифференциального уравнения теории упругого режима фильтрации в искривленных изотропных неоднородных пластах конечной толщины.

2.4. Основное дифференциальное уравнение теории упругого режима фильтрации в тонких искривленных изотропных неоднородных пластах.

Основные результаты главы 2.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТОВ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УПРУГОГО РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ.

3.1. Применение Maple при построении математических моделей.

3.2. Применение Comsol Multiphysics в реализации математических моделей упругого режима фильтрации жидкости.

3.3. Обработка экспериментальных данных в MatLab.

3.4. Решение тестовых задач в системе Comsol Multiphysics.

Задача 1. Прямолинейно-параллельное движение жидкости в ограниченном открытом пласте с заданными постоянными давлениями на внутренней и внешней его границах.

Задача 2. Плоскорадиальное движение жидкости в ограниченном открытом круговом, пласте после мгновенной остановки или после пуска скважинььс постоянным дебитом.

Основные результаты главы 3.

ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ТОЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ УПРУГОГО

РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ.

4.1. Задача об упругом режиме фильтрации к скважине, расположенной в куполе сферического пласта.

4.1.1. Метод 1. Точное решение.

4.1.2. Метод 2. Приближенное решение 1.

4.1.3. Метод 3. Приближенное решение 2.

4.1.4. Метод 4. Приближенное решение 3.

4.2. Вычислительный эксперимент.

4.3. Расчет дебитов скважин.

Основные результаты главы 4.

Простейшая модель неустановившейся фильтрации жидкости характеризуется следующими признаками: однородная сжимаемая жидкость движется в однородной, изотропной, сжимаемой пористой среде; сжимаемость жидкости и пористой среды подчиняется закону упругости Гука; движение жидкости подчиняется линейному закону фильтрации Дарси; процесс фильтрации - изотермический; в процессе фильтрации жидкость ведет себя как ньютоновская.

Именно такой простейшей физической модели фильтрации соответствует линейное дифференциальное уравнение пьезопроводности. Следует подчеркнуть, что при аналогичных простейших условиях на основе линейного закона Фурье выводится линейное дифференциальное уравнение пьезопроводности. Так же точно, при аналогичных простейших условиях, на основе линейного закона Фика выводится линейное дифференциальное уравнение диффузии.

Хотя используемые физические модели весьма просты и идеализируют природу, но на их основе в теории фильтрации, теплопроводности и диффузии удалось обнаружить множество таких важнейших особенностей исследуемых неустановившихся процессов, которые позволили сделать выводы, не только очень интересные теоретически, но и нашедшие широкое применение на практике.

Поэтому соответствующие простейшие физические модели нельзя недооценивать, хотя, конечно, нельзя и переоценивать, помня об их ограниченности.

Естественно, что развитие теорий фильтрации, теплопроводности и диффузии не могло остановиться на принятии только простейшей модели исследуемого процесса. Модели усложнялись, соответственно усложнялись и основные исходные дифференциальные уравнения. Таков неизбежный путь развития каждой науки. Закономерно развитие моделей, составляющих иерархию: каждая последующая модель не исключает предшествующую, а включает ее как частный случай. Однако ситуация может быть и другой — новая модель дополняет прежнюю, не включая ее в себя, характеризуя родственный процесс, но иной природы. Так, например, в теории фильтрации модель трещиноватой среды дополняет, но не включает в себя модель пористой среды.

При исследовании неустановившейся фильтрации новые модели появлялись и как естественное усложнение старых моделей, включая из в себя, и как существенное дополнение к старым.

Так, например, в качестве усложненияг описанной выше простейшей фильтрационной модели Г. В. Исаковым было предложено учитывать необратимость объемной деформации пласта (пористой среды). Появилась модель упруго-пластической деформации пласта. Была развита нелинейная теория упругого режима фильтрации, учитывалась проницаемость кровли и подошвы.

В. Н. Щелкачев предложил общее дифференциальное уравнение теории упругого режима фильтрации, справедливое для фильтрации в неоднородной деформируемой пористой среде не только' жидкости, но и> газа. Оно представляет собой»нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Предложенное общее дифференциальное уравнение теории упругого режима описывает фильтрацию в неоднородных деформируемых пористых средах. Преобразовывая это уравнение для случая описанной ранее простейшей модели упругой фильтрации, получаем нелинейное дифференциальное уравнение, хотя простейшая модель описывается линейным дифференциальным уравнением пьезопроводности. Данный факт делает актуальной задачу разработки упрощенной математической модели, описывающей линейную упругую фильтрацию однородной жидкости в изотропных неоднородных средах линейными дифференциальными уравнениями. Решению именно этой, проблемы и посвящена, данная диссертационная работа.

Линейная дифференциальная математическая модель удобна тем, что для этого класса уравнений математической физики теория интегрирования уравнений наиболее разработана. Во-вторых, при решении конкретных задач в рамках линейной математической модели можно будет применять метод суперпозиции частных решений. Однако, с другой стороны, линейность математической модели указывает, конечно же, на значительную схематизацию исследуемого явления. Но, тем не менее, для очень многих условий линейные математические модели позволяют учесть наиболее существенные особенности упругой фильтрации жидкости в изотропных неоднородных средах, как с качественной, так и с достаточной степенью точности количественной стороны. В рамках же предложенной В. Н. Щелкачевым нелинейной математической модели упругой фильтрации жидкости в изотропных неоднородных средах выполнить качественный и количественный анализ явления весьма затруднительно. Вот почему данное диссертационное исследование является актуальным.

Целью данного диссертационного исследования является построение и анализ линейной математической модели упругого режима фильтрации жидкости в криволинейных пластах переменной толщины.

В данной работе применены следующие методы исследования: использован математический аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных, численные методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных на основе проекционно-сеточных методов метод конечных элементов). Численное моделирование производилось с использованием вычислительной техники и пакетов прикладных программ для выполнения аналитических расчетов (Maplesoft Maple), для оценки точности полученных численных решений (The MathWorks MatLab) и системы, реализующие различные вариации метода конечных элементов (Comsol Multiphysics).

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов диссертации подтверждается корректностью применения апробированного математического аппарата (дифференциальная геометрия, уравнения математической физики, численные методы), корректностью использования апробированных специализированных пакетов прикладных программ (Maplesoft Maple [86, 88, 2, 32, 45], The Math Works MatLab [4, 25, 31, 39, 34, 54], Comsol Multiphysics [75, 76; 77, 78, 79, 80]). Кроме того, результаты исследований других авторов (О. В. Голубевой [27, 28, 29, 30], Ю. А. Гладышева [24, 23]) вытекают из результатов защищаемой работы как предельные частные случаи, когда толщина искривленного слоя стремится к нулю.

Работа использует результаты научных трудов таких исследователей, как ЩелкачевВ. Н. [71, 72, 73] — является одним из основателей теории упругого режима фильтрации, Пивень В. Ф. [49, 50, 51, 52] - развивает методы теории аналитических функций для применения к решению задач фильтрации, Холодовский С. Е. [65, 66, 67, 68, 69, 70] - в ходе плодотворной научной работы рассмотрел многие модели фильтрации жидкости.

Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:

1. Построен новый метод математического моделирования упругого режима фильтрации жидкости в искривленных слоях постоянной и переменной конечной толщины.

2. Предложены двумерные математические модели течений жидкости в искривленных слоях для общего случая и для слоев конкретных типов (горизонтальный плоскопараллельный пласт, клиновидный и сферический).

Практическая значимость. Построенные математические модели применены к решению задачи об упругом режиме фильтрации к скважине, расположенной в куполе сферического-пласта. Проведен сравнительный анализ различных методов. Определены погрешности в вычислении дебита скважины.

Апробация работы. По мере получения основных результатов и в завершенном виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерных технологий Северо-Кавказского Государственного Технического Университета (рук. д.ф.-м.н. Толпаев В.А.).

Отдельные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. VIII и IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, 2007г., Кисловодск, 2008г.).

2. III международная научно-техническая конференция "Инфокоммуника-ционные технологии в науке, производстве и образовании (Инфоком-3)" (г. Кисловодск, 2008г.).

3. IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. (Краснодар, 2007г.).

4. Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения -XIX" (Воронеж, 2008г.).

5. Международная школа-семинар "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Орел, 2008г.).

По теме диссертации опубликовано в соавторстве 11 работ [14, 5, 6, 7, 13, 15, 12, 8, 10, 11, 9]. Из них в реферируемой центральной научной печати 4 работы [7, 13, 12, 11]. В опубликованных в соавторстве работах соискателю принадлежат выводы расчетных формул и разработка программ для выполнения вычислительных экспериментов. Руководителю — постановка проблемных задач, общее руководство, проверка выводов расчетных формул и независимые сопоставительные расчеты.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новый метод математического моделирования трехмерной упругой фильтрации в тонких искривленных пластах и искривленных пластах конечной толщины.

2. Новый метод построения двумерной математической модели упругого режима фильтрации в искривленных пластах конечной толщины.

3. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию точности аппроксимации трехмерных фильтрационных течений в искривленных пластах конечной толщины их двумерными математическими моделями.

Личный вклад автора. Диссертационное исследование соискатель выполнял под общим научным руководством доктора физико-математических наук В.А. Толпаева. Основные результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. Достоверности и логичности выводов в немалой степени способствовали многочисленные обсуждения материалов работы с научным руководителем, за что автор выражает Толпаеву Владимиру Александровичу искреннюю благодарность.

Структура работы. Общий объем диссертации 135 страниц, из них 90 страниц основной части. Основная часть состоит из введения, четырёх глав, содержащих 22 пункта, заключения и списка литературы из 91 названий, из которых 15 на иностранных языках. Диссертация содержит 4 таблицы, 41 график и рисунок и приложения объемом 45 страниц. Каждая глава диссертации начинается с краткого вступления, в котором перечисляются ее основные цели и задачи, и заканчивается формулировкой основных результатов главы.

Основные результаты главы 4 в том, что данная глава представляет собой результаты и анализ большого числа экспериментов, направленных на изучение специфики упругого процесса фильтрации жидкости к скважине, расположенной в куполе сферического пласта. Для исследования данного фильтрационного процесса используются четыре различных математических метода, что позволяет оценить их точность и границы применимости. При расчете дебитов скважин, расположенных в куполе сферического пласта, были проверены и две формулы расчета дебита, полученные ранее в работе [41] для фильтрации без учета упругости, но применимые к использованию в расчете упругого режима при использовании вместо пластового давления р, значения приведенного давления Р.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации развито перспективное научное направление в гидродинамике сжимаемой жидкости и теории линейной упругой фильтрации, заключающееся в разработке методов математического моделирования гидродинамических и фильтрационных течений в искривленных слоях постоянной и переменной конечной толщины.

В ходе диссертационного исследования были получены следующие основные результаты:

1. Предложен новый метод построения математических моделей трехмерной линейной упругой фильтрации жидкости в< изотропных неоднородных средах и в тонких искривленных изотропных неоднородных пластах. Кроме того, построены математические модели упругой фильтрации жидкости в искривленных пластах специального вида: горизонтальный плоскопараллельный пласт, пласт в виде клиновидного слоя, пласт в виде сферического слоя.

2. Предложен общий метод математического моделирования упругой фильтрации жидкости в широкой серии криволинейных слоев. Метод построения двумерных математических моделей упругого режима фильтрации, основанный на аппроксимации трехмерного фильтрационного течения двумерным, учитывающим особенности пространственного строения пласта, путем описания его геометрии с помощью специально выбираемой криволинейной ортогональной системы координат позволяет упростить описание расчетной области за счет внесения в основное уравнение системы дополнительных коэффициентов, описывающих геометрию пласта.

3. Проведены исследования точности аппроксимации трехмерного течения упругой жидкости к скважине, расположенной в куполе сферического пласта двумерными математическими моделями упругого режима фильтрации. Точность аппроксимации определялась по безразмерной функции давления через среднеквадратические отклонения. Также были построены таблицы погрешностей в вычислении дебита скважины, расположенной в куполе

80 сферического пласта, различными предложенными методами. Для стационарного режима фильтрации дебит скважин также был вычислен по аналитическим формулам, полученным в работе [41] для фильтрации идеальной жидкости. Данные аналитические формулы были изменены для применения в условиях упругого режима фильтрации.

1. Азиз, X. Математическое моделирование пластовых систем Текст. / X. Азиз, Э. Сеттари - М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -416с.

2. Аладьев, В. 3. Автоматизированное рабочее место математика Текст. / В. 3. Аладьев, М. Л. Шишаков Лаборатория базовых знаний, 2000.

3. Амирасланов, И. А. Фильтрация жидкости в криволинейных слоях переменной толщины Текст. / И. А. Амирасланов, Г. П. Черепанов // ПММ. 1981. - вып.6. - С. 1142-1146.

4. Ануфриев, И. Е. MATLAB 7.0. Наиболее полное руководство. Серия: В подлиннике. Текст. / И. Е. Ануфриев, А. Б. Смирнов, Е. Н. Смирнова -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 1104с.

5. Баско, Д. В. Двумерные математические модели линейной фильтрации жидкости и газа в искривленных пластах конечной толщины Текст. /

6. B. А. Толпаев, В. В. Палиев, Д. В. Баско // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №2. 2008.1. C. 43-47.

7. Баско, Д. В. Математическая модель линейного упругого режима фильтрации в искривленных пластах переменной толщины Текст. / В. А. Толпаев, Д. В. Баско // Нефтепромысловое дело. Декабрь, 2008г. № 12. М.: ОАО "ВНИИОЭНГ". - С. 9-13.

8. Баско, Д. В. Основное уравнение упругого режима фильтрации в искривленных пластах переменной толщины Текст. / В. А. Толпаев, Д. В. Баско // Обозрение прикладной и промышленной математики.

9. Басниев, К. С. Нефтегазовая гидромеханика Текст.: учебное пособие для вузов. / К. С. Басниев, Н. М. Дмитриев, Г. Д. Розенберг М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 544с.

10. Басниев, К. С. Подземная гидромеханика Текст.: учебник для вузов / К. С. Басниев, И. Н. Кочина, В. М. Максимов М.: Недра, 1993, 416с.

11. Белов, В. А. О построении течений в слоях переменной толщины Текст. / В. А. Белов // Уч. зап. каф. теорет. физики Московского области, пединститута. М.: Изд-во МОПИ, 1968 Т. 200. Вып. 7. - С. 19-31.

12. Бидасюк, Ю. М. Mathsoft® MatCAD 11. Самоучитель. Текст. / Ю. М. Бидасюк М.: Диалектика, 2004. - 224с.

13. Биркгоф, Г. Гидродинамика Текст. / Г. Биркгоф М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

14. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики. 3-е изд. Текст. / В. С. Владимиров М.: Наука, 1976. - 27с.

15. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы Текст. / Р. Галлагер -М.: Мир, 1984.-428с.

16. Гладышев, Ю. А. Краевые задачи гидродинамики и метод функций формальных переменных Текст. / Ю. А. Гладышев // Специальные вопросы теоретической гидродинамики. Тула: Изд-во Тульского пединститута, 1976. Вып. 3. С. 15-74.

17. Гладышев, Ю. А. Некоторые вопросы нестационарной фильтрации в искривленном слое переменной толщины Текст. / Ю. А. Гладышев // Гидродинамика. (Материалы совещания секции физики по гидродинамике 14-15 апреля 1970 года). -М.: МОИП, 1970. С. 7-12.

18. Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании Текст. / В. Говорухин, В. Цибулин- СПб.: Питер, 2001. 624с.

19. Голоскоков, Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple Текст. / Д. П. Голоскоков СПб.: Питер, 2004. - 539с.

20. Голубева, О. В. Безразмерные уравнения фильтрации Текст. / О. В. Голубева // Математическая физика и гидродинамика: Московское общество испытат. природы. М.: Изд-во МГУ, 1972. С. 7—10.

21. Голубева, О. В. Курс механики сплошных сред Текст. / О. В. Голубева -М.: Высшая школа, 1971. 452с.

22. Голубева, О. В. Некоторые задачи ламинарной фильтрации жидкости в неоднородных искривленных слоях переменной толщины Текст. / О. В. Голубева // ПММ. 1953. Т. 17. Вып. 4. С. 485-490.

23. Голубева, О.В. Уравнения двумерных движений идеальной жидкости по криволинейной поверхности и их применение в теории фильтрации Текст. / О. В. Голубева // ПММ, 1950, т. 14, вып. 3. С. 287-294.

24. Гультяев,.А. Визуальное моделирование в среде MATLAB Текст.: учебный курс / А. Гультяев СПб.: Питер, 2000.

25. Дзундза, А. И. Программирование в системе Maple Текст.: учебное пособие / А. И. Дзундза, М. Д. Гремалюк, И. А. Моисеенко, Р. Н. Нескоро-деев, С. А. Прийменко Донецк: ДонГТУ, 1999. - 123с.

26. Дьяконов, В. П. MATLAB: Учебный курс. Текст. / В. П. Дьяконов -СПб.: Питер, 2000.

27. Дьяконов, В. П. Математические пакеты расширения MATLAB Текст.: специальный справочник / В. П. Дьяконов, В. Круглов СПб.: Питер, 2001.

28. Дьяконов, В. П. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем Текст.: специальный справочник / В. П. Дьяконов, В. Круглов -СПб.: Питер, 2002. 448с.

29. Зисман, Г. А. Курс общей физики Текст. / Г. А. Зисман, О. М. Тодес -М.: Наука, 1974.

30. Каневская, Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов Текст. / Р. Д. Каневская М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 140с.

31. Капшивый, А. А. Решение одной задачи фильтрации в неоднородной среде методом р-аналитических функций Текст. / А. А. Капшивый, М. Язкулыев // Вычислит, и прикл. мат. Киев. 1988. № 65. С. 55-56*.

32. Курбатова, Е. A. MATLAB 7. Самоучитель Текст. / Е. А. Курбатова -М.: Вильяме, 2005. 256с.

33. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат М.: Наука, 1973. - 416с.

34. Ледовской, В. И. Математические модели двумерных течений жидкости в задачах гидродинамики и теории фильтрации Текст.: дисс. на соиск. ученой степ. канд. физ.-мат. наук / В. И. Ледовской Ставрополь, 2006. -291с.

35. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа Текст.: 3-е изд. перераб. и дополн / Л. Г. Лойцянский М.: Наука, 1970. - 904с.

36. Малых, А. С. Специальный курс математического моделирования фильтрационных потоков Текст. / А. С. Малых, Г. П. Цыбульский -М.: ООО "ВНИИГАЗ" 2002.

37. Марчук, Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы Текст. / Г. И. Марчук, В. И. Агошков М.: Наука, 1981.

38. Матросов, A. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики Текст. / А. Матросов БХВ-Петербург, 2001.

39. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными Текст. / Э. Митчелл, Р. Уэйт М.: Мир, 1981.

40. Николаевский, В. Н. Механика насыщенных пористых сред Текст. / В. Н. Николаевский, К. С. Басниев, А. Т. Горбунов, Г. А. Зотов М.: Недра, 1970.-339с.

41. Очков, В. Mathcad 12 для студентов и инженеров Текст. / В. Очков BHV-Санкт-Петерберг, 2005. - 427с.

42. Пивень, В. Ф. О нелинейной фильтрации сжимаемой жидкости Текст. / В. Ф. Пивень // Новые вопросы гидродинамики: Московское общество испытат. природы. М.: Наука, 1974. С. 40-42.

43. Пивень, В. Ф. О теории двумерных процессов в слоях переменной проводимости, характеризуемых степенью гармонической функции Текст. / В. Ф. Пивень // ДАН. 1995. Т.344. №5. С. 327-629.

44. Пивень, В. Ф. К теории осесимметричных обобщенных аналитических функций в динамических процессах Текст. / В. Ф. Пивень // Докл. АН СССР. 1990. Т.313. №6. С. 1424-1426.

45. Пивень, В. Ф. Исследование двумерных задач фильтрации в неоднородных слоях переменной толщины Текст. / В. Ф. Пивень, С. И. Толпекин -Орловский пединститут. Орел. 1992. 24с.

46. Полубаринова-Кочина, П. Я. Теория движения грунтовых вод Текст.: 2-е изд. перераб. и дополн. / П. Я. Полубаринова-Кочина М.: Наука, 1997. -664с.

47. Потемкин, В. Г. Вычисления в среде MATLAB Текст. / В. Г. Потемкин -М.: Диалог-МИФИ, 2004.

48. Розин, Л. А. Метод конечных элементов Текст. / Л. А. Розин -Соросовский образовательный журнал, том 6, № 4, 2000.

49. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика Текст. / П. Роуч М.: Мир, 1967.

50. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем Текст. / А. А. Самарский М.: Наука, 1971.

51. Сдвижков, О. A. MathCAD-2000. Введение в компьютерную математику Текст. / О. А. Сдвижков 2002. - 204с.

52. Седов, JI. И. Введение в механику сплошной среды Текст. / Л. И. Седов -М.: Госуд. изд-во физ.-мат. литературы, 1962. 284с.

53. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики Текст.: 3-е изд. /

54. A. Н. Тихонов, А. А. Самарский М.: Наука. 1966. - 724с.

55. Толпаев, В. А. Оценки точности расчета дебитов скважин в искривленных пластах Текст. / В. А. Толпаев, В. И. Ледовской // Нефтепромысловое дело. №12. М.: ОАО "ВНИИОЭНГ", 2004. - С. 9-13.

56. Толпаев, В. А. Расчет дебита нефтедобывающей скважины, расположенной в куполе осесимметричного пласта Текст. / В. А. Толпаев,

57. B. И. Ледовской // Нефтепромысловое дело. № 1. М.ЮАО "ВНИИОЭНГ", 2005.-С. 20-23.

58. Толпаев, В. А. Уравнения линейной двумерной фильтрации в искривленных пластах конечной толщины Текст. / В. А. Толпаев,

59. B. И. Ледовской // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 11, вып. 1. 2004. С. 143-146.

60. Холодовский, С. Е. Метод рядов Фурье для решения задач в кусочно-неоднородных средах с прямолинейной трещиной (завесой) Текст. /

61. C. Е. Холодовский // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 48. № 7. 2008. С. 1209-1213.

62. Холодовский, С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах Текст. / С. Е. Холодовский // Дифференциальные уравнения. Т. 45. № 6. 2009. С. 855-859.

63. Холодовский, С. Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения Текст. / С. Е. Холодовский // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 47. № 9. 2007. С. 1575-1581.

64. Холодовский, С. Е. О гидродинамическом осреднении сильно неоднородных пористых сред при линейной фильтрации Текст. / С. Е. Холодовский // Изв. РАН. МЖГ.№ 5. 1993. С. 190-192.

65. Холодовский, С. Е. О фильтрации в слоистых средах с пересекающимися трещинами и завесами Текст. / С. Е. Холодовский // Докл. РАН. Т. 338. № 5. 1994. С. 622-624.

66. Холодовский, С. Е. Тензор эффективной проницаемости сильно неоднородных грунтов Текст. / С. Е. Холодовский // Инженерно -физический журнал БАН и РАН. Т.63. № 1. 1992. С. 18-22.

67. Щелкачев, В. Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации, ч. 1 Текст. / В. Н. Щелкачев М.: Нефть и газ, 1995. - 586с.

68. Щелкачев, В. Н. Подземная гидравлика Текст. / В. Н. Щелкачев, Б. Б. Лапук Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. -736с.

69. Щелкачев, В. Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме Текст. / В. Н. Щелкачев М.: Гос. научно-техн. изд-во нефтяной и горно-топливной литературы, 1959. - 467 с.

70. Чарный, И. А. Подземная гидрогазодинамика Текст. / И. А. Чарный -М.: ГосТопТехИздат, 1963. 396с.

71. Comsol Multiphysics Modelling Guide. October 2007.

72. Comsol Multiphysics Model Library. October 2007.

73. Comsol Multiphysics Quick Start and Quick Reference. October 2007.78,79