автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование двумерныхфильтрационных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения

ВОЕННО - ВОЗДУШНАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н.Е. ЖУКОВСКОГО

На правах рукописи

/

Квасов Андрей Александрович

щ

УДК 532.546

Математическое моделирование двумерных фильтрационных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2003

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Орловского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

В.Ф. Пивень

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор

М.И. Хмельник

кандидат физико-математических наук,

доцент

А.В. Сетуха

Ведущая организация:

факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Защита состоится 200 года в /^-^часов на за-

седании диссертационного совета Д 4Л5 .001.01 Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского по адресу: 125190, г. Москва, ул. Планетная, д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Военно -воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского.

Автореферат разослан 200 года.

У

Учёный секретарь диссертационного совета, /

кандидат физико-математических наук х^Т^ А.Ю. Анфиногенов

В автореферате пронумеровано 21 стр.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Общие запасы воды на земном шаре составляют около 1386 млн. км3. Из них большая часть значительно минерализована или засолена. Объём пресных вод составляет 35 млн. км3, т.е. 2,5% общего запаса воды на Земле. Причём их основная часть представлена ледниками и снежными покровами Антарктиды, использование которых в промышленности и быту крайне осложнено. Потребление же пресной воды во всём мире неуклонно возрастает. Открытые водные бассейны уже не могут удовлетворить потребности в пресной воде. Поэтому в последнее время всё более широко и интенсивнее потребляются подземные воды.

Важнейшая роль подземных вод в жизни человечества определяет необходимость надёжной их охраны. Если профилактические мероприятия по предупреждению загрязнения подземных вод оказались не эффективными, или они вообще не проводились, то в области фильтрации появляются очаги загрязнения от которых распространяются загрязнённые воды. Источники загрязнения, из которых в подземные воды поступают загрязняющие вещества, могут быть весьма разнообразными. Это и хранилища промстоков, и участки складирования нефтяной, газовой, химической промышленности, а так же, многие другие участки скопления жидких и твёрдых отходов жизнедеятельности человека. Источниками загрязнения могут быть также районы техногенных катастроф и чрезвычайных происшествий.

Изучению фильтрационных течений вблизи очагов загрязнений в однородных и неоднородных средах посвящены работы Ж. Фрида, В.М. Гольдберга, Е.Л. Минкина, О.В. Голубевой, Ф.М. Бочевера,

A.Е. Орадовской, И.Г. Бобковой, И.С. Муродова, А.Н. Куликова,

B.Д. Бабушкина и других исследователей. При изучении течений и определении условий, исключающих возможность подтягивания загрязнения к эксплуатационной скважине, в подавляющем большинстве работ, проводились для загрязнённых или засолённых водоёмов. На практике часто встречаются очаги загрязнения, проводимость которых конечна и отличается от проводимости соприкасающегося с ним грунта. Расчёты предельно допустимого дебита водозабора, работающего без загрязнения в основном проводились для слоёв постоянной проводимости и границ загрязнения в виде прямых, окружностей. При этом, в задачах об определении предельно допустимого дебита водозабора не рассматривались вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. Известны работы, в которых определены вымываемые только поступательным потоком грунтовых вод шлейфы из очагов загрязнения, ограниченных кривыми второго порядка. Другой, важной в практическом отношении, является задача об определении зон санитарной охраны водозаборов. Она решена в предположении однородности грунта.

Естественные же фильтрационные слои имеют сложную структуру. К тому же, в фильтрационном слое могут находиться очаги загрязнения, проводимость которых отлична от проводимости чистого грунта. Границами очагов загрязнения в общем случае являются произвольные кривые.

Таким образом, в известных трудах не исследованы задачи о работе эксплуатационных скважин без загрязнения в неоднородных слоях при наличии в них произвольных границ загрязнения и в этих условиях не рассмотрены вымываемые из очагов загрязнения шлейфы.

Целью работы является построение и исследование новых математических моделей двумерных течений к водозаборам в неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения, исследование вымываемых загрязнённых шлейфов, определение условий работы водозаборов без загрязнения, а в случае загрязнения — коэффициента загрязнения водозабора.

Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:

1. Построены и изучены новые математические модели двумерных течений к водозаборам, работающим без загрязнения в сложных по геологической структуре слоях. Проводимость слоёв моделируется степенной функцией координат, а границы загрязнения — кривыми класса Ляпунова.

2. Поставлена новая задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения. Решение этой задачи позволяет указать условия, при которых водозабор не загрязняется (указать расположение водозабора и его критический дебит), а в случае загрязнения — определить коэффициент загрязнения водозабора.

3. Для канонических границ (прямая, окружность) получены в конечном виде новые решения задач об определении шлейфа вымываемого загрязнения, найден критический дебит водозабора, работающего без загрязнения. Эти решения используются в качестве тестовых при численных расчётах задач в случае сложных границ загрязнения.

4. Для сложных границ загрязнения, моделируемых кривыми класса Ляпунова, исследование шлейфа вымываемого загрязнения сводится к решению интегрального уравнения второго рода типа Фредгольма. Для его решения используется метод дискретных особенностей (МДО). Этот метод позволил значительно расширил класс исследуемых задач и рассмотреть очаги загрязнения, ограниченные кусочно-ляпуновскими кривыми.

5. Построены вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. Указаны условия, при которых водозаборы, расположенные в кусочно-неоднородных слоях работают без загрязнения: найдены их местоположения в слое и критические дебиты. Исследовано влияние различных параметров фильтрационного течения на размеры вымываемых шлейфов загрязнения, на предельно допустимый дебит водозабора.

Построенные и исследованные модели граничных задач двумерных фильтрационных течений могут быть применены к другим физическим процессам, описываемыми аналогичными уравнениями.

Практическая значимость работы. В работе построен и изучен широкий класс новых двумерных (в том числе осесимметричных) моделей фильтрационных течений. Эти модели применены к расчёту конкретных природных слоёв (пластов), содержащих очаги загрязнения и имеющие сложную геологическую структуру.

Найден вымываемый шлейф загрязнения, указаны условия работы водозаборов без загрязнения, определены области захвата эксплуатационных скважин (зоны их санитарной охраны). Исследованы влияния на размеры вымываемых шлейфов и на предельно допустимую мощность работающего без загрязнения водозабора неоднородности слоя, формы, размера и проницаемости очагов загрязнения, удалённости водозабора от загрязнённой области. Исследовано влияние симметрии задачи на предельно допустимый дебит водозабора. Результаты этих исследований позволили определить условия, при которых вместо сложных численных расчётов на основе интегральных уравнений, можно использовать простые (в ряде случаев известные) формулы для нахождения предельно допустимого дебита.

Результаты исследований могут быть использованы в природоохранных мероприятиях, в частности, для определения зон санитарной охраны водозаборов и расчёта их предельно допустимых дебитов.

Достоверность результатов работы обеспечивается строгостью проведённых математических исследований, подтверждена сопоставлением полученных аналитических и численных решений конкретных задач с известными результатами, которые являются частными случаями полученных решений.

Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: «Проблемы гидродинамики» Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), «Интегральные уравнения» факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров, профессор И.К. Лифанов), на заседании кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. кафедрой профессор В.Ф. Пивень).

По мере получения основные результаты работы докладывалась на семинарах «Проблемы гидродинамики» в ОГУ (1999-2003 г.), ежегодных конференциях преподавателей ОГУ (1997-2003 г.), на Международной научно-практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, ОрёлГТУ, 1999 г.), на IX Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орёл, ОГУ, 2000 г.), на X Международном симпозиуме «Методы

дискретных особенностей в задачах математической физики» (посёлок Лазурное Херсонской области, ХГПИ, 2001 г.), на VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», (г. Казань, Казанский гос. техн. ун-т, 2002 г.).

Кроме того, основные результаты работы представлены в виде опубликованных докладов и тезисов докладов на Всероссийской научно-практической конференции «Новое содержание образования и проблемы готовности сельской школы к его реализации» (г. Орёл, 20 - 23 мая 1996 г.); на международной конференции «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)» (г. Красноярск, 25 - 30 августа 1997 г.); на «VII Международной научной конференции им. академика М. Кравчука» (Украина, Киез, 1998 г.); на международных конференциях: «Математическое моделирование систем: методы, приложения и средства» (г. Воронеж, 12 -16 октября 1998 г.), «Modem approaches to flows in porous media» (г. Москва, 6-8 сентября 1999 г.), «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, 17-19 ноября 1999 г.).

На защиту выносятся: постановка новой задачи об определении шлейфа вымываемого загрязнения в кусочно-неоднородных слоях; полученные в конечном виде новые решения для границ загрязнения в виде прямой и окружности; решение на основе интегрального уравнения поставленной задачи в случае сложных границ очага загрязнения; разработанная схема численного эксперимента по определению критического дебита водозабора; найденные: зоны санитарной охраны водозабора, условия работы водозаборов без загрязнения, коэффициенты загрязнения водозабора, работающего с дебитом, превышающем предельно допустимое значение; исследованные зависимости размеров и формы вымываемых шлейфов загрязнения, величины предельно допустимого дебита водозабора от неоднородности слоя, размеров и формы очага загрязнения, расположения водозабора, симметрии задачи.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Библиография содержит 176 наименований. Общий объём работы составляет 200 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведён обзор литературы по теме исследования. Указана цель работы, её новизна, теоретическая и практическая значимость, достоверность полученных результатов, их апробация. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся в безразмерном виде основные уравнения двумерной фильтрации в тонких неоднородных изотропных слоях проводимости Р = КН> О (К — коэффициент проницаемости слоя, Н — его толщина) с горизонтальной подошвой.

В комплексной плоскости г = х + ¡у ставится задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения. Область фильтрации В состоит из чистой области £)] и очага загрязнения, занимающего область 02. Области Д и йг сопрягаются по кривой Г. В рамках одножидкостной модели, считаем,

что протекая через область £>2. жидкость загрязняется и за областью £>2 образуется шлейф вымываемого загрязнения. Пусть фильтрационное течение обусловлено поступательным потоком, скорость которого равна и, и работой водозабора, представляющего собой совершенную скважину суммарного дебита П. Работа водозабора моделируется точечным стоком мощности q = П/Р(го), расположенным в точке го= Хд + ¡уц. В результате фильтрационного течения жидкости возможны, изображённые на рис. 1 и рис. 2, схемы промывания загрязнения с образованием шлейфов загрязнения (области С^ и С,).

Если <7 < <7. (д. зависит от неоднородности слоя, размера и формы очага загрязнения, расположения водозабора относительно загрязнённой области £>2), то нейтральная линия (линия, ограничивающая область захвата водозабора и проходящая через критическую точку г,) не пересекает очага загрязнения (рис. 1). Она может лишь только касаться области 02 при д = q^. Вымываемый шлейф загрязнения имеет стационарные границы: /"о и две линии тока г\2т, , а также, не

стационарную границу Г,. Шлейф С, (рис. 1) в водозабор не попадает и при неограниченном возрастании времени — локализован (заключён между частью границы загрязнения Г'0 и частью нейтральной линии тока

Таким образом, при д < шлейф вымываемого загрязнения не попадает в водозабор, а следовательно, эксплуатационная скважина работает без загрязнения. Величину q^ называют критическим (предельно допустимым) дебитом.

При q > как показано на рис. 2, нейтральная линия тока пересекает область загрязнения Шлейф б,, как и в случае рис. 1, при неограниченном возрастании времени, уходит в бесконечность и имеет стационарные границы: линии тока г2г'00 и часть границы загрязнения Г0, заключённую между точками 2\ и г2. Вторая часть шлейфа вымываемого загрязнения С{ рис. 2 имеет стационарные границы: Г'0 (часть границы загрязнения Г, заключённую между точками г3 и га), одну из ветвей нейтральной линии тока 2^.20 и линию тока Шлейф С, при q> подтягивается к водозабору и в определённый момент времени попадает в него. В этом случае важно оценить степень загрязнения вод в водозаборе. .Для этого необходимо указать ту часть у0 границы Г, откуда вымываемое загрязнение попадает в водозабор.

Таким образом, для определения и исследования шлейфа вымываемого загрязнения необходимо во первых, найти число ш (т= 1, 2, ...) таких линий тока, каждая из которых имеет с Г только одну общую точку гт (рис. 1, рис.2). Во вторых, необходимо выяснить взаимное расположение области захвата водозабора и очага загрязнения.

Итак, задача состоит в том, чтобы при заданных: проводимости слоя, дебите и положении эксплуатационной скважины, скорости поступательного потока, очаге загрязнения, необходимо найти и исследовать шлейф вымываемого загрязнения. Это позволит определить зону санитарной охраны водозабора (его область захвата), указать условия работы водозабора без загрязнения, а в случае его загрязнения — определить коэффициент загрязнения водозабора.

Согласно В.Ф. Пивню, сформулированную выше задачу поставим для комплексного потенциала. Фильтрационное течение описывается следующими из закона Дарси и уравнения неразрывности уравнениями:

дх~ Р ду' ду~ Р дх ' ( '

записанными в безразмерных величинах. Введя комплексный потенциал

уравнения (1) запишем в виде:

d-^ + A(z)[fV(z)-W(z)] = 0, zeD, £ = (2)

где A(z) = AlnVPW, +

oz oz дх ду

В кусочно-неоднородном слое грунт в областях D\ и D2 характеризуется непрерывными коэффициентами проницаемости К\ и К2. Считаем, что их скачёк на границе сопряжения Г областей D\, D2 имеет вид KX.z) = kyK(z) {kx и ki — const, v= 1, 2). Полагаем, что толщина слоя Н непрерывна во всей области фильтрации D. Тогда проводимость слоя в областях D) и D2 характеризуем функциями Pj(z) = к,Р(г), v= 1, 2. Течение в областях D\ и D2 опишем удовлетворяющими уравнению (2) комплексными потенциалами

W„(z)= kv(pv{z) + i^^-, z е Д,, v := 1, 2. (3)

P(z)

Границу сопряжения Г моделируем кривой класса Ляпунова. Пусть она задана параметрическим уравнением:

z=z(l) (х=х([),у=}т (4)

где /—параметр.

На границе сопряжения Г выполняются граничные условия: непрерывность давления и расхода жидкости, которые для комплексных потенциалов (3) записываются следующим образом:

(l-A)r,+(z) = r2-(z) + A^2(z), z ef, (5)

к{ -к2

где Я = —--, Л е [-1, 1), «+» и «-» обозначены предельные значения сок, +к2

ответствующих функций при подходе к Г из области D\ и Д>.

Область фильтрации может быть ограничена сингулярной линией 10, на которой проводимость Р обращается в ноль либо в бесконечность и линией сброса (либо эквипотенциалью) L. Граничные условия на Lq и L имеют вид:

Р{z)=0, либо (pv{z) = const, v= 1 и (или) 2, z € L0. (6) дп

= 0, либо <pv(z) = const, v~ 1 и (или) 2, z е L. п\

дп

Не стационарные границы Д и Г[ (рис. 1, рис. 2) шлейфа вымываемого загрязнения будем описывать параметрическими уравнениями:

2 = 0 (х = х(1, /), У = Х{1,0), г € Г, и г;.

Полагаем, что в начальный момент времени < = 0 границы Г, и Г,' совпадают с Г. Тогда, в силу (4), задаётся начальное положение Г0, Г'0 подвижных границ Г, и Г', уравнениями:

2о = 2(/,0) {х = х{1,0),у = х{1,0)), 2еГ0\}Г'й. (8)

В рамках одножидкостной модели для нахождения положения границ Г, и Гг' в моменты времени / > 0, имеем в комплексной форме дифференциальное уравнение их движения:

с// ' дг ' д2 дх ду л '

которое интегрируем при начальных условиях (8).

Пусть в отсутствии границ Г (к\ = к2 - 1) и I, течение описывается комплексным потенциалом

+ (10)

Полагаем, что его действительная часть удовлетворяет условию (6). Комплексный потенциал (10) записывается в виде:

ВД + Ч-'Нг, г0), г е Д (11)

где функция ^(г) описывает поступательный поток со скоростью и\ .^(г, 20) — функция, описывающая течение к стоку единичной мощности, расположенному в точке 20 и имеющая в этой точке особенность логарифмического типа.

При наличии в области фильтрации границы смены неоднородностей Г и границы Ь, течение возмущается. Учитывая течение, описываемое комплексным потенциалом (11), комплексные потенциалы И\(г) ищем в виде:

= 2€Д,, V-1,2, (12)

где IV-(г) — комплексный потенциал возмущений, вызванных наличием границ ГпЬ:

^.(2)= + (13)

Р(г)

Задачу сопряжения (2), (5) - (7) переформулируем для комплексного потенциала возмущения Ж.(2). Условия (5)-(7), с учётом (12), запишем в виде:

(l-A)JV.+(z) = fV.~(z) + AW'(z) + A[jV0(z) + Wo(z)], z e Г, О4) = либо <p.(z) = 0, ze£0, (15)

on

дФ.(2.) 8<p0(z) , ч

- = — " , либо <p.{z) = const - (pa{z), z e L. /154

on on K '

Для единственности решения задачи сопряжения (2), (5) - (7), потребуем выполнения условия в бесконечности:

<p.(z) = 0(|2|-')t K{z)\V(p.{z)\ = 0(|z|"2), при |z — —>00 (ge Г\] L0U L). (17)

Таким образом, задача сопряжения для потенциала возмущений W,(z) состоит в следующем: заданы проводимость слоя P{z)\ дебит скважины и её положение, скорость поступательного потока (то есть, комплексный потенциал (11)); очаг загрязнения (параметр Л и уравнение (4) граница Г). Необходимо найти в классе обобщённо-аналитических функций комплексный потенциал возмущений fV,(z), удовлетворяющий уравнению (2) и условиям (14) - (17).

Имея комплексный потенциал JV*(z), согласно формулы (12), определяем комплексные потенциалы Wv{z) течения в областях Д, (v = 1,2).

Имея комплексные потенциалы (3), найдём шлейфы Gt и G,' вымываемого из области А загрязнения. Для определения границ этих шлейфов ищем: во первых, такие линии тока, которые имеют с Г только одну общую точку zm = .rra + iym, щ= 1, 2, 3, ...; во вторых, выясняем взаимное расположение области захвата водозабора и очага загрязнения, для чего находим координату критической точки z>=x» + iy. (рис. 1, рис. 2).

Так как точки zm, m = 1, 2, 3, ... являются точками, в которых нормальная составляющая скорости фильтрации равна нулю, то р.се они определяются из совместного решения задающего границу загрязнения уравнения (4) и условия:

дф\ (z)

8п.

■ = 0, z = zm, zm е Г,т= 1,2,3, .... (18)

Координату критической точки г» определяем из условия, что в ней скорость фильтрации равна нулю:

Ку(г)д<Ру^ = 0, 2 = 2*, 2. еОиги!0и£. (19)

Эг

Далее, выделяя из комплексного потенциала (12) мнимые части и, построив линии тока

= ^(гг), V = 1 и (или) 2, (20)

проходящие через точки гт е {гт, 2.}, т = 1, 2, ..., находим стационарные границы вымываемых шлейфов загрязнения б, и С, и определяем ту часть шлейфа С,, которая попадает в водозабор.

Для определения не стационарных границ Г{ и Г[ шлейфов С{ и С, в момент времени 7 > 0 имеем, следующее из (9), дифференциальное уравнение:

^ = 2А'(г)|-^0(2) + ^(г)], 2 е Г,иГ'п (21)

Ш 02

которое интегрируем при начальных условиях (8).

Исследуя в ходе проведения численного эксперимента форму шлейфа С, при различных значениях дебита водозабора д, находится критический дебит Суть этого эксперимента заключается в том, что для фиксированного дебита водозабора д решается задача сопряжения (2), (14) - (17). Определяется шлейф вымываемого загрязнения С, и анализируется, попадает ли он в водозабор или нет. Изменяя входящий в (11) дебит д и решая задачу определения шлейфа С,, находим такое значение дебита водозабора д., при котором он не загрязняется, а при д = д> + Ад (Ад — малая величина, равная требуемой точности определения дебита водозабора) — в эксплуатационную скважину попадает загрязнённая жидкость. Значение д> и есть найденный в ходе проведения численного эксперимента критический дебит водозабора.

В случае, если водозабор работает с дебитом д > д., то в него, спустя некоторый промежуток времени, определяемый в результате исследования эволюции границы Г'п попадает прошедшая через область £>2 загрязнённая жидкость. В этих условиях оценивается степень загрязнения эксплуатационной скважины, что позволяет выбрать такой режим её эксплуатации (подобрать её дебит), при котором она работает с допустимой нормой загрязнения.

Степень загрязнения водозабора характеризуется коэффициентом загрязнения водозабора р, равным относительному загрязнению вод в водозаборе:

р=АЯ/Я,

где Д/7 — количество загрязнённой жидкости в водозаборе, П — суммарный дебит водозабора. Количество загрязнённой жидкости в водозаборе определяется по формуле

АП= или АЛ=ф{)-ф2),

го

где и 22—начальная я конечная точки кривой у0.

В работе решение задачи сопряжения (2), (14)-(17) для канонических границ Г (прямая, окружность) получено в конечном виде методами классической теории аналитических функций комплексного переменного и теории обобщённых аналитических функций. Линия сброса (либо эквипо-тенциаль) Ь моделируется прямой линией. Тогда, используя функцию Грина, граница Ь учитывается в комплексном потенциале (10), а условия (16) становятся однородными. В случае сложных границ Г, моделируемых кривыми класса Ляпунова, следуя В.Ф. Пивню, ищем ¥<(г) в виде потенциала двойного слоя, непрерывно распределённого с плотностью —

вещественная функция) на границе Г:

V. (г) = ¡8(С)Р(£)д^,0с11с, 2^^ = 1,2, (22)

Г С

где Г](2, £) — первое фундаментальное решение уравнения (2), имеющее в точке ¡г/ особенность логарифмического типа, п^ — орт нормали к

границе Г, направленный в область 0\. Функция Р¡(г, £) удовлетворяет условиям (15), (16). В силу свойств потенциала двойного слоя, задач/ сопряжения (2), (14)-(17) сводим относительно искомой функции %{£) к неоднородному интегральному уравнению второго рода типа Фредгольма:

= 2еГ, (23)

где Ф\(г, ¿¡)=НеР1(2, £). Решение уравнения (23) ищем методом дискретных особенностей, развитым в трудах С.М. Белоцерковского, И.К. Лифанова и их последователей. Этот метод позволил рассмотреть наряду с ляпуновскими и кусочно-ляпуновские границы загрязнения, что значительно расширило класс исследуемых задач. Определив из уравнения (23) функцию ¿(г), находим комплексный потенциал возмущений (22). Тогда, в силу (12), (11), имеем комплексные потенциалы Щ(г) и й'гС2). течений в областях А и 02.

Следуя В.Ф. Пивню, при учёте формул (22), (12), (10), (13), преобразуем уравнения (18) - (20):

ЁШ2- = о, , =2т> е г, т = 1,2,..., (24)

дпг р{2)}! ыс а/, ?

<11, =0, г-г», г» еAU.TUI.oUL, (25) дг Н(г)81^ дг 6

у0(*)+ =И*г), ъ 6 {гт,г.},ш= 1,2,..., (26)

г д1<

где £) = Р(2)1тР2{2, £), — второе фундаментальное реше-

ние уравнения (2). Имея решение задачи сопряжения (2), (14)-(17), в уравнениях (24) и (25) неизвестными являются только координаты точек гт, (ш = 1, 2, ...) и 2.. Применяя к (24), (25) численные методы, находим гт (т= 1, 2, ...), г.. Построив проходящие через эти точки линии тока (26), определяем стационарные границы вымываемых шлейфов загрязнения

и с,.

В тех случаях, когда функцию тока щ{г) не удаётся представить в простом аналитическом виде, то для построения линий тока, проходящих через точки г, (гг е {гт г.}, т = 1,2,...), вместо уравнения (26) используем дифференциальное уравнение линий тока:

сЬс _ ¿у

Ъч>0(г) 1 " ~ 1 '

- ^ Л,, } Я1 дх £

дх Р{2)*Г 51, ду « ду Р(2))г 81,

которое решается численно.

Для определения положения не стационарных границ Г| и Г', шлейфов загрязнения <3, и С,, уравнение (21) представлено в виде:

— = 2 Л

& Я(г) J д\€ дг С

г 6 Г, и г; (27)

и решается численно при начальных условиях (8).

Во второг: главе исследуются новые п^оскопараллельные модели течения в кусочно-однородном слое. Уравнение (2) принимает вид уравнения типа Коши-Римана. Комплексные потенциалы УУ,(г), И^г) являются аналитическими функциями комплексной переменной 2. Получены в конечном виде новые решения задачи о работе водозабора без загрязнения и задачи об определении вымываемого шлейфа загрязнения при наличии в области фильтрации загрязнённой области, моделируемой полуокружностью и полупрямой. Эти задачи могут быть моделями фильтрационных течений в естественных пластах грунта и используются в работе как тестовые в случае границ загрязнения Г общего вида.

Исследованы вымываемые шлейфы, когда очаги загрязнения моделируются прямой либо окружностью. Используя соответственно фильтрационную теорему о прямой либо окружности, находим для работающей з условиях поступательного потока грунтовых вод эксплуатационной скважины, решение задач сопряжения (2), (14) - (17) в виде:

W^iz) = -uze~p -

2я-

ln(z - Xq ) + X ln(—z - x0)

где р— угол между вектором скорости поступательного потока и отрицательным направлением оси Ох (угол отсчитьгаается против часовой стрелки, р е [0; л/2)), либо:

W](z)= -и

~2\

z + Я-

J7 2тг

ln(z-z0) +А1п

ч

( 2 "Л а

--z0

vz У,

W2{ z) = -(l-A)j«z + ^-ln(z-z0)|.

Для прямолинейной границы загрязнения анализ расположения точек zm (m= 1, 2, 3, ...) и z. позволил указать условия появления шлейфа вымываемого загрязнения. Так, при дебите водозабора, не превышающем значения

2лих(, cos В

(28)

<7:

1-Я

шлейфа вымываемого загрязнения не образуется. В случае, если дебит водозабора рассчитывается по формуле

2лих0 cos Р

1-Я

(29)

то критическая точка течения х. попадает на границу загрязнения. Исследования показали, что критический дебит больше значения (28), но не превышает значения, рассчитываемого по формуле (29).

При моделировании границы загрязнения окружностью, шлейф вымываемого загрязнения образуется при любом значении дебита водозабора. В случае, если водозабор расположен на оси абсцисс, картина течения обладает симметрией и при дебите водозабора, удовлетворяющем условию

ц < 2т{хо + а),

имеется такой шлейф вымываемого загрязнения, подвижная граница Гх которого при неограниченном возрастании времени ? уходит в бесконеч-

2

кость. При этом, линии тока, являющиеся стационарными границами этого шлейфа, имеют асимптоты:

^ д_____ БШб; ^

ул=±а(1-А) 8Ш02+-2—

^ 2 та соэ 92-х0/а

где полярный угол &1 точки г2 определяется по формуле

в2 = агссоэ

2 2 Я

2 ли ) тс

(30)

(31)

4охо

Согласно формул (30), (31), исследовано влияние параметра Я, дебита водозабора и размера очага загрязнения на размеры вымываемого шлейфа загрязнения.

Используя численный эксперимент, определён предельно-допустимый дебит. На рис.3 представлена зависимость критического дебита водозабора от его положения в области фильтрации. Видно, что критический дебит растёт с удалением водозабора от очага загрязнения. При некотором положении водозабора, его критический дебит равен нулю. Значит, скважина, расположенная в этой точке не может работать без загрязнения (точка забоя водозабора не должна располагаться на границе и в самом шлейфе загрязнения (7,). Предельные случаи (<5Ь = 0) рис.3 согласуются с известными результатами, что подтверждает справедливость проведённых исследований.

Для водозабора, работающего с дебитом, превышающем критический дебит, рассчитана степень загрязнения водозабора и исследована её зависимость от мощности водозабора.

Исследованные выше задачи усложнены введением, ограничивающей область фильтрации £> линией сброса Ь, моделируемой осью Ох (прямолинейная граница ортогональна I, а граница загрязнения, моделируемая

ч \

ч \

\ v

\

\

N

\

\ v, \

ч V \

л \ч

я/б

я/3

я/2

2яЯ

5 я/6

Рис. 3. Зависимость кришческого дебита от расположения водозабора

полуокружностью, имеет центр в точке, расположенной на L). Для решения задачи сопряжения (2), (14) - (17) использованы фильтрационные теоремы о полупрямой и полуокружности. Несмотря на усложнение задачи сопряжения, в задаче об определении критического дебита водозабора получено в конечном виде аналитическое решение. Так, проводя анализ расположения в области фильтрации D найденных из уравнений (4), (18), (19) точек zm (m = 1, 2, ...) и z., для водозабора, расположенного под лучом, исходящим из общей точки границ Г и L (для полуокружности из двух общих точек Г и L следует выбрать ближайшую к водозабору) и наклонённым к оси абсцисс под углом я/6, получены формулы для расчёта критического дебита:

2 2 ли хо +Уо I-.

д. ~-----, Г— полупрямая, (у-)

1-Я х0

1 "7

(хп-а) +у„ _

д. =ш—--Г—полуокружность. (33)

х0-а

В частных случаях, при у0 = 0 и Я = -1, формулы (32), (33) совпадают с результатами, полученными О.В. Голубевой и А.Н. Куликовым.

Исследованы течения в случае сложных границ загрязнения, моделируемых кривыми класса Ляпунова. Задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения решена численно на основе метода дискретных особенностей. Для этой задачи, полученные в работе аналитические решения использованы как тестовые. Проведено исследование влияния величины, формы и проницаемости загрязнённой области, местоположение водозабора на его предельно допустимый дебит.

В третьей главе исследуются задачи в кусочно-неоднородных слоях. Изменение проводимости моделируется степенной функцией координат Р = у3 (s = const). Скорость поступательного потока грунтовых вод направлена параллельно линии у- 0. Особенностью слоя является наличие в нём сингулярной линии ¿о (у ~ 0). на которой проводимость слоя обращается в ноль, либо в бесконечность.

Исследованы течения, когда очаги загрязнения промоделированы полупрямой, ортогональной сингулярной линии (/'моделируется осью Оу), либо полуокружностью с центром в начале координат. Используя фильтрационные теоремы, получены в конечном виде решения задачи сопряжения (2), (14)-(17). В случае границы загрязнения в виде полупрямой, получена простая формула для расчёта критического дебита водозабора, расположенного у сингулярной линии:

_1и4п 4+2 Да/2+1/2) д* 1-Я х0/0 аГ(л/2) '

где Г\х) — гамма функция аргумента х. При 5 —0 в пределе эта формула переходит в формулу (32). В случае, если водозабор удалён от сингулярной линии ¿о на значительные расстояния по сравнению с расстоянием до прямолинейной границы загрязнения, то проводимость слоя на предельно допустимый дебит не влияет и он определяется по формуле

д* =

2 ит0 1-Я

Проведённые исследования показали, что влияние закона изменения проводимости слоя на ц- незначительно и им можно пренебречь, если ордината водозабора вдвое больше его абсциссы. В работе исследовано влияние закона изменения проводимости слоя на критический дебит д*. Так, на рис. 4 представлены графики зависимостей ц, от параметра Я для различных значений показателя 5 в законе изменения проводимости слоя. Видно, что при прочих равных условиях, критический Рис.4. Зависимость критического дебита оп параметра X дебит больше для

больших значений Согласно рис. 4, заключаем, что в случае моделировании очага загрязнения полупрямой, <7. с увеличением Л растёт.

В том случае, если очаг загрязнения не примыкает к сингулярной линии ¿о или он имеет сложную форму, то граница загрязнения моделируется кривой класса Ляпунова. Исследованы и решены на основе численных расчётов с использованием интегрального уравнения (23) задачи в случае эллиптической границы Г. Определены шлейфы вымываемых загрязнений и изучена их эволюция.

Как частный случай двумерных течений (при л = 1), исследованы осесимметричные течения. Получены в конечном виде новые аналитические формулы для расчёта критического дебита водозабора. Так, для границы загрязнения, моделируемой полуокружностью с центром на оси симметрии, с погрешностью, не превышающей 5%, критический дебит

(3. = П./а, приходящийся на единицу угла а раскрытия слоя, определяется по формуле:

_ 12 и х1 (х0 - а)2__

х0(3 + фх0 - Л(х0 - а))+ 2(1 + Л)(х0 - а)2

В работе проводятся исследования влияния на критический дебит удалённости водозабора от очага загрязнения; параметра Л, характеризующего скачёк проницаемостей грунта на Г; размера и формы загрязнения. Проведено исследование влияния симметрии задачи на предельно допустимый дебит.

В заключении излагаются основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. Поставлена новая задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях. Проводимость кусочно-неоднородных слоев моделируется степенной функцией координат.

2. Получены в конечном виде новые решения этой задачи для границ загрязнения в виде: прямой и окружности. Эти решения используются в качестве тестовых при исследовании задач с границами общего вида.

3. В случае сложных границ очага загрязнения, моделируемых кривыми класса Ляпунова, исследование поставленной задачи сведено к интегральному уравнению. Это уравнение решается численно на основе метода дискретных особенностей. Такой подход к решению интегрального уравнения позволил исследовать задачи с границами загрязнения, моделируемыми кривыми кусочно-ляпуновского класса.

4. Разработана схема численного эксперимента по определению критического дебита водозабора.

5. Решение поставленной задачи позволило получить следующие, значимые для практики, результаты: определена зона санитарной охраны водозабора; указаны условия при которых водозабор работает без загрязнения; вычислен коэффициент загрязнения водозабора, работающего с дебитом, превышающем предельно допустимое значение.

6. Изучена зависимость размеров, формы вымываемых шлейфов загрязнения, их эволюции, величины предельно допустимого дебита водозабора и коэффициента его загрязнения от неоднородности слоя, размеров и формы очага загрязнения, расположения водозабора и симметрии задачи. Эти исследования позволили указать простые формулы для расчёта предельно допустимого дебита в случае границ загрязнения в виде прямой и окружности, указать условия применимости этих формул в случае границ загрязнения сложного вида.

Поставленная и исследованная задача позволяет моделировать возникающие при чрезвычайных происшествиях и экологических катастро-

фах очаги загрязнения и вымываемые из них шлейфы, указать условия, при которых водозабор может работать без загрязнения. Проведённые исследования значительно расширяют класс решённых двумерных граничных задач фильтрации в кусочно-неоднородных слоях (пластах) грунта и вносят вклад в теорию их решения.

Исследованные в работе двумерные задачи не исчерпывают возможностей метода интегрального уравнения. Этот метод может быть применён к широкому кругу процессов различной физической природы, описываемых уравнениями вида (1).

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

1. Квасов A.A. Работа скважины без загрязнения в неоднороднеом слое. Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Новое содержание образования и проблемы готовности сельской школы к её реализации», Орёл, 20-23 мая 1996. С. 375-379.

2. Квасов A.A. Влияние полуэллиптической формы хранилища отходов на очаг вымываемого из него загрязнения // Сборник научных трудов учёных Орловской обласити. Выпуск 5, т. 1. Орёл. 1999. С. 295-298.

3. Квасов A.A. Применение метода дискретных особенностей к одной задаче о работе скважины без загрязнения // Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ-2000». - Орёл: Изд-во Орловского госуниверситета. 2000. С. 253-258.

4. Квасов А.А< Решение интегрального уравнения типа Фредгольма второго рода на окружности для задач фильтрации // Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ-2000». - Орёл: Изд-во Орловского госуниверситета. 2000. С. 259-262.

5. Квасов A.A. Определение максимально возможного очага загрязнения при наличии поступательного потока в осесимметричных задачах // Научный альманах Орловского гос. пед. ун-та. Серия: естественные науки. Орёл, 2000. С. 44-48.

6. Квасов A.A. Плоскопараллельная задача о работе водозабора вблизи кусочно-гладкой границы загрязнения // Труды X Международного симпозиума «МДОЗМФ-2001». Херсон "Айлант". 2001. С. 263-267.

7. Квасов A.A. Осесимметричная задача о работе несовершенной скважины в слое с резко отличающимися границами загрязнения // Сборник научных трудов ОГУ. Вып. 2, Орёл, 2002. С. 15-20.

8. Квасов A.A. Исследование шлейфа вымываемого загрязнения в плоскопараллельной задаче с прямолинейной границей смены однородностей. // Труды международных школ-семинаров «МДОЗМФ». 2002. С. 44-49.

9. Квасоз A.A., Пивень В.Ф. Граничные задачи о работе водозабора в неоднородном слое, содержащем загрязнённую область // Научно-методические материалы. «Численные методы интегральных уравнений

в прикладных задачах». Изд-во ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского. 1998. С. 24-35.

Ю.Квасов A.A., ПивеньВ.Ф. О работе водозабора без загрязнения // VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Тезисы докладов. Казань: Изд-во Казанского гос. техт. ун-та. 2002. С. 263.

11.Пивень В.Ф., Аксюхин A.A., Квасов A.A. Математические модели двумерных граничных задач эксплуатации водоносных неоднородных пластов и их охрана от загрязнения // Тезисы Международной конф. «Математические модели и методы их исследования». Красноярск. КГУ. 1997. С. 146-147.

12.Пивень В.Ф., Аксюхин A.A., Квасов A.A., Никольский Д.Н., Фролов М.А. Математическое моделирование некоторых экологических задач подземной гидродинамики // Сборник трудов Международной научно-практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии». Орёл. ОрёлГТУ. 2000. С. 126-130.

13.Пивень В.Ф., Аксюхин A.A., Квасов A.A., Фролов М.А. Математическое моделирование граничных задач сопряжения двумерных течений в неоднородных слоях // Современные проблемы механики и прикладной математики. Тезисы конференции. Воронеж, 1998. С. 56.

М.Пивень В.Ф., Аксюхин A.A., Квасов A.A., Фролов М.А. Математическое моделирование граничных задач сопряжения двумерных течений в неоднородных слоях // Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства. Труды конференции. Воронеж, 1998. С. 131-136.

15.Пивень В.Ф., Квасов A.A. Теоретическое моделирование двумерных течений к водозабору в неоднородных слоях, содержащих загрязнённые области. Орловский гос. пед. институт, деп в ВИНИТИ 03.01.96г. № 10В 96, 28 с.

16.Пивень В.Ф., Квасов A.A. Двумерная задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения // Труды международных школ-семинаров "МДОЗМФ". 2002. С. 74-80.

17.Пивень В.Ф., Квасов A.A., Аксюхин A.A., Фролов М.А. Применение обобщённых аналитических функций к решению задач сопряжения двумерных процессов в неоднородных слоях // Седьмая Международная научная конференция им. Академика М. Кравчука. Материалы конференции. Киев, 1998. С. 393.

18.Piven V.F., Aksyukhin A.A., Kvasov A.A., Nicolskii D.N., Frolov M.A.. Research of boundary problems of conjunction of two-dimensional seepage in inhomogeneous layers // Modern approaches to flows in porous media. Intern. Conference dedicated to P.Ya. Polubarinova-Kochina. Moscow, Sept. 1999. P. 92-94.