автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование фильтрации жидкости в неоднородных и периодических пористых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования

На правах рукописи

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В НЕОДНОРОДНЫХ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ ОДНОРОДНО-АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

13 КАР 2314

____. Ставрополь-2014

005545888

005545888

Работа выполнена в открытом акционерном обществе «Северо-Кавказский научно-исследовательский проектный институт природных газов»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Толпаев Владимир Александрович

Пивень Владимир Федотович

доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет», профессор кафедры физики

Усов Анатолий Борисович

доктор технических наук, доцент

ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет»,

профессор кафедры прикладной математики и

программирования

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар

Защита состоится «28» марта 2014 года в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.245.09 при ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет» по адресу: г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, корп. 1, ауд. 416.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет» по адресу: г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2. С авторефератом диссертации можно ознакомиться на сайтах СКФУ www.ncfu.ru и ВАК Министерства образования и науки РФ www.vak.ed.gor.ru/ru/dissertation/.

Автореферат разослан «Х^» февраля 2014 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.245.09, кандидат физ.-мат. наук, доцент

О.С. Мезенцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Большое количество практических задач связаны с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким задачам относятся: добыча нефти и газа; водоснабжение; проектирование разработки нефтегазовых месторождений; проектирование гидротехнических сооружений и т.д. Решение таких задач требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям.

Защищаемая работа посвящена математическому моделированию фильтрационных свойств неоднородных и периодических пористых изотропных сред свойствами однородно-щшзотропных эквивалентов (моделей) этих пористых сред. Актуальность исследовшшй определяется тем, что сложность послойного расчета фильтрации в слоистых средах, требующая совместного интегрирования системы из большого числа уравнешш и частных производных, существенно снижается и сводится к краевой задаче для одного уравнения с постоятшыми коэффициентами.

Целью работы является разработка; 1) методов решения краевых задач фильтрации в неоднородных и периодических пористых средах путем сведения их к краевым задачам фильтрации в однородных и однородно-анизотропных средах и, 2) методов решения краевых задач теории фильтрации для уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами и систем уравнений эллиптического типа путем перехода к краевым задачам для классических уравнений математической физики - уравнений Лапласа и Гельмгольца.

Объекты исследования - процессы фильтрации жидкости в пористых изотропных неоднородных, изотропных периодических и в анизотропных средах.

Предмет исследования - математические методы построения однородно-анизотропных эквивалентов (моделей) изотропных неоднородных и периодических пористых сред.

Методы исследования. При выполнении работы использовались теория фильтрации жидкости (газа) в пористых средах; теория аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного; уравнения математической физики; линейная алгебра; вычислительная математика и специализированные программные среды Maple 6 и Matlab.

Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем:

1. Получены новые математические методы применения аппарата теории гармонических функций к исследованию плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в широкой серии изотропных неоднородных сред с проницаемостью К = к0-к(х,у), принадлежащей классу частных решений уравнения

ч]к{х,у)

2. Построены формулы перехода для 26 новых случаев изотропных неоднородных сред с проницаемостью К = к0 ■ р^х)-р2{у), позволяющие сводить исследование плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) к краевым задачам для классических уравнений Лапласа или Гельмгольца;

3. Метод Г. И. Назарова адаптирован для решения общих задач плоскопараллельной фильтрации для сред с проницаемостью вида К = к0 ■ рАх)' Р&У,

4. Приближенные аналитические методы моделирования фильтрации жесткими и естественными трубками применены к построению однородно-анизотропных моделей конкретных изотропно-неоднородных и слоистых сред;

5. Разработана программа для ЭВМ (номер государственной регистрации № 2012613059 от 29.03.12) для расчета по методу естественных трубок тока главных проницаемостей анизотропной модели изотропной пористой среды, получающейся в результате периодического повторения в пространстве элементарной ячейки шахматного типа;

6. Разработана программа для ЭВМ (номер государственной регистрации №2012613060 от 29.03.12) для построения гидродинамических сеток искажения поступательного фильтрационного потока круглым радиально-неоднородным включением и однородно-анизотропной моделью включения;

7. Определены границы применимости метода однородно-анизотропного

эквивалентирования.

Область исследований. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (технические науки).

Разработка новых математических методов, направленных на применение классических уравнений математической физики Лапласа и Гельмгольца к исследованию плоскопараллелыгой стационарной фильтрации жидкости (газа) в широкой серии изотропных неоднородных сред соответствует п.1 паспорта специальности «разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений».

Разработка метода жестких и метода естественных трубок тока для математического моделирования изотропных неоднородных сред однородно-анизотропными эквивалентами соответствует п.2 паспорта специальности «развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей».

Разработка программ №2012613059 и №2012613060 для ЭВМ и вычислительные эксперименты по определению точности оценки фильтрационных потоков, скоростей и градиентов давлений по методу однородно-анизотропного эквивалентирования соответствует н.5 паспорта специальности «комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Практическая значимость работы. Разработанные новые методы математического моделирования плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах, позволяющие применять решения классических уравнений математической физики Лапласа и Гельмгольца, могут служить основой для развития более точных способов обработки данных газогидродинамических исследований скважин. Кроме того, для расчета более адекватной к геолого-фильтрационным характеристикам месторождения сетки и плотности размещения скважин.

Разработанные методы жестких и естественных трубок тока для математического моделирования изотропных неоднородных и, в частности, периодических сред их однородно-анизотропными эквивалентами могут служить основой для развития приближенных экспресс - методов прогнозных промысловых оценок различных вариантов размещения скважин по площади месторождения и

вариантов дополнительного бурения скважин с целью повышения коэффициент извлечения углеводородов.

Результаты диссертации использовались в ОАО «СевКавНИПИгаз» при разработке методик расчета прогнозных дебитов скважин и при разработке Р Газпром 071-2009 «Планирование и оценка эффективности геолого-технических мероприятий. Методика выбора скважин для проведения геолого-технических мероприятий и выбора приоритетных видов геолого-технических мероприятий на конкретных скважинах». (Акт о внедрении от 11 мая 2012 г.)

На защиту выносятся: 1. Математические методы применения гармонических функций к исследованию плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах с проницаемостями К =к„ -к(х, у), принадлежащими классу

2. Новый класс формул перехода, сводящих расчеты плоско параллельной фильтрации в изотропных неоднородных средах к расчетам в изотропных однородных средах.

3. Формулы перехода для 26 новых случаев изотропных сред с проницаемостью К =к0 -р^х)-р2(у), позволяющие исследовать плоскопараллельную стационарную фильтрацию жидкости (газа) с помощью решений классических уравнений Лапласа или Гельмгольца.

4. Адаптированный для решения краевых задач плоскопараллелъной фильтрации для сред с проницаемостью вида К =к0- р,(х)- рАу) метод Г. И. Назарова;

5. Конкретные однородно-анизотропные модели изотропно-неоднородных, кусочно-однородных и слоистых сред.

6. Результаты вычислительных экспериментов по оценке точности фильтрационных расчетов в изотропных неоднородных средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования с использованием разработанных программ ,ия

ЭВМ.

Апробация работы.

Отдельные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Седьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математики (Воронеж, 2006г.); Воронежская зимняя математическая пгкола "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007г.); VIII и IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, 2007г., Кисловодск, 2008г.); III международная научно-техническая конференция "Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании (Инфоком-3)" (г. Кисловодск, 2008г.).

Диссертация в полном объеме докладывалась: на семинаре под руководством д.ф.-м.н., профессора Семенчина Е. А по математическому моделированию в Кубанском государствешюм университете (Г. Краснодар, 25.01.2012); на семинаре под руководством д.т.н., профессора Слюсарева Г. И. по математическому моделированию в Северо-Кавказском федеральном университете (г. Ставрополь, 01.11.2013), на заседашш секции Ученого совета «Геология, разработка и проектирование обустройства месторождений углеводородов, подземное хранение газа и экология» в ОАО «СевКавНИПИгаз» (г. Ставрополь, 17.12.2013)

Публикации. Полученные автором результаты достаточно полно изложены в 9 научных работах, среди которых: 3 статьи, опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ («Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки», «Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности», «Вестник ВГУ», «Ученые записки Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета им.

Н.Г. Чернышевского»); 4 публикации в журналах «Обозрение прикладной и промышленной математики», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», «Материалы Воронежской зимней математической школы, «Современные проблемы теории функций и смежные проблемы», «Проблемы добычи газ, газового конденсата, нефти» и 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Общий объём диссертации 203 стр., из них 156 стр. основной части. Основная часть состоит из введения, четырех глав, содержащих

18 пунктов, заключения и списка литературы из 90 названий, из которых 12 на иностранных языках. Диссертация содержит 11 таблиц, 34 графиков и рисунков и одиннадцать приложения общим объёмом 47 стр.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов подтверждается корректным применением апробированных уравнений теории фильтрации жидкости и газа в пористых средах; методов математической физики и теории аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного; строгостью производимых математических выкладок; корректностью использования апробированных специализированных программных сред; непротиворечивостью результатов исследования с ранее полученными результатами других авторов.

Личный вклад автора. Б опубликованных в соавторстве работах автору принадлежат: обоснование условий применения в расчетах фильтрации в периодических пористых средах метода однородно-анизотропного эквивалентирования; в методе формул перехода полученные 26 вариантов изменения проницаемости среды для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных пластах; разработка алгоритма и программы для ЭВМ расчета главных проницаемостей по методу жестких трубок тока и методу естественных трубок тока для анизотропной модели изотропной пористой среды; разработка алгоритмов и программ для ЭВМ построения гидродинамических сеток квазипостуиательного фильтрациошюго потока и потока, искаженного круглым радиально-неоднородным включением.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена общая характеристика работы, дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, указаны цели и основные задачи исследований, их научная и практическая значимость, приведено краткое содержание по главам.

В 1-ой главе сделан аналитический обзор математических методов моделирования стационарной линейной плоскопараллелыюй фильтрации жидкости (газа) в неоднородных изотропных и анизотропных пористых средах. Приведены известные уравнения

КМ'П) д<Р ] кп{ъ,у) дд> _ 1 ду НА&пУде Н2^,п)дц Нг(£,т]) дт] кп{^,Г}) дер | кЛ£,у) дер _ 1 а у/ Н2(4,Т1) дг/ Л\(4,г,)дд

плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в неоднородных анизотропных

пористых средах в ортогональных криволинейных координатах В системе (1)

ки - безразмерные компоненты тензора К

к--ЦкЛгп\ (2)

проницаемости анизотропной неоднородной среды, к0- постоянный с размерностью проницаемости множитель, #,(£,/?) и II 2Ц,т])~ коэффициенты Ламе выбранной в плоскости течения системы координат (с.'/), функция функция тока (линии

уровня которой определяют траектории движения жидких частиц), а функция ^,7), называемая потенциалом, связана с гидродинамическим давлением и

коэффициентом динамической вязкости /г флюида формулой

для случая фильтрации жидкости

К-рЧ^Л) . ■ • (3)

-, для случая фильтрации газа

Ц

При фильтрации жидкости учитывается сила веса, выражаемая слагаемым p-g-z, где р - плотность, g - ускорение свободного падения, а г - аппликата точки наблюдения по направленной вверх оси над зафиксированной горизонтальной плоскостью. При фильтрации газа силой веса p-g z по сравнению с поверхностными силами давления пренебрегают, но учитывают сжимаемость газа в рамках изотермического закона

— = const Бойля-Мариотта. Отмечаются частные случаи системы уравнений (1).

Для однородной изотропной среды получаем наиболее простую систему уравнений, совпадающую с условиями Коши-Римана и приводящую к уравнениям Лапласа относительно <p(4,rj) и 4/(4, т/).

Для неоднородной изотропной среды с проницаемостью К = к0 -к(х,у) в декартовых координатах получаем систему

9

, (Система А )

дх ду дх ду

уравнений теории р -аналитических функций Г. Н. Положего.

Для неоднородных прямолхшейно-анизотронных сред с проницаемостью К^У)=/х{х)-Ф)> Кг =¿21 =° и к1г(х,у)=Ъ{х)-£2(}>), и для сред с проницаемостью

киЬс>у)=^У/(х)> ¿12 = ки =0 и = (оси декартовых координат

совмещены с осями анизотропии), соответственно получаем системы

' ,гУв = дУв

ГА?\дХ ' ^ , (Система В) (5) /Хх) ду дх

играющие центральную роль в теории £ -моногенных функций Л. Берса и А. Гельбарта.

Если функции <рв(х,у) и >рв{х,у) являются частными решештш системы уравнений (в), то функции <рА(х,у) и ул(х,у), определенные при помощи криволинейных интегралов

и.у)

'-'о -Уо )

будут частными решениями системы уравнений (л).

В символическом комплексном виде записи интегралы (6) и (7) Л. Берс и

2

А.Гельбарт записывают в виде и>,(г)- и>х(;:0) = ^¿(г)^, где г = .т + ¡у, г0 = х0 + ¡уа и

2,

называют операцией 2 -интегрирования.

Если функции <рл{х,у) и ц>л (х, у) являются частными решениями системы уравнений (л), то функции <рв{х,у) и Ч'в{х,у), определенные при помощи криволинейных интегралов

(*<).?о)

Ч>в{^у)-Ч'в{^,у!>)= Г ' ^■<& + 81(у)-<РА(х,у)-Лу (9)

(,„.,„) }АХ)

будут частными решениями системы уравнений (в).

В символическом комплексном виде записи интегралы (8) и (9) по Л. Берсу и

г

А.Гельбарту записываются в виде №г(л)-№г,(2,,)= [^(г^.г, а операцию называют

операцией 1" -интегрирования.

Повторные операции (2Г, 2")-интегрирования, примененные к произвольной комплексной постоянной 7." =а+1Р, позволяют строить частные решения, называемые формальными степенями комплексного переменного. Причем построение четных и нечетных формальных степеней комплексного переменного для систем уравнен™ А и В осуществляется по двум разным «цепочкам»:

(11)

После нахождения формальных степеней регулярные решения системы А, описывающей фильтрацию и анизотропных неоднородных средах с главными проницаемостями, допускающими разделение переменных по координатам, можно построить с помощью аналога степенного ряда с некоторыми произвольными постоянными ап\

9>л(*.у)+1-Ч'л(х.у)=»л(?)= Е2"(г-го,<0- (12)

п-0

Постоянные ап находят из граничных условий конкретной задачи фильтрации. К сожалению, недостатком такого подхода к решению задач фильтрации в анизотропных неоднородных средах с главными проницаемостями, допускающими разделение переменных по координатам, является большая вычислительная сложность построения формальных степеней комплексного переменного,

которая сильно ограничивает практическое применение метода. Последнее обстоятельство подчеркивает актуальность развития таких новых методов решения задач фильтрации в неоднородных и периодических пористых средах, которые

позволили бы применять классические уравнения математической физики -уравнения Лапласа и Гельмгольца.

Вторая глава посвящена разработке новых методов интегрирования системы уравнений (4) плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах. При этом акцент делается на то, как можно применять для интегрирования систем (4) решения классических уравнений математической физики (уравнений Лапласа и Гельмгольца) и теории аналитических функций комплексного переменного.

В диссертации для интегрирования, вытекающего из системы (4) эллиптического уравнения относительно потенциала <р{х,у)

д_ дх

дх

д

+ — ду

дУ.

(13)

соискателем разработан следующий новый математический метод (1-ос защищаемое положение). Если проницаемость К = к0-к{х,у<) изотропной неоднородной среды

такова, что дробь (здесь Л- оператор Лапласа) будет функцией только

одной переменной, например, = то тогда потенциал <р{х, у) линейной

■4к{х,у)

плоскопараллельной фильтрации жидкости в этом классе изотропных неоднородных сред будет равен отношению

•ьл-Ш

в котором числитель Ф{х,у) будет выражаться в виде ряда

+ (15)

*=1 ох

через произвольное частное решение ио(х,у) уравнения Лапласа А ио(х,у)=0. Коэффициенты ряда ак(х) находятся из системы рекуррентных дифференциальных уравнений второго порядка

а[{х)-М(х)- яс Xх) = О а'к{хУм{х)-ак{х) + 2-аи(х) = Ъ

м{х)-

В диссертации отдельно проанализирован частный случай зависимости . Этот случай интересен следующим (2-ое защищаемое положение).

(x + af

Не ли проницаемость К = к0 ■ к(х,у) изотропной неоднородной среды такова, что

А[^к{х, у)) _ ^^ _ 2__ ^ то тогда потелцлал (р{х,у) линейной гоюскопараллельной

Vк(х,у) (х + а)г'

фильтращш жидкости в этом классе изотропных неоднородных сред будет

выражаться через решения классического уравнения Лапласа лио(х,у)=0 по

формуле

<pix'y)-ßb)

X + а ах

(17)

Для изотропных неоднородных сред с проницаемостью в виде К = К ■ р,(х)-р2(у) найдены 26 конкретных случаев, когда для решения краевых задач фильтрации могут применяться уравнения Лапласа либо Гельмгольца с постоянными коэффициентами (3-е защищаемое положение). Для 26 вариантов проницаемостей, перечисленных в таблицей решения краевых задач для системы уравнений Г. Н Положего (4) с переменными коэффициентами строятся через решения IV(х,у) уравнегшй Лапласа либо Гельмгольца с постоянным! коэффициентами. Переход к краевым задачам для приведенного потенциала IV (х, у) в I, III и V случаях (по таблице 1) осуществляется по формулам

<р{х,у)--

I\\x)Pi\y

dx v ' дх . dy K ' ду

(18)

где *,(*)= и ("{¿рМ )■ В случаях II, IV и VI (по таблице 1)

переход к уравнениям Лапласа либо Гельмгольца осуществляется по формулам

<р{х,у) =

ф ду

ц'{х:,у)=-т]р,(х)р2(у) ■

д1¥(х,у)~]

сЫ ^ ' а, ]

Таблица 1. Перечень вариантов, когда гфиведеииый потенциал IV (х, у) выражается через гармонические либо метагармонические функции

ЛЬ л/11 : -ШУ) ■ : ;

I «"(.г..»'): гармоиич-хка» функция. Ш'(х.у}~ 0 ,

1 1 А,х + А2 В1у+Вг

2 1 А\Ск(ах) + А^яЬ^ах) В1 соч(ау)+В2 8т(огу)

3 ] Л, сох(о^)-) Л2 к1п(ал)

II 11'{х. у) гармоническая функция, Лй (л-, у) ■■■ 0 :

4 А,х + А2 1 В,у + В2

5 А1ск(ах)+ ах) , 1 В1 соз(огу)+£, зт(о>>)

6 А1 соя(ах) + А2 8ш(ш:) 1

III Н'(х.у) - метагармоиичижая функция, .(х, г)- <г1/'(д\.!') ~ 0 .

7 ] А^И^а2 +62.г) + а2 + Ь2 х) В, 008^)+ В2 вШ^у)

8 1 А1сЬ(Ьх)+ ^,9Ь(Ьх) В.с/^а2-Ь2у) +В2яи(т1а2 - Ь2у)

9 А1сЬ(Ъх)+ А2яИ(Ьх) 5, соя(^Ь2 - а2у) +В2 ¡¿п(л/й2 - а2у)

10 1 Л,с//(о.1с)+А^И^ах) В,у+В2

И 1 В1сР^ау)+ В2зЬ(ау)

IV ' Щх,у).- меУагарм'оничшжан функция, ЛЯ'(л >•)-«2Г(х>■)— 0.

12 А,си[]а2 + Ь2хУА1зи[1а2 +Ьгх) .. 1 Вг со$(Ьу) + В2 яп(Ьу)

13 А ¡сЬ(Ьх)+А2бЬ(ЬХ) 1

В.сИ^а2-Ъгу) +В2зк[]аг-Ь2у)

Л» и/н //Ф)

V И'(х - метагармоничеекая функция. ЛЯ'(х.у)+(Г •»'(-*• 0 •

1 г— \ 1 Г--7 ^ /

14 А1 соэ^Ь2 - а2х)+А2 эЦ^/А2 - а2х) В^Ь(Ьу)+В^Ь{Ьу)

15 А1сИ(ах)+ А2.Л{ах) I В,у + В2

17 1 А,сЬ(Ьх)+ А2.ч1г(Ьх) В1 со+ Ь2у)+В2 эт (л/а2 +Ь2у)

1 В^сЬ (Ьу) + ВгзИ (Ьу)

18 Дсоз^а2 + Ь2х] +А2 ът(т]а2 + £>2->г)

19 1 А1 соа(бх)+ А2 ят(й.\г) В, соя^а2-Ь2у)+В2ып(т1а2 -Ъ2у)

20 1 А1 соъ{ах)+Аг $т(ах) В,у+В2

21 1 А1х+А2 В1 соз(ау) + Вг зт(сгу)

VI Г(л\у) метпгпрмоиичссюш функция, А1Р{х.у)+а- № (х.у) = 0 .

1 . X / ,- \ 1

22 ДсЛ\л/Ьг - агх)+А^уЬ1 -а2х) В! <юя(Ьу)+В2 $т(Ьу)

1 1— \ 1 1--\ 1

23 \ соэ^л/а2 - Ь2х)+ 4 зЦ>/в2 -Ь2х) В1 соа(Ъу)+Вг ъ\п(Ьу)

1 1 " \ 1 1- \ 1

24 \cos\4a2 + Ьгх)+Аг яЦл/а" +Ь'х) В,сИ(Ьу) + В¥Ф(Ьу)

25 А1 соя(ах)+ А2 яп(ая;) 1 В,у + В2

26 А,х+А, 1 В1 С0!;(ау)+ В2 зт(яу)

* Аь А2, В„ В2 - произвольные постоянные; А^+А/фО, В для случаев 14, 22: а2 - Ь' < 0 2+В22фО; да случаев 13,19, 23: а2 - Ъ2 > 0;

Помимо этого, для решения краевых задач фильтрации в изотропных неоднородных средах с проницаемостью К = к0-р,{х)-р2(у) соискателем разработан метод, обобщающий метод Г. И. Назарова (4-ое защищаемое положение). Общий интеграл системы (4) с коэффициентом к(х,у)= р,(х)- р2(у) можно представить в виде рядов

dz

r< ^ Ml' (20)

^blmjg^M.^gL'J

dlgjz) cku0(x, у) . д\(х,у) , ч / \ . t \

в которых л у =—\ + t--\ . a 8Az) = uAx,y)+ivAx,y)- произвольная

dzdxr dxr

p2(y)-аналитическая функция, удовлетворяющая более простой, нежели (4), системе

! \ ди0(х,у) cv(x,y) / ч ди0(х,у) д\>0(х,у) _

уравнении р2(у)—' -—р2\у)—' ' =--п '. Переменные

дх су дх ду

коэффициенты at{x) и Ьк(х) находятся из рекуррентных соотношений

*Г Ь (л-) 1 1 ■

at+iW= \ ^{-«tW dx> bt-i(x)= \[Pi{x)at{x)-bk{xy\fh (21) »„ LAW J

через две произвольные постоянные а0 и Ь0.

В частном случае, когда g0(z) является аналитической функцией комплексного переменного z = x + iy, т.е. когда характеристика /?,(j>) = 1, из формул (20) и (21) вытекает результат Назарова Г. И.

В 3-ей главе описывается разработанный в диссертации единый универсальный подход к моделированию сложных неоднородных и периодических сред однородно-анизотропными моделями. Линейная стационарная плоскопараллельная фильтрация в однородно-аггазотротгьгх средах с тензором проницаемости К = к0-ки описывается эллиптической системой уравнений (1) с

постоянными коэффициентами ку. Если же в плоскости течения выбрать изотермические криволинейные координаты (i.'/)> характеризующиеся одинаковостью коэффициентов Ламе Н ¡{4,ii)=H 2(%,т]), а главные направления анизотропии будут совпадать с координатными линиями, то система уравнений (1) примет простой вид

дер дч>___ду_

Уравнение для потенциала <р(£,,п) линейной плоскопараллельной фильтрации жидкости в однородно-анизотропных средах, как следует из (22), будет уравнением с постоянными коэффициентами

кп.^+к22.^0, (23)

11 б£2 дт]

позволяющий для интегрирования применять классический метод Фурье. Поэтому, если изотропную неоднородную среду с проницаемостью К = к0-к(§,^) в изотермических криволинейных координатах ($>), уравнение для потенциала <р($,ц) линейной фильтрации в которой имеет достаточно сложный вид (13), удастся заменить эквивалентной в некотором смысле однородно-анизотропной моделью, то, тем самым, трудоемкость решения задач филы-рации в средах с проницаемостью К = к0-к(д,г/) существенно снизится. Решению именно этой задачи посвящена глава 3. Диссертантом предложены два подхода к построению однородно-анизотропных моделей изотропных неоднородных и периодических сред - метод жестких и метод естественных трубок тока. Основной результат по методу жестких трубок тока (5-ое защищаемое положение). Пусть область фильтрации представляет собой криволинейный параллелепипед

0 = г)х<г}<Пг, (П)

ограниченный координатными поверхностями, а внутри него содержится изотропная неоднородная среда с проницаемостью К = К-к^ч.С). Тогда если принять за главные направления анизотропии однородно-анизотропной модели названной среды в области О оси криволинейной системы координат (¿,ч,С), то главные проницаемости кп, к22 и кЪ1 в смысле метода жестких трубок тока однородно-анизотропной модели будут определяться по формулам

1а71Н гЬ , н2{еъсит,

Т7<- * 522 и\_«_

ТЩъсУн^лГ) [пМл^-н^гьс)

Щ С\

К, —

__

' ь

I! Й

I 1

(24)

[п^гуп^ь-)

В диссертации приводятся важные примеры, иллюстрирующие однородно-анизотропное эквивалентирование изотропных неоднородных и периодических сред по методу жестких трубок тока.

Пример 1. Однородно-анизотропная модель изотропной непрерывно-неоднородной среды с проницаемостью к = к(у) в области = х<Ьх, 0<у<Ьу\ 0 < г < ¿г} . Главные проницаемости анизотропной модели:

■г-)*)" • т:.-тЛш

(25)

"у О ¿22 ^у о ¿(>')

Пример 2. Однородно-анизотропная модель изотропной непрерывно-неоднородной среды с проницаемостью К(х,у) = /;0 ■ р1 (*)• рг (у) в области

О = < л:< Гл; 0 < >>< . Главтге прошщаемости алшзотропной модели для

задач:

г

К К

А К к2 X

К К

реттгегшя плоскопараллельных

\Ту 1 у\рг(у№ —-[А

К = * ~ ~ > к у — ♦ 1 ^ . (26)

и

(Л

1 >" (¡у

Рисунок 1. Элементарная ячейка шахматного типа

Т, Ы*) Ту \р2{у)

Пример 3. Однородно-анизотропное эквивалентирование элементарной ячейки шахматного типа (рисунок 1). Главные проницаемости однородно-анизотропной модели для ячейки шахматного типа имеют значения:

^ к2 ^ А^

¿22 =

Л+ <2 18

А | /'2

¿1 ¿4

(Л+'Ов+О

В 4-ой главе исследуются погрешности расчётов фильтрации в изотропных периодических пористых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования. Показано, что первый источник погрешностей расчетов фильтрации по методу однородно-агапотропного эквивалентирования обусловлен тем, что эквивалентирование осуществляется по элементарной ячейке периодической среды, а не по всей области фильтрации. Поясшш сказанное на примере слоистой среды, когда областью фильтрации служит прямоугольный параллелепипед О = {] 0 < у < !.у; 0 < г < Ьг} , заполненный чередующимися вдоль оси у

изотропными однородны ми слоями с проницаемостями к, и кг. Толщины всех слоев считаются одинаковыми, равными И. Область О получается из элементарной ячейки О0 = !()<х<1х, О<у<Ьв = 2/г; 0<г<Ь2} путем ее периодического повторения вдоль оси у некоторое количество раз. Проанализирован случай, когда в П элементарная ячейка О,, укладывается К раз, но при этом остается остаток от отрезка 1у, на котором ячейка О0 не может поместиться целиком. Пусть, дня примера, длина остатка равна толщине к изотропного слоя. В таком случае размер параллелепипеда О вдоль оси у равен 1у = 2КИ + И = (2К +1 .

Для главных проницаемостей однородно-анизотропной модели среды из чередующихся слоев, когда эквивалентирование осуществляется по элементарной ячейке О0, главные проницаемости анизотропной модели будут равны

к+к 2к к

к„ =к„ =А =-1-2- и к„ = Л, =——. Если же эквивалентирование выполняется по

11 3 2 и-? к1+к2

всей области О, то тогда главные проницаемости анизотропной модели будут равны:

И

где 5 -

2

(28)

1 + — 2 К

Относительные погрешности определения главных проницаемостей анизотропной модели слоистой среды, вызванные заменой глобального эквивалентирования по О на локальное по О0, приведены в таблице 2.

Таблица 2 Относительные погрешности определения главных проницаемостей анизотропной модели слоистой среды, вызванные заменой глобального эквивалентирования на локальное.

У А Относ, погр. (%) Количество чередующихся изотропных слоев ^у^

3 5 7 9 11 41 101 501

2 с,(%) 7,692 5,263 4,000 3,226 2,703 0,787 0,326 0,066

е,(%) 8,333 5,556 4,167 3,333 2,778 0,794 0,327 0,066

4 13,043 9,091 6,977 5,660 4,762 1,408 0,585 0,119

15,000 10,000 7,503 6,000 5,000 1,429 0,588 0,120

10 16,981 12,000 9,278 7,563 6,383 1,911 0,796 0,163

20,455 13,636 10,227 8.182 6,818 1,948 0,802 0Д63

50 19,368 13,803 10,72.2 8,766 7,413 2,236 0,933 0,191

24,020 16,013 12,010 9,608 8,007 2,288 0,942 0,191

Данная таблица приводит к следующим выводам (6-е защищаемое положение).

1. Если вдоль характерного размера области фильтрации Г2 элементарная ячейка О0 слоистой среды будет укладываться 50 и более раз, главные проницаемости анизотропной модели, вычисленные по методу, глобального эквивалентирования (по всей области О) и вычисленные по методу локального эквивалентирования (по элементарной ячейке Г10 ) практически совпадают.

2. Если вдоль характерного размера области фильтрации О элементарная ячейка О0 периодической среды укладывается от 10 до 50 раз, то в оценке главных проницаемостей по методу локального анизотропного эквивалентирования может быть допущена ошибка с относительной погрешностью, не превышающей 5%, а если элементарная ячейка П0 периодической среды вдоль характерного размера области фильтрации укладывается менее 10 раз, то расчет главных проницаемостей

анизотропной модели периодической пористой среды следует выполнять по методу глобального анизотропного эквивалентирования.

3. На практике метод однородно-анизотропного эквивалентирования изотропных периодических и неоднородных сред рекомендуется применять для расчетов интегральных характеристик фильтрационных потоков (например, дебитов скважин, потоков через границы области фильтрации). Для расчета же дифференциальных характеристик фильтрационных потоков (скоростей фильтрации в заданных точках, градиентов давлений) метод однородно-анизотропного

эквивалентирования практически не применим.

В заключении кратко перечисляются результаты научного исследования но

теме диссертации.

В приложении, содержащем десять пунктов, приведены выкладки формул, расчетные таблицы и рисунки, приводятся листинги программы на Maple 13 для построения математических моделей слоистых сред.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Метод формул перехода О. В. Голубевой и ее учеников Ю. А. Гладышева и К. Н. Быстрбва обобщен 1) на пространственные задачи фильтрации, 2) на П -мерное эллиптическое уравнение и 3) на новый широкий класс неоднородных сред с

Д(Mx,yj) ч

проницаемостями у Л , ' =м\х).

\ у*1 У)

2 Указана связь уравнений плоскопараллельной фильтрации в неоднородных средах с эллиптической системой уравнений Карлемана. Практическое значение от установленной связи в том, что с ее помощью для решения задач фильтрации жидкости (газа) могут быть применены итерационные методы решения системы

уравнений Карлемана.

3 Указан новый класс формул перехода для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных средах, содержащий 26 вариантов, позволяющих решения краевых задач для ' системы уравнений Г. Н Положего с переменными коэффициентами свести к решениям вспомогательных краевых задач для уравнений Лапласа либо Гельмгольца с постоянными коэффициентами.

4 Метод Г. И. Назарова интегрирования эллиптической системы уравнений с переменным коэффициентом к = р2(у) (или к = 1\{х)) обобщен с помощью применения операций 2 - дифференцирования I -моногенных функций Л. Берса и А. Гельбарта на систему уравнений плоекопараллелыюй фильтрации в изотропных неоднородных средах с проницаемостью к = р,{х)р2(у).

5 Указаны рациональные алгоритмы построения формальных степеней

г0,г) комплексного переменного г = х+¡у для системы уравнений

плоскопараллельной фильтрации в изотропных неоднородных средах с проницаемостью £ = р,(*);>2(у), описывающих плоскопараллельные течения от мультиполей.

6. Для построения однородно-анизотропных моделей неоднородных изотропных периодических, в частности, слоистых, сред предложен универсальный метод - метод жестких трубок тока. Приведены примеры применения этого метода.

7. Исследованы погрешности расчета главных проницаемостей анизотропных моделей по методу жестких трубок тока. Даны рекомендаций по повышению точности расчетов главных проницаемостей анизотропных сред - моделей.

8. Приведены рекомендации по применению в расчетах фильтрационных течений в изотропных неоднородных и периодических пористых средах метода однородно-анизотропного эквив&лентирования.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

Публикации в изданиях из перечня российских рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК Минобрнауки России

1. Толпаев, В. А. Уравнения для потенциала р-аналитачсских функций с характеристиками р = р1(х)рг(у) / В. А Толпаев, А. В. Колесников // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - Воронеж. -2008. - №1. - С. 145-149.

2. Толпаев, В. А. Условия применения в расчетах фильтрации в периодических пористых средах классического метода однородно-анизотропного эквивалентирования / В. А. Толпаев, А. В. Колесников//Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. Математическое моделирование и программное обеспечение. -Москва-2010. -№1. -С. 24-29.

3. Толпаев, В. А. Новый метод построения формул перехода для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных пластах / В. А. Толпаев, А. В. Колесников // Ученые записки Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета им. Н.Г. Чернышевского. - Чита. - №3. - 2012. - С.122-125.

Публикации в других изданиях

4. Толпаев, В. А. Представление общего решения систем уравнений Г. Н. Положего с характеристикой р = р}{х)р2(у) через аналитические функции / В. А. Толпаев, А. В. Колесников // Обозрение прикладной и промышленной математики. -Москва. - 2006. - Т. 13. - Вып. 6.-С. 122-125.

5. Толпаев, В. А. Связь уравнений плоскопараллельной фильтрации с системой Карлемана / В. А. Толпаев, A.B. Колесников //Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. - Курск. - 2007. - №1. - С. 78 - 80.

6. Толпаев, В. А. Интегральное представление р- гармонических функций через гармонические / В. А. Толпаев, А. В. Колесников, Ю. В. Харченко / Современные проблемы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВГУ, 2007. - С. 1117-1120.

7. Толпаев, В. А. Расчет фильтрационных характеристик однородно анизотропной сред, моделирующей пористую среду с периодической структурой / В. А. Толпаев, A.B. Колесников / Проблемы добычи газ, газового конденсата, нефти: тезисы докладов VII международной научно практической нефтегазовой конференции (Кисловодск, 20-25 сентября 2010). - Ставрополь: РИО ОАО "СевКавНИПИгаз", 2010. — С.24-25.

Свидетельства государственной регистрации программ на ЭВМ

1. Колесников A.B. Расчет главных проницаемостей для анизотропной модели изотропной пористой среды, получающейся в результате периодического повторения в пространстве элементарной ячейки шахматного типа. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613059. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 29 марта 2012.

2. Колесников A.B. Построение гидродинамических сеток искажения поступательного фильтрационного потока круглым радиально-неоднородным

включением и однородно-анизотропной моделью включения. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012613060. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 29 марта 2012.

Подписано в печать 25. 02.2014

Формат 60x841/16- Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,39. Тираж 100 экз. Заказ № 45. Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ИП Светличная 355035, г. Ставрополь, пр. Октябрьской Революции, 32, тел/факс 26-70-47; Е-тай:5Ы2001п5@уаш1ех.ги

ОАО «СевКавНИПИгаз»

На правах рукописи

04201456736

КОЛЕСНИКОВ АЛЕКСЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В НЕОДНОРОДНЫХ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ ОДНОРОДНО-АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В. А. То л паев

Ставрополь 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................6

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В НЕОДНОРОДНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ.......................................................................13

1.1. Решение задач пространственной стационарной фильтрации жидкости (газа) в однородных средах с прямолинейной анизотропией методом «изотропизирующих» подстановок.......................................................13

1.2. Уравнения плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в анизотропных и изотропных неоднородных средах и их связь с теорией обобщенных аналитических функций.....................................................16

1.3. Приведение уравнений плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в анизотропных неоднородных средах к каноническому виду. «Изотропизирующие» подстановки и примеры элементарных фильтрационных течений в анизотропных средах.............................................................18

1.4. Применение теории Е - моногенных функций и операций

£ - дифференцирования и Е - интегрирования для построения фильтрационных течений в изотропных и анизотропных неоднородных средах......................20

1.4.1. Среды, тензор проницаемости которых зависит только от одной координаты......................................................................................21

1.4.2. Среды, тензор проницаемости которых допускает разделение переменных

по координатам...............................................................................25

ГЛАВА 2. РАЗВИТИЕ МЕТОДА ФОРМУЛ ПЕРЕХОДА К ИССЛЕДОВАНИЮ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ИЗОТРОПНЫХ

НЕОДНОРОДНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ..............................................32

2.1. Решение задач фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных

средах методом формул перехода..........................................................32

2.1.1. Решение пространственных задач фильтрации в изотропных неоднородных средах методом формул перехода......................................32

2

2.1.2. Решение плоскопараллельных задач фильтрации в изотропных неоднородных средах методом формул перехода.......................................36

2.2. Связь уравнений плоскопараллельной фильтрации в изотропных неоднородных средах с системой Карлемана............................................38

2.3. Вывод уравнения для потенциала /»-аналитических функций. Новый класс формул перехода для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных средах.............................................................................................40

2.4. Интегрирование уравнений плоскопараллельной фильтрации в изотропных неоднородных средах с проницаемостью методом Г. И. Назарова..................................................................................45

2.5. Обобщение метода Г. И. Назарова на систему уравнений плоскопараллельной фильтрации в изотропных неоднородных средах с проницаемостью..............................................................................47

2.6. Новый метод построения формул перехода для решения задач фильтрации в изотропных неоднородных пластах.....................................................51

2.7. Новые формулы перехода для решения задач фильтрации в изотропных

неоднородных пластах.......................................................................55

ГЛАВА 3. ОДНОРОДНО - АНИЗОТРОПНЫЕ МОДЕЛИ ПОРИСТЫХ НЕОДНОРОДНЫХ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ СРЕД.....................................64

3.1. Моделирование изотропных неоднородных сред однородно-анизотропными средами методом эквивалентирования потоков .................64

3.1.1. Построение однородно-анизотропной модели неоднородной изотропной среды методом жестких трубок тока......................................................66

3.1.2. Построение однородно-анизотропной модели неоднородной изотропной среды методом натуральных трубок тока.................................................68

3.2. Однородно-анизотропные модели периодических пористых и слоистых сред. Классический метод однородно-анизотропного эквивалентирования периодических сред...........................................................................71

3.3. Повышение точности однородно-анизотропного моделирования периодических пористых сред..............................................................87

3.4. Использование формул перехода для решения задач фильтрации в

изотропных неоднородных пластах.......................................................96

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ РАСЧЁТОВ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ ОДНОРОДНО-АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ....................................106

4.1. Аппроксимация квазипоступательного фильтрационного течения в периодической пористой среде поступательным потоком в ее однородно-анизотропной модели.......................................................................106

4.1.1. Уравнения фильтрации в изотропных неоднородных средах и методы их решения ....................................................................................106

4.1.2. Уравнения фильтрации в однородных средах с прямолинейной анизотропией..................................................................................108

4.1.3. Расчет фильтрационных характеристик фиктивной однородной анизотропной среды, моделирующей пористую среду с периодической структурой....................................................................................109

4.2. Оценки погрешностей расчётов фильтрации в периодических пористых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования ...............112

4.2.1. Уравнения фильтрации в ППС.....................................................112

4.2.2. Однородно-анизотропные модели ППС и слоистых сред...................113

4.2.3. Комплексные потенциалы течений в однородно-анизотропных моделях ППС.............................................................................................116

4.2.4. Аппроксимация квазипоступательного фильтрационного течения в периодической пористой среде поступательным потоком в однородно-анизотропной модели ППС................................................................116

4.2.5. Точность расчетов поля давлений..............................................122

4.2.6. Точность расчетов поля градиентов давлений...............................124

4.2.7. Точность расчетов фильтрационных потоков...............................126

4.3. Решение задачи о преломлении поступательного потока неоднородной

изотропной полосой и ее однородно-анизотропной моделью......................129

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................................146

ЛИТЕРАТУРА................................................................................148

ПРИЛОЖЕНИЕ 1............................................................................157

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.............................................................................159

ПРИЛОЖЕНИЕ 3............................................................................163

ПРИЛОЖЕНИЕ 4............................................................................167

ПРИЛОЖЕНИЕ 5............................................................................177

ПРИЛОЖЕНИЕ 6............................................................................186

ПРИЛОЖЕНИЕ 7............................................................................187

ПРИЛОЖЕНИЕ 8............................................................................191

ПРИЛОЖЕНИЕ 9............................................................................196

ПРИЛОЖЕНИЕ 10..........................................................................201

ПРИЛОЖЕНИЕ 11..........................................................................202

ВВЕДЕНИЕ

Большое количество практических задач связаны с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким задачам относятся: добыча нефти и газа; водоснабжение; проектирование разработки нефтегазовых месторождений; проектирование гидротехнических сооружений и т.д. Решение таких задач требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям.

Работа посвящена математическому моделированию фильтрационных свойств неоднородных и периодических пористых изотропных сред свойствами однородно-анизотропных эквивалентов (моделей) этих пористых сред. Актуальность -исследований определяется тем, что сложность послойного расчета фильтрации в слоистых средах, требующая совместного интегрирования системы из большого числа уравнений в частных производных, существенно снижается и сводится к краевой задаче для одного уравнения с постоянными коэффициентами.

Новые пути решения задач фильтрации в анизотропных неоднородных средах, могут быть построены с помощью математического аппарата £ -моногенных функций Л. Берса и А. Гельбарта. [2]. Операции £-дифференцирования и Е - интегрирования введенные для Е - моногенных функций, удовлетворяют тем же уравнениям, что и уравнения фильтрации в анизотропных неоднородных средах. Поэтому, пользуясь методами теории обобщенных аналитических функций [60], удастся указать новые решения задач фильтрации в неоднородных анизотропных коллекторах. Так же на основе интегральных операторов Бергмана-Назарова [24] можно указать более простые, по сравнению с Л. Берсом и А. Гельбартом [2], способы построения обобщенных формальных степеней 2п{т.,2^,а) комплексного переменного. Что позволит на практике рациональнее применять теорию Е - моногенных функций для исследования фильтрации в анизотропных неоднородных средах.

В естественных природных условиях наиболее распространенной является неоднородность, порожденная слоистым строением среды.

Фильтрацию в слоистых пористых средах, в более общем случае - в средах с периодической структурой естественно моделировать течениями в анизотропных моделях периодических сред. Поэтому для частного, но важного для практики, случая изотропных сред со слоистой структурой актуальным будет вопрос о построении анизотропной модели слоистой пористой среды и оценке точности фильтрационных расчетов по методу анизотропного эквивалентирования.

Целью работы является разработка: 1) методов решения краевых задач фильтрации в неоднородных и периодических пористых средах путем сведения их к краевым задачам фильтрации в однородных и однородно-анизотропных средах и, 2) методов решения краевых задач теории фильтрации для уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами и систем уравнений эллиптического типа путем перехода к краевым задачам для классических уравнений математической физики - уравнений Лапласа и Гельмгольца.

Объекты исследования - процессы фильтрации жидкости в пористых изотропных неоднородных, изотропных периодических и в анизотропных средах.

Предмет исследования - математические методы построения однородно-анизотропных эквивалентов (моделей) изотропных неоднородных и периодических пористых сред.

Методы исследования. При выполнении работы использовались теория фильтрации жидкости (газа) в пористых средах; теория аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного; уравнения математической физики; линейная алгебра; вычислительная математика и специализированные программные среды Maple 6 и Matlab.

Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем:

1. Получены новые математические методы применения аппарата теории гармонических ' функций к исследованию плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в широкой серии изотропных неоднородных сред с

проницаемостью К = к0-к(х,у), принадлежащей классу частных решений уравнения

2. Построены формулы перехода для 26 новых случаев изотропных неоднородных сред с проницаемостью К = кд- р,(х)-р2(у), позволяющие сводить исследование плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) к краевым задачам для классических уравнений Лапласа или Гельмгольца;

3. Метод Г. И. Назарова адаптирован для решения общих задач плоскопараллельной фильтрации для сред с проницаемостью вида К = к0- р,(х)- р2(у);

4. Приближенные аналитические методы моделирования фильтрации жесткими и естественными трубками применены к построению однородно-анизотропных моделей конкретных изотропно-неоднородных и слоистых сред;

5. Разработана программа для ЭВМ (номер государственной регистрации №2012613059 от 29.03.12) для расчета по методу естественных трубок тока главных проницаемостей анизотропной модели изотропной пористой среды, получающейся в результате периодического повторения в пространстве элементарной ячейки шахматного типа;

6. .Разработана программа для ЭВМ (номер государственной регистрации №2012613060 от 29.03.12) для построения гидродинамических сеток искажения поступательного фильтрационного потока круглым радиально-неоднородным включением и однородно-анизотропной моделью включения;

7. Определены границы применимости метода однородно-анизотропного эквивалентирования.

Практическая значимость работы. Разработанные новые методы математического моделирования плоскопараллельной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах, позволяющие применять решения классических уравнений математической физики Лапласа и Гельмгольца, могут служить основой для развития более точных способов обработки данных газогидродинамических исследований скважин. Кроме того, для расчета более адекватной к геолого-фильтрационным характеристикам месторождения сетки и плотности размещения скважин.

Разработанные методы жестких и естественных трубок тока для математического моделирования изотропных неоднородных и, в частности, периодических сред их однородно-анизотропными эквивалентами могут служить основой для развития приближенных экспресс - методов прогнозных промысловых оценок различных вариантов размещения скважин по площади месторождения и вариантов дополнительного бурения скважин с целью повышения' коэффициента извлечения углеводородов.

Результаты диссертации использовались в ОАО «СевКавНИПИгаз» при разработке методик расчета прогнозных дебитов скважин и при разработке Р

Газпром 071-2009 «Планирование и оценка эффективности геолого-технических мероприятий. Методика выбора скважин для проведения геолого-технических мероприятий и выбора приоритетных видов геолого-технических мероприятий на конкретных скважинах». (Акт о внедрении от 11 мая 2012 г.)

На защиту выносятся*. 1. Математические методы применения гармонических функций к исследованию плоскопараллельной стационарной фильтрации жидкости (газа) в изотропных неоднородных средах с проницаемостями К = к0 -к(х,у), принадлежащими классу

2. Новый класс формул перехода, сводящих расчеты плоскопараллельной фильтрации' в ' изотропных неоднородных средах к расчетам в изотропных однородных средах.

3. Формулы перехода для 26 новых случаев изотропных сред с проницаемостью

фильтрацию жидкости (газа) с помощью решений классических уравнений Лапласа или Гельмгольца.

4. Адаптированный для решения краевых задач плоскопараллельной фильтрации для сред с проницаемостью вида К = к0-р,{х)- р2(у) метод Г. И. Назарова;

5. Конкретные однородно-анизотропные модели изотропно-неоднородных, кусочно-однородных и слоистых сред.

К = к0 ■ р1(х)-р2(у), позволяющие исследовать плоскопараллельную стационарную

6. Результаты вычислительных экспериментов по оценке точности фильтрационных расчетов в изотропных неоднородных средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования с использованием разработанных программ для ЭВМ.

Апробация работы.

Отдельные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Седьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математики (Воронеж, 2006г.); Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007г.); VIII и IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи-Адлер, 2007г., Кисловодск, 2008г.); III международная научно-техническая конференция "Инфокоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании (Инфоком-3)" (г. Кисловодск, 2008г.).

Диссертация в полном объеме докладывалась: на семинаре под руководством д.ф.-м.н., профессора Семенчина Е. А по математическому моделированию в Кубанском государственном университете (Г. Краснодар, 25.01.2012); на Ученом Совете ОАО «СевКавНИПИгаз»; на семинаре под руководством д.т.н., профессора Слюсарева Г. И. по математическому моделированию в Северо-Кавказском федеральном университете (г. Ставрополь, 01.11,2013); на заседании секции Ученого совета «Геология, разработка и проектирование обустройства месторождений углеводородов, подземное хранение газа и экология» в ОАО «СевКавНИПИгаз» (г. Ставрополь, 17.12.2013).

Публикации. Полученные автором результаты достаточно полно изложены в 9 научных работах, среди которых: 3 статьи, опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК РФ («Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки», «Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности», «Вестник ВГУ», «Ученые записки Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета им. Н.Г. Чернышевского»); 4 публикации в

журналах «Обозрение прикладной и промышленной математики», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», «Материалы Воронежской зимней математической школы, «Современные проблемы теории функций и смежные проблемы», «Проблемы добычи газ,