автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование физико-технических систем с меняющейся структурой

На правах рукописи

СЕРГИЕНКО Людмила Семеновна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МЕНЯЮЩЕЙСЯ СТРУКТУРОЙ

Специальность 05.13.18- Математическое моделирошшие, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора технических наук

Иркутск - 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Иркутский государственный технический университет" Министерства образования и науки Российской Федерации

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Мухопад Юрий Федорович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук

Бычков Игорь Вячеславович,

доктор технических наук, профессор

Дапеев Алексей Васильевич,

доктор технических наук

Соболев Владимир Иванович

Ведущая организация:

Новосибирский государственный

университет Министерства образования и науки Российской Федерации

Защита диссертации состоится « 02 » ноября 2006 г. в 10ч. на заседании диссертационного совета Д 218.004.01 в ГОУ ВПО "Иркутский государственный университет путей сообщения" ФАЖТ Российской Федерации по адресу: 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Иркутский государственный университет путей сообщения" ФАЖТ России.

Автореферат разослан: «02» октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Н.П. Деканова

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследований. Технологии моделирования динамических процессов, развивающихся в условиях структурной реорганизации физико-технических систем, нередко сопровождающейся различного рода бифуркациями, фазовыми переходами, деформационными сдвигами, разрывами скоростей и напряжений и другими особенностями, представляют наиболее сложное и, следовательно, наименее разработанное направление исследования технических систем.

С появлением быстродействующих высокоорганизованных ЭВМ расширились возможности изучения эволюции динамических процессов в слаборавновесных и далёких от равновесия системах на основе принципов синергетики как теории самоорганизации, устойчивости и распада структур различной природы и фрактальной геометрии как науки о топологических объектах дробной размерности, позволяющих компактно описывать самоподобные структуры сложной конфигурации с точки зрения масштабной инвариантности.

Новое научное направление, связанное с исследованием неустойчивых диссипативных систем с позиций самоорганизующихся фрактальных микроструктур, стало формироваться примерно с конца 1940-х годов в работах Г. Хакена, Б. Мандельброта, И.Р. Пригожина, И.И. Новикова, A.C. Баланкина, B.C. Ивановой и др.

Особенно важным и трудным этапом при моделировании физико-технических систем в экстремальных условиях является правильная постановка задачи, представляющая основополагающий момент при решении любой проблемы. Для более точного математического описания динамических процессов в постоянно эволюционирующих реальных средах, представляющих результат суперпозиции бесконечного числа различных полей, довольно часто приходится увеличивать не только размерность пространства независимых переменных, но и вводить в модель оптимально наибольшее количество источников - исследуемых функций, порождающих рассматриваемое явление. Следует также учитывать, что физические процессы развиваются одновременно во времени и пространстве - в пространственно-временном континууме.

Одним из путей решения обозначенной задачи может служить разработка теоретической базы для построения, исследования и числешгой реализации многомерных моделей с системами дифференциальных уравнений в частных производных, более адекватно представляющих реальные процессы, чем в случае достаточно хорошо изученных задач на плоскости или в трехмерном

пространстве. При этом важное теоретическое и прикладное значение имеет исследование вырождающихся уравнений и систем, для которых, как правило, нарушается корректность классической постановки задач математической физики.

Понятие корректных задач было введено Ж. Адмаром; начало фундаментальных исследований, вырождающихся дифференциальных уравнений заложил Ф. Трикоми. Первым обратил внимание на зависимость постановки задачи от характера вырождения М.В. Келдыш. Дальнейшее развитие теория вырождающихся дифференциальных уравнений с частными производными получила в трудах М.И. Вицйжа, А. В. Бицадзе, М М. Смирнова. Значительные результаты в данном направлении получены в работах O.A. Олейник, A.M. Ильина, С.А. Терсепова, А.И. Янушаускаса, А.М. Нахушева, P.C. Сакса и др.

Следующим этапом моделирования после постановки задачи является выбор алгоритма её численной реализации. При моделировании в технических средах с меняющейся структурой довольно часто имеющаяся у исследователей информация позволяет записать лишь такую формальную модель, для которой при традиционных подходах сложно подобрать обоснованный вычислительный алгоритм. В настоящее время среди наиболее востребованных методов решения сложных прикладных задач важное место занимают различные модификации сеточных алгоритмов и их многомерные обобщения, разрабатываемые в трудах А А. Самарского, В.П. Ильина, С.К. Годунова, Г.И. Марчука, В.В. Шайдурова и др.

Для моделирования хаотических режимов в равновесных и слаборавновесных средах, когда невозможно выделить отдельные элементарные процессы, поддающиеся описанию иптегро-дифференциальными операторами целого, дробного или континуального порядка, довольно часто применяются идеи и методы многомерной математической статистики. Это направление исследований зародилось в 20-х годах XX века и его возникновение в значительной степени связано с именами Р. Фишера и Н. Винера.

Английский математик Р.Фишер первым предложил новый подход к проведению научных исследований, при котором математические методы применяются не только при обработке данных, как это делалось ранее, но и при выборе условий проведения опытов. Начало следующего этапа связано с опубликованной в 1951г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсопа, в которой разработана последовательная стратегия решения экстремальных задач. Весомый вклад в развитие теории методов планирования эксперимента внесли Г. Кифер, В. Хантер, Д. Финни, Ч.Хикс, Р.Плакетт, Г.

Шеффе, а также отечественные ученые В.В. Налимов, В.Г. Горский, Ю.П. Адлер, Е.В. Маркова, Г.К. Круг, В А. Вознесенский и др.

В связи с повышением функциональных возможностей современных компьютеров стали развиваться новые альтернативные технологии моделирования, при которых рассматриваемое явление изучается одновременно по нескольким методологически отличным математическим моделям, каждая из которых с различных позиций представляет объект моделирования и при определенных условиях оказывается эффективнее других.

Несмотря па наличие нескольких десятков обобщающих монографий и нескольких сот основополагающих статей задача выбора наиболее адекватной модели или системы альтернативных моделей по-прежнему не решена не только в общем виде, но и применительно к более узкой области исследования, к которой относится анализ эволюции динамических процессов в нелинейных неоднородных средах физико-технических систем.

Цель и задачи диссертационной работы заключаются в разработке эффективных компьютерно-математических технологий и практической реализации моделей для исследования и управления динамическими процессами в физико-технических средах с меняющейся структурой:

• определение корректных постановок задач для моделирования в слаборавновесных средах, находящихся в состоянии начальной самоорганизации;

• разработка теоретической базы для моделирования стационарных процессов в равновесных средах физико-технических систем, способных к упорядочиванию структурных связей на границе или на внутренних локальных подмножествах области исследования;

• разработка теоретической базы для построения многомерных моделей диффузионных процессов переноса массы или энергии;

• разработка сеточных алгоритмов решения кусочно-корректных задач, возникающих при исследовании меняющихся структур в неравновесных средах, реализованных на моделях технологических процессов обработки металлов давлением и легированием;

• решение нелинейной задачи диффузии газа из плазменной струи в металл и разработка на ее основе математической модели процесса плазменного легирования металлов, позволяющей подбирать технологические режимы упрочнения для целенаправленного улучшения эксплуатационных свойств обработанных деталей машин и инструмента;

• разработка комплекса вычислительных программ на базе статистических методов планирования эксперимента для моделирования хаотических режимов в саморегулирующихся средах и апробация полученных результатов при оптимизации микроклимата производственных помещений.

Методы исследования включают комплексы и модификации методов теории дифференциальных уравнений математической физики и теории функций комплексного переменного, сеточные алгоритмы конечных разностей и линий скольжения, статистические методы оптимального планирования и обработки результатов эксперимента.

Достоверность полученных результатов основывается на использовании апробированных технологий теоретических и практических научных исследований: для разработанных математических моделей доказана корректность поставленных задач, построены специальные алгоритмы их реализации, проведены вычислительные эксперименты на ЭВМ и натурные испытания с последующей математической обработкой результатов, показавшей допустимое в инженерной практике расхождение расчитанных и измеренных параметров.

Выводы, вытекающие из представленной работы, находятся в логическом соответствии с физической интерпретацией полученных результатов.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы, составляющие предмет се научной новизны:

• постановки корректных задач для линейных эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, обобщающих систему Коши-Римапа в трехмерном пространстве и вырождающихся на границе области исследования;

• постановка и метод исследования модифицированной задачи Дирихле в конечном цилиндре для параболически вырождающейся на оси цилиндра эллиптической системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка;

• методолопи исследования влияния младших членов на решение краевых задач для линейных систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, характеристический определитель которых тождественно равен нулю;

• модифицированная постановка и метод исследования задачи Дирихле в круговом полицилиндре для многомерной эллиптической по И.Г. Петров-

б

скому системы второго порядка, вырождающейся во всем пространстве изменения независимых переменных;

• постановки корректных задач при меняющемся направлении времени и новый подход к исследованию влияния граничных условий на эволюцию многомерной параболической системы, обобщающей уравнение диффузионного переноса массы или энергии;

• алгоритм решения задачи диффузионного переноса газа из движущегося плазменного луча в металл с помощью сеточного метода конечных разностей по неявной схеме на четырехточечном шаблоне;

• математическая модель процесса локального азотирования поверхности стали из низкотемпературной плазменной струи;

• новое понятие кусочно-корректных дифференциальных задач, базирующееся на универсальных сеточных методах, алгоритм численной реализации которых представлен при моделировании процесса плоского течения металла при прессовании через наклонную матрицу с малым обжатием заготовки;

• комплекс компьютерных программ для расчета и прогнозирования тепло-влажностных и воздушных полей в различных помещениях общественного здания, разработанный по симметричным композиционным планам второго порядка с помощью методов факторного и регрессионного анализа.

Теоретическая ценность, практическая значимость и реализация результатов работы. Новые постановки корректных задач математической физики могут быть использованы при моделировании стационарных процессов в асимметричном соленоидальном поле скоростей и в пространстве суперпозиции плоскопараллельных векторных полей. Сформулированные задачи могут применяться при построении вырождающихся моделей динамических процессов в слаборавновесных средах с переменной структурой, например, при моделировании трансзвуковых течений в гидро- и газодинамике, в теории бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей вращения, в теории упругости, в теории пограничного слоя и других областях, а также при классификации и разработке общей теории вырождающихся систем дифференциальных уравнений с частными производными первого и второго порядка.

Результаты исследования многомерной параболической системы второго порядка при изменяющемся направлении времени могут быть использованы в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, в

гидродинамике при изучении движения жидкости со знакопеременной вязкостью и др. Поставленная для такой системы краевая задача с гармоническими граничными условиями может быть применена для моделирования процессов диффузионного переноса многокомпонентных смесей.

Компьютерная программа численной реализации разностной схемы решения задачи нелинейной диффузии газа в металл может быть использована при моделировании процессов поверхностного легирования материалов. Разработанная на ее базе математическая модель процесса упрочнения поверхности деталей машин и инструмента из низкотемпературной плазменной струи позволяет подбирать оптимальные технологические режимы локального азотирования при минимальном количестве пробных натурных экспериментов.

Полученная модель прюшла производственную апробацию при разработке и внедрении технологий упрочнения дереворежущих рамных пил на ПО "Бельсклес" и подающих роликов высадочного автомата на Иркутском опытномеханическом заводе. На базе разработанной методологии по плану Минвуза выпущено учебное пособие, поставлены курс лекций и серия лабораторных работ по математическому моделированию сварочных процессов дня студентов специальности 15020 "Оборудование и технология сварочного производства "в Иркутском государственном техническом университете.

Математические модели с кусочно-корректными задачами, введенными при исследовании плоского течения жесткопластическош тела, реализуются, главным образом, на сеточных алгоритмах метода линий скольжения, широко используемых в практике моделирования многих технологических процессов обработки металлов давлением - при прессовании, прошивке, волочении, штамповке и др. Разработанные в диссертации материалы в перспективе могут представлять интерес при переходе на выпуск готовой продукции Братского и Шелеховского алюминиевых заводов

Разработанный комплекс компьютерных прюграмм для расчета и прогнозирования тепловлажностных и воздушных режимов позволяет эффективно решать вопросы формирования и управления микрюклиматом помещений любого назначения. Апробация модели проведена при выполнении научно-исследовательских хоздоговорных работ по оптимизации микроклимата помещений Иркутского государственного краеведческого музея и ООО "Спецпроект". Полученная методология может быть использована для определения климатических параметров в любых замкнутых локальных воздушных объемах — в холодильных установках и рефрижераторах, в

нагревательных печах, в саунах и бассейнах, в реанимационных больничных палатах, в салонах самолетов и др.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научной конференции «Климат и окружающая среда» организованной Российской Академией Естествознания совместно с Голландским университетом WAGENINGEN UNIVERSITY AND RESEARCH CENTRE (г. Амстердам, Голландия, 2006г.); на Юбилейной конференции "Современные проблемы науки и образования", посвященной 10-летию Российской Академии Естествознания (г. Москва, 2005г.); на третьем и четвертом Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1998 и 2000 г.г.); на Первой международной научно-практической конференции "Сварка. Контроль. Реновация -2001 "(г. Уфа, 2001г.); на международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения"(г. Челябинск, 1999г.), "Математические модели и методы их исследования "(г. Красноярск, 2001г.), "Симметрия и дифференциальные уравнения"(г. Красноярск, 2002г.), "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования "(Воронеж, 2001г.); на XI научной конференции международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения" (г. Иркутск, 1998г.); на научных конференциях Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач" (г. Воронеж, 1998 и 2004г.г.); па научных конференциях Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (г. Воронеж, 2003г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Прогрессивные технологии обработки металлов давлением в машиностроении" (г. Иркутск, 1996г.); на первом, втором и третьем Всесибирских конгрессах женщин-математиков (г. Красноярск, 2000,2002 и 2004г.г.); на региональных конференциях "Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири"(г. Иркутск, 1989 и 1996г.г.); на ВосточноСибирских зональных межвузовских конференциях по математике и проблемам сб преподавания в ВУЗе (г. Иркутск, 1999 и 2003 г.г.); на областной научно-технической конференции "Молодые ученые области ускорению научно-технического прогресса и развитию науки" (г. Павлодар, 1987г.); на научных семинарах кафедры математического анализа и кафедры гидромеханики механико математического факультета Московского Государственной! Университета (г. Москва, 2002 г.); на научных семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск, 2000 и 2002г.г.), Института математики

All Узбекской ССР (г. Ташкент, 1984г.), Таджикского Государственного Университета (г. Душанбе, 1984г.), а также на ряде научных семинаров Института динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутского государственного университета, Иркутского государственного технического университета, Иркутского государственного педагогического университета, Иркутского государственного университета путей сообщения (г. Иркутск, 1У96—2006r.i\)

Публикации но теме диссертации включают около 60 работ, среди которых:

• одна монография;

• одно учебное пособие, изданное по тематическом)' плану Минвуза РСФСР (в соавторстве);

• 10 статей в журналах перечня ВАК;

• 8 публикаций в трудах международных и 3- в материалах всероссийских научных конференции;

• более 30 статей в реферируемых научных сборниках и журналах.

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 234: наименований и двух приложений на 57 страницах. Общий объем работы, включая приложения, составляет 355 страниц н содержит 17 таблиц и 35 рисунков.

Краткое содержание диссертационной работы Во введении показана актуальность и практическая значимость проводимых в представленной работе исследований, дано краткое изложение основных положений диссертации. Выражены слова благодарности д.т.н., профессору Ю.Ф. Мухопаду, д.ф.-м.н., профессору А.И. Кожанову, д.х.н., профессору С.Н. Евстафьеву, к.т.н., доцешу В.И. Даценко за оказанные консультативную помощь и поддержку при работе над диссертацией, а также к.т.н. A.B. Петухову и ст. преподавателю кафедры физики В.Г. Житову, принимавшим непосредственное участие в проведении натурных исследований. В нормой главе дается характеристика методологии математического моделирования технологических процессов как компьютерного продукта структурной самоорганизации совместной научно-теоретической и практической деятельности узких специалистов и ученых с универсальными знаниями в различных областях физики, химии, математики, техники и др. Приводится краткий обзор работ в рассматриваемом направлении.

ю

формулируются цель и задачи исследований диссертации, строится структурная схема классификации изучаемых моделей, изображенная на рис. 1.

Математическое описание физико-технических систем

Модели с дифференциальными уравнениями

Г

X

Статистические модели

Корректно поставленные задачи

1

Задачи с проблемной корректностью

Л

л

Активный эксперимент

Пассивный

эксперимент

С вырождением

Кусочно-корректные

Во всем пространстве

| Внутри области | [ На границе |

Дробные факторные планы

Полные факторные планы

С динамической бифуркацией

С разрывами и сингулярными точками

План Бокса

РКП

Рис. 1: Структурная схема методологической классификации моделей, изучаемых в диссертации

Вторая глава посвящена разработке новых математических моделей с многомерными системами дифференциальных уравнений первого порядка, которые описывают эволюцию динамических процессов в окрестности многообразий вырождения, способных изменить направление производства энтропии.

Исследуются линейные вырождающиеся модели вида А/

.4го1С/+Я§га(1.у = 05 СИУ£/ = 0, (1)

где компоненты и, о и м> вектора V и скалярная функция х — зависимые переменные, А и В — квадратные трехмерные функционально заданные матрицы.

Рассматривается модель А/,

А — I, В = В\, Вг =

10 0 0 хр 0

0 0 х»

(2)

Исследуется нелокальная задача Коши для системы (1)-(2) при р > Ос

начальными данными на плоскости вырождения, которая выбрана за одну из координатных плоскостей в трехмерном комплексном пространстве

В случае обыкновенной бицилиндрической области голоморфности начальных данных пслучено интегральное представление решения задачи в области его голоморфности через гипергеометрические функции Гаусса. Для вектора решений П = выделены допустимые особенности и

установлено, что граница области его голоморфности проходит через ближайшие особые точки хотя бы одной из искомых функций г/, о, и» и .1.

Показана возможность аналитического продолжения полученного решения за пределы области его голоморфности, если начальные данные аналитически продолжимы из бицилиндра их голоморфности.

Подробно исследовано пересечение области голоморфности построенного комплексного решения с вещественным пространством.

Аналогичными методами изучена нелокальная задача Коши для модели М2

х" 0 0

А = 0 1 0 (3)

0 0 1

Полученные результаты являются распространением на системы методов исследования задачи Коши для уравнения Лапласа.

Впервые рассматриваются модели М1 и М> при вырождении их типа на вссй границе или на части границы области исследования.

Изучается при нечетных значениях параметра р модель Л/у, которая в полупространстве Е"~ {х < 0} является системой эллиптико-гиперболичсского типа и может быть интерпретирована как модель стационарного процесса распространения воли в сплошной среде. Модель М/ исследуется в односвязпой области К е Е, ограниченной куском Р плоскости вырождения х-0 и поверхностью Ляпунова Н, однозначно проецирующейся на плоскость у О:. Предполагается, что граница области К не содержит иррегулярных точек задачи Дирихле и лежит внутри огибающей семейства характеристических коноидов системы (1)-(2). Доказывается существование в К решения системы (1)-(2), удовлетворяющего на Г = Р\->II, Ь = Рг,П краевым условиям

г*|г=Л = <>|р = £?, = д

с заданными достаточно гладкими функциями /' И, д и г/, компоненты которого и и л определяются единственным образом, а и и н» - с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Система (1)-(2) исследуется в полубесконечном цилиндре Т, у которого

основание £„ лежит в плоскости вырождения х = 0, а 2, - боковая поверхность при х < 0. Изучается следующая начально-краевая задача.

Задача 1. Найти в области Т решение системы (1)-(2), удовлетворяющее требованиям

«ta = г, «|s, = 0, г-l^s,, = 0, ¿ta = 7, -Sorlsio = s, s|El = О,

— заданные

функции, удовлетворяющие условию г = 7|gSo = 0. Теорема 1. При нечетных значениях параметра р в цилиндре Т существует решение задачи 1, в котором we С!(Г)пС|ы(Г) и S е С"(Г) определяются единственным образом, а и и w - с точностью до произвольного постоянного слагаемого в классе функций С'{Т)Г\С(Т).

Исследуется новая задача Дирихле для системы (1), (3). Задача 2. Найти в полупространстве Е' = {х > 0 } решение системы (1),(3), удовлетворяющее на плоскости вырождения краевым условиям

«U=o = Q> = S.

Теорема 2. При р > 0 в полупространстве Е* — {х > 0} существует единственное регулярное решение U = (u,u,w,s) задачи 2, которое непрерывно зависит от граничных функций Q и S.

Модель Mi изучается в области К/, расположенной в полупространстве Е' = {.V > 0} и удовлетворяющей тем же условиям, что и область К. Доказывается, что существует регулярное в К/ решение этой системы, удовлет воряющее условиям

и|г = <р, v\l - %'>, s\r = X с достаточно гладкими заданными граничными функциями. При этом компоненты и и s определяются в соответствующих классах функций единственным образом, a v и w - с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Рассматривается модель М}, полученная из M при

10 0 А = I, В= 0 1 0

О 0 (,т2-h у2)1

При / * 0 система (1), (4) эллиптична во всем пространстве изменения переменных за исключением множества точек оси Oz, в которых она вырождается в систему эллиптико-параболического типа.

В цилиндре G = {.v2 + у2 < R2, 0 < z < z„} с поверхностью Т, и нижним

(4)

ребром <т изучается первая краевая задача

которая отличается от предыдущих задач главным образом тем, что внутри области исследования содержится отрезок С„ линии вырождения х = 0, у — 0. Доказывается, что при I > 0, в цилиндре С существует решение (и, и,п\.к) задачи Дирихле с достаточно гладкими граничными функциями, компоненты которого IV и л- определяются единственным образом, а и и о с точностью до произвольного постоянного слагаемого. При этом функция >г регулярна во всем цилиндре С, а и, вил ограничены в точках отрезка С(, оси Ох и принадлежат определенным классам гладкости в остальных точках цилиндра.

Доказательство разрешимости последней задачи основывается на существовании и единственности решения задачи Дирихле для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка относительно функции £

«а + вуу + (х2 + У2)1$гх = 0,

исследование которой также приводится в данной работе.

С помощью альтернирующего метода Шварца показана возможность распространения полученных результатов на области более общего вида. В третьей главе диссертации исследуются новые модели второго порядка, вырождающиеся во веем пространстве изменения независимых переменных. В вещественном пространстве изучается система

О /дщ дгч\ , д /Ощ дгч\ + ^^ № + ~ = у = 1,

■? = 1' (6)

которую молено интерпретировать как модель *

—Д+ гга^- ^(<И\ггУ1 + |(г<Лед)я) + = 0, з = 1,..., к, (=1

описывающую стационарный процесс в векторном пространстве, являющемся суперпозицией к плоских полей, каждое из которых создается комплексной вектор-функциен IV, = и1 +1и1 в плоскости переменной г, = х, +/>',, 1 = \,...,к. При этом полагается

дщ дгч . д1'1 дщ

ат«( = -г--ь тг-, (го^()п = ----7—,

дх1 дуг дх 1 ду1

, , д/ . д/ л А [д2ии сРиц\

где /, / = 1к, / - скалярная функция.

В комплексном пространстве 2к = (г,,...,г4) для системы (6) при — 4Л/, записанной в виде

Е* д~ш< д диц . , ^ + = ' = 1.....

{=1 1 1 11=1 1 в круговом полицилиндре О = 0|х0,х.,.х0(,

= {г е 2к : |г,| < /?,, / = 1,.у = 1.....к изучается модифицированная

задача Дирихле

= <Рз* 3 = 1. • • • > * - 1, «^к = *ь

где 1Л — пересечение плоскости г, = 0 с границей Г, области О, (рг /=1.....к-1

непрерывно дифференцируемые, а Т, - непрерывная заданные граничные

функции. Доказывается, что поставленная задача при (*к > О, 1-4— у = 1,...,к-1 имеет единственное решение в классе регулярных в £> функций.

Впервые исследуется разрешимость граничных задач на плоскости для системы

ЛГ-егаё^пЛО + Г^' =0 (7)

при заданной невырожденной квадратной матрице Т2 /',_/' = 1,2 н

искомой вектор-функции V с двумя компонентами г/, и и2. Рассматриваемую систему можно представить также в другой форме записи

^ас1(го17). + ТУ = 0,

т. I 112 , ,т,ч он. ди,

где 7, = , (гогР )„ = —1--=- - единственная, отличная от нуля

Ц-/,, —^Ц дх,

компонента ротора плоскопараллелыюго стационарного поля, задаваемого

комплексной вектор-функцией У(х, >>) = г/, О, у) + /г/, (х, у).

Для системы (7) в односвязной области К2 с гладкой границей Г^ доказано

существование единственного регулярного решения задачи Дирихле

1х,и,+хгщ]г1=х, XI * 0

с заданными достаточно гладкими функциями Хь Х2 иЧ'прн условии

15

(¿11 + <22)2 <4* 12*21. При том же условии, налагаемом на элементы матрицы Г?, доказана корректность в области К? еще одной граничной задачи

6и1 ди, дх1 дх2

= /

при заданной непрерывной функции/.'

Показана корректность двух аналогичных новых краевых задач для системы (7) в полуплоскости Е* = [у > 0}. Из полученных результатов следует вывод, что на разрешимость граничных задач для вырождающихся систем существенное влияние могут оказывать младшие члены дифференциальных уравнений.

Задача 3. В полуплоскости Е* = {у> 0) найти решение системы (7), удовлетворяющее краевому условию

ох, _| у 0

где функция П(х) задана в классе Ф(й').

С помощью интегральных преобразований Фурье доказывается следующая теорема.

Теорема 3. При с,,=с3 и выполнении условия (сп + с12)2 <4спс21 существует единственное в классе С'(Е') пФ(й£" ) решение задачи 3.

К классу Ф(Л") отнесены исе функции /(X) множества С"(/?"), убывающие мри | X |-> °о вместе со своими производными быстрее любой степени | Л11 ' •

Задача 4. Найти в полуплоскости Е* = (х > 0} решение системы (7), удовлетворяющее краевому условию

[г,ы, +гги,],,_0=£2,

где О(х) е Ф(К") - заданная функция и Г,г + т\ Ф 0 заданные константы.

С помощью условия Шапиро-Лопатинского доказывается следующая теорема.

Теорема 4. В классе функций С2(Е*)г^Ф(дЕ') существует единственное решение задачи 4, ec.ni коэффгщиенты при младших членах системы (7) связаны условиями <>18 = СИ = Л Ф о, (СИ + С22)2 < 4А2, 2Ата — П(С11 + С'22) Ф 0

Из полученных результатов следует вывод, что на разрешимость граничиых задач для вырождающихся во всем пространстве систем

существенное влияние могут оказывать младшие члены дифференциальных уравнений.

Рассматривается параболическая система

ЛИ' - А • ьтасК^ЫУ) = а2И^ (8)

которая после раскрытия операторов градиента н дивергенции принимает вид

Ь • И-' =

где IV вектор-столбец с компонентами г/;... ,ип - искомая функция, ц =

}—1.....п, X - (х]____,х„), Ь — квадратная матрица, элементами которой являются

д2

линейные дифференциальные операторы 1Ц = —л- при / Ф /, и

дх18х/

д2

1и=Ах—Л—;', / = Дх - оператор Лапласа по переменным

х„ ¡ = 1,..,п.

При ?.<1 симметричный дифференциальный оператор Ь является сильно эллиптическим. При Я=/ такая система вырождается, а при Я >/ эллиптический по Петровскому оператор Ь не удовлетворяет условию сильной эллиптичное™. Непрерывное изменение параметра Я в области (I; +<х>) осуществляет гомотопию семейства эллиптических систем, зависящих от Я, к случаю системы при Л=2, для которой классические постановки граничных задач могут стать некорректными.

В диссертации впервые исследуется развитие динамического процесса, моделью которого является система (8), сначала независимо от первоначального состояния, а затем под влиянием исходных условий.

Решение системы ищется в виде суперпозиции гармоник с заданной начальной частотой

«Д*, Л") = г^(Л') соэ^) + \^(Х)зт(о;1;). ^

Изучается ситуация, сложившаяся в полупространстве Н* = {хп > 0 } в момент времени, достаточно удаленный от начального, когда влияние исходного состояния настолько ослабевает, что им практически можно пренебречь и рассматривать поведение искомых функций только в зависимости от краевых условий

ЛГ)!*,-о = уД*. • • •, Яп-т), 3 - 1.....п - 1,

Е" дщ 1^=1 3.

Исследуется важный для практического приложения частный случай задачи без начальных условий, когда граничные функции являются гармониками с нулевой начальной фазой, заданной постоянной частотой со >0 и переменными амплитудами

У =<?(/,.*,.....

Задача 5. В области Н„* найти решение системы (8) в виде (9), которое будет удовлетворять граничным условиям

3 = 1,...,П- 1, 3 = 1,... ,п — 1,

= Р){х 1, •

=о

Еди)}

■ , Щ

3,

= 0,

*„=0

ЕдУ)

■ ,

= д(х1,...,

*п=0

где заданные функции </ и рр ] = 1.....п — 1 принадлежат классу Ф(/?""').

В пространстве спектральных характеристик Фурье доказывается следующая теорема.

Теорема 5. При Хф 1 существует единственное в классе Ф(дН)Г\С2(Н*)глС'(Н*) решение задачи 5.

Исследуется эволюция системы (8) в полупространстве Е* = {? > 0} при переменном направлении времени. Решается задача с начальными условиями. Задача 6. В области найти решение системы (8) в виде (9), стремящееся к нулю при Г—>оо и удовлетворяющее условиям

«¡|«=о = ЛР0, 3 =

где £ — заданные в классе М!(Я") функции.

К классу М(К") отнесении ограниченные функции множества С1 (Л"), а к М*(К") - функции множества Л" с ограниченными частными производными.

С помощью принципа максимума для параболических уравнений доказываются следующая теорема.

Теорема 6. При 1<1 задача 6 имеет единственное решение вида (9) в классе

Теорема 7. При Л> 1 задача 6 имеет единственное решение вида (9) в классе

С(/?"х[0,оо])пС(2'1)(Л"х[0,оо])пЛ/(а^+), если •^- + ... + ■¡^- = 0.

дх. дх..

Здесь обозначено С<2,,'(/?и х(0,оо)) множество всех непрерывных в

пространстве Q = |Хе Л", 0 < * < со | функций /(Х,0, у которых существуют непрерывные в О при всех целых и неотрицательных а}.....«„,/?,

-Д у.

удовлетворяющих неравенству а1 + ... + агп +/? ^ 2, производные--.

В итоге сделан краткий обзор полученных результатов и приведены алгоритмы выбора построенных моделей в зависимости от значений бифуркационного параметра и области исследования Р, один из которых показан на рис. 2 (БКЗ - банк корректных задач, имеющихся в базе ЭВМ).

Рис. 2: Алгоритм выборамодели типаМг

В следующих главах диссертации рассматриваются проблемы моделирования технологических процессов, возникающие в случаях, когда поставленная дифференциальная задача не является корректной во всей области исследования, Для численной реализации таких моделей пространство решения основной задачи разбивается на области, в которых локальные задачи становятся корректными. Основная задача в этом случае называется кусочно-коррсктной. Определение 1. Задача называется кусочно-корректной в области D, если она не является корректной во всей области D, но её можно разбить на локальные области D¡, D — \J¡D¡, в каждой из которых эта задача становится корректной.

В четвертой главе представленной работы решается одна из таких задач, возникающая при моделировании процесса легирования металла азотом.

Приводится формализованное описание процесса азотирования в предположении, что диффузия происходит только в направлении оси х. Диффузия газа из движущейся плазменной струи в металл описывается нелинейным уравнением 8N

— +V gracLV = div{D grad-V) + F, (10)

dt

представляющим модификацию системы (8) при «=/.

Диффузионный поток газа определяется законом Фика: П = —Dgrad N, объемная плотность F(M, t) внутренних источников газа в струе полагается равной нулю. Диффундирующие частицы газа в металле резко тормозятся, поэтому произведение скоростей движущегося луча V(M, t) и изменения концентрации газа N(M,t) получается настолько малым, что им можно пренебречь.

Процесс миграции диффузанта через границу между газовой фазой и металлическим раствором описывается дифференциальным уравнением переноса

= 7(ЛГП - Nr)

(И)

в котором N(M,t) абсолютная концентрация газа в точке М в момент времени С, N„ - содержание легирующего элемента на поверхности металла.

Наибольшая глубина Н диффузии газа в металл за время т определяется экспериментально, содержание газа на расстоянии х>}1 от поверхности не изменяется в процессе обработки и равно значению No концентрации газа в металле до начала процесса

D{NyT)

ЭЛН

дх

Ar(a;, 0) = N{«)|*>я = Лг0, 0 < x < II, 0 < t < r (12)

При растворении в металле трехатомного газа значение Nr пропорционально корню кубическому из величины PN парциального давления в газовой фазе.

Для случая двухатомного газа концентрация легирующего элемента в расплавленном металле подчиняется закону Сивертса Nг = , в котором коэффициент пропорциональности к зависит от свойств легирующего газа, аллотропной формы и агрегатного состояния металлического раствора. Нарушение закона Сивертса обычно происходит под влиянием загрязнений в металлическом растворе и при приближении парциального давления к некоторому пороговому значению, приводящему к псренасыщсншо металлического расплава адсорбатом, в результате которого создается динамическое равновесие между потоками газа в расплав и из расплава. Коэффициент массопереноса у зависит от скорости гетерогенной реакции в диффузионной области. На его величину влияют такие фиксированные условия реализации опыта, как химический состав металлического раствора, размеры и скорость перемещения плавильной зоны, наличие внешних электромагнитных полей и экранов и др. Экспериментальные данные о массоиереносе при плазменном нагреве ограничены и характеризуются большим диапазоном разброса, что объясняется различиями в условиях проведения опытов и сложностью методов исследования диффузии и теории обработки полученных результатов.

Коэффициент диффузии D представляет собой удельную плотность диффузионного потока при градиенте концентрации газа, равном единице. Для металлических растворов в большинстве случаев исследованы эффективные коэффициенты диффузии, имеющие сложную природу и зависящие не только от кинетических условий процесса, но также и от других его параметров, таких, например, как термодинамическая активность, химический потенциал, корреляционный фактор, характеризующий подвижность и концентрацию атомов.

При моделировании диффузионных процессов в металлических растворах следует обращать особое внимание на методы измерения коэффициентов диффузии и массоперсдачи и при необходимости вводить в расчеты специальные поправки. Выбор оптимальных значений параметров диффузии является обратной задачей математического моделирования, требующей в каждом конкретном случае специальных дополнительных экспериментальных исследований.

Аналитическая зависимость коэффициента диффузии от концентрации легирующего элемента может быть выражена соотношением

Д = Ал

'Жя-ЛГ (яг,*)»

где N н — предельная концетрация, соответствующая насыщению металлического раствора; О0 - предельное значение коэффициента диффузии при уменьшении концешрации растворенного элемента до нуля. Последняя формула показывает, что коэффициент диффузии £> при приближении концентрации диффундирующего вещества к пределу его растворимости резко возрастает.

Коэффициент диффузии В можно задать как функцию температуры. Влияние Т на величину В представляется законом Аррениуса

(13)

где А - предэкспоненциальный фактор, зависящий главным образом от типа кристаллической решетки адсорбента, R - газовая постоянная, Q - энергия активации диффузии или теплота разрыхления решетки, отнесенная к одному молю металла-растворителя.

Значение температуры Т на расстоянии х от границы раздела газ-металл при тепловой мощности струи q можно определить по формуле

где Г„ - температура окружающей среды.

При построении модели процесса легирования использованы результаты исследований механизма диффузии в металлах, описанные в работах М.А. Криштала, Б.С. Бокштсйна, В.И. Лакомского, Н.К. Походни, A.B. Петухова и др.

Важно отметить, что внутри твердого тела концентрация N(x, t) является непрерывной функцией; ее первая производная по t, первая и вторая производные по х также непрерывны. Указанные предположения не применимы для поверхности твердого тела, а также для внутренних границ фазового раздела и некоторого момента времени, с которого начинается поступление диффундирующего вещества: в этих точках и в этот момент времени концентрация и ее производные могут претерпевать разрыв. В силу вышеизложенного и согласно физической логике формулы вычисления

22

коэффициентов О и у должны меняться в зависимости от структурной перестройки реактивной среды, поэтому поставленную задачу нелинейной диффузии можно считать кусочно-корректной.

Алгоритм численной реализации построенной модели процесса диффузионного переноса газа из движущегося плазменного луча в металл строится с помощью сеточного метода конечных разностей по неявной схеме на четырехточечном шаблоне.

Полученная разностная задача с линейными алгебраическими уравнениями решается методом прямой и обратной прогонки.

При аппроксимации поставленной задачи по выбранной разностной схеме с шагами I и Л возникает погрешность порядка А = + /г. Если неограниченно измельчать шаги сетки, то последовательность полученных приближенных решений будет сходиться к точному решению локальной задачи, так как выбранная неявная разностная схема является устойчивой при любых I и Ъ.

Приведены результаты апробации модели диффузии при легировании металла азотом. Экспериментальные исследования проводились на низкоуглеродистой конструкционной стали 20 с помощью плазмотрона ПП-25, в качестве источников питания применялись преобразователи ПСО-500.

Полученные опытные данные по глубине диффузии, концентрации азота в поверхностном слое и твердости упрочненного металла сравнивались с теоретическими расчетами на ЭВМ. Наилучшие результаты были достигнуты, когда коэффициент диффузии азота в сталь вычислялся по формуле (13) при А = 0.66. Коэффициент массопсрсноса / = 0.010 мм/с, парциальное давление над поверхностью металла полагалось равным Ру =0.640 Мпа, коэффициент

Сивертса к = 0.068. Тепловая мощность плазменной струи равна д - 8500 Вт, температура воздуха составляла в среднем То = 20 °С.

Шаги сетки назначались: /=0.20 с по времени и И = 0.002 мм по глубине; длительность процесса легирования г = 2с с при скорости движения плазмотрона 11 м/с. Глубина диффузии при этом не превысила Н = 0.2 мм, содержание азота на расстоянии от поверхности металла более, чем Н, оставалось не изменяющимся и равным первоначальной концентрации азота в стали N„=0.008%.

Результаты численной реализации математической модели процесса азотирования приведены в табл. 1. и на рис. 3.

Таблица 1. Зависимость концентрации азота от расстояния до поверхности и тепловой мощности

Глубина, мм Зависимость N(%) от <|

10500Вт 9500Вт 8500 Вт

0.001 0.226 0.277 0.336

0.011 0.169 0.180 0.166

0.021 0.121 0.109 0.069

0.031 0.084 0.062 0.027

0.041 0.057 0.034 0.013

0.051 0.038 0.019 0.009

0.061 0.026 0.0 J 3

0.071 0.018 0.010

0.081 0.013 0.008

0.091 0.011

0.101 0.009

0.111 0.009

0.121 0.008

С помощью полученных по глубине металла значений температуры и концентрации легирующего элемента после обработки материала рассчитывается поверхностная твердость упрочненного слоя.

В случае азотирования стали 20 число твердости по Виккерсу НУ вычислялось по формуле

HV{x) = 1667(С + N(x, г)) - °26^ + У;С\Т))" + 150,

где С— концентрация углерода в стали.

Для низкоуглеродистой конструкционной стали 20 имеем С = 0,2%. При температуре металла Т > 890°С

Ci = 0.25 ехр(0.69 \/tDq ), Ari = Fexp(l 79.02 F2/3VtD^) (14) где т — 2с время легирования;

(15)

/ 160004 _ „„„ ( 9300\ _ , ГЛГ/„ , DC = 15 схр (^-y^yj . On = 0.66схр (^Jj^yj , F = 1.5Л'(0,т).

При Т < 890°С

г -Г - 0.25 0.75(T(or) — 727)

1 " exp(179.02FS/*v^Sw) 299 (16)

24

0,40 0,35 £ 0,30 I 0,25

I 0,20

I 0,15 О 0,10 0,05 0,00

1=1 р==! —

0.001 0,011 0,021 0,031 0,041 0,051 0,081 0,071 0,081 0,091 0,101 0,111 0,121 Глубина, мм

-C--10500 Вт -о—9500 Вт -й-8500 Вт

Рис. 3: Зависимость концентрации азота N от х и q

Твердость стали па глубине большей, чем наибольшая глубина диффузии азота II, определялась по формуле

996С2

HV(x) = 1667С - + 150

Ci(x)

где C¡ вычисляется из соотношений (14)-(16).

HVn =

HVQ + HVi

Значение числа твердости на поверхности " 2

Результаты расчетов числа твердости в узлах сетки приведены в табл. 2 и на рис. 4 Погрешность вычислений в среднем составила 11%.

Приведен анализ результатов практического внедрения полученной модели.

При использовании смесей аргона, азота и углекислого газа было установлено, что наиболее интенсивное упрочнение происходит при 80... 100% содержании азота в плазмообразующем газе. Обработка плазмой такого состава приводила к образованию азотированного слоя, состоящего из поверхностной нитридной зоны толщиной 0.02... 0.04 мм и зоны внутреннего азотирования. Глубина нитрированного слоя при обработке в диапазоне между вторым и

третьим энергетическими порогами достигала 0.35 мм при общей глубине упрочнения 0.50... 0.70 мм.

Таблица 2. Зависимость твердости поверхностного слоя после упрочнения от расстояния до поверхности и тепловой мощности

Глубнна, мм Твердость и температура при тепловой

9500В г 8500В1 г

Твердость IIV Т. град Твердость НУ Т. тал

0.201 461.54 1041.00 452.54 933.49

0.221 460.88 1030.10 451.34 923.77

0.241 460.19 1019.50 450.08 914.27

0.261 459.47 1009.10 448.74 904.96

0.281 458.72 998.88 447.33 895.84

0.301 457.94 988.89 445.82 886.90

0.321 457.13 979.11 444.22 878.15

0.341 456.28 969.53 442.52 869.58

0.361 455.40 960.13 440.69 • 861.17

0.381 454.47 950.92 438.74 852.93

Глубин а, мм

-о-9500 Вт -о-8500 Вт

Рис. 4: Зависимость числа твердости по Виккерсу от х Упрочнение стали азотной плазмой повысило поверхностную твердость до 9500 Мпа, максимальная твердость отмечалась на глубине 0.2 мм и составила 1250... 1300 Мпа.

В пятой главе рассматривается второй вариант кусочно-корректной задачи, встречающейся при математическом моделировании нелинейных динамических процессов, сопровождающихся неустойчивостью неравновесной системы, которая проявляется в виде деформации твердого тела.

Изучается плоское течение металла при прямом выдавливании через

наклонную матрицу с малым обжатием. Характеризуются особенности процесса прессования, приводится исследование напряженно-деформированного состояния и условий перехода всего или части материала заготовки в состояние текучести. Металл рассматривается как сплошное изотропное жесткопластическое тело, формоизменение которого происходит за счет сдвигов его частиц под действием максимальных касательных напряжений. Линии, вдоль которых отсутствуют деформации растяжения и сжатия, образуют два взаимно ортогональных семейства линии скольжения £ и г]. При условии пластичности Сен-Вснана в случае плоской пластической деформации касательные к линиям скольжения совпадают с направлениями наибольших касательных напряжений.

Достаточно полное представление о пластическом течении металла при плоском деформировании можно получить при исследовании решений уравнений идеальной пластичности

дет .,( „ да . „ & - — 2к '

_ соз2а--Н5|'П2ОГ— [ = 0,

дх дх ду_

^-2 к

ду

. - да . _ да , п эт 2 а--сое ят 2а — | = 0,

дх ду

1 у- + (£2а —- +— \ ох

= 0,

дх ду дх дх

где <г - среднее нормальное напряжение, к - пластическая постоянная, а -угол между касательной к линии £ и осью ОХ, V* и V, - проекции вектора скорости на координатные оси. Четыре уравнения системы имеют два двухкратных различных семейства характеристик, совпадающих с линиями скольжения.

Показан алгоритм построения элементарных ячеек сетки линий скольжения, основанный па теоремах Генки и Прапдтля. Как и в случае легирования металлов для практической реализации математической модели процесса плоского течения идеального жесткопластического тела применяется одна из модификаций сеточных методов приближенного решения дифференциальных задач - метод характеристик или метод линий скольжения.

Основными технологическими параметрами модели принимаются три

характеристики: обжатие заготовки Я = 1--при плоской деформации, где II

Н

и Л толщина заготовки соответственно до и после формоизменения; у — угол наклона матрицы; коэффициеот пластического трения 0 < ц < 1, определяющий контактные касательные напряжения на границах с инструментом.

При малых обжатиях в окрестности оси симметрии заготовки возникают растягивающие напряжения. Мало пластичные материалы при операциях выдавливания очень чувствительны к растягивающим напряжениям и поэтому обжатия не должны быть меньше значений, при которых среднее напряжение на оси симметрии заготовки равно нулю. Предельные значения И0 приведены в таблице 3.

Таблица 3. Зависимость основных параметров прессования

0 0,25

7 30 45 60 90 30 45 60 90

По 0,32 0,39 0,4 0,42 0,29 0,34 0,35 0,36

Изменение среднего нормального напряжения <т = +д"2

на оси

симметрии в зависимости от обжатия заготовки Я = 1— — для различных углов наклона гладкой матрицы показано на рис. 5.

5°

У» 30*'

6

Ш 0.5 0Л5

а

0,5 0.Н 0.3 о.г ол

о

0л5 -0.5-

Рис. 5: Растягивающие напряжения в центре при прямом выдавливании с малыми обжатиями заготовки

Через а/(2к) обозначено безразмерное значение среднего напряжения, действующего в пластической области. Анализ полей напряжений и скоростей показывает, что наиболее быстрое изменение скоростей деформации происходит по контуру матрицы. Вследствие этого в изделии поверхностные слои выдавленного металла получают большую деформацию, чем внутренние, и, следовательно, большее упрочнение.

Рассмотренная методология исследования процесса плоского течения жесткопластичсского тела широко используется в практике математического моделирования многих технологических процессов - при прессовании, прошивке, волочении, штамповке и др.

При разработке материалов пятой главы использованы результаты исследований, описанные в работах А.Д, Томлепова, Д.Д. Ивлева, Р.И. Непершина, В.И. Дацснко и К.Н. Шевченко.

В шестой главе рассматривается относительно повое, в сравнение с интегро-дифференциальными операторами, направление математического моделирования - оптимальное планирование экспериментов. На примере моделирования тепловлажностного и воздушного режимов здания разрабатываются экстремальные технологии исследования дисснпативных динамических процессов в саморегулирующихся сплошных средах, в которых математические методы применяются не только при обработке полученных статистических данных, но и па этапе выбора и организации условий проведения опытов.

При построении модели в качестве параметров оптимизации назначены три главные характеристики микроклимата: температура Т, относительная влажность (р, и подвижность воздуха V,

Функциональная связь между климатическим параметром у и пространственно-временными координатами определяется в виде полинома второй степени:

с фиктивной переменной х0.

Регрессионные коэффициенты ¿>м = , к = 0;4, Ьч = азч при / = 2;4, ПРИ У = 4 , Ь34=аю, Ъи=аш, при /=1;4 вычисляются по методу наименьших квадратов из системы нормальных уравнений

Л = АГ'(2гУ)

где матрица неизвестных А = [ак ], £ = 0;14, матрица результатов опытов ^ = [Х„]> m = \,N. Общее число опытов N зависит от типа факторного плана, по которому проводится эксперимент. Информационная матрица Фишера ■Af = • Zстроится с помощью матрицы условий ^ = [""»*], m = \^N, к=ЩЛ-

Для исследования метеоусловий в здании параллельно применялись два симметричных центральных плана второго порядка, удовлетворяющие наибольшему числу критериев оптимальности рототабельный композиционный план РКП и Э-оптимальпый план Бокса типа В4.

Апробация разработанного в среде программирования Delphi комплекса вычислительных программ проводилась при исследовании климатических условий в шести помещениях общественного здания в марте-апреле. В компьютерную программу вводили размеры помещения для построения схем, по которым в определенные дни и часы должны измеряться параметры микроклимата. Полученные по составленному плану данные натурных испытаний снова вводились в компьютер, после чего ЭВМ распечатывала таблицы коэффициентов регрессии и рисунки полей температур, влажности и подвижности воздуха, выполненные в графическом редакторе AutoCAD.

На рис. 6 изображены линии уровня искомых функций отклика T,q> и v полученные по РКП в помещении размерами 3.00 х 9.04 х 8.12 [м].

Приведен сравнительный анализ полученных результатов, из которого следует, что количество опытов, требуемых для получения одинаковой максимальной погрешности результатов эксперимента при расчетах па моделях РКП в 2-3 раза меньше, чем при использовании планов Бокса типа В4. Однако в случаях, когда хотя бы одна из стен помещения является наружной, РКП может приводить к неадекватным математическим моделям. Такой эффект можно объяснить асимметричностью расположения в помещении оконных и дверных проемов, через которые происходит неорганизованное поступление наружных воздушных масс, тогда как униформность РКП предполагает практически постоянную дисперсию рассеяния прогнозируемых значений функции отклика вокруг центра эксперимента.

На основании полученных выводов были разработаны рекомендации для проведения мероприятий по созданию комфортных климатических условий в обследованном здании.

Рис. 6: Поля температур, влажности и подвижности воздуха Заключение

Современный аппарат математики позволяет решать самые различные типы задач математической физики - например, школой академика А.Н. Тихонова сравнительно недавно разработаны методы регуляризации некорректных задач. Тем не менее, постановка корректных задач остается доминирующим направлением при моделировании физико-технических систем с эволюционной структурой.

В данной диссертации представлены 16 новых дифференциальных моделей физико-технических процессов в неоднородных нелинейных средах, базирующихся на доказательстве более чем 20 теорем и утверждений о существовании и особенностях точного решения входящих в них задач:

• нелокальной задачи Коши, задачи Дирихле, фаничной и смешанной задач для составного типа системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, которые могут быть использованы при моделировании динамических процессов в соленоидальном поле;

• нелокальной задачи Коши и модифицированной задачи Дирихле для эллиптической системы первого порядка, вырождающейся на плоскости, в окрестности которой нарушается равновесие среды функционирования моделируемого стационарного процесса;

• задачи Дирихле в конечном цилиндре для эллиптической вырождающейся на оси цилиндра системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая может быть использована при моделировании стационарных процессов в слаборавновесных средах, способных к самоорганизации на множестве точек прямой;

• задачи Дирихле в круговом полицилиндре для эллиптической вырождающейся системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, описывающей эволюцию стационарных процессов в пространстве плоскопараллельных векторных полей;

• граничных задач в конечных областях и полупространствах для системы дифференциальных уравнений в частных производнях второго порядка с тождественно равным нулю характеристическим определителем, которая может быть применена при построении математических моделей динамических процессов в слаборавновесных средах;

• задач с начальными и без начальных условий для эволюционной системы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка с бифуркационным параметром, обобщающей классическое уравнение диффузионного процесса переноса энергии и массы.

В практическом плане предложены:

• разностная схема решения задачи диффузии газа из плазмы в металл и компьютерная программа для ее численной реализации, позволяющая прогнозировать конценграцию насыщающего элемента, глубину диффузии и твердость упрочненного слоя в зависимости от технологических параметров процесса;

• • математическая модель процесса прессования материалов в контейнере с на-

клонными стенками, позволяющая рассчитывать растягивающие напряжения в центре заготовки, способные вызвать образования трещин, расслоение материала и другие технологические дефекты.

Если корректно поставить задачу не удается или она является очень сложной, одним из выходов является переход к статистическим методам моделирования. Такие ситуации чаще всего возникают при изучении эволюционных процессов в саморегулирующихся равновесных средах. Наглядным примером в этом направлении может служить приведенное в данной работе исследование процесса формирования микроклимата в помещении.

Хотя оптимизационные методы планирования эксперимента не позволяют

достаточно глубоко исследовать качественную картину эволюции изучаемых физико-технических систем, построенные полиномиальные модели дают возможность эффективно управлять протекающими в их среде динамическими процессами.

Несмотря па существование большого разнообразия математических технологий моделирования в настоящее время ощущается недостаток в содержательных математических моделях технических систем, в результате чего полученные в работе результаты являются практически и теоретически актуальными.

Список основных научных публикаций

1. Сергиенко Л.С. Математическое моделирование физико-технических процессов.-Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2006.-228 с.

2. Сергиенко Л.С. О решении задачи Коши для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения // Материалы науч. конф. за 1969 1970 гг. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1970. -Вып. 2.-С. 150-153.

3. Сергиенко Л.С. К задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики.-Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН СССР, 1979. -С. 75-78.

4. Сергиенко Л.С. К задаче Дирихле для эллиптических систем первого порядка // Дифференциальные уравнения/Всесоюзный ежсмсс. журн.-Минск: Наука и техника, 1981-T.XVII.-№ 9.-С. 1700-1702.

5. Сергиенко Л.С. Граничная задача для вырождающейся системы уравнений первого порядка // Аналитические методы в теории эллиптических уравнений.-Новосибирск: Наука, 1982. -С. 46-50.

6. Сергиенко Л.С. Об одной вырождающейся системе составного типа // Дифференциальные уравнения/ Всесоюзный ежемес. журн.-Минск: Наука и техника, 1982.-T.XVIII.-№ 2.-С. 119-126.

7. Сергиенко Л.С. Задача Коши для вырождающейся составного типа системы первого порядка // Дифферениальные уравнения/ Всесоюзный ежемес. журн.-Минск: Наука и техника, 1983. -T.XIX. -№ 1. -С. 349-351.

8. Сергиенко Л.С. Поведение решений вырождающихся эллиптических систем в окрестности многообразий вырождения//Автореферат диссерт. На соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук.-Душапбе: Изд-во Таджиксгого гос. ун-

та, 1984.-1 lc.

9. Сергиенко Л.С. Первая краевая задача дня системы дифференциальных уравнений первого порядка, вырождающейся внутри области // Исследования по многомерным эллиптическим системам уравнений в частных производных,-Новосибирск: Изд-во Ип-та матем. СО АН СССР, 1986.-С. 92-100.

10. Сергиенко Л.С., Федоров С.Н. и др. Разработка нормативов предельно допустимых выбросов предприятия//Огчет о НИР:№ Гос.регистр. 01.86.00988 15/Инв. №02.87.70053135 Чита, 1986.-112 с.

11. Сергиенко Л.С., Даценко В.И., Карнаухова Н.И. О математическом моделировании технологических процессов // Молодые ученые области ускорению научно-технического прогресса и развитию науки / Материалы областной науч.-техн. конф.-Павлодар: Изд-во Павлодар, индустр. ип-та, 1987. -С.120-121.

12. Галишпиков Ю.М., Сергиенко Л.С. и др. Разработка требований к коммутационным аппаратам и схемам сети энергоузлов с мощной преобразовательной установкой // Отчет о НИР: № Гос.регистр. 01.86.0076526/ Инв.№02.87.0025163-Павлодар, 1987. -115с.

13. Сергиенко Л.С., Грабовский В.П. Об одном способе расчета собственных крутильных колебаний валопровода мощного турбогенератора // Современные технологии на предприятиях Павлодарско-Экибастузского региона / Сб.науч.тр. - Павлодар: Изд-во обл. правления науч.-техн. общества строит, индустрии, 1988.-С.40-45.

14. Сергиенко Л.С., Балаповский А.Е., Алехнович H.A. Обнаружение точки начала возникновения трещин в сварочном соединении с помощью свойств гиперболы // Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири Иркутск: Изд-во ИПИ.-1990.-С. 38-40.

15. Сергиенко Л.С., Нестеренко H.A., Петухов A.B., Балановский А.Е. Математическое моделирование сварочных процессов //Госкомитет РСФСР по делам пауки и высшей школы/ Учеб. пособие по плану Минвуза РСФСР (темплан 1192г., поз. 475).-Иркутск: Изд-во Иркут. политехи, ин-та, 1992. -96с.

16. Сергиенко Л.С., Нестеренко H.A. О повышении эксплуатационных свойств электромеханического оборудования легированием стальных деталей // Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири / Материалы регион, науч.-техн. конф. -Иркутск: Изд-во ИрГТУ,

\

1996.-С. 56 57. \

17. Сергиенко JI.C., Дацепко В.И. Определите методом линий скольжения технологических дефектов // Прогрессивные технологии обработки металлов давлением в машиностроении/ Материалы Всероссийской науч.-техн. конф. -

Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1996. -С.37-40.

)

18. Сергиенко Л. С., Даденко В.И. Применение метода линий скольжения к анализу плоского прессования металла// Краевые задачи/ Сб. иауч.тр -Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1997. -С. 30-34.

19. Сергиенко Л.С., Кочеткова О.Н. Задача Коши для параболической системы // Понтрягинские чтения, IX / Материалы Воронеж, весенней матем. школы.-Воронеж: Изд-во ВГУ, 1998.-С. 177.

20. Сергиенко Л.С. Вырождающаяся система комплексных дифференциальных уравнений второго порядка // Материалы сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математики (ИНПРИМ)-Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 1998.-ч.4.-С. 57.

21. Lukyanova Е.А., Sergienko L.S. Investigation of Formulation of Correct Bound Problems for Degenerate System // Optimization methods and their applications / Numerical analysis, inverse and ill-posed problems / Proceeding of 11th Baikal International School - Seminar. - Irkutsk: Melentiev Institute of Energy System SB RAS. - 1998.-P. 127-131.

22. Сергиенко Л.С. Задача с начальными условиями для параболической системы уравнений с частными производными второго порядка // Дифференциальные уравнения и аналитическая теория / Сб. науч. тр.-Чита: Изд-во ЧигГТУ.-1999.-С. 55-58.

23. Сергиенко Л.С., Кочеткова О.Н. Задача без начальных условий для параболической системы с параметром // Тр. Восточно-Сибирской зональной межвуз. конф. по математике и проблемам ее преподавания в вузе. Иркутск: Изд-во ИГЛУ, 1999.-С. 73-76.

24. Сергиенко Л.С., Кочеткова О.Н. О корректности задачи без начальных условий для параболической системы уравнений в частных производных второго порядка //Дифференциальные и интегральные уравнения / Материалы междупар. науч. конф. -Челябинск: ЧТУ, 1999.-С. 198-199.

25. Сергиенко Л.С. Задача без начальных условий для параболической системы // Материалы четвертого сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ).-Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО

РАН, 2000.-С. 80-81.

26. Сергиенко Л.С., Кочеткова О.Н. Задача без начальных условий для системы линейных уравнений в частных производных второго порядка с постоянными коэффицентами // Первый Всесибирский конгресс женщин-математиков Красноярск: Изд-во Ин-та вычислительного моделирования СО РАН, 2000.-С. 203.

27. Сергиенко Л.С. Исследование корректности постановки граничной задачи для эллиптической системы, вырождающейся внутри области // Математические модели и методы их исследования / Тр. междунар. конф.-Красноярск: Изд-во Ин-та вычислительного моделирования СО РАН, 2001.-С. 187-191.

28. Сергиенко Л.С., Житов В.Г. О компьютерном моделировании микроклимата в здании // Математические модели и методы их исследования / Тр. междунар. конф.-Красноярск: Изд-во Ин-та вычислительного моделирования СО РАН, 2001,-Т. 2.-С. 191-195.

• 29. Сергиенко Л.С., Кочеткова О.Н. Применение метода конечных разностей к решению задачи диффузии // Приближенные методы анализа / Межвуз. сб. науч. тр. -Иркутск: Изд-во Гос. пед. ун-та, 2001.-С. 36-40.

30. Сергиенко Л.С., Нестеренко H.A. Применение компьютерного моделирования при определении оптимального режима обработки поверхности металлов низкотемпературной плазмой // Сварка. Контроль. Реновация-2001 / Тр. Первой междунар. паучно-техн. конф.-Уфа: Гилем, 2001.-С. 55-64.

31. Сергиенко Л.С., Нестеренко H.A. Применение компьютерного моделирования при определении оптимального режима обработки поверхности металлов низкотемпературной плазмой // Сварка. Контроль. Реновация 2001 /Тр. Первой междунар. науч.-техн. конф.-Уфа: Гилем, 2001.-С. 55-64.

32. Сергиенко Л.С. Задача Дирихле в обыкновенном бицилиндре для эллиптической системы с тождественно равным нулю характеристическим определителем//Симметрия и дифференциальные уравнения/Гр. междунар. конф.-Красноярск: Изд-во Ин-та вычислительного моделирования СО РАН, 2002.-С.206-208.

33. Сергиенко Л.С. Краевая задача для системы второго порядка, вырождающейся во всем пространстве // Второй Всесибирский конгресс женщин-математиков.-Красноярск: Изд-во КрасГУ, 2002.-С. 201-202.

34. Сергиенко Л.С. О постановке корректных задач для вырождающихся моделей стационарных процессов, протекающих в соленоидальном поле скоро-

стей II Неклассические уравнения математической физики.-Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 2002.-С. 226-230.

35. Сергиенко Л.С. О разрешимости граничной задачи для системы уравнений в частных производных второго порядка, вырождающейся во всем пространстве // Вестник НГУ/ Науч. журн.-Серия: математика, механика, информатика .-Новосибирск, 2002.-Т.2.-Вып. 2.-С. 60-64.

36. Сергиенко Л.С. О проблемах моделирования стационарных процессов, протекающих в асимметричном соленоидалыюм поле / Труды Второй Восточно-Сибирской зональной межвуз. копф. по математике и проблемам ее преподавания в вузе.-Иркутск: Изд-во Иркут. гос. пед. уп-та, 2003.-С. 43-49.

37. Сергиенко Л.С., Даценко В.И. Математическая модель жесткопластическош тела // Вестпик ИрГТУ/ Науч. журн. -Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2003. № 1-С. 31-34.

38. Сергиенко Л.С., Даценко В.И. О проблемах моделирования стационарных процессов, протекающих в асимметричном соленоидалыюм поле // Современные методы теории функций и смежные проблемы / Воронежская зимняя математическая школа.-Воронеж: ВГУ, 2003 .-С. 226-227.

39. Сергиенко Л.С., Житов В.Г. Исследование метеорологических условий в помещениях жилых и общественных зданий с применением математических методов планирования эксперимента // "Строительство "-Известия высших учеб. заведений Министерства образования РФ/ Ежемес. науч.теор. журн.-Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. архитектурно-строит. уига, 2003.-№6(534).-С.63-67.

40. Сергиенко Л.С., Нестеренко H.A. Математическая модель для управления режимами плазменного локального упрочнения поверхности металлов //Технология металлов / Ежемес. произв., науч.-техн. и уч.-метод, журн. Москва, 2003 .-№ 7.-С. 16-20.

41. Сергиенко Л.С. Исследование системы, обобщающей классическое уравнение теплопередачи//Вестник ИрГТУ/ Науч. журн.-Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2004.-№3.-С. 142-148.

42. Сергиенко Л.С. О постановке корректных задач для системы уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени // Современные методы теории краевых задач / Материалы Воронеж, весенней матем.школы "Потряпшские чтения XV''.-Воронеж: Изд-во ВГУ, 2004.-С.204-205.

43. Сергиенко Л.С. О постановке корректных задач для эволюционной

системы -уравнений в частных производных второго порядка // Третий всееибирский конгресс женщин-математиков.-Красноярск: ПФК "ТОРРА", 2004.-С. 21-22.

44. Сергиенко JI.C. Компьютерное прогнозирование тепловлажностных и воздушных режимов в производственных помещепиях//Успехи современного Естествознания/Науч.-теор. журн.-М: Академия естествознания, 2005. №9,-С.83-85.

45. Сершенко JI.C. О постановке корректных задач при моделировании вырождающихся стационарных процессов //Вестник ИрГТУ/ Науч. журн.-Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005.-№ 3-Т. 1-С. 142-145.

46. Сергиенко Л.С. Об актуальных направлениях развития технологий моделирования индустриальной математики //Вестник ИрГТУ/ Науч. журн-Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005.-№ 4-С.22-25.

47. Сергиенко Л .С. Оптимизация процесса диффузионного упрочнения поверхности металлов // Информационные системы контроля и управления в промышленности и на транспорте (устройство систем контроля и диагностики)/Сб. науч. тр. -Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2005.-С.115-120.

48. Сергиенко Л.С. Применение методов факторного анализа для расчета тепловлажностных режимов производственных помещений // Информационные системы контроля и управления в промышленности и на транспорте (Устройство систем контроля и диагностики)/Сб. научн. тр. -Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2005.-С. 121-127.

49. Сершенко Л.С., Лукьянова Е.А. Задача Дирихле в круговом полицилиндре //Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования/Материалы междунар. науч. копф.-Воронеж: ВГА, 2005.-С. 2007. . - • -, .

50. Сергиенко Л.С. Задача Коши для системы параболического типа с меняющимся направлением времени // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование / Науч. журн.-Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2005.3 (7)-С. 56-57.

51. Сергиенко Л.С., Варфоломеева К.В. О постановке корректных задач для системы уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени // Фундаментальные исследования / Науч.-теор. журн.-М.: Академия Естествознания, 2006 г.-№3.-С.10-15.

52. Сергиенко Л.С., Багдуева Х.Н. О проблемах компьютерного

моделирования физико-технических систем//Фундаментальныс

исследования/Науч. -теор. журн.-М.: Академия Естествознания, 2006. -№5. -С.85-91

53. Сергиенко Л.С., Житов В.Г., Литвинцев П.В., Богородский Д.Ю. Компьютерная диагностика микроклимата помещений//Климат и окружающая среда/Матералы междунар. конф. (г. Амстердам, Голландия)// Успехи современного естествознания / Науч.-теор. журн. - М.: Академия естествознания, 2006.-№3.-С.84-89.

Подписано в печать 19.09.2006. Формат 60 х 84 / 16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,5. Уч.-изд. л. 2,75. Тираж 100 экз. Зак. 425. Поз. плана 23н.

ИД № 06506 от 26.12.2001 Иркутский государственный технический университет 664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83

ВВЕДЕНИЕ

Часть I. Общая характеристика работы

Глава I. Методологические аспекты проблем моделирования физико-технических систем.

1. Актуальность темы.

2. Методология исследований

3. Обзорные сведения.

4. Постановка цели и задач.

Часть II. Теоретические разработки: вырождающиеся модели в слаборавновесных средах

Глава II. Моделирование стационарных процессов в окрестности многообразий вырождения

1. Вырождение на начальной плоскости

1.1. Задача Коши для модели переменного типа

1.2. Случаи бицилиндрической области.

1.3. Редукция на вещественное пространство.

1.4. Задача Коши для стационарной модели.

2. Вырождение на границе области.

2.1 .Краевая задача.

2.2. Задача в полубесконечном цилиндре.

2.3. Задача Дирихле в полупространстве.

2.4. Задача Дирихле в конечной области с ляпуновской границей.

3. Врождение внутри области.

3.1. Задача Дирихле в конечном цилиндре.

3.2. Задача Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения

3.3. Расширение области исследования.

4. Выводы.

4.1. Анализ результатов

4.2. Алгоритмы выбора моделей.

Глава III. Моделирование систем, вырождающихся во всем пространстве.

1. Задача Дирихле в круговом полицилиндре.

1.1. Исследование типа модели

1.2. Корректность задачи Дирихле.

2. Задачи на плоскости.

2.1. Задачи в конечных областях.

2.2. Задачи в полуплоскости.

3.Моделирование диффузионных процессов переноса.

3.1. Задача без начальных условий.

3.2. Задача с начальными условиями.

4. Выводы.

Часть III. Практические разработки: моделирование динамических процессов в неравновесных средах

Глава IV. Модель процесса легирования металлов

1. Формализованное описание процесса.

1.1. Формирование и подача плазмы к поверхности металла

1.2. Дифференциальная модель процесса диффузии.

2. Решение задачи диффузии методом сеток.

2.1. Построение дискретной модели.

2.2. Метод прогонки.

2.3. Погрешность, устойчивость и сходимость разностной схе мы.

3. Апробация модели при азотировании стали.

4. Расчет поверхностной твердости.

5. Анализ результатов.

Глава V. Модель процесса прессования металлов.

1. Общая характеристика процесса.

1.1. Особенности пластического течения металлов при прессовании.

1.2. Напряженно-деформированное состояние.

2. Дифференциальная модель плоского течения.

2.1. Деформирование идеального жесткопластического тела.

2.2. Условия пластичности.

2.3. Уравнения течения.

3. Метод линий скольжения.

3.1. Свойства линий скольжения.

3.2. Годограф скоростей.

3.3. Метод линий скольжения.

4. Прессования металла через наклонную матрицу.

5. Анализ результатов.

Часть IV. Практические разработки: моделирование хаотических режимов в саморегулирующихся средах

Глава VI. Прогнозирование микроклимата помещений.

1. Постановка задачи.

1.1. Формирование климатических условий.

1.2. Об одном дифференциальном методе исследования микроклимата жилых зданий.

2. Статистическая модель микроклимата.

2.1. Оптимальное планирование эксперимента.

2.2. Рототабельный композиционный план.

2.3. План Бокса.

3. Апробация планов при моделировании микроклимата в общественном здании

3.1. Уравнения регрессии для температур.

3.2. Поля температур, влажности и подвижности воздуха.

3.3. Мероприятия по оптимизации метеорологических условий.

4. Анализ результатов.

Математическое моделирование технологических процессов является компьютерным продуктом структурной самоорганизации научной теоретической и производственной деятельности узких специалистов и ученых с универсальными знаниями в различных областях математики, физики, техники и др.

Технологии моделирования динамических процессов, развивающихся в условиях структурной реорганизации физико-технических систем, нередко сопровождающейся различного рода бифуркациями, фазовыми переходами, дефор-мацибнными сдвигами, разрывами скоростей и напряжений и другими особенностями, представляют наиболеее сложное и, следовательно, наименеее разработанное направление исследования технических систем.

С появлением быстродействующих высокоорганизованных ЭВМ расширились возможности изучения эволюции динамических процессов в слаборавновесных и далёких от равновесия системах на основе принципов синергетики как теории самоорганизации, устойчивости и распада структур различной природы и фрактальной геометрии как науки о топологических объектах дробной размерности, позволяющих компактно описывать самоподобные структуры сложной конфигурации с точки зрения масштабной инвариантности. Новое научное направление, связанное с исследованием неустойчивых диссипативных систем с позиций самоорганизующихся фрактальных микроструктур стало формироваться примерно с конца 1940-х годов в работах Г. Хакена, Н.Р.Пригожина, И.И. Новикова, B.C. Ивановой, А.С. Баланкина и др.

Основной целью представленной диссертации является разработка эффективных компьютерно-математических технологий и практическая реализация моделей для исследования и управления динамическими процессами в физико-технических средах с меняющейся структурой.

В первой главе излагаются методологические аспекты и краткий обзор развития рассматриваемых научных направлений, формулируются цель и задачи диссертационных исследований.

При моделировании экстремальных ситуаций особенно трудным и важным этапом является правильная постановка задачи, которая является основополо-гающим моментом при решении любой проблемы.

Для более точного математического описания динамических процессов в постоянно эволюционирующих реальных средах, представляющих результат суперпозиции бесконечного числа различных полей, довольно часто приходится увеличивать не только размерность пространства независимых переменных, но и вводить в модель оптимально наибольшее количество источников — исследуемых функций, порождающих рассматриваемое явление. Следует также учитывать, что физические процессы развиваются одновременно во времени и пространстве—в пространственно-временном континууме.

Одним из путей решения обозначенной задачи может служить разработка теоретической базы для построения, исследования и численной реализации многомерных моделей с системами дифференциальных уравнений в частных производных, более адекватно представляющих реальные процессы, чем в случае достаточно хорошо изученных задач на плоскости или в трехмерном пространстве. При этом важное теоретическое и прикладное значение имеет исследование вырождающихся уравнений и систем в комплексных пространствах, для которых, как правило, нарушается корректность классической постановки задач математической физики.

Понятие корректных задач было введено Ж. Адмаром [84], начало фундаментальных исследований вырождающихся дифференциальных уравнений заложил Ф. Трикоми [107]. Первым обратил внимание на зависимость постановки задачи от характера вырождения М.В. Келдыш [162]. Дальнейшее развитие теория вырождающихся дифференциальных уравнений с частными производными получила в трудах М.И. Вишека [17]- [21], А. В. Бицадзе [8]- [11], М.М. Смирнова [188]- [190]. Значительные результаты в данном направлении получены в работах О.А. Олейник [105]- [107], A.M. Ильина [52]- [53], С.А. Терсенова [197]-[200], А.И. Янушаускаса [212]- [218], A.M. Нахушева [98], Р.С. Сакса [131]- [132] и др.

В диссертации изучаются вырождающиеся модели в равновесных, слаборав-иовесных и неравновесных средах.

Вторая глава посвящена исследованию и постановке корректных задач при моделировании стационарных процессов в окрестности многообразий вырождения.

Получены постановки новых задач для линейных эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, обобщающих систему Коши-Римана в трехмерном комплексном пространстве и вырождающихся внутри или на границе области исследования.

Постановлена и исследована модифицированная задача Дирихле в конечном цилиндре для параболически вырождающейся на оси цилиндра эллиптической системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

В третьей главе приводятся результаты исследования эволюционных процессов, вырождающихся во всем пространстве.

Изучено влияние младших членов на решение краевых задач для линейных систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, характеристический определитель которых тождественно равен нулю.

Решена модифицированная задача Дирихле в круговом полицилиндре для многомерной эллиптической по И.Г. Петровскому системы второго порядка, вырождающейся во всем пространстве изменения независимых переменных.

Определены постановки корректных задач при меняющемся направлении времени и исследовано влияние граничных условий на эволюцию многомерной параболической системы, обобщающей уравнение диффузионного переноса массы или энергии.

Доказанные в диссертации теоремы существования и единственности решения вырождающихся систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка могут быть использованы для постановки корректных задач при моделировании стационарных процессов в асимметричном соленоидальном поле скоростей и в пространстве суперпозиции плоскопараллельных векторных полей.

Поставленные задачи могут применятся при построении вырождающихся моделей динамических процессов в слаборавновесных средах с переменной структурой, например, при моделировании трансзвуковых течений в гидро- и газодинамике, в теории бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей вращения, в теории упругости, в теории пограничного слоя и других областях, а также при классификации и разработке общей теории вырождающихся систем дифференциальных уравнений с частными производными первого и второго порядка.

Результаты исследования многомерной параболической системы второго порядка при изменяющемся направлении времени могут быть использованы в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, в гидродинамике при изучепиии движения жидкости со знакоперемнной вязкостью и др. Поставленная для такой системы краевая задача с гармоническими граничными условиями может быть применена для моделирования процессов диффузионного переноса многокомпонентных смесей.

Следующим этапом моделирования после постановки задачи является выбор алгоритма ее численной реализации. При моделировании в технических средах с меняющейся структурой довольно часто имеющаяся у исследователей информация позволяет записать лишь такую формальную модель, для которой при традиционных подходах сложно подобрать обоснованный вычислительный алгоритм.

В настоящее время среди наиболее востребованных методов решения сложных прикладных задач важное место занимают различные модификации сеточных алгоритмов и их многомерные обобщения, разрабатываемые в трудах А.А. Самарского, В.П. Ильнина, С.К. Годунова, Г.И. Марчука, В.В. Шайдуро-ва [32]- [33], [133]- [135], [217] и др.

В третьей части диссертации разрабатываются сеточные алгоритмы решения дифференциальных задач, возникающих при исследовании меняющихся структур в неравновесных средах физико-технических систем. Рассматриваются проблемы моделирования технологических процессов, возникающие в случаях, когда поставленная задача не является корректной во всей области исследования. Для численной реализации таких моделей пространство решения основной задачи разбивается на области, в которых локальные задачи становятся корректными. Основная задача в этом случае называется кусочно-корректной.

В четвертой главе представленной работы решается одна из таких задач, возникающая при моделировании процесса легирования металла азотом. Построен алгоритм решения нелинейной задачи диффузионного переноса газа из движущегося плазменного луча в металл с помощью сеточного метода конечных разностей по неявной схеме на четырехточечном шаблоне. На его основе разработана математическая модель процесса локального азотирования поверхности стали из низкотемпературной плазменной струи.

Формализованное описание процесса нитрирования проводится в предположении, что диффузия происходит только в направлении оси х. Диффузия газа из движущейся плазменной струи в металл описывается нелинейным уравнением dN 4- V • gradiV = div(DgradiV) + F, (0.1) представляющим редукцию рассмотренной в третьей главе параболической системы в случае одной искомой функции.

Диффузионный поток газа определяется законом Фика: П = — DgradiV, объемная плотность F(M, t) внутренних источников газа в струе полагается равной нулю. Диффундирующие частицы газа в металле резко тормозятся, поэтому произведение скоростей движущегося луча V(M,t) и изменения концентрации газа N(M, t) получается настолько малым, что им можно пренебречь. ал: ~

Процесс миграции диффузанта через границу между газовой фазой и металлическим раствором описывается дифференциальным уравнением переноса 7(iVn-iVr), (0.2)

2=0 в котором N(M, t) — абсолютная концентрация газа в точке М в момент времени t, Nn — содержание легирующего элемента на поверхности металла.

Наибольшая глубина II диффузии газа в металл за время т определяется экспериментально, содержание газа на расстоянии х > Н от поверхности не изменяется в процессе обработки и равно значению No концентрации газа в металле до начала процесса

N{x,0) = N{x,t)\x>H = N0, 0 <х<11, 0 <t <т. (0.3)

При растворении в металле трехатомного газа значение Nг пропорционально корню кубическому из величины Рдг парциального давления в газовой фазе.

D{N,T) dN dx

Для случая двухатомного газа концентрация легирующего элемента в расплавленном металле подчиняется закону Сивертса Nr = кл/Р^, в котором коэффициент пропорциональности к зависит от свойств легирующего газа, аллотропной формы и агрегатного состояния металлического раствора. Нарушение закона Сивертса обычно происходит под влиянием загрязнений в металлическом растворе и при приближении парциального давления к некоторому пороговому значению, приводящему к перенасыщению металлического расплава адсорбатом, в результате которого создается динамическое равновесие между потоками газа в расплав и из расплава.

Коэффициент массопереноса 7 зависит от скорости гетерогенной реакции в диффузионной области. На его величину влияют такие фиксированные условия реализации опыта, как химический состав металлического раствора, размеры и скорость перемещения плавильной зоны, наличие внешних электромагнитных полей и экранов и др. Экспериментальные данные о массопереносе при плазменном нагреве ограничены и характеризуются большим диапазоном разброса, что объясняется различиями в условиях проведения опытов и сложностью методов исследования диффузии и теории обработки полученных результатов.

Для металлических растворов в большинстве случаев исследованы эффективные коэффициенты диффузии, имеющие сложную природу и зависящие не только от кинетических условий процесса, но также и от других его параметров, таких, например, как термодинамическая активность, химический потенциал, корреляционный фактор, характеризующий подвижность и концентрацию атомов.

При моделировании диффузионных процессов в металлических растворах следует обращать особое внимание на методы измерения коэффициентов диффузии и массопередачи и при необходимости вводить в расчеты специальные поправки. Выбор оптимальных значений параметров диффузии является обратной задачей математического моделирования, требующей в каждом конкретном случае специальных дополнительных экспериментальных исследований.

Аналитическая зависимость коэффициента диффузии от концентрации легирующего элемента может быть выражена соотношением

Nh

D = Donh-N(x,I)' где Nh — предельная концентрация, соответствующая насыщению металлического раствора; Do — предельное значение коэффициента диффузии при уменьшении концентрации растворенного элемента до нуля. Последняя формула показывает, что коэффициент диффузии D при приближении концентрации диффундирующего вещества к пределу его растворимости резко возрастает.

Коэффициент диффузии D можно задать как функцию температуры. Влияние Т на величину D представляется законом Аррениуса

D = Aexv(--lpJ, (0.4) где А - предэкспоненциальный фактор, зависящий главным образом от типа кристаллической решетки адсорбента, R — газовая постоянная, Q — энергия активации диффузии или теплота разрыхления решетки, отнесенная к одному молю металла-растворителя.

Значение температуры Т на расстоянии х от границы раздела газ-металл при тепловой мощности струи q можно определить по формуле 0.2 q

Я) = + То' х +1.66 где Т0 — температура окружающей среды.

При построении модели процесса легирования использованы результаты исследований механизма диффузии в металлах, описанные в работах М.А. Криштала [61], B.C. Бокштейна [13], В.И. Лакомского [74], А.В. Петухова [119], Н.К. Походни [122] и др.

Важно отметить, что внутри твердого тела концентрация легирующего элемента N(x,t) является непрерывной функцией; ее первая производная по t, первая и вторая производные по х также непрерывны. Указанные предположения не применимы для поверхности твердого тела, а также для внутренних границ фазового раздела и некоторого момента времени, с которого начинается поступление диффундирующего вещества: в этих точках и в этот момент времени концентрация и ее производные могут претерпевать разрыв.

В силу вышесказанного и согласно физической логике формулы вычисления коэффициентов D и 7 должны менятся в зависимости от структурной перестройки реактивной среды, поэтому поставленную задачу нелинейной диффузии можно считать кусочно-корректной.

Приводится технология численной реализации построенной модели с помощью сеточного метода конечных разностей по неявной схеме на четырёхточечном шаблоне. Полученная дискретная задача с линейными алгебраическими уравнениями решается методом прямой и обратной прогонки.

Приведены результаты апробации модели диффузии при легировании металла азотом. Экспериментальные исследования проводились на низкоуглеродистой конструкционной стали 20 с помощью плазмотрона ПП-25. С помощью полученных по глубине металла значений температуры и концентрации легирующего элемента в поверхностном слое после обработки материала плазменной струей рассчитана твердость упрочнённой стали. Опытные данные по глубине диффузии, концентрации азота в поверхностном слое и твердости обработанного металла сравнивались с теоретическими расчетами на ЭВМ. Результаты показали, что построенная математическая модель процесса легирования металлов из низкотемпературной плазменной струи позволяет подбирать оптимальные технологические режимы локального азотирования при минимальном количестве пробных натурных экспериментов.

Полученная модель прошла производственную апробацию при разработке и внедрении технологий упрочнения дереворежущих рамных пил на ПО "Бель-склес"и подающих роликов высадочного автомата на Иркутском опытномеха-ническом заводе.

На базе разработанной методологии по плану Минвуза выпущено учебное пособие, поставлены курс лекций и серия лабораторных работ по математическому моделированию сварочных процессов для студентов специальности 15020 "Оборудование и технология сварочного производства"в Иркутском государственном техническом университете.

В пятой главе рассмотрен второй вариант кусочно-корректной задачи, встречающейся при математическом моделировании нелинейных динамических процессов, сопровождающихся неустойчивостью неравновесной системы, которая проявляется в виде деформации твердого тела

Изучается плоское течение металла при прямом выдавливании через наклонную матрицу с малым обжатием. Характерезуются особенности процесса прессования, приводится исследование напряженно-деформированного состояния и условий перехода всего или части материала заготовки в состояние текучести. Металл рассматривается как сплошное изотропное жёсткопластическое тело, формоизменение которого происходит за счет сдвигов его частиц под действием максимальных касательных напряжений. Линии, вдоль которых отсутствуют деформации растяжения или сжатия, образуют два взаимноортогональных семейства линий скольжения £ и т/. В случае плоской пластической деформации они представляют траектории, касательные к которым совпадают с направлениями наибольших касательных напряжений.

Достаточно полное представление о пластическом течении металла при плоском деформировании можно получить при исследовании решений уравнений идеальной пластичности где а — среднее нормальное напряжение, к — пластическая постоянная, а — угол между касательной к линии £ и осыо OX, vx и vy — проекция вектора скорости деформации на координатные оси. Четыре уравнения системы имеют два двухкратных различных семейства характеристик, совпадающих с линиями скольжения.

Показан алгоритм построения элементраных ячеек сетки линий скольжения, основанный на теоремах Генки и Прандтля. Как и в случае моделирования процесса легирования металлов, рассмотренном в четвертой главе, для практической реализации математической модели процесса плоского течения идеального жесткопластического тела применяется одна из модификаций сеточных методов приближенного решения дифференциальных задач — метод характеристик или метод линий скольжения.

При разработке пятой главы использованы материалы исследований, описанные в работах А.Д. Томлёнова [206], Д.Д. Ивлева [50]- [51], [55], Р.И. Непер-шина [99]- [101], В.И. Даценко [36] и К.Н. Шевченко [218].

Рассмотренная методология исследования процесса плоского течения жёст-копластического тела широко используется в практике математичеекого модеdvx dvy dx dx лирования многих технологических процессов обработки металлов давлением при прессовании, прошивке, волочении, штамповке и др.

Изложенные результаты в перспективе могут представлять интерес при переходе на выпуск готовой продукции Братского и Шелеховского алюминевых заводов.

В шестой главе рассматривается относительно новое, в сравнении с интегро-дифференциальными операторами, направление математического моделирования — оптимальное планирование эксперимента.

На примере моделирования тепловлажностного и воздушного режимов здания разрабатываются экстремальные технологии исследования диссипативных динамических процессов в саморегулирующихся сплошных средах, в которых математические методы применяются не только при обработке полученных статистических данных, но и на этапе выбора и организации условий проведения опытов.

При построении модели микроклимата в качестве параметров оптимизации назначены три главные характеристики:температура, относительная влажность и подвижность воздуха. Функциональная связь между климатическим параметром и пространственно-временными координатами определялась в виде полинома второй степени.

Для исследования метеоусловий в здании параллельно применялись два симметричных центральных плана второго порядка, удовлетворяющие наибольшему числу критериев оптимальности — рототабельный композиционный план РКП и D-оптимальный план Бокса. Апробация составленного в среде программирования Delphi комплекса вычислительных программ проводилась при исследовании климатических условий в шести помещениях общественного здания в марте-апреле. Рисунки полей температур, влажности и подвижности воздуха, выполнялись в графическом редакторе AutoCAD. Испытание модели проводилось при выполнении научно-исследовательских хоздоговорных работ по оптимизации микроклимата помещений Иркутского государственного краеведческого музея и ООО "Спецпроект". На основании полученных выводов были разработаны рекомендации для проведения мероприятий по созданию комфортных климатических условий в обследованных зданиях.

Комплекс компьютерных программ для расчета и прогнозирования тепло-влажностных и воздушных режимов позволяет эффективно решать вопросы формирования и управления микроклиматом помещений любого назначения.

Разработанная методология может быть использована для определения климатических параметров в любых замкнутых локальных воздушных объемах - в холодильных установках и рефрижераторах, в нагревательных печах, в саунах и бассейнах, в реанимационных больничных палатах, в салонах самолетов и др.

Апробация работы Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научной конференции „Климат и окружающая среда", организованной Российской Академией Естествознания совместно с Голландским университетом WAGENINGEN UNIVERSITY AND RESEARCH CENTRE (г. Амстердам, Голландия, 2006г.); на Юбилейной конференции „Современные проблемы науки и образования", посвященной 10-летию Российской Академии Естествознания (г. Москва, 2005г.); на третьем и четвертом Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1998 и 2000 г.г.); на Первой международной научно-практической конференции "Сварка. Контроль. Реновация -2001"(г. Уфа, 2001г.); на международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнення"(г. Челябинск, 1999г.); "Математические модели и методы их исследования"(г. Красноярск, 2001г.); "Симметрия и дифференциальные уравнения "(г. Красноярск, 2002г.); "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования "(Воронеж, 2001г.); на XI научной конференции международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения "(г. Иркутск, 1998г.); на научных конференциях Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач "(г. Воронеж, 1998 и 2004г.г.); па научных конференциях Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(г. Воронеж, 2003г.); на Всероссийской научно-технической конференции "Прогрессивные технологии обработки металлов давлением в машиностроении"(г. Иркутск, 1996г.); на первом, втором и третьем Всесибирских конгрессах женщин-математиков (г. Красноярск, 2000,2002 и 2004г.г.); на региональных конференциях "Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири"(г. Иркутск, 1989 и 1996г.г.); на Восточно-Сибирских зональных межвузовских конференциях по математике и проблемам её преподавания в ВУЗе (г. Иркутск, 1999 и 2003 г.г.); на областной научно-технической конференции "Молодые ученые области — ускорению научно-технического прогресса и развитию науки "(г. Павлодар, 1987г.); на научных семинарах кафедры математического анализа и кафедры гидромеханики механико-математического факультета Московского Государственного Университета (г. Москва, 2002 г.); на научных семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск, 2000 и 2002г.г.), Института математики АН Узбекской ССР (г. Ташкент, 1984г.), Таджикского Государственного Университета (г. Душанбе, 1984г.), а также на ряде научных семинаров Института динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутского государственного университета , Иркутского государственного технического университета, Иркутского государственного педагогического университета, Иркутского государственного университета путей сообщения (г. Иркутск, 1996-2006г.г.)

Публикации

По теме диссертации опубликовано около 60 работ, среди которых одна монография, одно учебное пособие по тематическому плану Минвуза РСФСР (в соавторстве), 10 статей в реферируемых журналах,8 публикаций в трудах международных и 3—в метериалах всероссийских научных коференций, более 30 статей в реферируемых научных сборниках и журналах.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 224 наименований. Общий объем работы составляет 355 страниц, в тексте диссертации содержится 20 таблиц и 33 рисунка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современный аппарат математики позволяет решать самые различные типы задач математической физики — например, школой академика А.Н. Тихонова сравнительно недавно разработаны методы регуляризации некорректных задач. Тем не менее, постановка корректных задач остается доминирующим направлением при моделировании физико-технических систем с эволюционной структурой.

В данной диссертации представлены 16 новых дифференциальных моделей физико-технических процессов в неоднородных нелинейных средах, базирующихся на доказательстве более чем 20 теорем и утверждений о существовании и особенностях точного решения входящих в них задач:

• нелокальной задачи Коши, задачи Дирихле, граничной и смешанной задач для составного типа системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, которые могут быть использованы'при моделировании динамических процессов в соленоидальном поле;

• нелокальной задачи Коши и модифицированной задачи Дирихле для эллиптической системы первого порядка, вырождающейся на плоскости, в окрестности которой нарушается равновесие среды функционирования моделируемого стационарного процесса;

• задачи Дирихле в конечном цилиндре для эллиптической вырождающейся на оси цилиндра системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая может быть использована при моделировании стационарных процессов в слаборавновесных средах, способных к самоорганизации на множестве точек прямой;

• задачи Дирихле в круговом полицилиндре для эллиптической вырождающейся системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, описывающей эволюцию стационарных процессов в пространстве плоскопараллельиых векторных полей;

• граничных задач в конечных областях и полупространствах для системы дифференциальных уравнений в частных производнях второго порядка с тождественно равным нулю характеристическим определителем, которая может быть применена при построении математических моделей динамических процессов в слаборавновеспых средах;

• задач с начальными и без начальных условий для эволюционной системы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка с бифуркационным параметром, обобщающей классическое уравнение диффузионного процесса переноса энергии и массы.

В практическом плане предложены:

• разностная схема решения задачи диффузии газа из плазмы в металл и компьютерная программа для ее численной реализации, позволяющая прогнозировать концентрацию насыщающего элемента, глубину диффузии и твердость упрочненного слоя в зависимости от технологических параметров процесса;

• математическая модель процесса прессования материалов в контейнере с наклонными стенками, позволяющая рассчитывать растягивающие напряжения в центре заготовки, способные вызвать образования трещин, расслоение материала и другие технологические дефекты.

Если корректно поставить задачу не удается или она является очень сложной, одним из выходов является переход к статистическим методам моделирования. Такие ситуации чаще всего возникают при изучении эволюционных процессов в саморегулирующихся равновесных средах. Наглядным примером в этом направлении может служить приведенное в данной работе исследование процесса формирования микроклимата в помещении.

Хотя оптимизационные методы планирования эксперимента не позволяют достаточно глубоко исследовать качественную картину эволюции изучаемых физико-технических систем, построенные полиномиальные модели дают возможность эффективно управлять протекающими в их среде динамическими процессами.

Несмотря на существование большого разнообразия математических технологий моделирования в настоящее время ощущается недостаток в содержательных математических моделях технических систем, в результате чего полученные в работе результаты являются практически и теоретически актуальными

1. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН, 1964.—Вып. 19— №3— С. 53-161.

2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий—М.: Наука, 1976.

3. Бакиевич Н.И. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа, возникающие при изучении бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения // УМН (XV), 1 (91), 1960.-С. 171-176.

4. Бакиевич Н.И. Об одном уравнении смешанного тина в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Волжский матем. сб., 1.—1963.—С. 3241.

5. Баланкин А.С. Синергетика деформируемого тела.—М.: МО СССР, 1991.

6. Баранцев Р.Г. Лекции по трансзвуковой газодинамике.—Изд-во ЛГУ, 1965.

7. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики — Изд-во ИЛ, 1961.

8. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка.—М.: Наука, 1966.

9. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1976.

10. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа— М.: Изд-во АН СССР, 1959.

11. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных.—М.: Наука, 1981.

12. Блантер М.Е. Теория термической обработки.—М.: Металлургия, 1984.

13. Бокштейн Б.С. Диффузия в металлах.—М.: Металлургия, 1978.

14. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. —М: ИЛ, 1949.—4.1.

15. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции.—М.: Физматгиз, 1959.

16. Вернадский В.И. Научная мысль как планетное явление.—М.: Наука, 1991.

17. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Матем. сб., 1954.—Т. 35. — Вып. 77. — №3.— С. 513-568.

18. Вишик М.И. О краевых задачах для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // ДАН СССР, 1953.-Т. 93.-2.-С. 225-228.

19. Вишик М.И. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // ДАН СССР, 1953.—Т. 93.—№1.—С. 9-12.

20. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Мат. c6.-1951.-T. 29.—№ З.-С. 615-676.

21. Вишик М.И. Эллиптические уравнения, вырождающихся на границе области // УМН, 1954—Т. 9.- Вып. 1- С. 138-143.

22. Владимиров B.C. Уравнения математической физики,—М.: Наука, 1976.

23. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.—М.: Наука, 1979.

24. Вознесенский В.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов.—М.: Финансы и статистика, 1981.

25. Волченко В.Н., Ямпольский В.М., Винокуров В.А. и др. Теория сварочных процессов / Учеб. для вузов,—М.: Высш. шк., 1988.

26. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики.—Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1983.

27. Врагов В.Н. О влиянии нелинейных слагаемых на постановку смешанной задачи для гиперболо-параболического уравнения // Неклассические уравнения математической физики.—Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 2002.—С. 6-11.

28. Галишников Ю.М., Сергиенко JT.C. и др. Разработка требований к коммутационным аппаратам и схемам сети энергоузлов с мощной преобразовательной установкой //Отчет о НИР: № Гос.регистр. 01.86.0076526 // Инв.№02.87.0025163—Павлодар, 1987—115с.

29. Глазатов С.Н. Неклассические краевые задачи для уравнений смешанного типа и приложения к трансзвуковой газовой динамике // Неклассические уравнения математической физики.—Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 2002.—С. 59-68.

30. Глазатов С.Н. О разрешимости неклассических краевых задач для дифференциальных уравнений переменного типа // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 2000.—С. 18-24.

31. Гласс JL, Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни—М.: Мир, 1991.

32. Годунов С.К. Уравнения математической физики—М.: Наука, 1971.

33. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы, введение в теорию.—М.: Наука, 1977.

34. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай A.M. Планирование промышленных экспериментов.—М.: Металлургия, 1978г.

35. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений.—М.: ИЛ, 1960.

36. Даценко В.И. Экспериментальное исследование процесса прямого прессования через плоские криволинейные матрицы // Проблемы расчета и надежности машин.-М.: Изд-во Наука АН СССР, 1990.-№ 6.-С. 89-93.

37. Даценко В.И., Кайдаров К.К., Сергиенко JI.C. Методические указания по математическому обеспечению САПРа технологических процессов в обработке металлов давлением.—Павлодар: Изд-во ПИИ, 1988.—с.68

38. Даценко В.И., Сергиенко JI.C. Методические указания по дисциплине "Теория пластических деформаций".—Павлодар: Изд-во ПИИ. 1988.—с.63

39. Даценко В.И., Сергиенко JI.C. Определение методом линий скольжения технологических дефектов / Прогрессивные технологии обработки металлов давлением в машиностроении/Материалы Всероссийской науч.-техн. конф.—Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1996.—с.37-40

40. Даценко В.И., Сергиенко JI.C. Применение метода линий скольжения к анализу плоского прессования металла // Краевые задачи / Сб. науч. тр.—Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1997.—С. 117-122.

41. Даценко В.И., Столяров В.А. Исследование процесса прямого прессования при малых обжатиях // Пластическое течение металлов / Сб. науч. тр.— М.: Изд-во Наука АН СССР, 1970.-С. 19-97.

42. Джонсон В., Кудо X. Механика процесса выдавливания металла.—М.: Металлургия, 1965.

43. Джураев А.Д. О постановке пространственных эллиптических краевых задач для систем // ДАН СССР, 1991.-Т. 319.-М.-С. 33-42.

44. Дзиндзибадзе JL Расчет тепло-воздушного режима жилого здания методом математического моделирования (с использованием ЭВМ) / Гос. комитет по гражданскому строительству и архитектуре при Госстрое СССР, ТбилЗНИИЭП -Тбилиси: Изд-во Мецниереба, 1975.

45. Дмитриева Л.С., Кузьмина Л.В., Мошкарнев Л.М. Планирование эксперимента в вентиляции и кондиционировании воздуха,—Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1984.

46. Дриц М.Е., Москалев М.А. Технология конструкционных материалов и материаловедение.—М.: Высшая школа, 1990.

47. Егоров Н.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения.—Новосибирск: Наука, 2000.

48. Зайдес С.А. Охватывающее поверхностное пластическое деформирова-ние.—Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2001.

49. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А . Синергетика и фракталы в материаловедении.—М.: Наука, 1994

50. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред.—М.: Физматлит, 2002.— Т. 1, 2.

51. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности—М.: Наука, 1966.

52. Ильин A.M. О задаче Дирихле для уравнения эллиптического типа, вырождающегося на некотором множестве внутренних точек //ДАН СССР, 1955.—Т. 102.-1.-С. 9-12.

53. Ильин A.M. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения // Матем. сб., 1960.-Т. 50, №4-С. 443-498.

54. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды.—М.: Изд-во Московского унта, 1990.

55. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности.—М.: Физматлит, 2001.

56. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.—М.: Наука, 1966.

57. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнени-ям.-М.: Наука, 1971.

58. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР, 1951.-Т. 77.-2.-С. 181-183.

59. Коган М.Н. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа // Прикладная математика и механика, 1961.—Т. 25.—1.—С. 132-137.

60. Кожанов А.И. Задача сопряжения для одного класса уравнений составного типа переменного направления // Неклассические уравнения математической физики.—Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 2002.—С. 96-110.

61. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.—М.: Наука, 1981.

62. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент // Серия "Кибернетика—неограниченные возможности и возможные ограничения".—М.: Наука, 1988.

63. Константинова В.Е. Расчет воздухообмена в жилых и общественных зданиях.—М.: Стройиздат, 1964.

64. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.—М.: Наука, 1970.

65. Красносельский М.А., Перов А.И., Полоцкий A.M., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости.—М. Физматгиз, 1963.

66. Криштал М.А. Механизм диффузии в железных сплавах.—М.: Металлургия, 1972.

67. Курант Р. Уравнения с частными производными,—М.: Мир, 1964.

68. Куренной Г.Ч. Математика: Справочник,—Харьков: Фолио; Ростов н/Д: Феникс, 1997.

69. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.—М.: Наука, 1968.

70. Лаврентьев М.А. О задаче Коши для уравнения Лапласа.—М.:Изд-во АН СССР, сер. матем., 1956.-Т. 29.-С. 819-842.

71. Лаврентьев М.А., Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // ДАН СССР, 1950.—Т. 70.-№3.-С. 373-376.

72. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1973.

73. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения.— М.: Гостехиздат, 1953.

74. Лакомский В.И. Плазменнодуговой переплав / Под ред. акад. Б.Е. Патона.—Киев: Технжа, 1974.

75. Лопатинский Я.Б. Теория общих граничных задач // Избр. тр., Киев: Наукова думка, 1984.-С. 315-317.

76. Лукьянова Е. А. Видоизмененная задача Дирихле для вырождающейся системы // Понтрягинские чтения, IX / Тез. докл., Воронеж: ВГУ, 1998.—С. 129.

77. Лукьянова Е. А. Видоизмененная задача Дирихле для вырождающейся системы // Математическое моделирование и краевые задачи / Тр. восьмой межвуз. конф., Ч. 3.—Самара, 1998.—С. 69-72.

78. Лукьянова Е.А. Влияние младших членов на характер разрешимости задачи Дирихле для вырождающейся системы уравнений в частных производных // Краевые задачи / Сб. науч. тр., Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1997.—С. 164-168.

79. Лукьянова Е.А. Задача Коши для гиперболической системы // Тр. Вост.-Сиб. зон. межвуз. конф. по матем. и проблемам ее преподавания в вузе,— Иркутск: Изд-во ИГПУ, 1999.-С. 64-68.

80. Лукьянова Е.А. О граничных задачах для вырожденной системы уравнений в частных производных // Фундаментальная и прикладная математика, 1999.—№4—С. 101-105.

81. Лукьянова Е.А. О системах уравнений в частных производных с тождественно фавным нулю характеристическим определителем // Методыоптимизации и их приложения / Тр. XI междунар. Байкальской шк.-сем., Иркутск: Изд-во ИСЭ СО РАН, 1998.-С. 124-127.

82. Лукьянова Е.А. О системах уравнений в частных производных с тождественно равным нулю характеристическим определителем // Диффере-нуиальные уравнения и их приложения / Тез. докл. междунар. конф.— Душанбе: Тадж. гос. ун-т, 1998.—С. 8.

83. Мартинсон Л.К., Малов Ю.Н. Дифференциальные уравнения математической физики—М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996.

84. Мастеров В.А., Берковский B.C. Теория пластической деформации и обработка металлов давлением.—М.: Металлургия, 1989.

85. Математическая физика. Энциклопедия.—М.: Изд-во БРЭ, 1998.

86. Математическая энциклопедия.—М.: Изд-во Сов. энцикл., 1977-1985.— Т. 1-5.

87. Математическое моделирование микроклимата зданий.—М.: Изд-во Центра науч.-техн. информации по гражданскому строительству и архитектуре, 1970.

88. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического тина.— М.: ИЛ, 1961.

89. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.— М.: Наука, 1976.

90. Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения // Вестник Ленинградского ун-та, 1954—Т. 3—№8.—С. 19-48.

91. Михлин С.Г. Курс математической физики.—Санкт-Петербург: Изд-во Лань, 2002.

92. Михлин С.Г. Спектр пучка операторов в теории упругости //УМН, 1973.— Т. 28.—3.—Вып. 171.—С. 43-82.

93. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений.—Новосибирск: Наука, 1977.

94. Налимов В.В. Теория эксперимента.—М.: Наука, 1971.

95. Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента.—М.: Металлургия, 1976.

96. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов.—М.: Наука, 1965.

97. Нахушев A.M. Об априорных оценках для вырождающихся гиперболических уравнений // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН,2002.-С. 140-149.

98. Непершин Р.И. О решении задач плоского пластического течения жёестко-пластического тела с кинематическими граничными условиями//Расчеты пластического деформирования металлов/ Под общ. ред. А.Д. Томлёнова. М.: Наука,1975.-С. 54-75.

99. Непершин Р.И. Моделирование пластического течения методом линий скольжения // Кузнечно-штамповочное производство.—2003.—№ 12.—С. 13-18.

100. Непершин Р.И. Моделирование пластического течения методом линий скольжения (продолжение) // Кузнечно-штамповочное производство.— 2004.—№ 1.-С. 3-10.

101. Николис Г., Пригожин Н. Познание сложного.—М.: Мир, 1990.

102. Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов.—М.: Машиностроение; София: Техника, 1980.

103. Оболашвили Б.И. Эффективное решение задачи Римана-Гильберта для одной системы уравнений смешанного тина с применением к теории оболочек// Сообщ. АН Груз. ССР,1964.—Т. 36.-№ 1.-С. 33-39.

104. Олейник О.А. Математические задачи теории пограничного слоя //УМН, 1968—Т. 23.—Выи. 3.-1-С. 3-65.

105. Олейник О.А. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Матем. сб., 1966.—Т. 69. — №1.—С. 111140.

106. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой.// Итоги науки, серия Математика-Математический анализ, 1969.— Москва, 1971.

107. Отопление и вентиляция / Под ред. В.Н. Богословского.—М.: Стройиздат, 1976.

108. Панченков А.Н. Энтропия—Н.Новгород: Изд-во общества „Интелсервис", 1999.

109. Панченков А.Н. Энтропия-2: Хаотическая механика.—Н.Новгород: Изд-во общества „Интелсервис", ГУП „МПИК", 2002.

110. Панченков А.Н.: ФИЗИК, МАТЕМАТИК, ИНЖЕНЕР/Под общей ред. проф. А.В. Данеева—Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005.

111. Паскопов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена.—М.: Наука, 1983.

112. Пекер Я.Д. Математическое моделирование микроклимата зданий—М.: Стройиздат, 1970.

113. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными—М.: Физматгиз, 1961.

114. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1964.

115. Петровский И.Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными // УМН, 1946.-Т. 1-Вып. 3-4 (13-14).—С. 44-70.

116. Петровский И.Г. О системах дифференциальных уравнений, все решения которых аналогичны // АН СССР, 1937.-Т. 17.-№ 7.-С. 339-342.

117. Петровский И.Г. Проблемы Гильберта.—М.: Наука, 1969.

118. Петухов А.В. Повышение эксплуатационных свойств деталей машин и инструмента поверхностным легированием из плазмы / Автореферат дис. на соискание уч. ст. канд. тех. наук.—Иркутск, 1990.—16с.

119. Погорелов А.В. Изгибание выпуклых поверхностей.—М.: Гостехиздат, 1951.

120. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики.—М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

121. Походня Н.К., Явдощин Н.Р. и др. Металлургия дуговой сврки //Взаимодействие металла с газами.-Киев: Наукова думка, 2004.

122. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1977.

123. Пригожин Н., Стенгерс Н. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой.—М.: Прогресс, 1986.

124. Проблемы механики неупругих деформаций // Сб. ст.—М.: Физматлит, 2001.

125. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка—М.: Наука, 2005.

126. Пятков С.Г. О некоторых свойствах решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени // Неклассические уравнения математической физики.—Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 2000.— С. 97-106.

127. Райченко А.И. Математическая теория диффузии в приложениях,—Киев: Наук, думка, 1981.

128. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики.—М.: Мир, 1982.

129. Розова Н.В. Аналог задачи Римана-Гильберта для обобщенной системы Мойсила-Теодореско // Дифференциальные уравнения, 1986.—Т. 22.— №11—С. 1972-1977.

130. Сакс Р.С. О краевых задачах для системы rot и + Хи = 0 // Дифференциальные уравнения, 1972.-Т. 8.-1.-С. 126-133.

131. Сакс Р.С. Краевые задачи для обобщенно-эллиптических систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения с частными производными./Тр. семинара СЛ. Соболева.—Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 1981.—№2.— С. 86-108.

132. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики.—М.: Научный мир, 2000.

133. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.—М.: Наука, 1997.

134. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики (3-е изд.).—М.: Наука, 1992.

135. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной неременной.—М.: Наука, 1974.

136. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.—М.: Наука, 1966.

137. Сергиенко Л.С. Вырождающаяся система комплексных дифференциальных уравнений второго порядка // Материалы сибирского конгресса ио прикладной и индустриальной математики (ИНПРИМ), ч. 4.— Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 1998— С. 57.

138. Сергиенко JI.C. Граничная задача для вырождающейся системы уравнений первого порядка // Аналитические методы в теории эллиптических уравнений.—Новосибирск: Наука, 1982.—С. 46-50.

139. Сергиенко JI.C. Задача без начальных условий для параболической системы // Материалы четвертого сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математики (ИНПРИМ).—Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 2000.—С. 80-81.

140. Сергиенко JI.C. Задача Коши для вырождающейся составного типа системы первого порядка // Дифферениальные уравнения/ Всесоюзный еже-мес. журн.—Минск: Наука и техника, 1983.-T.XIX.-№ 1.-С. 349-351.

141. Сергиенко JI.C. Задача Коши для системы параболлического типа с меняющимся направлением времени // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование/ Науч. журн.-Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2005.— №3(7)—с.56-57

142. Сергиенко JI.C. Задача с начальными условиями для параболической системы уравнений с частными производными второго порядка // Дифференциальные уравнения и аналитическая теория / Сб. науч. тр.—Чита: Изд-во ЧитГТУ.—1999.—С. 55-58.

143. Сергиенко JI.C. Исследование системы, обобщающей классическое уравнение теплопередачи//Вестник ИрГТУ/ Науч. жур.—Иркутск: Изд-во ИрГ-ТУ, 2004.-№3.—С.142-148.

144. Сергиенко JI.C. К задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики.—Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО АН СССР, 1979.-С. 75-78

145. Сергиенко JI.C. К задаче Дирихле для эллиптических систем первого порядка // Дифференциальные уравнения/Всесоюзный ежемес. журн.— Минск: Наука и техника, 1981-T.XVII9.-С. 1700-1702.

146. Сергиенко JI.C. Компьютерное прогнозирование тепловлажностных и воздушных режимов в производственных помещениях//Успехи современного Естествознания//Науч.-теор. журн., №9.—М.: Академия Естествознания, 2005.—С.83-85

147. Сергиенко JI.C. Краевая задача для системы второго порядка, вырождающейся во всем пространстве // Второй Всесибирский конгресс женщин-математиков / Тез. докл.—Красноярск: Изд-во КрасГУ, 2002.—С. 201-202.

148. Сергиенко JI.C. Математическое моделирование физико-технических процессов—Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2006—228с.

149. Сергиенко JI.C. О постановке корректных задач для вырождающихся моделей стационарных процессов, протекающих в соленоидальном поле скоростей // Неклассические уравнения математической физики.— Новосибирск: Изд-во Ин-та матем. СО РАН, 2002.-С. 226-230.

150. Сергиенко JI.C. О постановке корректных задач для эволюционной системы уравнений в частных производных второго порядка // Третий Все-сибирский конгресс женщин-математиков. — Красноярск: ПФК "TOP-PA 2004.-С. 21-22.

151. Сергиенко JI.C. О постановке корректных задач при моделировании вырождающихся стационарных процессов //Вестник ИрГТУ/ Науч. журн.— Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005.-Т.1-№ З-С.142-145

152. Сергиенко JI.C. О решении задачи Коши для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения j j Материалы науч. конф. за 1969-1970 гг.— Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1970—Вып. 2.—С. 150-153.

153. Сергиенко JI.C. Об актуальных направлениях развития технологий моделирования индустриальной математики //Вестник ИрГТУ/ Науч. журн.—№ 4—Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005.-С.22-25

154. Сергиенко JI.C. Об одной вырождающейся системе составного типа // Дифференциальные уравнения/ Всесоюзный ежемес. журн.—Минск: Наука и техника, 1982.-Т. 18.-№ 2.-С. 119-126.

155. Сергиенко JI.C. Поведение решений вырождающихся эллиптических систем в окрестности многообразий вырождения // Автореферат дис. на соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук.—Душанбе: Изд-во Тадж.гос.ун-та, 1984.—11с.

156. Сергиенко JI.C., Багдуева Х.Н. О проблемах компьютерного моделирования физико-технических систем// Фундаментальные исследования /Науч.-теор. журн.—М.: Академия Естествознания, 2006. — №5. — С.85-91.

157. Сергиенко JI.C., Варфоламеева К.В. О постановке корректных задач для системы уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени // Фундаментальные исследования /Науч.-теор. журн.—М.: Академия Естествознания, 2006.—№3—С. 10-15

158. Сергиенко JI.C., Даценко В.И. Математическая модель жестко-пластического тела // Вестник ИрГТУ/ Науч. журн.—Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2003.—№ 1-С. 31-34.

159. Сергиенко JI.C., Житов В.Г. О компьютерном моделировании микроклимата в здании // Математические модели и методы их исследования / Тр. междунар. конф.—Красноярск: Изд-во Ин-та вычислит, моделирования СО РАН, 2001.—Т. 2—С.191-195.

160. Сергиенко JI.C., Кочеткова О.Н. Задача без начальных условий для параболической системы с параметром // Тр. Восточно-Сибирской зональной межвуз. конф. по математике и проблемам ее преподавания в вузе.— Иркутск: Изд-во ИГПУ, 1999.-С. 73-76.

161. Сергиенко JI.C., Кочеткова О.Н. Задача Коши для параболической системы // Понтрягинские чтения, IX / Материалы Воронеж, весенней матем. школы.— Воронеж: Изд-во ВГУ, 1998.—С. 177.

162. Сергиенко Л.С., Кочеткова О.Н. Применение метода конечных разностей к решению задачи диффузии // Приближенные методы анализа / Межвуз. сб. науч. тр.—Иркутск: Изд-во Гос. пед. ун-та, 2001.—С. 36-40.

163. Сергиенко Л.С., Лукьянова Е.А. Задача Дирихле в круговом полицилиндре //Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования/Материалы междунар. науч. конф.—Воронеж: ВГА, 2005.—С. 2007

164. Сергиенко Л.С., Нестеренко Н.А. Математическая модель для управления режимами плазменного локального упрочнения поверхности металлов //

165. Технология металлов / Ежемес. произв., науч.-техн. и уч.-метод. журн.— Москва, 2003.—№ 7.-С. 16-20.

166. Сергиенко JI.C.,Федоров С.Н. и др. Разработка нормативов предельно допустимых выбросов предприятия // Отчет о НИР № Гос.регистр. 01.86.0098815 / Инв. 02.87.70053135-Чита, 1986.-112с.

167. Смирнов В.М. Курс высшей математики.—Т. 2.—М.: Наука, 1958.

168. Смирнов В.М. Курс высшей математики—Т. 4, Ч. 2—М.: Наука, 1981.

169. Смирнов В.Н. Курс высшей математики.—М.: Наука, 1974.

170. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения.—М.: Наука, 1966.

171. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.—М.: Наука, 1964.

172. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа.—М.: Наука, 1970.

173. Снеддон И. Преобразование Фурье—М.: ИЛ, 1995.

174. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1966.

175. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала.—М.-Л.: Гостехтеор-издат, 1946.

176. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.—М.: Физматгиз, 1958.

177. Сэр М. Атья. Математика в 20-м столетии // Бюллетень Лондонского Математического Общества./ Снец. статья.—34.—2002.

178. Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей // Справочное пособие под ред. В.В. Налимова.—М.: Металлургия, 1982.

179. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени.—Новосибирск:Изд-во Ин-та матем. СО АН СССР, 1982.

180. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе.—Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973.

181. Терсенов С. А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Сиб. мат. журн., 1965.—№ 2.—С. 1120-1143.

182. Терсенов С.А. Об одном уравнении эллиптического типа, вырождающемся на границе области // ДАН СССР, 1957.-Т. 115, № 4.-С. 670-673.

183. Технология конструкционных материалов / Под ред. д-ра техн. наук, проф. Г.А. Прейса.— Киев: Вища школа, 1984.

184. Технология металлов и сварка / Под общей ред. проф. П.И. Полухина.— М.: Высшая школа, 1977.

185. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.—М.: Наука, 1979.

186. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении.— М.: Машиностроение, 1990.

187. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1972.

188. Томленов А.Д. Теория пластического деформирования металлов.—М.: Металлургия, 1972.

189. Треногин В.А. Функциональный анализ,—М.: Наука, 1980.

190. Федер Е. Фракталы-М.: Мир, 1991

191. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.—М.: Наука, 1964.

192. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.—М.: Физматгиз, I960.—Т. 3.

193. Франкль Ф.Н. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР.-Сер. матем.-Т. 9.-2.-1945.-С. 121-142.

194. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных.—М.: Наука, 1962.

195. Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных.—М.: Наука, 1962.

196. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. —М.: Физматгиз, 1959.

197. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. / Псевдодифференциальные операторы.—М.: Мир, 1987.—Т. 3.

198. Челышев А.И. Исследование закономерности изменения температуры воздуха по высоте вентилируемого производственного помещения с избытка-ит тепла /Автореферат дис. на соискание уч. ст. канд. техн. наук.—М.: Наука, 1977.—15с.

199. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2.—М.: Наука, 1976.

200. Шайдуров В.В. Методы повышения точности приближенных задач.— Новосибирск: НГУ, 1977.

201. Шевченко К.Н. Основы математических методов в теории обработки металлов давлением.—М.: Высшая школа, 1970.

202. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике / Для инженеров и студентов вузов,—М.: Наука, 1971.

203. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений.— Новосибирск: Наука, 1979.

204. Янушаускас А.И. Аналитические и гармонические функции многих переменных.—Новосибирск: Наука, 1981.

205. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения.—Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1997.

206. Янушаускас А.И. К задаче Коши для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными.—Сиб. мат. журн., 1975. — Т. 16, № 6.—С. 1352-1363.

207. Янушаускас А.И. Методы потенциала в теории эллиптических уравнений // Ин-т матем. и киберн. Литовской АН.—Вильнюс: Москлас, 1990.

208. Янушаускас А.И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами // Ин-т матем. и киберн. Литовской АН.—Вильнюс: Москлас, 1990.

209. Янушаускас А.И. О краевых задачах для голоморфного вектора // Комплексный анализ и его применения.—М.: Наука, 1998.

210. Crane J. The mathematics of diffusion, 2 ed., Oxford, 1975.

211. Druyanov B.A. and Nepershin R.I. Problems of Technological Plasticity-Amsterdam: Elsevier, 1994, 426 p.

212. Hormander L. Pseudo-differential operators and nonelliptic boundary problems // Ann. of Mathem.-1966.-V. 83, № l.-P. 129-209.

213. Hile G., Protter M. Maximum principles for a class of first opder elliptic systems // J. Diff. Equat.-1977.-V. 24-P. 136-151.

214. Tricomi F.G. Vorlesungen iiber Orthogonalreichen.—Berlin, Heidelberg; N.Y.: Springer, 1970.