автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод конечных элементов для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка

I ,

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

-т—м-—

^ 2 6 ДПР 1393 На правах РУ1*01111011

Ь93

ТИМЕРБАЕВ Марат Равнпевич

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

05. 13. 18 - теоретические основы

математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1993

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Казанского государственного университета

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор А. Д. Ляшко.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук

профессор В.Б.Андреев,

доктор физико-математических наук доцент А. В. Лапин.

Ведущая организация : Санкт-Петербургский государственный

университет.

Защита состоится "II" мьр. 1993г. в час. ^Аош. на заседании специализированного Совета К 053.29.20 в Казанском государственном университете по адресу : 420008, г.Казань, ул.Ленина, 18у (сгН^^^Ч

Ни/Ч/Ч . Н. Р. Уе^-Го^ъс Сх

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г.Казань, ул. Ленина, 18).

Автореферат разослан " $ " 1ддз Г-

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физ.-мат. наук, доцент Е.М.Федотов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Хорошо известно, что эффективным средством решения задач математической физики и механики являются сеточные методы и, в частности, метод конечных элементов С МКЭ ). Исследовании точности схем МКЭ для классических задач математической физики посвящена обширная литература.

На практике часто встречаются задачи, входные данные которых нерегулярны. К ним относятся краевые задачи с вырождающимися дифференциальными операторами. Вырождение коэффициентов дифференциального оператора может быть обусловлено самой постановкой задачи. Это имеет место,например, в хорошо известном уравнении Чаплыгина,описывающего установившееся движение частиц газа с дозвуковыми скоростями, или в уравнении изгиба пластины с острым краем. Вырождение коэффициентов может возникать также при особой замене переменных в невырожденном уравнении,например, при переходе от декартовых координат к полярным. Различные теоретические и практические аспекты построения схем МКЭ для вырождающихся уравнений сравнительно мало изучены.

Целью работы является построение и исследование сходимости схем МКЭ для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка.

Методы исследования. В работе используются методы теории функциональных пространств и операторов в функциональ-аых пространствах, вариационные методы и методы теории про-экционно-сеточных схем.

Научная новиэна. 1. Доказаны теоремы вложения пространств Соболева с весом для областей со свойством конуса; получены весовые аналоги теорем Дени-Лионса и Брамбла-Гильберта.

2. Получены оценки погрешности конечно-элементной интерполяции в весовых нормах.

3. Предложены схемы МКЭ для вырождающегося уравнения второго порядка и исследована их сходимость в энергетической и Lz-нормах.

Теоретическая и практическая ценность.Полученные в работе результаты могут быть использованы при анализе погрешности сеточных методов для задач с особенностями, а также при численном решении конкретных задач механики и математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" С Казань, 1991 ); на IV Всероссийской школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" С Абрау-Дюрсо, 1992 ); на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1989-1992 гг., на семинаре кафедры вычислительной математики Казанского университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 62 наименования. Работа изложена на 118 страницах машинописногс текста.

- 5 -

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается обзор литературы и излагаются основные результаты работы.

В первой главе доказываются теоремы вложения весовых пространств Соболева с весом, выровдаювдшся на произвольной фиксированном компактном подмножестве вне области определения функций рассматривавши пространств . Доказательства проводятся на основе интегрального представления функций, что позволяет освободиться от ограничений на гладкость границы.

В § 1.1 вводятся основные обозначения и определяются весовые пространства Лебега весовые полунормы вида

1 ^ и 'РДС 3 [ £ I 1р

]1 ]=в К

где р(х) = р(х,Го), Го с КП\Г2 - компакт, и весовые пространства Соболева ^С С 3 функций с конечными нормами

[XI |рсх;)/3с,4исх:,1р л )1/р < •

|1 1<т К

Далее устанавливается ряд вспомогательных результатов.

В §§1.2, 1.3 исследуются свойства непрерывности и компактности интегрального оператора типа потенциала в весовых пространствах Лебега.

В § 1.4 доказываются весовые теоремы вложения разных метрик и разных измерений С теоремы 1.6 - 1.10 ) для звездной области. Существенны для дальнейшего оценки норм операторов вложений, содержащиеся в этих теоремах, через расстояние от множества точек выроздения веса до области. В тео-

реме 1.11 эти результаты переносятся на случай области сс свойством конуса.

В § 1.5 доказываются теоремы об эквивалентных нормировках весовых пространств Соболева. Эти результаты используются в дальнейшем при исследовании разрешимости краевых задач и при получении оценок точности схем метода конечный элементов для вырождающихся уравнений. Один из основных результатов главы - теорема 1.14, в невесовом случае известная как теорема Дени-Лионса.

Теорема 1.14. Существует постоянная с > 0, не зависящая от Го, что для всех и е ^ ^(Ю будет выполнено неравенство

1пг{ Ни - „И^сШ : * * } 5 с 1 и •

Вторая глава посвящена получению оценок погрешност! конечно-элементной интерполяции в нормах весовых пространств Соболева, учитывающих степень сгущения конечных элементов в окрестности точек вырождения весовой функции.

В §2.1 напоминаются основные понятия теории МКЗ : дается определение семейства триангуляций СТЬ) полигональной области П на лагранжевые п-симплексы типа (т), пространства конечных элементов

Б* = { Уь € ссга : Уь|к б РжСЮ V к е Ть }.

С РпСЮ - пространство полиномов степени т по совокупности переменных на элементе К ),оператора интерполяции на конечном элементе и на области, обозначаемые через П^ и Г^ соответственно.

В § 2.2 доказываются утверждения вспомогательного ха

I _ - 7 -

рактера о локальной равномерности семейства триангуляции, удовлетворяющих условию регулярности, и об аффинной замене переменных в весовых полунормах.

§ 2.3 посвящен получению оценок погрешности интерполяции на конечном элементе. Основной результат главы содержится в теореме 2.4 :

Теорема 2.4. При условии регулярности семейства триангуляция и при условиях вложения

X = т+1-к+п/ч-п/р > О С р < ч Э и ¡3 < а у ,

Уо = т+1-п/р >0 и (3 < уо , найдется постоянная С > 0,не зависящая от Ь, что для всех функций и € К ) будет справедлива оценка

1 ¿ус и - пки) < сь£ ^ | р<У+1и 1рд .

где К - произвольный конечный элемент,

Ь^ = «Цат К, р^ = пах | рСх) : х е К

Известные невесовые оценки погрешности интерполяции на конечном элементе получаются из приведенной выше оценки при а = 13 = 0.

В § 2.4 вводится понятие сгущения семейства триангуляция СТЬ) с заданной степенью ж £ 1, то есть семейства, удовлетворяющего* условию

а Ь* £ Ьк 5 о-гЬр|,-1

для всех К 6 Т(1. Для сгущающихся триангуляций доказывается локальная оценка погрешности интерполяции,.равномерная по всем конечным элементам триангуляции.

В § 2.S получены глобальные оценки погрешности интерполяции в весовых нормах с учетом степени сгущения семейства триангуляций вблизи вырождения весовой функции. В частности, доказана следующая теорема.

Теорема 2.6. Пусть регулярное семейство триангуляций (Th) сгущается вблизи Т со степенью гг ^ 1 и k е <0,1>. Если выполнены условия вложения теоремы 2.4, то при малых h справедлива оценка

И"-1» сд> -ch* 1 U

q,ct

для всех функций u € VT^CCD, где & = rain -С у, хСу + а --0) ) > 0.

Глава 3 посвящена собственно построению и исследованию сходимости схем МКЭ для вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка дивергентного вида :

- div С aCxDyuCx) 3 + qCxDuCxD = fCx),

где коэффициенты матрицы аСх) = <а^Сх)> удовлетворяют ус- ловию :

п п п

I * V*

1 =» i , J =1 i =t

а > О - показатель вырождения коэффициентов уравнения.

В § 3.1 ставится краевая задача для вырождающегося дифференциального уравнения,допускающая эквивалентную вариационную формулировку

L(u,vD = F(v3 V v € V, (13

где

LCu,vD = J ( aCxDyuCx)'VvCx) + + q(x)uCx)vCx) J dx , fl

FCvD = J f(x)v(x3 dx .

0 4 Энергетическое пространство V вариационной задачи зависит от показателя вырождения а > 0 и множества точек вырождения Г , именно

о

V = { v е У^СП) : vlr = 0 } ,

если выполнено по крайней мере одно из условий : а < 1/2, множество Го есть нуль-множество относительно поверхностной меры; в противном случае

V = {v6 Vta«D : Ylp^ = o}.

В теореме 3.2 доказывается существование и единственность вариационной задачи.

В § 3.2 определяется аппроксимирующее пространство

V. с S® n V

п п

конечных элементов для вырождающегося уравнения в предположении полигональности области и строятся решения дискретных схем МКЭ uh € Vh, определяемые равенством

4W = FCV v vh « V C23

§ 3.3 посвящен исследованию точности построенных схем. При минимальных предположениях доказана их сходимость. При дополнительных предположениях гладкости получена оценка погрешности метода.

Теорема 3.4. Пусть решение задачи (13 принадлежит пространству Wm+ßC Q D и выполнено условие 0</3<ш + 1- п/2.

Тогда существует постоянная С > 0, не зависящая от h, что для решений схем МКЭ С23 справедлива оценка

Hu - uhlly < Ch*| An+1u l2fn -

где & = min { ш , « С i 4 а - (3 ) }.

В § 3.4 получены оценки погрешности схем МКЭ для одномерного вырождавшегося уравнения.

В .§ 3.5 рассматривается область с криволинейной границей. Для этого случая специальным образом строятся пространства конечных элементов и схемы МКЭ. В теореме 3.6 устанавливается их сходимость.

§ 3.6 посвящен получению оценок точности схем МКЭ для вырождающегося уравнения в области с криволинейной границей в энергетической и Lz - нормах. В теоремах 3.9, 3.10 и 3.11 приведены оценки ошибки метода в зависимости от количества используемых для аппроксимации элементов.

В § 3.7 рассматривается сильно вырождающееся всюду на границе выпуклой области П с R2 уравнение Трикоми второго рода

. - divC сгСхЗЬСхЗуиСхЗ 3 + q(x3uCx3 = fCx3, СЗЭ

где аСхЭ€С"СПЗ, сгСхЗ = рСх,ГЗ вблизи границы ГеС00, ЬСхЭ -симметричная положительно-определенная матрица с коэффициентами- btJ{x3 б С®СШ, причем

ЬСхЗ?-? > co |?la V?6R2.

Для уравнения СЗЭ устанавливается теорема регулярности решения при соответствующих условиях гладкости коэффицинтов

- И -

уравнения и правой части. Оценки погрешности схем МКЭ для уравнения С 33 устанавливаются в теореме 3.13.

Теорема 3.13. Пусть га обозначает степень полиномов на конечном элементе и N - количество конечных элементов триангуляции Ть. Если ц € У^СОЗ, Г € УЧИ,то имеют место следующие оценки точности схем МКЭ для уравнения (3) :

13 для ш = 1, 2 и параметра сгущения я е 11,2)

Ни - иь11у = 0(ГИ/гЗ;

23 для ш = 3 и параметра сгущения « €.[3/2,23 Ни - иь!1у = 0(Г3/аЗ;

33 для ш = 4 и параметра сгущения * = 2 Ни - иь1!у = 0СГ2С1п Ю23.

В § 3.8 приведены результаты численных расчетов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе интегрального представления функций доказаны теоремы вложения пространств Соболева с весом для областей, удовлетворяющих условию конуса; получены весовые аналоги теорем Деня-Лнонса и Брамбла-Гильберта.

2. Получены оценки погрешности полиномиальной интерполяции на конечном элементе в нормах весовых пространств Соболева.

3. Установлены оценки погрешности многомерной сплайн-интерполяции в весовых нормах, учитывающие степень сгущения конечных элементов вблизи особенностей интерполируемых функ-

ций.

4. Для вырождающегося уравнения второго порядка построены схемы МКЭ, доказана их сходимость и получены оценки точности в энергетической норме и норме пространства Ь2.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РА60ТАХ :

1. Тимербаев М.Р. Теоремы вложения весовых пространств Соболева//Мат. моделирование и выч. эксперимент: тез. докл. конф. (Казань, 26-30 июня 1991 г.) - М.: 1991. - С. 44-45.

2. Тимербаев М.Р. Теоремы вложения весовых пространств Соболева //Изв. вузов. Математика.-1991.-№ 9. - С. 56-60.

3. Тимербаев М.Р. Оценки погрешности п-мерной сплайн-интерполяции в весовых нормах // Численные методы механики сплошной среды : тез. докл. IV Всероссийской школы молодых

ч

ученых ( п. Абрау-Дюрсо, 26.05-31.05 1992 г. 3 - Красноярск 1992. - С. 39-40.

4. Тимербаев М.Р. Оценки погрешности п-мерной сплайн-интерполяции в весовых нормах // Изв. вузов. Математика -1992. - № 10. - С. 54 - 60.