автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей фильтрации жидкости

Обозначения и соглашения Введение

1 Динамическая модель фильтрации в трещинновато пористой среде

1.1 Относительно ^-ограниченные операторы.

1.2 Вырожденные разрешающие аналитические группы операторов

1.3 Задача Веригина.

1.4 Условия относительной сг-ограниченности операторов

1.5 Функциональные пространства и дифференциальные операторы.

1.6 Уравнение Баренблатта ^ Желтова - Кочиной

2 Эволюционная модель фильтрации в пористой среде

2.1 Относительно р-секториальные операторы

2.2 Вырожденные разрешающие аналитические полугруппы операторов

2.3 Единицы полугрупп.

2.4 Существование обратного оператора

2.5 Интерполяционные пространства

2.6 Задача Веригина.

Обозначения и соглашения

Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например: N — множество натуральных чисел;

Ж — множество действительных чисел, R+ = {г Е R : г > 0},

Й+ = {0} и R+;

С — множество комплексных чисел; LP(Q.) — пространства Лебега; Wlp{Sl) — пространства Соболева и т.д.

Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или, в особых случаях, греческого алфавитов. Например, span{y?b tp2, ■ ■ ■, <Рт} обозначает линейную оболочку векторов (pi,(p2,., (рт.

Множество, снабженное какой-либо структурой (как правило алгебраической и (или) топологической), называется пространством.

Множества отображений множеств (т.е. множества операторов) обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:

11; — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве И и действующих в пространство £(%$)= £(Н) приД = 3-;

С/(Я; — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве Я и действующих в пространство

Cl{il]$) = Cl(it) при 11 =

Символами I и О обозначаются соответственно "единичный" и "нулевой" операторы, области определения которых ясны из контекста. dom А — область определения оператора A, im А — образ оператора А.

Символом const обозначаются, вообще говоря, различные константы.

Все рассуждения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении "спектральных "вопросов вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки "и ограничивают область, лежащую "слева"при таком движении.

Символ • лежит в начале и конце доказательств.

Постановка задачи. Пусть It и $ — банаховы пространства, а операторы L е £(Я;#) и М £ Cl(il;$). Введем в рассмотрение L-резолъвентное множество pL(M) = {fie С : (jil - м)"1 g £(£;я)} и L-спектр аь(М) = С \ pL(M) оператора М. Если Я = а оператор L = I, то L-резольвентное множество pL(M) и L-спектр а1(М) станут просто резольвентным множеством и спектром оператора М. Не удивительно поэтому, что множество pL(M) и р(М) (aL(M) и а(М)) обладают рядом похожих свойств. В частности, Х-резольвентное множество рь{М) всегда открыто, а L-спектр aL(M) всегда замкнут [76].

Пусть aL(M) ф 0, положим а+(М) = {ц е aL(M) : Reju > 0}, сг^(М) = {р, G (JL{M) \Rep< 0}. Пусть выполнено условие

М) ф 0, ^ (М) u <rj (М) - (М).

Тогда при некоторых дополнительных условиях существуют проекторы i+() G £(Я) на соответствующие подпространства Я+() (при этом не обязательно, что Р- + Р+ = I и Я 0Я+ = Я). Пусть TGM- произвольное число.

Диссертация посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Веригина

P<u(0) = щ, Р+и(Т) = (0.1) для линейных

Lu = Ми + / (0.2) и полулинейных

Ьй = М(и) + / (0.3) операторных уравнений соболевского типа. В качестве конкретных интерпретаций заявленной абстрактой ситуации рассмотрена задача Дирихле-Веригина для уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной

А - А)щ = аАи + /, (0.4) моделирующего динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато пористой среде [5], [4], для уравнения

Л - А)щ = аАи - /ЗА2и + / (0.5) моделирующего (в линейном приближении) эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости [22], для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска

-A)ut = A{\u\p~2u) + f. (0.6)

Обоснование интереса к проблеме. Простейший пример уравнения (0.2), где пространства Д = $ — I2; операторы L — J,

М = diag{—1,2, —3,., (—.},

00 domМ = {uel2 : ^k2{uk)2 < oo}; k=1 = 0, показывает неразрешимость задачи Коши

0) = щ (0.7) для произвольных щ G il. Очевидно однако, что в данной постановке задача (0.1), (0.2) однозначно разрешима при любом ТЕМ и при "правильном" выборе пространств Н+(). Поэтому поиск начально-краевых условий, отличных от классических, но обеспечивающих корректность задачи (0.1) для уравнений (0.4), (0.5), (0.6), повышает эвристическую ценность моделей.

Кроме того, уравнение (0.4) интересно еще и потому, что оно моделирует процесс влагопереноса в почве [110], процесс теплопроводности с "двумя температурами "[107], а также динамику некоторых неньютоновых жидкостей [108], [117]. Уравнения (0.5) и (0.6) получаются из общего уравнения [22], которое в свою очередь, появилось вследствие критики П.Я. Кочиной [57] классического уравнения Буссинеска, моделирующего фильтрацию жидкости без учета вертикальной составляющей скорости свободной поверхности.

В [70] изучена задача Коши-Дирихле для уравнения (0.6) при условии неотрицательности оператора при производной по времени. Там же построен контрпример, показывающий точность полученных результатов. Однако в [64] показано, что параметр Л в уравнении (0.6) может принимать произвольные отрицательные значения. Поэтому и в полулинейном случае необходим поиск новых начально-краевых условий.

Историография вопроса. Если положить Т = 0, то задача (0.1) превратится в прямое обобщение задачи Коши (0.7). К задаче (0.3) для уравнения (0.2) редуцируются начально-краевые задачи для неклассических уравнений в частных производных [16].

Первым начально-краевые задачи для уравнений в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной по времени, начал изучать C.JI. Соболев. В работе [95] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Эта работа легла в основу нового направления, которое первоначально развили ученики C.J1. Соболева Р.А. Александрян [3] и С.А. Гальперн [18]. Их исследования охватывали линейные дифференциальные уравнения вида

Ьй = Ми, (0.8) где L и М — дифференциальные операторы "по пространственным переменным".

Первым, кто начал изучать задачу (0.3) для абстрактного линейного операторного уравнения (0.4), были М.И. Вишик [14] и независимо от него С.Г. Крейн и его ученики [27], [38]. В последних работах был детально изучен случай (L, ^-ограниченного оператора М (в нашей терминологии) при условии фредгольмовости оператора L (т.е. indL = 0). Показано, что фазовым пространством уравнения (0.4) служит некоторое подпространство в Я коразмерности равной размерности М-корневого пространства оператора L. Все работы ([14], [27], [38]) имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений.

Первым абстрактные уравнения вида (0.2) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать R.E. Showalter

120]. Он рассмотрел случай самосопряженного эллиптического оператора L, вырождающегося на некотором множестве ненулевой меры. R.E. Showalter [119] и независимо от него Н.А. Сидоров со своими учениками [93] первыми начали изучать линейные уравнения вида (0.2) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

Отдавая честь первооткрывателю, мы будем называть как абстрактные уравнения вида (0.2), (0.3), так и конкретные их интерпретации (0.4), (0.5), (0.6), уравнениями соболевского типа. В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "псевдопараболические уравнения"([17], [34], [66], [122]), "уравнения типа Соболева"([52], [53], [73], [74], [75], [76], [77], [78], [79]-[84], [116]), "уравнения типа Соболева-Гальперна"([36], [120]) и "уравнения не типа Коши-Ковалевской"([44], [56]). Кроме того, мы считаем уравнения соболевского типа самостоятельной областью лежащей на стыке функционального анализа и неклассических уравнений в частных производных. Заметим еще, что важность и необходимость создания общей теории уравнений вида (0.2), (0.4) отмечали И.Г. Петровский [56] и Ж.-JI. Лионе [44].

Задача Веригина в первоначальной постановке [2], [13] выглядит следующим образом. Предположим, что Я = $ - гильбертово пространство, L - ограниченный самосопряженный оператор в ii. Пусть Но = ker L и Н+() - инвариантное пространство, отвечающее положительной (отрицательной) части спектра оператора L. Пусть Р- (Р+) - соответствующие спектральные проекторы. Требуется для некоторого Т € М+ найти вектор-функцию и : [О, Т] —> И, удовлетворяющую условиям (0.1) и уравнениям (0.2), (0.3), но в данном случае проекторы Р- (Р+) имеют иной смысл, чем у нас. Однако мы сохраним термин "задача Ве-ригина", предпочитая его терминам "эллиптико-параболическая задача"[97] и "задача сопряжения"[55].

Актуальность темы диссертации. Все результаты по уравнениям соболевского типа можно весьма условно поделить на две части. К первой по традиции следует отнести работы, в которых объектом исследования являются уравнения и системы уравнений в частных производных, которые изучаются посредством коэрцитивных оценок. Основной результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы типа теоремы о неподвижной точке. К этому разделу можно отнести результаты В.Н. Врагова [16] и его учеников А.И. Кожанова [35], С.Г. Пяткова [58], [59] и других [124]; А.П. Осколкова [52], [53] и его учеников [54]; Г.В. Демиденко [21], [109] и многих других [108], [123].

Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения вида (0.2), а конкретные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений вида (0.3), (0.4) служат иллюстративными примерами общих абстрактных результатов. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова и ее ученики [47], [48], Н.А. Сидоров и его ученики [92]-[94], R.E. S ho waiter [119], A. Favini [112], [111], A. Favini и A. Yagi [115] и многие другие [116], [117], [118].

К этому же разделу следует отнести работы Г.А. Свиридюка и его учеников [64]-[91]. В них тоже изучается однозначная разрешимость задачи Коши (0.3) для абстрактного операторного уравнения (0.2). Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнения (0.2). Впервые термин "фазовое пространство "в данном контексте появился в работах [74], [78], где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений"[68], [69], [72], [75].

Перечислим сначала работы, в которых фазовые пространства уравнений вида (0.2) изучены наиболее полно. Прежде всего здесь следует отметить цикл работ Г.А. Свиридюка, в которых изучались фазовые пространства линейного уравнения (0.2). Отправной точкой послужила работа [67], в которой абстрактные результаты были приложены к начально-краевой задаче для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной [5] моделирующей движение жидкости, фильтрующейся в трещинновато пористой среде. Затем эти результаты были развиты в работах [73], [75]. Весьма краткий обзор этих результатов содержится в [76]. Здесь полностью изучены фазовые пространства уравнения (0.2) в случаях, когда оператор М (L, <т)-ограничен и (Ь,р)-секториален.

Работа [76] стала основой для многих глубоких исследований. Среди всех отметим результаты В.Е. Федорова [89], [90], [101], в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (0.2) при условии (L, р)-радиальности оператора М. В настоящее время эти результаты обобщают результаты A. Favini и A. Yagi [115] и служат основой для многочисленных приложений [81].

К настоящему времени задача Веригина для уравнений соболевского типа изучена мало. Из работ, обнаруженных в математической литературе, необходимо прежде всего отметить статью С.Г. Суворова [97], где рассматривается вариационная постановка двухфазной задачи фильтрации с условиями Веригина на поверхности раздела. Оказывается, что в регулярном случае данный подход приводит "почти к решению "исходной задачи. Исследована также обобщенная разрешимость параболической задачи в нецилиндрических областях. Обсуждается возможность численной реализации вариационного метода. Кроме того, необходимо отметить статью А.А. Панкова и Т.Е. Панковой [55], в которых мы находим развитие результатов Н.Н. Веригина [13] и С.Г. Суворова [97].

В работе [125] Xu Gen Qi обсуждает корректность класса абстрактных уравнений в гильбертовом пространстве

Т£'(х) = -А£(х), (0 < ж < +оо),

Q+m = Z+, Km |KW|| = 0.

X—>+00

Здесь Т - инъективный ограниченный самосопряженный оператор, Q+ - ортогональный проектор на максимальное Т-положительное Т-инвариантное пространство, А - ограниченный линейный оператор, удовлетворяющий некоторым условиям ( А необязательно самосопряжен, I — А не обязательно компактный.)

Позднее [126] в гильбертовом пространстве рассмотрена краевая задача где Q+(Q) - максимальная позитивная (негативная) спектральная проекция самосопряженного оператора Т, имеющая приложения в задачах переноса нейтронов. В предположении, что выполняются условия ||А(®)|| < М, Re (А (<£>), <£) > £о|М|2> решение исходной задачи строится через решение задачи новой. Полученная задача, в свою очередь, с учетом обратимости оператора (I + T J^) на классе функций с соответсвующими граничными условиями, сводится к решению интегральных уравнений: где В(х) = I — А(х), К — К+ + операторы К+ (KJ) строятся через спектральную функцию оператора Т и зависят от ai («2), являются решением новой задачи.

В работе Эделыптейна СЛ. [105] на R рассматривается дифт<Щх) = + 0 < ж < а (0.9)

Q+<p{0) = aQ+(a)+g+, Q-(p(a) = aQ-(0) + ff-,0< a1} a2 < 1

0.10) p(x) = K(x,s)B(s)ip(s)ds-\- K(x,s)f(s)ds, ференциальное уравнение = kA(t)u + F at с большим асимптотическим параметром к и операторнозначным коэффициентом. Предполагается, что при каждом t существует пара проекторов P+{t) (P(i)), коммутирующих с A(t), таких, что P+(t) + P-{t) = I, спектры (T+(t) (<r-{t)) частей A+(t) (A-(t)) оператора A(t) в подпространствах B+(t) = P+(t)B (B-(t) = P-(t)B) принадлежат соответственно правой и левой замкнутым полуплоскостям и не пересекаются. Ставится краевая задача с помощью условий limt).+()00P+(-)(t)u(t) = 0. Основные результаты состоят в асимптотическом представлении решения через решения вспомогательных эволюционных задач в подпространствах B+(t) в-т

Особый вклад в изучении данной задачи сделали С.Г. Пятков и H.JI. Абашеева [25], [1]. Пусть Е - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) и || • || и В, L -линейные операторы, действующие в нем. Рассматривается уравнение

But = Lu + f, t € (0, Т), Т < оо. (0.11)

Также предполагается, что оператор В необратим, в частности, он может иметь ненулевое ядро, и он имеет произвольное расположение спектра. Рассматривается задача, когда оператор L равномерно диссипативен, т.е. ~Re(—Lu,u) > <5||u||2 для всех и £ dom L. Также рассматривается более слабое условие, когда оператор L диссипативен, т.е. Re(—Lu, и) > 0 для всех и £ dom L и равномерно диссипативен на dom L(J М, где М ~ некоторое подпространство конечной коразмерности. Рассматриваются также уравнения

B(t)ut = Щи + /, te (О, Т), (0.12)

B{t)ut = G{t,и) + /, t е (0,Т), (0.13) где J3(i), L(t) - семейство линейных операторов, действующих в пространстве Е, •) - семейство монотонных операторов, действующих в Е. И ставятся краевые условия вида

Я+и(0) = £Г«(Т) - «у, (t < оо), (0.14) u(0) = tzj, (* = оо), (0.15) где Е+ и - спектральные проекторы оператора Б, соответствующие положительной и отрицательной части спектра. При всех предположениях установлена разрешимость краевых задач для уравнений (0.12), (0.13).

Новизна полученных результатов. Прежде всего необходимо отметить новизну постановки задачи Веригина (0.1) для линейных уравнений (0.2). Такая постановка, учитывающая спектральные свойства оператора М относительно оператора L, на наш взгляд, является естественным обобщением классической задачи Веригина.

Впервые построено точное решение задачи Веригина (0.1) для уравнения (0.2) при любых TgRb случае (L, сг)-ограниченного оператора М, ипри любых Т Е М+ в случае (L, р)-секториального относительно ограниченный оператор", которое введено в [30] совсем по другому поводу). В дальнейшем теория относительно сг-ограниченных операторов и порождаемых ими вырожденных аналитических групп операторов легла в основу многих исследований. Именно, Л.Л.Дудко [24] рассмотрела класс замкнутых операторов, являющихся относительно ^-ограниченными операторами; А.А. Ефремов [26] изучил задачу оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа с относительно сг-ограниченными операторами; А.В. Келлер [31] нашла необходимые и достаточные условия существования ограниченных решений таких уравнений; Г.А. Кузнецов [39] нашел необходимые и достаточные условия относительной сг-ограниченности операторов в терминах относительно присоединенных векторов, причем более простые, чем в [24] и [76]; М.М. Якупов [106] использовал относительную сг-ограниченность для исследования морфологии фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа.

К сожалению, несмотря на обилие результатов и приложений, теория относительной сг-ограниченности операторов и вырожденных аналитических групп операторов остается малоизвестной широкой математической общественности. По этой причине уже сейчас появляются статьи1, в которых с использованием других обозначений изложены те же результаты, что и в [76], [101], но без всяких ссылок и доказательств. Ввиду таких обстоятельств мы

1 Баскаков А.Г., Чернышев К.И. К спектральной теории пар линейных операторов // Изв. РАЕН, сер. МММИУ. 1997. Т.1, т 2. С.3-30. сочли необходимым поместить в диссертацию сводку основных результатов теории относительных cr-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов.

Первым относительно секториальные операторы рассматривал Г.А. Свиридюк [75]. Им было показано, что понятие относительной секториальности оператора является естественным обобщением понятия секториальности оператора [27], [29], [104]. Однако вскоре обнаружилось, что понятие относительной секториальности оператора оператора обобщает понятие относительной <т-ограниченности оператора только в случае устранимой особой точки в бесконечности L-резольвенты оператора М. Для того, чтобы ликвидировать этот досадный пробел, Т.А. Бокарева ввела в рассмотрение [8] понятие относительной р-секториальности оператора, обобщающее понятие относительной сг-ограниченности оператора и в случае полюса в бесконечности L-резольвенты оператора М. Первые итоги в этом направлении были приведены в обзоре [44]. Затем были введены в рассмотрение относительно сильно р-секториальные операторы справа (слева) [8] и относительно сильно р-секториальные операторы [89], [90]. В дальнейшем относительно р-секториальные операторы изучались в различных ситуациях. Именно, JI.JI. Дудко [24] исследовала случай, когда оба оператора замкнуты, а пространства Я и | совпадают; А.А. Ефремов [26] исследовал задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами; А.В. Келлер [31] нашла достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия существования ограниченных решений таких уравнений; Г.А. Кузнецов [39] начал поиск относительно р-секториальных операторов среди эллиптических операторов; М.М. Якупов [106] использовал относительно р-секториальные операторы для изучения фазовых пространств некоторых задач гидродинамики вязкоупругих жидкостей.

Класс s-монотонных и s-коэрцитивных операторов ввел в рассмотрение Г.А. Свиридюк. В [64], [70] им была получена локальная разрешимовть однородной задачи Коши-Дирихле для уравнения (0.6) при условии Л > — Ai, где Ai - первое собственное значение однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа —А в ограниченной области Г2 С Жп. Затем в [85] этот результат был распространен на случай неоднородной задачи Коши-Дирихле. В [84] методами [23] локальное решение было продолжено до глобального.

Основной метод диссертации - изучение абстрактных задач (0.1),(0.2) и (0.1), (0.3), а затем редукция к ним задачи Веригина-Дирихле для уравнений (0.4), (0.5), (0.6). В ходе редукции мы используем стандартную технику, созданную на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных. Основы этой техники были заложены в классической монографии [96]. Современное состояние можно представить по монографиям [41], [42], [44], [50], [98], [103].

Краткое содержание диссертации. В первой главе изучена задача (0.1) для уравнения (0.2) с относительно ^-ограниченными операторами.

В п. 1.1 вводятся относительно ст-ограниченные операторы, изучаются свойства их резольвент, строятся проекторы по относительному спектру. В п. 1.2 строятся вырожденные аналитические группы операторов и изучаются их ядра и образы. В п.1.4 приводятся необходимые и достаточные условия относительной <т-ограниченности операторов в терминах относительно присоединенных векторов. В основном все результаты почерпнуты из [76] и [101]. П.1.5 тоже носит справочный характер. В нем собраны и систематизированы основные факты теории дифференциальных операторов в частных производных в функциональных пространствах.

В п. 1.3 приведены основные результаты первой главы. Здесь поставлена и изучена задача Веригина для уравнения (0.2) при условии (L, <т)-ограниченности оператора М. Доказана теорема о существовании и единственности задачи Веригина при естественных предположениях на правую часть уравнения. Получена в явном виде формула общего решения. Приведенные здесь абстрактные результаты в п.1.6 прилагаются к конкретной задаче, возникшей в приложениях. Именно в п. 1.6 рассмотрена задача Дирихле-Веригина для уравнения

Л - А)щ = аАи + /, (0.16) моделирующего динамику давления жидкости, фильтрующего динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинноватопористой среде [5]. Здесь параметры а е и Л £ Ж характеризуют среду, причем Г.А. Свиридюком было показано [65], что параметр Л может принимать отрицательные значения.

Во второй главе изучена задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами. Поскольку теория относительно р-секториальных операторов пока еще недостаточно широко известна, то в первых четырех параграфах второй главы дается сводка основных результатов этой теории. В п.2.1 вводятся относительно р-мультирезольвенты и изучаются их свойства. В п.2.2 строятся вырожденные аналитические полугруппы операторов и изучаются свойства их ядер и образов. В п.2.3 указываются условия, достаточные для существования единиц этих полугрупп, которые, очевидно, являются проекторами, дающими нам нужное расщепление пространств. В п.2.4 даются условия существования оператора L^1. Полные доказательства приведенных здесь результатов можно найти либо в диссертации В.Е. Федорова [100], либо в его же учебном пособии [101].

П.2.5 носит вспомогательный характер. В нем построены интерполяционные пространства, необходимые нам в дальнейшем. Способ построения взят из [104], он основан на методе вещественной интерполяции [6], [98].

П.2.6 содержит основные результаты второй главы. В нем представлены условия, достаточные для существования единственного решения задачи Веригина и приведена общая формула этого решения в случае (L, р)-секториальности оператора М. Полученные здесь абстрактные результаты в следующих параграфах применяются к уравнениям с частными производными, возникшими в приложениях. Здесь же содержится контрпример, показывающий точность наших результатов.

В п.2.7 рассмотрена задача Дирихле-Веригина для уравнения

А - А)щ = аАи - /ЗАи2 + /. (0.17)

Здесь параметры а,/3 € R+, А е 1 характеризуют среду, свободный член / которой соответствует источникам (стокам жидкости). Причем ранее показано [67], что параметр Л может принимать отрицательные значения.

Третья глава диссертации посвящена исследованию задачи Веригина для полулинейного уравнения (0.3). В п. 3.1 изучены свойства s-монотонных и s-коэрцитивных операторов по сравнению с монотонными и коэрцитивными операторами [17]. В п. 3.2 описывается множество решений задачи Дирихле для уравнения (0.3). В п. 3.3 рассмотрена задача (0.1), (0.3), где в отличие от предыдущих глав спектральные проекторы строятся по спектру оператора L. В п.3.4 рассматривается задача Дирихле-Веригина для уравнения (0.6). Все результаты носят качественный характер, однако ввиду [66] могут быть использованы при численных расчетах.

Благодарности. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Георгию Анатольевичу Свиридю-ку за чуткое руководство и стимулирующие дискуссии. Автор так

1. Абашеева Я.Л. Неклассические операторно-дифференциальные уравнения и связанные с ними спектральные задачи. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2000.

2. Агаев Н.Т., Веригин Н.Н. Температурное поле пласта при закачке горячего агента в ряд скважин // Докл. АН АзССР. 1977. Т.ЗЗ. Ш. С.6-9.

3. Александрян Р.А. Спектральные свойства операторов порожденных системами дифференциальных уравнеий типа Соболева // Тр. ММО. 1960. Т.9. С.455-505.

4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестандартной фильтрации жидкости и газа. М.: Наука, 1972.

5. Баренблатт Г.И., Желтое Ю.П., Конина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах // Прикл. мат. и механ. 1960. Т.24, №5. С.58-73.

6. Берг И., Лефстрем И. Интерполяционные пространства. М.: Мир, 1980.

7. Б ере Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

8. Бокарева Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1993.

9. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов. М.: Мир, 1975.

10. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Мир, 1983.

11. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

12. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус функции и линейные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техники. Математический анализ. Т.28. М.: ВИНИТИ, 1990.

13. Веригин Н.Н. Об одном классе гидромеханических задач для областей с подвижными границами // "Динамика сплошной среды", Новосибирск, 1980, №46. С.23-34.

14. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. 39(81):1. С.51-148.

15. Вишик М.И. Квазилинейные эллиптические уравнения и фредгольмовы многообразия // Вестн. МГУ, сер. мат., мех. 1985. №6. С.23-50.

16. Врагов В.И. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ. 1983.

17. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

18. Галъперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // Тр. ММО. 1960. Т.9. С.401-403.

19. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

20. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

21. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научн. кн., 1998.

22. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // Докл. АН СССР. 1972. Т.72, №5. С.1031-1033.

23. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. М.: ВИНИТИ, Совр. проблемы матем., Ма-темат. анализ, Т. 9, С.5-130.

24. Дудко JI.JI. Исследование полугрупп операторов с ядрами. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новгород, 1996.

25. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

26. Ефремов А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева. Дис. . канд. физмат. наук. Челябинск, 1996.

27. Зубова С.П., Чернышев К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при старшей производной // Дифференц. уравнения и их применения. 1976. Т. 14. С.21-39.

28. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

29. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

31. Келлер А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1997.

32. Клемент Ф., Хейманс X., Ангенент С. и др. Однопара-метрические полугруппы. Абстрактные дифференциальные уравнения с приложениями. М.: Мир, 1992.

33. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990.

34. Кожаное А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболлических уравнений // ДАН. 1992. Т.326,№5. С.781-786.

35. Кожанов А.И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами // Вест. Челяб. ун-та. Сер. мат. и мех. 1999. С.31-47.

36. Костюченко А.Г., Эскин Г.И. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперина // Труды Моск. матем. об-ва. 1961. Т. 10. С.273-285.

37. Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Математический анализ. М.:ВИНИТИ, 1983. С. 130-263.

38. Крейн С.Г., Чернышев К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Новосибирск, 1979. 18 с. (Препринт / АН CCCR Сиб. отд-ние. Ин-т математики).

39. Кузнецов Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.

40. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2-ое изд. М.: Наука, 1970.

41. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уралъцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

42. Ладыженская О.А., Уралъцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения элиптического типа, 2-ое изд. М.: Наука, 1973.

43. Лет С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М.: Мир, 1967.

44. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

45. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

46. Мазъя В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: ЛГУ, 1985.

47. Мельникова И.В., Алъшанский М.А. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы // ДАН. 1995. Т.343, №. С.448-451.

48. Мельникова И.В., Филипков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // УМН. 1994. Т.49, №6. С.111-150.

49. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

50. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

51. Ниренберг JI. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.

52. Осколков А. П. К теории устойчивости решений полулинейных диссипативных уравнений типа С.Л. Соболева // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т.200. С.139-148.

53. Осколков А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1991. Т.198. С.31-48.

54. Осколков А.П., Котсиолис А.А., Щадиев Р. Д. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных диссипативных уравнений типа Соболева // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т. 199. С.91-113.

55. Панков А. А., Панкова Т. Е. Нелинейные эволюционные уравнения с необратимым операторным коэффициентом при производной // Докл. АН Укр. 1993. №. С.18-20.

56. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

57. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.:Наука, 1977.

58. Пятков С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, №2. С.409-426.

59. Пятков С. Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков // Сиб. матем. журн. 1989. Т.ЗО, №4. С.111-124.

60. Рид МСаймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. М.: Мир, 1977.

61. Рисс Ф., Секефалъви-Надъ В. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

62. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах // Успехи матем. наук. 1996. Т.51, №1. С.101-132.

63. Сапронов Ю.И., Царев С. Я. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах // Матем. заметки. 2000. Т.58, №5. С.745-754.

64. Свиридюк Г.А. К общей теории псевдопараболических уравнений // Рук. деп. ВИНИТИ, 1984, №6552 ДЕП.

65. Свиридюк Г.А. Линейные соболевские уравнения // Рук. деп. ВИНИТИ, 1985, №4265 ДЕП.

66. Свиридюк Г.А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения // ДАН СССР. 1986. Т.289, №6. С.1315-1318.

67. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного уравнения типа Соболева // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, №12. С.2169-2171.

68. Свиридюк Г.А. О многообразии решений одной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравн. 1988. Т.24,№10. С.1846-1848.

69. Свиридюк Г.А. Многообразия решений одного класса эволюционных и динамических уравнений // ДАН СССР. 1989. Т.304, №2. С.301-304.

70. Свиридюк ГА. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска // Изв. ВУЗ. Матем. 1989. №2. С.55-61.

71. Свиридюк Г.А. О разрешимости одной модельной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости // Совр. анал. и его прилож. Сб. научн. трудов. Киев: Наукова думка, 1989. С. 508-515.

72. Свиридюк Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости // Изв. ВУЗ. Матем.1990. №12. С.65-70.

73. Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН СССР.1991. Т.318, т. С.828-831.

74. Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв. АН СССР, сер. матем. 1993. Т.57, №3. С.192-207.

75. Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальным оператором // ДАН СССР. 1993. Т.329, №3. С.274-277.

76. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов //Успехи матем. наук. 1994. Т.49, №4. С.47-74.

77. Свиридюк Г.А. Линейные уравния типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами // ДАН. 1994. Т.337, №5. С.581-584.

78. Свиридюк Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязко-упругой жидкости // Изв. ВУЗ. Матем. 1994. №1. С.62-70.

79. Свиридюк Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно секториальным оператором // Алгебра и анализ. 1994. Т.б, №5. С.252-272.

80. Свиридюк Г.А. Морфология фазового пространства одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Вест. ЧелГУ, сер. матем., мех. 1999. №2. С.68-86.

81. Свиридюк Г. А., Апетова Т.В. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева // ДАН. 1993. Т.ЗЗО, т. С.696-699.

82. Свиридюк Г.А., Бокарева Т.А. Число Деборы и один класс полулинейных уравнений типа Соболева // ДАН СССР. 1991. Т.319, №5. С.1082-1086.

83. Свиридюк Г.А., Келлер. А.В. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного классалинейных уравнений типа Соболева // Изв. ВУЗ. Матем. 1997. №5. С.60-68.

84. Свиридюк Г.А., Климентъев М.В. Фазовые пространства уравнений типа Соболева с «-монотонными и сильно коэрцитивными операторами // Изв. ВУЗ. Матем. 1994JH1. С.75-82.

85. Свиридюк Г. А., Семенова И.Н. Разрешимость неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. №9. С.1607-1611.

86. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Быстро-медленная динамика вязкоупругих сред // ДАН СССР. 1989. Т.308, №4. С.791-794.

87. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко JI.JI. Необходимые и достаточные условия относительной сг-ограниченности линейных операторов // ДАН. 1995. Т.345, Ш, С.25-27.

88. Свиридюк Г.А., Суханова М.В. Разрешимость задачи Коши для линейных сингулярных уравнений эволюционного типа // Дифференц. уравн. 1992. Т.28, №3. С.508-515.

89. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1995. Т.36, №5. С.252-272.

90. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами // Сиб. матем. журн. 1998.Т.39, т. С.604-612.

91. Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Фазовое пространство начально краевой задачи для системы Осколкова // Дифференц. уравн. 1996, Т.32, №11. С.1538-1543.

92. Сидоров Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией // Матем. заметки. 1984. T.25,JVfi4. С. 569-578.

93. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений //Дифференц. уравн. 1983. Т.19, №9. С.1516-1526.

94. Сидоров Н.А., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при старших производных // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19, т. С.1516-1526.

95. Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. Т.18. С.3-50.

96. Соболев C.JI. Применение функционального анализа к математической физике. JL: Наука, 1961.

97. Суворов С.Г. Вариационная постановка эллиптически-параболической задачи Веригина // Исслед. матем. моделей фильтр, жидкости и газа в пористых средах. Киев. 1987. С.20-29. (Препринт / АН УССР Ин-т математики; №87. 7)

98. Трибелъ X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

99. Трубников Ю.В., Перов А.И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. Минск: Наука и техника, 1986.

100. Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1996.

101. Федоров В.Е. Группы и полугруппы операторов с ядрами. Учеб. пособ. Челябинск: ЧелГУ, 1998.

102. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов // Изв. ВУЗ. Матем. 2000. №3. С.54-65.

103. Хатсон В., Пим Дж. Приложение функционального анализа к теории операторов. М.: Мир, 1983.

104. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

105. Эдельштейн C.JI. Асимптотическое расщепление краевых задач для абстрактных дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения. 1994.Т.30., №5. С. 797805.

106. Якупов М.М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.

107. Chen P.J., Gurtin М.Е. On a theory of heat conduction involving two temperatures // Z.Angew. Math. Phys. 1968. V.19, P.614-627.

108. Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation щ = uxx—uxxt on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V.19. P.100-116.

109. Demidenko G. V. Lp-theory of boundary value problems for Sobolev type equations // Part. Diff. Eq. Banach center publ. V.27. Warzava. 1992. P.101-109.

110. Hallaire M. On a theory of moisture-transfer // Inst. Rech. Agronom. 1964.

111. Favini A. An operational method for abstract degenerate evolution equations of hiperbolic type // Funct. Anal. 1988. V.76. P.432-456.

112. Favini A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems // Rend. mat. 1979. V.12,№3-4. P.511-536.

113. Favini A. Sobolev type equaitons // Part. Diff. Eq. Banach center publ. Warzava. 1992. V.27. P.101-109.

114. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces N.-Y.: Marcel Dekker, Inc. 1999.

115. Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations // Ann. Mat. Pure ed Appl. 1993. V.CLXIII. P.353-384.

116. Lagnuese J.E. Singular differential equations in Hilbert space // SIAM J. Math. Anal. 1973. V.4, №4. P.623-637.

117. Levine H.A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = -Au+F(u). 11 Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V.51, №5. P.371-386.

118. Lightbourne J.H.A. Partial functional equations of Sobolev type //J. Math. Anal. Appl. 1983. V.93, №. P.328-337.

119. Showalter R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type // SIAM J. Math. Anal. 1975. V.6,№1. P.25-42.

120. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type 11 Pacific J. Math. 1963. V.31, №3. P.787-794.

121. Showalter R.E. The Sobolev type equations. I(II) // Appl. Anal. 1975. V.5. Ш. P. 15-22 (№2. P.81-89).

122. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. V.l, №1. P.l-26.

123. Ting T. W. Certain non-steady flows of second order fluids // Arch. Rat. Mech. Anal. 1963. V.14, №1. P.28-57.

124. Vragov V.N., Kozhanov A.I., Pyatkov S.G. , Glazatov S.N. On the theory of nonclassical equations of mathematical physics // Conditionally wellposed problems. Moscow, Utrecht: TVP/TSP. 1993. P.299-321.

125. Xi Gen Qi Well-posedness of abstract dynamical equations // Acta Math. Sci. 1992. V.12, M. P.56-67. (Chinese)

126. Xu Gen Qi. Well-posedness of abctract kinetic equation boundary value problems // Acta. Math. Sci.1993. V.13., №3. P.323-334.

127. Загребина С. А. Исследование системы уравнений Осколкова // Рук. деп. ВИНИТИ, 1998, ДО2442-В98.

128. Загребина С.А. Задача Веригина-Дирихле для уравнения Хоффа // Тез .докл. Четв. Сиб. конг. прикл. и индустр. матем., ИНПРИМ 2000. Новосибирск, 2000. С.57-58.

129. Загребина С.А. Задача Веригина для одного класса линейных уравнений соболевского типа // Рук. деп. ВИНИТИ, 2000, ДО3248-В00 ДЕП.

130. Загребина С.А. О задаче Веригина-Дирихле для линейных уравнений фильтрации // Межд. школа-семинар по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2000. С.227-228.

131. Загребина С.А. О задаче Веригина-Дирихле для уравнения Осколкова // Межд. конф. "Дифференц. и интегр. уравн.". Одесса, 2000. С.107.

132. Загребина С.А. Задача Веригина для уравнений соболевского типа с относительно р-радиальными операторами // Вест. Челяб. ун-та. Сер. Математика, механика. 2001. №1 (6). С.41-44.

133. Загребина С.А. Задача Веригина для уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами // Алгоритм, анал. неуст. задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург, 2001. С. 147-148.

134. Загребина С.А. Задача Веригина для уравнений соболевского типа с (L, р)-секториальными операторами // Пробл. матем. образ, в пед. вузах на совр. этапе: Тез.докл. научн.-практ. конф. вузов Уральской зоны, 26-29 марта 2001 г. Челябинск, 2001. С. 15 16.

135. Загребина С.А. О задаче Веригина-Дирихле для уравнений соболевского типа // Уравнения соболевского типа: Сб. работ под ред. В.Е.Федорова. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С.196-199.

136. Свиридюк Г.А., Загребина С.А. Об одной новой задаче для уравнений соболевского типа // Межд. конф. "Дифференц. и интегр. уравн.". Челябинск, 1999. С. 101.

137. Georgy A. Sviridyuk, Sophiya A. Zagrebina. On the Verigin-problem for one class of Sobolev-type linear equations // Тез. докл. Ill Межд. конф. по мат. моделир. Якутск. 2001. С. 5-6.