автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитические методы стандартных элементов для моделирования стационарных физических полей в линейных кусочно-однородных и нелинейных средах

Пашковский Александр Владимирович

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАНДАРТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЛИНЕЙНЫХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

№ 22Ц

005549387

Новочеркасск - 2014

005549387

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «ЮжноРоссийский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова».

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Ткачев Александр Николаевич

Официальные оппоненты: Князев Сергей Юрьевич,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет», профессор кафедры «Математика»

Наседкин Андрей Викторович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», профессор кафедры «Математическое моделирование»

Сипливый Борис Николаевич,

доктор технических наук, профессор,

ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный

университет»,

профессор кафедры «Теоретическая физика и волновые процессы»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный технический университет»

Защита состоится « 4 » июля 2014 г. в 10-00 на заседании диссертационного совета Д 212.304.02, созданного на базе Южно-Российского государственного политехнического университета (НПИ) имени М.И. Платова, в 149 ауд. главного корпуса университета по адресу: 346428, Ростовская область, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО ЮРГПУ (НПИ) имени М.И. Платова и на сайте www.npi-tu.ru

Автореферат разослан 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.304.02 к.т.н., профессор

А.Н. Иванченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Решение современных задач проектирования новой техники, получения новых материалов, разработка новых технологий требуют проведения точных и быстрых расчетов физических полей различной природы. Такие расчеты во многих случаях могут быть выполнены существующими численными методами. Используются метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), а также модифицированные и комбинированные методы, основанные на них. Однако, при усложнении и уточнении формулировок задач, при сложных геометрии и материальных свойствах расчетных областей, в условиях больших градиентов решения и его особенностей, при наличии разнородных включений в кусочно-неоднородных средах, их нелинейных характеристиках наблюдается рост погрешности расчетов физических полей с использованием указанных методов. Для достижения требуемой точности в условиях перечисленных факторов при расчетах, выполняемых с помощью данных численных методов, приходится увеличивать время, необходимое для подготовки исходных данных, выполнять более мелкое разбиение расчетных областей. Это приводит к увеличению размерности решаемых систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и, как следствие, к значительному росту вычислительных затрат, времени расчетов, особенно в тех случаях, когда эти расчеты являются многовариантными.

Подобные особенности делают проблематичным использование вышеперечисленных методов для решения следующих часто возникающих на практике задач:

— комплексных, когда необходимо выполнить одновременный расчет нескольких физических полей;

— непрямого контроля параметров полей и параметрического управления;

— расчета физических полей, выполняемого в условиях многовариантности, например, связанной с изменением геометрии (характерных размеров устройств и взаимного положения их элементов);

— оптимизации, связанной с выбором оптимальных параметров устройств;

— обратных задач, например, при:

а) непрямом измерении характеристик материалов;

б) большом числе угловых точек, в которых решение имеет особенности;

в) возникновении осцилляции решения;

г) наличии мили- и микровключений, вносящих большие погрешности и приводящих к неустойчивости численного решения;

д) расчете трехмерных физических полей в нелинейных кусочно-однородных средах.

Это обосновывает актуальность разработки новых эффективных методов, обеспечивающих снижение необходимых вычислительных ресурсов, сокращение времени расчетов и их устойчивость, повышение точности расчетов физических полей в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах, в том числе, когда решение в угловых точках области имеет особенность, при наличии тонких включений, возникновении осцилляции решения. В диссертационной работе построены новые численно-аналитические методы стандартных элементов для расчета физи-

ческих полей, в основе которых лежит представление расчетной области в виде объединения стандартных элементов (СЭ), а также нахождение приближенного решения с использованием аналитических решений краевых задач в СЭ, принадлежащих пространству Соболева и задание операторов «связи» следов решения с нормальными производными на границах СЭ. Разработанные методы являются эффективными, обеспечивают снижение необходимых вычислительных ресурсов, сокращение времени расчетов, устойчивость и высокую точность. Это достигается с помощью:

- снижения объема необходимых вычислений, которое осуществляется в результате увеличения размеров элементов разбиения расчетной области при введении СЭ и блоков из них без потери точности;

- повышения гладкости приближенного решения, достигаемого при одновременном уменьшении числа СЭ в расчетной области, например, по сравнению с числом конечных элементов в МКЭ;

- использования точных (аналитических) решений краевых задач в СЭ;

- предварительной оценки точности приближенного решения, выполненной с использованием функционала краевой задачи, разработанной математической модели и тестовых примеров, построенных для рассмотренных методов;

- повышения точности нахождения нормальных производных и точности выполнения условий их склейки на границах СЭ;

- использования коэффициентов рядов Фурье для следов решения на границах СЭ при «склейке» граничных условий в отличие от общепринятой «склейки» с использованием узловых значений;

- снижения размерности матриц решаемых СЛАУ и их блочно-ленточной структуры;

- учета особенности решения в окрестности угловых точек;

- возможности использования при реализации математических моделей параллельного программирования и многоядерных ПК.

Целью диссертационной работы является создание новых численно-аналитических методов стандартных элементов, разработка основанных на них комбинированных методов, а также пакетов программ, обеспечивающих повышение точности расчета физических полей в задачах, решение которых должно находиться в режимах реального времени, многовариантных задачах для областей со сложной геометрией, при наличии особенностей решения в угловых точках, тонких включений, осцилляций решения, при учете нелинейных свойств материалов.

Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработаны теоретические основы новых численно-аналитических методов, в том числе метода стандартных элементов с использованием рядов Фурье (МСЭФ), предполагающих построение операторов «связи» следов нормальных производных и следов решений на границах СЭ, а также метода вспомогательных функций (МВФ) для расчета физических полей в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах.

2. Разработаны теоретические основы новых численно-аналитических комбинированных методов: метода СЭ с использованием рядов Фурье и конечных элементов (КМСФиКЭ), метода вспомогательных функций и конечных элементов (КМВФиКЭ) для расчета поля в нелинейных средах, а также методики их числен-

ной реализации.

3. Разработаны методики «склейки» двух и трехмерных СЭ с использованием граничных узловых значений решения и коэффициентов Фурье, которые реализованы в комбинированном МСЭФ с МКЭ.

4. Разработана новая методика «склейки» СЭ при использовании вспомогательных функций, обеспечивающая возможность построения блоков СЭ, комбинирование МВФ и МКЭ, и позволяющая повысить точность расчетов.

5. Создана расчетная библиотека двух и трехмерных СЭ (19 типов: прямоугольники, бесконечный прямоугольник, треугольник, сектора, круг, параллелепипеды и т.д.), которые кроме геометрии определяются:

— дифференциальным оператором, соответствующим решаемой в СЭ задаче;

— граничными условиями и оператором, задающим в аналитическом виде связь между решением на границе СЭ и его нормальной производной для рассматриваемой краевой задачи.

6. В результате проведенных численных экспериментов выполнены сравнительные оценки точности МКЭ, МГЭ, МТИ, МСЭФ, МВФ, КМГиКЭ, КМСФиКЭ, КМВФиКЭ.

7. Разработан алгоритм линеаризации нелинейных характеристик среды, заполняющей СЭ при использовании МСЭФ и МВФ для моделирования физических полей в нелинейных средах.

8. Выполнены сравнительные оценки точности МВФ путем сопоставления с аналитическими решениями полевых задач, в том числе при наличии особенностей в окрестностях угловых точек расчетной области.

9. Получены и проанализированы результаты решений двух и трехмерных модельных краевых задач при условии варьирования свойств расчетных областей (однородная, кусочно-однородная, с источниками и без них).

10. Определена и проанализирована структура блочно-ленточной СЛАУ, возникающей при решении исходных краевых задач разработанными методами.

11. Проведены численные эксперименты с целью сравнения разработанного МВФ и МКЭ при различных размерах конечных элементов и варьировании свойств расчетных областей.

12. Оценена точность МВФ и КМВФиКЭ при наличии осцилляции решения в расчетной области, а также значительной диспропорции размеров СЭ в различных направлениях.

13. Выполнена теоретическая оценка точности представлений следов решения краевой задачи на границах СЭ при использовании МВФ и МСЭФ.

14. Выполнена оценка точности МВФ, КМСФиКЭ, КМВФиКЭ при использовании экспериментальных данных, результатов расчетов, выполненных МКЭ, МГЭ, МТИ, КМГиКЭ с помощью пакетов прикладных программ применительно к расчетам:

а) магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами;

б) температурного поля якоря тягового электродвигателя;

в) электростатического поля каталитической системы;

г) магнитного поля трех- и двухмерного подъемного модуля и создаваемой им подъемной силы.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач использованы численные методы решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, численные методы решения СЛАУ, методы математической физики, теории вариационного исчисления, интегрального и дифференциального исчислений, методы математического моделирования, методы вычислительной математики, специализированные программные среды, выполнены численные и физические эксперименты.

Достоверность и обоснованность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации и других полученных результатов обеспечивается обоснованностью принятых допущений, строгостью формальных и математических преобразований, использованием фундаментальных уравнений теории физических полей, оценкой точности решения краевых задач в условиях наличия угловых точек с особенностями решения, осцилляции решения, разнородных включений с использованием точных аналитических решений, а также применением для оценки достоверности результатов современных пакетов прикладных программ, данных физических экспериментов.

Научная новизна результатов исследования состоит в следующем:

— в МСЭФ и КМСФиКЭ предложена вариационная постановка решаемых краевых задач, отличающаяся использованием новых "основных" функционалов, найденных в результате преобразования интеграла Дирихле, минимизация которых в области, полученной в результате объединения СЭ б,-, осуществляется в классе

функций, принадлежащих пространству Соболева )К22 {С,). Это обеспечивает существование нормальных производных решения на границах СЭ, а также существование разложений следов решений на границах СЭ в ряды Фурье;

— получены новые соотношения, задающие связь между следами решений на границе СЭ и следами нормальных производных, которые используются в вариационной постановке для нахождения интегралов по границам СЭ. Разработаны две методики «склейки» СЭ, в том числе:

а) с использованием узловых значений решения;

б) с использованием коэффициентов Фурье следов решения на границах СЭ.

— предложены новые подходы к решению краевых задач (МВФ и КМВФиКЭ), отличающиеся тем, что они не предполагают использование вариационного принципа для решения краевых задач, а построение блочно-ленточных СЛАУ при их реализации осуществляют с помощью вспомогательных функций, которые определяются с учетом решаемых в СЭ краевых задач;

— разработан новый алгоритм построения блочно-ленточных СЛАУ, к решению которой сводится решение краевой задачи, отличающийся от МКЭ тем, что он не требует минимизации функционала по узловым значениям решения, а в качестве неизвестных в СЛАУ служат коэффициенты Фурье следов решений на границах СЭ или узловые значения решений и коэффициенты Фурье одновременно;

— предложена методика оценки погрешности математической модели, построенной с использованием СЭ, отличающаяся тем, что позволяет обосновать выбор СЭ для дискретизации расчетной области с учетом требуемой точности решения и необходимых вычислительных ресурсов;

- проведен комплексный анализ точности разработанных методов путем решения набора полевых задач в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах, имеющих характерные особенности, оказывающие влияние на точность расчетов (угловые зоны, точки с особенностями решения, осцилляция решения, тонкие включения, значительные колебания характеристик материалов, заполняющих расчетную область).

Научная значимость работы состоит в том, что для расчета физических полей предложены научно-обоснованные и экспериментально подтвержденные новые численно-аналитические методы стандартных элементов, а также методики «склейки» стандартных элементов, которые могут быть использованы для решения широкого класса прикладных задач и обеспечивают повышение точности расчетов при снижении затрат вычислительных ресурсов.

Практическая значимость: разработанные в диссертационной работе численно-аналитические МСЭФ, МВФ и КМСФиКЭ, КМВФиКЭ предназначены для расчета физических полей различной природы в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах. Их использование по сравнению с существующими численными методами позволяет:

- снизить степень дискретизации (размеры элементов разбиения) расчетных областей, уменьшить размерность решаемой СЛАУ, повысить скорость выполнения многовариантных расчетов поля за счет введения СЭ;

- уменьшить погрешность выполненных расчетов за счет более точного (с использованием аналитических решений) представления приближенного решения в СЭ;

- получать непрерывно дифференцируемые решения внутри СЭ, что обеспечивает снижение погрешности вычисления векторов физических полей по их потенциалам и высокую точность нахождения их интегральных характеристик;

- обеспечить высокую точность расчетов поля при наличии особенностей решения, его осцилляции и наличии тонких включений в расчетной области;

- учитывать асимптотику решения и наличие особенности в окрестности угловых точек, решать внешние краевые задачи с использованием аналитических решений в рассмотренных неограниченных СЭ;

- использовать разработанные методы для решения комплексных задач нераз-рушающего и непрямого контроля, параметрического управления, задач оптимизации и других многовариантных задач;

- решать задачи расчета поля в расчетных областях, заполненных неоднородными средами, в том числе с нелинейными характеристиками, при диспропорции размеров СЭ, при наличии мили- и микровключений;

- служить в качестве быстродействующих эффективных решателей в комплексах программ расчёта физических полей.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Численно-аналитические методы МСЭФ, МВФ и алгоритмы их реализации, позволяющие с повышенной точностью решать полевые задачи в двухмерных и трехмерных расчетных областях, в том числе при наличии нелинейных включений.

2. Комбинированные методы, предполагающие одновременное применение МСЭФ, МВФ и МКЭ, а также реализующие их алгоритмы, позволяющие повысить точность решения полевых задач в двухмерных и трехмерных расчетных неодно-

родных областях, в том числе содержащих нелинейные включения.

3. Вариационные постановки краевых задач в МСЭФ и КМСФиКЭ и новые «основные» функционалы, позволяющие повысить гладкость решения, точность нахождения нормальных производных потенциалов, обеспечивающие существование разложений следов решений на границах СЭ в ряды Фурье.

4. Новые методики построения уравнения «связи» между следами нормальной производной и решения на границах СЭ, согласно которым вместо функционала в виде интеграла Дирихле используются «основные» функционалы, содержащие интегралы по границам СЭ.

5. Численные реализации МСЭФ, КМСФиКЭ на основе двух разработанных методик «склейки» СЭ, обеспечивающие возможность комбинирования МСЭФ с МКЭ с использованием:

— узловых значений решения на границах СЭ;

— коэффициентов Фурье следов решения на границах СЭ.

6. Новый, отличающийся от стандартного, не вариационный подход к решению краевых задач, основанный на МВФ, применение которого не требует минимизации функционала при решении краевой задачи.

7. Новые методики построения уравнений «связи» между следами нормальной производной и решения на границах СЭ на базе МВФ и КМВФиКЭ, позволяющие формировать блоки СЭ, которым соответствуют блочные СЛАУ, что обеспечивает повышение точности расчетов.

8. Новые способы формирования блочно-ленточных СЛАУ согласно КМСФиКЭ и КМВФиКЭ, с использованием коэффициентов Фурье следов решения на границах СЭ и узловых значений решения в нестандартных подобластях.

9. Методики построения «основных» функционалов для краевых задач в случаях двух и трехмерных типовых СЭ, отличающихся от интеграла Дирихле, которые образуют библиотеку «основных» функционалов.

10.Алгоритмы приближенного учета нелинейных материальных характеристик среды в СЭ на каждом шаге итерации, построенные на базе МСЭФ и МВФ, позволяющие выполнять расчет двух и трехмерных физических полей путем сведения нелинейной среды к кусочно-однородной линейной.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях:

— Международная научно-техническая конференция «Молодая наука новому тысячелетию». — Набережные Челны: КамПИ, 1996;

— Международная научно-техническая конференция «Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах». — Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2000;

— Международная научно-практическая конференция «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики». - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2000;

— XIV Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях». -Смоленск, 2001;

— III Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2002». — Санкт-Петербург, 2002;

— XVII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях». - Кострома: КГТУ, 2004;

— XXVI Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях». - Саратов: СГТУ, 2013;

Российских конференциях:

— I Российская национальная конференция по теплообмену. — Москва, 1994;

— II Российская национальная конференция по теплообмену. — Москва, 1998;

— IV Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии». — Кисловодск, 2000;

— 13 Школа-семинар молодых ученых и специалистов «Физические основы экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепломассобмена в энергетических установках». - Санкт-Петербург, 2001;

— II Общероссийская научно-техническая конференция «Новые технологии в азотной промышленности». — Невинномысск: НТИ, 2007;

— Общероссийская научно-практическая конференция «Математическое моделирование, компьютерные и информационные технологии в технике, экономике и образовании». - Невинномысск: СевКавГТУ, 2009;

— XII Всероссийский симпозиум «Прикладная и промышленная математика». — Сочи-Адлер: СГУ, 2011.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 48 научных публикациях, среди которых 17 статей в научных журналах, рекомендованных ВАК, 1 авторское свидетельство на изобретение, 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Реализация и внедрение результатов работы. Тема диссертационной работы соответствует «Основным направлениям НИР ЮРГПУ (НПИ)» теме «Интеллектуальные электромагнитные устройства, системы и комплексы», разделу 9 «Математическое моделирование физических полей и процессов в технических устройствах и системах». Результаты диссертационной работы использовались при выполнении НИР в соответствии с тематическим планом НИР Невинномысского технологического института (филиал) ФГАОУ ВПО «СКФУ» «Математическое моделирование и информационные технологии в решении задач машиностроения» (ГР 01200614265), а также НИР в рамках программы «Участник молодежного научно-инновационного конкурса» («У.М.Н.И.К») (государственный контракт №:6642р/9109 от 02.03.09). Разработанные в работе численные методы, а также алгоритмы, методики, пакеты программ внедрены на следующих предприятиях: ОАО «Всероссийский научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт электровозостроения» (ОАО «ВЭлНИИ», г. Новочеркасск), ООО «ХимПро-ект» (г. Невинномысск), ООО «Экоцентр» (г. Невинномысск), в учебном процессе НТИ (филиал) ФГАОУ ВПО «СКФУ» (г. Невинномысск). Программы для ЭВМ зарегистрированы в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (№ 15811 от 03 июня 2010 г.) и реестре программ Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (№ 2010615042 от 05 августа 2010 г.). Внедрение результатов работы подтверждено соответствующими актами.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы из 156 наименований и приложений. Работа изложена на 364 страницах, включая 38 страниц приложений и 137 иллюстраций.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование темы диссертационной работы, сформулирована цель и задачи исследований, научная новизна и практическая ценность, представлена общая характеристика работы.

В первой главе «Численные методы моделирования физических полей» выполнен анализ публикаций по теме диссертационного исследования, который показал, что применяемые для расчета физических полей МКР, МКЭ, МГЭ, методы интегральных уравнений, а также комбинированные методы позволяют решать многие задачи расчета физических полей. Однако они обладают рядом недостатков.

Например, для МКР и МКЭ, в развитие которых большой вклад внесли, в том числе работы ученых Ю.А. Бахвалова, Г.А. Гринберга, К.С. Демирчяна, Ю.А. Иосселя, О.Ф. Ковалева, Г.И. Марчука, A.B. Наседкина, И.И. Пеккера, A.A. Самарского, А.Н. Тихонова и др., а также работы зарубежных ученых И. Бабушки, Р. Галлагера, Ж. Деклу, О. Зенкевич, Э. Митчелла, Дж. Одена, Ж. Сабон-надьер, JI. Сегерлинда, П. Сильвестера, Г. Стренга, Ф. Сьярле, Дж. Фикса и др., характерны:

— линейная или полиномиальная (невысокого порядка) аппроксимация решения;

— невысокая точность выполнения условий склейки нормальных производных решения на границе сред с различными свойствами материалов;

— необходимость привлечения значительных вычислительных ресурсов в случае бесконечных областей при введении искусственной границы, положение которой определяется с помощью вычислительных экспериментов;

— рост погрешности полевых расчетов при наличии осцилляции решения и его особенности в окрестности угловых точек;

— необходимость использования специальных методов формирования, хранения и обработки матриц решаемых СЛАУ;

— значительные затраты вычислительных ресурсов, возникающие при решении трехмерных задач;

— необходимость выполнения операции численного дифференцирования для определения векторов поля при расчете интегральных параметров поля и характеристик устройств, которая приводит к возникновению дополнительной погрешности.

МГЭ и комбинированные методы расчета, на нем основанные, получившие свое развитие, в том числе в работах В.И. Астахова, В.Г. Баженова, Ю.А. Бахвалова, П. Бенерджи, К. Бребия, Э.В. Колесникова, С. Крауча, А.Г. Никитенко, А.Н. Ткачева, О.В. Тозони и др., хотя и позволяют сократить степень дискретизации в расчетной области, по сравнению с МКЭ, однако:

— требуют решения интегральных уравнений с интегралами, содержащими функции с особенностями;

— приводят к формированию полностью заполненных матриц СЛАУ, часто имеющих большие числа обусловленности;

— требуют разработки и использования специальных приемов формирования матриц, особых методов решения СЛАУ для обеспечения приемлемой скорости сходимости итерационных процессов;

— методики использования некоторых комбинированных методов оказываются

неприменимыми для решения трехмерных задач.

Проведенный анализ показал, что при расчете физических полей в многосвязных кусочно-однородных средах с линейными и нелинейными характеристиками, возможности перечисленных методов ограниченны. Их использование, особенно в условиях наличия особенностей решения, его осцилляции, наличии включений, многофазности требует увеличения необходимого для подготовки исходных данных времени, высокой степени дискретизации расчетных областей, увеличения размерности решаемых СЛАУ, роста вычислительных затрат и времени расчета.

Альтернативными методами расчета физических полей в этих условиях становятся предложенные в работе численно-аналитические методы стандартных элементов, которые, как следует из анализа проведенных исследований, могут позволить:

— сократить степень дискретизации областей благодаря введению СЭ больших размеров;

— получать непрерывно дифференцируемые решения внутри каждого СЭ;

— повысить точность расчетов и сократить вычислительные затраты при наличии в расчетной области особенностей решения, осцилляции, узких включений.

Уравнение, с помощью которого могут быть описаны стационарные физические поля различной природы (электрические, магнитные, тепловые, токов в проводящей среде, диффузии, движения идеальной жидкости и др.), в общей формулировке имеет вид:

div(Z) grad u)=f, (1)

где и = и(М)\ D = D{M,u)\ Л/eQ; и = и(м) - подлежащая определению функция; О — область (двухмерная или трехмерная), в которой ищется распределение поля; М - точка области Q; D = D(M,u) — функция, задающая материальные свойства среды в области Q; / = f{M) — заданная функция, определяемая источниками поля.

На границе Г области Q должны быть заданы граничные условия, в качестве которых могут выступать условия первого рода (Дирихле), второго рода (Неймана) или третьего рода (смешанные).

При расчете физических полей в линейных кусочно-однородных средах рас-

т

четная область Q представима в виде Q= (Jfi^ ■ При этом функция D = D(m) в

к=I

каждой области Q.k задается равенством: D(M)= Dk = const; М е Qk, а на границе раздела сред должны выполняться условия непрерывности (условия связи), характерные для каждого конкретного вида физического поля.

Для решения краевых задач в постановке (1) разработанными методами в главе 1 введено понятие СЭ, которое предлагает рассматривать СЭ как математический объект, определенный геометрией, граничными условиями на частях его границ, дифференциальным оператором, определенным в СЭ, а также оператором, определяющим «связи» между решениями в смежных (соседних) СЭ. С учетом введенного определения, а также анализа типовых постановок краевых задач, решаемых при расчете физических полей, сформирована библиотека из 19 различных СЭ, представленных в таблице 1.

Таблица 1 - Библиотека СЭ

№ Тип СЭ Обозначение Геометрия Условия на границе

Дирихле Неймана

1 2 3 4 5 6

1 Треугольный ГДО123 2 1,2,3 —

2 Треугольный г копт К 1,2 3

3 Прямоугольный Я£СС1234 1,2,3,4 —

1 4 2 3

4 Прямоугольный кесы\ 0234 ч| 1 2,3,4 1

5 Прямоугольный Й£СМ2Й34 Ч ^ 3,4 1,2

6 Прямоугольный Л£СЛ'12304 Ч ^ 3 1,2,4

7 Постоянный магнит ЛЕС£>1234ш 1 1 1,2,3,4 —

8 Бесконечный й£С£»1234(оо) |_ 1,2,3,4 —

9 Круг ЖС£>1 О 1 —

10 Сектор 5£С£>1М2 1 2

11 Сектор кольца 5£С£> 1Л234 1 2,3,4

12 Сектор двойного кольца 5,£С2012ЛГ34 1,2 3,4

13 Сектор кольца с двумя границами ЖС7Л2Л'34 1,2 3,4

14 Параллелепипед 23456 о 1,2,3,4, 5,6

15 Параллелепипед РШт й2М56 2,3,4,5,6 1

16 Параллелепипед РД£Ла203456 3,4,5,6 1,2

17 Параллелепипед РЛ/.ЛГ123Д456 4,5,6 1,2,3

18 Параллелепипед РЛ^ЛП 234056 о* 5,6 1,2,3,4

19 Параллелепипед Р,ШУ1234506 6 1,2,3,4,5

Для обозначения СЭ в соответствии с его геометрической формой и граничными условиями на частях границы использовались следующие записи. Например, для прямоугольного СЭ с условиями Дирихле на сторонах, указывается: ЛЕС01234 (ЛЕС-сокращение английского перевода слова «прямоугольник», а /)1234 - задание условия Дирихле на всех сторонах СЭ). Аналогично, для СЭ в виде параллелепипеда с условиями Неймана на 1, 2, 3 гранях и условиями Дирихле на 4, 5, 6 гранях указывается: Л4ЛМ123£>456.

В главе сформулированы основные задачи исследований, определены пути их решения.

Во второй главе «Численно-аналитические методы стандартных элементов для моделирования физических полей в линейных средах» для моделирования физических полей в линейных кусочно-однородных средах разработаны два базовых метода: МСЭФ и МВФ. Сформулированы основные виды краевых задач, к решению которых сводится расчет физических полей (магнитных, электрических, тепловых и т.д.). Изложены теоретические основы МСЭФ и МВФ, суть которых состоит в следующем.

Согласно МСЭФ предлагается следующая вариационная постановка краевых задач. Предполагается, что решение, определенное в СЭ С,- принадлежит пространству Соболева ^2(С7,). Используются два новых, так называемых, «основных» функционала. Первый из них имеет вид:

п

J^(ll^, и2,..., и„)= YJDi (2)

где функции /*}(н,-) определены через узловые значения следов решения и{ на границах СЭ ^ . Второй функционал представим в виде:

п к к ш=1 1=17=1

где Я;, а] - наборы коэффициентов Фурье следов решения на границах СЭ Б,, а

су — найденные арифметические выражения, зависящие от размеров СЭ и его положения в пространстве.

Согласно МСЭФ операторы «связи» выражаются через следы решения на границах СЭ в виде одномерного ряда Фурье. Для нахождения решения в СЭ предложено две методики: с помощью узловых значений решения на границах СЭ и с помощью коэффициентов рядов Фурье следов решения на границах СЭ. Данные методики соответствуют двум реализованным в МСЭФ способам «склейки» СЭ и решений в них. При этом используются уравнения «связи» между решением м, и его нормальной производной на границе СЭ, а также полученные «основные» функционалы из библиотеки СЭ.

Для каждого СЭ заданной геометрии из построенной библиотеки получены «основные» функционалы МСЭФ вида (2), (3), соответствующие типовым краевым задачам в СЭ при возможных условиях Дирихле и Неймана на границах. Найденная в соответствии с МСЭФ совокупность функционалов образует библиотеку «основных» функционалов, которая применяется при выполнении разбиения расчетных областей. При этом формирование функционала, соответствующего крае-

вой задаче, сводится к простому суммированию «основных» функционалов.

Показано, что решения и,- в СЭ Сг, и их нормальные производные ди^дп на границах СЭ, входящие в каждый интеграл функционала (2) и (3), выражаются либо через неизвестные значения решения в узлах, расположенных на границах СЭ и лежащих внутри расчетной области, либо через неизвестные коэффициенты рядов Фурье следов решений на границах СЭ. Формирование блочно-ленточной СЛАУ, соответствующей решаемой краевой задаче, выполняется в результате минимизации функционала общей задачи по неизвестным узловым значениям или коэффициентам Фурье. Решение исходной краевой задачи во всех точках СЭ определяется по найденным в результате решения СЛАУ неизвестным. Для нахождения решения в отдельных точках СЭ или линиях внутри него, вводится дополнительный СЭ, границы которого содержат эти точки или совпадают с линиями. Это позволяет, не находя вид решения внутри СЭ, вычислять искомые значения с использованием следов решения на рассматриваемых границах дополнительных СЭ.

Разработанный МВФ также требует введения СЭ в расчетной области. Однако в нем реализован иной подход для обеспечения «склейки» СЭ и формирования СЛАУ, соответствующей решаемой задаче. Согласно МВФ решение в каждом СЭ ^ ищется в классе функций из пространства IV^ (О,). При этом в каждом СЭ вводятся специальным образом определенные в нем вспомогательные функции. При решении в СЭ задачи Дирихле, они выбираются так, чтобы их следы обращались в ноль на всех частях границы СЭ, за исключением стороны «склейки». Например, вспомогательная функция при «склейке» по стороне бесконечного прямоугольного СЭ Л£СС1234(оо), введенного для решения двухмерных х полевых задач для открытых систем (рис. 1), имеет вид:

Рис. 1-Пара бесконечных плх

СЭ Г2п=2/4Ььт^е * •

Ъ

Если на частях границы СЭ должно выполняться условие Неймана, то на данных частях границы в нуль должна обращаться нормальная производная вспомогательных функций. Такая методика позволяет получить интегро-дифференциальное выражение, связывающее решение и нормальную производную на границе СЭ. Это позволяет:

— исключить в уравнениях «склейки» неизвестные значения нормальных производных решения и использовать для выполнения условий «склейки» лишь неизвестные значения решения на границах СЭ;

— получить на каждой стороне «склейки» СЭ предельные значения интегро-дифференциальных выражений, приравнивание которых позволяет сформировать уравнения блочно-ленточной СЛАУ, соответствующей решаемой краевой задаче.

Реализации МВФ не требует использования вариационного подхода, что отличает его от МСЭ, МСЭФ и КМСФиКЭ. Так для пары смежных четырехугольных СЭ , й2, решение в которых задается функциями г/|, и2 при введении вспомогательных функций К|2, У21 интегро-дифференциальное уравнение «связи» для следов решений на общей границе «склеенных» СЭ имеет вид:

А

1<Рп «и

дУ

12

дп

ds + |ф12

5и «12

эк.

12

|ф13

дУ

12

•^12

«13

дп

«13 «14

дУ

12

дп

с1я

«14

~-0-

! Ф21 «21

эк

21

дп

/ ф22

«21 «22

ЭК

21

<к + | ф23 «22 «23

ЭК,

21

|ф24

«23 «24

дУ~

21

дп

¿8

«24

где фу — следы функций г/(, м2 на границах СЭ. Уравнения (4) записываются на

каждой стороне «склейки» для всех пар СЭ. Так, при «склейке», например, бесконечного СЭ с соседними СЭ в качестве неизвестных в уравнениях (4) являются коэффициенты Фурье следов решения на сторонах конечных и бесконечных СЭ. В результате формируется блочно-ленточная СЛАУ, соответствующая исходной краевой задаче. После решения СЛАУ находятся коэффициенты разложения искомой функции и в ряд Фурье на всех сторонах СЭ. Далее, решение краевой задачи в области СЭ определяется с использованием найденных на его границах коэффициентов Фурье. При необходимости нахождения решения в отдельных точках или на линиях, лежащих внутри СЭ, как и в МСЭФ, вводятся дополнительные СЭ, границы которых содержат эти точки или совпадают с линиями. Далее, искомое решения определяется через следы решения на границах дополнительных СЭ. Уравнения «связи» типа (4) конкретизированы для всех СЭ сформированной библиотеки.

В соответствии с алгоритмом МВФ, построенным для случаев двух-, трехмерных СЭ и бесконечного СЭ получены уравнения «связи» для краевой задачи Дирихле в области, образованной объединением СЭ. Сформированы соответствующие СЛАУ, проанализирована их структура. Анализ показал, что при выполнении требований, сформулированных в алгоритме МВФ к разбиению области, СЛАУ является разреженной и имеет блочно-ленточную структуру.

Показано, что при распределении в области СЭ источников поля при решении краевой задачи для уравнения Пуассона могут быть использованы уравнения «связи», полученные ранее МСЭФ и МВФ применительно к решению краевых задач для уравнения Лапласа. При этом уравнения «связи» сохраняют свою структуру, однако, содержат дополнительные слагаемые, учитывающие наличие источников поля.

Разработаны алгоритмы использования МСЭФ и МВФ для решения задач расчета магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами, наличие которых приводит к необходимости решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Показано, что введение СЭ, покрывающих область, заполненную постоянными магнитами, позволяет учесть намагниченность М условиями «склейки» смежных с постоянным магнитом СЭ. Показано, что в этом случае СЛАУ может быть сформирована с использованием уравнений «связи», полученных ранее для решения краевых задач для уравнения Лапласа. При этом коррекция каждого уравнения «связи» СЛАУ для соответствующей части границы двух- или трехмерного СЭ, покрывающего постоянный магнит, сводится к изменению правой части уравнения. Дополнительное слагаемое для уравнения Пуассона выражается через намагниченность М.

Рассмотрен также случай, когда источниками поля в МС выступают катушки с током. Моделирование магнитного поля сводится к формированию и решению

СЛАУ относительно проекций векторного потенциала. При формировании СЛАУ учитываются условия на границах «смежных» СЭ, которые могут быть выражены через производные проекций векторного потенциала. Дополнительное слагаемое может быть получено с использованием частных решений уравнения Пуассона, либо интегрированием выражения, содержащего заданную в СЭ функцию плотности тока, распределенной по его области.

Рассмотренные и включенные в библиотеку СЭ не исчерпывают все возможные геометрические формы СЭ. Допустимо использование иных СЭ, а сама библиотека предполагает расширение. При этом уравнения «связи» для них формируются согласно разработанной методике.

В третьей главе «Численно-аналитические методы стандартных элементов для моделирования физических полей в нелинейных средах» разработанные ранее для кусочно-однородных линейных сред алгоритмы МСЭФ и МВФ обобщены применительно к решению задач расчета физических полей в нелинейных средах.

Использование аналитических решений краевых задач в СЭ и обеспечение более точной «склейки» нормальных производных на границах СЭ в МСЭФ и МВФ дает возможность, варьируя геометрию СЭ, увеличивать их предельные размеры. Это позволяет, уменьшая размеры используемых СЭ в нелинейных частях расчетной области, делать их более крупными в части расчетной области с линейными характеристиками. Таким образом, обеспечивается преимущество данных методов по сравнению с МКЭ с точки зрения необходимых вычислительных ресурсов и времени расчета при сохранении высокой точности. При использовании МСЭФ и МВФ для расчета полей в нелинейных средах на каждой итерации, как и в МКЭ, предполагается, что материальные свойства среды линейны в пределах каждого СЭ. Тогда на каждой итерации краевая задача для уравнения Пуассона (1) решается в кусочно-однородной среде (КОС). В главе приводится описание МВФ применительно к решению задачи расчета стационарного магнитного поля.

Разработана методика расчета на каждом итерационном шаге среднего значения индукции в СЭ, которое используется для линеаризации материального уравнения. Найденные в результате решения блочно-ленточной СЛАУ коэффициенты рядов Фурье следов потенциала А на границах СЭ используются для определения проекций индукции на границах СЭ, а также на расположенных внутри СЭ вспомогательных линиях для последующего вычисления среднего значения индукции (в) в СЭ.

Например, для прямоугольного СЭ (рис.2) проекции индукции находятся на границах $1, ¿з, «4 и на вспомогательных линиях 1\, 12. Среднее значение (/?) в СЭ выражается через коэффициенты Фурье ап, Ьт следов решений на границах. Для его нахождения определяются величины:

{В)г = У/а' • Xп2ап2 + П21Ъ ■ £т\,2 ,г = 1Д

V п=1 »1=1

Здесь рассматриваются все возможные усреднения, т. е. используются значения коэффициентов Фурье, найден-

54

ь (А) * <в«> $2

№ /,

0 а X

Рис.2 - К линеаризации

материального оператора

ные для следов решения на граничных л,- и вспомогательных отрезках /,-, а искомое значение (Б) определяется усреднением всех найденных значений (Е>)г при

г = 1,9. Такой способ определения индукции на каждом шаге не требует нахождения потенциала поля в виде отрезка ряда Фурье на границе или в области СЭ. После нахождения среднего значения и линеаризации материального уравнения выполняется расчет. По его результатам аналогичным образом находятся средние значения индукции (й^) в частях СЭ (рис.2), ограниченных сторонами 5,- СЭ и отрезками прямых которые сравниваются со значением (В)г ■ Если погрешность не

превосходит допустимую, осуществляется переход к вычислению нового значения магнитной проницаемости, а затем к следующему шагу итерационного процесса. В противном случае выполняется дополнительное разбиение СЭ. Процедура выполнения дополнительного разбиения автоматизирована и не требует корректировки исходных данных. Соответствующее значение магнитной проницаемости в СЭ, расположенном в части расчетной области с нелинейными магнитными характеристиками, на каждом г-м шаге (г = 0, 1, 2...) определяется по кривой намагничивания.

В результате МСЭФ и МВФ можно использовать для расчета физических полей в нелинейных средах аналогично МКЭ путем перехода от нелинейной среды к кусочно-однородной линейной. Однако, сложная геометрия границы области или сложная многокомпонентная структура заполняющего ее материала могут приводить к невозможности полного заполнения области СЭ в силу ограниченности библиотеки СЭ, сложности аппроксимации области СЭ или в связи с необходимостью слишком мелкого разбиения приграничных зон. Поэтому в диссертации с использованием МСЭФ и МВФ разработаны численно-аналитические комбинированные методы КМСФиКЭ и КМВФиКЭ.

Первый из них реализован в виде двух модификаций, применение которых проиллюстрировано применительно к решению краевых задач расчета магнитного поля в области, содержащей включения с нелинейными характеристиками. В частности, реализация КМСФиКЭ подробно рассмотрена на примере расчета физического поля, потенциал которого в расчетной двухмерной области й (рис. 3) является решением краевой задачи Дирихле для уравнения типа (1), в постановке:

СНу (£^гас!и)= 0, м|г=ф, (5)

где £> кусочно-постоянная функция в одних частях области (б], Сг,--), нелинейная в других (О) , П2) и не ^'(С). Показано, что с использованием КМСФиКЭ задача (5) сводится к минимизации функционала:

(») = -1мкэ (») + -i мсэф {щ,п2,-мп) =

=1 )2 + ("V )2\ю + £ А- ' (6)

к С1к /=1

Рис. 3-«Склейка» СЭ и конечных элементов с использованием узловых значений

(7)

который представим в виде суммы интегралов по границам СЭ, размещенным в частях и по областям . Методика, реализованная в комбинированном КМСФиКЭ, состоит в том, что функционал выражается через совокупность узловых значений решения на границах СЭ и в подобластях С1к (рис. 3). При этом, в результате минимизации функционала (6) по полученной совокупности неизвестных узловых значений формируется СЛАУ, соответствующая исходной краевой задаче. Решением полученной СЛАУ служат узловые значения искомой функции на границах СЭ и в подобластях После их нахождения определяется решение исходной краевой задачи в каждом СЭ и КЭ. В случае необходимости нахождения решения в точках или на линиях внутри СЭ вводятся дополнительные СЭ, границы которых включают эти точки или линии.

При решении задачи (5) КМСФиКЭ с использованием коэффициентов Фурье сумма интегралов в (6), принимает вид:

= ¿мкэ(и) + ¿мсэф{а1'а2'—ак] ) =

= X \»к (у, )2 + («V )2 Vе + ¿Л» к± к±сцсЧа

к ак т=\ /=1 у*=1

Функционал (7) выражается через неизвестные коэффициенты Фурье следов решения на границах СЭ и узловые значения решения на конечно-элементной сетке в области 0.к (рис. 3). Минимизация функционала (7) по данным переменным позволяет сформировать СЛАУ, соответствующую краевой задаче. Отметим, что построенная библиотека «основных» функционалов МСЭФ может быть непосредственно использована для реализации КМСФиКЭ. При этом формирование «основного» функционала в (6) и (7) сводится к простому суммированию «основных» функционалов в СЭ, выделенных в части расчетной области, в которой материальные свойства среды линейны.

Для оценки возможности применения разработанных методов с помощью КМСФиКЭ был выполнен расчет магнитного поля, создаваемого высококоэрцитивными постоянными магнитами (область С12) с намагниченностью М, размещенными в области Од с проницаемостью в присутствии ферромагнитных тел О,- (рис. 4). Задача сводится к минимизации функционала вида:

Ла)=Ъ \ 1

к Пк к, к.

Рк

-(А'х)2+ — (А\)2

У-к

1 1 1 Р 1 г>А,,

(8)

на функциях, определенных в расчетной области О, удовлетворяющих уравнению Лапласа в СЭ, размещенных в частях расчетной области с линейными характеристиками, краевым условиям и принадлежащих пространству ({^(Сг,). Функционал (8), в отличие от функционала МКЭ, представляет сумму трех слагаемых. Первый интеграл находится по подоб-

Рис. 4 -Расчетная область с постоянными магнитами

ласти, в которой используется МКЭ, второй по границам s¡ СЭ, третий по границам СЭ части области, в которой размещены постоянные магниты. Функционал (8) выражается через коэффициенты Фурье разложения векторного потенциала по границам СЭ, не примыкающим к нелинейной части области Г2| и узловые значения потенциала в нелинейной части области , включая ее границу. В результате минимизации функционала по совокупности коэффициентов Фурье и узловым значениям формируется система СЛАУ относительно них. Разработана методика вычисления интегралов, входящих в функционал, в зависимости от свойств сред в СЭ, указаны алгоритмы формирования матриц СЛАУ.

Рассмотренный в этой же главе КМВФиКЭ предполагает использование другого подхода к «склейке» СЭ и формированию СЛАУ, соответствующей краевой

задаче. Поиск решения в СЭ в классе функций IV2 (<?,), а также введение вспомогательных функций позволяет использовать иной, отличный от вариационного подход в части расчетной области, заполненной СЭ. Он основан на том, что при «склейке» СЭ, смежных друг с другом и имеющих общие границы, в КМВФиКЭ используются принципы МВФ. При этом оказываются справедливыми уравнения «связи» вида (3). С помощью данных уравнений формируется СЛАУ относительно коэффициентов разложения следов решения в ряд Фурье на границах «склеиваемых» СЭ.

Вывод уравнений СЛАУ выполняется с учетом условия «склейки» СЭ, граничащих с подобластями С1к, в которых вводится конечно-элементная сетка. При этом уравнения «склейки» связывают коэффициенты Фурье на общих границах областей (7, и С1к и узловые значения решения на этих же границах.

Третья часть уравнений СЛАУ формируется с использованием введенной конечно-элементной сетки в областях 0.к. Для решения краевой задачи (6) выполняется минимизация функционала (7) или (8) по введенным в областях О,-, заполненным ферромагнетиком, узловым значениям решения А-,. Решением сформированной СЛАУ являются узловые значения потенциала на границах СЭ в областях , также коэффициенты Фурье следов решения на границах СЭ. Решение исходной краевой задачи в каждом СЭ определяется с использованием найденных коэффициентов Фурье следов решения и узловых значений на границах СЭ. В случае необходимости вычисления значений решения в отдельных точках или на линиях в СЭ, можно ввести в СЭ дополнительные СЭ, границы которых содержат эти точки или совпадают с линиями.

В четвертой главе «Теоретическое и экспериментальное исследование точности и эффективности численно-аналитических методов стандартных элементов» с использованием МСЭФ, МВФ и КМВФиКЭ решены специально подобранные модельные задачи, в которых отражены проблемные моменты, возникающие при решении реальных прикладных задач, приводящие к снижению точности существующих численных методов. Подбор модельных задач осуществлялся так, чтобы оценить точность и эффективность разрабатываемых методов при наличии особенности решения, возникновении его осцилляций, при условиях, что область содержит тонкие включения или имеет сильно отличающиеся материальные характеристики. Для оценки использовались модельные задачи, допускающие

точные аналитические решения в выбранных областях, а также «эталонные» решения, полученные МКЭ при очень высокой степени дискретизации расчетной области (сотни тысяч конечных элементов).

В частности рассмотрены краевые задачи расчета поля в областях с угловыми зонами, а также в случаях, когда источники поля расположены вблизи них. Снижение точности решения таких задач связано с ростом погрешности полиномиальной аппроксимации. Известные способы повышения точности МКЭ предполагают использование в окрестности угловых точек изопараметрических сингулярных элементов или включения в базис сингулярных функций (Митчелл Э., Марчук Г.И.), что практически выполнить сложно. Другой подход (Ю.А. Бахвало-ва) предполагает использование нерегулярных конечных элементов (НКЭ). Это позволяет сократить порядок решаемой СЛАУ за счет замены большого количества конечных элементов вблизи угловой точки одним элементом, размеры которого определяются размером области. Однако, при большом количестве угловых зон в среде процедура выделения и учета НКЭ является достаточно трудоемкой, а вопрос разработки новых подходов к решению подобных задач в пространственном случае вообще остается открытым.

Выполненные расчеты показали, что использование МСЭФ и МВФ для решения краевых задач при наличии в расчетных областях угловых точек и источников поля, расположенных вблизи них, обеспечивает высокую точность решения. Для оценки точности МВФ в области, содержащей угловую точку, с особенностью

решения был выполнен расчет электрического поля в зоне с постоянными значениями потенциала на границах (рис. 5). Расчетная область была заполнена тремя прямоугольными СЭ, причем отношение длин сторон двух из них равно 1/10 (рис. 5). В результате решения были определены коэффициенты Фурье следов решения на сторонах СЭ, лежащих внутри расчетной области. В качестве контрольных выбраны точки, расположенные на оси БР симметрии области. Результаты расчета потенциала и модуля его градиента в данных точках, выполненного МВФ, сведены в табл. 2-4, в которых также приводятся результаты, полученные другими авторами (Ю.А. Бахвалова) методами теории функций комплексного переменного (ТФКП), МГЭ, МКЭ и МКЭ с использованием НКЭ с согласованными и несогласованными конечными элементами. Точным здесь является решение, полученное методом ТФКП.

в

ю

У:

-гс

юн

Рис. 5- Расчетная область

Таблица 2- Значения потенциала в контрольных точках на оси РЕ

Метод расчета Номера точек

1 2 3 4 5

ТФКП, ИТФКП 10 30 50 70 90

нерегулярный КЭ с согласованными КЭ, и„с 10,0149 30,0526 50,1248 70,2806 90,7168

нерегулярный КЭ с несогласованными КЭ, г/цн 9,9729 29,8919 49,7714 69,5647 88,9838

МКЭ (3360 КЭ; 1386 узлов), имю 7,2597 28,9957 49,5001 69,4309 89,3625

МГЭ, нмгэ 10,2490 30,0620 50,0130 70,0050 90,0000

МВФ (3 СЭ; 40 уравнений), г/мв<ь 9,8510 30,1150 50,0400 70,0190 90,0040

Таблица 3 — Погрешность расчета потенциала (%)

Метод расчета Номера точек

1 2 3 4 5

нерегулярный КЭ с согласованными КЭ 0,15 0,18 0,250 0,400 0,800

нерегулярный КЭ с несогласованными КЭ 0,27 0,40 0,500 0,600 1,130

МКЭ (3360 КЭ; 1386 узлов) 27,40 3,4 1,000 0,800 0,700

МГЭ 2,50 0,21 0,026 0,007 0,000

МВФ (3 СЭ; 40 уравнений) 1,50 0,4 0,080 0,027 0,004

Таблица 4 — Погрешность расчета модуля градиента потенциала (%)

Метод расчета Номера точек

2 3 4 5

МВФ (3 СЭ; 40 уравнений) 2,50 0,4 0,09 0,018

Оценка точности МВФ была также выполнена в случае, когда в области имеются угловые зоны с источниками поля, размешенные вблизи угловых точек (рис. 6).

Функция 11/(2) скалярного потенциала магнитного поля, создаваемого проводником с током, является аналитической внутри СЭ, но имеет разрыв вместе со своей производной в точке размещения источника (рис. 6). При расчете магнитного поля МВФ расчетные области заполнялись прямоугольными СЭ. Расчеты показали, что погрешность приближенного решения, найденного МВФ для случая а), которая находилась сравнением с аналитическим решением задачи, не превышает б-10"3 %.

Для оценки эффективности и точности КМВФиКЭ, МВФ была также решена задача расчета поля в двухмерной и трехмерной области (рис. 7), заполненной кусочно-однородной средой (КОС), в усло-

а у в

-1 3 10 1

я 7 2 :<?: Г 1

и „ с -1 * е

в ' с Рис. 6 -Расчетные области

виях постановки краевой задачи Дирихле. Модельные функции, определенные в каждом СЭ и задающие точное решение, соответствовали заданным специальным образом характеристикам материала в СЭ, что обеспечивало осцилляцию решения.

При решении двухмерной задачи МКЭ было использовано 3784 конечных элемента. Решения КМВФиКЭ находилось в случае, когда расчетная КОС заполнялась 42 СЭ и 160 конечными элементами. Конечно-элементной сеткой был покрыт лишь горизонтальный слой наиболее вытянутых СЭ. Это позволило оценить погрешность, вносимую в расчет МКЭ. Результаты расчетов поля в области с указанной структурой неоднородности, а также содержащей узкие разнородные включения (отношение длин сторон 1/20), осцилляцию решения и особенности в угловых точках, приводятся в табл. 5.

Таблица 5 — Погрешности методов расчета для двухмерной области (%)

Метод расчета потенциала Номера точек

1 2 3 4 5 6 7

МКЭ (3784 КЭ, 1954 узла) 0,007 0,014 0,23 0,007 6,3 3,0 2,7

МВФ (48 СЭ) 0,006 0,006 0,09 0,006 1,5 0,7 0,6

КМВФиКЭ (42 СЭ+160КЭ) 0,006 0,009 0,10 0,007 1,8 1,3 1,2

При решении задачи расчета поля в аналогичным образом заполненной КОС трехмерной области, в соответствии с ее неоднородной структурой, были введены вертикальные слои СЭ в виде параллелепипедов (рис. 7). Результаты расчетов для точек угловой зоны СЭ, смежных с узкими включениями, приведены в табл. 6.

Таблица 6— Погрешность значений потенциала в трехмерной КОС (%)

№ точки 1 2 3 4 5 6 7

5 мвф 1,1 1,1 0,8 1,1 4,0 1,1 1Д

Анализ точности разработанных методов был выполнен также путем сравнения результатов расчетов, полученных МВФ, а также МКЭ, при моделировании условий, влияющих на точность. Рассмотренная выше двухмерная область, заполненная КОС, была совмещена с областью П-образного вида (рис. 8), форма которой характерна для задач электротехники. Решалась следующая краевая задача:

сКУ — &&АА =/,

и,- ) 4, =<Р|> Ч2 =(Р2> 43 =(р3' Ч4 =<Р4>

где <р,- - полиномиальные или тригонометрические функции, задающие осцилляцию решения на границе КОС (рис. 9). Рассмотрены случаи отсутствия в области источников (/ = 0) и их наличии (/ Ф 0), а также ситуация, когда в области имеются узкие включения (отношение сторон СЭ 1/20), магнитные проницаемости варьируются от 5000 до 100000. Значения потенциала А определя-

/ / / / ?

v

Рис. 7-Одик из слоев КОС для задачи с точным решением (« Цд.)

лись в угловых зонах, где обычно возникает наибольшая погрешность. Рассмотренные задачи не имеют аналитического решения. Поэтому в качестве «эталона» для проверки было использовано решение, полученное МКЭ в программной среде МаваЬ при очень мелком разбиении расчетной области. Разработанные методы сравнивались с МКЭ по степени дискретизации области, размерностям матриц решаемых СЛАУ, быстродействию, точности и т.д.

Также проведен ряд следующих теоретических исследований:

- для МСЭФ обоснован переход к «основным» функционалам нового типа;

- с использованием теоремы Римана-Лебега проведена оценка сходимости в МСЭФ рядов, аппроксимирующих следы решения на границах СЭ;

- на основании теоремы Римана-Лебега проведена оценка сходимости в МВФ рядов, аппроксимирующих следы решения на границах СЭ.

Отмечается, что коэффициенты ряда Фурье следа функции ик на рассматриваемом участке границе гк убывают не медленнее, чем и-2, т. е.:

(9)

п

где с — постоянная.

С учетом того, что погрешность между решением и приближенным решением в виде неполного ряда равна норме остатка ряда всегда возможно оценить погрешность, допускаемую при выбранном числе используемых членов ряда для представления решения на границе СЭ. В СЭ погрешность решения оценивается на основе оцененной погрешности представления решения на границе области с использованием теорем вложения.

В результате численных экспериментов установлено, что при реализации МСЭФ на основе «склейки» СЭ с использованием узловых граничных значений положительный эффект с точки зрения повышения точности достигается при отступе узлов, в которых вычисляются значения искомой функции, от концов сторон «склейки» СЭ. При реализации МВФ более высокая точность расчетов обеспечивается при разложении следов решения в ряд по косинусам (используется чётное продолжение следов решения на виртуальное продолжение соответствующих сторон СЭ). При этом, для нормы остатка ряда, представляющего след решения ик на рассматриваемом участке границы Г^ также оказывается справедливой оценка (9).

Результаты численных экспериментов, выполненных при расчете поля в рассмотренных расчетных областях, имеющих аналитическое решение в случаях двух- и трехмерного полей показали, что МВФ и КМВФиКЭ позволяют:

- сократить число элементов разбиения и размерность дискретной модели поля;

—сократить размерность решаемой СЛАУ, соответствующей поставленной

краевой задаче;

Рис. 8-П-образная область и ее покрытие СЭ

Рис. 9 — Изменение решения на границе расчетной области

-обеспечить при нахождении потенциала поля значительно более высокую точность по сравнению с МКЭ даже при наличии в области осцилляции решения, особенностей в угловых зонах, очень узких СЭ (соотношение длин сторон прямоугольных СЭ равно 1/10);

— повысить точность вычисления градиентов потенциала и интегральных характеристик поля за счет получения непрерывно дифференцируемых решений внутри СЭ.

Результаты численных экспериментов, выполненных в условиях специально промоделированной неоднородности среды, при наличии особенности в условиях узких включений, резком изменении материальных характеристик и осцилляции решения показали, что

— МВФ и КМВФиКЭ позволяют обеспечить высокую точность решения полевых задач;

- КМВФиКЭ сочетает в себе достоинства МВФ в областях с линейными свойствами среды и универсальность МКЭ при расчете поля в нелинейных средах. Его применение позволяет повысить точность расчета по сравнению с МКЭ, уменьшить число выделяемых в расчетной области конечных элементов, использовать их только для лучшего разбиения области при сложных границах и с целью более точного учета нелинейных материальных характеристик ее отдельных частей.

В пятой главе «Оценка точности и эффективности численно-аналитических методов при решении прикладных задач расчета физических полей» для сравнительной оценки точности и эффективности МВФ, КМСФиКЭ, КМВФиКЭ, МГЭ, КМГиКЭ и МКЭ при решении реальных прикладных задач расчета физических полей основное внимание уделено нахождению с их использованием расчетных значений потенциалов полей и характеристик конкретных технических устройств. С этой целью выполнены расчеты: магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами, температурного поля якоря тягового двигателя, электростатического поля каталитической системы, двух- и трехмерного поля и силовых характеристик магнита подвеса (МП).

При использовании МВФ для расчета магнитного поля (МП) линейного двигателя (ЛД) с постоянными магнитами, для учета намагниченности при построении СЛАУ на сторонах «склейки» СЭ-постоянных магнитов, введено дополнительное слагаемое - производная

Показано, что на соответст-

с.

О. 1 I

/ ' ? !> 1 N 1 Б I И 1 N | Б 11« 2 1

/ п \ <

\ \1 г 1 & 1 N 1 1 5 1 8 1 N 1 1 М I 5 II«» 1,

1 £1 1

дАм / дп\

Рис. 10— Геометрия области ЛД

вующей границе «склейки» СЭ, смежного с постоянным магнитом, с учетом дополнительного слагаемого интегро-дифференциальное выражение имеет вид:

I

у1

дА4

дп

дА

м

дп

п)

кжу

КЪ2~Ь\)

ау =

I

1

дА'

дп

п)

кпу Ь2-Ь1;

с1у.

Для оценки точности МВФ применительно к расчету магнитного поля в средах, заполненных ферромагнитным материалом, и наличии постоянных магнитов

был выполнен расчет распределения векторного магнитного потенциала и магнитного поля в воздушном зазоре на оси симметрии линейного двигателя (ЛД). ЛД (рис. 10) состоял из шести пар противостоящих постоянных магнитов (область П2), закрепленных на двух стальных пластинах (область 0|). При расчетах магнитное поле считалось плоскопараллельным. Разбиения расчетной области на СЭ было выполнено с использованием 120 прямоугольников. Зависимость в(н) между индукцией в и напряженностью н материалов ЛД принималась линейной. В качестве эталона использованы результаты расчета МП ЛД выполненные с использованием программного пакета ГЕММ при разбиении расчетной области на 444414 конечных элементов. Для сравнения расчет МКЭ также был выполнен в случае 1448 элементов.

Результаты расчета модуля векторного потенциала магнитного поля в контрольных точках воздушного зазора между полюсами двигателя иллюстрирует рис. 11. Максимальные погрешности

Рис. 11-Распределение потенциала в зазоре ЛД

при сравнении с «эталонными» решениями составили: §мкэ=1,4 %,

8мвф=0,4 %.

Для оценки точности КМСФиКЭ с использованием узловых значений решения и СЭ не прямоугольной конфигурации был выполнен расчет распределения температурного поля в сечении якоря тягового двигателя (ТД). С учетом осевой симметрии якоря, в качестве расчетной области был рассмотрен сектор, выделенный в поперечном сечении (рис. 12). Краевая задача, соответствующая условиям выполненного физического эксперимента, формулируется так:

сНу(Л.ёгас17)=/; 7]Г4=С4, дТ_

ду1 г,, г,, г.

Термопары

= о,

Рис. 12 - Расчетный сектор якоря ТД

= 0

^=0 д п

Рис. 13 - Разбиение якоря ТД

где/— заданная функция плотности потерь; Т- функция решения (температура); С4 - температура, поддерживаемая индуктором на границе.

В качестве СЭ были выбраны сектор кольца, сектор кольца с нижней границей. Для разбиения пазовой области на конечные элементы в КМСФиКЭ использовалось 420 конечных элементов и 240 узлов. Комбинированное заполнение расчетной области (3 конечными элементами и СЭ показано на рис. 13. Тепловые потери в обмотке якоря, используемые для последующего расчета температурного поля, были определены по най-

Т меди экспе-рим.

Т стали экспе-рим

г;*6>м пм (мы)

Рис. 14 - Распределение температуры в узлах сетки

Дискретный потенциал платиновс го анода

денным экспериментально значениям токов, индуцируемым полем индуктора. Распределение потерь в стали шихтованного пакета якоря находилось по эмпирическим формулами, полученным экспериментально. Результаты расчета значений температуры КМСФиКЭ в узлах конечно-элементной сетки в стали и обмотке приведены на рис. 14. Отличия экспериментальных (тжт, Гстали) и расчетных значений температуры составило 1,9 % в зоне зубца и 1,3 % в обмотке.

Для оценки эффективности разработанных методов расчета поля в средах с мили и микро включениями, для которых точный расчет физических полей существующими методами затруднен, был выполнен расчет катализатора на «носителях».

Структура подложки катализатора (рис. 15) содержит регулярно расположенные вертикальные включения шириной 0,01 + 1 мм с плотностью расположения 0,01 ч-З мм. Данные параметры являлись варьируемыми величинами. В рассматриваемом приближении, природа сложных процессов формирования ионов платины (испарение, электролиз и т.д.) в устройстве не рассматривалась, а качество нанесения определялось по распределению потенциала электростатического поля на платиновом аноде, боковых дискретных поверхностях устройства (рис. 15) и подложке катализатора, которое необходимо было оценить в результате расчета. Сравнительная оценка точности МВФ и МКЭ выполнена в результате решения краевой задачи Дирихле вида:

сКу^гас1ф)=0, ф|я =/,.

При отсутствии внутренних источников поля оценка точности методов выполнялась при изменении условий на внешней границе КОС и варьировании геометрических размеров катализатора. Для решения поставленной краевой задачи МВФ в соответствии с кусочно-однородной структурой среды было введено 28 прямоугольных СЭ, которые «склеивались» по внутренним сторонам. Сравнительная оценка точности МВФ и МКЭ выполнена в контрольных точках в окрестностях угловых зон СЭ, смежных с узкими включениями. Для решения поставленной полевой задачи МКЭ использовался пакет рс!е программной среды МаНаЬ при разбиении расчетной области на 6208 конечных элемента. В качестве эталона принималось решение, полученное при разбиении расчетной области на 397312 КЭ. Результаты расчета потенциала, полученные МВФ, МКЭ и «эталонным» МКЭ для 7-и контрольных точек в угловой зоне элемента подложки приведены в табл. 7.

Рис. 15 -Катализатор и устройство осаждения

Таблица 7 - Значения потенциала, полученные МКЭ и МВФ

№ точ- «Эталонный» МКЭ МКЭ (6208 МВФ (28 5 МКЭ §МВФ

ки (397312КЭ) КЭ) СЭ)

1 -6,5948 -6,6850 -6,5855 1,40 0,14

2 -6,5938 -6,6871 -6,5855 1,40 0,13

3 -6,6172 -6,7032 -6,6091 1,30 0,12

4 -3,2960 -3,3471 -3,3042 1,50 0,25

5 -3,2961 -3,3456 -3,3042 1,50 0,25

6 3,4322 3,4179 3,4226 0,40 0,28

7 3,4325 3,4194 3,4226 0,38 0,29

Для оценки возможности сокращения вычислительных затрат и повышения точности МВФ и КМВФиКЭ был выполнен расчет трех- и двухмерных физических полей (индукции В) и подъемной силы магнитного подвеса. Расчеты проводились с использованием:

— разработанного пакета программ БЕМЕ-ЗИ, реализующего МВФ при 72 СЭ в виде параллелепипедов (12540 уравнений СЛАУ);

- пакета еемм, реализующего МКЭ и разработанного пакета программ ЖМР-20, реализующего МВФ при нелинейных характеристиках частей МС;

-МКЭ при 415000 КЭ и 209173 уравнениях СЛАУ.

Геометрия расчетной области МС (рис. 16) такова, что позволяет применить непосредственно МВФ без его комбинирования с МКЭ. Постановка решаемой краевой задачи имеет вид:

с0У( ц§гас! ф)=0;

Ф+ =ф-; ф|о = 0;

дп дп где элементами «+» и «—» отмечены предельные значения функций с разных сторон границ раздела сред.

Для учета остаточной намагниченности м в уравнение «связи», согласно алгоритму построения матриц СЛАУ краевой задачи, при рассмотрении граней «склейки» СЭ, расположенных в области постоянных магнитов, введено дополнительное слагаемое. Наличие СЭ одинаковых размеров дает возможность многократно использовать найденные элементы матрицы СЛАУ. Это позволяет сократить объем используемых вычислительных ресурсов. Расчетные значения индукции в нескольких контрольных точках, расположенных в воздушном зазоре, приведены в табл. 8.

Рис. 16 - Картина поля индукции в подъемном модуле

Таблица 8 - Магнитная индукция, найденная МВФ и МКЭ в зазоре Ь

N точки -^эталон •бив® <5мвф

Л^кэ=415000; Nурависиий~209 1 73 ЛЬ=120; Nуравнений-12540

1 0,22722 0,23310 2,6

2 0,23157 0,23504 1,5

3 0,23468 0,22778 2,9

4 0,23695 0,23254 1,9

5 0,23731 0,24288 2,3

6 0,23668 0,24078 1,7

7 0,23505 0,22913 2,5

т' ' 1

40 ^ 1

30 " 1\ О МВФ \\ . МКЭ ° мти

20 -

10

0 2п 4 6 8 10 12 г<мм> Рис. 17 -Зависимость

подъемной силы от величины зазора

о

Рис.

Из табл. 8 следует, что результаты расчета трехмерного магнитного поля, выполненные «эталонным» МКЭ и МВФ, оказались близки, хотя число уравнений в СЛАУ МВФ существенно меньше. Значения подъемной силы при различных зазорах б, найденные с использованием МВФ, оказались также близкими к «эталонным», найденным МКЭ (рис. 17), и в два раза точнее значений, полученных другими методами, например, методом точечных источников.

Также был выполнен расчет магнитного поля в области, заполненной КОС, с линейными и нелинейными характеристиками. Известно, что в нелинейных средах насыщение поля приводит к выравниванию распределения магнитной индукции, ее «вытеснению» из насыщенных зон в ненасыщенные. Это позволяет ограничиться применением МВФ или МСЭФ со СЭ допустимо малых размеров, в пределах которых на каждом итерационном шаге расчета характеристики материала можно считать постоянными. При таком допущении была решена задача расчета стационарного магнитного поля П-образного подъемного модуля (рис. 18). Зависимость между индукцией и напряженностью в(н) в магнитных системах модуля считалась нелинейной. Намагничивающая сила ¡]У менялась от 0 до значения, обеспечивающего глубокое насыщение магнитопровода. Величина зазора принималась равной 0,001м. Задача расчета магнитного поля подъемного модуля рассматривалась как плоскопараллельная краевая задача относительно векторного потенциала а в кусочно-однородной среде. Расчетная область, не смотря на простую геометрию, содержит угловые зоны, тонкий воздушный зазор, а также области с линейными и нелинейными магнитными характеристиками. Оценка точности расчета выполнялась путем сравнения результатов, полученных МВФ и МКЭ с использованием программного комплекса РЕММ. При решении поставленной задачи

18 - Разбиение области СЭ и контрольные точки

МКЭ рассматривалось два варианта разбиения расчетной области, при «эталонном» (16 007 КЭ, 8183 узла) и для сравнения менее точном (4019 КЭ, 2104 узла). Результаты оценки используемых вычислительных ресурсов и точности расчета поля, выполненного с использованием МКЭ и МВФ, в сечении воздушного зазора (рис.18) в контрольных точках приводятся в табл. 9, 10.

Таблица 10 - Значения потенциала в контрольных точках сечения 1

Контрольные точки в воздушном зазоре

№ точки 1 2 3 4 5 6 7 8

МКЭ -0,0160 -0,0156 -0,0150 -0,0135 -0,0037 -0,0029 -0,0023 -0,0020

(эталон)

МВФ -0,0156 -0,0152 -0,0147 -0,0132 -0,0037 -0,0029 -0,0022 -0,0019

§МВФ 2,4000 2,3000 2,3000 2,6000 0,2200 0,0044 3,6000 4,5000

С учетом нелинейных характеристик части расчетной области была также решена двумерная задача расчета силовых характеристик подъемного модуля КМВФиКЭ и выполнено сравнение рассчитанных значений со значениями, полученными другими авторами с использованием КМГиКЭ, а также с экспериментальными данными. Намагничивающая сила ¡IV обмотки варьировалась в пределах от 6440 до 12880 А. Для разбиении использовалось 25 СЭ и 864 конечных элемента (рис. 19). Расчетные значения подъемной силы Т7,,, полученные КМВФиКЭ и КМГиКЭ, и ее экспериментальные значения приводятся в табл. 11.

Таблица 11 — Расчетные и экспериментальные значения подъемной силы Ру

¡Ж (А) Ру (Н) 5 (%)

эксперимент КМГиКЭ КМВФиКЭ КМГиКЭ КМВФиКЭ

6440 1774 2258 1856 27 4

9660 4838 5323 5032 10 4

12880 8226 9387 8620 14 4

Таблица 9 - Сравнительная характеристика примененных методов решения

Метод решения краевой задачи в нелинейной среде Метод расчета векторного потенциала Степень дискретизации расчетной области Размерность решаемой СЛАУ

Численный МКЭ (эталон) 16007 конечный элемент 8183 уравнений

Численно-аналитический МВФ 121 СЭ 2040 уравнений

г1 и

1 В

« - ■

Рис. 19-Разбиение области на КЭ и СЭ

Сравнение результатов расчетов температурных, электростатических, магнитных полей и силовых параметров рассмотренных устройств и систем, выполненных разработанными в работе методами, с результатами расчетов этих полей КМГиКЭ, МТИ, МКЭ, «эталонным» МКЭ и экспериментальными данными, показало, что разработанные методы обеспечивают:

- возможность значительного сокращения числа элементов разбиения расчетных областей, уменьшение размерности блочно-линейной СЛАУ и необходимых вычислительных ресурсов при сохранении высокой точности решения;

- более высокую точность расчетов по сравнению с МКЭ, МТИ, КМГиКЭ даже в условиях диспропорции типовых размеров СЭ, наличии особенностей в угловых точках КОС, что подтверждает возможность их использования для решения задач расчета физических полей в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах;

- возможность решения широкого круга задач с использованием созданных программных пакетов, реализующих МВФ, МСЭФ, КМСФиКЭ и КМВФиКЭ.

В заключении сформулированы основные результаты выполненных в диссертации теоретических исследований, физических и численных экспериментов.

В приложениях приводится вывод «основных» функционалов для СЭ из библиотеки СЭ, акты внедрения результатов диссертационных исследований и их использования в учебном процессе СКФУ, НТИ (филиал СКФУ), свидетельства о регистрации алгоритмов и программ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан численно-аналитический метод МСЭФ, отличающийся новой вариационной постановкой краевых задач, в которой вместо функционала в виде интеграла Дирихле используются «основные» функционалы по границам СЭ, а вместо приближенной полиномиальной аппроксимации решений краевых задач в СЭ используются точные (аналитические) решения в СЭ, позволяющие с повышенной точностью проводить расчеты физических полей в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах, с одновременным сокращением необходимых вычислительных ресурсов.

2. Разработан численно-аналитический метод МВФ, отличающийся тем, что решение в СЭ б,- ищется в пространстве '^(С?,), в каждом СЭ вводятся специальные вспомогательные функции, формирование блочно-ленточной СЛАУ, соответствующей решаемой краевой задаче, выполняется без использования вариационного подхода, что обеспечивает повышенную точность расчетов физических полей в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах при одновременном сокращении необходимых вычислительных ресурсов.

3. Разработан численно-аналитический комбинированный метод КМСФиКЭ, отличающийся новой вариационной постановкой краевых задач, использованием аналитических решений краевых задач в СЭ, новыми способами формирования блочно-ленточных СЛАУ, позволяющий сочетать достоинства МСЭФ при расчете поля в областях с линейными свойствами среды с достоинствами МКЭ при расчете поля в нелинейных средах, обеспечивающий повышенную точность расчетов физических полей в линейных и нелинейных средах.

4. Разработан численно-аналитический комбинированный метод КМВФиКЭ,

отличающийся тем, что поиск решений в СЭ осуществляется в классе функций из в каждом СЭ вводятся определенные специальным образом вспомогательные функции, обеспечивающие возможность нахождения решения только на границе СЭ в результате решения СЛАУ, соответствующей краевой задаче. Метод сочетает достоинства МВФ при расчете поля в областях с линейными свойствами среды с достоинствами МКЭ при расчете поля в нелинейных средах, что приводит к снижению погрешности расчета физических полей в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах.

5. Впервые создана библиотека двух- и трехмерных СЭ, которые задаются геометрией и типом решаемых краевых задач, определены соответствующие им вспомогательные функции, найдены в аналитическом виде уравнения «связи», получены «основные» функционалы, что позволяет формализовать процессы разбиения расчетной области, построения в области блоков из СЭ, нахождения «основного» функционала, соответствующего решаемой краевой задаче и формирования СЛАУ с блочно-ленточной структурой.

6. Разработаны новые методики «склейки» и задания уравнений «связи» для:

- МСЭФ с использованием на границах СЭ следов решения;

- МВФ с использованием вспомогательных функций;

- КМСФиКЭ и КМВФиКЭ с использованием «склейки» СЭ с конечными элементами.

Методики обеспечивают более точную «склейку» нормальных производных на общих границах СЭ, а также повышение гладкости решения.

7. Разработана методика использования МВФ и КМВФиКЭ применительно к расчету магнитных полей источников, в качестве которых выступают магниты или катушки с распределенными в них токами при линейных и нелинейных характеристиках среды, позволяющая с высокой точностью рассчитать магнитное поле и силовые характеристики электротехнических устройств, содержащих магнитные системы.

8. Разработана методика линеаризации нелинейных характеристик среды в СЭ на каждом шаге итерации и коррекции разбиения области на СЭ, которая не требует выполнения операции численного дифференцирования для определения векторов поля и обеспечивает возможность использования МСЭФ и МВФ для моделирования физических полей в нелинейных средах без их комбинирования с МКЭ.

9. Подтверждено, что применение разработанных методов при решении модельных и прикладных задач в двух- и трехмерных областях с осцилляцией решения, особенностями в угловых зонах и узкими включениями обеспечивает повышенную точность расчетов физических полей и силовых характеристик электротехнических систем по сравнению с МКЭ, МГЭ, МТИ, КМГиКЭ при одновременном сокращении необходимых вычислительных ресурсов.

10. Численные алгоритмы, реализующие разработанные МСЭФ, МВФ, КМСФиКЭ, КМВФиКЭ, ориентированные на применение для расчета физических полей в технических устройствах различного назначения, реализованы в виде пакетов программ, новизна которых подтверждена свидетельствами о регистрации, а акты внедрения подтверждают возможность их практического применения.

11. Результаты расчетов температурных, электростатических, магнитных по-

лей реальных устройств и технических систем, выполненных с использованием разработанных пакетов программ в областях со сложной геометрией, при наличии особенности поведения решения в окрестностях угловых точек и его осцилляции, показали, что их применение позволяет сократить необходимые для расчетов вычислительные ресурсы при сохранении высокой точности.

12. Основные результаты диссертационной работы отражены в 48 публикациях, в том числе в 17 публикациях в ведущих научных журналах из списка ВАК. Разработанные методы, алгоритмы и комплексы программ внедрены и используются при проектировании технических устройств и систем, а также в учебном процессе, что подтверждено актами внедрения. На разработанные программы получены свидетельства о регистрации.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в ведущих научных журналах из списка ВАК

1. Пашковский, A.B. Метод (p,q) связанных операторов в двухфазной модели тепловых процессов электрических машин / A.B. Пашковский // Изв. вузов. Электромеханика. - 1985. - № 5. - С. 17-23.

2. Пашковский, A.B. Двухфазная модель в идентификации процессов теплообмена в элементах электрических машин и аппаратов / A.B. Пашковский // Изв. вузов. Электромеханика. - 1988. - № 7. - С. 30-33.

3. Пашковский, A.B. Метод (p,q) связанных операторов в решении дифференциальных уравнений третьего порядка и обратных задач / A.B. Пашковский // Дифференц. уравнения. - 1988. -Т. 24. -№ 8. - С. 1407-1410.

4. Пашковский, A.B. Комбинированный метод конечных элементов для расчета температурных полей электрических машин и его программная реализация / A.B. Пашковский // Изв. вузов. Электромеханика. - 1988. - № 8. - С. 10-15.

5. Пашковский, A.B. Прямоугольный стандартный элемент в моделировании температурных и электромагнитных полей в кусочно-однородных средах / A.B. Пашковский, И.В. Пашковская // Изв. вузов. Электромеханика. - 2003. — № 3. - С. 912.

6. Пашковский, A.B. Прямоугольный стандартный элемент с условиями Дирихле на границе / A.B. Пашковский, И.В. Пашковская // Известия вузов. Электромеханика. - 2003. - № 3. - С. 71-73.

7. Пашковский, A.B. «Склеенные» прямоугольные стандартные элементы в решении модельной полевой задачи / A.B. Пашковский, И.В. Пашковская // Изв. вузов. Электромеханика. — 2007. - № 1. - С. 78-80.

8. Пашковский, A.B. Метод стандартных элементов в решении задач магнитостатики при особенностях в окрестностях угловых точек / A.B. Пашковский // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2010. - № 1. - С. 103-106.

9. Пашковский, A.B. Решение тестовых полевых задач в кусочно-однородной области методом стандартных элементов / A.B. Пашковский // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2009. - № 6. - С. 147-151.

10. Пашковскнй, A.B. Метод стандартных элементов в моделировании стационарного поля в области с П-образным сердечником / A.B. Пашковскнй, И. В. Пашковская // Изв. вузов. Электромеханика. -2009. - № 2. - С. 10-12.

И. Пашковскнй, A.B. Метод стандартных элементов в расчете магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами / A.B. Пашковскнй // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2010. - № 2. - С. 130-136.

12. Пашковскнй, A.B. Метод стандартных элементов в управлении процессами термообработки электромеханических устройств / A.B. Пашковскнй // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 5. - С. 74-79.

13. Пашковскнй, A.B. Метод стандартных элементов в решении задач электростатики при особенностях в окрестности угловых точек / A.B. Пашковскнй // Вестник СевКавГТУ. - 2010. - № 3. - С. 125-129.

14. Пашковскнй, A.B. Повышение точности расчетов магнитного поля и силовых характеристик электромеханических устройств комбинированным методом стандартных и конечных элементов / A.B. Пашковскнй // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2010. - № 3. - С. 140-145.

15. Пашковскнй, A.B. Комбинированный метод стандартных и конечных элементов в расчете магнитного поля и силовых характеристик асинхронного тяго-во-подъемного модуля / A.B. Пашковскнй // Информационные системы и технологии. - 2010. - № 4(60). - С. 33-42.

16. Пашковскнй, A.B. Блочные численно-аналитические методы и новые математические модели в расчете силовых взаимодействий наночастиц / A.B. Пашковскнй, В.И. Пашковскнй // Научно-технические ведомости СПбГПУ. -2012,-№4. -С. 39-44.

17. Пашковскнй, A.B. Блочный численно-аналитический метод вспомогательных функций в расчете магнитного поля в нелинейных средах / A.B. Пашковскнй, А.Н. Ткачев // Известия вузов. Электромеханика. - 2013. - № 3. - С. 3-7.

Свидетельство о регистрации программ для ПЭВМ

18. Пашковскнй, A.B. Программа «SEMF» расчета электромагнитных и температурных полей в кусочно-однородных средах на основе метода стандартных элементов [Электронный ресурс] / A.B. Пашковскнй // Хроники Объединенного Фонда Электронных Ресурсов <Наука и образование^ - 2010. - № 7. Режим доступа: http://o feinio.ru/portal/newspaper/ofernio/2010/7. doc.

19. Программа расчета электромагнитных полей, создаваемых постоянными магнитами в присутствии ферромагнитных тел, на основе метода стандартных элементов: свидетельство о гос. регистр, программы для ЭВМ №2010615042 : Пашковскнй A.B., -заявка № 2010613485; заявл. 16.06.2010; зарег. в Реестре программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам 05.08.2010.

Авторские свидетельства

20. А. с. 1527673 СССР, МКИ H01F41/06 Способ изготовления электрических катушек / A.B. Пашковскнй (СССР). - № 4325891/24-07; заявлено 10.11.1987; опубл. 07.12.89, Бюл. №45. - 1 с.

Прочие работы по теме диссертации

21. Пашковский, A.B. Метод стандартных элементов в идентификации процессов теплообмена в пористых средах с невысокой степенью неоднородности / A.B. Пашковский // Материалы 1-ой Российской национальной конференции по теплообмену. -М., 1994.-С. 1087-1088.

22. Пашковский, A.B. Некоторые аспекты повышения надежности машин при их конструировании / A.B. Пашковский // Молодая наука - новому тысячелетию: матер. Междунар. науч.-техн. конф. - Набережные Челны: КамПИ, 1996. - С. 91-92.

23. Пашковский, A.B. Метод стандартных элементов в краевой задаче расчета температурного поля неоднородного тела / A.B. Пашковский, И.В. Пашков-ская // Математическое моделирование и компьютерные технологии: материалы 4-го Всероссийского симпозиума. - Кисловодск, 2000. - С. 54-55.

24. Пашковский, A.B. Теория расчета коэффициентов межфазного теплообмена многофазных диэлектрических материалов / A.B. Пашковский // Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики: материалы Международной науч.-практ. конф. -Новочеркасск, 2000. - С. 71-72.

25. Пашковский, A.B. Математическое и экспериментальное моделирование нестационарных температурных полей / A.B. Пашковский // Физические основы экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепломассобмена в энергетических установках: материалы 13 Школы-семинара молодых ученых и специалистов. - Санкт-Петербург, 2001. - С. 191-193.

26. Пашковский, A.B. Компьютерное моделирование температурных и электромагнитных полей в кусочно-однородных средах / A.B. Пашковский, И.В. Пашковская // Сб. тр. 3-й Междун. науч.-техн. конф. — Санкт-Петербург, 2002. -С. 69-73.

27. Пашковский, A.B. Прямоугольные стандартные элементы в моделировании электромагнитных полей и их склейка / A.B. Пашковский // Математические методы в технике и технологиях: материалы трудов XVII Междун. науч. конф. - Кострома: КГТУ, 2004. - С. 136-138.

28. Токарева, Д. В. Высокоточные методы расчета в создании катализаторов и микрореакторов в экологической направленности катализа / Д.В. Токарева, И.В. Пашковская, A.B. Пашковский // Новые технологии в азотной промышленности: материалы 2-й Общеросс. науч.-техн. конф. - Невинномысск: СевКавГТУ, 2007. - С. 39-42.

29. Пашковский, A.B. Метод стандартных элементов в моделировании полей наложения системы «катализатор-среда-электрод» / A.B. Пашковский // Математическое моделирование, компьютерные и информационные технологии в технике, экономике и образовании: материалы общеросс. научн.-прак. конф. - Невинномысск: СевКавГТУ, 2009. - С. 94-98.

30. Ткачев, А.Н. Программный комплекс на основе комбинированного метода вспомогательных функций и конечных элементов для компьютерного моделирования потенциальных физических полей / А.Н. Ткачев, И.В. Шкуропадский, A.B. Пашковский // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011. -Т. 18.-Вып. 4.-С. 470-471.

31. Пашковский, A.B. Обобщенный метод стандартных элементов для расчета магнитного поля в линейных и нелинейных средах / A.B. Пашковский, А.Н. Ткачев // Математические методы в технике и технологиях—26: Сб. тр. XXVI Ме-ждун. науч. конф. - Саратов: СГТУ, 2013. - Т. 9. - С. 136-138.

Личный вклад автора в опубликованных в соавторстве работах: [5,6,7,10] — введение прямоугольных СЭ, разработка математического аппарата и методик «склейки» СЭ; [16]-исследован факт неустойчивости сеточных методов; [17] — введена методика МВФ для расчета физических полей в нелинейных средах; [23] - постановка краевых задач в КОС, разработка алгоритмов минимизации функционалов; [26] - разработка методик практического внедрения программных сред в компьютерное моделирование полей в КОС; [28] — адаптация методик МСЭФ к проектированию катализаторов нанесенного типа и устройств их изготовления; [30] - построение алгоритма дискретизации области на СЭ; [31] -методика определения усредненных значений материальных характеристик среды СЭ.

Пашковский Александр Владимирович

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАНДАРТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЛИНЕЙНЫХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

Автореферат

Подписано в печать 21.04.2014. Формат 60x84 '/(б. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 120 экз. Заказ № 46-0440.

Отпечатано в ИД «Политехник» 346428, г. Новочеркасск, ул. Первомайская, 166.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮжноРоссийский государственный политехнический университет (НПИ)

имени М.И. Платова»

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАНДАРТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЛИНЕЙНЫХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Ткачев А.Н.

(ФГБОУ ВПО «ЮРГПУ (НПИ)»)

На правах рукописи

Пашковский Александр Владимирович

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Новочеркасск - 2014

Введение

Оглавление

8

1 Численные методы моделирования физических полей......................23

1.1 Анализ численных методов решения полевых задач......................25

1.2 Общая характеристика метода стандартных элементов (МСЭ).........34

1.3 Общая характеристика численно-аналитических методов на основе

МСЭ. Библиотека введенных стандартных элементов.....................37

1.4 Выводы к главе 1....................................................................47

1.5 Постановка основных задач.....................................................49

2 Численно-аналитические методы стандартных элементов для

моделирования физических полей в линейных кусочно-однородных

средах......................................................................................54

2.1 Постановка задач....................................................................54

2.2 Метод стандартных элементов с использованием рядов Фурье

(МСЭФ) для моделирования физических полей в линейных

средах..................................................................................56

2.2.1 МСЭФ, обеспечивающий "склейку" СЭ с использованием узловых значений решения на границе................................56

2.2.2 Реализация МСЭФ в случае двухмерной области для СЭ в виде прямоугольника с использованием "основного" функционала................................................................58

2.2.3 Реализация МСЭФ в случае трехмерной области для СЭ в виде параллелепипеда с использованием "основного" функционала.................................................................71

2.2.4 СЭ в виде треугольника и соответствующий ему "основной" функционал..................................................................82

2.2.5 СЭ в виде круга, сектора, сектора кольца, сектора двойного кольца и их "основные" функционалы..................................91

2.2.6 МСЭФ, основанный на "склейке" СЭ с использованием коэффициентов Фурье разложения решения на границе..........99

2.2.7 Пример реализации МСЭФ при решении задачи Дирихле в двухмерной области для уравнения Лапласа и Пуассона.......102

2.3 Метод стандартных элементов, основанный на использовании вспомогательных функций.....................................................111

2.3.1 Реализации МВФ для решения задачи Дирихле в двухмерной расчетной области для уравнений Лапласа и Пуассона............113

2.3.2 Методика формирования системы уравнений МВФ относительно коэффициентов Фурье разложений следов решения на границах СЭ................................................................122

2.3.3 Уравнения "связи" на границах трехмерного СЭ для краевой задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.............127

2.3.4 Уравнения "связи" на границах бесконечного прямоугольного стандартного элемента....................................................135

2.3.5 Особенности применения МВФ для расчета поля магнитной системы, создаваемого постоянными магнитами..................150

2.3.6 Особенности применения МВФ для расчета поля магнитной системы, создаваемого катушками с постоянным током.........153

2.4 Выводы к главе 2.................................................................157

3 Численно-аналитические методы стандартных элементов для

моделирования физических полей в нелинейных средах................159

3.1 Постановка задач..................................................................159

3.2 МСЭФ и МВФ в моделировании физических полей в нелинейных средах.................................................................................162

3.3 Комбинированный метод стандартных и конечных элементов на

основе рядов Фурье (КМСФиКЭ)..............................................167

3.3.1 Построение КМСФиКЭ путем "склейки" СЭ и учета

граничных узловых значений решения..............................167

3.3.2 Реализация методики КМСФиКЭ с использованием узловых значений......................................................................170

3.3.3 Построение КМСФиКЭ в результате "склейки" СЭ

с использованием коэффициентов Фурье............................177

3.3.4 Особенности применения КМСФиКЭ для расчета магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами.......................183

3.3.5 Формирование системы уравнений КМСФиКЭ относительно коэффициентов Фурье и узловых значений решения.............190

3.4 Комбинированный метод стандартных и конечных элементов, построенный с использованием вспомогательных функций (КМВФиКЭ).......................................................................194

3.4.1 Принципы построения КМВФиКЭ....................................194

3.4.2 Иллюстрация реализации КМВФиКЭ на задаче Дирихле

для двухмерной области................................................197

3.5 Выводы к главе 3..................................................................199

4 Теоретическое и экспериментальное исследование точности и эффективности численно-аналитических методов стандартных элементов.................................................................................201

4.1 Применение МВФ для решения полевых задач при наличии особенности решения в окрестности угловых точек области...........204

4.1.1 Применение МВФ при расчете поля с особенностью решения

в окрестностях угловых точек...........................................206

4.1.2 Применение МВФ для решения задачи расчета электрического поля в бесконечной угловой области, ограниченной проводящими контурами................................................209

4.1.3 МВФ в задаче расчета магнитного поля проводника с током в угловом элементе............................................................................214

4.2 МВФ в расчете физических полей кусочно-однородных сред (КОС) с узкими включениями, осцилляцией решений и угловыми

зонами.................................................................................218

4.2.1 Примеры, имеющие аналитическое описание распределения потенциального поля в двух и трехмерной КОС......................218

4.2.2 Оценка точности МВФ и КМВФиКЭ с использованием аналитического решения задачи расчета поля в кусочно-однородной среде..........................................................227

4.2.3 Оценка точности МВФ с использованием аналитического решения полевой задачи в в трехмерной КОС.......................231

4.3 Оценка точности МВФ при решении задачи расчета поля

в кусочно-однородных средах при изменении материальных

характеристик.......................................................................233

4.3.1 Численное моделирование поля при варьировании

магнитных проницаемостей материалов и наличии источников поля..........................................................................236

4.4 Оценка точности МВФ в двухмерной однородной среде при варьировании граничных условий...........................................243

4.5 Теоретическая оценка точности аппроксимации следов решений

отрезками ряда Фурье.......................................................244

4.6 Выводы к главе 4..................................................................249

5 Оценка точности и эффективности численно-аналитических методов стандартных элементов при решении прикладных задач расчета физических полей......................................................................251

5.1 Задача расчета магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами при линейных характеристиках магнитных систем........251

5.1.1 Применение МКЭ для расчета магнитного поля линейного двигателя при различных разбиениях расчетной области........252

5.1.2 Применение МВФ в расчете магнитного поля линейного двигателя....................................................................256

5.2 Задача расчета температурного поля якоря тягового двигателя

при термообработке..............................................................259

5.2.1 Экспериментальное исследование температурного поля якоря тягового двигателя при термообработке...............................263

5.2.2 Применение КМСФиКЭ для расчета температурного поля якоря тягового двигателя................................................263

5.3 Задача расчета электростатического поля в системе "катализатор-среда-электрод"..................................................................269

5.3.1 Применение МВФ для расчета поля каталитической системы.274

5.3.2 Применение МКЭ для расчета поля каталитической системы при изменении разбиения расчетной области......................276

5.4 Решение задачи расчета магнитного поля и силовых взаимодействий

в магнитных системах с постоянными магнитами........................277

5.4.1 Применение МВФ для расчета трехмерного магнитного поля и силовых взаимодействий магнитной системы с постоянными магнитами................................................282

5.4.2 Применение МВФ для расчета двухмерного магнитного

поля магнитной системы, содержащей постоянные магниты...287

5.4.3 Решение задачи расчета магнитного поля и силовых характеристик подъемного модуля при нелинейных характеристиках/?(//) частей магнитной системы...............289

5.5 Анализ точности МВФ при расчете поля в областях с "сильно"

вытянутыми включениями....................................................299

5.6 Выводы к главе 5...................................................................304

Заключение................................................................................306

Список сокращений и условных обозначений...................................310

Список литературы.....................................................................311

Приложение А - Выводы "основных" функционалов МСЭФ для прямоугольных СЭ при решении задач Неймана для уравнения Лапласа...327 Приложение Б — Выводы "основных" функционалов МСЭФ для СЭ сектор кольца, сектор двойного кольца, сектор кольца с двумя границами

при решении задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа................332

Приложение В - Выводы "основных" функционалов МСЭФ для трехмерных СЭ при решении задач Дирихле и Неймана для уравнения

Лапласа........................................................................................339

Приложение Г - Акт о внедрении результатов докторской

диссертационной работы в ООО «ХимПроект»....................................356

Приложение Д - Акт о внедрении результатов докторской

диссертационной работы в ОАО «ВЭлНИИ»......................................358

Приложение Е - Акт о внедрении результатов докторской

диссертационной работы в ООО «Экоцентр»......................................359

Приложение Ж - Акт о внедрении результатов докторской

диссертационной работы в ГОУ ВПО «СевКавГТУ»............................360

Приложение И - Свидетельство о регистрации электронного ресурса в

ОФЕРНИО..................................................................................363

Приложение К - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.....................................................................364

Введение

Решение современных задач проектирования, разработка новых технологий, получение новых материалов и устройств с заранее заданными свойствами требуют проведения точных и быстрых расчетов физических полей. Такие расчеты во многих случаях могут быть выполнены существующими численными методами, такими как: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), а также модифицированными и комбинированными методами, основанными на них. Однако усложнение формулировок задач и математических моделей, геометрии и внутренней структуры расчетных областей, наличие высокого градиента решения и особенностей в угловых точках, разнородных включений, имеющих нелинейные характеристики, приводят к росту погрешности расчетов физических полей существующими методами. Для достижения требуемой точности с учетом перечисленных факторов применение этих численных методов требует увеличения времени подготовки исходных данных, более высокой дискретизации расчетных областей, повышения размерности решаемых систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), что приводит к значительному росту вычислительных затрат и времени расчета.

Подобные особенности делают проблематичным использование вышеперечисленных методов для решения следующих задач:

1. Задачи, решаемые в условиях многовариантности, связанной с изменением геометрии рассчитываемой области. Например, вращающиеся электрические машины (ЭМ), движущийся электромагнитный подвес (ЭМП). В таких задачах требуется постоянная перестройка конечно-элементного покрытия области и корректировка исходных данных, в соответствии с изменяющимся положением частей системы.

2. Задачи оптимизации и управления, требующие в режиме реального времени выполнения многовариантных или быстрых расчетов, часто

возникающие, например, в системах наведения и управления высокоскоростными объектами.

3. Обратные задачи, например, возникающие при определении магнитных характеристик материалов. Для построения таких характеристик необходимо выполнить многократные расчеты, а следовательно необходимы многочисленные обращения к программе. Как показано в [1], подобные расчеты на основе МКЭ требуют от 3 до 100 часов счета.

4. Комплексные задачи, требующие одновременного расчета различных физических полей и процессов: электрических, магнитных, тепловых, механических. Потребность в снижении размерности дискретных моделей поля в решении таких задач очень актуальна.

5. Задачи, возникающие при непрямом контроле параметров и характеристик физических полей, параметрическом управлении для оперативного изменения режимов технических процессов.

В указанных случаях попытки использования упрощенных математических моделей для сокращения вычислительных затрат и времени расчета, выполнение расчетов, с использованием стандартных методик, могут приводить к значительной потере точности [2]-[10].

Перечень задач, решение которых с использованием существующих численных методов оказывается проблематичным, можно дополнить следующими задачами:

6. Задачи со сложной геометрией расчетной области, при большом числе угловых точек с особенностью решения, с наличием в расчетной области неоднородностей в виде тонких включений [11]-[13], а также задачи, отличающиеся осцилляцией решения, наличием многофазности и мелкозернистости в области.

7. Задачи численного расчёта электромагнитного поля (ЭМП) в областях с мили или микро включениями. В работе [14] показано, что в таких случаях коэффициенты уравнений, описывающих ЭМП включений, становятся близкими к коэффициентам вырожденных уравнений. Такая

неккоректность задачи при использовании существующих численных методов приводит к неустойчивости расчетов ЭМП в таких областях и полной потере точности.

Кроме этого, методическими недостатками применяемых численных методов, которые изначально заложены в реализующих их методиках и алгоритмах и приводящих к снижению точности, можно считать:

• кусочно-линейную или полиномиальную аппроксимацию решения полиномами не высокого порядка, например, как в МКЭ, что часто приводит к снижению точности вычисления векторного поля (градиента потенциала);

• влияние геометрической формы границы области на аппроксимацию решения, которая даже при малом отличии форм может приводить к значительной погрешности в расчетах;

• необходимость применения операции численного дифференцирования приближенного решения для определения интегральных характеристик;

• значительную размерность СЛАУ при расчетах трехмерных полей.

Существующие численные методы, основанные на использовании интегральных уравнений, такие как: метод вторичных источников, метод граничных элементов (МГЭ), комбинированный метод граничных и конечных элементов (КМГиКЭ), обеспечивают снижение порядка разбиения расчетной области. Однако их использование в случае большого числа угловых точек с особенностью решения на границе расчетной области вызывает затруднения при вычислении интегралов, содержащихся в интегральных уравнениях, а часто и невозможность их вычисления с необходимой точностью. Такие затруднения особенно проявляются в трёхмерном случае, когда особенности функции Грина и особенности решения наблюдаются одновременно. Таким образом, к недостаткам перечисленных методов, приводящим к потери точности и росту вычислительных затрат, можно отнести:

• необходимость решения интегральных уравнений с интегралами по границе области, содержащими функции с особенностями;

• повышение степени дискретизации области при расчете нормальной производной в условиях наличия особенности решения в угловых точках области;

• решение СЛАУ с полностью заполненными матрицами, что приводит к потере преимуществ в порядке разбиения области;

• необходимость разработки и использования специальных приемов формирования матриц СЛАУ, особых методов решения СЛАУ для обеспечения сходимости итерационных процессов.

Выше перечисленным объясняется развитие работ в направлении построения новых комбинированных методов, например, комбинированного метода конечных и комплексных граничных элементов (КМКиКГЭ), обоснования, так называемых, квазиоднородных моделей кусочно-однородных сред и поиска их эквивалентных параметров. Однако преодолеть недостатки применяемых численных методов, обеспечить высокую скорость сходимости расчетов и их точность при решении вышеперечисленных типов задач пока не удалось.

Это обосновывает актуальность разработки новых, эффективных методов, обеспечивающих экономию вычислительных ресурсов, сокращение времени расчетов и их устойчивость, выс