автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы обобщенной задачи Римана в вычислительной гидродинамике

На правах рукописи

Меньшов Игорь Станиславович

Методы обобщенной задачи Римана в вычислительной гидродинамике

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2007

003061625

Работа выполнена в Институте прикладной математики им М В Келдыша РАН

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Головизнин Василий Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Михайлов Александр Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Петров Игорь Борисович

Московский Государственный Университет

им М В Ломоносова, механико-математический факультет

Защита состоится 19 сентября 2007 г в 15 часов на заседании Диссертационного Совета Д 212 156 02 при Московском Физико-Техническом Институте (государственный университет) по адресу 141709 Московская область, г Долгопрудный, Институтская ул , 9, ауд 119 Г К

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Физико-Технического Института

Автореферат разослан 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор А И Лобанов

Ведущая организация

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предложенный С К Годуновым еще в конце пятидесятых годов, так называемый "метод Годунова" за последние несколько десятилетий стал одним из наиболее распространенных в мире методов вычислительной гидродинамики На его основе были созданы мощные вычислительные технологии для решения прикладных и фундаментальных задач, связанных с расчетами сложных течений сжимаемой жидкости, в том числе задач прикладной аэродинамики, взрывных процессов, термоядерного синтеза и многих других

В основе метода Годунова лежит точное решение задачи Римана, более известной в газодинамике как задача о распаде произвольного разрыва С математической точки зрения эта задача представляет собой начальную задачу Коши для законов сохранения, определяющих движение сжимаемой жидкости, где начальные распределения параметров представляются кусочно-постоянными функциями с одной точкой разрыва С точки зрения механики движения жидкости задача Римана описывает взаимодействие двух сжимаемых потоков Замечательной особенностью задачи является тот факт, что она, в силу автомодельности, допускает точное аналитическое решение, представляемое в компактной явной форме

С К Годунов предложил использовать это решение в расчетных схемах для течений сжимаемой жидкости Согласно его оригинальной идее, мгновенное состояние движущейся среды сперва аппроксимируется кусочно-постоянным распределением определяющих параметров (постоянным в пределах каждой расчетной ячейки) Другими словами, искомое течение заменяется на приближенное, состоящее из множества элементарных однородных потоков Тогда последующее развитие во времени такового приближенного течения должно в точности определяться решениями множества задач Римана, возникающих на гранях счетных ячеек Иными словами, последующая эволюция аппроксимирующего течения полностью определяется взаимодействием элементарных потоков на гранях, которое через решение задачи Римана представляется конечными аналитическими формулами

Численный метод, построенный на основе такого рассмотрения, есть по существу стандартный метод конечного объема, где потоки массы, импульса и энергии на гране ячейки рассчитываются на точном решении соответствующей задачи Римана Первоначально метод был разработан для модели одномерных течений газа (С К Годунов, 1959, Г Б Алалы-кин, С К Годунов, И Л Киреева, Л А Плинер, 1970), затем обобщен на многомерный случай (С К Годунов, А В Забродин, Г П Прокопов, 1961, С К Годунов, А В Забродин, М Я Иванов, А Н Крайко, Г П Прокопов, 1976)

Идеи С К Годунова нашли свое отражение также в построении ана-

логичных методов для стационарной сверхзвуковой газодинамики Здесь аналогом задачи Римана о распаде произвольного разрыва является задача о взаимодействии двух стационарных сверхзвуковых потоков, которая, благодаря свойству автомодельности, также допускает точное аналитическое решение Поэтому численный метод Годунова непосредственно может быть перенесен на стационарные уравнения сверхзвуковых течений (М Я Иванов, А Н Крайко, 1972)

Основным достоинством этих подходов является то, что, эффективно используя теоретические основы динамики сжимаемых жидкостей, они базируются в большей мере на физических принципах аппроксимациях, а не на математических, как большинство других численных методов

Таким образом, задача Римана, имея несомненно большой теоретический интерес, как одна из фундаментальных задач газовой динамики, оказалась также весьма эффективным инструментом в теории численных методов Идея С К Годунова получили широкое продолжение во всем мире, и в настоящее время мы имеем уже устоявшийся термин в области вычислительной гидродинамики - методы годуновского типа

Что касается возможных обобщений задачи Римана и метода Годунова, то здесь можно говорить о двух направлениях Первое - это расширение класса начальных распределений, когда начальное состояние среды не предполагается кусочно-постоянным, а является, вообще говоря, произвольным кусочно-аналитическим распределением Другими словами мы можем поставить задачу о распаде произвольного разрыва в неоднородном ПО пространству течении При этом задача теряет свое важное свойство, свойство автомодельности, и построение точного решения становится проблематично Однако, можно рассмотреть задачу в малой окрестности начального разрыва и попытаться построить аналитическое решение для главных членов, описывающих отклонение от автомодельного решения Таким образом мы приходим к задаче, которую будем именовать в дальнейшем как "Обобщенная задача Римана"

Второе обобщение, которое предлагается в настоящей работе, это - "Вариационная задача Римана" Математически она определяется как задача о нахождение первой вариации решения автомодельной задачи по отношению к малым вариациям начальных данных С точки зрения динамики движущейся среды эта задача описывает в акустическом приближении взаимодействие двух однородных полей малых возмущений на фоне течения, возникающего при распаде автомодельного разрыва Решение вариационной задачи Римана дает фактически результатное поле возмущений, образующееся при взаимодействии однородных полей Поэтому эта задача играет в теории распространения звука роль, аналогичную той, что стандартная задача Римана играет в динамике сжимаемой жидкости В главной части представляемая на защиту работа посвящена исследо-

ванию этих двух задач Безусловно они представляют большой теоретический интерес в газодинамике Но кроме этого актуальность этих задач обуславливается тем, что при наличии их точного решения (а именно этому посвящена основная часть работы), они находят широкое применение в численных методах механики сжимаемых жидкостей и аэроакустики, в первую очередь для построения эффективных схем высокого порядка точности

Метод Годунова в классической постановке обладает первым порядком точности, что при всей его привлекательности снижает точность получаемых результатов, особенно в сложных задачах с контактными разрывами, ударными волнами и сдвиговыми слоями Поэтому с момента его открытия предпринимались многочисленные попытки обобщить метод Годунова на более высокий порядок точности В принципе, идея обобщения выглядит достаточно прозрачно Она состоит в замене кусочно-постоянных аппроксимаций на аппроксимации более высокого порядка точности (например, кусочно-линейные или кусочно-квадратичные) Это было предложено сначала в пионерских работах В П Колгана (1972) и впоследствие активно развивалось работах В van Leer(1976), Collela&Woodward (1984), А В Родионова (1987), Harten&Osher (1987) и многих других

Однако, когда кусочно-постоянная аппроксимация меняется на какую-либо другую, теряется основная "изюминка" метода - наличие точного аналитического решения задачи Римана Поэтому во всех многочисленных публикациях, имеющих отношение к повышению порядка аппроксимации годуновских методов, решение неавтомодельной задачи таким или иным образом обходится и заменяется, в конечном счете, решением некоторой подходящей автомодельной задачи При этом выхолащивается основополагающая идея Годунова об использовании именно точных аналитических решений И, хотя многие работы несут в своем названии слова "схема Годунова повышенного порядка точности", по сути таковыми не являются

Поэтому, строго говоря, для реализации метода Годунова второго порядка точности и выше решение обобщенной задачи Римана в явном аналитическом виде весьма актуально Новосибирской группой ученых под руководством В М Тешукова в 80-х годах прошлого столетия была проведена большая серия исследований, касающихся точных решений многомерных уравнений Эйлера Среди прочих была исследована и задача о многомерном распаде разрыва в неоднородном газе (обобщенная задача Римана) и были доказаны ее разрешимость и единственность в малой окрестности начального разрыва Поэтому нами была предпринята попытка найти это решение в явном виде и построить на его основе истинный метод Годунова повышенного порядка аппроксимации

Именно этому посвящены основные результаты, представляемые к защите Мы начинаем с простейшего случая скалярного одномерного нели-

нейного уравнения сохранения, на примере которого показываем основные подходы к решению задачи и достаточно строго и последовательно проводим все построения, начиная с решения обобщенной задачи Римана и заканчивая самой численной схемой Затем эта методика переносится на систему одномерных уравнений газодинамики и обобщается на случай многомерных уравнений Следующим шагом метод обобщенной задачи Римана разрабатывается для стационарных сверхзвуковых потоков газа

Вторая часть работы посвящена вариационной задаче Римана Актуальность этой задачи в вычислительной гидродинамике обуславливается двумя обстоятельствами Первое, наличие ее точного решения в явном виде дает выход на неявный метод Годунова Метод Годунова традиционно использовался с явными временными схемами Решение неявных уравнений сопряжено с решением нелинейных систем, которое реализуется, как правило, итерационным методом Ньютона При этом возникает необходимость линеаризации невязки разностных уравнений, что сводится практически к линеаризации функции численного потока Последняя в методе Годунова представляется весьма сложным нелинейным выражением, линеаризация которого до настоящей работы считалось проблематичным Решение же вариационной задачи Римана фактически дает возможность точной линеаризация годуновского численного потока

Второе обстоятельство, обуславливающее актуальность вариационной задачи Римана, состоит в том, что она описывает основной элемент эволюции полей малых возмущений на фоне неоднородных течений, что, в свою очередь, имеет непосредственное отношение к задачам аэроакустики Этот элемент - взаимодействие двух однородных полей возмущений Поскольку эволюция поля малых возмущений может быть представлена как последовательное взаимодействие многочисленных однородных элементарных полей, вариационная задача Римана по сути является основополагающей в области аэроакустики

Цель работы состоит в исследовании двух задач газовой динамики, являющихся обобщением фундаментальной задачи Римана, построении их точных решений и разработке на их основе эффективных численных методик повышенного порядка точности для задач механики сжимаемой жидкости и аэроакустики Одна задача - это прямое обобщение автомодельной задачи Римана (задачи о распаде произвольного разрыва в газе) на случай неоднородного по пространству течения Вторая задача связала с нахождением первой вариации решения автомодельной задачи по отношению к малым изменениям начальных данных Особое внимание уделяется нахождению и представлению решений в явной и компактной форме, удобной для использования в соответствующих численных методах Важной

частью работы является применение полученных результатов к расчетам ряда фундаментальных и прикладных задач

Научная новизна работы. Впервые проведено полное исследование обобщенной задачи Римана о распаде произвольного разрыва в неоднородном газе Доказана ее корректность и построено точное решение в компактной, явной и аналитической форме Аналогичная задача рассмотрена и для стационарных уравнений сверхзвуковой газодинамики Это -неавтомодельная задача о взаимодействии неоднородных сверхзвуковых потоков газа Здесь также удалось довести построение точного решения до конечных аналитических выражений

На основе полученных решений разработан метод обобщенной задачи Римана, который фактически является первой истинной модификацией численного метода Годунова на случай сеточных восполнений повышенного порядка (кусочно-линейных и выше) Метод реализован как для нестационарных, так и для стационарных сверхзвуковых уравнений Многочисленные расчеты тестовых и прикладных задач продемонстрировали существенное улучшение точности чиленных решений по сравнению со стандартным методом Годунова, особенно вблизи ударных волн, контактных разрывов и сдвиговых поверхностей

Проведено полное исследование вариационной задачи Римана - задачи о первой вариации решения задачи Римана по отношению к малым вариациям начальных данных Доказана единственность ее решения Само решение получено в виде явных аналитических зависимостей от начальных данных На базе полученных решений была разработана уникальная численная методика расчета задач аэроакустики, позволяющая рассчитывать процессы, связанные с распространением звуковых волн на фоне неоднородных движущихся сред, в том числе при наличии в потоках сильных разрывов

Впервые предложена методика реализации неявного метода Годунова, эффективно использующая решение вариационной задачи Римана для линеаризации функции годуновского потока Наряду с чисто неявной схемой, предложена и реализована также оригинальная идея явно-неявной схемы по времени второго порядка точности, обеспечивающая абсолютную устойчивость при минимальном использовании диссипативной неявной компоненты

Все основные результаты являются новыми и опубликованы в открытой печати

Практическая ценность работы Разработанные численные методики на основе точных решений обобщенной и вариационной задач Римана позволяют существенно повысить точность получаемых численных

результатов, снизить временные затраты расчетов, а также расширить класс решаемых задач

Метод обобщенной задачи Римана реализован в комплексе программ для нестационарных многомерных уравнений Эйлера и стационарных уравнений сверхзвуковой газодинамики Для моделирования вязких течений сжимаемой жидкости в рамках уравнений Навье-Стокса на сильно неравномерных сетках (с большим отношением максимального сеточного размера к минимальному) создан пакет прикладных программ, реализующих явно-неяную схему и метод обобщенной задачи Римана для широкого класса течений, включающих до- транс- и сверхзвуковые режимы, реальные свойства высокотемпературного воздуха, химическую и термодинамическую неравновесность при гиперзвуковых режимах

Метод вариационной задачи Римана реализован в комплексе программ для расчета эволюции полей малых возмущений на фоне неоднородных течений сжимаемой жидкости Эта численная методика имеет важное практическое значение в задачах моделирования генерации и распространения звука в нестационарных потоках сжимаемой жидкости С помощью разработанного метода удалось, в частности, провести численное моделирование и исследовать представляющую как фундаментальный, так и практический интерес, задачу о неустойчивости и распаде одиночного изолированного вихря

Разработанные методики использовались для ряда прикладных и теоретических расчетов в ИПМ им М В Келдыша РАН и университете г Нагоя (Япония), факультет Аэрокосмических технологий Некоторые результаты (касающиеся явно-неявных алгоритмов на нерегулярных сетках) использовались в программных комплексах ИАП РАН (моделирование ударных и детонационных волн в дисперсных средах)

Аппробация работы. Основные результаты работы и отдельные ее разделы докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях и семинарах 1-я, 2-я, 7-я, 8-я Советско-Японские и Российско-Японские симпозиумы по вычислительной аэрогидродинамике (Хабаровск, 1988, Тцукуба, 1990, Москва, 2000, Сендай, 2003), XIII Международная конференция по численным метода в гидродинамике (Рим, 1992), 8-я, 11-я и 12-я Всероссийские конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики (Москва, 1990, Пущино, 1996, Абрау-Дюрсо, 1998), 8-я, 9-я, 13-я и 14-я японские конференции по численному моделированию в гидродинамике (Токио, 1994, 1995, 1999, 2000), 6-й Международный симпозиум по вычислительной гидродинамике (Невада, 1995), 27-я японская конференция по гидродинамике (Гифу, 1995), 33rd Aircraft Symposium (Hiroshima, 1995), International symposium on Space Plight Mechanics (ISAS, Tokyo,

1995), 7th and 8th International Symposium on CFD (Beijm, 1997, Bremen, Germany, 1999), Международная конференция по численным методам, посвященная 70-летию С К Годунова (Michigan, USA, 1997), International Symposium on Hazards, Prevention and Mitigation of Industrial Explosions (Schaumburg, Illinois, USA, 1998), International conference on Godunov's methods for fluid dynamics (Oxford, England, 1999), Aerospace Numerical Simulation Symposium (NAL, Tokyo, 1999), AIAA Fluids 2000 Conference (Denver, USA, 2000), 1-я, 2-я, 3-я и 4-я конференции ICCFD (Киото, Япония, 2000, Сидней, Австралия, 2002, Торонто, 2004, Гент, Бельгия, 2006), 15th AIAA CFD Conference (Anaheim, USA, 2001), 1st International Symposium on Advanced Fluid Information (AFI-2001) (Sendai, Japan, 2001), 3rd AIAA Theoretical Fluid Dynamics Conference (St Louis, USA, 2002), 32nd AIAA Fluid dynamics conference, (St Louis, USA, 2002), 33rd AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibits (Orlando, Florida, USA, 2003), Aerospace Numerical Simulation Technologies Symposium (NAL, Tokyo, 2003), 35th Japan Fluid Dynamics Conference (Kyoto, 2003), JAXA Aerospace Numerical Simulation Symposium (NAL, Tokyo, 2003), Российско-Японский семинар по гидродинамической неустойчивости и турбулентности (Москва, 2004), 24th Internat Congress of the Aeronautical Sciences (Yokohama, Japan, 2004), 4th AIAA Theoretical Fluid Mechanics Meeting (San Diego, USA, 2005), Annual Meeting of Japan Society of Fluid Mechanics, (Tokyo, Japan, 2005), XXI Всероссийская конференция «Аналитические методы в газовой динамике (САМГАД-2006)» ( Санкт-Петербург, 2006), а также на семинарах ИПМ им М В Келдыша (рук чл-корр РАНА В Забродин), ИАП РАН (рук акад РАН О М Белоцерковский)

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в публикациях [1-39], среди которых 21 статья в журналах и сборниках [1,2,47,9,13,18,19,21,22,25,27, 28,30,33-35,37,39], 11 докладов на конференциях [3, 10-12,14-16,23,26,31,38] (статей - 8, в том числе в сборниках трудов международных конференций - 6, тезисов - 3) и 7 препринтов [8,17,20,24,29,32,36]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы Объем диссертации составляет 254 страницы, в том числе 4 таблицы и 95 рисунков Список цитируемой литературы включает 121 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор работ, посвященных задаче Рима-на и ее приложениях в численных методах механики сжимаемых жидкостей, дается постановка двух задач, обобщенной задачи Римана и вари-

адионной задачи Римана, которые составляют основу диссертации, обосновывается актуальность этих задач для построения численных методик повышенного порядка аппроксимаций, а также их научная новизна, показывается практическая значимость полученных результатов и кратко описывается содержание диссертации

Первая глава посвящена рассмотрению обобщенной задачи Римана и построению на основе ее решения численного метода для простого модельного скалярного уравнения, имеющего форму закона сохранения

где д = q{t, х) - неизвестная функция временной переменной ¿>0и пространственной переменной х 6 Д1, а / = /(<?) - так называемая "потоковая функция" или просто "поток", которая предполагается дважды дифференцируемой и строго выпуклой, т е , /" > е > 0, так что а = /' является строго возрастающей функцией

Обобщенная задача Римана для уравнения (1) по сути есть начальная задача Коши с разрывными начальными данными вида

^ ' ' \ чт[х\ если х > О к ;

где д;(х) и дг(ж) - произвольные достаточно гладкие функции

Частный случай, когда обе функции ф(а;) и дг(х) являются константами, соответствует автомодельной задаче, решение которой зависит только от комбинации Это решение кратко рассматривается в разделе 1 1

В разделе 1 2 решение обобщенной задачи Римана (ОЗР) исследуется локально вблизи точки начального разрыва х = 0 Цель - получить в явном аналитическом виде точные формулы, описывающие в первом приближении начальную стадию распада "неавтомодельного" разрыва Для этого вводятся новые независимые переменные

А = __(з)

и решение ищется в виде асимптотического разложения в ряд по степеням в

<?(А ,0)=до(А) + ЫА)0+О(б2) (4)

Предполагая, что начальные данные (2) представляются в форме ?(-оо,0) =Я1-31в + 0{в2)

д(+оо, в) =Яг + Бге + 0{в2) ^

где и <5т суть предельные значения начального распределения слева и справа от точки разрыва, а и Бт - соответствующие производные по ж,

10

показывается, что ОЗР в первом приближении по 9 единственным образом

разрешима и соответствующее решение представимо в виде

= (6)

где

д* = ч*{\,ЯиЯг) (7)

4 =

функции, представляемые явными аналитическими выражениями Функция д* задает решение автомодельной задачи на предельных значениях на разрыве, а?' - отклонение от автомодельности в первом приближении по в, которое мы будем называть в дальнейшем решением ОЗР

В разделе 1 3 формулируются основные принципы метода обобщенной задачи Римана - модификации метода Годунова с целью достижения второго порядка точности Следует отметить, что ранее предпринимались неоднократные попытки расширить метод Годунова до второго порядка Однако, все эти работы основывались на решении АЗР линейная аппроксимация решения на сеточных интервалах использовалась в них лишь для получения уточненных значений на ребрах счетных ячеек, однако в эволюции распада разрыва линейность начального распределения не учитывалась Существенное отличие предлагаемого подхода состоит в использовании решения ОЗР, а не АЗР, для описания решения на ребрах сеточных интервалов Это дает два основных преимущества 1) порядок аппроксимации по времени и пространству схемы Годунова повышается до второго без привлечения каких-либо дополнительных (типа "предиктор") вычислений и 2) производные решения по пространству, которые наряду со средними по сеточным интервалам являются неизвестными в дискретных уравнениях, рассчитываются на основе определенных дискретных уравнений (подобно расчету средних), а не аппроксимируются по рассчитанным значениям средних Другими словами, средние и производные в предлагаемом методе ОЗР выступают в роли независимых переменных и считаются на основе собственных разностных уравнений

Раздел 1 4 содержит результаты тестовых расчетов скалярного закона сохранения, выражаемого уравнением (1), для двух случаев - линейного и нелинейного (уравнение Бюргерса) Начальные данные выбираются достаточно простыми, допускающими точное решение, с тем, чтобы полученные численные решения можно было бы сравнивать с соответствующими аналитическими точными аналогами Сравнение результатов проводится для классической схемы Годунова первого порядка точности, а также для схемы Лакса-Вендрофа, которая как и метод ОЗР принадлежит классу схем второго порядка точности

11

Представленные в диссертации результаты убедительно показывают преимущество предлагаемого метода ОЗР Будучи формально методом второго порядка точности, он заметно превосходит по точности стандартный метод Лакса-Вендрофа, который хорошо известен в литературе и пользуется авторитетом эталонного Преимущество метода ОЗР основано на широком использовании свойств самого дифференциального уравнения, характерных его решений, в то время как стандартные разностные методы акцентированы в первую очередь на формальной дискретизации дифференциальных операторов и не принимают во внимание конкретной специфики аппроксимируемых уравнений

Во второй главе мы рассматриваем обобщенную задачу Римана для уравнений одномерной газодинамики В разделе 2 1 дается постановка задачи, которая сводится к задаче Коши для системы уравнений законов сохранения массы, импульса и энергии

^ + = 0 (8)

с начальными условиями

= если*<° (9)

4 ' \ если х > 0 и

где ди! суть вектор консервативных переменных и вектор потока, соответственно

Записывая систему (8) в характеристическом виде относительно скорости и, давления р и энтропии в, мы переходим затем к новым независимым переменным (А,0), где А = - стандартная автомодельная переменная, а в = \/ж2 + - расстояние в пространственно-временной плоскости от точки начального разрыва, и ищем решение в виде асимптотических степенных рядов следующего вида

(и,р, в) = (и,р, з)0(Х) + (и,р, 5)1 (А)0 + 0(в2) (10)

Следующим шагом находится общее решение системы уравнений первого приближения Поскольку нулевое приближение описывается двумя классами функций (постоянный однородный поток и центрированная волна Римана), то искомое общее решение исследуется отдельно для этих двух случаев Основным результатом является тот факт, что, несмотря на достаточно сложную функциональную зависимость коэффициентов системы от А, здесь удается проинтегрировать уравнения до конца и выписать общее решение в обоих случаях в явном аналитическом виде Общее решение для однородного потока включает 3 произвольные константы интегрирования, а для центрированной волны Римана - две

В разделе 2 2 дается анализ сращивания асимптотических разложений на разрывах В обобщенной задаче Римана структура возникающих разрывов и течений в подобластях непрерывности на малых временах определяется соответствующей автомодельной задачей, а изменение во времени из-за неавтомодельности начальных данных - общим решением уравнений первого приближения Таким образом, для завершения построения решения обобщенной задачи Римана необходимо определить константы общего решения в каждой из подобластей, а также ускорения разрывов в начальный момент времени Общее число параметров, которые подлежат определению, зависит от волновой картины соответствующей автомодельной задачи, и по максимому составляет 21 Применяя метод сращивания асимптотических разложений, показывается, что эта задача всегда имеет единственное решение, т е , при любой конфигурации возникающих разрывов константы общего решения и ускорения разрывов определяются единственным образом и, кроме того, могут быть найдены в явном достаточно простом аналитическом виде

Этим в целом завершается построение решения обобщенной задачи Римана для случая одномерных уравнений Эйлера Основным итогом является 1) доказательство существования и единственности решения задачи при любых (но физически допустимых ) начальных данных и 2) построение этого решения в явной аналитической форме При этом не делается специальных предположений относительно уравнения состояния среды Все формулы представлены для общего случая функциональной зависимости термодинамических параметров В разделе 2 3 полученные формулы конкретизируются для важного с точки зрения приложений случая, когда термодинамика среды описывается двучленным уравнением состояния

В разделе 2 4 описывается численный метод на основе обобщенной задачи Римана В классическом подходе Годунова движение жидкости на некоторый момент времени аппроксимируется кусочно-постоянным распределением, которое позволяет рассчитать аналитически последующее движение (на некотором временном интервале) на основе решения автомодельной задачи Римана Имея в арсенале аналитическое решение обобщенной задачи Римана, можно расширить метод Годунова, введя в рассмотрение аппроксимации более высокого порядка с целью повышения точности численных решений Таким образом, метод ОЗР, о котором идет речь в разделе 2 4, суть обобщение метода Годунова на более высокий порядок аппроксимаций мгновенных распределений параметров движения жидкости Основными результатами этого раздела являются построение метода и доказательство, что его формальный порядок аппроксимации совпадает с порядком сеточных восполнений

Раздел 2 5 адресован численной реализации метода ОЗР Метод применяется к расчету одной одномерной задачи (задача Сода), имеющей

точное аналитическое решение Решение включает как сильные, так и слабые разрывы и состоит из трех волн ударной волны, контактного разрыва и центрированной волны разрежения Это позволяет практически проверить аппроксимационные свойства предлагаемой расчетной схемы на типичных структурах динамики сжимаемой жидкости

Расчеты проводятся методом ОЗР с простейшей кусочно-линейной моделью восполнения Анализ результатов показывает значительное улучшение точности численного решения по сравнению со стандартным методом Годунова Особенно следует отметить, что заметное улучшение точности расчетов происходит не только в областях гладкости решения (как, например, веер волны разрежения), но также вблизи особенностей - ударной волны, контактного разрыва и двух слабых разрывов, которыми являются передняя и замыкающая характеристики волны разрежения Это свойство схем в литературе называется свойством высокого разрешения ("Ь^Ь-геыЛиЬюп"), которое подразумевает способность конечно-разностной схемы четко разрешать особенности решений (слабые и сильные разрывы) с минимальным "размазыванием" по сетке

Для оценки фактического порядка аппроксимации метода ОЗР на разрывных решениях была осуществлена серия расчетов на разных сетках В таблице 1 приведены значения средней относительной ошибки для двух норм || Ц^ и || ||ь2 для четырех сеток с числом счетных интервалов 20, 40, 80 и 100, соответственно Как следует из таблицы, метод ОЗР дает гораздо меньшую ошибку, чем стандартный метод Годунова, ошибка последнего на 80 точках примерно такая же, как ошибка метода ОЗР на 20 точках

6р 5и 6р

Сетка II 1к II II II III, II к II II*,

20 3 258 4 43 12 41 15 43 3 49 5 52

2 198 3 16 9 44 11 1 217 3 546

40 2 725 3 965 11 14 15 2 2 68 4 62

1 45 2 45 6 95 9 73 1 3 25

80 1 998 3 21 8 56 12 91 183 3 51

0 835 1 78 4 58 7 68 0 705 1 64

100 1 79 2 97 77 12 02 16 3 17

0 695 16 3 96 7 12 0 57 1 43

Таблица 1 Относительная средняя ошибка верхний ряд - метод Годунова, нижний ряд - метод ОЗР

В Главе 3 подходы, используемые при анализе одномерной задачи, обобщаются на многомерный случай Основной результат этой главы состоит в том, что также как в в одномерном случае, пространственная обощенная задача Римана в малой окрестности плоскости разрыва имеет в первом приближении единственное решение и, кроме того, главные

14

члены этого приближения находятся в форме явных и компактных аналитических выражений при произвольных значениях начальных данных

В разделе 3 1 дается постановка пространственной ОЗР Рассматривается задача Коши для трехмерных уравнений Эйлера с начальными данными вида

Ч(0,х) = (*^' если^<° (И)

qJ.(x), если х\ > 0 4 '

где вектор q обозначает вектор консервативных переменных, х = (хг,х2,хз) - вектор декартовых координат

Записывая исходные уравнения в Жх—характеристическом виде и переходя от переменных Хх, Жз) к новым независимым переменным (А, 9, Х2, Жз), мы затем ищем решение, по аналогии с одномерным случаем, в виде асимптотического ряда

Я(А, в, х2, ж3) = д0(А, х2, ж3) + Ч1(А, х2, х3)9 + 0(92) (12)

Первый член разложения (12) qo(A, ж2,ж3) - это кусочно-аналитическая функция, являющаяся решением следующей начальной задачи Коши

I _ Г Чг(0, Х2, Жз) = Чю{хг,хз), если хг < О с =0 1 Чг(0,ж2,ж3) = ато(ж2,ж3), если > О Очевидно, переменные ж2 и жз играют здесь роль параметров, и задача (13) представляет собой по сути параметрическое семество автомодельных задач о распаде произволного разрыва на плоскости Или, другими словами, при каждых фиксированных значениях Х2 и уравнения (13) описывают задачу о взаимодействии вдоль плоскости двух однородных потоков газа Подробно ее решение рассматривается в Приложении В (раздел 3 5) Обобщенная задача Римана в терминологии настоящей работы - это нахождение функций следующего приближения, т е Ч1(А,а:2,жз)

В разделе 3 2 рассматривается общее решение системы определяющих уравнений первого приближения по в Коэффициенты этой системы зависят от нулевого приближения, которое, в свою очередь, представляется либо константными функциями (однородный постоянный поток), либо функциями, описывающими распределение в центрированной волне разрежения Показывается, что в обоих случаях система интегрируется до конца и общее решение находится в явном аналитическом виде Причем в случае постоянного потока решение зависит от 5 произвольных констант, а в случае волны разрежения - от четырех

В разделе 3 3 проводится анализ сращивания асимптотических разложений на ударной волне, окаймляющих слабых разрывах волны разрежения и поверхности контактного разрыва и доказывается, что константы

15

интегрирования во всех подобластях гладкости, а также искривление поверхностей разрывов в силу неоднородности начальных данных (в первом приближении по в) определяются единственным образом для каждого (из трех возможных) вариантов волновых конфигураций, возникающих в результате распада начального разрыва

Раздел 3 4 содержит Приложение А, где приводятся детали анализа соотношений на ударной волны, в разделе 3 5 (Приложение В) дается решение нулевого (автомодельного) приближения и, в частности, выписываются формулы для тангенциальных производных В Приложение С раздела 3 6 формулы решения обобщенной задачи Римана конкретизируются для случая специального уравнения состояния среды (т н двучленного уравнения состояния)

Раздел 3 7 посвящен построению многомерного аналога метода обобщенной задачи Римана Построение проводится для трехмерных уравнений движения идеальной сжимаемой жидкости При этом рассмотрение не ограничивается каким-либо определенным классом сеток сетка может быть как структурированная, так и неструктурированная, конформная или некомформная Используется простейшая кусочно-линейная модель восполнения, которая определяется двумя типами параметров - средними по ячейкам и вектором градиента в"

а(Лг)=ЧГ + 8гге,(г-гг), тег (14)

где 5 = {дцт/дгп), т = 1, ,5, п = 1,2,3 обозначает фактически тензор частных производных Расчетный цикл включает в себя определение этих двух параметров Особо отметим, что расчет производных 51 в методе ОЗР не есть вспомогательная постпроцессинговая операция, как в большинстве методов, посвященных обобщениям метода Годунова на второй порядок, а является самостоятельной (такой же, как расчет q" ) и базируется на применении точного решения ОЗР

В разделе 3 8 мы приводим результаты некоторых вычислительных экспериментов Эти эксперименты направлены на то, чтобы показать эффективность использования обобщенной задачи Римана для повышения точности метода Годунова В частности, были проведены расчеты одной из задач теории безударного сильного сжатия газа (А Ф Сидоров, 1991) Эта задача, кроме важного прикладного значения в теории управляемого термоядерного синтеза, интересна как хороший тест для верификации численных методик, так как обладает точным аналитичеким решением и, вместе с тем, описывает достаточно сложные, многомерные и нестационарные течения с наличием больших градиентов в распределениях параметров

В Главе 4 обобщенная задача Римана рассматривается для уравне-

16

ний стационарной сверхзвуковой газодинамики Аналогом задачи Римана о распаде произвольного разрыва в этом случае является задача о взаимодействии двух однородных сверхзвуковых потоков газа

Мы рассматриваем случай двумерных течений, параметры которого зависят только от двух пространственных координат х и у Пусть в некотором сечении, скажем х = 0, известно распределение параметров потока вдоль координаты у и также известно, что скорость потока в нормальном к сечению направлении (вдоль координаты х) сверхзвуковая В силу гиперболичности уравнений, течение вверх по потоку от этого сечения полностью определяется значениями газодинамических параметров в этом "начальном" сечении (х = 0) Задача Римана тогда формулируется как задача о распаде произвольного разрыва в сверхзвуковом потоке, а именно каково будет течение вверх по потоку от сечения х = 0, если поток в этом сечении представляется кусочно-постоянным распределением с разрывом параметров в точке у — 0? С физической точки зрения эта задача может трактоваться как задача о взаимодействии двух однородных сверхзвуковых потоков газа

Поскольку в формулировке отсутствует какой-либо линейный размер, задача является автомодельной, ее решение зависит только от отношения х/у и находится аналитически в конечных формулах Обобщение этой задачи - это случай, когда взаимодействуют, вообще говоря, неоднородные потоки

В разделе 4 1 дается математическая формулировка обобщенной задачи Римана для стационарных сверхзвуковых уравнений, которая сводится к следующей задаче Коши

где а(ж, у) и Ь(ж, у) суть стандартные потоковые функции в направлении осей х ж у, соответственно Вектор функции а +(у) и а -(у) задают распределения соответствующих величин в начальном сечении

Система уравнений (15) преобразуется к переменным годографа вектора скорости V = Vи2 + V2 и в = агсЛап(г;/-и), удельной энтропии з и углу Маха ¡х — агсБШ(а/У), и вводятся новые независимые переменные г = л^х2 + у2 и X = у/х Решение получаемой в результате таких преобразований системы мы представляем в виде асимптотического ряда

(15)

ф(\,г) = ф0(\) + ф1(\)г + О(г2)

(16)

для ф = {V, 9,р, в}

Общее решение нулевого приближения составляют два класса автомодельных функций, представляющих однородное течение и течение в волне разрежения (центрированная волна Прандтля-Майера) С помощью функций этих классов строится решение автомодельной задаче о взаимодействии двух однородных сверхзвуковых потоков газа (М Я Иванов и А Н Крайко, 1972)

Цель настоящей работы - построение решения обобщенной задачи Ри-мана (15) в первом приближении по г в смысле асимптотических разложений (16) и определение функций </>1(А)

В рассматриваемом приближении эти функции являются кусочно-аналитическими, причем их области аналитичности те же, что у функций фо(Х) нулевого приближения, и определяются волновой структурой соответствующей автомодельной задачи Нахождение искомого решения проводится в два этапа Сначала мы определяем общее решение, интегрируя соответствующие уравнения первого приближения В разделе 4 2 мы показываем, что это можно сделать аналитически до конца и выписать решение в виде конечных формул В разделе 4 3 методом сращивания асимптотических разложений на разрывах (границах областей аналитичности) доказывается единственность решения обобщенной задачи и выводятся в явном виде его формулы

Полученное решение мы применяем в разделе 4 4 для модификации метода Годунова с целью улучшения его аппроксимационных свойств Восполнение распределений в каждом расчетном сечении осуществляется с помощью кусочно-линейных функций, определяемых значениями средних по ячейкам и градиентов, которые рассчитываются по независимым схемам на основе точных решений обобщенной задачи Римана Получаемые в результате дискретные уравнения аппроксимируют исходные дифференциальные уравнения со вторым порядком точности

Раздел 4 4 содержит результаты некоторых вычислительных экспериментов с целью демонстрации на практике эффективности предложенного метода обобщенной задачи Римана Одна из этих задач - сверхзвуковое стационарное течение в канале с криволинейными стенками Расчеты проводятся на последовательности сеток для исследования сходимости численных решений к точному

Результаты показаны на фиг 1, где приведены численные решения для плотности и давления, полученные стандартным методом Годунова и методом ОЗР Видно, что оба решения практически совпадают, хотя в расчетах по методу ОЗР используется сетка в 4 раза более грубая по числу интервалов, чем в стандартном методе Годунова

Порядок аппроксимации в этой задаче связан со скоростью уменьшения ошибки ег( ) в некотором сечении х = соивЬ при увеличении числа

Рис 1 Распределение плотности и давления в сечении канала (а) метод Годунова на сетке N = 80, (б) метод обобщенной задачи Римана на сетке N — 20

счетных интервалов N Асимптотика зависимости ег( ) от N при N —> оо имеет степенной вид ег() « где параметр к отражает порядок точности схемы Этот факт иллюстрируется фиг 2, где ошибка показана как функция N в логарифмическом масштабе Видно, что результаты точно ложатся на прямые, угловые коэффициенты которых как раз и есть к

Значения угловых коэффициентов к для разных параметров сведены в Таблице 2 для результатов по методу Годунова и ОЗР, соответственно Для схемы Годунова эти значения близки к 1, что указывает на первый порядок аппроксимации Хотя метод ОЗР формально обладает вторым порядком, значения соответствующих коэффициентов оказываются, тем не мнее, чуть меньше 2 Возможной причиной этого могут быть граничные условия на стенках канала, которые в приведенных расчетах трактовались с первым порядком аппрксимации

(яг (*) •> -

Рис 2 Зависимость ошибки давления от числа счетных интервалов в логарифмическом масштабе 1 - метод Годунова, 2 - метод обобщенной задачи Римана

к

Параметр Метод Годунова Метод ОЗР

и 0 990 2 30

V 0 953 1 51

Р 0 943 1 72

Р 0 999 1 73

s 0 971 19

Таблица 2 Значение углового коэффициента относительной средней ошибки в методе Годунова и методе ОЗР

Главе 5 посвящена вариадионной задаче Римана, которая суть производная базовой задачи Римана Она формулируется следующим образом Пусть Qr обозначает решение задачи Римана с начальными данными Q* Требуется определить первую вариацию решения, 5QR, возникающую при слабом возмущении начальных данных Q± —» Q* + iQ*

Решение вариационной задачи Римана записывается посредством вариационных матриц, уи±(Л, Q~, Q+), Л = x/t следующим образом ¿QR = fjrSQ~ + /z+<5Q+ Поэтому задача фактически сводится к определению вариационных матриц во всем диапазоне Л, —оо < Л < +оо

Построение решение ВЗР проводится в разделах 5 1, 5 2 и 5 3 Прежде всего отметим, что матрицы М; and Мт являются кусочно-гладкими функциями Л, причем области гладкости у них те же, что и в базовой задаче Римана, и определяются ее волновой структурой И кроме этого, матрицы - константы по отношению к Л в тех подобластях, где в базовой задаче реализуется однородный поток, т е , в невозмущенных областях и контактных зонах

В невозмущенных областях вариационные матрицы тривиальны и равны либо нулевой, либо единичной матрице Так, для левой невозмущенной области Mi = I, Мт = 0, и наоборот, Mr = I, М\ = О для правой

В области центрированной волны разрежения эти матрица зависят от А

и определяются системой дифференциальных уравнений, которую удается проинтегрировать в конечном виде (раздел 5 2)

И, наконец, в контактных зонах матрицы должны определяться на основе сопрягающих соотношений для возмущений на контактном разрыве с одной стороны, и замыкающей характеристике центрированной волны разрежения или ударной волне с другой стороны Анализ этих соотношений (раздел 5 3) показывает, что эта задача всегда единственным образом разрешима, и позволяет найти вариационные матрицы слева и справа от контактного разрыва в явном виде Введение понятий собственной и сопряженной величины позволяет также сильно упростить окончательный результат и представить его в элегантном и компактном виде

Вариационная задача Римана с физической точки зрения описывает взаимодействие однородных малых возмущений на фоне распада произвольного разрыва Это открывает возможности эффективно использовать ее решение в различных приложениях, связанных с вычислительной гидродинамикой В диссертации мы рассматриваем два таких приложения

Первое - неявный метод Годунова, которому посвящен раздел 5 4 Неявный метод Годунова, рассматриваемый в этом разделе, принадлежит семейству методов на основе линеаризации неяного оператора Однако, есть отличие от традиционных подходов, состоящее в том, что линеаризация применяется на уровне дискретных уравнений, а не дифференциальных Мы сначала проводим дискретицацию уравнений методом конечного объема и лишь затем используем линеарицацию с последующим выполнением ньютоновских итераций При условии выполнения точной линеаризации можно ожидать при таком подходе быстрой (квадратичной) сходимости Кроме того, метод достаточно гибкий, и может применяться без каких-либо ограничений на структуру сетки

Получающаяся таким образом неявная схема Годунова решается методом LU-SGS приближенной факторизации (Yoon and Jameson, 1987) При этом мы проводим обобщение метода LU-SGS на произвольную неструктурированную сетку Весьма важным фактом является доказательство достаточно простого свойства невязкого якобиана (раздел 5 4 2) Применение этого свойства позволяет значительно упростить вычисления и при определенных предположениях переформулировать метод, исключив из него какие-либо матричные операции так, что окончательные расчетные циклы запишутся в форме, содержащей только векторные величины (консервативный вектор решения и потоковый вектор)

Точная линеаризация годуновской функции численного потока достигается при помощи решения соответствующей вариационной задачи Для сравнения мы также рассматриваем широко распространенную в мире приближенную линеаризацию (Джеймисон и Туркел, 1981) Численные эксперименты (раздел 5 4 3) проводятся с целью оценки скорости сходи-

О 500 1000 1500 2000 йте з(ер, л

Рис 3 Невязка численного решения в зависимости от числа шагов по времени в задаче о погранслое на плоской пластине

мости неявной годуновской схемы Несмотря на то, что Ш-ЗСв факторизация левой части уравнений должна бы в некотором роде уравнивать оба подхода в скорости сходимости (так как ньютоновские итерации фактически не реализуются), результаты экспериментов показывают значительное (в несколько раз) ускорение сходимости при выполнении точной линеаризации в неявной ЬИ-ЗОБ годуновской схеме по сравнению со стандартной джеймисон-туркеловской линеаризацией В качестве иллюстраций рис 3 и 4 показывают сходимость численных решений в двух тестовых задачах погранслой на плоской пластине и вязкое сверхзвуковое обтекание головной части цилиндра Превосходство скорости сходимости в расчетах по схеме с точной линеаризацией потоков по сравнению с аналогичной, но с приближенной линеаризацией, очевидно

Второе приложение вариационной задачи Римана рассматривается в разделе 5 5 Здесь точное решение этой задачи используется для численного моделирования эволюции полей малых возмущений на фоне неоднородного базового течения Расчетная модель основывается на линеаризованных уравнениях Эйлера, в которой полное поле течение раскладывается на сумму базового (осредненного), известного из других численных, аналитических или экспериментальных исследований, и поля малых возмущений, определяемого в результате интегрирования соответствующих линеаризованных уравнений Базовое течение в общем случае может быть нестационарным

Ключевым моментом в предлагаемом подходе является аппроксимация

Рис 4 Невязка численного решения в зависимости от числа шагов по времени в задаче о сверхзвуковом обтекании цилиндра

акустического потока Р^ на гранях счетных ячеек, который зависит как от параметров базового течения вблизи ребра, так и от величин малых возмущений Мы решаем эту задачу годуновским подходом, рассматривая акустичекий поток как результат взаимодействия полей малых возмущений в прилегающих к ребру ячейках Тогда искомый поток вычисляется через решение вариационной задачи Римана следующим образом

IV = л (Ц?) О? (17)

Л> ——Ц { _/у _(У \

где Л((3) = дТ/дО, - якобиан невязкого потока, а 0,а = Ца (О,С},, Ц^)

- решение базовой задачи Римана на ребре с векторами О* и пред-

ставляющими базовое течение на ребре со стороны текущей г и соседней сг(г) ячейки, соответственно

Вектор в (17) представляет собой решение вариационной задачи Римана и записывается через вариационные матрицы

О* = Мг (о, ОТ, й: + Мст(г) (о, ОТ, ■См) йаа(г) (18)

где верхний индекс а указывает, что соответствующие значения берутся в центре грани

Метод вариационной задачи Римана для задач аэроакустики позволяет также эффективно решать вопрос с постановкой различных типов граничных условий Акустические потоки на внешний границах при таком подходе рассчитываются в единой манере для всех типов границ расчетной области Этому вопросу посвящен раздел 5 5 1

В разделе 5 5 2 рассматриваются примеры расчетов трех тестовых задач, служащих для проверки достоверности метода, а также оценки точности получаемых численных решений Первые две задачи имеют отношение к расчету акустических полей в покоящейся однородной среде Это - акустические поля, создаваемые двумя типичными источниками звука -монополем и диполем Третья задача связана с расчетом полей малых возмущений в неоднородной среде В ней рассматривается распространение монохроматических плоских волн в потоке с ударной волной Все задачи обладают аналитическим решением, и поэтому служат хорошим тестом для верификации расчетных методик для аэроакустики

В качестве иллюстрации получаемых результатов на рис 5 приведено сравнение численных данных (маркеры) с теоретическими, изображенными сплошными линиями Здесь показаны значения интегральной интенсивности звука от числа Струхаля дипольного источника В расчетах интенсивность определялась интегрированием численных значений потока звуковой энергии на внешней границе счетной области с последующим осреднением по периоду пульсаций источника Расчет и теория демонстрируют отличное совпадение результатов во всем диапазоне частот

Л*. ! I .

-'

а сотр^ес! уа1иеэ ——зпа)уйса1 воШооп

т , _

--.-1---1-.-1-.-1-■-10 2 4 6 8 10 3»

Рис 5 Интенсивность излучаемого звукового поля в зависимости от числа Струхаля для дипольного источника звука

Другой пример расчета - преломление плоской звуковой волны на фронте ударной волны Эта задача имеет также аналитическое решение, которое среди прочего описывает и угол преломления звука В силу этого можно подобрать параметры базового течения и падающего звука таким

24

образом, чтобы преломленная волна за скачком имела бы строго горизонтальный фронт в выбранной системе координат

Именно с такими параметрами был проведен расчет преломления звука на ударной волне методом вариационной задачи Римана Его результаты в виде изоконтурных линий акустического давления изображены на рис б Как нетрудно убедиться, фронт преломленной волны за скачком действительно оказывается строго параллельным горизонтальным границам области Это служит еще одним верификационным фактом в пользу предлагаемой методики

Рис 6 Изоконтуры поля звукового давления в задаче о падении звука на косую ударную волну

В главе 6 методы обобщенной и вариационной задач Римана, которым посвящена основная часть диссертации, применяются для исследования устойчивости течения одиночного вихря Мы рассматриваем класс вихрей, которые именуются в литературе как изолированные вихри Эти вихри отличаются тем, что циркуляция скорости на бесконечности у них равна нулю Или, другими словами, интегральная завихренность - нулевая Слово "изолированный" указывает на то, что у вихря имеется как бы защитный экран - область с ротором скорости одного знака, которая окружает по периферии центральную часть вихря, где знак ротора скорости противоположный В общем случае вихрь не предполагается изоэнтропич-ным, а может иметь некоторую стратификацию по энтропии Радиальное распределение угловой компоненты вектора скорости моделируется обобщенным тэйлоровским профилем, который был предложен в работах Тента и Маквильямса (Gent and McWilliams,1986) Этот профиль характеризуется 2 параметрами интенсивностью fi (максимальное значение угловой

25

Рис 7 Мнимая часть собственного числа моды т — 2 как функции интенсивности вихря М

скорости) и крутизной спада скорости в периферийной области ¡3

Сначала (раздел 6 1) мы проводим линейный гармонический анализ устойчивости с целью выявления неустойчивых мод в зависимости от управляющих параметров базового течения интенсивности, крутизны профиля и параметра энтропийной стратификации в Последний отвечает за распределение энтропии в вихре Значение 6 = 0 соответствует изоэнтро-пийному вихрю, в < 0 - вихрю с дефицитом энтропии, в > 0 - вихрю с избытком энтропии

Возмущения анализируются в форме нормальных мод, когда все параметры имеют одинаковую (Ь, ф)—зависимость вида ехр[г(А£ 4- тф)], где ф - угловая координата, А - комплексная частота, то - волновое число по углу При заданном целом значении т задача сводится к системе нелинейных ОДУ для амплитуд при определенных граничных условиях, которая фактически является задачей на собственные значения А Его действительная часть, Аг = Де(А), представляет азимутальную фазовую частоту, а мнимая часть, Аг = 1т(А), определяет скорость роста (или затухания) возмущений во времени Угловая фазовая скорость равна Аг/т

В разделе 6 13 описывается метод решения этой задачи, а основные результаты содержатся в разделе 6 14 Как это видно из представленных результатов, неустойчивость изолированного вихря сильно зависит от крутизны профиля скорости в периферийной области (параметра /3), т е от размера этой области, где ротация вектора скорости (завихренность) имеет противоположный знак Общая тенденция состоит в усилении неустойчивости при сужении этой зоны, как это следует из рис 7, где показана мнимая часть решения в зависимости от интенсивности для изоэнтропийного вихря

При значениях ¡3 « 1 5 и выше вихри малой интенсивности являют-

ся неустойчивыми, хотя эта неустойчивость достаточно слабая С ростом ¡л, по мере усиления вихря, скорость роста неустойчивой моды сначала увеличивается Дальнейшее ее поведение зависит от периферийной зоны Для вихрей с умеренным значением /?(/?< 2 2) скорость роста достигает своего максимума, а затем быстро спадает Вихрь даже может перейти в устойчивое состояние и оставаться таковым на всех больших скоростных режимах (интенсивностях), лишь в непосредственной близости к предельному режиму (образование вакуумной зоны) вихрь вновь переходит в неустойчивое состояние

Вихри, имеющие более крутой профиль скорости в периферийной зоне (уб > 2 5), являются неустойчивыми на всех скоростных режимах Причем вихрь становится все более неустойчивым по мере того, как усиливается его скоростной режим (интенсивность)

Наличие энтропийной неоднородности (в 0) вносит дестабилизирующий эффект На рис 8 показана диаграмма устойчивости изолированного вихря в плоскости параметров (ц, в), построенная по результатам многопараметрического решения задачи на собственные значения Как видно, потеря устойчивости наступает при наличии определенной энтропийной неоднородности и вблизи эвакуационных режимов Интересным фактом является также то, что течение теряет устойчивость при ослаблении интенсивности Например, изоэнтропийный вихрь при значениях д > 1 25 устойчив (за исключением весьма узкого диапазона вблизи эвакуационного режима) Более слабые вихри оказываются неустойчивыми В этом смысле изолированные вихри отличаются от вихрей с гауссовым профилем завихренности, которые остаются устойчивыми на всем скоростном диапазоне

В разделе 615 мы рассматриваем один из возможных способов возбуждения неустойчивой моды в вихре, а именно - при помощи звука Если течение в вихре неустойчиво, то естественно предположить, что рассеивание звука на таком вихре должно приводить к неустойчивости рассеянного акустического поля Однако, численные исследования задачи о рассеивании звука на вихре (раздел 5 1 4) не обнаружили какой-либо неустойчивости, акустическое поле оказывается строго периодическим во времени с частотой, в точности совпадающей с частотой падающей волны Этот факт кажется противоречшцим результатам линейного анализа устойчивости (и тем самым бросает тень подозрения на верность метода вариационной задачи Римана), которые определенно указывают на существование неустойчивой моды с волновым числом т = 2 (см рис 8)

В действительности никакого противоречия нет Все дело в том, что неустойчивость эта слишком слабая безразмерная скорость роста составляет лишь 1СГ3 для рассмотренного случая Таким образом безразмерное время, необходимое для развития неустойчивости должно быть порядка

3 2

6 1 О

Рис 8 Кривая устойчивости в плоскости ц — 9 для моды т = 2иа = 05

103 или больше, что соответствует примерно 20 оборотам базового вихря Расчеты же проводились на временном интервале, равном 30 периодам падающей волны, или двум и пяти оборотам вихря для случая 6 = 4 и 5 = 10, соответственно Поэтому приведенные выше расчеты отражают лишь начальный период, в течении которого происходит рассеивание звука, но неустойчивость не успевает достаточно развиться

Для проверки факта, что звуковая волна действительно может вызывать неустойчивость вихря, были проведены аналогичные расчеты, но в течение гораздо большего времени В качестве базового вихря был взят изоэнтропийный вихрь с интенсивностью р, = 0 75, для которого линейный анализ показывает существование неустойчивой то = 2 моды с несколько большей скоростью роста — \ = 0 0106 и фазовой угловой скоростью —Аг = 0 2044 В расчетах отслеживалось поведение во времени двух параметров возмущение давления в фиксированной точке, расположенной сразу за вихрем (г = 2а, <р = 0) и среднее значение возмущения давления по области V = {г < 2а}

Эти параметры показаны на рис 9 and 10, соответственно Как видно из представленных графиков, неустойчивость не проявляется в течение достаточно длительного времени Вплоть до времени t ~ 400, которое соответствует примерно времени 50 оборотов базового вихря, давление в фиксированной точке меняется строго периодически с частотой, равной частоте падающей волны Средне-квадратичное давление pav при этом остается почти постоянным

Лишь по истечению указанного времени в поведении рассеянного звукового поля наблюдаются изменения, обусловленные возникновением и быст-

28

Time

Рис. 9. Зависимость возмущения деления от времени и фиксированной точке; рассгипа-яие эвука на изоэвтропийном вихре, ц = 0.75.

Рис. 10. Зависимость средне-квадратичного значения возмущении давления от ьременя; рассеивание звука на. л^оэнтрштйном вихре, ■= 0.75.

| <*= ".,„,.=2.4781

J ш= -^=0.2044 j :

. Г Г - 1 Г - |- "Г " 1.1 4 | . i . 1. т L . 1. 1 ■ п - t 1 ■ Г - Г " f * 11 ' ' ' J

Frequency, ю

1'ис. 11. Частотный спектр возмущения давления в фиксированной точке наблюдения; ряссеигсанис ч:>- на изоэитропийном вихре, " 0.75,

I .... I -5 0 5

Рис 12 Поле возмущения скорости в задаче о рассеивании звука на вихре после появления неустойчивого развития

рым развитием неустойчивости Это проявляется резким увеличением амплитуды давления в точке наблюдения Также наблюдается рост среднеквадратичного давления, которое приобретает почти линейный характер (в логарифмическом масштабе) с производной, равной 0 01064 Эта линейная зависимость приведена на рис 10 для сравнения Величина наклона этой прямой практически в точности совпадает со значением скорости роста неустойчивой т = 2 моды, получающейся в результате линейного анализа

Частотный спектр, получающийся в результате применения быстрого преобразования Фурье к давлению в точке наблюдения, приведен на рис 11 Как видно, на этом спектре имеется две выделенные частоты Одна соответствует значению ш = 2 4781, что совпадает с частотой падающей звуковой волны Вторая же имеет значение ш = 0 2057, которое хорошо согласуется со значением фазовой угловой частоты неустойчивой т = 2 моды (—Аг = 0 2044)

Из этих результатов непреложно следует, что неустойчивое поведение акустического поля при рассеивании звука на вихре возникает вследствие индуцирования неустойчивой нормальной моды с волновым числом т = 2 Поле возмущения скорости (рис (12) становится определенно вихревым, состоящим из четырех симметрично-расположенных периферийных вихрей Эти вихри имеют чередующуюся полярность вращения Такая картина волнового поля в точности соответствует виду собственных функций в линейном гармоническом анализе неустойчивости (раздел 6 1)

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые сводятся к следующему

1) Впервые проведено полное исследование обобщенной (неавтомодепь-ной) задачи Римана о распаде произвольного разрыва в неоднородном газе Как в одномерном приближении, так и в общем (многомерном) случае, доказана ее корректность и аналитически найдены точные решения, которые удалось представить в явной и компактной форме Аналогичная задача рассмотрена для стационарных уравнений сверхзвуковой газодинамики (неавтомодельная задача о взаимодействии двух неоднородных по пространству сверхзвуковых потоков) Проведено ее исследование, в результате которого выведено точное ее решение, также в форме конечных аналитических выражений

2) На основе полученных аналитических решений разработан метод обобщенной задачи Римана, который фактически является первой последовательной модификацией численного метода Годунова на случай сеточных восполнений повышенного порядка (кусочно-линейных и выше) Метод реализован для нестационарных уравнений газовой динамики, а также для стационарных сверхзвуковых уравнений Многочисленные расчеты как тестовых, так и прикладных задач продемонстрировали существенное улучшение точности численных решений по сравнению со стандартным методом Годунова, особенно вблизи ударных волн, контактных разрывов и сдвиговых поверхностей

3) Дана постановка и проведено полное исследование вариационной задачи Римана - задачи о первой вариации решения римановской автомодельной задачи по отношению к малым вариациям начальных данных Доказано существование и единственность решения при произвольных начальных вариация Предложена оригинальная форма представления решения, позволяющая записать его в компактном виде явных функций начальных данных

4) Полученные результаты позволили выполнить точную линеаризация функции годуновского численного потока и применить ее затем к решению уравнений соответствующей неявной схемы Это значительно ускорило сходимость численных решений и повысило эффективность неявной схемы Годунова (в которой, в силу отсутствия до настоящей работы точной стандартно применялась приближенная линеаризация, предложенная Туркелом-Джеймисоном)

5) На основе решения вариационной задачи Римана разработана уникальная численная методика, являющаяся по сути обобщением метода Годунова на задачи аэроакустики Она позволяет рассчитывать эволюцию полей малых возмущений на фоне неоднородных течений газа, в том числе при наличии в потоке сильных разрывов

6) Методы обобщенной и вариационной задачи Римана, предлагаемые в настоящей работе, значительно повысили точность и эффективность численных расчетов С их помощью удалось расширить класс решаемых задач (акустика в средах с ударными волнами) и провести математическое моделирование таких сложных с вычислительной точки зрения задач, как глубокая стадия безударного сильного (неограниченного) сжатия газа, рассеивание звука на вихревых структурах, неустойчивость изолированного вихря и ряд других

Основные публикации по теме диссертации

1 Меньшов, И С Повышение порядка аппроксимации схемы Годунова на основе решения обобщенной задачи Римана / И С Меньшов // Журнал ВМ и МФ - 1990 - Т 29

- № 9 - С 1357-1371

2 Меньшов, И С Обобщенная задача о распаде произвольного разрыва / И С Меньшов // Прикл матем и механика - 1991 - Т 55 - № 1 - С 86-94

3 Men'shov, I S Using analytical solutions of gasdynarmcs equations for increasing the order of approximation of the Godunov method /IS Men'shov // Preprints of the II Japan-USSR Computational Fluid Dynamics Conference, Tsukuba, Japan, 9-14 Sept, 1990

- Tsukuba Tsukuba University Publish , 1990 - pp 9-19

4 Меньшов, И С Повышение точности схемы Годунова для расчета стационарных сверхзвуковых течений газа на основе решения обобщенной задачи Римана / И С Меньшов // Журнал ВМ и МФ - 1992 - Т 32 - № 2 - С 311-319

5 Меньшов, И С О модификации метода Годунова для стационарных уравнений Эйлера / И С Меньшов // Вопросы ат науки и техн , сер Мат моделирование физ проц

- 1992 - № 2 - С 3-13

6 Men'shov, I S Finite volume Euler solver Based on the solution of multidimensional Riemann problem /IS Men'shov // Finite elements m fluids, Eds К Morgan, E Onate, J Peraire, О Zienkiewicz - Berlin Sprmger-Verlag, 1993 - pp 309-318

7 Men'shov, IS A second order multidimensional sequel to Godunov's method /IS Men'shov // Lecture Notes m Physics - 1993 - V 414 - pp 120-125

8 Меньшов, И С О пространственной неавтомодепьной задаче Римана для уравнений газовой динамики / И С Меньшов // Препринт ИПМ им М В Келдыша АН СССР -1993 - № 22 - 28 с

9 Men'shov, ISA variation of the Riemann problem solution and its application to implicit Godunov's scheme /IS Men'shov, Y Nakamura // Special publication of National Aerospace Laboratory (NAL), No SP-27 - Tokyo NAL Publish , 1994 - pp 105-111

10 Men'shov, IS Numerical study of an implicit advection upwind splitting scheme with application to hypersonic flows /I S Men'shov, Y Nakamura // Proceed of 8th Conference on CFD, Tokyo, Japan, Dec 20-22, 1994 - Tokyo Tokyo Umvers Publish , 1994 - pp 13-16

11 Men'shov, I S An implicit advection upwmd splitting scheme for hypersonic air flows in thermochemical nonequilibnum /IS Men'shov, Y Nakamura // Collection of technical papers of 6th Int Symp on CFD, Lake Tahoe, Nevada, USA, July, 1995 - New York John Wiley and Sons, 1995 - V II - pp 815-821

12 Men'shov, I S Implementation of the LU-SGS Method for an Arbitrary Finite Volume Discretization / IS Men'shov, Y Nakamura // Proceed of 9th Conference on CFD, Tokyo, Japan, Dec 20-22, 1995 - Tokyo Tokyo Umvers Publish , 1995 - pp 123-124

13 Men'shov, I S High Enthalpy Air Computations with a Sphere and a Blunted Cone Models /IS Men'shov, Y Nakamura // Special publication of National Aerospace Laboratory (NAL), No SP-29 - Tokyo NAL Publish, 1996 - pp 99-109

14 Men'shov, IS Implementation oi Multidimensional Riemann Problem Solution In Simulations of Unlimited Adiabatic Gas Compression /IS Men'shov, L A Pliner // Proceedings of the 7th International Symposium on CFD, Beijin, June, 1997, Ed F G Zhuang -Beijm International Academic Publishers, 1997 - pp 235-240

15 Меньшов, И С Неявная схема Годунова с точной линеаризацией потока / И С Меньшов // Тезисы докладов 11-ой Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" -Пущино, 1997 - С 53-55

16 Меньшов, И С Численное интегрирование уравнений газовой динамики на неком-формных локально-адаптивных сетках / И С Меньшов, А В Северин // Тезисы докладов 12-ой Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" - Абрау-Дюрсо, 1998 - С 9-13

17 Men'shov, I Variation Matrices m the Riemann Problem with Application to Implicit Godunov's Method / I Men'shov, Y Nakamura // AIAA Paper - 2000 - No 2000-0920 -pp 1-11

18 Men'shov, I A Hybrid Explicit-Implicit High-Resolution Method for Non-Lmear Advec-

tion Equation / I Men'shov, M Kaneko, Y Nakamura // Special publication of National Aerospace Laboratory (NAL), No SP-44 - Tokyo NAL Publish , 1999 - pp 315-323

19 Men'shov, I On implicit Godunov's method with exactly linearized numerical flux / I Men'shov, Y Nakamura // Computers and Fluids - 2000 - V 29 - No 6 - pp 595 - 616

20 Men'shov, I A Godunov-type method for computational acoustics / I Men'shov, Y Nakamura // AIAA Paper - 2000 - No 2000-2329, pp 1-10

21 Men'shov, I An accurate Method for Computing Propagation of Sound Waves in Nonuniform Moving Fluid / I Men'shov, Y Nakamura // Computational Fluid Dynamics 2000, Ed N Satofuka - Berlin Springer-Verlag, 2001 - pp 549-554

22 Men'shov, I Numerical Simulations and Experimental Comparisons for High Speed Nonequilibrium Air Flows / I Men'shov, Y Nakamura // Fluid Dynamics Research Journal

- 2000 - V 27 - No 5 - pp 305-334

23 Меньшов, И С Численное моделирование распространения акустических волн в неоднородных потоках / И С Меньшов // Сборник докладов 7-ой Российско-Японской конференции по вычислительной гидродинамике, Москва, август 2000, под ред О М Белоцерковского - Москва Изд-во ИАП РАН, 2000 - С 40-43

24 Men'shov, I A new numerical scheme for computational aeroacoustics based on the solution to the variational Riemann problem / I Men'shov, Y Nakamura // AIAA Paper -2001 - No 2001-2627 - pp 1-12

25 Men'shov, I Towards Implicit Godunov Method Exact Linearization of the numerical Flux / I Men'shov, Y Nakamura // Godunov Methods Theory and Applications, Ed E F Того - New York Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2001 - pp 611-623

26 Men'shov, I An Adaptive Method for Compressible Flows on Anisotropic Nested-type Grids / I Men'shov, Y Nakamura, A Sevenn // Computational Fluid Dynamics Journal

- 2001 - Special Number (Proceedings of the International Symposium on CFD, Bremen, 1999) - pp 517-527

27 Men'shov, I On instability of acoustic waves propagating m stratified vortical flows / I Men'shov, Y Nakamura // JSME International Journal, Series В Fluid and Thermal Engmeermg - 2002 - V 45 - No 1 - pp 79-85

28 Men'shov, I Numerical simulation of acoustic waves propagation m a perfectly expanded jet flow / I Men'shov, Y Nakamura // Computational Fluid Dynamics Journal - 2002 - V 11 - No 2 - pp 178-184

29 Men'shov, I Instability modes acoustically excited in baroclimc vortices / I Men'shov, Y Nakamura // AIAA Paper - 2002 - No 2002-2986 - pp 1-12

30 Men'shov, I Implementation of the variational Riemann problem solution for calculating propagation of sound waves in nonuniform flow fields / I Men'shov, Y Nakamura // Journal of Computational Physics - 2002 - V 182 - No 1 - pp 118-148

31 Men'shov, I A composite explicit-implicit Godunov method for unsteady problems on highly stiff grids / I Men'shov, Y Nakamura // Computational Fluid Dynamics 2002, Eds S Armfield, P Morgan, К Srimvas - Berlin Springer-Verlag, 2003 - pp 479-484

32 Men'shov, I The effect of entropy stratification on the stability of planar compressible vortex flows / I Men'shov, Y Nakamura // AIAA Paper - 2003 - No 2003-4146 - pp 1-12

33 Men'shov, I Hybrid Explicit-Implicit, Unconditionally Stable Scheme for Unsteady Compressible Flows / I Men'shov, Y Nakamura // AIAA Journal - 2004 - V 42 - No 3 -pp 551-559

34 Men'shov, I Abnormal Amplification of Sound Waves Refracted by an Oblique Shock Wave / I Men'shov, Y Nakamura // JAXA Special Publication, No SP-03-002 - Tokyo JAXA Publish , 2004 - pp 23-28

35 Men'shov, I Instability of isolated compressible entropy-stratified vortices / I Men'shov, Y Nakamura // Physics of Fluids - 2005 - V 17 - pp (034102)1 - (034102)15

36 Men'shov, I On instability and breakdown of isolated vortices / I Men'shov, Y Nakamura // AIAA Paper - 2005 - No 2005-4674 - pp 1-12

37 Men'shov, I Detached-Eddy Simulation of Three Airfoils with Different Stall Onset Mechanisms / D Li, I Men'shov, Y Nakamura // Journal of Aircraft - 2006 - V 43 - No 4 - pp 1014Л021

38 Меньшов, И Вариационная задача Римана и ее приложения в численных методах газовой динамики / И Меньшов // Тезисы докладов XXI Всероссийской конференции «Аналитические методы в газовой динамике (САМГАД-2006)», С -Петербург, 5-10 Июля, 2006 - Санкт-Петербург Изд-во СпБ Ун-та, 2006 - С 60-61

39 Men'shov, I Numerical Simulation of the Tearing Instability m a Compressible Isolated Vortex / I Men'shov, Y Nakamura // Book of Abstarcts, 4th Intern Conf on Comput Fluid Dynamics, Gent, Belgium, 11-14 July, 2006 - Gent University Gent Publish , 2006 - pp 105106

40 Меньшов, И С Методы вариационной задачи Римана в вычислительной газодинамике / И С Меньшов // Математическое моделирование - 2007 - Т 19 - № 6 - С 86-108

Подписано в печать 21 06 2007 г Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Гарнитура «Тайме» Уел п л 2,33 Заказ №6274 Тираж ЮОэкз

Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО «Печать НН», 603043, Нижний Новгород, пр Октября, 26

Введение

1. Метод обобщенной задачи Римана для скалярного уравнения сохранения

1.1. Автомодельная задача Римана.

1.2. Обобщенная задача Римана и ее решение

1.3. Модифицированная схема Годунова.

1.4. Результаты тестовых расчетов

1.4.1. Линейное уравнение.

1.4.2. Нелинейный случай - уравнение Бюргерса.

2. Обобщенная задача Римана для одномерных уравнений сжимаемой жидкости

2.1. Формулировка задачи и построение общего решения.

2.2. Сращивание асимптотических разложений.

2.3. Формулы решения для случая двучленного уравнения состояния среды

2.4. Численный метод на основе решения ОЗР.

2.5. Примеры численной реализации метода ОЗР

3. Обобщенная задача Римана для трехмерного случая

3.1. Математическая постановка задачи.

3.2. Общее решение уравнений первого приближения.

3.3. Определение констант.

Вычислительная гидродинамика - относительно молодая наука. Ее стаж насчитывает чуть больше пятидесяти лет. Но за это время она прошла большой путь в своем развитии. Были разработаны теоретические положения разностных схем, принципы построения математических моделей, фундаментальные основы вычислительной математики. Основы вычислительных методов закладывались в работах О.М. Белоцерковского О.М.Белоцерковский (1980, 1985, 1994); О. М.Белоцерковский (1994, 1997, 1998). Это - консервативный метод потоков, который лежит в основе практически любого метода конечного объема, метод крупных частиц, сеточно-характеристический метод, статистический метод частиц.

К семейству консервативных методов потока принадлежит метод, который был предложен С.К. Годуновым, получивший особенно широкое распространение и ставшим за последние несколько десятилетий одним из наиболее распространенных в мире методов вычислительной гидродинамики. На его основе были созданы мощные вычислительные технологии для решения прикладных и фундаментальных задач, связанных с расчетами сложных течений сжимаемой жидкости, в том числе: задач прикладной аэродинамики, взрывных процессов, термоядерного синтеза и многих других.

В основе метода Годунова лежит точное решение задачи Римана, более известной в газодинамике как задача о распде произвольного разрыва. С математической точки зрения эта задача представляет собой начальную задачу Коши для законов сохранения, определяющих движение сжимаемой жидкости, где начальные распределения параметров жидкости представляются кусочно-постоянными функциями с одной точкой разрыва. С точки зрения механики движения жидкости задача Римана описывает взаимодействие двух сжимаемых однородных потоков. Замечательной особенностью задачи является тот факт, что она, в силу автомоде л ьности, допускает точное аналитическое решение, которое представляется в компактной явной форме.

С. К. Годунов был первый, кто предложил использовать это решение в расчетных схемах для течений сжимаемой жидкости. Согласно его оригинальной идее, мгновенное состояние движущейся среды сперва аппроксимируется кусочно-постоянным распределением определяющих параметров (постоянным в пределах каждой расчетной ячейки). Другими словами, искомое течение заменяется на приближенное, состоящее из множества элементарных однородных потоков. Тогда последующее развитие во времени такового приближенного течения должно в точности определяться решениями множества задач Римана, возникающих на гранях счетных ячеек. Иными словами, последующая эволюция аппроксимирующего течения в течение некоторого конечного времени полностью определяется взаимодействием элементарных потоков на гранях, которое через решение задачи Римана представляется конечными аналитическими формулами.

Численный метод, построенный на основе такого рассмотрения, суть стандартный метод конечного объема, где поток на гране ячейки рассчитывается на точном решении соответствующей задачи Римана. Первоначально метод был разработан для модели одномерных течений газа (С. К. Годунов, 1959; Г. Б. Алалыкин, С. К. Годунов, И. Л. Киреева, Л. А. Плинер, 1970), затем обобщен на многомерный случай (С. К. Годунов, А. В. Забродин, Г. П. Прокопов, 1961; С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Прокопов, 1976). Идеи С. К. Годунова нашли свое отражение также в построении аналогичных методов для стационарной сверхзвуковой газодинамики. Здесь аналогом задачи Римана о распаде произвольного разрыва является задача о взаимодействии двух стационарных сверхзвуковых потоков, которая, благодаря свойству автомодельности, также допускает точное аналитическое решение. Поэтому численный метод Годунова непосредственно может быть перенесен на стационарные уравнения сверхзвуковых течений (М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, 1972). Основным достоинством этих подходов является то, что, эффективно используя теоретические основы динамики сжимаемых жидкостей, они базируются в большей мере на физических принципах аппроксимациях, а не на математических, как большинство других численных методов.

Таким образом, задача Римана, имея несомненно большой теоретический интерес, как одна из фундаментальных задач газовой динамики, оказалась также весьма эффективным инструментом в теории численных методов. Идея С. К. Годунова получили широкое продолжение во всем мире, и в настоящее время мы имеем уже устоявшийся термин в области вычислительной гидродинамики - методы годунов-ского типа.

Что касается возможных обобщений задачи Римана и метода Годунова, то здесь можно говорить о двух направлениях. Первое - это расширение класса начальных распределений, когда начальное состояние среды не предполагается кусочно-постоянным, а является, вообще говоря, произвольным кусочно-аналитическим распределением. Другими словами мы можем поставить задачу о распаде произвольного разрыва в неоднородном по пространству течении. При этом задача теряет свое важное свойство - свойство автомодельности - и построение точного решения становится проблематично. Однако, можно рассмотреть задачу в малой окрестности начального разрыва и попытаться построить аналитическое решение для главных членов, описывающих отклонение от автомодельного решения. Таким образом мы приходим к задаче, которая будет именоваться в дальнейшем как "Обобщенная задача Римана".

Второе обобщение, которое предлагается в настоящей работе, это - "Вариационная задача Римана". Математически она определяется как задача о нахождении первой вариации решения автомодельной задачи по отношению к малым вариациям начальных данных. С точки зрения динамики движущейся среды эта задача описывает в акустическом приближении взаимодействие двух однородных полей малых возмущений на фоне течения, возникающего при распаде автомодельного разрыва. Решение вариационной задачи Римана дает фактически результатное поле возмущений, образующееся при взаимодействии однородных полей. Поэтому эта задача играет в теории распространения звука роль, аналогичную той, что стандартная задача Римана играет в динамике сжимаемой жидкости.

В главной части представляемая на защиту работа посвящена исследованию этих двух задач. Безусловно они представляют большой теоретический интерес в газодинамике. Но кроме этого актуальность этих задач обуславливается тем, что при наличие их точного решения (а именно этому посвящена основная часть работы), они находят широкое применение в численных методах механики сжимаемых жидкостей и аэроакустики, в первую очередь для построения эффективных схем высокого порядка точности.

Метод Годунова в классической постановке обладает первым порядком точности, что при всей его привлекательности снижает точность получаемых результатов, особенно в сложных задачах с контактными разрывами, ударными волнами и сдвиговыми слоями. Поэтому с момента его открытия предпринимались многочисленные попытки обобщить метод Годунова на более высокий порядок точности.

В принципе, идея обобщения выглядит достаточно прозрачно. Она состоит в замене кусочно-постоянных аппроксимаций на аппроксимации более высокого порядка точности (например, кусочно-линейные или кусочно-квадратичные). Это было предложено сначала в работах В. П. Колгана (1972) и впоследствие активно развивалось в работах В. van Leer(1976), CollelafeWoodward (1984), А. В. Родионова (1987), Harten&Osher (1987) и многих других авторов.

Однако, когда кусочно-постоянная аппроксимация меняется на какую-либо другую, теряется основная "изюминка"метода - наличие точного аналитического решения задачи Римана. Поэтому во всех многочисленных публикациях, имеющих отношение к повышению порядка аппроксимации годуновских методов, решение неавтомодельной задачи таким или иным образом обходится и заменяется, в конечном счете, решением некой подходящей автомодельной задачи. При этом выхолащивается основополагающая идея Годунова об использовании именно точных аналитических решений. И, хотя многие работы несут в своем названии слова "схема Годунова повышенного порядка точности", по сути таковыми не являются.

Поэтому, строго говоря, для реализации метода Годунова второго порядка точности и выше необходимо иметь решение обобщенной задачи Римана в явном аналитическом виде. Новосибирской группой ученых под руководством В. М. Тешукова (1980) была проведена большая серия исследований, касающаяся точных решений многомерных уравнений Эйлера. Среди прочих была исследована и задача о многомерном распаде разрыва в неоднородном газе (обобщенная задача Римана) и были доказаны ее разрешимость и единственность в малой окрестности начального разрыва. Поэтому нами была предпринята попытка найти это решение в явном виде и построить на его основе истинный метод Годунова повышенного порядка аппроксимации.

Именно этому посвящены основные результаты, представляемые к защите. Мы начинаем с простейшего случая скалярного одномерного нелинейного уравнения сохранения, на примере которого показываем основные подходы к решению задачи и достаточно строго и последовательно проводим все построения, начиная с решения обобщенной задачи Римана и заканчивая самой численной схемой. Затем эта методика переносится на систему одномерных уравнений газодинамики и обобщается на случай многомерных уравнений. Следующим шагом метод обобщенной задачи Римана разрабатывается для стационарных сверхзвуковых потоков газа.

Вторая часть работы посвящена вариационной задаче Римана. Актуальность этой задачи в вычислительной гидродинамике обуславливается двумя обстоятельствами. Первое, наличие ее точного решения в явном виде дает выход на неявный метод Годунова. Метод Годунова традиционно использовался с явными временными схемами. Решение неявных уравнений сопряжено с решением нелинейных систем, которое реализуется, как правило, итерационным методом Ньютона. При этом возникает необходимость линеаризации невязки разностных уравнений, что сводится практически к линеаризации функции численного потока. Последняя в методе Годунова представляется весьма сложным нелинейным выражением, линеаризация которого до настоящего времени считалось в мире весьма проблематичным делом (Ьио ш фЕ. (1998)). Решение же вариационной задачи Римана фактически предоставляет линеаризацию годуновского численного потока.

Второе обстоятельство, обуславливающее актуальность вариационной задачи Римана, состоит в том, что она описывает основной элемент эволюции полей малых возмущений на фоне неоднородных течений, что, в свою очередь, имеет непосредственное отношение к задачам аэроакустики. Этот элемент - взаимодействие двух однородных полей возмущений. Поскольку эволюция поля малых возмущений может быть представлена как последовательное взаимодействие многочисленных однородных элементарных полей, вариационная задача Римана по сути является основополагающей в области аэроакустики.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Первая глава посвящена постановке обобщенной задачи Римана на примере простого модельного скалярного уравнения, имеющего форму закона сохранения. Вводятся основные понятия и определения, обсуждаются основные элементы метода решения. Приводится точное аналитическое решение задачи и предлагается каким образом это решение можно задействовать при разработки численных методов. В результате получается численный метод, который фактически является прямым обобщением схемы Годунова на класс кусочно-линейных аппроксимаций. Тестовые расчеты, которые завершают главу, показывают, что предлагаемый подход, обладая формально вторым порядком аппроксимации, заметно превосходит по точности стандартные и хорошо известные в литературе методы.