автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе разрывного метода Галеркина

На правах рукописи

ТОКАРЕВА Светлана Андреевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА НА ОСНОВЕ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА ГАЛЕРКИНА

Специальность:

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

- 2 ДЕН 2010

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва —2010

004615045

Диссертационная работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана

доктор физико-математических наук, профессор Галаншг Михаил Павлович

доктор физико-математических наук, профессор Гасилов Владимир Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Мухин Сергей Иванович

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Защита состоится «14 » декабря 2010 г. в час. ^^ мин. на заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, ученому секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана.

Автореферат разослан « ^^ ь ноября 2010 г.

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

Аттетков А. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование течений жидкости и газа является важнейшим элементом решения сложных инженерных задач. Основным инструментом моделирования таких течений является вычислительный эксперимент. При рассмотрении реальных технических устройств, как правило, приходится работать с очень сложной геометрией, что приводит к необходимости использования в расчетах неструктурированных сеток.

Одним из главных требований, предъявляемых к методам решения задач газовой динамики, является правильность воспроизведения решения в областях, где оно претерпевает сильные изменения во времени и пространстве, в частности, на ударных волнах, волнах разрежения и контактных разрывах.

Зачастую повышение порядка метода связало с расширением шаблона аппроксимации, что может отрицательно сказаться на качестве решения на неструктурированных сетках, а также вычислительных затратах метода. Поэтому предпочтительным является использование в расчетах численных методов, обладающих высоким порядком аппроксимации и сохраняющих при этом компактность шаблона аппроксимации. Одним из таких методов является метод RKDG (Runge-Kutta discontinuous Galerkin), развитию и применению которого посвящена настоящая работа.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является развитие RKDG-метода, его оптимизация, разработка и применение основанного на нем программного комплекса для математического моделирования процессов газовой динамики и динамики двухфазных сред.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Реализация алгоритма RKDG-метода для решения одномерного квазилинейного уравнения переноса и создание основы программного комплекса. Проверка реализованного алгоритма и программного комплекса с использованием как известных в литературе, так и специально созданных тестовых задач.

2. Реализация алгоритма RKDG-метода для решения двумерных уравнений Эйлера и создание программного комплекса для численного решения задач идеальной газовой динамики. Проверка реализованного алгоритма и программного комплекса на примере известных тестовых задач

и сравнение различных вариантов ИКБС-метода с другими известными методами.

3. Реализация алгоритма МШ в-метода для решения двумерных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа и расширение программного комплекса для учета вязкости и теплопроводности среды. Тестирование реализованного алгоритма на задачах обтекания различных профилей и сравнение полученных в результате вычислительного эксперимента аэродинамических коэффициентов с экспериментальными данными.

4. Оптимизация параметров алгоритма монотонизации численного решения и анализ эффективности монотонизации как элемента ШШС-мето-да.

5. Разработка и программная реализация параллельного алгоритма МШС-метода, анализ его эффективности на различных типах вычислительных систем.

6. Разработка численного метода НЬЬС решения задачи Римана для уравнений Баера-Нунциато, описывающих динамику двухфазных сред, разработка численного потока типа НЬЬС. Сравнительный анализ эффективности ШШС-метода с потоком типа НЬЬС.

Методы исследования. Основным методом исследования задач, поставленных в работе, является вычислительный эксперимент.

Научная новизна. Работа посвящена развитию ШФС-метода применительно к решению квазилинейного уравнения переноса и задач газовой динамики, включая задачи моделирования потоков как идеального, так и вязкого теплопроводного газа, а также задачи динамики двухфазных сред.

Для уравнений Эйлера, описывающих динамику идеального газа, проведен детальный сравнительный анализ 11КОС-метода с другими известными методами, такими как метод конечных объемов с численными потоками годуновского типа, а именно: потоками Куранта-Изаксона-Риса (КИР), Лакса-Фридрихса и потоками типа Хартена-Лакса-ван Лира (НЬЬ и НЬЬС). Исследована эффективность применения ИКБв-метода для решения системы уравнений динамики вязкого теплопроводного газа.

Разработана модификация ИКБС-метода, позволяющая автоматически оптимизировать параметры монотонизатора решения в процессе расчетов, адаптируя их к локальным особенностям решения. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием предложенного алгоритма монотонизации и стандартного алгоритма, использующего фиксированные

параметры ограничителя.

Разработан параллельный алгоритм RKDG-метода, имеющий в своей основе принцип разделения расчетной области по количеству имеющихся вычислительных узлов. Представлены результаты распараллеливания RKDG-метода, проведен анализ эффективности созданного параллельного алгоритма на различных типах вычислительных систем.

В рамках работы изучено расширение области применения RKDG-метода на решение неконсервативных гиперболических систем. В качестве примера исследована система уравнений Баера-Нунциато, описывающая движения двухфазной среды без учета фазовых переходов. Разработан численный поток типа HLLC, основанный на аппроксимации задачи Римана для уравнений Баера-Нунциато, который затем использован при построении численных схем метода конечных объемов, RKDG-метода и РС-метода (англ. path-conservative). Результирующие схемы проверены на специально подобранных тестовых задачах, сделаны соответствующие выводы о работоспособности RKDG-метода по сравнению с другими методами решения неконсервативных систем.

Практическая ценность диссертационной работы связана с её прикладной ориентацией, а созданные программные комплексы могут быть использованы для численного моделирования течений жидкости и газа, вычисления аэродинамических нагрузок, численного моделирования динамики многофазных сред.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Оптимизированный алгоритм RKDG-метода с возможностью пространственно-временной адаптации монотонизатора к особенностям решения.

2. Алгоритм численного решения задачи Римана для уравнений Баера-Нунциато. Применение численного потока на его основе в методах конечных объемов, PC и RKDG.

3. Параллельный алгоритм RKDG-метода.

4. Применение программного комплекса на основе RKDG-метода для расчета течений жидкости и газа, определения аэродинамических характеристик профилей и моделирования динамики двухфазных сред.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы апробированы на XVI-й Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева (Санкт-Петербург, 2007), Меж-

дународной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008), XII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008), 5-й Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2009), Международной конференции по вычислительному тепло- и массообмену (Гуанчжоу, Китай, 2009), 17-й Международной конференции по математической физике (Прага, Чехия, 2009), 6-й Международной конференции по вычислительной газовой динамике (Санкт-Петербург, 2010).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 2 препринтах [1,2], 6 научных статьях [3-8], в том числе в 5 статьях из Перечня рецензируемых ведущих научных журналов и изданий [3-7], и 10 тезисах и докладах конференций [9-18].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, общих выводов и списка литературы. Работа изложена на 141 странице, содержит 96 иллюстраций и 24 таблицы. Список литературы включает 110 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен обзор литературы по теме исследования, обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе рассмотрен алгоритм ИКБС-метода для численного решения одномерных гиперболических уравнений вида

и{х, 0) = ио(х), х € (0, £),

с необходимыми граничными условиями.

Алгоритм МСОС-метода состоит в следующем. После введения в расчетной области (0, Z) равномерной сетки с узлами /лгу+1/2}, j = 0,..., N

и шагом Ах — — зу-1/2 на каждом интервале У/ — (^у-1/2, ^+1/2)1

j = 1,..., N выбирается система базисных функций, например, ортогональная система функций {^¡{х)}, /= 0,..., к.

(2{х-х/)\ ху.

р,(х) = Р, ^ , Х} =

х}+1/2 + ^>-1/2 2

где /} — полином Лежандра степени /.

Тогда для х £ I] приближенное решение уравнения (1) (х, может быть найдено в виде разложения по выбранному базису:

к

ик(х, ¿) = ]Г г/у{г)рг{х). /=0

Умножение исходного уравнения (1) на базисную функцию м(х) с последующим интегрированием по отрезку и заменой функции и{х, £) ее аппроксимацией щ(х, ¿) дает для ^ ... V/ = 0,..., Аг.

•О

4(0) = ^т^ [ Щ<Р1СЬ,

' I

где — некоторая аппроксимация потока через границу вычислитель-

ной ячейки. Для решения полученной системы ОДУ может быть использован метод Рунге-Кутты порядка (к + 1) с монотонизацией решения на каждом промежуточном шаге; результирующая схема в этом случае обладает порядком аппроксимации (к + 1) по пространству и по времени.

В диссертационной работе ЩШС-метод применен к решению задачи Коши для квазилинейного уравнения переноса:

ди ди , . ,„

с финитными начальными условиями и(х, 0) = щ{х) различного вида. Проанализирована эффективность ЩСОО-метода по сравнению с другими известными численными методами решения данной задачи.

Рассмотрен алгоритм Щ<ЮС-метода для решения гиперболических систем уравнений вида

™ + ™С«> = о, (2)

и(лг,0) = и0(*),

с необходимыми граничными условиями, где и = [щ,..., и«]5"—вектор консервативных переменных, а Р(и)— тензор потоков, который можно представить в виде Г(И) = ^(11)^2 (и)]7", где Е^И) = [/и(Ц),/п1(Щ и Гг(и) = [/12(и),. ■ •, /га(и)], а га—размерность системы.

Пусть 2а — разбиение рассматриваемой области П на треугольники. Для получения ПКБС-метода [к + 1)-го порядка аппроксимации по пространству на каждом элементе К € вводится конечноэлементный базис степени к {у?,}, г = 1,..., пг, а приближенное решение Ц^ системы (2) в каждой вычислительной ячейке представляется в виде разложения по базису:

т

= (з)

/=1

Домножив каждое уравнение системы (2) на базисную функцию , г = 1,..., т, и проинтегрировав результат по ячейке А" заданной расчетной сетки, с учетом представления приближенного решения (3) получим систему ОДУ для определения неизвестных коэффициентов разложения 1= 1,...,п, :

Е^г/• ^¿у- Е /

.7=1 V- ебдК

к к е (4)

т Г Г

Е^(0)] у щтау, шеТн,

>=1 к к

где — аппроксимация потока через грань е ячейки К, зависящая от значения приближенного решения внутри ячейки К и внутри ячейки, соседней с А'по грани е.

Для решения системы (4) используется явный {к + 1)-шаговый метод Рунге-Кутты, что в результате дает БЖОС-метод {к + 1)-го порядка аппроксимации по пространству и времени. На каждом промежуточном шаге метода Рунге-Кутты применяется процедура монотонизации решения, которая реализуется для проекции приближенного решения на пространство кусочно-линейных функций.

В диссертационной работе РЖОС-метод использовал для численного решения уравнений Эйлера. Эффективность метода по сравнению с другими распространенными численными методами показана на примере несколь-

ких тестовых задач. В качестве примера на рис. 1 представлены результаты моделирования течения газа в канале клинообразной формы методом конечных объемов и ШФС-методом при использовании одной и той же расчетной и сетки и аппроксимации численных потоков НЬЬС. Видно, что ККБС-метод обеспечивает существенно лучшее качество передачи структур решения.

0.5 1 1.5

0.5 1 1.5

(а) метод конечных объемов

(б) метод ШШС

Рис. 1. Результаты расчетов на сетке с характерным размером 1/120 Во второй главе рассмотрено расширение области применения ККБС-метода для численного решения уравнений конвекции-диффузии

ди -Д д/в{и) ^ дгв{и, Уи) гН

1 дх" ^

дх.

, {х,() 6«х(0,7\-

(5)

сН

и(х, 0) = щ(х)

с необходимыми граничными условиями, где х = (хх, хг) = (х, у), векторы ^ = (Л> Л)2" образуют невязкие потоки, а векторы г = (гх, Г2)т — вязкие потоки.

Для решения уравнения (5) необходимо преобразовать его к системе дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка. Для этого вводятся дополнительные переменные: = ди/дх 1, ^ = ди/дх2-Тогда исходную систему (5) можно переписать в виде:

т

+ V ■ {(и) = V-*

(6)

й = V ^ ■<&(«),

где Ql = (и, 0)т, СЬ = (0,и)т. Для решения системы (6) применяется ШЖС-мстод, как было указано ранее.

В работе предложен модифицированный алгоритм RKDG-метода, позволяющий автоматически подбирать определяющий параметр Ф монотони-затора (лимитера), используемого на промежуточных этапах метода Рунге-Кутты решения системы ОДУ после пространственной дискретизации согласно RKDG-методу. Лимитер для кусочно-линейных функций базируется на вычислении допустимых скачков функции численного решения и^ в центрах ребер т„ г'= 1,2,3, треугольника с центром масс в точке ¿q:

Д,- = т(йь{ттц, ЛГ0), Кй), Ф), (7)

где йь[гп{, Kq) = UfAjrii) — йка —скачок численного решения в центре г-то ребра треугольника Kq, а йка — среднее значение численного решения по треугольнику Kq.

Функция тп в (7) соответствует модифицированной функции minmod:

{uA{mi,KQ), если 1щ(т„К0)1 <Ф;

(8)

т[и/,,{т{,Кй),1/1\и{тп{,К^), иначе, а функция m — стандартная функция minmod:

I 5min (¡ail, ¡a2f), если .s = sign(ai) = sign(a2); m{a1, a2) = <

I 0, если sign(tfi) ^ sign(«2)-

Параметр Ф задает максимально возможный скачок функции в центре ребра, при котором решение не монотонизируется. В исходной схеме этот параметр полагается одинаковым для всех треугольников сетки. С помощью предлагаемого алгоритма автоматического определения Ф можно достичь большей гибкости вычислений, выбирая этот параметр для каждого ребра каждого треугольника независимо.

Алгоритм автоматического выбора Ф основан на представлении функции и л по формуле Тейлора с центром в точке ¿и, где Ао — центр масс рассматриваемого треугольника Kq. Сохраняя только первый член разложения, норму скачка функции на г-м ребре треугольника можно оценить как

/М»*.0 ~ "кJ ~ UVuM ■ (от,- - ¿о)// = Ф„ (9)

где Фг и есть искомое значение параметра Ф на г-м ребре треугольника Kq.

Таким образом, для вычисления Фг необходимо определить функцию градиента численного решения = Уи^ и взять ее значение в точке Градиент и^, в ячейке Ло аппроксимируется постоянной функцией д следующим образом:

з

]к/1 1к11 (ю)

А'о 9Ка ^

где п* —внешняя единичная нормаль к /с-му ребру треугольника Къ, а Ьк~ длина Хг-го ребра. Значение и к соответствует некоторой аппроксимации численного решения на ребре, в качестве которой используется аппроксимация решения задачи Римана с начальными данными йкК, где = , икК = ихр — средние значения решения в треугольнике и соседнем с ним по к-му ребру треугольнике Кр. Для получения решения задачи Римана используется метод НЬЬС.

1.5 А

1 А ■ RKDG experiment

0.5

S о t л я ▲ ■ 1

-0.5 ▲

-1 -1.5 ■

50 100 angle of attack 150

Зависимость С™[а) Зависимость С® (а)

Рис. 2. Зависимость аэродинамических коэффициентов от угла атаки

Автоматический выбор параметра Ф позволяет получить хорошее количественное и качественное согласование результатов расчетов с экспериментальными данными при моделировании течений вязкого теплопроводного газа путем численного решения уравнений Навье-Стокса. Для оценки работоспособности алгоритма автоматического выбора параметра лимитера проведено исследование зависимости стационарных аэродинамических коэффициентов полукруглого профиля от угла атаки и сравнение полученных расчетных величин с экспериментальными. В данной задаче число Маха набегающего потока равно М = 0,025, а число Рейнольдса Ые = 31500.

Расчеты проведены для углов атаки а от 0° до 180° с шагом 30°, результаты представлены на рис. 2.

Характерный вид вихревого следа, образующегося за полукругом при а = 30°, представлен на рис. 3.

Рис. 3. Распределение чисел Маха и линии тока, угол атаки 30°

В результате работы создан параллельный алгоритм НКБС-метода. в основе которого лежит принцип разбиения расчетной области на несколько подобластей (по количеству используемых в расчете вычислительных узлов). Эффективность распараллеливания йКБС-метода на высокопроизводительном кластере МВС-ЮОк представлена на рис. 4. На графике слева показано время в секундах, необходимое для выполнения одного шага расчета, а на графике справа — соответствующее ускорение алгоритма.

Рис. 4. Эффективность распараллеливания на МВС-ЮОк

Созданный программный комплекс на основе ШФС-метода может быть эффективно использован для расчета аэродинамических характеристик реальных крыловых профилей при необходимости анализа уже имеющихся профилей или проектировании новых. В качестве примера такого расчета рассмотрено вычисление аэродинамических характеристик профиля

NACA23012 с закрылком с использованием разработанного программного комплекса. На рис. 5 представлены результаты расчета аэродинамических характеристик профиля при угле атаки, равном aa — 8°, и различных углах отклонения закрылка а/. Кривая «RKDG» соответствует расчетным значениям коэффициентов лобового сопротивления Си подъемной силы а кривая «experiment» — экспериментальным значениям этих величин. Результаты моделирования обтекания профиля крыла NACA23012 при c*f= 75° представлены на рис. 6.

0.2 - ■ experiment

RKDG

О 20 40 60

flap deflection angle

0 20 40

flap deflection angle

Зависимость C%{aj) Зависимость

Рис. 5. Зависимость аэродинамических коэффициентов от а/

Рис. 6. Распределение чисел Маха и линии тока

Аэродинамические характеристики профиля Г\ЛСА23012 хорошо (качественно и количественно) согласуются с результатами экспериментов, что

позволяет говорить об эффективности созданного программного комплекса на базе RKDG-метода при решении реальных газодинамических задач.

В третьей главе исследована неконсервативная система уравнений Баера-Нунциато, описывающая движения двухфазной среды, в виде

где Q - [а, ар, арй, apv, apw, арЕ\ ар, ари, apv, apw, арЕ\ т\

F(Q) = [0, арй, а [рг? + р) , aipuv, apuw, ait (рЁ+р),

ари, а (,рь? Ч- р), apuv, apuw, аи (рЕ+р)\т;

T(Q) = [S, 0, -р, 0,0, -рй, 0,р, 0,0,рй\т.

В уравнениях (11) величины с чертой соответствуют параметрам твердой фазы, а без нее—параметрам газовой фазы.

В качестве уравнения состояния для газовой фазы использовано уравнение состояния совершенного газа. В качестве твердой фазы рассмотрены материалы, подчиняющиеся жесткому уравнению состояния: р= (у—1 )ре, р = (y—l)pe — jpQ, где Pq — некоторая известная константа. Концентрации фаз связаны друг с другом следующим условием насыщения: а+ а = 1.

В работе предложен новый метод численного решения задачи Рима-на для уравнений (11), в основе которого лежит обобщение метода HLLC на случай двухфазных течений, а также решение уравнений тонкого слоя, справедливых на контактном разрыве твердой фазы. Приближенное решение задачи Римана использовано для построения численного потока типа HLLC, который применен в методе конечных объемов, PC-методе и RKDG-методе. Исходные данные для одной из тестовых задач, представляющей собой задачу Римана на отрезке [0,1] с разрывом начального условия в точке xq = 0,8, таковы: аь — 0,7, рь = 1, «z = -19,5975, Pl = 1000, aL = 0,3, PL = 1, uL = -19,5975, pL = 1000; aR = 0,2, pR = 1, Ъя = -19,5975, Pr = 0,01, ar = 0,8, pr = 1, ur= —19,5975, pL = 0,01. Параметры уравнений состояния для данной задачи: 7 = 1,4, j - 3,0, Pq = 100,0.

Результаты расчетов для твердой и газообразной фазы, полученные методом конечных объемов, RKDG и PC, представлены на рис. 7-8. На графиках кривая «exact» изображает точное решение, а кривые «FV», «DG», «РС» — решения, полученные методом конечных объемов, RKDG-методом и PC-методом, соответственно.

концентрация газовой фазы

плотность газовой фазы

-«Х*3 • ™

\ • ОС ♦ РС

ТОО \

500 \

400

300

100

0

скорость газовой фазы

давление газовой фазы

Рис. 7. Результаты расчетов для газовой фазы: численное решение (символ) и точное решение (сплошная линия) в момент времени ¿ = 0,007

_в>ва

> » ™

* * сю

• РС

ь ч

концентрация твердой фазы

плотность твердой фазы

скорость твердой фазы

давление твердой фазы

Рис. 8. Результаты расчетов для твердой фазы: численное решение (символ) и точное решение (сплошная линия) в момент времени / -= 0,007

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

По результатам проведенных в работе исследований могут быть сделаны следующие выводы.

1. Разработан оптимизированный алгоритм ШШС-метода, позволяющий проводить процедуру монотонизации с автоматическим выбором параметров лимитера в процессе решения задачи с возможностью простран-ственно-временнбй адаптации лимитера к особенностям решения. Разработан алгоритм численного решения задачи Римана для уравнений Баера-Нунциато, на его основе создан алгоритм вычисления потока, примененный в качестве базового элемента в методе конечных объемов, РС-методе и ЕКБС-методе.

2. Создан программный комплекс на основе ШСОС-метода, позволяющий проводить расчеты течений как идеального, так и вязкого теплопроводного газа или жидкости, а также моделировать течения двухфазных сред с помощью метода конечных объемов, РС-метода и ИКБС-метода. Разработан параллельный алгоритм РЖИС-метода и проанализирована эффективность распараллеливания на различных вычислительных комплексах.

3. Продемонстрирована работоспособность МШС-метода и основанного на нем программного комплекса на задачах моделирования течений газа в каналах сложной формы, а также задачах определения аэродинамических характеристик различных профилей, включая крыловые профили с закрылками. Эффективность созданного алгоритма вычисления потока типа НЬЬС при его использовании в ШШС-методе решения двухфазных уравнений Баера-Нунциато проверена на специально подобранных задачах Римана и задаче взаимодействия материалов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Галалин М. П., Савенков Е. В., Токарева С. А. Применение разрывного метода Галеркина для численного решения квазилинейного уравнения переноса. М., 2005. 34 с. (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, № 105).

2. Применение RKDG метода для численного решения задач газовой динамики / С. А. Токарева [и др.]. М., 2006. 30 с. (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, № 52).

3. Галанин М. П., Савенков Е. В., Токарева С. А. Решение задач газовой динамики с ударными волнами RKDG-методом / / Математическое моделирование. 2008. Т. 20, JV» 11. С. 55-66.

4. Galanin М. P., Tokareva S. A. The RKDG method and its application for the numerical solution of gas dynamics problems // Heat Transfer Research. 2008. V. 39, JW 2. P. 123-132.

5. Galanin M. P., Savenkov E. В., Tokareva S. A. Solving gas dynamics problems with shock waves using the Runge-Kutta discontinuous Galerkin method // Mathematical Models and Computer Simulations. 2009. V. 5, № 1. P. 635-645.

6. Марчевский И. К., Токарева С. А. Сравнение эффективности параллельных алгоритмов решения задач газовой динамики на разных вычислительных комплексах // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 2009. № 1. С. 90-97.

7. Tokareva S. А., Того Е. F. HLLC-type Riemann solver for the Baer-Nunziato equations of compressible two-phase flow // Journal of Computational Physics. 2010. V. 229. P. 3573-3604.

8. Tokareva S. A. A problem-independent slope limiting algorithm for the Runge-Kutta discontinuous Galerkin method // Computational Methods in Applied Mathematics. 2010. V. 10, № 3. P. 326-342.

9. Токарева С. А. Применение разрывного метода Галеркина для численного решения задач газовой динамики // Студенческий научный Вестник : Тез. докл. общеуниверситетской научно-технической конференции Студенческая весна —2006. М., 2006. Т. 3. С. 145.

10. Токарева С. А. RKDG-метод для численного решения задач динаг мики вязкого газа // Студенческий научный Вестник : Тез. докл. обще-

университетской научно-технической конференции Студенческая весна — 2007. М., 2007. Т. 4. С. 86-87.

11. Галанин М. П., Токарева С. A. RKDG метод и его применение для численного решения задач газовой динамики // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках : Труды XVI Школы-семинара молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева. Санкт-Петербург, 2007. Т. 1. С. 99-102.

12. Токарева С. А. Параллельный алгоритм RKDG-метода для расчета заполнения газом канала ускорителя // Студенческий научный Вестник : Тез. докл. общеуниверситетской научно-технической конференции Студенческая весна —2008. М., 2008. Т. 6, ч. 2. С. 25-26.

13. Токарева С. А., Марчевский И. К. Анализ эффективности параллельных алгоритмов решения задач газовой динамики // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: Тез. докл. международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева. Новосибирск, 2008. С. 571.

14. Токарева С. А. RKDG-метод и его применение для численного решения задач газовой динамики // Необратимые процессы в природе и технике: Труды пятой Всероссийской конференции. М., 2009. Ч. 2. С. 93-96.

15. Марчевский И. К., Токарева С. А. Параллельный алгоритм RKDG-метода для решения задач газовой динамики // Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону, 2008. С. 150-154.

16. Tokareva S. A. Runge-Kutta discontinuous Galerkin method for simulation of flow around obstacles // Proceedings of the 6th International Conference of Computational Heat and Mass Transfer. Guangzhou, China, 2009. P. Ill— 116.

17. Tokareva S. A. Numerical simulation of fluid flow with Discontinuous Galerkin methods // Proceedings of the 16th ICMP. Prague, Czech Republic, 2009. P. 64.

18. Tokareva S. А., Того E. F. HLLC-type Riemann solver for the Baer-Nunziato equations of compressible two-phase flow // Proceedings of the 6th ICCFD. St. Petersburg, Russia, 2010. P. 238-239.

Формат 60x90/16. Заказ 961. Тираж 100 экз. Подписано в печать 10.11.2010 г.

Печать офсетная. Бумага для множительных аппаратов.

Отпечатано в ООО "ФЭД+", Москва, ул. Кедрова, д. 15, тел. 774-26-96

Введение

Глава 1. Применение разрывного метода Галеркина для численного моделирования течений жидкости и газа

1.1. Численное решение одномерных уравнений с использованием ШШС-метода.

1.1.1. Схема ШШС-метода для одномерного гиперболического уравнения.

1.1.2. Решение одномерного квазилинейного уравнения переноса

1.2. Численное моделирование двумерных течений идеального газа на основе ШШС-метода.

1.2.1. Схема ШШС-метода для гиперболических уравнений

1.2.2. Численное решение уравнений Эйлера.

Глава 2. Программная реализация и оптимизация алгоритма разрывного метода Галеркина

2.1. Численное моделирование двумерных течений вязкого теплопроводного газа на основе ШШС-метода.

2.1.1. Схема ШШС-метода для уравнений конвекции-диффузии

2.1.2. Численное решение уравнений Навье-Стокса.

2.2. Оптимизация параметров лимитера в алгоритме ШШС-метода

2.2.1. Классический лимитер.

2.2.2. Алгоритм автоматического выбора параметров лимитера

2.2.3. Результаты расчетов.

2.3. Сравнение вычислительных затрат метода конечных объемов и ШШС-метода.

2.4. Параллельный алгоритм ШШС-метода.

2.5. Организация программного комплекса.

2.6. Применение ШШС-метода к расчету аэродинамических характеристик крылового профиля КАСА23012 с закрылком.

2.6.1. Постановка задачи.

2.6.2. Результаты расчетов.

Глава 3. Численное моделирование двухфазных потоков с использованием разрывного метода Галеркина

3.1. Математическая модель и задача Римана.

3.1.1. Одномерные уравнения Баера-Нунциато.

3.1.2. Точное решение задачи Римана.

3.2. НЬЬС-метод решения задачи Римана .97 ■

3.3. Тестирование НЬЬС-метода на локальных задачах Римана

3.4. НЬЬС-метод решения задачи Римана в методе конечных объемов, ИКБС-методе и РС-методе.

3.4.1. Численный поток типа НЬЬС.

3.4.2. Метод конечных объемов.

3.4.3. ШФС-метод.

3.4.4. РС-метод.

3.5. Анализ эффективности ШШС-метода с потоком типа НЬЬС по сравнению с другими методами.

3.5.1. Задачи Римана.

3.5.2. Задача о взаимодействии двух материалов.

Выводы

Актуальность темы. Математическое моделирование течений жидкости и газа является важнейшим элементом решения сложных инженерных задач [1-13]. Основным инструментом моделирования таких течений является вычислительный эксперимент [14]. При рассмотрении реальных технических устройств, как правило, приходится работать с очень сложной геометрией, что приводит к необходимости использования в расчетах неструктурированных сеток.

Одним из главных требований, предъявляемых к методам решения задач газовой динамики, является правильность воспроизведения решения в областях, где оно претерпевает сильные изменения во времени и пространстве, в частности, на ударных волнах, волнах разрежения и контактных разрывах [15-17]. Для решения задач газовой динамики часто применяются конечно-объемные схемы типа Годунова [15,18]. Для получения конечно-объемной схемы исходные уравнения интегрируются по элементу (ячейке) сетки. Эта процедура соответствует методу Галеркина-Петрова, в котором в качестве пробных функций используются кусочно-постоянные характеристические функции ячеек сетки. В этом случае определяемые в ходе решения величины являются средними значениями искомого решения на ячейке сетки. Таким образом, решение на каждой ячейке сетки приближается постоянной функцией. При построении простейшего метода конечных объемов межэлементные граничные потоки вычисляются с использованием свойств приближенного решения задачи Римана о распаде разрыва [15], в которой исходными данными служат средние значения численного решения в смежных ячейках. Такая схема обеспечивает только первый порядок аппроксимации по пространству, поэтому для качественной передачи особенностей решения приходится очень сильно измельчать сетку. Этого можно избежать в методах конечных объемов повышенного порядка аппроксимации, в которых межэлементные потоки вычисляются на основе величин, полученных полиномиальной интерполяцией средних значений решения. Однако, как правило, повышение порядка метода связано с расширением шаблона аппроксимации, что может отрицательно сказаться на качестве решения на неструктурированных сетках [18], а также вычислительных затратах и эффективности распараллеливания метода. Поэтому предпочтительным является использование в расчетах численных методов, обладающих высоким порядком аппроксимации и сохраняющих при этом компактность шаблона аппроксимации. Одним из таких методов является метод RKDG (Runge-Kutta discontinuous Galerkin) [19-24], развитию и применению которого и посвящена настоящая работа.

Идеи разрывного метода Галеркина, или DG-метода, впервые предложены в работе [25] (Reed, Hill) для численного решения линейного уравнения переноса нейтронов вида где а б R, а а — некоторый постоянный вектор. Согласно предложенной в [25] схеме, решение данного уравнения вычислялось последовательно для каждого элемента сетки при условии, что ячейки сетки были расположены вдоль соответствующего характеристического направления.

В дальнейшем Lesaint и Raviart [26] провели подробный анализ DG-метода применительно к задачам данного класса и показали, что порядок сходимости метода при использовании в качестве базисных функций полиномов степени не выше к равен (Ах)к для сеток общего вида и (Ах)к+1 для прямоугольных сеток. Позднее в работе [27] (Johnson, Pitkaränta) получен порядок сходимости (Aa:)fc+1/2 для произвольных сеток, а в работе [28] (Peterson) доказано, что эта оценка порядка является оптимальной. В работе [29] (Richter) получена оценка порядка сходимости (Ах)к+1 для некоторых неортогональных двумерных сеток.

Положительные результаты применения DG-метода к решению линейных гиперболических задач мотивировали дальнейшие исследования возможности использования метода для решения нелинейных гиперболических уравнений и систем вида с необходимыми начальными и граничными условиями, где и —вектор неизвестных. Пристутствующие в системе нелинейные потоки ^(и) приводят к невозможности рассмотрения ее как совокупности уравнений переноса и поэлементного вычисления решения. Применение первоначальной схемы ОС-метода, предложенной в [25], вело к необходимости решения нелинейной сиои -1- div(an) = /, г=1 стемы уравнений относительно всех неизвестных функций, что делало данную схему крайне неэффективной для сложных гиперболических систем.

Для преодоления указанной трудности СЬауегЛ и Эа1гапо [30] впервые построили явную схему БС-метода для одномерного гиперболического уравнения в дивергентной форме. Для этого использовалась БС-дискретизация исходных уравнений по пространству кусочно-линейными функциями, а получаемая в результате система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэфициетов аппроксимирующей кусочно-линейной функции решалась явным методом Эйлера. Однако анализ устойчивости построенной схемы показал, что она являлась безусловно неустойчивой при условии постоянства отношения шагов по времени и пространству АЬ/Ах) схема устойчива только если отношение АЬ/ Ах имеет порядок л/Ах, что является слишком жестким ограничением для гиперболических задач.

СЬауе^ и СоскЬигп в работе [31] предложили метод улучшения устойчивости схемы с помощью так называемых ограничителей [32,33]. Таким образом им удалось получить схему, которая относилась к классу ТУБМ (т.е. к классу схем с невозрастающей полной вариацией средних значений) и классу ТУВ (т.е. к классу схем с ограниченной полной вариацией) при фиксированном числе Куранта Ссрь = которое выбиралось из условия Ссрь ^ §• Таким образом гарантировалась сходимость решения к точному. Основным недостатком предложенной схемы являлось то, что она имела только первый порядок аппроксимации по времени при втором порядке аппроксимации по пространству. Ограничитель при этом должен обеспечивать высокий порядок аппроксимации в областях, где решение является гладкой функцией и в то же время подавлять нефизичные осцилляции на разрывах решения.

Этот недостаток исправлен в работе СоскЬигп и ЭИи [34], в которой впервые представлен вариант ШШС-метода. Такая схема сочетает в себе БС аппроксимацию решения по пространству, специальный ТУБ алгоритм метода Рунге-Кутты для решения возникающей системы ОДУ и модифицированную процедуру построения ограничителя. Для результирующей явной схемы с кусочно-линейной пространственной аппроксимацией решения доказана устойчивость при Ссрь ^ | в линейном случае и показано, что схема имеет второй порядок аппроксимации по пространству и по времени, в том числе в точках локального экстремума, а также доказано ТУВМ свойство (ограниченность полной вариации средних значений решения по ячейке). Проведенный численный анализ свидетельствует о сходимости метода к решению, удо-влетворющему условию неубывания энтропии, даже для невыпуклых функций потока; разрывы решения передаются на 2-3 вычислительных ячейках, а решение в областях гладкости и на локальных экстремумах сходится со вторым порядком.

В работе [35] (Cockburn, Shu) данный подход формально обобщен для получения RKDG схем высокого порядка аппроксимации скалярных законов сохранения. При построении RKDG-метода порядка (к +1) использована кусочная пространственная аппроксимация решения полиномами степени не выше к, TVD вариант явного метода Рунге-Кутты порядка (к + 1) для дискретизации по времени и обобщенная процедура монотонизации решения. Схемы такого типа применены в работе [36] (Cockburn, Lin, Shu) при решении одномерных систем, а обобщение RKDG-метода на случай многомерных систем уравнений впервые рассмотрено в работе [37] (Cockburn, Hou,

Shu). Преимущество использования RKDG-метода при решении многомерных систем состоит в том, что он позволяет работать со сложной геометрией расчетной области и использовать при вычислениях неструктурированные сетки для пространственной DG-дискретизации, при этом временная TVD дискретизация остается такой же, как и в случае одномерных уравнений и систем. Единственной проблемой при разработке схемы RKDG для многомерных задач остается построение ограничителя, так как в этой ситуации условия устойчивости становятся более жесткими по сравнению с одномерным случаем. В отличие от одномерных задач, для которых возможно создание TVD схем высокого порядка, порядок многомерных TVD схем на неструктурированных сетках не превышает первого [18,38]. Поэтому использование любого TVD ограничителя неизбежно будет приводить к потере порядка результирующей схемы. В [37] разработан вариант обобщенного ограничителя, основанный на требовании выполнения локального принципа максимума для численных схем. В работах [19-24,39-41] область применения RKDG-метода расширена для решения двух- и трехмерных задач газовой динамики.

В последнее время наблюдается возрастающий интерес к RKDG-методу в связи с необходимостью численного решения задач динамики многофазных сред, описываемых неконсервативными гиперболическими системами уравнений. В качестве математической модели двухфазных сред наиболее часто используются уравнения Баера-Нунциато, которые в трехмерном случае представляют собой систему одиннадцати уравнений в частных производных первого порядка и описывают динамику смеси, состоящей, как правило, из твердой и газообразной фазы. Такая модель впервые предложена Ваег и Nunziato [42] при описании динамики гранулированных горючих материалов в газообразных продуктах горения. Отличительной чертой уравнений Баера-Нунциато является то, что они предполагают наличие двух векторов скорости и двух давлений (в соответствии с числом фаз). Другие распространенные модели динамики многофазных сред имеют вид, сходный с уравнениями Баера-Нунциато [43-47], поэтому с практической точки зрения целесообразно исследовать эти уравнения, сохраняя при этом некоторую степень общности. Математические особенности одномерных однородных уравнений Баера-Нунциато исследованы в [48] (Embid, Ваег). Эти уравнения являются гиперболическими, известна их характеристическая структура. Однако уравнения не могут быть записаны в форме законов сохранения (дивергентной форме): в консервативных переменных уравнения сохраняют неконсервативные члены, что делает невозможным применение классических условий Гю-гонио на разрывах решения. Решение неконсервативных уравнений и систем долгое время оставалось сложной проблемой как с теоретической, так и с вычислительной точек зрения [49-54].

В настоящей работе преимущественно исследована задача Римана для уравнений Баера-Нунциато [47,55,56], разработан численный метод ее решения и численный поток типа HLLC, который впоследствии использован в методе конечных объемов, RKDG-методе и PC-методе (англ. path-conservative) [43,44,46,56-61].

Цель и задачи исследования. Целью работы является развитие RKDG-метода, его оптимизация, разработка и применение основанного на нем программного комплекса для математического моделирования процессов газовой динамики и динамики двухфазных сред.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач.

1. Реализация алгоритма RKDG-метода для решения одномерного квазилинейного уравнения переноса pi создание основы программного комплекса.

Проверка реализованного алгоритма и программного комплекса с использованием как известных в литературе, так и специально созданных тестовых задач.

2. Реализация алгоритма ШШС-метода для решения двумерных уравнений Эйлера и создание программного комплекса для численного решения задач идеальной газовой динамики. Проверка реализованного алгоритма и программного комплекса на примере известных тестовых задач и сравнение различных вариантов ШШС-метода с другими известными методами.

3. Реализация алгоритма ШШС-метода для решения двумерных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа и расширение программного комплекса для учета вязкости и теплопроводности среды. Тестирование реализованного алгоритма на задачах обтекания различных профилей и сравнение полученных в результате вычислительного эксперимента аэродинамических коэффициентов с экспериментальными данными.

4. Оптимизация параметров алгоритма монотонизации численного решения и анализ эффективности монотонизации как элемента ШШС-метода.

5. Разработка и программная реализация параллельного алгоритма ШШС-метода, анализ его эффективности на различных типах вычислительных систем.

6. Разработка численного метода НЬЬС решения задачи Римана для уравнений Баера-Нунциато, описывающих динамику двухфазных сред, разработка численного потока типа НЬЬС. Сравнительный анализ эффективности ШШС-метода с потоком типа НЬЬС.

Методы исследования. Основным методом исследования задач, поставленных в диссертационной работе, является вычислительный эксперимент.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов численного моделирования с известными экспериI ментальными данными, а также данными вычислительных экспериментов, выполненных известными численными методами.

Научная новизна. Работа посвящена развитию ШШС-метода применительно к решению квазилинейного уравнения переноса и задач газовой динамики, включая задачи моделирования потоков как идеального, так и вязкого теплопроводного газа, а также задачи динамики двухфазных сред.

Для уравнений Эйлера, описывающих динамику идеального газа, проведен детальный сравнительный анализ ЯКОС-метода с другими известными методами, такими как метод конечных объемов с численными потоками году-новского типа, а именно: потоками Куранта-Изаксона-Риса (КИР), Лакса-Фридрихса и потоками типа Хартена-Лакса-ван Лира (НЬЬ и НЪЪС) [18]. ШФС-метод является одним из обобщений конечно-объемных методов на случай кусочно-полиномиальной аппроксимации решения. Численные потоки выбираются аналогично тем, которые используются в конечно-объемных методах. Шаблон аппроксимации в ШШО-методе состоит из ячейки и ее ближайших соседей, а порядок аппроксимации зависит лишь от порядка полинома базисной функции ячейки. Это дает возможность локально изменять порядок аппроксимации и адаптировать ее к особенностям решения. Г1КВС-метод позволяет работать с геометрически сложными областями, достигая при этом высокой точности. Благодаря узкому шаблону ШФС-метода возможно использование неструктурированных сеток. В методе достаточно просто реализуются параллельные вычисления.

При сравнении различных классов методов использованы треугольные сетки, конечные объемы (элементы) выбирались как треугольники сетки. Расчетные величины во всех случаях также относятся к указанным ячейкам—треугольникам. Таким образом, приближенное решение представляет собой кусочно-гладкую функцию, заданную на совпадающих треугольных сетках, но полученную разными методами. Этот факт позволяет проводить корректное сравнение результатов расчетов и самих методов.

Исследована эффективность применения ШФС-метода для решения системы уравнений динамики вязкого теплопроводного газа. В этом случае градиенты неизвестных величин рассматриваются как независимые переменные, в результате чего система сводится к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, после чего применяется стандартная схема ККБО-метода. Невязкие потоки через границу ячейки аппроксимируются так же, как и в случае идеального газа, а для вязких потоков используется центральный численный поток.

Разработана модификация ШШС-метода, позволяющая автоматически оптимизировать параметры монотонизатора решения в процессе расчетов, адаптируя их к локальным особенностям решения. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием предложенного алгоритма монотонизации и стандартного алгоритма, использующего фиксированные параметры ограничителя.

Разработан параллельный алгоритм RKDG-метода, имеющий в своей основе принцип разделения расчетной области по количеству имеющихся вычислительных узлов. Представлены результаты распараллеливания RKDG-метода, проведен анализ эффективности созданного параллельного алгоритма на различных типах вычислительных систем.

В работе изучена возможность расширения области применения RKDG-метода для решения неконсервативных гиперболических систем. В качестве примера исследована система уравнений Баера-Нунциато, описывающая движения двухфазной среды без учета фазовых переходов. Разработан численный поток типа HLLC, основанный на аппроксимации решения задачи Рима-на для уравнений Баера-Нунциато, который затем использован при построении численной схемы метода конечных объемов, RKDG-метода и РС-метода. Результирующие схемы проверены на специально подобранных тестовых задачах, сделаны соответствующие выводы о работоспособности RKDG-метода по сравнению с другими методами решения неконсервативных систем.

Практическая ценность диссертационной работы связана с её прикладной ориентацией, а созданные программные комплексы могут быть использованы для численного моделирования течений жидкости и газа, вычисления аэродинамических нагрузок, численного моделирования динамики многофазных сред.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Оптимизированный алгоритм RKDG-метода с возможностью пространственно-временной адаптации монотонизатора к особенностям решения.

2. Алгоритм численного решения задачи Римана для уравнений Баера-Нунциато. Применение численного потока на его основе в методах конечных объемов, PC и RKDG.

3. Параллельный алгоритм RKDG-метода.

4. Применение программного комплекса на основе RKDG-метода для расчета течений жидкости и газа, определения аэродинамических характеристик профилей и моделирования динамики двухфазных сред.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы апробированы на ХУ1-Й Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева (Санкт-Петербург, 2007), Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008), XII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008), 5-й Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2009), Международной конференции по вычислительному тепло- и массообмену (Гуанчжоу, Китай, 2009), 17-й Международной конференции по математической физике (Прага, Чехия, 2009), 6-й Международной конференции по вычислительной газовой динамике (Санкт-Петербург, 2010).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 2 препринтах [62,63], 6 научных статьях [24,60,64-67], в том числе в 5 статьях из Перечня рецензируемых ведущих научных журналов и изданий [24,60,64-66], и 10 тезисах и докладах конференций [68-77].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, общих выводов и списка литературы. Работа изложена на 141 страницах, содержит 96 иллюстраций и 24 таблицы. Список литературы включает 110 наименований.

Выводы

По результатам проведенных в работе исследований могут быть сделаны следующие выводы.

1. Разработан оптимизированный алгоритм ИКОС-метода, позволяющий проводить процедуру монотонизации с автоматическим выбором параметров лимитера в процессе решения задачи с возможностью пространственно-временной адаптации лимитера к особенностям решения. Разработан алгоритм численного решения задачи Римана для уравнений Баера-Нунциато, на его основе создан алгоритм вычисления потока, примененный в качестве базового элемента в методе конечных объемов, РС-методе и ШФС-методе.

2. Создан программный комплекс на основе ККБС-метода, позволяющий проводить расчеты течений как идеального, так и вязкого теплопроводного газа или жидкости, а также моделировать течения двухфазных сред с помощью метода конечных объемов, РС-метода и ШШС-метода. Разработан параллельный алгоритм ШШС-метода и проанализирована эффективность распараллеливания на различных вычислительных комплексах.

3. Продемонстрирована работоспособность ЯКБС-метода и основанного на нем программного комплекса на задачах моделирования течений газа в каналах сложной формы, а также задачах определения аэродинамических характеристик различных профилей, включая крыловые профили с закрылками. Эффективность созданного алгоритма вычисления потока типа НЬЬС при его использовании в ККБС-методе решения двухфазных уравнений Бае-ра-Нунциато проверена на специально подобранных задачах Римана и задаче взаимодействия материалов.

1. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели термомеханики. М. : Физматлит, 2002. 168 с.

2. Лойцянский J1. Г. Механика жидкости и газа. М. : Дрофа, 2003. 840 с.

3. Черный Г. Г. Газовая динамика. М. : Наука, 1988. 424 с.

4. Чжен П. К. Отрывные течения. : В 3 т. М. : Мир, 1972. Т. 1. 1972. 299 с. Т. 2. 1973. 279 с. Т. 3. 1973. 333 с.

5. Краснов Н. Ф., Кошевой В. Н., Калугин В. Т. Аэродинамика отрывных течений. М. : Высшая школа, 1988. 351 с.

6. Краснов Н. Ф., Кошевой В. Н., Данилов А. Н. и др. Прикладная аэродинамика. М. : Высшая школа, 1974. 731 с.

7. Краснов Н. Ф., Кошевой В. Н., Захарченко В. Ф., Данилов А. И. Основы прикладной аэродинамики. Кн. 2. Обтекание тел вязкой жидкостью. Рулевые устройства. М. : Высшая школа, 1991. 351 с.

8. Дейч M. Е. Техническая газодинамика (основы газодинамики турбин). M.-JI. : Энегроиздат, 1953. 544 с.

9. Прандтль JI. Гидроаэромеханика. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 576 с.

10. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учебное пособие. : В 10 т. T. VI. Гидродинамика. М. : Наука, 1986. 736 с.

11. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. М. : Изд-во иностранной литературы, 1963. 244 с.

12. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М. : Мир, 1973. 779 с.

13. Patankar S. V. Numerical heat transfer and fluid flow. Hemisphere Publishing Corporation, 1980. 196 p.

14. Самарский A. A., Гулин A. В. Численные методы. M. : Наука, 1989. 432 с.

15. Того Е. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer, 2009. 724 p.

16. Рождественский Б. Л., Яненко H. H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М. : Наука, 1978. 687 с.

17. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. : Мир, 1977. 624 с.

18. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математическиевопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М. : Физматлит, 2001. 608 с.

19. Cockburn В., Shu С. W. Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems // J. Sci. Сотр. 2001. V. 3. P. 173-261.

20. Bassi F., Rebay S. A high-order accurate discontinuous finite element solution of the 2D Euler equations // J. Сотр. Phys. 1997. V. 138. P. 251285.

21. Bassi F., Rebay S. A high-order accurate discontinuous finite element method for the numerical solution of the compressible Navier-Stokes equations // J. Сотр. Phys. 1997. V. 131. P. 267-279.

22. Dolejsi V. On the discontinuous Galerkin method for the numerical solution of the Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2004. V. 45. P. 1083-1106.

23. Van der Vegt J. J. W., Van der Ven H. Discontinuous Galerkin finite element method with anisotropic local grid refinement for inviscid compressible flows // J. Сотр. Phys. 1998. V. 141. P. 46-77.

24. Галанин M. П., Савенков E. В., Токарева С. А. Решение задач газовой динамики с ударными волнами RKDG-методом // Математическое моделирование. 2008. Т. 20, № 11. С. 55-66.

25. Reed W. Н., Hill Т. R. Triangular mesh methods for the neutron transport equation // Los Alamos Schientific Laboratory Report LA-UR-73-479. 1973.

26. LeSaint P., Raviart P. A. On a finite element method for solving the neutron transport equation // Mathematical aspects of finite elements in partial differential equations (C. de Boor, Ed.). Academic Press. 1974. P. 89-145.

27. Johnson C., Pitkaranta J. An analysis of the discontinuous Galerkin method for a scalar hyperbolic equation // Math. Сотр. 1986. V. 46. P. 1-26.

28. Peterson T. A note on the convergence of the discontinuous Galerkin method for a scalar hyperbolic equation // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V. 28. P. 133140.

29. Richter G. R. An optimal-order error estimate for the discontinuous Galerkin method // Math. Сотр. 1988. V. 50. P. 50-75.

30. Chavent G., Salzano G. A finite element method for the Id water flooding problem with gravity //J. Сотр. Phys. 1982. V. 45. P. 307-344.

31. Chavent G., Cockburn B. The local projection ^^-discontinuous Galerkinfinite element method for scalar conservation laws // M2AN. 1989. V. 23. P. 565-592.

32. Van Leer B. Towards the ultimate conservation difference scheme, ii // J. Сотр. Phys. 1974. V. 14. P. 361-376.

33. Холодов А. С. Численные методы решения уравнений и систем гиперболического типа // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Часть 2. 2008. С. 220-235.

34. Cockburn В., Shu С. W. The Runge-Kutta local projection ^-discontinuous Galerkin method for scalar conservation laws // M2AN. 1991. V. 25. P. 337361.

35. Cockburn В., Shu C. W. Tvb Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for scalar conservation laws ii: General framework // Math. Сотр. 1989. V. 52. P. 411-435.

36. Cockburn В., Lin S. Y., Shu C. W. Tvb Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws iii: One-dimensional systems // J. Сотр. Phys. 1989. V. 84. P. 90-113.

37. Cockburn В., Hou S., Shu C. W. Tvb Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws iv: The multidimensional case // Math. Сотр. 1990. V. 54. P. 545-581.

38. Goodman J., LeVeque R. On the accuracy of stable schemes for 2d scalar conservation laws // Math. Сотр. 1985. V. 45. P. 15-21.

39. Cockburn В., Shu C. W. The p*-Rkdg method for two-dimensional Euler equations of gas dynamics // ICASE Report. 1991. №91-32.

40. Cockburn В., Shu C. W. The Runge-Kutta discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws v: Multidimensional systems // J. Сотр. Phys. 1998. V. 141. P. 199-224.

41. Ляпунов С. В. Разработка и исследование численных схем высокого порядка точности для решения уравнений газовой динамики на неструктурированных сетках : Дис. . д. ф.-м. н. М. : 2007. 127 с.

42. Baer М. R., Nunziato J. W. A Two-Phase Mixture Theory for the Deflagration-to-Detonation Transition (DDT) in Reactive Granular Materials //J. Multiphase Flow. 1986. V. 12. P. 861-889.

43. Saurel R., Abgrall R. A Multiphase Godunov Method for Compressible Multifluid and Multiphase Flows //J. Сотр. Phys. 1999. V. 150. P. 425-467.

44. Saurel R., Abgrall R. Discrete Equations for Physical and Numerical Compressible Multiphase Mixtures // J. Comp. Phys. 2003. V. 186. P. 361396.

45. Stewart H. B., Wendroff B. Two-Phase Flow: Models and Methods // J. Comp. Phys. 1984. V. 56. P. 363-409.

46. Romenski E., Resnyanski E. D., Toro E. F. Conservative Hyperbolic Formulation for Compressible Two-Phase Flow with Different Phase Pressures and Temperatures // Quarterly of Applied Mathematics. 2007. V. 65. P. 259-279.

47. Deledicque V., Papalexandris M. V. An Exact Riemann Solver for Compressible Two-Phase Flow Models Containing Non-Conservative Products //J. Comp. Phys. 2007. V. 222. P. 217-245.

48. Embid P., Baer M. Mathematical Analysis of a Two-Phase Continuum Mixture Theory // Continuum Mech. Thermodyn. 1992. V. 4. P. 279-312.

49. Toro E. F. Riemann-Problem Based Techniques for Computing Reactive Two-Phase Flows // Lecture Notes in Physics. 1989. V. 351. P. 472-481.

50. Toumi I. An Upwind Numerical Method for Two-Fluid Two-Phase Flow Models // Nuclear Sci. Eng. 1996. V. 123. P. 147-168.

51. Saurel R., Abgrall R. A Simple Method for Compressible Multifluid Flows // SIAM J. Sci. Comput. 1999. V. 21, № 3. P. 1115-1145.

52. Pailliere H., Kumbaro A., Bestion D. et al. Advanced Three-Dimensional Two-Phase Flow Simulation Tools for Application to Reactor Safety (ASTAR) // Nuclear Engineering and Design. 2005. V. 235. P. 379-400.

53. Chang C. H., Liou M. S. A Robust and Accurate Approach to Computing Compressible Multiphase Flow: Stratified Flow Model and AUSM+-up Scheme // J. Comp. Phys. 2007. V. 225. P. 840-873.

54. Saurel R., Le Métayer O., Massoni J., Gavrilyuk S. Shock jump relations for multiphase mixtures with stiff mechanical relaxation // Shock Waves. 2007. V. 16. P. 209-232.

55. Andrianov N., Warnecke G. The Riemann Problem for the Baer-Nunziato Model of Two-Phase Flows // J. Comp. Phys. 2004. V. 195. P. 434-464.

56. Schwendeman D. W., Wahle C. W., Kapila A. K. The Riemann Problem and a High-Resolution Godunov Method for a Model of Compressible Two-Phase Flow //J. Comp. Phys. 2006. V. 212. P. 490-526.

57. Rhebergen S., Bokhove О., Van der Vegt J. J. W. Discontinuous Galerkin Finite Element Methods for Hyperbolic Nonconservative Partial Differential Equations //J. Comput. Phys. 2008. V. 227. P. 1887-1922.

58. Parés С. Numerical Methods for Nonconservative Hyperbolic Systems: a theoretical framework // SIAM J. Numer. Anal. 2006. V. 44. P. 300-321.

59. Luz Munoz-Ruiz M., Parés С. Godunov Method for Nonconservative Hyperbolic Systems // Modélisation mathématique et analyse numérique.2007. V. 41. P. 169-185.

60. Tokareva S.A., Того E. F. HLLC-type Riemann solver for the Baer-Nunziato equations of compressible two-phase flow //J. Сотр. Phys. 2010. V. 229. P. 3573-3604.

61. Dumbser M., Hidalgo A., Castro M., Parés С., Того E. FORCE Schemes on Unstructured Meshes II: Nonconservative Hyperbolic Systems // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 2010. V. 199. P. 625-647

62. Галанин M. П., Савенков E. Б., Токарева С. А. Применение разрывного метода Галеркина для численного решения квазилинейного уравнения переноса. М., 2005. 34 с. (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, № 105).

63. Применение RKDG метода для численного решения задач газовой динамики / С. А. Токарева и др.. М., 2006. 30 с. (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, № 52).

64. Galanin M. P., Tokareva S. A. The RKDG method and its application for the numerical solution of gas dynamics problems // Heat Transfer Research.2008. V. 39, № 2. P. 123-132.

65. Galanin M. P., Savenkov E. В., Tokareva S. A. Solving gas dynamics problems with shock waves using the Runge-Kutta discontinuous Galerkin method // Mathematical Models and Computer Simulations. 2009. V. 5, № 1. P. 635-645.

66. Марчевский И. К., Токарева С. А. Сравнение эффективности параллельных алгоритмов решения задач газовой динамики на разных вычислительных комплексах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана Естественные науки. 2009. № 1. С. 90-97.

67. Tokareva S. A. A problem-independent slope limiting algorithm for the Runge-Kutta discontinuous Galerkin method // Computational Methods in

68. Applied Mathematics. 2010. V. 10, № 3. P. 326-342.

69. Токарева С. А. Применение разрывного метода Галеркина для численного решения задач газовой динамики // Студенческий научный Вестник : Тез. докл. общеуниверситетской научно-технической конференции «Студенческая весна—2006». М., 2006. Т. 3. С. 145.

70. Токарева С. А. RKDG-метод для численного решения задач динамики вязкого газа // Студенческий научный Вестник : Тез. докл. общеуниверситетской научно-технической конференции «Студенческая весна — 2007». М., 2007. Т. 4. С. 86-87.

71. Токарева С. А. Параллельный алгоритм RKDG-метода для расчета заполнения газом канала ускорителя // Студенческий научный Вестник : тез. докл. общеуниверситетской научно-технической конференции «Студенческая весна —2008». М., 2008. Т. 6., ч. 2. С. 25-26.

72. Токарева С. А. RKDG-метод и его применение для численного решения задач газовой динамики // Необратимые процессы в природе и технике: Труды пятой Всероссийской конференции. Москва, 2009. Ч. 2. С. 93-96.

73. Марчевский И. К., Токарева С. А. Параллельный алгоритм RKDG-метода для решения задач газовой динамики / / Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов-на-Дону, 2008. С. 150-154.

74. Tokareva S. A. Runge-Kutta Discontinuous Galerkin method for simulation of flow around obstacles // Proceedings of the 6th International Conference of Computational Heat and Mass Transfer. Guangzhou, China, 2009. P. Ill— 116.

75. Tokareva S. A. Numerical simulation of fluid flow with Discontinuous

76. Galerkin methods // Proceedings of 16th ICMP, Prague, Czech Republic, 2009.

77. Tokareva S. А., Того E. F. HLLC-type Riemann solver for the Baer-Nunziato equations of compressible two-phase flow // Proceedings of the 6th ICCFD, St. Petersburg, Russia, 2010. P. 238-239.

78. Александрикова Т. А., Галанин M. П. Нелинейная монотонизация схемы К. И. Бабенко для численного решения квазилинейного уравнения переноса. М., 2003. 35 с. (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, № 62).

79. Shu С. W. TVB uniformly high order schemes for conservation laws // Math. Comp. 1987. V. 49. P. 105-121.

80. Shu C. W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes // J. Comput. Phys. 1988. V. 77. P. 439-471.

81. Shu C. W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes, ii //J. Comput. Phys. 1989. V. 83. P. 32-78.

82. Shu C. W. TVD time discretizations // SIAM J. Sei. Stat. Comput. 1988. V. 9. P. 1073-1084.

83. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М. : Едиториал УРСС, 2004. 424 с.

84. Кузнецов О. А. Математическое моделирование двойных звездных систем : Дис. . д. ф.-м. н. М. : 1999. 323 с.

85. Woodward P., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // J. Comp. Phys. 1984. V. 54. P. 115-173.

86. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир, 1975. 541 с.

87. Li В. Q. Discontinuous finite elements in fluid dynamics and heat transfer. Berlin: Springer, 2006. 578 p.

88. Bassi F., De Bartolo С., Hartmann R., Nigro A. A discontinuous Galerkin method for inviscid low Mach number flows //J. Comp. Phys. 2009. V. 228. P. 3996-4001.

89. Th. von Kärmän. Uber den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter Körper in einer Flüssigkeit erfährt // Göttinger Nachrichten, mathematischphysikalische Klasse. 1912. P. 547-556.

90. Zahm A. F. Flow and drag formulas for simple quadrics // Aerodynamical Laboratory, U. S. Navy, 1927. Report №253.

91. Случановская 3. П. Распределение давления на поверхности прямоугольного, трехгранного и полукруглого цилиндров и их аэродинамические коэффициенты //Тр. Инс-та механики МГУ, № 24 / Под ред. С. М. Горлина. М. : Изд-во МГУ, 1973. С. 52-60.

92. Novak М., Tanaka Н. Effect of Turbulence on Galloping Instability // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. 1984. V. 100. P. 27-47.

93. Novak M. Aeroelastic Galloping of Prismatic Bodies // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. 1969. V. 95. P. 115-142.

94. Novak M. Galloping Oscillations of Prismatic Structures // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. 1972. V. 98. P. 27-46.

95. Novak M., Davenport A.G. Aeroelastic Instability of Prisms in Turbulent Flow // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. 1970. V. 96. P. 17-39

96. Parkinson G. V., Smith J. D. The square prism as an aeroelastic nonlinear oscillator // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1964. V. 17. P. 255.

97. Lyn D. A., Einav S., Rodi W., Park J .H. A laser-Doppler velocimetry study of ensemble-averaged characteristics of the turbulent wake of a square cylinder // J. Fluid Mech. 1995. V. 304. P. 285-319.

98. Dolejsi V. Semi-implicit interior penalty discontinuous Galerkin methods for viscous compressible flows // Commun. in Comput. Phys. 2008. V. 4. P. 231274.

99. Ван Дайк M. Альбом течений жидкости и газа. М. : Мир, 1986. 184 с.

100. Корнеев В. Д. Параллельное программирование в MPI. Новосибирск : Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2002. 215 с.

101. Гергель В. П. Теория и практика параллельных вычислений. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. 423 с.

102. Лупин С. А., Посыпкин М. А. Технологии параллельного программирования. М. : Форум Инфра-М, 2008. 208 с.

103. Wenzinger С. J., Harris Т. A. Wind-tunnel investigation of an N.A.C.A. 23102 airfoil with various arrangements of slotted flaps // National Advisory Committee for Aeronautics, 1939. Report №664. vvi.p.

104. Того E. F., Spruce M., Speares W. Restoration of the Contact Surface in the HLL-Riemann Solver // Technical Report CoA-9204, Department of Aerospace Science, College of Aeronautics, Cranfield Institute of Technology,1. UK, 1992.

105. Toro E. F., Spruce M., Speares W. Restoration of the Contact Surface in the HLL-Riemann Solver // Shock Waves 1994. V. 4. R 25-34.

106. Batten P., Clarke N., Lambert C., Causon D. On the Choice of Wave Speeds in the HLLC Riemann Solver // SIAM J. Sci. and Stat. Comp. 1997. V. 18. P. 1553-1570.

107. Batten P., Leschziner M. A., Golberg U. C. Average-State Jacobians and Implicit Methods for Compressible Viscous and Turbulent Flows // J. Comput. Phys. 1997. V. 137. P. 38-78.

108. Volpert A. I. The Space BV and Quasilinear Equations // Math. USSR Sbornik. 1967. V. 73. P. 225-267.

109. Dal Maso G., LeFloch P. G., Murat F. Definition and Weak Stability of Nonconservative Products //J. Math. Pures Appl. 1995. V. 74. P. 483.

110. Toumi I. A Weak Formulation of Roe's Approximate Riemann Solver // J. Comput. Phys. 1992. V. 102. P. 360-373.