автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование волновых и деформационных процессов в упругих и упруго-пластических средах разрывным методом Галёркина

На правах рукописи

Миряха Владислав Андреевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ И ДЕФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В УПРУГИХ И УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕДАХ РАЗРЫВНЫМ МЕТОДОМ ГАЛЁРКИНА

Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

28 ОКТ 2015

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Долгопрудный — 2015 005563723

005563723

Работа выполнена на кафедре информатики и вычислительной математики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель: Петров Игорь Борисович

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Братусь Александр Сергеевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования Московский государственный университет путей сообщения, кафедра «Прикладная математика-1», заведующий кафедрой Шепелев Вадим Владимирович, кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматизации проектирования Российской академии наук, отдел вычислительных методов и турбулентности, научный сотрудник

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Объединённый институт высоких температур Российской академии наук

Защита состоится 3 декабря 2015 г. в 12 ч. 40 мин. часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 на базе Московского физико-технического института (государственного университета) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ на сайте института http://mipt.ru.

Автореферат разослан _2015 года.

Ученый секретарь ___у

диссертационного совета Федько Ольга Сергеевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования и степень проработанности

Для достоверного описания физических процессов в твёрдых деформируемых телах, в частности, волновых, деформационных и процессов разрушения, необходимы не только обоснованные механико-математические модели, но также и высокоточные численные методы. Среди стандартных классов численных методов выделяется разрывный метод Галёркина, сочетающий в себе большое количество положительных особенностей. Высокоточные методы находят применение в ряде прикладных задач промышленности в сочетании с эффективной параллельной реализацией на многопроцессорных вычислительных системах с общей и распределенный памятью. В области сейсмики активно применяют данный метод М. Käser, С. Pelties, J. Virieux. Среди авторов, занимающихся контактными алгоритмами и задачами разрушения на основе данного метода, можно указать A. Reza и R. Radovitzky, которые рассматривали, в основном, хрупкие разрушения.

На данный момент известно несколько открытых библиотек для реализации конечно-элементных методов. Из-за универсальности их исходный код достаточно громоздок, и вести одновременно исследовательскую деятельность и решать прикладные задачи в определенной области достаточно сложно. Более узкоспециализированный открытых библиотек нет. Поэтому необходима разработка собственного инструмента на основе разрывного метода Галёркина.

России принадлежит самый обширный в мире шельф. Его протяженность у берегов России составляет 21% всего шельфа Мирового океана, где содержится четверть запасов нефти и половина запасов газа нашей страны. В мире на шельфе и прибрежных акваториях сегодня добывают 35% нефти и 32% газа. Из-за снижения цен на углеводороды, уменьшается процент поискового бурения в России, и, как следствие, роль сейсморазведки возрастает.

Численное моделирование распространения волн в геологических породах с последующим анализом синтетических сейсмограмм важно при планировании геолого-разведочных работ и интерпретации полученных полевых данных, а также является неотъемлемой частью решения обратных задач инверсии и миграции. Большая часть наземных месторождений представляют

собой систему субвертикальных трещин в карбонатных породах. Не существует устоявшегося мнения по поводу функций этих трещин, их раскрыто-сти и т.д. Для верификации различных гипотез необходимо пользоваться численным моделированием с последующим сопоставлением с данными полевой сейсморазведки, анализа керна, шлифов. Следовательно наличие инструмента, позволяющего моделировать процесс наземной и морской сейсморазведки в приближённых к практике постановках, необходимо как для исследовательских, так и для промышленных целей. Наличие такого инструмента позволяет решать довольно большой класс задач, в которых требуется моделирование контакта упругой и акустической сред: задачи шельфовой сейсморазведки, дефектоскопии, травматологии, исследования землетрясений, обнаружения подводных объектов и пр.

Важным фактором, осложняющим добычу нефти и газа в северных морях, являются различные ледовые образования (ЛО) (ледовые поля, айсберги, торосы). Наибольший интерес представляет взаимодействие с ледовыми полями, образованными из однолетнего льда, как наиболее распространенному явлению. Большинство существующих оффшорных сооружений, как стационарных, так и плавающих, спроектированы на основе СНиПов (Строительные Нормы и Правила), которые создавались относительно давно на базе, в основном, экспериментальных данных, которые не могли охватить весь спектр возникающих сценариев взаимодействия ЛО с нефтегазодобывающими платформами, ограничиваясь несколькими наиболее распространёнными случаями. Не исключены как случаи недооценки, так и переоценки воздействующей на сооружения силы. Сложность в оценке нагрузки на оффшорные сооружения составляет масштабный эффект: лёд на макро-, мезо- и микромасштабах демонстрируют отличные свойства, что не даёт возможность провести лабораторные эксперименты микроуровня и экстраполировать результат на интересующий мезоуровень. Необходимо либо некое теоретическое исследование масштабных эффектов для льда, либо численное моделирование, применяемое в данной работе.

Безопасность на железнодорожном транспорте напрямую зависит от технического состояния инфраструктуры и подвижного состава, которые обычно контролируют с помощью различных средств диагностики, в частности, ультразвуковой и акустической. Принимая во внимание современные

тенденции увеличения скорости передвижения поездов, острее встает проблема качества и чувствительности диагностического оборудования. При обнаружении более мелких по размерам дефектов необходим учёт полной волновой картины в диагностируемых объектах. Из-за сложной геометрии объектов, использования неоднородных материалов и разнообразия встречающихся дефектов аналитически все протекающие процессы описать невозможно. Для отработки многообразия сценариев диагностики необходимо применение численного моделирования.

Задачи ледовой и железнодорожной тематики решались в основном инженерами-экспериментаторами с помощью коммерческих пакетов моделирования, в которых используются численные методы низких порядков. Высокоточные же методы требуют меньшего числа вычислительных ресурсов для той же точности результата, поэтому более предпочтительны для прикладных задач.

Цели и задачи

Целью диссертации является разработка эффективных подходов и инструментов для решения волновых, деформационных задач и задач разрушения с помощью численного моделирования. Задачами данной работы являлись:

1. Разработка программно-вычислительного комплекса для численного решения волновых, деформационных задач и задач разрушения на основе разрывного метода Галёркина.

2. Решение задачи контактного разрыва для разрывного метода Галёркина.

3. Повышение производительности вычислений путём разработки алгоритма выбора кратного шага по времени и параллельной реализации для использования на многопроцессорных вычислительных системах с общей и распределенной памятью.

4. Оценка численного значения интервала раскрытостей трещин, для которого применима модель бесконечно-тонкой флюидонасыщенной трещины.

5. Конкретизация разработанной модификации метода Галёркина применительно к численному моделированию задач морской сейсмораз-

5

ведки, взаимодействия ледяного образования со стойкой нефтедобывающей платформы, задач ультразвуковой дефектоскопии и определения остаточной прочности рельсов.

Научная новизна

1. Предложен численный метод решения задачи контактного разрыва для разрывного метода Галёркина, основанный на вычислении численных потоков с помощью квадратурных формул интегрирования. Предложенный метод учитывает волновую специфику задачи, в том числе, при контакте тел с разными механическими параметрами материалов и различными контактными условиями. Также реализован алгоритм расчёта компонент вектора скорости и тензора напряжения в ячейках по периметру контактной площадки, в случае, если ячейки частично контактируют, и частично составляют свободную границу. Предложенный метод позволяет использовать произвольную систему базисных функций.

2. Предложен алгоритм выбора кратного шага по времени для разрывного метода Галёркина, применимый для произвольных явных многостадийных схем интегрирования по времени, позволяющий обеспечить высокую точность решения.

3. Дано обоснование интервала раскрытости трещин, для которого применима модель бесконечно-тонкой флюидонасыщенной трещины.

4. Метод Галёркина модифицирован для решения задач динамики упруго-пластических сред в рамках модели Прандля-Рейса, разрушения (одно- и двухбереговая модель трещинообразования, модель раздробленной среды), в том числе с учётом гидростатических сил. Получено численное решение задачи о соударении массивного ледового образования со стойкой нефтедобывающей платформы. Расчётным путём получены величины глобальной нагрузки на стойку.

5. Получено численное решение прямой задачи ультразвуковой дефектоскопии рельсов. Разработан расчётный метод для определения остаточной прочности рельсов.

Теоретическая и практическая значимость работы

Предложенный алгоритм выбора кратного шага по времени для разрывного метода Галёркина универсален и подходит для произвольных явных многостадийных схем интегрирования по времени. Разрывный метод Галёркина зарекомендовал себя для решения волновых задач в сейсмике для упругой и вязкоупругой моделей сред. Для контактных же задач он применялся редко, поэтому его адаптация для упруго-пластической модели среды и решение задачи контактного разрыва для разрывного метода Галёркина имеет как теоретическое, так и практическое значение. Разработанный программно-вычислительный комплекс позволяет решать широкий круг исследовательских и прикладных задач.

Работа поддержана рядом государственных и коммерческих фантов и договоров:

1. Грант РФФИ 13-07-13169 офимРЖД «Численное моделирование процесса диагностики основных элементов железнодорожного пути и колесных пар ультразвуковым и акустическим методами с помощью современных вычислительных методов и высокопроизводительных вычислительных систем», 2013-2014.

2. Грант РФФИ 15-37-20673 мол_а_вед «Разработка высокоэффективных параллельных алгоритмов для расчёта пространственных динамических процессов деформируемых сред на супер-ЭВМ», 20152016.

3. Грант РНФ 14-11-00263 «Разработка новых методов и алгоритмов для задач поиска и разведки углеводородов в условиях арктического шельфа с использованием высокопроизводительных вычислений», 2014-2016.

4. Грант РНФ 14-11-00434 «Моделирование с применением высокопроизводительных ЭВМ динамики морских течений в Арктике и их воздействий на объекты морской нефтегазовой инфраструктуры», 20142016.

5. Именная стипендия Правительства РФ аспирантам по приоритетным направлениям модернизации и технологического развития экономики России, 2014-2015 учебный год.

Методология и методы исследования

В работе использована методология математического моделирования, методы вычислительной математики, аналитической геометрии, линейной алгебры, механики твёрдых деформируемых тел и теории алгоритмов.

Положения, выносимые на защиту

Положения, выносимые на защиту, соответствуют основным результатам, приведённым в заключении автореферата.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием строгих математических доказательств и рассуждений и апробированных в научной практике вычислительных методов. Результаты соответствуют с результатами, полученными другими авторами.

Результаты диссертации изложены в 27 публикациях [1-27], 7 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1-7], 2 в изданиях, входящих в Scopus [8,9].

Основные результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

1. 55, 56, 57 научная конференции Московского физико-технического института (Долгопрудный, 2012, 2013, 2014);

2. III международная конференция «Облачные вычисления. Образование. Исследования. Разработка» (Москва, 2012);

3. II научно-техническая конференция «Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте» (ИСУЖТ-2013) (Москва, 2013);

4. III международная научно-практическая конференция «Интеллектуальные системы на транспорте» (ИнтеллектТранс-2013) (ПГУПС, Санкт-Петербург, 2013);

5. IV международная научно-практическая конференция «Интеллектуальные системы на транспорте» (ИнтеллектТранс-2014) (ПГУПС, Санкт-Петербург, 2014);

6. III научно-техническая конференция с международным участием « Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте. Компьютерное и математическое моделирование» (ИСУЖТ-2014) (Москва, 2014);

7. International Conference on Computer Simulation in Physics and beyond (Moscow, 2015);

а также на научных семинарах в следующих организациях:

1. ОАО «Роснефть» (2012, 2013),

2. Филиал «Центр инновационного развития» ОАО «РЖД» (2013),

3. Институт автоматизации проектирования РАН (2015),

4. Московский государственный университет путей сообщения (2015),

5. Объединенный Институт Высоких температур РАН (2015).

Объём и структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка рисунков, списка таблиц, списка литературы и одного приложения. Полный объем диссертации составляет 150 страниц с 83 рисунками и 9 таблицами. Список литературы содержит 215 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, представлен обзор научной литературы по изучаемой проблеме, сформулирована цель и поставлены задачи, указаны научная новизна и практическая значимость работы.

Первая глава посвящена описанию используемых в работе механико-математических моделей сред: линейно-упругая, линейно-акустическая и упруго-пластическая (теория пластичности Прандтля-Рейса). Приводятся определяющие системы уравнений.

Вторая глава посвящена описанию разрывного метода Галёркина. В параграфе 2.1 приводится решение одномерной задачи распада произвольного разрыва для линейной системы уравнений упругости с переменными коэффициентами, лежащее в основе разрывного метода Галёркина. Выписывается формула для величины численного потока в матричном виде. В параграфах

2.2 и 2.3 выводятся полудискретные численные схемы для двумерного и трехмерных случаев, для интегрирования которых по времени используются различные вариации метода Рунге-Купы. В параграфе 2.4 описываются граничные условия закрепленной границы, свободной границы и неотражающее граничное условие. Возможны варианты задание внешней скорости и силы. Вывод граничных условий производится на основе мнимых ячеек. В параграфе 2.5 получены аналитические выражения численных потоков в случае условий на контактной границе (полное слипание, скольжение, сухое трения). Также предложено численное решение задачи контактного разрыва, основанное на вычислении численных потоков с помощью квадратурных формул интегрирования, учитывающий волновую специфику задачи, в том числе при контакте тел с разными механическими параметрами материалов и различными контактными условиями. Естественным образом реализуется алгоритм расчёта решения в ячейках по периметру контактной площадки, в случае если ячейки частично контактируют, а частично составляют свободную границы. При этом допустимо использование произвольной системы базисных функций. Верификационные расчёты демонстрируют преимущество предложенного контактного условия над стандартными эвристическими, т.к. «дребезг» контакта уменьшается. В параграфе 2.6 описывается способ задания точеных источников и объёмных внешних сил. В параграфе 2.7 представлен алгоритм выбора кратного шага по времени для многостадийных схем интегрирования по времени, позволяющий сохранить точность на контакте ячеек разных уровней. Тестовые расчёты показывают прирост в производительности близкий к теоретическому для данного метода. В параграфе 2.8 поднимается проблема регуляризации схемы и выбора системы базисных полиномов в силу её немонотонности. Несмотря на использование линейно-упругой модели среды нефизичные численные осцилляции возникают при решении задачи контактного разрыва, а также при разрушении материала. В параграфе 2.9 описываются алгоритмы учёта нарушений целостности среды основанные на критериях по главным напряжениям и разрушения на сдвиг Григоряна. В параграфе 2.10 приводятся особенности программной реализации на языке С++, использующую шаблонную типизацию для объединения двумерного и трехмерного программных кодов. «Узким» местом численного метода является умножение небольших разреженных и плотных матриц, для чего использована библиотека Eigen. В

сочетании с использованием ортогональной системы базисных функций это дало дополнительное ускорение производительности. Для эффективного поиска контактов при решении задачи контактного разрыва используется структура данных ЛЛЯб-дерево. Расчётная сетка строится с использованием открытого пакета Salome. В параграфе 2.11 представлена параллельная реализация численного метода на основе технологий ОрепМР и MPI. Разбиение на домены в случае расчётов на кластерах осуществляется с помощью библиотеки Metis. Разбиение на вычислительные домены в случае подвижной лагранжевой сетки производится специальным образом для чего реализован ряд дополнительных структур данных.

Ниже представлена зависимость ускорения относительно последовательной реализации от количества используемых ядер отдельно для вычислительных комплексов с общей памятью на основе технологии ОрепМР, а также для комплексов с распределенной памятью отдельно для технологий MPI и ОрепМР + MPI. Измерение ускорения для технологии ОрепМР проводилось на процессорах Intel(R) Xeon(R) CPU Е5-2620 v2 @ 2.1GHz (2 процессора no 6 ядер) (см. график la). Измерения проводились на расчётной сетки из 52000 ячеек для полиномов 5-го порядка и стандартного интегратора Рунге-Кутты 4-го порядка. Совместный ОрепМР+МР1 тест показал следующие результаты (см. рис. 16).

-->ффс ПТ! ВIЫС [ 1> — 1

• ОрепМР • MPI

— эффскгааиость«' i •—• ОрепМР ÏMPI

а) Малое число ядер б) Совместное использование

ОрепМР+МР1 на большом числе ядер

Рис. 1 — Зависимость ускорения от количества ядер

"Small" speed up test

'Big" speed up test

Для теста использовалась тетраэдральная сетка из 445929 ячеек, полиномы 4-го порядка и стандартный интегратор Рунге-Кутты 4-го порядка (эквивалентно » 15.7 ■ 106 степеней свободы). Расчёты проводились на кластере Курчатовского института: узлы на основе процессоров Intel Xeon Е5450 (3,00 ГГц, 4 ядра) (2 процессора на узел). Узлы соединены сетью InfiniBand DDR. С ростом числа ядер уменьшается размер домена, увеличиваются расходы на пересылку сообщений, ухудшается качество работы алгоритма декомпозиции на домены (неидеальность разбиение около 15% на 100 узлах и 20% на 200 узлах). Если последовательная реализация один шаг по времени осуществляла за 279.2 сек. (среднее за 100 первых шагов интегрирования), то на 240 х 4 х 2 = 1920 ядрах - за 0.259 сек с учётом синхронизаций.

В параграфе 2.12 представлена серия верификационных расчётов, полный список которых представлен в заключении. На рис. 2, 3 приведены некоторые из них.

а) ЗО задача Лэмба б) Задача о жёстком включении

Рис. 2 — Серия тестовых верификационных расчётов

Третья глава посвящена совместному решению систем уравнений линейной упругости и акустики. Метод основан на аналитическом решении задачи распада разрыва Римана на контакте упругость-акустика. В параграфе 3.1 представлены верификационные расчёты, тестовые расчёты процесса сейсмической разведки при наличии ледового покрова, а также отклика от некоторой геологической структуры. Представлен результат численного моделирования возмущений от подводных объектов (см. рис 4).

В параграфе 3.2 исследуется влияние раскрытости реальных трещин на отклик от субвертикальной флюидонасыщенной трещины при падении на нее продольной волны. С помощью численного моделирования показано, что для

12

Время, мс

а) Волновая картина модуля б) Сопосталение результатов для некоторой скорости сейсмотрассы

Рис. 3 — Распространение воли в многослойной геологической среде.

Сравнение результатов различных численных методов.

а) Волновая картина давления в б) Волновая картина низкочастотной результате морской сейсмической вибрации обшивки подводного объекта

разведки

Рис. 4 — Примеры совместного решения систем уравнений линейной упругости и акустики

основных типов трещин нефтегазовых резервуаров (макротрещин и мезотре-щин) с их реальными аспектными отношениями (АО) (от 1:100000 до 1:1000) применима модель бесконечно тонкой трещины (БТТ). На рис. 5 приведены сейсмограммы откликов от одиночной трещины для различных АО. Амплитуды и фазовые отношения откликов в случае АО=1:ЮОО и БТТ отличаются на доли процентов. По сравнению с АО=1:ЮО отличие значительное. Форма концов трещины (прямой, скругленный) на тех масштабах, которые применяются в сейсморазведке, фактически не влияют на регистрируемый на дневной поверхности отклик. Также показывается, что наличие даже небольшого отклонения трещин от вертикали определяет отсутствие смены фаз регистрируемого сигнала у обменной дифрагированной волны, что резко повышает

13

возможности ее выделения с целью использования как носителя информации о трещинах. Получены волны Крауклиса.

а) Х-сейсмограмма б) 2-сейсмограмма

Рис. 5 — Сопоставление отклика от одиночной трещины, а) БТТ, Ь) АО=1:1000 с) АО= 1:100

Четвертая глава посвящена моделированию взаимодействия массивных ледовых образований со стойкой нефтедобывающей платформы. В параграфе 4.1 описывается реология льда. Лед на мезомасштабе представляется упруго-пластической средой. Разрушение рассматривается в рамках модели хрупкого разрушения (образование обломков и трещин), а также сдвиговых разрушений (дробление). Необходим учёт начального пространственного распределения механических параметров с учётом солёности и температуры. Такие свойства льда и физические эффекты как 1) термические эффекты в области контакта; 2) анизотропия параметров для волокнистого льда; 3) наличие микротрещин; 4) пористость; играют меньшую роль и в данной работе не рассматриваются. Связанные с вязкостью эффекты при данных скоростях нагружения незначительны.

При моделировании взаимодействия ледовых полей или других ледовых образований с оффшорными сооружениями есть две особенности: 1) длительность взаимодействия (единицы-десятки секунд) много больше характер-

14

ного волнового времени задачи 10 '1 — 10'~3 сек., что накладывает жёсткие требования к производительности расчётной программы (требует проведения расчётов на многопроцессорных вычислительных системах), выбору расчётной механико-математической модели и детализации расчётной сетки; 2) необходимость учёта раскрошенного материала, особенность которого в том, что он фактически перестаёт сопротивляться растягивающему напряжению; для этого в работе производится удаление сильно деформированных ячеек с распределением их массы по соседним. Из-за того, что шаг интегрирования определяется минимальной высотой среди всех ячеек расчётной сетки, то сильная деформация хотя бы одной ячейки приведёт к значительному замедлению расчёта.

Когда нет необходимости вычислять напряжение в опоре, её можно представить в виде твёрдого недеформируемого «закреплённого» тела (гГ = 0). Такой случай реализовать достаточно просто в контексте деформируемых тел, устремив скорость звука к бесконечности: Ср = с5 = оо, что проверяется прямой подстановкой в формулу для аналитического решения задачи Римана, которая переходит в соотношение для закрепленной границы.

Основная задача заключалась в моделировании двух качественно отличных режимов разрушения льда. Для фиксированных физических параметрах льда и геометрических размерах ледяного поля и стойки платформы есть порог скорости, выше которого преобладает хрупкое разрушение поля с образованием радиальных трещин (в трехмерной постановке также могут присутствовать кольцевые трещины). На рис. 6 приведены соответствующие тестовые варианты расчётов. На рис. 6а показана используемая в расчётах сетка.

В пятой главе представлен метод численного моделирования задач мониторинга состояния рельсов. В параграфе 5.1 рассматривается численное моделирование процесса ультразвуковой дефектоскопии рельса. Проводится сравнения волновых картин, полученных разрывным методом Галёркина и сеточно-характеристическим методом на структурных сетках. Проводится сравнение показаний датчиков в случае дефекта в рельсе и без него. Осуществляется моделирование процесса ультразвуковой дефектоскопии в рельсе с горизонтальным расслоением в головке . Также представлены волновые картины в головке рельса при наличие кластера микродефектов (поры, трещины). В параграфе 5.2 предложен численный метод определения прочности рельсов

а) Низкая начальная скорость ледяного поля, б) Высокая начальная скорость Преобладает дробление. ледяного поля. Преобладает

хрупкое трещинообразование. Рис. 6 — Картина взаимодействия ледового поля со стойкой платформы

с внутренними дефектами (см. рис. 7) на основе экспериментов, проведенных во Всероссийском научно-исследовательском институте железнодорожного транспорта (ВНИИЖТ).

-14.

Рис. 7 — Картина положительных напряжений ахх при определении прочности рельса с поперечной трещиной в головке

В заключении приведены основные результаты работы и определены дальнейшие направления развития некоторых из них.

Основные результаты диссертации

1. Предложен численный метод решения задачи контактного разрыва для разрывного метода Галёркина, основанный на вычислении чис-

16

ленных потоков с помощью квадратурных формул интегрирования. Предложенный метод учитывает волновую специфику задачи, в том числе, при контакте тел с разными механическими параметрами материалов и различными контактными условиями (полного слипания, скольжения и сухого трения). Также реализован алгоритм расчёта компонент вектора скорости и тензора напряжения в ячейках по периметру контактной площадки, в случае, если ячейки частично контактируют, и частично составляют свободную границы. Предложенный метод позволяет использовать произвольную систему базисных функций.

2. Предложен алгоритм выбора кратного шага по времени для разрывного метода Галёркина, применимый для произвольных явных многостадийных схем интегрирования по времени, позволяющий обеспечить высокую точность решения.

3. Разработан программно-вычислительный комплекс на основе разрывного метода Галёркина для моделирования 2Б/30 динамических процессов (волновых, деформационных, процессов разрушения).

4. Программно-вычислительный комплекс распараллелен для работы на высокопроизводительных вычислительных системах с общей и распределенной памятью. Показана высокая степень масштабируемости вплоть до ~ 2 ■ 103 ядер.

5. Проведена серия верификационных расчётов для сопоставления решений, полученных с помощью разработанного программно-вычислительного комплекса, как с аналитическими решениями, так и с решениями, полученными другими численными методами для ряда задач: 20/ЗБ задача Лэмба, распространение волн через контакт сред с отличающимися на несколько порядков акустическими импедансами, расчёт волновых процессов в упругом образце с жёстким включением, моделирование откольной тарелочки, сравнение результатов разрывного метода Галёркина для моделирования распространения волн в многослойной геологической среде с полученными сеточно-характеристическим методом, столкновение шаров и пластин для проверки законов сохранения импульса и энергии, ре-

шение квазистатической задачи о растяжении пластины с отверстием, отклик от вертикальной трещины конечной раскрытости.

6. Разработан и реализован метод решения совместной контактной задачи для линейной системы уравнений акустики и упругости на базе разрывного метода Галёркина, позволяющий решать задачи шельфо-вой сейсморазведки, в том числе и при наличии ледового покрова, а также численно моделировать возмущения от подводных объектов.

7. На основе проведенных численных экспериментов исследовано влияния степени раскрытости (отношение толщины к длине) флюидона-сьпценной трещины на сейсмический отклик от одиночной трещины и кластера субвертикальных трещин, показавшее, что использование модели бесконечно-тонкой флюидонасыщенной трещины даёт удовлетворительные результаты вплоть до раскрытости 1 : 1000. Для флюидонасыщенных трещин, расположенных в упругой среде получены волны Крауклиса - тип медленных волн, распространяющихся в слое жидкости, ограниченном упругой средой.

8. Метод Галёркина модифицирован для решения задач динамики упруго-пластических сред в рамках модели Прандля-Рейса, разрушения (одно- и двухбереговая модель трещинообразования, модель раздробленной среды), в том числе с учётом гидростатических сил. Получено численное решение задачи о взаимодействии массивного ледового образования со стойкой нефтедобывающей платформы. Расчётным путём получены величины глобальной нагрузки на стойку.

9. Получено численное решение прямой задачи ультразвуковой дефектоскопии рельсов. Разработан расчётный метод для определения остаточной прочности рельсов.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Петров И. Б., Голубев В. И., Миряха В. А., Хохлов Н. И., Фаворская А. В., Санников А. В., Беклемышева Е. А. Динамическая диагностика элементов пути // Вестник института проблем естественных монополий: Техника железных дорог. - 2013,- Т. 24, № 4. - С. 82-95.

[2] Петров И. Б., Миряха В. А., Санников А. В., Шевцов А. В. Численное моделирование начальной стадии разрушения метеорита в плотных слоях атмосферы в упругопластическом приближении // Компьютерные исследования и моделирование. — 2013.— Т. 5, № 6,— С. 957—967.

[3] Миряха В. А., Санников А. В., Петров И. Б. Численное моделирование волновых процессов в гидроупругих задачах разрывным методом Галёр-кина на неструктурированных треугольных сетках // Вестник Балтийского государственного университета им. И. Канта. Физико-математические науки,-2014.-Т. 10,-С. 16-20.

[4] Петров И. Б., Фаворская А. В., Миряха В. А., Хохлов Н. И., Голубев В. И., Санников А. В. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью высокопроизводительных вычислительных систем и высокоточных вычислительных методов // Математическое моделирование. —

2014. — Т. 26, № 7. — С. 11-17.

[5] Петров И. Б., Фаворская А. В., Хохлов Н. И., Миряха В. А., Санников А. В., Беклемышева К. А., Голубев В. И. Сеточно-характеристический метод численного моделирования волновых процессов в трехмерных задачах динамического нагружения сложных конструкций // Информационные технологии. — 2015. — Т. 7, № 1. — С. 26-39.

[6] Левянт В. Б., Миряха В. А., Муратов М. В., Петров И. Б. Оценка влияния на сейсмический отклик степени раскрытости трещины и доли площади локальных контактов к её поверхности // Технологии сейсморазведки. —

2015.-№ З.-С. 29-43.

[7] Миряха В. А., Санников А. В., Петров И. Б. Численное моделирование динамических процессов в твердых деформируемых телах разрывным

методом Галеркина // Математическое моделирование,— 2015,— Т. 27, №3.-С. 96-108.

[8] Petrov I. В., Favorskaya А. V., Khokhlov N. I., Miryakha V. А., San-nikov А. V., Golubev V. I. Monitoring the State of the moving train by use of high Performance systems and modern computation methods // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2015.— Vol. 7, по. 1,— P. 51-61,— URL: http://dx.doi.org/10.1134/S2070048215010081.

[9] Miryaha V. A., Sannikov А. V., Petrov I. B. Discontinuous Galerkin method for numerical Simulation of dynamic processes in solids // Mathematical Models and Computer Simulations.— 2015. — Vol. 7, no. 5. — P. 446-455. — URL: http://dx.doi.org/10.1134/S2070048215050087.

[10] Миряха В. А., Санников А. В., Фаворская А. В. Мониторинг состояния подвижного состава разрывным методом Галёркина на неструктурированных сетках // Сборник научных трудов «Математические и информационные модели управления». — М. : МФТИ, 2013, — С. 26-27.

[11] Ворощук Д. Н., Миряха В. А., Санников А. В. Об использовании разрывного метода Галеркина для решения задач сейсморазведки // Сборник научных трудов «Моделирование процессов обработки информации». — М. : МФТИ, 2014,-С. 11-17.

[12] Ворощук Д. Н., Миряха В. А., Санников А. В. Применение разрывного метода Галёркина высокого порядка точности // Сборник научных трудов «Математическое моделирование информационных систем». — М. : МФТИ, 2015.-С. 13-15.

[13] Миряха В. А., Санников А. В., Хохлов Н. И. Решение прямых задач шельфовой сейсморазведки разрывным методом Галёркина // Сборник научных трудов «Математическое моделирование информационных систем»,- М. : МФТИ, 2015,- С. 16-20.

[14] Санников А. В., Миряха В. А. Численное решение задач уравнений эластики разрывным методом Галёркина // Сборник научных трудов «Математическое моделирование информационных систем», — М. : МФТИ, 2015,- С. 20-24.

[15] Миряха В. А. Возможности платформы для численного моделирования задач механики сплошных сред OpenFOAM // Труды 55-й научной конференции МФТИ. - Т. 2.- М. : МФТИ, 2012. - С. 142-143.

[16] Беклемышева К. А., Голубев В. И., Миряха В. А., Петров И. Б., Санников А. В., Фаворская А. В., Хохлов Н. И. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью современных вычислительных методов и высокопроизводительных вычислительных систем // Сборник материалов третьей международной научно-практической конференции «Интеллектуальные системы на транспорте». — Санкт-Петербург, 2013. — С. 46-53.

[17] Миряха В. А., Санников А. В. О программной реализации параллельного алгоритма разрывного метода Галёркина для численного моделирования волновых процессов в гетерогенных твердых деформируемых средах // Труды 56-й научной конференции МФТИ. — Т. 2. — М. : МФТИ, 2013.— С. 135.

[18] Миряха В. А., Санников А. В. Метод учёта действующих на границу внешних сил в задачах численного моделирования волновых процессов в гетерогенных твёрдых деформируемых средах разрывным методом Галёркина // Труды 56-й научной конференции МФТИ. — Т. 2. — М. : МФТИ, 2013,-С. 141.

[19] Санников А. В., Миряха В. А. Метод расчёта динамических контактов в задачах численного моделирования волновых процессов в гетерогенных твёрдых деформируемых средах разрывным методом Галёркина // Труды 56-й научной конференции МФТИ. - Т. 2. - М. : МФТИ, 2013. - С. 136.

[20] Фаворская А. В., Голубев В. И., Миряха В. А., Хохлов Н. И., Санников А. В., Беклемышева К. А. Динамическая диагностика элементов железнодорожного пути. // Труды 56-й научной конференции МФТИ.— Т. 2.-М. : МФТИ, 2013.- С. 127-128.

[21] Фаворская А. В., Голубев В. И., Миряха В. А., Хохлов Н. И., Санников А. В., Беклемышева К. А. Дефектоскопия железнодорожных рельсов // Труды 56-й научной конференции МФТИ.— Т. 2,— М. : МФТИ, 2013,-С. 125-127.

[22] Миряха В. А., Петров И. Б., Санников А. В., Хохлов Н. И. Численное моделирование процесса ультразвуковой и акустической дефектоскопии элементов железнодорожного пути и подвижного состава // Сборник материалов четвертой международной научно-практической конференции «Интеллектуальные системы на транспорте».— Санкт-Петербург : ПГУПС, 2014. - С. 70-76.

[23] Миряха В. А., Санников А. В. О совместном решении линейной системы уравнений упругости и акустики применительно к задачам сейсморазведки // Сборник научных трудов «Моделирование процессов обработки информации». — М. : МФТИ, 2014. — С. 8-10.

[24] Петров И. Б., Хохлов Н. И., Миряха В. А., Санников А. В., Фаворская А. В. Численное моделирование волновых и деформационных процессов в элементах железнодорожного пути // Труды третьей научно-технической конференции с международным участием «Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте. Компьютерное и математическое моделирование. ИСУЖТ-2014».— Т. 1,— М., 2014,-С. 102-104.

[25] Миряха В. А., Санников А. В. Численное моделирование волновых процессов в железнодорожном пути // Труды 57-й научной конференции МФТИ. - Т. 2. - М. : МФТИ, 2014. - С. 142-144.

[26] Миряха В. А. Численное моделирование задач шельфовой сейсморазведки разрывным методом Галёркина на неструктурированных треугольных сетках // Труды 57-й научной конференции МФТИ. — Т. 2. — М. : МФТИ, 2014.-С. 148-149.

[27] Миряха В. А., Кучевский Д. А., Санников А. В. Численное моделирование соударения массивных ледовых образований с нефтедобывающими платформами // Труды 57-й научной конференции МФТИ. — Т. 2. — М. : МФТИ, 2014,-С. 156-157.

Личный вклад соискателя в работах с соавторами

Все научные результаты, вынесенные на защиту и представленные в диссертации, получены лично автором.

Разработка программно-вычислительного комплекса проводилась совместно с А. В. Санниковым. Соискателем реализованы на основе разрывного метода Галёркина модели линейно-акустической и упруго-пластической сред, модели разрушения, алгоритм выбора кратного шага по времени, параллельная реализация комплекса для работы на многопроцессорных вычислительных системах, в том числе программы предобработки расчётной сетки и постобработки результатов, визуализация на основе открытого пакета Paraview, интеграция с библиотекой Eigen для повышения эффективности матричных вычислений, аналитический вывод формул численного потока в случае различных типов контактов и различных параметров контактирующих материалов, объединение 2D- и 3D- версий исходного кода, реализация ортогонального базиса Дубинера, реализация квадратурных формул интегрирования для разложения исходного решения по полиномам и решения задачи контактного разрыва, реализация задания внешних сил и скоростей, реализация точечных источников и объёмных сил.

Миряха Владислав Андреевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ И ДЕФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В УПРУГИХ И УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕДАХ РАЗРЫВНЫМ МЕТОДОМ ГАЛЁРКИНА

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 16.09.2015. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 407. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский физико-техничсский институт (государственный университет)" Отдел оперативной полиграфии "Физтех-полиграф" 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9