автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование поведения динамических систем твёрдых деформируемых и жёстких тел

На правах рукописи

Санников Александр Владимирович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ТВЁРДЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ И ЖЁСТКИХ ТЕЛ

Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени-кандидата физико-математических наук

11 НОЯ 2015

005564446

Москва—2015

005564446

Работа выполнена в на кафедре информатики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

Петров Игорь Борисович

доктор физико-математических корреспондент РАН, профессор

наук,

член-

Официальные оппоненты: Бабаков Александр Владимирович,

доктор физико-математических наук, доцент, Институт автоматизации проектирования РАН, заместитель директора

Колокол Александр Сергеевич,

кандидат физико-математических наук, доцент, Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»,

заместитель руководителя отделения «Водо-водяной энергетический реактор»

Ведущая организация: ФГУП «Государственный научно-

исследовательский институт авиационных систем»

Защита состоится 19 ноября 2015 г. в II00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 на базе Московского физико-технического института (государственного университета) по адресу: 141700, Московская обл., г.Долгопрудный, Институтский пер., д.9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ и на сайте МФТИ www.mipt.ru.

Автореферат разослан /о( О К. ТЛ^лЗ 2 0 /-С

Ученый секретарь диссертационного совета

Федько Ольга Сергеевна

Общая характеристика работы

Моделирование динамики твёрдых тел является востребованной прикладной задачей, для которой на настоящий момент известно большое количество моделей и соответствующих численных методов. Однако каждая модель имеет свои сильные и слабые стороны и свою область применимости. Модели разнятся от самых низкоуровневых, детально описывающих внутренние процессы, происходящие в твёрдых телах, до самых высокоуровневых, описывающих лишь макроскопические процессы систем взаимодействующих тел. Для численного решения наибольшего количества прикладных задач в данной работе рассматриваются два различных подхода: максимально детальная модель, основанная на локальных уравнениях деформаций, описывающая волновые деформационные процессы, происходящие в твёрдом теле, и максимально высокоуровневая модель, описывающая макроскопическое поведение системы большого количества взаимодействующих тел. Первая модель легла в основу программного комплекса Уо1ите(6), использующего два численных метода: разрывный метод Галёркина и метод характеристик. Вторая модель легла в основу другого программного комплекса Бе51гис1юп(9), построенного на решении уравнений связей и задачи о линейных дополнениях.

Актуальность задачи и степень проработанности темы исследования

Несмотря на то, что локальные уравнения эластики, лежащие в основе первого программного комплекса, достаточно точно описывают очень широкий круг явлений, включая динамику систем большого количества твёрдых деформируемых тел, численные методы, пригодные для этих моделей, как правило, требуют больших вычислительных ресурсов и малопригодны моделирования систем большого количества тел в реальном времени. Обычно количество тел, взаимодействие которых адекватно описывать такими точными моделями, исчисляется единицами или десяткам. Однако, второй программный комплекс ориентирован именно на моделирование сотен и тысяч тел на одном персональном компьютере в интерактивном режиме реального времени, когда пользователь может влиять на моделируемые процессы прямо во время расчёта.

Более того, макроскопические параметры, такие, как коэффициент упругости или коэффициент трения скольжения, полученные в результате численных экспериментов, проведённых первым вычислительным комлексом, могут прямым образом использоваться во втором комплексе. Так, например, полноволновой расчёт одной секунды задачи трения качения колеса с помощью первого программного комплекса, потребовал более 5 часов реального времени. Однако, данные, полученные в нём, могут использоваться как входные значения параметров во втором программном комплексе, способном рассчи-

тать эту же задачу за доли миллисекунды. Также несмотря на принципальную разницу подходов, лежащих в основе программных комплексов, их области применения на некоторых задачах пересекаются и при достаточном количестве входных данных их возможно верифицировать при помощи друг друга.

Существует ряд сторонних библиотек, решающих те же уравнения динамики системы твёрдых тел, что и реализованный программный комплекс Destruciton. Наиболее перспективными среди них являются являются: Havoc, PhysX, Bullet, ODE, Box2D, Chipmunk. Однако Destruction выгодно отличает от них ряд принципиальных возможностей:

- Ни одна из существующих библиотек не реализует один программный интерфейс как для 2д, так и для Зд физики. Существуют подходы, где третья координата просто игнорируется, у трёхмерного тензора инерции тел зануляются z-координаты, ставится квазидвумерная постановка, однако, в таком режиме работы библиотека потребляет столько же ресурсов, как и при трёхмерном расчёте. Destruction позволяет работать как в полноценном трёхмерном режиме, так и в двумерном, потребляя ровно столько вычислительных ресурсов, сколько было бы необходимо специальным реализациям.

- Среди существующих библиотек лишь Bullet поддерживает работу с геометриями, заданными экстремальным отображением. Однако, реализованный в Bullet алгоритм обнаружения столкновений работает эффективно лишь в случаях малых взаимопроникновений твёрдых тел и вносит характерного рода артефакты в определение столкновений. Разработанный в данной работе алгоритм позволяет одинаково эффективно работать при любой величине взаимопроникновения и не создаваёт артефактов.

- В прикладных задачах, для которых разрабатывался Destruction, требуется большое количество экзотических нестандартных соединений(торсионные качающиеся подвески, трапециидальные демпферы и другие). В то время как их с некоторой точностью можно аппроксимировать системой тел, в Destruction реализованы специальные типы соединений, выполняющие это гораздо более эффективно без введения дополнительных тел.

- Наиболее мощные из приведённых библиотек, а именно Havoc и PhysX - коммерческие разработки с закрытым исходным кодом, следовательно, их область применения сильно ограничена, и условия лицензирования не позволяют применять их в ряде проектов.

Проект Volume, реализующий метод Галёркина и метод характеристик, разрабатывался изначально с целью сравнительного анализа этих двух методов. Большинство существующих программных комплексов, занимающихся решением уравнений эластики, либо давно не поддерживаются, так как написаны на устаревших языках программирования, либо специализируются на структурированных сетках, либо являются коммерческими закрытыми

4

решениями, либо реализуют схемы низкого порядка точности, либо не полностью поддерживают параллельность с распределённой памятью, либо решают статическую задачу. Одним словом, найти готовый проект, удовлетворявший огромному количеству выдвигаемых требований, не представлялось возможным, поэтому было решено продолжать дорабатывать Volume.

Цели работы

1. Разработка и аналитическое исследование алгоритма численного решения уравнений динамики систем твёрдых недеформируемых тел под действием механических связей.

2. Разработка и аналитическое исследование подхода к единообразному описанию геометрии недеформируемых тел произвольной формы и алгоритма эффективного определения их столкновений.

3. Создание гибкого программного комплекса Destruction, основанного на разработанных алгоритмах численного решения уравнений динамики и обнаружения столкновений для моделирования твёрдых недеформируемых тел как в двумерной, так и в трёхмерной постановках.

4. Разработка гибкого и эффективного подхода к объединению двумерной и трёхмерной реализации алгоритмов в одном программном комплексе.

5. Применение реализованного программного комплекса Destruction для решения следующих прикладных задач:

- задача моделирования динамики робототехнических комплексов в специализированном тренировочном программном обеспечении.

- численное исследование задач заторашивания нефтедобывающих платформ в условиях Арктики.

6. Разработка программного комплекса Volume, решающего уравнения динамики твёрдых деформируемых тел разрывным методом Галёркина и методом характеристик, объединяющего как двумерный, так и трёхмерный программный код.

7. Разработка и аналитическое исследование свойств алгоритма обнаружения столкновений и постановки условий динамического контакта для разрывного метода Галёркина.

8. Распараллеливание программного комплекса Volume как на вычислительные системы с общей памятью, так и разделяемой.

9. Разработка средств, позволяющих задавать все начальные данные для расчётов, включая построение сетки, описание контактных и граничных, а также начальных условий, без модификации исходного кода

10. Применение комплекса Volume для решения ряда прикладных и верификационных задач

- задача исследования сеточной сходимости.

- верификационные задачи распада разрыва.

- задача сейсмического мониторинга, направленная на изучение динамики распространения потенциально опасных газонасыщенных слоёв, образующихся в результате процесса нефтедобычи.

- задача прямого моделирования процесса обнаружения т.н. метановых бомб : приповерхностных полостей, наполненных взрывоопасным природным газом.

- задача исследования распространения возмущений от движущегося железнодорожного состава в приповерхностном слое подстилающего полотна с карстовым включением.

- задача моделирования трения качения, результаты расчёта которой применимы для использования в комплексе Destruction.

- задача расчёта качения колеса со скошенным сегментом по рельсу.

- задачи динамического воздействия ударника на преграду.

- задача прямого моделирования процесса ультразвуковой дефектоскопии рельсового полотна.

Научная новизна

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1. Реализован и исследован метод численного решения уравнений динамики твёрдых недеформируемых тел. Особенностями метода являются:

- Реализована как базовая версия алгоритма Гаусса-Зейделя решения задачи линейных дополнений, так и альтернативный подход, заключающийся в объединении алгоритма Гаусса-Зейделя с методами решения больших разреженных систем линейных уравнений, таких как метод сопряжённых подпространств Крылова.

- Разработан ряд улучшений алгоритма Гаусса-Зейделя, позволяющих пользоваться свойством бинарности механических связей, значительно улучшая параметры его сходимости.

2. Разработан и аналитически исследован алгоритм обнаружения столкновений для недеформируемых геометрий, неявно заданных функцией экстремального отображения, который позволяет едообразно задавать физические тела произвольной формы. Для алгоритма аналитически доказана сходимость. Особенностями алгоритма являются возможность применения как для пересекающихся, так и для непересекающихся тел, а также использование свойств временной когерентности, благодаря чему в задачах медленного движения его алгоритмическая сложность близка к константной.

3. Реализован и исследован разрывный метод Галёркина численного решения уравнений динамики твёрдых деформируемых тел. Особенностями метода являются:

- Явное выделение контактных границ между всеми контактирующими ячейками сетки.

- Решение задачи распада разрыва Римана на границе ячеек, учитывающее свойства среды по обе стороны разрыва

- Разработан и исследован алгоритм расчёта контактного взаимодействия, основанный на использовании виртуальных ячеек и эффективного способа предрасчёта интегралов функции потока на динамической контактной границе

4. Реализован и исследован сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках

5. Разработаны подходы к рассмотрению одних и тех же прикладных задач в различных приближениях, позволяющие эффективно масштабировать происходящие процессы и верифицировать принципиально различные математические модели при помощи друг друга

6. Реализованный программный код объединяет как двумерную версию алгоритмов, так и трёхмерную, используя где возможно код в общем виде, а где необходимо, разделяя двумерную и трехмерную реализацию. Важными особенностями подхода является полное отсутствие накладных расходов системных ресурсов во время выполнения программы и возможность его применения к другим проектам.

7. С помощью реализованных численных методов был проведён ряд верификационных расчётов, а также исследован ряд прикладных.задач, включая задачи сейсмики, дефектоскопии и робототехники

Теоретическая и практическая значимость работы

Для задач динамики твёрдых недеформируемых тел разработан ряд математических моделей сложных контактных условий . Специфика задач моде-

7

лирования механики систем твёрдых недеформируемых тел такова, что они легко верифицируются как аналитически, так и экспериментально. Для разработанных алгоритмов доказана сходимость и оценена скорость сходимости.

Разработанный, реализованный и исследованный алгоритм SGJK определения столкновений успешно применён на практике. Реализованный программный комплекс Destruction с успехом применяется в проекте RobSim, используемом для обучения операторов робототехнических комплексов, показывая высокие параметры как производительности, так и точности на реальных задачах робототехники, а также на задачах исследования процесса затораши-вания в условиях Арктики.

Программный комплекс Volume зарекомендовал себя как удобный и гибкий инструмент для исследования широкого круга задач, включая задачи сейсмики, динамического разрушения, дефектоскопии и робототехники, что подтверждается серией верификационных и прикладных расчётов. Для разрывного метода Галёркина был разработан, исследован и успешно применён метод постановки граничных контактных условий. Важным практическим свойством, связывающим реализованные методы, является то, что с их помощью можно эффективно рассматривать одни и те же задачи в принципиально разных постановках и в принципиально разных масштабах, при этом в переходных случаях получая согласующиеся между собой данные.

Данная диссертационная работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов:

1. Грант РФФИ 13-07-13169 офи м РЖД «Численное моделирование процесса диагностики основных элементов железнодорожного пути и колесных пар ультразвуковым и акустическим методами с помощью современных вычислительных методов и высокопроизводительных вычислительных систем», 2013-2014

2. Грант РФФИ 15-37-20673 мол_а_вед «Разработка высокоэффективных параллельных алгоритмов для расчёта пространственных динамических процессов деформируемых сред на супер-ЭВМ», 2015-2016.

3. Грант РНФ 14-11-00263 «Разработка новых методов и алгоритмов для задач поиска и разведки углеводородов в условиях арктического шельфа с использованием высокопроизводительных вычислений», 2014-2016.

4. Грант РНФ 14-11-00434 «Моделирование с применением высокопроизводительных ЭВМ динамики морских течений в Арктике и их воздействий на объекты морской нефтегазовой инфраструктуры», 2014-2016.

Методология и методы исследования

В работе была использована методология математического моделирования, методы аналитической и вычислительной математики, теория механики твёрдого деформируемого тела и теоретической механики, а также методы теории алгоритмов.

Положения, выносимые на защиту

Положения, выносимые на защиту, отражены в основных результатах диссертации.

Степень достоверности и апробация результатов

Научные результаты диссертации опубликованы в 22 работах из которых 9 [1-9] - в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертации.

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

1. Научные конференции Московского физико-тенхического института «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе»(МФТИ, Долгопрудный, 20062015);

2. III международная научно-практическая конференция «Интеллектуальные системы на транспорте» (ИнтеллектТранс-2013) (Санкт-Петербург, 2013)

3. II научно-техническая конференция «Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте» (Москва, 2013)

4. IV международная научно-практическая конференция «Интеллектуальные системы на транспорте» (ИнтеллектТранс-2014) (Санкт-Петербург, 2014)

5. III научно-техническая конференция с международным участием « Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте. Компьютерное и математическое моделирование» (Москва, 2014)

6. Научная конференция в Институте космических исследований, (Москва, 2014)

Результаты были должены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных семинарах в следующих организациях:

1. Институт вычислительной математики РАН (Москва, 2015)

'2. Институт автоматизации проектирования РАН (Москва, 2014)

3. НИЦ «Курчатовский институт» (Москва, 2015)

4. ФГУП «Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем» (Москва, 2015)

0.1 Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 59 наименований. Общий объём диссертации составляет 122 страницы.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых далее задач, проводится исследование существующих подходов к их решению, формулируются цели, научная новизна работы, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, методология и методы исследования, а также степень достоверности и апробация результатов.

В главе 1 формулируется две рассматриваемые далее постановки задачи моделирования систем твёрдых тел: в деформируемом и твёрдом приближении. Рассматриваются требования прикладных задач в каждой из постановок и их особенности.

В главе 2 рассматриваются математические модели, используемые в дефомируемом и недеформируемом приближениях.

В параграфе "Недеформируемое приближение" рассматривается классическая модель системы из N твёрдых тел, каждое из которых в момент времени Ь описывается положением своего центра масс рп и в трёхмерном случае матрицей поворота В.п, где п - номер тела системы. Далее вводится понятие функции ограничения С(рь Я.1,... ,рЛг, Я\) = 0, как функции, на любом возможном перемещении системы обращающейся в ноль.

Далее приводятся доказательство, что уравнение связи можно линеаризовать, получив следующую систему:

где V = (щ, ... {Ту, ¿Лу) - вектор линейных и угловых скоростей тел системы, а 2Т - якобиан соединения, общий вид которого приводится как для вращения, задаваемого углом поворота в двумерном случае, так и для матрицы поворота в трёхмерном.

Переходя от одной связи С к системе из М связей С,-, их якобианы ^ объединяются в матрицу Якоби 3 и осуществляется переход к линеаризованной системе в матричном виде = с.

Далее показывается, что так как рассматриваемые функции ограничения зависят только от координат тел, то механические связи, которые они описывают, являются по определению голономными и идеальными, то есть связи подчиняются принципу минимизации работы идеальных связей. Данная

dC(p1,Rl,■■■,PN,RN)

л

С(Р1(0, #1(4), • • • ,РлК*)> Длг(4)) = о,

(1)

г=о

задача минимизации решается методом множителей Лагранжа, из которого в результате получается:

JMJT\ = с- JV, (2)

где А, - множитель Лагранжа, соответствующий связи с номером г, а М -блочно-диагональная матрица обратных масс системы твёрдых тел.

Далее показывается, что далеко не всем механическим взаимодействиям можно поставить во взаимно однозначное соответствие функцию связи вида С (pi, R\,... Rn) = 0, например, контактное взаимодействие не является двунаправленным ограничением, поэтому для системы контактов уравнения связей после линеаризации принимают более сложный вид, называемый задачей о линейных дополнениях(англ. Linear Complimentarity Problem, LCP):

AX-b^O

A ^ 0 (3)

XT{AX-b) = 0

Запись можно сократить: 0 ^ A ± AX - b ^ 0,, где _L - оператор ортогональности.

Все ранее выведенные уравнения объединяются в систему определяющих уравнений:

^ = v dt °п

AV = MJTX К }

0 < А ± JMJTX -c+JV^O

В окончании данной главы приводятся математические выкладки по выводу якобиана и более сложных ограничений для контактного соединения, учитывающего нормальное взаимодействие, сухое трение скольжения, трение качения и трение верчения.

В параграфе "Упругопластическое приближение" приводится описание определяющей системы уравнений, лежащей в основе рассматриваемых далее методов: разрывного метода Галёркина и метода характеристик.

В начале параграфа осуществляется вывод уравнений эластики, состоящий по сути из уравнения движения и закона Гука для изотропного случая:

( pv = VcrT,

[¿■ = X(V-v) I + ti(S7 ®v + v®V), '

где A,fi,p- параметры Ламе, v- скорость, a - тензор напряжений, V - оператор Набла, ® - тензорная свёртка, I - единичный тензор. Далее показывается,

что эту систему уравнений можно записать в более общем виде:

dQP . dQq dQq dQq _ ~dt + + B^ + ~ ° (6)

, где за Q = (<jxx,0-yy,crzz,axy,<jyz,cjxz,vx,vy,vz) обозначен вектор неизвестных, а вид матриц Apq, Bpq и Cpq приводится в явном виде. В конце главы рассматривается несколько способов постановки контактных и граничных условий, а также рассматриваются спектральные свойства полученной системы уравнений.

В главе 3 рассматриваются численные методы, применённые к математическим моделям, описанным предыдущей главе.

В параграфе, посвящённом численным методам недеформируемого приближения показывается, что для решения определяющих уравнений динамики системы твёрдых недеформируемых тел (4), в основу берётся схема предиктор-корректор и итеративная схема проективного метода Гаусса-Зейделя решения системы линейных дополнений(англ. Projected Gauss Seidel, PGS). Также показывается, как, используя свойство бинарности большинства механических связей, уменьшить его алгоритмическую сложность до О(Мк), где М - количество связей системы, а к - количество полных итераций. Далее приводится способ решения связей, не входящих в задачу линейных дополнений, например, связей, описывающих сухое трение и приводится псевдокод рассматриваемых алгоритмов.

Для улучшения сходимости используется свойство временной когерентности, позволяющее эффективно использовать горячий старт итеративного алгоритма, для которого также приводится подробное описание и псевдокод.

Так как в прикладных задачах реального времени не удаётся полностью избежать незначительных взаимопроникновений контактирующих тел, необходимы специальные алгоритмы, не допускающие слишком глубоких взаимопроникновений. В данной главе рассматривается алгоритм псевдоскоростей, выполняющий эту задачу.

Среди существенных авторских нововведений, в данной главе рассматриваются два подхода к увеличению эффективности рассмотренных алгоритмов. Первый подход основывается на активном использовании того факта, что при решении бинарных связей каждая связь влияет лишь на пару тел, поэтому при использовании алгоритмов, схожих с алгоритмом Гаусса-Зейделя, многие итерации можно заранее откинуть, выделяя больше вычислительного времени решению тех связей, которые сходятся медленнее. Второй подход заключается в сочетании алгоритма Гаусса-Зейделя решения системы линейных дополнений с алгоритмами решения систем линейных уравнений, что позволяет в ряде случаев использовать сильные стороны обоих алгоритмов.

В параграфе "Упругопластическое приближение" изложены численные методы применённые для решения системы определяющих уравнений упругой среды (5). Рассматриваются два основных метода, реализованные исследованные автором: разрывный метод Галёркина и метод характеристик. В начале главы также рассматривается функциональный базис Лагранжа для тетраэдральной сетки, применимый к обоим рассматриваемым методам.

Описание разрывного метода Галёркина начинается с используемой схемы дискретизации, где численное решение Q*'"1' в системе координат (^vX), связанной с тетраэдром раскладывается по функциональному

базису Ф; (С,??,С):

Домножая систему определяющих уравнений (6) на одну из базисных функций Ф),:, интегрируя по тетраэдру и используя схему интегрирования по частям, выводится одно из основных соотношений, лежащих в основе разрывного метода Галёркина:

/ *nt~dV + £ /

/ + + dV = (8)

ГС")

где Fi - функция численного потока через грань j тетраэдра Далее показывается, что, используя спектральные свойства системы (6), функцию численного потока можно выразить, используя решение задачи Римана распада разрыва для каждой из граней тетраэдра. После преобразований, записывается система уравнений разрывного метода Галёркина в системе координат, связанной с одним тетраэдром, пригодная к интегрированию:

^ j ^dV + j^T^Mp^T^Q^ J Ф^Ф™dS+

т<"0 j=1 (ОТ<"•>).

.J <S>™*™dS-

(arw),

J J J =

7"(m) -J-(m) ^-(m)

где Т^ - матрица перехода в систему координат, связанную с гранью между тетраэдрами и а матрица } строится из решения Римана зада-

чи распада разрыва и способ их вычисления приводится в явном виде. Одной из основных особенностей разрывного метода Галёркина является то, что все интегралы, встречающиеся в (9), можно предрассчитать на единичном тетраэдре перед запуском расчёта, что позволяет избежать хранения глобальной матрицы масс и избежать пересчёта интегралов на каждом временном шаге. Подробный способ предрасчёта всех интегралов также приводится в данной главе.

В конце главы приводится схема интегрирования по времени, а также способ расчёта граничных и контактных условий и одно из авторских нововведений, заключающееся в использовании предрассчитанных интегралов для расчёта динамических контактов между движущимися объектами.

В параграфе, посвящённом методу характеристик, показывает, что один из подходов к решению систем уравнений (6) заключается в том, чтобы перейти от них к простых одномерным уравнениям вида:

И, комбинируя операторы перехода с временного слоя £ на £ + для схемы (10), построить оператора перехода для исходной системы (6). Несколько способов построения данного оператора рассматривается в этой главе. Используя спектральное разложение матрицы А, она раскладывается в произведение матрицы правых собственных векторов Я и диагональной матрицы собственных чисел Л в виде Агрд = ВргАгз (Я1)^ . Далее показывается, что, выполнив замену вида <5Р = (йг)и С2д, система уравнений (10) принимает вид системы независимых уравнений переноса:

Каждое уравнение переноса решается, заменяя приращение по времени приращением по пространству, по сути опуская характеристику и интерполируя значение в полученной точке:

0р{х,1 + Ы)=С}р{Х-?зрЫ,£), (12)

где е1 - это г" базисный вектор, а ,$р = Арр - собственное число, соответствующее характеристике с номером р. В конце главы рассматривается тривиальный переход от системы координат С^ обратно к <3, а также способ расчёта контактных и граничных условий.

Глава 4 посвящена поиску контактов в динамических задачах, в первую очередь применительно к задаче динамики твёрдых недеформируемых

14

тел. В начале главы приводятся несколько способов представления недефор-мируемой геометрии, рассматриваются преимущества и недостатки каждого способа и показывается, почему именно методу неявного задания геометрии через функцию экстремального отображения в данной работе уделено особое внимание. Функция экстремального отображения для геометрического множества точек А определяется как функция от произвольного вектора у следующим образом:

Ба (у) = {х е А | Уу € А : х ■ V ^ у ■ у) (13)

Далее по тексту выводится ряд определений геометрических сумм, разности и произведения Минковского, а также выводится ряд соотношений, связывающих функцию экстремального отображения результата каждой из этих операций и их операндов.

Для неявного задания геометрий с помощью функций экстремального отображения, далее приводится вид некоторых наиболее часто применяемых геометрий и их функций, а также с большим количеством иллюстраций показывается, как их можно комбинировать, чтобы получать новые геометрии.

Для определения столкновений объектов с использованием функции экстремального отображения уже существует ряд алгоритмов(ОЖ, ЕРА). В тексте приводится их обзор, а также разработанный автором альтернативный алгоритм БвЖ, сочетающий в себе сильные качества рассмотренных существующих алгоритмов и лишённый их недостатков. Три последовательные итерации алгоритма схематично представлены на иллюстрации:

С? сЬ

итерации

В тексте содержится подробное описание алгоритма SGJK, включающее псевдокод, иллюстрации, геометрические интерпретации и строгое доказательство монотонной сходимости. Так как для моделирования физики мало установления- факта столкновения пересечения тел, необходимо также аппроксимировать контактную площадку, чему и посвящена оставшаяся часть этой главы.

Глава 5 посвящена реализованным автором программным комплексам Volume и Destruction. Volume объединяет в себе реализацию разрывного метода Галёркина и метод характеристик, a Destruction - методы решения LCP и определения столкновений, рассмотренные ранее. В данной главе приводится

15

подробное описание особенностей программной реализации каждого из комплексов.

В заключительной главе 6 приводятся результаты численных экспериментов, проведённых с использованием реализованных программных комплексов.

Экспериментальная проверка порядка сходимости по сетке. Первая серия расчётов направлена на экспериментальное изучение порядка сходимости по сетке реализованного метода Галёркина. Для оценки сеточной сходимости используется расчётная область, представляющая из себя квадрат со стороной 1, который триангулируется сетками различной мелкости:

Рис. 2 — Примеры сеток разной мелкости для оценки сходимости с шагами К = 0.2, к = 0.15, К = 0.08, = 0.06.

На верхней и нижней границе сетки ставится граничное условие симметрии, а на левой и правой - свободной границы. В данной постановке пущенный импульс Берлаге будет распространяться периодически с периодом Д£ = 1, что позволяет сравнить численное решение с аналитическим и, построив гри графики зависимости 1од(Ь) от 1од(Ь), по углу наклона определить коэффициент сходимости. Результирующие зависимости отражены на графи-

■КЗ

30E-031 Jt«EJ»l

-i.tftE-ЧКО -8.ME-30I

Рис. 3 — Графики зависимости log L2 от log h и log Lx от log h. для фиксированного шага по времени.

Расчёт проводился с использованием полиномиального базиса 4 порядка, который теоретически должен давать 5 порядок сходимости. Практический порядок сходимости по норме Ь2 составил 5.92, а по норме - 4.39.

16

Распады разрыва. Далее приводятся результаты классических верификационных расчётов распада разрыва ух по х и уу по х. Расчёты проводились полиномами 4 порядка в двумерной и трёхмерной постановках:

Рис. 4 — Результаты расчётов распада разрыва

На паре изображений слева приведены волновые картины и одномерные графики распада vx по х и vy по х в один и тот же момент времени в двумерной постановке. На паре изображений справа - та же данные, но в трёхмерной постановке и для другого момента времени.

Задача сейсмического мониторинга. Важной практической задачей, исследованной с помощью комплекса Volume, является задача сейсмического мониторинга, направленная на изучение характера изменения отклика сейсмического импульса от увеличивающейся с течением времени газонасыщенной области. Ниже приведены геометрия расчётной сетки, полученные волновые картины и синтетические сейсмограммы:

Рис. 5 — Геометрия расчётной сетки задачи сейсмического мониторинга

Рис. 6 — Волновая картина отклика на втором году, £ = 0.57с, и на третьем в момент времени £ = 0.39с, выделено отличие от первого года.

Расчёт трения качения. В этом параграфе рассказывается об одной из наиболее интересных для данной работы задач, так как трение качения является промежуточной задачей между физикой абсолютно твёрдого и твёрдого деформируемого тела. Серия расчётов показывает, что подобного рода эффекты успешно моделируются как в программе Volume, так и в программе Destruction. На иллюстрации демонстрируется смещение контактной площадки вращающихся навстречу друг другу дисков относительно оси симметрии, что вызывает момент силы трения качения:

яг*

Рис. 8 — Контактное взаимодействие вращающихся дисков

Серия верификационных расчётов Destruction. В параграфе приводится несколько примеров типовых расчётов, используемых для раннего тестирова-

18

ния комплекса Destruction, чтобы выявлять ошибки, которые могут возникать в процессе развития комплекса. На иллюстрации приведено несколько типовых сцен, используемых в таких расчётах:

Рис. 9 — Несколько типовых тестовых сцен Destruction

Программный комплекс RobSim. Одним из применений комплекса Destruction является использование его в качестве ядра робототехнического тренажёра RobSim. В данном параграфе рассказывается об особенностях интегрирования этих программ и приводится несколько иллюстраций работы RobSim, где вся механика рассчитывается Destruction в режиме реального времени:

Рис. 10 — Взаимодействие роботов с большим количеством динамических объектов, демонстрация работы схвата и подвижных гусеничных модулей

Расчёты сеточно-характеристическим методом. В заключительной серии расчётов приводятся результаты численных экспериментов, посчитанных программой, основанной на сеточно-характеристическом методе. Данные визуализированы разработанным автором специальным визуализатором волновых картин, основанным на технологии Уо1ип^епс1ег^:

Рис. 11 — Примеры волновых картин, посчитанных реализованной программой на основе метода характеристик

В заключении приводятся основные результаты и выводы из проделанной работы.

Основные результаты и выводы диссертации

1. Исследован комплексный подход к решению прикладных задач как в деформируемом, так и в недеформируемом приближениях.

2. Разработан ряд моделей сложных контактных условий для модели твёрдого недеформируемого тела, включая модели сухого трения, трения качения и трения верчения

3. Реализованный программный комплекс Destruction хорошо себя зарекомендовал для решения прикладных задач динамики твёрдых недеформируемых тел, включая задачи реального времени, такие как задачи робототехники и задачи исследования процесса заторашивания в условиях арктики.

4. Разработаны и исследованы улучшения алгоритма Гаусса-Зейделя, которые позволяют существенно сократить время расчёта, используя свойство би-нарности большинства механических связей, а также улучшить сходимость «жёстких» систем, сочетая алгоритм Гаусса-Зейделя решения задачи лине-ных дополнений с алгоритмами решения систем линейных уравнений.

5. Разработан и аналитически исследован эффективный и гибкий алгоритм построения контактов твёрдых недеформируемых тел. Особенностями алгоритма являются близкая к константной вычислительная сложность для задач медленного движения, характерных для робототехники, а также универсальность способа неявного описания геометрии с помощью функции экстремального отображения.

6. Разработан и аналитически исследован метод характеристик для неструк-тирированных тетраэдральных сеток

7. Реализованный программный комплекс Volume был успешно применён для исследования задач сейсмики, неразрушающего контроля, робототехники и

ряда других. Вычислительный комплекс распараллелен на системы как с общей, так и с распределённой памятью.

8. Разработан и исследован метод расчёта динамических контактных условий для разрывного метода Галёркина, использующий метод виртуальных ячеек и функции предрасчёта интегралов потока для них. Метод успешно себя показал в прикладных задачах при моделировании столкновений твёрдых деформируемых объектов.

9. Разработанный подход по объединению двумерной и трёхмерной версии программного кода успешно себя зарекомендовал как мощный инструмент при объединении двумерной и трёхмерной реализации вычислительных комплексов Destruction и Volume, изначально разрабатывавшихся независимо.

Список публикаций соискателя по теме диссертации

1. Санников A.B., Миряха В.А. Численное моделирование волновых процессов в гидроупругих задачах разрывным методом Галёркина на неструктурированных треугольных сетках // Вестник Балтийского Федерального Университета, - 2014. - № 10.-С. 16-21

2. В.А. Миряха, A.B. Санников, A.B. Шевцов Численное моделирование начальной стадии разрушения метеорита в плотных слоях атмосферы в упругопластическом приближении // Компьютерные исследования и моделирование. - 2013. - Т. 5, - № 6, с. 957-967

3. Миряха В. А., Санников А. В. Численное моделирование динамических процессов в твердых деформируемых телах разрывным методом Галёркина // Математическое моделирование. - 2015. - Т. 27. - № 3. - С. 96-108

4. Фаворская А. В., Петров И. Б., Санников А. В., Квасов И. Е. Компьютерное моделирование пространственных динамических процессов сеточно- характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках. // Информационные технологии. - 2011. - №9. - С. 28 - 30

5. Фаворская А. В., Петров И. Б., Санников А. В., Квасов И. Е. Сеточно- характеристический метод с интерполяцией высоких порядков на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени. // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25. - № 2. - С. 42 - 52.

6. Фаворская А. В., Петров И. Б., Голубев В. И., Миряха В. А., Хохлов Н. И., Санников А. В., Беклемышева К. А. Динамическая диагностика элементов пути. // Вестник Института проблем естественных монополий: Техника железных дорог. - 2013. - № 4. - С. 64 - 77.

7. Фаворская А. В., Петров И. Б., Муратов М. В., Санников А. В. Сеточно- характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54. - № 5. - С. 821 - 832.

8. Фаворская А. В., Петров И. Б., Муратов М. В., Бирюков В. А., Санников А. В. О сеточно-характеристическом методе на неструктурированных тетраэдральных сетках. // Доклады Академии Наук. - 2014. - Т. 459. - № 4. - С. 406 - 408.

9. Фаворская А. В., Петров И. Б., Миряха В. А., Хохлов Н. И., Голубев В. И., Санников А. В. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью высокопроизводительных вычислительных систем и высокоточных вычислительных методов. // Математическое моделирование. - 2014 - Т. 26 - № 7,- С. 19 - 32.

10. Фаворская А. В., Петров И. Б., Муратов М.В., Санников А. В. Суперкомпьютерные технологии улучшают экономику России, спасают жизни и предотвращают техногенные катастрофы. // Суперкомпьютерные технологии в науке, образовании и промышленности. /М.:МГУ - 2012. - С. 5 - 11.

11. Миряха В. А., Санников А. В. Численное моделирование волновых процессов в железнодорожном пути. // Труды 57-й научной конференции МФТИ. /М.:МФТИ -2014. - Т. 2. - С. 142 - 144.

12. Петров И.Б., Хохлов Н.И., Миряха В.А., Санников A.B., Фаворская A.B. Численное моделирование волновых и деформационных процессов в элементах железнодорожного пути. // Труды третьей научно-технической конференции с международным участием "Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте. Компьютерное и математическое моделирование", - 2014 - Т. 1. -С. 102 - 104

13. Миряха В. А., Кучевский Д. А., Санников А. В. Численное моделирование соударения массивных ледовых образований с нефтедобывающими платформами. // Труды 57-й научной конференции МФТИ. /М.:МФТИ - 2014. - Т. 2. - С. 156 - 157.

14. Миряха В. А., Санников А. В. О программной реализации параллельного алгоритма разрывного метода Галёркина для численного моделирования волновых процессов в гетерогенных твердых деформируемых средах. // Труды 56-й научной конференции МФТИ. /М.:МФТИ - 2013. - Т. 2. - С. 135.

15. Миряха В. А., Санников А. В. Метод учёта действующих на границу внешних сил в задачах численного моделирования волновых процессов в гетерогенных твёрдых деформируемых средах разрывным методом Галёркина. // Труды 56-й научной конференции МФТИ. /М..МФТИ - 2013. - Т. 2. - С. 141.

16. Санников А. В., Миряха В. А. Метод расчёта динамических контактов в задачах численного моделирования волновых процессов в гетерогенных твёрдых деформируемых средах разрывным методом Галёркина. // Труды 56-й научной конференции МФТИ. /М.:МФТИ - 2013. - Т. 2. - С. 136.

17. Фаворская А. В., Голубев В. И., Миряха В. А., Хохлов Н. И., Санников А. В., Бекле-мышева К. А. Динамическая диагностика элементов железнодорожного пути. // Труды 56-й научной конференции МФТИ. /М.:МФТИ - 2013. - Т. 2. - С. 127 - 128.

18. Фаворская А. В., Голубев В. И., Миряха В. А., Хохлов Н. И., Санников А. В., Бекле-мышева К. А. Дефектоскопия железнодорожных рельсов. // Труды 56-й научной конференции МФТИ. /М.:МФТИ - 2013. - Т. 2. - С. 125 - 127.

19. A.B. Санников Численный анализ возмущений в железнодорожной насыпи с карстовым включением, инициированных внешним воздействием // Труды 57-й научной конференции МФТИ. /М.:МФТИ - 2014. - Т. 2. С. 156 - 157

20. A.B. Санников Метод обнаружения динамических контактов в задачах динамики систем твёрдых тел в режиме реального времени для выпуклых геометрий сложной формы // Труды 56-й научной конференции МФТИ. /М.:МФТИ - 2013. - Т. 2. - С. 104.

21. Санников А. В. Моделирование динамики системы твёрдых тел //Моделирование процессов обработки информации. - 2014. - Т. 2. С. 37 - 44.

22. Санников А. В., Миряха В. А. Численное решение задач уравнений эластики разрывным методом Галёркина //Моделирование процессов обработки информации: Сб.ст./Моск.физ.-тех. ин-т. -М., - 2015. - Т. 2. С. 20 - 25.

Личный вклад соискателя в работах с соавторами

1. Разработка комплексного подхода к решению задач как в твёрдом деформи-румом, так и в жёстком приближениях.

2. Разработка и исследование сеточно-характеристического метода для неструктурованных тетраэдральных сеток.

3. Разработка и полное аналитическое исследование, включающее доказательство сходимости, алгоритма определения столкновений для геометрий, заданных неявно через функцию экстремального отображения.

4. Разработка моделей сложных контактных условий для модели твёрдых недеформируемых тел

5. Реализация визуализатора рассчитанных трёхмерных данных на основе алгоритма VolumeRendering.

6. Реализация расчётной программы на основе сеточно-характеристического метода для неструктурированных сеток(всё за исключением библиотеки интерполяции).

7. Реализация базовой версии расчётной программы на основе методе Галёркина для неструктурированных треугольных сеток Volume как в двумерной, так и в трёхмерной постановках.

8. Разработка и исследования условия динамического контакта для комплекса Volume.

9. Интегрирование комплекса Volume с построителем сеток Salome.

10. Реализация и развитие на протяжении более чем 10 лет программ расчёта динамики твёрдых недеформируемых тел Destruction без какого бы то ни было участия в написании кода сообщников.

11. Интегрирование Destruction в робототехнический тренажёр RobSim в качестве вычислительного ядра.

12. Расчёт и исследование всех приведённых в данной работе численных экспериментов.

Санников Александр Владимирович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ТВЁРДЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ И ЖЁСТКИХ ТЕЛ

Автореферат

Подписано в печать 08.10.2015. Формат 60 х 84-^. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ №403. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл., г.Долгопрудный, Институтский пер., 9