автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности сдвиговых трещин и отверстий в геоматериалах

На правах рукописи

м^

Устгожанова Алла Владимировна

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ СДВИГОВЫХ ТРЕЩИН И ОТВЕРСТИЙ В ГЕОМАТЕРИАЛАХ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2012

005016692

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Бушманова Ольга Павловна

Официальные оппоненты:

Шайдук Александр Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университета., профессор кафедры общей и экспериментальной физики

Серяков Виктор Михайлович, доктор технических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им. H.A. Чинакала СО РАН, заведующий лабораторией механики горных пород

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН

Защита состоится 16 марта 2012 г. в 11.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 при ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г.Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г.Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан февраля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

С.А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Математическое моделирование деформационных процессов в геоматериалах в условиях развития процессов трещинообразования, разломообра-зования и разрушения приобретает в настоящее время все большую актуальность и находит применение как в чисто научных, так и в прикладных задачах.

Разрывные нарушения и неоднородности в геоматериалах (горных породах, грунтах, сыпучих средах) проявляются на различных масштабных уровнях. Это могут быть как особенности структуры и текстуры геоматериалов, так и нарушения сдвигового типа в земной коре.

В естественных условиях горные породы, грунты, сыпучие среды находятся в основном под действием сжимающих нагрузок, в частности, под действием собственного веса или тектонических напряжений. Одной из характерных особенностей деформирования геоматериалов в условиях сжатия является локализация сдвигов на разрывных нарушениях или в достаточно узких областях.

Анализ деформационных процессов в окрестности протяженных горных выработок, скважин, туннелей, а также исследование взаимного влияния пор и сдвиговых разрывов на микроуровне при деформировании геоматериалов имеют важное значение для изучения механизмов разрушения и обеспечения надежности и безопасности сооружений.

В связи с этим большей теоретический и практический интерес представляет математическое моделирование напряженно-деформированного состояния геоматериалов вблизи систем отверстий и сдвиговых разрывов в условиях сжатия в плоском случае.

Сдвиговые разрывы при моделировании могут рассматриваться в виде сдвиговых трещин (в плоском случае - разрезов), для которых существует возможность относительного проскальзывания соприкасающихся берегов.

Цели диссертационной работы.

1. Математическое моделирование деформирования геоматериалов в плоском случае в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа вблизи систем отверстий.

2. Численное исследование совместного деформирования систем отверстий и сдвиговых трещин в упруго-пластических материалах.

Для достижения целей диссертационной работы автором решены следующие задачи.

1. Математическое моделирование сдвиговых трещин в упруго-пластическом материале вблизи систем отверстий.

2. Разработка и реализация в виде программного модуля алгоритма построения стандартных сеток и сеток с двойными узлами для областей с отверстиями различной формы и сдвиговыми трещинами, представленными в виде разрезов.

3. Разработка программного модуля, реализующего метод конечных элементов для решения упруго-пластических задач.

4. Апробация построенных алгоритмов и программ численного счета на тестовых задачах.

5. Получение численных решений краевых задач о деформировании областей с системами круговых отверстий и системами отверстий, моделирующих сечения горных выработок.

Объектом исследования являются деформационные процессы в геоматериалах в условиях развития сдвиговых разрывных нарушений.

Предметом исследования является математическое моделирование напряженно-деформированного состояния вблизи отверстий и сдвиговых трещин в упругих и упруго-пластических материалах.

Область исследования соответствует пунктам паспорта специальности 05.13.18: «п. 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», «п. 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», «п. 5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы теории упругости и пластичности, уравнений математической физики, функционального анализа, методы вычислительной математики.

Алгоритм численного решения построен на основе метода конечных элементов.

Научная новизна.

Представлено численное исследование деформирования упруго-пластических материалов в условиях развития сдвиговых разрывов в окрестности отверстий в плоском случае.

Впервые на основе использования конечно-элементных сеток с двойными узлами рассмотрены эффекты локализации сдвигов на системах разрезов в окрестности отверстий.

Разработаны новые программные модули для построения проблемно-ориентированных конечно-элементных сеток и решения упруго-пластических задач для областей с системами отверстий различной формы и сдвиговыми трещинами. Получены решения новых краевых задач.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Математическое моделирование сдвиговых разрывов в упруго-пластическом материале вблизи систем отверстий.

2. Численные алгоритмы и программные модули для построения конечно-элементных сеток с двойными узлами и решения упруго-пластических задач в областях с отверстиями различной формы и произвольным числом разрезов.

3. Численные решения краевых задач о деформировании плоских упругих и упруго-пластических областей с системами круговых отверстий и отверстий, моделирующих сечения горных выработок, в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа.

Теоретическая и практическая значимость. Представленные в диссертации результаты имеют теоретическое и практическое значение в области математического моделирования деформационных процессов и могут быть использованы в практических задачах повышения надежности сооружений, взаимодействующих с геоматериалами.

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обеспечена корректным использованием методов механики сплошных сред,

проведением тестовых расчетов и согласованием с известными ранее теоретическими и экспериментальными результатами.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации докладывались и обсуждались на:

- VII Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механи-

. ки: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 25-28

мая, 2009 г.);

- двенадцатой региональной конференции по математике «МАК-2009» (Барнаул, июнь, 2009 г.);

- тринадцатой региональной конференции по математике «МАК-2010» (Барнаул, июнь, 2010 г.);

- международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 30 мая-4 июня, 2011 г.);

- четырнадцатой региональной конференции по математике «МАК-2011» (Барнаул, июнь, 2011 г.);

- XXII Всероссийской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Барнаул, 4-7 июля, 2011 г.);

- международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 8-11 ноября, 2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 16 работах, в том числе в 3 статьях в журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 120 наименований. Полный объем диссертации вместе с иллюстрациями составляет 120 страниц. Общее количество иллюстраций - 47.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность, сформулированы цели и задачи, научная новизна, теоретическая и практическая значимость исследований, представленных в диссертации. Описывается структура и содержание диссертации.

Приводится аналитический обзор литературы по моделированию и анализу процессов деформирования геоматериалов, решению упруго-пластических задач для областей, ослабленных отверстиями и трещинами сдвига.

Исследованиям в данных областях посвящены работы В.В. Адушки-на, Б.Д. Аннина, О.П. Бушмановой, Р.В. Гольдштейна, Д.Д. Ивлева, С.Н. Коробейникова, Г.Г. Кочаряна, C.B. Лаврикова, Н.И. Мусхелишви-ли, JI.B. Никитина, В.Н. Николаевского, Н.М. Осипенко, Д.Н. Осокиной, В.Е. Панина, А.Г. Протосени, Дж. Райса, Ю.Л. Ребецкого, А.Ф. Ревужен-ко, В.Н. Родионова, Е.И. Рыжака, Г.Н. Савина, М.П. Саврука, М.А. Садовского, В.М. Серякова, В.В. Соколовского, А.Н. Ставрогина, C.B. Ста-жевского, Н.М. Сырникова, В.М. Фомина, Е.И. Шемякина и других.

Глава 1. Математическое моделирование сдвиговых разрывов в упруго-пластическом материале

Рассматривается общая постановка задачи о деформировании плоской упруго-пластической области, ослабленной отверстиями, в условиях возникновения и развития разрывов сдвигового типа.

Ставится задача определения полей перемещений и напряжений в исследуемой плоской области С 3Î2 с заданной границей Г^.

В связи с тем, что напряженно-деформированное состояние в упруго-пластических материалах зависит от истории нагружения, возникает необходимость проводить постановку и решение задачи в приращениях. Путь нагружения в этом случае разбивается на определенное число шагов.

Предполагается, что на каждом шаге нагружения в исследуемой области определено расположение и число разрезов, моделирующих трещины.

Форма разрезов может быть криволинейной, а расстояния между ними сравнимы с характерным размером задачи. Берега разрезов Г+, Г- считаются участками общей границы Г = Гл U Г+ U исследуемой области.

Тогда на каждом шаге нагружения для области Î2, ограниченной кривой Г, требуется найти поля приращений перемещений йщ (г = 1,2) и приращений напряжений doу (i,j = 1,2), удовлетворяющих уравнениям равновесия.

Для описания взаимодействия берегов трещин задаются граничные условия на разрезах. Вне разрезов предполагается упруго-пластическое поведение материала.

Бесконечно малое приращение деформаций йе^ [1,] = 1,2,3) в упруго-пластическом материале может быть представлено в виде суммы упругой <1еЬ и пластической <М. составляющих

+ (1)

В рамках теории малых деформаций приращения деформаций <1ец (г,^ = 1,2,3) записываются через вектор приращений перемещений йщ

с текущим радиусом-вектором ж* (г = 1,2,3)

+ (2)

Упругая составляющая приращений деформаций определяется через приращения напряжений Аоц (г^ = 1, 2,3) по закону Гука

= ^ + (1-2 и)^ (3)

где V - коэффициент Пуассона, Е - модуль упругости, С - модуль сдвига, ¿а - приращение среднего давления, йвц - девиатор тензора приращений напряжений

¿а = (1,1^ = ¿ац — 5цбхт, (т = 1,2,3).

О

Для описания пластических свойств материала используются функция текучести /((Ту, к) и пластический потенциал д(сту) (Хилл, Райе):

/(сту, к) = Т + (га - к, д(<тц) = Т + 0а, (4)

где

Т = а/-^, О- = —, = «Ту -

Параметры ц, Р и к характеризуют, соответственно, внутреннее трение, дилатансию и параметр упрочнения или предел текучести при сдвиге.

Возникновение пластических деформаций в материале обусловлено критерием

/(*у,«) = 0. (5)

В процессе нагружения напряженное состояние в упруго-пластическом материале характеризуется возможностью возникновения не только упругих (/ < 0), но и пластических областей (/ = 0) и областей упругой разгрузки (с?/ < 0).

Пластическая составляющая приращений деформаций связана с приращениями напряжений следующим образом

Ме?. = Р^ыв-аы, (6)

где И - скорость упрочнения,

Следовательно, соотношение (1) преобразуется к виду:

= "577 + (1 - 2u)Sij— + КлР^кфы. (9)

Для границы рассматриваются стандартные краевые условия смешанного типа, включающие нормальные и касательные компоненты векторов приращений перемещений dun, duT и приращений напряжений dan, d<jT:

dan — daijUiTij, daT = da^riiTj, (10)

dun = duktil, duT — dUiTi, (11)

где m, Ti, (i,j = 1,2) - направляющие косинусы нормали и касательной к границе соответственно.

Граничные условия, описывающие взаимодействие берегов разрезов Г±, представлены в виде функциональных зависимостей между напряжениями и перемещениями. Существенно отметить, что соответствующие составляющие векторов напряжений и перемещений, входящие в такие зависимости до решения задачи неизвестны и определяются в ходе ее решения.

Предполагается, что нормальная составляющая вектора приращений перемещений и вектор приращений напряжений должны быть непрерывными на площадке касательного разрыва перемещений:

Г±: du* = du~, (12)

Г± : (dan)+ = (dan)~, (daT)+ = (Агт)". (13)

Индексы "+" и "-" соответствуют разным сторонам линии разрыва.

Здесь направляющие косинусы нормали щ (i - 1,2) и касательной - ц (г = 1,2) являются одинаковыми на разных сторонах линии.

Условия, заданные на берегах разрезов, и их связь с условиями нагру-жения и уравнениями состояния обуславливают возможность скольжения берегов разреза относительно друг друга.

На участках разрезов Г±, вдоль которых разрывы отсутствуют, то есть не нарушается сплошность среды, кроме условий (12) и (13) должно выполняться условие

dut = du;. ■ (14)

На линиях локализации сдвигов может быть задано условие трения Кулона, связывающее нормальную da„ и касательную daT составляющие вектора приращений напряжений

daT = ±(с - kdffn), с - kdan > О, (15)

где выбор знака зависит от направления нормали и истории нагружения, с - сцепление, к - коэффициент трения. Если на определенных участках разрезов

| daT \< с — kdcrn,

то скольжение не развивается и вместо условия трения задается условие непрерывности касательного приращения перемещений (14).

Нормальный разрыв перемещений в случае развитого трения (15) становится возможен, если

dut - dun = X(dur - dur)> (16)

где Л - заданный коэффициент. Такое условие отражает свойство дила-тансии материала (изменения объема при сдвиге) локально вдоль линий разрывов.

На участках разрезов, вдоль которых не возникает нормальных разрывов перемещений, Л = 0 и в этом случае условие (16) совпадает с условием

Таким образом, на двух берегах разрезов, которые можно рассматривать как два участка общей границы исследуемой области, выполняются четыре граничных условия: два условия (13), одно из условий (14) или (15) и условие (16).

Глава 2. Метод численного решения задач о напряженно-деформированном состоянии в унруго-пластической области с отверстиями и сдвиговыми трещинами

Для численного решения задач применяется метод конечных элементов. Расчетная область разбивается на треугольные конечные элементы с линейными функциями формы. Первоначальное разбиение области согласуется с данными о расположении возможных разрывных нарушений. Сетка конечных элементов строится так, чтобы линии ее семейств проходили по сдвиговым трещинам. В процессе реализации алгоритма решения геометрия сетки может корректироваться.

Особенностью сетки конечных элементов является то, что все ее узлы имеют два номера в глобальной нумерации, то есть являются двойными. Это сделано для того, чтобы существовала возможность исследования произвольных систем разрывов. Каждая расчетная точка области может в процессе деформирования разделиться на два узла, приращения перемещений в которых могут быть различными.

Для построения матрицы жесткости в основной системе конечных элементов при численном решении задач деформирования упруго-пластических материалов строится упруго-пластическая матрица [0}ер.

Компоненты тензоров приращений деформаций {¿г} и приращений напряжений {¿а} в каждом конечном элементе записываются в векторной форме

(12).

{&} = {скц, <к22, <1езз, 2ски, 2ск13,2(к2з}Т;

{¿.а} = {¿аи, <¿(722, d(T33, ¿(713, ¿ег23}Т.

(17)

(18)

где [I?] - матрица упругих констант.

Приращения пластических деформаций записываются следующим образом

{<&"} = к~1{Р}{Я}т{йа}, (20)

где векторы {Р} и {<9} определяются на основе формул (7), (8).

Соотношение (1) принимает вид

{¿е} = [Я]"1^} + ЪГ1{Р}{0)т{йа}. (21)

Таким образом, для связи приращений напряжений с приращениями деформаций находится упруго-пластическая матрица:

{(И - \Dride}, (22)

где

™ _ ш] _ [Р}{Р}{Я}Т1Й (23)

При численном решении задач деформирования упруго-пластических материалов для нахождения пластических областей используется пошаговый процесс с переменной матрицей жесткости. Величина очередного шага нагружения принимается такой, чтобы напряженное состояние наиболее нагруженного элемента из числа упругих элементов вышло на поверхность текучести (5).

Упруго-пластические матрицы [£)]ер для элементов, находящихся в пластических областях, на каждом шаге нагружения определяются с использованием напряженного состояния, известного с предыдущего шага. Для элементов, напряженное состояние которых находится внутри поверхности текучести, составляются упругие матрицы [I?].

Глава 3. Программная реализация алгоритма численного решения

Для численного моделирования сдвиговых трещин в плоской области с отверстиями используется разработанный О.П. Бушмановой программный комплекс, реализующий метод конечных элементов на проблемно-ориентированных сетках с двойными узлами. Алгоритмы построения стандартных сеток и проблемно-ориентированных сеток с двойными узлами

для областей с системами отверстий различной формы и сдвиговыми трещинами, разработанные в диссертации, реализованы в виде дополнительных модулей к основному пакету программ.

Алгоритмы построения сеток позволяют учитывать форму, размеры и расположение отверстий и разрезов. В качестве основных форм отверстий были рассмотрены: круг (задаются центр и радиус); арка, состоящая из полукруга и прямоугольника (задаются центр и радиус полукруга, высота прямоугольника); прямоугольник со сглаженными углами (задаются центры и радиусы сглаживающих окружностей, размеры прямоугольника).

Программно реализована в диссертации и численная процедура, включающая процесс нахождения пластических областей в упруго-пластических материалах. Для корректировки величин очередных шагов процесса нагружения применяется метод пробных шагов с расчетами коэффициентов перегрузки для наиболее нагруженных элементов. Для определения матриц жесткости в пластических областях используются упруго-пластические матрицы [£>]ер.

Приведены примеры сеток, построенных для прямоугольных областей с различными вариантами форм, размеров и расположения отверстий.

Глава 4. Численные решения краевых задач

Тестирование построенных алгоритмов и программ проводилось с использованием задач с известными аналитическими решениями.

Взаимное влияние совместного деформирования исследовалось для систем сдвиговых трещин и отверстий различной формы. Получены численные решения задач о напряженно-деформированном состоянии для плоских прямоугольных областей с прямолинейными трещинами, вблизи систем из двух, трех, четырех и восьми круговых отверстий, а также из прямоугольного и круговых отверстий, и из отверстий арочного типа, моделирующих поперечные сечения горных выработок.

На каждом шаге нагружения на границе прямоугольной области задавались нулевые приращения касательных напряжений и приращения нормальных перемещений, обеспечивающие в процессе нагружения условия сжатия в исследуемой области. Границы отверстий предполагались свободными от напряжений.

Все величины в задачах считались безразмерными. В качестве характерного линейного размера был выбран горизонтальный размер прямоуголь-

вика, в качестве характерного напряжения - 10~2Е.

В ходе решения различных краевых задач в исследуемых областях определялись упруго-пластические границы, строились изолинии функции текучести, а также максимального касательного напряжения и главных напряжений.

На рисунках 1, 2 представлены изолинии функции текучести для прямоугольной области с 4 и 8 отверстиями круглой формы: без трещин (а) и с 2 и 8 сдвиговыми трещинами (Ь).

Рассмотрены как упругое поведение материала вне разрезов, так и упруго-пластическое. Проводилось сравнение распределений напряжений в окрестности отверстий в областях с разрезами и без разрезов.

Выполнены расчеты напряженно-деформированного состояния при различном расположении разрывов относительно отверстий.

На рисунке 3 представлены изолинии функции текучести в окрестности трех отверстий, моделирующих сближенные выработки различного сечения: в области без разрывов (а) и с прямолинейными разрывными нарушениями (Ь).

Рис. 1. Изолинии функции текучести

Ii o'i 02 OJ ОЛ OJ 0.6 0.7 0.8 0.9 I 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

a) b)

Рис. 2. Изолинии функции текучести

' j] ¡¡5 ¡¡5 im ¡u о!б 07 ö!e о!э ! "6 o!i 0.2 о.з 0.4 0.5 0.6 0.7 o:e 0:9 1

а) b)

Рис. 3. Изолинии функции текучести

Построенные поля напряжений отражают изменение размеров и расположения пластических областей при развитии сдвиговых трещин в окрестности отверстий.

Показано, что локализация сдвигов на трещинах приводит к уменьшению размеров пластических областей в окрестности отверстий.

Численное моделирование на основе разработанных алгоритмов и комплекса программ позволяет провести подробный анализ напряженно-деформированного состояния в исследуемой области, на основе которого возможно прогнозирование появления областей пластического поведения или хрупкого разрушения материала при различных условиях нагруже-ния.

Заключение

Основные результаты диссертационной работы:

1. Выполнено математическое моделирование деформирования геоматериалов в плоском случае в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа вблизи систем отверстий.

2. Разработаны и реализованы в виде программных модулей алгоритмы построения стандартных сеток и проблемно-ориентированных сеток с двойными узлами для областей с системами отверстий различной формы и сдвиговыми трещинами.

3.. Разработан программный модуль, реализующий метод конечных элементов для решения упруго-пластических задач в условиях развития сдвиговых трещин.

4. Построены численные решения конкретных краевых задач о деформировании упругих и упруго-пластических областей с различным числом, расположением и формой отверстий и трещин. Построенные поля напряжений отражают изменение размеров и расположения пластических областей при развитии сдвиговых трещин в окрестности отверстий.

5. Получены численные решения задач о деформировании упруго-пластических материалов в окрестности отверстий, моделирующих три сближенных выработки различного сечения и выработки с сечениями арочного тина, в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа. Показано, что локализация сдвигов на трещинах приводит к уменьшению размеров пластических областей в окрестности отверстий.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации

1. Бушманова О.П., Бушманов С.Б., Устюжанова A.B. Математическое моделирование локализации пластических сдвигов в окрестности круглого отверстия // Известия АлтГУ. - Барнаул: АлтГУ, 2010. -№1(65). - С. 18-21. 0,48 п.л. (доля автора - 0,16 п.л.)

2. Бушманова О.П., Устюжанова A.B. О математическом моделировании сдвиговых трещин вблизи отверстий // Известия АлтГУ - Барнаул: АлтГУ, 2010. - №1/2(65). - С. 20-23. 0,48 п.л. (доля автора - 0,24 п.л.)

3. Бушманова О.П., Устюжанова A.B. Численное исследование напряженного состояния в окрестности системы горных выработок // Известия АлтГУ - Барнаул: АлтГУ, 2011. - №1(69). - С. 9-12. 0,48 п.л. (доля автора - 0,24 п.л.)

Другие публикации

4. Бушманова О.П., Бушманов С.Б., Устюжанова A.B. Математическое моделирование локализации сдвигов в породном массиве // Известия АлтГУ. - Барнаул: АлтГУ, 2009. - №1(61). - С. 30-33. 0,48 п.л. (доля автора - 0,16 п.л.)

5. Бушманова О.П., Устюжанова A.B. Численное исследование локализации сдвигов в упруго-пластических средах // Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии: тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых 25-28 мая 2009 г. - Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. - С. 34-36. 0,26 п.л. (доля автора - 0,13 п.л.)

6. Бушманова О.П., Устюжанова A.B. Численное моделирование сдвиговых трещин в окрестности отверстий // МАК-2009: материалы двенадцатой региональной конференции по математике (июнь 2009 г.). -Барнаул: АлтГУ, 2009. - С. 49. 0,06 п.л. (доля автора - 0,03 п.л.)

7. Бушманова О.П., Устюжанова A.B. О численном моделировании трещин сдвига вблизи отверстий // Математическое моделирование и краевые задачи: труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1. - Самара: СамГТУ, 2010. - С. 81-83. 0,18 п.л. (доля автора - 0,09 п.л.)

8. Устюжанова A.B. Применение метода конечных элементов к задаче об упругой области с отверстиями // МАК-2010: материалы тринадцатой региональной конференции по математике (июнь 2010 г.). - Барнаул: АлтГУ, 2010. - С. 53-54. 0,06 п.л.

9. Устюжанова A.B. Численное моделирование деформирования упругого материала в окрестности системы отверстий // Ломоносовские чтения на. Алтае: сборник научных статей межрегиональной школы-семинара, Барнаул, 4-8 октября, 2010 г. 4.1. - Барнаул: АлтГПА, 2010. - С. 256-259. 0,18 п.л.

10. Устюжанова A.B. Численное исследование влияния сдвиговых трещин на напряженное состояние вблизи отверстий //XI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: тезисы докладов. Красноярск, 26-27 октября 2010 г. - Красноярск: ЗАО РИЦ «Прайс-курьер», 2010. - С. 40. 0,06 п.л.

11. Устюжанова A.B. Численное моделирование сдвиговых разрывов в породном массиве // Электронный сборник тезисов Пятой Сибирской конференции молодых ученых по наукам о Земле, 29 ноября-2 декабря 2010 г. Новосибирск. Электронный ресурс: http://sibconf.igm.nsc.ru. 0,06 п.л.

12. Бушманова О.П., Бушманов C.B., Устюжанова A.B. Численное моделирование сдвиговых трещин вблизи отверстий // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: труды Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Янен-ко (Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г.). - Номер гос. регистр. 0321101160, ФГУП НТЦ "Информрегистр". -Новосибирск. - 2011. - http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-

90/fulltext/40191/46128/bush_abs.pdf. 0,36 п.л. (доля автора -0,12 п.л.)

13. Бушманова О.П., Бушманов С.Б., Устюжанова A.B. Численное моделирование сдвиговых трещин вблизи отверстий // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: тезисы докладов Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, Россия, 30 мая - 4 июня 2011 г.). - Новосибирск: Академгородок, 2011. - С. 37. 0,03 п.л. (доля автора - 0,01 п.л.)

14. Устюжанова A.B. Применение метода конечных элементов к задаче о деформировании упруго-пластической области с отверстиями // MAK-2Ü11: материалы четырнадцатой региональной конференции по математике (июнь 2011 г.). - Барнаул: АлтГУ, 2011. - С. 39-40. 0,06 п.л.

15. Бушманова О.П., Устюжанова A.B. Численное исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности системы отверстий и сдвиговых трещин // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: тезисы докладов XXII Всерос-

' сийской конференции, Барнаул, 4-7 июля 2011 г./ Под ред. В.М. Фомина. - Новосибирск: Нонпарель, 2011. - С. 20-21. 0,16 п.л. (доля автора - 0,08 п.л.)

16. Устюжанова A.B. Численное исследование напряженно-деформированного состояния вблизи систем круговых отверстий в упругой среде //' Ломоносовские чтения на Алтае: сборник научных статей международной школы-семинара, Барнаул, 8-11 ноября, 2011 г. Ч. 1. -Барнаул: АлтГПА, 2011. - С. 263-266. 0,19 п.л.

Подписано в печать 08.02.2012 г. Формат бумаги 60 х 84/16 Офсетная печать. Объем 1 печ. л. Заказ № . Тираж 100 экз. Бесплатно. Типография АлтГУ 656049, Барнаул, ул. Димитрова, 66

61 12-1/686

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет»

На правах рукописи

ЛУси^-

Устюжанова Алла Владимировна

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ СДВИГОВЫХ ТРЕЩИН И ОТВЕРСТИЙ

В ГЕОМАТЕРИАЛАХ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

О.П. Бушманова

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ......................................................4

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СДВИГОВЫХ РАЗРЫВОВ В УПРУГО-

ПЛАСТИЧЕСКОМ МАТЕРИАЛЕ............................20

1.1. Общая постановка задачи..................................20

1.2. Упруго-пластическая модель..............................23

1.3. Условия на разрывах......................................34

ГЛАВА 2. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

О НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ В УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ С ОТВЕРСТИЯМИ И СДВИГОВЫМИ ТРЕЩИНАМИ .... 37

2.1. Метод численного решения................................37

2.2. Симплекс-элементы........................................39

2.3. Граничные условия........................................42

2.4. Построение упруго-пластической матрицы..............46

ГЛАВА 3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ..............................50

3.1. Содержание основного программного комплекса .... 50

3.2. Алгоритм построения сеток ..............................52

3.3. Алгоритм численного решения упруго-пластических задач ............................................................59

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 65

4.1. Тестовая задача о напряженно-деформированном состоянии упруго-пластического материала в кольце..... 65

4.2. Тестовая задача об однородном напряженно-деформированном состоянии упруго-пластического материала 71

4.3. Задачи о напряженно-деформированном состоянии вблизи систем круговых отверстий и сдвиговых трещин . . 75

4.4. Задачи о напряженно-деформированном состоянии в окрестности отверстий, моделирующих сечения горных

выработок............................ 94

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................105

Литература...........................106

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Математическое моделирование деформационных процессов в геоматериалах в условиях развития процессов трещинообразования, разломо-образования и разрушения приобретает в настоящее время все большую актуальность и находит применение как в чисто научных, так и в прикладных задачах.

Разрывные нарушения и неоднородности в геоматериалах (горных породах, грунтах, сыпучих средах) проявляются на различных масштабных уровнях. Это могут быть как особенности структуры и текстуры геоматериалов, так и нарушения сдвигового типа в земной коре.

Анализ деформационных процессов в окрестности протяженных горных выработок, скважин, туннелей, а также исследование взаимного влияния пор и сдвиговых микротрещин на микроуровне при деформировании геоматериалов имеют важное значение для изучения механизмов разрушения и обеспечения надежности и безопасности сооружений.

В связи с этим большой теоретический и практический интерес представляет математическое моделирование напряженно-деформированного состояния вблизи систем отверстий и сдвиговых разрывов в плоском случае.

Степень научной разработанности проблемы.

Существуют различные подходы к моделированию поведения геоматериалов при деформировании.

Концепция Садовского об иерархическом блочном строении земной коры [73] используется в различных теоретических и экспериментальных исследованиях деформационных процессов в земной коре. С учетом неоднородного и блочно-иерархического строения горных массивов етро-

ятся количественные теории и геомеханические модели деформирования, в частности, в работах Садовского, Родионова, Сизова [74], Адушкина, Родионова [1], Кочаряна, Спивака [36].

Результаты экспериментальных и теоретических исследований процессов деформирования геоматериалов в условиях нарушений сплошности и локализации деформаций представлены в монографии Ревуженко [68].

В работах [69], [70] Ревуженко, Стажевским, Шемякиным показано на приборе простого сдвига, что при сдвигах, больших критического, происходит переход к новому режиму деформирования: область разбивается сеткой линий скольжения на отдельные блоки и дальнейшее деформирование сопровождается смещениями, относительными проскальзываниями и поворотами отдельных блоков. Был обнаружен также режим несимметричного течения в суживающемся радиальном канале, сопровождающийся сильной локализацией сдвиговых деформаций.

В монографии Николаевского [50] приводятся математические модели деформирования и разрушения горных пород. Рассматриваются эффекты трещиноватости, дилатансии, расслоения земной коры, независимой кинематики блоков и тектонических процессов.

В работе Палмера, Райса [58] соотношения для деформации континуума заменяются соотношениями между усилиями и относительным перемещением поверхностей зоны локализации деформаций.

В работе Кукуджанова [37] приводится обзор современного состояния по связанным моделям упругопластичности и поврежденности. Рассмотрена связь поврежденности, разупрочнения и реологической неустойчивости неупругих материалов.

Аннин в работе [3] исследует выбор параметров трансверсально-изотропной упругой модели для описания линейного деформирования

геоматериалов и аналитические и численные методы решения соответствующих динамических уравнений.

В работе Гольдштейна [23] описаны механизмы разрушения при сжатии. Отмечается, что в процессах деформирования и разрушения тел с трещинами особую роль играет история нагружения, а также эффекты проскальзывания и сцепления контактирующих участков трещины. Наличие концентраторов напряжений (неоднородностей) оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние материала.

Basista, Gross [95] на основе теории внутренних переменных Рай-са используют переход от микродеформирования к макродеформированию для построения двумерной микромеханической модели повреждений хрупкого материала при деформации сжатием. Выбрана модель сдвиговой трещины как базисный диссипативный механизм.

В работах Панина с соавторами [59, 60, 61] исследуется механизм пластической деформации на различных масштабных уровнях. Вводятся пространственные структурные элементы деформации, для которых допускается как трансляция, так и поворот. Нагруженное деформируемое твердое тело рассматривается как многоуровневая самоорганизующаяся система.

В работе Ивлева, Ершова [33] для задач теории идеальной пластичности и теории малых упруго-пластических деформаций применяется метод возмущений, основанный на введении некоторого малого параметра.

Исследованиям процессов деформирования в упруго-пластических средах посвящены также работы [32], [34], [62].

В монографии Соболева, Пономарева [81] изучены стадии подготовки макроразрывов и обобщены данные лабораторных и натурных на-

блюдений за изменениями физических полей, предшествующих землетрясениям.

В работе Гольдштейна, Осипенко [25] исследуется формирование структур хрупкого и квазихрупкого разрушения материалов (сред) с учетом их структуры при сложном нагружении, в частности, в условиях многоосного сжатия.

Ребецкий [66], Осокина [56], Ребецкий, Лементуева, Дьяур, Михайлова [67] исследуют закономерности полей напряжений и деформаций для региональных тектонических структур земной коры и литосферы на основе численного и аналитического моделирования.

Работа Осокиной [54] посвящена исследованию трехмерного поля напряжений около сдвигового тектонического разрыва. Автор предлагает разделение слоя с разрывом на области с различными типами локального поля (с различной ориентацией осей напряжений).

В работе [55] (Осокина, Яковлев, Войтенко) авторы предлагают и развивают комплексный подход к описанию тектонического разрыва как трещины конечной длины и ширины. Обоснованием данного подхода является математическое моделирование локального поля напряжений, возникающего в окрестности разрыва после смещения берегов с трением, на основе аналитического решения упругой задачи.

Обзор контактных алгоритмов представлен в работе Бураго, Кукуд-жанова [5]. Моделирование контактного и фрикционного взаимодействия шероховатых поверхностей на разных масштабных уровнях рассматривается в работе Горячевой, Маховской [26].

В работе [49] (Назарова, Ельцов, Назаров, Эпов) методами механики деформируемого твердого тела описываются протекающие в породном массиве при ведении горных работ процессы необратимого деформиро-

вания и разрушения геосред.

В монографии Курлени, Миренкова [39] излагаются методы расчета напряженно-деформированного состояния элементов подземных сооружений, базирующиеся на теории упругости и теории интегральных уравнений.

В работе [21] Вонг, Капустянский, Николаевский, Шляпоберский исследуют эффекты локализации деформаций в призабойной зоне скважины в рамках модели на основе неассоциированного закона пластического течения с проявлениями упрочнения и дилатансии.

Дерюгин [27] использует метод элементов релаксации для исследования взаимодействия мезо- и макрополос локализованной деформации в поликристаллах.

Larsson, Runesson, Axelsson [106, 107] рассматривают упруго-пластический материал Мора-Кулона с внутренним трением, неассоци-ированный закон пластичности. Поле перемещений непрерывно за исключением некоторых поверхностей. Для регуляризации вводится узкая полоса, содержащая поверхность разрыва. Формулируется критерий локализации.

Svedberg, Runesson [115] в рамках градиентно регуляризационной пластичности, связанной с повреждениями вводят градиенты более высокого порядка, учитывающие повреждения материала. Schaeffer, Shearer [110] исследуют влияние неоднородности материала на формирование полос сдвига в сыпучей среде.

В [109] (Lin, Amadei, Jung, Dwyer) предполагается возможность раскалывания системы блоков на малые подблоки, при условии Мора-Кулона рассматривается устойчивость откосов и подземных выработок.

Chau, Wang [97] исследуют сингулярные поля напряжений в ок-

рестности вершины сдвиговой трещины с учетом трения Кулона между контактными поверхностями с использованием метода граничных элементов.

Математическим вопросам теории трещин посвящена монография Морозова [46].

Для численного решения задач геомеханики наиболее широко используется метод конечных элементов [29], [31], [51], [52], [75], [83], [91].

В монографии Васидзу [20] излагается с единых позиций построение вариационных принципов в теории упругости и пластичности и описываются их приложения к конкретный задачам. Наряду с классическими вариационными принципами приведены модификации этих принципов, образующие основу построения метода конечных элементов.

В работах Rice с соавторами [112], [117], [118], [119], [120] численно моделируется распространение сдвиговых разрывов в геоматериалах.

Напряженно-деформированное состояние массива горных пород в рамках метода конечных элементов с помощью метода начальных напряжений исследуется Серяковым в работах [40], [77], [78].

Математическое моделирование коллизии плит, при которой одна плита погружается в мантии под другую, проводится в работе Полянского, Коробейникова, Свердловой, Бабичева, Ревердатто [63].

При моделировании локализации пластических деформаций в узких областях с большими градиентами скоростей или перемещений при помощи метода конечных элементов часто используется измельчение сетки конечных элементов [103] (Jun, Im), [98] (Chen, Liu), [111] (Schweiger, Karstunen, Pande) и элементы высоких порядков точности. На линиях локализации также рассматриваются разрывные поля скоростей или перемещений.

Для описания разрывов при определении скоростей или перемещений внутри элементов, по которым проходит линия локализации, используется функция Хевисайда [105] (Larsson J., Larsson R.). Важно отметить, что обычно рассматриваются единичные линии локализации.

Requeiro, Borja [116] описывают конечноэлементный анализ локализации деформаций с использованием сильных разрывов для пластического материала Друкера-Прагера.

В работе [108] (Leroy, Ortiz) предлагается модифицированный конечный элемент, при построении которого используются полиномы, позволяющие описывать переход через полосу сдвига, и исследуется разупрочнение материала после возникновения полос сдвига.

Специальные контактные элементы [102] (Goodman, Taylor, Brkke) используются в работе [101] (Gen-hua, Goodman) для расчета напряженно-деформированного состояния скальных массивов. Предполагается,что массивы состоят из блоков произвольной формы, отделенных друг от друга податливыми элементами. В [113] (Shyman, Bird, Martin) рассматривается специальный элемент, проскальзывание подчиняется закону Кулона с неассоциированным законом течения.

De Borst в работе [99] рассматривает численный подход к задачам ветвления в пластичности грунтов на основе модели с деформационным упрочнением, в работе [96] рассматривает задачи о локализации пластических деформаций и об образовании полос скольжения.

Komori в [104] для численного моделирования локализации деформаций использует метод разделения узлов.

В работе [114] (Sluys, Berends) в рамках метода конечных элементов локализация рассматривается в виде трещин продольного и поперечного сдвига. Вводится функция разрыва градиента.

Вагс^, РгоиЬе! [93, 94] при помощи конечных элементов моделируют распространение полосы сдвига в специальном случае материала с критерием текучести Мизеса при сжатии в условиях плоской деформации.

В [30] рассмотрены плоские и осесимметричные упруго-пластические контактные задачи с помощью метода конечных элементов, но без учета истории нагружения.

В статье Оловянного [53] говорится о разработанной на основе метода конечных элементов программе моделирования геомеханических процессов в трещиноватых массивах горных пород. Но при этом конкретные трещины не рассматривались, задача моделирования заключалась в оценке степени ослаблений прочности пород вокруг выработок и их ориентаций.

Вычислительной механике разрушения посвящены, в частности, монография [22] и монография Сиратори, Миеси, Мацуситы [79].

Андреевым, Гольдштейном, Житниковым в работе [2] рассматриваются задачи о равновесии трещин различной геометрии в условиях, когда на их поверхностях образуются области раскрытия, скольжения и сцепления.

Слепян в работе [80] рассматривает статику, медленный рост и динамику трещин в упругих и упруго-пластических телах, а также в средах со структурой. Большое внимание автор уделяет обсуждению критериев роста трещин, связи между критериями на микро- и макроуровнях.

Исследованию напряженно-деформированного состояния вблизи отверстий посвящено большое количество работ.

В рамках классических моделей аналитические решения представлены в монографиях Тимошенко [84], Надаи [48], Качанова [35], Савина [71], Соколовского [82].

В монографии Саврука [72] с помощью метода сингулярных граничных интегральных уравнений, разработанного Мусхелишвили [47], рассматривается задача о бесконечной плоскости с равномерно размещенными краевыми радиальными трещинами.

Лавриковым, Ревуженко [42, 43] получено решение задачи о деформировании материала с блочной структурой вокруг выработки.

Са1уЫп [100] рассматривает упругую область с наклоненной внутрь трещиной и круговым отверстием под действием сжимающих нагрузок. Сдвиг вдоль трещины обусловлен перераспределением напряжений с выполнением критерия Мора-Кулона. Используется метод сингулярных уравнений.

В работе Остросаблина [57] получены точные решения плоских задач теории упругости и пластичности с неизвестной границей о распределении напряжений около круговых отверстий для различных условий пластичности.

В [44] Мирсалимовым изучены неодномерные упруго-пластические задачи, сложность которых заключается в том, что форма и размеры пластической области заранее неизвестны и определяются в ходе решения. В частности, приводятся аналитические решения для упруго-пластической плоскости с двумя отверстиями, а также численные результаты.

В статье Мокрякова [45] исследована задача о взаимодействии двух близко расположенных одинаковых отверстий в условиях двухосного на-гружения на бесконечности с помощью численного метода, основанного на представлении функции скачка смещений в виде суммы мультиполей.

Таким образом, задачи о напряженно-деформированном состоянии в упруго-пластическом материале с системой отверстий и трещин являются актуальными и существует потребность в их численном исследовании.

В настоящей работе представлены результаты численного исследования деформирования ослабленной отверстиями плоской упруго-пластической области в условиях возможности возникновения и развития в окрестности отверстий трещин сдвига. Разработанный алгоритм, основанный на методе конечных элементов, позволяет исследовать напряженно-деформированное