автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аналитическое исследование математических моделей напряженно-деформированного состояния пластины и цилиндрической оболочки с эллиптическим дефектом

На правах рукописи

004692336 УТКИН ПАВЕЛ БОРИСОВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИНЫ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ДЕФЕКТОМ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск-2010

2 О МДМ 2010

004602386

Работа выполнена в Южно-Уральском государственном университете на кафедре функционального анализа.

Научный руководитель: доктор технических наук, старший

научный сотрудник Остсемин Александр Амурович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Карачик Валерий Валентинович; кандидат физико-математических наук, доцент Низамеев Хамид Рауфович.

Ведущая организация - Тюменский государственный университет

Защита состоится 7 апреля 2010 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при Южно-Уральском государственном университете по адресу: г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮжноУральского государственного университета.

Автореферат разослан 17.02 2010 г.

/ )

Ученый секретарь / у

диссертационного совета ^ гуу х СОКОЛИНСКИЙ Л.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из основных задач современного машиностроения является снижение материалоемкости, что влечет за собой неизбежное ухудшение прочностных качеств конструкций. Частично это компенсируется применением новых материалов. Тем не менее это приводит к необходимости более точной оценки сопротивляемости конструкций разрушению, при наличии дефектов и в условиях двухосного нагружения.

В реальных условиях в структуре конструкций всегда присутствуют дефекты, некоторые из которых можно считать тонкими и заменять линейными разрезами в математических моделях. Часть же дефектов обладают формой не позволяющей заменять их разрезом, к таким дефектам можно отнести целый класс сварочных дефектов (непровар, несплавление, пора, кратер). Для них необходимо учитывать радиус кривизны дефекта в его вершине. Попытка внести влияние такой кривизны в ранее существующие модели предпринята в данной работе.

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является математическое описание напряженно-деформированного состояния (НДС) пластины с наклонным эллиптическим дефектом для получения характеристик предельного состояния и параметров разрушения основного металла и сварных соединений. Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построение и аналитическое исследование математических моделей пластины с центральным и наклонным эллиптическим вырезом, подверженной статическому двухосному нагружению.

2. Построение математической модели пластины и цилиндрической оболочки с центральным поверхностным эллиптическим дефектом, подверженной статическому двухосному нагружению.

Методы исследования. Для описания НДС пластины с дефектом использован метод Колосбва-Мусхелишвили математической теории упругости. При вычислениях использовался аппарат теории вычетов и конформные отображения.

Научная новизна работы заключаются в следующем:

1. Найдены точные и приближенные формулы для тензора напряжений, главных напряжений, интенсивности напряжений, перемещений для задачи о НДС пластины с наклонным эллиптическим вырезом при двухосном нагружении.

2. Получены системы уравнений и их решения в частном случае для определения предельных нагрузок и угла страгивания при разрушении пластины или цилиндрической оболочки с эллиптическим дефектом.

3. Проведен теоретический анализ по определению разрушающего кольцевого напряжения при вязком разрушении цилиндрической

оболочки с продольным поверхностным трехмерным дефектом на основе деформационного критерия 5С. Теоретическая ценность состоит в обобщении формул для компонент тензора напряжений и деформаций, используемых при оценке напряжений в окрестности вершины дефекта в пластине. Практическая ценность. Полученные выражения для тензора напряжений в окрестности вершины эллиптического дефекта позволяют учесть радиус кривизны трещины в ее вершине при расчете критических напряжений и угла страгивания. Формулы могут быть использованы для оценки сопротивляемости хрупкому и вязкому разрушению цилиндрических оболочек, нагруженных внутренним давлением и осевой силой, с эллиптическими поверхностными дефектами. Аналитические выражения дают возможность проверки корректности работы программ использующих численные методы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях: "Проблемы и методы обеспечение надежности и безопасности систем транспорта нефти, нефтепродуктов и газа." г. Уфа, 2006, 2007 года; 59-61-й научные конференции ЮУрГУ 2007-2009 г. и научно-практической конференции "Прочность и долговечность сварных конструкций в тепловой и атомной энергетике", ЦНИИ КМ "Прометей", Санкт-Петербург. - 25-27 сентября, 2007г; на научном семинаре по функциональному анализу ЮУрГУ, на научном семинаре по вычислительной математике ЮУрГУ, на научном семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12], список которых приведен в конце автореферата. Статья [1] опубликована в научном журнале "Прикладная механика и техническая физика", статья [2] опубликована в научном журнале "Изв. РАН. Механика твердого тела" включенных ВАК в перечень журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук. В работах [1-11] A.A. Остсемину принадлежит постановка задачи, П.Б. Уткину принадлежат все полученные результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Работа содержит 109 страниц, включая библиографический список из 142 наименований.

Содержание работы.

В первой главе рассмотрены история вопроса и основные результаты полученные другими учеными в данной области.

Во второй главе строится математическая модель напряженно-деформированного состояния бесконечной пластины с центральным эллиптическим дефектом. Схематическое изображение наклонного эллиптического дефекта в пластине показано ни рис 1. Система координат

привязана к осям эллипса. В такой системе координат под наклоном находятся главные оси напряжения на бесконечности, а не вырез.

В первом и втором параграфах находятся комплексные потенциалы для задачи о пластине с наклонным эллиптическим вырезом

а(1-а)

Am

, 2\

me

-2 if} _

,2

m

"J

(1)

2 V 'miUmf Jj-f

где Л--=(а + Ь)/2; т = {а-Ь)/(а + Ь)\ с1-т!а2-Ь2 , а,Ь - большая и

малая полуоси выреза и проводятся вспомогательные вычисления.

Рис.1-2. Спееа(рис.1) - схематическое изображение рассматриваемой задачи, спраеа(рис.2) - схематическое изображение поверхностного эллиптического дефекта

В третьем параграфе рассматривается вопрос о коэффициентах интенсивности напряжений, находятся аналитические формулы для КИН эллиптического выреза

К - у^о{»»0+Д)+(1-*)с<м2)8) = 2т

J 4т Г у^ o-(m(l+g)+(l-g) cos 2/2) V(l+m)2l Ш 2m

(2)

a',,£Щ( ^^tfUi^M

2 m

(1+w) l

2 m

где а,во - напряжения на бесконечности, /? - угол наклона первой оси к большой полуоси выреза. Зависимость полученных теоретических формул показана на рис. 3. Для линейной трещины (т=1) формулы (2) совпадают с формулами1.

В параграфах с четвертого по седьмой находятся приближенные формулы для тензора напряжений с регулярными членамив декартовых и полярных координатах, перемещений, максимального касательного напряжения и главных напряжений около вершины центрального эллиптического выреза, разложенные по степеням расстояния от точки пластины до фокуса эллипса г. Данные формулы обобщают ранее полученные формулы для центральной трещины.

1

(1 -т)2

-Jbrya) 4л/т(1+т)

К[ cos

1

— +

2 )+4л/2яг

( V-1'2

Г

,(1-и)(1+и)ш <т(1 + е)~-,,,—cos

Am

3/4

'ft? ч2,

-a{\-s)

1+т 2т

-1

(1 ~тУ

42ж\а) 4л/от(1+т)

Кг cos

v2,

4л/2^

W +

-1/2

сг(1 + s)

{\-т)(\+т)

3/4

1/2

(о

\

-cos —

J A-V1 П „\2

4т

О ~т)

I2.

+ СГ(1 - £-)

ху V2^UJ 4л/т(1+т) '

К, sin

4А/2яг

\-т

ад-

-1/2

ч1/2

+ S)-- ... —Sin

4от

3/4

ч2,

(3)

(формулы для коэффициентов приведены ниже)

Для линейной трещины (т=1) формулы (3) совпадают с формулами2. Формулы для перемещений можно использовать в деформационных критериях разрушения, что в более общем случае (для поверхностного эллиптического дефекта) проделаны в главе 4. Формулы для максимального касательного напряжения использованы при определении пластической зоны около вершины дефекта.

' Eftis J., Subramonian N. The inclined crack under biaxial load // Engineering Fract. Mech., 1978. V. 10. P. 43-67.

2 Eftis J., Subramonian N., Liebowitz H.. Crack border stress and displacement equations revisited//Engineering Fract. Mech., 1977. V. 9.№ l.P. 189-210.

В восьмом параграфе найденные приближенные формулы используются для определения коэффициента интенсивности напряжений для центрального трещиноподобного дефекта методом голографической интерферометрии. Полученные результаты показывают хорошее совпадение экспериментальных данных с теорией.

В девятом параграфе рассматривается вопрос о НДС для коррозионно-притупленной трещины и сварных дефектов. Получены формулы обобщающие формулы Кригера-Париса для центральной трещины при I и II модах.

В третьей главе строится математическая модель напряженно-деформированного состояния бесконечной пластины с наклонным эллиптическим дефектом.

В первом параграфе находятся приближенные формулы для тензора напряжений около вершины наклонного эллиптического выреза, разложенные по степеням расстояния от точки пластины до фокуса эллипса г. Данные формулы обобщают ранее полученные формулы для центральной трещины.

1

-1

(1 -т? ^4у[т(1+т)

К, СОБ^-^я БШ^у

-е)(г

2-Д и

-,/2С гап

\(1+т)

1 -тг 2т2

соз(2/?) соэ] -

(9\ 1+т2

2 т2

442Ж

зт(2Д)зт

а(\-е)со${2Р){\+гп)2

4т'

У

-V

СГ(1-£)(Г

2лЯ

-1/2

(1 -т)1

2 4т (Нт)

К, С09

. (36?

К,, эщ -

\-т

2т'

С05(2/?)С05 -

V 2

(в} 1+т2

12) 2 т2

[ВхК,+ВгКи] 4л[2лг

5т(2^)5т[ ^

и

+ (4)

СГ(1-£)С05(2/?)(1-от)2 4 т2

1 / N Г 4 Г М2 |

и] 4-/т(1+т))

+Кц со.

<Г(\~8)( Г

2^2 1а

-1/2

<г(1-фт(2/7)1-/я

2 2 т2

2 4т (1+т) 2

2т'

{?

2

{С,К,+С2Кп} 4л/2~т

2т

/¡!=С0;

150)

'Я — \ 2 t

-1+26т-тг (в) , . (5в) .....cos ,,b=-sm. 2

B^-cosI

50

2)

Ы

1+38 т+т +----:----------cosl -

-1+26яг-/и . (в)

------sin -

8м U

Ы

(в) R * f501

(2/ 2 I 2 J

1+38м+/?Г

C\ = sin

5в) 1 + 6 m + m

8m

Ы

(59~) 1 + 6 m + m2

-sm

\2y

8 m

-co.

Для линейной трещины (»1=1 ) формулы (4) совпадают с формулами1.

Во втором параграфе приближенные формулы для тензора напряжений используются для вычисления компонент тензора напряжений в полярных координатах, с последующим использованием полученных выражений для решения задачи об угле страгивания трещины. Использование формулы для а0, в совокупности с критерием максимального окружного напряжения, позволило численными методами найти теоретические значения для угла страгивания.

-3/2

1

(1 -ту

4д/2ш UJ -Jm(\+m) [AlKj-A'.K,,]

К[ СОБ

70

-К„ эш

Ж 2

+

А^Ъш

а '

i \ г

-1/2

(1-от)(1+от)

W

V2

СОБ

т

50 2

+

cos(2/?-r20)-2»jcos2/?+cos(2/?-20)]+

4

Ъгхп 1+w I6a4br 2л[~т

(5)

<[В{К1+В'гкп]л

..1/2

<т(1-£) 1+т

442а \2 4т

, 17m2 +6m -15 (Ъв 3COS — +-—-:-COS -

U J 8m U

e\ 3m -10m+ 3

5cos — +-

16m

os —

I 2 J,

COS

,4 = 2>i =

5(9

■2 P

-СО&

m

'50

+2 ¡5

J )

„ . (0sI 15m2 -6m+ 15 . [30

3sm — N--sm —

2 J 8m 1,2

c . 3m2-10m + 3 . f56>V

5sin — +-—-—sin —

2) 16 m {2J

Сравнение с экспериментальными данными и результатами применения критериев для трещины сведены в таблицу и графики и показали удовлетворительные результаты. Для линейной трещины (т-\) формулы (5) совпадают с формулами1. На рис. 4 показана зависимость угла страгивания вс трещины от угла наклона р полученная по одному

1 Eftis J., Subratnonian N. The inclined crack under biaxial load // Engineering Fract. Mech., 1978. V. 10. P. 43-67.

из критериев при двух разных значениях параметра эллиптического выреза (1-ш = 1, 2-т = 0.7).

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

П2 р

Рис. 3-4. Слева(рис.З) - теоретические зависимости КИЕ от параметра эллипса (1,1 'Р = 15° ;2,2'-[) = 30°;3,3 = 45°,), справа(рис.4) - теоретическая зависимость угла страгивания от угла наклона

В третьем параграфе получены приближенные формулы для перемещений, которые могут быть использованы в деформационном критерии разрушения.

В четвертом параграфе рассматривается вопрос о соответствии полученных приближенных формул для тензора напряжений формулам Кригера-Париса' для притуплённых трещин, учитывающих радиус кривизны дефекта р в его вершине. Формулы для компонент тензора напряжений обобщают формулы Кригера-Париса и имеют вид

'v (Ъ0 К, cos —

v 2

К¡j sin|

36»

1

4-У2яг

[А.К^А^п]-

(1+m)2 J0) сг(1-е)(1+т)2

--—OUbi —---I--

2 т2 UJ 2т

.(W

(M4f>

КП sin| ■

k 2

iMzlMtfl

А^Ъп-

(1+m)

(1+m)2 2 m2

cos

ч2,

cr(l-g)(l+m2) 2m2

(6)

1 Creager M.s Paris P. Elastic field equations for blunt cracks with reference to stress corrosion cracking // Int. Journal of Fraciure Mechanics, 1967, v4 №3, p. 247-252.

\

/

В пятом и шестом параграфах находятся приближенные формулы для интенсивности напряжений, максимального касательного напряжения и главных напряжений. Полученная формула используется для нахождения пластических зон около вершины дефекта. Результат показан на рис. 5 (параметры вырезов - 1-/я=1,2-т=0.9,3-т=0.7 , двухосное нагружение с коэффициентом е = 0.5, нагрузкой а = 0.3 от, с углом /? = 0; показаны вершины вырезов для т = 0.7;0.9).

В седьмом параграфе полученные формулы для главных напряжений и максимального касательного напряжения проверяются на экспериментальных данных при определении КИН методом голографической интерферометрии. Полученные результаты показывают удовлетворительное согласование теоретических формул с экспериментальными данными.

В восьмом параграфе полученные формулы для тензора напряжений используются для нахождения коэффициента концентрации напряжений около вершины эллиптического выреза.

Полученный коэффициент N для линейной трещины т = 1 равен 2, что обобщает ранее используемые формулы1. Методика вычисления ККН внутренних технологических дефектов стыкового шва подтверждается результатами полученными МКЭ.

Теоретические зависимости для коэффициента концентрации напряжений от параметра эллипса показаны на рис 6.

' Панамок В.В„ Андрейкив А.Е., Ризнычук Р.В. Деформациошшй критерий локального разрушения упругопластических тел с щелевыми дефектами //Доклады АН СССР, 1987, Т. 296, №4, стр. 808-811.

х

(7)

Рис. 5-6. Слева(рис.5) - теоретические пластические зоны для эллиптических вырезов с

разным параметрам эллипса, cnpaeafpuc. 6) - теоретические зависимости коэффициента концентрации напряжений от параметра эллипса при трех вариантах приближения (1,2-приближенные формулы, 3- точная формула).

В девятом, десятом и одиннадцатом параграфах

рассматривается вопрос о точных формулах для тензора напряжений. Точные аналитические формулы для тензора напряжений в рассматриваемой задаче имеют вид:

<гх -4cos2 /7-^^—4 + 24+4,^-cos2/?U +A2F2x от m

í O-»*)2 J , z> ,, 2a1 . а Ъ? п

l m j (rrf2 (1+m)2 (rrf2

2 f 2 1 2

m \ m \ m

2 2 2 . 2a~ (l-m) „ . Л 2al _ +(r eos в+d)--^-—^G2+r sin

{rrf (\+m) \rr j

1- 2 a2 l-m2

rxy = A) —— sin 2^ + 2r sin 9 G2 - A0F2 —— eos 2p -

J m (гг'г m

2 2 2 - AqFxsin 2/9 - 2{r cos 0 + d) -j-^pr G, m \ГГТ 0+w)

сг(1-гг) , а[т{\+е)+{\-е)со$2Р] л cr(l-£)sin2Р _ 1+т2

Ао —; щ --л-; 2 =-л-; в\=-т

и 4 т 1 4т 4т (1+т)2

„ , . 3(0+0') , Ъ(в+в') _ , 3{0+9') , , . 3{9+&) G\ = A] sin—~—--Л2 cos—-———-, G2 = А\ cos--—- + А^ sm—1——-

а ^ 0+9' . п . в+в' , . ,, . 6+9' . а в+в'

(г cos 0+а) cos-+г sin в sin- - (г cos 0+д) sin--+г sin 0 cos-

с _ 2 2 2

Fi-----^r—--------

Все основные параметры взяты из задачи и совпадают с аналогичными для приближенных формул. Для определения г',в' требуется решить систему

Jr'cos<9'=26?+rcos6> I A"' sin Q'~y sir

Полученные формулы сравниваются с приближенными для определения зон применимости приближенных выражений. Для линейной трещины (от=1) формулы (8) совпадают с формулами'. Проверка точных формул на экспериментальных данных для определения КИН методом голографической интерферометрии показывают хорошее совпадение теоретических формул с данными эксперимента.

В четвертой главе рассматривается математическая модель роста усталостных трещин в упрочняющихся упругопластических материалах. В уточненной модели получены формулы для размера пластической зоны

^Азиагссо/ Л-^^/агс со/(9)

2иТ \1) (1-0 I Ш )

здесь / - длина трещины, I - длина трещины с пластической зоной, =0.94,¿2 =0.93 - коэффициенты .учитывающие упрочнение материала, т = ав/аТ, р - внешняя нагрузка. Формула для перемещения берегов трещины

у(х,1,Ь) = ^{к2т{(х-1)Г(1,х,1)-(х+1)Щ,х

пЕ (I-/)

^(x-l)2T(L,x,l)+^(x+l)2T(L,-x,l)+2^L2-x2^L2-l2

(10)

J2 -xt-4(L2~x2)(L2-Z2)

L2-xZ+4{L2-X2){L2-S2)

1 Theocaris P.S., Michopoulos J.G. A closed-form solution of a slant crack under biaxial loading // Engineering Fract. Mech., 1983. V. 17. № 2. P. 97-123.

здесь х - переменная вдоль оси трещины.

При коэффициентах к\=\,к2=} формулы (9) и (10) соответствуют формулам1.

Следуя обобщенной энергетической концепции Г.П. Черепанова рассмотрено удлинение трещины от / до 1 + &1. Работа деформирующих сил в пластической зоне связана с константой материала . Получено уравнение на связь длины I с безразмерной величиной р = (ртг)/(2ат)

д±-дЛ~

1

mM'im

= Ф {<р, Я,т)

(И)

Формулы для значений 1Х и /2 не приводятся ввиду громоздкости. Для т-\,к\=к1=\,Ы1 = жйа (модель без упрочнения) полученное уравнение совпадает с известными2.

В пятой главе рассматривается вопрос о разрушении цилиндрической оболочки с осевым поверхностным эллиптическим дефектом. Схематическое изображение эллиптического дефекта дано на рис. 2. Используя предположение о суперпозиции комплексных потенциалов для поверхностного дефекта, деформационный критерий разрушения и полученные в первой главе формулы для эллиптического выреза найдена система уравнений для вычисления разрушающего кольцевого напряжения ад

Sr =

4/сг лЕ

М-7

. °Т )ы 1 ' V 2 4

^dl-ms in(2a) Ja L d t 1 + m 2 а { t

EA <jj

к 1=1

i=l

1 -m

->

1 + m

(12)

m(l-s)

(1-г) + (1 + г)т r f

-2a cos(a) —

-m m(l-£)

t l + m (1-е) + (1 + s)m

1-f

4

Of

\aiCJi

<=l 2

2 i

Г

i=l 2

(Tf

, . 2a d d

cos(or) +--= —

n t <Jj t

(13)

здесь ¿/-глубина, 2/-длина трещины, а - длина трещины с пластической зоной, ¿-толщина стенки трубы, ! = ас<х>(а) , к1 = 0.94 , к2 = 0.93 коэффициенты учитывающие упрочнение материала, т - параметр

эллипса, <г(Ф(к <гв-(к{сгв-к2сгТ)( I а.(хП)

1=1

2i

))

распределение

1 Каминский A.A. Разрушение вязко-упругих тел с трещинами. Неклассические проблемы механики разрушения. Киев: Наук. Думка, 1990. Т.1. 310 с.

2 Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.640 с.

напряжении

2 m=0 /г

1

1

'2/-2/Я+1 2i-2m-\

пластической зоне,

числовой коэффициент,

i

( 1 — Ш \ п

sin * + |—— cos х dx- четверть длины эллипса с параметром 1 + т)

ж/2

о

т и большой полуосью а, 8С - критическое раскрытие трещины. Формулы (12), (13) для линейного случая (т = 1) позволяют получить явную аналитическую формулу для окружного напряжения ав:

а = 2 tg~

Г ехр

V V

г

8слЕ к f d Ш(гТ 2 V t

К ат

¡=1

J J

C7f

lad ( d --+ cos(a) 1 —

71 t If

Г /

CTf

к С'. /=1 2

к cL ¡=1 2

л

2

(d/t)+(l-d/t}

СОБОГ

(14)

(15)

Система (12), (13) не решается аналитическими методами, но может быть решена численно. Система была опробована на экспериментальных данных1 и показала удовлетворительные результаты, близкие к результатам2, на относительно небольших глубинах дефектов ¿/(<0.7.

В заключении суммируются основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, приводятся данные о публикациях и апробациях автора по теме диссертации, и рассматриваются направления дальнейших исследований.

Основные результаты диссертационной работы

На защиту выносятся следующие новые научные результаты. 1. Построена математическая модель НДС пластины с центральным эллиптическим отверстием при двухосном нагружении. Получены приближенные формулы для тензора напряжений и перемещений около вершины отверстия, которые в частном случае превращаются в ранее известные формулы для линейной трещины. В компонентах тензора напряжений появилось новое слагаемое, меняющее асимптотику поведения компонент тензора напряжений и значений перемещений.

1 Красовский А.Я., Красико В.Н. Трещиностойкость сталей магистральных трубопроводов. Киев: Наук. Думка, 1990. 171 с.

- Красовский А.Я., Орыняк И.В., Тороп В.М. Вязкое разрушение цилиндрических тел с аксиальными трещинами, нагруженных внутренним давлением // Проблемы прочности. 1990. №2. С. 16-20.

2. Получены точные и приближенные аналитические формулы для тензора напряжений и перемещений около вершины отверстия для задачи о двухосном нагружении пластины с наклонным эллиптическим отверстием, которые обобщают формулы для линейной трещины.

3. Предложен метод определения разрушающего кольцевого напряжения при вязком разрушении цилиндрической оболочки с продольным поверхностным эллиптическим дефектом на основе деформационного критерия (раскрытия трещины). Показано хорошее соответствие аналитических формул и экспериментальных гидравлических испытаний, полученных иностранными и российскими ученых. Погрешность составила не более 6%.

В заключении автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.т.н. Остсемину A.A. за постановку задач, поддержку, полезные замечания и обсуждения, помощь в работе.

Публикации по теме диссертации

Статьи, опубликованные в журналах из списка ВАК

1. Остсемин A.A. Напряженное состояние наклонного эллиптического дефекта и коэффициенты интенсивности напряжений при двухосном нагружении пластины / A.A. Остсемин, П.Б. Уткин // Приклад, механика и техн. физика. - 2009. - №1. - С. 118-128.

2. Остсемин A.A. Теоретические и экспериментальные исследования по механике разрушения трещиноподобных дефектов при двухосном нагружении / A.A. Остсемин, П.Б. Уткин // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2009. - №2. - С. 130-142.

Другие публикации

3. Остсемин A.A. Применение критериев упруго-пластической механики разрушения при оценке свойств сварных соединений / A.A. Остсемин, П.Б.Уткин// Вопросы материаловедения. - 2007. - №3(51). - С. 151-160.

4. Остсемин A.A. Расчет коэффициентов концентрации напряжений внутренних технологических сварочных дефектов / A.A. Остсемин, П.Б. Уткин// Вестник машиностроения. - 2008. - №12. - С. 14-17.

5. Остсемин A.A. Математическая модель НДС цилиндрической оболочки с осевым трехмерным дефектом / A.A. Остсемин, П.Б. Уткин // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2008. -Вып.2. - №27(127). - С. 71-77.

6. Остсемин A.A. Упруго-пластическое разрушение труб с поверхностной трещиной / A.A. Остсемин, П.Б. Уткин // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2006. - Вып.7. -№7(84). - С. 130-136.

/

7. Остсемин, A.A. К вопросу о предельном равновесии пластин с трещиноподобными дефектами / A.A. Остсемин, П.Б. Уткин // Изв. Челяб. научного центра. - 2006. - №4(34). - С. 1-6.

8. Остсемин A.A. Нормы отбраковки осевых поверхностных трещиноподобных дефектов магистральных газонефтепроводов / A.A. Остсемин, П.Б. Уткин // Материалы конференции "Проблемы и методы обеспечения надежности и безопасности систем транспорта нефти, нефтепродуктов и газа.": тез. докл. - Уфа, 2006. - С. 69-71.

9. Остсемин A.A. Вязкое разрушение трубопроводов с поверхностной трещиной / A.A. Остсемин, П.Б. Уткин // Материалы конференции "Проблемы и методы обеспечения надежности и безопасности систем транспорта нефти, нефтепродуктов и газа.": тез. докл. - Уфа, 2006. - С. 77-78.

10.Остсемин A.A. Деформационный критерий разрушения сварных соединений с трещиноподобными дефектами / A.A. Остсемин, П.Б. Уткин // Материалы конференции "Проблемы и методы обеспечения надежности и безопасности систем транспорта нефти, нефтепродуктов и газа.": тез. докл. - Уфа, 2006. - С. 383-385.

11.Остсемин A.A., Уткин П.Б. Применение критериев упруго-пластической механики разрушения при оценке свойств сварных соединений // Тезисы докладов научно-практической конференции "Прочность и долговечность сварных конструкций в тепловой и атомной энергетике", ЦНИИ КМ "Прометей", Санкт-Петербург, 25-27 сент., 2007г. - СПб., 2007. - С. 58.

12.Уткин П.Б. Напряженное состояние и коэффициенты интенсивности напряжения пластины с наклонным эллиптическим вырезом // Наука ЮУрГУ, материалы 60-й юбилейной научной конференции. - 2008. -Т.2.-С. 155-158.

Подписано в печать 05.02.2010. Формат 60*84 1/16 Бумага для множительных аппаратов. Печать на ризографе. Усл. печ. л. 1,1. Уч-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 54.

Отпечатано в ЗАО «Полисервис». Лицензия № 120851, per. № ФМЦ-74000903 от 30.07.01. 454008 г. Челябинск, Комсомольский пр., 2, оф. 203

Глава 1,Обзор математических моделей плоских задач с трещинами.

1.1. Введение.

1.2. Тензор напряжений в разных моделях.

1.3. Коэффициенты интенсивности напряжений.

1.4. Критерии разрушения.

1.5. Моделирование поверхностных дефектов.

1.6. Усталостное разрушение.

1.7. Цель и задачи.

Глава 2. Математическая модель бесконечной пластины с центральным эллиптическим вырезом, нагруженной на бесконечности.

2.1. Метод описания.

2.2. Тензор напряжений.

2.3. Коэффициенты интенсивности напряжений.

2.4. Приближенные формулы для тензора напряжений. Центральный дефект.

2.5. Перемещения для центральных эллиптических дефектов при двухосном нагружении.

2.6. Напряженное состояние в полярных координатах.

2.7. Максимальное касательное напряжение и главные напряжения для центрального эллиптического дефекта при двухосном нагружении.

2.8. Определение коэффициента интенсивности напряжений для центрального трещиноподобного дефекта методом голографической интерферометрии.

2.9. НДС для коррозионно-притупленной трещины и сварные дефекты.

Глава 3. Математическая модель бесконечной пластины с наклонным эллиптическим вырезом, нагруженной на бесконечности

3.1. Приближенные формулы для тензора напряжений.

3.2. Тензор напряжений в полярных координатах.

3.3. Перемещения.

3.4. НДС для коррозионно-притупленной трещины и сварные дефекты.

3.5. Максимальное касательное напряжение и главные напряжения.

3.6. Интенсивность напряжений при плоско-напряженном состоянии.

3.7. Экспериментальный метод определения Kj , Кц - голографическая интерферометрия.

3.8. Влияние внутренних технологических сварочных дефектов на концентрацию напряжений сосудов давления.

3.9. Точные формулы для тензора напряжений.

3.10. Напряжения для эллиптического отверстия при двухосном нагружении пластины.

3.11. Экспериментальное определение коэффициентов интенсивности напряжения К1 , Кц для наклонного эллиптического выреза методом голографической интерферометрии.

Глава 4. Математическая модель напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с осевым поверхностным трехмерным дефектом.

4.1. Математическая модель поверхностного дефекта.

4.2. Сопоставление теоретических формул и экспериментальных результатов.

4.3. Практическое применение полученных результатов.

4.4. Выводы.

Глава 5. Исследование математической модели роста усталостных трещин в упрочняющихся упругопластических материалах.

5.1. Математическая модель трещины в упрочняющихся упругопластических материалах.

5.2. Модель роста трещины.

В структуре реальных тел всегда имеются различные дефекты, влияющие на их прочность и сопротивляемость нагрузкам. Некоторые из этих дефектов, такие, как прямолинейные или криволинейные узкие щели-трещины , отверстия с угловыми точками возврата на контуре, трещины выходящие на контур отверстий можно рассматривать как остроконечные концентраторы типа трещин. Но существует целый класс коррозионно-притупленных дефекты - каверны, питтинги, и технологических сварочных дефектов (непровар, несплавление, надрез, кратер), не попадающих в данную категорию. Для них необходимо учитывать радиус кривизны дефекта в его вершине. Попытка внести влияние такой кривизны в ранее существующие модели предпринята в данной работе.

В процессе деформации твердого тела, ослабленного остроконечными концентраторами типа трещин, в окрестности его вершины возникает высокая интенсивность напряжений, что способствует пластическому течению материала или распространению трещины, хотя при этом действующие на тело напряжения ниже предела технической прочности материала. То же, хотя и в меньшей степени, применимо к дефектам с малым радиусом кривизны в вершине дефекта. Поэтому изучение подобных явлений и выявление предельных нагрузок, ведущих к разрушению или распространению трещин, представляет как научный, так и практический интерес. Так в общем случае процесс хрупкого разрушения принято делить на три стадии. На первой стадии происходит зарождение микроскопических трещин, вторая стадия состоит в подрастании этих трещин до критических размеров, и, наконец, на третьей стадии происходит полное разрушение конструкции. Первые стадии могут при этом полностью отсутствовать, в зависимости от различных причин возникновения трещин, но окончательный акт хрупкого разрушения всегда связан с катастрофическим ростом трещин.

Процесс хрупкого разрушения не является чисто теоретической абстракцией, подобное разрушение в результате спонтанного распространения трещины часто наблюдается в инженерной практике (мосты, корабли, трубопроводы, экскаваторы и др.), при применении высокопрочных и малопластичных материалов, а также при использовании пластичных в обычной практике сталей при низких температурах, воздействия некоторых поверхностно-активных сред, приводящих к охрупчиванию материала.

Исследования по теории распространения трещин в деформируемом твердом теле в рамках механики сплошных сред представляют собой дальнейшее развитие проблемы концентрации напряжений в деформируемом твердом теле с t I особым видом концентратора напряжений - трещиной. Данная область механики разрушения, теория трещин, возникла очень давно. Основы данной теории заложены еще в известных работах А.А. Гриффитса. Используя решение задачи об упругом равновесии бесконечной пластины с эллиптическим отверстием (впервые решенной Г.В. Колосовым и С.Е. Инглисом)и исходя из энергетических соображений, он сформулировал и решил задачу о величине предельной (разрушающей) нагрузки для бесконечной пластины с прямолинейной трещиной заданной длины, подвергнутой растяжению однородным полем напряжений направленным перпендикулярно плоскости трещины (задача Гриффитса).

После работ Гриффитса появились работы других исследователей в данной области. Выделить можно работы Г.Р. Ирвина и Е.О. Орована, как важную веху в истории развития задачи. Они высказали идею о том, что при анализе квазихрупкого разрушения можно использовать формулы, полученные для хрупкого разрушения, если принять в расчет эффективную поверхностную энергию трещины, как сумму истинной поверхностной энергии материала и энергии затрачиваемой на пластическое деформирование материала в приповерхностном слое трещины. Также в работах Ирвина высказано предположение о том, что распространение трещины в хрупком или квазихрупком теле связано с коэффициентом интенсивности упругих напряжений. То есть распространение трещины наступает при достижении последним определенной критической величины , (которая является характеристикой материала), и КИН может служить характеристикой прочностных свойств материала. Таюке он заметил, что напряжения в окрестности концов трещины представимы в виде к/4г + 0(1), г —> 0, где г есть расстояние от конца трещины.

Свое дальнейшее развитие теория трещин получила в частности в работах С.А. Христиановича, Г.И. Баренблатта, М.Я. Леонова, В.И. Моссаковского, Г.П. Черепанова [114,116], Б.Д. Аннина [3], А.Е. Андрейкива [2], Р.В Гольдштейна [13], А.Н. Гузя [15,16], В.А. Вайнштока, В.М. Мирсалимова [53], В.А. Винокурова [7, 104], А.А. Каминского [27-33], JI.M. Качанова [35], JI.A. Копельмана [37], С.А. Куркина, А.А. Лебедева [36,52,88], В.И. Махненко [48], Н.А. Махутова [49,50], Б.З. Марголина [34], Е.М. Морозова [44,54,87] , Н.Ф. Морозова [55], В.М. Ентова, Л.Т. Бережницкого [83] , К.Ф. Черных [117], В.В. Новожилова [58], Д.Д. Ивлева [22], А.Ю. Ишлинского [25], Л.И. Слепяна [108], Г.Н. Савина [101], С.В. Серенсена [94], М.П. Саврука [102,120,121], А .Я. Красовского [39-43], В.Т. Трощенко' [93,112], Г.С. Писаренко . [88-90], В.В. Панасюка [51,81-84], В.З. Партона [86,87], В.А. Осадчука [60,61], В.Н. Шлянникова [118], И.А. Разумовского [97,98] и других исследователей [10,17,21-25,47,92,99,105,109]. Из зарубежных исследователей можно отметить Е. Фолиаса [135], Г. Си [137-139], Дж. Райса [96 т.2], Леви, Т. Екобори [19-20], П. Теокариса [140,141], Дж. Эфтиса [126-130], Г. Либовица [126-127,129-130], М. Вильямса [142], П. Пэриса [85], Ф. Эрдогана [131,132], М. Ратвани [131,132], Г. Плювинажа [91], Ф. Даффи , Дж. Ф. Нотта [59] и других ученых [106,124,136].

Следует отметить еще несколько идей, лежащих в основе рассматриваемой теории трещин. Существует требование к размеру трещины, как существенно большему, чем размер наибольшего структурного элемента материала, что позволяет использовать для решения задачи механику сплошной среды. Но подобное предположение приводит к небольшим трудностям уже на начальном этапе рассмотрения задачи. Компоненты напряжений растут как к/4г при приближении к вершине трещины, что приводит к их неограниченности. Данный эффект несколько смягчается при замене линейного разреза на эллиптический дефект, что приводит к другой асимптотике роста, а именно м/+ АгД/r ,г -» 0. Казалось бы, это должно существенно менять поведение тензора напряжений, но старшее слагаемое компенсируется малым коэффициентом, и при выходе на контур дефекта слагаемые ведут себя примерно одинаково. Тем не менее, при малых радиусах кривизны дефекта, величина напряжений около контура отверстия становится очень большой, хотя уже и не бесконечной. Этот эффект есть результат применяемой теории. Данный парадокс не приводит к полному отказу от линейной механики разрушения, если считать, что размеры зоны около концов трещины, в которых происходит нарушение законов линейной теории упругости, весьма малы.

Для макроскопических трещин в пластичном материале хорошо описывающей экспериментальные результаты оказалась модель Леонова-Панасюка-Дагдейла, заменяющая пластическую зону около конца трещины линейным отрезком, продолжающим трещину на некоторое расстояние. Исследования, проведенные методом конечных элементов (МКЭ) показали, что с увеличением числа элементов пластическая зона суживается, и можно предположить, что при стремлении числа элементов к бесконечности (что соответствует переходу к точному решению) пластическая зона действительно вырождается в отрезок.

1.2 Тензор напряжений. Перейдем к математическому описанию задачи. Большие математические трудности, возникающие при решении общих задач теории упругости, привели к необходимости их формулировки и решения для частных классов задач. Рассматриваемые в этой работе задачи относятся к классу «плоских задач теории упругости». Существует несколько способов решения плоских задач теории упругости, которые сводятся к решению системы уравнений для компонент тензора напряжений при заданных граничных условиях.

Один из первых способов дает представление тензора напряжений через бигармоническую функцию, называемую функцией Эри, введенную в 1862 году английским астрономом Эри [56]: д2и д2и д2и ААтт л ст =-, с =-, т =--, ДА с/ = 0 х Эу2 У дх2 ХУ дхду

Любая бигармоническая функция представима через аналитические функции комплексного переменного. В частности, Э. Гурса (1898г.) предложил следующее представление бигармонической функции U(x,y) через пару аналитических функций (р,х '• и = -(г(р+гф+х + Х\2 = х + 1У-2

Подобное представление лежит в основе метода решения задач плоской теории упругости, развитого Г.В. Колосовым и Н.И. Мусхелишвили. Согласно' данному методу [26,32,38,56,116] решение задачи описывается парой комплексных потенциалов с помощью соотношений сгх+о-у= 4Re(0>(z)), ¥(z) = z'(z) ту-ах + 2 irxy = 2 (zO'(z)+T(z)> Ф (z) = cp'(z), ¥(z) = W\z)

2ju(u + iv) = K(p{z) — z(p'(z) — t//(z).

Здесь /л,Л - постоянные упругости Лямэ, к - (Л + Ъ/л)/(Л + //) = 3 -4v для плоской деформации, к = (3 — v) /(1 + v) для плоского напряженного состояния, v -коэффициент Пуассона.

В некоторых зарубежных статьях [126-130]* используется другое представлениеo-y-iTxy=<S>(z) + n(z) + (z-z)<I>Xzy

2 ju{u + iv) = K(p{z) - co{z) - (z - z)O(z) 0

Пары потенциалов 0(z),vF(z): и< cp(z)jQ(z) описывают напряженно-деформированное состояние полностью и могут быть выражены друг через друга.

Некоторые частные случаи имеют особое значение [87]. Так, если положить соотношение1 Ф(г) = Z^ (z) / 2, ^(z) = —zZ[ (z) / 2 и при этом взять в качестве я( z) функции Z1(z) = —. —, то можно получить при выборе различных

J(z-a)(z-b) функций g(z) решение для' линейной трещины, расположенной на отрезке (а,Ь). Данное решение получено'Вестергардом.

Так, если g(z) = pz, a = -l,b = l, то из предыдущего следует решение длятрещины, расположенной на вещественной оси (-/,/), подверженной нормальному напряжению р на бесконечности.

Напряженное состояние около кончика трещины можно разложить в три разных частных вида деформации. Первый вид связан с отрывным смещением, при котором поверхности трещины прямо расходятся одна от другой (/). Второй вид деформации представляет из себя скольжение одной поверхности трещины по другой вдоль линии трещины (II) . И третий вид связан с антиплоской деформацией, при которой одна поверхность скользит по другой параллельно направляющему фронту трещины (III).

В окрестности вершины трещины- z = b можно рассматривать функцию

Zj(z) в виде Z1(<^r) = = При стремлении можно заменить на постоянную величину, ^ll^^o =Kf / л]2п<^ откуда получаем

Таким образом Kj есть коэффициент при особенности у потенциала в кончике трещины. Для эллиптического отверстия особенность перемещается внутрь дефекта, а именно в полюс эллипса, и приходится рассматривать предел в другой точке. Для линейного случая, после перехода к полярным координатам, связанным с вершиной и линией трещины, приходим к известным формулам [82], описывающим напряженное состояние у вершины трещины в виде

К1 в <JX - cos —

V2 7ir 2 . в . Ъв\ 1-sin—sin— 2 2 cr e( cosяг 2 л

CTz=v(ax+a ) . в . ъвЛ l+sin—sin— 2 2

1.1)

Kj . в в „в Л , 1 sm—cos—cos3—= тл„ =0. xy xz yz inr 2 2 2 Перемещения в окрестности кончика трещины получаются в виде г в и = —-j—- cos— ц \2п 2 l-2v+sin2 г . в — sin— /л V 2п 2 l-2v+sin2-2

1.2)

Аналогичные вычисления для второго вида деформации при

O(z) = -—z'Z2(z),xiJ(z) = — izZ'2(z) + iZ2 (z) дают следующие формулы 2 2 К ах =

II

Kit - lim Z>)-J2nE

->o 2Л/ . в ъвЛ

2+cos—cos— v У в

-sm— л/2nr 2

Kir . в 0 sm—cos—cos3— mr 2 2 2

V2 л:

V2

У* cos— яг 2 и с

Л . в . Ъв 1-sin—sin— 2 2 v=0

1.3) г . в(п -— sin— 2-2v+cos — 2л- 21 2 2 cos—I 2v-l+sin — ,w=0.

Для третьего вида деформации требуется несколько иной подход. Полученные формулы имеют вид

К, ax=ay=crz=Txy=0>Txz =■

411 Ж в Кш в sin—= , cos—

2 2 w=

III М

I Г . в — sm—,v=w=0. 2тг 2

Ранее Кригером и Парисом были получены формулы для тензора напряжения, учитывающие радиус кривизны дефекта [123]. Для первого типа деформации 7 X

4i в cos—

7ГГ 2 V of гл . в . ъвЛ

1-sin—sm— 2 2

К, р Ъв cos— 2

К, а у = , cos— л/ 2 яг ЯГ . в . Ъв' 1+sm— sin— 2 2 л/2 Ж 2 г

I к' р л/2 Ж 2 г cos

3£

1.4) л/2 • 0 sm—cos—cos яг 0 2

36» я:7 р . ъв

---—sin — =rv

2 4Ътг 2r 2 xz ^

0.

Для второго вида деформации

К и . в . sin —

V2 ж 2

Кп . в в .в — ■■ sin—cos—cos 3 -2

- в Ъв 2+cos—cos— 2 2 К п р . Ъв sin

4btr 2 г 2

7ГГ

Ки р . Ъв . —sin— л/2лг 2г 2

1.5) г = я г cos-яг 2 . # . ЗбЛ К 1-sin—sin— —=

2 2) Л и р Ъв — cos—,т ж 2г 2 xz

Для третьего вида деформации тензор не меняется.

В [126-130] встречается еще один вариант тензора напряжений, отличающийся от приведенных формул. Связано это с тем, что данные решения учитывают только сингулярную часть решения. В некоторых случаях подобной точности не хватает. В частности, для учета эффекта двухосности нагружения сингулярного решения недостаточно, эти формулы не учитывают горизонтальную нагрузку на бесконечности. В связи с этим Либовицем и Эфтисом было получено решение, учитывающее постоянные регулярные слагаемые [128,129], в отечественной литературе данное решение используется в [8,9]

Кг в ■■■■ ' cos — л/2 яг 2 лг7 в

7 »-=£= cos-^ л/2яг 2 гл . в . звл l-sm—sin— v 2 2У

О . Звл 1+sm—sm— 2 2 • О sm— л/2 яг 2 $ Зв

2+cos—cos— | + cr(l — A:) cos 2<эг 2 2 п j к, . в в пв к sin—cos — cos3 в в Зв ,-- sm—cos—cos— л/2яг 2 2 2

6>Л . 0 . 30 l-sm—sin— 2 2

1.6) и

--cos— л/2яг 2

Л& 2 2 2 здесь <т - первое главное напряжение на бесконечности, к - коэффициент двухосности, равный отношению главных напряжении, а первого главного напряжения к оси трещины.

Перемещения с поправкой на регулярные слагаемые равны Vl)+sin^ К,,Г7 ■ 0(1 2 2 угол наклона оси К и г в — cos— JU \2тг 2 л—sin— fi\2 тг 2

-(/r+l)+cos2^ К и,

--— {г(соъ{в+2а)+к cos(#-2a)-2sin 0sin 2а)+(к+\)а cos 2а)

8 /л

О, 2в\ ки ГУ в

-+l)-cos — + ——J—cos— 2 2) м V2п 2 г . в —sin — JU\27T 2 V l-<)+sin2|

1.7) --— {f'{sm(2a-9)+Ksm{e+2a)-2sm6cos2a^+{K-\-\)a sin 2a).

8ju

Максимальное касательное напряжение с поправкой на регулярные слагаемые равно г 2 « ^L sin2 в + (4 - 3 sin2 в) + KlKn sin в cos в- сг(1 - k) cos 2а х

V У <1 ГУ* V / J J 1/«

1.8) „ . 30 Ктт ( . п Зв п . вЛ (t(l-£)cos2tf J—sin 0 sin--i--т==\ sm0cos--h2sin------

2л/2лг 2 24Ъгг\ 2 2) 4

Для определения угла страгивания трещины согласно критерию максимума окружных напряжений необходимо решить смешанную систему уравнений и неравенств [83,128]

ЭсГдд X с am „ >05 дв

0, д2о-в9 в=в0 дв' 0

1.9) в=в0 компонента авв тензора напряжении в полярных координатах с поправкой на регулярные слагаемые равна [128]

Сев

-1/2 с кп л/Ztt 4 Г», =

- . 0 , . 30

-3sm—3sm— 2 2 А

3cos—bcos— 2 2 4C2sin20

К,

1.10)

С 2 =cr(l-k)cos2a.

1 ~ л/2 яг

Решение системы (1.9) для сг^ по формуле (1.10) возможно численными методами [128].

Все описанные выше формулы получены как частный случай формул, полученных в данной работе.

Приведенные формулы и их возможные обобщения составляют лишь часть необходимых теоретических предположений для оценки прочности конструкций.

Заключение

На защиту выносятся следующие новые научные результаты.

1. Построена математическая модель НДС пластины с центральным эллиптическим отверстием при двухосном нагружении. Получены приближенные формулы для тензора напряжений и перемещений около вершины отверстия, которые в частном случае превращаются в ранее известные формулы для линейной трещины. В компонентах тензора напряжений появилось новое слагаемое, меняющее асимптотику поведения компонент тензора напряжений и значений перемещений.

2. Получены точные и приближенные аналитические формулы для тензора напряжений и перемещений около вершины отверстия для задачи о двухосном нагружении пластины с наклонным эллиптическим отверстием, которые обобщают формулы для линейной трещины.

3. Предложен метод определения разрушающего кольцевого напряжения при вязком разрушении цилиндрической оболочки с продольным поверхностным эллиптическим дефектом на основе деформационного критерия (раскрытия трещины). Показано хорошее соответствие аналитических формул и экспериментальных гидравлических испытаний, полученных иностранными и российскими ученых. Погрешность составила не более 6%.

Результаты диссертации докладывались на научных конференциях: "Проблемы и методы обеспечение надежности и безопасности систем транспорта нефти, нефтепродуктов и газа." г. Уфа, 2006, 2007 года; 5961-й научные конференции ЮУрГУ 2007-2009 г. и научно-практической конференции "Прочность и долговечность сварных конструкций в тепловой и атомной энергетике", ЦНИИ КМ "Прометей", Санкт-Петербург. - 25-27 сентября, 2007г; на научном семинаре по функциональному анализу ЮУрГУ, на научном семинаре по вычислительной математике ЮУрГУ, на научном семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ.

Возможные дальнейшие пути развития:

1. Усложнение рассматриваемых моделей, для приближения к реальной ситуации, в частности учет влияния изгибающих моментов в задаче о разрушении цилиндрической оболочки с поверхностным эллиптическим дефектом.

2. Применение полученных формул совместно с критерием Писаренко-Лебедева для решения новой задачи разрушения пластины с эллиптическим дефектом.

3. Построение новой математической модели пластины с эллиптическим дефектом под действием сдвигового напряжения.

1. Александров А .Я. Поляризационно-оптические методы механики деформируемого тела /А.Я. Александров, М.Х. Ахметзянов. М: Наука, 1973.576 с.

2. Андрейкив А.Е. Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии/ А.Е. Андрейкив. Киев: Наук. Думка, 1979. 144 с.

3. Аннин Б.Д. Упруго-пластическая задача / Б.Д. Аннин, Г.П. Черепанов. Новосибирск: Наука, 1983. 238 с.

4. Белокур И.П. О критериях оценки дефектов сварных соединений / И.П. Белокур, В.В. Панасюк, Е.В. Буйна // Автомат, сварка. 1975. №5. С. 3033.

5. Броек Д. Основы механики разрушения / Д. Броек. М.: Высш. шк., 1980. 368 с.

6. Васютин А.Н. О критериях прочности материала при наличии коротких трещин / А.Н. Васютин // Физико-хим. механика материалов. 1988. №3. С. 68-74.

7. Винокуров В.А. Использование положений механики разрушения для оценки свойств сварных соединений / В.А. Винокуров // Свароч. пр-во. 1977. №5. С. 2-4.

8. Востров В.К. Разрушение хрупких тел в неоднородном поле деформаций / В.К. Востров // Механика твердого тела. 1985. № 6. С. 852-860.

9. Востров В.К. Разрушение хрупких тел с плоскими внутренними и краевыми трещинами / В.К. Востров // Приклад, математика и механика. 1983. Т. 47,вып. 5. С. 852-860.

10. Ю.Вычислительные методы в механике разрушения: пер. с англ. / под ред. Алтури С. М.: Мир, 1990. 392 с.

11. П.Галатенко Г.В. К упругопластической модели трещины нормального отрыва при плоской деформации / Г.В. Галатенко // Приклад, механика. 1992. Т. 28, №9. С. 35-41.

12. Галатенко Г.В. Исследование роста усталостных трещин в материалах с упрочнением при ползучести / Г.В. Галатенко, А.А. Каминский // Приклад, механика. 1985. Т. 21, №4. С. 50-57.

13. Гольдштейн Р.В. Качественные методы в механике сплошных сред / Р.В. Гольдштейн, В.М. Ентов. М.: Наука, 1989. 223 с. •

14. Греков М.А. О пластических зонах у вершин трещин при плоской деформации / М.А. Греков // Физико-хим.я механика материалов. 1978. № 5. С. 75-82.

15. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями / А.Н. Гузь. Киев: Наук. Думка, 1983. 296 с.

16. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями / А.Н. Гузь. Киев: Наук. Думка, 1991. 288 с.

17. Дегтярев В.П. Деформации и разрушения в высоконапряженных конструкциях/В.П. Дегтярев. М.: Машиностроение, 1987. 103 с.

18. Дегтярев В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций / В.П. Дегтярев. М. : Машиностроение, 1967. 132 с.

19. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов / Т. Екобори. Киев: Наук. Думка, 1978. 351 с.

20. Екобори Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел / Т. Екобори. М. : Металлургия, 1971. 264 с.

21. Иванова B.C. Синергетика. Прочность и разрушение металлических материалов / B.C. Иванова. М.: Наука, 1992. 166 с.

22. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения / Д.Д. Ивлев // Приклад, механика и техн. физика. 1967. № 6. С. 88-128.

23. Ильюшин А.А. Пластичность /А.А. Ильюшин. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

24. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общематематической теории / А.А. Ильюшин. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

25. Ишлинский А.Ю. Сопоставление двух моделей развития трещин в твердом теле / А.Ю. Ишлинский // Механика твердого тела. 1968. № 6. С. 168-177.

26. Каландия А.Н. Математические методы двумерной упругости /А.Н. Каландия. М.: Наука, 1973. 304 с.

27. Каминский А.А. Механика разрушения вязкоупругих тел / А.А. Каминский. Киев: Наук. Думка, 1980. 160 с.

28. Каминский А.А. Разрушение вязко-упругих тел с трещинами. Неклассические проблемы механики разрушения. Т.1. / А.А. Каминский. Киев: Наук. Думка, 1990. 310 с.

29. Каминский А.А. Хрупкое разрушение вблизи отверстий / А.А. Каминский. Киев: Ин-т механики АН УССР, 1982. 158 с.

30. Каминский А.А. Деформационное упрочнение и разрушение металлов при переменных процессах нагружения / А.А. Каминский, В.Н. Бастуй. Киев: Наук. Думка, 1985. 167 с.

31. Каминский А.А. Закономерности упругопластического деформирования и разрушения упрочняющихся изотропных металлов при сложном напряженном состоянии / А.А. Каминский, В.Н. Бастуй //Приклад, механика. 1993. Т. 29, № 3. С. 3-23.

32. Каминский А.А. Исследование роста усталостных трещин в материалах с упрочнением / А.А. Каминский, Г.В. Галатенко // Приклад, механика. 1984. Т. 20, №4. С. 54-60.

33. Карзов Г.П. Физико-механическое моделирование процессов разрушения / Г.П. Карзов, Б.З. Марголин, В.А. Швецова. СПб.: Политехника, 1993. 391 с.

34. Качанов JI.M. Основы механики разрушения /Л.М. Качанов М.: Наука, 1974. 311 с.

35. Ковальчук Б.И. Механика неупругого деформирования материалов и элементов конструкций / Б.И. Ковальчук, А.А. Лебедев, С.Э. Уманский. Киев: Наук. Думка, 1987. 278 с.

36. Копельман Л. А. Сопротивляемость сварных узлов хрупкому разрушению / Л.А. Копельман. Л.: Машиностроение, 1978. 232 с.

37. Космодамианский А.С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами / А.С. Космодамианский. Киев: Вища шк., 1975. 228 с.

38. Красовский А.Я. Физические основы прочности / А.Я. Красовский. Киев: Наук. Думка, 1977. 140 с.

39. Красовский А.Я. Хрупкость металлов при низких температурах / А.Я. Красовский. Киев: Наук. Думка, 1980. 337 с.

40. Красовский А.Я. Прогнозирование зависимости вязкости разрушения от температуры и скорости нагружения при хрупком разрушении металлов / А.Я. Красовский, В.А. Вайншток // Проблемы прочности. 1977. №8. С. 58-64.

41. Красовский А.Я. Трещиностойкость сталей магистральных трубопроводов / А.Я. Красовский, В.Н. Красико. Киев: Наук. Думка, 1990. 171 с.

42. Красовский А.Я. Вязкое разрушение цилиндрических тел с аксиальными трещинами, нагруженных внутренним давлением / А.Я. Красовский, И.В. Орыняк, В.М. Тороп // Проблемы прочности. 1990. №2. С. 16-20.

43. Левин В.А., Избранные нелинейные задачи механики разрушения / В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко. М.:Физматлит, 2004. 408 с.

44. Макаров И.И. Методика расчета коэффициента концентрации напряжений в сварных стыковых швах / И.И. Макаров // Свароч. пр-во. 1977. №4. С. 5-7.

45. Макклинток Ф. Деформация и разрушение материалов / Ф. Макклинток, А. Аргон. М.: Мир, 1970. 443 с.

46. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. М.: Машиностроение, 1975. 399 с.

47. Махненко В.И. Ресурс безопасной эксплуатации сварных соединений и узлов современных конструкций / В.И. Махненко. Киев: Наук. Думка, 2006. 613 с.

48. Махутов Н.А. Ресурс безопасной эксплуатации сосудов и трубопроводов / Н.А. Махутов, В.В. Пермяков. Новосибирск: Наука, 2005. 516 с.

49. Махутов Н.А. Сопротивление сварных узлов хрупкому разрушению / Н.А. Махутов. Л.: Машиностроение, 1981. 232 с.

50. Механика разрушения и прочность материалов: справ, пособие: в 4 т. / под ред. Панасюка В.В. Киев: Наук. Думка, 1988. 4 т.

51. Механические свойства конструкционных материалов при сложном напряженном состоянии: справ. / Лебедев А.А., Ковальчук Б.И., Гигиняк Ф.Ф., Ламашевский В.П. Киев: Наук. Думка, 1983. 366 с.

52. Мирсалимов В.М. Разрушение упругих и упругопластических тел с трещинами/В.М. Мирсалимов. Баку: Элм, 1984. 222 с.

53. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е.М. Морозов, Г.П. Никишков. М.: Наука, 1980. 254 с.

54. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин / Н.Ф. Морозов. М.: Наука, 1984. 255 с.

55. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. 708 с.

56. Навроцкий Д.И. Расчет сварных конструкций с учетом концентрации напряжений / Д.И. Навроцкий. Л.: Машиностроение, 1968. 170 с.

57. Новожилов В.В. Микронапряжения в конструкционных материалах /

58. B.В. Новожилов, Ю.И. Кадашевич. Л.: Машиностроение, 1990. 223 с.

59. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения / Дж.Ф. Нотт. М.: Металлургия, 1978. 256 с.бО.Осадчук В.А. Напряженно-деформированное состояние и предельное равновесие оболочек с разрезами / В.А. Осадчук. Киев: Наук. Думка, 1985.221 с.

60. Остсемин А.А. Сопротивление развитию трещин и механические свойства труб большого диаметра и оболочек / А.А. Остсемин // Вестн. машиностроения. 2003. №10. С. 13-19.

61. Остсемин А.А. Температурные зависимости механических свойств сварных соединений и основного металла труб большого диаметра при динамическом нагружении /А.А. Остсемин // Завод, лаб. 2002. №7. С. 46-50.

62. Остсемин А.А. Определение коэффициента интенсивности напряжений методами фотоупругого моделирования / А.А. Остсемин,

63. C.А. Денискин, Л.Л. Ситников // Проблемы прочности. 1990. № 1. С. 33-37.

64. B.Л. Дильман // Хим. и нефтегазовое машиностроение. 2003. №5. С. 10-14.

65. Остсемин А.А. Прочность нефтепровода с поверхностными дефектами / А.А. Остсемин, В.Ю. Заварухин // Проблемы прочности. 1993. №12. С. 51-59.

66. Остсемин А.А. Упруго-пластическое разрушение труб с поверхностной трещиной / А.А. Остсемин, П.Б. Уткин // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика, физика, химия. 2006. Вып.7, №7(84). С. 130-136.

67. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения / В.В. Панасюк. Киев: Наук. Думка, 1991. 416 с.

68. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами / В.В. Панасюк. Киев: Наук. Думка, 1968. 246 с.

69. Панасюк В.В. О распространении произвольно ориентированной прямолинейной трещины при растяжении пластины / В.В. Панасюк, JI.T. Бережницкий, С.Е. Ковчик // Приклад, механика. 1965. Т. I, вып. 2. С. 48-55.

70. Панасюк В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках /В.В. Панасюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин. Киев: Наук. Думка, 1976. 443 с.

71. Парис П. Анализ напряженного состояния около трещин / П. Парис, Дж. Си // Прикладные вопросы вязкости разрушения. М., 1968. С. 64142.

72. Партон В.З. Динамика хрупкого разрушения / В.З. Партон, В.Г. Борисковский. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.

73. Партон В.З.Механика упругопластического разрушения /В.З. Партон, Е.Н. Морозов. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 352 с.

74. Писаренко Г.С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии / Г.С. Писаренко, А.А. Лебедев. Киев: Наук. Думка, 1976. 415 с.

75. Писаренко Г.С., Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести / Г.С. Писаренко, Н.С. Можаровский. Киев: Наук. Думка, 1981. 493 с.

76. Писаренко Г.С. Определение трещиностойкости материалов на основе энергетического контурного интеграла / Г.С. Писаренко, В.П. Науменко, Г.С. Волков. Киев: Наук. Думка, 1978. 124 с.

77. Плювинаж Г. Механика упруго-пластического разрушения / Г. Плювинаж. М.: Мир, 1993. 450 с.

78. Прикладные вопросы вязкости разрушения: пер. с англ. М.: Мир, 1968. 552 с.

79. Прочность материалов и конструкций / редкол.: Трощенко В.Т., Лебедев А.А., Красовский А.Я. и др. Киев: Академпериодика, 2005. 1088 с.

80. Прочность материалов и элементов конструкций при статическом нагружении: изб. работы: в 3 т. Т.1. / Серенсен С.В. Киев: Наук. Думка, 1983.256 с.

81. Прочность сварных соединений при переменных нагрузках / под ред. Труфякова В.И. Киев: Наук, думка. 1996 256 с.

82. Разрушение: в 7 т. / под ред. Г. Либовица. М.: Машиностроение, 1977. 7 т.

83. Разумовский И.А. Определение коэффициентов интенсивности напряжений К}, Ки и Кш поляризационно-оптическими методами в однородных и кусочно-однородных деталях и образцах с трещинами / И.А. Разумовский//Завод, лаб. 1988. № 10. С. 58-64.

84. Разумовский И.А. Интерференционно-оптические методы механики деформируемого твердого тела: учеб. пособие / И.А. Разумовский. М.: Изд-во МГТУ, 2007. 240 с.

85. Романив О.Н. Механика коррозионного разрушения конструкционных сплавов / О.Н. Романив, Г.Н. Никифорчин. М.: Металлургия, 1986. 294 с.

86. Ромвари П. Анализ закономерностей распространения усталостных трещин в металле / П. Ромвари, Л. Тот, Д. Надь // Проблемы прочности. 1980. № 12. С. 18-28.

87. Савин Г.Н. Развитие исследований по теории предельного равновесия хрупких тел с трещинами (обзор) / Г.Н. Савин, В.В. Панасюк // Приклад, механика. 1968. Т. IV, вып. 1. С. 3-24.

88. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами / М.П. Саврук. Киев: Наук. Думка, 1981. 324 с.

89. Сапунов В.Т. Прочность поврежденных трубопроводов. Течь и разрушение трубопроводов с трещинами / В.Т. Сапунов. М.: КомКнига, 2005. 192 с.

90. Сварные конструкции. Механика разрушения и критерии работоспособности / Винокуров В.А., Куркин С.А., Николаев Г.А., под ред. Патона Б.Е. М.: Машиностроение, 1996. 576 с.

91. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2 / Л.И. Седов. М.: Наука, 1976. 576 с.

92. Сиратори М. Вычислительная механика разрушения / М. Сиратори, Т. Миеси, X. Мауксита. М.: Мир, 1986. 334 с.

93. Ситников Л. Л. Определение коэффициента интенсивности напряжений Кх методом голографической фотоупругости / Л.Л. Ситников, А.А. Остсемин, С.А. Денискин // Завод, лаб. 1982. № 9. С. 81-83.

94. Слепян Л.М. Механика трещин / Л.М. Слепян. Л.: Судостроение, 1981.295 с.

95. Талыпов Г.Б. Пластичность и прочность стали при сложном нагружении / Г.Б. Талыпов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1968. 134 с.

96. Технология электрической сварки металлов и сплавов плавлением/ под ред. Патона Б.Е. М.: Машиностроение, 1974. 768 с.

97. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука, 1975. 576 с.

98. Трощенко В.Т. Трещиностойкость металлов при циклических нагружениях / В.Т. Трощенко, В.Т. Покровский, А.В. Прокопенко. Киев: Наук. Думка, 1987. 256 с.

99. Уткин П.Б. Напряженное состояние и коэффициенты интенсивности напряжения пластины с наклонным эллиптическим вырезом / П.Б. Уткин // Наука ЮУрГУ: материалы 60-й юбилейной науч. конф. 2008. Т. 2. С. 155-158.

100. Халманов X. Анализ экспериментальных данных по развитию усталостных трещин / X. Халманов, Г.П. Черепанов // Приклад, механика и техн. физика. 1970. № 5. С. 129-132.

101. Хан Г. Критерии распространения трещин в цилиндрических сосудах давления Г.Хан, М. Саррат, А. Розенфельд // Новые методы оценки сопротивления материалов хрупкому разрушению. М., 1972. С. 272-300.

102. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов. М.: Наука, 1974. 640 с.

103. Черных К.Ф. Нелинейная упругость(теория и приложения) / К.Ф. Черных. СПб.: Соль, 2004. 420 с.

104. Шлянников В.Н. Смешанные моды развития трещин при сложном напряженном состоянии (обзор) // Завод, лаб. 1990. Т.56, №6.1. C.77-90.

105. Ярема С.Я., Иваницкая Г.С. Предельное равновесие и развитие косых трещин. Обзор критериев / С.Я. Ярема, Г.С. Иваницкая // Физико-хим. механика материалов. 1986. № 1. С. 45-56.

106. Ярема С.Я. Влияние кривизны на напряженное состояние оболочки с трещиной / С.Я. Ярема, М.П. Саврук // Прикладная механика. 1970. Т. VI, №. 11. С. 32-40.

107. Ярема С.Я. Напряжения в цилиндрической оболочке с произвольно ориентированной трещиной / С.Я. Ярема, М.П. Саврук // Физико-хим. механика материалов. 1969. Т. 5, №. 3. С. 328-337.

108. Chrysakis А.С. A new criterion of mixed-mode crack propagation based on the maximization of principal stress / A.C. Chrysakis // Engineering Fract. Mech. 1986. Vol. 24, № 3. P. 361-369.

109. Creager M. Elastic field equations for blunt cracks with reference to stress corrosion cracking / M. Creager, P. Paris // Int. J. of Fracture Mechanics. 1967. Vol.4, №3. P. 247-252.

110. Doyle J.F. Error analysis of photoelasticity in fracture mechanics / J.F. Doyle, S. Kamle, J. Takezaku // Experim. Mech. 1981. Vol. 21, № 11. P. 429-435.

111. Dufresne J. Failure criteria of part-through crack in thin walls for elasto-plastic materials sensitive to strain hardening / J. Dufresne // Intern. J. Fract. Vol. 12, № 2. P. 201-215.

112. Eftis J. Load biaxiality and fracture: synthesis and summary / J. Eftis,

113. D.L. Jones, H. Liebowitz // Engineering Fract. Mech. 1990. Vol. 36, № 4. P. 537-574.

114. Eftis J. On the modified Westergaard equations for certain plane crack problems / J. Eftis, H. Liebowitz // Intern. J. Fract. Mech. 1972. Vol. 8, № 4. P. 383-392.

115. Eftis J. The inclined crack under biaxial load / J. Eftis, N. Subramonian // Engineering Fract. Mech. 1978. Vol. 10. P. 43-67.

116. Eftis J. Biaxial load effects on the crack border elastic strain energy and strain energy rate / J. Eftis, N. Subramonian, H. Liebowitz // Engineering Fract. Mech. 1977. Vol. 9. P. 753-764.

117. Eftis J. Crack border stress and displacement equations revisited / J. Eftis, N. Subramonian, H. Liebowitz // Engineering Fract. Mech. 1977. Vol. 9, № l.P. 189-210.

118. Erdogan F. Fracture initiation in a cylindrical shell containing an initial surface flow / F. Erdogan, M. Ratwani // Nuclear Engineering and Design. 1974. Vol. 27. P. 14-29.

119. Erdogan F. Plasticity and the crack opening displacement in shells / F. Erdogan, M. Ratwani // Intern. J. Fract. Mech. 1972. Vol. 8, № 4. P. 413426.

120. Etheridge J.M. A critical review of methods for determining stress-intensity factors from isochromatic fringes /J.M. Etheridge, J.W. Dalley // Experimental mechanics. 1977. Vol. 17, №.7. P. 248-254.

121. Folias E.S. Estimating plastic zone sizes / E.S. Folias // International J. of Fracture. 1974. Vol. 10, № 1. P. 109-111.

122. Goodier J.N., Field F.A. Plastic energy dissipation in crack propagation . In: Fracture in Solids. N. Y.: Interscience Publ. 1963. p. 103118.

123. Maiti S.K. Comparison of the criteria for mixed mode brittle fracture based on the preinstability stress-strain field / S.K. Maiti, R.A. Smith // International J. of Fracture. 1983. № 23. P. 281-295.

124. Sih G.C. Strain-energy-density factor applied to mixed-mode crack problems / G.C. Sih // Intern. J. Fract. 1974. Vol. 10, № 3. P. 305-323.

125. Sih G.C. О fracture criterion for three dimensional crack problems / G.C. Sih, B.C. Cha // Engineering Fract. Mech. 1974. Vol. 6, № 4. P. 669723.

126. Sih G.C. A special theory of crack propagation / G.C. Sih // Mechanics of fracture. Methods of analysis and solution of crack problems. - Leyden: Mordhoff international publishing, 1973. P. 21-45.

127. Theocaris P.S. A closed form solution of slant crack under biaxial loading / P.S. Theocaris, J.G. Michopoulos // Engineering Fracture Mechanics. 1983. Vol. 17, № 2. P. 97-123.

128. Theocaris P.S. Photoelastic determination of Complex stress intensity factors for slant cracks under biaxial loading with higher-order term effects / P.S. Theocaris, C.P. Spyropoulos//Acta Mechanica. 1983. №48. P. 57-70.

129. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack / M.L. Williams // J. Appl. Mech. 1957. Vol. 24, № 1. P. 109-114.