автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и исследование осцилляционных явлений в системах с памятью на основе аппарата дробного интегро-дифференцирования

На правах рукописи

Яшагин Николай Сергеевич

Математическое моделирование и исследование осцилляционных явлений в системах с памятью на основе аппарата дробного интегро-дифференцирования

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 ЛЕН 2011

Самара - 2011

005006190

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» Фед рального государственного бюджетного образовательного учреждения высш го профессионального образования «Самарский государственный технически университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Радченко Владимир Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жданов Александр Иванович доктор физико-математических наук, профессор Пулъкипа Людмила Степановна

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный

университет*

Защита состоится 26 декабря 2011 г. в 13 часов на заседании диссертационног совета Д 212.215.05 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосм ческий университет имени академика С. П. Королева (национальный исследов тельский университет)» (СГАУ), расположенном по адресу: г. Самара, 44308 Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ. Автореферат разослан 23 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор

Фурсов В. А

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Математическое моделирование динамических систем, наделённых свойствами наследственности (динамической памяти), приводит к дифференциальным или интегро-дифференциальным уравнениям, содержащим операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля или их модификации и обобщения, например, производные Капуто, Вейля и другие. Свойство наследственности (памяти) присуще не только многим механическим системам (вязко-упругие среды), но и физическим, биологическим и другим системам. Дробно-дифференциальные модели находят свое применение в диффузионных процессах в различных средах; задачах теплопроводности, динамики турбулентной среды, статистической оптики, радиофизики, гидродинамики, динамическом хаосе, астрофизики, геологии, фрактальной космографии; при описании различного рода переходных процессов в энергетических системах, в электродинамике при моделировании процессов в проводниках и диэлектриках, в системах автоматического управления при использовании обобщённых процорционально-интегрально-дифференциальных (ПИД) регуляторов и многих других областях науки. Одним из фундаментальных аспектов исследования различного рода явлений в сложных системах является необходимость учёта нелокальных эффектов по времени (эффект памяти), «физической». причиной которых является медленная релаксация корреляционных связей между элементами системы. Математической основой при моделировании такого рода явлений является аппарат дробного исчисления. В этом направлении возникли новые математические методы описания и моделирования нелокальных процессов и явлений фрактальной природы. В этой связи развитие математического аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка (дробного исчисления) применительно к моделированию осцилляционных явлений в динамических системах с памятью, детальное исследование корректности постановок задач, разработка аналитических и численных методов решения, исследование устойчивости и погрешности решений, алгоритмизация вычислительных процессов — безусловно является актуальным направлением развития современного естествознания и математики.

Цель диссертационной работы состоит в математическом моделировании осцилляционных процессов на основе операторов дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля и разработке новых численных методов и специального программного обеспечения для их исследования.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1) разработаны новые математические модели описания неклассических осцилляционных процессов в средах и системах с памятью з форме обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с операторами дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля, позволяющие обобщить классическую теорию гармонических колебаний;

2) предложены и теоретически обоснованы постановки начальных задач для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля, доказаны корректность постановок и непрерывный переход к классическим задачам Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений колебаний гармонического осциллятора; предложена методика решения начальных задач редукцией к интегральному уравнению Вольтёрры второго рода с ядром Абеля и последующей факторизацией интегрального оператора и получено достаточное условие факторизуемости задачи;

3) построен сходящийся численный метод квадратур для интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля, содержащего два интегральных оператора, к которому редуцируются начальные модельные задачи; установлены априорные оценки погрешности вычислений;

4) получены асимптотические формулы и интегральные представления для обобщения функции типа Миттаг—Леффлера на случай двух переменных на комплексной плоскости в удобном для алгоритмизации виде, позволяющие численно изучать поведение функции при произвольных значениях параметров.

5) создан пакет прикладных программ, позволяющий эффективно получать решения модельных начальных задач с дробными операторами интегро-дифференцирования, выполнять сравнительный анализ с решениями классических задач, обобщениями которых они являются, вычислять и визуализировать значения специальных функций, изучать свойства описываемых математических объектов.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в разработке и исследовании новых математических моделей, описывающих ос-цилляционные процессы в средах и системах с памятью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений с операторами дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля, включающих как частный случай клас сическую теорию гармонических колебаний. В теоретическом плане новизна заключается в ряде новых корректных постановках начальных задач, методах их решений, исследовании сходимости предложенных численных методов и априорной оценке их погрешностей. В практическом плане разработанный пакет прикладных программ позволяет использовать полученные результаты, обеспечивал более полное математическое описание встречающихся неклассических процессов в средах и системах с памятью (вязко-упругие среды, переходные процессы в электродинамике, обобщённые ПИД-регуляторы в системах автоматического управления и др.). На разработанный программный комплекс получено свидетельство о регистрации электронного ресурса в Объединённом фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (№ 17486 от 11.10.2011 г.) и в Федеральном государственном научном учреждении «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти» (№ 50201151294 от 18.10.2011 г.). Результаты диссертационной работы частично внедрены в учебный процесс СамГТУ в лекционные курсы для специальности 010501.65 «Прикладная математика и информатика».

На защиту выносятся:

1. Математические модели осцилляционных процессов в средах и системах с памятью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с операторами дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля, позволяющие обобщить классическую теорию гармонических колебаний.

2. Доказательство корректности постановок и метод решения начальных задач для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля на основе факторизации редуцированного интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля.

3. Численный метод решения редуцированного интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля, содержащего два и более интегральных оператора, доказательство его сходимости и оценка погрешности решения.

4. Асимптотические формулы и интегральные представления для обобщения функции типа Миттаг—Леффлера на случай двух переменных на всей комплексной плоскости в удобном для алгоритмизации виде, позволяющие численно изучать поведение функций при произвольных значениях параметров.

5. Пакет прикладных программ, позволяющий эффективно получать численные решения модельных начальных задач с дробными операторами инте-гро-дифферепцирования; вычислять и визуализировать значения специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг-Леффлера, и изучать свойства описываемых математических объектов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 5-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2008 г.), Международной конференции по математической физике и её приложениям (г. Самара, 2008 г.), 6-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2009 г.), 13-й Международной научной конференции имени академика М. Кравчука (г. Киев, 2010 г.), Международном Российско—Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2010 г.), 2-й Международной конференции «Математическая физика и её приложения» (г. Самара, 2010 г.), 5-ом Международном форуме (10-й Международной конференции) молодых учёных «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2010 г.), 2-ом Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2011 г.), 9-й Школе молодых учёных «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик, 2011 г.), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2011 г.), 5-й Международной научной школе-семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» имени Е. В. Воскресенского (г. Саранск, 2011 г.), 8-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Матема-

тическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2011 г.), научном семинаре «Прикладная математика и механика» Самарского государственного технического университета (руководитель профессор Радченко В. П., 2009-2011 гг.).

Работа выполнялась в рамках тематического плана НИР СамГТУ (тема «Разработка методов математического моделирования динамики и деградации процессов в механике сплошных сред, технических, экономических, биологических и социальных системах и методов решения неклассических краевых задач и их приложений») и при частичной поддержке гранта РФФИ (проект № 10.01.00644-а).

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований подтверждается:

- корректностью вводимых математических гипотез и допущений, использующихся при постановках задач и их решениях, строгостью в использовании математического аппарата и применении апробированных программных систем;

- сравнением численных и аналитических решений рассматриваемых начальных задач с известными результатами в частных случаях;

- преемственностью полученных, новых теоретических и практических результатов с известными сведениями, когда существующие классические результаты являются частным случаем предложенных методов и моделей.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 28 работ, из них

5 статей — в рецензируемых журналах из перечня ВАК, 13 статей — в сборниках трудов конференций и 10 тезисов докладов.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Радченко В. П. за постоянное внимание к работе и доценту Огородникову Е. Н. за ряд постановок задач, консультации и поддержку работы.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положении, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работы [4, 11, 14, 16, 18, 24] выполнены самостоятельно, в основных работах [1-3, 5] диссертанту принадлежит совместная постановка задач и ему лично принадлежат разработка методов решения, получение решений, алгоритмизация методов в виде программного комплекса, анализ результатов. В остальных работах [6-10, 12, 13, 15, 17, 19-23], опубликованных в соавторстве, автору диссертации в равной мере принадлежат постановки задач, а все результаты получены им лично.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит го введения,

6 глав, заключения, библиографии и 2 приложений. Общий объём диссертации 186 страниц, из них 163 страницы текста, включая 23 рисунка. Библиография включает 147 наименований на 19 страницах.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность и научная новизна диссертационной работы, сформулирована цель и аргументированы конкретные задачи исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения, приведена структура диссертационной работы, а также сведения об апробации работы и публикациях.

В первой главе проводится аналитический обзор и постановка задачи исследования. Изложено современное состояние проблемы математического моделирования с операторами дробного интегро-дифференцирования, основы которого заложены в работах Афанасьева В. В., Бегли Р. Л., Данилаева М. П., Килбаса А. А., Лучко Ю. Ф., Мейланова Р. П., Нахушева А. М., Нахуше-вой В. А., Овсянниковой Е. И., Огородникова Е. Н., Польского Ю. Е., Псху А. В., Репина О. А., Торвика П. Д., Учайкина В. В., Чадаева В. А., Шханукова-Лафишева М. X., Б1еЛе1т К., СогепАо К., МатагсН Р., РосНиЬпу I и многих других авторов.

По результатам обзора литературных источников, а также на основе анализа существующих математических моделей и постановок задач дая описания осцилляционных явлений аргументированно сформулированы задачи диссертационной работы.

Во второй главе для математических моделей разработаны постановки начальных задач для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля, доказана их корректность и приведён аналитический метод их решения при определённых ограничениях на параметры, а также показан непрерывный переход по параметру дробности к классическим задачам Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений колебаний гармонического осциллятора.

В пункте 2.1 приведено определение и исследование свойств оператора дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля на конечном отрезке [а,6] (—оо <а<Ъ < +оо):

где п = [-а] + 1 ([а]—целая часть числа а € К), /(£) € Ь(а, Ь) — некоторая измеримая по Лебегу функция с областью определения £>(/) С [а, 6], Г(а) — гамма-фупкция Эйлера.

Там же описана связь оператора с интегральным уравнением Вольтерры второго рода с ядром Абеля и выписаны свойства получаемого при решении таких уравнений резольвентного оператора

7£/ = Да7/ =

1 р ¡(т)в.т 0

ПаУ J («-г)1-» ' и ^ и1

«

а

где ц, а > О, Л € С, а Еа{гщ) = Еь^о т(ак+^) -функция типа Миттаг-Леффлера. Оператор (1) активно используется при аналитическом решении модельных уравнений.

В пункте 2.2 для обобщённого модельного дифференциального уравнения

п т

й + £ «кО^ч + X] ЬкП&и = к=1 к=1

где ак £ (0,1), Рк € [0,2), приведена постановка начальной задачи, доказана теорема о существовании и единственности решения этой задачи, а также теорема об эквивалентности редукции к интегральному уравнению Вольтёрры второго рода с ядром Абеля.

Теорема 1. Пусть ак, ъ С- [0,1), рк 6 (0,1); ак, Ьк, ск 6 К, € 1(0,Т). Решение начальной задачи (задачи Коши или задачи типа Коши) для дифференциального уравнения

п ТП I

« + ]Г ЯкО^й + ]Г Ько1^ки + скОЦи = /(¿) (2)

к=1 к=1 к=1

с начальными условиями

и(0) •— щ, Нт

4 ' £—>0+

й^ + ^ЬкЦ

04 1

*=1

= «1 (3)

существует и единственно (в общем случае) в классе функций и(£) € С[0,Т] Л С2(0,У]; при Ък = 0 (к = 1,2,.. ..,тп), в классе функций и(Ь) е С1[0,Т] ПС2(0,Г], при этом сама задача эквивалентна интегральному уравнению

п т I

к=1 к=1 к=1

А г1-?*

= 4/ + "о + И1* + рк)

при £ € (0,Т], где I — тождественный оператор.

Там же записаны два частных случая начальпой задачи (2), (3), наиболее полно отражающие качественные характеристики обобщённой модели: Задача 1. Найти решение уравнения

й + рО&й + чП^и (4)

удовлетворяющего начальным условиям

и(0) = и0, й(0) = ¿о- (5)

Задача 2. Найти решение уравнения

u + pDl+au + qD%tu = f{t), (6)

удовлетворяющего начальным условиям

и{0) = и0, Дт [й(£) + pD%tu] = ui, (7)

Здесь р, q € К, а, /9 <Е (0,1), f{t) € 1(0, Г).

Показана редукция двух задач к унифицированному интегральному уравнению

"(О + Р'оГ" + = F(t), (8)

где для задачи 1:

F(t) = 4/ + щ + u0t + p-^—t1-*,

Г(2 - а)

а для задачи 2:

F(t) = lotf + wo + uit.

В пункте 2.3 описана методика построения точных решений интегральных уравнений Вольтёрры второго рода с ядром Абеля, основанная на факторизации (разложении на множители) интегрального оператора. Приведены достаточные условия факторизуемости интегрального уравнения. Методика и достаточное условие, сформулированные для общего случая интегрального уравнения

п

«(*) + од/0> = /(<), • (9)

fc=i

применены к уравнению (8), которое при = 2а допускает факторизацию вида:

(/ - л {I - WoY")«=m

где Aj и Аг — корни характеристического уравнения А2 + рХ + q — 0. Решая последовательно систему интегральных уравнений

(i-\1ii0r)v=m,

получим выражение для u(t) в терминах оператора (1) и функции типа Миттаг—Леффлера.

В пункте 2.4 доказана непрерывная зависимость решений начальных задач 1 и 2 от параметра дробности а — 2а). Из этого и доказательства существования и единственности следует корректность этих начальных задач, и становится очевидным переход от обобщённой модели к классической модели гармонического осциллятора: й + рй + qu — f(t). В пункте 2.5 приведены выводы по главе.

В третьей главе проведен анализ собственных колебаний моделей, колебаний под действием различных возмущающих нагрузок и анализ свойств отдельных частных случаев.

В пункте 3.1 приведены решения для задачи 1 и задачи 2, в случае когда модельные уравнения допускают факторизацию (/3 = 2а), в терминах некоторых специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг-Леффлера. В частности, для задачи 1:

u(t) = щ

+ио

А2

AI-А;

-Exp(l-a,l;Ai,i) +

Ai

Ai -- А2

Ехр(1 — et, 1; Лг, i)

+

Л1 Ехр(1 - а, 2; Аь i) - , х Ехр(1 - а, 2; А2, t)

Ai — Аг

Ai — Аг

где Ехр(а,/х; A;i) = t^Ea (Aie;/i).

Решения проанализированы при различных характеристических значениях Ai и А2. В качестве примера на рис. 1 показано графическое представление решения при чисто мнимых значениях Ai и А2 в зависимости от параметра дробности а. Колебания для чисто мнимых корней в отличии от классического случая (а = 0) носят затухающий характер, асимптотически приближаясь к нулю. Причём, чем больше параметр дробности а, тем решение медленнее стремится к нулю.

В пункте 3.2 получены общие решения для возмущённых задач. В частности, рассмотрен случай синусоидального возмущения, для которого получены формулы вычисления амплитуды и частоты колебаний:

A(t) = j^-Va4t) + b?(t), y(t)= arctgM

где

e(t) =

[AiExp(l - a,2;Ai,г) - A2Exp(l -a,2;A2,т)]cosw0rdr,

№ =

[AiExp(l -a,2;Ai,r) - A2Exp(l -a,2;A2,r)]sinw0rdr.

о

С учётом этого решение u(t) и производная от него представляются в следующем виде:

u(t) = A(t) sin[w0i - <p(t)], ü(t) - u0A(t) cos[w0i -

Полученный результат интересен и указывает на уникальность рассматриваемой системы. Исключительность модели заключается в том, что при дифференцировании полученного решения для координаты u(t), величина ü(t) находится так, как если бы A(t) и <p{t) были бы константами.

{

Рис. 1: Графики решений задачи 1 с параметрами щ = 1, «о — 1> = 2г, А2 = -2 i

В пункте 3.3 рассмотрен отдельный частный случай обобщённого модельного уравнения, содержащий «спектральный член» (член вида bou, bo 6 R):

п m

ü + Y, ú + £ b'Doiu + 6°u = я*)» (10>

fc= 1 S=1

где ak, /3, 6 (0,1), к = l,2,...,n, s = l,2,...,m. Для (10) решена начальная задача и доказаны существование и единственность такого решения. Рассмотрены всевозможные простейшие модели, для которых можно получить аналитические решения, при помощи которых, во-первых, моделируются рассматриваемые в диссертационной работе системы при наличии упругих связей, а, во-вторых, они используются для проверки адекватности численных методов решения в частных случаях.

В пункте 3.4 приведены выводы по главе.

Поскольку аналитические решения для задачи 1 и задачи 2 можно получить лишь в частном случае /3 -- 2а, то в четвёртой главе предложены два численных метода решения модельных задач для любых значений параметров аи/Зиз области допустимых значений, а также приведён весь вспомогательный аппарат, необходимый для достижения этой цели.

В пункте 4.1 получены формулы численного интегрирования для дробного интеграла Римана—Лиувилля и интегрального оператора (1), являющиеся обобщениями классических формул «прямоугольников» и «трапеций». Приведены априорные оценки погрешности вычисления.

В частности, на разбиении tk = kh (к = 0,1, - ■■ ,п, t0 = 0, í„ = t, timar разбиения) с учётом обозначения ик = u{tk) «формула прямоугольников»

и оценка погрешности для дробного интеграла, применённого к функции м(£), выглядит следующим образом:

пр*«и = FT^TTi Е Ufc - Ä)a - (n - ft - 1)"] + o(h), 1 + ^ ¡5

(i)™ I . Mhta

IZu-X'IZu <

где пр/^и —значение интеграла, вычисленного по «формуле прямоугольников», а для интегрального оператора (1) имеем

71—1

пр££> = Е икН° - k)aVa [A(n - kyjf-в +1] -fc=0

-(п-к- 1)аЕа [А(п-к- а + 1]} + o(h), (11)

\Ki-x - прЯоТл! < htaMEa{Xt'-, а + 1),

гДе пр-^м-л11- значение, вычисленное по «формуле прямоугольников» для интегрального оператора (1), М — константа, независящая от h, в частности, М =

max |w(£)| при u(t) € С1 [О, Г]. При устремлении параметра дробности а к еди-££ [0,t]

нице при Л = 0 описанные формулы переходят в классические формулы численного интегрирования.

В пункте 4.2 описан численный метод решения интегрального уравнения Вольтёрры (9), который базируется на предложенной выше идее факторизации с заменой в интегральном уравнении (в общем случае) иррациональных показателей ctk «ближайшими» рациональными числами. В результате решение записывается в форме

т \т

u(t) = F(t) + ]Г -E^XiF,

¿=i n(Ai-Afc) fc=i kfr

где A; — корни характеристического уравнения, а оператор вычисляется

при помощи разработанных в пункте 4.1 формул, к примеру, с помощью (11).

В пункте 4.3 разработан численный метод решения слабосингулярного интегрального уравнения (8) на равномерной сетке. С помощью замены переменных

u{t) = v{t)-pE£%-av, (12)

где u(t) является результатом решения интегрального уравнения

v(i) = u(i)+p/oTau,

осуществляется переход к несингулярному интегральному уравнению

v(t) + qll^v -= F(t). (13)

Для (13) на разбиении = kh (к = 0,1,..., п) конечного отрезка [О, Т], с учётом обозначений для точного v(tk) =■ Vk и приближённого £'(if;) = Vk решений и функции правой части F(tk) = Fk, имеем итерационную формулу для дискретного представления решения:

F. _ ph>-e -g + g с(3—А1-а)вк

5. =_«£=1_____(141

1 +Ph^cfr^-nh^cfra-^~a) '

где j = 1,2,..., п, и — коэффициенты формул численного интегрирования для интегральных операторов. Доказана сходимость построенной процедуры и получена априорная оценка погрешности метода. Теорема 2. При выполнении условия

|рЛ3-*^-«-pqh3-a-0cta-p'*-a) | < С< 1

приближённое решение (14) сходится к точному решению интегрального уравнения (8), а априорная оценка погрешности вычисления приближённого решения в точке t = ti имеет вид

где А, В, С — некоторые заданные постоянные величины, as— порядок точности применяемой формулы численного интегрирования.

Искомое приближённое решение интегрального уравнения (8) вычисляется по формуле (12) с использованием любой из квадратурных формул, например (11).

В пункте 4.4 приведены выводы по главе.

В пятой главе даны определения и описаны свойства функции типа Миттаг—Леффлера и связанных с ней специальных функций, в том числе, разработан аппарат для изучения их асимптотического поведения, поскольку вычисление значений специальных функций при больших значениях аргументов приводит к существенным вычислительным трудностям.

В пункте 5.1 дан обзор специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг—Леффлера, кратко описаны основные её свойства и связь с другими известными функциями.

В пункте 5.2 приведены определения и основные свойства для функций, являющихся фундаментальными решениями модельных задач и обобщающих классические функции:

1) аналог экспопенты: Ехр(а, ц\ А; х) = iM-1Ea(Àa;a;/i);

2) аналог синуса: Ехрс(а, Л; х) = [Еа(\ха-,(х) + Еа (Л5"; //)];

3) аналог косинуса: Ехрз(о,ц;Х\х) = ~~ [Еа(Ата;ц) - Еа

В пункте 5.3 разработаны свойства функции, обобщающей функцию типа Миттаг— Леффлера на случай п переменных:

Еа(г;м)= У! ' 1

кгМ^К^О Г агкг + Ц

где а ~ (аг,а2,. -. ,ап) — мультииидекс, г = (z\, 22,..., zn) — вектор переменных, параметры ß, сч € С, причём Rea* > 0, г = 1,2,..., п. Для случая двух переменных

ОО (j п

Е£ r(aft + Jn+ ) (15)

к,п-0 4 г'

доказаны теоремы, определяющие асимптотические свойства функции для больших по модулю значений аргументов и \у\ при различных ограничениях на аргументы комплексных х и у. Например, для | arg х\ < a/ß и | argy| < а/а, где а — любое вещественное число, удовлетворяющее условию

< а < min {7Г, iraß}, (16)

справедлива теорема.

Теорема 3. Пусть а, ß € (0,2), aß < 1, ц — любое комплексное число. Тогда для любых целых рх, ру > 1 при |i| —> со и \у\ —> оо справедлива следующая асимптотическая формула:

EaAx,y,ß) = - xßja_y +ß ya/ß_x +

Px Py

Доказаны ещё три теоремы для других ограничений на аргументы. Исследовано асимптотическое поведение функции (15) для случая, когда один из аргументов (для определённости х) ограничен по модулю, а модуль другого достаточно большой. Результаты исследований сформулированы в виде теорем. Теорема для случая |i| > R, | arg < a/ß и |argt/| < а/а, где а — любое вещественное число, удовлетворяющее условию (16), а R > 0 —некоторое действительное число, приведена ниже.

Теорема 4. Пусть а,[3 6 (0,2), ар < 2, /г —любое комплексное число. Тогда для любых целых р > 1 при |г/| —» оо и ограниченном |х| справедлива следующая асимптотическая формула:

Доказаны ещё 4 теоремы для других ограничений на аргументы.

В пункте 5.4 приведены выводы по главе.

В шестой главе описывается программный комплекс «МлЛеЬ, созданный на основе результатов, полученных автором диссертации. Программный комплекс предназначен для решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля и изучения свойств специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг—Леффлера.

В пункте 6.1 содержится подробное описание интерфейса программы, назначения разных пунктов меню и приведена блок-схема программного комплекса «М^ЬеЬ (см. рис. 2), которая наглядно демонстрирует алгоритм обработки данных и производимых вычислений.

В пункте 6.2 описывается та часть программного комплекса, которая предназначена для вычисления значений и анализа поведения следующих специальных функций: функция типа Миттаг^-Леффлера, обобщённая экспонента, обобщённый синус, обобщённый косинус, обобщение функции типа Миттаг— Леффлера на случай двух переменных.

В пункте 6.3 описывается та часть программного комплекса, которая предназначена для вычисления интегральных операторов по квадратурным формулам. Данная часть является вспомогательной, поскольку на её основе строятся алгоритмы для построения численных решений модельных начальных задач.

В пункте 6.4 описывается та часть программного комплекса, которая предназначена для построения решений начальных задач и их анализа, в том числе сравнительного для двух моделей (4), (5) и (6), (7) и их классического аналога.

В пункте 6.5 с помощью программного комплекса проведено исследование свойств модельных дифференциальных уравнений и специальных функций, с помощью которых строятся аналитические решения. Приведены многочисленные результаты соответствующих расчётов.

В пункте 6.6 приведены выводы по главе.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Предложены и исследованы новые математические модели описания осцилляционных процессов в средах и системах с памятью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с операторами дробного

Еа,0 (х,у; ц)

Уа х^а-у + Р у^Р-х

« р -I

+ -Б

+

Вычисление Вычисление Вычисление

значении решении интегральных

специальных начальных операторов по квадра-

функций задач турным формулам

Вычисление аналитического решения начальной задачи

Вычисление численно-аналитического решения начальной задачи

Вычисление численного решения начальной задачи

Рис. 2: Блок-схема программного комплекса «МйЪеЬ

интегро-дифференцирования Римана— Лиувилля, позволяющие обобщить классическую теорию гармонических колебаний.

2. Приведены новые постановки начальных задач для класса модельных обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана—Лиувилля. Сформулированы постановки для нового класса дифференциальных уравнений, содержащих объект типа Б§'¡и^ (а £ (0,1), п € И). Доказаны существование, единственность решений и корректность постановок начальных задач.

3. Построены аналитические решения модельных начальных задач в терминах некоторых специальных функций, связалных с функцией типа Миттаг--Леффлера. Решения проанализированы при различных значениях корней характеристического уравнения. Сделаны выводы о характере колебательного процесса. Построены общие решения для возмущённых задач.

4. Получены формулы для вычисления интегралов с разностными ядрами и функцией типа Миттаг—Леффлера в ядре, являющиеся обобщением классических формул с прямоугольников» и «трапеций». Установлены априорные оценки погрешности вычисления значений дробного интеграла.

5. Разработан численно-аналитический метод решения интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля, к которому редуцируются начальные модельные задачи, основанный на идее факторизации интегрального оператора и квадратурных формулах вычисления интегралов с разностными ядрами и функцией типа Миттаг^ Леффлера в ядре.

6. Предложен и реализован итерационный численный метод решения слабосингулярного интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля на равномерной сетке, основанный на переходе с помощью замены переменных к несингулярному уравнению. Доказана сходимость решения и получена априорная оценка погрешности решения данным численным методом.

7. Получены асимптотические и интегральные представления для обобщения функции типа Миттаг—Леффлера на случай двух переменных на всей комплексной плоскости в удобном для алгоритмизации виде, позволяющие численно изучать поведение функций при произвольных значениях параметров.

8. В среде Matlab создан программный комплекс «MitLeb, предназначенный для решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с дробными операторами Римана—Лиувилля, моделирующих кинетику систем с памятью, и дяя изучения свойств специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг^-Леффлера. Проведено тестирование программного комплекса, показавшее его эффективность при выполнении указанных задач. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса по разработанному программному комплексу.

Список основных публикаций в рецензируемых журналах из перечня ВАК:

[1] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Дробные математические модели вязко-упругого тела и проблемы параметрической идентификации // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 14. 2007. С. 340-342.

[2] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. № 1(18). С. 276-279.

[3] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Постановка и решение задач типа Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана-Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 1(20). С. 24-36.

[4] Яшагин Н. С. Интегральные представления и асимптотические формулы для обобщения функции типа Миттаг-Леффлера на случай двух переменных // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 5(21). С. 229-236.

[5] Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Реологические модели вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. № 1(22). С. 255-268.

В других изданиях:

[6] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Вынужденные колебания дробных осцилляторов // Матем. моделирование и краев, задачи. Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием, Ч 1. Самара: СамГТУ, 2008. С. 215-221.

[7] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. О некоторых свойствах операторов с функциями типа Миттаг-Леффлера в ядрах // Матем. моделирование и краев, задачи. Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием, Ч. 3. Самара: СамГТУ, 2009. С. 181-188.

[8] Радченко В. П., Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Математические модели вязко-упругого тела и вынужденные колебания дробных осцилляторов // Тринадцята МЬкнародна паукова конференщя 1меш академжа М. Кравчука: Матергали конференй, Ч. 1. КиУв: 2010. С. 344-345.

[9] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. О постановке и решении начальных задач для дифференциальных уравнений второго порядка с младшими дробными производными // Тринадцята М1жнародна наукова конференщя ¡мен! академша М. Кравчука: Матер^али конференй. Ч. 1. Кшв: 2010. С. 297-298.

[10] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Существование, единственность и структура решения задачи Копш для одного класса обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувил-ля // Матем. моделирование и краев, задачи. Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием, Ч. 3. Самара: СамГТУ, 2010. С. 225-232.

[11] Яшагин Н. С. Сравнительный анализ решений задач типа коши для двух модельных дифференциальных уравнений дробного осциллятора // Материалы Международного Российско-Болгарского симпозиума. Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Наль-чик-Хабез: 2010. С. 273-274.

[12] Радченко В. П., Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Реологические модели вязко-упругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Материалы второй междунар. конф. Мат. физика и её приложения. Самара: 2010. С. 253-255.

[13] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Постановка и решение начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с волновым оператором и младшими дробными производными Римана-Лиувилля // Материалы второй междунар. конф. Мат. физика и её приложения. Самара: 2010. С. 250-252.

[14] Яшагин Н. С. Решение задач типа Коши для дифференциального уравнения второго порядка с произвольным числом младших дробных производных путем факторизации интегрального оператора // Материалы второй междунар. конф. Мат. физика и её приложения. Самара: 2010. С. 348-349.

[15] Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Реологические модели вязко-упругого тела с памятью и дробные дифференциальные уравнения // Материалы Второго Международного Российско-Казахского симпозиума. Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Нальчик: 2011. С. 134-136.

[16] Яшагин Н. С. Методы решения одного модельного уравнения дробного осциллятора // Материалы IX Школы молодых учёных. Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики. Нальчик: 2011. С. 103-107.

[17] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Методы решения иачалыю-краевых задач для дифференциальных уравнений с волновым оператором и младшими дробными производными Римана—Лиувилля // Матем. моделирование и краев, задачи. Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием, Ч. 3. Самара: СамГТУ, 2011. С. 140-145.

[18] Яшагин Н. С. Об одном приближенном методе решения начальных задач для дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля // Матем. моделирование и краев, задачи. Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием, Ч. 3. Самара: СамГТУ, 2011. С. 189-192.

[19] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Анализ вынужденных колебаний дробных осцилляторов // Материалы междунар. конф. мат. физика и её приложения. Самара: 2008. С. 141-143.

[20] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Об одной модели дробного осциллятора // Математическое моделирование физических, экономических, технических и социальных систем и процессов. Труды седьмой междунар. конфер. Ульяновск: 2009. С. 203-204.

[21] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. О некоторых специальных функциях и структуре решения задачи Коши для одного дробного осцилляционно-го уравнения // Материалы Международного Российско-Абхазского симпозиума. Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Нальчик: 2009. С. 215-218.

[22] Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. О задаче Коши и структуре ее решения для обыкновенных дифференциальных уравнений с младшими дробными производными // Сам Диф-2009. Научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»: Тезисы докладов. Самара: 2009. С. 42 -44.

[23] Яшагин Н. С., Огородников Е. Н. Об одном обобщении функции типа Мит-таг-Леффлера, интегральном операторе с указанной функцией в ядре, их свойствах и приложениях // Актуальные проблемы современной науки. Труды 5-го Международного форума. Естественные науки. Ч. 1-3. Самара: СамГТУ, 2010. С. 261-267.

[24] Яшагин Н. С. Асимтотические формуля для решения дробного осцилля-ционного уравнения // Сам Диф-2011. Научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов. Самара: 2011.

С. 140-141.

[25] Яшагин Н. С., Огородников Е. Н. Свидетельство о регистрации электронного ресурса «Автоматизированный исследовательский комплекс -ЛШЬеЬ в ОФЭРНиО № 17486 от 11.10.2011 г и ФГНУ ЦИТиС № 50201151294 от 18.10.2011 г.

Подписано в печать 16.11.2011. Формат 60 х 84 1/16. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз. Заказ №1108. ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет Отдел типографии и оперативной печати 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Введение

Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи.

Глава 2. Постановка и аналитическое решение начальных задач для модельных дифференциальных уравнений

2.1. Дробные интегралы и производные Римана—Лиувилля и некоторые их свойства.

2.2. Постановки начальных задач для класса модельных обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана—Лиувилля.

2.3. Метод решения интегрального уравнения Вольтерры второго рода. Достаточные условия факторизуемости интегрального оператора.

2.4. Корректность модельных начальных задач. Видоизменённая задача типа Коши.

2.5. Выводы по второй главе

Глава 3. Анализ поведения математических моделей дробных осцилляторов на основе аналитических решений модельных задач.

3.1. Анализ собственных колебаний

3.2. Поведение моделей при различных внешних нагрузках. Характеристики колебательного процесса

3.3. Изучение свойств отдельных частных случаев модельных дифференциальных уравнений.

3.4. Выводы по третьей главе.

Глава 4. Разработка численных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля.

4.1. Вычисление интегралов с разностными ядрами и функцией тина Митта1—Леффлера в ядре.

4.2. Приближённый метод факторизации интегрального оператора. Сходимость.

4.3. Итерационная процедура построения численного решения интегрального уравнения. Оценка погрешности и сходимость

4.4. Выводы по четвёртой главе.

Глава 5. Специальные функции в решениях модельных дифференциальных уравнений.

5.1. Функции типа Миттаг—Леффлера.

5.2. Некоторые специальные функции, определяемые на основе функции типа Миттаг—Леффлера.

5.3. Обобщение функции типа Миттаг—Леффлера на случай двух и более переменных.

5.4. Выводы по пятой главе.

Глава 6. Разработка программного комплекса для численного и аналитического решений модельных задач.

6.1. Описание работы с программным комплексом.

6.2. Вычисление значений специальных функций.

6.3. Вычисление интегралов с разностными ядрами и функцией типа Миттаг—Леффлера в ядре по квадратурным формулам

6.4. Построение решений начальных задач

6.5. Анализ свойств специальных функций и решений дифференциальных уравнений с помощью программного комплекса.

G.G. Выводы по шестой главе.

Актуальность работы. Математическое моделирование динамических систем, наделённых свойствами наследственности (динамической памяти), приводит к дифференциальным или интегро-дифференциальным уравнениям, содержащим операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля или их модификации и обобщения, например, производные Капу-то, Вейля и другие. Свойство наследственности (памяти) присуще не только многим механическим системам (вязко-упругие среды), но и физическим, биологическим и другим системам. Дробно-дифференциальные модели находят своё применение в диффузионных процессах в различных средах; задачах теплопроводности, динамики турбулентной среды, статистической оптики, радиофизики, гидродинамики, дииамическом хаосс, астрофизики, геологии, фрактальной космографии; при описании различного рода переходных процессов в энергетических системах, в электродинамике при моделировании-процессов в проводниках и диэлектриках, в системах автоматического управления при использовании обобщённых пропорционально-интегрально-дифференциальных (ПИД) регуляторов и многих других областях науки. Одним из фундаментальных аспектов исследования различного рода явлений в сложных системах является необходимость учёта нелокальных эффектов по времени (эффект памяти), «физической» причиной которых является медленная релаксация корреляционных связей между элементами системы. Математической основой при моделировании такого рода явлений является аппарат дробного исчисления. В этом направлении возникли новые математические методы описания и моделирования нелокальных процессов и явлений фрактальной природы. В этой связи развитие математического аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка (дробного исчисления) применительно к моделированию осцилляционных явлений в динамических системах с памятью, детальное исследование корректности постановок задач, разработка аналитических и численных методов решения, исследование устойчивости и погрешности решений, алгоритмизация вычислительных процессов — безусловно является актуальным направлением развития современного естествознания и математики.

Цель диссертационной работы состоит в математическом моделировании осцилляционных процессов на основе операторов дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля и разработке новых численных методов и специального программного обеспечения для их исследования.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1) разработаны новые математические модели описания неклассических осцилляционных процессов в средах и системах с памятью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с операторами дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля. позволяющие обобщить классическую теорию гармонических колебаний;

2) предложены и- теоретически обоснованы постановки начальных задач для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля, доказаны корректность постановок и непрерывный переход к классическим задачам Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений колебаний гармонического осциллятора; предложена методика решения начальных задач редукцией к интегральному уравнению Вольтёрры второго рода с ядром Абеля и последующей факторизацией интегрального оператора и получено достаточное условие факторизуемости задачи;

3) построен сходящийся численный метод квадратур для интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля, содержащего два интетральных оператора, к которому редуцируются начальные модельные задачи; установлены априорные оценки погрешности вычислений;

4) получены асимптотические формулы и интегральные представления для обобщения функции типа Миттаг—Леффлера на случай двух переменных на комплексной плоскости в удобном для алгоритмизации виде, позволяющие численно изучать поведение функции при произвольных значениях параметров.

5) создан пакет прикладных программ, позволяющий эффективно получать решения модельных начальных задач с дробными операторами ин-тегро-дифференцирования, выполнять сравнительный анализ с решениями классических задач, обобщениями которых они являются, вычислять и визуализировать значения специальных функций, изучать свойства описываемых I математических объектов.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в разработке и исследовании новых математических моделей, описывающих осцилляционные процессы в средах и системах с памятью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений с операторами дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля, включающих как частный случай классическую теорию гармонических колебаний. В теоретическом плане новизна заключается в ряде новых корректных постановках начальных-задач, методах их решений, исследовании сходимости предложенных численных методов и априорной оценке их погрешностей. В практическом плане разработанный пакет прикладных программ позволяет использовать полученные результаты, обеспечивая более полное математическое описание встречающихся неклассических процессов в средах и системах с памятью (вязко-упругие среды, переходные процессы в электродинамике, обобщённые ПИД-регулято-ры в системах автоматического управления и др.). На разработанный программный комплекс получено свидетельство о регистрации электронного ресурса в Объединённом фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (№ 17486 от 11.10.2011 г.) и в Федеральном государственном научном учреждении «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти» (№ 50201151294 от 18.10.2011 г.). Результаты диссертациоииой работы частично внедрены в учебный процесс СамГТУ в лекционные курсы для специальности 010501.65 «Прикладная математика и информатика».

На защиту выносятся:

1. Математические модели осцилляционных процессов в средах и системах с памятью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с операторами дробного иитегро-диффереицироваиия Римаиа— Лиувилля, позволяющие обобщить классическую теорию гармонических колебаний.

2. Доказательство корректности постановок и метод решения начальных задач для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля на основе факторизации редуцированного интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля.

3. Численный метод решения редуцированного интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля, содержащего два и более интегральных оператора, доказательство его сходимости и оценка погрешности решения.

4. Асимптотические формулы и интегральные представления для обобщения функции типа Миттаг—Леффлера на случай двух переменных на всей комплексной плоскости в удобном для алгоритмизации виде, позволяющие численно изучать поведение функций при произвольных значениях параметров.

5. Пакет прикладных программ, позволяющий эффективно получать численные решения модельных начальных задач с дробными операторами интегро-дифференцирования; вычислять и визуализировать значения специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг-Леффлера, и изучать свойства описываемых математических объектов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 5-й Всероссийской научной конференции с международным участием.«Математическое-моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2008 г.),.Международной конференции по математической физике и её приложениям (г. Самара, 2008 г.), 6-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара.

2009 г.), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2009 г.), 13-и Международной научной конференции имени академика М. Кравчука (г. Киев, 2010 г.), Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2010 г.), 2-й Международной конференции «Математическая физика и её приложения» (г. Самара,

2010 г.), 5-ом Международном форуме (10-й Международной- конференции) молодых учёных «Актуальные проблемы, современной науки» (г. Самара, 2010 г.), 2-ом Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа;и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2011 г.), 9-й Школе молодых учёных «Нелокальные краевые задачи1 и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик, 2011 г.), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2011 г.), 5-й Международной научной школе-семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы, программ» имени Е. В. Воскресенского (г. Саранск, 2011 г.),.8-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2011 г.), научном семинаре «Прикладная;математика и механика» Самарского государственного технического университета (руководитель профессор Радченко В. П., 2009-2011 гг.).

Работа выполнялась в рамках тематического плана НИР СамГТУ (тема «Разработка методов математического моделирования динамики и деградации процессов в механике сплошных сред, технических, экономических, биологических и социальных системах и методов решения неклассических краевых задач и их приложений») и при частичной поддержке гранта РФФИ (проект № 10.01.00644-а).

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований подтверждается:

- корректностью вводимых математических гипотез и допущений, использующихся при постановках задач и их решениях, строгостью в использовании математического аппарата и применении апробированных программных систем;

- сравнением численных и аналитических решений рассматриваемых начальных задач с известными результатами в частных случаях;

- преемственностью полученных новых теоретических и практических результатов с известными сведениями, когда существующие классические результаты являются частным случаем предложенных методов и моделей.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 28 работ, из них 5 статей —в рецензируемых журналах из перечня ВАК, 13 статей —в сборниках трудов конференций и 10 тезисов докладов.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Радченко В. П. за постоянное внимание к работе и доценту Огородникову Е. Н. за ряд постановок задач, консультации и поддержку работы.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работы [90-95] выполнены самостоятельно, в основных работах [44. 46, 51, 57] диссертанту принадлежит совместная постановка задач и ему лично принадлежат разработка методов решения, получение решений, алгоритмизация методов в виде программного комплекса, анализ результатов. В остальных работах [45, 47, 48. 52-56, 58-60, 69. 70, 97], опубликованных в соавторстве, автору диссертации в равной мере принадлежат постановки задач, а все результаты получены им лично.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, библиографии и 2 приложений. Общий объём диссертации 186 страниц, из них 163 страницы текста, включая 23 рисунка. Библиография включает 147 наименований на 19 страницах.

6.6. Выводы по шестой главе

В результате в главе 6:

1. В среде МаЫаЬ разработан программный комплекс «МіїЬеЬ>, предназначенный для изучения решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана—Лиувилля и свойств специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг—Леффлера.

2. Проведено тестирование программного комплекса, показавшее его эффективность при выполнении указанных задач.

3. Приведено подробное алгоритмическое описание возможностей программного комплекса «МііЬеЬ, пояснено назначение различных окон и пунктов меню, а также показаны способы взаимодействия пользователя с программой в интерактивном режиме.

Рис. 6.13. Решения задачи (3.1) с коэффициентами р = 0. д = 4 (А^ = ±2г), параметрами дробности а = 0.25, /3 = 0.5 при различных возмущениях f(t)

Программный комплекс прошёл процедуру регистрации электронного ресурса в объединённом фонде электронных ресурсов «Наука и образование» и Федеральном государственном научном учреждении «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти» [96].

Заключение

1. Предложены и исследованы новые математические модели описания осцилляционных процессов в средах и системах с памятью в форме обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с операторами дробного интегро-дифференцирования Римана—Лиувилля, позволяющие обобщить классическую теорию гармонических колебаний.

2. Приведены новые постановки начальных задач для класса модельных обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана—Лиувилля. Сформулированы постановки для нового класса дифференциальных уравнений, содержащих объект типа И^и^ (а Е (0,1), п Е М). Доказаны существование и единственность решений и корректность постановок начальных задач.

3. Построены аналитические решения модельных начальных задач в терминах некоторых специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг—Леффлера. Решения проанализированы при различных значениях корней характеристического уравнения. Сделаны выводы о характере колебательного процесса. Построены общие решения для возмущённых задач.

4. Разработаны формулы для вычисления интегралов с разностными ядрами и функцией типа Миттаг—Леффлера в ядре, являющейся обобщением классических формул «прямоугольников» и «трапеций». Получены априорные оценки погрешности вычисления значений дробного интеграла.

5. Разработан численно-аналитический метод решения интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля, к которому редуцируются начальные модельные задачи, основанный на идее факторизации интегрального оператора и квадратурных формулах вычисления интегралов с разностными ядрами и функцией типа Миттаг—Леффлера в ядре.

6. Разработан итерационный численный метод решения слабосингулярного интегрального уравнения Вольтёрры второго рода с ядром Абеля на равномерной сетке, основанный на переходе с помощью замены переменных к несингулярному уравнению. Доказана сходимость решения и получена априорная оценка погрешности решения данным численным методом.

7. Получены асимптотические и интегральные представления для обобщения функции типа Миттаг—Леффлера на случай двух переменных на всей комплексной плоскости в удобном для алгоритмизации виде, позволяющие численно изучать поведение функций при произвольных численных значениях параметров.

8. В среде Ма^аЬ разработан программный комплекс «МН;Ье£», предназначенный для решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с дробными операторами Римана—Лиувилля, моделирующих кинетику систем с памятью, и для изучения свойств специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг—Леффлера. Проведено тестирование программного комплекса, показавшее его эффективность при выполнении указанных задач. Получено свидетельство о регистрации электронного ресурса по разработанному программному комплексу.

1. Алиханов А. А. Разностные методы решения краевых задач для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Москва, 2009. 19 с.

2. Ануфриев И. Е., Смирнов А. Б., Смирнова Е. Н. МАТЬАВ 7 (Наиболее полное руководство в подлиннике). СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 1104 с.

3. Афанасьев В. В., Данилаев М. П., Польский Ю. Е. Стабилизация фрактального осциллятора инерциальными воздействиями // Письма в ЖТФ. 2010. Т. 36, вып. 7. С. 1-6.

4. Афанасьев В. В., Польский Ю. Е. Методы анализа, диагностики и управления поведением нелинейных устройств и систем с фрактальными процессами и хаотической динамикой. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2004. 219 с.

5. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004. 591 с.

6. Бабенко Ю. И. Метод дробного дифференцирования в прикладных задачах теории тепломассообмена. СПб.: Профессионал, 2009. 584 с.

7. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 632 с.

8. Бегли Р. Л., Торвик П. Д. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка, новый подход к расчету конструкции с вязко-упругим демпфированием // Аэрокосмическая техника. 1984. Т. 2, № 2. С. 84-93.

9. Бейбалаев В. Д. Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Махачкала, 2009. 18 с.

10. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. № 1(18). С. 267-270.

11. Бейбалаев В. Д., Шабанова М. Р. Численный метод решения краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности с производными дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 5(21). С. 244-251.

12. Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. М.: Наука, 1973. Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. 296 с.

13. Бленд Д. Р. Теория линейной вязко-упругости. М.: Наука, 1981. 448 с.

14. Бойков И. В. Приближённые методы решения сингулярных интегральных уравнений. Пенза: Изд-во ПГУ, 2004. 316 с.

15. Бронский А. П. Явление последействия в твердом теле // ПММ. 1941. Т. 5, № 1. С. 31-56.

16. Васильев В. В., Симак Л. А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. Киев: HAH Украины, 2008. 256 с.

17. Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. М.: Физмат-лит, 2002. 160 с.

18. В1рченко Н. О., Рибак В. Я. Основи дробового штегро-дифференцдаван-ня. Кш'в: Задруга, 2007. 361 с.

19. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ. 1948. Т. XII, № 3.

20. Головизнин В. М., Киселев В. П. Методы численных решений некоторых одномерных уравнений с дробными производными // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 7. С. 907-913.

21. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткин И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае: Препринт № 1ВЯАЕ-2003-12. М.: ИБРАЭ РАН, 2002. 35 с.

22. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрко Ю. И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнения дробной диффузии: Препринт № 1ВКАЕ-2002-01. М.: ИБРАЭ РАН, 2002. 57 с.

23. Гутов А. 3. Аналог формулы Эйлера для обобщенного синуса и обобщенного косинуса // Тр. третьей Всерос. научн. конф. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Матем. моделирование и краев, задачи. Самара: СамГТУ, 2006. С. 97-98.

24. Данилаев М. П. Обобщённые многомодовые модели в задачах анализа и синтеза радиоэлектронных, квантовых систем и фрактальных структур: Автореф. дис. .д-ра тех. наук. Казань, 2010. 34 с.

25. Джрбашяп М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

26. Ержанов Ж. С. Об оценке напряженного состояния нетронутого горного массива // Математические методы в горном деле. 1964. Т. 2. С. 32-37.

27. Килбас А. А., Королёва А. А. Обращение интегрального преобразования с расширенной обобщенной функцией Миттаг-Леффлера // Доклады академии паук. 2006. Т. 411, № 2. С. 157-160.

28. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: ГИТТЛ, 1954. 120 с.

29. Лафишева М. М., Шхануков-Лафишев М. X. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 10. С. 1878-1887.

30. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 2: Дальнейшее построение теории. М.: Наука, 1968. 624 с.

31. Мейланов Р. П., Янполов М. С. Особенности фазовой траектории «фрактального» осциллятора // Письма в ЖТФ. 2002. № 1 (28). С. 67-73.

32. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

33. Нахушев А. М. Математические модели вязкоупругого тела // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Ес-теств. науки. 2000. № 3. С. 107-109.

34. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: Изд-во КБНЦ РИН, 2000. 299 с.

35. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

36. Нахушев А. М., Кенетова Р. О. Моделирование социально-исторических и этнических процессов. Нальчик: Эльфа, 1998. 171 с.

37. Нахушева В. А. Математическое моделирование нелокальных физических процессов в средах с фрактальной структурой: Автореф. дис. .д-ра физ .-мат. наук. Таганрог, 2008. 30 с.

38. Нигматулин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика. 1992. Т. 90, № 3. С. 354-367.

39. Овсянникова Е. А. Анализ затухающих колебаний линейных и нелинейных вязкоупругих пластин, свойства которых определяются дробными производными: Дис. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2002. С. 120.

40. Огородников Е. Н. Некоторые аспекты теории начальных задач для дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 5(21). С. 10-23.

41. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Реологические модели вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. № 1(22). С. 255-268.

42. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Анализ вынужденных колебаний дробных осцилляторов // Вторая междунар. конф. мат. физика и её приложения: Материалы конференции. Самара: 2008. С. 141-143.

43. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Математическое моделирование вынужденных колебаний дробного осциллятора с вязко-упругим элементом Скотт-Блера // Тезисы докладов XXXIV самарской областной студенческой научной конференции, Ч. 1. Самара: 2008. С. 115.

44. Огородников Е. Н., Яшагип Н. С. Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения // Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. № 1(18). С. 276-279.

45. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Об одной модели дробного осциллятора // Математическое моделирование физических, экономических, технических и социальных систем и процессов: Труды седьмой междунар. конфер. Ульяновск: 2009. С. 203-204.

46. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Постановка и решение задач типа Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана-Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 1(20). С. 24-36.

47. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука. 1991. 252 с.

48. Псху А. В. К теории задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т. 11, № 1. С. 61-65.

49. Псху А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Матем. сб. 2011. № 202:4. С. 111-122.

50. Работнов Ю. Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ. 1948. Т. 12, вып. 1. С. 53-62.

51. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. Т. 9. С. 1791-1799.

52. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1988. 713 с.

53. Радченко В. П., Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Реологические модели вязко-упругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вторая междунар. конф. мат. физика и её приложения: Материалы конференции. Самара: 2010. С. 253-255.

54. Рогачев Г. Н. Эволюционный алгоритм настройки обобщенного ПИД-регулятора // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Тех. науки. 2005. № 39. С. 17-21.

55. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

56. Седлецкий А. М. О нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Матем. заметки. 2000. № 68(5). С. 710-724.

57. Сербина Л. И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. 167 с.

58. Слонимский Г. Л. О законах деформации реальных материалов // ЖТФ. 1939. Т. 9. С. 1791-1799.

59. Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференциро-ванием дробного порядка. Москва, Ижевск: РХД, ИКИ, 2011. 568 с.

60. Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения: Учеб.: Для вузов. — 4-е изд. М.: Физматлит, 2005. 256 с.

61. Учайкин В. В. Дробно-дифференциальная модель динамической памяти // Сборник научно-популярных статей — победителей конкурса РФФИ 2006 года. Под редакцией Конова В. И. М.: Октопус. 2007. № 10. С. 25-41.

62. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

63. Учайкин В. В., Учайкин В. Д. Эффект памяти в диэлектриках. — Уч. записки Ульяновского госуниверситета. Сер. физ. // Уч. записки Ульяновского госуниверситета. Сер. физ. 2005. № 1(17). С. 14.

64. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1993. 260 с.

65. Цейтлии А. И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики. М.: Стройиздат, 1984. 334 с.

66. Чадаев В. А. Видоизменённая задача Коши в локально-нелокальной постановке для нелинейного междупредельного дифференциального уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т. 11, № 1. С. 93-96.

67. Чадаев В. А. Задача Коши в локально-нелокальной постановке для нелинейного уравнения дробного порядка в определённом классе /'/ Вестн.

68. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 1(20). С. 214-217.

69. Чикрий А. А., Матичин И. И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка //' Доповіді Національної академіі наук України. 2007. № 1. С. 50-52.

70. Шхануков-Лафишев М. К., Таукенова Ф. И. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46, № 10. С. 1871-1881.

71. Шхануков-Лафишев М. X. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной // Доклады академии паук. 1996. Т. 348, № 6. С. 746-748.

72. Яшагин Н. С. Интегральные представления и асимптотические формулы для обобщения функции типа Миттаг-Леффлера на случай двух переменных // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 5(21). С. 229-236.

73. Яшагин Н. С. Асимтотические формуля для решения дробного осцил-ляционного уравнения // Сам Диф-2011. Конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»: Тезисы докладов. Самара: 2011. С. 140-141.

74. Яшагин Н. С. Методы решения одного модельного уравнения дробного осциллятора // Материалы IX Школы молодых учёных. Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики. Нальчик: 2011. С. 103-107.

75. Яшагин Н. С., Огородников Е. Н. Свидетельство о регистрации электронного ресурса «Автоматизированный исследовательский комплекс «М^ЬеЬ в ОФЭРНиО № 17486 от 11.10.2011 г. и ФГНУ ЦИТиС № 50201151294 от 18.10.2011 г.

76. Agarwal R. P. A propos d'une note de M. Pierre Humbert // C. R. Seances Acad. Sei. 1953. Vol. 236, N 21. - P. 2031-2032 // C. R. Seances Acad. Sei. 1953. Vol. 236, no. 21. Pp. 2031-2032.

77. Bagley R. L., Torvik P. J. A theorical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity // J. Rheol. 1983. no. 27(3). Pp. 201-210.

78. Bagley R. L., Torvik P. J. On the appeareuce of the fractional derivative in the behavior of real materials // J. Appl. Mech. 1984. Vol. 51, no. 27(3). Pp. 294-298.

79. Banas J., O'Regan D. On existence and local attractivity of solutions of a quadratic Volterra integral equation of fractional order //J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 345. Pp. 573-582.

80. Boltzmann L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung // Annalen der Physic und Chemie. 1876. Erg. Bd. 7.

81. Brunner H., van der Houwen P. J. The numerical solution of Volterra equations, CWI Monographs. Amsterdam-New York, 1986.

82. Chak A. M. A generalization of the Mittag-Leffler function // Mat. Vesnik. 1967. no. 19(4). Pp. 257-262.

83. Das S. Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. Berlin: Springer, 2008. P. 239.

84. Diethelm K., Ford N. J., Freed A. D., Luchko Y. F. Algorithms for the fractional calculus: A selection of numerical methods //' Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering. 2005. no. 194. Pp. 743-773.

85. Duffing G. Elastozial und Reibyng beim Reimentrieb // Forschung auf dem Gebdes Ingenier-wesens. 1931. Vol. 2. no. 3. Pp. 99-104.

86. Gement A. A Method of Analisis. Experimental Results, Contained from Elasto-Viscous // Physics. 1936. Vol. 7. P. 343.

87. Gorenflo R., Loutchko J., Luchko Y. F. Computation of the Mittag-Lefïler function Ea.p(z) and its derivative // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2002. no. 5 (4). Pp. 491-518.

88. Hadid S. B., Luchko Y. F. An operational method for solving fractional differential equations of an arbitrary real order // Panamer. Math. 1996. no. 6. Pp. 57-73.

89. Hartley T. T., Lorenzo C. F. Dynamics and Control of Initialized Fractional-Order Systems // Nonlinear Dynamics. 2002. Vol. 29. Pp. 201-233.

90. Heymans N., Podlubny I. Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann—Liouville fractional derivatives // Rheologica Acta. 2006. Vol. 45, no. 5. Pp. 765-772.

91. Humbert P. Quelques résultats relatifs a la fonction de Mittag-Lefïler // C. R. Acad. Sci. -Paris. 1953. no. 236. Pp. 1467-1468.

92. Humbert P., Agarwal R. P. Sur la fonction de Mittag-Lefïler et quelques-unes de ses generalizations // Bull. sci. math. 1953. no. 77(2). Pp. 180-185.

93. Humbert P. Delerue P. Sur une extension a deux variables de la fonction de Mittag-Leffler // C. R. Acad. Sci. -Paris. 1953. no. 237. Pp. 1059-1060.

94. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. P. 523.

95. Liu Q., Liu F., Turner I., Anh V. Approximation of the Levy-Feller ad-vection-dispersion process by random walk and finite difference method // Journal of Computational Physics. 2007. Vol. 222, no. 1. Pp. 57-70.

96. Lorenzo C. F., Hartley T. T. Initialization, conceptualization and application in the generalized fractional calculus: TM 1998-208415. NASA Center for Aerospace Information, 7121 Stadard Drive, Hanover, MD 21076, USA: NASA, 1998. P. 112.

97. Luchko Y. F., Gorenflo R. An operational method for solving fractional differential equations // Acta Mathematica Vietnamica. 1999. no. 24. Pp. 207-234.

98. Luchko Y. F., Srivastava H. M. The exact solution of certain differential equations of fractional order by using operational calculus // Comput. Math. Appl. 1995. no. 29. Pp. 73-85.

99. Lynch V. E., Carreras B. A., del Castill-Negrete D. et al. Numerical methods for the solution,of partial differential equations of fractional order //J. Comput. Phys. 2003. Vol. 192, no. 2. Pp. 406-421.

100. Mainardi F. Applications of fractional calculus in mechanics // Proc 2d Int Workshop Varna 96, 23-30 August 1996, Bulgaria. Transform Methods and Special Functions. Bulgaria: 1996. Pp. 309-334.

101. Mainardi F. Fractional Relaxotion-Occilation and Fractional Diffusion-Wave Phenomena Chaos // Solitons and Fractals. 1996. Vol. 7, no. 9. Pp. 1461-1477.

102. Mainardi F., Bonetti E. The application of real-order derivatives in linear viscoelasticity // Rheol. Acta. 1988. Vol. 26. Pp. 64-67.

103. Meerschaert M. M., Tadjeran C. Finite difference approximations for fractional advection-dispersion flow equations //J. Comput. Appl. Math. 2004. Vol. 172, no. 1. Pp. 65-77.

104. Meerschaert M. M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations // Appl. Numer. Math. 2006. Vol. 56, no. 1. Pp. 80-90.

105. Miller K. S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New York: Wiley, 1993. P. 366.

106. Mittag-Leffler G. M. Sur la nouvelle function // C.R. Acad. Sci. —Paris. 1903. no. 137. Pp. 554-558.

107. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus: theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. San Diego: Academic Pres, 1974. P. 234.

108. Petras I., Grega S. Digital fractional-order controllers: A possible hardware realization // Proceedings of ICCC'2001, May 22-25, Krynica, Poland. 2001. Pp. 217-222.

109. Podlubny I. Fractional-Order Systems and Fractional-Order Controllers // Inst. Exp. Phys., Slovak Acad. Sci. 1994. no. UEF-03-94.

110. Podlubny I. Solution of linear fractional differential equations with constant coefficients. In the book: P. Rusev, I. Dimovski and V. Kiryakova (eds.) Transform Methods and Special Functions. Singapore: SCT Publ., 1995. Pp. 217-228.

111. Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press, 1999.

112. Podlubny I. Fractional-order systems and P/ADM-controllers // IEE Trans. Automatic Control. 1999. Vol. 44, no. 1. Pp. 208-214.

113. Podlubny I. Matrix approach to discrete fractional calculus // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2000. Vol. 3, no. 4. Pp. 359-386.

114. Podlubny I., Chechkin A., Skovranek T. et al. Matrix approach to discrete fractional calculus II: partial fractional differential equations // Journal of Computational Physics. 2009. Vol. 228, no. 8. Pp. 3137-3153.

115. Srivastava H. M. On an extension of the Mittag-LefHer function // Yokohama Math. J. 1968. no. 16(2). Pp. 77-88.

116. Tadjeran C., Meerschaert M. M., Scheffler H.-P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation // J. Comput. Phys. 2006. Vol. 213, no. 1. Pp. 205-213.

117. Tynda A. N. Numerical algorithms of optimal complexity for weakly singular Volterra integral equations // Comp. Meth. Appl. Math. 2006. Vol. 6. Pp. 436-442.

118. Vinagre B. M., Podlubny I., Hernandez A., Feliu V. Some approximations of fractional order operators used in control theory and applications // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2000. Vol. 3. Pp. 231-248.

119. Volterra V. Leçons sur les fonctions de lignes, professées a la Sorbonne en 1912. Paris: Gauthier-Villars, 1913. P. 240.

120. Welch S. W. J., Rorrer R. A. L., Düren R. G. Application of time-based fractional calculus method to viscoelastic creep and stress relaxation of materials // Mech. Time-Dependent Materials. 1999. Vol. 3, no. 3. Pp. 279-303.

121. Westerlund S. Dead matter has memory // Phisica Scripta. 1991. Vol. 43. Pp. 174-179.

122. Wiman A. Uber den fundamentalsatz in der teorie der funktionell EQ(:c) // Acta Math. 1905. Vol. 29. Pp. 191-201.

123. Wiman A. Über die nulstellen der funktionell Ea(a;) // Acta Math. 1905. Vol. 29. Pp. 217-234.

124. Wright E. M. On the coefficients of power series having exponential singularities //J. London Math. Soc. 1933. Vol. 8. Pp. 71-79.1.!-у. 8 '

125. ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ'Н ЛУК РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

126. ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ И МОНИТОРИНГА

127. ОБЪЕДИНЕННЫЙ ФОНД ЭЛЕКТРОННЫХ РЕСУРСОВ,"НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ"

128. ЭдаЖТРОННОГО РЕСУРСА М17486

129. Настоящее свидетельство выдано на электронный ресурс, отвечающим требованиям новизны и приоритетности:

130. Автомашзнрованныйнсследовательскннкомплекс ; «МИЬс£>-л Дата регистрации: 11 окггябрн 2011 года

131. Авторы:ЯшагинН.СмОгородниковЕ.Н; "

132. Организация-разработчик: ФГОБУ ВПО Самарский государственный \ 1СХЫИЧССКИЙ университет

133. MathWork-s MATLAD 7 10 R2010a1310727965 Разновидность ПС 46 Программный модуль 55 Программа 64 Пакет программ 19 Комплект программ

134. Оргаии1ация-рязработчнк34 Сертифицирована 44 Организация, ведущая ФАП43 Не сертифицирована

135. Учреждение Российской академии образования "Институт научной информации и мониторинга"

136. SS Сокращенное наименование организации% ^о55 Адресорганизащпт ,-■ > 1. ИНИМРАО142432, Московская обл., Ногинский р-н, г Черноголовка, Школьный бульв, 1

137. Сведения об организации-разработчике2988 Телефон 3087 Телефакс 2781 Город278.43-1127844001. Самара2187 Наименование организации

138. ФГБОУ ВХЮ "Самарский государственный технический университет"2385 Сокращенное наименован»« организации 2682 Адрес оргаюпации1. ФГБОУ ВПО "СамПУ"443100, г. Самара, ул Молодогвардейская, д 244-Інформационная карта А.ИП Лист 2 6183 Авторы (разработчики ПС)

139. Яшапш Н С , Огородников Е И1. Page I оГ19045 Наименование программы

140. Автоматизированный исследовательский комплекс «Ivlitl ef>.9117 Реферат

141. Pj ководитеть организации Ненашев М В Проректор по научной работ :д-р техн. наук f. f, идчу." і г '^fplllcJ

142. Функция пша Миттаг-Яеффлера AMJWC4TC3 ' ' Ідифференциальные уравнения с дрооными производными гамана-лн иж—b'flr ) t ПІй&я? ИШШГАО