автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование аномальной диффузии с использованием дробно-дифференциальных уравнений и дискретно-элементных моделей

На правах рукописи

Сластушенский Юрий Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ДИСКРЕТНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 4 ФЕВ 2013

005049759

Москва - 2013

005049759

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и программирования ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Ревизников Дмитрий Леонидович

Официальные оппоненты:

Черкасов Сергей Гелиевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ГНЦФГУП «Исследовательский центр имени М.В. Келдыша»

Рыбин Владимир Васильевич, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры математической кибернетики ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт»

Ведущая организация: ФГБУН «Институт прикладной

математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук»

Защита состоится «01» марта 2013 года в 10 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.125.04 при ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» по адресу 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».

Автореферат разослан «¿¿» 2013 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.125.04, кандидат физико-математических наук

Северина Н.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертационная работа направлена на создание аппарата математического моделирования процессов аномальной диффузии. В отличие от классической диффузии, характеризующейся линейной зависимостью среднего квадрата смещения частиц от времени, в аномальных процессах наблюдается отклонение от линейного закона и появление дробного показателя степени. Такая ситуация характерна для сложно структурированных неоднородных сред, когда существенными становятся эффекты долгосрочной памяти и/или пространственной нелокальности. В качестве примеров систем, в которых наблюдается корреляция или когерентность движения частиц, можно привести пористые среды, среды с фрактальной структурой, аморфные полупроводники, аэрогели и т.д. Рассматриваемый класс процессов вызывает всё больший интерес у исследователей в связи с обнаружением аномальных свойств у ряда наноматериапов и наносистем. Разработка эффективных средств компьютерного моделирования является важнейшей составляющей научной деятельности в этом новом междисциплинарном направлении.

Целью работы является создание методов и средств математического моделирования аномальной диффузии в сложно структурированных средах. Для этого необходимо решение следующей группы задач:

• Анализ подходов к моделированию аномальной диффузии в средах с различной структурой.

• Разработка и реализация алгоритмов численного решения дробно-дифференциальных уравнений.

• Разработка и реализация алгоритмов дискретно-элементного моделирования процессов аномальной диффузии.

• Проведение вычислительного эксперимента по моделированию диффузионных процессов в полигональных каналах и неоднородных средах. Анализ типа и характеристик диффузии.

• Разработка методов согласования микро- и макромасштабного описания процессов аномальной диффузии.

Научная новизна.

Исследованы вопросы моделирования аномальной диффузии на микроуровне с использованием метода дискретных элементов и на

макроуровне с помощью методов дробно-дифференциального исчисления. Предложен алгоритм определения параметров макроскопической модели по данным микромасштабного моделирования. Тем самым установлена связь между различными масштабами в описании аномальной диффузии.

Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы решения дифференциальных уравнений с дробными производными. Отличительной чертой построенных конечно-разностных схем является повышенный порядок аппроксимации, что обеспечивает достаточно высокую точность при относительно низких вычислительных затратах. Предложена эффективная реализация метода случайного блуждания, учитывающая наличие временной аномалии и конвекции, обоснована корректность предлагаемого метода.

Проведено численное моделирование пространственно-временной эволюции частиц в полигональных каналах, исследованы возникающие диффузионные процессы, на основе вычислительных экспериментов показано влияние профиля канала на характеристики установившейся диффузии. Выявлены механизмы возникновения комбинированного типа аномальной диффузии.

Проведено численное моделирование пространственно-временной эволюции частиц в средах с неоднородной структурой, исследовано влияние микромасштабных параметров среды на характеристики и тип установившейся диффузии. Выделены различные виды аномалий: пространственная, временная и комбинированная, определены условия их возникновения.

Достоверность и обоснованность.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в ходе диссертационного исследования, обеспечивается сопоставлением между собой численных и аналитических решений тестовых задач, численных решений, полученных независимыми друг от друга способами, а также хорошей согласованностью результатов проведённых вычислительных экспериментов с использованием дискретно-элементных моделей и решений дробно-дифференциальных уравнений.

Практическая ценность.

Разработанные в диссертации средства математического моделирования имеют высокую значимость с точки зрения перспектив их применения для исследования диффузионных процессов в сложно структурированных средах. При этом создаётся теоретическая основа для исследования свойств и создания

конструкционных (в том числе — нанокомпозитных) и теплозащитных материалов нового поколения, предназначенных для использования в авиационно-космической технике. Разработанные вычислительные алгоритмы обладают высоким потенциалом к распараллеливанию вычислений и представляют значительный интерес для специалистов в области математического моделирования. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы и при составлении образовательных курсов по математическому моделированию и численным методам.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих российских и международных форумах:

• VI Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», 1-2 апреля 2009 г., Москва.

• VIII Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010), 25-31 мая 2010 г., Алушта.

• XVII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСПСС'2011), 25-31 мая 2011 г., Алушта.

• Московская молодёжная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике —2012», 17-20 апреля 2012 г., Москва.

• IX Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012), 25-31 мая 2012 г., Алушта.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 2 статьи в научных журналах из перечня ВАК РФ для представления основных научных результатов диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук. Одна статья принята к публикации. Список публикаций приведён в конце автореферата.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 13 таблиц, 26 рисунков и 107 библиографических ссылок. Общий объём работы составляет 105 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертационной работы рассмотрены подходы к моделированию аномальной диффузии, дан краткий обзор понятий дробно-дифференциального исчисления, отмечено его практическое приложение к предмету исследования. Приведено обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи, отмечена научная новизна, представлены данные по апробации работы и перечислены авторские публикации по теме.

Первая глава работы посвящена математической модели одномерной аномальной диффузии.

Математический аппарат для описания процессов аномальной диффузии на макроуровне (в приближении сплошной среды) основан на уравнениях в частных дробных производных. При этом возможно появление как пространственных, так и эволюционных дробно-дифференциальных операторов.

Одномерная по пространству математическая модель аномальной диффузии представляется следующим дробно-дифференциальным уравнением:

д"с(х,0 = од°с(х,П 81' дх" '

где с(х,0 - объёмная концентрация диффундирующих частиц, В - коэффициент диффузии (Е> > 0), а и у - параметры, характеризующие порядок дробных производных по пространству и времени соответственно, из физических соображений следуют условия 0<^<1 и 1 < а < 2.

дгс(х /)

Здесь выражение — представляет собой левостороннюю дробную

производную, а д с(х'0 _ двустороннюю (взвешенная комбинация

дх"

левосторонней и правосторонней):

д°с(х,р= д:ф,0 | с д?с(х,0 (2)

дх" " дх" " дх" '

где С+ > 0, С > 0 и + С_ = 1.

Необходимые односторонние дробные производные произвольных порядков а и у определяются формулами Римана-Лиувилля для дробной производной Лиувилля и Вейля:

drc(x,t) _d7+c{x,t) 1 dm

8f dt" ДИ + 1-/)

1

TTTf^Se-^«^' О)

=_\(x - Hz t)dr (4)

AM + l-a)^"141 Jv ; ^ ; W

Диффузия рассматривается на всём одномерном пространстве (решается задача Коши). В качестве начального условия может быть задана любая неотрицательная функция из пространства £,(-°о;+оо), т.е. с(х,0) = f(x) > О,

J/{x)dx = С0 < да, в том числе возможно и с(х,0) = С0-3(х). В последнем случае

часто полагают С0 = 1.

Параметр у в уравнении (1) отвечает за появление субдиффузии - при а = 2 уравнение (1) описывает аномальную диффузию с зависимостью (r2^~tr. Параметр а отвечает за появление супердиффузии - при / = 1 уравнение (1) описывает аномальную диффузию с зависимостью (г1}-!2'". Комбинация обоих параметров в уравнении (1) может описывать аномальную диффузию как в режиме субдиффузии, так и в режиме супердиффузии (r2^ ~ tp"lrl" (0<р<2) — в

зависимости от того, какой механизм является преобладающим. Очевидно, что в предельном случае а = 2, у = 1 уравнение (1) описывает классическую диффузию.

В силу сложности дробно-дифференциальных уравнений нахождение аналитических решений рассматриваемого класса задач затруднительно. Поэтому в работе применялись численные методы решения задачи. Использовались два сорта методов: метод конечных разностей и метод случайного блуждания.

Конечно-разностные методы решения дробно-дифференциальных уравнений типа (1) основаны на аппроксимации дробных производных на координатных сетках с шагами А и г по пространству и времени соответственно с использованием формул Грюнвальда-Летникова:

+ ' =-lim—V —-—c{x,t-kr), (6)

dt" Г(-у)'^тг t0T(k + \) W

для дробной производной по времени,

дх" Г{-а) А->0 ha ji, Г{к +1) w

для левосторонней дробной производной по пространству, и

=-¿-1ХА^.О + екю, (Ю)

для правосторонней дробной производной по пространству.

Пусть пространство Ь<х<Я и время 0<г<Г разбиты пространственно-временной сеткой =£ + /й,Л> 0, /' = 0,1,2,.и =пт,т>0, п = 0,1,2, ...,7*/.

Тогда, как следствие формул (6) - (8), дробные производные уравнения (1) будут аппроксимированы в узлах сетки (х„ /„) следующим образом:

д? Ы7 ту >> »*>

да+ф:,,/„) ' М

йх" А 4=0

йх А м

а"с(*.,Р_с а:с(*,,ц ; с (12)

8ха дх" ' дх" '

Г(к-а)

где ga к =------нормированные веса Грюнвальда-Летникова.

Г(-а)Г{к +1)

Изложенный подход позволяет строить явные и неявные конечно-разностные схемы для дробно-дифференциальных уравнений. При этом схемы имеют первый порядок точности по времени и пространству. Отметим, что в связи с нелокальным характером дробных производных матрица дискретного аналога не является разреженной. Это существенно отличает данный класс задач от задач классической диффузии.

Для повышения порядка точности численного решения дробно-дифференциального уравнения в настоящей работе была использована идея метода Рунге-Ромберга-Ричардсона, основанная на использовании дробных сеток. В этом случае, обладая механизмом повышения порядка точности численного решения задачи на единицу, можно составить пирамидальный алгоритм, позволяющий численно решать дифференциальные уравнения с дробными производными с произвольным порядком точности.

В результате, на представительном наборе задач, имеющих аналитическое решение, была проанализирована эффективность методов повышенного порядка точности с позиций критерия «точность — вычислительные затраты», и было показано, что предложенное семейство алгоритмов повышенного порядка точности действительно даёт преимущество и при соответствующих сетках одна и та же величина погрешности достигается тем быстрее, чем выше порядок точности схемы, использованной при решении

задачи.

Весомой альтернативой конечно-разностной аппроксимации является метод случайного блуждания по сетке. При этом вероятности соответствующих перемещений полностью определяются только набором величин, включающим параметры уравнения а, у, Б и сеточные параметры И, т. Такой подход является естественным обобщением метода Монте-Карло для уравнения классической диффузии. Будучи микроскопическим по форме, он остается макроскопическим по существу, а точность итогового решения зависит только от выбранного числа симуляций (и в пределе численное решение сходится к точному).

Запишем уравнение (1) в дискретном виде, воспользовавшись формулами (9) - (12) и перейдя от объёмной концентрации с(х„ ^ сначала к относительной концентрации (или плотности вероятности) с(хь а затем и к

относительному (отнесенному к общему количеству частиц в системе) числу частиц в ячейке (или вероятности нахождения частицы в ячейке) у(х,,

приняв у,(;„) ---|с(х, 1п)(1х ---И-с(х,,/„):

С» л-ИП О,

а!Х*.Л) с а:к*,Л-0 , с д1у(х„1Л

81' дха ~ дха К '

= '-¿-¿^Л-М,,-! +С- ■-Пг'Т^Ва.кУ^-и-х) (14)

' т=0 " 4=0 « к= 0

ю ^г «о =о

У,* =УУ,.п-, - +0-—(С+

т=2 » ¿=0 ¿-О

Уравнение (15) можно понимать не только как алгоритм явной конечно-разностной схемы для вычисления значений у(х„ на следующем временном слое по значениям на предыдущем у(х» („.¡), но и как руководство к осуществлению случайного блуждания частицы по сетке с соответствующими коэффициентами перехода, стоящими при вероятностях нахождения у1 в ходе их перераспределения по правилу:

-Ню +со

у,ю= +(16)

т-2

Эти коэффициенты и есть нужные для модели случайного блуждания вероятности р и д: р - вероятность прыжков по пространству (из любой точки слева или справа), а ^ — вероятность прыжка по времени (из любого предыдущего момента в той же точке).

После группировки слагаемых в выражении (15) в соответствии с формулой (16) соответствующие вероятности прыжков р по пространству и ц по времени можно определить (т > 2):

ри=о.£1(«Мс С)±и.£1

А" 2 * * 2й (17)

Часто рассматривается случай без перекоса дробной производной по пространству в одну из сторон (симметричное распределение частиц в системе). Тогда полагается С+ = С_ = Уг.

Следует обратить внимание на то, что в формулах (13) — (15) (как и в

формуле (9) ранее) присутствует бесконечная сумма ^Jgr^y¡%„.m по всем

т=2

предыдущим моментам времени (включая даже те, что были ранее начала наблюдений вроде уВ случае у <\, если начальным условием является функция, отличная от нулевой, естественным образом возникает вопрос о способе её продолжения назад на отрицательные значения времени что необходимо для численного решения задачи конечно-разностным способом. В

+ао -ке

настоящей работе условие ^укЦ„)= ук(0) используется для любого 1„, т.е.

¿=-оо к=—-л

для всех отрицательных слоёв принимается то же распределение у,.п, что и для нулевого ум. В этом случае сумма ^ёу,ту,,„.т упрощается до конечной

т=2

следующим образом:

Ё = £ + £ = Е ~ У:,о Ё ■ (! 8)

т=2 т=2 т=п+1 т=2 т=О

Ниже на рис. 1 приведён пример решения задачи Коши с начальным условием с(д:,0) = С0 • д(х) для уравнения аномальной диффузии (1) при значениях а = 1.7, у = 0.9, £> = 0.0005 и сетке И = 0.002, т = 0.01 на отрезке [-0.1; 0.1] и случая равносторонней дробной производной по пространству (С+ = С- = Уг) обоими методами: конечных разностей и случайного блуждания (107 симуляций). Наблюдается хорошее согласование обоих решений.

Рис. 1. Сравнение на участке [-0.1; 0.1] численных решений уравнения (1) в моменты времени 1 = 2 (график 1) и / = 5 (график 2) различными методами: конечно-разностным (сплошная кривая) и случайного блуждания (выделено маркерами)

Кроме того, следует отметить, что, так как метод случайного блуждания является статистическим в основе, то его алгоритмическая сложность невелика и вычислительные затраты (количество операций Nop) пропорциональны числу симуляций (Ns), помноженному на количество рассчитываемых временных слоев (N): Nop ~ N\ х ,V. В то же время сложность конечно-разностного решения из-за суммирования «хвостов» в общем случае а < 2, -у < 1 оценивается как N

Nop ~ Кх jVх(К + —) (по сравнению с Nop ~ KxN для классической диффузии),

вследствие чего (при фиксированных шагах и разбиении) с увеличением числа рассчитываемых слоев с некоторого момента метод случайного блуждания при той же точности начинает превосходить по скорости конечно-разностные методы.

Таким образом, в первой главе были определены исходные уравнения аномальной диффузии и описаны подходы к их численному решению. Представлены методы конечных разностей повышенного порядка точности и методы случайного блуждания. С целью верификации используемых алгоритмов расчёта проведено сравнение численных и аналитических решений тестовых задач, а также численных решений, полученных независимыми друг от друга способами.

Во второй главе исследуются процессы аномальной диффузии бильярдного газа в полигональном канале.

Микроскопический подход к описанию одномерной аномальной диффузии в общем случае основан на прямом численном моделировании

динамики представительного ансамбля независимых частиц, движущихся в некоторой среде по определённым правилам. Расчёт пространственно-временной эволюции этих частиц и дальнейшее осреднение по ансамблю соответствующих параметров, в том числе зависимости позволяет

определить характер диффузии и выразить его численно числом р. Полученное распределение затем возможно сравнить с результатом численного решения дробно-дифференциального уравнения (1).

Одним из ярких представителей систем с аномальной диффузией на микроуровне является модель бильярдного газа в специально профилированном канале, содержащем препятствия некоторой формы на обеих его стенках вдоль всей своей длины. В нём происходит равномерное и прямолинейное движение ансамбля частиц с зеркальным отражением от стенок. Различные каналы отличаются геометрической конфигурацией, которая влияет на итоговые диффузионные свойства бильярдного газа.

Одной из наиболее интересных конфигураций с точки зрения изучения аномальных диффузионных свойств является модель полигонального канала для бильярдного газа. Геометрия данного канала показана ниже на рис. 2.

Ширина канала

определяется Л

как

Н = к =-

112 ^ч

Рис. 2. Геометрия полигонального канала (1 ячейка)

' 2

где И - длина ячейки, угол (рх = (^5 зафиксирован, а

угол (рг=л!ц варьируется параметром д > 3. Все частицы ансамбля расположены изначально в центре канала с равномерным распределением по ширине Л.?, одинаковым модулем скорости и равномерно случайным стартовым направлением.

В результате, в зависимости от параметра д, в канале наблюдается диффузия самого разного характера, например, супердиффузия при д = 3, субдиффузия при д = 4, и нормальная диффузия (т.е. диффузия с показателем степени р ~ 1) при д = 8. И действительно, на рис. 3 можно видеть соответствующие этим случаям значения характеристики диффузии р — 1.27, 0.75 и 1.

0,5 0.6

|-а(Ч

Рис. 3. Зависимости (л*2) ~ ¡р для д = 3 (линия 1), д = 4 (линия 2) и <у = 8 (линия 3) на временном интервале 1 < I < 10 в логарифмической шкале [20 ООО ООО частиц]

Для описания одномерной аномальной диффузии бильярдного газа в полигональном канале на макроуровне будем использовать дробно-дифференциальное уравнение (1) с подлежащими определению параметрами а, у, £>. Вследствие симметричности моделируемого на микроуровне процесса дробная производная по пространству полагалась равносторонней, т.е. С+ = С = 'Л. В качестве начального условия, в соответствии с условиями вычислительного эксперимента, была задана дельта-функция: с(х,0) = С0-3(х).

Поиск оптимальных параметров производился с помощью метода Нелдера-Мида в пространстве значений а, у в сочетании с поиском оптимального значения коэффициента диффузии £> методом золотого сечения для каждой такой пары, решалась задача минимизации функции ошибки:

+ (19)

со„ ) С0„ )

на множестве значений параметров 1 <а<2, 0<у<1,/)>0.

Здесь с ',„ и с,„ - сеточные значения концентрации диффундирующих частиц, полученные с использованием микромасштабного моделирования и с помощью численного решения дробно-дифференциального уравнения соответственно.

Таким способом были подобраны приблизительные значения параметров а, у, И уравнения (1) для каждой из семи изученных конфигураций канала 3 < д < 9. Для всех рассмотренных вариантов решение каждого полученного уравнения аномальной диффузии достаточно точно описывает пространственно-временную эволюцию диффундирующих частиц в соответствующем полигональном канале.

Например, в канале с д = 3 наблюдается установление к сильной супердиффузии. Диффузионный процесс в этом случае хорошо описывается уравнением (1) с параметрами а ~ 1.341, у ~ 0.952 и Б ~ 5.865-Ю"4 (рис. 4). В данном случае в канале имеются возможности как для прострельного

движения частиц (а < 2), так и для попадания частиц в ловушки (у < 1), однако преобладающей оказывается первая тенденция.

Таким образом, представленные в главе результаты вычислительных экспериментов демонстрируют, что характеристики установившегося диффузионного режима существенно зависят от структуры препятствий в канале. С целью установления взаимосвязи микроскопического и макроскопического описания аномальной диффузии проведён подбор параметров соответствующего дробно-дифференциального уравнения и установлен характер возникающих аномалий.

В третьей главе исследуются процессы аномальной диффузии в средах с неоднородной структурой.

Как показывают физические эксперименты по наблюдению диффузионных процессов в твёрдых телах, у различных классов материалов наблюдаются каналы ускоренной диффузии (по границам зёрен и дислокациям). Действительно, в отличие от жидкостей и газов, в кристаллических твёрдых телах реализуется несколько структурно различных каналов, по которым может проходить диффузия атомов. Помимо объёмной диффузии по решётке, возможна диффузия по поверхности, контролируемая различными атомными дефектами, и частоты атомных скачков вдоль дислокаций, границ зёрен и на свободных поверхностях много выше, чем в решётке, что приводит к возникновению супердиффузии. Эти соображения

50

40/

с(х)

1 иИ'тТРт^^У ,-9_ -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,02 0,04 0,06 0,08 X

Рис. 4. Распределение концентрации диффундирующих частиц для д = 3 (сплошная кривая) и решение уравнения (выделено маркерами) в моменты времени г = 0.4Т, г = 0.7Г и г = Г (пунктирная кривая отражает распределение Гаусса)

легли в основу для следующего подхода.

Будем использовать модель диффузионного переноса, согласно которой перемещение диффундирующих частиц осуществляется вследствие взаимодействия с окружающей средой и с границами области. Диффузия по-прежнему рассматривается в узкой, бесконечной в продольном направлении двумерной области (х, у), ограниченной по ширине зеркально отражающими стенками (канал с шириной Н). Окружающая среда описывается расположением и динамикой её структурных элементов (СЭ), т.е. частиц среды. Предполагается, что частицы среды создают потенциальное силовое поле.

В исследуемой модели используется потенциал Леннарда-Джонса:

где г - расстояние от диффундирующей частицы до структурного элемента среды, End- параметры потенциала (глубина потенциальной ямы и точка нулевого потенциала).

Также предполагается, что движение СЭ независимо, т.е. их масса много больше массы диффундирующих частиц, что позволяет считать их не подверженными заметному обратному взаимодействию, т.е. неподвижными.

Потенциальное силовое поле используется только с целью определения направления движения частицы, а её кинетическая энергия поддерживается постоянной и равной стартовой. Вследствие такой нормировки скорость диффузии сохраняется постоянной, а конкретные значения массы частицы т и параметра потенциала Е не влияют принципиально на итоговую диффузионную картину и могут быть приняты некими константами.

Все частицы ансамбля изначально располагаются в центре канала х = 0 с

н н

равномерным распределением по его ширине ~ — <у<—. Модуль скорости

движения всех диффундирующих частиц одинаков и постоянен. Стартовое направление движения частицы случайно, все направления равновероятны.

В качестве примера рассмотрим регулярное начальное расположение структурных элементов среды, т.е. с постоянными заданными интервалами по пространству (по длине hx и ширине hy), когда расположение СЭ зафиксировано и симметрично относительно оси х в канале. Пусть й, = hv - > 0.

Ширина канала Н задана в единицах hy дискретным параметром числа рядов СЭ в канале В: Н = Bhy = BAd,B> 1.

Исследуется диффузия в канале с несколькими рядами СЭ (В) при небольших значениях X (при которых наблюдается нормальная диффузия), но

(20)

при этом в нём сделаны вырезы, т.е. несколько рядов (А < В) убраны из центра канала. Отсутствие центральных рядов СЭ приводит к супердиффузии, пространственную аномалию можно наблюдать, например, при В = 5, А = 3, где прямое моделирование дает р ~ 1.13. Этот процесс можно описать уравнением (1) с дробной производной по пространству порядка а = 1.84.

На этом примере также можно отдельно отметить наличие «тяжёлых» степенных хвостов, характерных именно для супердиффузии (рис. 5).

Таким образом, в третьей главе установлено значительное влияние микромасштабных параметров модели на характер наблюдаемой диффузии, по данным дискретно-элементного моделирования определены параметры дробно-дифференциального уравнения, что даёт связь между различными масштабами в описании аномальной диффузии.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Разработаны методы математического моделирования процессов аномальной диффузии в сложно структурированных средах. Реализованы два подхода к описанию аномальной диффузии — макроскопический, основанный на использовании дробно-дифференциальных уравнений, и микроскопический, предполагающий прямое моделирование динамики частиц и столкновительных процессов в системе. Предложен алгоритм идентификации параметров дробно-дифференциального уравнения по данным, поступающим с микроскопического уровня, что позволяет связать микроскопический и макроскопический подходы.

2. Построено семейство конечно-разностных схем повышенного порядка точности для решения дробно-дифференциальных уравнений. На основе анализа эффективности методов повышенного порядка точности с позиций критерия «точность - вычислительные затраты» установлено, что предложенное семейство алгоритмов превосходит конечно-разностные схемы первого порядка.

3. Предложена модификация метода случайного блуждания применительно к решению дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные по пространственной и временной координатам. Показано, что при наличии временной аномалии с увеличением числа рассчитываемых слоев метод случайного блуждания при той же точности начинает превосходить по скорости конечно-разностные методы.

4. Создан комплекс программ для моделирования процессов аномальной диффузии на микро- и макроуровнях. Осуществлена программная реализация дискретно-элементных моделей с различным характером межчастичного взаимодействия и алгоритмов численного решения дробно-дифференциальных уравнений с использованием конечно-разностных схем повышенного порядка точности и метода случайного блуждания. Разработанное программное обеспечение позволяет моделировать пространственно-временную эволюцию частиц в сложно структурированных средах и осуществлять подбор параметров соответствующего дробно-дифференциального уравнения по результатам микромасштабного моделирования. Программный комплекс оснащён средствами распараллеливания вычислений и визуализации результатов расчётов.

5. На основе разработанных средств математического моделирования проведено исследование аномальной диффузии частиц в полигональных каналах и неоднородных средах. Выявлены основные закономерности влияния характерных параметров среды на возникновение режимов супердиффузии и субдиффузии. Проведено разделение вкладов баллистического (прыжкового) и ловушечного механизмов в итоговый характер диффузии, определены условия проявления пространственной, временной и комбинированной аномалий. Показана эквивалентность микроскопического и макроскопического подходов к моделированию аномальной диффузии.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных журналах из перечня ВАК РФ

1. Ревизников ДЛ., Сластушенский Ю.В. Применение дробно-дифференциального исчисления для описания аномальной диффузии. // Вестник Московского авиационного института, т. 18, № 4, 2011 г. - М.: Изд-во МАИ, 2011,- 136 е., стр. 76-82.

2. Сластушенский Ю.В. Модель случайного блуждания для уравнения аномальной диффузии. // Научно-технический вестник Поволжья, № 5, 2011 г. - Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2011. - 285 е., стр. 242-246.

3. Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Численное моделирование аномальной диффузии бильярдного газа в полигональном канале. // Математическое моделирование, № 5, 2013 г., стр. 3-14. (статья принята к публикации).

Материалы статей и научных конференций

4. Сластушенский Ю.В. Алгоритмы численного решения дифференциальных уравнений с дробными производными. И Технологии Microsoft в теории и практике программирования: Тр. VI Всерос. конф. студентов, аспирантов и молодых учёных. - М.: Вузовская книга, 2009. - 200 е., стр. 179-180.

5. Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Подходы к моделированию аномальной диффузии на микро- и макроуровне. // Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010). - М.: МАИ-ПРИНТ, 2010, - 624 е., стр. 142-145.

6. Ревизников ДЛ., Петухов А.А., Сластушенский Ю.В. Описание аномальной диффузии с использованием дробно-дифференциальных уравнений и метода дискретных элементов. // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСПСС'2011). - М.: МАИ-ПРИНТ, 2011,- 832 е., стр. 601-602.

7. Сластушенский Ю.В. Подходы к моделированию процессов аномальной диффузии. // Инновации в авиации и космонавтике - 2012. Сборник тезисов докладов. - М.: ООО «Принт-салон», 2012. - 334 е., стр. 250-251.

8. Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Моделирование аномальной диффузии на примере модели бильярдного газа в канале. // Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012). - М.: Изд-во МАИ, 2012.-656 е., стр. 512-515.

Подписано в печать: 24.01.2013 Тираж 100 экз. Заказ №920 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинградский пр-т д.74 (495)790-74-77 www.reglet.ru

ВВЕДЕНИЕ.

1. ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ.

1.1. Макроскопическая модель аномальной диффузии.

1.2. Конечно-разностные методы решения дробно-дифференциальных уравнений.

1.3. Методы повышенного порядка точности.

1.4. Метод случайного блуждания.

1.5. Особенности решений дробно-дифференциальных уравнений.

Выводы к главе 1.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ БИЛЬЯРДНОГО ГАЗА В ПОЛИГОНАЛЬНОМ КАНАЛЕ.

2.1. Дискретно-элементная модель бильярдного газа.

2.2. Результаты вычислительного эксперимента.

2.3. Описание аномальной диффузии бильярдного газа дробно-дифференциальными уравнениями.

Выводы к главе 2.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ В СРЕДАХ С НЕОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРОЙ.

3.1. Дискретно-элементная модель среды с неоднородной структурой.

3.2. Особенности вычислительного эксперимента.

3.3. Механизмы появления пространственной аномалии.

3.4. Механизмы появления временной аномалии.

3.5. Механизмы появления комбинированной аномалии.

3.6. Моделирование аномальной диффузии вдоль границ зёрен.

3.7. Описание программного комплекса.

Выводы к главе 3.

В настоящей работе рассматриваются вопросы математического описания процессов одномерной аномальной диффузии. В отличие от классической диффузии, характеризующейся линейной зависимостью среднего квадрата смещения частиц от времени, в аномальных процессах наблюдается отклонение от линейного закона и появление дробного показателя степени р, . При этом возможны режимы супердиффузии (1<р<2) и субдиффузии (0<р<1), которые связаны соответственно с прыжковым механизмом переноса и наличием ловушек в среде.

В работе рассмотрены два подхода к описанию аномальной диффузии -макроскопический, основанный на использовании дробно-дифференциальных уравнений, и микроскопический, предполагающий прямое моделирование динамики частиц и столкновительных процессов в системе. Исследованы механизмы появления аномальных эффектов как по пространству, так и по времени, показана эквивалентность обоих подходов к описанию рассматриваемых явлений.

В данном разделе дай краткий обзор дробно-дифференциального исчисления, позволяющего описывать явления аномальной диффузии в приближении сплошной среды.

Дробно-дифференциальное исчисление - это область математического анализа, посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного и комплексного) порядка. Дробно-дифференциальное исчисление (или просто дробное исчисление) имеет давнюю историю. Мысль об обобщении понятия дифференцирования ^ ^^ на нецелые значения п возникала с самого зарождения дифференциального исчисления. Первая зафиксированная попытка обсуждения такой идеи содержится в переписке Г. Лейбница и Г. Лопиталя 1695 г., поэтому историю идеи о производных дробного порядка принято отсчитывать от знаменитого письма Лопиталя Лейбницу с вопросом о том, что может представлять собой производная порядка I/2, и ответного письма Лейбница, содержащего пророческие слова «.из этого парадокса со временем будут выведены полезные следствия». Идеи, связанные с дробным интегро-дифференцированием, разрабатывались JI. Эйлером (1730), П.-С. Лапласом (1812), Ж. Б. Ж. Фурье (1822), Н. X. Абелем (1823-1826). В 1832-1837 гг. появилась серия работ Ж. Лиувилля, сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного исчисления. Серьёзный вклад в развитие теории внесли работы Б. Римана (1847), X. Хольмгрена (1865-1867), А. К. Грюнвальда (1867-1872) и А. В. Летникова (1868-1872). Также следует отметить вклад таких учёных, как Ж. Адамар (1892), Г. Вейль (1917), П. Леви (1923), М. Риес (1949) и В. Феллер (1952). В результате, к середине 20 века вышло уже множество работ, так или иначе связанных с дробным исчислением, но результаты большинства этих работ были труднодоступны и малоизвестны. Зачастую затрачивались большие усилия для получения утверждений или уже известных, или легко вытекающих из известных. Первая монография, содержательно отражающая достижения теории дробного исчисления, вышла только в 1974 г. В этом же году в Ныо-Хейвене прошла организованная Б. Россом первая международная конференция, посвященная именно вопросам дробного интегро-дифференцирования.

Среди русскоязычной литературы первой обстоятельной работой, посвященной математике дробно-дифференциального исчисления, была книга [1]. На сегодняшний день вышло уже большое количество работ, которые посвящены не только непосредственно теории дробного исчисления, но и её применению в самых различных областях науки, техники и естествознания, например [2-17]. Среди англоязычных публикаций следует отметить большой вклад, которые внесли в теорию Meerschaert М.М. и его соавторы [18-30]. Не менее полезна и серия работ Gorenflo R. и Mainardi F. [31-35]. Также важны статьи за авторством Sokolov I.M., Chechkin A.V., Klafter J. и соавторов [36-44], Liu F., Anh V. и соавторов [45-49], Roop J.P. [50-52]. Кроме того, стоит выделить труды от Momani S., Odibat Z. [53-56] и Hristov J.[57-62]. Другие важные публикации представлены в [63-75]. Следует отметить, что в последние годы интерес к дробно-дифференциальному исчислению особо стимулируется теми практическими его приложениями, которые регулярно обнаруживаются в различных физических экспериментах.

Далее отметим самое существенное из этих работ.

На данный момент известно несколько альтернативных определений дробных интегралов и производных (Адамар, Вейль, Маршо и др.), но наиболее распространёнными являются определения Римана и Лиувилля.

Идея определения дробной производной по Риману-Лиувиллю заключается в обобщении формулы Коши для «-кратного интеграла: \.]/{х0)с1х0.Ахп, =1](*-/)»-1/(/)Л (1) а а а Vа на дробный порядок п.

В настоящее время определение дробного интеграла согласно Риману-.-Лиувиллю представляется следующими выражениями: (2)

3)

1 (и) { где и > О, Г{о) — гамма-функция Эйлера.

Первый из них называется левосторонним, а второй - правосторонним. Эти интегралы определены на интегрируемых по Лебегу функциях на интервале (а;Ь) и существуют почти всюду.

Дробные интегралы Римана-Лиувилля удовлетворяют полугрупповому свойству:

1:ЛФ=СФ, 1аьЛФ=п:рФ, а>о,/з>о.

Просто продолжить дробные интегралы на область отрицательных значений V, т.е. определить дробные производные простым изменением знака расходится на верхнем пределе.

Преодолевается эта трудность использованием соотношения: а'/дх)=¡тс» т.

Таким образом, теперь применение дифференциального оператора Б"1 к дробному интегралу Г позволяет ввести дробное дифференцирование как операцию, обратную дробному интегрированию:

01т - (-О)- ,гт=т^^г ■ (5)

Дробные производные Римана-Лиувилля положительного порядка v определены в классе функций [и]-1 раз абсолютно дифференцируемых на; отрезке [<а\Ь] и существуют почти всюду.

В итоге (положив т = [и] +1, т.е. взяв наименьшее из таких чисел) односторонние дробные производные Римана-Лиувилля произвольного порядка V определяются формулами: б> н)№1 \ г„ { ) дх» + } ппа' для левосторонней и правосторонней производных.

Если V - целое число, то эти формулы дробных производных совпадают с формулами обычной производной целого порядка.

При а = 0 и Ъ = 0 данные формулы называются так же дробной производной Римана-Лиувилля, при других конечных а и Ь - просто дробной производной Римана, а при а = -со для левосторонней и Ь = +оо для правосторонней - дробной производной Лиувилля и Вейля соответственно.

Дробные производные сохраняют ряд свойств обычных производных.

К (я/i (0 + с2/2 (0) = с, D"JX (/) + с2 Düaf2 (/).

2) Они обладают свойством v-однородности:

D»J{bt + с) = b-»D^J{bt + c),b> 0 .

3) Они являются левыми обратными операциями по отношению к дробному интегрированию:

1у;га.т = d: D-aom = т, о > о.

Однако иной порядок применения этих же операторов даёт другой результат: raD»a т = D~vDuaf(t)=по - x'/r (a+)(x;a)\J и > о, и Ду-у) что обобщает формулу Ньютона-Лейбница.

В то же время у них появляются специфические свойства.

В первую очередь, это зависимость от предела а (нелокальность), т.к. дробная производная является нелокальным оператором свёртки. В результате, значение левосторонней дробной производной функции f(x) в точке х зависит от значений функции во всех точках левее х, а для правосторонней - от значений функции во всех точках правее х.

Таблица производных также меняет вид, хотя формула дифференцирования степенной функции остаётся той же самой, только целое п заменяется дробным v.

Пусть ф г/) = —1—>0. ' Д/0

Тогда:

1 , . ч //-1 1

Г{н) Г{/л - о)

Отсюда следуют два необычных факта.

Во-первых, дробная производная положительного порядка V > 0 от постоянной С не равна нулю (при а Ф -со):

-?-С(1 -а)'0.

Г(1 - и)

Следовательно, функция СФУ играет роль постоянной для у-й производной. И если, например, функция g(x) является решением уравнения /(0, то и функция ё(х) + СФу(х-а) будет его решением, а вот функция #0) + С - нет.

Иногда в качестве дробной производной используется обратная конструкция: вначале осуществляется /77-кратное дифференцирование, а затем -дробное интегрирование: />,"/(*) = СЯ"Я*)

Такие операции называются дробными производными Капуто, по имени итальянского математика, использовавшего их для решения некоторых задач теории упругости. В общем случае дробные производные Римана-Лиувилля и Капуто не совпадают, но на множестве функций, удовлетворяющих условию = разница исчезает. Одно из достоинств производных по

Капуто - равенство нулю производной от константы:

С(/ - а) = 0,и > 0.

В 1867 г. Грюнвальд и в 1868 г. Летников выпустили работы, в которых они развили подход к дробному интегро-дифференцированию, основанный на конечно-разностных отношениях. Его идея в том, что производную целого порядка п (п = 1, 2, 3, .), первоначально введённую как результат /7-кратного дифференцирования, можно представить также как предел отношения приращения (разности) функции п-го порядка Ау к п-й степени приращения аргумента И1. Таким образом, Грюнвальд и Летников использовали абсолютно другой подход. Они определили производную дробного порядка, обобщив формулу: = А';,/(х) = £(-!){"!Ах-Щ, Н = (8) где Д'),/0) - конечная разность порядка п с шагом к, на случай нецелых п.

В случае нецелых п конечная разность определяется следующим выражением:

А1Г(х) = ^(-\)к{°)дх-кН), (9) К к=О

Ч'"/ где биномиальные коэффициенты определяются как:

-£ + !) Г{и +1) (10) к\ Г(к + 1)Г(о-к + \)'

Таким образом, дробная производная Грюнвальда-Летникова будет определяться выражением:

11)

Л->+0 ^и которое существует для непрерывных функций.

Этот подход, предложенный Грюнвальдом и Летниковым уже относительно давно, в последнее время вновь привлек к себе внимание с точки зрения удобства в приближённых вычислениях.

Выражения (9) - (11) можно рассматривать как обобщение известных выражений для целых порядков производной. Проще говоря, первая производная функции /(,х) может быть приближена конечной разностью назад на сетке с шагом к как дДх) ^Дх)-Дх-К) ^ дх к вторая производная - как д2Дх) Дх)-2Дх-к) + Дх-2И) дх2 ~ и2 а производная порядка п - как дх" к\(п-к)\

Учитывая, что п\=Г(п + \), и обобщая на случай нецелых п, в итоге, Летников доказал [4], что для интегрируемых по Лебегу функциях Дх) дробная производная произвольного порядка v, задаваемая формулами: ди/{х) 1 . 1 ^Г(к-и) „ . у =-Иш—> —--'-/(х + кИ), (13) дхи Г (-о) >>->° И" Г(к +1) для правосторонней дробной производной (в случае аппроксимации производной разностью вперёд), совпадает с определениями дробной производной Лиувилля и Вейля.

Эти формулы положены в основу большинства современных вычислительных алгоритмов решения дробно-дифференциальных уравнений.

Отдельно стоит сказать об определении дробных производных по Маршо, которые могут быть получены регуляризацией выражений (2) - (3), расходящихся при отрицательных v, путём выделения из этих выражений конечной части в смысле Адамара и последующей записи получившихся выражений через конечные разности: (±1)М 7Ат±1/(х)

Г(-и)Ат (и); /'♦» ш где ЛЯ1(и) = к-~\ \ т к", и > 0 - нормировочные постоянные.

Можно показать, что в классе достаточно «хороших» функций дробные производные Маршо и дробные интегралы Римана-Лиувилля (при а = 0 и Ь = 0) являются взаимно обратными операторами.

Производная Маршо от постоянной функции равна нулю.

Последнее определение производной дробного порядка, о котором стоит упомянуть, разработано Вейлем и приспособлено для периодических функций [3]. Идеи, положенные в основу этого определения, сводятся к тому, чтобы операция дробного интегро-дифференцирования переводила периодические функции вида 1 к2тг -0 в периодические с тем же периодом:

Операция дробного дифференцирования по Вейлю определяется как обратная к дробному интегрированию и сводится к выражению: ах которое можно было бы назвать дробной производной Вейля-Лиувилля в сравнении с выражением: которое можно было бы назвать дробной производной Вейля-Маршо.

Эти два определения совпадают на функциях, удовлетворяющих условию Гёльдера порядка Я > и на отрезке [0;2к].

В заключение стоит отметить, что существует несколько определений дробной производной, полученных с различных точек зрения, имеющих разные области определения и, вообще говоря, не всегда совпадающих. В частности [3]:

1) Производная Грюнвальда-Летникова совпадает с производной Маршо на функциях, измеримых на оси и удовлетворяющих условию: ^\[{х)\р(к <оо, где 1 < р <оо .

2) Дробная производная Вейля-Лиувилля совпадает с дробной производной Римана-Лиувилля, если:

3) Дробная производная Вейля-Маршо совпадает с дробной производной Маршо для 2ж -периодических функций. и

7(ол=о.

4) Производная Римана-Лиувилля и производная Маршо совпадают на функциях, представимых дробным интегралом Римана-Лиувилля / = от измеримой функции, удовлетворяющей условию:

С самого зарождения ингегро-дифференциального исчисления важнейшую роль играли геометрическая и физическая интерпретации производных (тангенс угла наклона касательной и скорость точки с координатой х = /(0) и интегралов (площадь криволинейной трапеции и координата точки или работа силы).

В силу рекуррентного характера операций высших целых порядков п эти интерпретации несложно распространить на произвольные п, получив конструкции типа «тангенс угла наклона тангенса угла наклона», но наглядность при этом исчезает. Дело поправляется введением понятий «выпуклость», «вогнутость», «кривизна», «ускорение», но в целом это проблемы не решает.

Проблема интерпретации дробных операторов существует более 300 лег, т.е. столько же, сколько сами операторы, и неоднократно формулировалась как нерешённая задача. В последние годы интерес к этой проблеме усилился, однако в поисках смысла дробных производных несколько упускается из виду, что эта проблема не решена ещё для целых порядков, т.е. нельзя одной общей фразой дать интерпретацию оператору Б", справедливую для всех целых п -для каждого значения п приходится давать собственную интерпретацию.

Тем не менее, существуют наиболее распространённые подходы к этой задаче [72]. Возможность интерпретации дробных операторов даёт запись левостороннего интеграла Римана-Лиувилля в виде интеграла Стилтьеса:

Л/(*)И*<оо. а где gт(t) =

Г(о +1)

Тогда, например, механическая интерпретация дробного интеграла выглядит как определение длины пройденного пути при движении с переменной скоростью V = /(/), вычисляемой по собственным часам, показания которых связаны с истинным временем /г(С,„ как /нст=я(0- Таким образом, пройденный путь будет выражаться дробным интегралом ¿ = /0и/(г).

Производная же от этого выражения по времени г, равная скорости движения и в момент / = г, вычисленной по времени движущегося (действительный путь в единицу собственного времени) и есть производная дробного порядка 1-у от истинной скорости У(т):

Если же собственные часы идут как истинные, то V станет равным единице, и обе скорости совпадут: и(т) = /(г).

Первой прикладной задачей теории дробного исчисления считается задача о таутохроне, рассмотренная Абелем в 1823 г. Другие приложения теории дробного интегро-дифференцирования были даны Лиувиллем в 1832 г. к задачам геометрии, физики, механики (задача Лапласа о влиянии бесконечного прямолинейного проводника на магнит, задача Гаусса о приближенных квадратурах и др. [1]).

Иногда дробные производные вводят в исходные уравнения, с которых начинаются исследования. Например, закон Гука <j(t) = Ce(t) (напряжение пропорционально деформации) и закон Ньютона для вязкой жидкости cr{i) = C~c(t) остроумно обобщаются на случай вязкоупругой среды (т.е. для вязкоупругих материалов, занимающих промежуточное положение между d" упругим телом и вязкой жидкостью, например, полимеров) как <т(/) = С—s(t), dx" где 0 < v < 1 - порядок дробной производной, с которым можно проходить все промежуточные режимы вязкоупругости. Несмотря на то, что эта зависимость -своего рода интерполяция между двумя моделями процессов, дробнодифференциальный закон вязкоупругости имеет все права на существование и подтверждён многочисленными экспериментами, самые ранние из которых относятся к 1921 г.

Другой пример - дробно-дифференциальный осциллятор, выраженный уравнением: айий + Ь]х{1) = ДО, а>0, ¿>0, 0<и<2.

Уравнение описывает движение осциллятора, находящегося под действием упругой силы и силы трения дробного типа, характерной для вязкоупругих сред. При а2 -46 > 0, и * 1 классическое экспоненциальное затухание дополняется более медленной компонентой степенного типа, порождаемой дробной производной. При а2-4Ь<0 в классическом случае имеют место колебания с убывающей по экспоненциальному закону амплитудой. В случае же осциллятора дробного типа доминирование степенной асимптотики на больших временах приводит к тому, что решение перестаёт быть знакопеременным: осциллятор совершает только конечное число колебаний, после чего монотонно приближается к точке равновесия х = 0, справа, если и < 1, или слева, если наоборот.

На текущий момент известны приложения теории дробного исчисления к задачам из самых различных отраслей науки, таких как химическая физика, биология, гидрология, теория случайных процессов, теория гравитации и даже математическая экономика [34]. Элементы дробного исчисления появляются при моделировании систем с памятью, в описании процессов, происходящих в средах с фрактальной геометрией [12], и во многих других задачах.

Одной из самых актуальных областей приложения дробно-дифференциального исчисления сегодня являются процессы аномальной диффузии, которые в последнее время вызывают всё больший интерес у исследователей в связи с обнаружением аномальных свойств у ряда наноматериалов и наносистем (наноканалы, нанотрубки, нанонити и т.д.). Действительно, многочисленными экспериментами было показано, что такие материалы обладают уникальными теплофизическими свойствами, которые описываются моделью аномальной диффузии. Подробную информацию об экспериментальном обнаружении аномальных свойств у самых разнообразных физических процессов можно найти в [76-95].

Закономерно, что процессы аномальной диффузии в последнее время вызывают всё больший интерес у исследователей. В настоящее время ведутся интенсивные исследования по созданию на основе подобных нанообъектов новых материалов с уникальными эксплуатационными свойствами. Таким образом, разработка методов и алгоритмов математического моделирования рассматриваемых процессов создает теоретическую основу для изучения свойств материалов нового поколения и возможностей их применения.

Настоящая работа посвящена численному моделированию процессов аномальной диффузии. Рассмотрен комплекс вычислительных экспериментов, связанных с моделированием процессов диффузии в сложно структурированных средах, среди которых - диффузия бильярдного газа в полигональном канале и диффузия в средах с неоднородной структурой. Была представлена математическая модель одномерной аномальной диффузии, были разработаны эффективные алгоритмы моделирования пространственно-временной эволюции частиц в этих средах. По результатам исследования характеристик смоделированных диффузионных процессов было проведено сопряжение конечно-элементных моделей с решениями соответствующих дробно-дифференциальных уравнений.

Актуальность темы.

Диссертационная работа направлена на создание аппарата математического моделирования процессов аномальной диффузии. В отличие от классической диффузии, характеризующейся линейной зависимостью среднего квадрата смещения частиц от времени, в аномальных процессах наблюдается отклонение от линейного закона и появление дробного показателя степени. Такая ситуация характерна для сложно структурированных неоднородных сред, когда существенными становятся эффекты долгосрочной памяти и/или пространственной нелокальное™. В качестве примеров систем, в которых наблюдается корреляция или когерентность движения частиц, можно привести пористые среды, среды с фрактальной структурой, аморфные полупроводники, аэрогели и т.д. Рассматриваемый класс процессов вызывает всё больший интерес у исследователей в связи с обнаружением аномальных свойств у ряда наноматериалов и наносистем. Разработка эффективных средств компьютерного моделирования является важнейшей составляющей научной деятельности в этом новом междисциплинарном направлении.

Целью работы является создание методов и средств математического моделирования аномальной диффузии в сложно структурированных средах. Для этого необходимо решение следующей группы задач:

• Анализ подходов к моделированию аномальной диффузии в средах с различной структурой.

• Разработка и реализация алгоритмов численного решения дробно-дифференциальных уравнений.

• Разработка и реализация алгоритмов дискретно-элементного моделирования процессов аномальной диффузии.

• Проведение вычислительного эксперимента по моделированию диффузионных процессов в полигональных каналах и неоднородных средах. Анализ типа и характеристик диффузии.

• Разработка методов согласования микро- и макромасштабного описания процессов аномальной диффузии.

Научная иовизна.

Исследованы вопросы моделирования аномальной диффузии на микроуровне с использованием метода дискретных элементов и на макроуровне с помощью методов дробно-дифференциального исчисления. Предложен алгоритм определения параметров макроскопической модели по данным микромасштабного моделирования. Тем самым установлена связь между различными масштабами в описании аномальной диффузии.

Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы решения дифференциальных уравнений с дробными производными. Отличительной чертой построенных конечно-разностных схем является повышенный порядок аппроксимации, что обеспечивает достаточно высокую точность при относительно низких вычислительных затратах. Предложена эффективная реализация метода случайного блуждания, учитывающая наличие временной аномалии и конвекции, обоснована корректность предлагаемого метода.

Проведено численное моделирование пространственно-временной эволюции частиц в полигональных каналах, исследованы возникающие диффузионные процессы, на основе вычислительных экспериментов показано влияние профиля канала на характеристики установившейся диффузии. Выявлены механизмы возникновения комбинированного типа аномальной диффузии.

Проведено численное моделирование пространственно-временной' эволюции частиц в средах с неоднородной структурой, исследовано влияние микромасштабных параметров среды на характеристики и тип установившейся диффузии. Выделены различные виды аномалий: пространственная, временная и комбинированная, определены условия их возникновения.

Достоверность и обоснованность.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в ходе диссертационного исследования, обеспечивается сопоставлением между собой численных и аналитических решений тестовых задач, численных решений, полученных независимыми друг от друга способами, а также хорошей согласованностью результатов проведённых вычислительных экспериментов с использованием дискретно-элементных моделей и решений дробно-дифференциальных уравнений.

Практическая ценность.

Разработанные в диссертации средства математического моделирования имеют высокую значимость с точки зрения перспектив их применения для исследования диффузионных процессов в сложно структурированных средах.

При этом создастся теоретическая основа для исследования свойств и создания конструкционных (в том числе - нанокомпозитных) и теплозащитных материалов нового поколения, предназначенных для использования в авиационно-космической технике. Разработанные вычислительные алгоритмы обладают высоким потенциалом к распараллеливанию вычислений и представляют значительный интерес для специалистов в области математического моделирования. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы и при составлении образовательных курсов по математическому моделированию и численным методам.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих российских и международных форумах:

• VI Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Технологии Microsoft в теории и практике' программирования», 1-2 апреля 2009 г., Москва.

• VIII Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPN.T2010), 25-31 мая 2010 г., Алушта.

• XVII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСПСС'2011), 25-31 мая 2011 г., Алушта.

• Московская молодёжная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике - 2012», 17-20 апреля 2012 г., Москва.

• IX Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012), 25-31 мая 2012 г., Алушта.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 7 работ [96-102], из них 2 статьи в научных журналах из перечня ВАК РФ для представления основных научных результатов диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук. Одна статья [103] принята к публикации.

Структура и содержание работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 13 таблиц, 26 рисунков и 107 библиографических ссылок. Общий объём работы составляет 105 страниц.

Выводы к главе 3

В третьей главе были исследованы процессы диффузии в средах с неоднородной структурой, по результатам чего можно сделать следующие выводы:

1. В исследуемой среде с неоднородной структурой реализуются механизмы пространственной и временной аномалии, на которые могут влиять соответствующие независимые микромасштабные параметры среды.

2. Результаты прямого дискретно-элементного (микроскопического) моделирования диффузии в средах с неоднородной структурой свидетельствуют о том, что рассматриваемые процессы проявляют аномальный характер, зависящий от заданных микромасштабных параметров среды.

3. Получаемые распределения концентрации частиц могут быть достаточно точно описаны на макроуровне с использованием уравнения аномальной диффузии (14).

4. Для различных конфигураций этих сред определены параметры соответствующих дробно-дифференциальных уравнений, в результате чего разделение вкладов прыжкового и ловушечного механизмов в итоговый характер диффузии проведено как на микроуровне, так и на макроуровне, что позволяет априорно влиять на характер возникающей в среде комбинированной аномалии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы математического моделирования процессов аномальной диффузии в сложно структурированных средах. Реализованы два подхода к описанию аномальной диффузии - макроскопический, основанный на использовании дробно-дифференциальных уравнений, и микроскопический, предполагающий прямое моделирование динамики частиц и столкновительных процессов в системе. Предложен алгоритм идентификации параметров дробно-дифференциального уравнения по данным, поступающим с микроскопического уровня, что позволяет связать микроскопический и макроскопический подходы.

2. Построено семейство конечно-разностных схем повышенного порядка точности для решения дробно-дифференциальных уравнений. На основе анализа эффективности методов повышенного порядка точности с позиций критерия «точность - вычислительные затраты» установлено, что предложенное семейство алгоритмов превосходит конечно-разностные схемы первого порядка.

3. Предложена модификация метода случайного блуждания применительно к решению дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные по пространственной и временной координатам. Показано, что при наличии временной аномалии с увеличением числа рассчитываемых слоев метод случайного блуждания при той же точности начинает превосходить по скорости конечно-разностные методы.

4. Создан комплекс программ для моделирования процессов аномальной диффузии на микро- и макроуровнях. Осуществлена программная реализация дискретно-элементных моделей с различным характером межчастичного взаимодействия и алгоритмов численного решения дробно-дифференциальных уравнений с использованием конечно-разностных схем повышенного порядка точности и метода случайного блуждания. Разработанное программное обеспечение позволяет моделировать пространственно-временную эволюцию частиц в сложно структурированных средах и осуществлять подбор параметров соответствующего дробно-дифференциального уравнения по результатам микромасштабного моделирования. Программный комплекс оснащён средствами распараллеливания вычислений и визуализации результатов расчётов.

5. На основе разработанных средств математического моделирования проведено исследование аномальной диффузии частиц в полигональных каналах и неоднородных средах. Выявлены основные закономерности влияния характерных параметров среды на возникновение режимов супердиффузии и субдиффузии. Проведено разделение вкладов баллистического (прыжкового) и ловушечного механизмов в итоговый характер диффузии, определены условия проявления пространственной, временной и комбинированной аномалий. Показана эквивалентность микроскопического и макроскопического подходов к моделированию аномальной диффузии.

1. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричсв О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: «Наука и техника», 1987. 688 с.

2. Нигмагуллин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. II Теоретическая и математическая физика, т. 90, № 3, 1992 г., стр. 354-368.

3. Головизнин В.М., Киселев В.П., Коротким И.А., Юрков Ю.П.

4. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии: Препринт IBRAE-2002-01. -М.: ИБРАЭ РАН, 2002.

5. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2003. - 272 с.

6. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. — М.: Наука, 2005.- 199 с.

7. Нахушева В.А. Дифференциалы те уравнения математических моделей нелокальных процессов. — М.: Наука, 2006. 173 с.

8. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. - 167 с.

9. Олемской А.И., Харченко Д.О. Самоорганизация самоподобных стохастических систем. М., Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2007. - 296 с.

10. Васильев В.В., Симак Л.А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. Научное издание. Киев: HAH Украины, 2008. - 256 с.

11. У чайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: «Артишок», 2008. - 512 с.

12. Бабенко Ю.И. Метод дробного дифференцирования в прикладных задачах теории тепломассообмена. СПб.: НПО «Профессионал», 2009. -584 с.

13. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифферепцированием дробного порядка. М., Ижевск: РХД, 2010. - 568 с.

14. Miller K.S., Ross В. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, Wiley, New York (1993).

15. Samorodnitsky G., Taqqu M.S. Stable non-Gaussian random processes, Chapman and Hall, New York (1994).

16. Podlubny I. Fractional differentiational equations, Academic Press, San Diego (1999).

17. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations, Amsterdam, The Netherlands (2006).

18. Коротким И. А .Некоторые математические модели переноса радионуклидов в сильно неоднородных геологических формациях. II Диссертация на соискание уч. ст. канд. ф.-м. н. М., 2006. - 188 с.

19. Meerschaert М.М., Benson D.A., Baeumer В. Multidimensional. advection and fractional dispersion. II Physical Review E 59, № 5 (1999), pp. 50255028.

20. Benson D.A., Wheatcraft S. W., Meerschaert M.M. Application of a fractional advection-dispersion equation. И Water Resourses Research, vol. 36, № 6 (2000), pp. 1403-1412.

21. Benson D.A., Wheatcraft S. W., Meerschaert M.M. The fractional-order governing equation of Levy motion. II Water Resourses Research, vol. 36, № 6 (2000), pp. 1413-1423.

22. Benson D.A., Schumer R., Meerschaert M.M., Wheatcraft S.W. Fractional dispersion, Levy motion, and the MADE tracer tests. II Transport in Porous Media 42 (2001), pp. 211-240.

23. Schumer R., Benson D.A., Meerschaert M.M., Wheatcraft S.W. Eulerian derivation of the fractional advection-dispersion equation. II Journal of the Contaminant Hydrology 48 (2001), pp. 69-88.

24. Meerschaert M.M., Benson D.A., Baeumer B. Operator Levy motion and multiscaling anomalous diffusion. II Physical Review E 63, 021112 (2001).

25. Hcrrick M.G., Benson D.A., Meerschaert M.M., McCall K.R.

26. Hydraulic conductivity, velocity, and the order of the fractional dispersion derivative in a highly heterogeneous system. II Water Resourses Research, vol. 38, № 11 (2002).

27. Meerschaert M.M., Tadjeran C. Finite difference approximations for fractional advection-dispersion flow equations. II Journal of Computational and Applied Mathematics 172 (2004), pp. 65-77.

28. Yong Zhang, Benson D.A., Meerschaert M.M., LaBolle E. M., Scheffler H.-P. Random walk approximation of fractional-order multiscaling anomalous diffusion. II Physical Review E 74, 026706 (2006).

29. Meerschaert M.M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations. II Application of Numerical Mathematics 56 (1) (2006), pp. 80-90.

30. Meerschaert M.M., Scheffler P., Tadjeran C. Finite difference methods for hvo-dimensional fractional dispersion equation. II Journal of Computational Physics 211 (2006), pp. 249-261.

31. Mcerschaert M.M., Tadjeran C. A second-order accurate numerical method for the two-dimensional fractional diffusion equation. II Journal of Computational Physics 220 (2007), pp. 813-823.

32. Meerschaert M.M., Yong Zhang, Baeumer B. Tempered anomalous diffusion in heterogeneous systems. II Geographical Research letters, vol. 35, LI7403 (2008).

33. Mainardi F. Fractals and fractional calculus continuum mechanics, Springer Verlag (1997), pp. 291-348.

34. Gorcnflo R., Mainardi F. Random walk models for space-fractional diffusion processes. II Fractional Calculus & Applied Analysys, vol. 1, № 2 (1998), pp. 167-191.

35. Gorcnflo R., Mainardi F. Essentials of fractional calculus. II Preprint to MaPhySto Center (2000).

36. Gorcnflo R., Mainardi F., Raberto M., Scalas E. Fractional diffusion in finance: basic theory. // MDEF2000 Workshop «Modelli Dinamici in Economiac Finanza», Urbino (Italy), September 28-30, 2000.

37. Mainardi F., Pagnini G., Gorenflo R. Some aspects of fractional diffusion equations of single and distributed order. II Applied Mathematics and Computation, vol. 187, № 1 (2007), pp. 295-305.

38. Metzler R., Klafter J. The random walker's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach. II Phys. Reports 339 (2000), 1-77.

39. Sokolov I.M., Klafter J., Blumen A. Fractional kinetics. II Physics Today 55, № 11 (2002), pp. 48-54.

40. Chechkin A.V., Gorenflo R., Sokolov I.M. Retarding subdiffusion and accelerating superdiffusion governed by distributed-order fractional diffusion equation. 11 Physical Review E, vol. 66, 046129 (2002).

41. Sokolov I.M., Chechkin A.V., Klafter J. Distributed-order fractional kinetics. II 16th Marian Smoluchowski Symposium on Statistical Physics: Fundamentals and Applications (2003).

42. Chechkin A.V., Gorenflo R., Sokolov I.M., Gonchar V.Y. Distributed-order time fractional diffusion equation. II Fract. Calc. Appl. Anal. .6 (2003), pp. 259-279.

43. Chechkin A.V., Klafter J., Sokolov I.M. Fractional Fokker-Planck equation for ultraslow kinetics. II Europhys. Letters, vol. 63 (2003), pp. 326-332.

44. Sokolov I.M., Chechkin A.V., Klafter J. Distributed-order fractional kinetics. //Acta Phys. Polon. 35 (2004), pp. 1323-1341.

45. Sokolov I.M., Klafter J. From diffusion to anomalous diffusion: a century after Einstein's Brownian motion. II Chaos 15 (2005), 026103-026109.

46. Korabel N., Klages R., Chechkin A.V., Sokolov I.M., Gonchar V.Y. Fractal properties of anomalous diffusion in intermittent maps. II Physical Review E, vol. 75, 036213 (2007).

47. Liu F., Anh V., Turner I., Zhuang P. Time fractional advection-dispersion equation. II J. Appl. Math. Computing (2003), pp. 233-246.

48. Liu F., Anh V., Turner I. Numerical solution of the space fractional Fokker-Planck equation. II Journal of Computational and Applied Mathematics 1662004), pp. 209-219.

49. Zhuang P., Liu F. Implicit difference approximation for the time fractional diffusion equation. II J. Appl. Math. Computing 22, № 3 (2006), pp. 87-99.

50. Liu Q., Liu F., Turner I., Anh V. Approximation of the Levy-Feller advection-dispersion process by random walk and finite difference method. II J. Phys. Computing 222 (2007), pp. 57-70.

51. Chen S., Liu F., Zhuang P., Anh V. Finite difference approximations for the fractional Fokker-Planck equation. II Applied Mathematical Modeling 33 (2009), pp. 256-273.

52. Fix G.J., Roop J.P. Least squares finite-element solution of a fractional order two-point boundary value problem. II Computers and Mathematics with Applications 48 (2004), pp. 1017-1033.

53. Ervin V.J., Roop J.P. Variational formulation for the stationary fractional advection-dispersion equation. II Numer. Methods for Partial Differential Equations (2005).

54. Roop J.P. Computational aspects of FEM approximation of fractional • advection dispersion equations on bounded domains in R2. II Journal of Computational and Applied Mathematics (2005).

55. Momani S. An explicit and numerical solutions of the fractional KdV equation. II Math. Comput. Simul.70 (2005), pp. 110-118.

56. Momani S., Odibat Z., Erturk V.S. Generalized differential transform method for solving a space and time-fractional diffusion-wave equation. II Physics Letters A 370 (2007), pp. 379-387.

57. Momani S., Odibat Z. Comparison between the homotopy perturbation method and the variational iteration method for linear fractional partial differential equations. II Computers and Mathematics with Applications 54 (2007), pp. 910-919.

58. Momani S., Odibat Z. Numerical comparison of methods for solving linear differential equations of fractional order. II Chaos, Solitons and Fractals 31 (2007), pp. 1248-1255.

59. Hristov J. Heat-balance integral to fractional (half-time) heat diffusionsub-model. //Thermal Science, vol. 14, № 2 (2010), pp. 291-316.

60. Hristov J. A short-distance integral-balance solution to a strong subdiffusion equation: a weak power-law profile. // International Review of Chemical Engeneering, vol. 2, № 5 (2010), pp. 555-563.

61. Hristov J. Approximate solutions to fractional subdiffusion equations. // Eur. Phys. J. Special Topics 193 (2011), pp. 229-243.

62. Hristov J. Starting radial subdiffusion from a central point through a diverging medium (a sphere): heat-balance integral method. II Thermal Science, vol. 15, Suppl. 1 (2011), pp. S5-S20.

63. Hristov J. Thermal impedance at the interface of contacting bodies: 1-D example solved by semi-derivatives. II Thermal Science, vol. 16, № 2 (2012), pp. 623-627.

64. Hristov J. Integral-balance solution to the Stokes' first problem of a viscoelastic generalized second grade fluid. II Thermal Science, vol. 16, № 2 (2012), pp. 395-410.

65. Chaves A. Fractional diffusion equation to describe Levy: flights. II Phys. Lett. A 239 (1998), pp. 13-16.

66. Govindan Rangarajan, Mingzhou Ding. Anomalous diffusion and the first passage time problem. II Physical Review E, vol. 62, № 1 (2000), pp. 120-133.

67. Agrawal O.P. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain. II J. Nonlinear Dynamics 29 (2002), pp. 145-155.

68. Srivastava H.M., Saxena R.K. Operators of fractional integration and their applications. II Appl. Math. Comput., № 118 (2003), 1-52.

69. Naber M. Distributed order fractional subdiffusion. // Fractals, vol. 12 (2004), pp. 23-32.

70. Deng Z., Singh V.P., Bengtsson L. Numerical solution of fractional advection-dispersion equation. II Journal of Hydraulic Engineering (2004), pp. 422431.

71. Bednarik P. Improved numerical method for multidirectional fractional advection-dispersion equation in 1-D and 2-D with general boundary conditions. II

72. Ciesielski M., Leszczynski J. Numerical treatment of an initional-boundary value problem for fractional partial differential equations. II Signal Processing 86 (2006), pp. 1413-1423.

73. Yuste S.B. Weighted average finite difference methods for fractional diffusion equations. II Journal of Computational Physics 216 (2006), pp. 264-274.

74. Podlubny I. Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation. II Report TUKE-10-2001 (2007).

75. Ghorbani A. Toward a new analytical method for solving nonlinear fractional differential equations. II Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 197 (2009), pp. 4173-4179.

76. Vanani S.K., Aminataei A. On the numerical solution of fractional partial differential equations. II Mathematical and Computational Applications, vol. 17, №2 (2012), pp. 140-151.

77. Петухов A.A., Ревизников Д.Л. Алгоритмы численного решения ■ . дробно-дифференциальных уравнений. II Вестник Московского авиационного института, т. 16, № 6, 2009 г. М.: Изд-во МАИ, 2009. - 256 е., стр. 228-234.

78. Зосимов В.В., Лямшев Л.М. Фракталы в волновых процессах. П Успехи физических наук, т. 165, № 4, 1995 г., стр. 361^402.

79. Корженевский А.Л., Камзина Л.С. Аномальная диффузия света в сегнетоэлектриках с размытым фазовым переходом. II Физика твёрдого тела, т. 40, №8, 1998 г., стр. 1537-1541.

80. Большое Л.А., Головизнин В.М., Дыхне A.M., Киселев В.П., Кондратенко П.С., Семенов В.Н. Новые подходы к оценке безопасности захоронений радиоактивных отходов. II Известия Российской академии наук. Энергетика, № 4, 2004 г., стр. 99-108.

81. Паровик Р.И., Ильин И.А., Фирстов П.П. Обобщённая одномерная модель массопереиоса радона-222 и его эксхаляция в приземный слой атмосферы. II Математическое моделирование, т. 19, № 11, 2007 г., стр.

82. Мерер X. Диффузия в твердых телах. Монография. Пер. с англ. -Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2011. 536 с.

83. Berkowitz В., Scher Н., Silliman S.E. Anomalous transport in laboratory-scale, heterogeneous porous media. II Water Resourses Research, 36 (2000), pp. 149-158.

84. Guantcs R., Vega J.L., Miret-Artes S. Chaos and anomalous diffusion of adatoms on solid surfaces. II Physical Review B, vol. 64, 245415 (2001).

85. Baowen Li, Jiao Wang. Anomalous heat conduction and anomalous diffusion in one-dimensional systems. II Physical Review letters, vol. 91, № 4 (2003).

86. Narahari Achar B.N., Hanneken J.V. Fractional radial diffusion in a cylinder. //Journal of Molecular Liquids 114 (2004), pp. 147-151.

87. Kosztolowicz T. Transport in diffusive-subdiffusive system. II Acta Physica Polonica В 36 (2005), pp. 1635-1639.

88. Baowen Li, Gang Zhang. Anomalous vibrational energy diffusion in carbon nanotubes. II The Journal of Chemical Physics 123, 014705 (2005).

89. Baowen Li, Jiao Wang, Lei Wang, Gang Zhang. Anomalous heat conduction and anomalous diffusion in nonlinear lattices, single walled nanotubes, and billiard gas channels. II Chaos 15, 015121 (2005).

90. Dvvorecki K., Slczak A., Ornal-Wasik В., Wasik S. Evolution of concentration field in a membrane system. II J. Biochem. Biophys. Methods 62 (2005), pp. 153-162.

91. Li Y., Farrher G., Kimmich R. Sub- and super diffusion molecular displacement laws in disordered porous media probed by nuclear magnetic resonance. II Physical Review E 74, № 6, 066309 (2006).

92. Dworecki K. Experimental investigation of the subdiffusion in a membrane system. II Physica A 359 (2006), pp. 24-32.

93. Ardelean I., Farrher G., Kimmich R. Effective diffusion in partially fdled nanoscopic and microscopic pores. II Journal of Optoelectronics and Advanced Materials 9, № 3 (2007), pp. 655-660.

94. Kosztolowicz Т. Subdiffusion in a system with a thick membrane. II Journal of Membrane Science 320 (2008), pp. 492-499.

95. Berkowitz В., Scher H. Exploring the nature of non-Fickian transport in laboratory experiments. II Advances in Water Resourses 32 (2009), pp. 750-755.

96. Nuo Yang, Gang Zhang, Baowen Li. Violation of Fourier^s law and anomalous heat diffusion in silicon nanowires. //Nano Today 5 (2010), pp. 85-90.

97. Maruyama Sh. CVD growth and heat transfer of carbon nanotubes. II Proceedings of the 14th International Heat Transfer Conference, August 8-13, 2010, Washington, DC, USA, IHTC14-23350.

98. Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Подходы к моделированию аномальной диффузии на микро- и макроуровне. II Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPHT2010) М,: МАИ-ПРИНТ, 2010,-624 е., стр. 142-145.

99. Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Применение дробно-дифференциального исчисления для описания аномальной диффузии. II Вестник Московского авиационного института, т. 18, № 4, 2011 г. М.: Изд-во МАИ, 2011.- 136 с., стр. 76-82.

100. Сластушенский Ю.В. Модель случайного блуждания для уравнения аномальной диффузии. II Научно-технический вестник Поволжья, №5, 2011 г. Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2011. - 285 е., стр. 242-246.

101. Сластушенский Ю.В. Подходы к моделированию процессов аномальной диффузии. // Инновации в авиации и космонавтике 2012. Сборник тезисов докладов. - М.: ООО «Принт-салон», 2012. - 334 е., стр. 250-251.

102. Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Численное моделирование аномальной диффузии бильярдного газа в полигональном канале. // Математическое моделирование, № 5, 2013 г., стр. 3-14. (статья принята к публикации).

103. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004.

104. Пирумов У.Г. Численные методы: Учебное пособие, для студ. втузов. М.: Дрофа, 2007.

105. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука,1989.

106. Пантелеев A.B., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2008.