автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нелокальных физических процессов в средах с фрактальной структурой



На правах рукописи

Нахушева Виктория Адамовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛОКАЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СРЕДАХ С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Таганрог - 2008

003444973

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Научно-исслсдовагсльском институте прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Научный консутьтант - доктор физико-математических наук,

профессор Нахушев Адам Маремович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Мейланов Руслан Пирметович

доктор физико-математических наук, профессор Солдатов Александр Павлович

доктор физико-математических наук, профессор Сухинов Александр Иванович

Ведущая организация - Учреждение Российской академии наук Институт математики им С Л Соболева Сибирского отделения РАН, г Новосибирск

Защша состоится 25 сентября 2008 г в 14 часов 20 минут на заседании Диссертационного совета Д 212 208 22 при Южном федеральном университете по адресу 347928, Таганрог, пер Некрасовский 44, корпус Д

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Технологического института Южного федерального университета в г Таганроге

Автореферат разослан «г Ученый секретарь

диссертационного совета,

док юр технических наук, профессор

А Н Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена разработке фундаментальных основ математического моделирования нелокальных процессов тепло- и массолереноса в средах с фрактальной структурой - в сложных системах, моделируемых фракталами, исследованию начальных и смешанных краевых задач для основных типов локальных и нелокальных дифференциальных уравнений состояния и переноса, различным и существенно новым обобщениям весьма важного в физике фракталов закона Кольрауша-Уильямса-Уоттса, развитию и разработке качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепломассообмена в составных средах, решения задачи определения распределения плотности при детонации веществ с помощью синхротрон-ного излучения, качественному анализу линейных уравнений смешанного типа, моделирующих экстремальные процессы, протекающие в режимах с обострением

Необходимость разработки новых математических методов и высокоэффективных вычислительных алгоритмов востребовали проблемы моделирования нелокальных процессов и явлений фрактальной природы и, в первую очередь, процессы тепломассообмена в средах с фрактальной организацией и памятью, аномального переноса частиц с конечной скоростью свободного движения В частности, изучение свойств капиллярно-пористых сред, обладающих фрактальной структурой, требует разработки новых математических технологий, решений ряда фундаментальных проблем, которые практически не поддаются теоретическому исследованию стандартными методами статистической физики Эти проблемы приводят к принципиально новым начальным, краевым и смешанным задачам для фрактальных дифференциальных уравнений и уравнений смешанного типа первого и второго рода В частности, адекватным аппаратом аналитического описания аномальной диффузии, обнаруженной в широком разнообразии физических процессов, служат нагруженные диф-

форснциальныс уравнения, содержащие частные производные дробного порядка, а в случае отсутствия диффузии через фрактальную границу двух сред, где эффективный коэффициент диффузии идеальных молекул обращается в нуль, роль такого математического аппарата может сыграть уравнение параболического типа со знакопеременной характеристической формой

Необходимость проведения фундаментальных исследований по теме диссертационной работы стала очевидной, после того как выяснилось, что понятие фрактала становится одной из парадигм современной фундаментальной и экспериментальной физики, радиофизики и радиолокации, а дробное исчисление - математической основой физики фракталов, геотермии и космической электродинамики

Работа выполнена по основному направлению научной деятельности Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН «Математическое моделирование нелокальных экстремальных процессов в системах с фрактальной структурой и памятью», которое утверждено Постановлением Президиума РАН №227 от 27 06 2006 г

Актуальность темы диссертационной работы подтверждают и многочисленные публикации отечественных и зарубежных авторов, среди которых следует отметить работы В Л Кобелева, О А Кобелева, Я Л Кобеле-ва, Л Я Кобелева, Е П Романова, посвященные фрактальной диффузии, аналитический обзор Л М Зеленого и А В Милованова по актуальным проблемам фрактальной топологии и обратной кинетики (от теории пер-коляции к проблеме космической электродинамики), работы РП Мей-ланова, Р Р Нигматуллина, монографии А А Потапова с библиографическим списком в 1017 наименований, А В Псху, Л И Сербиной, исследования С Ш Рсхвиашвнли, Р Т Сибатова, В В Учайкина по фрактальному переносу в токопроводящих полимерах и неупорядоченных полупроводниках

На актуальность разработки численных методов решения уравнений

диффузии дробного порядка обращено внимание в работах К В Oldham, J Spanier, R Gorenflo, В M Головизнина, В П Киселева, И А Короткина, А М Нахушева, Ю И Юркова М X Шханукова

Об интенсивности исследований в области фрактальной диффузии сви-дстельетвуст и тот факт, что на запрос "Fractal AND diffusion" в Научной Электронной Библиотеке (http //elibrary ru) найдено 5282 работы

На востребованность использования концепции фрактала в физике конденсированной среды и на то, что анализ интегро-дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка представляет весьма трудную задачу, обращено внимание в работе А И Олемского, А Я Флата, опубликованной в 1993 г в журнале "Успехи физических наук"

Цель работы. Основной целью диссертации является разработка новых качественных и приближенных аналитических методов и алгоритмов моделирования и исследования нелокальных физических процессов и их математических моделей, которые задаются как локальными, так и нелокальными дифференциальными операторами, связывающими значения интенсивных переменных в различных точках пространства-времени

Методы исследования. Для достижения основной цели используются основные принципы метода математического моделирования и вычислительного эксперимента как двуединого процесса создания моделей и их исследования средствами математических наук, концепции фрактальной геометрии и дробного исчисления, метод энергетических оценок и интегральных уравнений, принцип Зарембы-Жиро и принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования, качественные свойства специальных функций и функции Миттаг-Леффлера, метод Фурье и метод функции Грина, методы теории нагруженных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными смешанного типа, разработанные и развитые в известных исследованиях Ф Трикоми, А В Би-цадзе, М С Салахитдинова, Т Д Джураева, А М Нахушева, Е И Моисеева, Т Ш Кальменова, М Т Дженалиева, В А Елеева, А Н Зарубина,

Л С Пулькиной, О А Репина, К Б Сабитова, Л И Ссрбиной, М М Ха-чсва

Научная новизна. В диссертации впервые разработаны следующие, выносимые на защиту, существенно новые теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в области математического моделирования

1 Исследован широкий класс фрактальных дифференциальных уравнений состояния сплошных сред и нелокальное волновое уравнение с дробной производной по времени, найдено эффективное интегральное представление решения уравнения состояния Барретта через давление и функцию типа Миттаг-Леффлера,

2 Доказана теорема эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка и установлена связь уравнений микротурбулентной аномальной диффузии с базовыми нагруженными дифференциальными уравнениями математических моделей эридитарных явлений,

3 Разработан конструктивный алгоритм решения смешанной начально-краевой задачи для уравнения Бицадзе-Лыкова, обнаружено экстремаль-нос свойство потока влаги в коллоидном капиллярно-пористом теле и доказан принцип экстремума для широкого класса фрактальных уравнений с частными производными параболического и эллиптического типов,

4 В локальной постановке сформулированы задача Коши, задача Дирихле и начально-краевые задачи для дифференциального уравнения Барретта, фрактального волнового уравнения и эталонного уравнения смешанного типа с нелокальным условием Самарского и предложены эффективные аналитические методы их решения, получена энергетическая оценка для многомерного оператора диффузии дробного порядка, из которой следует единственность решения первой краевой задачи в видоизмененной постановке,

5 Исследованы структурные и качественные свойства решений дробного осцилляционного уравнения, обобщенного уравнения фильтрации

в средах с фрактальной С1руктурой, фрактальных тригонометрических функций, обобщенной функции релаксации, фрактальных моделей адиабатического и диффузионно-релаксационных процессов, найден новый подход к решению проблемы корректного выбора уравнения состояния вещества при высоких давлениях, позволивший найти и описать трехпа-раметричсский класс масштабных дифференциальных уравнений дробного порядка, включающий уравнение состояния хладона Ш34а,

6 Предложены аналитический и вычислительный алгоритмы определения распределения плотности при детонации веществ с помощью син-хротронного излучения,

7 Реализована корректная постановка краевых задач для смешанного типа уравнения теплопроводности, найдено фундаментальное соотношение между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составных сред,

8 Решена проблема эффективной линеаризации основополагающих уравнений теории режимов с обострением, установлено, что базовыми уравнениями математических моделей широких классов физических процессов являются линейные локальные и фрактальные дифференциальные уравнения смешанного типа первого и второго рода

Практическая значимость. Основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретическую ценность и могут найти применение в развитии фундаментальных основ математического моделирования фрактальных объектов и наносистем, странных процессов переноса и процессов, протекающих в режимах с обострением, теории нагруженных дифференциальных уравнений Практическую ценность, наряду с теоретической, будут иметь полученные в диссертации обобщенный закон движения границы раздела фаз (§ 1 6), обобщенный закон Пуассона (§2 1), обобщенные законы Кольрауша-Уильямса-Уоттса (§3 2) и уравнение состояния хладона Г1134а (§3 4)

В "Отчете о деятельности Российской академии наук" в 1996 году ис-

следование класса дифференциальных уравнений состояния и переноса в системах с памятью отмечено как важнейший результат в области естественных наук (раздел прикладная математика, информатика, математическое моделирование, информационные системы), а в отчете РАН в 2006 году как основной результат названы построение и исследование существенно новых и разного уровня прогностической значимости математических моделей нелокальных процессов тепло- и массопереноса, протекающих в сплошных средах с памятью и в средах, имеющих пространственную и временную фрактальную организацию, выявление фундаментальных соотношений между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы в случае одномерного уравнения теплопроводности смешанного типа

Достоверность результатов диссертации и адекватность математических моделей обеспечиваются строгими математическими доказательствами, вычислительными экспериментами и в отдельных случаях предельными переходами к эталонным вариантам, сравнением с данными экспериментов и натурных наблюдений

Апробация работы. Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях научно-исследовательского семинара и итоговых заседаниях Ученого совета Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН и прошли апробацию на следующих научных мероприятиях

1 XIV Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество» Терскол, РФ, 1992 г

2 Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», АМАБЕ Минск, Беларусь, 1999 г

3 XVI Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество» Черноголовка-Эльбрус, РФ, 2001 г

4. Вторая международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и

физики.», Нальчик, РФ, 2001 г

5 XVIII Международная конференция «Физика экстремальных состояний вещества», Черноголовка-Эльбрус, РФ, 2003 г

6 Международный Российско-Узбекский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» Нальчик-Эльбрус, РФ, 2003 г

7 Международный Российско-Казахский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» Нальчик-Эльбрус, РФ, 2004 г

8 XIX Международная конференция «Уравнения состояния вещества» Эльбрус, РФ, 2004 г

9 III Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2006 г

10 Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика Ильи Несторовича Векуа Новосибирск, РФ, 2007 г

В диссертацию вошли результаты, полученные автором как одним из исполнителей проектов 00-01-00311-а «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепло-массопереноса в средах с фрактальной структурой» (20002002 гг), 03-01-96728-р2003юг_а «Разработка математических моделей автоматизированного мониторинга экологического состояния предгорных территорий и мероприятий по предотвращению или уменьшению до средних величин катастрофических последствий» (2003-2005 гг), 06-01-96625-р_юг_а «Математические основы моделирования во фрактальных средах и их приложение к описанию физических, природных и социально-биологических систем» (2006-2008 гг) и как руководителем проекта «Исследование краевых задач со смещением для канонических уравнений смешанного типа и их приложения к математическому моделированию

энсрго-и массообмена в составных средах с фрактальной структурой» (2006-2008 гг), поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в работах автора [ 1]—[27] Отдельные результаты диссертанта, изложенные в параграфах 1 1, 2 5, 2 8, 2 9, включены в книгу А М Нахушева «Дробное исчисление и его применение» (см §§5 8, 5 13, 5 20, 5 21) Результаты пятой главы, оформленные в виде трех лекций, внедрены соискателем в учебный процесс Пятой и Шестой Школ молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2007 г, 2008 г)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 157 наименований Объем работы 268 страниц, набранных с использованием издательской системы LaTeX

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Объектом исследования главы I, состоящей из шести разделов (параграфов), являются дифференциальные уравнения состояния и переноса дробного порядка Главный результат раздела 1 1 - корректный выбор качественно нового класса фрактальных дифференциальных уравнений, выступающих как замыкающие уравнения системы, состоящей из одномерного уравнения Навье-Стокса и уравнения неразрывности В § 1 2 доказаны три теоремы, характеризующие структурные и качественные свойства всех решений следующего уравнения состояния дробного порядка

Щьр{х, г}) - Хр(х, t) = ED^p(x, п), 0 < а = const < 1, (1)

где Dq( - Римана-Лиувилля оператор дробного дифференцирования по t порядка а с началом в начальный момент времени t — 0, р(х, t) и р(х, t) -давление и плотность в точке х в момент t, А и Е - постоянные величины Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1.2.3. Пусть Пг = {(z,t) а < х < Ъ, 0 < t < Т}, р(х, t) € C(Qt), D%tp{x, rj) £ L[0,T] для любого х € [а, 6], ip(x) - заданная начальная функция из С[а, 6] Тогда единственное решение видоизмененной задачи Коши

limí1_ap(:c, í) = <р(х), а < х < b

определяется формулой

p{x,t) = ф)Г(а)1а~1ехра(Ма)+

+Е

X

р(х, t) + X J (t- г})"-1 expa(A\t - v !>(*, n) dr¡

Здесь Г(л) - гамма-функция Эйлера,

i^n v

K=o-,cx + ak)

- обобщенная экспоненциальная функция по терминологии автора

Параграф 1 3 является дополнением § 1 1 и посвящен выводу моде^гьных

уравнений переноса в средах с памятью, в частности, уравнения

d2p(x,t) . . 2d2p(x,t) , _

Т ~Q£2 + Dlt Р(х>f) = с ¿2 (r-с = const > °)

В разделах 1 4-1 5 исследуются уравнение неразрывности в средах с фрактальной геометрией и обобщенное уравнение переноса дробного порядка, проводятся анализ и классификация этих уравнений как нагруженных уравнений в частных производных, обосновывается, что для фрактальных сред роль обобщенного закона Фика (и Фурье в случае теплового потока) может сыграть уравнение

х b

q(x,t)=-a1~+b1(t) J u(f, OK + 62(f) J «(£.0K,

a or

которое вместе с обобщенным уравнением неразрывности

па / \ dq{x,t) a2D°tu{x,ri) =--

приводит к нагруженному уравнению переноса с дробной производной по времени

г}) = аиихх + Ь12и(х, 0),

где а12 = и1/а2, Ьи — [¿1 — Ь2]/а2, найдены критерии эквивалентности уравнения стохастического переноса при субдиффузионном режиме

О

и уравнения диффузии дробного порядка

щ = го\рихх(х, V), 2с2 = 1/Г(1 - 7), (3)

и этот результат сформулирован в виде следующей теоремы

Теорема 1.5.1. Пусть решения и — и(х, ¿) уравнений (2) и (3) ищутся в классе функций, обладающих тем свойством, что щ & Ь[0,Т\, и непрерывна для всех í б]0, Т[ и х € [а, Ь] Тогда необходимым и достаточный условием эквивалентности уравнений (2) и (3) является условие

Ьт Б^ихх(х, г]) = О

В уравнении (2)

00

и(х, = £ N(x, т)(1т, о

где Аг(х, г) - функция распределения плотности частиц в точке х в момент времени t (т - время пребывания частиц в данной точке х)

Важным следствием теоремы 15 1 является следующее заключение если и(х, £) - решение уравнения (2) и существует такая точка х0 £ [о, Ь], что

с2итх(х, Ь) = А(х)и(х0, г}) + д^и(х, т}),

ще

с&и(х, г}) = 0£~\(х, г/) 12

- производная по Капуто, Х(х) Е С[а, 6], 0 < 7 = const < 1, то между двумя физическими факторами u(x0, t) и t существует фрактальная зависимость

£>и7и(хо, J]) = О u(x0, t) = const t~~>'

В § 1 б анонсируются новые классы фрактальных дифференциальных уравнений в частных производных, играющих знаковую роль в проблемах математического моделирования эридитарных явлений и процессов, протекающих в средах с фрактальной структурой К таким уравнениям относятся, например, фрактальное уравнение теплопроводности и

I Dltu(x, г/) = kAxu + f(x,t), 0 < а < 0 < 1,

P-OiJ

a

где с - удельная теплоемкость, р - плотность среды, Дд. - оператор Лапласа, f(x, t) - мощность внутренних источников теплоты, или непрерывное уравнение Ньютона

0

J Diu(x,ri)dS = f(x,t), 1 < а < /3 < 2

a

В этом разделе особый акцент делается на фрактальное уравнение перс-носа пассивных примесей в турбулентной среде

Q / Q \

TfD°u(x, Г}) + l'tu(x, 7?) = — , (4)

где Tf = const - время фрактальной релаксации, u(x, tj) - концентрация примесей в точке х > 0 в момент времени t > 0, Da ~ коэффициент аномальной диффузии по координатной оси х, a е]1,2[, (3 е]0,1[ Здесь доказано, что если решение и(х, t) уравнения (4) при а> /3 удовлетворяет условию Daux\x=0 = Datixj , г €]0,оо[, 0 < t < tt и видоизмененному начальному условию

limi1-°5u(f) = оо, 13

то среднее значение

г

Su(t) ~~ J и(х' Wx

о

концентрации в любой момент времени от начального t = 0 до расчетного t, определяется формулой

Su(t) = а0Г(а + 1)е-1Е1/(а_,в) {-ta^/rf, а + 1), (5)

где

оо ц

- функция типа Миттаг-Леффлера

Когда время фрактальной релаксации Г/ или произведение 77 max Su(t) близки к компьютерному нулю, формулу (5) можно заменить формулой

5u(i) = 00^ + 1)^-7^),

которая при ¡3 = 2а — 3/2, 1/2 < а < 1 принимает вид закона движения границы раздела

Su{t) = kaVt

Глава II посвящена качественным свойствам базовых дифференциальных уравнений математических моделей фрактальных процессов, краевым задачам для основных типов уравнений переноса В § 2 1 рассматривается уравнение Лыкова

о

где q = <7(£i,£) - одномерный поток влаги с коэффициентом диффузии D = const в коллоидном капиллярно-пористом теле 0 < £1 < 00 поликапиллярной структуры в точке ^>0в момент времени t Это уравнение моделирует процесс распространения потока влаги в полубесконечном теле в рамках гиперболического закона влагопереноса Тот факт, что оно,

будучи уравнением гиперболического типа при > 0, параболически вырождается при & = 0, говорит о том, что сильно пористые структуры имеют фрактальную природу В разделе 2 1 дано обоснование некорректности задачи А В Лыкова о нахождении решения ц уравнения (6), удовлетворяющего условиям

9(0,1) = «,(<). 9(оо, = 0, 0) = О, Й = О,

от и=о

и найдена конструктивная формула решения этой задачи в уточненной постановке через гипергеометрические функции, в рамках модели (6) для уравнения Бицадзе-Лыкова

д2и д2и ди

решена смешанная задача (задача 2 11)

«(О, у) = 0, 11,(0, у) — 0, 0 < у < т/о, и(аг, 0) = г(х), 0 < а; < ж0,

где и(х,у) = х = £/<о, у = ^1/л/оо^о» ¿о ~ характерное время,

доказана

Теорема 2.1.2. Пусть и(х,у) - регулярное решение уравнения (7) с параметром а < 1, которое непрерывно при 0 < £ < т? < г, а при О < £ < т? < г имеет непрерывную производную ди/дт] по характеристическому направлению г] — х + у2/2 (ортогональному £ = х — у2/2) и удовлетворяет условию Дарбу

и(х/2, л/х) = 0, и(х, 0) — т(х)

для всехх Е [0, г]. Тогда положительный максимум и(х, у) на компакте О < ^ < г) < г достигается только при у — 0, 0 < х < г и существует такой момент времени ¿т - что и(х, у) < т(хт) Объектом исследования раздела 2 2 является принцип экстремума для фрактального уравнения с частными производными второго порядка параболического типа

^ + а(г)^ + Ь(г)05,и + ф)и = /(*), 0 < а < 1 (8)

в прямоугольной области П = {2 0 < х < I, 0 < у < Т} евклидовой плоскости точек z — (а;, у)

Решение u(z) = и(х,у) уравнения (8) называется регулярным в области Г2, если оно непрерывно в fi0 = {z 0 < х < 1,0 < у < Т} вместе с производными их, Щуи и для любого х £ ]0,/[ существуют положительные величины к — к(х), h > а, такие, что

|u{x,y)-u(x,t)\<k(y-t)h Vy > í > О

Важнейший результат этого раздела

Принцип экстремума Пусть a(z), b(z), c(z), f(z) принадлежат C(!í) и для всех z G ü0, b{z) < 0, b(z) + ф)р°Г(1 - а) < 0 Тогда регулярное в области ÍÍ решение u(z) уравнения (8) ни в одной точке С — v) £ По не может принимать своего наибольшего в П положительного (наименьшего отрицательного) значения, если в этой точке

/(С) > О (/(С) < 0)

Основной результат § 2 3 - принцип экстремума для фрактального эллиптического типа в области Q—{z 0 < х < I, 0 <у < Т} уравнения д2и

DZ.u{x, г]) + у) = 0, 1 < а - const <2, с = const > 0 (9)

их

В § 2 4 доказаны теоремы единственности и существования решения видоизмененной задачи Коши (задача 2 4 1) и видоизмененной задачи Дирихле (задача 2 4 2) для уравнения Барретта

D%xu{t) = А и(х) + v{x), 0 < х <b, 1 < а < 2, А = const (10)

Основные результаты § 2 4 сформулированы в виде следующих двух теорем Теорема 2.4.2. Пусть v(x) G С[0, Ь\ Тогда единственное решение и(х) уравнения (10), удовлетворяющее видоизмененному условию Коши

hmt2~au(t) = т, lim \t2-au\' = i/, t-o t-^o L J

определяется формулой

и{х) = 1/Г(а)ха-х ехра(Ажа) + тГ(а - \)ха-2Еуа{\ха, а - 1) + +r(ü)D¿aexpa(A|x - t\a)v(t), expa(z) = E1/a(z, a)

Теорема 2.4 3. Пусть v(x) £ С[0, b] Тогда видоизмененная задача Дирихле

\imx2~au(x) — т, и(Ь) = 0

х—0

для уравнения (10) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ехра(ХЬ") ф 0

Теоремы 2 4 2 и 2 4 3 играют важную роль при реализации метода Фурье решения краевых задач для уравнения (9) В § 2 5 впервые сформулирована и методом Фурье решена смешанная задача для однородного и неоднородного фрактального волнового уравнения Основной результат этого раздела

Теорема 2.5.1. Пусть начальные функции т(х) и v(x) представилш в виде ряда Фурье по синусам

1 00 1 °° т(х) = т„ sin жпх, и(х) = —■ sin mx

^ п=1 П=1

Тогда решение u(x,t) смешанной задачи (задача 2 5 1)

lim t2~a и(х, t) = т(х), lim — [t2~au{x,t)] = ф), 0 < х < 1,

t ►О t—>0 {/I

u(0,i) = 0, u(l, í) = 0, 0 < í < Т, для фрактального волнового уравнения

д2и

DZu(x, rj) = с2—- 1 < а < 2, с = const > 0 ох2

определяется формулой

00

u(x,t) = SH17TПХ,

Tl—I

где

yn(t) = i>nta~l exp a(-\nta) + T„ta~2Ei/a(—\nta, о-1)Л= (™c)2

В § 2 6 впервые получена энергетическая оценка

Da J ^ (Ja^) ~ JuLaudxdt', 0 < а < 1, Da= const > О,

d !=1 d

где L„ = - DaAx - фрактальный оператор диффузии с оператором " д2

Лапласа Ах = ^ ^ в цилиндрической области J9 евклидова простран-1-1 1

ства Mn+1 точек х = (xi,x2, хп) € R" и в классе гладких функций и = и(х, t), удовлетворяющих начальному t}~au —> 0 при t —> 0, х £ Q0, граничному и —> 0 при (х, t) —> 5 условиям на нижнем основании D0 и боковой поверхности S этого цилиндра Раздел 2 7 имеет своим объектом исследования смешанные краевые задачи для модельного гиперболо-параболического уравнения вида

д2и д2~нЫи

дх2 ~ aj/2-H(y)> ^ ^

где и = и(х, у), Н(у) - функция Хевисайда, которое выступает как эталонное при исследовании линейных математических моделей процесса переноса субстанции с бесконечной при у > 0 и конечной при у < 0 скоростями Здесь в специальной прямоугольной области Г) = {(х, у) . —а < у < /3, 0 < х < а} впервые исследованы на корректность три начально-краевые задачи (задачи Si, ¿>2 и S3), порожденные нелокальным условием вида известного краевого условия А А Самарского Разделы 2 8-2 10 посвящены структурным и качественным свойствам решений дробного осцилляционного уравнения

д^и{г)) + ofu(t) = 0, 1 < а < 2, 0 <t<T, и = const > 0, (12)

фрактальным (обобщенным) тригонометрическим функциям

= e Т(2тщ> COSa(z) = g щ+щ'

уравнению фрактального осциллятора

D^u(ri) + uau(t) = 0, 1 < а < 2, 0 <t<T; (13)

обобщенному уравнению нестационарной одномерной фильтрации тяжелой жидкости в неизменяемой пористой среде

= 0 <х <1, 0 < £ < Г, (14)

где по определению

50>(т?) = D™én\v¡), п-Ка < п= 1,2, ,

Р(х, í) - давление в точке х в момент времени t, а, а, /?, 7 ~ потожитель-ные числа, а<2, 1</3 + 7<2 В параграфе 2 8 доказаны следующие основные утверждения

Теорема 2.8.2. Единственное решение u(t) = и(а, ¡3,7, t) задачи Ко-ши

и(О)=0, и'(0) = 7 дм уравнения (12) задается формулой

u(t) = /3cos Q(aíí) + 7sinQ(wí) Лемма 2.8.3. Для любого а > О sm'a(z) = cosa(z), cos'a(z) = -zl~nexpn(-za), eos'a(z) = тогда и только тогда, когда а = 2, если же 1 < а < 2 и z eos 'a(z) = -Dl;asma(z)

Теорема 2.8.3. Пусть 5/3 < а < 2 Тогда sin„ a: имеет не менее двух вещественных нулей, которые наряду со всеми другими возможными нулями (кроме х — 0) лежат в интервале

\/Г(2 +• а) < х < 2

В этом же параграфе предложены эффективный вычислительный алгоритм поиска нулей и графики функции sina х, проведен вычислительный эксперимент, подтверждающий теоретические результаты А Ю. Попова

-sin a(z) = Re z, то

2 2 log - -floglog-

£ £

7ге

cosec—-, £ = 2 —а 2 а

и А В Псху о вещественных нулях функции Ер(—А, 2) В § 2 9 найдено представление дробной функции Грина фрактального оператора D^ + и>2 через cos'a(wz) В § 2 10 показано, что если давление Р(х, t) в точке х -= 0 удовлетворяет условию Dq~3 Р(£, t) —* 0 при а; —v 0, j = 1,2, то уравнение (14) редуцируется к уравнению

D?)tP(x,v) = a2D^P(^t)

Здесь же исследованы конструктивные свойства решений стационарного уравнения одномерной фильтрации

предложенного Мейлановым Р П Объект исследования последнего раздела 2 11 второй главы - качественные и структурные свойства фрактальных моделей адиабатического процесса, в основе которых лежит фрактальное дифференциальное уравнение

= Au"(v), 0 <v<b, (15)

где а, А - параметры, обеспечивающие монотонность давления и = u(v) как функции плотности v, а — j — l,m<7<ra + l Основной результат сформулирован в виде леммы 2 11 1, из которой, в частности, получается обобщенное уравнение состояния адиабатического движения

u(v) = aiV7Ei/a(Ava, 7)

с параметрами aj > 0, А > 0 и 7 2] В этом же разделе получено обобщенное уравнение Лапласа

~ = ai(V/VorexPl_a [А(У/УоГа]

с показателем адиабаты 7 = а+1 В случае, когда коэффициент Пуассона 7 = 1.405, а — 0 405, А < 10~6, реализован вычислительный эксперимент, подтверждающий существенное отличие обобщенных уравнений Пуассона от классического

В третьей главе рассматриваются модельные уравнения переноаг в средах с фрактальной структурой и обобщенные законы Кольрауша-Уиаь-ямса-Уоттса В разделе 3 1 исследуются новые классы фрактальных дифференциальных уравнений переноса В частности, к этому классу относится уравнение

Е%и(х, ц) = B0Dqxu(Ç, t) + с(х, t)u(x, t),

описывающее диффузионно-релаксационные процессы, в случае диффузии ионов через фрактальную поверхность образца-электрода твердого электролита коэффициент Bp означает коэффициент диффузии, а числа а и /3/2 - фрактальные размерности в плоскости и в направлении диффузии В параграфах 3 2-3 4 даются существенно новые обобщения закона Кольрауша-Уильямса-Уоттса

a(t) = <x0exp[-(f/r)Q], 0 < а < 1, t > т,

и предложен класс уравнений состояния вещества для тел, интерпретируемых как физические системы с фрактальной структурой Показано, чго задача поиска упругой кривой сводится к проблеме существования вещественных нулей функции типа Миттаг-Леффлера, эквивалентной спектральной задаче для оператора дробного дифференцирования по Риману-Лиувиллю Разработаны аналитические и численные методы обращения дифференциальных операторов дробного порядка, однозначно определяющих параметр порядка как функцию относительно температуры и давления, установлено, что функция релаксации <p(t), связанная с функций Кольрауша u(t) формулой

<p{t) = -a'(t)/a(t), может быть определена как решение

<p(t) = Vota~1expa(\ta) дифференциального уравнения

д&ф) = A 21

дробного порядка а €]0,1 [ с параметром А < О В § 3 5 исследована задача определения распределения плотности при детонации веществ по измеренной интенсивности прошедшего через заряд синхротронного излучения Предложены аналитический и вычислительный алгоритмы решения интегрального уравнения типа Абеля, к которому редуцируется эта задача В § 3 б для описания механических свойств вязкоупругих материалов предложен класс реологических уравнений, основанных на регуляризо-ванном операторе дробного дифференцирования по Риману-Лиувиллю

Четвертая глава, состоящая из девяти параграфов, посвящена математическому моделированию теплообмена в смешанной среде с идеальным тепловым контактом В § 4 1 построена математическая модель нестационарной теплопроводности в составной системе, в основе которой лежит уравнение второго порядка смешанного типа

где тч - время релаксации тепловых напряжений, и(х, £) - температура в точке х в момент времени t, а2 = а\ при х < 0 и при х > 0 -коэффициент температуропроводности В § 4 2 описываются условия линейного сопряжения на границе контакта элементов составной среды В §§ 4 3-4 4 приводится постановка краевых задач (задачи 4 3 1-4 3 2) для уравнения теплопроводности смешанного типа (16) и их качественный анализ Основные результаты сформулированы в виде двух теорем 4 4 1 и 4 4 2 о законе распределения температуры и ее энерг етической оценке в точке идеального контакта составной системы В § 4 5 разработан алгоритм редукции задачи 4 3 2 к задаче 4 3 1 Разделы 4 6-4 8 посвящены фундаментальному соотношению между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта и их качественному анализу Объект исследования последнего параграфа 4 9 главы 4 - математическая модель переноса тепла в двухслойной почвенной системе = {х —г < х < 0}

и S — {а; 0 < х < г}, когда в слое S+ действует закон Фурье

а в слое S - обобщенный закон Максвелла

тАЛ +Q =-А2

дх

В § 4 9 акцент делается на доказательство корректности следующей задачи

Задача 4.9.1. Найти регулярное в области

непрерывное при а: > 0, 0 < t < Т, удовлетворяющее условиям и(х, 0) — 0, х > 0,

£%их(0, г}) + Xiux(0, t) = А2^ы(0, v) + 0<t<T и условию Тихонова

lim и(х, t) exp(—ix2) = 0

для какого-либо числа 5 > 0

Теорема 4.9.1. Пусть О < а < 1/2, /3 е {1/2,1/2 +а}, аА ф -1 при ¡3 = а+1/2 ГогсЬ d/гя любой функции ip(t) из масса С[0, Г] существует единственное решение и(х, t) задачи 4 9 1 и

П = {(а:,t) х>0,0 <t <Т}

решение и = и(х, t) уравнения теплопроводности

ди .,д2и

)

уд2 и

t

и I

(0, t) = r(t) =-a J - vr1,2E1/a t - цГ, а + 1/2) dr,,

о

г

ди

дх i=o

'(<) = / ¥&»?)(* - ^Г^хр« (-/if |i - dV,

где

Если оке при р = а + 1/2, аЛ2 = —1, но А ф 0, то

A,i/(i) Ait(£) = ~aD-V2y{n)

Теорема 4 9 1 является основой для разработки эффективных методов расчета тепловых потоков Из нее, в частности, следует, что если граничная функция представима в виде «квазиполинома»

п

<fPa(t) = ^ A3t"', av А3 ■= const, j=0

то

r(t) = —aia+1//2 £ Г(о, + 1 )AJf'E1/a{-nif, a3+a + 3/2), j=0

n

v(t) = taY, ГК + 1)А^Е1/а(-№а,а3 + a + l)

]=0

Глава V состоит из трех структурно и функционально связанных разделов и посвящена линейным уравнениям с частными производными смешанного типа, моделирующим тепловые процессы, протекающие в режимах с обострением В ней доказывается, что проблема приемлемой линеаризации основопо тагающих нелинейных уравнений теории режимов с обострением приводит к уравнениям теплопроводности смешанного и смешанно-составного типов первого и второго рода, исследуется ряд качественных свойств их решений В § 5 1 проведена эффективная линеаризация нелинейного уравнения теплопроводности параболического типа

dv д

. . dv

{x0v + Щ )—

+ q0pv2, Р = a0C

-k

с нелокальным условием Самарского

¿'(i)=/<o|i-i.rBsign(i.-t),

где V = - температура в точке £ 6 [0,го] в момент времени £, с„,

и0, параметры среды с плотностью р, - момент обострения или

точка экстремума среднего значения

Го

i(t) = - [v{t,t№ Го J

Показано, что процесс линеаризации порождает уравнения смешанного типа следующих: видов

хкихх+зщпу \у\пиуу+\и = §, э^пу уЧ^+и^+аи^ X эщп у у2и = О

В § 5 2 выводятся замыкающие соотношения и условия сопряжения для смешанного типа уравнений теплопроводности первого и второго рода, впервые обращается внимание на допустимость введения в рассмотрение и изучения смешанно-составного типа уравнения теплопроводности вида уиХхх + Щуу + Хуих = 0, доказываются следующие теоремы Теорема 5.2.1. Любое решение У (у) уравнения

уУ" + Х)У = О

на временном интервале —< у < Т, удовлетворяющее условиям сопряжения

У+(0) = У_(0), (П(0)=|^(0), представляет собой решение уравнения

' ¿г WWMv,) - [Г(1)My,) + \Yi{y})] Г(0), У > О,

У iv) =

У1

3

~ Щ0)Ь(У:) + [r'(l)/i(%) + Кх{у,)\ Г(0), у < О,

где I У(0) = j У^(0) означает значение конечной части У (у) при у —> О, Ji{y,) и Yi(y,) - функции Бесселя первого и второго рода

Теорема 5.2.2. Пусть Cf, Cf, С2~" - произвольные постоянные, \3 >0, '2аj = 1 - 2/3,, 2(3'} = |1 — АХ2 sign у\1/2 Тогда общее решение уравнения

Sign у у2У"(у) + \]Y{y) - 0 25

при у < 0 задается формулой

а при у > О - формулой

' CtV'+Cly1-"' VAj < 1/2, Y(y)= s/y (С+ + eulogy) VAj = 1/2,

^ у/y [C+ cos(^ log j/) + a sm(^ log у)] V A, > 1/2

В § 5 3 найден критерий ограниченности градиента решения однородной задачи Трикоми для неоднородного уравнения Лаврентьева-Вицадзе

sign у ихх + ию = H(—y)h(x, у)

в угловых точках области его задания и в момент обострения у — О Основной результат сформулирован в виде теоремы 5 3 1, из которой, в частности, следует, что функция Трикоми v(x) = иу(х, 0) при х ~> 1 обращается в оо, если правая часть h(x,y) не удовлетворяет специальному условию

В заключении диссертации отмечается, что разработанные в диссертации математические модели фрактальных процессов являются универсальными, решения базовых фрактальных дифференциальных уравнений, лежащих в основе этих моделей, допускают различные физические интерпретации, и их анализ может привести к новым адекватным реалии законам На основе понятия обобщенной экспоненциальной функции

Ехр0(х) = а;в-1ехра(ха),

где ехра(г) = Ei/a(z, а), вводится определение фрактального уравнения показательного роста, из которого, в частности, следует степенной закон распределения вероятностей при статистическом описании катастроф и стихийных бедствий

Публикации автора по теме диссертации

1 Нахушева В А Об определении распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения // Математическое моделирование - 2005 -Т 17, №7 - С 53-58

2 Нахушева В А Об одной математической модели теплообмена в смешанной среде с идеальным контактом // Вестник Самарского государственного технического университета - Вып 42 Сер ФМН - 2006 -С 11-34

3 Нахушева BAO базовых уравнениях математических моделей тепловых процессов, протекающих в режимах с обострением // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук - 2007 - Т 9, №1 - С 139-143

4 Нахушева BAO линейных смешанного типа уравнениях теплопроводности, моделирующих тепловые процессы, протекающие в режимах с обострением // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук - 2007 - Т 9, №2 - С 78-92

5 Нахушева В А О фрактальных математических моделях адиабатических процессов // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук - 2008 - Т 10, № 1 - С 76-83

6 Нахушева В А Некоюрые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов - Нальчик Изд-во КБНЦ РАН, 2002 - 100 с

7 Нахушева В А Применение к сплошным средам с памятью / В монографии А М Нахушева «Дробное исчисление и его применение» (гл 5, §5 8) -М ФИЗМАТЛИТ, 2003 - 272 с

8 Нахушева В А Смешанная задача для однородного нелокального волнового уравнения / В монографии А М Нахушева «Дробное исчисление и его применение» (гл 5, §5 13) - М ФИЗМАТЛИТ, 2003 - 272 с

9 Нахушева В А О качественных свойствах дробного осцилляционно-го уравнения / В монографии А М Нахушева «Дробное исчисление и его

применение» (гл 5, §5 20) -М ФИЗМАТЛИТ, 2003 - 272 с

10 Нахушева В А Об уравнении «фрактального» осциллятора / В монографии А М Нахушева «Дробное исчисление и его применение» (гл 5, §5 21) - М ФИЗМАТЛИТ, 2003 - 272с

11 Нахушева В А Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов -М Наука, 2006 - 173 с

12 Нахушева BAO линейных уравнениях смешанного типа, моделирующих тепловые процессы, протекающие в режимах с обострением // Сб трудов «Неклассические уравнения математической физики» международ конф "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И Н Векуа Новосибирск 2007 С 1-15

13 Нахушева В А Об одной математической модели процессов переноса // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" Нальчик-Эльбрус, 2003 С 142-144

14 Нахушева В А Об одной математической модели нестационарной теплопроводности // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" Нальчик-Эльбрус, 2004 С 259-262

15 Нахушева В А Об одном классе уравнений состояния вещества Сборник трудов XX международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" "Физика экстремальных состояний вещества - 2005" Черноголовка ИПХФ РАН, 2005 С 137-139

16 Нахушева В А Об одной математической модели переноса тепла в почве // Материалы III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" Нальчик, 2006 - С 208-209

17 Нахушева В А Фрактальные модели адиабатических процессов // Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума

«Уравнения смешанного типа и родственные проблемы ан&тшза и информатики» и VI Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного аналнза и информатики» Нальчик-Эльбрус, 2008 С 125-129

18 Нахушева В А Критерии ограниченности следа производной решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в угловых точках области его задания // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук - 2006 - Т 8, №2 - С 139-143

19 Нахушева В А Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волновш о уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук - 1996 - Т 2, № 1 - С 26-28

20 Нахушева В А Об одной задаче А В Лыкова и конструктивной формуле ее решения // Известия КБНЦ РАН - 1998 - Т 1, № 1 ~ С 4853

21 Нахушева В А Смешанные краевые задачи для гиперболо-параболического уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук - 1998 - Т 3, №2 - С 12-15

22 Нахушева BAO некоторых математических моделях диффузионного переноса вещества в средах с фрактальной структурой // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук - 2003 - Т 6, №2 - С 115-118

23 Нахушева В А Об одной задаче определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук - 2004 - Т 7, № 1 - С. 124-128

24 Нахушева В А Об одном классе уравнений состояния вещества // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук - 2005 -Т 7, №2 - С 101-108

25 Нахушева В А Об одном классе дифференциальных уравнений со-

стояния фрактальных сред Тезисы Второй международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" 3-7 декабря 2001 г, Нальчик С 162163

26 Нахушева В А Об одном классе уравнений состояния вещества Тезисы XX международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" Эльбрус-2005 С 114

27 Нахушева В А Об одной математической модели теории режимов с обострением Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И Н Векуа Новосибирск, 2007

Работы [1]-[11] опубликованы в журналах и изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, а работы [12]-[18] - в трудах и материалах международных научных конференций и симпозиумов Работы [7]-[10] изданы при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №-03-01-14081д

о

Подписано в печать 01 0G 2008 г Формат бумаги 60 х 84 1/16 Бумага офсетная Гарнитура Тайме Уел печ л 1,5 Тираж 100 экз

Отпечатано в типографии ООО "Редакция журнала "Эльбрус" 360051, КБР, г Нальчик, ул Кабардинская, 19 Тел /факс (8662)42-62-09 e-mail elbrus@mail ru www elbrus ru

Введение

Глава I. Фрактальные дифференциальные уравнения состояния и переноса 30 1.1.0 дифференциальных уравнениях состояния дробного порядка в сплошных средах.

1.2. Об одном интегральном представлении решений уравнения состояния Барретта

1.3. О модельных уравнениях переноса в средах с памятью

1.4. Уравнение неразрывности в средах с фрактальной структурой и обобщенное уравнение переноса дробного порядка.

1.5. Об эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка.

1.6. О классе фрактальных уравнений с частными производными и математических моделях диффузионного переноса

Глава II. Качественные свойства базовых дифференциальных уравнений математических моделей фрактальных процес

2.1. Задача Лыкова и качественные свойства ее решения.

2.2. Принцип экстремума для фрактальных уравнений параболического типа

2.3. Принцип экстремума для фрактального уравнения эллиптического типа

2.4. Видоизмененные: задачи Коши и Дирихле для уравнения Барретта.

2.5. Смешанная задача для фрактального волнового уравнения

2.6. Энергетическая оценка для многомерного фрактального оператора диффузии.

2.7. Смешанные краевые задачи для модельного гиперболо-параболического уравнения.

2.8. Структурные и качественные свойства решений дробного осцилляционного уравнения и фрактальных тригонометрических функций.

2.9. Об уравнении фрактального осциллятора.

2.10. Обобщенное уравнение одномерной фильтрации в средах с фрактальной структурой

2.11. Качественные и структурные свойства фрактальных моделей адиабатического процесса . . . . •.

Глава III. Модельные уравнения переноса в средах с фрактальной структурой и обобщенные законы Кольрауша-Уиль-ямса-Уоттса

3.1. Модельные уравнения переноса в средах с фрактальной структурой

3.2. Обобщенные законы Кольрауша-Уильямса-Уоттса

3.3. К проблеме корректного выбора уравнения состояния вещества

3.4. Об одном классе уравнений состояния вещества.

3.5. Математическая модель распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения

3.6. Об одном классе реологических уравнений состояния.

Глава IV. Математическая модель теплообмена в составной среде с идеальным контактом

4.1. Построение математической модели.

4.2. Условия линейного сопряжения.

4.3. Постановка краевых задач для смешанного типа уравнения теплопроводности с нелокальным условием сопряжения

4.4. Качественный анализ модельного варианта смешанной краевой задачи с нелокальным условием сопряжения.

4.5. Алгоритм редукции задачи о распределении температуры в ^ точке идеального контакта к смешанной задаче с нелокальным условием линейного сопряжения.

4.6. О фундаментальном соотношении между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае обобщенного закона Фурье.

4.7. Фундаментальное соотношение между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае закона Фурье

4.8. Анализ фундаментальных соотношений между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы

4.9. Об одной математической модели переноса тепла в почве

Глава V. О линейных уравнениях смешанного типа, моделирующих тепловые процессы, протекающие в режимах с обостре

5.1. Линеаризация нелинейного уравнения теплопроводности с нелокальным условием Самарского.

5.2. Замыкающие соотношения для смешанного типа уравнений теплопроводности первого и второго рода.

5.3. Критерии ограниченности функции Трикоми для уравнения

Лаврентьева-Бицадзе в угловых точках области его задания

Диссертация посвящена разработке фундаментальных основ математического моделирования нелокальных процессов тепло- и массопереноса в средах с фрактальной структурой - в сложных системах, моделируемых фракталами; исследованию начальных и смешанных краевых задач для основных типов локальных и нелокальных дифференциальных уравнений состояния и переноса; различным и существенно новым обобщениям весьма важного в физике фракталов закона Кольрауша-Уильямса-Уоттса; развитию и разработке качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепломассообмена в составных средах, решения задачи определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения; качественному анализу линейных уравнений смешанного типа, моделирующих экстремальные процессы, протекающие в режимах с обострением.

Необходимость разработки новых математических методов и высокоэффективных вычислительных алгоритмов востребовали проблемы моделирования нелокальных процессов и явлений фрактальной природы и, в первую очередь, процессы тепломассообмена в средах с фрактальной организацией и памятью [71], аномального переноса частиц с конечной скоростью свободного движения [117], [128], [135]. В частности, изучение свойств капиллярно-пористых сред, обладающих фрактальной структурой, требует разработки новых математических технологий, решений ряда фундаментальных проблем, которые практически не поддаются теоретическому исследованию стандартными методами статистической физики [54]. Эти проблемы приводят к принципиально новым начальным, краевым и смешанным задачам для фрактальных дифференциальных уравнений и уравнений смешанного типа первого и второго рода. В частности, адекватным аппаратом аналитического описания аномальной диффузии, обнаруженной в широком разнообразии физических процессов, служат нагруженные дифференциальные уравнения, содержащие частные производные дробного порядка, а в случае отсутствия диффузии через фрактальную границу двух сред, где эффективный коэффициент диффузии идеальных молекул обращается в нуль (см. [1]), роль такого математического аппарата может сыграть уравнение параболического типа со знакопеременной характеристической формой [70, с. 56].

Необходимость проведения фундаментальных исследований по теме диссертационной работы стала очевидной, после того как выяснилось, что понятие фрактала становится одной из парадигм современной фундаментальной и экспериментальной физики, радиофизики и радиолокации, а дробное исчисление - математической основой физики фракталов, геотермии и космической электродинамики [21], [51], [69], [93], [99].

Работа выполнена по основному направлению научной деятельности Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН "Математическое моделирование нелокальных экстремальных процессов в системах с фрактальной структурой и памятью", которое утверждено Постановлением Президиума РАН № 227 от 27.06.2006 г.

Актуальность темы диссертационной работы подтверждают и многочисленные публикации отечественных и зарубежных авторов, среди которых следует отметить: работы B.JI. Кобелева, O.A. Кобелева, Я.Л. Кобелева, Л.Я.Кобелева, Е.П.Романова [32]—[38], [106], посвященные фрактальной диффузии; аналитический обзор Л.М. Зеленого и A.B. Милованова [21] по актуальным проблемам фрактальной топологии и обратной кинетики (от теории перколяции к проблеме космической электродинамики); работы Р.П. Мейланова [54]—[56] и P.P. Нигматуллина [93], [94], [95]; монографии А.А.Потапова с библиографическим списком в 1017 наименований [99], A.B. Псху [101] и Л.И. Сербиной [116]; исследования С.Ш. Рехвиашвили [105], Р.Т. Сибатова, В.В.Учайкина [117] по фрактальному переносу в токопро-водящих полимерах и неупорядоченных полупроводниках.

На актуальность разработки численных методов решения уравнений диффузии дробного порядка обращено внимание в работах К.В. Oldham, J. Spanier [156], R. Gorenfio [151], B.M. Головизнина, В.П. Киселева, И.А. Ко-роткина, Ю.И.Юркова [8], [9] и М.Х. Шханукова [139].

Об интенсивности исследований в области фрактальной диффузии свидетельствует и тот факт, что на запрос "Fractal AND diffusion" в Научной Электронной Библиотеке (http://elibrary.ru) найдено 5282 работы.

На востребованность использования концепции фрактала в физике . конденсированной среды и на то, что анализ интегро-дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка представляет весьма трудную задачу, обращено внимание в работе А.И. Олемского, А.Я. Флата, опубликованной в 1993 г. в журнале "Успехи физических наук" [96].

Основной целью диссертации является разработка новых качественных и приближенных аналитических методов и алгоритмов моделирования и исследования нелокальных физических процессов и их математических моделей, которые задаются как локальными, так и нелокальными дифференциальными операторами, связывающими значения интенсивных переменных в различных точках пространства-времени.

Для достижения основной цели используются: основные принципы метода математического моделирования и вычислительного эксперимента как двуединого процесса создания моделей и их исследования средствами математических наук; концепции фрактальной геометрии и дробного исчисления; метод энергетических оценок и интегральных уравнений; принцип Зарембы-Жиро и принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования; качественные свойства специальных функций и функции Миттаг-Леффлера; метод Фурье и метод функции Грина; методы теории нагруженных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными смешанного типа, разработанные и развитые в известных исследованиях Ф. Трикоми [124], A.B. Бицадзе [5], М.С. Салахитдинова [110], [111], Т.Д. Джураева [13], A.M. Нахушева [70], Е.И. Моисеева [58], Т.Ш. Кальменова [29], М.Т. Дженалиева [12], В.А. Елеева [15], А.Н. Зарубина [18], [19], JI.C. Пулькиной [102], O.A. Репина [104], К.Б. Сабитова [108], Л.И. Сербиной [116], М.М. Хачева [134].

В диссертации впервые разработаны следующие, выносимые на защиту, существенно новые теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в области математического моделирования:

1. Исследован широкий класс фрактальных дифференциальных уравнений состояния сплошных сред и нелокальное волновое уравнение с дробной производной по времени, найдено эффективное интегральное представление решения уравнения состояния Барретта через давление и функцию типа Миттаг-Леффлера;

2. Доказана теорема эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка и установлена связь уравнений микротурбулентной аномальной диффузии с базовыми нагруженными дифференциальными уравнениями математических моделей эридитарных явлений;

3. Разработан конструктивный алгоритм решения смешанной начально-краевой задачи для уравнения Бицадзе-Лыкова, обнаружено экстремальное свойство потока влаги в коллоидном капиллярно-пористом теле и доказан принцип экстремума для широкого класса фрактальных уравнений с частными производными параболического и эллиптического типов;

4. В локальной постановке сформулированы задача Коши, задача Дирихле и начально-краевые задачи для дифференциального уравнения Бар-ретта, фрактального волнового уравнения и эталонного уравнения смешанного типа с нелокальным условием Самарского и предложены эффективные аналитические методы их решения, получена энергетическая оценка для многомерного оператора диффузии дробного порядка, из которой следует единственность решения первой краевой задачи в видоизмененной постановке;

5. Исследованы структурные и качественные свойства решений дробного осцилляционного уравнения, обобщенного уравнения фильтрации в средах с фрактальной структурой, фрактальных тригонометрических функций, обобщенной функции релаксации, фрактальных моделей адиабатического и диффузионно-релаксационных процессов; найден новый подход к решению проблемы корректного выбора уравнения состояния вещества при высоких давлениях, позволивший найти и описать трехпараметриче-ский класс масштабных дифференциальных уравнений дробного порядка, включающий уравнение состояния хладона Ш34а;

6. Предложены аналитический и вычислительный алгоритмы определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения;

7. Реализована корректная постановка краевых задач для смешанного типа уравнения теплопроводности, найдено фундаментальное соотношение между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составных сред;

8. Решена проблема эффективной линеаризации основополагающих уравнений теории режимов с обострением, установлено, что базовыми уравнениями математических моделей широких классов физических процессов являются линейные локальные и фрактальные дифференциальные уравнения смешанного типа первого и второго рода.

Основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретическую ценность и могут найти применение в развитии фундаментальных основ математического моделирования фрактальных объектов и наносистем, странных процессов переноса и процессов, протекающих в режимах с обострением, теории нагруженных дифференциальных уравнений [12]. Практическую ценность, наряду с теоретической, будут иметь полученные в диссертации обобщенный закон движения границы раздела фаз (§ 1.6), обобщенный закон Пуассона (§ 2.1), обобщенные законы Кольрауша-Уильямса-Уоттса (§3.2) и уравнение состояния хладона Ш34а (§3.4).

В "Отчете о деятельности Российской академии наук" в 1996 году исследование класса дифференциальных уравнений состояния и переноса в системах с памятью отмечено как важнейший результат в области естественных наук (раздел прикладная математика, информатика, математическое моделирование, информационные системы), а в отчете РАН в 2006 году как основной результат названы построение и исследование существенно новых и разного уровня прогностической значимости математических моделей нелокальных процессов тепло- и массопереноса, протекающих в сплошных средах с памятью и в средах, имеющих пространственную и временную фрактальную организацию, выявление фундаментальных соотношений между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы в случае одномерного уравнения теплопроводности смешанного типа.

Достоверность результатов диссертации и адекватность математических моделей обеспечиваются строгими математическими доказательствами, вычислительными экспериментами и в отдельных случаях предельными переходами к эталонным вариантам, сравнением с данными экспериментов и натурных наблюдений.

Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях научно-исследовательского семинара и итоговых заседаниях Ученого совета Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН и прошли апробацию на следующих научных мероприятиях:

1. XIV Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Терскол, РФ, 1992 г.

2. Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», АМАБЕ. Минск, Беларусь, 1999 г.

3. XVI Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Черноголовка-Эльбрус, РФ, 2001 г.

4. Вторая международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2001 г.

5. XVIII Международная конференция «Физика экстремальных состояний вещества», Черноголовка-Эльбрус, РФ, 2003 г.

6. Международный Российско-Узбекский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, РФ, 2003 г.

7. Международный Российско-Казахский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, РФ, 2004 г.

8. XIX Международная конференция «Уравнения состояния вещества». Эльбрус, РФ, 2004 г.

9. III Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2006 г.

10. Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика Ильи Несторовича Векуа. Новосибирск, РФ, 2007 г.

В диссертацию вошли результаты, полученные автором как одним из исполнителей проектов 00-01-00311-а «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепло-массопереноса в средах с фрактальной структурой» (20002002 гг.), 03-01-96728-р2003юга «Разработка математических моделей автоматизированного мониторинга экологического состояния предгорных территорий и мероприятий по предотвращению или уменьшению до средних величин катастрофических последствий» (2003-2005 гг.), 06-01-96625-рюга «Математические основы моделирования во фрактальных средах и их приложение к описанию физических, природных и социально-биологических систем» (2006-2008 гг.) и как руководителем проекта «Исследование краевых задач со смещением для канонических уравнений смешанного типа и их приложения к математическому моделированию энергои массообмена в составных средах с фрактальной структурой» (2006-2008 гг.), поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в монографии [71] и в работах автора [72]-[91]. Отдельные результаты диссертанта, изложенные в параграфах 1.1, 2.5, 2.8, 2.9, включены в книгу [69] (см. §§5.8, 5.13, 5.20, 5.21). Результаты пятой главы, оформленные в виде трех лекций, внедрены соискателем в учебный процесс Пятой Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» [53, с. 169].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 157 наименований.

Заключение

Итак, в диссертации получен ряд ключевых научных результатов, являющихся основополагающими в качественно новом и интенсивно развивающемся научном направлении: «Математическое моделирование нелокальных физических процессов и явлений в средах с фрактальной структурой и памятью». Эти результаты приведены во введении и они могут сыграть позитивную роль не только в названных в диссертации вопросах математического моделирования, разработки двумерных схем расщепления для вырождающихся эллиптических уравнений и уравнений параболического типа [121], но и при решении проблем моделирования массопереноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах, интерпретируемых как системы с фрактальной организацией, когда диффузионные процессы на заключительных этапах эволюции (см. [17]) оказываются существенными. Математической основой научного направления являются дробное исчисление и теория нелокальных дифференциальных уравнений, в особенности нагруженных уравнений, содержащих операции дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования, которые автор называет фрактальными дифференциальными уравнениями.

Разработанные в диссертации новые математические модели фрактальных процессов являются универсальными, решения базовых фрактальных дифференциальных уравнений допускают различные физико-биологические интерпретации, и их анализ может привести к новым законам, адекватно действующим в той или иной области. Рассмотрим, например, простейшее, но вместе с тем важное дифференциальное уравнение дробного порядка со спектральным параметром Л: ЛN{x)t 0 < ж < ж*. (1)

Согласно теореме 2.4.1 общее решение уравнения (1) при 0 < ß < 1 пред-ставимо в виде где aß = lim Dq^N^) - произвольная постоянная. Если ввести функцию х—»0

Ехр/3(Л;ж) = ж^-1 ехр^(Лж/3), то любое решение N(x) уравнения (1) определяется формулой

N(x) = aßExpß{X-x). (2)

Функция Ехр/3(1;ж) = Ехр^(ж) = ехр/3(ж/3), которая при /5 = 1 совпадает с ехр ж, является решением уравнения DqxN(£) = N(ж). Поэто-. му дифференциальное уравнение (1) порядка ß е]0,1[ представляют собой обобщенный экспоненциальный закон развития системы «вход-выход» с входным объектом ж €=]0, ж*] и выходным объектом N{x) 6 С]0, ж*]ПЬ[0, ж*]. Его по аналогии с уравнением показательного (экспоненциального) роста: N'(x) = \N{ж) можно назвать фрактальным уравнением обобщенного экспоненциального роста (или развития).

Из формулы (2) при А = 0, /? = 1 — а получаем степенной закон распределения вероятностей при статистическом описании катастроф и стихийных бедствий

N(x) = aß х~а, где N(x) - число бедствий, в которых число погибших больше некоторой величины ж [59], [60].

Как продемонстрировано в диссертационной работе, при описании процессов, протекающих в средах с фрактальной организацией и памятью, важную роль может сыграть и другое обобщение классического уравнения показательного роста, когда вместо уравнения (1) берется уравнение düxN(£) = \N(x): 0 < ß <1, 0 < х < х*, (3) которое эквивалентно нагруженному дифференциальному уравнению (см. § 2.8): DgtN{£) = XN(x) + N(0)x~ß/T(l - ß), 0 < ж < ж,.

Единственное решение N(x) задачи Коши N(0) = Nq для уравнения (3) задается формулой

N(x) — NoEß(Xx^), (4) где Eß(z) = Ei/ß(z] 1) - функция Миттаг-Леффлера.

Обобщенной экспоненциальной функцией можно назвать и функцию

ОО ßfc

Exp^z) = Eß(J) = £ r{1X+ßky х > О- (5) к—0

Функция (4) при Щ = 1, А = 1 совпадает с функцией (5). Легко видеть, что = Ехр^я), &ЕхрР(х) = ЕхрДж).

Когда А = — , формула (4) записывается в виде

N(x) = ЩЕхр13 (—сох). (6)

Формула (6) может быть интерпретирована как обобщенный закон радиоактивного распада, если х = t - время, Щ - число ядер в начальный момент времени t = 0, N(t) - число ядер, не распавшихся по прошествии времени t, ш13 - постоянная распада.

В заключение хочу выразить искреннюю признательность редактору моей монографии [71], заслуженному деятелю науки РФ, д.ф.-м.н. А.П. Солдатову и ее рецензентам докторам физ.-мат. наук А.И. Сухинову и А.И. Темрокову за высокую оценку моих научных результатов.

1. Андреев Г.Б., Максименко В.В. Отсутствие диффузии через фрактальную границу двух сред // Теоретическая и математическая физика. 2001. - Т. 128, № 2. - С. 309-320.

2. Агеев М.И., Алик В.П., Марков Ю.И. Библиотека алгоритмов 5161006, в.2. М.: Сов. радио, 1976.

3. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. JL: Химия, 1986. - 144 с.

4. Бегли Р.Л., Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием // Аэрокосмическая техника. - 1984. - Т. 2, №2. - С. 84-93.

5. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448 с.

6. Бурчаков A.C., Мустелъ П.И., Ушаков К.З. Рудничная аэрология. -М.: Недра, 1971. 376 с.

7. Виноградов М.Б., Руденко О.В., Сухарков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. - 282 с.

8. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткий И.А., Юрков Ю.И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. М.: ИБРАЭ, 2002. - 57 с.

9. Головизнин В.М., Короткий И.А. Методы численного решения некоторых одномерных уравнений с дробными производными // Дифферент уравнения. 2006. - Т42, №7. - С. 907-913.

10. Гурса Э. Курс математического анализа. Т III, ч. 1. M.-JL: ГТТИ, 1933. - 276 с.

11. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 677 с.

12. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Компьютерный центр ИТ-ПМ, 1995. - 270 с.

13. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979. 238 с.

14. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: ФАН, 1986. 220 с.

15. Елеев В.А. О некоторых задачах со смещением для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №1. С. 22-29.

16. Жарков В.Н., Калинин В.А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. М.: Наука, 1968. - 311 с.

17. Жуков М.Ю. Математическое моделирование массопереноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах. Автореферат дис. . уч. степени д.ф.-м.н. Ростов-на-Дону, 2006. 31 с.

18. Зарубин А.Н. Задача Коши для дифференциально-разностного нелокального волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2005. -Т. 41, № 10. - С. 1406-1409.

19. Зарубин А.Н. Прямая и обратная задача для дифференциально-разностного уравнения диффузии // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42, № 10. - С. 1431-1433.

20. Заславский Т.М., Авдеев Р.З. Введение в нелинейную физику от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

21. Зеленый Л.М., Милованов A.B. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам кинетической электродинамики // УФН. 2004. - Т. 174, №8. - С. 809-850.

22. Золина A.A. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // ЖВМ и МФ. 1966. - Т. 6. № 6. - С. 991-1001.

23. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сеидов Б.Х. Математический анализ.- М.: Наука, 1979.-720 с.

24. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. -Т. 13, №2. С.294-304.

25. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения.- 1979.-Т. 15, №7. С. 1287-1295.

26. Кальменов Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. - Т. 7, № 1. - С. 178-181.

27. Кальменов Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения // Дифференц. уравнения. 1972. -Т.8, №1. -С.41-54.

28. Кальменов Т.Ш. О характеристической задаче Коши для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, № 1. - С. 84-96.

29. Калъменов Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Шымкент, Гылая, 1993. 328 с.

30. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб.: Лань, 2003. - 576 с.

31. Капель Г. И., Разоренов С. В., Уткин А. В., Фортов В. Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: Янус-К, 1996. -408 с.

32. Кобелев В. Л., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. О диффузии через фрактальную поверхность // ДАН. 1997. - Т. 355, №3. -С. 326-327.

33. Кобелев В. Л., Романов Е.П., Кобелев Л. Я., Кобелев Я. Л. О фрактальной диффузии к вращающемуся диску // ДАН. 1998. - Т. 362, №2. - С. 184-186.

34. Кобелев В. Л., Романов Е.П., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. Недеба-евская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве // ДАН.- 1998. Т. 361, №6. - С. 755-758.

35. Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я., Романов Е. П. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // ДАН. 1999. Т. 369, № 3.- С. 332-333.

36. Кобелев Л. Я., Романов Е. П. Фрактальная размерность поверхности как параметр порядка // ДАН. 2000. Т. 370, №6. - С. 757-759.

37. Кобелев Л. Я., Романов Е. П. Кинетические уравнения для больших систем с фрактальными структурами // ДАН. 2000. Т. 372, №2. -С. 177-180.

38. Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я., Климентъева Ю. Л. // Доклады РАН.- 2003. Т. 390, №5. - С. 605-609.

39. Колмогоров А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР.- 1958. Т. 119, № 5. - С. 861-864.

40. Кормер C.B., Урлин В.Д. Об интерполяционных уравнениях состояния металлов для областей сверхвысоких давлений // ДАН СССР. -1960. Т. 131, m 3. - С. 542-545.

41. Кормер С.Б., Урлин В.Д., Попова Л. Т. Интерполяционное уравнение состояния и его приложение к описанию экспериментальных данных по ударному сжатию металлов // Физика твердого тела. 1961. - Т. 3, в. 7. - С. 2132-2140.

42. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25, № 8. - С. 1359-1368.

43. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения.- 1990. Т. 26, №4. С. 660-670.

44. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Иностранная литература, 1963. - 466 с.

45. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. - 488 с.

46. Курдюмов С.П., Куркина Е.С. Тепловые структуры в среде с нелинейной теплопроводностью // Нелинейный мир. 2005. - Т. 3, №5-6.

47. Лебедев H.H. Специальные функции. M.-JL: Физматлит, 1963. 458 с.

48. Лыков A.B. // Инженерно-физический журнал. 1963. - Т. 9, №3.

49. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно-физический журнал. 1965. - Т. 9, Ns 1.

50. Лыков A.B. Тепломассообмен. М.: Энергия, 1971. - 560с.

51. Магомедов K.M. Теоретические основы геотермии. М.: Наука, 2001. - 277 с.

52. Максюта Н. В. Использование дифференциальных уравнений в дробных производных в теории каналорования заряженных частиц в кристаллах. Поверхность: рентгеновские, синхронные и нейтронные исследования. 2001. К0- 5. - С. 45-47.

53. Материалы V Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, сентябрь 2007 г. 170 с.

54. Мейланов Р. П. К теории фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой // Письма в ЖТФ. 1996. - Вып. 23. Т. 22.

55. Мейланов Р.П. Обобщенные уравнения одномерной фильтрации с дифференцированиями дробной степени // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74, № 2. С. 34-37.

56. Мейланов Р.П., Янполов М.С. Особенности фазовой траектории "фрактального" осциллятора // Письма в ЖТФ. 2002.- Вып. 1. Т. 28.

57. Мизес Р. Математическая теория течения сжимаемой жидкости. М.: ИЛ, 1961. - 588 с.

58. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральными параметрами. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

59. Найденов В.И., Кожевникова И.А. О степенном законе катастрофических наводнений // Доклады АН. Механика. 2002. - №3.

60. Найденов В.И., Кожевникова H.A. Закон катастрофических наводнений // Вестник РАН. 2005. - Т. 75, № 1. - С. 46-55.

61. Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // ДАН СССР. 1977. - Т. 234, № 2. - С. 308-311.

62. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. - 50 с.

63. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995.- 301с.

64. Нахушев A.M. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1980 - Т. 16, №9.

65. Нахушев A.M. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах // ДАН СССР. 1988. Т. 300, №4.

66. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик: Эльбрус, 1992. - 155 с.

67. Нахушев A.M. Математические модели вязкоупругого тела // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. -№3.-С. 107-109.

68. Нахушев A.M. Математические методы в исторических исследованиях. Нальчик: КБГУ. - 1987. - 56 с.

69. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003. - 272 с.

70. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. - 287с.

71. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. - 173 с.

72. Нахушева В.А. Об одной математической модели теплообмена в смешанной среде с идеальным контактом // Вестник Самарского государственного технического университета. Вып. 42. Сер. ФМН. - 2006. -С. 11-34.

73. Нахушева В.А. Критерии ограниченности следа производной решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в угловых точках области его задания // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. - Т. 8, №2. - С. 139-143.

74. Нахушева В.А. О базовых уравнениях математических моделей тепловых процессов, протекающих в режимах с обострением // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2007. - Т. 9, № 1. - С. 139-143.

75. Нахушева В.А. О линейных смешанного типа уравнениях теплопроводности, моделирующих тепловые процессы, протекающие в режимах с обострением // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. - Т. 9, № 2. - С. 78-92.

76. Нахушева В.А. Об определении распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения // Математическое моделирование. 2005. - Т. 17, №7. - С. 53-58.

77. Нахушева В.А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002. - 100 с.

78. Нахушева В.А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волнового уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1996. - Т. 2, № 1. - С. 26-28.

79. Нахушева В.А. Об одной задаче A.B. Лыкова и конструктивной формуле ее решения // Известия КБНЦ РАН. 1998. - Т. 1, № 1. - С. 48-53.

80. Нахушева В.А. Смешанные краевые задачи для гиперболо-параболического уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1998. - Т. 3, №2. - С. 12-15.

81. Нахушева В.А. О некоторых математических моделях диффузионного переноса вещества в средах с фрактальной структурой // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. - Т. 6, №2. -С. 115-118.

82. Нахушева В.А. Об одной задаче определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронногоизлучения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. - Т. 7, № 1. - С. 124-128.

83. Нахушева В.А. Об одном классе уравнений состояния вещества // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2005. Т. 7, № 2. - С. 101-108.

84. Нахушева В.А. Об одной математической модели процессов переноса // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2003. С. 142-144.

85. Нахушева В.А. Об одной математической модели нестационарной теплопроводности // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2004. С. 259-262.

86. Нахушева В.А. Об одном классе уравнений состояния вещества. Сборник трудов XX международной конференции "Физика экстремальных состояний вещества 2005". Черноголовка-2005. С. 137-139.

87. Нахушева В.А. Об одной математической модели переноса тепла в почве // Материалы III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик, 2006. С. 208-209.

88. Нахушева В. А. Об одном классе уравнений состояния вещества. Тезисы XX международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество". Эльбрус-2005. С. 114.

89. Нахушева З.А. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным условием сопряжения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. - Т. 7, № 1. - С. 66-74.

90. Нигматуллин P.P. The Realization of the Generalized Transfer Equation in a Medium with Fractal Geometry. Phys. Status Solldi. B. 1986. V. 133, №11. P. 425-430.

91. Нигматулин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика. 1992. - Т. 90, № 3. -С. 354-368.

92. Олемской А.И. Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды // УФН. 1993. - Т. 163, № 12. - С. 1-43.

93. Полубарипова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.

94. Попов А.Ю. О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. - Т. 12, № 6. -С. 137-155.

95. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. М.: Университетская книга, 2005. - 848 с.

96. Псху A.B. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат. заметки. 2005. - Т. 77, №4. - С. 592-599.

97. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. - 199 с.

98. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. №7. С. 837-892.

99. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.: Наука, 1977.

100. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Самара: Саратовский университет, Самарский филиал, 1992.-161 с.

101. Рехвиашвили С.Ш. Нестационарная электропроводность полимеров в модели с дробным интегродифференцированием // Физика твердого тела. 2007. - Т. 49, вып. 8. - С. 1522-1526.

102. Романов Е. П. Влияние фрактальных характеристик поверхности твердых электролитов на температурную зависимость элемента постоянной фазы // ДАН. 2000. - Т. 374, №2. - С. 180-183.

103. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, № 11. - С. 1967-1976.

104. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 2003. - 255 с.

105. Саичев А.И., Уткин С.Г. Асимптотические законы супердиффузии // ЖТФ. 2003. - Т. 73, вып 7. - С. 1-7.

106. Салахитдипов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: Фан, 1974. 156 с.

107. Салахитдипов М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент: Университет, 2005. 224 с.

108. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997. -240 с.

109. Самарский A.A., Вабищевич ¡Т.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Едиториал УРСС, 2003. 784с.

110. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

111. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. -448 с.

112. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. - 167 с.

113. Сибатов Р.Т., Учайкин В.В. Дробно-дифференциальная кинетика переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках // Физика и техника полупроводников. 2007. - В. 3 - С. 346-351.

114. Соболев С. JI. Локально-неравновесные модели процессов переноса // УФН. 1997. - Т. 167, № 10. - С. 1096-1106.

115. Станиславский A.A. Вероятностная интерпретация интеграла дробного порядка // Теоретическая и математическая физика. 2004. -Т. 138, № 3. - С. 491-507.

116. Сургуладзе Т.А. Об одном применении дробного исчисления в вязко-упругости // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. - 2000. № 5. - С. 62-66.

117. Сухинов А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.

118. Тен К.А., Аульченко В.М., Евдокимов О.В., Жогин И.Л., Жуланов

119. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 735 с.

120. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.:-Л.: ГИТ-Т.Л. 1947. - 192 с.

121. Устюжанин Е.Е., Реутов Б. Ф., Сукач И. А. Тезисы докладов XIV Международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество". Терскол, 1999. С. 60.

122. Устюэ/санин Е. Е., Реутов Б. Ф., Кузубов К. А. Тезисы докладов XV

123. Международной конференции "Уравнения состояния вещества". Тер-скол, 2000. С. 46-47.

124. Уфлянд Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных линиях // Инженерно-физический журнал. 1964. - Т. VII, №1. -С. 89-92.

125. Учайкин В.В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность // ЖТФ. 1998. - Т. 68, №1. -С. 138-139.

126. Учайкин В.В. Фрактальные блуждания и блуждания на фракталах // ЖТФ. 2004. - Т. 74, вып 7. - С. 123-126.

127. Фортов В. Е. Модели уравнений состояния вещества (препринт). Черноголовка, 1979. Отделение института хим. физики им. Ленина РАН.

128. Фракталы в физике: Труды VI Международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985 г.): Пер. с англ. / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. М.: Мир, 1988.

129. Франклъ Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1972. 712 с.

130. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985. 419 с.

131. Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998. 168 с.

132. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108, №5(11). - С. 1875-1884.

133. Шаткое А.Г. Системно-структурный анализ процесса теплообмена и его применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 280 с.

134. Шейн Е.В.Курс физики почв. М.: Изд-во МГУ. 2005. - 432 с.

135. Шогенов В.Х., Шхануков-Лафишев М.Х., Бештоев Х.М. Дробные производные: интерпретация и некоторые применения в физике. Сообщение Объединенного института ядерных исследований. Дубна, Р4-97-81, 1997. С. 1-16.

136. Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной // ДАН. 1996. - Т. 348, №6. - С. 746-748.

137. Bagley R.L., Torvik P.J. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelastically damped srtuctures // J. Rheol. 1983. -V.27, -№3. -P. 201-213.

138. Bagley R.L., Torvik P.J. Fractional calculus a different approach to the analysis of viscoelastically damped srtuctures // AIAA Journal. 1983. -V. 21, №5. - P. 741-748.

139. Bagley R.L., Torvik P.J. On the fractional calculus model of viscoelastic behavior // J. Rheol. 1986. - V. 30, № 1. - P. 133-155.

140. Barrett J.H. Differential equation of non-integer // J. Math. Canad. -1954. V. 6, №4.-P. 529-524.

141. Benson D. The Fractional Advection-Dispersion Equation: Development and Application: A dissertation submitted in partial fulfillment of the Doctor of Philosophy in Hydrogeology. Nevada, USA, 1998. Canad. 1954. -V.6, №4.-P. 529-524.

142. Caputo M. Elasticita e Dissipazione. Zanichelli, Bologna (1969) (in Italian).

143. Fujita Y. Integrodifferential equation which interpolates the heat equation and the wave equation // Osaka J. Math. 1990. - V. 27. - P. 309-321.V

144. Gemant A. On Fractional Differential Equations // Philosophical Magazine. 1938. - V. 25. P. 540-549.

145. Gemant A. On Fractional Differential. Philosophical Magazine. 1938. V. 25. P. 540-549.

146. Goldstein S. // J. Mech. Appl. Math., 1951. V.4, №2.

147. Gorenflo R. Fractional Calculus: Some Numerical Methods. CISM Lecture Notes. International Centre for Mechanical Sciences. Palazzo del Torso, Piazza Garibaldi, Udine, Italy. P. 277-290.

148. Koeller R.C. Applications of fractional calculus to the theory of viscoelasticity // J. Appl. Mech. 1984. - V. 51. - P. 299-307.

149. Mainardi F. Fractional Relaxation-Occilation and Fractional Diffusion-Wave Phenomena Chaos // Solitons and Fractals. 1996. - V. 7, №9. P. 1461-1477.

150. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. N.Y.: Freman, 1983.

151. Miller K.S., Ross B. Fractal Green's function // Indian J. Pure Appl. Math. 1991. - V. 22, № 9. - P. 763-767.

152. Oldham Keith B., Spanier Jerome. The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order). Academic Press, New York and London, 1974. 233 p.

153. Wright E.M. The Generalzed Bessel Function of order Greater Than One // The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford series. 1940. V. 11, №41. -P.36-48.