автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой

На правах рукописи

0034651Б1

Бейбалаев Ветлугип Джабраилович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ В СРЕДАХ С ФРАКТАЛЬОЙ СТРУКТУРОЙ

0S.13.18- Математическое моделирование, численные методы н комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала 2009

003465161

Диссертация выполнена на кафедре прикладной математики Дагестанского государственного университета

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Мейланов Р.П.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор Жорник А.И., Таганрогский государственный педагогический институт

Кандидат физико-математических наук, Мамчуев М.О.,

Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН

Ведущая организация: Институт прикладной математики и

информатики ВНЦ РАН, г. Владикавказ

Защита состоится «23» апреля 2009 г. в 14 20 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, ТТИ ЮФУ, ГСП-17 А.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного Федерального университета.

Автореферат разослан « 16 » марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Несмотря на значительные усилия исследователей до сих пор задача создания адекватных количественных моделей неравновесных процессов остается актуальной. Особенно это актуально, когда речь идет о системах с фрактальной структурой. При описании свойств систем с фрактальной структурой нельзя использовать представления евклидовой геометрии и необходимо привлечь представления геометрии дробной размерности. Особенность систем с фрактальной структурой в том, что для них существенны такие эффекты, как память, сложная природа пространственных корреляций и эффекты самоорганизации. Создание адекватных математических моделей для систем, где проявляются свойства самоорганизации, детерминированного хаоса, также требует привлечения нетрадиционных подходов, основанных на применении математического аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка.

Развитие прикладных аспектов математического аппарата, интегро-дифференцирования дробного порядка представляет интерес не только с точки зрения создания адекватных математических моделей для решения практических задач, но и с точки зрения развития самой математики интег-родифференцирования дробного порядка.

В отличие от традиционного подхода, когда для количественного описания исследуемого явления используется одно соответствующее уравнение, имеющее заданный класс решений, применение аппарата интегродиффе-ренцирования позволяет использовать однопараметрический континуум дифференциальных уравнений. Это принципиально меняет подход к анализу экспериментальных данных, позволяя использовать новый параметр, который и представляет собой показатель дробности производной. В частности открываются новые возможности для решения задачи прогноза. Традиционными методами, включая современные методы детерминированного хаоса и вейвлет анализа, задача прогноза не решается.

Применение аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка позволяет глубже понять известные результаты и получить новый класс решений позволяющих охватить широкий круг задач, ранее не объяснимых

с позиций традиционных подходов.

Общая тенденция развития науки на современном этапе заключается в интеграции различных направлений естествознания. Образовалось новое научное направление — физика открытых систем, в рамках которого объединяются такие направления как синергетика, диссипативные структуры, детерминированный хаос, концепция фрактала с приложениями в физике, химии, биологии, геофизике, теории информации, математических основ экономики, социологии. Область приложений физики открытых систем все более расширяется, требуя при этом решения проблем как фундаментального, так и прикладного характера.

Множество вопросов, представляющих практический интерес и которые переросли в задачи, имеющие фундаментальное значение связаны с природой релаксации сильнонеравновесных состояний к состоянию равновесия. К неравновесным процессам относятся процессы тепломассопереноса гидро- и газо -динамики в сложных системах как недра земли, поверхностный слой почвы, различные процессы связанные с климатическими катастрофами. Особенностью неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой является медленная релаксация корреляционных связей, когда многочастичные функции распределения не распадаются на произведения одночастичных функций распределения. В частности могут существовать неравновесные стационарные состояния, когда система в рассматриваемой задаче в принципе не достигает равновесного состояния. Все это приводит к тому, что традиционные методы «сокращенного» описания в статистической физике становятся не пригодными при исследовании свойств систем с фрактальной структурой.

Фрактальный подход вносит новый уровень понимания динамики соотношения обратимых и необратимых процессов, открывая тем самым, новое направление в развитии неравновесных процессов, в основе которых лежит самоорганизации. Ярким примером такого объекта является пылевая плазма, в которой проявляется процессы самоорганизации.

Таким образом, разработка методов моделирования физических процессов в средах с фрактальной структурой основанные на математическом

аппарате интегродифференцирования дробного порядка актуально.

На актуальность рассматриваемой в диссертации темы показывает также многочисленные работы в этой области Нахушева A.M., Чукбар, Нигматулина P.P., Мейланова Р.П., Лубашевского И.А., Забаровского B.C., Городецкого А.Я., Нахушевой В.А., Сербиной Л.И., Гекиевой С.Х., Голови-зина В.М., Кисилева В.П., Charles Tadjeran, Mark M. Meerschaert и др.

Цель диссертационной работы. Развитие нового подхода на основе математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка для создания адекватных математических моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой.

В соответствии с поставленной целью сформулированы следующие основные задачи исследования:

- на основе математической модели линейного гармонического осциллятора разработать математическую модель «фрактального» осциллятора;

- на основе известных моделей теплопереноса разработать математическую модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой с учетом нелокальностей по времени (память) и по пространству (пространственные корреляции);

- разработать численные методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка по времени и по пространственной переменной.

Обоснованность и достоверность диссертационных исследований определяются корректным применением методов исследований, математической обоснованностью полученных решений, подтверждаются результатами вычислительных экспериментов, проверкой адекватности результатов, полученных на основе разработанных моделей, с известными результатами по тепломассопереносу.

Научная новизна работы:

• Разработана математическая модель «фрактального» осциллятора.

• Разработана математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой.

• Разработана математическая модель процесса кинетики сорбции в

средах с фрактальной структурой, учитывающая особенности межфазной границы.

• Разработаны численные методы решения краевых задач для уравнения переноса в средах с фрактальной структурой.

• Получено обобщенное уравнение Фоккера-Планка.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные

математические модели и численные методы решения краевых задач могут служить основой для моделирования неравновесных процессов и построения численных алгоритмов решения задач тепломассопереноса в средах с фрактальной структурой. Область их применения - исследование неравновесных процессов в открытых системах с учетом эффектов памяти, пространственных корреляций и самоорганизаций, прогнозирование и анализ нелинейных колебательных процессов.

Исследования по теме диссертации проводилось в рамках научно-исследовательских работ кафедры прикладной математики Дагестанского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации были предметом систематического обсуждения на заседаниях кафедры прикладной математики, в докладах ежегодных преподавательских конференций математического факультета Дагестанского государственного университета и прошла апробацию на следующих научных мероприятиях:

1. II республиканская научно-практическая конференции «Информационные и телекоммуникационные системы: интегрированные корпоративные сети. Махачкала, ДНЦ РАН, 2002.

2. Пятьдесят седьмая научная сессия, посвященная дню Радио. Москва, 2002.

3. Первая Международная научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, 2003.

4. Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ, 2004.

5. Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ, 2006.

6. Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы физики и биологии». Нальчик, 2006.

7. Российская заочная конференция «Современные наукоемкие технологии» Москва, 2007.

8. Третья Международная научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, 2007.

9. Пятая школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы физики и биологии». Нальчик, 2007.

10. Пятая региональная научно-техническая конференция «Дагин-форм-2008». Махачкала, 2008.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 14 работ и одна работа принята к опубликованию. Из них две работы [1,2] опубликованы и одна работа [3] принята к опубликованию в изданиях рекомендованных ВАК для публикации основных результатов. Работа [4] зарегистрирована в Федеральном государственном унитарном предприятии Научно-техническом центре «ИНФОРМРЕГИСТР» и присвоен идентификационный номер 0420700037 \ 0001. Пять работ [9,10,11,12,13] опубликованы в материалах международных и региональных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы 132 стр.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор проблемы, рассматриваемой в диссертации, анализ литературы, сформулированы цели диссертации и обоснована актуальность работы.

Первая глава является вводной. В этой главе рассматривается математическое определение фрактала. Приведены примеры геометрических и алгебраических фракталов и рассмотрена методика их построения. Дается интерпретация фрактала с позиции физических свойств и связи особенностей геометрии свойств объекта с их физическими свойствами.

Глава II посвящена построению математической модели «фрактального» осциллятора. В качестве математической модели фрактального ос-

циллятора рассмотрено уравнение:

где 0 < а <1, = Дцх(г)- " производная Сари(:о,

1 5 г ССг х)

£>",С(г,х) =--——-—производная Римана- Лиувилля, коэффи-

Г(1-а)еН0(/-г)а

циенг обычного затухания, Р(1) - вынуждающая сила, СО - частота.

Предложенная математическая модель учитывает фрактальность среды и нелокальности во времени. В случае когда а= 1, Р(1) = 0 мы получаем уравнение линейного гармонического осциллятора. В случае, когда у=0 уравнение (1) примет вид:

0£х(О+ «"*(/) = т (2)

где 1<я52, производная Сари1:о. Рассмотрен случай, когда

= Здесь Е_ „(-;") = У—^--функция Миттаг-

Лефлера. Получено решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям х(0) = а, х(0) = Ъ.

х(0 = аЕв А-(МУ ] + Л-ИЛ + —/*Еа вК®0" 1

¿г

В случае, когда 7Г(/) = 0 из (1) получим:

э|5?х(0+2^*х(0+Л(0 = 0, (3)

где У - коэффициент «обычного» затухания решений. Получено решение уравнения (3)

24г--\

Мг -1

Установлено, что при переходе к пределу у О получается решение для «фрактального» осциллятора без затухания

x(t) = ^(0)£2a>1(-z2a) + *а(0); E2aMa(-z2a).

Таким образом, решения уравнения для «фрактального» осциллятора с затуханием содержат в частном случае известные ранее решения, и расширяет область решений.

Разработанная модель может служить основой для моделирования сложных нелинейных колебательных процессов в биологических и экономических системах.

Глава III посвящена построению математической модели переноса в средах с фрактальной структурой.

Процесс переноса в средах с фрактальной структурой характеризуется нестационарным распределением частиц в пространстве, где расстояние х, которое прошла частица за время t из начальной точки, растет по степенному закону. Рассмотрено в качестве математической модели теплопереноса во фрактальных средах, обобщенное уравнение теплопроводности, коэффициенты которого учитывают выделение и перенос тепла:

да0,и(х, 0 = С(х, t)Diu(x, t) + f(x, t), (4)

где 0 < a < 1, \ <р<2, C(x,t) > 0, e",u(x,/)-Caputo, T)^u(xj)- производная Рима-

на- Лиувилля.

Здесь u(xj)- температура, C(x,t)- коэффициент теплопроводности, f(x,t)~удельная плотность тепловыделения за счет внутренних источников.

Предполагаемая математическая модель учитывает фрактальность среды; плотностные свойства; пространственные и временные корреляции.

В случае, когда р = 2, С(х, t) = b, /(x,t) = о уравнение (4) примет вид:

а-„(х, о-Ьия(*,0 = о. (5)

Получены решения уравнения (5) в бесконечной, ограниченной и полуограниченной областях. Рассмотрены следующие задачи:

Задача 1 (случай неограниченной области). Найти решение i/(x,t)eAC2(D) уравнения

= О,

в области D = {(x,i): -оо < х < +°о,0 < t < +зо}, удовлетворяющее начальному ус-

ловию и(х,1 = 0) = 1/(х,0). Здесь о"ги(х,/)- производная СариШ.

Эта задача с производной Римана-Лиувилля исследована в работе Гекиевой. Получено решение:

и(;с,Г)= ]сгкехр(-1Ь)и(к,0)Еа1(~Ьк2{а). (6)

В случае, когда и(х,/ = 0) = 5(х) имеем

и(х,/) = ]с/ксо5(кх)Еа1(-ЬкЧа).

о

Решение в случае производной СарШо качественно отличается от решения, полученного в работе Гекиевой. В нашем случае в решении отсутствует сингулярный множитель I, что качественно важно при моделировании процессов переноса в средах с фрактальной структурой.

Задача 2 (случай ограниченной области с краевыми условиями третьего рода). Найти решение г/(х,0еЛС2(£>) уравнения д0>(*,/)-&«„(*,/) = о,

в области £> - {0 < х < 1,0 < I < оо} удовлетворяющее условиям: н(х,0) = р(х),

--+ = 0, при х = 0,

дх

—+ = 0 прих=/.

Эта задача с краевыми условиями первого рода была исследована в работе Гекиевой. В нашем случае мы рассматриваем краевые условия третьего рода. Получено решение:

и(х,0 = £ С. (со5(Я„*) + ^-5т(Я„х)) ■ Еа] (~Л„Ы°),

и=0

2Д2 I у^

где С„ =-=-—_ + -^-Я>г(Я„х))а6с,

н 1

а -корни уравнения г#(Я/) =

т+А)

Г-ИЛ

Задача 3 (случай полу ограниченной области). Найти решение уравнения Lu(x,t) - d"tu{x,t)-ua{x,t) = 0 в области D = {(x,t) :0< х < +оо,0 <t < +<»}, О < а < 1, удовлетворяющее начальному условию и(х,0) = <р(х) (х > 0) и граничному условию «(0,г) = А.

Получено решение:

2 А 1 Г 1 со СО

u(x,t) = — Г — ü-Eai(-co2ta) \i\naxda>+ ¡da)\ ¡р(х')Еа ] (~a>2ta )sinmx' smcoxdx'.

я Ьа 0 0

А в случае, когда С(х,1)Ф const, /(х,1)Ф Ои а = 1 уравнение (4) примет вид: и, = C(xj)Dfu(x,i) + J\x,t),

Для нахождения решения, удовлетворяющего начальному условию u(jc,0) = <р{х) и краевым условиям u(L,t) = /¡, (7) и u(R, t) = /j2U), t>0 предложен численный метод. Здесь 1 < ß < 2, C(x,i) > 0.

Как указано в работах Головизина В.М., Кисилева В.П., несмотря на долгую историю развития математического аппарата дробного дифференцирования, аналитические методы решения уравнений дробной диффузии оказываются малоэффективными, а теория численных методов их решения носит фрагментарный характер и далека от завершения.

Построена разностная схема с весами:

= саЧ"*1 + (1 +/;, «;=М'Л

где С," = C(x„tn), f," = f{xl,tn).

Эта разностная схема определена на 6 точечном шаблоне. В случае ст = 0 мы получаем явную схему на 4 точечном шаблоне

"Г' =Г'С;д„-и;:1+(1+ус;д1)»;,+/с;Хд,и;.1+1+/;-т, (7)

ы

/=1,2,...,^Г-1,л = 0,1,2,...,Аг-1, где y = t!hß. Доказана теорема.

Теорема 1. Разностная схема (7) устойчива, если

~< 1 , где 1</?<2,Ггпм = тах [С(х,/)].

" тах 0 £ X £ /

О <. 1 £ Т

В случае с = 1 получаем полностью неявную схему с опережением на шаблоне:

а! ~и1 1 V1 „ Г"'*1.,"*1 ^ Г"1

г " (8)

»¡¡ = ц('Л

и"к = М,('Л

Доказана теорема об устойчивости разностной схем (8). Теорема 2. Неявная разностная схема (8) безусловно устойчива, в случае 1 < у? < 2.

В случае, когда нужно учитывать эффекты памяти и пространственные нелокальности, в качестве математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой рассмотрено уравнение (4): Д>(х,Г) = С(х,0Я£н(х,0 + /(*,/),

где 0 < а < 1,1 < < 2, С(х,/)> 0, с граничными условиями

и(0,/) = //[(/),и(/,/) = //2(/) и начальным условием н(х,0) = <р(х) в области

£) = {(х,0'.0<х</,0<(<Г}.

Построена разностная схема:

-»г --¿х чА+/г*=«:

а а й а

"о"=Л(>Д (9)

«4 = /<2(0> ","= ?<*,).

где ^ = Г(1-а)(1-а), 6= ——г—. Доказана теорема об устойчивости разно-

}гР

стнои схемы (9).

В случаи нелокальности по времени вместе экспоненциального, характерного для традиционной модели, характера уменьшения температуры, получается распределение температуры, имеющий степенной характер. Анализ результатов расчета показал, что степенной характер изменения температуры в пространстве является физическим проявлением фрактальных свойств

среды.

В §3.4 рассмотрена математическая модель кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой.

В качестве уравнения кинетики внутридиффузионной сорбции в средах с фрактальной структурой исследовано уравнение:

0-С(г) = 1-С(г), (10)

гдеС(г) = С(г)/С0,г =///„,/0 = Г;фф/(я2йэфф), 1зфф- эффективный размер зерен, Вэфф- эффективный внутридиффузионный коэффициент, С„- концентрация насыщения твердой фазы, еохС(т;) -производная Сари(о.

Решение уравнения (10) зависит от начальных условий и значения параметра а . Для 0<а < 1 и для начального условия, С(0) = С0 имеем ОД = С0[1-£вЛ(-га)].

В случае изменении порядка производной а изменяется функциональный вид решения. Расчеты показали, что такое изменение характеризует изменение состояния и свойств вещества. Разработанную модель можно использовать для оптимизации адсорбирующих процессов при получении, в частном случае, полукристаллических пленок чувствительных элементов.

Параграф 3.5 посвящен выводу обобщенного уравнения Фоккера-Планка. На основе уравнения Смолуховского-Эйнштейна, которое записывается для условной плотности вероятности ^О1,'!^':)^:!, которое имеет вид:

IV & ;/ +АО = ¡с1у3Щ)\ | У,; Г)№(у, \у2; Д/), выводится обобщенное уравнение Фоккера-Планка

У'УГ-О = I+ I(У''~<!>п'((УIУМ]' где Л°^(у2;1-12) = ¡¿у(у-у2)"*е1Уи')(у2\yj-t.,) - представляют собой обобщенные моменты.

Полученное обобщенное уравнение Фоккера-Планка расширяет область его приложений и открывает новые возможности исследования процессов переноса с учетом эффектов памяти и пространственных корреляций

в средах с фрактальной структурой.

Глава IV посвящена вычислительному эксперименту по анализу моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой. В данной главе численными расчетами построены графики полученных решений, Показано наличие качественно новых решений по сравнению с традиционными подходами.

Для практических приложений полученных моделей, имеет смысл графическое изображение решений и их сравнение с решениями соответствующих дифференциальных уравнений с целыми производными. Это дает нам возможность интерпретировать экспериментальные данные. При этом особый интерес представляет появление качественно новых решений, которые позволяют глубже понять изучаемое явление. При построении графиков решений были использованы разработанные в диссертации явные и неявные конечно-разностные схемы и полученные аналитические решения

рассмотренных в диссертации математических моделей.

На рис. 1 приведен графики численного решения задачи фрактального

осциллятора с вынуждающей силой при различных значениях параметра а .

200 -

.179. т.

150' 100

«1.2)

------- 50

С(!,!.9)

СО,1.7)

С(1,1.5) D

-50

-100

.- 142.073.

-i^o

[1 10 20 30 <10 50 60 70

.0. t .та.

Рис. 1. Результаты моделирования фрактального осциллятора с вынуждающей силой для моментов времени 0 < / < 70 при различных значениях а

Как видно на рис. 1 при уменьшении параметра а амплитуда колебаний резонансных решений фрактального осциллятора становится меньше. Кроме этого, при выбранных значениях параметров имеет место слабое изменение периода колебаний. Причина этого заключается в том, что переход к производным дробного порядка означает учет необратимых процессов.

На рис. 2 приведен графики численного решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка по пространственной переменной при различных значениях параметра Р в заданный момент времени.

Как видно на рис.2 с уменьшением показателя производной в заданный момент времени, максимальное значение температуры увеличивается и появляется область локализации температуры. Такое поведение в традиционных подходах возникает при учете нелинейных эффектов. Таким образом, учет пространственных нелокальностей приводит к появлению решений аналогичных решениям нелинейных уравнений.

I:

в®"",:

ода \

I

.И \

•А

1

»ям* 'А ■ *

\

О

Рис. 2. Графики численного решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка пространственной переменной /? = 2;1.7;1.5 при Г = 0.2 (график 1 при /7 = 2, график 2 при /? = 1.7, график 3 при /7 = 1.5).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Главным результатом работы является научно обоснованное решение проблемы создания адекватных математических моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой, расчетно-экспериментальный анализ предложенных моделей. При решении этой проблемы получены следующие основные результаты.

1. На основе обобщения математической модели линейного гармонического осциллятора построена математическая модель «фрактального» осциллятора. Для резонансных решений установлено уменьшение амплитуды и слабое изменение периода колебаний при уменьшении показателя дробной производной.

2. Построена математическая модель процесса тепломассопереноса в средах с фрактальной структурой. Установлено, что вместе экспоненциального, характерного для традиционной модели, уменьшения температуры, распределение температуры в средах с фрактальной структурой имеет степенной характер. А с уменьшением показателя дробной производной по координате в заданный момент времени, установлено увеличение максимального значения температуры и появление области локализации температуры.

3. Разработаны явные и неявные разностные схемы для решения краевых задач для уравнения переноса с производной дробного порядка и получены численные результаты. Предложен алгоритм и создана программа численного расчета решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производными дробного порядка по времени и по координате.

4. Построена математическая модель кинетики-сорбции ионов в средах с фрактальной структурой. Установлено, что в случае изменении порядка производной а изменяется функциональный вид решения, которое характеризует изменение состояния и свойств вещества.

5. Получено обобщенное уравнение Фоккера-Планка. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка позволяет исследовать новый класс стохастических процессов, которые реализуются в системах с фрактальной структурой.

6. Проведен вычислительный эксперимент по анализу моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой. Проведена проверка адекватности результатов, полученных на основе разработанных моделей, с известными результатами по тепломассопереносу.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д., Шахбанова М.Р. Уравнение параболического типа с дифференцированием дробного порядка// Вестник ДНЦ РАН,- 2006,-С. 11-15.

2. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка// Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки,- Т.1(118).-2009.

3. Бейбалаев В.Д., Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Шахбанова М.Р. Математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Математическое моделирование-2009. (Принято к опубликованию).

4. Бейбалаев В.Д. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка и его применение к задачам тепломассопереноса// Современные проблемы науки и образования." 2007.-№1.- С.7-13. (Зарегистрировано в Федеральном государственном унитарном предприятии Научно-техническом 11ентре «ИНФОРМРЕГИСТР» и присвоен идентификационный номер 0420700037 \ 0001).

5. Бейбалаев В.Д. Математическая модель кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой// Современные проблемы науки и образования,- 2008-№6,- С. 5.

6. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Численные методы решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производной дробного порядка// Вестник ДГУ,- 2008 - Вып.б,- С. 46-54.

7. Назаралиев М.А., Мейланов Р.П., Бейбалаев В.Д. Обобщенная задача диффузии на полуоси// Современные наукоемкие технологии,- 2007.-№8,- С. 82-84.

8. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Фундаментальные исследования.-2007.-№12.-С. 249-251.

9. Бейбалаев В.Д. Приложение дифференциальных уравнений дробного порядка к задачам теории информации// Материалы Международной научной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики»,- Нальчик, 2006,-С.56-60.

10. Бейбалаев В.Д. Задача теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Материалы второй Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения»,- Махачкала, 2007.-

11. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Фрактальный осциллятор с затуханием//Материалы первой Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения.-Махачкала, 2003,- С.70-71.

12. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Обобщенное уравнение Фокер Планка/Материалы первой Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения,- Махачкала, 2003,- С. 68-70.

13. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Математический метод обработки сигнала с фрактальной структурой// Сб. научных трудов V региональной научно-технической конференции «Дагинформ-2008»,- Махачкала, 2008.

14. Назаралиев М.А., Мейланов Р.П., Бейбалаев В.Д. Обобщение теоремы Котельникова на случай сигнала с фрактальной структурой// Вестник ДГУ,- 2007 - Вып.1,- С. 73-76.

15. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. О дискретизации сигнала с фрактальной структурой// Труды 57-й Научной сессии, посвященной Дню радио,- Москва, 2002 - Т.2.- С. 230-232.

Личный вклад соискателя по перечисленным работам может быть охарактеризован следующим образом:

- в работах [1,3,6,7,11,12] — постановки задач выполнены совместно, решения и анализ решений принадлежит соискателю;

- работы [2-5] и [8-10] выполнены без соавторов;

- в работах [13-15] численные расчеты и графики решений получены соискателем.

С. 56-60.

Соискатель

Бейбалаев В.Д.

Подписано в печать 12.03.09. Бумага офсетная. Печать офсетная. Формат 60*84 1/16. Усл. псч.л -Заказ № 124. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии "Радуга-1" г. Махачкала, ул. Коркмасова 11а

Введение.

ГЛАВА I. Концепция фрактала. Интегралы и производные дробного порядка.

§1.1 Математическое определение фрактала.

§1.2 Интегралы и производные дробного порядка.

§1.3 Физическая интерпретация фрактала.

§ 1.4 Математические и физические аспекты концепции фрактала.

ГЛАВА II Математическая модель «фрактального» осциллятора.

§ 2.1 Линейный гармонический осциллятор.

§2.2 «Фрактальный» осциллятор.

§ 2.3 «Фрактальный» осциллятор с вынуждающей силой.

§ 2.4 «Фрактальный» осциллятор с затуханием.

ГЛАВА III. Математические модели процессов переноса в средах фрактальной структурой.

§3.1 Моделирование переноса тепла в средах с фрактальной структурой.

3.1.1 .Обобщенная задача теплопереноса на бесконечной прямой.

3.1.2.Обобщенная задача теплопереноса в случае ограниченной области.

3.1.3. Обобщенная задача теплопереноса на полупрямой.

§ 3.2. Численные методы решения краевой задачи для уравнения переноса в средах с фрактальной структурой.

3.2.1. Краевая задача для уравнения переноса с производной

Дробного порядка.

3.2.2. Краевая задача для уравнения переноса с двусторонней производной дробного порядка.

§3.3. Фильтрация в средах с фрактальной структурой.

§ 3.4. Математическая модель кинетики-сорбции в средах с фрактальной структурой.

§3.5. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка.

ГЛАВА IV. Вычислительный эксперимент по анализу моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой.

§ 4.1. Численные расчеты задачи фрактального осциллятора с вынуждающей силой.

§ 4.2.Численные расчеты математической модели теплопереноса с учетом нелокальности по времени.

§ 4.3. Численные расчеты математической модели теплопереноса с учетом нелокальности по пространству.

§ 4.4. Численные расчеты математической модели теплопереноса в полуограниченной фрактальной среде с учетом нелокальности по времени.

Актуальность темы. Несмотря на значительные усилия исследователей до сих пор задача создания адекватных количественных моделей неравновесных процессов остается актуальной. Особенно это актуально, когда речь идет о системах с фрактальной структурой. При описании свойств систем с фрактальной структурой нельзя использовать представления евклидовой геометрии и необходимо привлечь представления геометрии дробной размерности. Особенность систем с фрактальной структурой в том, что для них существенны такие эффекты, как память, сложная природа пространственных корреляций и эффекты самоорганизации. Создание адекватных математических моделей для систем, где проявляются свойства самоорганизации, детерминированного хаоса, также требует привлечения нетрадиционных подходов, основанных на применении математического аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка.

Развитие прикладных аспектов математического аппарата, интегродиф-ференцирования дробного порядка представляет интерес не только с точки зрения создания адекватных математических моделей для решения практических задач, но и с точки зрения развития самой математики интегродиффе-ренцирования дробного порядка.

В отличие от традиционного подхода, когда для количественного описания исследуемого явления используется одно соответствующее уравнение, имеющее заданный класс решений, применение аппарата интегродифферен-цирования позволяет использовать однопараметрический континуум дифференциальных уравнений. Это принципиально меняет подход к анализу экспериментальных данных, позволяя использовать новый параметр, который и представляет собой показатель дробности производной. В частности открываются новые возможности для решения задачи прогноза. Традиционными методами, включая современные методы детерминированного хаоса и вейвлет анализа, задача прогноза не решается.

Применение аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка позволяет глубже понять известные результаты и получить новый класс решений позволяющих охватить широкий круг задач, ранее не объяснимых с позиций традиционных подходов. Таким образом, разработка методов моделирования физических процессов в средах с фрактальной структурой основанные на математическом аппарате интегродифференцирования дробного порядка актуально.

Общая тенденция развития науки на современном этапе заключается в интеграции различных направлений естествознания. Образовалось новое научное направление — физика открытых систем, в рамках которого объединяются такие направления как синергетика, диссипативные структуры, детерминированный хаос, концепция фрактала с приложениями в физике, химии, биологии, геофизике, теории информации, математических основ экономики, социологии. Область приложений физики открытых систем все более расширяется, требуя при этом решения проблем как фундаментального, так и прикладного характера. Важной особенностью физики открытых систем является и то, что интеграция достигает такого уровня, когда создается единая система взглядов на естественнонаучные и гуманитарные знания.

Множество вопросов, представляющих практический интерес и которые переросли в задачи, имеющие фундаментальное значение связаны с природой релаксации сильнонеравновесных состояний к состоянию равновесия. К неравновесным процессам относятся процессы тепломассопереноса гидра и газа - динамики в сложных системах как недра земли, поверхностный слой почвы, различные процессы связанные с климатическими катастрофами. Особенностью неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой является медленная релаксация корреляционных связей, когда многочастичные функции распределения не распадаются на произведения одночастичных функций распределения. В частности могут существовать неравновесные стационарные состояния, когда система в рассматриваемой задаче в принципе не достигает равновесного состояния. Все это приводит к тому, что традиционные методы «сокращенного» описания в статистической физике становятся не пригодными при исследовании свойств систем с фрактальной структурой.

Фрактальный подход вносит новый уровень понимания динамики соотношения обратимых и необратимых процессов, открывая тем самым, новое направление в развитии неравновесных процессов, в основе которых лежит самоорганизации. Ярким примером такого объекта является пылевая плазма, в которой проявляется процессы самоорганизации.

Термин фрактал впервые ввел в 1975 году Бенуа Мандельброт с выходом его книг [1]. Слова фрактал образуется от латинского глагола frangere -ломать, и прилагательного fractus - дробный. Следует отметить, что математические идеи сформировались задолго до этого в XIX-м веке в работах Георга Кантора, Карла Вейерштрасса, Джузеппе Пеано, Гастон Жюлиа, Пьер Фату и других. Понятие фрактальной (дробной) размерности появилось в 1919 годе в работе Феликса Хаусдорфа [2]. Однако, именно Бенуа Мандельброт объединил эти идеи и положил начало систематическому изучению фракталов и их приложений.

Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фракталы инициировали интенсивное развитие теории информации. Фрактальные алгоритмы нашли применение в информационных технологиях, например для синтеза трехмерных компьютерных изображений природных ландшафтов. Особо следует отметить связанное с фракталами развитие математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка и р-адического анализа.

Особое место занимает задачи, связанные с прогнозированием. На сегодняшний день все попытки решения задач прогнозного характера не удается не только традиционными методами анализа, но и современными методами, такими, как вейвлет анализ [3], методами детерминированного хаоса [4], фликер шума [5] .

В развитии концепции фрактала можно отметить два этапа. На первом этапе развивалась геометрическая версия. Этому посвящены работы Федера Е.[6], Олемской А.И.[7], Флат А.Я.[7], Зосимова В.В.[8], Батунина А.В.[9], Климантовича Ю.Л. [34]. Развитие геометрической версии основывалась на применении компьютерной графики. В основе применения компьютерной графике лежит использование свойства самоподобия. Наиболее полно различные применения геометрической версии фракталов изложены в книге [11].

Описание физических свойств систем с фрактальной структурой привело к развитию аналитических методов в концепции фрактала, основанных на применении математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка. Математический аппарат дробных производных и дробных интегралов имеет давнюю историю. В создании основ математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка участвовали известные математики Эйлер, Г.Лейбниц, Абель, Риман. В настоящее время известны монографии по дробному исчислению как отечественных [12,17], так и зарубежных [11] авторов. Интерес к дробному исчислению за последнее десятилетие был вызван в связи с решением многих прикладных задач в областях химической кинетики, неупорядоченных конденсированных сред, сильно неравновесных состояний. В связи с развитием концепции фрактала резко повысился интерес к прикладным аспектам дробного исчисления в теории тепло-массопереноса, вычислительной математики, биофизики, теории информации и социологии.

Хотя сам математический аппарат интегродифференцирования дробного порядка достаточно развит [12,14] однако, его использование для создания количественных моделей систем с фрактальной структурой начат сравнительно недавно. Этому положено начало в работах Нахушева A.M.[10,17],

Нигматулина P.P.[13], Мейланова Р.П.[15,45,62,67], Лубашевского И.А.[16], Забаровского B.C.[19], Городецкого А.Я.[20], Нахушевой В.А.[18], Сербиной Л.Щ55], Гекиевой С.Х.[78,85] .

Несмотря на то, что качественная теория дифференциальных уравнений оказалась адекватным математическим аппаратом для моделирования явлений в целом ряде областей и, несмотря на значительные усилия по развитию теории нелинейных колебательных процессов, наши знания в этой области далеки от своей полноты и необходимо развитие принципиально новых подходов [46,67].

В работе [67] в качестве осцилляторного уравнения рассмотрено уравнение D^x(t) + со ax(t)= 0 , (0.1) где 1 < (X < 2 , СО - частота, t - время. Физическую систему, описывающую этим уравнением, авторы назвали «фрактальным» осциллятором. В [17] в качестве неоднородного осцилляторного уравнения в средах с фрактальной структурой рассматривают уравнение daQlx{t)+ a,ax(t) = F{t), где 1 < а < 2, d"0lx(t) - производная Caputo.

Особый интерес во фрактальных средах представляет случай, когда вынуждающая сила является функцией Миттаг-Лефлера:

Fit) = f0a/2Ea,[-ma]. (0.2)

Под действием вынуждающей силы (0.2) фрактальная система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний- с собственной частотой системы со и с частотой вынуждающей силы Q. В случае когда а = 2, Fit) = /0 cos(Q/) является простой периодической функцией с некоторой частотой Q.

Несмотря на историческую давность повышенного интереса к исследованиям движения жидкости в пористых средах, в теории фильтрации до сих пор остается ряд нерешенных проблем. Особенности пространственной структуры, многофазность системы приводят к сложной природе явлений, для которых и в настоящее время отсутствует адекватный математический аппарат количественного рассмотрения фильтрационных течений в пористых структурах. Несмотря на многочисленные работы в этой области [45,53,54, 55] вопрос об исследовании нестационарных фильтрационных течений в пористых средах остается актуальным.

В связи с проникновением идей фрактальной геометрии в современную науку предпринимаются активные попытки внедрения зависимостей с дробной размерностью для описания различных физико-химических процессов [13, 73]. В ряде работ [13,71] показано, что в ветвящихся фрактальных структурах могут реализовываться сверхмедленные процессы переноса. Вместе с тем оказалось, что процессы, происходящие во фрактальных средах, можно моделировать с помощью дифференциальных уравнений, содержащие дробные производные вместо обычных производных целого порядка.

В [70,71] показано, что ряд физико-химических систем, которые могут быть описаны уравнениями в дробных производных, должны содержать в себе каналы, входящие в состав ветвящейся фрактальной структуры.

Такими системами могут быть процессы теплопереноса и массопереноса в перколяционных кластерах, фрактальных и пористых средах. Причем [70,71,74] получено, что показатель дробной производной по времени соответствует доли каналов (ветвей), открытых для протекания. В [16] показано, что аномальная диффузия (диффузия Леви) имеет фрактальную природу, и получена взаимосвязь порядка дробной производной с показателями масштабного преобразования времени и Херста.

Несмотря на долгую историю развития математического аппарата дробного дифференцирования, аналитические методы решения уравнений дробной диффузии оказываются малоэффективными, а теория численных методов их решения носит фрагментарный характер и далека от завершения. На актуальность разработки численных методов решения краевых задач для уравнения переноса в производных дробного порядка обращено внимание в работах Нахушева A.M. [17], Кисилева В.ГЦ69], В.М. Головизнина В.М.[69], Короткина И.А.[86], Charles Tadjeran [87], Lynch V.E. [88]. Разработке численных методов решения дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы [69], [86-88].

Особое место в проблеме создания адекватных количественных моделей занимает современные информационные технологии. Особенность современных информационных технологий, заключающихся в единой технической базе для передачи информации различной природы. Аудио, видео анимации, телефония, передача данных привело к созданию нового класса интегрированных сетевых приложений. Такими являются: видеоконференции, интернет-телефония, анимации в реальном времени, распознавание голоса, распределенные вычисления, интерактивная графика, виртуальная реальность и др. Все это привело к тому, что для процессов передачи, обработки и хранения информации в современных высокоскоростных сетях с пакетной коммутацией характерно стохастичность сложной природы. Одним из важнейших свойств, характерных для современных сетевых процессов, становится обнаруженное на практике свойство самоподобия или масштабной инвариантности статистических характеристик. Такие свойства составляют основу особого класса физических процессов — фрактальных процессов. Кроме того, для сетевых процессов также характерно свойство самоорганизации. Использование аналитических методов концепции фрактала в информационных технологиях начаты в работах Нахушева A.M.[21], Забаровского В.С.[19], Городецкого А .Я. [20].

В настоящее время аналитические методы концепции фрактала находят все более широкое применение практически во всех направлениях не только естественно научных направлений, но и гуманитарных. Обнаруживаются все больше систем с фрактальными свойствами. Причем область применимости концепции фрактала непрерывно расширяется. Важно то, что среди множества задач, стоящей перед фундаментальной наукой, одна из востребованных задач - задача прогноза, и с концепцией фрактала связана надежда решения этой фундаментальной проблемы. С этой точки зрения процессы в высокоскоростных вычислительных сетях представляет пример системы, где задача прогнозирования одна из актуальных. Здесь принципиально важно и то, что современные информационные технологии как открытые системы помимо всего прочего одновременно представляют собой «экспериментальную установку» для исследования проблем детерминированного хаоса и прогноза.

Число монографий, посвященных развитию концепции фрактала и их приложений практически во всех областях естествознания, непрерывно растет [10,17,18,43,75,77] .

Цель диссертационной работы. Развитие нового подхода на основе математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка для создания адекватных математических моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой.

В соответствии с поставленной целью сформулированы следующие основные задачи исследования:

- на основе математической модели линейного гармонического осциллятора разработать математическую модель «фрактального» осциллятора;

- на основе известных моделей теплопереноса разработать математическую модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой с учетом не-локальностей по времени (память) и по пространству (пространственные корреляции);

- разработать численные методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка.

Обоснованность и достоверность диссертационных исследований определяются корректным применением методов исследований, математической обоснованностью полученных решений, подтверждаются результатами вычислительных экспериментов, проверкой адекватности результатов, полученных на основе разработанных моделей, с известными результатами по те-пломассопереносу.

Научная новизна работы:

• Разработана математическая модель «фрактального» осциллятора.

• Разработана математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой.

• Разработана математическая модель процесса кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой, учитывающая особенности межфазной границы.

• Разработаны численные методы решения краевых задач для уравнения переноса в средах с фрактальной структурой.

• Получено обобщенное уравнение Фоккера-Планка.

Теоретическая и практическая значимость работы. Использование математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка позволяет создать новую основу для моделирования процессов теплопереноса и массопереноса в системах с фрактальной структурой. Разработанные численные методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с производной дробного порядка могут служить основой для построения численных алгоритмов решения задач тепломассопереноса. Полученную математическую модель кинетики-сорбции можно использовать для оптимизации адсорбирующих процессов при получении, в частном случае, полукристаллических пленок чувствительных элементов. Полученное обобщенное уравнение Фоккера-Планка расширяет область его приложений и открывает новые возможности исследования процессов переноса с учетом эффектов памяти и пространственных корреляций в средах с фрактальной структурой.

Исследования по теме диссертации проводилось в рамках научно-исследовательских работ кафедры прикладной математики Дагестанского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации были предметом систематического обсуждения на заседаниях кафедры прикладной математики, в докладах ежегодных преподавательских конференций математического факультета Дагестанского государственного университета и прошла апробацию на следующих научных мероприятиях:

1. II республиканская научно-практическая конференции «Информационные и телекоммуникационные системы: интегрированные корпоративные сети. Махачкала, ДНЦ РАН, 2002.

2. Пятьдесят седьмая научная сессия, посвященная дню Радио. Москва, 2002.

3.Первая Международная научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, 2003.

4. Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ, 2004.

5. Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ, 2006.

6. Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы физики и биологии». Нальчик, 2006.

7. Российская заочная конференция «Современные наукоемкие технологии» Москва, 2007.

8.Третья Международная научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения». Махачкала, 2007.

9. Пятая школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы физики и биологии». Нальчик, 2007.

10. Пятая региональная научно-техническая конференция «Дагинформ

2008». - Махачкала, 2008.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 15 работ. Из них две работы [97,105] опубликованы в изданиях рекомендованных ВАК для публикации основных результатов, работа [98] зарегистрирована в Федеральном государственном унитарном предприятии Научно-техническом центре «ИНФОРМРЕГИСТР» и присвоен идентификационный номер 0420700037 \ 0001, шесть работ [92,94,95,96,101,104] опубликованы в материалах международных и региональных конференций и три работы [100,102,103] опубликованы в реферируемых изданиях.

Личный вклад автора. Во всех работах, опубликованных в соавторстве, все математические выводы, доказательства и численные расчеты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы 132 стр.

Заключение

Отсутствие адекватных количественных моделей явлений переноса и особенно для систем, находящихся в состояниях далеких от равновесия, связано не только со сложностью природы таких систем, но и ограниченностью методов традиционных подходов. В процессах переноса, связанных с релаксацией сильно неравновесных состояний системы, проявляются фрактальные свойства. Их количественное описание требует использование математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка.

Особый интерес, как с точки зрения фундаментальной науки, так и практической, вызывают среды с фрактальной структурой. Связано это с тем, что такие системы обладают уникальными свойствами. В них проявляются закономерности, для которых создание адекватных количественных моделей в рамках традиционных подходов оказывается невозможным. В частности многие закономерности носят степенной характер, и их объяснение в рамках традиционных подходов оказывается чрезвычайно затруднительно.

Применение метода дифференциальных уравнений дробного порядка позволяет кардинально изменить создание количественных моделей. Основное отличие в том, что при создании количественной модели привлекается не одно дифференциальное уравнение, а бесконечное множество дифференциальных уравнений. При этом показатель дробности производной становится важнейшим параметром количественного анализа и позволяет естественным образом учесть особенности открытых систем. В рамках такого подхода удается из экспериментальных данных, носящих интегральный характер, восстановить природу микроскопических параметров системы.

Сформулируем основные результаты, полученные непосредственно автором.

Главным результатом работы является научно обоснованное решение проблемы создания адекватных математических моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой, расчетно-экспериментальный анализ предложенных моделей. При решении этой проблемы получены следующие основные результаты.

1. На основе математической модели линейного гармонического осциллятора построена математическая модель «фрактального» осциллятора. Установлено уменьшение амплитуды и слабое изменение периода колебаний при уменьшении показателя дробной производной. Предложенную модель можно применить для прогнозирования и анализа сложных нелинейных колебательных процессов в биологических и экономических системах, включая и стохастические процессы.

2. Построена математическая модель переноса в средах с фрактальной структурой. Установлено, что вместе экспоненциального, характерного для традиционной модели, характера уменьшения температуры, распределение температуры в средах с фрактальной структурой имеет степенной характер. А с уменьшением показателя дробной производной по координате в заданный момент времени, установлено увеличение максимального значения температуры и появление области локализации температуры.

3. Разработаны явные и неявные разностные схемы для решения краевых задач для уравнения переноса с производной дробного порядка и получены численные результаты. Предложен алгоритм и создана программа численного расчета решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производными дробного порядка по времени и по координате.

4. Построена математическая модель кинетики-сорбции ионов в средах с фрактальной структурой. Установлено, что в случае изменении порядка производной а изменяется функциональный вид решения, которое характеризует изменение состояния и свойств вещества. Предложенную модель можно использовать для оптимизации адсорбирующих процессов при получении, в частном случае, полукристаллических пленок чувствительных элементов.

5. Получено обобщенное уравнение Фоккера-Планка. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка позволяет исследовать новый класс стохастических процессов, которые реализуются в системах с фрактальной структурой.

6. Проведен вычислительный эксперимент по анализу моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой. Проведена проверка адекватности результатов, полученных на основе разработанных моделей, с известными результатами по тепломассопереносу.

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.- М.:Наука, 2002.- 654с.

2. Hausdorf F. Dimension und Ausseres Mass. Mathematische Annalen. 1919. Vol.79. P.157-179.

3. Астафьева H.M. Вейвлет анализ: Основы теории и примеры применения// Успехи физических наук,- 1996.-С.46-56.

4. БержеП., ПомоИ., ВидальК. Порядок в хаосе.-М.: Мир, 1991.-368с.

5. Тимашев С.Ф. Фликер-шум как индикатор «стрелы времени». Методология анализа временных рядов на основе детерминированного хаоса// Российский химический журнал.- 1997.- Т.41.- №3.- С. 17-29.

6. Федер Е. Фракталы.- М.: Мир, 1991.- 254с.

7. Олемской А.И., Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды// Успехи физических наук.- 1993.- Т. 163.- № 12.-С. 1-50.

8. Зосимов В.В., Лямшев Л. Фракталы в волновых процессах// Успехи физических наук.- 1995.- Т.165.- №4.- С. 361-402.

9. Батунин А.В. Фрактальный анализ и универсальность Фейгенбаума в физике Адронова//Успехи физических наук.- 1995.- Т.165.- №6.- С.645-660.

10. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии.- М.: Высшая школа, 1995.- 301с.

11. Oldham К.В, Spanier J. The Fractional Calculus. Acadenic Press. New York and London. 1974. 234 p.

12. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.- Минск: Наука и Техника, 1987,- 688с.

13. Нигматулин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпрета-ция//ТМФ.- 1992.- Т.90.- №3.- С. 354-368.

14. Чукбар. Стохастический перенос и дробные производные//ЖЭТФ.- 1995г.-Т.108.- С.1875-1884.

15. Мейланов Р.П. К теории фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой/ЯТисьма ЖТФ.- 1996.- Т.22.- №23.- С. 40-43.

16. Лубашевский И.А., Землянов А.А. Континуальное описание аномальной диффузии по гребешковой структуре//ЖЭТФ.- 1998.- Т.114.

17. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, 2000.- 299с.

18. Городецкий А.Я., Заборовский B.C. Фрактальные процессы в компьютерных сетях.- Санкт-Петербург: Изд-во СПБГТУ, 2000.- 102с.

19. Нахушев A.M. К проблеме информационной безопасности в системах с фрактальной структурой и памятью// Материалы VI Международной научно практической конференции «Информационная безопасность». Таганрог, 2004,- С. 327-329.

20. Нахушева В.А. Об одной математической модели переноса тепла в почве// Материалы международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, 2006.- С. 208-209.

21. Хаусдорф Ф. Теория множеств.- М.: ОНТИ, 1937.- 304 с.

22. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию.- М.: Наука, 1977.-368с.

23. Бурбаки Б. Общая топология.- М.: Наука, 1968.- 272с.

24. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функционального анализа.- М.: Наука, 1972.- 496с.

25. Халмош П.Р. Теория меры.- М.:ИЛ, 1953.- 352с.

26. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности.- М.: ИЛ, 1948.- 232с.

27. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности.- М.: Наука, 1973.-342с.

28. Кронокер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах.- Москва: По-стмаркет, 2000.- 352 с.

29. Визгин В.П. Эрлангенская программа и физика.- М.: Наука, 1975.- 110с.

30. Альтшулер В.А., Бравинский А.О. Квантовая космология и физика переходов с изменением сигнатуры пространства-времени// Успехи физических наук.- 1996.- Т. 166.- № 5,- С. 459-492.

31. Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика.- М.: Наука, 1981.-352с.

32. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. Новый подход к статистической теории открытых систем.- М.: Наука, 1990.-320с.

33. Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем.- М.: Янус-К, 2002.- 284с.

34. Мун Ф. Хаотические колебания.- М.: Мир, 1990.- 312с.

35. Джарбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области,- М.: Наука, 1966.- 671с.

36. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1961,-388с.

37. Андронов Ф.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., и др. Качественная теория динамических систем.- М.: Наука, 1966.- 428с.

38. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Е. Теория колебаний. М.:Наука, 1981.- 568с.

39. Хейл Д. Колебания в нелинейных системах,- М.: Мир, 1966,- 420с.

40. Боголюбовь Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1974.- 245с.

41. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Пер. с английского под ред. Кренкеля Т.Э.-М.: Постмаркет, 2000.- 350с.

42. Малиницкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики.- М.: Мир, 2000.

43. Мейланов Р.П. Обобщенное уравнение одномерной фильтрации с дифференцированием дробного порядка//ИЖФ.- 2001.-Т. 74.- №2,- С.34-37.

44. Нахушев А. М., Нахушева В.А. О конструктативных и качественных свойствах решений регуляризованного уравнения «фрактального» осцил-лятора//НИИ КБНЦ РАН. Нальчик.

45. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка/дифференциальные уравнения.- 1989.- Т.25.- №8.- С. 1359-1368.

46. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка// Дифференциальные уравнения,- 1990.- Т.26.- №4.- С.660-670.

47. Соболев С.А. // Успехи физических наук.- 1997.- Т. 167.- № 10.- С. 1095.

48. Абаржи И.И. // Журн. физ. химии.- 1999.- Т. 73.- №11.- С. 1943.

49. Пархутик В.П., Тимашев С.Ф. // Электрохимия,- 2000.- Т.36.- №11.-С.1378

50. Гарднер К.В. Стохастические методы в естественных науках.- М.: Мир, 1986.- 528с.

51. Джабраилов В.В., Мейланов Р.П. Фильтрация в пористых средах с флуктуирующей проницаемостью //ИФЖ.- 1996.- Т.69.- №2.- С.238 242.

52. Швидлер М.И. Статистическая гидродинамика пористых сред,- М.: Наука, 1985.- 288с.

53. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в системах с фрактальной структурой.- Нальчик: Издательство КБНЦ РАН, 2002,- 144с.

54. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде.- М.: Л., 1947,- 244с.

55. Шейдегер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды.- М.: Наука, 1960.

56. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах.-М.: наука, 1951.- 224с.

57. Золотарев ГШ.// Изв.АН СССР. Сер. Химич.- 1968.- № 10.- С.2408.

58. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения.- М.: Наука, 1983,-304с.

59. Кокотов Ю.А., Золотарев П.П. Елькин Г.Е. Теоретические основы ионного обмена.- JL: Химия, 1986.- 280с.

60. Мейланов Р.П. Свешникова Д.А., Шахбанов О.М. Метод дифференциальных уравнений дробного порядка в описании кинетики сорбции// Журнал физической химии.- 2003,- Т. 77.- №2.- С.260-264.

61. Partriedge С. The end of Simple Traffic Models. (Editor's Note), IEEE Network. 1993. Vol.7. №5. P.3.

62. Мейланов Р.П. Концепция фрактала в теории теплового поля земли// Международная конференция «Тепловое поле земли»,- Москва, 2000.- С.63-68.

63. Булгаков С.А., Понамаренко П.В., Ямпольский Ю.М. // Известия ВУЗов. Радиофизика.- 1995.- Т. 38.- № 6.- С. 361.

64. Котельников В.А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи // Изд. Ред. Упр. связи РККИ,- 1955.- №4-5.- С. 42-54.

65. Мейланов Р.П., Янполов М.С. Особенности фазовой траектории «фрактального» осциллятора.// Письма в ЖТФ.- Т.28.-№1.-С.67-73.

66. Нахушева В.А. Об одной модели процессов переноса// Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики».- Нальчик-Эльбрус, 2003.- С. 142-144.

67. Головизин В.М., Кисилев В.П., Короткин И.А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае: Препринт №IBRAE-2002-10. Москва: ИБРАЭ РАН, 2002.

68. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Методы расчета тепловых и диффузионных потоков.- JL: Химия, 1986.- 144с.

69. Иванова B.C., Балакнн А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении.- М.: Наука, 1994.- 383с.

70. Isaacson Е. Keller Н.В. Analysis of Numerical Methods, Wiley, New York, 1966. 338 p.

71. Пойтген X.A., Рихтер П.Х. Красота фракталов// Пер. с англ. Под ред.

72. А.И.Шарковского.- М.: Мир, 1993.- 175с

73. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров.- М.: Наука, 1991.- 134с.

74. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки.- М.: Университетская книга, 2005.- 848с.

75. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний.- М.: Изд.2, 2004.- 248с.

76. Синая Я.Г., Шильникова Л.П. Странные аттракторы. Новое в зарубежной науке.- М. Мир, 1981.- 384с.

77. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени// Доклады АМАН.- 2000.- Т.5.,№1.- С.17-18.

78. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаеф Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний.- М. Наука, 1976.- 384с.

79. Мидлтон Д. Введение в статистическую теорию связи.- М.: Изд. «Советское радио».- 1961.- Т.1.- 784 стр. Пер. с англ. Под ред. Б.Р.Левина.

80. Пуанкаре А. О кривых определенных дифференциальными уравнениями,-М.: Наука, 1947.- 127с.

81. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика.- М.: Наука, 1988.- Т.1.- 214с.

82. Lorenz E.N. Deterministic Non-Periodic Flow J. Atmosphere. Sci. 20. 1983. P. 130-141.

83. Кольцова Э.М., Василенко B.A., Тарасов B.B. Численные методы решения уравнений переноса во фрактальных средах// Журнал физической хи-мии.-200.- Т.74.- №5.- С. 954-956.

84. Гекиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения с дробной производной по полубесконечной области // Известия КБНЦ РАН.-2002.-№1(8).-С. 18-22.

85. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткин И.А., Юрко Ю.И. Прямые задачи неклассического переноса радионуклидов в геологических формациях// Известия РАН, Энергетика, 2004.-№4.- С. 121-130.

86. Charles Tadjeran, Mark М. Meerschaert, Hana-Peter Scheffler. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation//- Journal of Computational Physics 213(2006).-C. 205-213.

87. Lynch V.E., Carreras B.A., del-Castill-Negrete D., Ferreira-Mejias K.M., Hicks H.R. Numerical methods for the solution of partial differential equations ofrfractional order//- Journal of Computational Physics, 2003.-C. 406-421.

88. Liu Q., Liu F., Turner I., Anh V. Approximation of the Levy-Feller advection-dispersion process by random walk and finite difference method//Journal of Computational Physics.- 222 (2007).-C. 57-70.

89. Курдюмов С.П. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Самарский А.А. Структуры в нелинейных средах// в книге Компьютерное моделирование и нелинейные явления.- М.: Наука, 1988.- 192 с.

90. Лыков А.В. Теория теплопроводности. -М.: Высшая школа, 1967.- 600 с.

91. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. О дискретизации сигнала с фрактальной структурой// Труды 57-й Научной сессии, посвященной Дню радио.- Москва, 2002.- Т.2.- С. 230-232.

92. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Обобщенное уравнение

93. Фокер-Планка//Материалы первой Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения.-Махачкала, 2003.- С. 68-70.

94. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Фрактальный осциллятор с затуханием//Материалы первой Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения.- Махачкала, 2003.- С.70-71.

95. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д., Шахбанова М.Р. Уравнение параболического типа с дифференцированием дробного порядка// Вестник ДНЦ РАН.- 2006.- С. 11-15.

96. Бейбалаев В.Д. Обобщенное уравнение Фокера-Планка и его применениек задачам тепломассопереноса// Современные проблемы науки и образования.- 2007.-№1.- С.7-13.

97. Назаралиев М.А., Мейланов Р.П., Бейбалаев В.Д. Обобщение теоремы Котельникова на случай сигнала с фрактальной структурой// Вестник ДГУ.- 2007.- Вып.1.- С. 73-76.

98. Назаралиев М.А., Мейланов Р.П., Бейбалаев В.Д. Обобщенная задача диффузии на полуоси// Современные наукоемкие технологии.- 2007.-№8.- С. 82-84.

99. Бейбалаев В.Д. Задача теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Материалы второй Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения».- Махачкала, 2007.- С. 56-60.

100. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Фундаментальные исследования,- 2007.- №12,- С. 249-251.

101. Бейбалаев В.Д. Математическая модель кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой// Современные проблемы науки и образования.-2008.-№6,- С. 5.

102. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Математический метод обработки сигнала с фрактальной структурой// Сб. научных трудов V регион, научно-технической конференции «Дагинформ-2008».- Махачкала, 2008.

103. Бейбалаев В.Д. Математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Математическое моделирование. (Принято к опубликованию).

104. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Численные методы решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производной дробного порядка// Вестник ДГУ.- 2008.- Вып.6.- С. 46-54.

105. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка// Вестник Самарского гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки.- Т.1(118).-2009.