автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование геометрических и электрических характеристик физико-технических сред фрактальным методом

правах рукописи

"^оиь^ьб

БАЛХАНОВ Василий Карлович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЗИКО - ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕД ФРАКТАЛЬНЫМ МЕТОДОМ

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иркутск - 2007

003062561

Работа выполнена в Отделе физических проблем при Президиуме Бурятского научного центра Сибирского Отделения РАН, г Улан-Удэ

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Башкуев Юрий Буддич

доктор технических наук, профессор Массель Людмила Васильевна

кандидат физико-математических наук, доцент Аршинский Леонид Вадимович

Ведущая организация:

ГОУ ВПО "Иркутский государственный технический университет"

Защита диссертации состоится 17 мая 2007 г в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 218 004 01 при Иркутском государственном университете путей сообщения по адресу 664074, г Иркутск, ул Чернышевского, 15, ауд А-803

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Иркутский государственный университет путей сообщения"

Автореферат разослан 17 апреля 2007 г Ученый секретарь диссертационного совета ¿у ^'Х^ Н П Деканова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования Исследования, связанные с фрактальной геометрией и ее приложением к решению научных и технических, фундаментальных и прикладных задач, исследованию математических моделей физических и технических объектов, начались после выхода книги Б Мандельброта 1 В ней для математического моделирования изломанных и фрагментированных объектов Б Мандельброт ввел дробные или фрактальные размерности пространства Фрактальные объекты в природе многообразны, это ландшафт земной поверхности, блоковая структура и пористость горных пород, разряды молний в атмосфере Число таких примеров велико Основными положениями при математическом моделировании фрактальной геометрии являются ее многомасштабность и самоподобие

Математическое моделирование фрактальными характеристиками физико-технических сред представляет интерес для широкого класса задач, в частности, изучения электрических свойств неоднородных сред Знание свойств, строения и структуры неоднородной подстилающей среды, их изменения в пространстве и времени требуется в физико-химических методах диагностики окружающей среды и прикладной геофизике Применение спутниковых и наземных систем передачи информации, навигации и управления также обусловливает необходимость математического моделирования фрактальных характеристик неоднородной земной поверхности Для получения объективных количественных данных о свойствах и геометрии физико-технических сред необходимо развивать новый, фрактальный подход Требует существенного развития и обоснование фрактального подхода к описанию частотного и пространственного изменения проводимости а и диэлектрической проницаемости £ горных пород, поверхностного импеданса д и спектральной характеристики функции ослабления ¡V электромагнитного поля Таким образом, значимость рассматриваемых вопросов обусловила актуальность темы исследования

Большой вклад в математическое моделирование развиваемой области внесли работы профессора А А Потапова из ИРЭ РАН по фрактальным характеристикам радиолокационных искусственных и естественных объектов " С С Крылов из НИИ физики Санкт-Петербургского университета установил фрактальную структуру

1 Mandelbrot В В Les objects fractals forme, hazard et dimension Flammarion, 1975 200 P

2 Потапов А А Фракталы в радиофизике и радиочокации Топология выборки - М

Университетская книга, 2005 848 с.

проводимости природных материалов 3 Термин фрактал глубоко проник в естественнонаучную тематику Объединяющий подход, основанный на идеях фрактальной геометрии, к динамике роста, кинетике процессов роста, теории турбулентности, физике плазмы отражен в сборнике трудов Всероссийского научно-исследовательского института

экспериментальной физики (ВНИИЭФ) 4 Применением фрактальной геометрии к математическим и физическим задачам занимаются также А Л Эфрос, С В Божокин, Д А Паршин, Э М Базелян, Ю П Райзер, В А Герман, О Ф Вячеславова, В В Булавкин, В Е Архинчеев, В В Учайкин, Э И Могилевский, В В Тарасенко и другие исследователи

Цель работы состоит в научно-техническом обосновании и разработке фрактального метода математического моделирования геометрических и электрических характеристик физико-технических сред, обеспечивающего интерпретацию данных натурного эксперимента на основе их математических моделей

Задачи исследований

1) разработать математическую формулировку аксиомы самоподобия фрактальной геометрии, определить фрактальные интегралы и дифференциалы, установить геометрический смысл фрактальной производной,

2) разработать численный метод измерения фрактальной размерности разветвленных структур (дельты рек, стримерные каналы и разряды молний),

3) установить и обосновать свойства фрактальных моделей частотных зависимостей скин-слоя и поверхностного импеданса гетерофазных сред на основе инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований геометрического подобия,

4) разработать метод фрактального решения задачи определения спектральной характеристики модуля функции ослабления земной волны для трасс фиксированной длины и модуля ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности в СВЧ диапазоне

Предметом исследования является математическое моделирование на базе фрактальной геометрии

Объектом исследования являются фрактальные характеристики физико- технических сред

Методы исследования основаны на применении фрактальной геометрии, теории функции комплексного переменного,

1 Крылов С С, Любчич В Л Масштабная зависимость кажущегося сопротивления и фрактальная структура железистых кварцитов//Физика Зем пи, 2002 №12 С 14-21

4 Фракталы в прикладной физике // Под общей редакцией Л Е Дубинова - ВНИИЭФ, Арзамас-16 1995 216 с

электродинамики, теории цепей и теоретической физики На защиту выносятся:

1 Математическая формулировка аксиомы самоподобия и геометрический смысл фрактальной производной

2 Численный метод измерения фрактальной размерности разветвленных структур

3 Фрактальные модели частотной зависимости скин-слоя и модуля поверхностного импеданса

4 Математический метод фрактального решения задачи определения спектральной характеристики модуля функции ослабления земной волны для трасс фиксированной длины и модуля ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности в СВЧ диапазоне

Научная новизна. Разработана математическая формулировка аксиомы самоподобия, определены фрактальные интегралы и дифференциалы, установлен геометрический смысл фрактальной производной С использованием канторовского множества предложен и развит метод измерения фрактальной размерности разветвленных структур Доказано, что широко представленные в природе разветвленные структуры являются фрактальными объектами Разработана фрактальная модель стримертных каналов На основе инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований геометрического подобия созданы математические фрактальные модели скин-слоя и модуля поверхностного импеданса и определены их частотные зависимости Предметом научной новизны является математический метод фрактального решения задачи о поле земной волны над неоднородными средами

Научная и практическая ценность. При математическом моделировании сложных природных процессов и явлений эффективен новый метод измерения фрактальной размерности Результаты диссертации могут быть использованы при решении фундаментальных и прикладных задач, связанных с электромагнитными сигналами в неоднородных средах Практическая ценность результатов состоит в том, что они могут найти применение при разработках новых технических устройств, в частности, широкополосных фрактальных антенн, а также при математическом моделировании электромагнитных свойств современных материалов Результаты будут использованы при создании прогнозных карт электрических свойств земной поверхности фрактального типа

Научная обоснованность и достоверность результатов и выводов подтверждаются тем, что они получены в рамках единой фрактальной методологии При математическом моделировании и интерпретации данных натурного эксперимента осуществлялось сравнение числовых значений фрактальной размерности несколькими независимыми методами Достоверность математических зависимостей фрактальных характеристик обеспечивалась также сравнением с известными в литературе результатами, моделированием многослойной среды, асимптотическим переходом к классическим формулам, точностью и надежностью используемых данных

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях

• международная конференция "Математика в восточных регионах Сибири" (Улан-Удэ, 28-30 июня 2000 г),

• "Межвузовская зональная конференция по математике" (Иркутск, 11-13 марта2003 г),

• всероссийская конференция "Дистанционное зондирование поверхности Земли и атмосферы" (Иркутск, 2-6 июня 2003 г),

• всероссийская школа "Физика больших природных систем" (Иркутск, Байкальская школа по фундаментальной физике-2002),

• всероссийская школа "Волновые процессы в проблеме космической погоды" (Иркутск, Байкальская школа по фундаментальной физике-2003),

• всероссийская школа "Взаимодействие вещества и излучения" (Иркутск, Байкальская школа по фундаментальной физике-2004),

• международная конференция "Научные основы сохранения водосборных бассейнов" (Улан-Удэ, 1-8 сентября 2004 г ),

• IV конференция "Фундаментальные и прикладные аспекты физики" (Улан-Удэ, 3 июня 2004 г),

• годичная научная сессия Бурятского научного центра СО РАН (Улан-Удэ, 1999)

Публикация результатов Результаты диссертации опубликованы в двух монографиях, 11 статьях, 14 докладах в сборниках трудов конференций и симпозиумов и 9 тезисах Список основных публикаций приведен в конце автореферата Результаты представлены в отчетах по грантам РФФИ №№ 03-05-96029, 03-07-96104, 05-01-97200, 05-02-97202 и интеграционному проекту СО РАН № 101 "Дельта Селенги как естественный биофильтр"

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы Работа

содержит 112 машинописных страниц, 31 рисунок, 3 таблицы и библиографию из 117 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, охарактеризованы новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены положения, выносимые на защиту. В первой главе обоснован фрактальный подход к определению геометрических и электрических свойств природных объектов и неоднородных сред. Рассмотрены основные положения фрактальной геометрии - многомасштабность и самоподобис фрактальных объектов. Эти положения означают, что в реальном мире почти нет гладких евклидовых линий, они фрагментированы и изломаны. Многомасштабность означает, что для описания геометрических и электрических характеристик физико-технических сред требуется набор масштабов. Математически м но го м ас ш таб н ость дается формулой Мандельброта - Ричардсона;

1=с-х (1)

которая составляет содержание первой аксиомы фрактальной геометрии. Здесь £ - длина фрактальной линии, X ' масштаба измерения, С -неопределенный множитель. Гениальность Мандельброта проявилось в догадке, что величина О в показателе формулы {1} описывает размерность фрактальной геометрии (рис, I).

Реальные физико-технические среды обладают свойством самоподобия - под каким бы увеличением не смотреть на фрактальные объекты, они будут все такими же фрагментированными и изломанными. Этому свойству самоподобия следуют и электрические свойства земной

1.00

Рис. !. Фрактальные размерности О для различных кривых на плоскости.

среды. Разработана математическая формулировка аксиомы самоподобия (рис. 2), которая означает, что для измерения длины достаточно использовать масштаб т]%,

т.е.

?= 'Л (2)

где Г] - масштабный множитель. Результат (2) составляет содержание второй аксиомы фрактальной геометрии.

Рис. 2. Изменение области поля зрения но меняет фрагментарность и изломанность фрактальной линии.

На основе введенного фрактального интеграла и дифференциала: ^ X -= ^Х ^рХ дана геометрическая интерпретация фрактальной производной (рис. 3),

Рис. 3.

Геометрический смысл обычной а) и фрактальной б) про твоя них.

При обзоре работ по применению фрактального подхода к изучению природных неоднородных объектов подробно рассмотрены некоторые физико-технические задачи и их классические решения для однородных сред. До применения в диссертации фрактального подхода к математическому моделированию электродинамических задач в неоднородных средах было известно следующее:

1. Электромагнитное поле в однородной проводящей среде экспоненциально затухает на глубине скин - слоя:

(3)

где - магнитная постоянная вакуума, со- круговая частота, <7 -

проводимость среды. Зависимость (3) имеет обратную корень квадратичную частотную характеристику, которую при фрактальном подходе принято записывать в следующем виде:

и -1/2

Нс ~ СО , (4)

знак ~ означает пропорциональность, неопределенный множитель С опущен

2 Поверхностный импеданс 3 однородной полупроводящей среды с плоской поверхностью имеет следующую зависимость от круговой частоты СО, проводимости СУ и диэлектрической проницаемости £

/ \-1

1 1(7 \ + £ +-

V

(5)

7о Нг

Здесь Ег и Нг - тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей на границе раздела сред, Е0 - диэлектрическая

постоянная вакуума Отсюда следует, что в индуктивной области модуль поверхностного импеданса имеет корень квадратичную частотную характеристику

з? 1/2

о ~ СО (6)

3 Функция ослабления IV над однородной импедансной трассой фиксированной длины имеет вид

цг = —Ж—-Л1 (7)

со 8

Здесь \¥{релъеф) - функция ослабления, связанная с рельефом местности Из (5) и (6) следует, что модуль функции ослабления над однородной проводящей трассой имеет следующую спектральную характеристику

- 2

1¥~ со (8)

4 Геометрическое подобие траекторий

г'=77 г, / (9)

Здесь г - абсолютная величина радиус - вектора, С - время, Т] -

масштабный множитель, показатель к называют размерностью блуждания Меняя масштабный множитель, можно переходить от одной

г' (Л1/Ь

траектории к другой Исключая Т], получаем 7] = — = — Такое

г

соотношение принято записывать в следующем виде

г ~ г 1//г (10)

Это одно из краеугольных математических соотношений фрактальной геометрии Оно описывает степенной рост со временем размера фрактальной области при блуждании объекта

5 Затухание электромагнитного поля в неоднородной среде описывается моделью процесса блуждания по проводящим и диэлектрическим участкам Почти свободно пронизывая диэлектрические области, электромагнитные волны постепенно затухают на проводящих участках В целом распространение электромагнитных волн в неоднородной среде приобретает характер броуновской диффузии, где обратная величина частоты поля определяет время становления самого поля в области с линейным размером скин - слоя / = 1 / со

Во второй главе предложен и разработан математический метод измерения фрактальной размерности разветвленных структур Для таких объектов, как дельты рек, стримерные каналы и ветвистые молнии, измерениями D одновременно доказывается, что они являются фрактальными объектами, обладающими отличными от целого значениями фрактальной размерности В книге Е Федера 5 отмечено, что неизвестно, как определять фрактальную размерность разветвленных структур Обосновывается численный метод, который заключается в следующем Выделим внутри рассматриваемого объекта замкнутую область линейного размера Я Структура объекта будет пересекать границу области в некоторых точках, которые образуют канторовские множество (рис 4) С увеличением размера области растет число ветвлений N Согласно положениям фрактальной геометрии зависимость будет степенной

N ~ 11Ь, (11)

где к — определяемая выражением (10) размерность блуждания Схему расчерчиваем на прямоугольники с единичным основанием, те полагаем АО = 1 Далее примем, что АВ, = 2, АВ2 = 2 5, АВ, = 3, АВ4 = 3 5, АВ5 = 4 Тогда площади прямоугольников АВ,С,0 будут равны 5 ( = 2, 2 5, 3,

3 5, 4 Кружками на рис 4 показаны участки пересечения ветвлениями разряда молнии с границами прямоугольников Подсчитывая кружки, находим N 1 = 11, 13, 15, 17, 19 Так, для площади 8|=АОАВ)=2,

./V, = 11 На графике с осями 1п А^ и 1п /?, где все точки

' ФедерЕ Фракталы -М Мир, 1991 262 с

Рис. 4. Разряд восходящей молния (схема).

располагаются вдоль прямой. Определяя угол наклона по методу линейной регрессии, сначала находим в формуле (И) размерность блуждания /г — 1.48 ± 0.02. Математическое моделирование с применением фрактальной геометрии позволяет связать размерность блуждания с фрактальной размерностью, эта связь для плановых рисунков дается выражением И = 2{0-\). Отсюда находим фрактальную размерность А

для ветвистых молний 0 = 1.74 + 0,02.

На рис. 5-7 представлены другие примеры разветвленных

Г, С<ЛЩ уч. РЧНШФСЛ.---^ ' • • - - -

Рис. 5, Дельта р. Селенга. Рие. 6. Участок дельты р. Лена а)

£) = 1 38+0 01 иее схематический план Ь);

О = 1.58 ±0.03.

я

Рис 7 Система микроразрядов, пересекающих диэлектрическую фотопластинку,

/ £>=1.53 ±0.02

К настоящему времени имеется небольшое число точно решаемых задач, в которых теоретически вычисляется фрактальная размерность Для стримерных каналов в работе предложена статистическая модель, из которой следует, что

N ~ Д 7/5 (12)

Сравнивая с (11), находим размерность блуждания в пространстве /г3=7/5 Поскольку /г,=2£)3-3, то фрактальная размерность

объемных образований стримерных каналов А = 2 2 Из фрактальной

геометрии следует =/)2 + 2/3, откуда фрактальная размерность

плоскостной проекции стримерных каналов И2 = 1 53 Впервые

вычисленные величины И2 и согласуются с известными в

литературе значениями, полученными другими способами В третьей главе разработана математическая модель поверхностного импеданса фрактальной среды Поверхностный импеданс подстилающей среды моделируется средами с проводящими и диэлектрическими

свойствами Он представлен в виде комплексного числа |<5| е где

- модуль, (р - фаза импеданса Для плоского полупространства

поверхностный импеданс дается выражением (5)

В полупроводящих средах электромагнитное поле диффундирует на глубину скин - слоя за время t, обратно пропорциональное частоте

поля ¿ = 1 I СО С учетом этого законы подобия (10) принимают следующий вид

г' = 7] Г, СО' = Г)~А СО (13)

Исключая масштабный множитель Т], и заменяя г на ,находим

Нг

-МИ

С - СО "" (14)

Это соотношение описывает частотную зависимость скин - слоя фрактальных сред Оно заменяет закон (4) для однородных проводящих сред В асимптотическом пределе однородной среды, когда И = 2 , из (14) следует классический результат (3) Закон (14) проверен на ряде геоэлектрических структур, в том числе на пункте измерения "Озерный" вблизи Северомуйского тоннеля, имеющего 15-ти слойный геоэлектрический разрез на глубину до 100 км (рис 8) Для разреза найдена частотная зависимость скин-слоя (рис 9)

Я( = 13800 /-0 48±0 01

Теперь, зная фрактальную размерность О = \/И, можно судить о глубине затухания электромагнитного поля в широком диапазоне частот

8 нс,м пункт измерения "Озерный"

сопротивление р, Ом

2 4

О 1

Рис 8 Геоэлектрический разрез пункта измерения "Озерный"..

Рис 9 Частотная зависимость скин-слоя в диапазоне от 10 '2 до 10 9 Гц, в - вычисление фрактальным методом, А - вычисление для слоистой среды

Из определения поверхностного импеданса следует закон подобия д'—г^ ^5 Комбинируя последнее соотношение с законом

—И

подобия для частоты СО^—Т] со, находим частотную характеристику модуля поверхностного импеданса фрактальной среды

Н ~ ® 1"1/А (15)

Частотный закон для модуля поверхностного импеданса также был проверен для пункта измерения "Озерный" в диапазоне от 1 до 10 6 Гц Результаты, представленные на рис 10, описываются степенным законом _ 4 „ 0 53 ± 0 02

10 вытекают следующие

£ =1.6 10 4 •/ Из рис 9

фрактальные размерности для данного пункта

й (скин-слой, 11 декад) = 0 48±0 01, Б (импеданс, 6 декад) = 0 47±0 02 Значения И удовлетворительно согласуются друг с другом

Установлено, что закон (15) соблюдается в широком частотном диапазоне для различных комплексов осадочных и кристаллических горных пород В различных районах Сибири степенной закон (15) был проверен экспериментально в диапазонах 3 — 300 Гц, 10 — 1000 кГц и 0.18 —10 МГц На рис 11 представлены фрактальная размерность £> и размерность блуждания И для трех комплексов осадочных пород Этим самым доказывается, что в диапазоне от 1 Гц до 10 МГц фрактальная модель хорошо описывает электрические свойства подстилающей среды

Рис 10 Частотная

1

10

2

10~

3

ю"

4

10 -

161

пункт измерения "Озерный"

10

10

106 Ь Гц

зависимость модупя

поверхностного

импеданса

в диапазоне от 1 до 10 Гц,

♦ - вычисление фрактальным методом, в - вычисление для слоистой среды

1«1

3=0 71 О

|5|

М1

ш 0,1-

о=о д, = 2 «

10

10 ^ Гц

7

10 £Гц

10 10 10' ГГц .

5 0

10 10

Рис 11 Фрактальная интерпретация результатов измерения модуля

поверхностного импеданса для осадочных горных пород

В четвертой главе разработан фрактальный метод решения задачи о поле земной волны Рассматривается существенная для распространения электромагнитной волны область первой зоны Френеля для неоднородной

Нраснь

трассы фиксированной длины. В свободном пространстве зона Френеля имеет вид эллипсоида. При наличии границы раздела "воздух -неоднородная среда" в свободном пространстве границей зоны Френеля будет полуэллипсоид, а в неоднородной среде границей будет гофрированная поверхность. На рис. 12 показана модель трассы с фрактальными импедансными свойствами, состоящая из случайно эеделенных проводящих участков. Выходящие на поверхность

^ Ц

' ' «'-Д«- "г—-УгйЖЬ

- Ж

,е •• .. АД!гно\С«М*Г и- 'А ЛЛТ . : ^

^ Лг ЙНи

\ г з ТГ И, Г ■ Г7^ «уГ X*/- ■ \ '. V— ч.'

/Т^ь^,5 / Чв^О ЕМР*г" г V .

Й-;" ■■■■■'ЖрмЧ^к-^ЧкЭРЙ'-ё- 41

Рис. 12. Неоднородная трасса между излучателем Т и приемником 11. Каждый квадрат разбивается на меньшие квадраты с различными электрическими параметрами и т.д.

электрические неоднородности отписываются одной из моделей фрактальной геометрии - канторовским множеством. Отличительной чертой канторовских множеств является их фрактальная размерность £>, которая может быть меньше единицы. Каждый однородный участок среды моделируется эквивалентной электрической схемой, которую можно рассматривать как четырехполюстник типа фильтра низких частот, состоящий из двух активных сопротивлений и индуктивности (рис. 12). Объединение двух математических моделей - канторовского множества и эквивалентной электрической схемы позволяет сделать два заключения:

во - первых, установить связь между размерностью блуждания и фрактальной размерностью

во - вторых, подставляя (15) в (7), найти спектральную характеристику для модуля функции ослабления

Для реальных трасс = 0.3 — 0.8 Для однородной среды размерность блуждания Ь = 2 , откуда фрактальная размерность И = 1 /2 , а из (15) и (17) следуют известные классические результаты (6) и (8)

На рис 14 а) и б) приведены амплитудно - частотная (АЧХ) и фазо - частотная (ФЧХ) характеристики коэффициента передачи иерархической электрической схемы на рис 13 Кривая 1 соответствует рис 13а), кривая 2-рис 136), кривая 3 - рис 1 Зв) При увеличении числа ветвлений кривые АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи практически сливаются с кривой 3 При расчете взяты параметры г = 1 Ом,

11¥(со) ~ (О

— 3 + 2£>

(17)

г 0 = 10 Ом, Ь = 10~7 Гн

Рис 13

Эквивалентная электрическая схема

неоднородной трассы,

а) однородная полупроводящая поверхность

б) две

параллельные

полупроводящие

поверхности,

в)иерархическое распределение полупроводящих поверхностей

0.3 0.2

0.1

0

нормированный модуль \ коэффициента передачи

\ з

2*„

-20

-40

-60

-80

фаза коэффициента передачи

ю

5 10

10° ^ Гц

10'

5 10

Ю6 ^ Гц

Рис 14 АЧХ (а) и ФЧХ (б) коэффициента передачи иерархической эпектрической схемы на рис 13

Фрактальный метод решения задачи определения спектральной характеристики модуля функции ослабления земной волны для протяженных трасс фиксированной длины с канторовским распределением электрических неоднородностей состоит в следующем Сначала искомая функция ослабления ^выражается через импеданс 8 Затем используется известная частотная характеристика поверхностного импеданса Это позволяет получить для функции ослабления степенной частотный закон Далее, используя иерархическое построение эквивалентных электрических схем, связываем степенной показатель в полученном законе с фрактальной размерностью среды

Ввиду важности влияния растительности на распространение электромагнитных волн фрактальный метод был так же применен и для оценки ослабления поля фрагментами растительности Для величины

ослабления поля У

Е / Е

пад прош •■

учитывающей влияние

растительности на прохождение сверхвысокочастотных

электромагнитных волн, получен следующий фрактальный частотный закон

У~соЪ-В, (18)

напряженность электрической составляющей падающего

где

Е

пад

поля, Е

прош

напряженность электрической составляющей прошедшего через растительность поля В зависимости от влажности древесины, величина И принимает значения от 0 9 до 2 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований развит фрактальный подход к математическому моделированию геометрических и электрических характеристик физико-технических сред Получены следующие результаты

1 Дана математическая формулировка аксиомы самоподобия

На основе определения фрактального интеграла и дифференциала

2 Предложен и разработан эффективный численный метод измерения фрактальной размерности П разветвленных структур Измерениями одновременно доказывается, что дельты рек, стримерные каналы и ветвистые молнии являются фрактальными объектами По результатам математического моделирования установлено, что_ число ветвлений /У связано с линейным размером среды Л степенным законом Впервые разработана статистическая модель стримерных каналов, позволившая аналитически вычислить для них фрактальную размерность и трехмерную размерность блуждания /7 = 7/5

3 На основании математического моделирования доказано, что многомасштабное и самоподобное распределение электрических характеристик в неоднородных средах описывается канторовским множеством На основе разработанных законов геометрического подобия установлено, что фрактальные модели частотной зависимости скин-слоя и модуля поверхностного импеданса гетерофазных физико-технических сред в широком частотном диапазоне удовлетворяют скейлинговым законам Проведена проверка адекватности рассматриваемых математических моделей на основе данных натурного эксперимента

4 Разработан математический метод фрактального решения задачи определения спектральной характеристики модуля функции ослабления земной волны для трасс фиксированной длины и модуля ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности в СВЧ диапазоне На основе моделирования канторовским множеством и эквивалентными электрическими схемами установлены степенные

= \х ¿оХ

установлен (на плоскости) геометрический смысл фрактальной производной

частотные зависимости модуля функции ослабления и ослабления поля фрагментами растительности в СВЧ диапазоне

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1 Балханов В.К., Башкуев 10 Б. Фрактальная модель частотной зависимости ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности [Текст] // Журнал Технической физики, 2005 Т 75 Вып 9 С 132-135

2 Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Методы измерения фрактальной размерности разветвленных структур [Текст] // Горный информационно - аналитический бюллетень, 2005 № 6 С 342345

3 Балханов В К., Башкуев Ю.Б. Фрактальный подход к определению ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности [Текст] // Электромагнитные волны и электронные системы, 2005 № 6 С 29-33

4 Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Электрические свойства подстилающей среды с учетом фрактального распределения проводимости [Текст] // Электромагнитные волны и электронные системы,2004 №7 С 34-38

5 Балханов В.К., Башкуев Ю Б. Фрактальный метод решения задачи распространения земных радиоволн [Текст] // Электромагнитные волны и электронные системы, 2006 № 6 С 39-45

6 Balkhanov V.K., Bashkuev Yu.B., ami Dembelov M.G. Attenuation of the wave on the fractal radiopath [Текст] // Proceedings of the 11-th International conference on Mathematics Methods in EM theory, Kharkiv, June 26-29, 2006, PP 295-297

7 Балханов B.K., Башкуев Ю.Б. Фрактальная размерность стримерных каналов [Текст] // Горный информационно -аналитический бюллетень, 2004 №7 С 11-13

8 Балханов В.К., Башкуев Ю.Б Статистическая теория ветвлений стримерных каналов [Текст] // Электромагнитные волны и электронные системы, 2005 № 9 С 35-39

9 Балханов В.К. Вычисление фрактальной размерности фрагментов растительности [Текст] // Вестник Бурятского университета -Сер 13 "Математика и информатика" Вып 3 -Улан-Удэ Изд-во БГУ, 2006 С 193-197

10 Балхаше В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальная размерность структуры русловой сети дельты Селенги [Текст] // Водные ресурсы,2004 Т31 №2 С 165-169

11 Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальные методы решения радиофизических задач Часть I Пространственное и частотное поведение электрических параметров земли [Текст] // "VI Международный Симпозиум по ЭМС и ЭМЭ (экологии)", С-Пб 21-24 июня 2005г Сборник трудов С 262-265

12 Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальные методы решения радиофизических задач Часть II Частотные характеристики функции ослабления неоднородной радиотрассы и фрагментов растительности [Текст] // "VI Международный Симпозиум по ЭМС и ЭМЭ (экологии)", С-Пб 21-24 июня 2005г Сборник трудов С 265-268

13 Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Распространение электромагнитных волн во фрактальных средах [Текст] // "V Международный Симпозиум по ЭМС и ЭМЭ (экологии)", С-Пб 15-19 сент 2003г Сб трудов С 208-209

14 Балханов В К., Башкуев Ю.Б. Определение фрактальной размерности грозового разряда [Текст] // "V Российская конференция по атмосферному электричеству", Владимир, 21-26 сентября, 2003 г Сб трудов С 282-284

15 Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Основы теории метода поверхностного импеданса [Текст] - Улан-Удэ Изд-во БНЦ СО РАН, 2005 100 с

16 Балханов В.К. Введение в теорию фрактального исчисления [Текст] - Улан-Удэ Изд-во Бурятского госуниверситета, 2001 58 с

17 Балханов В.К., Башкуев Ю.Б, Хантанов В.Б. Измерение деформации пресноводного ледяного покрова горизонтальной электрической антенной [Текст] // Журнал Технической физики, 2007 Т 77 № 1 С 124-126

Подписано в печать 10 04 2007 г Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Объем 1,25 печ л Тираж 100 Заказ № 18

Отпечатано в типографии Изд-ва БНЦ СО РАН 670047 г Улан-Удэ, ул Сахьяновой, 6

ВВЕДЕНИЕ

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА 1. ФРАКТАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПРИРОДНЫХ ОБЪЕКТОВ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

1.1 Основы фрактальной геометрии.

1.2 Применение фрактальной геометрии к неоднородным процессам, явлениям и средам.

1.3 Математическое моделирование фрактальной линии.

1.4 Самоподобие.

1.5 Фрактальные интегралы и дифференциалы.

1.6 Геометрический смысл фрактальной производной разветвленных структур.

1.7 Обоснование задач исследования по применению фрактальной 33 геометрии к физико-техническим средам.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ РАЗВЕТВЛЕННЫХ СТРУКТУР

2.1 Разветвленные структуры.

2.2 Фрактальная размерность дельты реки Селенга.

2.3 Определение фрактальной размерности грозового разряда

2.3.1 Размерность обыкновенной молнии.

2.3.2 Размерность разветвленной молнии.

2.4 Фрактальная размерность плоскостной проекции стримерных каналов.

Выводы.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕРХНОСТНОГО ИМПЕДАНСА ФРАКТАЛЬНОЙ СРЕДЫ

3.1 Уравнения Максвелла в полупроводящих средах.

3.2 Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований подобия.

3.3 Фрактальная модель частотной зависимости скин-слоя гетерофазных сред.

3.4 Закон подобия для модуля поверхностного импеданса.

Выводы.

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА ФРАКТАЛЬНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ О ПОЛЕ ЗЕМНОЙ ВОЛНЫ

4.1 Постановка задачи.

4.2 Фрактальная модель зоны Френеля.

4.3 Моделирование канторовским множеством и эквивалентной электрической схемой.

4.4 Спектральная характеристика модуля функции ослабления земной волны.

4.5 Моделирование ослабления фрагментами растительности

4.6 Фрактальная размерность фрагментов растительности.

Выводы.

Актуальность темы исследования. Исследования, связанные с фрактальной геометрией и ее приложением к решению научных и технических, фундаментальных и прикладных задач, рассмотрению математических моделей физических и технических объектов, начались после выхода книги Б. Мандельброта1. В ней для математического моделирования изломанных и фрагментированных элементов Б. Мандельброт ввел дробные или фрактальные размерности пространства. Фрактальные объекты в природе многообразны - это ландшафт земной поверхности, блоковая структура и пористость горных пород, разряды молний в атмосфере. Число таких примеров велико. Основными положениями при математическом моделировании фрактальной геометрии являются ее многомасштабность и самоподобие.

Математическое моделирование фрактальными характеристиками физико-технических сред представляет интерес для широкого класса задач, в частности, изучения электрических свойств гетерофазных сред. Знание физических свойств, строения и структуры неоднородной подстилающей среды, их изменения в пространстве и времени требуется в физико-химических методах диагностики окружающей среды и прикладной геофизике. Применение спутниковых и наземных систем передачи информации, навигации и управления также обусловливает необходимость математического моделирования фрактальных характеристик земной поверхности. Для получения объективных количественных данных о физических свойствах и геометрии физико-технических сред необходимо развивать новый, фрактальный подход. Требует существенного развития и обоснование фрактального подхода к описанию частотного и пространственного изменения проводимости а и диэлектрической проницаемости е горных пород, поверхностного импеданса 8 и спектральной характеристики функции

1 Mandelbrot В.В. Les objects fractals: forme, hazard et dimension. Flammarion, 1975. 200 P. ослабления W электромагнитного поля. Таким образом, значимость рассматриваемых вопросов обусловила актуальность темы исследования.

Большой вклад в математическое моделирование развиваемой области внесли работы профессора А.А. Потапова из ИРЭ РАН по фрактальным характеристикам радиолокационных искусственных и естественных объектов . С.С. Крылов из НИИ физики Санкт-Петербургского университета установил фрактальную структуру проводимости природных материалов3. Термин фрактал глубоко проник в естественно-научную тематику. Объединяющий подход, основанный на идеях фрактальной геометрии, к динамике роста, кинетике процессов роста, теории турбулентности, физике плазмы отражен в сборнике трудов Всероссийского научно-исследовательского института экспериментальной физики (ВНИИЭФ)4. Применением фрактальной геометрии к математическим и физическим задачам занимаются также A.J1. Эфрос, С.В. Божокин, Д.А Паршин, Э.М. Базелян, Ю.П. Райзер, В.А. Герман, О.Ф. Вячеславова, В.В. Булавкин, В.Е. Архинчеев, В.В. Учайкин, Э.И. Могилевский, В.В. Тарасенко и другие исследователи.

Целью диссертации состоит в научно-техническом обосновании и разработке фрактального метода математического моделирования геометрических и электрических характеристик физико-технических сред, обеспечивающего интерпретацию данных натурного эксперимента на основе их математических моделей.

Задачи исследований:

1) разработать математическую формулировку аксиомы самоподобия фрактальной геометрии, определить фрактальные интегралы и дифференциалы, установить геометрический смысл фрактальной производной;

2 Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Топология выборки. - М.: Университетская книга, 2005. 848 с.

3 Крылов С.С., Любчич В.А. Масштабная зависимость кажущегося сопротивления и фрактальная структура железистых кварцитов // Физика Земли, 2002. № 12. С. 14-21.

4 Фракталы в прикладной физике // Под общей редакцией А.Е. Дубинова. - ВНИИЭФ, Арзамас-16. 1995.216 с.

2) разработать фрактальный метод измерения фрактальной размерности разветвленных структур (дельты рек, стримерные каналы и разряды молний;

3) установить и обосновать свойства математических фрактальных моделей частотных зависимостей скин-слоя и поверхностного импеданса гетерофазных сред на основе инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований геометрического подобия;

4) разработать метод фрактального решения задачи определения спектральной характеристики модуля функции ослабления земной волны для трасс фиксированной длины и ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности в СВЧ диапазоне.

Предметом исследования является математическое моделирование на базе фрактальной геометрии.

Объектом исследования являются фрактальные характеристики физико-технических сред.

Методы исследования основаны на применении фрактальной геометрии, теории функции комплексного переменного, электродинамики, теории электрических цепей и методов теоретической физики. На защиту выносятся:

1. Математическая формулировка аксиомы самоподобия и геометрический смысл фрактальной производной.

2. Численный метод измерения фрактальной размерности разветвленных структур.

3. Фрактальные модели частотной зависимости скин-слоя и модуля поверхностного импеданса.

4. Математический метод фрактального решения задачи определения спектральной характеристики модуля функции ослабления земной волны для трасс фиксированной длины и модуля ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности в СВЧ диапазоне.

Научная новизна. Разработана математическая формулировка аксиомы самоподобия, определены фрактальные интегралы и дифференциалы, установлен геометрический смысл фрактальной производной. С использованием канторовского множества предложен и развит метод измерения фрактальной размерности разветвленных структур. Доказано, что широко представленные в природе разветвленные структуры являются фрактальными объектами. Разработана фрактальная модель стримертных каналов. На основе инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований геометрического подобия созданы математические фрактальные модели скин-слоя и модуля поверхностного импеданса и определены их частотные зависимости. Предметом научной новизны является математический метод фрактального решения задачи о поле земной волны над неоднородными средами.

Научная и практическая ценность. При математическом моделировании сложных природных процессов и явлений эффективен новый метод измерения фрактальной размерности. Результаты диссертации могут быть использованы при решении фундаментальных и прикладных задач, связанных с электромагнитными сигналами в неоднородных средах. Практическая ценность результатов состоит в том, что они могут найти применение при разработках новых технических устройств, в частности, широкополосных фрактальных антенн, а также при математическом моделировании электромагнитных свойств современных материалов. Результаты будут использованы при создании прогнозных карт электрических свойств земной поверхности фрактального типа.

Научная обоснованность и достоверность результатов и выводов подтверждаются тем, что они получены в рамках единой фрактальной методологии. При математическом моделировании и интерпретации данных натурного эксперимента осуществлялось сравнение числовых значений фрактальной размерности несколькими независимыми методами.

Достоверность математических зависимостей фрактальных характеристик обеспечивалась также сравнением с известными в литературе результатами, моделированием многослойной среды, асимптотическим переходом к классическим формулам, точностью и надежностью используемых данных.

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

L - длина фрактальной линии X - масштаб измерения D - фрактальная размерность h - размерность блуждания 77 - масштабный множитель Сп - неопределенный множитель г - координата t - время

8 - поверхностный импеданс - модуль импеданса ер - фаза импеданса Нс - скин - слой

W - функция ослабления Y - ослабление а - круговая частота; частота / = о12л и - проводимость р - удельное сопротивление (= На) е - относительная диэлектрическая проницаемость е0 - диэлектрическая постоянная вакуума л0 - магнитная постоянная С - скорость света

Е - напряженность электрического поля В - индукция магнитного поля Формула (1.2) означает формулу 2 из Главы 1, то же самое для рисунков и таблиц.

ВЫВОДЫ

1. Установлена скейлинговая частотная характеристика модуля функции ослабления земной волна, распространяющейся вдоль фрактальной импедансной трассы: Щ = const s

KS0SCO;

2. Разработана модель ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности: Y ~ со .

3. Развитый фрактальный метод решения физико-технической задачи дал возможность все скейлинговые показатели выразить через одну - фрактальную размерность: h = \!D.

4. Вычислена фрактальная размерность фрагментов растительности в зависимости от размерности Е евклидова пространства: D .=

In 2

In <2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований развит фрактальный подход к математическому моделированию геометрических и электрических характеристик физико-технических сред. Получены следующие результаты: 1. Дана математическая формулировка аксиомы самоподобия: установлен (на плоскости) геометрический смысл фрактальной производной:

2. Предложен и разработан эффективный численный метод измерения фрактальной размерности D разветвленных структур. Измерениями одновременно доказывается, что дельты рек, стримерные каналы и ветвистые молнии являются фрактальными объектами. По результатам математического моделирования установлено, что число ветвлений N связано с линейным размером среды R степенным законом. Впервые разработана статистическая модель стримерных каналов, позволившая аналитически вычислить для них фрактальную размерность и трехмерную размерность блуждания h = 7/5.

3. На основании математического моделирования доказано, что многомасштабное и самоподобное распределение электрических характеристик в неоднородных средах описывается канторовским множеством. На основе разработанных законов геометрического подобия установлено, что фрактальные модели частотной зависимости скин-слоя и модуля поверхностного импеданса гетерофазных физико-технических сред в широком частотном диапазоне удовлетворяют скейлинговым законам. Проведена проверка адекватности рассматриваемых математических моделей на основе данных натурного эксперимента.

Ф = С-{щ)

На основе определения фрактального интеграла и дифференциала

1-d

4. Разработан математический метод фрактального решения задачи определения спектральной характеристики модуля функции ослабления земной волны для трасс фиксированной длины и модуля ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности в СВЧ диапазоне. На основе моделирования канторовским множеством и эквивалентными электрическими схемами установлены степенные частотные зависимости модуля функции ослабления и ослабления поля фрагментами растительности в СВЧ диапазоне.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору технических наук профессору Ю.Б. Башкуеву, д.ф.-м.н. профессору Ю.Л. Ломухину, сотрудникам лаборатории геоэлектромагнетизма Отдела физических проблем Бурятского научного центра СО РАН к.ф.-м.н. доценту Л.Х. Ангархаевой, к.ф.-м.н. Д.Г.Буяновой, к.ф.-м.н. В.Б. Хаптанову, к.ф.-м.н. М.Г. Дембелову, к.ф.-м.н. В.Р. Адвокатову, к.ф.-м.н. А.Г. Гантимурову, с.н.с. И.Б. Нагуслаевой, н.с. А.В. Гацуцеву.

102

1. Ангархаева Л.Х., Башкуев Ю.Б. Численные методы решения прямых и обратных задач радиоволновой электроразведки криогенных геоэлектрических сред Текст. // Труды Межд. Конф. "Математические методы в геофизике". -Новосибирск, 2003. Ч. 1. С. 252-256.

2. Архинчеев В.Е. Кинетические явления в неоднородных средах. Текст. Автореф. дисс. доктора физ. мат. наук. Иркутск. ИГУ, 2002. 31 с.

3. Балханов В.К. Введение в теорию фрактального исчисления. Текст. -Улан-Удэ.: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2001. 58 с.

4. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Основы теории метода поверхностного импеданса. Текст. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005. 100 с.

5. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Хаптанов В.Б. Измерение деформации пресноводного ледяного покрова горизонтальной электрической антенной Текст. //ЖТФ, 2007. Т.77. Вып.1. С. 124-126.

6. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальный метод решения задачи распространения земных радиоволн Текст. // Электромагнитные волны и электронные системы, 2006. № 6. С. 39-45.

7. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Статистическая теория ветвлений стримерных каналов Текст. // Электромагнитные волны и электронные системы, 2005. № 9. С. 35-39.

8. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальная модель частотной зависимости ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности Текст. // ЖТФ, 2005. Т.75. Вып.9. С. 132-135.

9. Балханов В.К., Номинов А.Д. Сведение дифференциального уравнения второго порядка интегральным преобразованием к двум другим первого порядка Текст. // Горный информационно аналитический бюллетень, 2005. №5. С. 316-317.

10. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Методы измерения фрактальной размерности разветвленных структур Текст. // Горный информационно -аналитический бюллетень, 2005. № 6. С. 342-345.

11. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальный подход к определению ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности Текст. // Электромагнитные волны и электронные системы, 2005. № 6. С. 29-33.

12. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Электрические свойства подстилающей среды с учетом фрактального распределения проводимости Текст. // Электромагнитные волны и электронные системы, 2004. № 7. С. 34-38.

13. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальная размерность структуры русловой сети дельты Селенги Текст. // Водные ресурсы, 2004. Т.31. № 2. С.165-169.

14. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальная размерность стримерных каналов Текст. // Горный информационно аналитический бюллетень, 2004. № 7. С. 11-13.

15. Balhanov V.K., Bashkuev Yu.B., and Dembelov M.G. Attenuation of the wave on the fractal radiopath Текст. // Proceedings of the 11-th International conference on Mathematics Methods in EM theory, Kharkiv, June 26-29, 2006, PP. 295-297.

16. Балханов В.К. Вычисление фрактальной размерности фрагментов растительности Текст. // Вестник Бурятского университета. Сер. 13. "Математика и информатика". Вып. 3. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2006. С. 193197.

17. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальные методы решения радиофизических задач. Часть И. Частотные характеристики функции ослабления неоднородной радиотрассы и фрагментов растительности Текст. //

18. Международный Симпозиум по ЭМС и ЭМЭ (экологии)", С-Пб. 21-24 июня 2005г. Сборник трудов. С. 265-268.

19. Balkhanov V.K., Bashkuev Yu.B. Scale Invariancy of Geoelectric Parameters Текст. // URSI General Assembly, 23-29 October, 2005.

20. Балханов В.К. Фрактальное исчисление Текст. // "II конференция по фундаментальным и прикладным проблемам физики, сборник докладов" -Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2004. С. 45-46.

21. Balkhanov V.K., Bashkuev Yu.B. Scale Invariancy of Medium Geoelectrical Parameters Текст. // Radio Science Conference, 2004. Proceedings. 2004 Asia-Pacific. Volume , Issue, 24-27 Aug. 2004. Page(s): 314-315.

22. Балханов B.K., Башкуев Ю.Б. Распространение электромагнитных волн во фрактальных средах Текст. // "5 Международный Симпозиум по ЭМС и ЭМЭ (экологии)", С-Пб. 15-19 сент. 2003г. Сб. трудов. С. 208-209.

23. Балханов В.К. Аксиомы фрактального исчисления Текст. // "5 Международный Симпозиум по ЭМС и ЭМЭ (экологии)", С-Пб. 15-19 сент. 2003г. Сб. трудов. С. 232-234.

24. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Определение фрактальной размерности грозового разряда Текст. // "5 Российская конференция по атмосферному электричеству", Владимир, 21-26 сентября, 2003 г. Сб. трудов. С. 282-284.

25. Балханов В.К., Дембелов М.Г. Решение обратной задачи для модели двухслойной среды Текст. // Математика. Сб. ст. Вып. 3. Улан-Удэ: Изд-во БГУ. 2002. С. 18-20.

26. Балханов В.К., Номинов А.Д. Сведение дифференциального уравнения второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка Текст.// Математика. Сб. ст. Вып. 3. Улан-Удэ: Изд-во БГУ. 2002. С. 20-23.

27. Балханов В.К. Распространение электромагнитных волн во фрактальных средах Текст. // Труды БШФФ-2002 "Физика больших природных систем".

28. Балханов В.К. Вычисление фрактальной размерности Текст. // Материалы международной конференции (28-30 июня 2000): Математика ввосточных регионах Сибири. Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2000. С.71-72.

29. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Масштабная инвариантность уравнений Максвелла Текст. // Тезисы докладов БШФФ-2004 " Взаимодействие полей и излучения с веществом " Сб. тез. Иркутск изд-во ИСЗФ, 2004. С. 51.

30. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Скин-слой во фрактальной среде Текст. // Конф. ВНКСФ-9, Сб. тезисов. Екатеринбург-Красноярск: АСФ Россия. 2003. С. 53-54.

31. Балханов В.К. Две аксиомы фрактального исчисления. Введение фрактальных интегралов и дифференциалов. Приложение. Текст. // Конф. ВНКСФ-9, Сб. тезисов. Екатеринбург-Красноярск: АСФ Россия. 2003. С. 906907.

32. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Распространение электромагнитных волн в случайно-неоднородных (фрактальных) средах Текст. // Всероссийская конф. "Дистанционное зондирование поверхности Земли и атмосферы", Сб. тезисов. Иркутск: ИСЗФ. 2003. С. 41.

33. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Разветвленные структуры в природе Текст. // Труды БШФФ-2003 "Волновые процессы в проблеме космической погоды" Сб. тез. Иркутск изд-во ИСЗФ, 2003. С. 33.

34. Балханов В.К. Математические основы фрактального исчисления Текст. // Труды БШФФ-2003 "Волновые процессы в проблеме космической погоды" Сб. тез. Иркутск изд-во ИСЗФ, 2003. С. 30-31.

35. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Скин-слой неоднородной среды (фрактальный подход) Текст. // Труды БШФФ-2003 "Волновые процессы в проблеме космической погоды" Сб. тез. Иркутск изд-во ИСЗФ, 2003. С. 31-32.

36. Балханов В.К. Фрактальная размерность стримерных каналов Электрон, ресурс. // http:// laboratory.ru/articl/math/am08.htm

37. Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Физика молнии и молниезащиты. Текст. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 320 с.

38. Барри Дж. Шаровая молния и неточная молния. Текст. М.: Мир, 1983. 288 с.

39. Башкуев Ю.Б. Электрические свойства природных слоистых сред. Текст. Новосибирск: Изд. СО РАН. 1996.320 с.

40. Башкуев Ю.Б., Адвокатов В.Р., Хаптанов В.Б., Буянова Д.Г., Ангархаева Л.Х. Электромагнитные характеристики акватории озера Байкал Текст. // Геология и геофизика. № 9. 1993. С. 118-126.

41. Башкуев Ю.Б., Мельчинов В.П., Дембелов М.Г., Ангархаева Л.Х., Буянова Д.Г., Борсоев В.А. Влияние электрических свойств криолитозоны на распространение земной волны в высоких широтах // Геомагнетизм и аэрономия. 2006. Т.46. № 4. С. 536-546.

42. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. Текст. М.: Мир, 1988. 608 с.

43. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Текст. -Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 128 с.

44. Геология и сейсмичность зоны БАМ (от Байкала до Тынды). Глубинное строение. Текст. Новосибирск: Наука, 1984. 173 с.

45. Гийон Э., Митеску К.Д., Юлен Ж.-П., Ру С. Фракталы и перколяция в пористой среде Текст. // УФН, 1991. Т. 161. № 10. С. 121-128.

46. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Потапов А.А., Герман В.А. Идеи скейлинга и дробной размерности в схеме фрактального обнаружения радиосигналов Текст. // РЭ, 2006. Т. 51. № 8, С. 968-975.

47. Долуханов М.П. Распространение радиоволн. Текст. М.: Советское "Радио". 1972. 152 с.

48. Еремин Н.С., Пертель М.И., Тищенко А.С. Определение параметров геоэлектрических разрезов по импедансным измерениям на двух частотах Текст. // Распространение радиоволн километрового диапазона. Апатиты, 1987. С. 84-85.

49. Ерофеенко В.Т., Кравченко В.Ф. Об импедансных граничных условиях, учитывающих кривизну поверхности Текст. // РЭ, 2000. Т. 45. № 11. С. 13001306.

50. Захаров К.А., Мейланов Р.П. О дискретизации сигнала с фрактальной структурой. Текст. Известия вузов. Радиофизика. T.XLIV, № 8, 2001, С.709-711.

51. Иванов С.С. Оценка фрактальной размерности самоафинных множеств: метод встречного масштабирования дисперсий. Текст.// ДАН, 1993, № 1, Т.332. С. 89-92.

52. Иванюк Г.Ю. Фрактальные геологические среды: размерность, основные типы, генетические следствия. Текст. // Физика Земли, 1997, № 3. С.21-31.

53. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса Текст. // ДАН СССР 30, 301 (1941). Р.299-303.

54. Крылов С.С., Бобров Н.Ю. Аномальная поляризуемость гетерогенных сред при электромагнитных зондированиях Текст. // Вопросы геофизики. Вып. 36. Изд-во С-Пб. унив-та, 1998. С. 148-161.

55. Крылов С.С., Любчич В.А. Масштабная зависимость кажущегося сопротивления и фрактальная структура железистых кварцитов Текст. // Физика Земли, 2002. № 12. С. 14-21.

56. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Текст. М: Наука, 1973. 208 с.

57. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Текст. -М: Наука, 1982.620 с.

58. Лисовский Ф.Л. Новый англо-русский словарь по радиоэлектронике. Текст. М. РУССО: Лаборатория Базовых Знаний, 2005. 656 с.

59. Лиу С., Каплан Т., Грэй П. Отклик шероховатых поверхностей на переменном токе Текст. // Сб. Фракталы в физике. М.: Мир. 1988. С. 543-552.

60. Макаров Г.И., Новиков В.В., Рыбачек С.Т. Распространение радиоволн в волноводном канале Земля ионосфера и в ионосфере. Текст. - М.: Наука, 1993. 150 с.

61. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Текст. М.: Изд-во Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

62. Марголина А. Фрактальная размерность периметра роста // Сб. Фракталы в физике. Текст. -М.: Мир. 1988. С. 507-512.

63. Матвеев Б.К. Электроразведка. Текст. М.: Недра, 1990. 368 с.

64. Мельчинов В.П., Башкуев Ю.Б., Ангархаева Л.Х., Буянова Д.Г. Электрические свойства криолитозоны Востока России в радиодиапазоне. Текст. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2006. 258 с.

65. Носков М.Д., Малиновский А.С., Закк М., Шваб А.Й. Моделирование роста дендритов и частичных разрядов в эпоксидной смоле Текст. // ЖТФ, 2002. Т.72, вып. 2. С.121-128.

66. Пелити Л. Случайные блуждания с памятью Текст. // Сб. Фракталы в физике.-М.: Мир. 1988. С. 106-116.

67. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. Текст. -Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 784 с.

68. Петров Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн. Текст. -М.: Горячая линия Телеком, 2003. 558 с.

69. Петров А.С., Иванов С.А., Королев С.А., Фастович С.В. Метод матриц линий передачи в вычислительной электродинамике Текст. // Успехи современной радиоэлектроники, 2002. № 1. С. 3-38.

70. Петровский А.Д. Радиоволновые методы в подземной геофизике. Текст. -М.: Недра. 1971.224с

71. Попов Н.А. Исследование пространственной структуры ветвящихся стримерных каналов коронного разряда Текст. // Физика плазмы, 2002. Т.28, № 7. С.664-672.

72. Потапов А.А. Фракталы в дистанционном зондировании Текст. // Успехи современной радиоэлектроники, 2000. № 6. С.3-65.

73. Потапов А.А., Герман В.А. Применение фрактальных методов для обработки оптических и радиолокационных изображений земной поверхности Текст. // Радиотехника и электроника, 2000. Т. 45. № 8. С. 946-953.

74. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Основы теории рассеяния волн фрактальной поверхностью Текст. // Радиотехника и электроника, 2002. Т. 47. № 5. С. 517-544.

75. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Фрактальный анализ сигналов Текст. // Радиотехника и электроника, 2001. Т. 46. № 3. С. 261270.

76. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Топология выборки. Текст. М.: Университетская книга, 2005. 848 с.

77. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Элементы теории фракталов Текст. // Радиотехника и электроника, 2000. Т. 45. № 11. С. 1285-1292.

78. Пьетронеро JL, Пелити JI. Вероятность выживания и фактор усиления в статистике полимеров Текст. // Сб. Фракталы в физике. М.: Мир. 1988. С. 117-121.

79. Пустовойт В.И. О механизме возникновения молнии Текст. // РЭ, 2006. Т. 51. №8. С. 996-1002.

80. Реутов А.П., Потапов А.А., Герман В.А. Странные аттракторы и фракталы как основа новой динамической модели радиолокационных сигналов,рассеянных растительным покровом Текст. // Нелинейный мир, 2003. Т1. № 12. С. 12-27.

81. Ржевский В.В., Коренберг Е.Б. Рудничная радиоинтроскопия и радиосвязь. Текст. М.: Недра. 1978. 189 с.

82. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Текст. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

83. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. Текст. М.: Наука, 1991. 197 с.

84. Смирнов И.М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания Текст. // УФН, 1985.150 (2). С. 221-255.

85. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. Текст. -М.: Едиториал УРСС, 2002. 112 с.

86. Тинин М.В. Рассеяние радиоволн в многомасштабной случайно неоднородной среде Текст. // Труды XX Всерос. Конф. по распространению радиоволн. Нижний Новгород, 2-4 июля, 2002. С. 466-467.

87. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач Текст. // ДАН, 1963. Т. 153. № 1. С. 49-52.

88. Уайт Дж. Р. Геоэлектромагнетизм. Текст. М: Недра, 1987. 235 с.

89. Федер Е. Фракталы. Текст.- М.: Мир, 1991. 262 с.

90. Федотов Г.Н., Третьяков Ю.Д., Иванов В.К. и др. Фрактальные коллоидные структуры в почвах различной зональности Текст. // ДАН, 2005. Т. 405. №3. С. 351-354.

91. Фейнберг Е.А. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. Текст. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 546 с.

92. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. Текст. -М: Советское радио, 1970. 517 с.

93. Френкель Я.И. Теория явлений атмосферного электричества. Текст. М., Ленинград: Гос. изд. технико-теор. литер., 1949. 155 с.

94. Цыдыпов Ч.Ц., Цыденов В.Д., Башкуев Ю.Б. Исследование электрических свойств подстилающей среды. Текст. Новосибирск: Наука, 1979. 176 с.

95. Чухланцев А.А., Маречек С.В., Новичихин Е.П., Тищенко Ю.Г., Шутко A.M., Головачев С.П. Лабораторные измерения ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности Текст. // Радиотехника и электроника, 2004. Т. 49. № 6. С. 677-682.

96. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Текст. М.: Ижевск, 2001. 528 с.

97. Электромагнитные исследования земных недр. Под редакцией докт. физ.-мат. наук В.В. Спичака. Текст. М.: Научный мир, 2005. 245 с.

98. Юман М. Молния. Текст. М.: Мир, 1972. 328 с.

99. Alansonati Е., Comino Е., Ianoz М., Korovkin N., Rachhidi F. Saidi Y., Zryd J.P., Zweiacker P. Fractal dimension: A method for the analysis of the biological effects of electromagnetic field Текст. // P. 405 407.

100. Babalievski F. Commen in "Universal formulas for percolation thresholds" Текст. // Phys. Rev., 1997. E 55(1). P. 1228-1229.

101. Y.M. Balagula, N.V. Korovkin, M. Sakulin, H. Renner. The use fractal analysis for quantifying the dynamic arc characteristics Текст. // Сб. Статей ЭМС-2003. С.-Петербург, 2003.С. 39-43.

102. G.G. Chavka, N. Litwinczuk. Radiation of multiband fractal antennas radiocommunication systems Текст. // Сб. Статей ЭМС-2003. С.-Петербург, 2003.С. 172-175.

103. Cherman S.I., Gladkov A.S. Fractal in studies of faulting end seismicity in the Baikal rift zone Текст. // Tectonophysics, 1999. V. 308. P. 133-142.

104. D.G. Crossley. The theory of EM surface wave impedance measurements Текст. // Geologocal Survey of Canada. Paper 81-15. 1981. P. 1-17.

105. Электрон, ресурс. http://thunder.nsstc.nasa.gov/primer/primer2.html

106. Iudin D.I. and Kas'yanov D.A. Percolation Model of Seismic Activity Текст. // Atmospheric and Ionospheric Electromagnetic Phenomena Associated with Earthquakes, Ed. M. Hayakawa, Tokyo, TERRAPUB. 1999. № 3. P. 911-917.

107. Laugier J.M., Clerc J.P., Giraud D., Luck J.M. AC properties of 2D percolation networks: a transfer matrix approach Текст. // J. Phys. A. 1986. V. 19. P. 31533164.

108. Mandelbrot B.B. Les objets fractals: forme, hazard et dimension. Текст. -Paris: Flammarion, 1975.

109. Niemeyer 1., Pietronero L., Wiesmann H.J. Fractal dimension of dielectric breakdown Текст. // Phys. Rev. Lett. 1984. V.52. P. 1033-1040.

110. Richardson L.F. The problem of contiguity: an appendix of statistics of deadly quarrels. Текст. General Systems Yearbook, 1961. P. 139-187.

111. Richardson L.F. Текст. // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1926. V. 110. P. 709.

112. J.R. Wait and K.P. Spies. Radio propagation over of a surmounted obstacle. Текст. // IEEE Transactions on antennas and propagation. November, 1968. P. 700705.

113. J.R. Wait and D.A. Hill. Excitation of the HF surface wave by vertical and horizontal antennas. Текст. // Radio Science. V 14. № 5. Sep.-Oct., 1979. P.775-788.

114. J.R. Wait. VLF radio wave mode conversion for ionosphere depressions. Текст. // Radio Science. V 26. № 5. Sep.-Oct., 1991. P. 1261-1265.

115. J.R. Wait. Impedance characteristics of electric field the over a conducting half-space. Текст. // Radio Science. V 4. № 10. July, 1969. P. 971-975.