автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Применение фрактального анализа в задачах электротехники

На правах рукописи

БАЛАГУЛА Юрий Моисеевич

ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Специальность: 05.09.05 - Теоретическая электротехника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г 8 НОЯ 2013

Санкт-Петербург - 2013

005541303

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный доктор технических наук, профессор

руководитель: Коровкмн Николай Владимирович

Официальные Соловьева Елена Борисовна

оппоненты: доктор технических наук, доцент,

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» нм. В.И.Ульянова (Ленина)», профессор, заведующий кафедрой «Теоретические основы электротехники»;

Андреев Александр Михайлович

доктор технических наук, старший научный сотрудник, ОАО «Силовые машины», главный специалист;

Ведущая ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный

организация: университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича».

Защита состоится » Ор^сСс^^-З- 20\^р. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.16 при ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет», 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая 29, Главное здание, ауд.284.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Автореферат разослан «_

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.229.16 кандидат технических наук,

доцент Журавлева Наталья Михайловна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Фрактальный анализ, как метод исследования математических множеств различной природы, базируется на идеях Б. Мандельброта, опубликование которым основополагающей работы в 1973 г. дало старт широкому внедрению методов фрактального анализа в физику, химию, биологию, экономику. Главное достижение теории фракталов - новые эффективные способы математического описания сложных явлений, поэтому актуальным является анализ и оценка этих новых возможностей и методов для теоретической электротехники.

В последнее время теоретическая электротехника встала перед необходимостью описания нового класса процессов в электрических цепях, которые не характеризуются постоянством значений токов и напряжении, то есть не являются установившимися режимами, и в то же время не могут быть отнесены к переходным. Эти процессы характеризуются тем, что токи и напряжения в нормальных эксплуатационных режимах изменяются случайным образом в определённых пределах, представляя собой стохастические временные ряды. В изучение подобных процессов в рамках теоретической электротехники и электромагнитной совместимости большой вклад внесли отечественные учёные Н.В. Коровкин, П.А. Бутырин, Д.И. Иудин, Е.А. Мареев, В.Ю. Трахтенгерц, O.A. Молчанов; зарубежные учёные Л.Чуа и М. Хаякава.

Развитие методов сбора и обработки сигналов позволяет использовать для анализа процессов в электрических цепях не только традиционные интегральные характеристики - действующие и средние значения - но получать и анализировать развёрнутые во времени данные об эволюции исследуемой электромагнитной системы в виде дискретных сигналов доступных для измерения электрических величин, то есть траекторий. Для многих теоретических и практических задач представляется полезным анализ геометрических свойств этих траекторий. Фрактальный анализ предоставляет набор инструментов для количественной характеристики специфических геометрических свойств траекторий. Учитывая, что современные средства измерения дают для анализа дис-

кретные временные ряды с некоторой шумовой составляющей, важно выделить два основных пути применения теории фракталов. В первом имеющиеся записи сигналов рассматриваются как приближения гладких траекторий, которые анализируются во времени или в фазовом пространстве. Так, ниже анализируется запись мгновенных значений напряжения на шинах дуговой сталеплавильной печи (ДСП) и методы фрактального анализа применяются для вычисления размерностей траекторий. Во втором - сигнал рассматривается как стохастический временной ряд, принципиально негладкий, с исключённой регулярной составляющей. Такова, например, динамика действующих значений напряжения дуги. Здесь используется теория фрактальных временных рядов.

Методы фрактального анализа временных рядов позволяют описывать свойства временных рядов, которые не выявляются другими методами анализа, такие как персистентность и «изломанность», и дают возможность судить о специфических свойствах физических процессов, порождающих исследуемые временные ряды, например, определить размерность управляющей системы дифференциальных уравнений в случае хаотического процесса.

В целом методы фрактального анализа показали свою эффективность во многих областях, тесно соприкасающихся с электротехникой, сделали возможной реализацию новых алгоритмов обработки данных, новых моделей физических процессов, новых приборов и устройств. В то же время эти методы в контексте актуальных практических задач остаются вне поля зрения современной теоретической электротехники.

Целью работы является выявление областей для эффективного применения фрактального анализа для решения актуальных задач теоретической электротехники, в частности, задач обеспечения электромагнитной совместимости (ЭМС) и синтеза адаптивных систем управления.

Основные задачи исследования 1. Анализ существующих методов фрактального анализа, исследование особенностей различных методик вычисления фрактальных размерностей применительно к временным рядам и траекториям.

2. Применение методов фрактального анализа для распознавания условий горения дуги в дуговой сталеплавильной печи переменного тока с целью совершенствования системы управления печи, направленного на энергосбережение и улучшение её экономических характеристик.

3. Совершенствование методики определения фликера в системах электроснабжения с помощью фрактального анализа временных рядов напряжения.

4. Разработка метода регистрации двигательной активности рыб, используемого для решения ряда экспериментальных задач электромагнитной совместимости (электромагнитной экологии), на основе фрактального анализа временных рядов, получаемых в результате математической обработки видеозаписей.

5. Анализ подходов, использующих фрактальный анализ для изучения частичных разрядов в высоковольтной изоляции.

Методы исследования В работе использовались методы фрактального анализа, теории электрических цепей и цифровой обработки сигналов. Новые научные результаты

1. Показано, что временные ряды напряжения в системах электроснабжения имеют фрактальный характер, и, следовательно, эффективно характеризуются фрактальной размерностью.

2. Установлен факт закономерного изменения фрактальных размерностей временных рядов напряжения дуги и динамических вольтамперных характеристик дуги в процессе плавки и показана возможность их эффективного использования в качестве индикатора состояния дуги в системе управления дуговой печи.

3. Подтверждена корреляция между фрактальной размерностью временного ряда огибающей синусоидального напряжения и дозой фликера, определяемой для данного напряжения с помощью стандартного фликерметра.

4. Экспериментально установлено наличие корреляции между дозой фликера и фрактальной размерностью временного ряда напряжения на шинах дуговой сталеплавильной печи.

5. Получены значения фрактальной размерности временных рядов двигательной активности рыб в отсутствие электромагнитного воздействия. Практическое значение работы

1. Введение математического аппарата фрактального анализа в оборот теоретической электротехники как инструмента эффективного решения задач моделирования и идентификации траекторий электромагнитных процессов в ЭМС.

2. Предложенная методика фрактального анализа динамических вольтамперных характеристик дуги, будучи внедрённой в систему управления дуговой печи, способна улучшить её энергетические и экономические характеристики.

3. Фрактальный подход к измерению уровня фликера в системе электроснабжения позволяет существенно упростить и сделать более адекватной процедуру оценки качества электрической энергии.

4. Разработанный метод регистрации двигательной активности рыб на основе фрактального анализа нашёл своё применение в исследованиях влияния электромагнитного излучения на живые организмы.

Апробация работы

Основные положения диссертации докладывались на 5-м и 6-м Международных симпозиумах по ЭМС и электромагнитной экологии (СПбГЭТУ), 3-й и 4-й Международных конференциях по качеству электроэнергии (Технический Университет г. Таллинн, Эстония), Международной конференции IEEE Power-Tech-2005, а также на семинарах кафедры ТОЭ СПбГПУ и профильных кафедр Технического Университета г. Грац (Австрия) и Университета им. Отто фон Герике г. Магдебург (ФРГ).

По теме диссертации опубликовано 15 работ в журналах и трудах конференций, из них 2 - в изданиях из списка ВАК, 7 — на английском языке. Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения и списка литературных источников, насчитывающего 66 наименований. Работа изложена на 141 странице машинописного текста и содержит 64 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, рассматриваются особенности фрактального анализа в ряду других методов описания траекторий электромагнитных процессов, очерчивается круг задач электротехники, в которых его применение представляется перспективным.

Первая глава содержит важнейшие определения и характерные свойства фракталов, их классификацию, алгоритмы построения. Даётся определение количественной характеристики фрактала - фрактальной размерности и рассматриваются методы её вычисления. Отдельно рассматривается фрактальный подход к временным рядам и соответствующие специальные методы их моделирования и вычисления фрактальных размерностей и связанных с ними величин.

Многие временные ряды, встречающиеся в электротехнике и электроэнергетике, особенно природного происхождения, являются фрактальными, например, годовые стоки рек, сила ветра, напряжение электрической дуги в дуговой печи, цены на электроэнергию и энергоресурсы. Выбор адекватного способа анализа и моделирования подобных временных рядов принципиально важен для обеспечения их наилучшего прогнозирования и идентификации в электротехнических приложениях. Базовой моделью для теории фрактальных временных рядов является случайный процесс с памятью под названием «фрактальное броуновское движение Мандельброта-Ван Несса». В этой модели дисперсия приращений временного ряда B(t) зависит от приращений времени по степенному закону: Var[/i(/i)-#(?0] ~~ {h~t\)2", где #е[0..1] - так называемый коэффициент фрактального броуновского движения (ФБД), характеризующий эффект памяти. При Н— 0,5 данный процесс является обычным одномерным броуновским движением, то есть процессом, приращения которого представляют собой белый шум, и который не имеет памяти. При других значениях Н реализации процесса фрактального броуновского движения выглядят как кривые разной степени гладкости, причём чем больше Н, тем в большей степени проявляется эффект памяти, и тем более гладким выглядит соответствующий ряд (рис.1).

Рис.1

На этой базовой модели основаны ряд алгоритмов вычисления коэффициента Н и синтеза временных рядов с заданным //, однако их адекватность остается дискуссионным вопросом. Согласно теории фракталов, любая кривая на плоскости характеризуется фрактальной (клеточной) размерностью Б, которая показывает, насколько плотно кривая заполняет метрическое пространство, в котором она лежит, насколько она «извилиста» или «изломана». При этом £> меняется от ТУ= 1 для прямой линии до для очень изломанной линии.

Другой подход к анализу и синтезу фрактальных временных рядов основан на рядах Фурье. Показано, что спектральная плотность мощности фрактального временного ряда представляет собой степенную функцию от частоты. Тогда спектральная размерность р вводится как показатель степени этой функции: 5'(/) , а между коэффициентом ФБД Н, спектральной размерностью р и фрактальной размерностью Б имеют место теоретически доказанные соотношения Ц=2-//, р=2//+1. В рамках этого подхода вычисление спектральной размерности р, а следовательно, и фрактальной размерности, сводится к получению спектра мощности исходного сигнала и определению угла наклона аппроксимирующей его прямой в дважды логарифмическом масштабе. Синтез временного ряда заданной размерности производится с помощью обратного преобразования Фурье. Так как гармонический анализ издавна и широко при-

меняется в электротехнике, и соответствующие программные инструменты имеются во всех стандартных математических и электротехнических программных пакетах, данный подход следует признать наиболее удобным для целей настоящей диссертации. Однако возможны и другие подходы, в частности, использующие вэйвлет-преобразование или корреляционный анализ, а также приближённые методы, два из которых применены в работе.

Важно отметить, что фрактальный анализ к изучению стохастической траектории электромагнитного процесса можно применить двумя путями. С одной стороны, её можно рассматривать как случайный временной ряд — инструменты анализа и синтеза такого рода сигналов описаны выше. С другой стороны, траектория процесса может быть представлена в виде кривой на плоскости, например, динамическая вольт-амперная характеристика электрической дуги переменного тока (задача идентификации таких характеристик подробно рассмотрена во второй главе). В этом случае применимы алгоритмы вычисления размерности, разработанные в теории фракталов для анализа растровых изображений, такие как клеточная размерность, а также упрощённые фрактальные характеристики - коэффициент длины и коэффициент гладкости.

В заключительном разделе первой главы рассмотрено применение методов фрактального анализа для диагностирования, анализа и моделирования частичных разрядов в высоковольтной изоляции. Показано, что фрактальные характеристики изображений триингов, такие как клеточная размерность и лакунарность, позволяют классифицировать дефекты в изоляции. С помощью одномерной компьютерной модели установлено, что перед пробоем распределение дефектов по размерам приобретает фрактальный характер.

Во второй главе фрактальные методы анализа траекторий используются для идентификации состояния дуговой сталеплавильной печи переменного тока, а именно - условий горения электрической дуги в зоне расплавления шихты. Вычисление фрактальной размерности траекторий переменных состояния этой электрической системы целесообразно интегрировать в адаптивную электродинамическую систему управления процессом плавки (АСУТП ДСП) с це-

лью улучшения его характеристик. В тексте главы изложены основные сведения о дуговой сталеплавильной печи переменного тока и технологии процесса плавки, об измерительных системах, с помощью которых получены анализируемые в работе временные ряды.

В настоящее время развитие дуговых электротермических установок идёт в направлении увеличения ёмкости печи и мощности печного трансформатора — таким образом повышается эффективность сталеплавильных установок. Вследствие этого повышаются требования к точности и быстродействию систем управления процессом плавки, так как, в частности, перерасход энергии из-за запаздывания системы управления даже на небольшое время может быть весьма значительным, что ухудшает экономические характеристики. Для оптимизации работы дуговых сталеплавильных печей переменного тока необходимо быстрое автоматическое распознавание условий горения дуги по данным измерений ее тока и напряжения. Подходы, основанные на применении Фурье- и вейвлет-преобразования, не решают в полной мере эту задачу, так как требуют значительного временного окна для получения корректных результатов. Кроме того, их результатом является набор коэффициентов, требующий дальнейшей интерпретации для получения единого критерия состояния дуги.

В процессе плавки динамическая вольтамперная характеристика дуги (ДВАХ) меняет свою форму от весьма изрезанной до почти идеально гладкой (рис.2). Количественно характеризовать это изменение удобно с помощью клеточной фрактальной размерности О. Расчёты по данным измерений мгновенных значений тока и напряжения дуги показали, что клеточная фрактальная размерность однопериодных изображений ДВАХ дуги снижается в процессе плавки, давая численную меру изменения формы вольтамперной характеристики. То же относится и к фрактальной размерности изображений, полученных наложением ДВАХ дуги за несколько периодов. Показано, что приближенные фрактальные характеристики - коэффициент длины и коэффициент гладкости -позволяют улучшить характеристики быстродействия и селективности системы управления дуговой печью.

ж)

0 = 1,48

0=1,41

0=1.30

Рис. 2.

В третьей главе исследуется применение фрактального анализа временных рядов напряжения для оценки уровня фликера. Предложенные методики направлены на создание альтернативы существующему стандарту в этой области и использование в устройствах компенсации фликера.

емя е периодах пр<

мышленнои частоты

Ьагс

Фликер напряжения - это один из стандартных показателей качества электроэнергии, связанный с низкочастотными колебаниями интенсивности света от ламп вследствие случайных колебаний питающего напряжения. Проблемы математического описания фликера, его стандартизации и разработки средств и методик измерения, а также поиск технических решений по снижению уровня фликера являются актуальными вследствие непрерывного развития осветительной техники и всё более широкого проникновения нелинейной нагрузки в электросети. В работе приведены основные сведения о фликере напряжения, схема и принцип действия стандартного фликерметра.

Свойство фрактальной размерности численно характеризовать размах флуктуаций временных рядов открывает возможность её использования в качестве меры фликера. Компьютерный эксперимент показал наличие корреляции между дозой фликера, вычисленной для синусоиды, модулированной временным рядом заданной размерности, и соответствующей спектральной размерностью (рис.3). С помощью метода обратного преобразования Фурье генерировался временной ряд с заданной спектральной размерностью р длительностью 30 минут и частотой дискретизации 50 Гц. Затем данный временной ряд использовался в качестве огибающей для стандартной синусоиды частотой 50 Гц. Полученная таким образом кривая напряжения разбивалась на 30 одноминутных интервалов, и для каждого интервала определялась 1-минутная доза фликера Рщ. Для оценки дозы фликера использовалась программная модель стандартного фликерметра Международной Электротехнической Комиссии, разработанная в среде графического программирования ГаЬУ1Е\У. Таким образом были получены по тридцать значений Рх, для каждого значения спектральной размерности входного сигнала (рис.3).

Показано, что для характеристики фликера могут использоваться различные фрактальные меры, в том числе приближённые. Изучена возможность улучшения отклика фликерметра путем частичной замены его статистического блока на блок вычисления фрактальной размерности.

u I I I I I I I I I

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 Spectral Dimension

Рис. 3.

Установлено наличие корреляции между одноминутной дозой фликера Pst/,„i„ и усреднённым коэффициентом фрактального броуновского движения полуволны напряжения, вычисленными для экспериментально полученного временного ряда напряжения на шинах дуговой сталеплавильной печи.

Подтверждено наличие корреляции между дозой фликера, определённой с помощью программной модели фликерметра со встроенным блоком вычисления коэффициента длины (упрощённой фрактальной характеристики), и дозой фликера, рассчитанной по стандартному алгоритму, для измеренных временных рядов напряжения дуговой сталеплавильной печи. Показано, что модифицированный фликерметр со встроенным блоком вычисления коэффициента длины в определённом диапазоне способен воспроизводить нормированный отклик на стандартные тестовые сигналы.

В четвертой главе методы фрактального анализа траекторий электромагнитных процессов применены для оценки двигательной активности рыб в рамках исследований влияния электромагнитных полей на живые организмы. Разработан и внедрён метод регистрации двигательной активности рыб по видео-

записям, позволяющий проводить количественные исследования влияния электромагнитных полей на рыб.

В тексте главы описаны актуальные постановки задачи исследования влияния электромагнитных полей на рыб, перечислены основные подходы к регистрации их двигательной активности, проведён критический обзор описанных в современной зарубежной литературе методов видеорегистрации двигательной активности рыб. Далее приводится подробное описание электрометрического метода регистрации двигательной активности водных организмов, разработанного В.В. Александровым. В рамках этого метода при наличии в водной среде течений, возникающих вследствие движения рыб, происходит изменение электрокинетического потенциала на электродах, регистрируемое измерительной системой. Характеристики получаемого стохастического сигнала используются для оценки уровня двигательной активности. Показано, что временные ряды двигательной активности, полученные таким способом, имеют фрактальный характер и характеризуются фрактальной размерностью. На основании анализа достоинств и недостатков этого и других способов регистрации сформулированы требования к современному методу регистрации двигательной активности рыб, пригодному для исследований в области электромагнитной экологии.

В работе поставлена и решена задача разработки полностью объективного и автоматизированного метода регистрации двигательной активности на основе математической обработки видеозаписей поведения рыб (рис.4). Метод позволяет получать временные ряды, характеризующие двигательную активность как одиночных особей, так и группы рыб, и применять к ним методы анализа случайных процессов и траекторий, в первую очередь фрактальный анализ (рис.5). Получены временные ряды двигательной активности рыб в отсутствие воздействия и вычислены их фрактальные размерности.

В приложении приводится описание аппаратного и программного обеспечения разработанного метода, алгоритм обработки изображений.

Получение видео-' изображения

фильм —►

временной ряд

Обработка видеоизображения

Обработка временного ряда

числовые дан-_

ные | Интерпретация"

Рис. 4. Метод регистрации двигательной активности рыб по видеозаписям.

I - компьютер с программным обеспечением для видеозахвата и математической обработки ; 2 - иБВ-шина либо плата видеозахвата; 3 - веб-камера; 4 - аквариум с водой и подопытными организмами ; 5 - рыба ; 6 - источник электромагнитного излучения (кольца Гельмгольца, напряжение подаётся с компьютера);

Рис. 5. Фрактальный анализ временного ряда двигательной активности.

(исходный временной ряд, его спектр мощности, спектр в дважды логарифмическом масштабе)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для ряда прикладных электротехнических задач показана эффективность применения фрактального анализа для характеристики траекторий электромагнитных процессов в рамках исследований по электромагнитной совместимости и построения адаптивных систем управления.

2. Показано, что многие временные ряды и траектории электромагнитных процессов имеют фрактальный характер и эффективно характеризуются фрактальными размерностями разных видов.

3. Установлено, что клеточная фрактальная размерность динамической вольт-амперной характеристики электрической дуги снижается в процессе плавки, численно характеризуя изменение её гладкости, что позволяет использовать фрактальную размерность в качестве индикатора состояния дуги в системе управления дуговой печи.

4. Введенные в работе приближенные фрактальные характеристики - коэффициент длины и коэффициент гладкости - позволяют улучшить характеристики быстродействия и селективности системы управления.

5. Экспериментально установлено наличие корреляции между дозой фликера и фрактальной размерностью временного ряда напряжения на шинах дуговой сталеплавильной печи.

6. С помощью компьютерного моделирования показано, что имеется корреляция между размерностью временного ряда огибающей синусоидального напряжения и дозой фликера, определяемой для этого напряжения с помощью модели стандартного фликерметра.

7. Разработан программно-аппаратный комплекс для регистрации двигательной активности рыб с помощью видеозаписей и фрактального анализа в рамках исследований по электромагнитной совместимости - электромагнитной экологии. Получены значения фрактальной размерности временных рядов двигательной активности рыб.

8. В диссертации выполнен обзор современных методов фрактального анализа, особое внимание уделено вычислению фрактальных размерностей временных

рядов и подходам, использующим фрактальный анализ для изучения частичных разрядов в высоковольтной изоляции.

Основные публикации автора по теме работы

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Балагула Ю.М., Воронин В.Н., Коровкин Н.В. Оценка фликера напряжения с помощью модели фрактального броуновского движения // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2006. Т.1, № 5. С. 99—102.

2. Балагула Ю.М., Воронин В.Н., Коровкин Н.В. Регистрация двигательной активности живых организмов для решения задач электромагнитной экологии // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Серия «Наука и образование». 2012. № 2-1. С. 243—247.

Прочие публикации:

3. Балагула Ю.М. Фрактальный анализ цен на электроэнергию // Материалы 5-й Ежегодной конференции ЕУСПб и ЭМИ РАН «Современные подходы к исследованию и моделированию в экономике, финансах и бизнесе». 15-16 апреля 2011. Санкт-Петербург. С. 17—19.

4. Балагула Ю.М., Глухов O.A., Коровкин Н.В. Методика оценки параметров частичных разрядов в высоковольтной изоляции при относительных измерениях их импульсных электромагнитных полей // Сборник научных докладов IV Международного симпозиума по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии ЭМС-2001. СПбГЭТУ. 19-22 июня 2001. Санкт-Петербург. С. 30—35.

5. Balagula Y., Korovkin N., Sakulin M., Renner H. The use of fractal analysis for quantifying the dynamic arc characteristics // Сборник научных докладов V международного симпозиума по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии ЭМС-2003. СПбГЭТУ. 16-19 сентября 2003. Санкт-Петербург. С. 39—42.

6. Balagula Y., Sakulin М., Korovkin N., Renner H. Fractal analysis as a means of flicker evaluation. — Proceedings of the 3rd International Conference on

Electric Power Quality and Supply Reliability, September 4-6 2002. Haapsalu, Estonia. P. 43—48.

7. Balagula Y., Sakulin M., Korovkin N. Characterization of the Flicker Severity Using Spectral Dimension and Related Values // Proceedings of the 4th International Conference on Electric Power Quality and Supply Reliability. August 29-31 2004. Pedase, Estonia. P. 43—48.

8. Balagula Y., Sakulin M., Korovkin N. Fractal Theory and Voltage Flicker Evaluation // Proceedings of the 2005 IEEE St.-Petersburg PowerTech Conference. June 27-30 2005. St.Petersburg, Russia. #682.

9. Балагула Ю.М., Коровкин H.B., Сакулин M. Применение фрактального анализа для оценки фликера напряжения // Сборник научных докладов VI Международного симпозиума по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии ЭМС-2005. СПбГЭТУ. 21-24 июня 2005. Санкт-Петербург. С. 248—252.

10. Адалёв А.С., Александров В.В., Александров Б.В., Балагула Ю.М., Коровкин Н.В., Серов И.Н., Уставников Д.А. Метод регистрации двигательной активности рыб с применением фрактального анализа видеозаписей // Сборник научных докладов V международного симпозиума ЭМС-2003. СПбГЭТУ. 16-19 сентября 2003. Санкт-Петербург. С. 411—414.

11. Alexandrov V.V., Alexandrov B.V., Balagula Y.M., Serov I.N., Ustavni-kov D.A. Electromagnetic Exposures by Cellular Phones on Aquatic Ecosystems Behavior in-Vivo // Proceedings of the 17th International Wroclaw Symposium and Exhibition on Electromagnetic Compatibility. 29 June - 1 July 2004. Wroclaw, Poland. P. 76—81.

12. Балагула Ю.М., Абакумова Ю.А. Длинная память на рынке нефти: спектральный подход. Препринт факультета экономики ЕУСПб Ее—01/11. — СПб.: Изд-во ЕУСПб, 2011. — 31 с.

Подписано в печать 12.11.2013. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 11229Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 550-40-14 Тел./факс: (812)297-57-76

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Специальность: 05.09.05 - Теоретическая электротехника

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -доктор технических наук, профессор Коровкин Н.В.

Санкт-Петербург - 2013

<

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................4

1. ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ.........................................................................................................13

1.1 Основные сведения из теории фракталов.............................. 13

1.2 Фрактальные временные ряды................................................ 27

1.2.1 Размерности кривых на плоскости................................................27

1.2.2 Фрактальное броуновское движение............................................28

1.2.3 Спектральная размерность.............................................................32

1.2.4 Приближённые методы вычисления размерности.......................34

1.3 Фрактальные временные ряды в электротехнике...................38

1.4 Применение фрактального анализа для исследования частичных разрядов в изоляции........................................................43

2. ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМА ДУГОВОЙ ПЕЧИ..............................................................................53

2.1 Введение....................................................................................53

2.1.1 Общие сведения о дуговой печи.....................................................54

2.1.2 Задача оптимизации режима...........................................................57

2.2 Измерения на дуговой печи.....................................................62

2.3 Фрактальный анализ динамических вольтамперных характеристик.....................................................................................66

3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОЦЕНКИ

Ф ЛИКЕР А НАПРЯЖЕНИЯ...............................................................................71

3.1 Введение.....................................................................................71

3.1.1 Проблема оценки уровня фликера напряжения в системе электроснабжения................................................................................................72

3.1.2 Стандартный фликерметр...............................................................75

3.2 Оценка фликера методами фрактального анализа................79

3.2.1 Оценка фликера с помощью модели фрактального броуновского движения......................................................................................79

3.2.2 Оценка фликера с помощью спектральной размерности.............85

3.2.3 Оценка фликера с помощью упрощённых фрактальных

коэффициентов ...................................................................................................86

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ РЕГИСТРАЦИИ ДВИГАТЕЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ РЫБ..........................................................92

4.1 Введение.....................................................................................92

4.1.1 Проблема регистрации двигательной активности биологических объектов в задачах ЭМС.....................................................................................93

4.1.2 Электрометрический метод регистрации двигательной активности водных организмов.........................................................................95

4.1.3. Регистрация двигательной активности рыб с использованием видеозаписи.......................................................................................................100

4.2 Новый метод регистрации двигательной активности рыб на основе математического анализа видеозаписей............................104

4.2.1 Постановка задачи и суть метода.................................................104

4.2.2 Временные ряды двигательной активности................................107

4.2.3 Характеристики двигательной активности .................................111

4.3 Фрактальные характеристики двигательной

активности ........................................................................................112

4.3.1 Фрактальный анализ двигательной активности

одиночной рыбы................................................................................................112

4.3.2 Фрактальный анализ двигательной активности группы рыб .... 116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................................120

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................................126

Приложение.......................................................................................................133

ВВЕДЕНИЕ

Фрактальный анализ, как метод исследования математических множеств различной природы, базируется на идеях фрактальной геометрии, разработанной Б. Мандельбротом. Начиная с 1973 года, когда была опубликована его основополагающая работа [1], методы фрактального анализа нашли широкое применение в различных областях физики, химии, биологии. Главное достижение теории фракталов состоит в том, что она даёт простые способы математического описания весьма сложных, но очень широко распространенных в природе явлений и объектов. Фрактальный анализ является столь же фундаментальным математическим аппаратом для описания физической реальности, как дифференциальные уравнения, тригонометрия или гармонический анализ. Однако, в связи с тем, что он был открыт относительно недавно, он еще не занял подобающего места в умах ученых и инженеров. Поэтому актуальной является работа, которая могла бы продемонстрировать спектр возможных применений фрактального анализа в электротехнике и ввести понятия теории фракталов в дискурс теоретической электротехники.

Развитие цифровой техники для сбора и обработки сигналов позволяет использовать для анализа процессов в электрических цепях не только традиционные числовые интегральные характеристики (такие как действующие и средние значения напряжений и токов), но получать и анализировать развёрнутые во времени данные об эволюции исследуемой электромагнитной системы (электрической цепи, электротехнологической установки и т.п.) в виде записей дискретных сигналов любых доступных для измерения электрических величин (переменных состояния). Следуя идеологии теории динамических систем, будем рассматривать такие записи как дискретные отображения траекторий электромагнитных процессов. Для ряда теоретических и практических задач представляется полезным анализ геометрических свойств этих траекторий. Этому посвящена работа [2], в

г

которой отмечается, что на сегодняшнем этапе развития теоретической электротехники актуальным вопросом становится разработка оценок электромагнитных процессов в электрических цепях не только для целей управления и регулирования, но и для целей классификации явлений и их эргономичной визуализации. Фрактальный анализ предоставляет набор инструментов для количественной характеристики специфических геометрических свойств траекторий. Учитывая, что современные средства измерения всегда дают нам для анализа дискретные временные ряды с некоторой шумовой составляющей, важно выделить два основных пути применения теории фракталов. В первом случае имеющиеся записи сигналов рассматриваются как приближения гладких траекторий, которые можно

г

анализировать во времени или в фазовом пространстве (например, ниже

Ч

анализируется запись мгновенных значений напряжения дуги в дуговой сталеплавильной печи). При этом могут быть применены методы фрактального анализа для вычисления размерностей траекторий. Во втором случае запись сигнала рассматривается как стохастический временной ряд, то есть процесс принципиально негладкий, с исключённой (по возможности) регулярной составляющей (например, запись действующих | значений напряжения дуги за период основной частоты, или любой нерегулярно изменяющейся величины, измеренной с дискретностью больше "периода). Здесь используется теория фрактальных временных рядов.

Фрактальный анализ в настоящее время представляет собой, скорее, не жёстко установившийся набор формул и алгоритмов, основанных на

канонической теории, а совокупность идей и подходов, позволяющих

/

определять разные фрактальные размерности и связанные с ними показатели, характеризующие именно те свойства изучаемых объектов, которые интересуют исследователя. Поэтому исследователь рискует попасть в ловушку, такую же, как в случае со спектральным анализом, когда современные математические программные пакеты предоставляют пользователю весьма широкий спектр инструментов спектрального анализа,

однако часто пользователь не имеет знаний о том, как корректно их использовать. Кажущаяся простота и легкость дискретного быстрого преобразования Фурье зачастую приводит к тому, что артефакты, возникающие при его неправильном применении (неправильный выбор частоты дискретизации, размера и типа окна, утечка спектра и т.п.) принимаются за реальные результаты. Поэтому, применительно к процедурам фрактального анализа, актуальной является задача формулирования правил его корректного использования на примере

г"

различных электротехнических задач. Важно также показать области электротехники, в которых применение фрактального анализа'особенно

эффективно, и его место в ряду других методов математического1 анализа и

/

моделирования.

»1 5

Традиционным средством анализа временных рядов в электротехнике является спектральный анализ. Он по определению служит для выявления периодичностей в изучаемых процессах. Однако использование

спектрального анализа для реально измеренных временных рядов часто

*

является неадекватным, когда временной ряд содержит много1 гармоник (шумоподобные процессы), либо некорректным, если имеются постоянная или ультранизкочастотные составляющие. Использование же | методик, расширяющих спектральный анализ (преобразование Фурье с движущимся окном, вейвлет-преобразование) часто громоздко и неудобно. Фрактальный анализ может дать в этих случаях приемлемую альтернативу,позволяя характеризовать нужные свойства временного ряда всего одним численным показателем - фрактальной размерностью. Разумеется, этот показатель не является исчерпывающей характеристикой временного ряда. В этом смысле фрактальный анализ является грубым методом, в отличие от спектрального, который позволяет полностью однозначно восстановить временной ряд с определённой точностью. Но для этого спектральный анализ должен оперировать целым набором чисел, что затрудняет восприятие результатов человеком, сознание которого может работать, как правило, лишь с

небольшим числом параметров. Для ряда задач фрактальный анализ позволяет описать нужные свойства исследуемого объекта одним-двумя параметрами и может работать в связке с более точными методами анализа в рамках единой схемы обработки информации. Например, в некоторых системах регистрации качества электроэнергии фрактальная размерность (или связанная с ней величина) используется как некий триггер для того, чтобы зафиксировать и классифицировать факт нарушения качества и запустить соответствующие подпрограммы регистрации и анализа [3, 4].

Кроме того, методы фрактального анализа временных рядов позволяют описывать различные свойства временных рядов, которые не выявляются другими методами анализа (персистентность, «изломанность») и дают возможность судить о некоторых свойствах физических процессов,

порождающих исследуемые временные ряды, например, определить

/

размерность управляющей системы дифференциальных уравнений в случае хаотического процесса.

В последнее время теоретическая электротехника встала перед необходимостью ввести в свой оборот новый класс процессов в электрических цепях, которые не характеризуются постоянством значений токов и напряжений, то есть не являются установившимися режимами, и в то же время не являются преходящими, то есть не могут быть отнесены к переходным процессам. Эти процессы характеризуются тем, что токи и напряжения в нормальных эксплуатационных режимах изменяются случайным образом в определённых пределах, представляя собой стохастические временные ряды (шумы). Примерами могут служить система электроснабжения дуговой сталеплавильной печи во время плавки [5], скользящий разряд по поверхности изолятора [6], нелинейная электрическая цепь в хаотическом режиме [7]. Строго говоря, любой реальный процесс содержит случайную составляющую, следовательно, является стохастическим. Однако ранее в рамках теоретической электротехники этот аспект почти не рассматривался, так как, во-первых, считался (в большинстве

случаев справедливо) несущественным, как правило, нежелательным, дополнением к основным процессам, достаточно хорошо описываемым тригонометрическими функциями; во-вторых, не было подходящих средств измерения и расчёта. Если же случайные процессы в электрических цепях рассматривались теорией, то в основном на языке математической статистики [8, 9, 10]. В то же время для некоторых практических задач определяющей является именно небольшая стохастическая добавка к регулярному процессу. Такой задачей является, в частности, рассматриваемый в настоящей работе фликер в системе электроснабжения, вызываемый весьма небольшими отклонениями напряжения от номинального значения. Как будет показано ниже, фрактальный анализ временных рядов предоставляет удобный инструментарий для описания подобных процессов.

ь1

&

В последние десятилетия интенсивно развивается такая дисциплина как электромагнитная совместимость (ЭМС или по-английски ', ЕМС — electromagnetic compatibility). Будучи по своим методам и научному аппарату наиболее близкой к теоретической электротехнике, большинством специалистов она рассматривается как подраздел последней, и их развитие неразрывно связано. Электромагнитная совместимость изучает вопросы электромагнитного воздействия технических устройств друг на друга и на окружающую среду (человека и другие биологические объекты). Она может быть поделена на три больших раздела - собственно ЭМС, изучающая взаимодействие устройств посредством электромагнитного поля (излучение, радиопомехи); ЭМС по цепям питания, изучающая взаимодействие информационных или электроэнергетических устройств через электрические цепи системы электроснабжения (кондуктивные помехи) - эти вопросы тесно связаны с тематикой качества электроэнергии; и электромагнитную экологию, которая рассматривает вопросы влияния технических средств на биологические объекты, главным образом посредством электромагнитных полей. Отдельно также можно выделить группу вопросов, связанных с

влиянием естественных электромагнитных полей (главным образом геомагнитного поля) на технику и биологические объекты, то есть с электромагнитной обстановкой (electromagnetic environment). В ряде задач электромагнитной совместимости (и других связанных разделов техники) возникает необходимость рассмотрения взаимодействия электромагнитных волн с естественными средами и поверхностями, эффективным средством математического описания которых является фрактальная геометрия. Поэтому фрактальный подход нашёл применение в таких задачах, как описание распространения радиоволн вдоль поверхности земли с учётом рельефа местности и растительности [11], радиолокации над водной поверхностью [12], отклика шероховатых поверхностей (поверхностей раздела фаз) на переменном токе [13]. В области электромагнитной экологии фрактальный анализ показал свою эффективность в качестве средства

регистрации слабых воздействий электромагнитных полей на живые

*

организмы, поскольку предлагает удобный математический аппарат для описания часто встречающихся в биологии древовидных структур и соответствующей обработки изображений [14,15,16, 17].

В области экономики электроэнергетики фрактальные концепции используются для характеристики эффективности рынков электрической энергии; рассматриваемая в диссертации модель фрактального броуновского движения является базовой для анализа и моделирования поведения временных рядов цен на электроэнергию и другие энергоресурсы [18, 19].

Существенной частью научной специальности «Теоретическая электротехника» является разработка основ теории и методов адаптивных электродинамических систем, интегрирующих объекты информационной и электротехнической природы, и систем управления. Примером такой системы является автоматизированная система управления технологическим процессом (АСУТП) дуговой сталеплавильной печи (ДСП) переменного тока. Мощности современных дуговых печей растут, соответственно резко возрастают возможные потери от слишком медленной работы устаревших

систем управления, неадаптивных или требующих участия оператора. Вместе с тем развитие информационной и измерительной техники позволяет включить в АСУТП не только традиционные интегральные характеристики электромагнитных процессов (среднеквадратичные значения токов, напряжений, мощностей, производные от них сопротивления и т.п.), но и характеристики их траекторий, имеющих в значительной степени стохастический характер. В этом отношении может быть весьма полезен фрактальный анализ — как в части анализа сравнительно гладких траекторий процессов во времени или в фазовой плоскости, так и в части анализа стохастических временных рядов.

Структура и объём диссертации

В диссертации разрабатываютс