автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов субдиффузии

На правах рукописи

г

Пехтерева Лина Вадимовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СУБДИФФУЗИИ

Специальность 05 13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□03170303

Новосибирск-2008

003170303

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент Ковалевский Артем Павлович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Рудяк Валерий Яковлевич

кандидат технических наук, доцент Постовалов Сергей Николаевич

Ведущая организация-

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет»

Защита состоится 19 июня в 16°° на заседании диссертационного совета Д 212 173 06 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г Новосибирск, пр Карла Маркса, 20

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан « ¡5 » мая 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета áb/ú^ Чубич В М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы Поровое пространство многих встречающихся в природе и технике пористых материалов представляет собой сложную геометрическую структуру, моделирование которой возможно только самоподобными или самоаффинными геометрическими множествами дробной размерности Диффузия в таких средах является аномальной для больших значений времени t средний квадрат перемещения растет по закону

<r2(t)>~Data,a?l, О>то,

где Da- коэффициент диффузии, а - показатель аномальности, то определяется в зависимости от задачи Случай а<1 характеризуется запаздыванием роста среднего квадрата перемещения и называется субдиффузией Субдиффузия наблюдается в ряде таких горных пород, как песчаник, угольные пласты, в средах с аэрогельной структурой, а также торфяниках и других материалах

В настоящий момент неизвестно, как устроены математические модели аномальной диффузии в средах с поровым пространством F дробной размерности Эти модели должны удовлетворять закону аномальности и обладать тем свойством, что концентрация диффундирующего вещества должна определяться блужданием частиц на множестве F дробной размерности с определенными геометрическими свойствами

Поэтому возникает актуальная задача построения математической модели субдиффузии на множествах F дробной размерности

Известные в настоящее время математические модели аномальной диффузии не содержат постановки задачи определения концентрации диффундирующего вещества как решения какого-либо уравнения или реализации стохастической модели по начальной концентрации и каким-либо геометрическим и физическим характеристикам среды

Данная диссертационная работа посвящена математическому моделированию и численной реализации субдиффузии в рамках известной модели Continuous-Time Random Walk (CTRW) Эта модель описывает диффузионные процессы случайным блужданием частиц при условии, что частицы либо перемещаются, либо задерживаются на некоторое случайное время Эти задержки и перемещения задаются функциями плотности вероятности

Автором разработана CTRW-модель субдиффузии на евклидовой решетке с постоянным шагом перемещения и задержками определенного класса Доказано, что для всех задержек этого класса распределения концентрации являются решениями уравнения CTRW-модели, асимптотически эквивалентными при больших временах, и зависящими от параметров

аномальной диффузии Da и а

Это позволяет строить имитационные модели процессов субдиффузии в конкретных материалах и изучать свойства таких материалов в зависимости от геометрической характеристики связности их порового пространства.

Цели и задачи исследования

1. Математическое моделирование процессов субдиффузии на основе CTRW-модели Для достижения этой цели решаются следующие задачи

- разработка метода выделения случая субдиффузий в СТЮУ-модели,

- построение модели субдиффузии на евклидовой решетке с постоянным шагом;

- построение прямой имитационной стохастической модели субдиффузии;

- имитирование субдиффузии на множествах дробной размерности в рамках СПШ-модели

2. Разработка и программная реализация численных моделей процессов субдиффузии. Для достижения этой цели решаются следующие задачи- разработка численных методов решения уравнения субдиффузии на евклидовой решетке,

- построение экономичных численных схем расщепления для решения интегроразностного уравнения,

- разработка метода прямого стохастического моделирования субдиффузии,

- создание комплекса программ для реализации разработанных численных методов

Методы исследования Для решения поставленных задач используются1 методы теории функций, методы функционального анализа, методы математического моделирования, численные методы, методы теории вероятностей и статистического моделирования

Научная новизна диссертационной работы В рамках диссертационных исследований получены следующие новые результаты.

1 Построена СТИЛУ-модель субдиффузии (В), реализующая блуждание частиц

с постоянным шагом и задержками на евклидовых решетках в я" («=1,2,3) Для этой модели выведено интегроразностное уравнение динамики концентрации, для которого доказана теорема существования и единственности решения

2 Для построенной модели субдиффузии (В) найден класс <Р функций плотности вероятности задержки, в котором доказана теорема асимптотической единственности концентрации Установлены необходимые и достаточные условия принадлежности этому классу

3 Разработаны методы численной реализации модели субдиффузии на

„и

евклидовых решетках в К

- метод, основанный на дискретизации уравнения субдиффузии (л=1,2,3),

- метод, основанный на экономичных численных схемах расщепления (п=2,3)

4. Разработан метод прямого стохастического моделирования субдиффузии на евклидовых решетках в к" (и= 1,2,3)

5. Построенная СТИ^-модель субдиффузии на евклидовой решетке применена для имитации процесса диффузии в пористых средах дробной размерности ненулевой связности

Основные положения, выносимые на защиту

1 Математическое моделирование субдиффузии на основе СТЯХУ-модели

2 Методы численного решения уравнения СТ1^-модели субдиффузии и их программная реализация

3 Метод прямого стохастического моделирования субдиффузии и его программная реализация

4 Применение СГИЛУ-модели субдиффузии на евклидовой решетке для имитации диффузии в пористых средах дробной размерности с ненулевой связностью

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается

- принципами построения и критериями применимости СТИЛУ-модели для описания субдиффузии,

- применением аналитических методов обоснования сходимости решения численных схем к решению интегрального уравнения субдиффузии,

- обоснованием сходимости стохастических реализаций СТКЛУ-модели к решению интегрального уравнения субдиффузии,

- подтверждением аналитических выводов результатами компьютерного моделирования

Теоретическая значимость результатов:

- разработан новый подход моделирования субдиффузии в рамках СТ1^-модели,

- установлены необходимые и достаточные условия реализации процесса субдиффузии на евклидовых решетках с точностью до асимптотической эквивалентности,

- построена численная аппроксимация уравнения СТЯЖ-модели субдиффузии и доказана ее сходимость,

- обоснована корректность метода прямого стохастического моделирования субдиффузии,

- выведены необходимые и достаточные условия реализации модели субдиффузии начальной задачей для неоднородного дифференциального уравнения с дробной производной по времени,

- разработаны новые методы численного решения неоднородного дифференциального уравнения с дробной производной по времени, описывающего субдиффузионные процессы,

- построена имитационная СТИЛУ-модель субдиффузионного процесса на множестве дробной размерности с ненулевой связностью

Практическая ценность результатов. Для построенной математической модели субдиффузии создан комплекс программ, реализующий разработанные методы численного моделирования субдиффузии, который позволяет

- имитировать процесс субдиффузии при больших значениях времени в материалах со сложной геометрией порового пространства по двум характеристикам, коэффициенту диффузии и параметру связности (к таким материалам относятся торф, уголь, некоторые виды песчаника),

- установить значения функции концентрации в процессе субдиффузии с источниками,

- определить ширину субдиффузионного пакета в зависимости от времени,

- определить основные параметры перколяционного процесса, описываемого СТ11\У-моделыо субдиффузии

Апробация работы Основные результаты исследований докладывались на 9-й Российско-Корейской международной конференции КоЯиз 2005, Всероссийских научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука Технологии Инновации» НТИ-2003, НТИ-2005, НТИ-2006, НТИ-2007, 63-й научно-технической конференции - НГАСУ- 2006, Всероссийском семинаре «Современные проблемы теоретической и прикладной механики», научных семинарах профессора В А Селезнева, НГТУ, научных семинарах профессора В Я Рудяка, НГАСУ

Публикации По результатам диссертационных исследований опубликовано 14 печатных работ, из них 2 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ, 8 - в сборниках научных трудов, 4 - в сборниках трудов конференций

Структура работы Диссертация изложена на 162 страницах, и состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованных источников (97 наименований) и 1 приложения и содержит 34 рисунка и 8 таблиц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования, раскрываются научная новизна, теоретическая и практическая значимость, определяются методы исследования и описывается структура работы

В главе 1 в рамках известной СТИЛУ-модели выводится уравнение динамики концентрации для процесса субдиффузии на евклидовой решетке и строится прямая стохастическая модель этого процесса Основной результат этой главы заключается в построении такой математической модели субдиффузии, которая позволит по двум характеристикам - коэффициенту диффузии и параметру связности порового пространства - определить распределение концентрации при больших значениях времени

В п 1 I приводятся необходимые в работе сведения о классе обобщенных функций медленного роста

В п 1 2 СТКЛУ-модель диффузии формируется в виде системы аксиом (А)

1) В каждый момент времени частицы распределены на некотором подмножестве евклидова пространства Л (и=1,2,3) Распределение задается

функцией концентрациир(х,?), х =(х], х„)ея" р{х,г) - количество частиц в элементе объема множества в заданной точке х в момент времени I, отнесенное к общему количеству частиц

2) Каждая частица задерживается в элементе объема на некоторое случайное время после чего совершает мгновенное перемещение (делает скачок) в

пространстве Rn на некоторый случайный вектор х' eR Заданы

- плотность вероятности Х(х') случайной величины х',

- плотность вероятности Дг) случайной величины t

В CTRW-модели задание начального распределения частиц и функций плотности вероятности задержки и перемещения позволяет однозначно определить плотность вероятностиp(x,t) для частицы находиться в момент t в точке х

На основе введенных аксиом излагается вывод общего интегрального уравнения CTRW-модели диффузии (уравнение выравнивания концентрации) t

p(x,t)=lf{t')dt' ¡A{x,)p{x-x\t-ndx' + p0{x)F(t), (1)

О Rn

где ро(х) = р(х,0), F(t) - вероятность задержки частицы не менее чем на t, и доказывается теорема

Теорема 1.1. Общее интегральное уравнение CTRW-модели (1) имеет единственное решение в классе непрерывных по t функций

Далее анализируются известные в настоящее время методы решения уравнения (1) и сопряженные с ними трудности, что является обоснованием поиска и построения новых численных методов решения

В п 1 3 строится CTRW-модель субдиффузии на евклидовых решетках в

п

R , п= 1,2,3 Предполагается, что частицы перемещаются по узлам решетки, причем перемещение происходит равновероятно в один из соседних узлов, и в каждом узле частица задерживается на случайное время. CTRW-модель такого процесса задается следующей системой аксиом (В)

1) В каждый момент времени частицы находятся в узлах равномерной решетки с шагом h в R (п= 1,2,3) Распределение частиц по узлам Xj задается функцией концентрации p(xj,t), p(xj,t) - количество частиц, заключенных в элементе объема множества в заданном узле Xj в момент времени t, отнесенное к общему количеству частиц

2) Каждая частица задерживается в данном узле на некоторое случайное время t, после чего совершает мгновенное перемещение равновероятно в один из соседних узлов решетки Заданы

- плотность вероятности 1(х ) перемещения,

Ч?) = (8{x'-eth) + Six'+^hj), где векторы е1 - координатные орты

- плотность вероятности j{t) случайной величины задержки t такая, что что выполняется условие

<r\t)>~Data, t»T0, ае(0,1) (2)

Показано, что в модели (В) уравнение выравнивания концентрации принимает вид

1 ' "

Р(*> 0 = Т" -e,h,t-n+p{x + t - О) f(ndГ + Po(x)F(t) (3)

0'=1

Необходимое и достаточное условие, определяющее вид функций плотности вероятности задержки Д/) модели (В), дается следующей теоремой.

Теорема 1.2. Средний квадрат перемещения в СТИЛЛ^-модели субдиффузии (В) удовлетворяет условию (2) тогда и только тогда, когда образ Лапласа /(у) функции^/) при как угодно малых значениях 5 удовлетворяет условию

л-1

1 + -

(4)

£>аГ(а+1)

причем в (2) имеет место равенство для всех / при наличии равенства в (4) для всех 5

Вводится класс <Р - все функции плотности вероятности задержки /(/), образ Лапласа /(¡) которых асимптотически по 5 при 5«1 удовлетворяет условию (4), и доказывается следующее утверждение

Утверждение 1.3. Все функции концентрации р(х,полученные для заданной начальной концентрации р(х,0)=ро(х) в модели (В) при всевозможных функцияхД/) из класса <Р, эквивалентны при /»О

Таким образом, для СТ1Ш-моделирования субдиффузии при /»0 может быть использован любой представитель класса <Р

Рассматриваемый процесс субдиффузии на евклидовой решетке не является гауссовским Назовем фундаментальным решением уравнения субдиффузии решение, соответствующее начальному распределению концентрации р0(х)=<5(х) На рис 1 приведены в сравнении графики фундаментального решения уравнения субдиффузии (3) в Л1 и фундаменталь-

ного решения уравнения диффузии

дрё(х,Г)_£>3 рё(х,1)

Ы

дх'

, для разных

: рШ)

31 В

!) ■ I ■ » У» (а) и «

й

\\

1 1 1 т т | г 1 1 0 1 1 п Ттт 1 |-|

-10 -05 00 05 1 0 -4

рШ)

т—гг'—I—гТ I ОЮ

-2

р(хХ)

рШ)

(б)

"1-1-гл—|-1—Г—I--1-1

2 4

Рис 1 Сравнение графиков фундаментального решения р(х,1) уравнения (3) в Я1, а=0.5, А =0 01, и фундаментального решения р^х/) параболического уравнения диффузии, £>=1>й=1' (а) ¿=1, (б) /=10

значений f Гауссовский процесс, показывает более быстрое вырав-

нивание концентрации Фундаментальное решение уравнения р(х,() субдиффузии имеет острую вершину в точке х=0 для всех значений а, /

Для численной реализации субдиффузии на евклидовой решетке автором вводится функция

аА

На (А +0

А = -

а+1

£>аГ(1 + а)Г(1-а)

0<а<1,

(5)

и доказывается, что для нее выполняется условие (4)

На рис 2 приведен график зависимости среднего квадрата перемещения от времени <г (О^исхр. полученный практически для процесса субдиффузии на евклидовой решетке с функцией _/(/) вида (5), в сравнении с графиком функции

2 СС

<г (()> = БаС , погрешность моделирования имела порядок 0(0 01)

Рис 2 Сравнение графиков зависимости среднего квадрата перемещения от времени полученного экспериментально <г2(1)>дискр и ожидаемого <г\0>=£>аЛ БсгО 1, а=0 5

2 2

Рис 3 График отклонения е(/) = <г (/)> - <г (1)>дискр, £><¿=0 1, а=0 5

2 2

Для наглядности график отклонения функций <r (i)> и <г (()>дискр вынесен на рис 3 Выбранная функция fit) позволяет имитировать аномальную кинетику (2) достаточно хорошо при />10, т е в данной задаче tq=10 в (2)

В п 14 исследуется процесс субдиффузии с источниками g(x,t) Обозначим G(x ,t)=mo(x)S(t)+g(x ,t), где т${х) - начальное распределение концентрации Получено уравнение для функции распределения концентрации m(x,f) (количество частиц в единиц объема) в модели (В)

1 rt "

m(x,t) = — L У (т(х - ё, h, t -1'1)+ т(х + ё. h, t - f ))/(i1' )dt''+

2"*\=1 (6)

+ ^G(x,t-t,)F(t,)dt'

Последнее слагаемое в уравнении (6) определяет концентрацию вещества, выделенного источником за время t в точке х и сохранившегося к моменту t в исходной точке Доказана теорема

Теорема 1.4. В случае субдиффузии с источником G(x,t), x=(x\,...^eR средний квадрат перемещения определяется по формуле

\dx^G{x

,z)dr

R"

где G(u,t)~образ Фурье функции G(x,t), и AG(u,t) - лапласиан G(u,t)

На основе теоремы 1 4 получены формулы закона роста среднего квадрата перемещения для различных типов источников, позволяющие строить численные модели субдиффузии с источниками

В п.1 5 построена прямая стохастическая имитационная модель субдиффузии как прямая реализация блуждания частиц на равномерной решетке в Rn с заданной функцией (5) плотности вероятности задержки частиц в соответствии с системой аксиом (В) Единица концентрации при моделировании представляется некоторым постоянным количеством частиц S, чем больше S, тем точнее определяется функция распределения массы m(x,t). Описан процесс блуждания частиц, показано моделирование источников и стоков, и дана оценка общего количества частиц, используемых для моделирования

В п. 1.6 приводится обоснование прямой стохастической имитационной модели субдиффузии (В) Доказана следующая теорема

Теорема 1.5. Функция m(x,t), полученная в результате стохастической реализации блуждания К частиц, сходится по вероятности к решению m(x,t) уравнения (6) при К-> со

Выводится вероятностная оценка требуемого для стохастического моделирования количества частиц в зависимости от погрешности отклонения стохастической реализации от решения уравнения субдиффузии (3)

Лемма 1.6. Отклонение функции m{x,t) от m{x,t) не превышает е с

вероятностью F0 при выполнении условия

4 s2 2

где Ф - стандартное нормальное распределение, M{t) - общая масса вещества в момент времени t

В главе 2 разработаны и обоснованы методы численной реализации субдиффузии в модели (В) методы аппроксимации интегроразностного уравнения численными схемами и метод прямого блуждания частиц Эти методы позволили разработать описанный в главе 3 программный комплекс для компьютерного имитирования процессов субдиффузии в материалах со сложной геометрией порового пространства

В п 2 1 строится численное решение интегроразностного уравнения динамики концентрации частиц в R1 Решаются три задачи

1) Субдиффузионный процесс происходит на отрезке W=[xayxb], частицы при движении не покидают отрезок и отражаются от границ Тогда на границах х=ха,х = хЬ уравнение субдиффузии в R1 принимает вид

Фа, 0 = | {¡ут{ха,t-n + m(xa+h,t-/'))/(/')dt'+mQ(ха)F{t) + G(xa,t), ФъА=\ ^{m(xb,t-n + m(xb-h,t-f))f{t')df + m0(xb)F(t) + G(xb,t),

где G(x,t) = JJ<7(*,f - t')F(t')dt'.

Для решения краевой задачи (6,8) интегральный оператор аппроксимируется суммой на основе квадратурной формулы трапеций, t=Nàt, xb -ха = Kh, и для полученной численной схемы доказана следующая теорема Теорема 2.1. Краевая задача

m

At

п-1

О^тК^« o)fn-s f + i» l)fn +

, Оч

s = 1

+ ^.{mn+m"Q)h+m0Fn+G»,

«К = К-1+ т К) fn-s + К-1+ т<К )/» +

(9)

î=1

для уравнения

At

п-1

At, О

«Г =у I (« U+ т и)/»-5 + —,-1+ m ,+i)/«+

i=l

(10)

и

аппроксимирует задачу (6,8) на ее решении с точностью 0{Д/), и имеет место сходимость решения порядка 0(А1)

В силу специфики процесса субдиффузии, при вычислении значений функции концентрации на каждом слое по времени используются значения функции концентрации на всех предыдущих слоях по времени, поэтому погрешность быстро накапливается, и порядок сходимости всегда будет ниже порядка аппроксимации задачи

Получены формулы для решения этой системы прогонкой На каждом шаге и выполняется количество умножений порядка 0(Кп), в совокупности для определения т^ - порядка 0(Ш 2/2)

2) Начальная функция т0(х) задана на интервале [ха, хь] и периодически продолжается в обе стороны Краевые условия примут вид

т{ха ,1)^(){т(хь,1~П + т(ха+к,(-('))/(/') Л' + т0 (ха )Г(0 + б(ха, (),

Интегральный оператор аппроксимирован суммой, доказано, что полученная численная краевая задача имеет порядок сходимости решения 0(АГ), порядок сложности

получены формулы для решения задачи прогонкой

3) Субдиффузия имеет место на Я1, но начальная функция тд(х) задана на ограниченном интервале, те изначально частицы расположены в некоторой ограниченной области Построена численная краевая задача, показано, что

сложность ее решения имеет порядок +пК)), сходимость решения

имеет порядок 0(Д/), задача также решена прогонкой

П 2 2 посвящен численному решению интегроразностного уравнения динамики концентрации частиц в Я Рассмотрена начально-краевая задача для уравнения (6) в Л с условием отражения от границ в области {хе [ха, У&\Уа,УЬ\> 1е[0,Т\}. Для нее построена численная схема на основе квадратурной формулы трапеций, /=АГД/, х/, -ха = /й, уь -уа = Л ((2 а + + с? т£0) + т^ = Ь^1,

V т ?-1,0+ V+ХНо+Ат Г+1,0>+ <1 = Ко1' 1 * ' * ' -1

((2с/ +1 )т"10 + ) + т"ц = Ъ"^,

<4,-1+ «<* + Ну + т",] >+ = ^ • 1 ^ ^ ^ -1 4,-1 + У<и + <у + Л"Г+1,, )+ +1 = ь";1,1<(</-1

+ +(с1 +1 )тп1} )= Ь?"1,

г

<

(11)

¿<7-1 +К-и + (2^ + 1)тду)= Ь ^ т1]=т0(х1,у]\ 0<1<1, 0<J<J,

где

¿ = -1^0

2

Теорема 2.2 Задача (11) аппроксимирует задачу (6) в Л с краевыми условиями отражения от границ на ее решении с порядком 0(Д/), причем имеет место сходимость решения порядка 0(Д/)

Далее система (11) решается методом матричной прогонки Показано, что эта схема оказывается неэкономичной на каждом шаге по времени приходится обращать 27 матриц размерности 1x1, что вместе с вычислением правых частей приводит к совокупной сложности порядка 0(Л'2/37) Поэтому для практических вычислений построена экономичная численная схема.

п +1/2 .л , ,, л + 1/2 , „ п

■ <]1 = 1/2 + -' (12) =т

где 0<1<1, Q<J<J, 1утЪ =<у-1+<;+1

2

Теорема 2.3 Задача (12) аппроксимирует задачу (6) в /? с краевыми

2

условиями отражения от границ на ее решении с порядком 0(А/), причем имеет место сходимость решения порядка 0(Д/)

Численная задача (12) является экономичной Сложность задачи для

определения т,^.

В п 2 3 построено численное решение интегроразностного уравнения динамики концентрации частиц в Л3 Рассматривается начально-краевая задача

з

для уравнения (6) в Я с условием не пересечения границ в области {хе[ха, хь],

[¿а. 2ь\, /е[0,7]} Положим /=ЛгАг, хь -ха= 1И, уь -уа= Л, гь -га = Юг. Построена экономичная численная схема расщепления

п+ \ 3 ,Т П+ 13 , лт , т \ п , 1 л

п+1

П +1 П+ ¿1 Л , ,Т , И+1 и ,

где

О<,</, Ьхт^к = + ,

1Ут<,;,к=т<и-1,к+т1+1,к> ЬКл=т1,к~1+т1м1> ¿ =

по соседним по соседним

узлам ,к\) .узлам (¡1 ,д ,к\)

Теорема 2.5 Задача (13) аппроксимирует задачу (6) в Я с краевыми

условиями не пересечения границ на ее решении (т) с порядком 0(Л/), имеет

место сходимость решения порядка 0{Ы)

Сложность задачи (13) имеет порядок 0(Л^Ш72)

В п 2 4 представлена численная реализация прямой стохастической имитационной модели субдиффузии, построенной и обоснованной в п 1 5-1 6 Эта реализация позволяет отслеживать перемещение частиц в процессе субдиффузии, и определять значения функции концентрации

Для моделирования случайной величины V с плотностью вероятности/^, (5), выведена формула представления ее в виде функции равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины и

у = ^4((1-м)_1/а -1) (14)

В п 2 5 приводится сравнение эффективности моделирования субдиффузии методами численного решения уравнения субдиффузии и прямого стохастического моделирования Получена формула для определения отношения временных затрат ¡числ и /стох на реализацию методов численного решения уравнения субдиффузии и метода прямого стохастического моделирования, соответственно (Ь — количество узлов сетки)

!шё_ = 2нЧт2 Гф-1(Ь^)Г2 (15)

*стох 3 ТаМ2(Т)У 2 )

Метод численного интегрирования более эффективен, чем метод прямого стохастического моделирования, когда это отношение меньше 1, независимо от требуемой точности вычисления Показано, что метод прямого стохастического моделирования, как правило, более эффективен При этом с увеличением а сравнительная эффективность метода прямого стохастического моделирования убывает, так как увеличивается количество шагов каждой частицы и, следовательно, время реализации блуждания. Это показано в табл 1 При увеличении £ сравни-

тельная эффективность метода прямого стохастического моделирования возрастает, так как для его реализации величина/, не имеет принципиального значения

Таблица 1

Значения отношения Гчысл / при Р0=0 999, й=0 01, ¿=104, М(Т)=1

т 10 50 100 500 1000 10000

а= 03 3 08 47 60 154 66 2385 76 7751 36 388488 3

а= 0 5 1 94 21 76 61 57 688 38 1947 05 61571 24

а= 0 8 0 97 6 73 15 46 106 69 245 12 3884 88

В главе 3 строятся вычислительные алгоритмы и разрабатываются программы для численной реализации модели субдиффузии на евклидовой решетке. Программы разработаны на языке С++ в среде программирования Borland С++ Builder 6 0 и предназначены для работы в 32-разрядных операционных системах семейства MS Windows Все программы реализованы на основе диалоговых окон и имеют удобный пользовательский интерфейс Программный комплекс предназначен для выполнения следующих задач

1) по заданным характеристикам субдиффузии (Da, а) и начальному распределению концентрации т§{х) вычисляются значения функции концентрации m(x,t) в момент времени t следующими методами

- методом прямого стохастического моделирования (алгоритм построен в п 3 2),

- методом численной аппроксимации интегроразностного уравнения субдиффузии (6) (метод дискретизации интегроразностного оператора в RX и методы

2 3

численных схем расщепления в R и R (алгоритмы построены в п 3 3)),

2) вычисляется средний квадрат перемещения частиц для функций концентрации, полученных методом прямого стохастического моделирования и методом численной аппроксимации уравнения субдиффузии.

В пЗ 1 описан интерфейс программного комплекса, разработанного для численной реализации модели (В) субдиффузии с источниками в

В п 3 2 разработан алгоритм определения функции концентрации, основанный на методе прямого стохастического моделирования субдиффузии. Численный анализ точности этого алгоритма в R1 проведен на фундаментальном решении уравнения субдиффузии. Сначала доказано, что функция тщ(х,1) должна аппроксимировать решение начальной задачи (17) для уравнения с дробной производной по времени с порядком 0(e+h ), где е зависит от S (лемма 1 6) Затем точное фундаментальное решение W(x,t) задачи (17) в Л1 построено в пакете Maple 10, и сравнено с численно полученным нами фундаментальным решением mK^(x,t) В табл 2 приведены оценки погрешности численного решения в зависимости от S и от времени процесса субдиффузии Из

2

табл 2 видно, что погрешность вычислений имеет ожидаемый порядок 0{s±h ) 2 з

Показано, что в R и R погрешность вычислений также имеет порядок 0(s+h2).

Таблица 2

Сравнение практически полученной погрешности вычислений епр с теоретически ожидаемой погрешностью е Максимальное абсолютное значение величины Епр достигалось приблизительно 1-2 раза из 200 значений, остальные значения gw, не превосходили ожидаемую погрешность g

5 ю4 10* 10" 107

ожидаемая с вероятностью 0 99 погрешность е для указанных 5 0 0128 0 00407 0 00128 0 000407

среднеквадратичес-кое значение епр 1=10 0 0025 0 00114 0 00064 0 00027

/=100 0 0023 0 00167 0 00058 0 00031

<=1000 0 0024 0 00152 0 00062 0 00029

максимальное абсолютное значение еп0 /=10 0 0093 0 00467 0 00089 0 000481

/=100 0 014 0 00391 0 00128 0 000466

/=1000 0 0132 0 00452 0 00126 0 000506

В п 3 3 разработан алгоритм определения функции концентрации, основанный на численных методах решения уравнения субдиффузии Численный анализ точности предложенного алгоритма в Л1 проведен на фундаментальном решении уравнения субдиффузии Сначала доказано, что решение т(х,() задачи (9) аппроксимирует решение начальной задачи (17) для уравнения с дробной производной по времени с порядком 0(Ш+И ) Затем проведено сравнение точного фундаментального решения задачи (17) в Л1 с полученным численно

фундаментальным решением т(х,1) задачи (9) Погрешность вычислений имеет

2

ожидаемый порядок 0(Ж+И ) В табл 3 дано сравнение полученной погрешности вычислений £пр с теоретически ожидаемой погрешностью при А=0 01. Показа-2 3

но, что в и Я погрешность вычислений также имеет ожидаемый порядок

Таблица 3

Сравнение практически полученной погрешности вычислений £пр с

теоретически ожидаемой погрешностью е (е порядка 0{Л))

Л 0 1 0 01 0 001

среднеквадратическое значение £пр (=10 0 0381 0 0015 0 00094

/=100 0 0445 0 0077 0 00041

/=1000 0 0496 0 0059 0 00042

максимальное абсолютное значение £по /=10 0 0537 0 00216 0 00121

/=100 0 0482 0 00889 0 00053

/=1000 0 0561 0 00789 0 00061

В п.З 4 приведено сравнение временных затрат на реализацию предложенных алгоритмов, показано, что эффективность численной реализации методов полностью соответствует теоретическим оценкам, данным в п 2 5

В п.З 5 построен алгоритм определения среднего квадрата перемещения <г (/)> для значений концентрации, полученных разработанными в п 2 1-2 4

численными методами Показано, что выбранная функция ДО позволяет хорошо имитировать аномальную кинетику (2) (см рис 2, 3) Обозначим <г (0>дискр - средний квадрат перемещения для численной аппроксимации решения уравнения субдиффузии, <г2(1)>стох - средний квадрат перемещения для функции концентрации, определенной методом прямого моделирования.

ос

Поведение среднеквадратического отклонения б'¿искр (0 функций Вд? и

2 а 2

<г (?)>дискр, и отклонения естох(1) функций О^ и <г (0>стох показано в табл 4

для разных значений а при разной точности моделирования субдиффузии С уменьшением погрешности моделирования 5 значения £дискр (0 и естот(г) уменьшаются

Таблица 4

Среднеквадратичные значения величин £дискр(.0 и £стох(0) вычисленные для

/б(0,7), где Т-время субдиффузии, д- порядок погрешности моделирования

£дискр\Ч £стох(

а 8 'е (0,1) /6(0,10) ¿6(0,100) (е (0,1) /е(0,10) /6(0,100)

0 25 0 01 5 ЗЛО'2 2 1 10~* 1 8 10"3 6 1 10^ 2 9 10^ 1 8 10"*

0 001 4 4-10~1 2 2 10~4 1 5 10"4 5 9 10^ 2 4 10"4 1 9 10~4

05 0 01 2 2-10^ 4.8 10^ 1 2 10"3 2 1 10_/ 5 7 10"" 1 8 Ю-3

0 001 3 5 10^ 2 1-Ю"4 1 3 ю~4 3 8-10^ 7 6 10'4 4 6 10'4

0 75 0 01 5 3 КГ3 1 8 10^ 16 10^ 6 4 10^ 2.0 10"* 1 9 10"*

0 001 6 7 КГ1 2 3 10"4 1 4 10"4 7 1 Ю-3 2 4 10'4 2 0 10~4

В п.3.6 описана программа, разработанная для построения траекторий стохастического блуждания частиц в Я -Я2

В главе 4 строится математическая модель субдиффузионных процессов в средах с поровым пространством дробной размерности и ненулевой связности на основе разработанной в главах 1-2 СТИЛУ-модели субдиффузии на евклидовой

решетке Примерами сред с поровым пространством дробной размерности df являются уголь (й'/■ = 1 94-3 03), графит »2 07) торф = 2 47-2 96), песчаник (с^г= 2 07-2 87). В модели используется тот факт, что средний квадрат перемещения частицы на множестве дробной размерности со связностью в растет как

<г2(/)>~А/(2^. (16)

В п4.1 рассматривается задача моделирования субдиффузии в поровом пространстве дробной размерности с ненулевой связностью субдиффузией на евклидовых решетках в СТКЛУ-модели В предположении, что перемещение частицы происходит мгновенно в одну из соседних ячеек после задержки на некоторое случайное время, получен основной вывод:

Вывод 4.1. Функция концентрации р(х,$ с начальным условием

р(х ,0)=ро(х), описывающая процесс субдиффузии на множестве РсЯп дробной

размерности со связностью в>0, при /»0 эквивалентна функции концентрации с тем же начальным условием, определяемой CTRW-моделью (В) блуждания частиц, в которой при постоянном шаге блуждания h плотность вероятности задержкиДг) удовлетворяет условию (5) при о=2/(2+0)

Этот вывод позволяет имитировать процесс субдиффузии на множестве дробной размерности F с ненулевой связностью, избегая прямого стохастического моделирования блуждания на F Прямое стохастическое моделирование блуждания на F связано с необходимостью регулировать количество шагов п по сеточному множеству, аппроксимирующему F, в зависимости от порядка аппроксимации N, те использовать зависимость n(N) Эта зависимость должна приводить к выполнению (16), но вид этой зависимости не определен, что и является препятствием для прямого стохастического моделирования диффузии на множествах F дробной размерности Так как задача моделирования субдиффузии на F сведена нами к CTRW-модели субдиффузии (В), то вместо численного регулирования n(N) мы решаем задачу выбора функции f(t), обеспечивающей выполнение условия (16)

В качестве приложения построенной модели рассмотрены следующие две задачи. В п 4 2 решена задача определения зависимости ширины диффузионного пакета <r2(t)>^ от времени по величине связности в порового

2 1/2

пространства Величина <r (i)> определяется на основе (7), где а = 2/(2+6)

В п 4 3 показано, как для CTRW-модели перколяционного процесса (процесса просачивания) определяются

1) значения параметров а и 0на пороге протекания.

в R2 а~ 0 698, в~ 0 863, в Я3 « = 0 522, в~ 1 828,

2) оценка сеточной размерности df среды, на которой имеет место перколяционный процесс с заданным показателем ее.

df > 1 327 la,

3) нижние оценки показателя а для перколяционного процесса в поровой среде заданной спектральной размерности ds

a<ds/\ 90 в Л2 и a<ds/254 в R3,

4) оценки параметра связности среды в, в которой имеет место перколяционный процесс

в > 2(1.90 Ids -1) в R2, В 2 2(2 54 lds -1) в R3,

в <2( dfl\ 327 -1)в RZ,R3 В п 4.4 изучен процесс Сопа - модель аномальной диффузии, которая в ряде работ рекомендовалась для моделирования фрактального броуновского движения (ФБД). Показано, что эта модель дает стационарный случайный процесс, который не обладает фундаментальными свойствами ФБД А именно, значения показателя аномальности полученных реализаций процесса Сопа отличаются от задаваемых при моделировании, вероятность рц перемены знака приращениями процесса Сопа для разных значений Я отличается от

теоретических значений вероятности рн перемены знака для ФБД, теоретически определенная дисперсия процесса Сопа постоянна, в отличие от дисперсии ФБД, которая удовлетворяет условию (2), и приращения процесса Сопа обладают менее сильными корреляциями, чем приращения ФБД

В Приложении 1 разработана дифференциальная модель процесса субдиффузии В п П 1 1 выводится необходимое и достаточное условие, при котором интегральное уравнение, описывающее суб диффузию в Л'-Л3, эквивалентно начальной задаче для дифференциального уравнения с дробной производной по времени

Теорема П.1.1. На подклассе непрерывных функций из класса медленнорастущих обобщенных функций m(x,t) интегральное уравнение (1) эквивалентно начальной задаче

= CAm(x,t)+Q(x,t),

■ dta (17)

/ц~ат(х,01(=0 =Щ-а(х),

где

ё(й,5) = §(u,s)F(s)Ci(S,i)-т-а(Ю; (18)

G(x,t) = m0(x)S(t) + g(x,t),

rf " 9

sa+CZuf C,(u,s) =—~ 'Zl , ае(0,1) и CeR1,

i -mm

здесь Q{u, s), G(u, s) - образы Фурье по x и Лапласа по t функций Q{ х ,t) и G( х,/)

Так как функция G(x,t) включает в себя начальное значение функции m(x,t), то дифференциальное уравнение содержит в правой части начальные данные, в отличие от дифференциальных уравнений с целочисленной производной по t Следовательно, любое уравнение с дробной производной по t, описывающее CTRW модель субдиффузии, обязательно содержит ненулевую правую часть Физический смысл этого факта состоит в следующем Плотность вероятности задержки /(7)^0 в точке xeRn позволяет задержаться некоторым частицам в этой точке до времени t, и на этот момент времени наличие всех таких частиц равносильно их появлению из источника Следовательно, решение начальной задачи для дифференциального уравнения без правой части не может являться реализацией процесса субдиффузии в CTRW модели, более того, в случае CTRW модели правая часть должна иметь специальный вид (18)

В п. П 1 2 приводятся примеры CTRW-моделей, которые приводят к дифференциальному уравнению диффузии параболического типа

В п П 1 3 установлено условие, при котором решение интегроразностного уравнения субдиффузии в модели (В) аппроксимирует решение начальной задачи для дифференциального уравнения с дробной производной по времени

Теорема ПЛ.2. Решение уравнения (6) для функции j{t), удовлетворяющей (4), аппроксимирует при больших t решение задачи (17) с порядком 0(h ) на подклассе непрерывных функций из класса медленнорастущих обобщенных функций с правой частью вида

и с коэффициентом С вида

С = Dar(a + \)l2n

Следующая теорема устанавливает, что разработанные в главе 1 численные

методы решения интегроразностного уравнения субдиффузии могут быть

использованы для численной аппроксимации решения начальных задач для

дифференциальных уравнений субдиффузии

Теорема П.1.3. Решение численных задач (9-10), (12), (13) сходится к 13 2

решению задачи (17) в R -R , соответственно, с порядком 0(h +Аt)

В п. П14 описано применение метода прямого стохастического

моделирования субдиффузии (п 2 4) к решению задач для дифференциальных

уравнений субдиффузионного типа Доказана теорема

Теорема П.1.4. Функция плотности m(xt,T), полученная в результате

стохастической реализации блуждания К частиц, сходится по вероятности к

решению т(х,,Т) задачи (17) при

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1 Построена CTRW-модель субдиффузии на евклидовых решетках в Rn (и= 1,2,3) Для нее выведено интегроразностное уравнение, для которого доказана теорема существования и единственности решения

2 Для CTRW-модели субдиффузии на евклидовых решетках построен такой класс функций плотности вероятности задержки, что все функции концентрации, соответствующие этим плотностям и удовлетворяющие одному и тому же начальному условию, эквивалентны при /»0 (асимптотическая единственность)

3. Разработаны методы численного решения интегроразностного уравнения субдиффузии на евклидовых решетках в Rn (и=1,2,3), с использованием экономичных численных схем. 4 Разработан метод прямого стохастического моделирования субдиффузии на

FI

евклидовых решетках в R (и=1,2,3), и показано, что функция концентрации, полученная в результате этого метода, при увеличении количества блуждающих частиц сходится по вероятности к решению уравнения субдиффузии на евклидовых решетках 5. Построена имитационная CTRW-модель субдиффузионного процесса на множестве дробной размерности с ненулевой связностью, и указаны ее возможные применения. 6 Разработан комплекс программ для решения следующих задач

- численная реализация субдиффузии на евклидовых решетках в R , «=1,2,3, методом прямого стохастического моделирования,

- численная реализация субдиффузии с источниками и без на евклидовых решетках в л=1,2,3, методом дискретизации уравнения субдиффузии с построением экономичных схем,

- определение зависимости среднего квадрата перемещения частиц в процессе субдиффузии с источниками от времени и построение траекторий перемещения частицы.

В приложение 1 вынесены следующие сопутствующие результаты

1 Установлены необходимые и достаточные условия, при которых СТ1Ш-модель субдиффузии описывается начальной задачей для неоднородного дифференциального уравнения с дробной производной по времени На основании этих условий среди множества формальных начально-краевых задач для дифференциального уравнения с дробной производной по времени выделены те задачи, которые имеют физический смысл в рамках СТЯ\¥ модели, а именно описывают процесс субдиффузии.

2 Разработаны два новых метода численного решения дифференциального уравнения субдиффузии с дробной производной по времени

- метод аппроксимации интегроразностного оператора, приближающего начальную задачу для дифференциального уравнения,

- метод, основанный на прямом стохастическом моделировании суб диффузии

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1 Закревская Н С , Ковалевский А П, Селезнева [Пехтерева] Л В Процесс Сопа / Научный вестник НГТУ - 2004, №3(18), - с 13-19

2 Пехтерева Л В Моделирование блуждания на множествах дробной размерности в рамках СТЬШ-модели / НАУКА ТЕХНОЛОГИИ ИННОВАЦИИ Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых Часть 1-Новосибирск Изд-во НГТУ, 2007 - с 142-145

3 Пехтерева Л В О сохранении дисперсных свойств аномальной кинетики в случае степенных источников / НАУКА ТЕХНОЛОГИИ. ИННОВАЦИИ Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых в 7-ти частях - Новосибирск Изд-во НГТУ, 2006 Часть 1 -с 188-189

4 Пехтерева Л В СТИЛУ-имитирование субдиффузионных процессов на фрактальных множествах / Сборник научных трудов НГТУ -Новосибирск Изд-во НГТУ, 2007, № 4(50) - с 63-68

5 Пехтерева Л В , Селезнев В А Модель субдиффузии с фиксированной длиной пробега частиц при наличии источников // Сборник НГАСУ (Сибстрин) - Новосибирск -2007 -с 27-31

6. Селезнев В А, Пехтерева Л В О численных реализациях субдиффузионного процесса переноса / Научный вестник НГТУ -Новосибирск Изд-во НГТУ, 2006, № 4(25) - с 155-166

7 Селезнева [Пехтерева] Л В К вопросу о реализации фрактальным броуновским движением динамики курсов акций / Сборник научных трудов НГТУ - Новосибирск Изд-во НГТУ, 2005, № 1 (39) - с 151-154

8 Селезнева [Пехтерева] JIВ Метод пересечения нуля для модели случайных фаз построения ФБД / Сборник научных трудов НГТУ. -Новосибирск Изд-во НГТУ, 2004, № 4(38). - с 35-40

9 Селезнева [Пехтерева] Л В. Метод случайных фаз построения обобщенного броуновского движения / НАУКА ТЕХНОЛОГИИ ИННОВАЦИИ Мат докл всероссийской научной конференции молодых ученых в 6-ти частях -Новосибирск Изд-во НГТУ, 2003. Часть 1 -с 237-239

10 Селезнева [Пехтерева] Л В Метод случайных фаз построения ФБД / Сборник научных трудов НГТУ - Новосибирск Изд-во НГТУ, 2004, № 1 - с 49-54

11 Селезнева [Пехтерева] Л В О преобразовании уравнения с дробной производной по времени к интегроразностному уравнению / Сборник научных трудов НГТУ -2005, №3(41) -с 53-58

12 Селезнева [Пехтерева] Л В Об аппроксимации интегроразностного уравнения субдиффузии I НАУКА ТЕХНОЛОГИИ ИННОВАЦИИ Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых Новосибирск Изд-во НГТУ, 2005 Часть 1 - с 282-283

13 Селезнева [Пехтерева] Л В Численное моделирование процесса субдиффузии / Сборник научных трудов НГТУ - 2006, № 1(43) - с 99104

14 Селезнева [Пехтерева] Л В Численное моделирование процесса субдиффузии в R2 и R3 / Сборник научных трудов НГТУ -2006, № 3(45) -с 43-48

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г Новосибирск, пр К Маркса, 20, тел /факс (383) 346-08-57 формат 60 X 84/16, объем 1 5 п л , тираж 100 экз заказ №725 подписано в печать 13 05 08г

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. CTRW-МОДЕЛИ СУБДИФФУЗИИ НА ЕВКЛИДОВЫХ РЕШЕТКАХ.

1.1. Вспомогательные сведения о пространстве обобщенных функций медленного роста.

1.2. Общее интегральное уравнение CTRW-модели.

1.3. Построение и исследование CTRW-модели (В) субдиффузии на евклидовой решетке.

1.4. Уравнение динамики концентрации с заданной функцией задержки при наличии источников и стоков.

1.5. Прямое стохастическое моделирование субдиффузии в R (п=1,2,3)

1.6. Сходимость последовательности концентраций при увеличении числа испытаний.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

СУБ ДИФФУЗИИ НА ЕВКЛИДОВЫХ РЕШЕТКАХ.

2.1. Численное решение интегроразностного уравнения субдиффузии в R

2.2. Численное решение интегроразностного уравнения субдиффузии в R

2.3. Численное решение интегроразностного уравнения субдиффузии в R

2.4. Численная реализация стохастической имитационной модели субдиффузии.

2.5. Сравнение численных моделей.

ГЛАВА 3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СУБ ДИФФУЗИИ.

3.1. Описание интерфейса программы для численной реализации субдиффузии с источниками.

3.2. Алгоритм вычисления концентрации методом прямого стохастического моделирования.

3.3. Алгоритм вычисления концентрации методом численной аппроксимации уравнения субдиффузии.

3.4. Сравнение алгоритмов численной реализации субдиффузии.

3.5. Определение среднего квадрата перемещения частиц.

3.6. Программа для построения траекторий стохастического блуждания частиц.

ГЛАВА 4. CTRW-МОДЕЛИРОВАНИЕ СУБДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ ДРОБНОЙ РАЗМЕРНОСТИ.

4.1. Моделирование субдиффузии в поровом пространстве дробной размерности CTRW-моделью субдиффузии на евклидовой решетке.

4.2. Определение ширины диффузионного пакета для процесса субдиффузии в поровом пространстве дробной размерности.

4.3. Оценки параметров перколяционных процессов на основе CTRW-модели.

4.4. Об одной численной реализации фрактального броуновского движения

Современное состояние и актуальность темы исследований.

Поровое пространство многих встречающихся в природе и технике пористых материалов представляет собой сложную геометрическую структуру, моделирование которой возможно только самоподобными или самоаффинными геометрическими множествами дробной размерности, [3,7,9,21,23,24, 47,58]. Диффузия в таких средах является аномальной: для больших значений времени t средний квадрат перемещения растет по закону, [11,49,64], lim <r2{t)> = Data, «5*1, t»TQ где Da - коэффициент диффузии, а - показатель аномальности диффузии, tq определяется в зависимости от задачи.

Случай а< 1 характеризуется запаздыванием роста среднего квадрата перемещения по времени и называется субдиффузией. Субдиффузия наблюдается в ряде таких горных пород, как песчаник, угольные пласты, [3], в средах с аэрогельной структурой, [47], а также торфяниках, [21], и других материалах, [11,24].

В настоящий момент неизвестно, как устроены математические модели аномальной диффузии в средах с поровьгм пространством F дробной размерности. Эти модели должны удовлетворять закону аномальности и обладать тем свойством, что концентрация диффундирующего вещества должна определяться блуэюданием частиц на множестве F дробной размерности с определенными геометрическими свойствами.

Поэтому возникает актуальная задача построения математической модели субдиффузии на множествах F дробной размерности.

Известными математическими моделями аномальной диффузии в настоящее время являются: н

- модель фрактального броуновского движения (ФБД) в R , введенная Б.Мандельбротом, [76];

- модель, описываемая эволюционным уравнением в Rn с дробной производной по времени, [78,82,95];

- модель непрерывного по времени случайного блуждания Continuous Time Random Walk (CTRW-модель), [66,73,74].

Отмеченные модели не содержат постановки задачи определения концентрации диффундирующего вещества как решения какого-либо уравнения или реализации стохастической модели по начальной концентрации и каким-либо геометрическим и физическим характеристикам среды.

Данная диссертационная работа посвящена математическому моделированию и численной реализации моделей субдиффузии в рамках CTRW-модели. Разработана CTRW-модель диффузии на евклидовой решетке с постоянным шагом перемещения и задержками определенного класса. Доказано, что для всех задержек этого класса распределения концентрации являются решениями уравнения CTRW-модели, асимптотически эквивалентными при больших временах, и зависящими от параметров аномальной диффузии Da и а.

Это позволяет строить имитационные модели процессов субдиффузии в конкретных материалах и изучать процесс субдиффузии в зависимости от геометрической характеристики связности их порового пространства.

Сформулируем основные цели исследования и задачи, которые решаются для их достижения.

Цели и задачи исследования. 1. Математическое моделирование процессов субдиффузии на основе CTRW-модели.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- разработка метода выделения случая субдиффузии в CTRW-модели;

- построение модели субдиффузии на евклидовой решетке с постоянным шагом;

- построение прямой имитационной стохастической модели субдиффузии;

- имитирование субдиффузии на множествах дробной размерности в рамках CTRW-модели.

2. Разработка и программная реализация численных моделей процессов субдиффузии. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- разработка численных методов решения уравнения субдиффузии на евклидовой решетке;

- построение экономичных численных схем расщепления для решения интегроразностного уравнения;

- разработка метода прямого стохастического моделирования субдиффузии;

- создание комплекса программ для реализации разработанных численных методов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются: методы теории функций, методы функционального анализа, методы математического моделирования, численные методы, методы теории вероятностей и статистического моделирования.

Научная новизна диссертационной работы. В рамках диссертационного исследования получены следующие новые результаты:

1. Построена CTRW-модель субдиффузии (В), реализующая блуждание пп частиц с постоянным шагом и задержками на евклидовых решетках в R

1,2,3). Для этой модели выведено интегроразностное уравнение динамики концентрации, для которого доказана теорема существования и единственности решения.

2. Для построенной модели субдиффузии (В) найден класс гР функций плотности вероятности задержки, в котором доказана теорема асимптотической единственности концентрации. Установлены необходимые и достаточные условия принадлежности этому классу.

3. Разработаны методы численного решения интегроразностного уравнения

TL субдиффузии на евклидовых решетках в R :

- метод, основанный на дискретизации уравнения субдиффузии («=1,2,3);

- метод, основанный на экономичных численных схемах расщепления ("=2,3).

4. Разработан метод прямого стохастического моделирования субдиффузии п на евклидовых решетках в R (п= 1,2,3).

5. Построенная CTRW-моделъ субдиффузии на евклидовой решетке применена для имитации процесса диффузии в пористых средах дробной размерности с ненулевой связностью.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Математическое моделирование субдиффузии на основе CTRW-модели.

2. Методы численного решения уравнения CTRW-модели субдиффузии и их программная реализация.

3. Метод прямого стохастического моделирования суб диффузии и его программная реализация.

4. Применение CTRW-модели субдиффузии на евклидовой решетке для имитации диффузии в пористых средах дробной размерности с ненулевой связностью.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается:

- принципами построения и критериями применимости CTRW-модели для описания субдиф фузии;

- применением аналитических методов обоснования сходимости решения численных схем к решению интегрального уравнения субдиф фузии;

- обоснованием сходимости стохастических реализаций CTRW-модели к решению интегрального уравнения субдиффузии;

- подтверждением аналитических выводов результатами компьютерного моделирования.

Теоретическая значимость результатов:

- разработан новый подход моделирования субдиффузии в рамках CTRW-модели;

- установлены необходимые и достаточные условия реализации процесса субдиффузии на евклидовых решетках с точностью до асимптотической эквивалентности;

- построена численная аппроксимация уравнения CTRW-модели субдиффузии и доказана ее сходимость;

- обоснована корректность метода прямого стохастического моделирования субдиффузии;

- выведены необходимые и достаточные условия реализации модели субдиффузии начальной задачей для неоднородного дифференциального уравнения с дробной производной по времени;

- разработаны новые методы численного решения неоднородного дифференциального уравнения с дробной производной по времени, описывающего субдиффузионные процессы;

- построена имитационная CTRW-модель субдиффузионного процесса на множестве дробной размерности с ненулевой связностью.

Практическая ценность результатов. Для построенной математической модели субдиффузии создан комплекс программ, реализующий разработанные методы численного моделирования субдиффузии, который позволяет:

- имитировать процесс субдиффузии при больших значениях времени в материалах со сложной геометрией порового пространства по двум характеристикам: коэффициенту диффузии и параметру связности (к таким материалам относятся торф, уголь, графит, некоторые виды песчаника);

- установить значения функции концентрации в процессе субдиффузии с источниками;

- определить ширину субдиффузионного пакета в зависимости от времени;

- определить основные параметры перколяционного процесса, описываемого CTRW-моделью субдиффузии.

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на: 9-й Российско-Корейской международной конференции KoRus

2005; Всероссийских научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации.» НТИ-2003, НТИ-2005, НТИ-2006, НТИ-2007; 63-й научно-технической конференции НГАСУ - 2006, Всероссийском семинаре «Современные проблемы теоретической и прикладной механики», 2006; научных семинарах профессора В. А. Селезнева, НГТУ; научных семинарах профессора В.Я. Рудяка, НГАСУ.

Публикации. По результатам диссертационных исследований опубликовано 14 работ, в том числе: 2 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендуемый ВАК РФ, 8 статей в сборниках научных трудов и 4 работы в сборниках трудов конференций.

Структура работы. Диссертация изложена на 162 страницах, и состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованных источников (97 наименований) и 1 приложения и содержит 33 рисунка и 8 таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными целями исследований получены следующие основные результаты. п

1. Построена CTRW-модель субдиффузии на евклидовых решетках в R п= 1,2,3). Для нее выведено интегроразностное уравнение, для которого доказана теорема существования и единственности решения.

2. Для CTRW-модели субдиффузии на евклидовых решетках построен такой класс функций плотности вероятности задержки, что все функции концентрации, соответствующие этим плотностям и удовлетворяющие одному и тому же начальному условию, эквивалентны при £>>0 (асимптотическая единственность).

3. Разработаны методы численного решения интегроразностного п уравнения субдиффузии на евклидовых решетках в R («= 1,2,3), с использованием экономичных численных схем.

4. Разработан метод прямого стохастического моделирования п субдиффузии на евклидовых решетках в R (я=1,2,3), и показано, что функция концентрации, полученная в результате этого метода, при увеличении количества блуждающих частиц сходится по вероятности к решению уравнения субдиффузии на евклидовых решетках.

5. Построена имитационная CTRW-модель субдиффузионного процесса на множестве дробной размерности с ненулевой связностью, и указаны ее возможные применения.

6. Разработан комплекс программ для решения следующих задач:

- численная реализация субдиффузии на евклидовых решетках в Rn, п-1,2,3, методом прямого стохастического моделирования;

- численная реализация субдиффузии с источниками и без источников на евклидовых решетках в Rn, п—1,2,3, методом дискретизации уравнения субдиффузии с построением экономичных схем;

- определение зависимости среднего квадрата перемещения частиц в процессе субдиффузии с источниками от времени и построение траекторий перемещения частицы.

1. Архинчеев В.Е. Случайное блуждание по иерархическим гребешковым структурам/ЖЭТФ.- 1999, т. 115, в.4.-с. 1285-1296.

2. Бахвалов Н.С. численные методы / М.: Наука 1975 - 632с.

3. Булат А.Ф., Дирда В.И. Фракталы в геомеханике / К.: Наукова думка, 2005. 357 с.

4. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии / М.: Высшая школа, 1990. 380 с.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / М.: Наука. 1981. -512с.

6. Годунов С.К. Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М.:Наука 1973.-400с.

7. Гольдштейн Р.В., Мосолов А.Б. Фрактальные трещины / Прикладная математика и механика. — 1992, т. 56, № 4. с. 663-671.

8. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования / М.: Наука. 1971. - 288 с.

9. Динариев О.Ю. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин / Механика жидкости и газа. 1990, №5. - с. 66-70.

10. Закревская Н.С., Ковалевский А.П., Селезнева Пехтерева. JI.B. Процесс Сопа / Научный вестник НГТУ. 2004, №3(18), - с.13-19.

11. Зеленый JI.M., Милованов А.В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики / УФН. 2004, т. 174, № 8. - с. 809-852.

12. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения / М.: Наука, 1983.-304с.

13. Золотарев В.М., Учайкин В.В., Саенко В.В. Супердиффузия и устойчивые законы/ ЖЭТФ. 1999, т. 115,- с. 1411-1425.

14. Зосимов В.В., Лямшев JI.M. Фракталы в волновых процессах / УФН. -1997, т. 165, №4.-с. 361-401.

15. Кобелев В.Д., Кобелева О.Д., Кобелев Я.Д., Кобелев Л.Я. О диффузии через фрактальную поверхность / ДАН. 1999, т. 355, №3,- с. 326-327.

16. Кобелев Я.Д., Кобелев Л.Я., Романов Е.П. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии / ДАН. 1999, т.369, №3,- с. 332-333.

17. Кобелев В.Д., Романов Е.П., Кобелев Я.Д., Кобелев Л.Я. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве / ДАН. 1998, т. 361, №6,-с. 755-758.

18. Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я. Релаксационные и диффузионные процессы во фрактальных пространствах / Изв. Акад. Наук. 1998, т. 62, №12. - с. 2401-2408.

19. Кокс Д.Р., Смит В.Л. Теория восстановления / М.: Сов. радио, 1967. -300 с.

20. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. / Москва. Постмаркет. — 2000. 352с.

21. Кулак М.И. Фрактальная механика материалов / Мн.: Выш. шк., 2002. -304 с.

22. Малыпаков А.В. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией / Инженерно-физический журнал. 1992, т. 62, № 3. - с. 405-410.

23. Мосолов А.Б., Динариев О.Ю. Фракталы, скейлы и геометрия пористых материалов / ЖТФ. 1988, т. 58, в. 2. - с. 233-238.

24. Мосолов А.Б., Динариев О.Ю. Фрактальные модели пористых сред / ЖТФ. 1987, т. 57, в. 9. - с. 1679-1685.

25. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение / М.:Физматлит. -2003.-272с.

26. Нигматуллин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация / ТМФ 1992, т.90, №3 - с.354-368.

27. Пехтерева Л.В. Моделирование блуждания на множествах дробной размерности в рамках CTRW-модели / НАУКА. ТЕХНОЛОГИИ.

28. ИННОВАЦИИ. Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. Часть 1. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. - с. 142-145.

29. Пехтерева JI.B. CTRW-имитирование субдиффузионных процессов на фрактальных множествах / Сборник научных трудов НГТУ. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007, № 4(50). с. 63-68.

30. Пехтерева Л.В., Селезнев В.А. Источники в CTRW-модели субдиффузии / Современные проблемы теоретической и прикладной механики: тезисы докладов Всероссийского семинара, Новосибирск, 10-12 апреля 2007г. — Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин). 2007. - стр. 66-67.

31. Пехтерева Л.В., Селезнев В.А Модель субдиффузии с фиксированной длиной пробега частиц при наличии источников. // Сборник НГАСУ (Сибстрин).- Новосибирск. 2007. - с. 27-31.

32. Саичев А.И., Уткин С.Г. Модели дробной диффузии / Актуальные проблемы статистической радиофизики. 2002, т. 1, № 1. - с. 5-43.

33. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987.-688 с.

34. Селезнев В.А., Пехтерева Л.В. О численных реализациях субдиффузионного процесса переноса / Научный вестник НГТУ. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006, № 4(25). с. 155-166.

35. Селезнев В.А., Селезнева Пехтерева. Л.В. К вопросу о численной реализации субдиффузионного процесса переноса / Тезисы докладов 63-й научно-технической конференции НГАСУ (Сибстрин).-Новосибирск. - 2006. - с. 66-67.

36. Селезнева Пехтерева. JI.B. К вопросу о реализации фрактальным броуновским движением динамики курсов акций / Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005, № 1(39). - с. 151-154.

37. Селезнева Пехтерева. JI.B. Метод пересечения нуля для модели случайных фаз построения ФБД / Сборник научных трудов НГТУ. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004, № 4(38). с.35-40.

38. Селезнева Пехтерева. JI.B. Метод случайных фаз построения ФБД / Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004, № 1. -с. 49-54.

39. Селезнева Пехтерева. JI.B. О преобразовании уравнения с дробной производной по времени к интегроразностному уравнению / Сборник научных трудов НГТУ. 2005, № 3(41). - с. 53-58.

40. Селезнева Пехтерева. JI.B. Об аппроксимации интегроразностного уравнения субдиффузии / НАУКА. ТЕХНОЛОГИИ. ИННОВАЦИИ. Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. Часть 1.-е. 282-283.

41. Селезнева Пехтерева. Л.В. Численное моделирование процесса субдиффузии / Сборник научных трудов НГТУ. 2006, № 1(43). - с. 99-104.

42. Селезнева Пехтерева. Л.В. Численное моделирование процессалсубдиффузии в R и R / Сборник научных трудов НГТУ. -2006, № 3(45). с.43-48.

43. Сибатов Р.Т., Учайкин В.В. Дробно-дифференциальная кинетика переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках / ФТП. 2007, т. 41, вып.З, с.346-351.

44. Сибатов Р.Т., Учайкин В.В. Одномерное фрактальное блуждание с конечной скоростью свободного движения / Письма в ЖТФ. 2004, т.30, -с. 27-33.

45. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров / М.: Наука, 1991.- 136 с.

46. Соболев C.JI. Локально-неравновесные модели процессов переноса / УФН. 1997, т. 167, №10. - с. 1095-1106.

47. Соколов И.М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания / УФН. 1986, т. 150, в. 2. - с. 221-255.

48. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы / УФН. 2003, т. 173, №. 8. - с. 847-876.

49. Учайкин В.В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность / ЖТФ. 1998, т. 68, №1- с. 138-139.

50. Учайкин В.В. Субдиффузия и устойчивые законы / ЖЭТФ. 1999, т. 115, в. 6.-с. 2113-2132.

51. Учайкин В.В. К теории аномальной диффузии частиц с конечной скоростью свободного движения / Теор. и мат. физика, 1998. т.115, №1. -с. 154-160.

52. Учайкин В.В. Фрактальные блуждания и блуждания на фракталах / ЖТФ. 2004, т.74, в.7. - с.123-126.

53. Учайкин В.В., Саенко В.В. К теории классической мезодиффузии/ ЖТФ. -2001, т. 71, №2.- с. 8-15.

54. Федер Е., Фракталы,: пер. с англ. М.:Мир. - 1991. - 254 с.

55. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 2. Пер. с англ.: Прохоров Ю.В. / М.: Мир. 1967. -752 с.

56. Фракталы в физике: Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике, МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июня, 1985: пер. с англ. / под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. М.: Мир, 1988. - 672 с.

57. Чукбар К.Б. Стохастический перенос и дробные производные / ЖЭТФ.1995, т.108. с. 1875-1884.

58. Шхануков М. X. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной / ДАН. 1996, т.348. с. 746-748.

59. Шхануков-Лафишев М. X., Нахушева Ф.М. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка и сеточные методы их решения / Неклассические уравнения математической физики. — Новосибирск: изд-во ИМ СО РАН 1998. - с. 37-44.

60. Baeumer В., Meerschaert М.М., Mortensen J. Space-time fractional derivative operators / Proc. Am. Math. Soc. 2005, vol. 133 - p. 1-10.

61. Barkai E., Metzler R., Klafter J. From continuous time random walks to the fractional Fokker-Planck equation / Phys.Rev.E. 2000, vol. 61 - p. 132-138.

62. Ben-Avraham D., Havlin S. Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems / London: Cambridge University press. 2000 - 312p.

63. Ben-Avraham D., Havlin S. Diffusion on percolation clusters at criticality / J. Phys. A. 1982, vol. 15. - p. L691-L697.

64. Blumen A., Klafter J., White B.S., Zumofen G. Continuous-Time Random Walks on Fractals / Phys. Rev. Lett-1984, vol.53, №14. -p.1301-1304.

65. Bouchaud J.P., Georges A. Anomalous diffusion in disordered media/ Phys. Rep.-1990, vol. 195.-p. 127-287.

66. Compte A. Stochastic foundations of fractional dynamics / Phys. Rev. E.1996, vol. 53, №4. p.4191-4193.

67. Fabio D.A., Aarao Reis. Diffusion on regular fandom fractals / J. Phys. A. -1996, vol. 29.-p. 7803-7810.

68. Gefen Y., Aharony A. Alexander S. Anomalous diffusion on percolating clusters / Phys. Rev. Lett. 1983, vol. 50, №1. - p. 77-80.

69. Given J.A., Mandelbrot B.B. Diffusion on fractal lattices and the fractal

70. Einstein relation / J. Phys. B. 1983, vol. 16. - p. L565-L569.

71. Hilfer R. Transport and relaxation phenomena in porous media / Advances in Chem. Physics. 1996, vol.XCII. - p. 299-424.

72. Klafter J., Blumen A., Shlesinger M.F. Stochastic pathway to anomalous diffusion / Phys. Rev. A. 1987, vol 35, №7. - p. 3081-3085.

73. Klafter J., Silbey R. Derivation of the Continuous-Time Random-Walk Equation / Phys. Rev. Lett. 1980, vol.44, №2. -p.55-58.

74. Liuy F., Shen S., Anhy V., Turner I. Analysis of a discrete non-Markovian random walk approximation for the time fractional diffusion equation / Phys. Rep.- 2004, vol. 398. p.253-259.

75. Mandelbrot B.B. Van Ness J.W. Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications / SIAM Review. 1968, vol.10, №.4. - p. 422-437.

76. Metzler R., Klafter J. Subdiffusive transport close to thermal equilibrium: From the Langevin equation to fractional diffusion / Phys. Rev. E. 2000 vol.61, №6.-p.6308-6311.

77. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach / Phys. Rep. 2000, vol. 339. - p. 1-77.

78. Metzler R., Klafter J., Sokolov I.M. Anomalous transport in external fields: Continuous time random walks and fractional diffusion equations extended / Phys. Rev. E- 1998, vol.58, №2, -p.1621-1633.

79. Montroll E.W., Weiss G.H. Random walks on lattices. II./ J. Math. Phys. -1965, vol. 6, №2-p. 167-181.

80. Montroll E.W., Shlesinger M.F. The wonderful world of random walks / Stud. Stat. Mech. 1984, vol.11.

81. O'Shaughnessy В., Procaccia I. Analytical Solutions for Diffusion on Fractal Objects / Phys. Rev. Lett 1985, vol.54, №5, - p.455-458.

82. O'Shaughnessy В., Procaccia I. Diffusion on fractals / Phys. Rev. A. 1985, vol. 32, №5.-p. 3073-3083.

83. Peitgen H.-O., Saupe D. Ed. The Science of Fractal Images / Springer1. Verlag, New York-1988.

84. Pfister G., Scher H. Dispersive (non-Gaussian) transient transport in disordered solids. Adv. Phys. - 1978. - V.27. -N.5.-p.747-798.

85. Rammal R., Toulouse G. Random walks on fractal structures and percolation clusters / J. Physicue Lettres. - 1983, vol. 44. - p. L-13 - L-22.

86. Scher H., Lax M. Stochastic Transport in a Disordered Solid. I. Theory / Phys. Rev. В 1973, vol. 7, №10. - p. 4491-4502.

87. Scher H., Lax M. Stochastic Transport in a Disordered Solid. II. Impurity Conduction / Phys. Rev. В 1973, vol.7, №10. - p. 4502-4519.

88. Scher H., Montroll E.W. Anomalous transit-time dispersion in amorphous solids. Phys. Rev. B. - 1975, vol.12, N.6.-p.2455-2477.

89. Scher H., Shlesinger M.F. , Bendler J.T. Time-scale invariance in transport and relaxation. Physics Today - 1991. - January - p.26-34.

90. Selezneva Pehtereva. L.V. The Stochastic Model of Approximation of the Solution of Subdiffusion Equation / Proceed. 9-th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology KoRus 2005, 26.06.05-02.07.05-p.100-103.

91. Uchaikin V.V. Montroll-Weiss Problem, Fractional Equations and Stable Distributions / Int. J. Theor. Phys. 2000, vol. 39. - p. 2087-2105.

92. Voss R.F. Random fractal forgeries. In: Fundamental algorithms in Computer Graphics / 1985, Springer-Verlag, Berlin, -p.805-835.

93. Weiss G.H., Havlin S. Some properties of a random walk on a comb structure / Physica A. 1986, vol. 134. - p. 474-482.

94. Wyss W. The fractional diffusion equation. J. Math. Phys. - 1986. - V.27. -N.ll.-p. 2782-2785.

95. Zaslavsky G.M., Saichev A.I. Fractional kinetic equations: solutions and applications / Chaos. 1997, vol.7, № 4. - p. 753-764.

96. Zumofen G., Klafter J. Scale-invariant motion in intermittent chaotic systems /Phys. Rev.E.- 1993.-V.47.-p. 851-863.