автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аномальная диффузия в простых физических моделях

академия наук

Институт Проблем Безопасного Развития Атомной Энергетики

На правах рукописи

у?

Л

Драников Илья Леонидович

Аномальная диффузия в простых физических моделях

05 13 18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ, 01 04 02 Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003160569

Москва 2007

003160569

Работа выполнена в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук

Научные руководители

академик РАН |Дыхне Александр Михайлович!, д ф -м н , профессор Кондратенко Петр Сергеевич

Официальные оппоненты

д ф -м н , профессор Напартович Анатолий Петрович, д ф -м н, профессор Крайнов Владимир Павлович

Ведущая организация Институт космических исследований РАН, г Москва

диссертационного совета Д 002 070 01 при Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук по адресу 115191, г. Москва, ул Б Тульская, д 52

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук

Автореферат разослан

V

Защита состоится

на заседании

Ученый секретарь диссертационного совета к т н

В Е Калантаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многочисленные исследования показали, что перенос примеси в сильно неоднородных средах часто не описываются классическим уравнением диффузии [1]. При этом показатель степени в зависимости от времени размера области локализации частиц

отличается от классического значения у -1/2 Такие процессы называют аномальной диффузией В случае, когда у >1/2, мы имеем дело с супердиффузией, а при у < 1/2 - с субдиффузией. В последние десятилетия интерес к процессам аномального переноса продолжает расти в связи с неклассическими задачами, возникающими в физике полупроводников, физике плазмы, астро- и биофизике, медицине, гидрогеологии, экономике и др

Несмотря на столь широкую распространённость и сравнительно давнюю историю исследований, в аномальной диффузии остается еще множество нерешенных вопросов Во многих случаях остается не выявленной связь между характеристиками среды и типом режима переноса Не ясен вопрос о структуре асимптотик ("хвостов") концентрации на больших расстояниях (при г » /?(*)) Например, в некоторых математических постановках задач об аномальной диффузии они являются степенными Между тем, знание структуры концентрационных хвостов бывает исключительно важно для практических приложений, например, для оценок надежности радиоактивных захоронений в геологических средах Разница степенного и гауссова хвоста в удаленной от источника области, существенной для жизнедеятельности людей, может достигать многих порядков величины Поэтому исследование аномальных процессов переноса в физических моделях является актуальным как с научной, так и практической точки зрения

Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование закономерностей аномального переноса примеси в простых физических моделях Основными задачами диссертации являются

1. Установление закономерностей переноса в модели случайной адвекции-диффузии в зависимости от корреляционных свойств среды (в отсутствие и при наличии дрейфа) 2 Исследование режимов переноса в регулярно-неоднородной контрастной среде в различных интервалах времени (задача Дыхне) Научная новизна работы. Автором впервые

1 Развита строгая аналитическая теория переноса в модели случайной адвекции с дальнодействующими корреляциями скорости

2 Показано, что асимптотики концентрации примеси в модели случайной адвекции-диффузии носят экспоненциальный характер, в отличие от степенных асимптотик в модели дробной диффузии

3 Установлено, что пространственные флуктуации коэффициента классической диффузии не влияют на тип режима переноса примеси в модели случайной адвекции-диффузии

4 Установлено, что в модели резко контрастной среды с одиночной трещиной существует широкий интервал времени, в котором перенос примеси происходит в режиме субдиффузии.

5 Выявлены режимы диффузии в контрастной системе, моделирующей множество трещин в слабо проницаемой матрице

Практическая ценность работы состоит в следующем

1. Полученные в диссертации результаты могут стать элементами для построения общей теории переноса примеси в геологических средах

2 Установленные закономерности дают основу для проведения качественных оценок по надежности захоронений радиоактивных отходов в геологических структурах

ч.З Полученные результаты могут быть использованы для модернизации компьютерных кодов, предназначенных для моделирования процессов переноса в геологических средах

Личный вклад автора. Соискателем лично проведены

1 Масштабный анализ (скейлинг) в макроскопической формулировке задачи о стохастической адвекции

2 Диаграммное разложение и его анализ в задаче о случайной адвекции-диффузии

3 Исследование процессов переноса примеси в резко контрастной системе, моделирующей одиночную сильно проницаемую трещину в слабо проницаемой матрице

4 Анализ процессов переноса в модели системы трещин с различными пространственными характеристиками

Защищаемые положения. На защиту выносится

1 В модели случайной адвекции асимптотика концентрации примеси на больших расстояниях в режиме супердиффузии определяется экспонентой, убывающей быстрее, чем в классической диффузии

2 Пространственные флуктуации коэффициента диффузии не приводят к изменению режима переноса

3 В модели случайной адвекции при наличии дрейфа с ростом времени может происходить смена режимов переноса от супердиффузии к менее быстрому анизотропному режиму супердиффузии или анизотропной классической диффузии Во всех случаях асимптотики кон-

центрации на больших расстояниях имеют экспоненциальный характер.

4 В регулярно неоднородной контрастной среде перенос примеси на ранних временах идет в режиме быстрой классической диффузии, на интервале промежуточных времен - в режиме субдиффузии, а на самых поздних временах - медленной классической диффузии При достаточно сильном контрасте свойств среды верхняя граница субдиффузионного интервала времени может оказаться практически недостижимой, и тогда субдиффузия будет играть роль асимптотического режима

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на международном симпозиуме "International Groundwater Symposium" (Беркли, США, 2002), международной конференции "Groundwater in Fractured rocks" (Прага, Чешская Республика, 2003), международном конгрессе "World Water & Environmental Resources Congress" (Филадельфия, США, 2003), на ежегодных научных конференциях стипендиатов ИБРАЭ РАН (2002,2003)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении изложены вопросы актуальности, научной новизны, практической ценности, основных целей и задач диссертационной работы, сформулированы выносимые на защиту положения Также во Введении приведен краткий исторический обзор теоретических исследований процессов аномального переноса

Глава 1 посвящена модели случайной адвекции в стационарном поле скоростей с дальнодействующими корреляциями Модель основана на простейшем физическом механизме, способном привести к супердиффузионному режиму переноса В главе проанализировано поведение концентрации примеси во всем диапазоне изменения координат и времени Особое внимание уделено структуре асимптотики концентрации на больших расстояниях Методом исследования является анализ масштабных размерностей

Отмечено, что доминирующим механизмом переноса примеси в скальных породах является адвекция за счет инфильтрации влаги по трещинам Поскольку геометрия трещин является фрактальной, то возникают предпосылки для дальнодействующих корреляций Поэтому задачи, решаемые в этой и следующей главах, отражают один из ключевых моментов, определяющих перенос примесей в геологических средах

В Разделе 1 1 дается постановка задачи Основу модели составляет уравнение для концентрации примеси c{r,t)

— + V(vc) = 0 (1)

dt v '

Здесь v = v(r) — скорость адвекции Величина v(r) является случайной функцией координат, причем < v(r)>= 0, где < v(r) > — среднее значение по ансамблю реализаций Поле скоростей удовлетворяет уравнению несжимаемости

divv(r) = О (2)

Предполагается, что корреляции флуктуаций скорости на больших расстояниях убывают по степенным законам В частности, парный коррелятор

^}(rl-r2)=<vM)vJ(P2)> (3)

обладает следующими свойствами

ч2 h

Ktm

ос

V2\- | при г » а, V1 при г<а.

(4)

Здесь /г > 0, а - параметр длины, имеющий смысл нижней границы фрактального интервала, V - параметр, имеющий размерность скорости Таким образом, при г» а величина является однородной

функцией своего аргумента порядка -2И Аналогично, и-точечный коррелятор в соответствующей области своих переменных является однородной функцией порядка -пк

В Разделе 1 2 дан вывод основных соотношений, вытекающих из анализа группы масштабных преобразований Практический интерес представляет распределение концентрации, усредненное по ансамблю реализаций среды, с (г, ()-< с(р, ?)> Для него справедливо стандартное макроскопическое уравнение

8с

— + «&»£ = 0 (5)

от

Здесь д(г, г) - усредненная плотность потока частиц примеси В силу линейности задачи и принципа причинности имеет место соотношение

-СО ]

Здесь и далее рассматривается задача с начальным условием с(г,0) = с^(г) в отсутствие источника Величины с (г,/) и связаны

соотношением

с(г,/) = \с1ъг'0{г - Г,1)с{0){г') (7)

Для функции Грина С (г, /) вводится представление Фурье-Лапласа

р}= ]с!1 ¡с/3Ре-р'-'*Ра(?, /) (8)

о

Из требования устойчивости решений уравнения переноса вытекает условие на функцию Грина

при 1т$,р)= 0, р> 0 (9)

В принятой модели (см. (4)) не существует пространственного масштаба, характеризующего поведение системы при г »а Это обстоятельство позволило воспользоваться идеями теории критических явлений [2] и потребовать масштабной инвариантности макроскопического уравнения переноса на расстояниях г » а Иными словами это уравнение должно переходить само в себя при преобразованиях пространственного масштаба

г

При этом величины, входящие в (5) и (6), преобразуются согласно

А -» Я~Аа А (10)

Показатель степени ЛА называется масштабной размерностью величины А

Из сопоставления уравнений (1), (5) и соотношений (4) и (6) найдены масштабные размерности величин v, с, С, /, /

Л„=/г, АС=АС=3, А/=2И + 3, А, =-(1 + й) (11)

В Разделе 13 анализируются общие характеристики поведения концентрации при различных значениях масштабной размерности скорости И Отдельно рассмотрены случаи й > 1, /г<1 и й = 1

При к > 1 перенос примеси определяется свойствами среды на малых масштабах г 5 а и потому происходит в режиме классической диффузии с коэффициентом Б ~Уа

При /г < 1 знание масштабных размерностей (11) позволило представить функцию Грина в автомодельном виде

Здесь 77 = {¿»/(Ра*)} |+А Функция ф{т]) обладает следующими свойствами В пределе 77 «1 она имеет регулярное разложение по целым степеням, начиная с члена - г)

00

пРи 1<<х

И=1

При больших значениях аргумента функция ф{т]) имеет вид

1+й

ф{г)) ~т] 2 при 77» 1 (14)

При некотором вещественном отрицательном значении переменной т] ~ г)ь <0 функция ф(т]) имеет точку ветвления, вблизи которой

пРи Ь-%1«1 (15)

Следствием (15) и (9) является то, что выражение

1 + Ф{п) имеет нуль при

т] = г}0,где 770 <0 и |%!<|%|

На временах, когда размер основной области локализации примеси много больше первоначального размера, »Я0 (Л0=^?(0)),

концентрация имеет вид

где N = |й?3г с(г,г) — полное число частиц примеси,

(17)

Функция Ф{§) в (16) определяется выражением

ехр-| р + р

1+Л

_ ^ /V I * А I / I /.«,(.. Ш1

Р* +/00 1-й оо

1 у-л-^ 1-Я 00 7 л

£ /л ,« 2Я7 1(2я)2г 1 + и обладает свойствами

<Р(0)~1, ^0. (19)

Согласно (16) и (17) показатель степени в зависимости размера области локализации от времени, /?(/) ос , равен у - 1 /(1 + /г) При Л < 1 имеем у > 1/2, и, следовательно, в этом случае перенос происходит в режиме супердиффузии

Значение масштабной размерности скорости А = 1 соответствует границе между супердиффузией и классической диффузией Здесь перенос примеси идет в режиме логарифмически модифицированной классической диффузии

с(г, = Л^яО/ 1п,/2 (б* / а)}-"1 ехр{- г 2/[Ш 1п1/2 (5?/а)]}, В~Уа

(20)

В Разделе 1 4 получены асимптотические выражения для концентрации примеси на расстояниях, больших по сравнению с размером области локализации, г » /?(/), то есть при »1

При масштабных размерностях скорости /г > 1 и /г = 1 асимптотическое поведение описывается гауссовой функцией с (г, г) ос ехр\-%21. При этом

£ = г/лАшг, если А>1,и # = г/^4Ши1/2(&/а) при Л = 1

Асимптотику концентрации при й < 1 получаем на основе соотношений

(16), (18), смещая контур интегрирования по комплексной переменной к, с вещественной оси в верхнюю полуплоскость и применяя метод перевала по переменной р с учетом свойств функции ф(г/), установленных в предыдущем разделе Результат состоит в следующем

1+А Л

3/2

^3(1-2Л)/2Л ехр

где

е = 4

л/Ьо

1 + А

2к 1

РМЫ'

■Ие А

с1т]

(21)

7=70

Поскольку при А < 1 имеем (1 + /г) / /г > 2 , хвост концентрации согласно (21) имеет вид экспоненты, более сжатой, чем гауссиана Другими словами, концентрация в режиме супердиффузии убывает даже быстрее, чем при классической диффузии Этот вывод резко отличается от выводов дробно-диффузионной (с дробной производной по пространственным координатам) модели, где хвосты ведут себя степенным образом

Рис. 1. Асимптотики концентрации в трех моделях случайной адвекции при к = 0 5 , классической диффузии и дробной диффузии

На Рис 1 изображены асимптотические зависимости концентрации в исследованной здесь нами модели случайной адвекции, а также в моделях дробной диффузии и классической диффузии Видно, что различие между предсказаниями разных моделей для концентрации на больших расстояниях г » (то есть при £, »1) достигает многих порядков

В Главе 2 исследована модель переноса примеси, в которой случайная адвекция как физический механизм переноса дополнена диффузией, в том числе с составляющей, флуктуирующей в пространстве, а также дрейфом примеси с постоянной скоростью В такой постановке задача перестает быть масштабно инвариантной Поэтому для ее решения вместо анализа масштабных размерностей используется аппарат фейнмановских диаграмм

В Разделе 2 1 сформулирована модель В ее основе лежит уравнение для концентрации примеси

^ + у(ус - пчс) = 0 (21)

Здесь и £>(?) представляют собой стационарные поля скорости

адвекции и коэффициента диффузии, соответственно Функция как и

ранее, удовлетворяет уравнению несжимаемости (2) Однако теперь считается, что среднее значение этой функции по ансамблю реализаций отлично от нуля Соответственно, величина у(г) разбивается на сумму двух слагаемых, одно из которых и описывает дрейф с постоянной скоростью и равно среднему значению у(р) по ансамблю реализаций, а второе V' есть случайная составляющая, которая при усреднении обращается в нуль

у(Г)=Й + У'(Г), и =< у(г) >, <у'(?)>= О (22)

Точно так же коэффициент диффузии О (г) состоит из среднего значения I) и случайной составляющей £>'(г), обращающейся в нуль при усреднении

о(г) = Т) + Б'(г), Ъ =< £>(г) >, < 0'(?)>= 0 (23)

Предполагается, что ни £> однородны в пространстве и что корреляционные свойства случайной составляющей скорости Р'(г) совпадают с заданными в предыдущей главе для функции (см (4)) Символ к теперь обозначает масштабную размерность величины у'(г) Считается, что случайная составляющая коэффициента диффузии £>'(г) обладает корреляционными свойствами, аналогичными (4) Масштабная размерность величины £>'(?) обозначается / Поэтому {п + т) -точечная корреляционная функция, получающаяся усреднением произведения п множителей у' и т множителей О' (все множители с разными аргументами), является однородной функция (пИ + т/) -го порядка

В Разделе 2 2 описана адекватная задаче версия "крестовой" диаграммной техники (см [3])

В представлении Фурье-Лапласа функция Грина С^с, связывающая

усредненную концентрацию в текущий момент времени с концентрацией в начальный момент (см (7)), выражается через поляризационный оператор

р) алгебраически

$./>}=-~ ' -(24)

1 ; р + гкй + Ик2 -Щ,р)

Сам же поляризационный оператор представляется в виде суммы бесконечной последовательности неприводимых скелетных диаграмм

о

м(к,р) V + *( к + (25)

+ X W M V + ~-rn WW » +.

Здесь горизонтальные линии соответствуют функции G, кресты отвечают оператору возмущения

T = + (26)

дх, дх, ох,

а пунктирные линии объединяют кресты, относящиеся к одному из кумулянтов, разложение по которым составляет существо процедуры усреднения по ансамблю реализаций После подстановки равенства (24) в диаграммное разложение (25) последнее превращается в интегральное уравнение для

функции м{к,р)

Далее в этом разделе эффективность диаграммной техники проиллюст-рирЪвана на упрощенном варианте модели, в котором отсутствуют случайная составляющая диффузии и дрейф (£>'(?) = 0, и = 0 ) Дано диаграммное доказательство результатов Главы 1 Показано, что присутствие классической диффузии с независящим от координат коэффициентом, в дополнение к случайной адвекции, не приводит к изменению режима переноса

В Разделе 2 3 проанализирована роль случайной диффузии Путем оценки интегралов, описывающих вклад диаграмм произвольного порядка, получен вывод о том, что при h < 1 случайная составляющая диффузии не приводит к изменению режима переноса Она может лишь дать перенормировку эффективного коэффициента диффузии при масштабной размерности случайной скорости h > 1

Раздел 2 4 посвящен анализу задачи о случайной адвекции при наличии дрейфа с постоянной скоростью и С учетом выводов предыдущего раздела, положены равными нулю как случайная, так и средняя величины коэффициента диффузии Рассматривается нетривиальный случай, когда масштабный индекс скорости меньше единицы, h < 1 Считается, что дрейфовая скорость много меньше флуктуационной, и «V При выводе сделан переход в сопутствующую систему координат

г ->r' = f-ût, м{]с,р)-^м{к,р'),

p-*p' = p + ikû, g{*, р}-> р')=[р'~ м(к, р')]4

Свойства поляризационного оператора выводятся путем анали-

за диаграммного разложения (25) Наличие дрейфа приводит к возникновению характерного времени t, (и связанного с ним волнового вектора к♦), при котором длина дрейфа ш сравнивается с размером области локализации примеси 7?(/) = (Гйг/,/)'/('+/г> при и = 0 (см (17))

1,=(а/ ир / и)ф, к, = (и*. )"' = а~] (и IV) (27)

Путем анализа диаграммного разложения (25) установлены следующие свойства поляризационного оператора'

Й(к, р')= -Д7к1к1, вч ~ ик;1

1 (28) при к «к,, — < Л< 1,

2

м(к,р')= -р'у/(г],т), т]-{к/к*)2(ик, /р')2{'~''}, т = к/к

1 (29) при к «к*, 0 < А< —,

2

м(к,р') = -Ъ к 1к] 1пк/шах(Аг, ^р'к,!и\ Ц, ~ик;1

! (30)

при к «к,, Ь = —

Квадратичные формы Оук,к} и Оцк1к) в (28) и (30) являются положительно определенными, а симметрические тензоры Бц и Ву приводятся к диагональному виду в системе координат, одна из осей которой направлена вдоль вектора й (при этом два главных значения, соответствующие перпендикулярным вектору и компонентам, совпадают) Функция у/{ц,т) обладает свойствами, аналогичными свойствам функции ф{г]) из Главы 1

Поведение концентрации в сопутствующей системе таково На малых временах, ^«/., свойства концентрации совпадают с найденными в Главе

1 для случая и = 0

Режимы переноса примеси на больших временах, ?» , различаются в зависимости от того, в каком интервале лежит масштабный индекс случайной составляющей скорости. 1 / 2 < А < 1, 0 < /г < 1/ 2 , или он равен 1 / 2

При 1/2 < к <1 перенос идет в режиме анизотропной классической диффузии:

с (F', t) = #(4^|det 11/3 /)"3/2 ехр{- Г}, r = {D-'ry)/4t При 0 < h < 1 / 2 реализуется режим супердиффузии

д-* - Г

(32)

* = Rit) = ut.{tittyh, п

R{t) г

Функция п) обладает свойствами 1, ^(f ,й|_ -»О

Асимптотическое поведение концентрации (при Ç » 1 ) дается выражением

I 1 -h J (33)

где. tjq (й) - корень уравнения 1 + у/{г/0 (й), й)=0, А(п) ~ 1

При А = 1/2 осуществляется режим логарифмически модифицированной классической анизотропной диффузии

/ ___ 11 / 3 \-3/2

с(?',t) = ЛП 4ягdetD,k t1п(//?»)) exp(-Г),

' | ' "Ч''1 }. (34)

г = (д;'г/г;)/(

Таким образом, при /г < 1 и наличии дрейфа со средней скоростью и в модели случайной адвекции возникает характерное время , при котором происходит смена режимов переноса В интервале I < и , на ранних временах, перенос идет в режиме супердиффузии, свойственном данной модели в отсутствии дрейфа На поздних временах, тип режима зависит от

значения масштабного индекса И При 1/2 </г < 1 он соответствует классической диффузии, при 0< А<1/2 - супердиффузии (менее быстрой, чем при /</,), а при А = 1 / 2 - логарифмически модифицированной классической диффузии Зависимость от времени размера области локализации примеси при наличии дрейфа условно изображена на Рис 2

Рис 2 Зависимость от времени размера области локализации примеси в модели случайной адвекции при наличии дрейфа

Отметим, что при наличии дрейфа асимптотическое поведение концентрации на больших расстояниях от источника во всех режимах имеет характер экспоненциального убывания

В Главе 3 анализируются характеристики переноса примеси в регулярно-неоднородной системе, состоящей из среды с высокой проницаемостью, занимающей область /, ограниченную в одном или в двух измерениях, и среды с низкой проницаемостью, заполняющую оставшуюся часть пространства (область II) В качестве физического механизма переноса частиц рассматривается классическая диффузия Модель была впервые сформулирована академиком А М Дыхне, и мы называем ее в честь него задачей Дыхне Применительно к переносу примеси в геологических породах модель учитывает один из принципиальных аспектов этих сред - резкий контраст в распределении свойств. В этом смысле можно говорить, что среда в области I имитирует трещину, а область II соответствует матрице скальной породы

В Разделе 3 1 сформулирована модель Физическим механизмом переноса примеси в каждой из двух сред является классическая диффузия Между коэффициентами диффузии сильно проницаемой среды Р и слабо проницаемой среды с1 выполняется соотношение Б » с1

Для случая, когда область / является односвязной (одиночная трещина), рассматривались два варианта геометрии, различающиеся числом измерений /, по которым эта область ограничена (см. Рис. 3):

/ = 1 - плоско параллельный слой толщины а ;

I =2 - прямой цилиндр (не обязательно круглый) с площадью поперечного сечения 5 - а1.

Задача состояла в том, чтобы выяснить зависимость от времени дисперсии примеси сг(/) в области /, которую занимает сильно проницаемая среда.

Рис 3. Геометрия задачи.

Величина <т(/) определена равенством

( у1

сг(/)=<?,2 >= \с1ъгс{?,1) ¡¿Згг,2 с(г,{). (35)

¿П ) С)

Здесь г, - (3-/)-мерный радиус-вектор (/ - количество направлений, по которым область / ограничена). При I = 1 г, есть проекция трехмерного радиус а-вектора г на плоскую границу раздела двух сред, а при 1-2 ~ проекция указанного вектора на ось прямого цилиндра. Интегрирование в (35) происходит по области /. Здесь и далее предполагается, что начало координат выбрано так, чтобы выполнялось условие

[¿Зг г, с(г, 0) = 0. (36)

Характер зависимости <т(/) определяет режим переноса примеси. На временах, когда размер области локализации в области / , /?('), велик по

сравнению с первоначальным размером R0 = /?(о), имеется очевидное соотношение, вытекающее из определения дисперсии (35)

(37)

Раздел 3 2 посвящен качественному выводу основных соотношений Рассматриваются времена t >>t0 (t0 - a2 / AD), когда распределение концентрации в области / является однородным по / направлениям, в которых эта область ограниченна Выделены три интервала времени, различающиеся характеристиками переноса В наиболее раннем из них частицы примеси сосредоточены главным образом в области / В промежуточном интервале они большей частью локализованы в области II, но перенос по направлениям, в которых область / неограниченна, определяется сильно проницаемой средой В наиболее позднем интервале времени перенос определяется диффузией в слабо проницаемой среде Для оценок в промежуточном интервале использовалась формула

i

cr(t)~ D J r(t')dt' (38)

h

где z(t) - доля времени из интервала t, проведенная частицей в среде / В итоге получены следующие оценки для дисперсии примеси

a(t) = 2(3 - l)Dt при t0«t«tv (3 9)

a(t)~Djtt^ при 1 = 1,

, tx«t«t2, (40)

сг[tDti In — при 1=2 h

a(t)= 2(3-l)dt при t»t2 (41)

Характерные времена t\ и t2 определены выражениями

tl=a2 !4d, t2=tl(D/d)2 при 1 = 1,

t2=tl(DId)ln{D/d) при 1 = 2

В Разделе 3 3 проведен количественный анализ модели с одиночной трещиной. При выводе результатов, относящихся ко временам t»t0, когда концентрация примеси в области I по ее поперечному сечению однородна, использовалось представление Фурье по координате ft и Лапласа по времени

скР = J'd(?~')r< с(?> t) exf{-~Pt) (43)

о

Выраженная через это представление, дисперсия частиц,(35) имеет вид

р*+г<х>

Р* —[СО

ф 2т

"о р

р*+1 со

3 2т к к>

кР

Яе р, > 0 (44)

к=0

Здесь, как и в (35), концентрация частиц относится к области I Сопряженная задача о диффузии решалась стандартным способом Подстановка полученного решения в (44) и взятие интегралов привели к количественным результатам, подтвердившим качественные оценки предыдущего раздела При этом применимость количественного результата при помимо

интервалов «г«/2 и г»/2, покрывает и переходную область / ~ г2

<т(/) = 4 (.0 + Л)

сг(/) = 1п—+ 2^ Л

при 1-1, при 1-2.

(45)

С учетом (37) формулам (40) можно придать еще один вид Д(г)ос/1/4, / = 1

с/и

1/2

1 = 2

при

« / « ?2

(46)

Таким образом, в задаче Дыхне существует промежуточный интервал времени « Г «/2, в котором перенос примеси является неклассическим В обоих вариантах геометрии области / (плоскопараллельного слоя или прямого цилиндра) он соответствует субдиффузии При / = 1 это степенная субдиффузия, а при 1 = 2 — логарифмическая

Зависимость дисперсии от времени в двух вариантах геометрии трещины изображена на Рис 4

Отметим, что в реальных ситуациях отношение коэффициентов диффузии двух сред В / с1 может быть достаточно большим, чтобы время /2 оказалось практически недостижимым, и тогда аномальный (субдиффузионный) режим будет играть роль асимптотического режима, как это происходит в нерегулярных средах

D/d=300

Рис 4 Зависимость дисперсии от времени в задаче Дыхне об одиночной трещине

Раздел 3 4 посвящен анализу задачи, в которой сильно проницаемая среда занимает многосвязную область I и соответствует системе M параллельных друг другу одинаковых плоскопараллельных слоев ( / = 1 ) либо прямых цилиндров (1-2) Расстояние между трещинами Ь считается большим в сравнении с их поперечным размером

Ъ » а (47)

Примесь изначально сосредоточена в одной из трещин, которая называется основной Для оценок дисперсии используется формула

i

*{t)~¡dt'Def(t% (48)

о

где Def(t) - средневзвешенное значение коэффициента диффузии по области локализации примеси в момент времени t

{thDMt)+dA(t) efK) A,{t)+An\f)

Здесь, как и ранее, Dad- коэффициенты диффузии, соответственно, сильно и слабо проницаемой среды A¡{t) и Аи (/) - парциальные объемы,

приходящиеся, соответственно, на сильно и слабо проницаемую среды в области локализации примеси на момент времени I в пространстве / измерений, по которым сильно проницаемая среда имеет ограничения

Систематика режимов переноса существенно зависит от соотношения между временем г2 (в обозначениях предыдущих разделов) и временем

диффузии между трещинами, 1Ь =Ь2 /4<3 При <<{ь присутствие всех остальных (помимо основной) трещин не сказывается на процессе переноса, и задача сводится к одиночной трещине Напротив, при <2 »1Ь участие трещин в процессе переноса коллективизируется, что приводит к возникновению новых режимов Дальнейшие результаты относятся именно к этому случаю

В задаче о системе двух (М = 2 ) трещин при / «перенос идет в режиме быстрой классической диффузии, а в интервале между временами г, и 1Ь реализуется режим субдиффузии, соответствующий одиночной трещине

при «/«. (50)

Здесь и далее номер в верхнем индексе будет обозначать количество трещин, к которому относится рассматриваемый случай Величины без верхнего индекса относятся к одиночной трещине

На временах t в процесс переноса вовлекается вторая трещина, и величина дисперсии приобретает дополнительный коэффициент 2

сг^(г) = 2 ег(г) при tb«t«t2, (51)

а при I »¿2 перенос идет в режиме медленной классической диффузии с дисперсией, определенной формулой (41)

Для регулярно неоднородной среды с большим количеством трещин, М »1, на временах I < (ь помимо основной трещины в процессе переноса участвуют только соседние к ней Соответственно, дисперсия здесь ведет себя качественно так, как в случае двух трещин Анализ переноса на более поздних временах проводится отдельно для случаев системы плоскопараллельных пластин ( / = 1) и прямых цилиндров (1 = 2)

При I = 1 на временах /»реализуются три режима ослабленная (множитель (а / Ь) «1) классическая диффузия -

при 1Ь «1«Мг1ъ, (52)

усиленная (множитель М ) степенная субдиффузия -

<т(л/)(/)~М/)7«7 при М21ь «1«м212, (53)

и медленная классическая диффузия -

ог(л/)(г)~<# при ^»М2^ (54)

При 1 = 2 рассмотрены две конфигурации периодической системы параллельных друг другу прямых цилиндров В первой из них, когда оси всех цилиндров лежат в одной плоскости, при условии /2 » реализуются тоже три режима

ослабленная (множитель /Ъ ) степенная субдиффузия — Г?

сг(и)(г)~— Б^Щ при 1Ь«Г«М21Ь, (55) Ъ

усиленная (множитель М) логарифмическая субдиффузия -

Л,

при M2tь«t«Mt1, (56)

и медленная классическая диффузия -

при t»Mt2 (57)

В той же конфигурации, но при 12 « Мгъ режим (56) отсутствует, а условной границей по времени между режимами (55) и (57) становится / 1ь

В объемной периодической конфигурации прямых цилиндров при í »1Ь опять реализуется три режима

ослабленная (множитель 5 / Ь1) классическая диффузия —

<т(м)(г) ~ при 1Ь «I« Мгь, (58)

Ъ

усиленная (множитель М ) логарифмическая субдиффузия -

( ^

а(м]{() ~ МОц 1п

\MtbJ

при Мгь «г« Мгг, (59)

и медленная классическая диффузия

<т(м)(г)~<й при г»М2 (60)

Если количество трещин бесконечно (М -»оо), то для системы плоскопараллельных слоев и объемной системы прямых цилиндров конечным режимом становится ослабленная присутствием матрицы классическая диффузия Для плоской же системы прямых цилиндров, как и

для М Ф оо, самым поздним режимом является медленная классическая диффузия

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1 На основе представлений о масштабной инвариантности, без использования упрощающих предположений, построена теория переноса примеси в модели случайной адвекции с дальнодействующими корреляциями скоростей Режим переноса определяется масштабной размерностью скорости адвекции h, которая связана с показателями в степенном убывании корреляционных функций на далеких расстояниях При значениях h > 1 перенос идет в режиме классической диффузии, при h < 1 — супердиффузии, а при h = 1 - логарифмически модифицированной классической диффузии В супердиффузионном режиме показатель степени у во временной зависимости

R.(t) ос tY размера области локализации примеси равен у = l/(l + h) При этом асимптотика концентрации на больших расстояниях (при v г » R.(t)) имеет вид экспоненты, убывающей даже быстрее, чем при классической диффузии Этот вывод резко контрастирует выводами модели дробной диффузии (основанной на уравнении с дробной пространственной производной), где хвосты ведут себя степенным образом

2 На основе диаграммной техники разработана теория переноса примеси в модели, которая наряду со случайной адвекцией учитывает в качестве механизма переноса классическую диффузию и дрейф примеси с постоянной скоростью. Установлено, что случайная диффузия не приводит к изменению режимов переноса Она дает лишь перенормировку эффективного коэффициента диффузии при масштабной размерности случайной скорости h > 1 При h < 1 наличие дрейфа с постоянной скоростью й приводит к возникновению характерного времени t,, при котором длина дрейфа становится сравнимой с размером области локализации примеси, Mi, ~ R(t*) В этот момент при h < 1 происходит смена режимов переноса В интервале ранних времен t < t, перенос идет в режиме супердиффузии, свойственном данной модели в отсутствие дрейфа На поздних временах, при t>U, тип режима зависит от значения масштабного индекса h

При 1/2 < /г < 1 он соответствует анизотропной классической диффузии, при 0</г<1/2 - анизотропной супердиффузии (менее быстрой, чем при t < U ) с показателем степени у -1 - h, а при h-1/2 -

логарифмически модифицированной анизотропной классической диффузии Во всех случаях асимптотики концентрации на больших расстояниях являются экспоненциальными

3 Проанализированы режимы переноса примеси в сильно контрастной регулярно-неоднородной системе (задача Дыхне), состоящей из среды с высокой проницаемостью, которая занимает область / ("трещина") и ограниченна в одном (/ = 1, плоскопараллельный слой) или в двух измерениях (1 = 2, прямой цилиндр), и среды с низкой проницаемостью, которая заполняет оставшуюся часть пространства (область II - "матрица") В качестве физического механизма переноса была принята классическая диффузия Между коэффициентами диффузии в трещине (D ) и в матрице (d) выполняется соотношение D» d Вычислялась дисперсия o~(t), определяющая среднеквадратичное смещение частицы вдоль среды I в зависимости or времени Выделены три интервала времени по типу режимов переноса На ранних временах t«tx перенос примеси идет в режиме быстрой классической диффузии cr(t) ~ Dt В промежуточном интервале tl « t « t2 реализуется режим субдиффузии cr(t) ~ Э^Щ при I = 1 и <r{t) ~ Dtl ln(t / tl ) при l = 2 Наконец, на самых поздних временах t » t2 перенос идет в режиме медленной классической диффузии er(t) ~ dt Характерные времена определены как

tl~a1/Ad, t2 ~ i, (D / d)2 для / = 1 и t2 ~ t^D / d)ln(D / d) для / = 2 , a - поперечный размер трещины В реальных ситуациях отношение коэффициентов диффузии двух сред D/d бывает достаточно большим, чтобы время t2 оказалось практически недостижимым, тогда субдиффузия будет играть роль асимптотического режима

4 Исследованы характеристики переноса примеси в задаче Дыхне, когда сильно проницаемая среда занимает многосвязную область I и соответствует периодической системе M параллельных друг другу трещин Если расстояние между трещинами b таково, что переход к режиму медленной классической диффузии произойдет раньше, чем область локализации примеси достигнет соседней трещины ( t2 « th ), то перенос происходит как у одиночной трещины В противоположном случае t2 » tb влияние трещин на перенос примеси коллективизируется, и тогда при конечном M » 1 в дополнение к режиму субдиффузии, который был найден для одиночной трещины, возникают дополнительные промежуточные режимы Среди них, в зависимости от конфигурации и соотношения между параметрами

задачи, могут быть ослабленная классическая диффузия и усиленная степенная или логарифмическая субдиффузия Самым поздним режимом, как и для одиночной трещины, является медленная классическая диффузия Если количество трещин бесконечно ( М оо), то для системы плоскопараллельных слоев и объемной системы прямых цилиндров конечным режимом становится ослабленная присутствием матрицы классическая диффузия Для плоской же системы прямых цилиндров, как и для М * оо, самым поздним режимом является медленная классическая диффузия

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Isichenko М В , "Percolation, statistical topography and transport in random media", Reviews of Modern Physics, 1992, 64, No 4, pp 961 -1043

2 Паташинский A 3 , Покровский В Л., "Флуктуационная теория фазовых переходов". - М,- Наука, 1975

3 Абрикосов А А., Горьков Л П, И Е Дзялошинский, "Методы квантовой теории поля в статистической физике". - М ИФМЛ, 1962

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 AM Дыхне, И Л. Драников, П С Кондратенко, А В Попов, "Аномальная диффузия в регулярно-неоднородных средах", Препринт ИБРАЭ-2001-11,2001

2 AM Dykhne, IL Dranikov, P S Kondratenko, A V Popov, "Anomalous diffusion in regular fractured media", Russian Academy of Sciences, Nuclear Safety Institute, Preprint IBRAE-2002-03,2002

3 AM Dykhne, IL Dranikov, P.S Kondratenko, A V Popov, "Anomalous diffusion in regular fractured media", Proceedmgs of International Conference in Groundwater in Fractured rocks, Prague, 2003, pp. 403-404

4 AM Dykhne, IL Dranikov, P S Kondratenko, A V.Popov, "Anomalous diffusion in regularly non-uniform medid\ Proceedings of International Groundwater Symposium, Berkeley, 2002, pp 408-411

5 A.M Дыхне, И Л Драников, П С Кондратенко, А.В Попов, "Субдиффузия в кусочно-однородной среде", Известия Академии наук Энергетика, 2004, вып 4, сс 123-126

6 AM Dykhne, IL Dranikov, P S Kondratenko, "Anomalous diffusion in regularly non-uniform medicf\ Journal of Hydraulic Research, 2005, 43, No. 2, pp. 346-349

7 ИЛ Драников, "Аномальная диффузия в регулярных трещиноватых средах", Сборник трудов III научной конференции стипендиатов ИБРАЭРАН 18-19 апреля 2002 г -М 2002, сс 20-22

8. ИЛ Драников, "Стохастический адвективно-диффузионный перенос примесей", Сборник трудов IV научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН 24-25 апреля 2003 г - М 2003, сс 9-12

9 I L Dranikov, Р S Kondratenko, L V Matweev, "Anomalous contaminant transport in stochastic advection modeF', Russian Academy of Sciences, Nuclear Safety Institute, Preprint IBRAE-2003-20,2003

10 I L Dranikov, P S Kondratenko, LV Matweev, SARybak, "Anomalous diffusion as a way the stochastic advection manifests itself' - ASCE Conference Proceedings 118, 3 (2003)

11 И Л Драников, П С Кондратенко, Л В Матвеев, "Аномальный перенос примесей в модели стохастической адвекции", Доклады Академии наук, 2004, 394, вып 2, сс 187-189

12 ИЛ Драников, П С Кондратенко, Л В Матвеев, "Режимы аномального переноса в модели стохастической адвекции-диффузии", Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2004, 125, вып 5, сс 1082-1091

13 ИЛ Драников, П С Кондратенко, Л В Матвеев, "Скейлинг в задачах переноса радионуклидов во фрактальных средах", Известия Академии наук Энергетика, 2004, вып 4, сс 127-134

14 IL Dranikov, P.S Kondratenko, L V Matweev, "Are the heavy tails in superdiffusion theory well justified physicallyLaser Physics, 2004,14, No 3, pp 429-434

15 AMDykhne, IL Dranikov, P S Kondratenko, LVMatveev, "Anomalous diffusion in a self-similar random advection field", Physical Review E72,2005, 061104

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1 МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОЙ АДВЕКЦИИ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Масштабный анализ.

Макроскопическое уравнение переноса.

Масштабные размерности.

1.3. Общие закономерности поведения концентрации. h> 1. h< 1. h = 1.

1.4. Асимптотические профили концентрации.

Глава 2 СЛУЧАЙНАЯ АДВЕКЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИФФУЗИИ И ДРЕЙФА.

2.1. Формулировка задачи.

2.2. Диаграммная техника. h< 1. h = 1.

2.3. Роль случайной диффузии.

2.4. Случайная адвекция при наличии дрейфа.

Поляризационный оператор. к» к. к «к.

Поведение концентрации. t»U, -<h< 1. t»U, 0<h<-. t»U, h = 1.

Глава3 ДИФФУЗИЯ В РЕГУЛЯРНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ: ЗАДАЧА ДЫХНЕ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Качественный анализ.

3.3. Одиночная трещина. Количественный анализ.

1 = 1.

1 = 2.

3.4 Системы трещин.

М = 2.

М» 1, t»tb, 1 = 1.

М» 1, t»tb, 1 = 2.

Плоская периодическая цепочка М трещин.

Объёмная периодическая система М трещин.

Актуальность темы. Многочисленные исследования показали, что перенос примеси в сильно неоднородных средах часто не описываются классическим уравнением диффузии [1]. При этом показатель степени в зависимости от времени размера области локализации частиц

R(t)oztr отличается от классического значения у = 1/2. Такие процессы называют аномальной диффузией. В случае, когда у > 1/2, мы имеем дело с супердиффузией, а при у < 1/2 - с субдиффузией. В последние десятилетия интерес к процессам аномального переноса продолжает расти в связи с неклассическими задачами, возникающими в физике полупроводников, физике плазмы, астро- и биофизике, медицине, гидрогеологии, экономике и др. [1-24]. Супердиффузия, например, встречается при турбулентной диффузии [25-28], в неоднородных скальных породах [29-31] и в плазме [32]; ею описывается даже движение бактерий [33] и полет альбатроса [34].

Несмотря на столь широкую распространённость и сравнительно давнюю историю исследований, в аномальной диффузии остается еще множество нерешенных вопросов. Во многих случаях не выявлена связь между характеристиками среды и типом режима переноса. Не ясен вопрос и о структуре асимптотик ("хвостов") концентрации на больших расстояниях от источника (при r»R(t)). Например, в некоторых математических постановках задач об аномальной диффузии они являются степенными. Между тем, знание структуры концентрационных хвостов бывает исключительно важно для практических приложений, например, для оценок надежности радиоактивных захоронений в геологических средах. Разница степенного и гауссова хвоста в удаленной от источника области, существенной для жизнедеятельности людей, может достигать многих порядков величины. Поэтому исследование аномальных процессов переноса в физических моделях является актуальным как с научной, так и практической точки зрения.

Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование закономерностей аномального переноса примеси в простых физических моделях. Основными задачами диссертации являются:

1. Установление закономерностей переноса в модели случайной адвекции-диффузии в зависимости от корреляционных свойств среды (в отсутствие и при наличии дрейфа).

2. Исследование режимов переноса примеси в регулярно-неоднородной контрастной среде в различных интервалах времени (задача Дыхне).

Научная новизна работы. Автором впервые

1. Развита строгая аналитическая теория переноса в модели случайной адвекции-диффузии с дальнодействующими корреляциями скорости.

2. Показано, что асимптотики концентрации примеси в модели случайной адвекции-диффузии носят экспоненциальный характер, в отличие от степенных асимптотик в модели дробной диффузии.

3. Установлено, что пространственные флуктуации коэффициента классической диффузии не влияют на тип режима переноса примеси в модели случайной адвекции-диффузии.

4. Установлено, что в модели резко контрастной среды с одиночной трещиной существует широкий интервал времени, в котором перенос примеси происходит в режиме субдиффузии.

5. Выявлены режимы диффузии в контрастной системе, моделирующей множество трещин в слабопроницаемой среде.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

1. Полученные в диссертации результаты могут стать элементами для построения общей теории переноса примеси в геологических средах.

2. Установленные закономерности дают основу для проведения качественных оценок надежности захоронений радиоактивных отходов в геологических структурах.

3. Полученные результаты могут быть использованы для модернизации компьютерных кодов, предназначенных для моделирования процессов переноса в геологических средах.

Личный вклад автора. Соискателем лично проведены:

1. Масштабный анализ (скейлннг) в макроскопической формулировке задачи о стохастической адвекции.

2. Диаграммное разложение и его анализ в задаче о случайной адвекции-диффузии.

3. Исследование процессов переноса примеси в резко контрастной системе, моделирующей одиночную сильнопроницаемую трещину в слабопроницаемой среде.

4. Анализ процессов переноса в модели системы трещин с различными пространственными характеристиками.

Защищаемые положения. На защиту выносится:

1. В модели случайной адвекции асимптотика концентрации примеси на больших расстояниях в режиме супердиффузии определяется экспонентой, убывающей быстрее, чем в классической диффузии.

2. Пространственные флуктуации коэффициента диффузии не приводят к изменению режима переноса.

3. В модели случайной адвекции при наличии дрейфа с ростом времени может происходить смена режимов переноса от супердиффузии к менее быстрому анизотропному режиму супердиффузии или анизотропной классической диффузии. Во всех случаях асимптотики концентрации на больших расстояниях имеют экспоненциальный характер.

4. В регулярно неоднородной контрастной среде перенос примеси на ранних временах идет в режиме быстрой классической диффузии, в интервале промежуточных времен - в режиме субдиффузии, а на самых поздних временах - медленной классической диффузии. При достаточно сильном контрасте свойств среды верхняя граница субдиффузионного интервала времени может оказаться практически недостижимой, и тогда субдиффузия будет играть роль асимптотического режима.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на международном симпозиуме "International Groundwater Symposium" (Беркли, США,

2002), международной конференции "Groundwater in Fractured rocks" (Прага, Чешская Республика, 2003), международном конгрессе "World Water & Environmental Resources Congress" (Филадельфия, США, 2003), на ежегодных научных конференциях стипендиатов ИБРАЭ РАН (2002,2003).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения и Списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертации.

1. На основе представлений о масштабной инвариантности, без использования упрощающих предположений, построена теория переноса примеси в модели случайной адвекции с дальнодействующими корреляциями скоростей. Режим переноса определяется масштабной размерностью скорости адвекции h, которая связана с показателями в степенном убывании корреляционных функций на далеких расстояниях. При значениях h > 1 перенос идет в режиме классической диффузии, при h< 1 - супердиффузии, а при h = 1 - логарифмически модифицированной классической диффузии. В супердиффузионном режиме показатель степени у в зависимости от времени размера области локализации примеси R(t)cctr равен у = \/(\ + h). При этом асимптотика концентрации на больших расстояниях (при г » R(t)) имеет вид экспоненты, убывающей даже быстрее, чем при классической диффузии. Этот вывод резко контрастирует с моделью дробной диффузии (основанной на уравнении с дробной пространственной производной), где хвосты ведут себя степенным образом.

2. На основе диаграммной техники разработана теория переноса примеси в модели, которая наряду со случайной адвекцией учитывает в качестве механизма переноса классическую диффузию и дрейф примеси с постоянной скоростью. Установлено, что случайная диффузия не приводит к изменению режимов переноса. Она дает лишь перенормировку эффективного коэффициента диффузии при масштабной размерности случайной скорости h> 1. При h< 1 наличие дрейфа с постоянной скоростью й приводит к возникновению характерного времени /*, при котором длина дрейфа становится сравнимой с размером области локализации примеси, ut,~R(t,). В этот момент при h < 1 происходит смена режимов переноса. В интервале ранних времен t<t, перенос идет в режиме супердиффузии, свойственном данной модели в отсутствие дрейфа. На поздних временах, t>t*, тип режима зависит от значения масштабной размерности h. При 1/2</г<1 он соответствует анизотропной классической диффузии, при 0<h<1/2 - анизотропной супердиффузии (менее быстрой, чем при / </♦) с показателем степени ^ = 1-/г, а при h = 1/2 -логарифмически модифицированной анизотропной классической диффузии. Во всех случаях асимптотики концентрации на больших расстояниях являются экспоненциальными.

3. Проанализированы режимы переноса примеси в сильно контрастной регулярно-неоднородной системе (задача Дыхне), состоящей из среды с высокой проницаемостью, которая занимает область I ("трещина") и ограниченна в одном (/ = 1, плоскопараллельный слой) или в двух измерениях (1 = 2, прямой цилиндр), и среды с низкой проницаемостью, которая заполняет оставшуюся часть пространства (область II - "матрица"). В качестве физического механизма переноса была принята классическая диффузия. Между коэффициентами диффузии в трещине (D) и в матрице (d) выполняется соотношение D»d. Вычислялась дисперсия cr(t), определяющая среднеквадратичное смещение частицы вдоль среды I в зависимости от времени. Выделены три интервала времени по типу режимов переноса. На ранних временах t«/, перенос примеси идет в режиме быстрой классической диффузии: cr(t) ~ Dt. В промежуточном интервале г, «t«t2 реализуется режим субдиффузии: a(t) ~ D^tt[ при 1 = 1 и a(t) ~ Dt{ при 1 = 2. Наконец, на самых поздних временах /»/2 перенос идет в режиме медленной классической диффузии: cr(t)~dt. Характерные времена определены как tx~a2/Ad, t2~tx{D/df для 1 = 1 и t2 ~tx{D/d)\n(D/d) для 1 = 2; а - поперечный размер трещины. В реальных ситуациях отношение коэффициентов диффузии двух сред D/d бывает достаточно большим, чтобы время /2 оказалось практически недостижимым; тогда субдиффузия будет играть роль асимптотического режима.

4. Исследованы характеристики переноса примеси в задаче Дыхне, когда сильнопроницаемая среда занимает многосвязную область I и соответствует периодической системе М параллельных друг другу трещин. Если расстояние между трещинами Ъ таково, что переход к режиму медленной классической диффузии произойдет раньше, чем область локализации примеси достигнет соседней трещины (/2 «tb), то перенос происходит как у одиночной трещины. В противоположном случае t2»tb влияние трещин на перенос примеси коллективизируется, и тогда при конечном М» 1 в дополнение к режиму субдиффузии, который был найден для одиночной трещины, возникают дополнительные промежуточные режимы. Среди них, в зависимости от конфигурации и соотношения между параметрами задачи, могут быть ослабленная классическая диффузия и усиленная степенная или логарифмическая субдиффузия. Самым поздним режимом, как и для одиночной трещины, является медленная классическая диффузия. Если количество трещин бесконечно (М —> со), то для системы плоскопараллельных слоев и объемной системы прямых цилиндров конечным режимом становится ослабленная присутствием матрицы классическая диффузия. Для плоской же системы прямых цилиндров, как и для М* оо, самым поздним режимом является медленная классическая диффузия.

БЛАГОДАРНОСТИ

Эту диссертацию я посвящаю светлой памяти Александра Михайловича Дыхне, который много лет был моим наставником и научным руководителем, определил мою траекторию и заразил своим отношением и к жизни, и к науке. Александру Михайловичу непосредственно принадлежит идея, развиваемая в Главе 3. Спасибо Вам за всё, Александр Михайлович

Невозможно переоценить влияние на меня моего нынешнего научного руководителя Петра Сергеевича Кондратенко. Я сердечно благодарю его за терпение и доброту, требовательность и научную щедрость, за знания, которыми он меня обогатил. Петру Сергеевичу принадлежат почти все идеи первых двух Глав, не говоря об их развитии.

Мне приятно выразить признательность моему научному руководителю в студенческие годы Алексею Максимовичу Фридману, которому я обязан за решающую роль, сыгранную им в моей судьбе, а также за воспринимавшееся от него понимание физики. Под руководством Алексея Максимовича я сделал работу по астрофизике, которую исключительно ценю. (Ключевую роль в её инициации сыграл Олег Владимирович Хоружий.) Я благодарю A.M. за неизменную поддержку, сотрудничество и желаю ему окончательного выздоровления.

На протяжении долгих лет я нахожусь под личным обаянием Самуила Акивовича Рыбака, от которого я многому научился - и в научном, и в человеческом смысле. Самуилу Акивовичу я выражаю самую тёплую признательность.

Всегда большое удовольствие для меня работать вместе с Леонидом Владимировичем Матвеевым. Я благодарен ему за постоянную дружескую поддержку, готовность помочь и часто определяющее участие в решении рассматриваемых в диссертации задач.

Огромное спасибо не перечисленным выше людям, у которых я учился. Среди них Юрий Робертович Аланакян, Юрий Ефремович Лозовик, Игорь Владимирович Новобранцев, Дмитрий Александрович Терёшин на Физтехе и Л.П.Говорова, А.Н.Дубинина, А.П.Кирьянов, Е.П.Кузнецов, Т.С.Пиголкина, С.С.Самарова, М.В.Свиридов, С.Г.Шальнова в школе.

Спасибо тем, чьи лекции и экзамены мне очень многое дали - А.А.Абрамову, С.П.Аллилуеву, Л.И.Бородкину, С.Н.Вергелесу, В.Г.Веселаго, Вл.П.Визгину, А.П.Виноградову, С.С.Герштейну, В.А.Головиной, В.Н.Горелкину, В.Н.Диесперову, Л.М.Зелёному, М.Ф.Иванову, Н.А.Кириченко, А.А.Лавровой, Г.А.Лобову, Ю.Е.Лозовику, И.В.Лупандину, В.П.Михайлову, М.Л.Насоновой, Р.А.Насонову,

А.А.Николаеву], Л.В.Паниной, М.И.Пергаменту, А.А.Печёнкину, А.В.Пименову, Е.С.Пятницкому, С.В.Резниченко, С.А.Рыбаку, А.А.Саркисову, А.К.Сарычеву, Ю.В.Сидорову, К.А.Скворчевскому, А.М.Фридману, |Т.В.Чередниченко, В.И.Чехлову, Г.Н.Яковлеву. Спасибо С.А.Гордюнину, Л.Б.Дубовскому, В.П.Кузнецову,

С.И.Петровой, С.С.Самаровой, |А.С.Фохту|, О.Н.Целиковой.

Отдельное спасибо Виктору Николаевичу Баграташвили и Виктору Васильевичу Зосимову.

За плодотворное сотрудничество я благодарю Ивана Александровича Короткина, Владимира Александровича Лапина, Алексея Валерьевича Попова, Степана Геннадьевича Янченко. Магистерские диссертации первых трёх из них имеют прямое отношение к теме настоящей диссертации.

Большое значение для меня имели обсуждения различных вопросов с Дмитрием Борисовичем Балагуровым и Александром Михайловичем Мерзликиным. Неоценимую помощь в повседневной работе оказывали Дмитрий Владимирович Никольский и Дмитрий Геннадьевич Григорук, а также Сергей Борисович Мартынов. Всем им я выражаю искреннюю признательность.

Я благодарен коллективу и администрации Института проблем безопасного развития атомной энергетики за моральную поддержку, комфортные условия работы и её финансирование, а также US DOE (Project No. RG0-20101-RW40 of CRDF Grant Assistance Program) и РФФИ (проект № 06-08-00176a) за финансовую поддержку. Спасибо Президиуму РАН, отметившему часть опубликованных материалов работы премией и медалью.

Невозможно перечислить людей, которым я обязан, никогда или почти никогда не видев их в жизни. Низкий поклон им.

И наконец, самое большое спасибо Насте, Диме и всем родным, а особенно маме.

1. М. В. 1.ichenko, Percolation, statistical topography, and transport in random media

2. Rev. Mod. Phys. 64,961 (1992)

3. J.-P. Bouchaud, A. Georges, Anomalous diffusion in disordered media: statisticalmechanisms, models, and physical applications // Phys. Rep. 195,127 (1990)

4. Ю. А. Дрейзин, A. M. Дыхне, Аномальная проводимость неоднородных сред всильном магнитном поле // ЖЭТФ 63,242 (1972)

5. А. М. Дыхне, А. П. Напартович, Перенос резонансного излучения внеоднородной плазме. М.: Инст. Ат. Эн., 1970

6. A. Blumen, J.Klafter, G. Zumofen, Models for reaction dynamics in glasses // in:

7. Optical spectroscopy of glasses in optical spectroscopy of glasses", ed. by I. Zschokke.- Dordrecht: Reidel, 1986

8. H. Scher, M.F.Shlesinger, J.T.Bendler, Time-scale invariance in transport andrelaxation // Phys. Today 44,26 (1991)

9. B. Berkowitz, H. Scher, Theory of anomalous chemical transport in fracturenetworks // Phys. Rev. E 57,5858 (1998)

10. S. Alexander, J. Bernasconi, W.R. Schneider, R. Orbach, Excitation dynamics inrandom one-dimensional systems // Rev. Mod. Phys. 53,175 (1981)

11. S. Havlin, D. ben-Avraham, Diffusion in disordered media // Adv.Phys. 36, 6951987)

12. В. E. Архинчеев, Э. M. Баскин, Аномальная диффузия и дрейф в гребешковоймодели перколяционных кластеров // ЖЭТФ 100,292 (1991)

13. J.W. Haus, K.W. Kehr, Diffusion in regular and disordered lattices // Phys. Rep.150, 263(1987)

14. P. Hanggi, H. Thomas, Stochastic processes: time evolution, symmetries and linearresponse // Phys. Rep. 88,207 (1982)

15. M. Grifoni, P. Hanggi, Driven quantum tunneling // Phys. Rep. 304,229 (1998)

16. B.J. West, W. Deering, Fractal physiology for physicists: Levy statistics // Phys.1. Rep. 246,1 (1994)

17. R. Balesku, Statistical dynamics, matter out of equilibrium. London: Imperial1. College Press, 1997

18. M.F. Shlesinger, G.M. Zaslavsky, J. Klafter, Strange kinetics // Nature 363, 311993)

19. G.H. Weiss, Aspects and applications of the random walks. Amsterdam: North1. Holland, 1994

20. M.F. Shlesinger, G.M. Zaslavsky, U. Frish (Eds.), Levy flights and related topics inphysics. Berlin: Springer, 1995 (Lecture Notes in Physics, Vol. 450)

21. J. Klafter, M.F. Shlesinger, G. Zumofen, Beyond Brownian motion // Phys. Today49,33 (1996)

22. R. Kutner, A. Pekalski, K. Sznajd-Weron (Eds.), Anomalous diffusion, from basicsto applications. Berlin: Springer, 1999 (Lecture Notes in Physics, Vol. 519)

23. Jl. M. Зеленый, А. В. Милованов, Фрактальная топология и странная кинетика:от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФН, 174, 809 (2004)

24. В. В. Учайкин, Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы //1. УФН 173,847 (2003)

25. G.M. Zaslavsky, S. Benkadda (Eds.), Chaos, kinetics and nonlinear dynamics influids and plasmas. Berlin: Springer, 1998 (Lecture Notes in Physics, Vol. 511)

26. Г. M. Заславский, Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва-Ижевск:

27. Инст. компьютерных иссл., 2004

28. L.F. Richardson, Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbour graph // Proc. Roy. Soc. 110,709 (1926)

29. G.K. Batchelor, The application of the similarity theory of turbulence to atmosphericdiffusion//Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 76,133 (1950)

30. M.F. Shlesinger, B.J. West, J. Klafter, Levy dynamics of enhanced diffusion:application to turbulence // Phys. Rev. Lett. 58,1100 (1987)

31. I. Sokolov, A. Blumen, J. Klafter, Drude approach to anomalous diffusion:application to Richardson dispersion in turbulent flow // Europhys. Lett. 47, 152(1999)

32. J. Klafter, A. Blumen, G. Zumofen, M.F. Shlesinger, Levy walks approach toanomalous diffusion // Physica A 168,637 (1990)

33. A. Ott, J.-P. Bouchaud, D. Langevin, W. Urbach, Anomalous diffusion in "livingpolymers": a genuine Levy flight? // Phys. Rev. Lett. 65,2201 (1990)

34. M. Sahimi, Non-linear and non-local transport processes in heterogeneous media:from long-range correlated percolation to fracture and materials breakdown // Phys. Rep. 306,213(1998)

35. R. Balescu, Anomalous transport in turbulent plasmas and continuous time randomwalks // Phys. Rev. E 51,4807 (1995)

36. J. Klafter, B.S. White, M. Levandowsky, Microzooplankton feeding behaviour andthe Levy walks // in: "Biological motion", ed. by W. Alt, J. Hoffmann. -Berlin: Springer, 1990 (Lecture Notes in Biomathematics, Vol. 89)

37. G.M. Viswanathan, V. Afanasyev, S.V. Buldyrev, E.G. Murphy, P.A. Prince, H.E.

38. Stanley, Levy flight search patterns of wandering albatrosses // Nature 381, 413 (1996)

39. G.I. Taylor, Diffusion by continuous movements // Proc. London Math. Soc. Ser. 220,196(1921)

40. О.Г. Бакунин, Корреляционные и перколяционные свойства турбулентнойдиффузии // УФН 173,757 (2003)

41. B.I. Shraiman, E.D. Siggia, Scalar turbulence // Nature 405,639 (2000)

42. G. Falkovich, K. Gawedzki, M.Vergassola, Particles and fields in fluid turbulence //

43. Rev. Mod. Phys. 73,913 (2001)

44. E. W. Montroll, G. Weiss, Random walks on lattices II // J. Math. Phys. 6, 1671965)

45. E.W. Montroll, H.Scher, Random walks on lattices IV: continuous-time randomwalks and influence of absorbing boundary conditions, // J. Stat. Phys. 9, 101 (1973)

46. G. Pfister and H. Scher, Time-dependent electrical transport in amorphous solids:

47. As2Se3 // Phys. Rev. В 15,2062 (1977)

48. G. Pfister and H. Scher, Dispersive (non-Gaussian) transient transport in disorderedsolids //Adv. Phys. 27,747 (1978)

49. G. Zumofen, A. Blumen, J. Klafter, Current flow under anomalous-diffusionconditions: Levy walks // Phys. Rev. A 41,4558 (1990)

50. P.W.M. Blom, M.C.J.M. Vissenberg, Dispersive hole transport in Poly (p-phenylenevinylene) II Phys. Rev. Lett. 80,3819 (1998)

51. E. Scalas, R. Gorenflo, F. Mainardi, Uncoupled continuous-time random walks:solution and limiting behavior of the master equation // Phys. Rev. E 69, 011107(2004)

52. R. Metzler, J. Klafter, The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractionaldynamics approach // Phys. Rep. 339,1 (2000)

53. H. Scher, E.W. Montroll, Anomalous transit-time dispersion in amorphous solids //

54. Phys. Rev. В 12,2455 (1975)

55. E.W. Montroll, M.F. Shlesinger, A wonderful world of random walks // in:

56. Nonequilibrium phenomena II: from stochastic to hydrodynamics", ed. by J.L. Lebowitz, E.W. Montroll. Amsterdam: North-Holland, 1984 (Studies in Statistical Mechanics, Vol. 11)

57. H. Scher, M. Lax, Stochastic transport in a disordered solid. I. Theory // Phys. Rev.

58. В 7, 4491 (1972); см. тж. H. Scher, М. Lax, Stochastic transport in a disordered solid. II. Impurity conduction // Phys. Rev. В 7,4502 (1972)

59. А. С. Монин, Доклады АН СССР 105,256 (1955)

60. A. Khintchine, P. Levy, Sur les lois stables // C. R. Acad. Sci. Paris 202,374 (1936)

61. V. Balakrishnan, Anomalous diffusion in one dimension // Physica A 132, 5691985)

62. W. Wyss, The fractional diffusion equation // J. Math. Phys. 27,2782 (1986)

63. W.R. Schneider, W. Wyss, Fractional diffusion and wave equations // J. Math. Phys.30,134 (1989)

64. A. Compte, Stochastic foundations of fractional dynamics // Phys. Rev. E 53, 41911996)

65. R. Hilfer, L. Anton, Fractional master equations and fractal time random walks //

66. Phys. Rev. E 51, R848 (1995)

67. R. Sanchez, B.A. Carreras, B.Ph. van Milligen, Fluid limit of nonintegrablecontinuous-time random walks in terms of fractional differential equations // Phys. Rev. E 71,011111 (2005)

68. К.В. Чукбар, Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ 108,1875 (1995); см. тж. В.Ю Забурдаев, К.В. Чукбар // ЖЭТФ, 121, 299 (2002); K.V. Chukbar, V.Yu. Zaburdaev И Phys. Rev. E 68,033101(R) (2003)

69. R.-A. El-Nabulsi, Fractional description of super and subdiffiision. // Phys. Lett. A340, 361 (2005)

70. Б.В. Гнеденко, A.H. Колмогоров, Предельные распределения для суммнезависимых случайных величин. M.-JI.: Гостехиздат, 1949

71. Ф. Барду, Ж.-Ф. Бушо, А. Аспе, К. Коэн-Таннуджи, Статистика Леви илазерное охлаждение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006

72. В.В. Mandelbrot, J.W. van Ness, Fractional Brownian motion, fractional noises andapplications // SIAM (Soc. Ind. Appl. Math.) Rev. 10,422 (1968)

73. B. O'Shaugnessy, I. Procaccia, Analytical solutions for diffusion on fractal objects //

74. Phys. Rev. Lett. 54,455 (1985)

75. J. Klafter, R. Silbey, Derivation of the Continuous-Time Random-Walk equation //

76. Phys. Rev. Lett. 44,55 (1980)

77. J. Klafter, A. Blumen, M.F. Shlesinger, Stochastic pathway to anomalous diffusion

78. Phys. Rev. A 35,3081 (1987)

79. E. Barkai, V. Fleurov, Levy walks and generalized stochastic collision models //

80. Phys. Rev. E 56,6355(1997)

81. R. Kutner, P. Maass, Levy flights with quenched noise amplitudes // J. Phys. A :1. Math. Gen. 31,2603 (1998)

82. J. Bernasconi, W.R. Schneider, W. Wyss, Diffusion and hopping conductivity indisordered one-dimensional lattice systems // Zeitschrift fur Physik В Cond. Mat. 37,175 (1980)

83. V. Seshadri, B.J. West, Fractal dimensionality of Levy processes // Proc. Natl. Acad.1. Sci. USA 79,4501 (1982)

84. B.J. West, V. Seshadri, Linear systems with Levy fluctuations // Physica A 113,2031982)

85. F. Peseckis, Statistical dynamics of stable processes // Phys. Rev. A 36,892 (1987)

86. H.C. Fogedby, Levy flights in random environments // Phys. Rev. Lett. 73, 25171994)

87. H.C. Fogedby, Langevin equations for continuous time Levy flights // Phys. Rev. E50,1657(1994)

88. R. Muralidhar, D. Ramkrishna, H. Nakanishi, D. Jacobs, Anomalous diffusion: adynamic perspective // Physica A167,539 (1990)

89. K.G. Wang, L.K. Dong, X.F. Wu, F.W. Zhu, Т. Ко, Correlation effects, generalized

90. Brownian motion and anomalous diffusion // Physica A 203,53 (1994)

91. K.G. Wang, M. Tokuyama, Nonequilibrium statistical description of anomalousdiffusion // Physica A 265,341 (1999)

92. V.M. Kenkre, E.W. Montroll, M.F. Shlesinger, Generalized master equations forcontinuous-time random walks // J. Stat. Phys. 9,45 (1973)

93. V.M. Kenkre, Generalization to spatially extended systems of the relation betweenstochastic Liouville equations and Generalized master equations // Phys. Lett. A 65,391 (1978)

94. D. Bedeaux, K. Lakatos-Lindenberg, K.E. Shuler, On the relation between masterequations and random walks and their solutions // J. Math. Phys. 12, 2116 (1971)

95. I. Oppenheim, K.E. Shuler, G.H. Weiss (Eds.), Stochastic processes in chemicalphysics: the master equation. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1977

96. C. Tsallis, S.V.F. Levy, A.M.C. Souza, R. Maynard, Statistical-mechanicalfoundation of the ubiquity of Levy distributions in nature // Phys. Rev. Lett. 75,3589 (1995)

97. С. Tsallis, D.J. Bukman, Anomalous diffusion in the presence of external forces:exact time-dependent solutions and their thermostatistical basis // Phys. Rev. E 54, R2197 (1996)

98. L. Borland, Microscopic dynamics of the nonlinear Fokker-Planck equation: aphenomenological model // Phys. Rev. E 57, 6634 (1998)

99. A. Compte, D. Jou, Non-equilibrium thermodynamics and anomalous diffusion // J.

100. Phys. A: Math. Gen. 29,4321 (1996)

101. D.H. Zanette, P.A. Alemany, Thermodynamics of anomalous diffusion // Phys. Rev.1.tt. 75,366(1995)

102. G. Matheron, G. de Marsily, Is transport in porous media always diffusive? Acounter example // Water Resour. Res. 16,901 (1980)

103. B.M. Финкельберг, Распространение волн в случайной среде. Методкорреляционных групп // ЖЭТФ 53,40 (1967)

104. А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, ЖЭТФ 35, 1158 (1958)

105. А. А. Абрикосов, Л.П. Горьков, ЖЭТФ 36,319 (1959)

106. А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский, Методы квантовой теорииполя в статистической физике. М.: ИФМЛ, 1962

107. В.И. Татарский, М.Е. Герценштейн, Распространение волн в среде с сильнымифлуктуациями показателя преломления // ЖЭТФ 44,676 (1963)

108. В.И. Татарский, Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука,1967

109. С.М. Рытов, Ю.А. Кравцов, В.И. Татарский, Введение в статистическуюрадиофизику, Часть 2 Случайные поля. М.: Наука, 1978

110. В.И. Кляцкин, Динамика стохастических систем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002 (иссылки там); он же: Стохастические уравнения глазами физика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 (и ссылки там)

111. И.М. Лифшиц, М.И. Каганов, В.М. Цукерник, Распространениеэлектромагнитных колебаний в неоднородных анизотропных средах // Учен. Зап. Харьковского университета 35, Труды физ. отделения физ.-мат. факультета 2, 41 (1950)

112. D.S. Fisher, Random walks in random environments // Phys. Rev. A 30, 960 (1984)

113. В. E. Кравцов, И. В. Лернер, В. И. Юдсон, Классическая диффузия в средах сослабым беспорядком //ЖЭТФ 91, 569 (1986)

114. M.W. Deem, Field-theoretic approximations for normal diffusion in random velocityfields // Phys. Rev. E 51,4319 (1995)

115. D.S. Fisher, D. Friedan, Z. Qiu, S.J. Shenker, S.H. Shenker, Random walks in twodimensional random environments with constrained drift forces // Phys. Rev. A 31,3841 (1985)

116. J.A. Aronovitz, D.R. Nelson, Anomalous diffusion in steady fluid flow through aporous medium // Phys. Rev. A 30,1948 (1984)

117. B. Derrida, J.M. Luck, Diffusion on a random lattice: Weak-disorder expansion inarbitrary dimension // Phys. Rev. В 28,7183 (1983)

118. Zh.S. Gevorkian, Yu.E. Lozovik, Classical diffusion in random fields with longrange correlations // J. Phys. A: Math. Gen. 20, L659 (1987)

119. Ж. С. Геворкян, Ю. E. Лозовик Классическая диффузия в случайном поле сдальними корреляциями. М.: ФИАН, Отд. теорет. физики, 1986; см. тж. Физ. Тв. Тела, 27,1800 (1985)

120. D.L. Koch, J.F. Brady, Anomalous diffusion in heterogeneous porous media // Phys.1. Fluids 31,965 (1988)

121. D.L. Koch, J.F. Brady, Anomalous diffusion due to long-range velocity fluctuationsin the absence of a mean flow // Phys. Fluids A 1,47 (1989)

122. A.3. Паташинский, B.JT. Покровский, Флуктуационная теория фазовыхпереходов. -М.: Наука, 1975

123. М.В. Федорюк, Метод перевала. М.: Наука, 1977

124. Ж. Зиин-Жюстен, Континуальный интеграл в квантовой механике. М.:1. ФИЗМАТЛИТ, 2006

125. М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, Методы теории волн в средах с дисперсией. М.:1. ФИЗМАТЛИТ, 2007

126. A.M. Дыхне, П.С. Кондратенко, Л.В. Матвеев, Перенос примеси вперколяционных средах // Письма в ЖЭТФ 80,464 (2004)

127. П.С. Кондратенко, Л.В. Матвеев, Асимптотические режимы и структурахвостов" концентрации в модели Дыхне // ЖЭТФ 131,494 (2007)

128. P.S. Kondratenko, L.V. Matveev, Random advection in a fractal medium with finitecorrelation length // Phys. Rev. E 75,051102 (2007)

129. M. Абрамович, И. Стиган (Ред.), Справочник по специальным функциям. М.:1. Наука, 1979

130. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

131. А.М.Дыхне, И.Л.Драников, П.С.Кондратенко, А.В.Попов, Аномальнаядиффузия в регулярно-неоднородных средах. М: ИБРАЭ, 2001

132. A.M.Dykhne, I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, A.V.Popov, Anomalous diffusion inregular fractured media. M: NSIRAS, 2002

133. A.M.Dykhne, I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, A.V.Popov, Anomalous diffusion inregularly non-uniform media // Proceedings of the International Groundwater Symposium, p. 408-411. Berkeley, 2002

134. A.M.Dykhne, I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, A.V.Popov, Anomalous diffusion inregular fractured media // Proceedings of the International Conference "Groundwater in Fractured rocks", p. 403-404. Prague, 2003

135. А.М.Дыхне, ИЛ.Драников, П.С.Кондратенко, A.B. Попов, Субдиффузия вкусочно-однородной среде // Изв. Акад. Наук (2004) № 4 с. 123-126

136. A.M.Dykhne, I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, Anomalous diffusion in regularlynon-uniform media // Journal of Hydraulic Research 43, No 2 (2005)

137. И.Л. Драников, Аномальная диффузия в регулярных трещиноватых средах // всборнике: "Сборник трудов III научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН: 18-19 апреля 2002 г". М.: ИБРАЭ, 2002

138. И.Л. Драников, Стохастический адвективно-диффузионный перенос примесейв сборнике: " Сборник трудов IV научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН: 24-25 апреля 2003 г ". М.: ИБРАЭ, 2003

139. I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, L.V.Matweev. Anomalous contaminant transport instochastic advection model. M: NSI RAS, 2003

140. И.Л.Драников, П.С.Кондратенко, Л.В. Матвеев, Аномальный переноспримесей в модели стохастической адвекции // Докл. Акад. Наук 394, 187 (2004)

141. И.Л.Драников, П.С.Кондратенко, Л.В. Матвеев, Режимы аномального переносав модели стохастической адвекции-диффузии // ЖЭТФ 125, 1082-10912004)

142. И.Л.Драников, П.С.Кондратенко, Л.В. Матвеев, Скейлинг в задачах переносарадионуклидов во фрактальных средах // Изв. Акад. Наук (2004) № 4 с. 127-134

143. I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, L.V.Matweev, Are the heavy tails in superdiffusiontheory well justified physically? // Laser Physics (2004) №3

144. A.M.Dykhne, I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, L.V.Matveev, Anomalous diffusionin a self-similar random advection field // Physical Review E 72, 0611042005)