автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численный анализ моделей аномальной кинетики методом Монте-Карло

На правах рукописи

САЕНКО ВЯЧЕСЛАВ ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ АНОМАЛЬНОЙ КИНЕТИКИ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической и математической физики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновский государственный

университет

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор, Учайкин Владимир Васильевич Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бутов Александр Александрович доктор физико-математических наук, профессор Лаппа Александр Владимирович Ведущая организация:

Московский государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится 3 марта 2004 года в /й. часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: г. Ульяновск, Набережная р. Свияга, д. 40, ауд. 703.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу:

432970, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого д. 42, УлГУ, научная часть.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан « 3/»

2004 года.

Ученый секретарь ^Л/ ../

диссертационного совета Веревкин

А.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы работы. Аномальной диффузией или аномальным переносом называются явления переноса, при которых ширина диффузионного пакета Д(£) растет со временем ? по закону

где показатель ¡1 отличается от его значения при нормальной диффузии, равного 1/2. В случае, если /I > 1/2 мы получаем супердиффузию, если (1 < 1/2 - субдиффузию.

За последние несколько десятилетий явления такого типа были обнаружены при изучении многих явлений, таких как перенос заряда в аморфных полупроводниках1'2, диффузия в турбулентных потоках3-'*, при изучении поведения стоимости акций на биржах5, перенос энергии в турбулентной плазме6, в квантовой оптике7 и т. д.

Для описания аномальной диффузии Монтролом и Вейсом8 в 1965 году была предложена модель скачкообразного случайного процесса, известного в западной литературе как Continuous Time Random Walk (CTRW). В этой модели предполагается, что частица может находиться одном из двух, последовательно сменяющих друг друга, состояниях: покой и движение. Причем, между двумя последовательными состояниями покоя частица перемещается мгновенно, а плотность распределения пробегов и времен покоя имеют тяжелые степенные хвосты вида г-"-1, где v > 0. В работе М. Котульского 9 показано, что асимптотическое распределение координаты

частицы при скачкообразном случайном процессе описывается дробно-

'Harvey. Scher, Elliott.W. Montrai. Anomalous Transit-Time Dispersion in Amorpous Solides. //Phys. Rev. B. v. 12, N 6, p. 2455 - 2477 (1975).

5Q. Gu, E.A. Schiff, S. Grenber, R. Schwartz. Non-Gaussian Transport Measurements and the Einstein Relation in Amorphous Silicon. //Phys. Rev. Lett., v. 76, N 17, p. 3196 - 3199 (1996).

'Eric R. Weeks and Harry L. Swinney. Anomalous diffusion resulting from strongly asymmetric random walks. //Phys. Rev. E. v. 57, N 5, p. 49X5 - 4920 (1998).

4M. F. Shlesingex, B. J. West, J. Klafter. Lévy Dynamics of Enchanced Diffusion: Application to Turbulence. //Phys. Rev. Lett. v. 5Я, N 11, p. 1100 - 1103 (1987).

sHari M. Gupta, José R- Campanha. The gradually truncated Lévy fight for systems with power-law distributions. //Physica A. v. 268, p. 231 - 239 (1999).

eB. A. Carreras, V. E. Lynch, D. E. Newman, G. M. Zaslavsky. Anomalous diffusion in a running sandpile model. //Phys. Rev. E. v. 60, N 4, p. 4770 - 4778 (1999).

rS. Schaufler, W. P. Schleich, and V. P. Yakovlev. Keyhole Look at Lévy Flights in Subrecoil Laser Cooling. //Phys. Rev. Lett., v. 83, N 16, p. 3162 - 3165 (1999).

>E. W. Montroll, G. H. Weiss. Random Walk on Lattices. )/J. Math. Phys.. v. 6, p. 167 - 181 (1965) *M. Kotulski. Asymptotic behavior of generalized Lévy walks. In: ChaosyThe Interplay Between Stochastic and Deterministic Behaviour (Garbaczewski, P., Wolf, M., and Weron, A., Eds).. // Sprmger, Berlin, p. 471-477 (1995)

A(i) ~ f, /I > 0,

(1)

РОС.'НАЦИОНАЛЬНА? .

БИБЛИОТЕКА

устойчивыми распределением. В работе В. В. Учайкина*0 показано, что асимптотическое распределение частиц, при скачкообразном случайном процессе, и при степенных распределениях пробегов и времен покоя, описывается уравнением в дробных производных (обобщенным уравнением диффузии), а решение этого уравнение выражается через дробно-устойчивые распределения.

В настоящее время не существует методов решения уравнений в дробных производных. Применяя преобразование Фурье-Лапласа, удается получить решение этих уравнений лишь в пространстве Фурье-Лапласа. Обратное преобразование, выраженное через элементарные или специальные функции, удается получить лишь в некоторых частных случаях. Плотности дробно-устойчивых распределений так же выражаются через элементарные или специальные функции, лишь в некоторых частных случаях. Методов вычисления дробно-устойчивых распределений, на сегодняшний день, так же не существует. Поэтому представляется целесообразным разработать алгоритмы приближенного численного решения уравнений в дробных производных и алгоритм вычисления плотностей дробно-устойчивых распределений. Принимая во внимание то факт, что дробно-устойчивые распределения появляются как предельные распределения скачкообразного случайного процесса, приводит к выводу об использовании метода Монте-Карло для решения поставленной задачи.

Модель скачкообразного случайного процесса можно применять для описания блужданий в таких системах, в которых возможно мгновенное изменение координаты блуждающей частицы. Например, в пространстве энергий, когда в результате столкновения энергий частицы мгновенно изменяется на какое-то значение. При изучении переноса вещества, ни о каких мгновенных перемещениях речи быть не может. Поэтому, для применения этой модели к реальным физическим процессам необходимо ввести конечную скорость v свободного движения частицы между столкновениями, и изучить ее влияние на распределение частиц.

Цель работы. Построить и исследовать алгоритм для решения задач аномальной диффузии методом Монте-Карло. Разработать алгоритм моделирования ДУ случайной величины, а так же алгоритм оценки плотности ДУ распределений. Научиться определять параметры распределений. Исследовать влияние конечной скорости на асимптотическое распределение частиц.

*°V. V. Uchaikin. Montroll-Weiss Problem, fractional Equations, and Stable Distributions. //Intern. J. of Theor. Phys.. v. 39, N 8, p. 2087 - 2105 (2000).

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать алгоритм метода Монте-Карло для решения задач аномальной диффузии.

2. Разработать алгоритм моделирования случайных величин, имеющих дробно-устойчивое распределение.

3. Разработать алгоритм вычисления плотностей дробно-устойчивых распределений.

4. Исследовать алгоритм оценки параметров распределений, принадлежащих к классу устойчивых и дробно-устойчивых законов, предложенный В. Е. Бенингом и В. Ю. Королевым.

5. Исследовать пространственные распределения в режимах нормальной диффузии, супердиффузии и субдиффузии и ЕЫЯВИТЬ эффект влияния конечной скорости на пространственное распределение частиц.

Научная новизна.

1. Впервые разработан алгоритм моделирования случайных величин, распределенных по дробно-устойчивому закону, предложен метод численной оценки плотности дробно-устойчивого распределения.

2. Исследован алгоритм оценки параметров дробно-устойчивых распределений по заданной выборке случайных величин, предложенный В. Е. Бенингом и В. Ю. Королевым.

3. Разработаны новые модификации метода Монте-Карло для моделирования аномальной диффузии, создана, программа, выполнены расчеты.

4. Показано, что созданная программа может быть использована для приближенного численного решения уравнений в частных производных дробного порядка.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Численные результаты, относящиеся к распределениям, в настоящее время используются для описания локальных флуктуаций частиц в магнитоактивной плазме в установке стеллараторе Л-2М в Институте общей физики АН.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы гистограммной и локальной оценок метода Монте-Карло для нахождения плотности пространственного распределения частиц в процессе аномальной диффузии. Вывод о применимости этих алгоритмов, в случае степенных распределений пробегов и времен покоя, к численному решению обобщенного уравнения диффузии (в дробных производных).

2. Вывод о том, что телеграфное уравнение, точно описывающее изотропное блуждание частицы вдоль прямой без ловушек с конечной скоростью свободного движения, в трехмерном случае хуже аппроксимирует точное решение, чем диффузионное приближение.

3. Вывод о том, что при супердиффузии, когда а 6 (1,2], учет влияния конечной скорости приводит к уменьшению коэффициента диффузии в уравнении супердиффузии. Форма распределения при этом сохраняется. При а < 1 супердиффузионный пакет расплывается в пространстве быстрее, чем пакет свободно движущихся частиц, и решения супердиффузионного и кинетического уравнения имеют разные асимптотики. Установлено, что в уравнении субдиффузии, при бесконечном среднем времени покоя, учет конечной скорости движения не сказывается на решении уравнения субдиффузии.

4. Распределение частиц в одномерной задаче при диффузии на фракталах отличается по форме от распределения при фрактальной диффузии.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на:

• международной конференции "Центры с глубокими уровнями в полупроводниках и полупроводниковых структурах", (Ульяновск 1997);

• научной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов", (Ульяновск, 1998);

• 7th Vilnius Conference on Probab. Theory 22nd European Meeting of Statisticians Abstracts, (Вильнюс, 2000);

• четвертой международной научно-технической конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов", (Ульяновск, 2001);

• Восьмая всероссийская школа-семинар по математике/Второй Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике -2001, (зимняя сессия), (Йошкар-Ола, 2001);

• "Восьмой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых"ВНКСФ-8, (Екатеринбург, 2002);

• XXII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Seminar on Statistical Data Analysis (SDA'2002) (Varna, Bulgaria, 25 May - 31 May, 2002)

• международной конференции по вычислительной математике, (Новосибирск, Академгородок, 2002);

• региональной научной конференции "Теоретические и прикладные проблемы физики", (Ставрополь, 2002);

• Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия), (Сочи, 2002);

• "Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых"ВНКСФ-9, (Красноярск, 2003);

• на ежегодных конференциях студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета.

Личное участие автора. Основные теоретические положения разработаны совместно с научным руководителем профессором Учайкиным В. В. Разработка алгоритмов, составление и отладка программ, проведение расчетов и анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.

Достоверность результатов. Достоверность представленных в диссертации результатов проверялась путем сопоставлений решений одной и той же задачи, полученными разными независимыми способами, а так же путем сопоставления с частными случаями, решение для которых известно в аналитическом виде. Результаты хорошо согласуются друг с другом.

Публикации. По теме диссертации опубликовало 25 работ, в том числе 15 статей (7 из них в центральной печати) и 10 тезисов на международных, всероссийских и региональных конференциях.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из 5 глав,

введения, заключения, четырех приложений, 69 рисунков, 6 таблиц, содержит 187 страницы текста, включая оглавление и списка литературы состоящего из 128 наименований.

Краткое содержание работы

Введение содержит обзор литературных данных. Проводится краткий исторический обзор развития исследований аномальной диффузии. Рассматриваются методы нахождения плотности распределения частиц в процессе аномальной диффузии, существующие на сегодняшний день.

Глава 1 посвящена описанию моделей блужданий частицы, алгоритмов нахождения плотности пространственного распределения частиц методом Монте-Карло и сопоставлению описанных алгоритмов между собой.

В параграфе 1.1. описываются модели блужданий частицы в одномерной среде с ловушками и без ловушек, как в случае конечной скорости, так и в случае бесконечной скорости. Модель блужданий в среде с ловушками и мгновенными прыжками частицы из одного положения в соседнее называется скачкообразным случайным процессом. 3 параграфе 1.2. описываются алгоритмы построения траекторий частицы для этих моделей. В параграфах 1.3. и 1.4. описываются алгоритмы гистограммной и локальной оценок плотности вероятности. Формула оценки плотности вероятности обнаружить частицу в точке с координатой х в момент времени t имеет вид

В случае гистограммной оценки ~ Ахк - величина ^го интервала, а

ЩАхк,Г)

hj(&xk,f) =

А хк

где N(Axk,t*) - количество траекторий, попавших в интервал Ахк в момент времени t*.. В случае локальной оценки zk = хк- точка, в которой

находится оценка плотности вероятности, а

Здесь K(t*) - количество столкновений, произошедших за интервал времени (0, £*), Хк - координата точки, в которой оценивается плотность вероятности в момент времени f*, Xi и ti - координата точки рассеяния и момент времени, в который это рассеяние произошло. К достоинствам локальной оценки относится то, что плотность вероятности оценивается в точке, а не в интервале. Это приводит к исчезновению горизонтальной составляющей погрешности. Недостатком локальной оценки является то, что время, затрачиваемое на моделирование одной траектории, увеличивается.

Еще одно преимущество локальной оценки заключается в том, что одна траектория вносит вклад в оценку плотности не один раз, а K(t*) раз. В результате, статистическая составляющая погрешности значительно уменьшается. Для ответа на вопрос какой из описанных алгоритмов выгоднее в параграфе 1.5. исследуется поведение дисперсии и вычисляется трудоемкость каждого из алгоритмов. Трудоемкость алгоритма определяемое как произведение дисперсии осредняемой величины £ на время расчета t одного значения £

Проведенные расчеты показали, что с увеличением времени t* алгоритм локальной оценки становится более трудоемким, чем алгоритм гистограммной оценки. Действительно, с увеличением в интервале времени (0,4*) происходит большее количество столкновений, а следовательно увеличивается число . Это приводит к увеличению

вычислительных операция и, как следствие, к увеличению трудоемкости. Однако, локальная оценка дает результаты непосредственно в точке, а не в интервале. Это делает ее более пригодной для вычислительных целей.

В главе 2 рассматриваются дробно-устойчивые распределения. Впервые дробно-устойчивые распределения появились в работе М. Котульского 11 в 1995 г. как предельные распредачения скачкообразного случайного процесса. Свое название - дробно-устойчивые распределения

«М. Kotulski. Asymptotic behavior of generalized Wvy walks. In: ChaosyThe Interplay Between Stochastic and Deterministic Behaviour (Garbaczewsld, P., Wolf, M., and Weron, A., Eds).. // Springer, Berlin, p. 471-477 (1995)

они получили в работе В. В. Учайкина и В. Ю. Королева12.

В параграфе 2.1. показано, что скачкообразный случайный процесс можно представить в виде суммы одинаково распределенный случайных величин случайного числа слагаемых

Kit)

т = г г* j=0

*М

T(K(t)) = £ Tj. j=о

(2)

Количество слагаемых КХ), в этих суммах, определяются из условия

Т{К(1)) ^ * < Т(К(Ь) + 1).

Сумма X(t) - имеет смысл случайной координаты частицы в момент времени t, а вторая сумма ^Щ^) - суммарного времени процесса блуждания, прошедшего с начального момента t — 0.

В случае, если распределение гу, которые мы будем обозначать через , и распределение , которое мы будем обозначать через , принадлежат области нормального притяжения строго устойчивых распределений с характеристической функцией

д(к\ а, в) — ехр |А;|а exp ¿^j^sign |, к 6 IR,

(3)

то, как следует из работы В. Ю. Королева и В. В. Учайкина распределение суммы X{t) в (2), будет описываться плотностью

00

а, (3,6) = / д(хуМа; а, /?,1

13

Это распределение называется дробно-устойчивым.

В параграфе 2.2. показано, что в случае произвольного вида распределения р(х) и Т]({) трансформанта Фурье-Лапласа плотности распределения суммы X(t), удовлетворяет уравнению

Это уравнение является частным случаем более общего уравнения, полученного в работах Ralf Metzler и Joseph Klafter14. J. Klafcer. A.

laB. Ю. Королев, В. В. Учабкин. Некоторые предельные теоремы для обобщенных процессов восстановления с тяжелыми хвостами. //ТВиП. т. 45, с. 809-811 (2000)

«В. Ю. Королев, В. В. Учайкив. Некоторые предельные теоремы для обобщенных процессов восстановления с тяжелыми хвостами. // TBvJI. т. 45, с. 809-811 (2000)

"Ralf Metzler and Joseph Klafter. The Random Walk's Guide To Anomalous Diffusion: A Fractional Dynamics Approach. //Physic» Reports, v. 339, p. 1-77 (2000)

Blumen, M. F. Shlesinger 15, J. Klafter и R. Silbey16 для скачкообразного случайного процесса.

В параграфе 2.3. получены алгоритмы оценки плотностей устойчивых и дробно-устойчивых распределений. В основе этих алгоритмов лежат формулы моделирования устойчивых и дробно-устойчивых случайных величин. Для моделирования устойчивой случайной величины применяется формула

У (а, 0) ± (2,0).

(5)

Дробно-устойчивую случайную величину можно моделировать по формуле

Z(a,ß)±[S(ßT0/aY(a, 0).

(6)

Здесь К(2,0) - изотропная гауссовская случайная величина, а 5(/?) и 5(а/2) - односторонние устойчивые случайные величины -субординаторы, для моделирования которых применяется алгоритм Каптера17'18

Беря за основу формулы (5) и (б) были получены алгоритмы оценки плотности устойчивых и дробно-устойчивых случайных величин. Формула оценки плотности устойчивого распределения имеет вид

где 5^(а/2) независимые копии 5(а/2). Для оценки плотности дробно-устойчивого распределения имеем

где Sj(Си/2) и Б^ОЗ) взаимно независимые копии соответствующих субординаторов.

Полученный алгоритм был использован для вычисления одномерных ДУ плотностей д(г; а, /?,0). Параллельно вычислялась и статистическая ошибка, присущая методу Монте-Карло. Более того, плотности для

15J. Klafter, A. Blumen, M. F. Shlesinger. Stochastic Pathway To Anomalous Diffusion. //Phys. Rev.

10J. Klafter and R. Silbey. Derivation of the Continuous-Time Random-Walk Equation. //Phys. Rev.

18V.V. Uchaiiin, V.M. Zolotarev. Chance end Stability. Stable Distributions and thetr Application».

некоторых значений а и fi были проверены путем сравнения с известными представлениями ДУ-распределений через специальные функции. Сравнение показало, что получаемые численные результаты совпадают с точными с точностью до четвертого знака после десятичной запятой.

Другой важной характеристикой распределения вероятностей, помимо ее плотности, являются квантили распределения, по которым можно восстановить функцию распределения вероятности. В параграфе 2.4. приведен алгоритм оценки квантилей распределения методом Монте-Карло. Вычислены децили дробно-устойчивых распределений. Показано, что при N —* ОО разработанный алгоритм сходится. Сравнение результатов расчетов с известными точными устойчивых распределений показало, что результаты совпадают вплоть до 3-х знаков после десятичной запятой.

В параграфе 2.5. исследуются алгоритмы оценок параметров дробно-устойчивых распределений, предложенные В. Е. Бенингом и В. Ю. Королевым13. Задача состоит в следующем. Дана независимая однородная выборка в которой распределение

каждой случайной величины совпадает с распределение случайной величины (6). Случайные величины Y (а, в) и S(/3) независимы. Параметры «,/?, А, 0 неизвестны. Задача состоит в статистической оценки этих параметров на основе выборки Xi,... ,Хп.

Проведенный анализ показал, что относительная погрешность результата оценки по алгоритму с известным масштабным параметром не превышает 5% для всех исследованных значений а И /3. Анализ алгоритма с неизвестным масштабным параметром выявил, что относительная погрешность результата оценки при /3 = 0.25 составляет 21%, и увеличивается с уменьшением показателя ¡3. Это приводит к выводу, что при значениях приведенный алгоритм применять

нельзя.

В главе 3 рассматривается нормальная кинетика, при этом рассматривается временная область, в которой устанавливается мезоскопический режим. Этот термин впервые введен в работе Salvador Godoy и L. S. Garcia-Colin20

Установлено, что в одномерной задаче в случае изотропного блуждания частицы с конечной скоростью свободного движения этот

"V. E. Beciug, V. Yu. Korolev, V. N. Kolokoltsov, V. V.Saenko, V.V.UchaUon, V. M. Zolotarev. Estimation of Parameters of fractional Stable Distributions. //Mathematical and Statistical Research Report Series, The Nottingham Trent University. No. 4/03 (2003)

10Salvador Godoy, L. S. Garcia-Colin. Mesoscopic diffusion as a non-Markov process. //Physica A. v. 258, p. 414-128 (1998).

процесс точно описывается телеграфным уравнением dyr{x,t) + d2pr(x,t) _ сд2рт(х, t)

где рт(х, t) - решение этого уравнения с граничными условиями

рт{х, 0) = S(x), [дрт(х, t)/dt]t- 0 = о,

а С - коэффициент диффузии. При этих начальных условиях решение Рт(х, состоит из двух слагаемых

pT(x,t)=p^(x,t)+p(r](x,t).

(8)

Первое описывает распределение частиц, не менявших до момента времени г направления своего движения. Они находятся в точках х — г и х = —г, образуя фронт диффузионного пакета, занимающего отрезок {—$,4], вероятность обнаружить частицу за пределами отрезка равна нулю

Здесь, скорость свободного движения V = 1. Второе дает непрерывную часть решения, заполняющая интервал между этими импульсами (—г < х<г):

При £ —» 00 решение телеграфного уравнения (8) переходит в решение диффузионного уравнения.

Анализа относительной погрешности

A(x,t)

pr{x,t)-pp{x, t) pT(x,t)

показал, что при можно применять

диффузионную модель для решения нестационарной односкоростной задачи теории переноса, при этом ошибка не будет превышать 10 %.

В параграфе 3.3. рассматривается задача об изотропном блуждании частицы в трехмерном пространстве с плоским бесконечным мгновенным источником. Показано, что в этом случае телеграфное уравнение

д2р др __ 1 д2р dt? + dt~ ifa?'

является уже приближенным и хуже аппроксимирует точное решение кинетического уравнения, чем диффузионное. Решение (9) отлично от нуля лишь на отрезке [—4/\/5,4/\/3) и имеет ¿-сингулярности в граничных точках, тогда как точное решение сосредоточено на отрезке [—¿,4] и в граничных точках имеет конечные разрывы величиной (2£)_1ехр {—4}, обусловленные не рассеянным излучением. На рис. 1 приведено точное решение кинетического уравнения, полученное методом Монте-Карло (точки) в сравнении с решением телеграфного уравнения (9) (сплошная линия) и решением диффузионного уравнения (пунктир). Из этого рисунка хорошо видно, что в этой задаче диффузионное решение лучше аппроксимирует точное решение кинетического уравнения, чем телеграфное уравнение.

Далее в работе

рассматривается анизотропное блуждание частицы. Угловое распределение частицы после вылета из источника и после каждого столкновения имеет вид

где |/х| < 1, а а = (Зи2 — 1)/(1 — I/2) ^ 0. Такой вид углового распределения позволяет плавно переходить от модели блуждания вдоль прямой (I/2 = 1) к трехмерному изотропному блужданию (у2 = 1/3). Решение кинетического уравнения методом Монте-Карло с учетом углового распределения (10), показало, что

по мерз приближения показателя в точном решении появляется

фронтовой всплеск, описывающий распределение частиц, движущихся все время с положительной х-проекцней скорости. В пределе V —» 1 этот фронтовой всплеск переходит в концевую 5- функцию решения телеграфного уравнения. Получена аппроксимация этого всплеска

где коэффициенты 7 и д определяются из системы уравнений

2Г(4/7)Г(2/7) [Г(3/7)12

М*)12

ехр{-*/2}, е =

Г(3/7)

2ТЩ(0Г(2/7)

ехрН/2}.

Здесь тп^) и 171-2- моменты 1 распределения, описывающего фронт диффузионного пакета. Эта моменты приведены в диссертации. На рис. 2 приведены результаты моделирования

фронтового всплеска методом Монте-Карло с в сравнении с аппроксимацией (11). Из этого рисунка видно что аппроксимация (11) удовлетворительно согласуется с результатами Монте-Карло. В результате выполненных ( расчетов можно сделать вывод, что при непрерывная

часть телеграфного уравнения

вполне уд°влетворительно р^ 2> Распредеяевия =

согласуется с реиением частиц, движущихся в положительном

кинетического уравнения и вместе с аппроксимацией (И)

кривые — аппроксимация (11)), и остальных фронтового всплеска может быть часТ1Щ1 хотя бы один раз изменивших знак

использована для аппроксимации

тоЧного реиения. результаты локальной оценки)

В главе 4 рассматривается аномальная кинетика. Аномальной кинетикой или аномальной диффузией называются процессы переноса при которых и ирина диффузионного пакета растет со временем t по закону

Д(*) ~ Р, 7 > 0.

(12)

При 7 = 1/2 мы получаем нормальную диффузию, при 7 > 1/2 -супердиффузию, при 7' < 1/2 - субдиффузию.

Не налагая пока ни каких условий на вид распределений р(х) и в параграфе 4.2. получено реи ение кинетического уравнения в пространстве Фурье-Лапласа, при блуждании частицы в среде с ловуиками и конечной скоростью движения. При мгновенных прыжках

частицы из одной точки в другую, полученное решение полностью совпадает с уравнением (4). Это означает, что решения этих уравнений при выборе одного и того же вида распределений р(х) И rj{t) должны совпадать,

В параграфе 4.3. приводится алгоритм оценки ширины диффузионного пакета методом Монте-Карло. При выборе в качестве распределений пробегов и времен покоя степенных распределений

р(х) ос ах^х'"'1, х-юо, 0 < а < 2, (13)

4(4) а ßfy-ß-\ t -> оо, 0 < ß < 1, (14)

и с учетом того, что частица совершает мгновенные прыжки из одного положения в другое, теоретическая зависимость (12) хорошо согласуется с результатами моделирования. Здесь же проводится анализ различных режимов диффузии.

В параграфе 4.4. рассматривается супердиффузионный режим блужданий при степенном распределении пробегов (13) и показательном распределении времени покоя. В предположении, что частица совершает мгновенные прыжки из одного положения в другое, процесс блуждания описывается уравнением в дробных производных

где р[х, 0) = S(x), (—Д)а/2 - дробная производная Рисса. Это уравнение называется уравнением супердиффузии. Решение этого уравнения выражается через устойчивые законы, и записывается в виде

р(х, t) = (Ci)"1/o g {x(Ct)~Va; а, в), (16)

где g(x\ а, в) - плотность устойчивого закона с характеристической функцией (3).

При учете конечной скорости свободного движения v, рассматриваются два случая; 1) среднее значение пробега не существует; и 2) средний пробег существует. В первом случае показано, что диффузионный пакет расплывается в пространстве быстрее, чем пакет свободно движущихся частиц, и решения уравнения супердиффузии (15) и кинетического уравнения имеют совершенно разные асимптотики.

Несмотря на это, в случае, когда а < 0.6 удалось получить аппроксимацию асимптотического распределения частиц при

4 " 00 й лу Г(2/3-т?) 1

где Г) — (2—За)/(2(1— а)). Более того, при а = 0.5 формула (17) является точной. Как указано в диссертации И. В. Яровиковой21 в этом случае моменты распределения (17) совпадают с моментами искомой плотности распределения, так же полученными в диссертации Яровиковой.

На рис. 3 приведены решение кинетического уравнения, полученного методом Монте-Карло, и аппроксимация (17) для случая а = 0.5. Из этого рисунка видно хорошее согласие аппроксимации (17) и результатов моделирования. В случае если указанную аппроксимацию

использовать уже нельзя, так как форма распределения получается совершенно другой.

Bo-втором случае, когда среднее значение пробега существует, влияние конечной скорости сводиться к замене в уравнении (15) коэффициента диффузии с С на

С. = (1 + a/(fv))-1C, где а = M Ç, т = M г,

(18)

а г - время покоя частицы. Это позволяет записать для асимптотической плотности диффундирующей с конечной скоростью свободного

21Яровихова И. В.. Численный анализ кинетической модели многомерной диффузии. / ¡Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ульяновский государственный университет, Ульяновск 2001

движения частицы уравнение в дробных производных

Решение этого уравнения сводится к решению уравнения (16), с заменой коэффициента диффузии на С„

Следовательно, учет влияния конечной скорости приводит лишь к уменьшению коэффициента диффузии в уравнении с дробным лапласианом, что сохраняет форму асимптотического

распределения: описываемого симметричным устойчивым

законом (см. рис. 4). Но зтот вывод справедлив только при условии а > 1. При ситуация совершенно иная: асимптотическое

распределение в случае конечной скорости никаким линейным преобразованием не приводится к решению с V = 00. По-видимому, это означает, что уравнение (15) с лапласианом степени а/2 при а < 1 вообще неприменимо к описанию реальных процессов диффузии.

В параграфе 4.5. рассматривается субдиффузионный режим блужданий при степенном распределении времени покоя (14) и показательном распределении пробега. С учетом этих предположений процесс блужданий описывается уравнением в дробных производных вида

д^р{х,{) Г*

№

= САр(х,г) +

Г(1-/3)

8(х),

(19)

где - дробная производная Римана-Лиувилля. Это уравнение называется уравнением субдиффузии. Решение этого уравнения р(х,$ выражается через дробно-устойчивые распределения

Условие /3^1 означает, что среднее время покоя частицы бесконечно. При конечном времени покоя (/? > 1) влияние ловушек сводится к замене

_ С

коэффициента диффузии в уравнении (19) С —* --—. а сама форма

1 4-о/г

распределения остается гауссовой.

При блуждании с конечной скоростью свободного движения, установлено, что когда среднее время покоя частицы бесконечно ,

то учет конечной скорости не влияет на ассимптотическое распределение частиц. Во втором случае, когда среднее время покоя существует, влияние конечной скорости сводится к замене коэффициента диффузии с С на С», а форма распредаления частиц становится гауссовой. Это подтверждается результатами расчетов, приведенных на рис. 5. На этом рисунке приведено распределение Гаусса с коэффициентом диффузии , в сравнении с результатами моделирования процесса блуждания при экспоненциальном распределении пробегов, и степенном распределением времени покоя при /? = 1.5. Из этого рисунка видно хорошее согласие результатов моделирования с решением обыкновенного уравнения диффузии.

Выбирая теперь распределения пробегов и времен покоя в виде степенных распределений (13) и (14) соответственно, в параграфе 4.6. показано, что процесс блужданий при этих предположениях и мгновенных прыжках из одной точки пространства в другую, описывается уравнением в дробных производных

= -С{-+ (20)

Это уравнение пазывается обобщенным уравнением диффузии. Его решение выражается через дробно-устойчивые распределения

Таким образом, обобщенное уравнение диффузии описывает асимптотическое (при ) поведение скачкообразного случайного

процесса, у которого пробеги и времена покоя распределены по законам (13) и (14) соответственно. Отсюда следует, что алгоритмы гистограммной и локальной оценок плотности распределения частиц при скачкообразном случайном процессе с распределениями пробегов и времен покоя в виде (13) и (14), являются алгоритмами приближенного численного решения уравнения в дробных производных (20).

Далее показано, что в случае мгновенных прыжков частицы, решения кинетического уравнения и обобщенного уравнения диффузии

совпадают при всех допустимых значениях а и ß. В случае, если частица между столкновениями двигается с конечной скоростью V, то эти решения, с учетом замены коэффициента диффузии на Cv, будут совпадать только при тех значениях а и ß, для которых выполняется условие ß/a < 1. При ßfa > 1, решения кинетического уравнения и обобщенного уравнения диффузии имеют совершенно различные асимптотики, и никаким линейным преобразование одно решение не сводится к другому.

В главе 5 рассматривается модель одномерной среды, представляющей из себя цепочку атомов {-Х*} =

... X\,Xi,..., обладающей следующими свойствами:

1) Хо = 0; 2)\Xi\ < е< г < j; 3) \Xj - = Yj взаимно

независимые, одинаково распределенные с плотностью р(х) случайные величины, которая в работе выбирается в виде (13). Такое случайное распределение атомов названа одномерным Лоренц газом22. Блуждание в такой среде, мы будем называть блужданием на фракталах.

В параграфе 5.2. описывается алгоритм моделирования блужданий на фракталах, и показано, что гистограммная оценка плотности пространственного распределения частиц имеет вид

= J^èÎ^nAxi),

где «7 - число построенных реализаций фрактала, / - число траекторий в каждом фрактале, Axi - длина 1-го интервала гистограммы, 1(х;Даг) - индикатор интервала Ах.

Используя результаты работы В. В. Учайкина23, в которой получена асимптотическая плотность распределения частиц при диффузии на фракталах, выраженная через плотности устойчивых законов, был получен алгоритм статистической оценки плотности распределения

где 5(a), S(ß) - субординаторы. На рис. 6 приведены результаты оценки плотности распределения частиц как для диффузии на фракталах, так и для фрактальной диффузии в случае степенного распределения пробегов и времени покоя. Из этого рисунка видно, что при диффузии

32Е. Barkai, V. Fleurov, an J. Klafter. One-dimensional stochastic Lévy-Lorentz gas. //Phys. Rev. E. v. 61, N 2, p. 1164-1169 (2000)

«V. V. Uchaikin. Anomalous Diffusion on a Ono-Dimensional R-actal Lorentz Gaz With Traping Atoms.. //In: Enrrgen£ Nature, World Scientific. New Jersey, p. 411-421 (2002)

2000

Рис. 6. Плотности распределений при Рис. 7. Характерная траектория при фрактальной диффузии и диффузии на диффузии на фракталах для значений а =

на фракталах диффузионный пакет расплывается медленнее, чем при фрактальной диффузии. Причину этого легко понять, если рассмотреть траекторию частицы при диффузии на фракталах, приведенную на рис. 7. Из этого рисунка видно, что частица как бы застревает между двумя соседними атомами, попадая в своего рода ловушку. Это и является причиной замедления расширения диффузионного пакета со временем. Как показано в работе В. В. Учайкина эта зависимость имеет вид Д(£) ОС 4 —♦ 00 в отличие от фрактальной диффузии (12).

В случае, если существует среднее значение расстояния между атомами, то в этом случае асимптотическое распределение частиц удовлетворительно описывается распределением Гаусса.

В приложении А приведены алгоритмы моделирования основных случайных величин. В параграфе АЛ. приведен алгоритм моделирования случайной величины, равномерно распределенной на интервале (0,1). В параграфе А.З. приведены алгоритмы моделирования случайных величин, распределенных по обратно степенному закону, экспоненциальному закону, по закону Коши, по закону Гаусса, по закону Леви. Так же приведены алгоритмы Кантера и Чамберса для моделирования случайных величин, распределенных с плогностями д(х~,(3,1) и д(х\а,в), соответственно. В параграфах А.4. и А.5.

фракталах доя параметров а = 0.75, /3 = 0.75,4 = 1000.1 - диффузия на фракталах, 2 - фрактальная диффузия. Точки -результаты Монте-Карло, сплошные линии - статистические оценки: 1 - алгоритм (21),

0.75, /3 = 1

2 — алгоритм (7)

приведены различные формы представления характеристической функции устойчивого закона, и свойства устойчивых случайных величин.

В приложении В представлена краткая информация о производных дробного порядка.

В приложении С приведены плотности дробно-устойчивых распределения, и плотности распределений при блужданиях на фракталах.

Основные результаты и выводы

• Разработаны алгоритмы гистограммной и локальной оценок метода Монте-Карло для нахождения плотности распределения частиц в процессе аномальной диффузии.

• Впервые разработан алгоритм моделирования случайных величин, имеющих дробно-устойчивое распределение. Разработаны алгоритмы оценки плотностей устойчивых и дробно-устойчивых распределения методом Монте-Карло. Используя эти алгоритмы были табулированы плотности дробно-устойчивых распределений.

• Исследован алгоритм статистической оценки параметров дробно-устойчивых распределений. Показано, что при значениях ¡3 ^ 0.25 алгоритм оценки с неизвестным масштабным параметром применять уже нельзя.

• В случае одномерного блуждания без ловушек с конечной скоростью движения частицы между столкновениями и с пробегом частицы, имеющим конечную дисперсию, показано, что телеграфное уравнение точно описывает этот процесс. В случае трехмерного изотропного блуждания в задаче с плоским источником телеграфное уравнение уже является приближенным и хуже описывает процесс блужданий, чем диффузионное уравнение.

Учет углового распределения приводит к исчезновению сингулярностей на границе диффузионного пакета и появлению на их месте фронтовых всплесков. При сильной анизотропии, когда непрерывная часть телеграфного уравнения

вполне удовлетворительно согласуется с решением кинетического уравнения и вместе с аппроксимацией фронтового всплеска может быть использовано для аппроксимации точного решения.

• Уравнение супердиффузии описывает асимптотическое распределение частиц при скачкообразном случайном процессе со степенным распределение пробегов и экспоненциальном распределении времени покоя. В случае а й (1,2] учет конечной скорости сводится к замене коэффициента диффузии на (18) в уравнении супердиффузии, при а < 1 решения кинетического уравнения и уравнения супердиффузии имеют разные асимптотики. При а < 0.6 получена аппроксимация формы диффузионного пакета.

Уравнение субдиффузии описывает асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса при экспоненциальном распределении пробегов и степенном распределении времени покоя. Решение этого уравнения выражаются через дробно-устойчивые плотности. В случае, когда не существует среднее время покоя частицы, то учет конечной скорости никак не влияет на асимптотическое распределение частиц. Если среднее время покоя частицы существует, то учет конечной скорости сводится к замене коэффициента диффузии в уравнении субдиффузии на (18), само распределение частиц будет описываться распределением Гаусса.

• Показано, что созданные алгоритмы оценки плотности распределения частиц в процессе аномальной диффузии могут быть применены для приближенного численного решения уравнений в дробных производных частного порядка.

• Распределения частиц в одномерной задаче при блуждании на фракталах отличается по форме от распределения частиц при фрактальной диффузии.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Золотарев В. М., Учайкин В. В., Саенко В. В. Супердиффузия и устойчивые законы. //ЖЭТФ. т. 115, в. 4, с. 1411-1425 (1999).

2. Uchaikin V.V., Saenko V.V. Stochastic Solution to Partial Differential Equations of Fractional Orders. ЦСибЖВМ; т. 6, № 2, с. 197 - 203 (2003).

3. Uchaikin V.V., Saenko V.V. Simulation of random vectors with isotropic fractional stable distributions and calculation of their probability density function. J/J. Math. Set. v. 112, N 2, p. 4211 - 4228 (2002)

4. Саенко В. В., Учайкин В. В., Яровикова И. В. О телеграфном уравнении в теории переноса. //Ученые записки УлГУ, Сер. Физ.. в. 1(6) с. 31-40 (1999)

5. Учайкин В. В., Яровикова И. В., Саенко В. В. Пространственные моменты в нестационарной задаче теории переноса с изотропным рассеянием.. /(Известия ВуЗОВ. Сер. Физика, т. 43, № 10, с. 11-28 (2000).

6. Uchaikin V. V. Saenko V. V. Telegraph equation in random walk problem. //Journal of Physical Studies, v. 4 № 4. p. 371-379 (2000).

7. Учайкин В. В.,Саенко В. В.. К теории классической мезодиффузии. //ЖТФ. т. 71, № 2, с. 8-15 (2001).

8. Учайкин В.В., Орлов В. А., Саенко В.В.. Точное решение задачи об одномерном блуждании частица в проблеме аномальной диффузии. //Труды международной конференции "Центры с глубокими уровнями в полупроводниках и полупроводниковых структурах", с. 41 (Ульяновск, 1997).

9. Uchaikin V. V., Jarovikova I. V., Saenko V. V. The moment method as applied to the fractal random walk with a finite speed. //7th Vilnius Conference on Probab. Theory 22nd European Meeting of Statisticians Abstracts, p. 440 (Vilnius, 2000).

10. Учайкин В.В., Саенко В.В.. Модификация метода Монте-Карло для решения задач нестационарной теории переноса. // Труды научной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов".. Ульяновск, 1998.

11. Саенко В.В.. Статистическое моделирование супердиффузионных процессов. // - Труды молодых ученых УлГУ. с. 26-29 (1998).

12. Учайкин В.В., Саенко В.В.. Статистическое моделирование аномальных процессов переноса. //Труды четвертой международной научно-технической конференции "Математическое моделирование физических, экономических,

технических, социальных систем и процессов". 10-12 декабря 2001 г, Ульяновск, с. 78 (2001).

13. Учайкин В.В., Саенко В.В. Одномерные блуждания на фрактальном газе с атомами-ловушками. //Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 8, в. 2, с. 705 (2001).

14. Саенко В.В. Блуждание на одномерном стохастическом фрактале с ловушками. //Сборник тезисов "Восьмой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых" (ВНКСФ-8). г. Екатеринбург. 2002 г. с. 330.

15. Учайкин В.В., Саенко В.В. Моделирование методом Монте-Карло решения уравнения в частных производных дробного порядка. //Материалы региональной конференции "Теоретические и прикладные проблемы современной физики". Ставрополь, СГУ, с. 289 - 296, (Ставрополь, 20-23 сентября, 2002 г.)

16. Бенинг В. Е, Королев В. Ю., Саенко В.В., Учайкин В.В. Моделирование дробно-устойчивых распределений и оценивание их параметров. //Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 9, в. 3, с. 586-587 (2002).

17. Bening V. К, Korolev V. Yu., Saenko V. V., Uchaikin V. V. One-dimensional fractional stable distributions. I. Simulation and calculation. //Abstracts of XXII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Seminar on Statistical Data Analysis (SDA'2002). p. 21 (Varna, Bulgaria, 25 May - 31 May, 2002)

18. Bening V. E., Korolev V. Yu., Saenko V. V., Uchaikin V. V. One-dimensional fractional stable distributions. II. Estimation of parameters. //Abstracts of XXII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Seminar on Statistical Data Analysis (SDA '2002). p. 22 (Varna, Bulgaria, 25 May - 31 May, 2002)

19. Bening V. E., Korolev V. Yu., Kolokoltsov V. N., Saenko V. V., Uchaikin V.V., Zolotarev V. M. . Estimation of Parameters of Fractional Stable Distributions. //Mathematical and Statistical Research Report Series, The Nottingham Trent University. No. 4/03 (2003)

20. Саенко В. В.. Применение дробно-устойчивых распределений для описания локального флуктуационного потока частиц в магнитоактивной плазме. //ВНКСФ-9. «Девятая Всероссийская

научная конференция студентов физиков и молодых ученых». 28 марта - 3 апреля 2003 г. Сборник тезисов., г. Красноярск, 2003 г., т. 1 с. 480 - 482

21. Саенко В. В.. Моделирование аномальной кинетики методом Монте-Карло. //Ученые записки УлГУ, Серия Физ.. вып. 1(13), с. 106-125 (2003)

22. Учайкин В. В., Гусаров Г. Г., Саенко В. В. Таблицы Дробно-устойчивых распределений. //Ученые записки УлГУ, Серия Физ.. вып. 1(13), с. 142-164 (2003)

23. Батанов Г.М., Петров А.Е., Пшеничников А.А., Сарксян К.А., Скворнрва Н.Н., Харчев Н.К., Хольнов Ю.В. Бенинг В.Е., Королев В.Ю., Саенко В.В., Учайкин В.В. Структурная плазменная турбулентность и аномальная неброуновская диффузия. //Стохастические модели структурной плазменной турбулентности, МГУ, ВМК. с. 148 - 182 (2003)

24. Бенинг В. Е., Королев В. Ю., Сухорукова Т. А., Гусаров Г. Г., Саенко В. В., Учайкин В. В.. Дробно-устойчивые распределения. //Стохастические модели структурной плазменной турбулентности, МГУ, ВМК. с. 291 - 360 (2003)

25. Uchaikin V. V., Yarovicova I. V., Saenko V. V.. Spatial Moments for the Nonstationary One- Velocity Problem of TVansport Theory with Isotropic Scattering. 2. Plane Instantaneous Source. //Russian Physics Journal v. 43, N 10, p. 871 - 875 (2000)

Подписано в печать 21.01.04. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета в лаборатории оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432970, г. Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42

»-2B87

Введение

1 Моделирование траектории частицы и оценка плотности распределения

1.1. Модель аномальной диффузии.

1.2. Алгоритмы моделирования траектории частицы.

1.3. Гистограммная оценка плотности распределения.

1.4. Локальная оценка плотности распределения.

1.5. Сопоставление алгоритмов гистограммной и локальной оценок плотности распределения.

1.0. Выводы.

2 Асимптотический анализ полуаналитическим методом Монте-Карло

2.1. Представление скачкообразного случайного процесса в виде случайной суммы.'

2.2. Уравнение для плотности распределения.

2.3. Оценка плотности дробно-устойчивых распределений . 5<

2.3.1. Вычисление устойчивых плотностей методом Монте-Карло.

2.3.2. Вычисление ДУ плотностей методом Монте-Карло

2/1. Вычисление квантилей ДУ распределений

2.5. Оценка параметров ДУ распределений

2.5.1. Случай известного параметра масштаба.

ОГЛАШЕНИЕЦ

2.5.2. Случай неизвестного параметра масштаба.G

2.G. ДУ распределения в физике плазмы.G

2.7. Выводы.

3 Нормальная кинетика. Мезодиффузия

3.1. Кинетическое уравнение.

3.2. Телеграфное уравнение.

3.3. Трехмерное блуждание частицы в среде с плоской симметрией.

3.4. Анизотропное блуждание.

3.5. Фронтовой всплеск.

3.G. Выводы.

4 Аномальная кинетика

4.1. Полеты Леви и пыль Леви

4.2. Интегральное уравнение процесса блуждании конечнойоростью и ловушками.

4.3. Ширина диффузионного пакета и её оценка методом Монте-Карло.

4.4. Супердиффузия

4.4.1. Уравнение супердиффузии.

4.4.2. ВЕЛчпсление momcietob распределения методом Монте-Карло.

4.4.3. Аномальная киЕЕетпка с ловушкамЕ! ноказателЕ>ноЕЧ) ТЕша а<1.

4.4.4. АномальЕЕая киЕЕетЕЕка с ловуЕЕЕкамЕЕ ЕюказательЕЮЕЧ) типа q > 1.

4.5. Субдиффузия.

4.5.1. УравнсЕЕЕЕе субдиффузии.

4.5.2. Учет влияния конечной скорости.

ОГЛАВЛЕНИЕ

4.G. Аномальная кинетика с ловушками и пробегами степенного тина.

4.7. Выводы.

5 Диффузия на фракталах

5.1. Диффузия на фракталах.

5.2. Алгоритм моделирования.

5.3. Статистическая оценка плотности.

5.4. Выводы.

Актуальность работы

Интерес, вызванный к проблеме аномальной кинетики объясняется тем, что за последние несколько десятилетий при изучении переноса химических элементов в геологических формациях [1], изучении прыжковой проводимости в легированных полупроводниках [2], изучении переноса, происходящих в ДНК [3, <1|, изучении переноса вещества во внешних силовых полях [5], при анализе поведения цен акций на биржах [G, 7] выяснилось, что они не укладываются в рамки классической теории случайных процессов.

Проведенные исследовании показали, что ширина диффузионного пакета Д(t), в таких процессах, описывается зависимостью

7>0. (!) где t - время. Явления переноса, в которых наблюдается зависимость (1) получили название процессы аномального переноса или аномальной диффузии. Эта зависимость описывает более обширный класс диффузионных моделей, в который входит и нормальная диффузия с показателем 7 = 1/2. В зависимости от показателя 7 аномальная диффузии разделяется на: субдиффузию (7 < 1/2), и супердиффузию - (7 > 1/2).

На сегодняшний день существует много работ, посвященных рассмотрению как субдиффузионных процессов, наблюдаемых при броуновском движении [8], при переносе в пористых системах (1, 9], на гребешковых структурах [10], при переносе заряда в аморфных полупроводниках [11, 12], при росте полимеров [13], динамики в полимерных структурах [14, 15], так и процессам сунердпффузнп, возникающих при блуждании в неоднородном поле скоростей [1G, 17, 18, 19, 20, 21], наблюдаемых в поведении цен на биржах [G, 7], проявляющихся в динамики частиц в Гамильтоновских системах [22, 23], в поведении животных при поиске нищи [24], описывающих перенос вещества в пористых средах [25], блуждание частицы под действием внешнего ноля [2G, 27, 28], перенос в турбулентной плазме [29], в определенных областях вращающихся потоков [30], диффузию в турбулентных потоках [31], динамику в хаотических системах [32], блуждание в полимерных цепях [33], а так же возникающих в квантовой оптике [34], и даже при движении бактерий [35].

Для решения проблемы аномальной диффузии применяются различные методы, основные на обобщении броуновского движения [8, 30], использующие уравнение Ланжевена [19, 27. 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43], обобщенное уравнение Ланжевена [18, 44, 45], основанные на обобщении обыкновенного уравнения диффузии [40], на использовании статистической термодинамики [17, 48, 49, 50], с: применением метода Монте-Карло [51], а также основанные на модели скачкообразного случайного процесса, более известного в западной литературе иод аббревиатурой CTRW (Continuous Time Random Walk), [1, 2, 5, 1G, 20, 25, 52, 53, 54, 55, 5G, 57, 58, 59, GO, Gl], Выбирая в этой модели степенное распределение пробегов и времен покоя, в этих работах показано, что такой процесс блужданий описывается уравнениями в дробных производных.

В связи с этим появился большой интерес к уравнениям в дробных производных, стали интенсивно развиваться методы их решения. Применяя определения и свойства производных и интегралов дробного порядка, описанных в книге [62, 03], появился ряд работ, в которых рассматриваются дробное уравнение диффузии [9, 1G, 04, G5, 00,

67J, дробное уравнение диффузии со сносом [52, 58|, дробный закон Фика [С8]. В работах [GO, 09, 70] показано, что решение уравнений в дробных производных выражается через устойчивые распределения. В некоторых частных случаях решение уравнений в дробных производных выражается через функции Фокса [39, 71] или через обобщенную функцию Митага-Леффлера [67, 72].

В работах [51, 73] большое внимание уделяется влиянию граничных условий на распределение плотности вероятности в случае полетов Леви. Изучается распределение времени первого посещения при полетах Леви [45]. Делаются попытки экспериментальной проверки правильности теории дробного уравнения диффузии. В работе [74] проводится изучение профилей концентрации в результате диффузии в пористой среде. Полученные профили сопоставляются с результатами, даваемыми дробным уравнением диффузии. На основе этих результатов делается вывод о справедливости формализма дробного уравнения диффузии.

Пе удивительно, что изучение аномальной диффузии на основе модели скачкообразного случайного процесса получило такое большое распространение. Ведь в основе всякой теории лежит какая-то, вполне определенная модель, изучение механизмов взаимодействия и связей в которой помогает лучше понять что происходит в реальности. Так и модель скачкообразного случайного процесса оказалась довольно простым, и довольно мощным инструментом изучения аномальной диффузии. Остановимся на этой модели более подробно, п рассмотрим что уже сделано на сегодняшний день.

В первые она была введена Монтроллом и Вейссом в 19G5 г. [75]. В работе [12] CTRW модель применяется для описания подвижности заряда (электронов или дырок) в аморфных полупроводниках, при исследовании которых было замечено, что подвижность зарядов зависит от толщины пленки. Для объяснения этого эффекта была предложена следующая модель. Перенос электрона или дырки осуществляется путем прыжков последних из одного состояния в другое?. Расстояние между соседними состояниями имеет некоторый разброс вокруг некоторого знамения. В этой работе весь материал делился на одинаковые ячейки, каждая из которых содержит много случайно расположенных локальных состояний. Процесс переноса заключается в последовательных прыжках из одного состояния в другое, и в итоге из одной ячейки в другую. Время прыжка т распределено с плотностью г/(т) и определяется как время, проходимое между прибытием в данную ячейку п временем, когда заряд иокидаег данную ячейку.

В работе [5G] для перехода частицы из одной точки в другую вводится плотность вероятности перехода ij)(r,t), т.е. xp(r,t)drdt это вероятность того, что частица сделает прыжок величиной г в промежуток времени /, t + dt. Используя эту плотность можно написать кинетическое уравнение, описывающее CTRYV модель. Плотность вероятности o{r.t), только что прибывших частиц в точку (г,/), при условии что частица стартовала в начальный момент времени t = 0 из начала координат г = 0, дается уравнением о

Это уравнение, вместе с уравнением для плотности вероятности приводит к интегральному уравнению, описывающему плотность вероятности p(r, I) обнаружить частицу в точке г в момент времени t

Q{r, t) = Q{r1'Щг — г', t — t') dr' + <*(0<*(r). p(r, t) = dr p(rт)ф{г — г', t — r) dr' + Ф(0<*(г)- (2) 0 где Ф(/) = f^ 7](т) dr, a ?](t) = J \'>(r,t)dr. Производя преобразование

Фурье - Лапласа уравнении (2) получаем простое соотношение! р(М) = р(МЖМ) + Ф(А), где Ф(А) = (1 — 5(А))/А. Легко видеть, что решение этого уравнении имеет вид

Г'"!(А) V (3)

A [l - А)

Это уравнение явлиется основным уравнением описывающим CTRW модель. Нахождение пространственного распределения частиц сводится к вычислению обратного преобразования Фурье-Лапласа, что не всегда возможно сделать. Поэтому пытаются упростить модель, и делается это при помощи выбора различного вида функции плотности перехода. Здесь возможны два варианта:

1. Пробеги £ и времена покоя т не зависят друг от друга |5G]. При этом, плотность перехода распадается на произведение плотности распределении пробега /)(£) и плотности распределения времени покоя г)(т)

2. Величина пробега £ зависит от времени покоя т [1G, 25, 5G, 58, 73]. Например, такая ситуация возникает при блуждании с конечной скоростью свободного движения. В этом случае, пробег и время связаны соотношением iP{r,t) = Лг-»6(г-Г).

Как и любая другая модель, модель аномальной диффузии при некоторых условиях должна сводится к известным моделям. Здесь, такой моделью является модель нормальная диффузии. Нормальная диффузии получается, если в качестве распределений пробега и времени покоя взять распределения, у которых второй момент конечен. Если это сделать, то мы сразу подпадаем под действие Ц1ГГ, и уравнение (3) сводится к обыкновенному уравнению диффузии, решением которого является распределение Гаусса.

Что бы получить зависимость (1) берутся степенные распределения. В результате CTRYV модель приводит к уравнениям в частных производных дробного порядка [ЗС, 52, 53, 58]. В этих работах рассматривается блуждание частица в среде с ловушками и мгновенными прыжками для двух случаев:

1. Субдиффузии, когда времена покоя распределены по степенному закону r](t) ос ВГ1)~\ 0 < (3 < 1, t —> оо, а величина прыжка имеет конечный второй момент;

2. Супердиффузия, когда пробеги имеют степенное распределения /»(.г) л: Аг""'"1. 0 < о < 2. .г — ос. а время пом.-я пмее; конечный второй момент.

В первом случае производи преобразование Фурье распределении пробегов, и Лапласа распределения времени и подставляя полученные трансформанты в уравнение (3), а затем производя обратное преобразование Фурье-Лапласа, приходим к уравнению в дробных производных, которое называется уравнением субдиффузии

В работах [3G, 52, 58] получено, решение этого уравнения, выраженное через функции Фокса х\

1-0/2,0/2) (0,1)

VcF

В случае супердиффузии уравнение, описывающее процесс блуждания,

-С(-Д)п'2лОМ), р(х,0) = 5(х), записывается в виде flpfa t) Ot а его решение, в приведенных выше работах, также выражено мере;? функции Фокса p(x,t) = -г-гН.

1 И1'0 ~i Г 2,2 кг

1,1/а), (1,1/2) (1,1), (1,1/2)

В случае, когда и пробеги и времена имеют степенные распределения, уравнение, описывающее процесс блужданий, записывается в виде дМх, 0 п( д \о/2 / ^ , t

--- -С (-Д) 0 +

В работе [GO] покачано, что решение этого уравнения принадлежит к классу дробно-устойчивых распределений. К сожалению, дробно-устойчивые распределений имеют явные выражения в виде плотности прстранственного распределения только в некоторых частных случаях. Поэтому, в этой работе результаты получены в виде транеформаиты Фурье-Лапласа. 'Гак же в этих работах не исследовалось влияние конечной скорости на плотность распределения частиц. В первую очередь, это связано с невозможностью произвести обратное преобразование Фурье-Лапласа уравнения (3). Это принципиальная проблема, которую до сих пор не удалось разрешить.

В работе М. Котульского [76] автор пошел другим путем. Он представил координату частицы х в момент времени t в виде случайной суммы одинаково распределенных случайных величин. В результате?, в этой работе впервые появился новый класс предельных распределений, которые получаются при рассмотрении асимптотики скачкообразного случайного процесса. При этом времена ожидания представляют собой независимые случайные величины, плотность распределения ?/(£) которых удовлетворяет условию r](t) ос 0 < /3 < 1, t оо,

BlHVlClUW

12 а прыжки так же являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения р(х), удовлетворяющей условию р(х) ос Ах~п~1, 0 < а < 2, х —* оо. Позднее (и, по-видимому, независимо) эти же распределения возникли в работах [77, 78]. А свое название, дробно-устойчивые (ДУ) распределения, они получили в работах Учайкина и Королева [79, 80, 81].

Одномерные дробио-устойчивые распределения характеризуются тремя параметрами: а € (0,2], Р Е (0,1] и в € [—1,1]. Параметр 9 характеризует асимметрию распределения относительно оси Оу. В случае, когда 0 = 1, все распределение сосредоточено на положительной полуоси, а в случае в = —1, распределение сосредоточено на отрицательной полуоси. Следует отметить, что класс ДУ распределений является более общим. В него, качестве подкласса, входят ус/гочивые распределения с параметром в = 1. Не секрет, ч то к числу устойчивых распределений принадлежат нормальное распределение (а = 2, в = 1,0 = 0), распределение Копш (а = 1,/3 = 1,0 = 0) и распределение Леви-Смирнова (а = \/2,в= 1.0 = 1). Не смотря на столь обширный класс ДУ распределений, только зги три распределения выражаюкя через элементарные функции. Ввиду этого численных значений ДУ плотностей пока нигде нет. Прпве;^у несколько примеров, в которых появляются устойчивые распределения.

Пример 1. Имеется плоская фольга, расположенная параллельно экрану, и отстоящая от него на расстоянии I. На этой фольге имеется точечный изотропный источник радиации. Радиоактивное излучение вызывает на экране вспышки. Требуется определить распределение этих вспышек. Выберем систему координат таким образом, что ось Oz совпадает с перпендикуляром, опущенным из источника на экран, а плоскость Оху совпадает с плоскостью экрана. В следствии того, что источник изотропный, необходимо получит распределение только одной координаты, допустим х. Пусть Ф - угол между направлением движении частицы и перпендикуляром к экрану (см. рис. 1). Этот угол является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [—тг/2. тг/2]. С учетом этого, в предположении, что траектория частицы представляет собой прямую линию, случайная координата частицы Л' будет определяться соотношением Л" = ЙанФ. Ввиду однозначного соответствия между Л" и Ф

Fx(x) = Р {X <х} = Р {Ф < с6(:г)} . оИ = arctan(.r//)

Принимая во внимание, что угол Ф равномерно распределен в интервале [О, тг], получим

Р {Ф < ф{х)} = РФ(ф(х)) = 1/2 + ф(х)/тг.

Здесь F^(x) - функция распределения случайной величины В конечном счете получим I

Рх(х) = F'x(x) = ф'(х)/тг к{12 + х2У

Это распределение называется распределением Копш.

Из этой простой модели видно, что распределение пробега испускаемой частицы, имеет степенной хвост

Рх{х) ос 1/ттх 2, \х\ —♦ оо с показателем а = 1.

Пример 2. Рассмотрим газ, состоящий из атомов или молекул, для которых возможен излучательный переход между двумя состояниями с разностью энергий hujQ. Введем функцию распределения а(а;) для испускаемых фотонов по частотам, так что a(u>)duj представляет собой вероятность того, что в процессе излучения испускается фотон с частотой, находящейся в интервале от и до и + duj. В результате различных процессов, протекающих в газе, излучение и поглощение за счет рассматриваемого перехода сосредоточено в некоторой области частот вблизи Распределение испускаемых и поглощаемых фошнов по частотам, описываемое? функцией а(и>), определяет характер поглощения п прохождения фоншов через газ.

Существует два механизма уширения спектральной линии |82|. Один связан с движением атомов, и приводит к доплеровскому упшрению спектральной линии. Другой механизм связан с взаимодействием излучаемой или поглощающей атомной частицы с окружающими ее частицами газа. Второй механизм приводит к лоренцовскому упшрению спектральной линии

Легко видеть, что это не что иное как распределение Копш. Для применения этого уширения необходимо, что бы время прохождения частицей размера д, где происходит рассеяние, было много меньше времени между соседними соударениями, т.е. а(ш) = v

4)

7Г [и2 + (Ш - ОД))2]' в „ 1 где v - скорость частицы, N - концентрации частиц, <тп - полное сечение

Рассчитаем теперь для лоренцовской линии вероятность Р {£ > г} того, что в изотропной газовой среде резонансный фотон пройдет расстояние г, не поглотившись. Вероятность того, что фотон с частотой и) пройдет расстояние г, не поглотившись, равна ехр{—k(uj)r}, где к(и>) - коэффициент поглощения газа на данной частоте и данном переходе. Поскольку вероятность испускании фотона в интервале частот от ш до со d'jj равна а(и)с1и, то вероятность того, что фотон не поглотится на расстоянии г, будет равной где £ - случайный пробег фотона. Подставляй сюда (-1), и беря интегргит. получаем где к{) - коэффициент поглощения в центре линии, /о - функция Бесселя.

В предельном случае, когда излучение переносится на расстояние, значительно превышающее длину пробега фотона в центре линии 1/А'о, эта формула даст

Таким образом, при выполнении условия (5), пробег фотона имеет степенное распределение.

Как я уже не раз отмечал, распределение Копш одно из немногих устойчивых распределений, имеющих выражение через элементарные функции. Ввиду того, что как устойчивые распределения, так и дробно-устойчивые распределения появляются при изучении аномальной соударении. Если учесть, что <т„ ~ q2, то получим

Nol'2 « 1. (тгЛог)-1/2, V» 1.

В нелеп по

10 кинетики, необходимо иметь методы вычисления плотностей ДУ распределений для произвольных значений параметров. К сожалению, на данный момент, таких методов не существует.

Стохастический подход к скачкообразному случайному процессу приводит и к очевидному методу исследованию - методу Монте-Карло. Не смотря на столь очевидный вывод до сих пор, по крайней мере, во всех приведенных выше работах, за исключением работы [51], метод Монте-Карло не применялся для анализа аномальной диффузии. Достоинство метода Монте-Карло заключается в том, что он позволяет получать распределения частиц для любых значений показателей а и а так же позволяет учесть конечную скорости движения частицы, и проанализировать ее влияние на распределение плотности вероятности.

Таким образом, разработка алгоритма метода Монте-Карло для решения задач аномальной кинетики, а так же анализ получаемых распределений представляет интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении.

Обзор диссертации по главам. 13 первой глав" описываются модели блужданий в одномерном пространстве для случая блуждания частицы в среде без ловушек и с ловушками. Рассматривается вопрос о том как изменятся эти модели если частица будет двигаться с конечной скоростью. Рассматривается модель скачкообразного случайного процесса как частный случай модели блуждании частицы в среде с ловушками в которой частица мгновенно перемещается из одной точки пространства в другую. На основе описанных моделей в параграфе 1.2. строятся алгоритмы моделирования траекторий методом Монте-Карло для случаев одномерного блуждания как с ловушками так и без ловушек и для трехмерного изотропного п анизотропного блуждании с плоской симметрией. Далее в параграфах 1.3. и 1.4. описываются алгоритмы гнстограммной оценки и локальной оценки плотности распределения частиц. Для случая локальной оценки дли

Внолсиио

17 каждой из описанных моделей блужданий описываются алгоритмы оценки плотности частиц. Далее в параграфе 1.5. сравниваются трудоемкости алгоритмов локальной и гистограммной оценок.

В главе 2 вводится понятие ДУ распределений и показано, что асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса описывается ДУ-раснределениями. Что бы показать это в параграфе 2.1. скачкообразный случайный процесс представляется в виде суммы случайного числа п слагаемых одинаково распределенных случайных величин и показывается, что эта сумма при п —* со имеет ДУ-распределение. Далее, в параграфе 2.2. выводиться уравнение для плотности распределения суммы. Исходя из определения плотности ДУ-расиределения в параграфе 2.3. строится алгоритм моделирования ДУ случайной величины и на основе этого алгоритма выводится алгоритм оценки плотности ДУ-расиределения и вычисления квантилей (параграф 2.-1.) методом Монте-Карло. В параграфе 2.5. описываются и проверяются алгоритмы оценки параметров ДУ распределений но независимой однородной выборке одинаково распределенных случайных величин.

В 3-й главе рассматривается блуждания в среде без ловушек и конечной скоростью движения частицы между двумя последовательными столкновениями. В параграфах 3.1. и 3.2. рассматривается случай одномерного изотропного блуждания с конечно скоростью движения. Выводится кинетическое уравнение и показывается, что решение телеграфного уравнения и совпадает с точным решением кинетического уравнения. Из чего делается вывод, что в случае одномерного изотропного блуждания с конечной скоростью движения телеграфное уравнение является точным описанием процесса блуждания, в то время как диффузионное уравнение является точным лишь в асимптотике больших времен. Из сопоставления решений телеграфного уравнения и уравнения диффузии определяется область (х, t) в которой можно применять диффузионную модель.

В параграфе 3.3. рассматривается трехмерное блуждание частицы без ловушек с конечной скоростью движения в плоской симметрии. Показано, что в этом случае телеграфное уравнение является уже приближенным и хуже описывает процесс блуждания, чем уравнение диффузии. Далее в параграфе 3.4. для плавного перехода модели трехмерного блуждания с плоским источником к модели блуждания вдоль прямой вводится угловое распределение частиц после рассеяния и после вылета из источника. Моделирование блужданий с учетом выбранного углового распределения показало, что увеличения анизотропии приводит к появлению фронтовых всплесков, которые в пределе (блужданий вдоль прямой) переходят в концевые 5-функцни решения телеграфного уравнения. В параграфе 3.5. получена аппроксимация этого фронтового всплеска.

Глава 4 посвящена анализу аномальной кинетики (или аномальной диффузии). В начале рассматриваются полеты Леви, как способ построения неоднородной среды. Обсуждаются некоторые свойства среды, такие как фрактальность и память, получаемых при полетах Леви. Далее в параграфе -1.2. выводится кинетическое уравнение, описывающее блуждание частицы с конечной скоростью свободного движения в среде с ловушками при произвольных распределениях пробегов и времен покоя. В параграфе 4.3. приводится алгоритм оценки зависимости ширины диффузионного пакета от времени. В зависимости от значений показателей а и (3 рассматриваются различные режимы аномальной диффузии: субдиффузия, сунердиффузии, квазибаллистическая диффузия, квазинормальная диффузия и супербаллистическая диффузия. Далее в параграфах 4.4. и 4.5. рассматриваются отдельно случаи сунердиффузии и с.убдиффузип соответственно. Вводятся уравнения сунердиффузии и субдиффузии и показывается, что эти уравнения описывают асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса при степенном распределении пробегов п экспоненциальном распределении времени покоя (супердиффузия), и экспоненциальном 1)аспределенни пробегов и степенном распределении времен покоя (субдпффзпя). Анализируется влияние конечной скорости на асимптотическое распределение частиц. В параграфе 4.G. рассматривается блуждание со степенным распределен нем пробегов и времен покоя. Показывается что полученные алгоритмы моделирования блужданий частицы со степенным распределением пробегов и времен покоя являются алгоритмами численного решения уравнений в дробных производных (обобщенного уравнения диффузии).

В 5-й вводится модель блужданий на фрак-пик;. Описываются ее основные свойства и её отличие от модели фрактальных блужданий. Приводится алгоритм моделирования блужданий на фракталах методом Монте-Карло. В параграфе 5.3. описан алгоритм оценки асимптотической плотности распределения частиц при блуждании на фракталах методом Монте-Карло. Результаты моделирования блужданий сравниваются с результатами оценки плотности и результатами моделирования фрактальных блужданий. На основе сопоставления результатов делается вывод, что в случае блужданий на фракталах диффузионный пакет расширяется медленнее чем в случае фрактальных блужданий. Блуждания на фракталах не описываются обобщенным уравнением диффузии.

5.4. Выводы

• Распределение частиц в одномерной задаче при диффузии на фракталах отличается по форме от распределения при фрактальной диффузии. Это приводит к выводу, что диффузии на фракталах не описывается обобщенным уравнением диффузии (4.37).

• При диффузии на фракталах частица как бы застревает между двумя соседними атомами, разделенными большим промежутком, попадая в своего рода ловушку. Это приводит к замедлению роста ширины диффузионного пакета. В случае диффузии на фракталах A(t) ос в то время как при фрактальной диффузии A(t) ос

• В случае когда существует среднее; значение расстояния между двумя соседними атомами (о > 1) и существует среднее время покоя частицы, распределение плотности вероятности частиц хорошо описывается расире;де:лением Гаусса.

Заключение

В работе рассмотрены следующие модели аномальной кинетики: скачкообразный случайный процесс, модель блужданий частицы с конечной скоростью свободного движения в среде с ловушками и в среде без ловушек. Получены следующие результаты:

1. Разработан алгоритм гистограммной оценки плотности распределения частиц для задачи аномального переноса. Так же разработана локальная оценка плотности распределения частиц методом Монте-Карло, позволяющая оценивать плотность распределения в точке, а не в интервале, как в случае гистограммной оценки. Результаты, получаемые алгоритмом локальной оценки, полностью свободны от горизонтальной составляющей погрешности. Сопоставление трудоемкости этих двух алгоритмов показано, что трудоемкость алгоритма локальной оценки больше трудоемкости алгоритма гистограммной оценки, и с увеличением времени t* (здесь V момент времени при для которого находится распределение частиц) трудоемкость алгоритма локальной оценки возрастает. Не смотря на это, отсутствие горизонтальной составляющей погрешности у результатов локальной оценки ставят их в более выигрышное положение, по сравнению с результатами гистограммной оценки.

2. Разработан алгоритм моделирования дробно-устойчивой случайной величины (2.14). Кроме этого разработаны алгоритмы оценки плотностей устойчивых и дробно-устойчивых распределений методом Монте-Карло. Эти алгоритмы позволяют оценивать значение плотности в точке, что позволяет получать результаты с заранее заданной точностью. С помощью этих алгоритмов были табулированы симметричные плотности дробно-устойчивых распределений (таб. С.1, см. Приложение С). Сравнение результатов расчетов с известными представлениями дробно-устойчивых распределений через специальные функции, показало совпадение результатов вплоть до четвертого знака после десятичной занятой. Разработан алгоритм вычисления квантилей дробно-устойчивых распределений. С помощью этого алгоритма вычислены децили дробно-устойчивых распределений (см. таб. 2.1). Сравнение значений вычисленных дицилей с децилями устойчивых распределений, показало совпадение трех значащих цифр после деся п I ч н о й зап я то й.

3. Исследованы алгоритмы оценки параметров дробно-устойчивых распределений но выборке независимых одинаково распределенных случайных величин, при известном масштабном параметре А, и в случае когда он не известен. Проведенные расчеты по этим двум алгоритмам показали, что алгоритм с известным параметром масштаба при всех значениях а и (3 дает результаты с относительной ошибкой, не превосходящей 5%, в то время как относительная ошибка алгоритма с неизвестным параметром масштаба возрастает но мере уменьшения значения (3. При значениях (3 ^ 0.25 относительная ошибка алгоритма достигает 29%. Это означает, что значениях параметра (3 ^ 0.25 этот алгоритм не применим для оценки параметров дробно-устойчивых распределений.

4. Анализ модели нормальной диффузии (блуждание с конечной скоростью без ловушек с пробегами, имеющими конечный второй момент) показал, что в одномерном случае (блуждание вдоль прямой) этот процесс точно описывается телеграфным уравнением. Решение телеграфного уравнения состоит in двух частей, непрерывной части, описывающей многократно рассеянные частицы, и сингулярной части, описывающей фронт диффузионного пакета, т.е. те частицы, которые не испытали ни одного столкновения или испытали многократные столкновения, но при этом рассеивались в направлении первоначального направления движения. За пределами этого фронта плотность распределения частиц равна нулю. При t —* оо решение телеграфного уравнения переходит в решение диффузионного уравнения.

При рассмотрении трехмерного блуждания с конечной скоростью и плоским бесконечным изотропным источником установлено, что в этой задаче телеграфное уравнение является приближенным, и хуже аппроксимирует решение кинетического уравнения, чем диффузионное уравнение.

Учет углового распределения приводит к исчезновению сингулярностей на границе диффузионного пакета, и появлению на их месте фронтовых всплесков, отражающих распределение частиц испытавших рассеяние в направлении своего первоначального движения на малый угол. При сильной анизотропии, когда и2 > 0.7 непрерывная часть телеграфного уравнения вполне удовлетворительно согласуется с решением кинетического уравнения и вместе с аппроксимацией фронтового всплеска (3.28) может быть использовано для аппроксимации точного решения.

5. Уравнение супердиффузии (4.17) описывает асимптотическое распределение частиц при скачкообразном случайном процессе, в котором пробеги имеют степенное распределение, а время покоя между двумя последовательными прыжками имеет конечный второй момент. Решение уравнения супердиффузии принадлежит к классу устойчивых законов с характеристическим показателем а.

Учет конечной скорости приводит к следующим результатам.

При Ос G (1,2] с учетом замены коэффициента диффузии с С на Cv = (1 + a/fv)~1C, где r-скорость частицы, асимптотическое распределение частиц так же описывается уравнением супердиффузии. При о < 1 супердиффузионный пакет расплывается в пространстве быстрее, чем пакет свободно движущихся частиц и решения супердиффузионного и кинетического уравнений имеют совершенно разные асимптотики. При а < 0.G асимптотическое распределение частиц хорошо описывается аппроксимацией (4.24).

Уравнение субдиффузии (4.33) описывает асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса со степенным распределением времени покоя и с пробегами, имеющими конечный второй момент. Решение уравнения субдиффузии принадлежит к классу дробно-устойчивых распределений. Учет конечной скорости приводит к следующим результатам. При (3 € (0,1], когда т = оо, абсолютно безразлично с какой скоростью двигается частиц (конечной или бесконечной). Другими словами, в этом случае, конечная скорость никак не влияет на асимптотическое распределение части которое по прежнему будет описываться уравнением субдиффузии. В случае, если среднее время покоя частицы конечно, то асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса описывается распределением Гаусса, а учет конечной скорости приводит к замене коэффициента диффузии С на Cv.

G. Установлено, что обобщенное уравнение диффузии (4.37) описывает асимптотическое распределение частиц в модели скачкообразного случайного процесса с распределением пробегов р(х) ос х-""1 и времен покоя rj(t) ос в случае мгновенных прыжков для всех значений a G (0,2] и (3 G (0,1]. При конечной скорости движения, и при выполнении условия (3/а > 1 (сунербаллнстический режим) диффузионный пакет расплывается быстрее, чем пакет свободно движущихся частиц и решения обобщенного уравнения диффузии и кинетического уравнения имеют разные асимптотики. Это обстоятельство может служить основанием для вывода о неприменимости обобщенного уравнения диффузии к описанию реальных физических процессов области значений показателей а и /3, когда (3/а > 1. Для всех остальных значений а и (3 решения кинетического уравнения и уравнения (4.37) имеют одинаковые асимптотики, и учет конечной скорости сводится к замене коэффициента диффузии С на Cv.

7. Установлено, что алгоритмы локальной и гисгограммной оценок плотности распределения частиц, в модели скачкообразного случайного процесса при степенных распределениях пробегов и времен покоя, являются алгоритмами численного решения обобщенного уравнения диффузии (уравнения в дробных производных) для всех значений а и /?, из их области определения. При учете конечной скорости движения частицы для численного решения обобщенного уравнения диффузии можно применять указанные алгоритмы только для тех значений а и р, для которых выполнено условие (3/а < 1.

8. Установлено, что в случае диффузии на фракталах диффузионный пакет расширяется но закону A(t) ~ в то время как в случае фрактальной диффузии эта зависимость имеет вид A(t) ~ Замедление расширение пакета связано с тем, что при диффузии на фракталах частица как бы застревает между двумя соседними атомами, попадая в своего рода ловушку. Это приводит к тому, что распределение частиц при диффузии на фракталах отличается но форме от распределения при фрактальной диффузии, а сам процесс блуждания уже не описывается обобщенным уравнением диффузии.

Разработан алгоритм статистической оценки асимптотического распределения плотности вероятности при диффузии на фракталах.

В случае, когда расстояние между соседними атомами имеет конечное среднее значение, а время покоя между двумя последовательными прыжками имеет конечный второй момент, то асимптотическое распределение частиц удовлетворительно описывается распределением Гаусса.

1. Gennady Margolin and Brian Berkowitz. Application of Continuous Time Random Walks to Transport in Porous Media.//,]. Phys. Chem. B. 104, p. 3942-3947 (2000).

2. W. A. Curtin. Accurate DC Conductivity for Hopping Conduction within the Continuous Time Random Walk Approach. //.J. Phys. Chem. B.v. 104, p. 3937-3941 (2000).

3. M. Bixon and Joshua .Jortner. Energetic Control and Kinetics of Hole Migration in DNA.//.1. Pliys. Chem. B.v. 104, p. 390G-3913 (2000).

4. Bruce J. West, David R. Bickel. Molecular evolution modeled as a fractal statistical process.// Physica A. v. 249, p. 544 552 (1998).

5. Ralf Metzler, Eli Barkai, .Joseph Klafter. Anomalous transport in disordered systems under the influence of external felds. //Physica A. v. 266, p. 343- 350 (1999).

6. Hari M. Gupta, .Jose R. Campanha. The gradually truncated Levy fight for systems with power-law distributions. //Physica A. v. 268, p. 231 -239 (1999).7J M.Yu. Romanovsky. Model space of economic events. //Physica A. v. 265, p. 264 278 (1999)

7. Ralf Metzler and .Joseph Klafter. From a Generalized Chapman-Kolmogorov Equation to the Fractional Klein-Kramers Equation. //.J. Phys. Chem. B.v. 104, p. 3851-3857 (2000)

8. Tatiana Zavada, Norbert Sudland, Rainer Kimmich, and T. F. Nonnen-inaclier. Propagator representation of anomalous diffusion: The orien-tational structure factor formalism in NMR. //Phys. Rev. E. v. 60, N 2, p. 1292- 1298 (1999)

9. V.E. Arkhincheev. Anomalous diffusion and charge relaxation on comb model: exact solutions. //Physica A. v. 280, p. 304 314 (2000).

10. G. Pfister, H. Scher. Time-dependent electrical transport in amorphous solids: As2Se3.//Phys. Rev. B.v. 15, N 4, p. 2062 2083 (1977).

11. Harvey. Scher, Elliott.W. Montrol. Anomalous Transit-Time Dispersion in Amorpous Solides. //Phys. Rev. B.v. 12, N C, p. 2455 2477 (1975).

12. B. Cleuren and C. Van den Broeck. Random walks with absolute negative mobility. //Phys. Rev. E. v. 65, 030101(R) (2002).

13. F. Amblard, Л.С. Maggs, B. Yurke, A. N. Pargellis, and S. Leibler. Subdifjusion and Anomalous Local Viscoclasticity in Actin Networks. //Phys. Rev. Lett., v. 77, N 21 p. 4470 4473 (1996).

14. E. Barkai, J. Klafter. Comment on "Subdiffusion and Anomalous Local Viscoclasticity in Actin Networks". //Phys. Rev. Lett., v. 81, N 5, p. 1134 (1998)

15. V.V. Yanovsky, A.V. Chechkin, D. Schertzer, A.V. Tur. Levy anomalous diffusion and fractional Fokker-Planck equation. //Physica A. v. 282, p. 13 34 (2000).

16. Juha Honkonen. Stochastic Processes With Stable Distribution in Random Environments. //Phys. Rev. E.v. 53, N 1 p. 327 331 (199G).

17. G. Zumofen, J. Klafter. Scale-Invariant Motion in Intermittent Chaotic Systems. //Phys. Rev. E.v. 47, N 2, p. 851 863 (1993)

18. Albert Compte, Manuel O. Caceres. Fractional Dynamics in Random Velocity Fields. //Phys. Rev. Lett,, v. 81, N 15, p. 3140 3143 (1998).

19. V. Latora, A. Rapisarda, S. Ruffo. Chaotic dynamics and superdiffusion in a Hamiltonian system with many degrees of freedom, j/Physica A. v. 280, p. 81 86 (2000).

20. Vito Latora, Andrea Rapisarda, Stefano Ruffo. Superdiffusion and Out-of-Equilibrium Chaotic Dynamics with Many Degrees of Freedoms. //Phys. Rev. Lett., v. 83, N 11, p. 2104 2107 (1999).

21. G.M. Viswanathan, V. Afanasyev, Sergey V. Buldyrev, Shloino Havlin, M.G.E. da Luz, E.P. Raposof, H. Eugene Stanley. Levy flights in random searches. //Physica A. v. 282, p. 1 12 (2000).

22. G. Zumofen, A. Blunien, J. Klafter. Current Flow Under Anomalous-Diffusion Condition: Levy Walks. //Phys. Rev. A. v. 41, N 8 p.4558 -4561 (1990).

23. E. Barkai and V. N. Fleurov. Generalized Einstein relation: A stochastic modeling approach. //Phys. Rev. E.v. 58, N 2, p. 1296 1310 (1998).

24. Hans C. Fogedby. Levy flights in quenched random force fields. //Phys. Rev. E.v. 58, N 2, p. 1690 1712 (1998).

25. V.E. Arkhincheev, A.V. Nomoev. About nonlinear drift velocity at random walk by Levy flight: analytical solution and numerical simulations. //Physica A.v. 269, p. 293 298 (1999).

26. B. A. Carreras, V. E. Lynch, D. E. Newman, G. M. Za-slavsky. Anomalous diffusion in a running sandpile model. //Phys. Rev. E.v. 60, N 4, p. 4770 4778 (1999).

27. Eric R. Weeks and Harry L. Swinney. Anomalous diffusion resulting from strongly asymmetric random walks. //Phys. Rev. E.v. 57, N 5, p. 4915 4920 (1998).

28. M. F. Shlesinger, В. Л. West, Л. Klafter. Levy Dynamics of Enchanccd Diffusion: Application to Turbulence. //Phys. Rev. Lett,, v. 58, N 11, p. 1100 1103 (1987).

29. T. Geisel, J. Nierwetberg, A. Zacherl. Accelerated Diffusion in Joseph-son Junctions and Related Chaotic Systems. //Phys. Rev. Lett., v. 54, N 7, p. 61G- 619 (1985).

30. I. M. Sokolov, Л. Mai, and A. Blumen. Paradoxal Diffusion in Chemical Space for Nearest-Neighbor Walks over Polymer Chains, j jPhys. Rev. Lett,, v. 79, N 5, p. 857 860 (1997).

31. S. Schaufler, W. P. Schleich, and V. P. Yakovlev. Keyhole Look at Levy Flights in Subrccoil Laser Cooling. //Phys. Rev. Lett., v. 83, N 1G, p. 31G2 31G5 (1999).

32. Arpita Upadhyaya, Jean-Paul Rieu, James A. Glazier, Yasuji Sawa-da. Anomalous diffusion and non-Gaussian velocity distribution of Hydra cells in cellular aggregates. //Physica A. 293, p. 549-558 (2001).

33. Ralf Metzler and Albert Compte. Generalized Diffusion-Advection Schemes and Dispersive Sedimentation: A Fractional Approach. //J. Phys. Chem. B.v. 104, p. 3858-3865 (2000).

34. Hans C. Fogedby. Langevin equation for continous time Levy flights. //Phys. Rev. E,.v. 50, N 2, p. 1657- 1660 (1994).

35. Frank E. Peseckis. Statistical Dynamics of Stable processes. //Phys. Rev. A.v. 36, N 2, p. 892 902 (1987)

36. Bruce J. West, Paolo Grigolini, Ralf Metzler, Tlieo F. Noimenmach-er.Fractional diffusion and Levy stable processes.//Phys. Rev. E.v. 55, N 1, p. 99- 106 (1997).

37. Suno Jespersen, Half Metzler, Hans C. Fogedby. Levy flights in external force fields: Lanyevin and fractional Fokker-Planck equations and theirsolutions. //Phys. Rev. E. v. 59, N 3, p. 273G 2745 (1999).

38. Ralf Metzler and Joseph Klafter. Subdiffusive transport close to thermal equilibrium: From the Langevin equation to fractional diffusion. //Phys. Rev. E.v. 61, N 6, p. 6308 6311 (2000).

39. Lisa Borland. Microscopic dynamics of the nonlinear Fokker-Planck equation: A phenomenological model. //Phys. Rev. E.v. 57, N 6, p. 6634 6632 (1998).

40. Hans C. Fogedby. Levy Flights in Random Environments. //Phys, Rev. Lett., v. 73, N 9, p. 2517 2520 (1994).

41. K.G. Wang, M. Tokiiyama. Noncquilibrium statistical description of anomalous diffusion. //Phywcn A. v. 265, p. 341 351 (1999).

42. Govindan Rangarajan, Ming/lion Ding. Anomalous diffusion and the first passage time problem. //Phys. Rev. E.v. 62, N 1, p. 120 133 k (2000).

43. Ralf Metzler, Joseph Klafter. Boundary value problems for fractional diffusion equations. //Physica A. v. 278, p. 107 125 (2000).

44. R. Hilfer. Classification Theory for Anequlibriurn Phase Transition. //Phys. Rev. E.v. 48, N 4 p. 2466 2475 (1993).

45. Constantino Tsallis, Dirk Jan Bukniaii. Anomalous diffusion in the presence of external forces: Exact time-dependent solutions and their thennostatistical basis. //Phys. Rev. E.v. 51, N 3, p. R2197 R2200 (1996).

46. Constantino Tsallis, Silvio V. F. Levy, Andre M. C. Souza, Roger May-nard. Statistical-Machanical Foundation of the Ubiquity of Levy Distributions in Nature. //Phys. Rev. Lett., v. 75, N 20, p. 3589 3593 (1995).

47. Damian Н. Zanettc and Pablo Л. Alemany. Thermodynamics of Anomalous Diffusion. //Phys. Rev. Lett., v. 75, N 3, p. 366-369 (1995).

48. P. M. Drysdale and P. A. Robinson. Levy random walks in finite systems. //Phys. Rev. E.v. 58, N 5, p. 5382 5394 (1998).

49. Ralf Metzler and .Joseph Klafter. The Random Walk's Guide To Anomalous Diffusion: A Fractional Dynamics Approach. //Physics Reports, v. 339, p. 1-77 (2000).

50. B.I. Henry, S.L. Wearne. Fractional reaction diffusion. //Physica A. v. 276, p. 448-455 (2000).

51. Alexei Vazqueza, Oscar Sotolongo-Costaa, Francois Brouersc. Diffusion regimes in Levy flights with trapping. / J Physica A. v. 264, p. 424 431 (1999).

52. E. Barkai and V. N. Fleurov. Levy walks and generalized stochastic collision models. //Phys. Rev. E.v. 56, N 6 p. 6355 6361 (1997)

53. Ralf Metzler, Joseph Klafter, Igor M. Sokolov. Anomalous transport in external fields: Continuous time random walks and fractional diffusion equations extended. //Phys. Rev. E.v. 58, N 2, p. 1621 1633 (1998).

54. J. Klafter and R. Silbey. Derivation of the Continuous-Time Random-Walk Equation. ЦPhys. Rev. Lett., v. 44, N 2, p. 55 58 (1980).

55. V. V. Uchaikin. Montroll-Weiss Problem, Fractional Equations, and Stable Distributions. //Intern. J. of Theor. Phys. v. 39, N 8, p. 2087 -2105 (2000).

56. Gl. V. V. Ucliaikin. Anomalous Transport Equation and Their Application to Fractal Walking. //Physica A. v. 255, p. G5-92 (1998).

57. С. Г. Самко, Л. А. К ил бас, О. И. Маричен. Интегралы п производные дробного порядка и некоторые их прилоэюепия.— Минск.: Наука и техника. 1987 г., —357 с.

58. К. S. Miller and П. Ross. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. -New York.: Wiley. 1993 г.,— с.

59. R. Hilfer and L. Anton. Fractional Master Equation and Fractal Time Random Walks./, Phys. Rev. E.v. 51, N 2, p. R848 R851 (1995).

60. P. Grigolini, A. R< vco, B. J. West. Fractional calculus as a macroscopic manifestation of r- ulomness. //Pliys. Rev. E.v. 59, N 3, p. 2603- 2613 (1999).

61. Mark M. .Meerschaert, David A. Benson, Boris Bannier. Multidimensional advection and fractional dispersion. //Pliys Rev. E.v. 59, N 5. p. 5026 5028 (1999).

62. Mark M. Meersch •'.»Tt, David A. Benson, Hans-Peter SchefHer, Boris Ваешиег. Stochastic solution of space-time fractional diffusion equations. //Phys. Rev. E.v. 65, 041103 (2002).

63. Paolo Paradisi, Rita Cesari, Francesco Mainardi, Francesco Tampieri. The fractional Fick's law for non-local transport processes. //Physica Л.293. p. 130 142 (2001).

64. Bruce J. West. Qua;turn Levy Propagators.//.I. Pliys. Chem. B.v. 104, p. 3830-3832 (2000).

65. Barry D. Hughes. .1 nomalous diffusion, stable processes, and generalized functions. //Phys. Rev. E.v. 65, 035105(R) (2002).

66. Gennady Margolin and Brian Berkowitz. Spatial behavior of anomalous transport. //Phis. I lev. E.v. 05, 031101 (2002).

67. R. Hilfcr. Fractional Diffusion Based on Riernann-Liouville Fractional Derivatives.//Л. Phys. Chum. B.v. 104, p. 3914-3917 (2000).

68. G. Zumofen and Л. Klafter. Absorbing Boundary in One-Dimensional Anomalous Transport. //Phys. Rev. E. v. 51, N 4, p. 2805 2814 (1995).

69. Andreas Klemm, Ralf Metzler and Rainer Kimmich. Diffusion on random-site percolation clusters: Theory and NMR microscopy experiments with model objects.//Phys. Rev. E.v. G5 021112 (2002).

70. E. W. Montroll, G. II. Weiss. Random Walk on Lattices.//Л. Math. Phys. v. G, p. 167- 181 (1965)

71. M. Kotulski. Asymptotic behavior of generalized Levy walks. In: ChaosyThe Interplay Between Stochastic and Deterministic Behaviour (Garbaczewski, P. Wolf, Л/., and Weron, .4., Eds).// Springer. Berlin, p. 471-477 (1995)

72. A. I. Saichev and G. M. Zaslavski. Fractional kinetic equations: solutions and applications. //Сliaos. v. 7, p. 753-764 (1997).

73. V. N. Kolokoltsov, V. Yu. Korolev and V. V. Uchaikin. Fractional Stable Distributions. //Reseach report No. 23/00, Nottingam Trent University. p. 12 (2000)

74. V. N. Kolokoltsov, V. Yu. Korolev and V. V. Uchaikin. Fractional Stable Distributions. /^Journal of Mathematcal Sciences, v. 105, N. 6, p. 25692576 (2001).

75. В. Ю. Королев, В. В. Учайкин. Некоторые предельные теоремы для обобщенных процессов восстановления с тяо/се.гымихвостами. //ТВпП.т. 45, с. 809-811 (2000)

76. Б. М. Смиров. Физика ыабоиопизироваппого газа (в задачах с решениями), учебное пособие. — М.: Наука, Гдаваня редакция физико-математической литературы. 1978 г., —416 с.

77. Фано У., Спенсер Л., Бергер М. Перепое гамма-излучения. — М.: Госатомиздат. 1963 г., — 284 с.

78. Дэвисои Б. Теория переноса нейтронов. — М.: Атомиздат. 1960 г., — 453 с.

79. Марчук Г. II. Методы расчета ядерных реакторов. -- М.: Госатомиздат. 1961 г., -347 с.

80. С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. Курс статистического моделирования. — М.: Глав. ред. физ.-мат. лит. Издательство Наука. 1976 г.,-320 с.

81. Справочная математическая библиотека, иод общей редакцией Л. А. Люстерника и А. Р. Янпольского. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М., Физматгиз, 1962 г., 332 стр. с илл.

82. Ю. Л. Левитан, II. М. Соболь. О датчике псевдоыучайпых чисе^г для персональных компьютеров. //Математическое моделирование, т. 2, N 8, с. 119 (1990)

83. Соболь И. М. Числошые методы Монте-Карло. --М.: Глав. ред. Физ.-мат. лит. изд-ва Наука. 1973 г., —310 с.

84. Хинчин А. Я. Прсдыьныс законы для сум независлшых агучайных в&гичип. — М.: Л. 1948 г., — 116 с.

85. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распрсде^гения. — М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит. 1983 г., —304 с.

86. V.V. Uchaikin, V.M. Zolotarev. Char., e and Stability. Stable Distributions and their Applications. — Utnvlit.: VSP, The Netherlands. 1999 г.,- с.

87. Учайкин В. В. Авгпомодеьная аномальная диффузия а устойчивые законы.//УФН.т. 173, Л'« 8, с. 847-S7G (2003)

88. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, т. 2.1984 г., -752 с.

89. Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика. — М.: ИЛ. I960 г.,-434 с.

90. Л.\V.Connor, P.Burrafii, .J.G.Cordey et al. EU-US workshop on transport infusion plasmas. //Plasma Phys.Contr.Fusion, v. 41, p. G93 (1999).

91. M.A. Pedrosa, М.Л. Ochando, Л.Л. .Jimenez, R. Balbin, .1. Qin, C. Hidalgo. Magnetic configuiution effects oil the TJ-IU torsatron plasma edge turbulence. //Plasma Phys.Contr.Fusion. v. 38, p. 3G5-373 (1990).

92. G.M.Batanov, O.I.Fedyanin, N.K.Kharchev et al. Statistical properties and radial structure of plasma turbulence in the boundarij region of the L2-M stellator. //Plasma Phys.Contr.Fusion. v. 40, p. 1241 1250 (1998)

93. Г. M. Батанов, В. E. Бенинг, В. Ю.Королев, А. Е. Петров, К. А. Сарксян, Н. Н. Сквориова, Н. К. Харчев. Об одномподходе к вероятностно-статистическому анализу процессов турбулентного переноса в плазме. //Физика плазмы, т. 28, Л'8 2, с. 128-143 (2002).

94. Salvador Godoy, L. S. Garcia-Colin. Mesoscopic diffusion as a non-Markov process. / /Physicn A. v. 258, p. 414-428 (1998).

95. Kazuhiro Itagakia, Masaki Goda, Hiroaki Ytmrddn. Statistical properties of particle diffusion in molten Agl and Lennard- Jones liquid in a mesoscopic time regime. //Physica A. v. 265, p. 97-110 (1999)

96. Salvador Godoy, L.S. Garcia-Colin. Compatibility of Landauer diffusion coeffcient with classical transport theory. //Physica A. v. 268, p. 65 74 (1999).

97. Hiroshi Shibata, Ryuji Ishizaki. Characterization of a system described by Kuramoto-Sivashinsky equation with Lyapunov exponent. //Physica A. v. 269, p. 314-321 (1999)

98. A. Perez-Madrid, T. Alarcona, J.M.G. Vilar, Л.М. Rubi. A mesoscopic approach to the "negative "viscosity effect in ferrojluids. //Physica A. v. 270, p. 403-412 (1999)

99. I.M. Jiang, M.S. Wang, H.E. Horug, C.Y. Hong Studies of mesoscopic lattices forming with magnetic fluidPhysica Av. 281, p. 87-92 (2000)

100. Kazuhiro Itagaki, Masaki Goda, Hiroaki Ya in ad. Pre- Gaussia n process of particle diffusion in classical liquids in a mesoscopic time regime. //Physica A. v. 282, p. 409-426 (2000)

101. Uchaikin V.V. Saenko V.V. Telegraph equation in random walk problem. //Journal of Physical Studies, v. 4 № 4. p. 371-379 (2000).

102. А.Н.Тихоиов, А.А.Самарский. Уравпепя математическо физики. — М.: Наука, Глав. ред. Физ.-маг. Лит. 1972 г.,— 736 с.

103. Garcia-Pelayo R. Moments of the chain reaction distribution. //Physica A. v. 216, p. 299 315 1995.

104. А. С. Мошш. //ДАН СССР. т. 105, 2, с. 25G (1955).

105. R. Garcia-Pelayo. Multiple scattering. //Pliysica A. v. 258, p. 3G5 3821998).

106. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. — М.: Мир. 1972 г.,-384 с.

107. Бскурц К., Виртц К. Нейтронная физика. — М.: Атомиздат. 19G8 г., — 45G с.

108. Эндер А.Я., Эндер И.А .Нелинейный моментный метод Оля изотропного уравнения Больцмапа и инвариантность интеграла столкновений. //ЖТФ. т. G9, шли. 6, с. 22-29 (1999).

109. Эндер А.Я., Эндер II.А. Симметрия нелинейной матрицы столкновительного оператора и новые перспективы в моментном методе решения уравнения Больцмапа. //ЖТФ. т. 69, вып. 9, с. 6-91999).

110. B.B.Mandelbrot. Fractals, forms, chance and dimensions. Freeman. San-Francisco. 1977.

111. Mandelbrot В. В. Sur un modele decomposable d'univers hierarchic: deduction des correlation galactiqucs sur la sphere celeste. //Comptes Reiidus (Paris). 280A, p. 1551-1554 (1975)

112. Мандедьброт Б. Б. Фрактальная геометрия природы. — Москва.: Институт компьютерных исследований. 2002 г., —656 с.

113. Яровикова II. В. Чимсппый анализ кинетической мод&ги многомерной диффузии. //Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ульяновский государственный университет, Ульяновск 2001

114. Учайкнн В. В., Яровикова В. В. Кинетическая моде^гь аномальной диффузии. //Критические технологии и фундаментальныепроблемы физики конденсированных сред, Сб. научных трудов под. ред. акад. РАЕН Булярского С.В. УлГУ, Ульяновск, с.230-205 (2001)

115. Chambers, Л.М., Mallows, C.L., and Stuck, B.W. A method for simulat ing stable random variables. //Л. Amer. Statist. Assoc. v. 71, p. 340 344 (197G).