автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени

На правах рукописи

□□3452823

Иващенко Дмитрий Сергеевич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА ПО ВРЕМЕНИ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2008

003452823

Работа выполнена и лаборатории волновых процессов Института математики им. С.Л. Соболева. СО РАН и на кафедре высшей математики факультета прикладной математики и информатики ГОУ ВПО «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководнч(МП.- доктор физико-математических наук,

доцент Бондаренко Анатолий Николаевич

Официн мьпые оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Ткачев Дмитрий Леонидович

доктор физико-математических наук, профессор Кошкин Геннадий Михайлович

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 18 декабря 2008 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.207.08 при Томском государственном университете по адресу: 034050. г. Томск, пр. Ленина. 30, корп. 2, ауд. 102.

Отзывы па автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью организации, просим направлять по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина. 30, ученому секретарю ТГУ Буровой Н Ю.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 1 ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.207.08 доктор технических наук профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы определят:;! возрастающим интерепш к исследованиям и области мезоскогшческого моделирования процессов переноса. Трудности, <нячанные с применением аналитических методой решения прямых задач для неоднородных сред на мечоуровне, приводят к необходимости построения эффективных чашечных методой, чему способствуют и высокие темпы развития компьютерной техники. Разработанные и диссертации .«(поды численного решения обратных" чадач позволят па основе реальных данных построить математическую модель аномального диффузионного процесса.

Для аномального диффузионного процесса характерно и черную очередь то, что зависимость среднеквадратнчеекого смещения от времени имеет кпд (x2(i)) ~ f. Показатель аномальной диффузии а ^ 1 определяет, будет ли процесс классифицирован как субдиффузиоппый (дисперсионный, медленный) при 0 < cv < 1 или супердиффузпопныи (ускоренный, быстрый) при о- > 1.

С макроскопической точки зрения, диффузионный процесс опиеываеч-ся уравнением диффузии Uf(x,t) = A'1iiJ.,(x,,i), где u(x.t) представляет собой плотность вероятности обнаружит!) частицу в точки х а момент вре-мепи t. С микроскопической точки зрения, диффузия представляет собой марковский процесс, и котором микроскопические частицы ныпоипи-ют случайные «прыжки» конечной длины и конечной джнерсии. С другой стороны, если рассматривается пемаркоискип процесс, и котором «прыжки» частиц, выбираются из распределения с длинным временным хвостом Г"-1, то диффузионный процесс является аномальным. Функция плотности вероятности u(x,t), которая описывает движение частиц и случае аномальной диффузии, удовлетворяет уравнению с дробной пропчводпои вида Dfu{x,t) = Kau„(x,i)-

Возникновение и развитие, понятий «дробный интеграл* и »дробная производная» принято связывать с именами Б. Римана, Ж. Лыувилля, X. Холь-мгрена, Г. Вейля, А. Марию. И если аналитический аппарат дробного исчисления, большой вклад в развитие которого внесли, в частности. С.Г. Сам-кО; A.A. Килбас, О.И. Маричев, 1. Podlnbny. Н.М. Srivastava. Л.,1. Trujillo и целом уже сформирован, то численные методы нродолжаю'1 активно развиваться. Исследования по тематике; диссертационной работы могут быть условно разделены па два направления: конечпо-ралюстпые методы, где прежде всего следует отметить работы S.D. Ynste. Т.А.М. Langlauds. B.I. Henry, J..M. Sanz-Serna. J.C. Lopez-Marcos. W. McLean, V. Tlwnift;. н методы Монте-Карло л вероятностные методы, где ведущую роль сыграли труды школы II. Gorenflo и F. Mainardi. а также работы М.М. Meci.siliacit:.

В.В Учликина. Л.II. С'апчева и С Г Уткина.

Примеры физических систем. которые описываются в терминах дробного исчисления, приведены ü обзорных работах R. Metzlei н J. Klaíler, а также i! книгах R. Hilfei п G.M Za.slavuky В частности, материалы, мезоскопи-ческая структура котрых обладает свойством масштабной инвариантности всего ¡j 8 порядков. имеют уникальные: физические свойства, являющиеся результатом их внутренней самоподобноп «архитскту])ы». В связи с этим актуальной i 'iiinniiiri'i я проблема построения адекватных математических моделей i,ikii\ сред. Однако и соответствующей литературе часто отсутствует достоверная информация о результатах проверок адекватности получаемых моделей в ходе ренмытых im иеримеитог.

В диссертации предлагается подход, использующий предположение, что процесс аномальной диффузии описывается уравнением с дробной производной но времени, однако порядок дифференцирования по известен, то сеть ставится задачи нахождения вида уравнения аномальной диффузии по реально измеряемым данным, Такие задачи не являются классическими коэффициентными обратными ;адачами для уравпежни и частных производных, 15ИД которых заранее и шестой.

Цель работы заключается в построении точных решении обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с: постоянным коэффициентом, а также разработке численных методов решения прямых н обратных задач дня уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом.

В рамках \каз.)ппои цели бы ни поставлены следующие задачи:

]. Поз\чи11, анамитичес кое р(зпеппс краевой задачи без начальных условии для дифференциального уравнения с дробной производной но времени, па оспова.нни которою построить точные (]>ормулы нахождения обобщенного коэффициента диффушн и покагатечя анодыльноп диффузии.

2. Газработать метод статистического моделирования (Монте-Карло) для численного решения начально-краевых задач для уралноппя диффузии дробною порядка пи времени с постоянным коэффициентом.

.) На основании классической теории разностных схем построить разноса пут i xcmv < иеиши и предложить обобщенный метод прогонки численною решения паза лмю-краевых задач для дифференциального уравнения i дробной производной но времени с переменным коэффициентом.

1. Получи т ь у< повпя n стончпвостп ])азпос"т1н.1х схем и оценки решений разногтых краевых з.щач дня дифференциального уравнения с дробной производной по времени i постоянным и переменным коэффицисчгтом.

¡j. Га ¡работа |т> модифицированные методы минимизации функционала невязки дли чп< лепного решения обратных задач, состоящих в определении

(переменного) обобщенного коэффициента диффузии и показателя апомиль-ной диффузии, и провести их сравнительный ¡шали:!.

Методика исследования. При решении поставленных -задач использовались методы математической финики, дифференциальных уравнении н частных производных, конечных разностей. статистического моделирования, теории вероятностен, дробного, операционпсл о и вариационного исчислений, а также классические и эволюционные методы безусловной оптимизации.

Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:

1. Впервые получено решение краевой задачи бе-! начальных условии с периодическим источником методом разделения переменных п построено интегральное преобразование, связывающее решение красной мдачи беч начальных условий с периодическим источником для уравнения диффунш Дробного порядка но времени е решением аналогичной задачи для уравнения параболического типа.

2. Предложены новые постановки обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени, заключающихся и восстановлении обобщенного коэффициента диффузии и дробного показателя диффузии. Решения обратных .задач представлены и виде точных аналитически к формул.

3. На основании существующей дискретной модели случайного блуждания для уравнения диффузии дробного порядка по времени разработан метод Монте-Карло численного решения нерпой красной задачи. Впервые в явном виде получено разложение случайного блуждания на диффузионную и дисперсионную составляющие.

4. Впервые для уравнения диффузии дробною порядка но времени с, неременным коэффициентом с помощью иптегро-пнтериоляцноппо! о метода построена разностная схема с весами и разработан обобщенный метод прогонки численного решения первой краевой задачи и получены равномерные оценки решения. Исследована устойчивость разностной схемы с весами и условие устойчивости получено з явном виде.

о. Впервые предложены постановки обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени, заключающихся г, восстановлении обобщенного коэффициента диффузии и дробного показателя диффузии, и ра работа« комплекс программ и реализованы оптимизационные методы ньютоновского типа, сопряженных градиентов, а также» эволюционные алгоритмы для их решения.

Теоретическое значение работы заключается л том, что предложенные н ней постановки обратных задач являются новыми, а. разработанные для их решения методы иредстаг.ляют собой обобщение существующих под-

ХОДОВ 11.1 CJIV4.UI \ p.U.lll'NIlil с ДробноП ИроИЗНОДПСШ ПО ИреМСПИ

Практическая ценность работы состоит в том, что результаты не-ечедов.шпи. проведенных и диссертации. позвонят ira. практике по данным и ;мерепнн строить мал ематичеекпе модели среде неизвестными характеристиками.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждена, сравнением результатов решения прямых задач теории аномальной диффузии сеточными методами, методом Мои го-Карло п аналитическими методами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработаны методы ana un i нческого решения обратных задач дня уравнения дифф\:;ни дровжио порядка, по времени с. постоявшем коэффициентом. '.аключаюшихся в восстановиепии его параметров: коэффициента и порядка временной upon ¡водной.

2 Разработай алгоритм статистического моделирования (метод Монте-Кар/ю) для решечшя прямык .задач теории аномальной диффузии н одно-])о;шых (])еда\

3 Ра чрабшап меюд конечных разностей чиелоппоио решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка, по нромпш как с постоянным. так и с переменным коэффициентом.

1. С помощью k'iaci нческоп техники получены условия устойчивости разное 1111 .i \ i хсм с весами лля уравнения диффузии дробного порядка но времени с по. тоянпым п переменным коэффициентом, а также оценки решении краевых задач дня ,чанного уравнения.

Г). Разработаны модифицированные оптимизационные алгоритмы ньютоновского тина h сопряженных градиентов, а также гибридные эволюционные агцоритмы решения оГ>ратиых задач для уравнения диффу ¡ии дробного порядка но времени < переменным коэффициентом, заключающихся п восстановлении его параметров коэффициента п порядка временной производной.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные се ре}\';|ьтаты докладывались и обед жд.ыись в рамках семинаров, проводимых па кафедре Вы< шеи Матеман ики НГТУ: па, семинаре ака,демика В.Н. Монахова в IlncTiirv ie iндродниампки СО РАН, на. семинарах чл.-корр. В.Г. Ро м.пюва п проф A.M. Блохина. в Ин<тнтуте математики им. С Л Соболева СО РАН а такж<> па следующих конференциях:

1. Региональная н.ц иная конференция «Паука. Техника,. Инновации». Но иоспбирск. 201)1. 2(1(12 гг.

2 Всероссннска.я научная конференция молодых ученых -»Наука..Техно ,югпп. Инной,ШИН'. Новосибирск. 201)3. 200-1. 2005, 200G гг.

3. Коим Russia Inleniational Svmposiiuu on Science and Technology Novosibirsk, 2002. Tomsk 2001: Novosibirsk. 2005.

4. Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика Ильи Несторовича Векуа. Новосибирск, 2007 г.

5. Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007. Новосибирск, 2007 г.

6. Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 75-летию академика М. М. Лаврентьева. Новосибирск, 2007 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 1 работа в журнале из перечня ВАК.

1 Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 109 наименований. Общий объем диссертации составляет 187 страниц, в том числе основной текст — 163 страницы.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и задачи диссертационного исследования, изложена его научная новизна, раскрыты теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов, кратко излагается содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена разработке аналитических методов решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени (или уравнения аномальной диффузии) с постоянным коэффициентом вида

где ¡23° — оператор дробного дифференцирования порядка а, 0 < а < 1. К уравнению с дробной производной по времени приводит использование концепции случайного блуждания при непрерывном времени (СТЙШ), основанной на предположении, что время ожидания между двумя последовательными «прыжками» частицы является случайной величиной. Обзорно данный подход проиллюстрирован в разд. 1.2.

В зависимости от физического смысла задачи — рассматривается начальная фаза процесса или же стабилизировавшийся процесс — используются различные виды дробно-дифференциальных операторов. В первом случае применяется дробная производная Капуто

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

а

во втором дробная приизводпая Римапа-Лиувилля

I

^ = (2)

- сс

При а —» 1 дробные производные (1) и (2) переходят н обычную «целую» upon вводную D'J(t) ~ /,'.

Основные ¡ючу;и>'гя1'|»1 главы представлены в разд. 1..3, где рассматриваются методы решения различных краевых задач, а также обратные задачи определения обобщенного коэффициента диффузии А и показателя аномальной диффузии rv = 23

Использование оператора дробного дифференцирования Капуто (1) позволяет построить фундаментальное решение уравнения аномальной диффузии;

CU t) 1 Г М)" И" (3)

1' ' ~ 2А V п\ Г(-:3п + 1-0) A»i> w

if—о

т е. решение l; области —оо < г < +оо, f > 0 задачи Коши РЦ и(х. t) = Х2~ и(х, <), 0 < < 1,

•»(.г,0) = S(.r). -оо < .т < +00, u(±ooj) = 0. i>0. С другой стороны, применение оператора дробного дифференцирования Римапн Лиувилля (2) <• учетом того, что = (?u.')2''eiaJ', позволяет

построить и области .г > 0, —со < I < +ао решение краевой задачи без начальных условии

,D2M,.l) = \2~u(.r,t), ихА

m((U) = Ае"",

в виде

м{.| J) = Л exp ^lujt - i^j ■ ■ (4)

Действительная часть выражения (4) имеет вид

, , ( и1.с ( LJlX . /Зтг ■и(х. I) — Л expl cos — I со,ч( ш1--— sin —

На основании полученного решения u(xj) можно определить величины А и Л из дополнительного условия i/,(.To,tj) = с3. где ii(:rt),tj) - экспериментально найденное значение и на расстоянии .Гц от источника в моменты времени Пусть заданы ij.(xn,tu) = сц, tz(.io.ii) = ci и выполняется условие U ~ h = тг/(2ы).

а

Обратная задача 1 состоит и определении обобщенного коэффициента диффузии Л при известном показателе аномальной диффузии М но данным обратной задачи. Решение обратной задачи 1 дается формулой

Л

2 и)''х{)

При р —>> 1/2 имеем

2 1п А - 1п + с2,)

Ту

Л =

2ЫЛ — 1п (гд + с,) Обратная .задача 2 заключается в определении ¡3 при известном Л но данным обратной задачи. Решение обратной задачи 2 является решениям уравнения

з Л

а» соэ

1п

2ха "" +

А2

Обратная задача 3. Пусть имеются данные обратной задачи Со" = /о), 2 «ш„(:г0,

Со1 = м^ (-Пь 'о), сТ'1 = '1)

при двух различных значениях частоты ид и щ. Требуется одновременно определить параметры Л и ¡3. Решение обратной задачи 3 имеет вид

в = 1ов-

Л =

^21пЛ-1П((СЛ2 + Ю2)'

2 .г»

2ЬА-1п ((#)* +(¿Г)2)

х ехр

х соэ

1ок-

/2!пЛ-1п((^')2 + (сГ)2)

'21пЛ-Ь ((#)' +К1)') -1п +

, 21п А

Таким образом, при рассмотрении установивше1'ося процесса решения обратных задач могут быть получены в виде точных аналитических формул.

Во второй главе предложен!,i численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом: метод конечных разностей и метод Монте-Карло.

В разд 2.1 на основе классической теории разностных схем, развитой А.А Самарским, разработан метод конечных разностей численного решения краевых задач для уравнения аномальной диффузии. При 0 < а < 1 рассмотрим г, прямоугольнике Г2 = (I) < .т <1. 0 < t < '1'} краевую задачу

,£>nY"(J-.') - u(j . t), 0 < < 1, 0 <1< Г,

о.г-

u(.r,0) = -un(j), 0<.с<1. •u(0, /) = i1'](f). u(l, /.) = ?/'2(/), 0 < t < T. В не,чем в Q сетку

Q = {(.,, =■ ¡h. I j = jt) : 0 < i < <V, ()<j< M}

и обозначим через y^ значение в узле (х,Л/) сеточной функции у, опре.деленной па П. В качестве разностного аналога дробной производной Каиуто используется дискретная производная Грюнвальда--Летни кова

У,

)+1 / \ j+l-к о

— к (гЛ у, - У"

Заменяя д2/Вх~ второй разностной производной и вводя вещественный параметр 0 < а < 1. получим разностную схему с весами

где оператор Лл действует по правилу

А2

Заметим, что данная разностная схема является многослойной с переменным числом слое!!. Начальные н граничные условия аппроксимируем точно:

!?!) = J/(.r,.0) = «o(.ri), При а ф 0 схема приводится к каноническому виду

К1

>.С\

_о\2т* + 2

«Г1+»&' = -*;-.

К2

Ь,} = У3 + < *А2та г

аЛ2 1 - а

т\2та

что позволяет применить к ней ряд методов классической тео])ии разностных схем. Величину

будем называть «дисперсионной составляющей».

В разд. 2.1 разработан обобщенный метод прогонки решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом, на основании формул которого получена оценка решения данной задачи

ч

Л/-1 1 г=1 4=1

где

= тах|^(.т,)]. Здесь же получена оценка дисперсионной составляющей

|И|с<(1-а) ||Л|г;.

которая позволила аналитически построить условие устойчивости схемы с весами:

а К2

2(1 -о)\г

В разд. 2.2 рассматривается метод Монте-Карло численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом. Основное отличие от классического метода Монте-Карло состоит в том, что в случае диффузии дробного порядка по времени дисперсия длины шага случайно блуждающей частицы конечна, но среднее время ожидания блуждающей частицы бесконечно.

Один из подходов (В.В. Учайкина) состоит в том, что вместо предположения о существовании конечного математического ожидания используется более слабое предположение о том, что рассматриваемая случайная величина — среднее время ожидания — принадлежит области притяжения строго устойчивого распределения Са,о(-£'), определяемого своей характеристической функцией

9„М) = ехр|-|£|"ехрГ-г ^

В разд. 2.2 показано что функция плотности вероятности одномерного случайного процесса, соответствующего диффузии дробного порядка по иремсни, имеющая вид

при

совпадает с фундаментальным решением уравнения аномальной диффузии (3)

Программная реализация метода Монте-Карло основывается на дискретной модели случайного блуждания, предложенной П. Согепйо:

т'-'А2

+ [у,-х{13) - 2у,&) + ,

в которой вся история «блуждания» частицы вплоть до момента/^ определяет. с вероятностной точки зрения, положение частицы в момент времени Данная модель допускает следующее разложение:

= V/ +

где диффузионная составпяющая

Л2т"

V;' =

А2т" а — 2 -

Л2

Л + (^-1 +

характеризуем вклад текущего временного слоя в событие, состоящее в переходе частицы па слой ¿)+1, а дисперсионная составляющая У? вида (5) содержит информацию об «истории» частицы. Существование дисперсионной части говорит о том, что оператор дробного дифференцирования, в отличие от произг.одпоП первого порядка, является нелокальным и учитывает информацию о прошлом системы.

В разд. 2 3 приводятся результаты вычислительных экспериментов, в ходе которых при моделировании периодического источника в методе Монте-Карло используется периодическая функция, связывающая количество «испускаемых» источником частиц с. дискретными моментами времени, а также амплитудой и частотой.

В третьей главе рассматриваются численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с

переменным коэффициентом

Жни(х, <) = и(х, , 0 < а < 1,

О < сл < <?(.т) < Со. (в)

Здесь - оператор дробного дифференцирования Капуто.

Результаты разд. 3.1 являются обобщением результатов разд 2.1 на случай уравнения с переменным коэффициентом диффузии. При помощи интегро-интерполяционного метода построена разностная схема с весами

г/,(о) = Л(<7у + (1-<г)з,).

где у = а оператор Л действует по правилу

(7)

Схема приводится к каноническому виду

к2

С

!2 1 — ¿7 / ) 1 \

а К2

аК1 1 — а

(ТТ

и устойчива при условии

к2

' (ТТ 1

1 -17

т <

2(1 — а) с%

Для программной реализации данной разностной схемы предложен обобщенный метод прогонки, на основании формул которого получена оценка решения разностной краевой задачи

у? = /1, г = 1.2,.. ,Л'-1;

= 7 = 1,2.....М- 1.

N-1

в виде

1И1с <тах (к! . Н)+Е т~т Ё И

где аг+1 = С ф 0.

В разд. 3.2 представлен метод минимизации функционала невязки численного решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом.

В области 42 = {(.т. /) : х- > (). 1, > 0} рассматривается краевая задача сле-

дующего вида:

»ВД*- '•) = ^ о) , 0 < о < 1, (8)

и(х, 0) = 0, х > 0, ' (9)

и(щ) =/(г), ¿>о. (ю)

Здесь /(?) - периодическая функция, а д(х) — непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая (б).

Предполагается, что известна дополнительная информация о решении краевой задачи (8) (10) в некоторой точке х = I:

и(Ц)=ф(1). (11)

Обратные задачи заключаются в восстановлении функции д(:с) и показателя а из соотношений (8) (11).

Заменив область П сеточной областью О аппроксимируем прямую задачу (8)—(11) разностной:

У^ = Л(ау+(1-а)у). (12)

у" = о, ()<?:< лг, (13)

¿/п= V'- У* = о, 1<3<М. (14)

Оператор А действует по правилу (7). В работе показано, что решение разностной прямей'! задачи (12)—(14) допускает оценку

Мг<1М1с

где ||у||с = шах Ц;/^, ||<,"|!г. = тих з = 0,1,2,..., М. Дополнительная информация (11) аппроксимируется точно:

0<3<М. (15)

Разностные обратные задачи заключаются в следующем. На основании (15) требуется

Обратная -задачи 1• найти сеточную (функцию ^ при а = 1; Обратная -шдача 2. предполагая а известным, определить сеточную функцию с/;

Обратная, -ш-дача ,7: одновременно восстановить сеточную функцию q и величину а.

Следуя А.Н Тихонову, мы предполагаем, что обобщенный коэффициент диффузии <?(г) явпястей функцией некоторого известного класса и его

вид определяется набором параметров, отыскание которых и представляет основной интерес. Таким образом, решение обратной задачи сводится к восстановлению функции q(\) = д( yo.\ь ..., _]), где \ - вектор параметров, характеризующих вид функции q.

В терминах теории безусловной оптимизации разностная обратная задача (12)—(15) имеет вид: найти

min Ф(\) = Шх)),

yeRK

где г)-. R* -> RM, 5 : Rif —> R и

1 . М-1 7 Л/-1

Шх)) = 2 ■n(x)Trl(x) = 5 E tf = ä E ^ - :

здесь £ — модельные данные.

В разд. 3.3 приведены результаты вычислительных экспериментов, в ходе которых были получены решения обратных задач 1, 2 и 3 при помощи методов Лсвенберга--Марквардта, секущих и Флстчера— Ривса. Коэффициент q{x) рассматривался в виде

(IG)

и

q(x) = рА sm(r)Fx + S) + Т, (17)

где х ~ (A^S^X р w г) — параметры масштабирования, а Т — параметр сдвига, которые выбираются таким образом, чтобы для всех х 6 ß выполнялось (6).

Вычислительные эксперименты показали, что поверхности, определяемые функционалом Ф(х), имеют очень сложную овражную структуру, включающую «глубокие» области локального минимума, а глобальный минимум часто лежит в очень малой и «труднодоступной» области. По результатам сравнительного анализа алгоритмов минимизации функционала невязки наиболее эффективным из рассматриваемых следует признать метод Левенберга-Марквардта.

Отдельно рассматривается случай уравнения аномальной диффузии с постоянным коэффициентом, для которого приводится пример решения обратной задачи 3, когда данные обратной задачи расчитываются методом Монте-Карло

Четвертая глава посвящена рассмотрению эволюционных методов решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом.

Для численного решения разностной обратной задачи (12)—(15) в разд. 4.1 разработаны гибридные генетические алгоритмы минимизации функционала невязки, сочетающие масштабирование значений функции приспособленности и селекцию по методу рулетки. Конфигурация колеса рулетки определяется параметрами функции селекции, которая имеет вид ф(х) = С/хт, где .т > 1, С > 1, 0 < т < 1.

Функция селекции устанавливает вероятность, с которой данная особь может быть выбрана г. качестве родительской на каждом шаге отбора. Дальнейший выбор родительских особей производится по методу рулетки, причем в процессе отбора участвуют лишь особи, значение функции селекции для которых не меньше единицы. Кроме того, алгоритм исключает ситуацию, когда формируются одинаковые пары родителей.

В разд. 4.2 рассматривается алгоритм поиска по шаблону, который в ряде случаев может быть использован для улучшения полученного приближенного решения. Принцип работы данного метода состоит в том, чтобы перебирать в соответствии <г некоторой схемой точки, лежащие вблизи текущей точки, с цел 1.Ю найти ту, значение целевой функции в которой меньше, чем в текущей.

В разд 4.3 показано, что применение эволюционных алгоритмов позволяет расширить класс непрерывно дифференцируемых функций ц(х), удовлетворяющих (б), для которых может быть получено численное решение разностной обратной задачи (12)—(15). В качестве примера рассматривается коэффициент вида

где ¡1 и ц - параметры масштабирования. Особенностью данного примера является то, что здесь при помощи классических алгоритмов не удается получить решение обратной задачи.

Также в разд. 4.3 представлены результаты сравнительного анализа эффективности эволюционных ч классических алгоритмов и их последовательного использования.

В заключении к диссертации приведены основные результаты работы: 1. Впервые построено решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом. Построено интегральное преобразование. связывающее решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником для уравнения диффузии дробного порядка по времени с решением аналогичной задачи для уравнения параболического типа.

(18)

2. Построены точные аналитические решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом, заключающихся в восстановлении обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии, а также одновременном определении этих параметроп.

3. Разработан модифицированный метод Монте-Карло для численного решения прямых задач теории аномальной диффузии, в основу которого положены дискретные модели случайного блуждания для уравнений с дробной производной по времени. Впервые в явном виде получено разложение сиу-чайного блуждания на диффузионную и дисперсионную составляющие.

4. Разработан метод конечных разностей численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным и переменным коэффициентом. Впервые аналитически получены условия устойчивости соответствующих разностных схем с весами, оценки решений разностных краевых задач и определены порядки аппроксимации на сетке в случаях явной и чисто неявной схем.

5. Разработаны модифицированные оптимизационные, и гибридные эволюционные. алгоритмы ньютоновского типа, реализующие метод минимизации функционала невязки решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом, состоящих в восстановлении обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии. В случае постоянного коэффициента данные обратной задачи моделируются методом Монте-Карло.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С., Селезнев В.А. Диффузионные волны в средах с остаточной памятью// Науч. вестник НГТУ.— 2002 — №1(12).— С. 45—55.

2. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Численные алгоритмы решения обратных задач аномальной диффузии // Сб. науч. тр. НГТУ.—2003 — №4(34).- С. 59-04.

3. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Восстановление параметров слоистой среды методом минимизации функционала невязки // Сб. науч. тр НГТУ. - 2004. -№3(37).- С. 21-20.

4. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Оптимизация вычислений в рамках пакета программ «Численное решение обратных задач аномальной диффузии» // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2004. - №3(37). - С. 27-32.

5. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Исследование функционала невязки в задачах мониторинга слоистых сред // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2004. №4(38).-С. 9-14.

G. Бондаренко A.H., Иващенко Д.С. Задачи неразрушающего контроля фрактальной среды /'/ Наука. Техника. Инновации: Материалы региональной научной конференции молодых ученых. -• Новосибирск, 2001. - 4.1. -С. 107-10S.

7. Бондаренко А.H , Иващенко Д.С. Волновые процессы в средах с временной дисперсией // Наука. Техника. Инновации: Материалы региональной научной конференции молодых ученых. - Новосибирск, 2002. — 4.1. - С. 200 -202.

8. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Численное решение обратных задач аномальной диффузии // Наука. Технологии. Инновации: Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. - Новосибирск, 2003. -4.1. - С. 223-224.

9. Бондаренко А.Н.. Иващенко Д.С. 4исленные алгоритмы в обратных задачах восстановления параметров среды на мезоуровне // Наука. Технологии. Инновации. Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых Новосибирск. 2004. - 4.1. - С. 213-214.

10. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Метод Монте-Карло в прямых задачах теории аномальной диффузии для неоднородных сред ,/,/ Наука. Технологии. Инновации. Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. - Новосибирск, 2005. ~ 4.1. - С. 277-278.

11. Бондаренко А Н.. Иващенко Д.С. 4исленныс методы решения обратных задач для уравнения дробной диффузии с гладким коэффициентом // Наука. Технологии Инновации. Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых. - Новосибирск, 200G. — 4.1. — С. 182 -183.

12. Бондаренко А.Н.. Иващенко Д.С. Численные методы решения краевых .задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом // Дифференциальные'уравнения, теория функций и приложения: Труды международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Ильи Несторовича Векуа. Новосибирск, 28 мая — 2 июня 2007 г. - Новосибирск, 2007,- С. 556-557.

13. Bondarenko A.N.. Ivaschenko D.S., Seleziiev V.A. Inverse Sommerfeld Problem for Fractal Media /7 Proceedings KORUS 2002, Novosibirsk State Technical University, Russia, Липе 24 30, 2002, v.l, - P. 246- 252.

14. Ivaschenko D.S. Numerical Algorithms for Solving the Anomalous Diffusion Inverse Pioblems // Proceedings KORUS 2004, Tomsk Polytechnic University. Russia, June 26 July 3, 2004. v.2, -- P. 137-130.

15 Bondarenko A.N.. Ivaschenko D.S. Levenberg—-Marquardt, Method for Restoration of Layered Medium Key Parameters /'/' Proceedings KORUS 2005, Novosibirsk State Technical Univoisity, Russia, June 26 - July 2, 2005, v.l, -P. 43- 47.

Введение

1. Аналитические методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом

1.1. Определения и основные свойства интегродифференциальных операторов дробного порядка.

1.2. Уравнение диффузии дробного порядка по времени

1.2.1. Случайное блуждание при непрерывном времени

1.2.2. Вывод уравнения диффузии дробного порядка по времени

1.3. Аналитический подход к решению прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени.

1.3.1. Решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником для уравнения диффузии дробного порядка по времени.

1.3.2. Фундаментальное решение уравнения диффузии дробного порядка по времени.

1.3.3. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка по времени.

1.3.4. Связь между фундаментальным решением уравнения диффузии дробного порядка по времени и функцией Грина первой краевой задачи.

1.3.5. Решение краевой задачи с однородными граничными условиями для уравнения диффузии дробного порядка по времени методом Фурье.

1.3.6. Постановка и решение обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени.

1.4. Выводы.

2. Численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом 54 2.1. Метод конечных разностей численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом.

2.1.1. Разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом

2.1.2. Обобщенный метод прогонки решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом.

2.1.3. Получение оценок решения разностной краевой задачи

2.1.4. Исследование устойчивости разностной схемы для уравнения диффузии дробного порядка по времени

2.1.5. Определение порядка аппроксимации разностной схемы для уравнения диффузии дробного порядка но времени

2.2. Метод Монте-Карло численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом.

2.2.1. Связь дробно-устойчивых распределений с фундаментальным решением уравнения с дробной производной по времени.

2.2.2. Классическая модель случайного блуждания.

2.2.3. Построение дискретной модели случайного блуждания для диффузии дробного порядка по времени

2.2.4. Разложение случайного блуждания на диффузионную и дисперсионную составляющие

2.3. Результаты вычислительных экспериментов.

2.3.1. Численное решение краевой задачи с однородными граничными условиями.

2.3.2. Решение уравнения диффузии дробного порядка по времени методом Монте-Карло.

2.4. Выводы.

3. Численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом

3.1. Метод конечных разностей численного решения уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом

3.1.1. Интегро-интерполяционный метод построения разностной схемы для уравнения диффузии дробного порядка с переменным коэффициентом.

3.1.2. Обобщенный метод прогонки численного решения краевой задачи для разностного уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом.

3.1.3. Получение оценок решения разностной краевой задачи

3.1.4. Исследование устойчивости разностной схемы для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом

3.2. Метод минимизации функционала невязки решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом.

3.2.1. Постановка прямых и обратных задач.

3.2.2. Свойства решения разностной прямой задачи.

3.2.3. Построение и основные свойства функционала невязки

3.2.4. Метод Левенберга—Марквардта минимизации функционала невязки.

3.2.5. Метод секущих минимизации функционала невязки

3.2.6. Метод Флстчера—Ривса минимизации функционала невязки.

3.3. Результаты вычислительных экспериментов.

3.3.1. Выбор критериев останова алгоритмов в методе минимизации функционала невязки.

3.3.2. Исследование свойств функционала невязки.

3.3.3. Численное решение обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени.

3.3.4. Случай постоянного коэфициента

3.4. Выводы.

4. Эволюционные методы решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом

4.1. Применение генетических алгоритмов для минимизации функционала невязки.

4.2. Применение алгоритма поиска по шаблону для улучшения приближенного решения

4.3. Результаты вычислительных экспериментов.

4.3.1. Численное решение обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени.

4.3.2. Сравнительный анализ эффективности классических и эволюционных алгоритмов

4.3.3. Пример последовательного использования ГА и метода Левенберга—Марквардта.

4.4. Выводы.

В последнее время значительный интерес представляют физические исследования диффузионных процессов аномальной природы, отклоняющихся от классической гауссовской диффузии, которые встречаются во множестве физических систем (см. [77, 78] и цитированную там литературу). Для аномального диффузионного процесса характерно в первую очередь то, что зависимость среднеквадратического смещения от времени отклоняется от «нормального» линейного закона (x2(t)) = 2 Kit. Здесь К\ и Ка — «обычный» и обобщенный коэффициенты диффузии размерности см2 с-1 и см2с~а соответственно (при а = 1 имеем Г(2) = 1). Показатель аномальной диффузии а ф 1 определяет, будет ли процесс классифицирован как субдиффузионпый (дисперсионный, медленный) при 0 < а < 1 или супердиффузионный (ускоренный, быстрый) при а > 1. Обычно рассматривается область 1 < а < 2, где а = 2 — баллистический предел, описываемый волновым уравнением.

Соотношение (0.1) описывает так называемые «странные» процессы переноса в нелинейных динамических системах [21], то есть негаус-совые процессы, допускающие корреляции на сколь угодно больших пространственно-временных масштабах. Так, например, броуновское движение, для которого функция плотности вероятности имеет вид

1 f х1 \

Рвм(х,Ь) = . - ехр y/MCtf V ±Kyt) ' допускает обобщение с помощью модели случайного блуждания при непрерывном времени (Continuous Time Random Walk — CTRW) на случай субдиффузии или переноса с дисперсией, где

PsD{x,t) ~ С1г°/2Г(1"а)/(2~а) ехр [-c2£2/(2-a> при £ = |z|/ia/2, 0 < a < 1.

Рассматриваемым моделям могут быть поставлены в соответствие дифференциальные уравнения дробного порядка, из которых видно, что данные процессы являются сильно нелокальными и характеризуются широкими корреляциями во времени и/или пространстве, представимыми в виде медленно убывающих по степенному закону ядер в соответствующих интегро-дифференциальных уравнениях.

В работе [78] подробно рассматриваются примеры систем из различных областей (геофизики, геологии, физики, химии, астрономии, экономики), в которых были обнаружены процессы аномальной природы (см. также цитированную там литературу). В частности, с точки зрения аномальной диффузии было предложено объяснение водородного эффекта в структуре силиконовых электродов при некоторых электрохимических условиях, так же, как и в контексте нелинейного электрофореза. Методы дробного исчисления применялись при анализе процессов аномальной диффузии, обнаруженных в аморфных электроактивиых материалах. Аномальная диффузия катионов была обнаружена при изучении механизмов роста образцов наплавленного оксида молибдена, кинетики переноса электронов в пленках из поли-3,4-этилепдиокситиофена, а также атомных процессов переноса и химических реакций в диэлектрических пленках с высокой диэлектрической постоянной. Дробная динамика (fractional dynamics) может лежать в основе статистики объединенной функции плотности вероятности «скорость—координата» движения частицы в турбулентном поле. Обобщение закона Ричардсона с позиций дробного исчисления было предложено для описания переноса воды в ненасыщенном грунте.

Функция плотности вероятности для диффузии дробного порядка описывает самодиффузиониые профили на перколирующих фрактальных структурах. С этих же позиций рассматривается 1//а-шум (т. е. сигнал или процесс со степенной спектральной плотностью, пропорциональной 1 /fa, где / — частота) и соответствующее промежуточное состояние при моделировании молекулярной динамики замерзания воды. Замечено также, что для процессов «старения» в неупорядоченных системах, равно как и в динамических системах, характерна «нелокальность» во времени, подчиняющаяся степенному закону вида (0.1).

Процессы вида (0.1) обнаружены, в частности, в электроактивных материалах [53], лабораторной плазме, турбулентных жидкостях выше некоторого порогового значения числа Рейнольдса, замагпиченных вихревых потоках (см. [21] и указанные там ссылки), в средах с временной дисперсией, таких как биологические ткани и материалы, имеющие самоподобную «архитектуру». Известны многочисленные примеры физических структур, обладающих самоподобием на уровне, промежуточном между микро- и макроуровнями (на мезоуровне), которые стали объектами пристального внимания со стороны физиков-экспериментаторов [23]. Оказалось, что материалы, мезоскопическая структура которых обладает свойством масштабной инвариантности всего 5—8 порядков, имеют уникальные физические свойства, являющиеся результатом их внутренней самоподобпой «архитектуры» [21]. В связи с этим актуальной становится проблема построения адекватных математических моделей таких сред.

С макроскопической точки зрения, диффузионный процесс описывается уравнением диффузии ut(x,t) — Kiuxx(x,t), (0.2) где u(x,t) представляет собой плотность вероятности обнаружить частицу в точке х в момент времени t. С микроскопической точки зрения, диффузия представляет собой марковский процесс, в котором микроскопические частицы выполняют случайные «прыжки» конечной длины и конечной дисперсии. С другой стороны, если рассматривается пемарковский процесс, в котором «прыжки» частиц, выбираются из распределения с длинным временным хвостом ¿~а1, то диффузионный процесс является аномальным (см., например, работу G. Rangarajan и М. Ding [96]). Как показано в работах М. Giona и Е. Roman [57], R. Metzler и J. Klafter [77, 78], W. Schneider [98], W. Wyss [104], R. Gorenflo и F. Mainardi [61], А.И. Саиче-ва и С.Г. Уткина [38, 39], функция плотности вероятности u(x,t), которая описывает движение частиц в случае аномальной диффузии, удовлетвориет уравнению с дробной производной вида

Уравнения вида (0.3) часто встречаются в современной литературе при описании различных аномальных диффузионных процессов [77, 78, 108], в частности процессов, протекающих в сильно пористых (фрактальных) средах [86, 102]. Показатель а может интерпретироваться как характеристика фрактальной размерности «активного» времени [21], в котором реальные блуждания частиц выглядят как случайный процесс; интервал активного времени пропорционален ta.

Важный класс объектов с самоподобной структурой образуют множества, описывающие геометрию перколяции (или протекания), то есть случайного распространения жидкости через среду, причем абстрактные понятия «жидкость» и «среда» могут быть интерпретированы в соответствии с физическим смыслом рассматриваемой задачи. Диффузионные процессы на перколирующих фрактальных структурах существенно не гауссовы и не согласуются с традиционными представлениями о процессах переноса как о случайном броуновском движении частиц в среде. Уравнения вида (0.3) учитывают эффекты памяти и нелокальное™, выходящие далеко за пределы традиционной гауссовой статистики (0.2).

Примеры физических систем, которые описываются в терминах дробного исчисления, приведены в работах Jl. М. Зеленого и А. В. Мило-ванова [21], A. Le Mehaute [69], F. Mainardi [73], Р. Р. Нигматулли-на [87, 88, 89, 90], А. И. Олемского [93], R. Hilfer [62], I. Sokolov [100]. Однако в соответствующей литературе часто отсутствует достоверная информация о результатах проверок адекватности получаемых моделей в ходе реальных экспериментов. В диссертации предлагается подход, использующий предположение, что процесс аномальной диффузии описывается уравнением с дробной производной по времени вида (0.3), однако порядок дифференцирования не известен, то есть ставится задача нахождения вида уравнения аномальной диффузии по реально измеряемым данным. Такие задачи не являются классическими коэффициентными обратными задачами для уравнений в частных производных, вид которых заранее известен [36, 37].

В книгах А.Н. Тихонова и A.A. Самарского [45] и А. Зоммерфелъда [22] рассматривалась известная задача Фурье о распространении температурных волн в почве и было показано, что получить информацию о строении среды можно, измерив ее реакцию на воздействие температурной волны. С другой стороны, в ряде оптических экспериментов по исследованию распространения света в биологических средах было замечено, что источник света с периодически модулированной интенсивностью порождает волну плотности энергии. Эта волна, распространяясь в оптически плотной среде, имеет сферический волновой фронт, форма которого зависит от функции плотности среды. Этому явлению было дано название «диффузионная волна» [74]. Таким образом, по реакции среды на воздействие диффузионной волны молено определить основные параметры среды. Применение данного подхода на мезоуровне позволяет по данным измерений провести проверку адекватности предлагаемой математической модели и определить вид соответствующего дифференциального уравнения.

Актуальность темы диссертации определяется возрастающим интересом к исследованиям в области мезоскопического моделирования процессов переноса. Трудности, связанные с применением аналитических методов решения прямых задач для неоднородных сред па мезоуровне, приводят к необходимости построения эффективных численных методов, чему способствуют и высокие темпы развития компьютерной техники. Разработанные в диссертации методы численного решения обратных задач позволяют па основе реальных данных построить математическую модель аномального диффузионного процесса.

Цель работы заключается в построении точных решений обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом, а также разработке численных методов решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Получить аналитическое решение краевой задачи без начальных условий для дифференциального уравнения с дробной производной по времени, на основании которого построить точные формулы нахождения обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии.

2. Разработать метод статистического моделирования (Монте-Карло) для численного решения начально-краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом.

3. На основании классической теории разностных схем построить разностную схему с весами и предложить обобщенный метод прогонки численного решения начально-краевых задач для дифференциального уравнения с дробной производной по времени с постоянным и переменным коэффициентом.

4. Получить условия устойчивости разностных схем и оценки решений разностных краевых задач для дифференциального уравнения с дробной производной по времени с постоянным и переменным коэффициентом.

5. Разработать модифицированные методы минимизации функционала невязки для численного решения обратных задач, состоящих в определении (переменного) обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии, и провести их сравнительный анализ.

Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы математической физики, дифференциальных уравнений в частных производных, конечных разностей, статистического моделирования, теории вероятностей, дробного, операционного и вариационного исчислений, а также классические и эволюционные методы безусловной оптимизации.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые получено решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником методом разделения переменных и построено интегральное преобразование, связывающее решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником для уравнения диффузии дробного порядка по времени с решением аналогичной задачи для уравнения параболического типа.

2. Предложены новые постановки обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени, заключающихся в восстановлении обобщенного коэффициента диффузии и дробного показателя диффузии. В некоторых простых случаях решения обратных задач представлены в виде точных аналитических формул, а в общем случае предложен алгоритм численного решения.

3. На основании существующей дискретной модели случайного блуждания для уравнения диффузии дробного порядка по времени разработан метод Монте-Карло численного решения первой краевой задачи. Впервые в явном виде получено разложение случайного блуждания на диффузионную и дисперсионную составляющие.

4. Впервые для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом с помощью интегро-интерполяционного метода построена разностная схема с весами и разработан обобщенный метод прогонки численного решения первой краевой задачи и получены равномерные оценки решения. Исследована устойчивость разностной схемы с весами для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом и условие устойчивости получено в явном виде.

5. Впервые предложены постановки обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени, заключающихся в восстановлении обобщенного коэффициента диффузии и дробного показателя диффузии, и разработан комплекс программ и реализованы оптимизационные методы ньютоновского типа, сопряженных градиентов, а также эволюционные алгоритмы для их решения.

Теоретическое значение работы заключается в том, что предложенные в ней постановки обратных задач являются новыми, а разработанные для их решения методы представляют собой обобщение существующих подходов па случай уравнений с дробной производной по времени.

Практическая ценность работы состоит в том, что результаты исследований, проведенных в диссертации, позволят на практике по данным измерений строить математические модели сред с неизвестными характеристиками.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждена сравнением результатов решения прямых задач теории аномальной диффузии сеточными методами, методом Монте-Карло и аналитическими методами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработаны методы аналитического решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом, заключающихся в восстановлении его параметров: коэффициента и порядка временной производной.

2. Разработай алгоритм статистического моделирования (метод Монте-Карло) для решения прямых задач теории аномальной диффузии в однородных средах.

3. Разработан метод конечных разностей численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени как с постоянным, так и с переменным коэффициентом.

4. С помощью классической техники получены условия устойчивости разностных схем с весами для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным и переменным коэффициентом, а также оценки решений краевых задач для данного уравнения.

5. Представлены новые постановки обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом, заключающихся в восстановлении его параметров: коэффициента и порядка временной производной. Для их решения разработаны и реализованы в рамках программного комплекса ШРР1/ШВ1 оптимизационные алгоритмы ньютоновского типа, представляющие собой модификации методов Левенберга—Марквардта, секущих и Флетчера—Ривса, а также гибридные эволюционные алгоритмы.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались в рамках семинаров, проводимых на кафедре Высшей Математики НГТУ; на семинаре академика

B.Н. Монахова в Институте гидродинамики СО РАН; на семинарах чл.-корр. В.Г. Романова и проф. A.M. Блохина в Институте математики им.

C.J1. Соболева СО РАН, а также на следующих конференциях:

1. Региональная научная конференция «Наука. Техника. Инновации». Новосибирск, 2001, 2002 гг.

2. Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации». Новосибирск, 2003, 2004, 2005, 2006 гг.

3. Korea—Russia International Symposium on Science and Technology. Novosibirsk, 2002; Tomsk, 2004; Novosibirsk, 2005.

4. Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика Ильи Несторовича Векуа. Новосибирск, 2007 г.

5. Всероссийская конференция но вычислительной математике КВМ-2007. Новосибирск, 2007 г.

6. Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 75-летию академика М. М. Лаврентьева. Новосибирск, 2007 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 1 работа в журнале из перечня ВАК.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 109 наименований. Общий объем диссертации составляет 187 страниц, в том числе основной текст 163 страницы.

4.4. Выводы

В данной главе разработаны эволюционные алгоритмы решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом.

Впервые для решения таких задач предложен гибридный эволюционный алгоритм, сочетающий масштабирование целевого функционала с применением функции селекции и отбор родительских особей по методу рулетки. Для уточнения полученного приближенного решения предложено использовать один из методов прямого поиска — алгоритм поиска по шаблону.

Установлено, что использование генетических алгоритмов позволяет получить решение обратной задачи в тех случаях, когда применение классических оптимизационных методов не дает результата.

Проведен сравнительный анализ эффективности ГА и алгоритмов ньютоновского типа. Показано, что основными недостатками ГА являются мед-лепная сходимость и большие затраты машинного времени.

Показано, как эволюционные алгоритмы могут быть использованы в качестве инструмента для построения начального приближения для классических оптимизационных методов.

Заключение

На основе проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие теоретические и практические результаты.

1. Впервые построено решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом. Построено интегральное преобразование, связывающее решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником для уравнения диффузии дробного порядка по времени с решением аналогичной задачи для уравнения параболического типа.

2. Построены точные аналитические решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом, заключающихся в восстановлении обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии, а также одновременном определении этих параметров.

3. Разработан модифицированный метод Монте-Карло для численного решения прямых задач теории аномальной диффузии, в основу которого положены дискретные модели случайного блуждания для уравнений с дробной производной по времени. Впервые в явном виде получено разложение случайного блуждания на диффузионную и дисперсионную составляющие.

4. Разработан метод конечных разностей численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным и переменным коэффициентом. Впервые аналитически получены условия устойчивости соответствующих разностных схем с весами, оценки решений разностных краевых задач и определены порядки аппроксимации на сетке в случаях явной и чисто неявной схем.

5. Разработаны модифицированные оптимизационные алгоритмы ньютоновского типа решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом, реализующие метод минимизации функционала невязки. Установлено, что топография поверхности, задаваемой функционалом невязки, имеет овражную структуру и включает области локального минимума. В случае постоянного коэффициента данные обратной задачи моделируются методом Монте-Карло.

6. Разработаны гибридные эволюционные алгоритмы решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом, сочетающие масштабирование целевого функционала с селекцией по методу рулетки. Установлено, что в ряде случаев они более эффективны, чем классические методы, а также могут быть использованы в качестве инструмента построения начального приближения для последних.

7. Для численного моделирования процесса аномальной диффузии и решения обратных задач разработан программный комплекс ШРИАИБ!, в рамках которого на основе оптимизационного подхода разработаны численные методы решения обратных задач восстановления обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии неоднородной среды, а также задачи одновременного определения этих параметров.

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1973.

3. Бондаренко А. Н., Иващепко Д. С. Задачи неразрушающего контроля фрактальной среды // Тез. докл. региональной науч. конф. «Наука, Техника, Инновации» — Новосибирск, 2001, 4.1, С. 107—108.

4. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Волновые процессы в средах с временной дисперсией // Тез. докл. региональной науч. конф. «Наука, Техника, Инновации» Новосибирск, 2002, 4.1, С. 200-202.

5. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численное решение обратных задач аномальной диффузии // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» — Новосибирск, 2003, 4.1, С. 223— 224.

6. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численные алгоритмы в обратных задачах восстановления параметров среды на мезоуровне // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» — Новосибирск, 2004, 4.1, С. 213-214.

7. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Метод Монте-Карло в прямых задачах теории аномальной диффузии для неоднородных сред // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» — Новосибирск, 2005, 4.1, С. 277-278.

8. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численные методы решения обратных задач для уравнения дробной диффузии с гладким коэффициентом // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» Новосибирск, 2006 4.1, С. 182-183.

9. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численные алгоритмы решения обратных задач аномальной диффузии // Сб. науч. тр. НГТУ. — 2003. №4(34), С. 59-64.

10. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Восстановление параметров слоистой среды методом минимизации функционала невязки // Сб. науч. тр. НГТУ. 2004. - №3(37), С. 21-26.

11. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Исследование функционала невязки в задачах мониторинга слоистых сред // Сб. науч. тр. НГТУ. — 2004. №4(38), С. 9-14.

12. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Оптимизация вычислений в рамках пакета программ «Численное решение обратных задач аномальной диффузии» // Сб. науч. тр. НГТУ. 2004. - №3(37), С. 27-32.

13. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С., Селезнев В. А. Диффузионные волны в средах с остаточной памятью// Науч. вестник НГТУ. — Новосибирск: НГТУ, 2002. №1(12). - С 45-55.

14. Бугров Я. С. Дробные разностные операторы и классы функций // Труды Мат. ин-та АН СССР, 1985, Т. 172, С. 60-70.

15. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1980.

16. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988.

17. Глушак А. В. О периодических решениях абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной // Вестник ВГУ, Серия физика, математика, 2003, N2 1, С. 96—98.

18. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной минимизации и решения систем нелинейных уравнений. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.

19. Желудев В. А. Производные дробного порядка и численное решение одного класса уравнений в свертках // Диф. уравнения, 1982, Т. 18,11, С. 1950-1960.

20. Зеленый JI. М., Милованов А. В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // Успехи физических наук, 2004, Т. 174, № 8, С. 809—852.

21. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. — М.: Изд. ин. лит, 1950.

22. Зосимов В. В., Лямшев Л. М. Фракталы в волновых процессах // Успехи физических наук, 1995, Т. 165, № 4, С. 361-402.

23. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1988.

24. Кабанихин С. И., Искаков К. Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. — Новосибирск, 2001.

25. Калиткии H.H. Численные методы. — М.: Наука, 1978.

26. Карманов В.Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1975.

27. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения, 1989, Т. 25, № 8, С. 1359— 1368.

28. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения, 1990, Т. 26, № 4, С. 660-670.

29. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. — М.: Наука, 1982.

30. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978.

31. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М.: Физмат-лит, 2003.

32. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. — М.: Горячая линия — Телеком, 2007.

33. Полак Э. Численные методы оптимизации. — М.: Мир, 1974.

34. Рабинович М. И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984.

35. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Наука, 1984.

36. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики. — М.: Наука, 1991.

37. Саичев А. И., Уткин С. Г. Модели дробной диффузии / В сб.: Актуальные проблемы статистической радиофизики. — Нижний Новгород, 2002, Т.1, №1, С. 5-43.

38. Саичев А. И., Уткин С. Г. Асимптотические законы супердиффузии // Журнал технической физики, 2003, Т.73, №7, С. 1—6.

39. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977.

40. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.

41. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987.

42. Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. — М.: Мир, 1980.

43. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач.1. М.: Наука, 1979.

44. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1977.

45. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, 1984.

46. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.

47. Учайкин В. В. К теории аномальной диффузии частиц с конечной скоростью свободного движения // Теор. и Мат. Физ., 1998, Т. 115, №1, С. 154—161.

48. Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук, 2003, Т. 173, №8, С. 847—876.

49. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ, 1995, Т. 108, Вып. 5(11), С. 1875-1884.

50. Arridge S. R., Schweiger М. A General Framework for Iterative Reconstrution Algorithms in Optical Tomography, Using a Finite Element Method // Pre-Print, 1999.

51. Berger J M and Mandelbrot В В 1963 IBM Journal of Research and Development 7 224

52. Bisquert J. Fractional diffusion in the multiple-trapping regime and revision of the equivalence with the continuous-time random walk // Phys. Rev. Lett., 2003, Vol. 91, №1.

53. Carpinteri A and Mainardi F (eds) Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. — Wien and New York, Springer Verlag, 1997.

54. Giona M., Roman E. Fractional diffusion equation on fractals: one-dimensional case and asymptotic behavior // J. Phys. A: Math. Gen.,1992, Vol. 25, P. 2093-2105.

55. Gorenflo R., Mainardi F., Moretti D., Pagnini G., Paradisi P. Discrete random walk models for space-time fractional diffusion // Chemical Physics, 2002, Vol. 284, P. 521-544.

56. Gorenflo R., Mainardi F., Moretti D., Paradisi P. Time fractional diffusion: a discrete random walk approach // Nonlinear Dynamics, 2002, Vol. 29, P. 129-143.

57. Gorenflo R., Vivoli A., Mainardi F. Discrete and continuous random walk models for space-time fractional diffusion // Nonlinear Dynamics, 2004, Vol 38, P. 101-116.

58. Gorenflo R., Mainardi F. Simply and multiply scaled diffusion limits for continuous time random walks // Journal of Physics: Conference series, 2005, Vol. 7, P. 1-16.

59. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. — Singapore, World Scientific, 2000.

60. Hilfer R., Anton L. // Phys. Rev. E, 1995, Vol.51, P. R848.

61. Hughes В. H. Random Walks and Random Invironments. — Oxford, Clareton Press, 1995.

62. Ismail A. Lecture 18: Non-Markovian Diffusion Equations / In: M.Z. Bazant 18.366 Random Walks and Diffusion. Lecture Notes for Spring 2003. — http://www-math.mit.edu/18.366/

63. Klafter J., Blumen A., Shlesinger М. F. // Phys. Rev. A, 1987, Vol. 35, P. 3081.

64. V. Kolokoltsov, V. Korolev and V. Uchaikin, Fractional stable distributions. J. Math. Sci. 105 (2001), 2569-2576.

65. Le Mchaute A. Fractal Geometries: Theory and Applications. — Boca Raton: CRC Press, 1991.

66. Levenberg K. A method for solution of certain problems in least squares // Quart. Appl. Math., 1944, Vol. 2, P. 164-168.

67. Liu F., Shen S., Anh V., Turner I. Analysis of a discrete non-Markovian random walk approximation for the time fractional diffusion equation // ANZIAM J., 2005, Vol. 46(E), P. C488-C504.

68. Liu F., Zhuang P., Anh V., Turner I. A fractional-order implicit difference approximation for the space-time fractional diffusion equation // ANZIAM J., 2006, Vol. 47(EMAC2005), P. C48-C68.

69. Mainardi F. On the initial-value problem for the fractional diffusion-wave equation // Waves and Stability in Continuous Media, World Scientific, Singapore, 1994, P. 246-251.

70. Mainardi F. Fractional diffusive waves in viscoelastic solids // Nonlinear Waves in Solids, 1995, P. 93-97, ASME/AMR.

71. Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation // Appl. Math. Lett., 1996, Vol. 9, No. 6, P. 23-28.

72. Marquardt D. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters // SIAM J. Appl. Math., 1963, Vol. 11, P. 431-441.

73. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep., 2000, Vol. 339, P. 1—77.

74. Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics// J. Phys. A: Math. Gen., 2004, Vol. 37, P. R161— R208.

75. Metzler R., Klafter J., Sokolov I. Anomalous transport in external fields: Continuous time random walks and fractional diffusion equations extended // Phys. Rev. E, 1998, Vol. 58. P. 1621-1633.

76. Miller K. S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. — John Wiley & Sons. Inc., New York, 1993.

77. Montroll E. W., Weiss G. H. // J. Math. Phys., 1965, Vol. 6, P. 167.

78. Montroll E. W., Weiss G. H. // J. Math. Phys., 1969, Vol. 10, P. 753.

79. Montroll E. W., Scher H. // J. Stat. Phys., 1973, Vol. 9, P. 101.

80. Montroll E. W., Scher H. // J. Stat. Phys., 1973, Vol. 34, P. 129.

81. Moré J. J. The Levenberg—Marquardt algorithm: implementation and theory — Numerical Analysis, Lecture Notes in Math., Springer—Verlag, Berlin, 1977, Vol. 60, P. 105-116.

82. Nigmatullin R. R. // Phys. Stat. Sol. (b), 1986, Vol. 133, № 1, P. 425430.

83. Nigmatullin R. R. On the theory of relaxation for systems with Remnant memory // Phys. Stat. Sol. (b), 1984, Vol. 124, P. 389-393.

84. Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Stat. Sol. (b), 1984, Vol. 123, P. 534-540.

85. Nigmatullin R. R. To the theoretical explanation of the ■ Universal Response // Phys. Stat. Sol. (b), 1984, Vol. 123, P. 739-745.

86. Nigmatullin R. R., Le Mehaute A. To the nature of irreversibility in linear systems // Magnetic Resonance in Solids, 2004, Vol. 6, No. 1, P. 165—179.

87. Oldham K., Spanier J. Fractional Calculus. — London, New York: Academic Press, 1973.

88. Oldham K., Spanier J. Fractional Calculus and its applications // Bui. Inst. Politehn. I asi. Sec. 1., 1978. Vol. 24, No. 3-4, P. 29-34.

89. Olemskoi A. I. Fractional-differential equations of motion // Pre-Print, 1999.

90. Podlubny I. Fractional Differential Equations. — CA: Academic, San Diego, 1999.

91. Podlubny I. The Laplace Transform method for Linear Differential Equations of the Fractional Order // Pre-Print, 1994.

92. Rangarajan G., Ding M. Anomalous diffusion and the first passage time problem // Phys. Rev. E, 2000, Vol. 62.

93. Scher H, Shlesinger M. F., Bcndlcr J. T. // Phys. Today, 1991, Vol. 44, P. 26.

94. Schneider W. R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equations // J.Math.Phys., 1989, Vol. 30, P. 134-144.

95. Shlesinger M. F. // Annual Reviews of Physical Chemistry, 1988, Vol. 39, P. 269.

96. Sokolov I. M., Klafter J., Blumen A. // Phys. Today, 2002, Vol. 55, P. 48.

97. Stanislavsky A. A. Fractional dynamics from the ordinary Langevin equation // Phys. Rev. E, 2003, Vol. 30, P. 87-102.

98. Wegner F., Grossman S. // Zeitschr. Phys. B, 1985, Vol. 59, № 2, P. 197-206.

99. Weiss G. H. Aspects and Applications of the Random Walk. — North-Holland, Amsterdam, 1994.

100. Wyss W. Fractional diffusion equation //J. Math. Phys., 1986, Vol. 27, P. 2782-2785.

101. Wyss M. M., Wyss W. Evolution, its fractional extension and generalization // Pre-Print, 1999.

102. Yuste S, B., Acedo L. An explicit finite difference method and a new von Neumann-type stability analysis for fractional diffusion equations // SIAM J. Numer. Anal., 2005, Vol. 42, P. 1862-1874.

103. Yuste S. B. Weighted average finite difference methods for fractional diffusion equations //J. Comp. Phys., 2006, Vol. 216, P. 264-274.

104. Zaslavsky G. M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport // Physics Reports, 2002, Vol. 371, P. 461-580.

105. Zauderer E. Partial Differential Equations of Applied Mathematics. — Wiley, New York, 1989.