автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы решения обратных задач теории аномальной диффузии

На правах рукописи

Иващенко Дмитрий Сергеевич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск — 2005

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом

университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Вондаренко Анатолий Николаевич

I

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Бородулин Александр Иванович

(

кандидат технических наук Щеколдин Владислав Юрьевич

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 21 декабря 2005 года в 1600 на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан 18 ноября 2005 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.173.06

Чубич В.М.

г и im

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В течение последнего десятилетия аномальная диффузия из объекта пристального внимания как со стороны физиков-экспериментаторов, так и со стороны математиков, выросла в целое научное направление, развитием которого активно занимаются, в частности, исследовательские коллективы под руководством R Gorenflo и F Mainardi, R. Metzler и J. Klafter, А. Саичева и С. Уткина.

Процесс аномальной диффузии характеризуется нестационарным распределением частиц в пространстве, где расстояние х, которое прошла ча-

где а — показатель аномальной диффузии. При 0 < а < 1 говорят о субдиффузионных процессах, а при 1 < а < 2 — о супердиффузионных

На сегодняшний день известны различные подходы к построению математических моделей Процесса аномальной диффузии, однако в соответствующей литературе отсутствует достоверная информация о результатах проверок адекватности получаемых моделей в ходе реальных экспериментов. В диссертации предлагается принципиально другой подход, основанный на предположении, что процесс аномальной диффузии описывается уравнением с дробной производной по времени и" = Л2 Ьи, однако порядок дифференцирования не известен. Таким образом, ставится задача нахождения вида уравнения аномальной диффузии по реально измеряемым данным. Такие задачи не являются классическими коэффициентными обратными задачами для уравнений в частных производных, вид которых известен.

Таким образом, актуальность темы диссертации определяется возрастающим интересом к исследованиям в области мезоскопического моделирования процессов переноса. Трудности, связанные с применением аналитических методов решения прямых задач для неоднородных сред на мезоуровне, приводят к необходимости построения численных методов решения прямых задач теории аномальной диффузии, а также разработке эффективных методов статистического моделирования.

Разработанные в диссертации методы численного решения обратных задач позволяют на основе реальных данных построить математическую модель аномальной диффузии. -—-)

j

стица за время t из начальной точки, растет по закону (x2(t)) ~ ta, аф 1,

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА j

Основная научная проблема, решению которой посвящена диссертационная работа, состоит в разработке численных методов решения начально-краевых задач теории аномальной диффузии в неоднородных средах. сеточных методов и методов статистического моделирования, а также разработке численных методов решения обратных задач восстановления вида дифференциального уравнения аномальной диффузии и создании комплекса программ для проверки адекватности рассматриваемой модели процесса.

Цель исследований, проведенных в диссертации, заключается в

1. построении точных решений обратных задач теории аномальной диффузии в однородных средах;

2. разработке сеточных методов для решения прямых задач теории аномальной диффузии и получении условия устойчивости разностной схемы для уравнения с дробной производной по времени;

3 разработке метода Монте-Карло для решения прямых задач теории аномальной диффузии с периодическим источником в неоднородных средах;

4. разработке методик и реализации эффективных алгоритмов минимизации функционала невязки и обращения разностной схемы для решения обратных задач, состоящих в восстановлении основных параметров неоднородной среды с временной дисперсией: обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии;

5 построении программного комплекса, позволяющего автоматизировать процесс проверки адекватности математической модели процесса аномальной диффузии

Научная новизна работы состоит в следующем:

1 Впервые решена обобщенная задача Зоммерфельда, состоящая в определении обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии среды с временной дисперсией. Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи для дифференциального уравнения с дробной производной по времени с периодическим источником. В некоторых простых случаях получены точные аналитические формулы для решения обратных задач, а в общем случае предложен численный алгоритм.

2. Впервые предлагается методика восстановления параметров математической модели процесса аномальной диффузии (вида соответствующего

дифференциального уравнения) по реально измеряемым данным. Для численного моделирования процесса распространения диффузионных волн в средах с остаточной памятью используются впервые разработанный метод Монте-Карло для уравнения аномальной диффузии и конечно-разностные методы дробного порядка. Впервые получено разложение случайного блуждания на диффузионную и дисперсионную составляющие. Предложено эмпирическое условие устойчивости соответствующей явной разностной схемы.

3. Разработан комплекс программ и реализованы оптимизационные методы ньютоновского типа для решения рассматриваемых в диссертации прямых и обратных задач теории аномальной диффузии, и в частности, обратной задачи восстановления показателя аномальной диффузии среды Впервые выявлены общие закономерности распространения диффузионных волн в неоднородных средах с временной дисперсией.

Автору не известны работы по рассматриваемой в диссертации тематике

Защищаемые положения

1 Пррдгтавлены новые постановки обратных задач теории аномальной диффузии, заключающихся в восстановлении основных параметров однородной среды с временной дисперсией. Разработана методика аналитического решения задачи восстановления основных параметров однородной среды с эффектом остаточной памяти, которая позволяет построить решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником и получить точные формулы для решения обратных задач.

2. Разработаны конечноразностные схемы решения уравнения аномальной диффузии в неоднородных средах.

3. Разработан алгоритм статистического моделирования (метод Монте-Карло) для решения прямых задач теории аномальной диффузии в неоднородных средах.

4. Разработан алгоритм построения нулевого приближения в задаче восстановления основных параметров неоднородной среды — метод базисных решений, который позволяет «спуститься» в окрестность искомого решения из произвольной точки. Разработаны оптимизационные алгоритмы ньютоновского типа для решения обратных задач теории аномальной диффузии, представляющие собой модификации методов Ньютона, Левенберга—Марквардта

и секущих и позволяющие получить приближенное решение с высокой точностью.

5. Разработан программный комплекс ШРЯАО, основанный на специально построенной диалоговой системе управления вычислениями. Данный программный комплекс позволяет численно моделировать процесс распространения диффузионных волн в неоднородных средах с временной дисперсией и исследовать его общие закономерности; решать обратные задачи теории аномальной диффузии, в режиме диалогового взаимодействия «человек-компьютер» выбирая необходимые методы, корректируя вспомогательные коэффициенты и производя численные расчеты искомых параметров; прове- 1 рять адекватность выбранной математической модели процесса аномальной диффузии.

Теоретическая значимость работы

Разработаны аналитические методы решения прямых и обратных задач теории аномальной диффузии, позволившие получить точные решения. Разработаны вычислительные схемы для решения прямых задач теории аномальной диффузии в неоднородных средах и построены модифицированные оптимизационные алгоритмы для решения задач восстановления неизвестных характеристик этих сред.

Практическая ценность работы и реализация результатов

Разработанные схемы и алгоритмы использовались при решении задач теории аномальной диффузии. Результаты исследований, проведенных в диссертации, позволят на практике по данным измерений строить математические модели сред с неизвестными характеристиками. Процесс аномальной диффузии моделируется методом Монте-Карло: решается начально-краевая задача и результат рассматривается в качестве «реальных» данных, на основании которых решается конечно-разностная обратная задача, состоящая в восстановлении параметров некоторой математической модели. Решение обратной задачи сводится к минимизации некоторого целевого функционала итерационными методами, где на каждой итерации с использованием выбранной модели решается прямая задача. Разработанные для этих целей методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе ШРШШ, интерфейс которого позволяет пользователю производить вычисления в диалоговом режиме.

Достоверность результатов подтверждена сравнением результатов решения прямых задач теории аномальной диффузии сеточными методами, методом Монте-Карло и аналитическими методами

Личный вклад.

1. Впервые получено решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником для дифференциального уравнения с дробной производной по времени и обобщены законы Фурье на случай среды с временной дисперсией Получено интегральное преобразование, связывающее решения краевых задач без начальных условий с периодическим источником для уравнения теплопроводности и уравнения аномальной диффузии Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи с периодическим источником для дифференциального уравнения с дробной производной по времени.

2. Получены точные аналитические решения обратных задач теории аномальной диффузии для однородных сред с эффектом остаточной памяти: восстановления обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии, а также одновременного определения этих параметров.

3. Разработан модифицированный метод Монте-Карло для численного решения прямых задач теории аномальной диффузии, в основу которого положены дискретные модели случайного блуждания для уравнений с дробной производной по времени.

4 Разработаны конечно-разностные схемы численного решения прямых задач теории аномальной диффузии. Впервые получено эмпирическое условие устойчивости многослойной явной разностной схемы с переменным числом слоев для уравнения аномальной диффузии и разработаны экономичные вычислительные схемы для решения прямых задач, учитывающие свойства биномиальных коэффициентов и влияние эффекта памяти.

5. Разработаны модифицированные оптимизационные алгоритмы ньютоновского типа для решения обратных задач теории аномальной диффузии с использованием методов минимизации функционала невязки и обращения разностной схемы и впервые предложен метод базисных решений для построения нулевого приближения. Установлено, что топография поверхности, задаваемой функционалом невязки, имеет овражную структуру и включает

области локального минимума.

6. Разработаны численные методы решения обратных задач восстановления обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии неоднородной среды, а также задачи одновременного определения этих параметров. Проведен сравнительный анализ эффективности использованных вычислительных алгоритмов и исследовано поведение соответствующих итерационных процессов.

7. Для численного моделирования процесса аномальной диффузии и решения обратных задач разработан программный комплекс INPRAD, в рамках которого реализована диалоговая система управления вычислениями, позволяющая пользователю вносить необходимые поправки непосредственно в ходе расчетов: варьировать вспомогательные коэффициенты, выбирать другие методы, прерывать работу программы

Апробация работы

Результаты диссертации были представлены в рамках семинаров, проводимых на кафедре Высшей Математики НГТУ; на региональной научной конференции «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск, 2001, 2002 гг.); на Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2003, 2004 гг.); 6th Korea—Russia International Symposium on Science and Technology. Novosibirsk State Technical University (Novosibirsk, 2002); 8th Korea—Russia International Symposium on Science and Technology. Tomsk Polytechnic University (Tomsk, 2004); 9th Korea—Russia International Symposium on Science and Technology. Novosibirsk State Technical University (Novosibirsk, 2005); на семинаре академика В. Н. Монахова в Институте гидродинамики СО РАН; на семинаре чл.-корр. В. Г Романова в Институте математики им. Соболева СО РАН.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 12 работ, из них 5 статей, 3 работы в сборниках трудов конференций, 4 работы в сборниках тезисов конференций.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 118 наименований. Работа изложена на 126 стра-

ницах основного текста, включая 23 иллюстрации.

Основное содержание работы В первой главе обсуждается аналитический подход к решению обратных задач теории аномальной диффузии, в рамках которого решаются задачи определения основных параметров однородных сред с временной дисперсией. Основное внимание уделено рассмотрению обобщенной задачи Зоммер-фельда, состоящей в восстановлении обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии среды с временной дисперсией, а также решению задачи одновременного определения этих величин. В качестве модели процесса аномальной диффузии используется дифференциальное уравнение с дробной производной по времени и в области Í2 = {(ж, t) : х > 0, t > 0} рассматривается краевая задача без начальных условий

at ~ А дх*' w

u(0,t) = A cos(wí), (2)

где 0 < 2/3 < 1, а дробное дифференцирование понимается в смысле Римана— Лиувилля

bjafti^*- <3>

Построено аналитическое решение задачи (1), (2)

... / <Jx 0ir\ / ufix . /ЗяЛ и(х, t)=A ехр 1 —— cos — ] cos I ut--— sin — I , (4)

которое явным образом описывает зависимость концентрации от координаты и времени при заданных значениях параметров среды. На основании полученного решения (4) сформулированы обобщенные законы Фурье, характеризующие процесс распространения диффузионных волн в средах с временной дисперсией.

В п. 1.2 доказана теорема о том, что выбранное в качестве модели дробно-дифференциальное уравнение (1) является естественным обобщением уравнения теплопроводности на нецелые порядки дифференцирования, и представлено интегральное преобразование, связывающее решение «классической»

(2/3 = 1) задачи о распространении диффузионных волн и(х, Ь) с решением соответствующей обобщенной задачи и (х, ¿):

оо

и(ж,г) = ^К,(х,т)у(т,Ь) (1т, (5)

о

где

^ Г2ДП+—■ (6)

00 (-1)" хпХ^20~^п

В п. 1.3 доказана лемма о дробном дифференцировании свертки, на основе которой с использованием техники преобразования Лапласа построено фундаментальное решение уравнения аномальной диффузии

Г(г Л = _!_ V Ы1!_]£!! ПРп + р) { 2тгА¿о п! А"^»со8ес[(-/9п+1-Д)тг]' к >

Получение*' решение позволило построить сверточный оператор с сингулярным ядром в виде сходящегося всюду в П ряда-

1 оо С_11п тп

Заметим, что

К{х,1) = 2-^С{х,1). (9)

Полученный оператор позволяет строить решения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной по премени В частности, доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи с периодическим источником

, ч , ( и/х £тг\ / ш0х . /Зтг\ и(т, I) = А ехр I--~ соб — I сое I шъ--— вт — I (10)

Основным результатом главы является определение величин А и ¡5 из дополнительных условий

й(х0, <0) = со, й(х0,^) = С1, (11)

причем

Здесь со и ci - экспериментально найденные значения концентрации на расстоянии хо от источника в моменты времени io, U соответственно В некоторых простых случаях получены точные аналитические формулы для расчета искомых величин, а в общем случае предложен алгоритм численного решения.

Во второй главе рассматриваются численные методы решения прямых задач теории аномальной диффузии: метод Монте-Карло и метод конечных разностей Поскольку в этом случае в качестве данных обратной задачи берется информация о начальной стадии распространения диффузионной волны, то в области S1 = {(ж, t) : х > 0, t > 0} рассматривается начально-краевая задача вида

д°и *д2и

и(х,0) = 0; u(0 ,t) = f(t); u(+oo,i) = 0. (14)

Здесь а = а(х), А = А (ж). В диссертации для решения данной задачи предлагается использовать аппарат численных методов. В связи с этим в п. 2.1 в сеточной области О = {(ih,jr) : 0 <i<N, 0 < j < М} вводится в рассмотрение разностная дробная производная Грюнвальда—Летникова

!)*(;) (15)

к-0 \К/ ~

Здесь же рассматривается вопрос построения разностных схем для уравнения аномальной диффузии Построенная разностная схема для уравнения аномальной диффузии является многослойной с переменным числом слоев, которое возрастает по мере продвижения «вверх» по временным слоям сетки. Приводится эмпирическое условие устойчивости явной разностной схемы для уравнения аномальной диффузии

exp (min а, In т 1 min а,

-Чг-1 ^ ¡5« (16)

пг 2 maxA,

полученное в результате компьютерных экспериментов Проводится сравнительный анализ явной и неявной разностной схем для уравнения аномальной диффузии и устанавливаются преимущества неявной схемы. Таким образом,

разностная краевая задача имеет вид

+ 2^+^+0- (17)

У? = 0; Уо ~ у?7'; Ж = 0. (18)

Здесь а — весовой множитель.

В п 2 2 разработан метод Монте-Карло для решения прямых задач теории аномальной диффузии на основе предложенных И. Согепйо и Р. МатагсИ принципов случайного блуждания и представлен алгоритм для программной реализации этого метода на ЭВМ. Заметим, что при а = 0 выражение (17) может интерпретироваться как «универсальный закон перехода» от ]-го временного слоя к ,7 + 1-му, справедливый для всехj > 0:

3/,(<;+1) =

+ + (19)

В данном случае величина трактуется как вероятность пребывания

«случайно блуждающей» частицы в точке ж* в момент времени

При а < 1 учитывается вся «история» частицы, то есть весь ее путь

(а;(<о),х(^),.......В диссертации показано, каким образом

случайное блуждание для аномальной диффузии раскладывается на диффузионную и дисперсионную составляющие.

На рис. 1 представлены результаты сравнительного анализа численного решения методом Монте-Карло уравнения аномальной диффузии (13) для случая а = 0.5 при начальном условии и(х, 0) = 8(х). На рис 1а) изображена траектория случайной частицы с приращениями; на рис. 16) сплошной линией изображена плотность распределения аномально диффундирующих частиц, определяемая аналитической формулой (7), где а = 20, а точками — плотность распределения, полученная с помощью численного моделирования.

а)

О

-5

-10 10

-10

1 1 1 1 1

0 50 100 150 300 250

1 1 1 1 г 1 1 1 | 1

50 100 150 200

250

б)

Рис. 1. Случайное блуждание для аномальной диффузии: а) траектория случайного блуждания (с приращениями), б) плотность распределения аномально диффундирующих частиц

На рис. 2 представлен сравнительный график численного решения прямой задачи для уравнения аномальной диффузии с периодическим источником методом Монте-Карло и методом конечных разностей при а = 0.5, А = 1.0, г = 6.25 • Ю-6, к = 0.1.

В п. 2.3 приведены результаты вычислительных экспериментов, которые показывают, что степень аппроксимации сеточной моделью (17) решения краевой задачи с периодическим источником, полученного методом Монте-Карло, позволяет, взяв это решение в качестве данных обратной задачи, оценить эффективность сеточной модели.

время эксперимента

Рис 2 Сравнительный график численного решения прямой задачи для уравнения аномальной диффузии с периодическим источником методом Монте-Карло (С) и методом конечных разностей (В)

В третьей главе рассматриваются численные методы решения обратных задач теории аномальной диффузии для неоднородной среды. Решение обратной задачи х{х) ищется в классе ступенчатых функций А'г!(Г21). Обратные задачи заключаются в определении обобщенного коэффициента диффузии Л и показателя аномальной диффузии а. В качестве основных методов решения обратных задач используются метод минимизации функционала невязки (МФН) и метод обращения разностной схемы (ОРС). Главное внимание уделено разработке «глобальных» (т е. обеспечивающих сходимость в окрестность решения почти из любой точки) стратегий их решения, основанных на использовании существующих итерационных методов минимизации функционала невязки

3 3

где ф — данные обратной задачи, £ — моделируемые данные, и обращения разностной схемы. Принципиальное различие эффективности предложенных методов состоит в том, что при минимизации функционала невязки на каждой итерации прямая задача решается несколько раз, в то время как при обращении разностной схемы прямая задача решается один раз при выборе нулевого приближения.

В п. 3.1 приводятся результаты исследований свойств функционала невяз-

ки, которые показывают, что поверхность, им задаваемая, имеет овражную структуру и содержит области локальных минимумов (рис 3). Предлагаются способы преодоления эффекта оврагов, состоящие в использовании оптимизационных методов ньютоновского типа, которые «невосприимчивы» к характеру топографической структуры минимизируемого функционала Здесь же представлены модифицированные алгоритмы Левенберга—Марквардта и секущих и предложен новый метод базисных решений для построения нулевого приближения, основная идея которого состоит в следующем

V

08-

Ф(Д) Ф(о)

Рис. 3 Поверхности, задаваемые функционалами невязки Ф(А) и Ф(а)

Ф(Л) Ф(а)

Рис. 4. «Дно» оврагов Ф = Ф(А) и Ф = Ф(а) в увеличенном масштабе

Рассмотрим пространство Хк решений обратной задачи. Пусть элементы е0, ех, ■ ■ ■ ,ек-1 образуют базис в Хк. Тогда их линейная комбинация даст

элемент х е X* такой, что

X = Хоео + Х1е1 + .. - + ХК-1СК-1- (20)

Таким образом, решение обратной задачи представляет собой вектор X = (хо, Хл, • • •, Хк-1) • Через х* = (Хо. х!> • - • > ХК--1) обозначим искомое решение обратной задачи при данных ф, а через х° — (х<ъ Хи ■ ■ ■ ,Хк~\) ~ некоторое (произвольное) приближение, позволяющее получить вектор моделируемых данных Основная идея метода базисных решений состоит в том, что если производить сдвиг коэффициентов разложения (20) определенным образом, то можно осуществить быстрый спуск из точки х° в окрестность точки х*, в которой функционал невязки Ф(х) достигает нулевого минимума. Поэтому чтобы минимизировать невязку ф — на каждой итерации алгоритма будем либо сдвигать текущие значения х? по отдельности на некоторую величину 6 влево или вправо, либо не сдвигать, т. е. сдвигать на величину 0. Заметим, что сдвиг коэффициентов разложения (20) на величину 6 повлечет за собой изменение значения функционала невязки Ф не более чем на величину е На очередной итерации алгоритма каждая г-я компонента вектора х° может быть подвержена одному из трех состояний: X? + 0, х? — X? + Следовательно, всего можно насчитать Зк комбинаций состояний, одна из которых будет соответствовать сдвигу коэффициентов разложения (20) х+ = (Хо» XI! • • • > Х/?-^ Щ>и котором прямая задача обязательно даст в результате вектор такой что Ф(х*) < Ф(х+) < Ф(х°)-

В п. 3 2 обсуждаются различные аспекты реализации метода обращения разностной схемы, применение алгоритмов Ньютона и Бройдена, конфигурация матрицы производных, обеспечение сходимости метода почти из любой точки Здесь же приведена общая схема отыскания решения обратной задачи теории аномальной диффузии на основе «глобальной» стратегии, согласно которой методы МФН и ОРС могут выполняться последовательно, причем первый доставляет нулевое приближение для второго.

В четвертой главе рассматривается программный комплекс ШРЯАП, разработанный автором для решения прямых и обратных задач теории аномальной диффузии Комплекс включает: программу построения дискретных моделей случайного блуждания для аномальной диффузии; программу, реализующую метод Монте-Карло для решения прямых задач теории аномаль-

ной диффузии с периодическим источником; программу построения нулевого приближения методом базисных решений; программу решения прямых задач теории аномальной диффузии с периодическим источником сеточными методами; программы, реализующие методы МФН и ОРС для решения обратных задач восстановления основных параметров неоднородных сред с временной дисперсией.

В разд 4 1 обсуждаются вопросы оптимизации вычислений в рамках программного комплекса ШРИАБ, причем особое внимание уделено проблемам оптимизации вычислений биномиальных коэффициентов высокого порядка производной Грюнвальда—Летникова и ускорения решения прямой задачи в методе минимизации функционала невязки. В диссертации предлагается вычислять биномиальные коэффициенты по рекуррентной формуле, учитывая, что начиная с некоторого номера биномиальные коэффициенты имеют порядок Ю-6 и меньше и соответствующие им слагаемые в выражении для производной Грюнвальда—Летникова в ряде случаев не оказывают определяющего влияния на точность аппроксимации. В разд. 4.2 рассматривается положенная в основу программного комплекса ШРИАБ диалоговая система управления вычислениями «человек—компьютер», которая позволяет пользователю контролировать вычислительный процесс на всем его протяжении и, если необходимо, вмешиваться в его ход, изменяя соответствующие настройки' варьируя контрольные параметры, изменяя шаг текущего метода, выбирая другое нулевое приближение или параметры периодического источника. Приведены блок-схемы, иллюстрирующие основные этапы работы программного комплекса ШРЯАО и работу диалоговой системы управления вычислениями, а также результаты компьютерного моделирования процесса аномальной диффузии и численных экспериментов, выполненных с помощью программного комплекса ШРЯАО и касающихся исследования закономерностей распространения диффузионных волн в различных средах. Обсуждаются результаты исследований поведения «основной» модели, которые позволяют спрогнозировать ход решения соответствующей обратной задачи в той или иной ситуации и подобрать подходящую стратегию.

В разд. 4.3 центральное место занимает анализ результатов вычислительных экспериментов. Приводятся результаты сравнительного анализа эффек-

тивности алгоритмов решения обратных задач и исследования поведения соответствующих итерационных процессов. Здесь же подробно рассматриваются решения всех обратных задач теории аномальной диффузии для неоднородной среды различными методами, результаты вычислений приводятся в виде графиков.

На рис 5, 6 показаны результаты решения следующих обратных задач для неоднородной среды:

1 задачи восстановления обобщенного коэффициента диффузии при известном а = 0.75;

2 задачи восстановления показателя аномальной диффузии при известном А = 0.5

В качестве основного инструмента решения обратных задач был выбран метод Левенберга—Марквардта как наиболее эффективный из рассмотренных в работе. В качестве критерия останова использовалось условие Ф(х) < г, где е = Ю-5 Размерность функционала невязки Т выбиралась равной Р2. Отметим, однако, что при решении обратной задачи 3 для достижения той же точности, что в обратной задаче 2, требуется увеличить размерность вектора невязки.

Основные результаты работы

1. Впервые построено решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником для дифференциального уравнения с дробной производной по времени и обобщены законы Фурье на случай среды с временной дисперсией Построено интегральное преобразование, связывающее решения краевых задач без начальных условий с периодическим источником для уравнений теплопроводности и аномальной диффузии.

2. Построен сверточный оператор с сингулярным ядром в виде ряда, позволяющий получить решения краевых задач для дифференциального уравнения с дробной производной по времени Впервые доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи с периодическим источником.

3 Построены точные аналитические решения обратных задач теории аномальной диффузии для однородных сред с временной дисперсией, заключаю-

О 100 200 300 400 500 600 J

\Е - «точное» решение

АО — нулевое приближение

АЛ* приближенное решение поело N ичграцпй

Рис. 5. Решение задачи восстановления обобщенного коэффициента диффузии при а = 0.75

0 100 200 300 400 500 600 }

аЕ - «точное» решение а 0 - нулевое приближение

аАг приближенное решение после N итераций Рис. 6. Решение задачи восстановления показателя аномальной диффузии при А = 0.5

щихся в восстановлении обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии, а также одновременном определении этих параметров

4. Впервые получено эмпирическое условие устойчивости многослойной явной разностной схемы с переменным числом слоев для уравнения аномальной диффузии и разработаны экономичные вычислительные схемы для решения прямых задач, учитывающие свойства биномиальных коэффициентов и влияние эффекта памяти.

5. Разработан метод Монте-Карло для решения прямых задач теории аномальной диффузии с периодическим источником, основанный на дискретных моделях случайного блуждания для аномальной диффузии. Впервые получено разложение случайного блуждания на диффузионную и дисперсионную составляющие.

6 Построены функционалы невязки как функции от обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии и исследованы топографические структуры поверхностей, ими задаваемых. Показано, что данные поверхности имеют овражную структуру, включающую области локального минимума.

7. Предложены модифицированные оптимизационные алгоритмы ньютоновского типа для решения обратных задач теории аномальной диффузии с использованием методов минимизации функционала невязки и обращения разностной схемы и впервые предложен метод базисных решений для построения нулевого приближения.

8. На основе оптимизационного подхода разработаны численные методы решения обратных задач восстановления обобщенного коэффициента диффузии и показателя аномальной диффузии неоднородной среды, а также задачи одновременного определения этих параметров.

9. Для численного моделирования процесса аномальной диффузии и решения обратных задач разработан программный комплекс ШРИАБ, в рамках которого реализована диалоговая система управления вычислениями, позволяющая пользователю вносить необходимые коррективы контрольных параметров и управляющих опций непосредственно в ходе расчетов.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1 Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Задачи неразрушающего контроля фрактальной среды // Тез докл. региональной науч. конф. «Наука, Техника, Инновации» — Новосибирск, 2001, 4.1, С. 107—108.

2 Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Волновые процессы в средах с временной дисперсией // Тез. докл. региональной науч. конф. «Наука, Техника, Инновации» — Новосибирск, 2002, 4.1, С. 200—202.

3. Бондаренко А Н., Иващенко Д С. Численное решение обратных задач аномальной диффузии // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» — Новосибирск, 2003, 4.1, С 223—224.

4 Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численные алгоритмы в обратных задачах восстановления параметров среды на мезоуровне // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» — Новосибирск, 2004, 4.1, С. 213-214.

5 Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численные алгоритмы решения обратных задач аномальной диффузии // Сб. науч. тр. НГТУ — 2003. — №4(34), С 59-64.

6 Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Восстановление параметров слоистой среды методом минимизации функционала невязки // Сб. науч тр. НГТУ - 2004. - №3(37), С. 21-26

7. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Исследование функционала невязки в задачах мониторинга слоистых сред // Сб. науч. тр. НГТУ. — 2004. — №4(38), С 9-14.

8 Бондаренко А. Н., Иващенко Д С. Оптимизация вычислений в рамках пакета программ «Численное решение обратных задач аномальной диффузии» // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2004. - №3(37), С. 27-32.

9. Бондаренко А. Н , Иващенко Д. С., Селезнев В. А. Диффузионные волны в средах с остаточной памятью// Науч. вестник НГТУ. — Новосибирск: НГТУ, 2002. - №1(12). - С 45-55.

10. Bondarenko A. N., Ivaschenko D. S., Seleznev V. A. Inverse Sommerfeld Problem for Fractal Media // Proceedings of 6th Korea—Russia International Symposium on Science and Technology KORUS'02, June 24 - 30, 2002 at

Novosibirsk State Technical University. — Novosibirsk, Russia, 2002 — vol 1, P. 246—252. (Обратная задача Зоммерфельда для фрактальных сред)

11 Ivaschenko D. S Numerical Algorithms for Solving the Anomalous Diffusion Inverse Problems // Proceedings of 8th Korea—Russia International Symposium on Science and Technology KORUS'04, June 26 — July 3, 2004 at Tomsk Polytechnic University. — Tomsk, Russia, 2004. — vol. 2, P. 137—139. (Численные алгоритмы для решения обратных задач аномальной диффузии)

12. Bondarenko А N , Ivaschenko D. S Levenberg—Marquardt Method for Restoration of Layered Medium Key Parameters // Proceedings of 9th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology KORUS'05, June 26 — July 2, 2005 at Novosibirsk State Technical University. — Novosibirsk, Russia, 2005 — vol 1, P. 43—47 (Метод Левенберга—Марквардта для восстановления основных параметров слоистой среды)

Подписано в печать 17.11.2005 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Печ. л. 1,5.

Заказ № 1296

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К Маркса, 20

j

f

i

I

>

I

I

<

t

Í

»24 2 12

РНБ Русский фонд

2006-4 26816

<,3