автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование переноса заряженных частиц в низкоразмерных неоднородных системах на основе перколяционного подхода

Введение

Глава 1. Современные представления об аномальной диффузии в неупорядоченных средах

§1.1. Аномальность диффузии в неупорядоченных средах

§1.2. Перколяционная модель изучения диффузии в неупорядоченных системах

§1.3.Применение перколяционной модели к изучению диффузии в одномерных системах

Постановка задачи

Глава 2. Транспорт в одномерных однородных и неоднородных конденсированных системах

§2.1. Транспорт в однородных неограниченных конденсированных системах

§2.1.1. Модель транспорта с переменной длиной диффузионного прыжка в однородных системах

§2.1.2. Особенности диффузии и дрейфа в рамках модели с переменным радиусом протекания

§2.2. Транспорт в неоднородных конденсированных системах с периодическими граничными условиями

§2.2.1. Перколяционная модель неоднородной конденсированной системы с переменным радиусом перколяции

§2.2.2. Транспорт в рамках перколяционной модели неоднородной конденсированной среды с ограниченного размера

§2.2.3. Особенности перколяционной модели одномерной среды в термодинамическом пределе

§2.3.Влияние неоднородности конденсированной среды на диффузию при наличии периодических граничных условий

§2.4. Транспорт в конденсированных "полуоткрытых" системах

§2.5. Усложнение модели диффузии в неоднородной среде

Глава 3. Транспорт в неоднородной конденсированной среде ограниченного размера в приближении гребешковой модели

§3.1. Модель транспорта на гребешковой структуре с псевдослучайными длинами ребер при переменном масштабе неоднородности

§3.2. Зависимость характера аномальности транспорта от времени на гребешковых структурах с периодическими граничными условиями

§3.3. Влияние полуоткрытости границ гребешковой структуры на процесс переноса

Глава 4. Диффузия в двумерных неоднородных конденсированных системах ограниченного размера в рамках перколяционной модели

§4.1. Перколяционная модель двумерной конденсированной системы с переменным радиусом перколяции

§4.2. Сравнение особенностей диффузии в двумерной перколяционной модели и на гребешковой структуре

Процессы диффузии и переноса чрезвычайно широко распространены в природе, они имеют большое значение для использования в различных материалах и приборах. Постоянно расширяются классы веществ, применяемых в качестве проводников, полупроводников и изоляторов. Возрастает актуальность исследования веществ с заданными диффузионными свойствами, определяемыми нуждами электроники. В связи с перечисленным, интерес к процессам переноса усиливается. С другой стороны, по сравнению с упорядоченными кристаллическими системами, изучены гораздо слабее [ 1, 2] такие важные для транспорта массы и заряда неупорядоченные объекты, как межфазные границы [3]. границы зерен [4. 5]. аморфные металлические сплавы, [6, 7] полупроводники [8] и дефектные кристаллы [9]. Объектами особенно пристального внимания их делают различные отличительные особенности диффузионных процессов, которые принято называть аномальными. Среди таких особенностей можно отметить увеличение скорости диффузии при возрастании разупорядоченности структуры [10]. рост коэффициента диффузии примеси (до нескольких порядков) по сравнению с обычной диффузией [11] и его неаррениусовскую зависимость от температуры [12-14], отклонения от закона Ома при полевом дрейфе [15, 16] и др. Традиционно рассматриваются случаи аномально медленной субдиффузии в результате захвата частиц в ловушки [15, 17-19] и аномально быстрой супердиффузии при прыжках произвольной длины (так называемые «полеты Леви») [20. 21]. Причем, если аномально медленный транспорт теоретически описан, по крайней мере, для двух ситуаций [18, 22], то об аномально быстром транспорте известно гораздо меньше [23]. Нет оснований считать, что «полеты Леви» -единственный механизм быстрой диффузии. Поскольку в реальных конечных объектах невозможны прыжки бесконечно большой длины, то должны существовать промежуточные реализации аномально быстрого транспорта. Именно этой важной проблеме и посвящена настоящая работа.

Крут экспериментально и теоретически исследуемых в плане транспорта низкоразмерных объектов постоянно расширяется: к настоящему времени созданы наноструктуры с одномерным электронным газом (квантовые проволоки) и кристаллиты размером несколько нанометров (квантовые точки) [24]. Среди объектов низкой пространственной размерности полимерные цепи, сильно анизотропные кристаллы, поверхности кристаллов и ребра граней [25], щели в дефектных материалах [26]. границы зерен. Известно [1]. что самые длинные поры в рыхлом кремнии имеют форму, близкую к линейной, а это существенно сказывается на механизме диффузии в материале, ускоряя ее. Менее длинные поры имеют тенденцию к объединению в квазиодномерные ветви. Обнаружена аномально высокая поперечная проводимость в пленках кремния с низкой концентрацией примеси, обеспечиваемая одномерными цепочками локализованных состояний [27, 28]. Вообще, с понижением температуры энергетически выгодной становится одна из траекторий, вдоль которой приходится преодолевать наименьшие потенциальные барьеры. Движение частицы с большой вероятностью приобретает одномерный характер [2]. При понижении пространственной размерности уменьшается число каналов рассеяния, а при некоторых специально подобранных условиях рассеяние электронов фононами может быть ослаблено или даже совсем устранено, за счет чего скорость диффузии и дрейфа будет возрастать, особенно с понижением температуры, когда длина свободного пробега электрона экспоненциально растет при рассеянии на акустических колебаниях [24]. Кроме того, квазидвумерные, квазиодномерные и одномерные системы нередко оказываются хорошими простейшими приближениями, в частности, для пленок толщиной в несколько атомных слоев или даже более толстых образцов с нитевидной и слоистой структурой [25]. Подобные системы удобны и в общетеоретическом плане, так как в пизкоразмерных случаях много проще получаются точные общие решения [29] (например, для обобщенной одномерной модели Изинга). Все это делает системы с низкой пространственной размерностью актуальным и важным объектом исследования транспорта, прежде всего, аномально быстрого.

В современных полупроводниковых приборах используются пленки толщиной порядка микрометра, а технологии, связанные с космосом, требуют изготовления приборов с заданными свойствами и рабочим объемом, измеряемым в ангстремах. Это означает, что в связи с потребностями микроэлектроники самостоятельного рассмотрения заслуживают конечные системы.

Таким образом, объектом исследования в настоящей работе выступают процессы аномально быстрой диффузии и полевого дрейфа в конечных системах с низкой пространственной размерностью: одномерных, квазиодномерных и двумерных.

Экспериментальные возможности для изучения процессов переноса ограничены, особенно в малых системах, в то время как при исследовании атомных моделей можно получить дополнительную информацию о поведении системы на атомном уровне [1], поэтому важная роль отводится теоретическому изучению моделей процессов диффузии и дрейфа.

В настоящее время отсутствует полное описание аномального транспорта, однако представляется перспективным в том числе и перколяционный подход к описанию процессов переноса в неупорядоченных средах, который позволяет, например, рассмотреть электронную подсистему легированных полупроводников, причем полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными [29]. В различных модификациях перколяционный подход часто успешно применяется при теоретическом изучении диффузионных процессов [1, 10, 15-19, 22, 28, 30-47]. Традиционно при привлечении идей теории перколяции учитываются свойства только ближайших соседних узлов (т.е. случай с единичным радиусом перколяции) [19, 29, 481, однако в применении к одномерным неупорядоченным системам подобная модель обладает очень ограниченными возможностями.

В настоящей работе к изучению диффузии и дрейфа в пространственно неупорядоченных одномерных, квазиодномерных и двумерных системах применяется перколяционный подход, учитывающий свойства не только ближайших, но и вторых, и третьих соседних узлов (т.е. случай с переменным радиусом перколяции). Научная новизна работы состоит в систематическом изучении быстрого транспорта массы и заряда с переменной длиной конечного прыжка, соответствующей радиусу перколяции, в системах с низкой пространственной размерностью. Данный подход опирается, в частности, на результаты [48], где показано, что максимальная длина прыжка частицы при прыжковой проводимости увеличивается с понижением температуры, причем медленно, а это накладывает на длину прыжка ограничения. Для рассмотрения стационарных и нестационарных свойств систем используется компьютерное моделирование, которое осуществляется как в замкнутых структурах, так и в «полуоткрытых» системах. При успешном развитии предложенного подхода может быть внесена ясность в некоторые упомянутые актуальные вопросы аномально быстрого транспорта в конечных неупорядоченных системах с низкой пространственной размерностью.

Таким образом, настоящая работа посвящена разработке математических моделей диффузии и полевого дрейфа в пространственно неупорядоченных конденсированных двумерных, квазиодномерных и одномерных средах. Для этого в рамках перколяционного подхода разработаны математические модели транспорта с переменной длиной прыжка в конденсированных неупорядоченных средах соответствующих пространственных размерностей. Поведение основных характеристик диффузии и полевого дрейфа: критического индекса аномальной диффузии, коэффициента диффузии, подвижности изучается в зависимости от величины напряженности поля, наибольшей длины прыжка, времени, граничных условий аналитическими и численными методами. На основе полученных результатов тип транспорта в исследованных системах относится к субдиффузии, к нормальной диффузии иди к аномально быстрому переносу. Устанавливается влияние пространственной размерности структуры на тип транспорта в ней.

Диссертация состоит из введения, литературного обзора, трех оригинальных глав и заключения.

Выводы к четвертой главе

Показано, что переход в стационарное состояние со временем происходит не одинаково на рассмотренных гребешковых структурах и на двумерных перколяционных соединяющих кластерах в области сильных полей. Возможно, это объясняется тем. что перколяционная модель системы позволяет в отличие от гребешкового приближения обнаружить особенности процессов переноса, трудноуловимых на макроуровне. Так, для перколяционной модели обнаружена нетривиальная зависимость подвижности от напряженности поля. Гребешковое приближение в настоящей модификации представляется более корректным для описания транспорта в одномерных и квазиодномерных неупорядоченных средах.

Заключение

Таким образом, в настоящей работе рассмотрена диффузия и полевой дрейф в конденсированных средах со структурными неоднородностями и низкой пространственной размерностью, в которых экспериментально возможны аномальные режимы транспортировки массы и заряда. В качестве приближения неоднородной ограниченной одномерной или двумерной среды использовалась перколяционная модель с переменным радиусом протекания соответствующей пространственной размерности в области выше перколяционного перехода. Гребешковая структура служила моделью одномерной среды с ловушками или квазиодномерной системы. На основании проведенного диссертационного исследования получены следующие основные результаты.

1. Для двумерных, квазиодномерных и одномерных неоднородных замкнутых систем с ловушками в отсутствии поля реализовалась аномально медленная субдиффузия с критическим индексом 0.5 < в < 2 . Такой результат согласуется с известными данными по исследованию гребешковых структур [15,17,18,22] и двумерных перколяционных кластеров [18] с прыжками частиц по ближайшим соседям.

2. Для одномерных систем в отсутствии поля имела место обычная диффузия с постоянным коэффициентом диффузии и приближающимся к нулю критическим индексом в. Этот результат не является очевидным, поскольку неоднородная одномерная система содержит дефекты, оказывающие тормозящее воздействие на движение частиц.

3. Включение поля приводит к постепенному установлению в замкнутой системе аномально быстрого дрейфа с постоянной во времени подвижностью и отрицательным критическим индексом в. Скорость дрейфа зависит от пространственной размерности системы: чем выше размерность, тем медленнее дрейф за счет появления «ловушек» и тупиков.

4. Самый быстрый - равномерный дрейф в области выше порога перколяции реализуется в одномерной замкнутой системе, что качественно согласуется с экспериментальными данными. Для него установлены аналитические зависимости основных характеристик от времени, поля и длины наибольшего диффузионного прыжка в модели. Так, средний коэффициент диффузии есть линейная функция времени и квадратичная (в неоднородной среде - кубическая) функция величины напряженности поля. Подвижность оказывается постоянной во времени, а в однородной среде независящей от поля величиной. Обе характеристики пропорциональны наибольшей длине прыжка, увеличенной на единицу. Дрейф частиц тем быстрее, чем сильнее поле или меньше температура в данном поле.

5. В двумерной среде полевая зависимость дрейфа сложнее, чем в одномерной. На больших временах величина среднеквадратичного смещения в более слабом поле может превысить соответствующую величину в более сильном поле. Это согласуется с представлением о существовании в двумерной среде тупиковых ответвлений от соединяющего кластера. На малых временах в более сильных полях носители заряда дрейфуют быстрее, но постепенно происходит «насыщение»: сильное поле препятствует выходу из тупиков, в слабом же поле возможность выхода более вероятна.

6. Степень неоднородности рассматриваемых в работе сред не оказывает качественного влияния на диффузионный процесс. Это объясняется наличием связи между наибольшим размером дефекта в рассмотренных системах и наибольшей длиной диффузионного прыжка. Тем не менее, задерживающая роль присутствия и размера дефектов наблюдается отчетливо. Количественно же при одинаковых внешних условиях дрейф тем быстрее, чем выше степень неоднородности.

7. Варьирование граничных условий в моделях изучаемого размера показало, что для одномерных сред тип граничных условий качественно влияет на результаты исследований. Это объясняется тем, что в одномерной «полуоткрытой» системе время, за которое частицы покидают структуру, на порядок меньше характерных расчетных времен выхода на асимптотику. Для одномерных систем с ловушками и квазиодномерных сред граничные условия в модели играют менее значительную роль, чем для одномерных на характерных расчетных временах, так как значительную часть этого времени частицы проводят на гребнях.

1. Белащенко Д.К. Механизмы диффузии в неупорядоченных системах (компьютерное моделирование) // УФН. 1999. Т. 169. № 4. С. 361-384.

2. Свиридов В.В. Переход от нормальной к аномальной диффузии в неупорядоченных твердых телах // ФТТ. 1991. Т. 33. № 5. С. 1569-1575.

3. Страумал Б.Б., Бокштейн Б.С., Клингер J1.M., Швиндлерман J1.C. // ФТТ. 1982. Т. 2. №5. С. 1317-1320.

4. Алешин А.Н., Бокштейн Б.С., Петелин А.Л., Швиндлерман Л.С. // Металлофизика. 1980. Т. 2. №4. С. 83-89.

5. Колобов Ю.Р. Диффузионно-контролируемые процессы на границах зерен и пластичность металлических поликристаллов. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН. 1998. 1 84 с.

6. Valenta P., Maier К., Kronmuller IT, Freitag К. // Phys/ Status Solidi (b). 1981. V. 105. N 2. P. 537-542.

7. Dnesen G. Kehr K.W., Richler D. // Phys/ Rev. B. 1989. V. 39. В 12. P. 8132-8144.

8. Shinar R. Mitra S. Wu X.-L., Shinar J. // J. Non-Cryst. Solids. 1989. V. 144. N 1. P. 220222.

9. Jain S.C., Parashar D.C. //J. Phys. And Chem. Solids. 1964. V. 25. N 11. P. 1269-1271.

10. Лариков Л. H. Механизмы диффузии в икосаэдрических квазикристаллических интерметаллидах // Металлофизика и новейшие технологии. 1994. Т. 16. № 3. С. 3-9.

11. Зон А. Б., Ледовский С. Б., Лихолет А. Н. Ускорение диффузии примеси в твердом теле гетерогенной реакцией на его поверхности //ЖТФ. 2000. Т. 70. Вып. 4. С. 38-41.

12. Белащенко Д. К. // ФММ. 1982. Т. 53. № 6. С. 1076-1085.

13. Горбунов Д.А., Клингер Л.М. // ФММ. 1986. Т. 61. № 6. С. 1084-1088.

14. Haus J. V. Kehr K.W. // Phys. Repts. 1987. V. 105. В 5-6. P. 263-406.

15. Архинчеев B.E. О связи проводимости и диффузии при блуждании по самоподобным кластерам//Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 67. Вып. 7. С. 518-520.

16. Снарский А.А., Буда С.И. Критические поля и токи в слабо нелинейной среде вблизи порога протекания //ЖТФ. 1998. Т. 68. № 6. С. 5-8.

17. Архинчеев В.Е. Случайное блуждание по иерархическим гребешковым структурам //ЖЭТФ. 1999. Т. 115. Вып. 4. С. 1285-1296.

18. Архинчеев В.Е., Баскин Э.М. Аномальная диффузия и дрейф в гребешковой модели перколяционных кластеров //ЖЭТФ. 1991. Т. 100. Вып. 1(7). С. 292-300.

19. Онипко А.И. Влияние электрического поля на кинетику переноса заряда в одномерных системах. Модель асимметричных случайных блужданий по цепочке с ловушками и препятствиями // ФТТ. 1990. Т. 32. №11. С. 3282-3289.

20. Zimofen G., Klafter J. Physica. 1993. D69. P.436.

21. Zimofen G. Klafter J. Phys. Rev. 1993. E47. P. 851.

22. Лубашевский И. А. Землянов А. А. Континуальное описание аномальной диффузии по гребешковой структуре. //ЖЭТФ 1998. Т. 114, Вып. 4(10), С.1284 - 1312.

23. Мартыненко М. В. Удодов В. Н. Потекаев А. И. Моделирование аномальной диффузии с переменным радиусом протекания // Изв. Вузов. Физика. 2000 - №10.1. С 67 70.

24. Драгунов В.П. Неизвестный И.Г., Гридчин В.А. Основы наноэлектроники. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. 322 с.

25. Гинзбург В. Л. О физике и астрофизике. М.: Наука. 1985, 400 с.

26. Gu Qing, Schiff Е. A., Chevriez J.-В., Equer В. High-field electron-drift measurements and the mobility edge in hydrogenated amorphous silicon. // Phys. Rev. B. 1995. - 52, -N8.-C. 5695 - 5707.

27. Супрунчик В.В. Прыжковый транспорт в слоях кремния с низким содержанием атомов примеси//ЖЭТФ. 1996. Т. 110. Вып. 6(12). С. 2127-2134.

28. Якимов А.И., Степина Н.П., Двуреченский А.В. Мезоскопические эффекты в прыжковой проводимости тонких слоев аморфного кремния, полученных ионным облучением // 1992. Т. 102. Вып. 6(12). С. 1882-1890.

29. Займан Дж. Модели беспорядка. // М.: Мир. 1982. - 592.

30. Шкловский Б. И. Эфрос А.Л. Электронная теория легированных полупроводников. М.: Наука. 1979.

31. Луциев Л.В., Яковлев С.В., Сиклицкий В.И. Электронный транспорт в наноразмерной кластерной структуре углерод медь // ФТТ. 2000. Т. 42. Вып. 6. С. 1105-1112.

32. Movaghar В., Pohlmann В., Wurtz D. // Phys. Rev. А. 1985. V. 31. N 13. P. 1568-1570.

33. Movaghar В., Wurtz D. // Phvs. B. 1987. V. 66. N 7. P. 523-535.1. О 4 *

34. Aldea A., Dulea M., Gartner P. Hi. St. Phys. 1988. V. 52. N 3/4. P. 1061-1068.

35. Бурлацкий С.Ф. Иванов О.Ф. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. № 8. С. 331-350.

36. Onipko A. I., Zozulenko I.V. // J. Phys. Cond. Matter. 1989. V. 1. N 49. P. 9875-9891; ФТТ. 1990. T. 32. № 5. C. 1433-1440.

37. Аринштейн А.Э. Мороз А.П. Диффузия в двухкомпонентной неупорядоченнойсреде 11 ЖЭТФ. 1992. Т. 102. Вып. 1(7). С. 221-234.

38. Мартыненко М.В. Удодов В.Н. Аномальная диффузия на одномерных перколяционных кластерах. / «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах». 4-я Международная школа-семинар. Барнаул, 1998. - С. 27-28.

39. Мартыненко М.В., Удодов В.Н. Аномальная диффузия на одномерных перколяционных кластерах. / Ред. журн. «Изв. Вузов. Физика». Томск, 1998. - Деп. в ВИНИТИ 05.10.98, № 2912-В98.

40. Мартыненко М.В., Удодов В.Н. Погекаев А.И. Моделирование аномальной диффузии в неравновесных системах с переменным радиусом протекания. / «Моделирование неравновесных систем 99». 2-ой Всероссийский семинар. -Красноярск, 1999.-С. 72-73.

41. Мартыненко М.В., Удодов В.Н. Аномальная диффузия на гребешковой структуре с переменным радиусом протекания. / Вестник ХГУ им. Н.Ф. Катанова. Выпуск 3. Серия 1: Математика. Информатика. Абакан: Изд-во ХГУ им. Н.Ф. Катанова, 1999. -С. 12-16.

42. Мартыненко М.В., Удодов В.Н. Моделирование аномальной диффузии в одномерных системах с переменным радиусом протекания. / «Тезисы докладов I Всесибирского Конгресса женщин-математиков». Красноярск, 2000. - С.

43. Мартыненко М.В., Удодов В.Н. , Потекаев А.И. Аномальная диффузия на одномерных фракталах с переменным радиусом протекания. / «Моделирование неравновесных систем -2000». 3-й Всероссийский семинар. Красноярск, 2000.

44. Мартыненко М.В., Удодов В.Н. The effect of radius percolation on diffusion in one -dimension structures of variouse types of bounds. / «Defect structures evolution in condensed matters», V International Seminar School, Barnaul. 2000. - C. 74.

45. Мартыненко M.B., Удодов B.H., Потекаев А.И. Anomalos diffusion on finite comb structures. / «Defect structures evolution in condensed matters», V International Seminar -School, Barnaul. 2000. C. 74 -75.

46. Мартыненко M.B. Удодов B.H. Потекаев А.И. Транспорт частиц с переменной длиной прыжка в одномерной конденсированной среде. // Вестник Томского государственного университета. 2001. - Т.№272. - С. 31 - 34.

47. Шкловский Б. П. Эфрос A. JI. Теория протекания и проводимость неоднородных сред. // УФЫ 1975 - Т. 117.,- Вып. 3. - С. 401 - 435.

48. Ландау Л.Д. Ахиезер А. П., Лифшиц. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. М.: Наука, - 1965.

49. Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964., 568с.

50. Левинштейн М.Е. Симин Г.С. Барьеры. -М.: Наука, 1987. - 320с.

51. Маклаков А П. Скрида В.Д., Фаткуллин Н.Ф. Самодиффузия в растворах и расплавах полимеров. Казань: Изд-во КГУ, 1987.

52. Smoluchovsky M.V. /У Phys. Chem. 1924. V. 28. P. 113.

53. Kchr K.W., Kutner P., Binder J.K. // Phys. Rev. B. 1981. V. 23. P. 4931.

54. Балагуров В.Я. Вакс В.Т. //ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 1939.

55. Лифшиц И.М., Градескул С.А. Пастур Л.А. Ведение в теорию неупорядоченных систем. М.: Наука, 1982. Гл. 1.

56. Alexander S. Orbach R. // J. de Phys. Lett. 1982. V. 43. P. L625.

57. Bottiger J. Chevichevin N.G. Karpe N., Krog J.P // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. 1994. B85 (1-4). P. 206-215.

58. Meher H., Rummel G. // Diffus. Amorphus Mater., in Proc Int. Symp. 1993 (Eds H Jain, D Gupta) Miner. Met. Mater. Soc. (Publ. 1994). P. 163-176.

59. Лариков Л.Н. // Металлофизика. 1993. Т. 15(4). С. 54.

60. Лариков Л.Н. // Металлофизика. 1993. Т. 15(8). С. 3.

61. Бокштейн Б.С. Карпов И.В., Клингер Л.М. // Изв. Вузов. Черн. Мет. 1985. Т. 11. С. 87.

62. Девятко Ю.Н., Рогожкин С.В., Троян В. И. Вакансионный механизм аномального поведения поверхностных атомов при повышенных температурах // ЖЭТФ. 1999. Т. 116, Вып. 6(12). С. 2038-2044.

63. Вавилов В.Е., Кив А.Е., Ниязова О.Р. Механизмы образования и миграция дефектов в полупроводниках. М.: Наука, 1981.

64. Дудко Г.В., Колегаев М.А., Пантелеев В.А. // ФТТ. 1969. Т. 11. Вып. 5. С. 1356.

65. Лабунов В.А. Борисенко В.Е. // ФТП. 1979. Т. 13. вып. 3. С. 604.

66. Питанов B.C. Корнфельд И.Н. Ильина Т.Н. // Изв. АН СССР. Неорган. Материалы. 1984. Т. 20. №9. С. 1582.

67. Angell С.A., Clarke J.H.R., Woodcock L.V. // Adv. In Chemical Physics (Eds I Prigogine, S.A. Rice) v. 48. (New York: Wiley, 1981) P. 397.

68. Swailn R.A. // Acta Met. 1959. V. 7. P. 736.

69. Mathiak G., Griesche A., Kraatz K.H., Frohberg G. // in Liquid and Amorphous Metals. 9th Int. Conf. Chicago. Usa. Aug. 27-Sept. 1995. Theses. P. 126.

70. Белащепко Д.К., Гинзбург A.C. //ЖЭТФ. 1999. Т. 115. С. 50.

71. Синай Я.Г. // Теория вероятностей и ее применение. 1982. Т. 27. № 2. С. 247-254.

72. Stanley Н.Е., Ilavlin s. //J. Phys. A. 1987. V. 20. N 9. P. 615-619.

73. Bouchaud J.P. Comtet A., Georges A., Le Doussal P. // J. de Phys. 1987. V. 48. N 9. P. 1445-1450.

74. Горбунов Д.А., Клингер JI.M. // Структура и свойства внутренних границ раздела в металлах и полупроводниках. Воронеж, 1988. С. 65-69.

75. Brandt Е.Н. // J. Phys. Condens. Matter. 1987. V. 1. В 50. P. 10003-10014.

76. Cleve В. Hartenstein В. And ath. High-field hopping transport in band tails of disordered semiconductors. //Phys. Rev. B. 1995. - 51. - N23. - C. 16705 - 16713.

77. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. - 470с.

78. Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. -М.: Наука. 1972. -400с.

79. Эфрос А. Л. Физика и геометрия беспорядка. М.: Наука, 1982. 176с.

80. Yi J., Canright G. S., Sandler I. M. A study of the ANNNI model using a dissipative map // J. Phys.: Condens. Matter. 1996. - 8, - N29. - C. 5325 - 5344.

81. Muraoka Y. Idogaki T. Extended chain approximation in quasi-one-dimensional Ising model. // Phys. Status solidi. B. 1996. - 195, - N2. - C. 553 - 568.

82. Dimitrov V. I. Short range order in disordered solid solutions. // Год. Софийск. Унив. Физ. Фак. - 1993. - 85. - С. 5-17.

83. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, - 1991.

84. Смирнов Б. М. // УФН 1986. - 149, - С. 177.

85. Олемской А. И., Флаг А. Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды. // УФН 1993. - Т. 163. -N12. - С. 1 - 50.

86. Грузинов А. В. Исиченко М. Б. Калда Я. Л. Двумерная турбулентная диффузия. // ЖЭТФ 1990. - Т. 97. Вып. 2. - С. 476 - 488.

87. Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, - 1988.

88. Синергетика и усталостное разрушение металлов. М.: Наука, - 1989.

89. Паташинский А. 3., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. -М.: Наука. 1982.

90. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неуетойчивоетей в самоорганизующихся системах и устройс твах. М.: Мир, - 1980.

91. Жюльен Р. //УФН- 1989. 157, - С. 339.

92. Гросберг А. К)., Хохлов А. Р. Физика в мире полимеров. М.: Наука, 1989. - 208 с.

93. Мосолов А.Б. О кинетике диффузионно-контролируемых процессов на фракталах // ЖЭТФ. 1991. Т.99. Вып. 1. С. 295-299.

94. Олемской А.И. Иерархическая картина супердиффузии // Письма в ЖЭТФ. Т. 71. Вып. 7. С. 412-417.

95. Чуприков ПЛ., Жабин Д.Н. Фазовые времена прохождения электрона через самоподобный фрактальный потенциал //Изв. Вузов. Физика. 2000. № 12. 57-61.

96. Дороговцев С. П. Классический аналог модели Чалкера Коддингтона. // ФТТ -1998.-Т. 40.-Nl.-C.41 -47.

97. Nandy U. N., Bardhan К. К. Transport in altered percolating systems. // Europhys. Lett. -1995.- 31.-N2.-C. 101 -106.

98. Аринштейн А.Э., Мороз А.П. Диффузия в двухкомпонентной неупорядоченной среде //ЖЭТФ. 1992. Т. 102. Вып. 1(7). С. 221-234.

99. Suprunchik V.V., Dvurechenskii A.V., Stepantsov Yu.P. // in Mater. Of Fourth Intern. Conf. On Hopping and Related Phenomena, Marburg. 1991.

100. Обухов С.П. // Письма в ЖЭТФ. 1982. Т. 39. Р. 21.

101. Zwanzig R. // J. Stat. Phys. 1982. V.28. P. 127.

102. Kehr K.W. Richter D. Swendsen R.H. // J. Phys. 1988. F8. P. 433.

103. Белащенко Д.К. Фан Суан Хьен//Изв. Вузов. Черн. Мет. 1988. Т. 1. С, 94.

104. Фам Кхак Хунг, Белащенко Д.К., Во Ван Хоанг // Изв. Вузов. Черн. Мет. 1988. Т. 9. С. 153.

105. Фам Кхак Хунг. Белащенко Д.К., Во Ван Хоанг // Изв. Вузов. Черн. Мет. 1990. Т.1.e. 65.

106. Binder К. Statistical mechanics of finite three-dimensional Ising models. // J. Physica.- 1972. V.62. - N4. - P.508 - 525.

107. Ferdinand A. E. Fisher M. E. Bounded and Inhomgeneous Ising models 1. Specific-heat anomaly of finite Labtiel // J. Phys. Rev. 1969. - V 185, - N2. - P. 832 - 846.

108. Корженевский A.JI. Лужков А.А. Эффективный показатель преломления для сред, испытывающих фазовый переход перколяционного типа. // ЖЭТФ 1990. - Т. 97. - Вып. 2.-С. 707-719.

109. Фракталы в физике. М.: Мир, - 1988.

110. White S. R., Barma М. //J. Phys. А, 1984. - 17,- P. 2995.

111. Gefen Y„ Goldhirsch I. // J. Phys. A. 1985. - 18, - P. 1037.

112. Weiss G. H„ Havlin S. // Phys. A 1986. - 134, - P.474.

113. Pottier N. Diffusion on random combine structures: Field-induced trapping effects. // Phys. A. 1995.- 216. - N1-2,- С. 1 - 19.

114. Звягин И. П. Анизотропия прыжковой проводимости квазиодномерных систем. //ЖЭТФ 1995.-Т. 107.-вып. 1.-е. 175 - 186.

115. Singh М. Transient behavior of carriers in band tails of quasi-one systems. // Solid State Commun. 1995. - 94. - N9. - C. 793 - 797.

116. Brodka A. Diffusion in restricted volume. // Mol. Phys. 1994. - 82. - N5. - C. 1075- 1078.

117. Stohvijk N. A., Poisson Ch., Bernardini J. Segregation-controlled kinetics of fast impurity diffusion in polycristalline solids. // J. Phys.: Matter. 1996. - 8, - N32. - C. 5843 - 5856.

118. Jones E. D. Clark J. C., Malzebender J. Mullin J. В., Shaw N., Brinkman A. W. Studies on the diffusion of zinc and iodine into CdTe. // J. Electron. Mater. 1995. - 24,1. N5. С. 581 - 585.

119. Osada К., Zaitsu Y., Matsumoto S., Yoshida M., Arai E., Abe T. Effect of stress in the deposited silicon nitride films on boron diffusion of silicon. // J. Electrochem. Soc. 1995.- 142. -Nl. -C. 202 206.

120. Espanol P., Zuniga I. Scaling of the time-dependent self-diffusion coefficient. // Int. J. Mod. Phys. В. 1995. - 9, - N4-5. - C. 469 - 496.

121. Васильев A.H. Кваитовополевая реиормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. С.-Пб.: Изд-во Петербургского института ядерной физики. 1998.

122. Кооперативные явления. // Физический энциклопедический словарь. Т.2. С.459.- М„ 1962.

123. Симоненко М.Б., Мартыненко М.В., Удодов В.Н., Потекаев А.И. Критические индексы в модели одномерно разупорядоченных состояний. / «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах». 4-я Международная школа-семинар. -Барнаул, 1998. С. 28-29.

124. Мартыненко М.В. Удодов В.Н., Потекаев А.И. Аномальная диффузия с переменной длиной прыжка в одномерных конденсированных системах.// Вестник ТГУ.

125. Ray P., Binder К. Finite-size effect in the dynamics near the glass transition. // Evrophys. Lett. 1994. - 27, - N1. - C. 53 - 58.

126. Joshi R.P. Monte Carlo calculations of the temperature- and field-dependent electron transport parametrs for 4H-SiC. //J. Appl. Phys. 1995. - 76, - N9,- C. 5518 - 5521.