автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерное моделирование континуальной перколяции сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками

На правах рукописи

Бузмакова Мария Михайловна

Компьютерное моделирование континуальной перколяции сфер эллипсоидов с проницаемыми оболочками

05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 1 ноя гт

Пермь — 2013 005539292

005539292

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Астраханский государственный университет».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Тарасевич Юрий Юрьевич

Официальные оппоненты:

Спивак Семен Израилевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный университет», заведующий кафедрой математического моделирования;

Русаков Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный национальный исследовательский университет», заведующий кафедрой прикладной математики и информатики.

Ведущая организация — Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук».

Защита состоится 10 декабря 2013 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.188.08 при Пермском национальном исследовательском политехническом университете по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, ауд. 423-6.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Пермского национального исследовательского политехнического университета.

Автореферат разослан «8» ноября 2013 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.188.08,

к. ф.-м. н.

А. И. Швейкин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Композиционные наноматери-алы находят широкое применение в промышленности, так как этим материалам можно придать определенные свойства путем введения нано-частиц. Важным является то, что для достижения улучшенных свойств необходимо введение нанонаполнителей в незначительных количествах. Особенно востребованы в последнее время полимерные нанокомпозиты.

Производство нанокомпозитов представляет собой высокотехнологичную отрасль и требует огромных трудовых, временных и денежных ресурсов. Возникает потребность в проведении серьезных научных исследований в данном направлении, в том числе моделировании структуры таких материалов и теоретическом исследовании свойств. Разработка научных основ исследования структуры и свойств композиционных наноматериалов является актуальной задачей на сегодняшний день.

Среди методов исследования структуры и свойств нанокомпозитов большой популярностью пользуются методы теории перколяции и теории фракталов (М. И. Кулак, В. Г. Шевченко). Перколяция (percolation — англ.) — протекание. Перколяция изучает образование связанных объектов — кластеров. Если кластер простирается через всю систему, его называю перколяционным. Для каждой перколяционной модели важно определение наличия перколяции (перколяционного кластера), и в частности порога перколяции. Порог перколяции — это минимальная концентрация заполняющего материала, при которой имеет место протекание от одной стенки системы к другой. Модели теории перколяции делятся на решеточные и континуальные (Ю. Ю. Тарасе-вич).

Континуальные перколяционные модели успешно используются для исследования структуры и свойств композиционных материалов (J. Largo, P. Tarazona, Y. В. Yi). Важно понимать поведение таких систем в критической области, так как именно на пороге перколяции система значительно меняет свои свойства или приобретает новые.

В данном диссертационном исследовании предложены континуальные перколяционные модели жестких сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования являлось построение математической модели перколяционной системы, состоящей из жестких элементов с проницаемыми оболочками. Данная модель может быть использована для исследования влияния агрегации наночастиц на физические и механические свойства композиционного наноматериала.

Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

1. разработан метод моделирования континуальных перколяционных систем, состоящих из жестких элементов с проницаемыми оболочками;

2. построены и исследованы модели континуальной перколяции жестких сфер и вытянутых жестких эллипсоидов с проницаемыми оболочками. Для этих моделей:

• исследовано поведение характеристик модели (распределение кластеров по размеру, средний размер кластера, мощность и фрактальная размерность перколяционного кластера, среднее число соседей Вс);

• исследована зависимость значения порога перколяции от толщины проницаемой оболочки элемента;

• исследована зависимость значения порога перколяции от ас-пектного отношения элемента;

3. разработан программный комплекс для проведения вычислительного эксперимента по нахождению порога перколяции и других основных характеристик моделей;

4. на основе полученных данных компьютерного эксперимента проведен теоретический анализ структуры полимерного нанокомпози-та, исследованы степень усиления (повышение модуля упругости) и возникновение электропроводности наноматериала вблизи критической концентрации.

Объекты и методы исследования. Проведено моделирование континуальной перколяции жестких сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками.

Построена математическая модель перколяционной системы М = (Яп, кг,р,рьоп<1, к, К), в которой случайным образом размещены элементы Н.п С N х N х N одинакового размера с заданными параметрами: р — доля заполнения системы элементами, рьопй — вероятность возникновения связи между элементами (1 в случае, когда связь между элементами гарантирована перекрытием проницаемых оболочек и 0 ^ рьопс! ^ 1 в случае, когда связь между элементами пропорциональна объему перекрытия проницаемых оболочек), к — аспектное отношение элемента (1 для сфер и >1 для вытянутых эллипсоидов вращения), к = ¿/г — отношение толщины проницаемой оболочки к радиусу вращения. Ы — количество испытаний. Определяются следующие параметры модели:

вероятность возникновения перколяционного кластера, средний размер кластера, мощность и фрактальная размерность перколяционного кластера, среднее значение соседей элемента, распределение кластеров по размерам, распределение соседей по элементам, критические показатели.

Моделирование проводилось методом Монте-Карло. Для распределения элементов по кластерам был модифицирован алгоритм Хошена-Копельмана (J. Hoshen, R. Kopelman). Для генерации случайных чисел применялся алгоритм «вихрь Мерсенна»(период 219937 — 1) (М. Matsumoto). Нахождение перколяционного кластера проводилось с помощью «волнового алгоритма» (F. Rubin). При моделировании использовались периодические граничные условия по всем трем направлениям.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель перколяционной системы, состоящей из жестких элементов с проницаемыми оболочками.

2. Модификация алгоритма Хошена-Копельмана для использования в континуальных перколяционных моделях.

3. Результаты моделирования континуальной перколяции сфер, в случае когда вероятность образования связей между сферами пропорциональна объему перекрытий проницаемых оболочек: зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки, зависимость вероятности возникновения связи от доли упаковки при различных значениях толщины проницаемой оболочки, распределение и среднее значение соседей Вс.

4. Результаты моделирования континуальной перколяции жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками: зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки и аспектного отношения эллипсоида, распределение и среднее значение соседей Вс для эллипсоидов с к = 2,3,4,5.

5. Комплекс разработанных программ для нахождения порога перколяции и основных характеристик моделей: для случая жестких сфер с проницаемыми оболочками (1-ая модель: связь между сферами обеспечивается перекрытием их проницаемых оболочек, 2-ая модель: связь между сферами пропорциональна объему перекрытия их проницаемых оболочек) и случая жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками.

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Предложена новая математическая модель перколяционной системы жестких элементов с проницаемыми оболочками, отличающаяся от существующих следующим: для перколяционной задачи сфер впервые учитывается вероятность возникновения связи между сферами; для перколяционной задачи эллипсоидов впервые проведено исследование жестких вытянутых эллипсоидов вращения с проницаемыми оболочками. Кроме этого, предложенные модели близки к реальным системам, так как при моделировании не использовалась дискретизация пространства и сведение модели к решеточной (как это делалось в работах предшественников), и все элементы распределялись случайным образом без добавления каких-либо правил и дополнений (в работах предшественников для простоты использовались либо определенные законы распределения, либо сдвиг координат и др.).

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы: исследованные модели и произведенные расчеты вносят вклад в теорию континуальной перколяции сфер и эллипсоидов; результаты моделирования можно использовать для теоретического исследования структуры и свойств полимерных нанокомпози-тов, содержащих дисперсные наночастицы. Практическая значимость работы обусловлена следующим. Разработан программный комплекс, позволяющий исследовать континуальную перколяцию жестких сфер и вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками. Проведена модификация алгоритма Хошена-Копельмана для континуальных перколя-ционных задач.

Личный вклад автора и роль соавторов. Автор принимал участие на всех этапах диссертационного исследования: в процессе создания математической модели перколяционной системы (совместно с научным руководителем), разработке программного комплекса, получении экспериментальных данных, их обработке и интерпретации, подготовке публикаций. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и иных научных мероприятиях: II сессия научной Школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» в рамках VI Межвузовской конференции молодых ученых и специалистов, г. Санкт -Петербург, 14-17 апреля 2009 г.; Семнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование.», г. Дубна, 25-30 ян-

варя 2010 г.; Неделя науки Астраханского государственного университета 2010 г.; Семинар «Моделирование физических свойств неупорядоченных систем: самоорганизация, критические и перколяционные явления», г. Астрахань, 25-29 сентября 2011 г.; Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2012», г. Москва, 10-13 апреля 2012 г.; IV Международная научная конференция «Моделирован ие-2012», г. Киев, 16-18 мая 2012 г.; XX Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.», г. Новороссийск, 27 мая — 3 июня 2012 г.; VI Международная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программным. Е. В. Воскресенского, г. Саранск, 6-12 июля 2013 г.; XXI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», г. Пермь, 2-5 октября 2013 г.; Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых с международным участием «Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты - 2013», г. Пермь, 29-31 октября 2013 г.

Полностью работа доложена и обсуждена на:

• семинаре при кафедре «Математического моделирования систем и процессов»Пермского национального исследовательского политехнического университета (г. Пермь);

• семинаре при кафедре «Механика композиционных материалов и конструкций»Пермского национального исследовательского политехнического университета (г. Пермь);

• научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (г. Пермь).

Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертационного исследования отражено в 12 публикациях соискателя, среди них: 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов диссертации, 1 зарегистрированная программа.

Связь с научными проектами. В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в АГУ в 2007-2013 годах в рамках проектов РФФИ № 09-01-97007-р_поволжье_а «Математическое моделирование фазовых переходов в системе наночастиц в перколяци-онном подходе», РФФИ № 09-02-90440-Укр_ф_а «Скорелированная пер-коляция в системах с частицами анизотропной формы», РФФИ № 09-0800822 а «Изучение влияния размеров и форм частиц на свойства неупорядоченных систем вблизи и за порогом перколяции», Министерства образования и науки России № 1.588.2011 «Математическое моделирование процессов самоорганизации в системах микро- и наночастиц».

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, 1 приложения и списка литературы из 96 наименований. Объем диссертации — 168 страниц.

Основное содержание работы

В первой главе приведен анализ литературного материала по исследованию и получению композиционных наноматериалов. Описаны основные определения и методы теории перколяции. Рассмотрены континуальные модели перколяции. Приведен аналитический обзор по исследованиям континуальной перколяции сфер, представленных в работах S. Lee, N. Johner, М. Rottereau, которые близки к настоящему исследованию. Рассмотрены исследования по континуальной перколяции эллипсоидов, которые представлены в работах S. Akagawa, Е. J. Garboczi, Y. В. Yi, G. Ambrosetti.

Во второй главе рассмотрены алгоритмы и методы, использованные при моделировании. Изложена методика заполнения системы элементами, модификация алгоритма Хошена-Копельмана для континуальной перколяционной задачи. Модифицированный алгоритм отличается от классического тем, что в классическом перебираются по порядку все слои решетки, а в модифицированном перебираются все элементы от 1 до п. Далее представлены «волновой алгоритм», методика нахождения пересечения двух эллипсоидов и их проницаемых оболочек, методика нахождения фрактальной размерности перколяционного кластера, методика определения критических показателей 7 и /3, методика определения среднего значения соседей элемента Вс и его распределения, методика определения порога перколяции и оценки погрешности полученных результатов.

Во третьей главе приведены результаты исследования моделирования континуальной перколяции жестких сфер с проницаемыми оболочками. Данные результаты были представлены на конференциях и опубликованы в [1,3,6,7,11].

Модель описывает структуру полимерного нанокомпозита, содержащего фуллерены. Жесткая часть сферы выступает в роли фуллерена, а проницаемая оболочка характеризует межфазные области. Исследована степень усиления нанокомпозита (повышение модуля упругости).

Сферы с радиусом г и проницаемой оболочкой d случайным образом упакованы в куб с линейным размером L, h = d/r. Исследованы две модели. В рамках первой модели две сферы принадлежат одному кластеру, если их проницаемые оболочки пересекаются. В рамках второй

модели вероятность возникновения связи между сферами пропорциональна объему перекрытий их проницаемых оболочек и удовлетворяет следующему уравнению pbond = ттш^г, где Vper = - Л/-—

¥ per

I — расстояние между центрами двух сфер, = Vper при I = 2г.

Вероятность возникновения связи между сферами характеризует взаимодействие между молекулами фуллерена. Порог перколяции соответствует критической концентрации фуллеренов в материале, при которой происходит усиление полимерного нанокомпозита.

Результаты моделирования для первой модели. Параметры модели: L = 10, 12 и 15 (здесь и далее L задается в условных единицах длины (диаметр частицы)), h = 1,0.9,..., 0.1,0.09,..., 0.07. Для каждых L, h найдена вероятность возникновения перколяционного кластера и определено значение порога перколяции по методике, которая была описана во второй главе. Далее для каждого значения толщины проницаемой оболочки сферы найдены значения порога перколяции для случая бесконечной системы с помощью скейлингого соотношения \pc(L)— £>с(оо)| ос где v — универсальный критический показатель,

равный 0.875 в случае трехмерного пространства (D. Stauffer). Данное скейлинговое соотношение является стандартным в теории перколяции. Для нахождения значения порога перколяции для случая бесконечной системы экспериментально определяются значения порогов перколяции, по крайней мере, для трех конечных систем линейного размера L (в данном случае в качестве конечной системы выступает куб). Далее строится график, на котором изображена зависимость pc(L) от L~xlv. Полученные экспериментальные данные аппроксимируются прямой линией. Точка пересечения аппроксимирующей прямой и оси ординат соответствует значению порога перколяции для случая бесконечной системы. Эта методика является стандартной в теории перколяции.

Основным результатом в рамках этой модели является выявления зависимости значения порога перколяции рс от значения толщины проницаемой оболочки сферы h (рис. 1). Полученные данные численного эксперимента хорошо аппроксимируются функцией следующего вида pc(h) = b + Аехр (-£), где А = 0.390 ± 0.004, Ъ = 0.037 ± 0.003 и t = 0.251 ±0.007.

Также получена зависимость значений эффективной доли заполнения фе и общей доли заполнения фг от h, которые были рассмотрены в работе (М. Rottereau). Полученные результаты совпадают в пределах погрешности эксперимента с результатами предшественников (М. Rottereau) (см. вставка в углу рис. 1), что подтверждает правильность работы разработанной программы и достоверность полученных результатов.

Кроме основных результатов, для данной модели получены значения

0,250,200,150,10

0,55 0.50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20

Фес ФИ

-1-'-1-'-1-'-1-'-1-'-1-'-1-'-1-'-1-'-1-'-1

,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1

Рис. 1. Зависимость порога перколяции рс от отношения толщины проницаемой оболочки к радиусу сферы Н: 1-ая модель. На рисунке в углу зависимость эффективной доли упаковки фе и общей доли упаковки фt от отношения толщины проницаемой оболочки к радиусу сферы И,

критических показателей 7 = 1.75 ± 0.09 при р > рс, 7 = 1-93 ± 0.05 при р < Рс и /3 = 0.399 ±0.002, значения фрактальной размерности перколя-ционного кластера % = 2.73±0.09 для Ь = 15, к = 0.6и£>/ = 2.76±0.03 для Ь = 15, к = 0.9, среднее значение соседей Вс и его распределение на пороге перколяции. Правильное характерное поведение основных характеристик исследуемой системы доказывает достоверность полученных результатов для данной модели.

Для данной модели были определены степени усиления нанокомпо-зита, используя формулы из работ (Джангуразов Б. и др., Жирикова 3. и др.) = 1 + +(рт/)1-7 и |^ = 1 + ЩКфпЪ)1-7, где К - неко-

торая константа, которая требует определения, Ь — параметр, характеризующий уровень межфазной адгезии. Полученные значения степени усиления согласуются с данными в работе (Алдошин С. М. и др.). Также была проведена оценка константы К и значений параметра Ь для каждого значения толщины проницаемой оболочки.

Результаты моделирования для второй модели. Параметры модели: Ь = 10, 12, 15 и 20, 1г = 1,0.9,..., 0.2.

Для данной модели основным результатом исследования является зависимость рс от Ь в случае, когда вероятность пропорциональна объему перекрытия проницаемых оболочек элементов. Полученные экспери-

ментальные данные хорошо аппроксимируются функцией следующего вида рс{К) = Ь + А ехр (—где А = 0.467 ± 0.009, Ь = 0.05 ± 0.02 и г = 0.57 ±0.07 (рис. 2)

0,340,32 - 3\

\

0,300,28 -0,260,24 -°-°0,22-0,200,180,16 -0,140.12 ^-,-,-,-,-1-,-1-,-1-■-1---1-,-Г-

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

»1

Рис. 2. Зависимость порога перколяции рс от отношения толщины проницаемой оболочки к радиусу сферы Н в случае вероятности возникновения связи между сферами рьопа = ^пШк

"рег

Для данной модели расчитаны значения степени усиления проведена оценка константы К и параметра Ь, характеризующий уровень межфазной адгезии.

Получены значения критических показателей ■у = 1.95 ± 0.05 при Р > Рс 7 = 1-83 ± 0.05 при р < Рс, ¡3 = 0.416 ± 0.009, значения фрактальной размерности перколяционного кластера Df = 2.78 ± 0.06 для I/ = 15, К = 0.6 и Df = 2.76 ± 0.06 для Ь = 20, К = 0.8, среднее значение соседей Вс и его распределение на пороге перколяции. Правильное характерное поведение основных характеристик исследуемой системы доказывает достоверность полученных результатов для данной модели.

Проведенные исследования позволяют сделать вывод о том, что

1. Предложена и исследована модель континуальной перколяции жестких сфер с проницаемыми оболочками, отличающаяся от известных тем, что впервые рассмотрен случай, когда вероятность возникновения связи между сферами зависит от объема перекрытия проницаемых оболочек. Модель может быть использована для анализа структуры полимерного нанокомпозита, содержащего

фуллерены, и прогнозирования степени усиления нанокомпозита вблизи критической концентрации.

2. Выявлена зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки. Выявлена зависимость вероятности связи от доли заполнения системы.

3. Впервые получены значение и распределение Вс.

4. Перколяция в рамках данной модели наступает для объектов с толщиной проницаемой оболочки, превышающей некоторое минимальное значение.

5. Введение дополнительного условия на связность между сферами увеличивает значения порога перколяции.

6. Выявлено влияние агрегации дисперсных наночастиц (фуллере-нов) на значение критической концентрации и степень усиления нанокомпозита. Выявлена зависимость степени усиления полимерного нанокомпозита, содержащего фуллерены, от межфазных областей. Проведена оценка параметра, характеризующего уровень межфазной адгезии.

Во четвертой главе приведены результаты исследования континуальной перколяции жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками. Данные результаты были представлены на конференциях и опубликованы в [2,3,8-10,12].

Модель может быть использована для изучения структуры полимерного нанокомпозита, содержащего углеродные нанотрубки. Жесткая часть эллипсоида выступает в роли одностенной углеродной нанотрубки, проницаемые оболочки характеризуют межфазные области. Добавление углеродных нанотрубок в полимер значительно уменьшает сопротивление нанокомпозита, причем изменение электропроводности носит пороговый характер, значительное увеличение электропроводности происходит именно на пороге перколяции. После порога перколяции, электропроводность увеличивается незначительно. Вследствие этого, актуальным является определение критической концентрации углеродных нанотрубок в полимере, при котором нанокомпозит становится проводящим.

Эллипсоиды с радиусом вращения г, аспектным отношением к и проницаемой оболочкой й случайным образом помещаются в куб с линейным размером Ь, к = ¿/г. Два эллипсоида принадлежат одному кластеру в том случае, если их проницаемые оболочки пересекаются или касаются друг друга.

Результаты моделирования. Параметры модели: Ь = 15, г = 0.5, к = 1,2,3, Д = 0.1,0.2,..., 1; Ь = 20, г = 0.5, /г = 4, К = 0.1,0.2,..., 1 и для Ь = 25, г — 0.5, к = 5, /г = 0.1,0.2,..., 1. Для каждых значений /с, /г произведено 100 испытаний и определено значение порога перколяции по стандартной методике, которая использовалась в работе ранее. Все результаты численного эксперимента получены для системы конечного размера (Ь = 15, 20, 25), без скейлинга на случай бесконечности, в связи со значительной сложностью моделируемой задачи. Однако, даже для конечных систем получены значения порога перколяции с достаточно малой погрешностью (четыре знака после запятой).

Получена зависимость рс от И при различных значениях аспектного отношения к (см рис. 3). Результаты численного эксперимента аппроксимируются функциями вида рс{Ь) = Ь + Аехр (-£), коэффициенты А, 6 представлены в таблице 1.

h

Рис. 3. Зависимость порога перколяции рс от отношения толщины проницаемой оболочки к радиусу вращения эллипсоида h при различных значениях аспектного отношения. Значение стандартного отклонения меньше метки, на графике не указано

Для данной перколяционной модели определены критические показатели при L ¿=2 20, к = 4 и h = 0.8: 7 = 1.63 ± 0.15 при р > рс, 7 = 1.97 ± 0.17 при р < рс, ß = 0.445 ± 0.008. Найденные значения критических показателей совпадают с ранее известными в пределах погрешности для размерности задачи, равной трем (Stauffei' D.), что свидетельствует о достоверности полученных результатов.

Таблица 1. Значения коэффициентов А, Ь, Ь аппроксимирующих функций вида рс{К) — Аехр(—/¿Д) + Ъ при различных к

к А г Ь

2 0.107 ±0.001 0.39 ±0.01 0.022 ± 0.001

3 0.067 ±0.001 0.38 ±0.02 0.018 ±0.001

4 0.072 ± 0.002 0.29 ±0.02 0.015 ±0.001

5 0.061 ± 0.002 0.32 ±0.03 0.013 ±0.001

Кроме определения значений критических показателей, для данной перколяционной модели были определены следующие значения фрактальной размерности перколяционного кластера на пороге перколяции: при Ь = 20, к = 4 и к = 0.8 £>/ = 2.74±0.05, при Ь = 20, к = 4 и Н = 0.6 £>/ = 2.79 ±0.07, при Ь = 2Ь,к = ЬкН = Ю{ = 2.68 ±0.13, при Ь = 25, А; = 5 и /г = 0.6 £>/ = 2.59 ± 0.17, которые в пределах погрешности совпадают между собой и с ранее известными ^аийег Б., Федер Е.). Это также может служить подтверждением достоверности полученных результатов для данной задачи.

Также определены значения среднего количества соседей у каждого эллипсоида Вс и распределение Вс на пороге перколяции.

Проведенные исследования позволяют сделать вывод о том, что

1. Предложена и исследована модель континуальной перколяции жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками, отличающаяся от известных тем, что впервые рассмотрены вытянутые эллипсоиды вращения. Модель может быть использована для анализа структуры полимерного нанокомпозита, содержащего углеродные нанотрубки и исследования свойства электропроводности вблизи критической концентрации.

2. Для данной модели получена зависимость рс от /г, к.

3. Впервые получены значение и распределение Вс.

4. При увеличении аспектного отношения эллипсоида, уменьшается значение порога перколяции для каждого значения толщины проницаемой оболочки.

5. Выявлено влияние межфазных областей на значение критической концентрации, при которой наноматериал становится проводящим. Также, выявлено влияние размера (длины) углеродной нанотрубки на значение критической концентрации, при которой нанокомпозит становится проводником.

В заключении подводятся итоги исследования и формулируются положения, выносимые на защиту.

Основные результаты работы

Изложенный в диссертации материал, позволяет сформулировать следующие основные результаты:

1. Исследованы методы теории перколяции, рассмотрены континуальные перколяционные модели. Подготовлен аналитический обзор существующих исследований по континуальной перколяции сфер и эллипсоидов в пространстве.

2. Реализованы следующие алгоритмы: алгоритм Хошена-Копельмана (модификация алгоритма для континуальной перколяционной задачи), «волновой алгоритм», алгоритм нахождения фрактальной размерности перколяционного кластера. Разработана методика упаковки системы элементами (сферами и эллипсоидами), методика нахождения среднего числа и распределения Вс.

3. Предложена и исследована модель континуальной перколяции жестких сфер с проницаемыми оболочками, отличающаяся от известных тем, что впервые вероятность возникновения связи между сферами зависит от объема перекрытия проницаемых оболочек.

4. Предложена и исследована модель континуальной перколяции жестких вытянутых эллипсоидов вращения с проницаемыми оболочками.

5. На основе полученных данных компьютерного эксперимента проведен теоретический анализ структуры полимерного нанокомпози-та, содержащего дисперсные наночастицы: фуллерены и одностен-ные углеродные нанотрубки; исследованы степень усиления (повышение модуля упругости) и возникновение электропроводности наноматериала.

Публикации автора по теме диссертации

1. Вузмакова, М. М. Перколяция сфер в континууме / М. М. Вузмакова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2012. — Т. 12, № 2. — С. 48-56.

2. Бузмакова, М. М. Перколядия вытянутых эллипсоидов вращения в континууме / М. М. Бузмакова // Вестник СамГТУ. Серия физико-математические науки. — 2012. — Т. 29, № 4. — С. 146-153.

3. Бузмакова, М. М. Моделирование континуальной перко-ляции сфер и эллипсоидов / М. М. Бузмакова // Естественные науки. — 2012. — Т. 41, № 4. — С. 123-133.

4. С. 2012619369 Российская Федерация. Программный комплекс «Континуальная перколяция эллипсоидов»/ Бузмакова М. М. (Бузмакова М. М.). — № 2012617244; Заявл. 27.08.2012 // Реестр программ для ЭВМ. — 16.10.2012.

5. Назарова, М. М. Моделирование процессов гелеобразования с использованием методов теории перколяции в континууме / М. М. Назарова!I Тезисы докладов научной школы Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования и «школьной секции». Сборник трудов конференции молодых ученых. Санкт-Петербург: СПбГУ ИТМО, 2009. - С. 25.

6. Назарова, М. М. Смешанная перколяция сфер / М. М. Назарова, Ю. Ю. Тарасевич // Семнадцатая международная конференция Математика. Компьютер. Образование, г. Дубна, 25-30 января 2010 г. Сборник научных тезисов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика2010. — С. 162.

7. Бузмакова, М. М. Континуальная перколяция жестких сфер с проницаемыми оболочками/ М. М. Бузмакова // Моделирование физических свойств неупорядоченных систем: самоорганизация, критические и перколяционные явления: материалы семинара. Астрахань: Издательский дом «Астраханский университетз>,

2011. - С. 37-50.

8. Бузмакова, М. М. Математическое моделирование континуальной перколяции эллипсоидов / М. М. Бузмакова // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ —2012». г.Москва, 10-13 апреля 2012 г. Секция «Математика и механика». Подсекция «Вычислительная математика, математическое моделирование и численные методы», 2012. [http: //lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2012/

str ucture_l 6_1791 .htm].

9. Бузмакова, M. M. Компьютерное моделирование континуальной перколяции эллипсоидов / М. М. Бузмакова 11 Моделирование

2012. Сборник трудов конференции. Киев, 2012. — С. 125-128.

10. Бузмакова, М. М. Математическое моделирование фазового перехода золь-гель с помощью теории перколяции / М. М. Бузмакова / / XX Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». VII международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Труды. Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, Ростов н/Д, 2012. - 108 с.

11. Бузмакова, М. М. Математическое моделирование полимерного нанокомпозита, содержащего фуллерены / М. М. Бузмакова // XXI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных нау-ках»г. Пермь, 2-5 октября 2013 г. Материалы коференции. Пермь: Издательство ПНИПУ, 2013. — С. 30-31.

12. Бузмакова, М. М. Моделирование полимерного нанокомпозита, содержащего углеродные нанотрубки, с помощью методов теории перколяции / М. М. Бузмакова // Современные проблемы математики и её прикладные аспекты — 2013: сб. тез. науч.-практ. конф. (Пермь, 29-31 октября 2013 г.) / гл. ред. В.И. Яковлев; Перм. гос. нац. исслед. ун-т, Пермь, 2013. — С. 94.

Подписано в печать 01.11.2013. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,0625. Тираж 100 экз. Заказ № 1847/2013.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательства

Пермского национального исследовательского политехнического университета. Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к.113. Тел. (342)219-80-33.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Астраханский государственный университет»

На правах рукописи

04201453025 Бузмакова Мария Михайловна

Компьютерное моделирование континуальной перколяции сфер и эллипсоидов с проницаемыми

оболочками

05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор Ю. Ю. Тарасович

Астрахань - 2013

Оглавление

Введение. Общая характеристика работы ..............4

Глава 1. Композиционные наноматериалы. Основные определения и методы теории перколяции.

Перколяция сфер и эллипсоидов ..............15

1.1. Введение.....................15

1.2. Композиционные наноматериалы .........16

1.3. Основные понятия теории перколяции.......24

1.4. Континуальные модели теории перколяции.....27

1.5. Перколяция сфер.................29

1.6. Перколяция эллипсоидов.............33

1.7. Выводы......................43

Глава 2. Алгоритмы и методика моделирования .... 45

2.1. Введение.....................45

2.2. Методика заполнения системы элементами.....46

2.3. Модифицированный алгоритм Хошена-Копельмана 48

2.4. «Волновой алгоритм»...............50

2.5. Методика нахождения пересечения двух эллипсоидов 53

2.6. Методика определения фрактальной размерности перколяционного кластера...........55

2.7. Методика определения критических показателей 7

и ¡3........................55

2.8. Методика определения среднего значения соседей Вс и его распределения............56

2.9. Методика оценки порога перколяции и погрешностей результатов .................57

2.10.Вывод ы......................58

Глава 3. Моделирование континуальной перколяции

жестких сфер с проницаемыми оболочками . . 59

3.1. Введение.....................59

3.2. Постановка задачи ................60

3.3. Результаты моделирования: 1-ая модель......62

3.4. Результаты моделирования: 2-ая модель......87

3.5. Выводы......................108

Глава 4. Моделирование континуальной перколяции жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками................111

4.1. Введение.....................111

4.2. Постановка задачи ................112

4.3. Результаты моделирования............114

4.4. Выводы......................146

Заключение......................148

Литература......................151

Приложение А Программный комплекс «Континуальная

перколяция эллипсоидов»...........166

Введение. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы Композиционные наноматериалы находят широкое применение в промышленности. Их широкая применимость объясняется тем, что этим материалам можно придать определенные физические и механические свойства путем введения наночастиц. Особенно важным является то, что для достижения улучшенных свойств необходимо введение нанонаполнителей в незначительных количествах, не сопоставимых с концентрацией традиционных макронаполнителей.

Особенно востребованы в последнее время полимерные нанокомпо-зиты. В качестве матрицы в этом виде нанокомпозитов применяют полипропилен, полистирол, полиамид или нейлон, а нанонаполнителями выступают частицы оксидов алюминия или титана, фуллерены, углеродные и кремниевые нанотрубки и нановолокна, наночастицы глины и ДР-

Производство нанокомпозитов представляет собой высокотехнологичную отрасль и требует огромных трудовых, временных и денежных ресурсов. Возникает потребность в проведении серьезных научных исследований в данном направлении, в том числе моделировании структуры таких материалов и теоретическом исследовании свойств.

Разработка научных основ исследования структуры и свойств компо-

зиционных наноматериалов является актуальной задачей на сегодняшний день.

В настоящее время не существует единой теории физико-химических свойств композиционных наноматериалов. Среди методов исследования структуры и свойств нанокомпозитов большой популярностью пользуются методы теории перколяции и теории фракталов [1,2].

Теория перколяции занимает немаловажное место в современной науке. Ее методы можно использовать и в математике, и в физике, и в химии, и в биологии, и в экономике и других науках [3]. Теория перколяции имеет множество практических приложений [4]. С помощью методов теории перколяции изучают электропроводность [5-8], магнетизм [9-11], процессы гелеобразования [12-16], прыжковую проводимость в полупроводниках [17], распространение эпидемий, распространение пожаров и многое другое [18].

Перколяционные модели делятся на решеточные и континуальные [18]. В решеточных моделях изучается перколяция на различных решетках, а в континуальных — в непрерывных системах. Решеточные модели весьма популярны и хорошо изучены. Континуальные модели, напротив, сложны в изучении и исследованы недостаточно. Хотя именно континуальные перколяционные модели более реалистично и адекватно описывают большинство физических, химических и других процессов.

Континуальные перколяционные модели успешно используются для исследования структуры и свойств композиционных материалов [60,64, 74,76]. Важно понимать поведение таких систем в критической области около порога перколяции, так как именно на пороге перколяции система значительно меняет свои свойства или приобретает новые. Как правило, при создании композиционных материалов особое значение исследователи придают свойству электропроводности [2] и прочности [19,20].

В данном диссертационном исследовании проведено моделирование структуры полимерного нанокомпозита, наполнителем которого являются дисперсные наночастицы: фуллерены и углеродные нанотрубки. Предложены перколяционные модели жестких сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками. В случае перколяции сфер рассмотрена модель, в которой рассмотрены жесткие сферы с проницаемыми оболочками и предложен новый подход к связности элементов; в случае перко-ляции эллипсоидов предложена новая модель, в которой рассмотрены вытянутые жесткие эллипсоиды вращения с проницаемыми оболочками.

Цель и задачи исследования Целью диссертационного исследования является построение математической модели перколяционной системы, состоящей из жестких элементов с проницаемыми оболочками. Данная модель позволяет исследовать влияние агрегации наночастиц на физические и механические свойства нанокомпозйта. Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

1. разработан метод моделирования континуальных перколяционных систем, состоящих из жестких элементов с проницаемыми оболочками;

2. построены и исследованы модели континуальной перколяции жестких сфер и вытянутых жестких эллипсоидов с проницаемыми оболочками. Для этих моделей:

• исследовано поведение характеристик модели (распределение кластеров по размеру, средний размер кластера, мощность и

фрактальная размерность перколяционного кластера, среднее число соседей Вс) элемента на пороге перколяции;

• исследована зависимость значения порога перколяции от толщины проницаемой оболочки элемента;

• исследована зависимость значения порога перколяции от ас-пектного отношения элемента;

3. разработан программный комплекс для проведения вычислительного эксперимента по нахождению порога перколяции и других основных характеристик модели, для случая жестких сфср с проницаемыми оболочками (две модели) и для случая жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками;

4. на основе полученных данных компьютерного эксперимента проведен теоретический анализ структуры полимерного нанокомпози-та, исследованы степень усиления (повышение модуля упругости) и возникновение электропроводности наноматериала.

Объекты и методы исследования В диссертационной работе проведено моделирование континуальной перколяции жестких сфср и эллипсоидов с проницаемыми оболочками.

Построена математическая модель М = (Дп, к1,р,рьОП(1, к, состоящая из элементов Яп С ./V х Аг х А7", кг — количество испытаний, р — доля заполнения исследуемой системы элементами, рьопв. — вероятность возникновения связи между элементами (1 в случае, когда связь между элементами гарантирована перекрытием проницаемых оболочек и О ^ РЪопй ^ 1 в случае, когда связь между элементами пропорциональна объему перекрытия проницаемых оболочек), к — аспектное отношение элемента (отношение большей полуоси к меньшей: 1 для сфер и >1

для вытянутых эллипсоидов вращения), /г = с1/г — отношение толщины проницаемой оболочки к радиусу вращения.

Моделирование проводилось методом Монте-Карло. Для распределения элементов по кластерам был модифицирован алгоритм Хошена-Копельмана [21], который позволяет за один проход идентифицировать все кластеры. Для генерации случайных чисел применялся алгоритм вихрь Мерсснна [22], который имеет период 219937 — 1. Нахождение пер-коляционного кластера проводилось с помощью «волнового алгоритма» [23]. При моделировании использовались периодические граничные условия по всем трем направлениям.

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Предложенные модели отличаются от существующих следующим. Во-первых, для перколяционной задачи сфер впервые учитывается вероятность возникновения связи между сферами, пропорциональная объему перекрытия их проницаемых оболочек. Во-вторых, для перколяционной задачи эллипсоидов впервые проведено исследование жестких вытянутых эллипсоидов вращения с проницаемыми оболочками. В-третьих, предложенные модели близки к реальным системам, то есть при моделировании не использовалась дискретизация пространства и все элементы распределялись абсолютно случайным образом без добавления каких-либо правил и дополнений. Для предложенных моделей получены следующие результаты:

1. Зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки жестких сфер в случае, когда связь между сферами пропорциональна объему перекрытия проницаемых оболочек.

2. Зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки жестких вытянутых эллипсоидов.

3. Зависимость порога перколяции от аспектного отношения эллипсоида.

4. Зависимость вероятности возникновения связи между сферами от доли заполнения при различных значения толщины проницаемой оболочки, в случае когда вероятность возникновения связи пропорциональна объему перекрытия проницаемых оболочек.

5. Распределение и среднее значение соседей Вс для сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками.

Кроме того, произведена модификация алгоритма Хошена-Копельмана для континуальной перколяционной задачи. Разработан алгоритм заполнения перколяционной системы элементами. Разработана методика нахождения пересечения жестких частей и проницаемых оболочек двух элементов (эллипсоидов).

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы обусловлена тем, что: во-первых, исследованные модели и произведенные расчеты вносят вклад в теорию континуальной перколяции сфер и эллипсоидов; во-вторых, результаты моделирования можно использовать для анализа структуры полимерного нанокомпозита, содержащего дисперсные наночастицы, и прогнозирования его некоторых свойств. Практическая значимость работы обусловлена следующим. Разработан программный комплекс, позволяющий исследовать континуальную перколяцию жестких сфер и вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками, который использовался в данном диссертационном исследовании с получением новых результатов.

Проведена модификация алгоритма Хошена-Копельмана для континуальных перколяционных задач. В работе получена зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки эллипсоида при аспект-ных отношениях к = 1,2. 3,4, 5. В перспективе с помощью данного программного комплекса можно найти значения порога перколяции при больших значешшх аспектного отношения эллипсоида и выявить зависимость значения порога перколяции от аспектного отношения вытянутого эллипсоида.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и иных научных мероприятиях:

• II сессия научной Школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» в рамках VI Межвузовской конференции молодых ученых и специалистов, г. Санкт -Петербург, 14-17 апреля 2009 г.

• Семнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование.», г. Дубна, 25-30 января 2010 г.

• Неделя науки Астраханского государственного университета 2010 г.

• Семинар «Моделирование физических свойств неупорядоченных систем: самоорганизация, критические и перколяционные явления», г. Астрахань, 25-29 сентября 2011 г.

• Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2012», г. Москва, 10-13 апреля 2012 г.

• IV Международная научная конференция «Моделирование-2012», г. Киев, 16-18 мая 2012 г.

• XX Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.», г. Новороссийск, 27 мая — 3 июня 2012 г.

• VI Международная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»им. Е. В. Воскресенского, г. Саранск, 6-12 июля 2013 г.

• XXI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», г. Пермь, 2-5 октября 2013 г.

• Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых с международным участием «Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты - 2013», г. Пермь, 29-31 октября 2013 г.

Публикации по теме диссертации. Полностью работа доложена и обсуждена на семинарах:

• Семинар при кафедре ММСиП ПГТУ г.Пермь, 24 мая 2013 г.

• Семинар при кафедре МКМК ПГТУ г. Пермь, 8 октября 2013 г.

• Семинар при ИМСС УрО РАН, 9 октября 2013 г.

По теме диссертации опубликовано в соавторстве и самостоятельно 12 работ, в том числе,

• статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов диссертаций — 3;

• статей в прочих изданиях — 2;

• зарегистрированных программ — 1;

• тезисов докладов — 6.

Личный вклад автора и роль соавторов Автор принимал участие на всех этапах диссертационного исследования, а именно: в разработке методов моделирования и процессе создания математической модели перколяционной системы (совместно с научным руководителем), разработке программного комплекса, получении экспериментальных данных, их обработке и интерпретации, подготовке публикаций. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.

Связь с научными проектами В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в Астраханском государственном университете в рамках проектов РФФИ № 09-01-97007-р_поволжье_а ■«Математическое моделирование фазовых переходов в системе нано-частиц в перколяционном подходе», К2 09-02-90440-Укр_ф_а «Скорели-рованная перколяция в системах с частицами анизотропной формы», № 09-08-00822_а «Изучение влияния размеров и форм частиц на свойства неупорядоченных систем вблизи и за порогом перколяции» и проекта Министерства образования и науки России № 1.588.2011 «Математическое моделирование процессов самоорганизации в системах микро-и наночастиц».

Объем и структура работы Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 96 наименований и одного приложения. Объем диссертации — 168 стр.

Во введении обосновывается актуальность проблемы и научная новизна исследования, формулируются цель и задачи исследования, указываются объекты и методы исследования, объясняется теоретическая

и практическая значимость исследования, выявляется вклад соискателя в диссертационное исследование, аппробация работы, связь с научными проектами.

В первой главе приведен анализ литературного материала по теоретическому исследованию и практическому получению композиционных наноматериалов. Описаны основные определения и методы теории пер-коляции. Рассмотрены континуальные модели перколяции. Изучены работы предшественников, занимающихся изучением континуальной перколяции сфер и эллипсоидов.

Во второй главе представлены алгоритмы и методики, используемые при моделировании перколяционной системы. Описаны методики определения основных характеристик исследуемых моделей: порога перколяции и оценка погрешности, критических показателей, фрактальной размерности перколяционного кластера, среднего числа соседей элемента.

В третьей главе представлены результаты компьютерного моделирования континуальной перколяции жестких сфер (эллипсоидов с аспект-ным отношением, равным единице) с проницаемыми оболочками. Рассмотрены две модели: в первой модели две сферы принадлежат одному кластеру, если их проницаемые оболочки пересекаются, во второй модели вероятность возникновения связи между сферами пропорциональна объему перекрытия их проницаемых оболочек. Исследовано поведение характеристик модели (распределение кластеров по размеру, средний р�