автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерное моделирование концентрационных фазовых переходов в системах анизотропных частиц при наличии упорядочивающих факторов

На правах рукописи 0046149^

Черкасова Валентина Андреевна

Компьютерное моделирование концентрационных фазовых переходов в системах анизотропных частиц при наличии упорядочивающих факторов

05.13.18 Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

" 2 ЛЕК 2010

Астрахань — 2010

004614923

Работа выполнена в Астраханском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Тарасевич Юрий Юрьевич

Официальные оппоненты:

кандидат технических наук, доцент Москалев Павел Валентинович (Воронежский государственный аграрный университет им. К.Д. Глинки, г. Воронеж)

доктор физико-математических наук, профессор Лобанов Алексей Иванович (Московский физико-технический институт (государственный университет), Московская обл., г. Долгопрудный)

Ведущая организация — НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН.

Защита состоится 24 декабря 2010 г. в 13 часов 00 минут на заседании диссертационного совета ДМ 212.009.06 при Астраханском государственном университете) по адресу: 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 20а, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Астраханского государственного университета.

Автореферат разослан « » 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф-м.н., доцент

Смирнов В.В.

Введение. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Системы, которые состоят или содержат в себе большее количество частиц, с размерами от нескольких нанометров до сотен нанометров, относят к наносистемам. Поскольку размеры макромолекул полимеров, имеющих молекулярную массу 103-107, располагаются в диапазоне от 2-3 нм до 200-250 нм, все растворы, гели, смеси полимеров относят к наносистемам. В настоящее время возрос интерес к наносистемам, в особенности к нанотехнологиям и наномате-риалам. Материалы из углеродных нанотрубок (carbon nanotubes, CNT) обладают уникальными электрическими и механическими свойствами. Эти свойства являются перспективными для широкого спектра приложений. В частности, интенсивно изучается влияние степени упорядочения нанотрубок, которое может осуществляться с помощью течений или электрическим полем, на физические свойства различных систем.

Критическая концентрация изменяется в несколько раз в зависимости от способа диспергирования. Такое отличие может быть связано с различной степенью ориентационного упорядочения частиц в полимерной матрице в процессе получения композита. Полученные композиты обладают анизотропией электропроводимости. Электропроводимость композитов вдоль направления ориентации частиц на несколько порядков выше, чем в перпендикулярном направлении. Морфологическое строение частиц наполнителя (волокна, проволоки) и характер межчастичного взаимодействия влияют на точку фазового перехода, а также на прочностные свойства композитов и термомеханическую стабильность.

Полученные данные и факты все еще не имеют строгого теоретического обоснования. Это затрудняет прогнозирование свойств пленочных и объемных композиционных систем, наполненных частицами анизотропной формы вблизи точки фазового перехода. Особенные сложности возникают при наличии скоррелированного распределения частиц, например, сегрегации или кластеризации, что характерно для нанораз-мерных частиц.

Разработка модели, позволяющей описывать свойства систем, содержащих упорядоченные углеродные нанотрубки, является актуальной задачей для создания образцов с заданными свойствами.

Для описания процесса перехода в электропроводящее состояние абсорбирующих на подложку нанотрубок используется теория перколя-ции.

В работе Довженко А. Ю. и Бунина В. А. для описания электрических свойств керамической композиции была предложена перколяцион-ная модель, в которой стержни различной длины случайным образом размещались на плоскости, причем стержни могли перекрывать друг

друга (Журнал технической физики, 2003).

Перколяционная модель случайной последовательной адгезии или адсорбции (the random sequential adsorption, RSA) и диссоциации к-меров на квадратной решетке была исследована в работе Cornette V., Ramirez-Pastor A. J., Nieto F. (Eur. Phys. J. В, 2003). Главная цель работы — определить зависимость перколяционного порога от размеров и формы объектов и свойства решетки, на которую они осаждаются.

Явления перколяции и джемминга непересекающихся анизотропных объектов («иголок») па квадратной решетке были рассмотрены в работе Vandewalle N., Galam S., Kramer M. (Eur. Phys. J. B, 2000). Авторы утверждают, что изучение упаковки анизотропных объектов полезно для изучения физических свойств сыпучих сред. Такими свойствами являются: электрические свойства металлических игл и свойства упакованных гранул.

Задача случайной адсорбции «иголок» на узлах квадратной решетки рассмотрена в работе Kondrat G., Pçkalski A. (Phys. Rev. E, 2001). Случайная последовательная адсорбция моделирует необратимую диссоциацию и соединение больших молекул в полимерные цепи. Другой областью приложения этого варианта перколяционных моделей является осаждении больших молекул, подобно протеинам или макромолекулам, на биологические мембраны.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является выявление роли упорядочивающих факторов и межчастичного взаимодействия при концентрационных фазовых переходах в системах, состоящих из анизотропных объектов.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

1) Разработан метод моделирования концентрационно-ориентацион-ных фазовых переходов в неупорядоченных системах.

2) Построены и исследованы решеточные модели:

• перколяции частично упорядоченных димеров на плоскости без учета взаимодействия между объектами;

• перколяции частично упорядоченных димеров на плоскости с учетом взаимодействия между объектами;

• перколяции частично упорядоченных димеров в слоистой пространственной структуре;

• перколяции димеров в трехмерном пространстве.

3) Разработана программа, реализующая алгоритм Хошепа -Копельмана, для нахождения порога перколяции на квадратной и кубической решетках.

4) Разработана программа, реализующая алгоритм нахождения порога джемминга на квадратной и кубической решетках.

5) Произведен анализ свойств созданных перколяционных моделей:

• определены пороги перколяции и джемминга;

• найдено распределение кластеров по размерам;

• определен средний размер кластера;

• вычислена мощность перколяционного кластера;

• рассчитаны критические показатели и фрактальная размерность перколяционного кластера.

Объекты и методы исследования. В диссертационной работе изучены концентрационные фазовые переходы на плоскости и в пространстве.

Рассмотрены анизотропные объекты — димеры (два соседних узла и связь между этими узлами) на плоскости и в пространстве.

Построена модель М = (Rn, п,р, s, D), состоящая из элементов Rn С N х N или Rn С N х N х N, который указывает размерность решетки, п — количество испытаний, р — доля заполнения решетки, s — параметр упорядочивания, D = {(d, h), (d, v)) — 2 возможные ориентации димера (горизонтальная, вертикальная).

Все поставленные задачи решены с помощью компьютерного моделирования в рамках теории перколяции. Для генерации случайных чисел применялись алгоритмы Л'Экюера и «Вихрь Мерсенна».

После заполнения решетки димерами (Rn —> Rn) решетка содержит в себе следующие элементы: г = (0, (d, h), (d, v)}, элементы (d, h) и (d, v) с вероятностью p и 0 с вероятностью 1 — p.

Исследование перколяционных моделей проводилось методом Монте-Карло с использованием алгоритма Хошена-Копельмана. В результате его применения определены пороги перколяции рс и джемминга Pjam, мощность перколяционного кластера Роо, средний размер кластера 5, фрактальная размерность перколяционного кластера df, критические показатели ¡3 и 7 (т. е. Rn —* (рс,Pjam, Poo, S,df, Р, 7)).

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Предложена модель, отличающаяся от известных тем, что:

• учитывает ориентацию димеров на плоскости без учета взаимодействия между объектами;

• учитывает ориентацию димеров на плоскости с учетом взаимодействия между объектами;

• позволяет изучить перколяцию димеров в трехмерном пространстве (на кубической решетке);

• учитывает ориентацию димеров в слоистой пространственной структуре (на кубической решетке).

Практическая значимость. Разработан программный комплекс, позволяющий исследовать новый класс перколяционных задач — перколяцию ориентированных и частично ориентированных димеров на квадратной и кубической решетках.

Эти задачи применимы к следующим направлениям исследования:

1) изучение процесса перехода в электропроводящее состояние при осаждении на подложку углеродных нанотрубок при наличии упорядочивающих факторов;

2) исследование процесса фазового перехода золь-гель.

На основе разработанной соискателем модели Выгорницкий Н. В. и Лебовка Н. И. рассчитали электрические свойства системы нанотрубок при наличии упорядочивающих факторов. Полученные результаты были опубликованы в совместной статье (Eur. Phys. J. В., 2010).

На одну из работ соискателя уже имеются ссылки в ведущих журналах, среди авторов статей ведущий специалист в теории перколяции Роберт Зифф.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на различного уровня конференциях и иных научных мероприятиях. Основные из них:

• V Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России 18-21 декабря 2006 года, г. Ростов-на-Дону;

• Четырнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 22-27 января 2007 г;

• Пятнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 28 января - 2 февраля 2008 г;

• Шестнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 19-24 января 2009 г;

• II сессия научной Школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» в рамках VI Межвузовской конференции молодых ученых и специалистов, г. Санкт -Петербург, 14-17 апреля 2009 г;

• Семнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 25-30 января 2010 г;

• Неделя науки Астраханского государственного университета 2007 г, 2008 г, 2009 г, 2010 г.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликованы в соавторстве и самостоятельно 9 работ, в том числе:

• статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов кандидатских диссертаций — 3;

• тезисов докладов — 5;

• статей в прочих изданиях — 1.

Личный вклад автора и роль соавторов. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.

Роль соавторов в совместных публикациях заключается в следующем. Тарасевичу Ю. Ю. принадлежит постановка задач. Выгорницкий Н. В. и Лебовка Н. И. проводили расчет электрических свойств системы нанотрубок при наличии упорядочивающих факторов. Полученные ими результаты, опубликованные в совместных статьях, в текст диссертации не вошли. Все соавторы принимали участие в обсуждении и интерпретации результатов.

Связь с научными проектами. В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в Астраханском государственном университете в рамках проектов РФФИ № 06-02-16027-а «Исследование механизмов дегидратационной самоорганизации биологических жидкостей», № 09-01-97007-р_поволжье_а «Математическое моделирование фазовых переходов в системе наночастиц в перколяционном подходе», № 09-02-90440-Укр_ф_а «Скорелированная перколяция в системах с частицами анизотропной формы», № 09-08-00822-а «Изучение влияния размеров и форм частиц на свойства неупорядоченных систем вблизи и за порогом перколяции».

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 88 наименований. Объем диссертации — 148 с.

Основное содержание работы

Во введении формулируются цели и задачи исследования, обосновывается актуальность проблемы, указываются объекты и методы исследования, научная новизна, объясняется практическая ценность исследования, выявляется связь с научными проектами, вклад соискателя в разработку проблемы, апробация работы.

В первой главе приведен обзор источников, относящихся к теме данного исследования.

В первом разделе даны основные понятия и определения теории пер-коляции.

Во втором разделе представлен обзор работ, связанных с перколяци-онными задачами неточечных объектов — «иголок», и показано текущее состояние изучаемой предметной области.

В третьем разделе рассмотрены работы по перколяции прямоугольных частиц.

Во второй главе приводится методика проведения моделирования концентрационных фазовых переходов.

В первом разделе рассматривается методика проведения моделирования концентрационных фазовых переходов в перколяционном подходе.

Для определения оценки порога перколяции используется следующий метод.

Фиксируется значение р — вероятность заполнения решетки, путем многократных статистических испытаний определяется вероятность возникновения перколяционного кластера Р(р)- Берется среднее значение вероятности возникновения перколяционного кластера Р(р) для определенного значения р. Погрешность вычислений рассчитывается следующим образом. Находим стандартное отклонение среднего:

где N — количество испытаний, х — среднее значение вероятности возникновения перколяционного кластера, Х{ — значение вероятности возникновения перколяционного кластера на г-м испытании 0 или 1. В качестве погрешности вычислений берется ошибка для доверительной вероятности 95%:

(1)

Ах = (Txt■

(2)

где t — коэффициент Стьюдента.

При надежности 95% t = 1,9623 (количество испытаний п = 1000) и £ = 1,984 (количество испытаний п = 100).

Вероятность возникновения перколяционного кластера Р(р) определялась для различных значений р. Полученные экспериментальные данные аппроксимируются кривой

Значение параметра, при котором вероятность возникновения бесконечного кластера равняется 0,5, принимается за оценку величины порога перколяции.

Порог перколяции в термодинамическом пределе (Ь —> оо) может быть найден с помощью скейлингового соотношения:

где v — критический показатель равный 4/3 в двумерном случае и 0,875 в случае трехмерного пространства, а символ ос означает пропорциональность в пределе больших L. Для нахождения значения порога перколяции на бесконечном графе вычисляются оценки порогов перколяции, по крайней мере, для трех решеток линейного размера L.

Кроме определения порога перколяции, описаны методы расчета других характеристик системы:

• распределение кластеров по размерам;

• средний размер кластера;

• мощность перколяционного кластера;

• фрактальная размерность перколяционного кластера.

Во втором разделе показаны типы граничных условий, которые применяют при моделировании перколяционных систем. Различают граничные условия: открытые, периодические (тороидальные) граничные условия и их комбинацию. В зависимости от типа граничных условий используют различные определения перколяционного кластера.

Чтобы уменьшить влияние границ на конечных решетках использованы периодические граничные условия.

В случае цилиндрических граничных условий (т.е. комбинация открытых и периодических граничных условий вдоль различных направлений) используют два термина:

• «оборачивающий» кластер (wrapping cluster), т.е. кластер, который обвивается вокруг цилиндра, обеспечивая путь длиной 2-к.

• «стягивающий» кластер (spanning cluster), т.е. кластер, соединяющий верх и низ этого цилиндра.

Р(р) = (1 + ехр(-(р-рс)а)) \

(3)

beW-pcMlaL-1^,

(4)

В третьем разделе для моделирования процесса случайного осаждения ориентированных димеров на узлы квадратной или кубичсеской решеток были проанализированы генераторы псевдослучайных чисел: алгоритмы Л'Экюера (L'Ecuyer) генератора случайных чисел с периодом более 2 • 1018 и алгоритм «Вихрь Мерсенна» с периодом 219937 — 1.

В четвертом разделе описывается алгоритм Хошена-Копельмана, который позволяет за один проход не только определить существование перколяционного кластера, но и провести идентификацию кластеров и получить распределение кластеров по размерам.

В третьей главе приводятся результаты моделирования концентрационных фазовых переходов на плоскости, полученные соискателем с соавторами и опубликованные в Eur. Phys. J. В., 2010.

В первом разделе производится постановка исследуемых задач на плоскости.

Последнее время ученые активно изучают электро- и теплопроводность в неупорядоченных средах. Углеродные нанотрубки (CNT) представляют собой цилиндрические объекты. Их диаметр измеряется на наноуровне. В качестве подложки выступает квадратная решетка, нанотрубки (в данной задаче — димеры) случайно адсорбируются на решетку с учетом ориентации (под действием электрического поля или течений) и взаимосвязи между ними.

Во втором разделе исследована задача перколяции ориентированных димеров на квадратной решетке [1,5,6]. В данной задаче использованы периодические граничные условия вдоль двух направлений. Для определения порога перколяции использовалось определение перколяционного кластера как «оборачивающего» (wrapping cluster) по одному направлению.

Соискателем была разработана программа для заполнения квадратной матрицы димерами при наличии упорядочивающих факторов. Степень упорядочивания димеров задается параметром:

_ N} - N-S~ iV| + N- '

где iV| — количество димеров, расположенных в вертикальном направлении; N- — количество димеров, расположенных в горизонтальном направлении. На рис. 1 показана фаза перколяции на решетке линейного размера L — 64.

Для нахождения порога джемминга соискателем разработана программа для заполнения квадратной матрицы димерами при наличии упорядочивающих факторов. При случайном осаждении на подложку

Рис. 1. Фаза перколяции на решетке с линейным размером 64 узлов при s = 1 (слева), s = 0 (справа) (черным цветом обозначен перколяционный кластер)

ориентированных объектов определение джемминга нуждается в уточнении. Для определенности, пусть JV| > N-. Назовем джеммингом для заданного параметра упорядочивания s ситуацию, когда отсутствуют пустоты для размещения вертикальных объектов. При этом пустоты для размещения горизонтальных объектов могут присутствовать, но размещение дополнительных горизонтальных объектов приведет к изменению заданного параметра упорядочивания. Таким образом, при осаждении (частично) ориентированных объектов джемминг наступает только в одном направлении.

На рис. 2 показана фаза джемминга для различных ориентаций расположения димеров для решетки линейного размера L = 64.

Оценка порога джемминга в задаче рассчитывалась по формуле: Pjam = 2N-/L2. Значение порога джемминга было найдено с помощью скейлингового соотношения (Eur. Phys. J. В, 2000),

|ре(£)-рс(оо)|«^-1/", (5)

где v — критический показатель равный 1,0 ± 0,1.

Косвенным подтверждением правильности полученных результатов является характерное поведение среднего размера кластера, мощности перколяционного кластера и близость определенных критических показателей к известным значениям.

При рассмотрении зависимости порогов перколяции и джемминга от параметра упорядочивания s было выяснено, что полученные результаты хорошо аппроксимируются параболой. На рис. 3 показана зависимость порогов перколяции и джемминга от параметра s.

Рис. 2. Фаза джемминга на решетке с линейным размером 64 узлов при й = — 1 (слева), в = 0 (справа) (серые области — димеры, которые расположены в горизонтальном направлении, черные области — димеры, которые расположены в вертикальном направлении, белые области — пустоты)

S

Рис. 3. Зависимость порога перколяции и джемминга от параметра порядка s в термодинамическом пределе, pc(s) = 0,02443s2 + 0,56165, Pjam(s) = —0,0124s2 - 0,0291|s¡ + 0,9065

В третьем разделе исследована перколяционная задача частично упорядоченных димеров на квадратной решетке с учетом взаимодействия между объектами с использованием тороидальных граничных условий.

Полагается, что объединяться друг с другом в кластер могут только соседние димеры, ориентированные в одном направлении. Рассматривались два случая (рис. 4):

• димеры объединяются только с соседними димерами той же ориентации, если они не лежат на одной прямой (рис. 4, (а) слева) (далее обозначим эту модель как модель 1),

• димеры соединяются с любыми соседними димерами той же ориентации (рис. 4, (а) справа, (б)) (далее обозначим эту модель как модель 2).

/

/,

\

1 1

Г >

V /

V У

1

м ж

4 1 рр 1

р 1 ¡р>

'А У.)

¿А

'Л

б)'

Рис. 4. а) Объединение димеров в один кластер при наличии различных связей между ними б) Модель 2 (образование двух различных кластеров)

Моделирование проводилось на решетках с линейным размером Ь = 64, 128, 256, 512, 1024 и количеством независимых испытаний 1000.

Была рассчитана фрактальная размерность перколяционного кластера. Например, фрактальная размерность перколяционного кластера:

с£/ = 1,86 ± 0,04, при в = 0,7 для модели I,

= 1,82 ± 0,02, при з = 0,8 для модели 2,

для решетки линейного размера 1024 узла. Полученные результаты близки к ранее известному значению (6) в пределах погрешности эксперимента.

с1

(2/ = 1,896,

(6)

где <1/ — фрактальная размерность, й — размерность задачи, ¡3 и V — критические показатели.

Кроме того, были исследованы мощность перколяционного кластера и средний размер кластера, а также определены критические показатели /3 и 7.

В ходе моделирования было обнаружено, что при параметре упорядочивания —0,4 ^ й < 0,4 перколяция не происходит до достижения порога джемминга в модели 1, и при параметре упорядочивания —0,2 < в < 0,2 перколяция не происходит до достижения порога джемминга в модели 2 (рис. 5). Зависимости порогов перколяции от параметра упорядочивания я для модели 1 и модели 2 хорошо аппроксимируются параболой (рис. 5). Аппроксимирующая функция имеет вид:

рс(в) = 0,2512в2 + 0,6997|в| + 1,1542, для модели 1, рс(в) = 0,2511в2 + 0,6833|й| + 1,0205, для модели 2.

0,90-

О model 1: pc(s) = 0.2512? + 0.6997|s| + 1.1542 о model 2: pc(s) = 0.2511 s2 + 0.6833|s| + 1.0205 v jamming: pjam(s) = -0.0124s2 - 0.0291 |s| + 0.9065

-"q v v-

-1-i-1-1-1-'—I-1-1-1-1-'—I—'-1-'-1-■-г

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

N

Рис. 5. Зависимости порогов джемминга, порогов перколяции в модели 1 и модели 2 от параметра упорядочивания 5

В четвертой главе исследована перколяция димеров на кубической решетке.

В первом разделе производится постановка исследуемых задач.

В решеточных моделях, описывающих фазовый переход золь-гель, предполагается, что молекула представляет собой точечный объект, однако, во многих практически важных случаях такой подход является чрезмерно упрощенным, поскольку молекулы имеют сложную форму. Учет реальной формы молекул при моделировании фазовых переходов является исключительно сложной задачей. Зачастую молекулы имеют вытянутую форму, в качестве следующего приближения, по сравнению с точечным объектом, можно рассматривать анизотропный объект («иголку»).

Во втором разделе исследуется перколяция димеров па кубической решетке [3,4,7-9].

Соискателем было проведено моделирование на решетках с линейным размером L = 32,64,128 со свободными и периодическими граничными условиями по двум направлениям (Eur. Phys. J. В., 2007). Проходя кубическую решетку, случайным образом выбирается ориентация диме-ра и, если возможно, она размещается в массив с заданной вероятностью Р-

Компьютерное моделирование показало, что для задачи димеров на кубической решетке порог перколяции равен 0,2555 ± 0,0002 в случае свободных граничных условий и 0,2556 ± 0,0001 в случае периодических граничных условий при s — 0 (рис. 6). Результаты, полученные с различными граничными условиями, совпадают в пределах ошибки компьютерного эксперимента.

Был найден универсальный показатель 7 = 1,80±0,02 до порога перколяции и 7 = 1,78 ±0,02 после порога перколяции, значения которого в пределах погрешности компьютерного эксперимента совпадают с ранее известным.

В третьем разделе изучена перколяция частично ориентированных димеров на простой кубической решетке [2].

Для моделирования процесса фазового перехода золь-гель в случае протяженных молекул при наличии упорядочивающих факторов рассмотрена ориентированная перколяция димеров на простой кубической решетке с использованием смешанных граничных условий (периодических вдоль двух направлений и открытых вдоль одного направления). Параметр упорядочивания в данной системе:

_ Nj - ty S'J -V, •• .V, "

где Ni — количество димеров, индекс i = х,у, z обозначает вдоль какой оси расположен димер.

Соискателем было проведено моделирование процесса осаждения димеров с учетом их ориентации на кубической решетке (Математическое моделирование, 2009).

Рис. 6. Использование скейлинга для определения порога перколяции в термодинамическом пределе для решеток с линейными размерами 32, 64,128 узлов с применением свободных граничных условий (пунктирная линия) и периодических граничных условий (сплошная линия)

В данной задаче было рассмотрено два случая: sxy = ±1 и sxy = 0. Для определения порога перколяции использовалось определение «стягивающего» (spanning cluster) кластера.

Рассматривается слоистая пространственная структура (кубическая решетка). Димеры не перекрываются между собой и могут иметь следующую ориентацию (рис. 7):

1) в случае, если димеры располагаются строго в одном направлении sxy = ±1 (рис. 8 (а) или (б)).

2) в случае, если димеры располагаются равновероятно в двух направлениях в одной плоскости sxy = 0 (рис. 9).

Моделирование проводилось на решетках с линейным размером L = 32, 48, 64, 128, 256. Оценка величины порога перколяции показана на рис. 10.

Компьютерное моделирование показало, что для димеров, лежащих в плоскости в одном направлении на кубической решетке, порог перколяции равен рс = 0,27961 ±0,00004, а для димеров, лежащих в плоскости в двух направлениях на кубической решетке, порог перколяции равен рс = 0,26192 ± 0,00004 (рис. И).

Косвенным подтверждением правильности полученных результатов

Рис. 7. Возможное расположение димеров в одном слое при вху — ориентированы в одном направлении (слева) и при вху = 0 ориентированы в двух направлениях (справа). Периодические граничные условия вдоль направлений х и у

(а)

(Ь)

Рис. 8. Димеры расположены в одном строго определенном направлении зху = ±1. Периодические граничные условия

Рис. 9. Димеры равновероятно расположены в одном плоскости вху = 0. Периодические граничные условия

р

Рис. 10. Вероятность появления перколяционного кластера на решетке с линейным размером 256 узлов для 5ху = ±1 (сплошная линия) рс = 0,27996 ± 0,00005, и для вху = 0 (пунктирная линия) рс = 0,26222 ± 0,00003

Рис. 11. Использование скейлинга для определения порога перколяции в термодинамическом пределе при зху = ±1

является близость определенных критических показателей к известным значениям.

Порог джемминга имеет значение:

• для случая 8Ху = ±1 равен р^ат = 0,839 ± 0,002,

• для случая вху = 0 равен р^а7П = 0,854 ± 0,007.

В заключении подводятся итоги исследования и формулируются положения, выносимые на защиту.

Изложенный в диссертации материал, позволяет сформулировать основные результаты. В ходе моделирования систем анизотропных частиц при наличии упорядочивающих факторов было получено следующее.

1) Определены пороги перколяции димеров на квадратной решетке для различных значений параметра упорядочивания е. Кроме того, найдены пороги перколяции при учете взаимодействия между димерами для двух моделей. Полученные результаты позволяют оценить концентрацию осажденных на подложку нанотрубок, при которой возникает электропроводящее состояние при наличии упорядочивающих факторов и отсутствии или учете взаимодействия между нанотрубками.

2) Были найдены пороги джемминга на квадратной решетке для задачи ориентированных димеров. Полученные результаты позволяют оценить наибольшую возможную долю ориентированных нанотрубок на подложке.

3) Определены пороги перколяции для задачи узлов на кубической решетке, и для задачи ориентированных димеров в слоистой структуре кубической решетки = ±1 и вху = 0). Полученные результаты позволяют оценить концентрацию молекул, при которой начинает формироваться гелевая матрица в коллоидном растворе, при наличии гидродинамических течений.

4) Найдены пороги джемминга для задачи ориентированных димеров на кубической решетке (вху = ±1 и вху = 0). Полученные результаты позволяют оценить наибольшую возможную долю твердого вещества в геле.

5) Для всех перечисленных случаев найдены распределение кластеров по размеру, мощность перколяционного кластера, средний размер кластера, критические показатели и фрактальная размерность перколяционного кластера.

Положения, выносимые на защиту

1) Зависимости порогов перколяции и джемминга для задачи ориентированных димеров на квадратной решетке от степени упорядочивания s аппроксимируются квадратичными функциями: pc(s) = 0,02443s2 + 0,56165 и pjam(s) = -0,0124s2 - 0,0291|s| + 0,9065 с доверительной вероятностью 95%.

2) Для задачи узлов и связей ориентированных димеров на квадратной решетке для модели 1 аппроксимирующая функция, описывающая зависимость порога перколяции от степени упорядочивания s, имеет вид: pc{s) =0,2512s2 + 0,6997|s| +1,1542, а для модели 2 — Pc{s) = 0,2511s2 + 0,6833|s| + 1,0205 с доверительной вероятностью 95%.

3) Для частично ориентированных димеров на кубической решетке:

• порог перколяции равен рс = 0,27961 ± 0,00004, порог джемминга равен Pjam = 0,827 ± 0,002 при sxy = ±1;

• порог перколяции равен рс = 0,26192 ± 0,00004, порог джемминга равен pjam = 0,839 ± 0,001 при sxy = 0.

4) Для равновероятно ориентированных димеров на кубической решетке: порог перколяции рс = 0,2555 ± 0,0001 и порог джемминга Pjam = 0,799 ± 0,002.

Основные публикации соискателя по теме диссертации

1. Cherkasova V. A., Tarasevich Y. Y., Lebovka N. I., Vygornitskii N. V. Percolation of aligned dimers on a square lattice // Eur. Phys. J. B. 2010. Vol. 74. p. 205-209.

2. Черкасова В. А., Тарасевич Ю. Ю. Ориентированная пер-коляция димеров на простой кубической решетке / / Математическое моделирование. 2009. Т. 21. № 8. с. 100-107.

3. Tarasevich Y. Y., Cherkasova V. А. Dimer percolation and jamming on simple cubic lattice // Eur. Phys. J. B. 2007. Vol. 60. № 1. p. 97-100.

4. Черкасова В. А., Тарасевич Ю. Ю. Перколяция неточечных объектов на кубической решетке // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды V Школы-семинара, Ростов-на-Дону, 18-21 декабря 2006. г. Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2007. с. 127-129. ISBN 978-5-94153-142-4.

5. Черкасова В. А. Ориентированная перколяция димеров на квадратной решетке // Тезисы докладов научной школы «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» и «школьной секции». Сборник трудов конференции молодых ученых. Санкт-Петербург: СПбГУ ИТМО, 2009. Вып. 7. с. 38. ISBN 9785-7577-0335-0.

6. Черкасова В. А., Тарасевнч Ю. Ю. Ориентированная перколяция димеров на плоскости // Семнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 25-30 января 2010 г. Сборник научных тезисов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. с. 192.

7. Тарасевич Ю. Ю., Черкасова В. А. Перколяция неточечных объектов на кубической решетке // Четырнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 22—

27 января 2007 г. Сборник научных тезисов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. Вып. 14. с. 101. ISBN 593972-582-1.

8. Черкасова В. А., Тарасевич Ю. Ю. Смешанная перколяция димеров на простой кубической решетке // Пятнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна,

28 января—02 февраля 2008 г. Сборник научных тезисов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. Вып. 15. с. 121. ISBN 978-5-93972-641-2.

9. Черкасова В. А. Перколяция димеров на простой кубической решетке (задача узлов) // Шестнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 19—24 января 2009 г. Сборник научных тезисов. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. Вып. 16. с. 199. ISBN 978-593972-716-7.

Заказ № 2247. Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 1,4. Усл. иеч. л. 1,3.

Оттиражировано в Издательском доме «Астраханский университет» 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 20 факс (8512) 48-53-47 (отдел маркетинга), тел. (8512) 48-53-45 (магазин), тел. 48-53-44, тел./факс (8512) 48-53-46 E-mail: asupress@yandex.ru

Введение. Общая характеристика работы

1 Анализ работ в области перколяции неточечных объектов

1.1. Основные понятия и характеристики теории перколяции

1.2. Перколяция «иголок».

1.3. Перколяция прямоугольных объектов.

Актуальность проблемы. Системы, которые состоят или содержат в себе большее количество частиц, с размерами от нескольких нанометров до сотен нанометров, относят к наносистемам. Поскольку размеры макромолекул полимеров, имеющих молекулярную массу 103-107, располагаются в диапазоне от 2-3 нм до 200-250 нм, все растворы, гели, смеси полимеров относят к наносистемам. В настоящее время возрос интерес к наносистемам, в особенности к нанотехнологиям и нано-материалам. Материалы из углеродных нанотрубок (carbon nanotubes, CNT) обладают уникальными электрическими и механическими свойствами. Эти свойства являются перспективными для широкого спектра приложений [1-6]. В частности, интенсивно изучается влияние степени упорядочения нанотрубок, которое может осуществляться с помощью течений [7] или электрическим полем [8,9], на физические свойства различных систем.

Критическая концентрация изменяется в несколько раз в зависимости от способа диспергирования. Такое отличие может быть связано с различной степенью ориентационного упорядочения частиц в полимерной матрице в процессе получения композита. Полученные композиты обладают анизотропией электропроводимости. Электропроводимость композитов вдоль направления ориентации частиц на несколько порядков выше, чем в перпендикулярном направлении (см.,например, [10]). Морфологическое строение частиц наполнителя (волокна, проволоки) и характер межчастичного взаимодействия влияют на порог перколя-ции [11], а также на прочностные свойства композитов и термомеханическую стабильность [12,13].

Полученные данные и факты все еще не имеют строгого теоретического обоснования. Это затрудняет прогнозирование свойств пленочных и объемных композиционных систем, наполненных частицами анизотропной формы вблизи точки фазового перехода. Особенные сложности возникают при наличии скоррелированного распределения частиц, например, сегрегации или кластеризации, что характерно для нанораз-мерных частиц.

Для описания процесса перехода в электропроводящее состояние абсорбирующих на подложку нанотрубок используется теория перколя-ции. Разработка модели, позволяющей описывать свойства систем, содержащих упорядоченные углеродные нанотрубки, является актуальной задачей для создания образцов с заданными свойствами.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является выявление роли упорядочивающих факторов и межчастичного взаимодействия при концентрационных фазовых переходах в системах, состоящих из анизотропных объектов.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

1) Разработан метод моделирования концентрационно-ориентацион-ных фазовых переходов в неупорядоченных системах.

2) Построены и исследованы решеточные модели:

• перколяции частично упорядоченных димеров на плоскости без учета взаимодействия между объектами;

• перколяции частично упорядоченных димеров на плоскости с учетом взаимодействия между объектами;

• перколяции частично упорядоченных димеров в слоистой пространственной структуре;

• перколяции димеров в трехмерном пространстве.

3) Разработана программа, реализующая алгоритм Хошена-Копельмана, для нахождения порога перколяции на квадратной и кубической решетках.

4) Разработана программа, реализующая алгоритм нахождения порога джемминга на квадратной и кубической решетках.

5) Произведен анализ свойств созданных перколяционных моделей:

• определены пороги перколяции и джемминга;

• .найдено распределение кластеров по размерам;

• определен средний размер кластера;

• вычислена мощность перколяционного кластера;

• рассчитаны критические показатели и фрактальная размерность перколяционного кластера.

Объекты и методы исследования. В диссертационной работе изучены концентрационные фазовые переходы на плоскости и в пространстве.

Рассмотрены анизотропные объекты — димеры (два соседних узла и связь между этими узлами) на плоскости и в пространстве.

Построена модель М = п,р, 5, £>), состоящая из элементов Ип С N х N или Ип С N х N х К, который указывает размерность решетки, п — количество испытаний, р — доля заполнения решетки, я — параметр упорядочивания, D = ((d,h), (d,v)) — 2 возможные ориентации димера (горизонтальная, вертикальная).

Все поставленные задачи решены с помощью компьютерного моделирования в рамках теории перколяции. Для генерации случайных чисел применялись алгоритмы Л'Экюера и «Вихрь Мерсенна».

После заполнения решетки димерами (Rn —> Rn) решетка содержит в себе следующие элементы: г = ^0, (d, h), (d, v)), элементы (d, h) и (d, v) с вероятностью p и 0 с вероятностью 1 — p.

Исследование перколяционных моделей проводилось методом Монте-Карло с использованием алгоритма Хошена-Копельмана. В результате его применения определены пороги перколяции рс и джем-минга Pjam, мощность перколяционного кластера Роо, средний размер кластера 5, фрактальная размерность перколяционного кластера df, критические показатели (3 и 7 (т. е. i?n —»■ (pc,pjam,Р^, 5,d/,/3,7)).

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Предложена модель, отличающаяся от известных тем, что:

• учитывает ориентацию димеров на плоскости без учета взаимодействия между объектами;

• учитывает ориентацию димеров на плоскости с учетом взаимодействия между объектами;

• позволяет изучить перколяцию димеров в трехмерном пространстве (на кубической решетке);

• учитывает ориентацию димеров в слоистой пространственной структуре (на кубической решетке).

Практическая значимость работы. Разработан программный комплекс, позволяющий исследовать новый класс перколяционных задач — перколяцию ориентированных и частично ориентированных димеров на квадратной и кубической решетках.

Эти задачи применимы к следующим направлениям исследования:

1) изучение процесса перехода в электроводящее состояние при осаждении на подложку углеродных нанотрубок при наличие упорядочивающих факторов;

2) исследование процесса фазового перехода золь-гель.

На основе разработанной соискателем модели Выгорницкий Н. В. и Лебовка Н. И. рассчитали электрические свойства системы нанотрубок при наличии упорядочивающих факторов. Полученные результаты были опубликованы в совместной статье [А2].

На одну из работ соискателя уже имеются ссылки в ведущих журналах [14-16], среди авторов статей ведущий специалист в теории пер-коляции Роберт Зифф.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на различного уровня конференциях и иных научных мероприятиях. Основные из них:

• V Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России 18-21 декабря 2006 года, г. Ростов-на-Дону;

• Четырнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 22-27 января 2007 г;

• Пятнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 28 января - 2 февраля 2008 г;

• Шестнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 19-24 января 2009 г;

• II сессия научной Школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» в рамках VI Межвузовской конференции молодых ученых и специалистов, г. Санкт -Петербург, 14-17 апреля 2009 г;

• Семнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 25-30 января 2010 г;

• Неделя науки Астраханского государственного университета 2007 г, 2008 г, 2009 г, 2010 г.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликованы в соавторстве и самостоятельно 9 работ, в том числе:

• статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов кандидатских диссертаций — 3;

• тезисов докладов — 5;

• статей в прочих изданиях — 1.

Личный вклад автора и роль соавторов. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.

Роль соавторов в совместных публикациях заключается в следующем. Тарасевичу Ю. Ю. принадлежит постановка задач. Выгорницкий Н. В. и Лебовка Н. И. проводили расчет электрических свойств системы нанотрубок при наличии упорядочивающих факторов. Полученные ими результаты, опубликованные в совместной статье [А2], в текст диссертации не вошли. Все соавторы принимали участие в обсуждении и интерпретации результатов.

Связь с научными проектами. В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в Астраханском государственном университете в рамках проектов РФФИ № 06-02-16027-а «Исследование механизмов дегидратационной самоорганизации биологических жидкостей», № 09-01-97007-рповолжьеа «Математическое моделирование фазовых переходов в системе наночастиц в перколяционном подходе», № 09-02-90440-Укрфа «Скорелированная перколяция в системах с частицами анизотропной формы», № 09-08-00822-а «Изучение влияния размеров и форм частиц на свойства неупорядоченных систем вблизи и за порогом перколяции».

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 88 наименований. Объем диссертации — 148 с.

Заключение

Изложенный в диссертации материал, позволяет сформулировать следующие основные результаты. В ходе моделирования систем анизотропных частиц при наличии упорядочивающих факторов было получено следующее.

1) Определены пороги перколяции димеров на квадратной решетке для различных значений параметра упорядочивания е. Кроме того, найдены пороги перколяции при учете взаимодействия между димерами для двух моделей. Полученные результаты позволяют оценить концентрацию осажденных на подложку нанотрубок, при которой возникает электропроводящее состояние при наличии упорядочивающих факторов и отсутствии или учете взаимодействия между нанотрубками.

2) Были найдены пороги джемминга на квадратной решетке для задачи ориентированных димеров. Полученные результаты позволяют оценить наибольшую возможную долю ориентированных нанотрубок на подложке.

3) Определены пороги перколяции для задачи узлов на кубической решетке, и для задачи ориентированных димеров в слоистой структуре кубической решетки (5жу = ±1 и = 0). Полученные результаты позволяют оценить концентрацию молекул, при которой начинает формироваться гелевая матрица в коллоидном растворе, при наличии гидродинамических течений.

4) Найдены пороги джемминга для задачи ориентированных димеров на кубической решетке (sxy = ±1 и sxy = 0). Полученные результаты позволяют оценить наибольшую возможную долю твердого вещества в геле.

5) Для всех перечисленных случаев найдены распределение кластеров по размеру, мощность перколяционного кластера, средний размер кластера, критические показатели и фрактальная размерность перколяционного кластера.

Положения, выносимые на защиту

1) Зависимости порогов перколяции и джемминга для задачи ориентированных димеров на квадратной решетке от степени упорядочивания s хорошо аппроксимируются квадратичными функциями: pc(s) = 0,02443s2+0,56165 и pjam(s) = -0,0124s2-0,0291|s|+0,9065 с доверительной вероятностью 95%.

2) Для задачи узлов и связей ориентированных димеров на квадратной решетке для модели 1 аппроксимирующая функция, описывающая зависимость порога перколяции от степени упорядочивания s, имеет вид: pc(s) = 0,2512s2 + 0,6997|s| + 1,1542, а для модели 2 — pc(s) = 0,2511 s2 + 0,6833|s| +1,0205 с доверительной вероятностью 95%.

3) Для частично ориентированных димеров на кубической решетке:

• порог перколяции равен рс = 0,27961 ± 0,00004, порог джемминга равен Pjam = 0,827 ± 0,002 при sxy = ±1;

• порог перколяции равен рс = 0,26192 ± 0,00004, порог джемминга равен pjam — 0,839 ± 0,001 при sxy = 0.

Для равновероятно ориентированных димеров на кубической решетке: порог перколяции рс — 0,2555 ± 0,0001 и порог джемминга Рзат = 0,799 ± 0,002.

1. Carroll D. L., Czerw R., Webster S. Polymer-nanotube Composites for Transparent, Conducting Thin Films // Synthetic Metals. 2005. Vol. 155. P. 694-697.

2. Sreekumar Т. V., Liu Т., Kumar S., Ericson L. M., Hauge R. H., Smalley R. E. Wall Carbon Nanotube Films // Chem. Mater. 2003. Vol. 15. P. 175-178.

3. Zhou Y., Gaur A., Hur S-H., Kocabas C., Meitl M. A., Shim M., Rogers J. A. Solution Casting and Transfer Printing Single-Walled Carbon Nanotube Films // Nano Letters. 2004. Vol. 4. P. 1643-1647.

4. Довженко А. Ю., Бунин В. А. Влияние формы и размера частиц электропроводящей фазы на образование перколяционного кластера в керамической композиции // Журнал технической физики. 2003. Т. 73. С. 123-125.

5. Kondrat G., P§kalski A. Percolation and jamming in random sequential adsorption of linear segments on a square lattice // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. P. 051108.

6. Выгорницкий H. В., Лисецкий JI. H., Лебовка Н. И. Перколяция в модели случайной последовательной адгезии анизотропных частиц // Коллоидный журнал. 2007. Т. 69. С. 597-602.

7. Du F., Fischer J. E., Winey K. I. Effect of nanotube alignment on percolation conductivity in carbon nanotube/polymer composites // Phys. Rew. B. 2005. Vol 72. P. 121404.

8. Liu J. L., Spencer J. L., Kaiser A. B., Arnold W. M. Electric-field oriented carbon nanotubes in different dielectric solvents // Current Applied Phys. 2004. Vol 4. P. 125-128.

9. Jimenez G. A., Jana S. C. Electrically conductive polymer nanocom-posites of polymethylmethacrylate and carbon nanofibers prepared by chaotic mixing // Composites: A. 2007. Vol. 38. P. 983-993.

10. Jia Q. M., Li J. B., Wang L. F., Zhu J. W., Zheng M. Electrically conductive epoxy resin composites containing polyaniline with different morphologies // Materials Science and Engineering. A. 2007. Vol. 448. P. 356-360.

11. Berlyand L., Mityushev V. Increase and Decrease of the Effective Conductivity of Two Phase Composites Due to Polydispersity // J. of Stat. Phys. 2005. Vol. 118. P. 481-509.

12. Adamczyk P., Polanowski P., Sikorski A. Percolation in polymersolvent systems: A Monte Carlo study // The Journal of Chemical Physics. 2009. Vol. 131. P. 234901.

13. Ziff R. M., Gu H. Universal condition for critical percolation thresholds of kagome-like lattices // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79. P. 020102.

14. Haji-Akbari A., Ziff R. M. Percolation in networks with voids and bottlenecks // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 79. P. 021118.

15. Stauffer D., Aharony A. Introduction to Percolation Theory. London: Taylor к Francis, 1992. 181 p.

16. Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М.: Едиториал УРСС, 2002. 112 с.

17. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. М.: Мир, 1982. 592 с.

18. Akagawa S., Takashi Odagaki. Geometrical percolation of hard-core ellipsoids of revolution in the continuum // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76. P. 051402.

19. Garboczi E. J., Snyder K. A., Douglas J. F. Geometrical percolation threshold of overlapping ellipsoids // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52. P. 819-828.

20. Dolz M., Nieto F., Ramirez-Pastor A. J. Site-bond percolation of polyatomic species // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 066129.

21. Эфрос A. JI. Физика и геометрия беспорядка. М.: «Наука», 1982. 176 с.

22. Seullard C. R., Ziff R. M. Critical Surfaces for General Bond Percolation Problems // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 185701.

23. Chin-Kun Hu, Chi-Ning Chen. Percolation, finite-size scaling, and the thermal scaling power for the Potts model // Phys. Rev. B. 1989. Vol. 40. P. 854-857.

24. Makoto S. Watanabe. Percolation with a periodic boundary condition: The effect of system size for crystallization in molecular dynamics // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. P. 3945-3951.

25. Chang S.-C., Shrock R. Exact results for average cluster numbers in bond percolation on lattice strips // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 056130.

26. Wierman J. C., Naor D. P., Smalletz J. Incorporating variability into an approximation formula for bond percolation thresholds of planar periodic lattices // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75. P. 011114.

27. Yi Y. B. Void percolation and conduction of overlapping ellipsoids // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74. P. 031112.

28. Pike G. E., Seager C. H. Percolation and conductivity: A computer study // Phys. Rev. E. 1974. Vol. 10. P. 1421-1434.

29. Skvor J., Nezbeda I., Brovchenko I., Oleinikova A. Percolation Transition in Fluids: Scaling Behavior of the Spanning Probability Functions // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 127801.

30. Seullard C. R. Exact site percolation thresholds using a site-to-bond transformation and the star-triangle transformation // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. P. 016107.

31. Galam S., Malarz K. Restoring site percolation on damaged square lattices // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 027103.

32. Титов A. H., Ярмошенко Ю. M., Neumann M., Плещев В. Г., Титова С. Г. Иерархия порогов протекания и механизм подавления магнитных моментов переходных металлов, интеркалированных в TiSe2 // Физика твердого тела. 2004. Т. 46. С. 1628-1632.

33. Lois G., Blawzdziewicz J., O'Hern C. S. Jamming Transition and New Percolation Universality Classes in Particulate Systems with Attraction // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 028001.

34. Biroli G., Toninelli C. Spiral model, jamming percolation and glass-jamming transitions // Eur. Phys. J. B. 2008. Vol. 64. P. 567—572.

35. Dolz M., Nieto F., Ramirez-Pastor A. J. Dimer site-bond percolation on a square lattice // Eur. Phys. J. B. 2005. Vol. 43. P. 363-368.

36. Cornette V., Ramirez-Pastor A. J., Nieto F. Percolation of polyatomic species on a square lattice // Eur. Phys. J. B. 2003. Vol. 36. P. 391399.

37. Vandewalle N., Galam S., Kramer M. A new universality for random sequential deposition of needles // Eur. Phys. J. B. 2000. Vol. 14. P. 407-410.

38. Федер E. Фракталы. M.: Мир, 1991. 254 с.

39. Kondrat, G., P§kalski A. Percolation and jamming in random bond deposition // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P. 056118.

40. Brosilow B. J., Ziff R. M., Vigil R. D. Random sequential absorbtion of parallel squares // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 43. P. 631-638.

41. Talbot J., Tarjus G., Schaaf P. Unexpected asymptotic behavior in random sequential absorbtion of nonspherical particles // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 40. P. 4808-4811.

42. Loncarevic I., Budinski-Petkovio L. Reversible random sequential adsorption of mixtures on a triangular lattice // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76. P. 031104.

43. Loncarevic I., Budinski-Petkovio L., Vrhovac S. B. Simulation study of random sequential adsorption of mixtures on a triangular lattice // Eur. Phys. J. E. 2007. Vol. 24. P. 19—26.

44. Rampf F., Albano E. V. Interplay between jamming and percolation upon random sequential adsorption of competing dimers and monomers // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. P. 061106.

45. Nakamura M. Percolational and fractal property of random sequential packing patterns in square cellular structures // Phys. Rev. A. 1987. Vol. 36. P. 2384-2388.

46. Grimmet G. Percolation. Berlin: Springer-Verlag, 1999. 444 p.

47. Кестен X. Теория просачивания для математиков. М.: Мир, 1986. 392 с.

48. Ziman J. М. Models of disorder. The Theoretical Physics of Homogeneously Disordered Systems. Cambridge University Press, 1979. 538 p.

49. Шкловский Б. И., Эфрос A.JI. Электронные свойств легированных полупроводников. М.: Наука, 1979. 416 с.

50. Sahimi М. Application of Percolation Theory. London: Taylor Sz Francis, 1994. 258 p.

51. Evans J. V. Random and cooperative sequential adsorption // Rev. Mod. Phys. 2003. Vol 65. P. 1281-1330.

52. Adamczyk Z. Particles at Interfaces: Interactions, Deposition, Structure. Academic Press, 2006. 743 p.

53. Holloway H. A site-percolation threshold for the diamond lattice with diatomic substitution // Phys. Rev. B. 1988. Vol 37. P. 874-877.

54. Evans J. W., Sanders D. E. Percolative c(2x2) adlayer structure in nonequilibrium adsorption models // Phys. Rev. B. 1989. Vol 39. P. 1587-1594.

55. Leroyer Y., Pommiers E. Monte Carlo analysis of percolation of line segments on a square lattice // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 50. P. 27952799.

56. Cortes J., Valencia E. Random Sequential Adsorption Kinetics of Dimers and Trimers on Geometrically Disordered Substrates //J. Colloid & Interface Sci. 2002. Vol. 252. P. 256-258.

57. Cornette V., Ramirez-Pastor A. J., Nieto F. Dependence of the percolation threshold on the size of the percolating species // Physica A. 2003. Vol. 327. P. 71-75.

58. Cornette V., Ramirez-Pastor A. J., Nieto F. Percolation of polyatomic species on diluted lattices // Phys. Lett. A. 2006. Vol. 353. P. 452458.

59. Dolz M., Nieto F., Ramirez-Pastor A. J. Percolation processes in mixtures of polyatomic species // Physica A. 2007. Vol. 374. P. 239-250.

60. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985. 272 с.

61. Герасимович А.И., Матвеева Я.И. Математическая статистика. Минск: Вышэйшая школа, 1978. 200 с.

62. Hsiao-Ping Hsu, Simon С. Lin, Chin-Kun Hu. Universal scaling functions for bond percolation on planar-random and square lattices with multiple percolating clusters // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. p. 016127.

63. Hovi J.-P., Aharony A. Scaling and universality in the spanning probability for percolation // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53. P. 235-253.

64. Chai-Yu Lin, Chin-Kun Ни. Universal finite-size scaling functions for percolation on three-dimensional lattices // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 1521-1527.

65. Hsu H.-P., Huang M.-C. Percolation thresholds, critical exponents, and scaling functions on planar random lattices and their duals // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60. P. 6361-6370.

66. Bunde A., Havlin S. Fractals and Disordered Systems. Springer, 1996. 65 p.

67. Pruessner G., Moloney M. Numerical results for crossing, spanning and wrapping in two-dimensional percolation // J. Phys. A. 2003. Vol. 36. P. 11213.

68. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes In C: The Art Of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992. 994 p.

69. Matsumoto M., Nishimura T. Mersenne twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator // ACM Trans, on Modeling and Computer Simulations. 1998. Vol. 8. P. 3-30.

70. Hoshen J., Kopelman R. Percolation and cluster distribution. I. Cluster multiple labeling technique and critical concentration algorithm // Phys. Rev. B. 1976. Vol. 14. P. 3438-3445.

71. Benoit J. M., Corraze B., Chauvet O. Localization, Coulomb interactions, and electrical heating in single-wall carbon nanotubes/polymer composites // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 65. P. 241405.

72. Foygel M., Morris R. D., Anez D., French S., Sobolev V. L. Theoretical and computational studies of carbon nanotube composites and suspensions: Electrical and thermal conductivity // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 71. P. 104201.

73. Hough L. A., Islam M. F., Janmey P. A., Yodh A. G. Viscoelasticity of Single Wall Carbon Nanotube Suspensions // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. P. 168102.

74. Fu Q., Liu J. Integrated Single-Walled Carbon Nanotube/Microfluidic Devices for the Study of the Sensing Mechanism of Nanotube Sensors // Phys. Chem. Lett. B. 2005. Vol. 109. P. 13406-13408.

75. Behnam A., Ural A. Computational study of geometry-dependent resistivity scaling in single-walled carbon nanotube films // Phys. Rev. B. 2007. Vol 75. P. 125432.

76. Al. Черкасова В. А., Тарасевич Ю. Ю. Ориентированная перколяция димеров на простой кубической решетке // Математическое моделирование, 2009. Т. 21. С. 100-107.

77. А2. Cherkasova V. A., Tarasevich Y. Y., Lebovka N. I., Vygornitskii N. V. Percolation of aligned dimers on a square lattice // Eur. Phys. J. B. 2010. Vol. 74. P. 205—209.

78. A3. Tarasevich Y. Y., Cherkasova V. A. Dimer percolation and jamming on simple cubic lattice // Eur. Phys. J. B. 2007. Vol. 60. P. 97-100.