автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование локальной магнитной анизотропии в ферромагнетиках с упругопластической деформацией

На правах рукописи

МАЖОВА СВЕТЛАНА АЛЕКСЕЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ МАГНИТНОЙ АНИЗОТРОПИИ

В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ С УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИЕЙ

05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

□□3448370

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 СЕН 2003

Уфа-2008

003446370

Работа выполнена на кафедре высокопроизводительных вычислительных технологий в ГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Защита состоится 10 октября 2008 г в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д-212 288 06 при Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу 450000, г Уфа, ул К Маркса, 12, корп 1

С диссертацией молено ознакомиться в библиотеке университета

Научный руководитель

Ведущая организация

Официальные оппоненты

канд. физ -мат наук, доц. ЕМЧЕНКО Ольга Владимировна д-р физ -мат наук, проф АЛЕКСАНДРОВ Игорь Васильевич д-р физ -мат наук, проф ШАМСУТДИНОВ Миниахат Асгатович Институт проблем

сверхпластичносги металлов РАН (г. Уфа)

Ученый секретарь диссертационного совета д-р физ -маг наук, проф

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Магнитные свойства материалов благодаря своей практической значимости занимают одну из ведущих позиций среди наблюдаемых в ходе экспериментов физических свойств

При конструктивном рассмотрении магнитных явлений не обойтись без системы математических моделей При построении таких моделей, по-видимому, следует руководствоваться следующим тезисом "Если, вы можете предложить математическую модель, алгоритм, компьютерную программу, позволяющую воспроизвести с достаточной точностью наблюдаемое в эксперименте явление в достаточно широком диапазоне внешних параметров, и эта модель не будет противоречить установленным физико-химическим законам, то вы понимаете это явление Если вы не в состоянии построить удовлетворительную модель, то это означает, что у вас нет полного понимания явления" Сформулированный принцип призывает извлекать фундаментальные знания о системе и находить пути эффективного управления для достижения принципиально реализуемых целей

В классической теории магнетизма для исследования отклика магнитной системы на воздействие внешнего магнитного поля и температурного отжига применяются либо методы теории фазовых переходов, основанные на разложении термодинамического потенциала в ряд по четным степеням параметра порядка, либо прямое решение уравнений динамики магнитного момента, предложенных Ландау еще в 30-х гг XX века Каждый из этих подходов имеет как свои преимущества, так и существенные недостатки

С одной стороны, теория фазовых переходов удобна тем, что в результате ее применения можно получить представление о процессах, протекающих в магнетике в асимптотическом приближении, и плоха тем, что разложение термодинамического потенциала в ряд возможно лишь в узком диапазоне изменения температуры и внешнего магнитного поля

С другой стороны, непосредственное решение уравнений Ландау довольно трудоемкий процесс, поскольку эти уравнения содержат помимо временной производной нелинейные слагаемые, отражающие неоднородный обмен рассматриваемого иона с окружающими его соседними частицами

Бурное развитие современных высокопроизводительных вычислительных систем дает возможность создания нового подхода проведения численных экспериментов, связанных с изучением свойств ферромагнитных систем, состоящих из нескольких тысяч частиц Поэтому комплексное исследование ферромагнитных систем, проводимое методами численного моделирования, методами теории фазовых переходов, а также с помощью методов нелинейной динамики является актуальной задачей Этот подход дает наиболее полное

представление об адекватности модели, а также помогает лучше понять некоторые процессы и явления, протекающие в ферромагнитных веществах

Цель работы. Построение математической модели, адекватно описывающей анизотропный ферромагнетик с упругопластической деформацией структуры, качественно отражающей наблюдаемые в ферромагнетике эффекты изменения поля локальной намагниченности

Поставленная цель достигается в результате решения следующих задач

1 Учет в модельном гамильтониане взаимодействий, отвечающих магнитной анизотропии и упругопластической деформации структуры магнетика Оценка изменения положений экстремумов эффективной энергии магнитной анизотропии при наличии полей неоднородных внутренних деформаций

2 Оценка сходимости методов минимизации модельного гамильтониана

3 Разработка алгоритмов и комплекса программ, позволяющих проводить численные расчеты свойств ферромагнитных материалов на базе предложенной модели

4 Верификация модели.

• проверка непротиворечивости результатов вычислительного эксперимента основным законам классической теории магнетизма,

• сравнение результатов численного моделирования с данными натурного эксперимента на примерах конкретных ферромагнитных материалов

5 Разработка методов предварительного аналитического анализа модели на основании результатов применения теории хаотизации и нелинейной динамики к решаемой задаче

Методы исследования Для разностороннего исследования магнитной системы применялись как методы статистического моделирования, в частности метод Монте-Карло, так и методы, основанные на детерминистическом подходе К последним относятся методы исследования системы дифференциальных уравнений, описывающих ферромагнетик, предлагаемые нелинейной динамикой анализ устойчивости и поведения решения вблизи неподвижных точек, исследование бифуркаций и рождения предельных циклов

На защиту выносятся

1 Новая математическая модель, описывающая анизотропный ферромагнетик с упругопластической деформацией структуры, позволяющая наблюдать изменение локальной намагниченности в окрестности дефекта, сдвиг критической температуры фазового перехода, увеличение коэрцитивной силы

2 Численная схема и комплекс программ для проведения расчетов полей локальной намагниченности и основных магнитных характеристик ферромагнетика в процессе изменения температурного и полевого режима

3 Методы предварительного аналитического анализа модели, основанные на применении теории хаотизации и нелинейной динамики к решаемой задаче

с целью выделения областей качественно различных решений и выбора метода решения задачи в этих областях

4 Новые качественные и количественные результаты исследований модели методами нелинейной динамики

• определение областей зарождения магнитных доменов как областей пространства с неустойчивым и хаотическим поведением решения уравнений динамики магнитного момента;

• определение диапазонов изменения внешнего магнитного поля и температуры, при которых ферромагнетик обладает требуемыми свойствами,

• объяснение явления магнитного гистерезиса и скачков Баркгаузена с помощью анализа устойчивости асимптотического решения уравнений динамики магнитного момента

Научная новизна

1 Предложена новая математическая модель, описывающая анизотропный ферромагнетик с упругопластической деформацией структуры, позволяющая наблюдать

• изменение локальной намагниченности в окрестности дефекта,

• сдвиг критической температуры фазового перехода,

• увеличение коэрцитивной силы, вызванное внесением дефектов в кристаллическую структуру

2 Предложена новая область применения метода определения положений экстремумов эффективной энергии магнитной анизотропии при наличии внутренних деформаций структуры, разработанного В В Николаевым, А П Танкеевым, к задачам моделирования ферромагнитных материалов с локальными дефектами методом Монте-Карло

3 Для определения областей зарождения доменов, совпадающих с областями устойчивого решения, и допустимых диапазонов значений управляющих параметров модели, применен нестандартный для теории магнетизма подход (теория нелинейной динамики)

Теоретическая и практическая значимость. Разработанный метод позволяет объяснить такие эффекты магнетизма, как зарождение магнитных доменов, критическое поведение намагниченности и магнитной восприимчивости в области фазовых переходов, возникновение скачков Баркгаузена Выявлены диапазоны изменения параметров модели ферромагнетика с локальными дефектами структуры, определяющие пригодность работы модели в заданном диапазоне свойств

Достоверность результатов диссертационной работы обоснована использованием общих законов и уравнений теории магнетизма и согласованием полученных решений в частных случаях с результатами, известными из литературы, а также с экспериментальными данными других исследователей Корректность численной схемы обусловлена проверкой ее сходимости Достовер-

ность полученных численных решений - сравнением с аналитическими решениями в случаях, когда последние могут быть найдены

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на следующих конференциях и научных школах

- на третьей региональной научно-технической конференции «Новые программные средства для предприятий Урала» (Магнитогорск, 2004 г.)

- на всероссийской конференции «Современные проблемы физики и математики» (Стерлитамак, 2004 г.)

- на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004 г )

- на 2-ой региональной зимней школе-семинаре аспирантов и молодых ученых «Интеллектуальные системы обработки информации и управления» (Уфа,2007 г)

- на всероссийской молодежной научной конференции «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2007 г)

Кроме того, результаты работы обсуждались на научных семинарах кафедры магнетизма (МГУ) под руководством Н С Перова, кафедры теоретической физики (БашГУ) под руководством профессора М А Шамсутдинова, института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством Л А Калякина, кафедры ВВТиС (УГАТУ) под руководством профессора Р К Газизова и получили положительную оценку

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, 5 - в материалах и трудах конференций, 1 - в межвузовском сборнике трудов Личный вклад автора в совместные статьи заключается в участии в постановке задач, подборе используемых моделей, написании расчетных программ, анализе и обработке расчетных данных, интерпретации результатов

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы и четырех приложений, в которых приведены блок-схемы и листинги разработанных программ Общий объем диссертации 212 страниц, основной текст изложен на 172 страницах Диссертация содержит 83 рисунка и 2 таблицы Список литературы включает 95 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель, основные направления исследований, приводится структура диссертации

В первой главе выполнен литературный обзор теоретических исследований, посвященных изучению ферромагнитного порядка и явлению магнитной анизотропии Рассмотрен процесс намагничивания с точки зрения классиче-

ской теории фазовых переходов развитой Ландау и Вонсовским Приведены уравнения движения магнитного момента «обменного» ферромагнетика под воздействием внешнего магнитного поля, предложенные Ландау и Лифшицем.

Рассмотрены основные модели магнитных систем модель Изинга, пригодная для описания бинарного сплава или магнитных систем специального вида, модель Гейзенберга, которая используется для описания многих реальных ферро- и антиферромагнитных систем, модель льда, применимая для описания льда и различных сегнетоэлектриков Описаны основные особенности каждой из моделей и соответствующие упрощающие предположения о допустимых параметрах теоретических моделей

Приведен обзор задач, решаемых в области моделирования свойств ферромагнитных материалов на современном этапе Наиболее близкими из них по отношению к теме диссертационной работы являются 1) исследование фазовых переходов и критических явлений, происходящих в ферромагнетиках, методами Монте-Карло и молекулярной динамики (А К. Муртазаев, К И Ками-лов, А Б Бабаев, В А Мутайламов и др), 2) исследование влияния линейных дефектов структуры ферромагнетика на его магнитные свойства, в частности, на образование зародышей будущих доменов (В В Николаев, А П Танкеев)

Показано, что недостатком большинства моделей, рассматривающих ферромагнетики на атомарном уровне, являегся то, что топологический беспорядок связан с наличием точечных дефектов, локальные дефекты - отдельные дислокации, дислокационные стенки, дисклинации, не рассматриваются, хотя роль их важна Модели, в которых учитывается влияние перечисленных выше локальных дефектов, как правило, не содержат энергии обмена

В завершении главы были сформулированы цели диссертационной работы, определяемые необходимостью модели, устраняющей перечисленные выше недостатки

Содержание второй главы условно может быть "разбито на три части В первой описаны механизмы возникновения магнитной анизотропии и магнитострикции, возникновение магнитоупругой и уравновешивающей ее упругой энергии при деформации кристаллической структуры ферромагнетика Во второй приведен вид модельного гамильтониана Сформулирована задача о поиске устойчивого состояния магнитной системы, при котором гамильтониан достигает минимума Остановимся на этой части работы подробнее

При исследовании влияния локальных дефектов структуры на магнитные свойства материала ферромагнетик, находящийся в тепловом равновесии с окружающей средой, рассматривался как набор 1хх Ьу * Ьг атомов, с каждым из которых связан спиновый момент = (SlJ^,x,S¡JJc,y,S,Jlk,z)r, ' =1» Ао 7=1, Ьу, к = 1, 12 Предполагалось, что рассматриваемый ферромагнетик имеет структуру, задаваемую кристаллической решеткой Zí/, й - размерность

задачи Устойчивое распределение спинов определялось из условия минимума суммы энергий-

« 1 *

(.'У,к') ГУ

+ ю a(SlJ,k) + ®ти {Б,,],к,Х1,у],2к)

(1),

где первое слагаемое суммы (1) обозначает обменное взаимодействие с бли-

3 кьТс

жайшими соседями в пределах эффективного радиуса гЭ1р (3 =- -

"г 1)

обменный интеграл, 5 = 1- спиновое число, г - число соседей в пределах гэф), второе слагаемое представляет собой взаимодействие с внешним магнитным полем Н (ц6 - магнетон Бора, g - фактор Ланде), третье и четвертое слагаемые (нелокальная часть) представляют собой энергию анизотропии и энергию магнитоупругих связей, возникающую в результате деформации кристаллической структуры Вид плотностей соа,<»„„ указан в табл 1

Таблица 1

Плотности магнитоупругой энергии и энергии анизотропии

Одноосный ферромагнетик Кубический ферромагнетик

и „ = К1&2 (Оти =Щ£хх +%)?? + +й(€«$ +2

иАеШ = МН, КХ{Т) - первая константа магнитной анизотропии, Д(Г) (/ = 1,2,3,4) - константы магнитоупругой связи, е,. (х, у, г) - элементы тензора деформаций

Во избежание образования магнитных полюсов на границах рассматриваемого ферромагнетика применялись периодические граничные условия, что сделало (1) инвариантным относительно группы пространственных сдвигов

Далее рассматривалась задача о поиске устойчивого состояния магнитной системы, при котором гамильтониан (1) достигает минимума При = 1, направление спина задавалось парой углов (у,б), 1|/е[-л/2, Зп/2], 0е[о,я] S,J¡k=(cosQlJ¿, smQIJ¡ksm\^l,JЛ, зтб^созу,^)7" Поиск минимума гамильтониана (1) осуществлялся полным перебором всех возможных конфигураций 5 последовательным заданием приращений Ду, Д9 каждому из спинов Б,и сравнением значений гамильтониана до и после пробного изменения углов Число таких различных переборов составляло («1 т)н, где щ = 2я/ Ду, пг = тс/Л0, N = . Тем самым было показано, что такой способ минимизации - довольно трудоемкая задача, которую целесообразно решать лишь при небольшом количестве частиц

Было показано, что при рассмотрении двухмерных задач количество переборов может быть уменьшено При фиксированном значении азимутального угла 0 = 80 рассматривалась проекция г-ого спина (где ¡=(к-1)1^ при х=сот/) на направление внешнего магнитного поля. = 1, если спин ориентирован по полю, и = —1, если спин ориентирован против внешнего поля Очевидно, что в случае простой кубической решетки при отсутствии слагаемых <да, а>ти и эффективном радиусе г3ф, равном одному межатомному расстоянию, модель (1) с дискретным состоянием спина сводится к модели Изинга

Количество конфигураций, которые необходимо было перебрать, чтобы найти минимальное значение (1) в случае дискретного состояния спина, составило 2й Этот перебор был уменьшен путем использования идеи предпочтительной выборки, согласно которой каждая последующая конфигурация спинов п = 1,2, ,2Л' генерировалась случайно, в соответствии с некоторой предельной вероятностью РТ, такой что при проведении некоторого количества испытаний п > ЫМс, А^мс < ^ система достигала состояния с минимальной энергией

Существование предельной вероятности Рт для гамильтониана (1) с дискретным описанием спина проверялось с помощью следующей теоремы, приведенной в работах Я Г Синая

Теорема 1 Пусть гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид

Н = Нг + еН' , (2)

где

<<,./> <

Н' — трансляционно-инвариантный гамильтониан с конечным радиусом взаимодействия, е - малый параметр, Н =| II | Тогда существует такие положи-

тельные константы Г0, £о и внешнее поле Я(Г, е), определенное для Т<Т0 и | £ [< Ео, что у гамильтониана (2) существует два различных предельных распределения Рт = ссш/-ехр(-Н/^Г), приводящих к основным состояниям,

отличающимся от = {.?, = ] }, = {у, = —1} лишь малыми возмущениями

При выполнении условий теоремы 1 для расчета состояния с минимальной энергией при фиксированной температуре применялся метод Монте-Карло

На примере задачи, инвариантной по направлению ох, было показано, что в окрестности источника дефекта существует область О, где плотность = -®а - шти сравнима с плотностью энергии обмена ®ех=-Ж1(з,,1еА+з,!п8и1 + з,11ор+31,с1стп) и ведет себя как 5-функция, быстро убывая с удалением от источника дефекта (рис 1) В работе было установлено, что при поиске минимума (2), вне £1 можно пользоваться теоремой 1, а внутри необходим полный перебор состояний спинов

вблизи источника дислокации (расстояния выражены в периодах атомной решетки а )

Для решения задачи минимизации гамильтониана (1) с дискретным описанием спина был предложен следующий алгоритм

Алгоритм 1

1 локализация области {£1. (у,г), при которых |(0^/ю„|>5}, 5<0 25,

2 нахождение первого приближения к минимуму методом Монте-Карло,

3 корректировка полученного значения минимума гамильтониана (1) путем полного перебора конфигураций спинов, принадлежащих £1

Локализация £2 происходила на основе поиска положений экстремумов (Лек/- Для двух простых случаев деформации решетки краевой дислокации с вектором Бюргерса, параллельным оси (оу), и клиновой дисклинации было показано, что в случае одноосного ферромагнетика в качестве области О может быть выбран прямоугольник, содержащий замкнутый контур (В\ - Вз)в}У + Вгг1г + = 0, соответствующий энергетически невыгодным состояниям спинов с у = п/4 Для определения энергетически невыгодных

состояний магнитнои системы использовались методы, разработанные В В Николаевым, А П Танкеевым.

Для кубического ферромагнетика в связи с отсутствием явного аналитического выражения для оценки энергетически невыгодных состояний спинов при тех же видах деформации применялся другой подход, в котором сначала оценивалась плотность энергии обмена с ближайшими соседями шн для задачи без дефектов, а затем осуществлялось решение системы

соо(Ч'О.г)) + ати($(у,г),у,2)

>5,

(3)

В\ (Егг - еуу)^!^ = ВгЪуг + К\ 8Ц12у, относительно переменных (у, г), и тем самым определялась область П .

а

1-1-1 1-1 1-М1М1 Г М М 1 1 - 1 ! 1' "1 М V М

М(Н1М М \ М и п а т м 1 ^ V * 11

г П 1 Л^-гчЛ. \ V"! V-!

1-} / М \ 1-1-1-1 ¡- 1 Г т 1-1 ¿--М 1 1-М-1 М 1 М 1 Г1 1 1 1-1 1-1 1 М.1-1 1 1-1 1 1 1 1 1*1

шшш

<« 12 11 4

в 10 11 и

Рисунок 2 - Решение задачи минимизации для кубического ферромагнетика а - модель (1) с непрерывным описанием спина, б - модель (1) с дискретным описанием спина

В третьей части главы приведены результаты численных расчетов локальных полей намагниченности, проводимых на основе модели (1) при температурах порядка 300аК для всех рассмотренных ранее видов деформации Исследованы форма, расположение и размер полученных областей изменения локальной намагниченности (рис 2), рассмотрена задача суперпозиции полей при сближении двух локальных дефектов Показано, что при рассмотрении задачи о суперпозиции обменные взаимодействия оказывают большое влияние на форму и размер зародышей магнитных доменов

В третьей главе приведены результаты исследований температурной и полевой зависимости модели (1) с дискретным описанием спина Вначале на примере железа с помощью программы, разработанной на основе алгоритма 1, были исследованы системы Ь*Ь, 1=32, 64,128 с учетом и без учета искажения кристаллической структуры, вызванного краевыми дислокациями В результате тестирования было получено, что 1) дефектность структуры приводит к увеличению числа доменов, следовательно, к изменению локальной намагниченности в области дефекта, 2) наличие деформации структуры магнетика приводит к сдвигу точки Кюри в область более низких температур, 3) учет

упругопластических деформаций приводит к увеличению коэрцитивной силы и изменению формы петли гистерезиса То есть, верификация модели показала, что результаты численных экспериментов, подтверждены известными фактами теории магнетизма

Было выполнено сравнение результатов, выдаваемых программой, с экспериментальными данными Поскольку предлагаемая в работе модель не рассматривала структурные перестановки и сдвиг доменной границы под влиянием высокой температуры, для сравнения был выбран N1, точка Кюри которого (621°К) значительно меньше температуры плавления (\121°К)

Для N1 была проведена оценка изменения намагниченности при Т< Тс в различных случаях распределения деформаций в случаях простых дислокационных стенок, имитирующих границу зерна, в случае стохастического расположения дислокаций, в случае поликристалла, состоящего из зерен квадратной формы Показано, чю среди моделей с регулярным расположением дислокаций модель с квадратными зернами энергетически наиболее выгодна

На рис 3 представлены результаты расчетов средней на спин намагниченности для двух модельных кристаллов для поликристалла, состоящего из зерен квадратной формы с двумя ортогональными системами дислокационных стенок с одинаковой средней плотностью, и для идеального монокристалла Кривая 1 получена для поликристалла с размерами зерен 100/ш и плотностью дислокаций р = 10ис.и~2 Такие размеры зерен и плотность дислокаций характерны для субмикрокристаллического (СМК) состояния N1 Кривая 2 была получена для идеального монокристалла размерами 1 мкм Кривая 1 отражает снижение намагниченности насыщения при Т= 300°К на 4 8%

<м

ЗЛ 4Ю ЗЮ 600

1 - модель поликристалла

2 - модель монокристалла

OU_1—1-1-1-I I Ч I

>00 too 100 (00 700 4*1 ——

1 - субыикрокристаллическое состояние

2 - крупнозернистое состояние

Рисунок 3 - Средняя на спин

намагниченность, численно рассчитанная для N1

насыщения, измеренная в ходе

Рисунок 4 - Намагниченность

эксперимента

На рис 4 приведены результаты исследования никеля чистотой 99 99%, подвергнутого деформации на наковальнях Бриджмена при комнатной температуре под давлением 6 ГП (эксперимент описан в работах X Я. Мулюхова,

Г, Ф Корзниковой) Кривая 1 записана для СМК состояния № сразу после деформации Кривая 2 соответствует крупнозернистому состоянию N1 При комнатной температуре величина намагниченности насыщения в СМК состоянии на 5% меньше ее значения в крупнозернистом состоянии Начиная примерно с 500 °К, обе кривые совпадают

Был установлен температурный диапазон применимости модели (1) к N1 технической чистоты Для N1 99 95% он составил 300-453 °К, для N1 99 99% 300^00 °К

В четвертой главе проводилось исследование уравнений динамики магнитного момента с помощью методов теории нелинейной динамики Уравнения, описывающие динамику намагниченности в анизотропном ферромагнетике с дислокацией под воздействием внешнего магнитного поля, имели вид

где у = 2 Цб/й, \1Ь - магнетон Бора, Й - постоянная Планка, а = а>а + соти - суммарная плотность энергии анизотропии, магнитоуп-ругих связей и взаимодействия с внешним полем (см табл. 1)

Константы анизотропии и магнитоупругой связи, входящие в суммарную плотность и„ + (оти, являлись температурозависимыми параметрами, а величина внешнего магнитного поля могла изменяться со временем Поэтому к задаче (4) были добавлены уравнения, выражающие зависимость температуры Т и поля Я от времени

где е - малый параметр, величина которого не превышает значения частоты магнитного резонанса, с - промежуток времени, в течение которого величина Н сохраняет знак - полупериод функции #(?)

Рассматривались двухмерные задачи, записанные для плоскости (>>02) Схема исследований содержала следующие этапы

1 Оценивалось влияние дефектности структуры на решение (4) Проводилась линеаризация системы (4) в окрестности неподвижных точек ((¡Х>,г), 0=тс/2) Было показано, что матрица коэффициентов рассматриваемой линеаризованной системы имеет всего два вида собственных значений либо вещественные разных знаков, либо чисто мнимые Таким образом, каждой точке (у, г) рассматриваемой пространственной области соответствует некото-

ч1п Р) А = ^

(4)

Н =

Т = вАГ,

Ге[0,0 5с/в]и[1 5с/е, 2.5с/е], ~2гНша/с, /е(0 5с/е, 1 5с/е),

(5)

(6)

рое количество неподвижных точек (4 точки в случае одноосного ферромагнетика, от 4 до 9 точек в случае кубического ферромагнетика), каждая из которых имеет тип «центр» или «седло».

Для одноосного ферромагнетика было получено следующее условие, определяющее возможность чередования типов неподвижных точек при фиксированных (у, г), Т, Н=0:

В&уг

пусть а =

если

(В1 - В3)е>у + В2е22 + Кг

[3 = (/?! + В3)£}у + В2£г2 + К\

¿?4£угл/1

4-ОГ

ют тип «центр»; • если !д4еу2 л/1

+ а2/а

> с , то все четыре неподвижные точки име-

<|б|, то последовательность неподвижных то-

чек имеет чередующийся характер: «седло-центр-седло-центр» или «цешпр-седло-центр-седло».

На основе приведенного выше условия были найдены значения (у, £), при которых решение системы (4) устойчиво в окрестности всех неподвижных точек (то есть все неподвижные точки имеют тип «центр») и значения (у, г), при которых наблюдается хаотичное поведение решения (чередование типов «центр-седло»). Было установлено, что область хаотизации решения находится внутри замкнутого контура (В\ - Вз)еуу + Впг?, + К\ = 0 . Именно в этой области согласно результатам численного моделирования наблюдается наиболее сильное отклонение векторов локальной намагниченности от преимущественного направления.

Трч •

хаос , , * * ; * хаос *

хаос «§§34 | "Щ; »»ос г V/': *?.**.$•* » Л 1» * ^ппшигиир^ •

седла "центры"

-4 -¡г" (Г г

шш?»

! ЯШШ ШШ

НИИг 1У

-з

Рисунок 5 - Качественное поведение Рисунок 6 - Область О (Т - 0.3ТС ) решения (4) (Т = 0.3ТС)

Аналогично для кубического кристалла при фиксированных (у, т), Т, и Н= 0 были получены следующие условия:

пусть X = —(е22 - е-,у)со5 2ф -Щ-гуг 5т2ф- 2вт2 2\|/ ,с, = —(гуу + е22) К. 1 * К\ К\

• если <;>0 или -1<д<0, то все точки (у, я/2), при которых -1 < X < с; - «седла», остальные - «центры»;

• если с, < -1, то все точки (и/, тс/2), при которых д < X < -1 - «седла», остальные - «центры».

Из рис. 5 хорошо видно, что область с седловой неустойчивостью решения (6) сосредоточена внутри прямоугольника (у, г) е [-6,6] х [-5,5}, так же, как и область всплеска энергии дефекта, найденная из условия (3) (рис 6) Таким образом, было показано, что метод определения седловых точек можно использовать для локализации области О в алгоритме 1.

2. Исследовалось влияние температуры на динамику локальной намагниченности Для примера железа было показано, что рост отношений модулей \B\IK\ |, | В2! | при приближении температуры к точке Кюри приводит к расширению зон с седловой неустойчивостью решения системы (4), (5)

Было установлено, что при низких температурах (0<Т<0 ЗТС) зона неустойчивости решения (4), (5) располагается в непосредственной близости дефекта и занимает сравнительно небольшую часть рассматриваемого объема Распределение спинов, построенное с помощью модели (1) в том же диапазоне температур отражает отклонение небольшого количества спинов из окрестности дефекта от преобладающего направления (образование зародыша домена) Значение удельной намагниченности максимально

При постепенном повышении температуры энергия обмена ослабевает, группа спинов с противоположной направленностью увеличивается. Удельная намагниченность падает Этот же результат показывают и исследования, проводимые методами нелинейной динамики, зона неустойчивости решения (4), (5) расширяется При температуре Т= О 55ТС эта зона увеличивается уже более, чем в 2 раза от первоначальной Начиная с 74) 8Г„ область неустойчивости решения (6), (7) увеличивается примерно в 4 раза, в поведении спинов наблюдается хаос, а удельная намагниченность стремится к нулю

Таким образом, было показано, что исследования (4), (5), проводимые методами нелинейной динамики, адекватно описывают процесс размагничивания материала при повышении внешней температуры

3 Исследовалась зависимость динамики локальной намагниченности внешнего магнитного поля Н

Для случая постоянного, отличного от нуля, внешнего поля было построено асимптотическое решение системы (4), и определен вид устойчивости этого решения На примере одноосного ферромагнетика было показано, что при Н 0 асимптотическое решение со временем становится неустойчивым, благодаря появлению резонансных слагаемых в уравнениях для третьего члена асимптотического разложения, а при Н —> со асимптотическое решение устойчиво в любой точке рассматриваемого объема

Рассматривался случай периодического внешнего поля с направляющим вектором ц = (0, эшр, собР), ре [-л/2, Зя/2] и модулем, изменяющимся согласно (6) Было установлено, что в этом случае линейное приближение системы (4), записанное как дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной представляет собой уравнение Хилла Для полученного линейного уравнения была построена диаграмма устойчивости решения в зависимости от;;, г, е, Я и полупериода с Согласно диаграмме решение устойчиво в случае, когда с -» О только в тех в областях (у, г), где все неподвижные

точки (у, 9) системы (4) имеют тип «центр» Если с не стремится к нулю, а

е «1, то решение неустойчиво во всей рассматриваемой области изменения координат

4 Исследовалось явление затягивания потери устойчивости при переходе пары собственных значений матрицы линеаризованной системы, составленной для (4), (6), через мнимую ось Суть явления состояла в том, что фактический уход фазовой точки от потерявшего устойчивость положения равновесия происходил не сразу после потери устойчивости, а спустя некоторое время

(~1/^е|1пе| ), за которое параметр Я успевал измениться на конечную величину Явление затягивания потери устойчивости иллюстрирует проявление эффекта Баркгаузена, а именно процесс намагничивания происходит неравномерно, скачками

5 Гистерезис Рассматривалась система (4), дополненная уравнением Я = бДЯ, с начальными условиями в точке (уо,9о) Наряду с предыдущей

системой, рассматривалась система (4), дополненная уравнением Я = -еДЯ . Численно было показано, что эволюция фазовой точки второй системы не сводится к эволюции фазовой точки первой с помощью обращения времени - наблюдается гистерезис

Схема исследований дифференциальных уравнений вида (4), (5) или (4), (6), построенная по принципу выявления областей устойчивости и неустойчивости решения позволяет наблюдать те же эффекты, что и непосредственно численное моделирование изменения намагниченности Плюсом данной схемы является то, что основные расчеты проводятся аналитически

В заключении сформулированы основные результаты и выводы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе предложена новая математическая модель, описывающая анизотропный ферромагнетик с упругопластической деформацией структуры В модельном гамильтониане ферромагнетика учтены нелокальные члены, отвечающие анизотропии намагниченности при внесении в

кристаллическую структуру локальных дефектов (локальных напряжений) На основе предложенной модели разработаны алгоритмы и комплекс программ для проведения численных расчетов полей локальной намагниченности и основных магнитных характеристик системы в процессе изменения температурного и полевого режима С помощью разработанного комплекса программ были получены следующие результаты

1 Было установлено, что учет слагаемых со0, ют„ в модельном гамильтониане приводит к возникновению областей, где локальная намагниченность, отличается от преобладающего направления Этот эффект отражает процесс зарождения магнитных доменов

2 При тестировании модели на примерах ферромагнетиков с низкой температурой Кюри и высокой температурой плавления было получено, что наличие дефектов структуры вызывает снижение самопроизвольной намагниченности за счет увеличения числа магнитных доменов, сдвиг точки Кюри в область более низких температур, увеличение коэрцитивной силы и изменение формы петли гистерезиса То есть, верификация модели показала, что результаты численных экспериментов, подтверждены известными фактами теории магнетизма

3 Для N1 было проведено сравнение расчетных данных с результатами эксперимента Магнитные характеристики модели поликристалла, состоящего из зерен квадратной формы размерами 100/ш, с плотностью дислокаций р= 10йсм'2, сравнивались с данными, полученными для СМК состояния № 99 99% при 300-400 °К Было показано, что при указанных ограничениях численные расчеты и эксперимент совпадают

4 Было показано, что на предварительном этапе моделирования ферромагнетика с деформированной структурой могут быть использованы аналитические методы теории нелинейной динамики для определения диапазонов значений управляющих параметров модели (координатных направлений, температуры и внешнего магнитного поля), в которых энергия, создаваемая дефектом, вносит существенный вклад, а решение обладает требуемыми свойствами

Полученные результаты определяют пригодность модели для расчета магнитных характеристик анизотропного ферромагнетика с дефектами структуры при значениях температуры и внешнего магнитного поля, не вызывающих изменения структурного состояния и снижения внутренних напряжений материала

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Работы, опубликованные в изданиях из перечня ВАК

1 Реализация модели Изинга для магнетиков в случае слабого топологического беспорядка / О В Емченко, С А Маякова // Вестник УГАТУ, 2004 Т 5 №2(10) С 67-73

2 Устойчивость и бифуркации в динамических системах, описывающих ферромагнетики с упругопластическими деформациями /О В Емчен-ко, С. А Маякова//Вестник УГАТУ, 2006 Т7 №2(15) С 44-50

3 Моделирование процесса изменения локальной намагниченности под воздействием внешнего поля и температуры / С А. Маякова // Вестник УГАТУ, 2007 Т.9 № 5(23) С 93-100

4 Параллельная реализация модели Изинга для ферромагнетика с дефектной структурой /О В Емченко, С А Маякова, К И Михайленко // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004 Т 11 № 4 С 880

5 Фазовые переходы в двумерной модели Изинга для ферромагнетика с дефектной структурой / О В Емченко, С А Маякова / Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005 Т 12 №2 С 361

Работы, опубликованные в других изданиях

1 Локальная магнитная анизотропия ферромагнетиков со слабым топологическим беспорядком / О В Емченко, С. А Маякова // Новые программные средства для предприятий Урала Материалы третьей региональной научно-технической конференции 21 -22 декабря 2004 г С 167-171

2 Модель Изинга для магнетика в случае слабого топологического беспорядка / О В. Емченко, С А Маякова, К И Михайленко // Современные проблемы физики и математики Труды всероссийской конференции (1617 сентября 2004г, г Стерлитамак) Уфа Гилем, 2004 Т 1 С 224-228

3 Параллельная реализация модели Изинга для магнетика в случае слабого топологического беспорядка / О В. Емченко, С А Маякова, К И. Михайленко // Тр Матем центра им НИ Лобачевского Т28 Модели механики сплошной среды Материалы XVII сессии Межд школы по моделям механики сплошной среды, Казань, 4-10 июля 2004 г Казань Изд-во Казан матем об-ва, 2004. С 78-81

4 Стохастическое моделирование критического поведения неупорядоченной трехмерной модели Изинга. Параллельная реализация /О В Емченко, С А Маякова, К И Михайленко // Актуальные проблемы математики Мат модели современного естествознания межвуз сборник Изд-во УГАТУ, 2004 С 127-130

5. Применение методов теории хаотизацш к уравнениям, описывающим динамику намагниченности под воздействием внешнего поля и температуры / С. А Маякова // Мавшотовские чтения сб трудов Всероссийской молодежной научной конференции Уфа, 2007 Т 5 С 58-60

6 Влияние анизотропии и магнито-упругих взаимодействий на динамику модели никеля / С А Маякова // Интеллектуальные системы обработки информации и управления сб статей 2-ой региональной зимней школы-семинара аспирантов и молодых ученых (13-17 февраля 2007 г) Уфа Издательство «Технология», 2007 Т 1. С 293-298

МАЖОВА СВЕТЛАНА АЛЕКСЕЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ МАГНИТНОЙ АНИЗОТРОПИИ

В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ С УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИЕЙ

Специальность 05 13 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 19.08.2008. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме Усл. печ л. 1,0 Усл. кр -отг 1,0. Уч-изд. л 0,9 Тираж 100 экз Заказ № 307

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул К Маркса, 12

ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1 АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МОДЕЛЕЙ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1 Ферромагнитный порядок и явление магнитокристаллической анизотропии. Магнитные домены.

1.2 Процесс намагничивания.

1.2.1 Термодинамическая теория магнитных превращений. Фазовые переходы 2-ого рода.

1.2.2 Применение нелинейной динамики и теории катастроф к теории фазовых переходов.

1.2.3 Гистерезис.

1.2.4 Уравнение движения магнитного момента.

1.3 Обзор основных моделей.

1.3.1 Модель Изинга.

1.3.1.1 Решение двумерной задачи Изинга, данное Онзагером.

1.3.2 Модель Гейзенберга.

1.3.3 Современные исследования в области моделирования свойств ферромагнитных материалов.

Актуальность темы. Магнитные свойства материалов благодаря своей практической значимости занимают одну из ведущих позиций среди наблюдаемых в ходе экспериментов физических свойств.

При конструктивном рассмотрении магнитных явлений не обойтись без системы математических моделей. При построении таких моделей, по-видимому, следует руководствоваться следующим тезисом. "Если, вы можете предложить математическую модель, алгоритм, компьютерную программу, позволяющую воспроизвести с достаточной точностью наблюдаемое в эксперименте явление в достаточно широком диапазоне внешних параметров, и эта модель не будет противоречить установленным физико-химическим законам, то вы понимаете это явление. Если вы не в состоянии построить удовлетворительную модель, то это означает, что у вас нет полного понимания явления". Сформулированный принцип призывает извлекать фундаментальные знания о системе и находить пути эффективного управления для достижения принципиально реализуемых целей.

В классической теории магнетизма для исследования отклика магнитной системы на воздействие внешнего магнитного поля и температурного отжига применяются либо методы теории фазовых переходов, основанные на разложении термодинамического потенциала в ряд по четным степеням параметра порядка, либо прямое решение уравнений динамики магнитного момента, предложенных Ландау еще в 30-х гг. XX века. Каждый из этих подходов имеет как свои преимущества, так и существенные недостатки.

С одной стороны, теория фазовых переходов удобна тем, что в результате ее применения можно получить представление о процессах, протекающих в магнетике в асимптотическом приближении, и плоха тем, что разложение термодинамического потенциала в ряд возможно лишь в узком диапазоне изменения температуры и внешнего магнитного поля.

С другой стороны, непосредственное решение уравнений Ландау довольно трудоемкий процесс, поскольку эти уравнения содержат помимо временной производной нелинейные слагаемые, отражающие неоднородный обмен рассматриваемого иона с окружающими его соседними частицами.

Бурное развитие современных высокопроизводительных вычислительных систем дает возможность создания нового подхода: проведения численных экспериментов, связанных с изучением свойств ферромагнитных систем, состоящих из нескольких тысяч частиц. Поэтому комплексное исследование ферромагнитных систем, проводимое методами численного моделирования, методами теории фазовых переходов, а также с помощью методов нелинейной динамики является актуальной задачей. Этот подход дает наиболее полное представление об адекватности модели, а также помогает лучше понять некоторые процессы и явления, протекающие в ферромагнитных веществах.

Цель работы. Построение математической модели, адекватно описывающей анизотропный ферромагнетик с упругопластической деформацией структуры, качественно отражающей наблюдаемые в ферромагнетике эффекты изменения поля локальной намагниченности.

Поставленная цель достигается в результате решения следующих задач:

1. Учет в модельном гамильтониане взаимодействий, отвечающих магнитной анизотропии и упругопластической деформации структуры магнетика. Оценка изменения положений экстремумов эффективной энергии магнитной анизотропии при наличии полей неоднородных внутренних деформаций.

2. Оценка сходимости методов минимизации модельного гамильтониана.

3. Разработка алгоритмов и комплекса программ, позволяющих проводить численные расчеты свойств ферромагнитных материалов на базе предложенной модели.

4. Верификация модели:

• проверка непротиворечивости результатов вычислительного эксперимента основным законам классической теории магнетизма;

• сравнение результатов численного моделирования с данными натурного эксперимента на примерах конкретных ферромагнитных материалов.

5. Разработка методов предварительного аналитического анализа модели на основании результатов применения теории хаотизации и нелинейной динамики к решаемой задаче.

Методы исследования. Для разностороннего исследования магнитной системы применялись как методы статистического моделирования, в частности метод Монте-Карло, так и методы, основанные на детерминистическом подходе. К последним относятся методы исследования системы дифференциальных уравнений, описывающих ферромагнетик, предлагаемые нелинейной динамикой: анализ устойчивости и поведения решения вблизи неподвижных точек, исследование бифуркаций и рождения предельных циклов.

На защиту выносятся:

1. Новая математическая модель, описывающая анизотропный ферромагнетик с упругопластической деформацией структуры, позволяющая наблюдать изменение локальной намагниченности в окрестности дефекта, сдвиг критической температуры фазового перехода, увеличение коэрцитивной силы.

2. Численная схема и комплекс программ для проведения расчетов полей локальной намагниченности и основных магнитных характеристик ферромагнетика в процессе изменения температурного и полевого режима.

3. Методы предварительного аналитического анализа модели, основанные на применении теории хаотизации и нелинейной динамики к решаемой задаче с целью выделения областей качественно различных решений и выбора метода решения задачи в этих областях.

4. Новые качественные и количественные результаты исследований модели методами нелинейной динамики:

• определение областей зарождения магнитных доменов как областей пространства с неустойчивым и хаотическим поведением решения уравнений динамики магнитного момента;

• определение диапазонов изменения внешнего магнитного поля и температуры, при которых ферромагнетик обладает требуемыми свойствами;

• объяснение явления магнитного гистерезиса и скачков Баркгаузена с помощью анализа устойчивости асимптотического решения уравнений динамики магнитного момента.

Научная новизна

1. Предложена новая математическая модель, описывающая анизотропный ферромагнетик с упругопластической деформацией структуры, позволяющая наблюдать:

• изменение локальной намагниченности в окрестности дефекта,

• сдвиг критической температуры фазового перехода,

• увеличение коэрцитивной силы, вызванное внесением дефектов в кристаллическую структуру.

2. Предложена новая область применения метода определения положений экстремумов эффективной энергии магнитной анизотропии при наличии внутренних деформаций структуры, разработанного В. В. Николаевым, А. П. Танкеевым, к задачам моделирования ферромагнитных материалов с локальными дефектами методом Монте-Карло.

3. Для определения областей зарождения доменов, совпадающих с областями устойчивого решения, и допустимых диапазонов значений управляющих параметров модели, применен нестандартный для теории магнетизма подход (теория нелинейной динамики).

Теоретическая и практическая значимость. Разработанный метод позволяет объяснить такие эффекты магнетизма, как зарождение магнитных доменов, критическое поведение намагниченности и магнитной восприимчивости в области фазовых переходов, возникновение скачков Баркгаузена. Выявлены диапазоны изменения параметров модели ферромагнетика с локальными дефектами структуры, определяющие пригодность работы модели в заданном диапазоне свойств.

Достоверность результатов диссертационной работы обоснована использованием общих законов и уравнений теории магнетизма и согласованием полученных решений в частных случаях с результатами, известными из литературы, а также с экспериментальными данными других исследователей. Корректность численной схемы обусловлена проверкой ее сходимости. Достоверность полученных численных решений - сравнением с аналитическими решениями в случаях, когда последние могут быть найдены.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы и четырех приложений, в которых приведены блок-схемы и листинги разработанных программ. Общий объем диссертации 212 страниц, основной текст изложен на 172 страницах. Диссертация содержит 83 рисунка и 2 таблицы. Список литературы включает 95 наименований.

4.8 Основные результаты и выводы

В четвертой главе разработан экспресс-подход, основанный на приближенных аналитических методах исследования дифференциальных уравнений и теории хаотизации, предназначенный для использования на предварительном этапе моделирования с целью выделения областей качественно различных решений и выбора метода решения задачи в этих областях. Основные результаты, полученные с помощью разработанного подхода:

• Проведена классификация типов устойчивости асимптотического решения уравнений динамики намагниченности при постоянной температуре и нулевом внешнем поле. Установлено, что каждой точке координатной плоскости соответствует некоторое количество неподвижных точек (4 точки в случае одноосного ферромагнетика, от 4 до 9 точек в случае кубического ферромагнетика), в окрестности каждой из которых асимптотическое решение имеет тип устойчивости «центр» или «седло».

• Показано, что для определения областей, где энергия дефекта вносит существенный вклад, нарушаются условия сходимости, определяемые теоремой 2, возникают зародыши магнитных доменов, могут использоваться методы нелинейной динамики. Суть методов состоит в определении точек пространства, в которых решение динамической системы, описывающей поведение спина, в окрестности каждой из неподвижных точек характеризуется седловой неустойчивостью.

• Проведено исследование влияния температуры на изменение качественного поведения асимптотического решения уравнений динамики магнитного момента при нулевом внешнем поле. Выявлено, что при повышении температуры области не устойчивости решения расширяются, причем, интенсивнее всего это происходит в зоне дефекта. Отсюда следуют эффекты падения самопроизвольной намагниченности и сдвига температуры Кюри, возникающие при численном моделировании.

• Исследовано влияние постоянного и переменного внешнего магнитного поля на асимптотическое решение уравнений динамики магнитного момента при постоянной температуре. Установлен диапазон изменения периода внешнего магнитного поля, в пределах которого асимптотическое решение остается устойчивым.

• Исследовано явление затягивания потери устойчивости решения уравнений динамики магнитного момента под воздействием внешнего магнитного поля. Выявлены особенности поведения решения, приводящие к эффекту Барк-гаузена и магнитному гистерезису.

162

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В завершение кратко приведем основные результаты и выводы, полученные в данной работе.

В диссертационной работе предложена новая математическая модель, описывающая анизотропный ферромагнетик с упругопластической деформацией структуры. В модельном гамильтониане ферромагнетика учтены нелокальные члены, отвечающие анизотропии намагниченности при внесении в кристаллическую структуру локальных дефектов (локальных напряжений). На основе предложенной модели разработаны алгоритмы и комплекс программ для проведения численных расчетов полей локальной намагниченности и основных магнитных характеристик системы в процессе изменения температурного и полевого режима. С помощью разработанного комплекса программ были получены следующие результаты.

1. Было установлено, что учет слагаемых соа, comu в модельном гамильтониане приводит к возникновению областей, где локальная намагниченность, отличается от преобладающего направления. Этот эффект отражает процесс зарождения магнитных доменов.

2. При тестировании модели на примерах ферромагнетиков с низкой температурой Кюри и высокой температурой плавления было получено, что наличие дефектов структуры вызывает снижение самопроизвольной намагниченности за счет увеличения числа магнитных доменов, сдвиг точки Кюри в область более низких температур, увеличение коэрцитивной силы и изменение формы петли гистерезиса. То есть, верификация модели показала, что результаты численных экспериментов, подтверждены известными фактами теории магнетизма.

3. Для Ni было проведено сравнение расчетных данных с результатами эксперимента. Магнитные характеристики модели поликристалла, состоящего из зерен квадратной формы размерами 100нм, с плотностью дислокаций р = 10пслГ2, сравнивались с данными, полученными для СМК состояния Ni

99.99% при 300-400 К. Было показано, что при указанных ограничениях численные расчеты и эксперимент совпадают.

4. Было показано, что на предварительном этапе моделирования ферромагнетика с деформированной структурой могут быть использованы аналитические методы теории нелинейной динамики для определения диапазонов значений управляющих параметров модели (координатных направлений, температуры и внешнего магнитного поля), в которых энергия, создаваемая дефектом, вносит существенный вклад, а решение обладает требуемыми свойствами.

Полученные результаты определяют пригодность модели для расчета магнитных характеристик анизотропного ферромагнетика с дефектами структуры при значениях температуры и внешнего магнитного поля, не вызывающих изменения структурного состояния и снижения внутренних напряжений материала.

1. Анищеико, В. С. Знакомство с нелинейной динамикой / В. С. Анищен-ко. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 144 с.

2. Арнольд, В. И. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд,

3. B. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко и др. М.: ВИНИТИ, 1986. 218 с.

4. Ахиезер, А. И. Методы статистической физики / А. И. Ахиезер,

5. C. В. Петлеминский. М.: Наука, 1977. 367 с.

6. Базаров, И. П. Термодинамика / И. П. Базаров. М.: Высшая школа, 1976. 121с.

7. Белов, К. П. Магнитные превращения / К. П. Белов. М.: Физматлит, 1959. 260 с.

8. Белов, К. П. Ферромагнетики и антиферромагнетики вблизи точки Кюри / К. П. Белов // УФН, 1958. Т. LXV. Вып. 25. С. 207-256.

9. Биндер, К. Методы Монте-Карло в статистической физике / К. Бин-дер. М.: Мир, 1982. 20 с.

10. Бозорт, Р. Ферромагнетизм / Р. Бозорт. М.: Изд-во иностранной литературы, 1956. 784 с.

11. Браун, У. Ф. Микромагнетизм / У. Ф. Браун. М.: Наука, 1979. 180 с.

12. Бриллюэн, Л. Распространение волн в периодических структурах / Л. Бриллюэн. М.: Иностр. лит-ра, 1959. 457 с.

13. Валиев, Р. 3. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией / Р. 3. Валиев, И. В. Александров. М.: Логос, 2000. 272 с.

14. Вентцель, Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения /Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. М.: Наука, 1991. 132 с.

15. Вонсовский, С. В. Магнетизм. Магнитные свойства диа-, пара-, фер-ро-, антиферро- и ферримагнетиков / С. В. Вонсовский. М.: Наука, 1971. 1032 с.

16. Вонсовский, С. В. Динамические и кинетические свойства магнетиков / С. В. Вонсовский. М.: Наука, 1986. 246 с.

17. Ганн, В. В. Распределение намагниченности в одноосных и кубических ферромагнетик, содержащих дислокации / В. В. Ганн, Э. П. Фельдман // ФТТ, 1976. Т.2. №1. С. 30-36.

18. Гулд, X. Компьютерное моделирование в физике, т.2 / X. Гулд, Я. Тобочник. М.: Мир. 1990. 352с.

19. Диченко, А. Б. О возникновении особых линий в распределении намагниченности одноосного ферромагнетика с дислокацией / А. Б. Диченко, В. В. Николаев II ЖЭТФ, 1982. Т.82. №4. С. 1230-1233.

20. Диченко, А. Б. Локальное изменение констант магнитной анизотропии, обусловленное линейными дефектами / А. Б. Диченко, В. В. Николаев,

21. A. П. Танкеев // ФММ, 1978. Т.45. №5. С.958-967.

22. Диченко, А. Б. О распределении осей легкого намагничивания вблизи краевой дислокации в кубическом ферромагнетике / А. Б. Диченко,

23. B. В. Николаев // ФММ, 1979. Т.48. №6. С. 1173-1179.

24. Емченко, О. В. Параллельная реализация модели Изинга для ферромагнетика с дефектной структурой / О. В. Емченко, С. А. Маякова, К. И. Михайленко // ОПиПМ, 2004. Т.П. Выпуск 4. С.880.

25. Емченко, О. В. Реализация модели Изинга для магнетиков в случае слабого топологического беспорядка / О. В. Емченко, С. А. Маякова // Вестник УГАТУ, 2004. Т.5. №2(10). С.67-73.

26. Емченко, О. В. Устойчивость и бифуркации в динамических системах, описывающих ферромагнетики с упругопластическими деформациями / О. В. Емченко, С. А. Маякова //Вестник УГАТУ, 2006. Т.7. №2(15). С.44-50.

27. Емченко, О. В. Фазовые переходы в двумерной модели Изинга для ферромагнетика с дефектной структур / О. В. Емченко, С. А. Маякова //ОПиПМ, 2005. Т.12. Выпуск 2. С.361.

28. Зайкова, В.А. Доменная структура и магнитные свойства электротехнических сталей / В.А. Зайкова, И. Е. Старцева, Б. Н. Филлипов. М.: Наука, 1992. 272 с.

29. Займан, Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем / Дж. Займан. М.: Мир, 1982. 592 с.

30. Изюмов, Ю. А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. / Ю.А. Изюмов, В. Н. Сыромятников. М.: Наука, 1984. 248 с.

31. Каганов, М. И. Природа магнетизма / М. И. Каганов, В. М. Цукерник. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. 192 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 16)

32. Камилов, И. К. Исследование фрустированной модели Гейзенберга методами Монте-Карло / И. К. Камилов, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов// «Новые магнитные материалы микроэлектроники»: Сб. тр. XX международной школы-семинара, 2006. Москва. С. 629-630.

33. Камилов, И. К. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сложных решеточных моделей / И. К. Камилов, А. К. Муртазаев, М.А.Магомедов // ЖЭТФ, 2001. Вып. 120, С. 1535-1544.

34. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 792 с.

35. Корзников, А. В. Эволюция структур нанокристаллического Ni при нагреве / А. В. Корзников, Г. Ф. Корзникова, М. М. Мышаев и др. // ФММ, 1997. Т. 84. №4. С. 133-139.

36. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика, т.5. Статистическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Физматлит, 2001. 536 с.

37. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика, т.2. Теория поля. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1973. 504с.

38. Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Теория конденсированного состояния / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 449 с.

39. Лихачев, В. А. Введение в теорию дисклинаций / В.А.Лихачев, Р. Ю. Хайров. Л.: ЛГУ, 1975. 183 с.

40. Магнус, К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем/К. Магнус. М.: Мир, 1982. 304 с.

41. Маякова, С. А. Моделирование процесса изменения локальной намагниченности под воздействием внешнего поля и температуры / С. А. Маякова // Вестник УГАТУ, 2007г. Т.9. № 5(23). С. 93-100.

42. Меньшенин, В. В. Магнитоупругое взаимодействие в пространственно неупорядоченном ферромагнетике с большим количеством дефектов / В. В. Меньшенин// ФТТ, 1998. Т. 40. №11. С. 2095-2100.

43. Мулюков, X. Я. Температурная зависимость намагниченности насыщения никеля с субмикрокристаллической структурой / X. Я. Мулюков, Г. Ф. Корзникова, И. 3. Шарипов // Мировое сообщество: проблемы и пути решения, 1999. №3. С. 106-113.

44. Муравьев, В.А., Воробьев В.М., Гаревский А.С. Микрокинетика модели Изинга- Глаубера в бинарном приближении / В. А. Муравьев, В. М. Воробьев, А. С. Гаревский // ФТТ, 1998. Т.40. №3. С. 519-523.

45. Муртазаев, А. К. Применение методов Монте-Карло к исследованию модели ортоферрита иттрия / А. К. Муртазаев, Ж. Г. Ибаев, Я. К. Абуев //

46. Магнитные материалы»: Сб. тр. II байкальской международной конференции, 2003. Иркутск. С. 87-89.

47. Муртазаев, А. К. Исследование динамического критического поведения моделей ферромагнитного гадолиния / А. К. Муртазаев, В. А. Мутайламов // ЖЭТФ, 2005. Вып. 128 С. 344-353.

48. Муртазаев, А. К. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке / А. К. Муртазаев, И. К. Камилов, А. Б. Бабаев // ЖЭТФ, 2004. Вып. 126. С. 1377-1387.

49. Найфэ, А. X. Введение в методы возмущений / А. X. Найфэ. М.: Мир, 1984. 535 с.

50. Нейштадт, А. И. Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось. / А. И. Нейштадт. Успехи мат. наук, 1985. Т.40. Вып. 5. С. 190-191.

51. Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт. М.: Мир, 1980. 607 с.

52. Прудников, В. В. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга / В. В. Прудников, П. В. Прудников, А. Н. Цакилов и др. //ЖЭТФ, 2007. Вып. 132. С.417-426.

53. Садовский, М. В. Лекции по статистической физике / М. В. Садовский. Москва-Ижевск: институт компьютерных исследований, 2003. 336 с.

54. Синай, Я. Г. Теория фазовых переходов / Я. Г. Синай. Ижевск: РХД, 2002. 208 с.

55. Тикадзуми, С. Физика ферромагнетизма. Магнитные свойства вещества / С. Тикадзуми. М: Мир, 1983. 304 с.

56. Тикадзуми, С. Физика ферромагнетизма. Магнитные характеристики и практическое применение / С. Тикадзуми. М: Мир, 1987. 419 с.

57. Хеерман, Д. В. Методы компьютерного моделирования в теоретической физике / Д. В. Хеерман. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 176 с.

58. Хирт, Дж. Теория дислокаций / Дж. Хирт, И. Лоте. М.: Атомиздат, 1972. 599 с.

59. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. М.: Мир, 1964. 480 с.

60. Шейхет, И. И. Численные методы в теории растворов / И. И. Шейхет, Б. Я. Симкин // Журнал структурной химии, 1987. Т.28. №6. С. 106-113.

61. Шишкова, М. А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных: Докл. АН СССР / М. А. Шишкова. М.: Наука, 1973. Т. 209. №3. С. 576 579.

62. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. УРСС, 2002. 320 с.

63. Эренфест, П. Относительность. Кванты. Статистика / П. Эренфест. М: Наука, 1972. 360 с.

64. Юрищев, М. А. Нижние и верхние границы для критической температуры в трехмерной анизотропной модели Изинга / М. А. Юрищев // ЖЭТФ, 2004. -Вып 125.-С. 1349-1359.

65. Barkhausen, Н. Zwie mit hilfe der neuen verstarkter entdeckte erschein-ungen / H. Barkhausen // Phis. Z., 1919. Vol. 20. P. 401.

66. Becker, R. Ferromagnetismus / R. Becker, W. Doring. Springer, Berlin, 1939. S. 284.

67. Carr, W.J., Jr. Temperature Dependence of Ferromagnetic Anisotropy / | W. J. Carr, Jr. // J. Appl. Phys., 1958. Vol. 29. P. 436.

68. Chepulskii, R. V. Statistical-thermodynamic description within the ring approximation. II. Ising model / R. V. Chepulskii // Phys. Rev. B, 2004. Vol. 69, P. 34432.

69. Debye, P. Einige Bemerkungen zur Magnetisierung bei tiefer Temperatur / P. Debye // Ann. der Physik, 1926. Vol. 81 P. 1154.

70. Hasenbusch, M. Critical behavior of the three-dimensional A±J Ising model at the paramagnetic-ferromagnetic transition line / M. Hasenbusch, F. Toldin, A. Pelissetto and others // Phys. Rev. B, 2007. Vol. 76. P. 094402.

71. Heisenberg, W. Zur Theorie der Magnetostriktion und der Magnetis-ierungskurve / W. Heisenberg // Z. Phys., 1931. Vol. 69. P. 287.

72. Liers, F. Zero-temperature behavior of the random-anisotropy model in the strong-anisotropy limit / F. Liers, J. Lukic, E. Marinari and others // Phys. Rev. B, 2007. Vol. 76. P. 174423.

73. Loh, Y. L. Bond-propagation algorithm for thermodynamic functions in general two-dimensional Ising models / Y. L. Loh, E. W. Carlson, M. Y. Tan // Phys. Rev. B, 2007. Vol. 76. P. 014404.

74. Matic, V. M. Low-temperature thermodynamics of the asymmetric next-nearest-neighbor Ising model / V. M. Matic, N. Dj. Lazarov, E. E. Tornau and others // Phys. Rev. B, 2000. Vol. 62. P. 107.

75. Metropolis, N. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines / N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth and others // J. Chem. Phis., 1953. Vol.21. P.1087.

76. Moessner, R. Ising and dimer models in two and three dimensions / R. Moessner, S. L. Sondhi // Phys. Rev. B, 2003. Vol. 68. P. 054405.

77. Neel, L. Anisotropie magnetique superficielle et surstructures d'orientation / L. Neel // J. Phys. Rad., 1954. Vol. 15. P. 225.

78. Neel, L. Antiferromagnetism and Ferrimagnetism / L. Neel // Proc. Phys. Soc. A, 1952. Vol. 65. № 11. P. 869-885.

79. Onuki, A. Phase transition in compressible Ising systems at fixed volume / A. Onuki, A. Minami // Phys. Rev. B, 2007. Vol. 76. P. 174427.

80. Pauli, W., Jr. Uber Gasentartung und Paramagnetismus / W. Pauli, Jr. // Z. Physik, 1927. Vol. 41. P. 81.

81. Plascak J. A. Ising model for disordered ferromagnetic Fe-Al alloys / J. A. Plascak, L. E. Zamora, G. А. Рёгег Alcazar // Phys. Rev. B, 2000. Vol. 61. P. 3188-3191.

82. Rastelli, E. Phase diagram of a square Ising model with exchange and di-pole interactions: Monte Carlo simulations / E. Rastelli, S. Regina, A. Tassi // Phys. Rev. B, 2007. Vol.76. P. 054438.

83. Rushbrooke, G. S. On the Curie points and high temperature susceptibilities of Heisenberg model ferromagnetics / G. S. Rushbrooke, P. J. Wood // Molecular Phys, 1958. Vol. l.P. 257.

84. Selke, W. Monte Carlo study of the spatially modulated phase in an Ising model / W. Selke, M. E. Fisher // Phys. Rev. B, 1979. Vol. 20. P. 257.

85. Vives, E. Hysteresis and avalanches in the random anisotropy Ising model /Е. Vives, A. Planes // Phys. Rev. В., 2001. Vol. 63. P. 134431.

86. Webster, W. L. Magnetostriction and change of resistance in single crystals of iron and nickel // Proc. Phys. Soc., 1930. Vol. 42. № 5 . P. 431-440.

87. Weiss, P. Ferromagnetism / P. Weiss // J. Phys., 1907. Vol. 6. P. 661.

88. Weiss, P. The atomic moments of iron cobalt and nickel as determined from the magnetic saturation of the ferro-cobalts and nickel-cobalts / P. Weiss, R. Forrer // Proc. Phys. Soc., 1930. Vol. 42. №5. P. 413-417.

89. Williams, H. J. Magnetic Domain Patterns on Single Crystals of Silicon Iron / H. J. Williams, R. M. Bozorth, W. Shockley // Phys. Rev., 1949. Vol. 75. P.155.

90. Zener, C. Classical Theory of the Temperature Dependence of Magnetic Anisotropy Energy / C. Zener // Phys. Rev., 1954. Vol. 96. P. 1335.