автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование критического поведения квазиодномерных ферромагнетиков

На правах рукописи

Санников Евгений Владимирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ КВАЗИОДНОМЕРНЫХ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ

05Л3.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Хакасский государственный университет им. Н.Ф, Катанова»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Удодов Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Добронец Борис Станиславович

кандидат физико-математических наук Дзебисашвили Дмитрий Михайлович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Томский государственный

университет»

Зашита состоится " 2006 года в 14 час. 00 мин. на

заседании диссертационного совета Д 212.098.04 при Красноярском го-сударстветюм техническом университете по адресу: 660074, Красноярск, ул. Академика Киренского, 26, ауд. Д 501.

Факс: (3912) 43-06-92 (КГТУ, для каф. САПР)

E-mail: sovet@front.ru

Телефон: (391-2) 91-22-95 (КГТУ, каф. САПР)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан " сентября 2006 года.

Учёный секретарь диссертационного совета_:-с==^=--г--

доктор технических наук С. А. Бронов

Общая характеристика работы Актуальность. Проблема компьютерного моделирования магнитных фазовых превращений является одной из важных проблем теории моделирования. Особый интерес к низкоразмерным магнетикам обусловлен перспективностью их использования в качестве магнитных носителей информации нового поколения. Внимание к моделированию свойств малых магнетиков возросло не только из-за значительных перспектив их практического применения, но и в связи с тем, что малые частицы являются мезоскопическими объектами, т.е. их можно рассматривать как промежуточное звено между классическим макромиром и квантовым микромиром. Несмотря на значительное количество исследований различных свойств малых квазиодномерных ферромагнетиков, их критические свойства далеко не изучены. Моделирование систем конечных размеров позволяет воспроизвести многие существенные черты фазовых переходов* а исследование их особенностей, в зависимости от размеров системы, дает много ценной информации о фазовых переходах в "бесконечных" системах. Необходимо также отметить, что в последние два десятилетия усилия многих исследователей были направлены на моделирование примесных и дефектных структур. В последнее время интерес к компьютерному моделированию низкомерных магнитных систем усилился ещё и в связи с тем, что были синтезированы вещества, которые можно рассматривать как аналоги низкомерных модельных систем. Также все большее внимание уделяется вопросам моделирования, связанным с природой образования различных вариантов упорядоченных фаз квазиодномерных магнетиков, имеющих сложную структуру. В этом отношении моделирование магнитных фазовых переходов представляет собой обширную и еще не завершенную область исследований, где в последние десятилетия активно выясняется природа переходов в магнитоупорядоченное состояние в самых разнообразных кристаллах. Менее изученными являются модели магнитных фазовых переходов типа "порядок —* порядок", связанные с перестройкой магнитной структуры под действием внешнего магнитного поля. При этом особую роль в объяснении различных свойств малого квазиодномерного ферромагнетика имеет исследование ориентационного фазового перехода "антиферромагнетик —* ферромагнетик".

Использование методов компьютерного моделирования в рамках одномерной модели Изинга конечного размера позволит решить ряд задач, связанных с разработкой новых математических методов и алгоритмов моделирования квазиодномерных ферромагнитных систем.

Таким образом, объектом исследования в диссертации является критическое поведение модели квазиодномерных ферромагнетиков в зависимости от внешних и внутренних энергетических параметров.

Предметом исследования является компьютерное моделирование магнитных фазовых превращений в рамках модели Изинга.

Целью диссертационной работы является разработка компьютерных моделей, алгоритмов и прикладных программ для комплексного исследования критического поведения квазиодномерного ферромагнетика в рамках обобщенной модели Изинга конечных размеров методами Монте-Карло,

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

1. Разработать методику построения и исследовать диаграммы основных состояний (ДОС) для модели квазиодномерного ферромагнетика во внешнем магнитном поле с учётом ближнего и дальнего взаимодействия, а также выявить влияние температуры и направления процесса на вид изотермических фазовых диаграмм модели.

2. В рамках разрабатываемой модели исследовать кинетические особенности квазиодномерного ферромагнетика в критической области при разных значениях напряжённости внешнего магнитного поля, температуры и размеров системы. Исследовать поведение некоторых термодинамических функций моделей малого квазиодномерного ферромагнетика.

3. Усовершенствовать разрабатываемую модель с учётом немагнитного примесного атома в квазиодномерном магнетике.

Основная идея диссертации заключается в разработке методов моделирования кинетических свойств и критического поведения квазиодномерных магнетиков в рамках усовершенствованной модели Изинга.

Методы исследований. Использовались классический алгоритм Метрополиса как вариант статистического метода Монте-Карло и метод распределения Гиббса статистической механики.

Основные результаты

1. На основе усовершенствованной компьютерной модели разработан комплекс алгоритмов и программ для расчета диаграмм основных состояний квазиодномерного ферромагнетика, а также фазовых диаграмм магнитных превращений в кристаллах, позволяющих рассчитывать диаграммы в плоскостях изменения энергетических параметров при конечных температурах.

2. Разработан комплекс алгоритмов и прикладных программ для исследования кинетических особенностей модели фазовых переходов антиферромагнетик —* ферромагнетик, критического поведения модели квазиодномерного ферромагнетика, а также равновесной статистики одномерного ферромагнетика.

3. Разработан новый математический алгоритм, позволяющий существенно повысить быстродействие компьютерных программ, использующих классический алгоритм Метрополиса для решёточных задач.

Научная новизна

1. Разработан научно-исследовательский комплекс алгоритмов и программ для исследования малого квазиодномерного ферромагнетика в рамках модели Изинга конечного размера с немагнитной примесью.

2. Разработана методика расчёта диаграмм основных состояний модели, квазиодномерного ферромагнетика с вмороженным немагнитным примесным атомом, а также методика расчёта фазовых диаграмм при конечных температурах с учётом метастабильных состояний. Выявлены основные закономерности влияния граничных условий модели, а также параметра взаимодействия неближайших соседей на спектр стабильных структур модели квазиодномерного ферромагнетика.

3. В рамках усовершенствованной модели рассчитаны характеристики критической динамики квазиодномерного ферромагнетика. Методами компьютерного моделирования найдены закономерности ориентацион-ных фазовых переходов "антиферромагнетик-—►ферромагнетик" и "фер-римагнетик—* ферромагнетик". Рассчитаны термодинамические характеристики квазиодномерного ферромагнетика (параметр порядка, теплоёмкость, восприимчивость) и влияние на них немагнитной примеси.

Значение для теории. На основе усовершенствованной модели квазиодномерных ферромагнетиков разработан подход, позволяющий строить диаграммы основных состояний с немагнитной примесью и фазовые диаграммы. Рассчитанные динамические и статические индексы могут использоваться при трактовке физических процессов в реальных квазиодномерных ферромагнетиках с точки зрения теории критических явлений и физической кинетики.

Значение для практики. Рассчитанные диаграммы основных состояний и фазовые диаграммы дают теоретическую основу для конструирования новых материалов с использованием магнитных превращений. В связи с быстрым развитием теории моделирования полученные результаты могут применяться в разработке материалов с использованием нано-технологий. На основе разработанного комплекса алгоритмов и программ возможна математическая обработка экспериментальных данных реального эксперимента.

Предложен алгоритм, позволяющий значительно повысить быстродействие компьютерных программ, использующих классический алгоритм Метрополиса для решёточных задач.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием в качестве базовой классической модели Изинга, хорошо зарекомендовавшего себя метода статистических испытаний - метода Монте-Карло; применением апробированных и надежных численных алгоритмов и программ и подтверждается сопоставлением с данными экспериментальных исследований, а также с результатами, полученными други-

ми авторами. Методы Монте-Карло и распределение Гиббса имеют надежное математическое обоснование.

Использование результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в учебном процессе для студентов и аспирантов и при создании нового программного обеспечения в Хакасском государственном университете им, Н. Ф. Катанова, в Томском государственном университете, Сибирском физико-техническом институте им. акад. В. Д. Кузнецова (г. Томск), Томском государственном архитектурно-строительном университете, Институте физики прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск), Институте металлофизики HAH Украины (г. Киев),

Личный вклад автора состоит в участии в постановке задач, разработке алгоритмов и программ, проведении численных расчетов и анализе результатов.

■ Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования были изложены на ежегодных "Республиканских Катанов-ских чтениях" (2002-2006 гг., г. Абакан), на 5,7,8,9 Всероссийских семинарах "Моделирование неравновесных систем" (2002-2006 гг, г, Красноярск), на Международных конференциях: "Эволюция дефектных структур в конденсированных средах" (2003 г., г. Барнаул); «Современные проблемы физики и высокие технологии» (2003 г., г. Томск); «Фундаментальные проблемы современного материаловедения» (2005 г., г. Барнаул); на Международной научно-технической школе-конференции «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию в электронике» (26-30 сентября 2005 г., г. Москва); «Пленки 2005» (2005 г., г. Москва), Второй международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» ( 7-9 января 2006 г., г. Санкт-Петербург).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 научных работ, из которых: 1 статья в периодическом издании и в соответствии со списком ВАК, 3 статьи в научных журналах, 2 .статьи депонированы в ВИНИТИ, 4 работы в сборниках международных научно-технических конференций, 9 работ в материалах Всероссийских научно-технических конференций.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения. Содержит основной текст на 125 е., 48 иллюстраций, одну таблицу, список использованных источников из 102 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении отражена актуальность темы исследования, сформулированы научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, цель работы, приведены защищаемые положения.

В разделе 1 дан обзор моделей квазиодномерных магнетиков, а также рассмотрены критические явления, наблюдающиеся в магнитных системах. Даются общие представления о термодинамических функциях и критических показателях ферромагнетика. Описывается общий метод Монте-Карло, анализируется применение модели Изинга к описанию магнитных фазовых превращений, а также рассматривается моделирование ориентационного фазового перехода "антиферромагнетик —* ферромагнетик" на ЭВМ.

Под моделью Изинга понимается жесткая решетка, на узлах которой располагаются спины, направленные или вверх, или вниз (в памяти ЭВМ, например, магнитная структура размером из пяти узлов ТШ-Т представ-V лена в виде одномерного массива 1-11-11). Приводится разработанный и оптимизированный к одномерной модели Изинга алгоритм, существенно повышающий быстродействие компьютерных программ, использующих алгоритм Метрополиса для решёточных задач.

В разделе 1 отмечаются те реальные ситуации в магнетиках, когда применение модели Изинга является оправданным, и устанавливается, что ими являются всегда крайне анизотропные системы. В то же время имеются кристаллы с сильно анизотропными взаимодействиями, магнитные моменты молекул которых можно считать направленными только «вверх» или «вниз», например: РеСЬ и РеСОз.Такие кристаллы являются типичными кваз иод номерными ферромагнитными системами, описываемыми одномерной моделью Изинга. Для количественного описания критического поведения различных физических свойств конденсированных сред, описываемых неотрицательными функциями/¡(х) некоего внешнего параметра х, который обращается в нуль в точке фазового перехода, вводят понятие критических показателей Я,

где х - обычно приведенные температура |т| > О или давление. Так, изотермическая восприимчивость Хт ферромагнетика расходится при Т —+ Тс и определяется критическим показателем у

В рамках модели Изинга метод Монте-Карло (МК) реализуется следующим образом. Задается начальная конфигурация. Алгоритм Метро-полиса состоит в выборе вероятностей перехода из одного состояния в

(1)

(2)

другое, отличающиеся значением спина только одного узла, а конфигурации на остальных узлах остаются фиксированными *

ДЕ

ехр(--)*есди АЕ >0,

в (3)

1 если АЕ 2 0,

Л квТ

где ДЕ - разность энергий новой и старой конфигураций, " —- - относительная температура (в дальнейшем относительная температура обозначена буквой Т). После этого сгенерированное случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0;1J, сравнивается с вероятностью перехода. Если вероятность больше случайного числа, переход к новой конфигурации принимается, в противном случае сохраняется старая конфигурация. Этим заканчивается один шаг МК. Указанная схема обеспечивает достаточно хорошую точность оценки^*) при сравнительно малом (103) числе МК шагов на узел (nmcs). Гамильтониан используемой обобщенной модели Изинга имеет вид

р N N-\ N-2 JV-3

е = 7Г = s* - £ s*s*+* - £ ЗД+з• (4)

Щ <=l (=1 ¿-I (=1

где суммирование проводится по всем узлам i решетки, безразмерная проекция вектора спина на некую ось равна Sj =1( если спин направлен вверх Sj ss -1 (если спин направлен вниз j.) и Sj=0 в случае немагнитной примеси. Н - безразмерная напряженность магнитного поля (проекция на ту же ось), Eq— энергия кристалла, mi - энергия взаимодействия ближайших соседей, J2=tDi/u)j — относительный энергетический параметр взаимодействия вторых соседей, J3—coj/iot - относительный энергетический параметр взаимодействия третьих соседей.

Раздел 2 посвящен оригинальному исследованию диаграмм основных состояний (ДОС) ферромагнетика в рамках обобщенной модели Изинга для разных типов взаимодействий. Разработан комплекс алгоритмов и программ, реализованных в среде объектно-ориентированного программирования Borland Delphi 7, который позволяет строить ДОС, а также фазовые диаграммы магнитных превращений при отличных от нуля температурах с учетом мета-стабильных состояний. В рамках разработанного комплекса алгоритмов и программ исследуется влияние вмороженной немагнитной примеси на вид реализующихся диаграмм. Анализируется влияние граничных условий и энергетического параметра J2 на вид диаграмм основных состояний модели квазиодномерного ферромагнетика. Проводится сравнительный анализ фа-

зовых диаграмм и ДОС, который позволяет определить влияние температуры на области метастабильных структур.

В рамках усовершенствованной модели построены диаграммы основных состояний — диаграммы стабильности фаз в пространстве энергетических параметров при температуре абсолютного нуля. Основным состоянием считается структура, энергия которой в данной области изменения энергетических параметров имеет наименьшее значение по сравнению с другими возможными структурами. Рассматривается плоскость энергетических параметров, по одной оси которой отложена напряжённость поля Н, по другой - параметр ^ или Дз. Эта плоскость разбивается на области, в которых стабильна определённая магнитная структура при температуре абсолютного нуля.

Алгоритм расчёта диаграмм основных состояний

1). Задать начальные параметры Н и 32 с их пределами и шагом изменения и постоянные параметры N. Т, птс$( число шагов МК на узел), 0(число опытов). 2). В каждой точке плоскости диаграммы (при фиксированных И и 32) по формуле (4) вычислить значения энергий всех возможных конфигураций (каждо.му "кристаллу" из N узлов соответствуют 2Ы возможных конфигураций) и запомнить нол1ера конфигураций, соответствующие мингсмальному значению энергии £„,;„. 3). Номеру каждой такой конфигурации сопоставить точку определенного цвета, выводимую на диаграмму.

Конфигураций, соответствующих одной и той же наименьшей энергии, может быть несколько. Если область представлена одной магнитной фазой, то она невырожденная, если несколькими, то вырожденная. Количество таких различных конфшураций зависит от значений

^ Ы-\ N-2

¿5,2 ж и 2 5|5'(Ч2 , входящих в модельный гамильтониан сис-

1=1 1=1 (-1

темы, которые, в свою очередь, зависят от набора симметричных конфигураций (фаз). Числами на ДОС указаны области стабильных магнитных фаз в данном пространстве энергетических параметров (рис. 1), а жирными линиями отмечены границы между фазами. Каждому числу (области) соответствует номер стабильной фазы, указанный в скобках в подписи к диаграмме, или несколько номеров, перечисленных через запятую.

Саму конфигурацию получаем путем перевода данного номера в его двоичное представление, заменяя "О" на "-1" с учётом размеров системы N. Например, для N-8 (рис. 16), для области 1, номеру 12 в двоичной системе соответствует число 000011ОСЬ, и поэтому стабильная конфигурация области 1 в памяти ЭВМ имеет вид -1-1-1-1 1 1-1-1 (ЦЦТТШ-Обозначением **Ф" отмечены области с ферромагнитным порядком, а "АФ" - с антиферромагнитным. При изменении внешнего магнитного

поля в модели происходят магнитные фазовые переходы, так как изображающая точка на ДОС пересекает границы стабильности фаз.

Отметим, что все диаграммы основных состояний обладают симметрией относительно изменения знака напряженности поля. Например, для размеров системы N=4, фазы "Ф" с номерами 0 (-1-1-1-1) и 15 (1 1 1 1), -это ферромагнитные фазы с противоположными значениями намагни-ченностей (рис. 1а).

Ф-(0) при н<0

Рис. 1. Диаграммы основных состояний (ДОС) модели квазиодномерного магнетика

При этом многие уравнения линий равновесия фаз на ДОС, а также некоторые углы наклона таких линий повторяются, что даёт возможность предсказания вида ДОС для больших N. Используя разработанный комплекс алгоритмов и программ, исследовано влияние обменного параметра на вид ДОС в координатах Н и Л;. Показано, что: 1) с уменьшением

ферромагнетик становится всё менее стабильным (рис. 2а, б); 2) при 1=-(),5(Ы) большинство линий равновесия фаз сходятся в начале координат (рис. 2а).

\А н 3 !------ Ф Л

9 » ^ 2 /1/ Ф »

V н \ ■ г ......— х а> \ л,

•> ^ 1 ф

а) N=7; ^ - 0,5. 1-( 12,24); 2-<28); 3-(99); 4-(ЮЗ,П5) б) N=6; ^=-0,9. |-(12); 2-(51); - ( рис. 2. Диаграммы основных состояний магнетика для разных }г

Значительный интерес представляет моделирование магнетика с немагнитной примесью. Разработаны алгоритм и соответствующая программа, позволяющие рассчитывать такие диаграммы. Рассмотрена новая усовершенствованная модель магнетика с примесным немагнитным атомом в виде цепочки с оборванными концами. Внутри ЭВМ примесь представлена в виде нуля (например, структура с примесью на третьем узле имеет вид ttOit или в массиве ЭВМ 110-11). Кристаллу из N узлов с одним немагнитным атомом уже соответствуют N2 возможных конфигураций (магнитных фаз) в отличие от 2N для чистого ферромагнетика. Разработана методика определения номера конфигурации с немагнитной примесью. Пусть К - номер конфигурации, тогда позицию немагнитного примесного атома в цепочке определим по формуле:

Ко= (К div 2N1)+1, (5)

где div — операция целочисленного деления, a DEC - десятичное представление конфигурации, если бы примесь была удалена, определим в виде соотношения:

DEC = K-(Ko-1)2N~'. (6)

Из результатов компьютерного эксперимента установлено следующее: 1). Число различных магнитных структур, в среднем, в 2 раза больше по сравнению с ДОС образца без примеси (рис.З); 2). Количество реализующихся областей ферромагнетизма и антиферромагнетизма ровно в 2 раза больше по сравнению с ДОС чистого образца, причём соответствующие эквивалентные области ферро- и антиферромагнетизма граничат между собой линией с уравнением J2=l. Область антиферромагнетизма, существует только для нечётных размеров системы в отличие от чистого образца.

4 Н V !-- ф Ji

л 'А г ф ■3

а) N=7. 1-(12); 2-(128); 3-(140)

ы ф Jl

Л 4 > г ф

б) N=8. 1-(12.24,908,920); 2-(256,384,512,640); 34280,396,536.652); 4-(204,793)

Рис, 3. Диаграммы основных состояний магнетика с немагнитной примесью

Методами компьютерного моделирования было изучено влияние периодических граничных условий на модель квазиодномерного ферромагнетика. Показано, что при замыкании цепочки в кольцо существует всего 3 различных вида диаграмм основных состояний, а количество возможных вырожденных ферримагнитных структур равно И, что больше, чем у цепочки с оборванными концами.

В отличие от диаграмм основных состояний, фазовые диаграммы учитывают структурный и кинетический аспекты магнитных превращений. Используя разработанный комплекс алгоритмов и программ, были рассчитаны фазовые диаграммы (ФД) модели одномерного ферромагнетика с учётом метастабильных состояний. Разработан следующий алгоритм расчета ФД: моделировался процесс, при котором напряжённость поля изменялась (увеличивалась либо уменьшалась) через определенное количество птсз шагов, после чего запоминалась реализованная структура. Процесс повторяется многократно, в результате чего в каждой точке диаграммы получается набор структур, среди которых и выбирается структура, реализующаяся чаще других. Она и будет стабильна (или метаста-бильна) в данной точке фазовой диаграммы.

а) Т=0,1. 1,3-(12);2-<0);4,6-(51);5-(3) б) Т=0,3. 1-(12); 2-(51)

Рис. 4. Фазовая диаграмма обратного перехода для N=6, Дэ=0.

Стрелкой показано направление процесса.

Алгоритм расчета изотермических фазовых диаграмм 1). Задать двумерный массив КопД1,М}, содержащий десятичный номер структуры, где М-номер шага МК, I-номер опыта, а также начальные параметры Н, постоянные параметры N. Т, птсз, пределы и шаг изменения параметров. 2). Для каждого 1-го опыта, на первом шагу МК КопД1,1 ], задать одинаковую начальную конфигурацию, взятую из ДОС при этих параметрах. 3). Проделать птсь шагов Монте-Карло на узел. 3.1). Вычислить энергию конфигурации Е1 3,2). Выбрать случайным образом узел решетки и изменить состояние на нем. 3.3). Вычислить энергию новой конфигурации £4, найти разность энергий АЕ=Е2-Е/.

3.4), Используя функцию Метрополиса (3), найти вероятность перехода P(srsf). 3.5). Генерировать случайное число R, равномерно распределенное на отрезке Re[0;l}. 3.6). Если R <Р, то принять новую конфигурацию\ иначе сохранить старую. 3.7), Повторить пункты 3.1.-3.6. nmcs раз. 4). Повторить пункты 3-4 нужное количество раз (i-Q), заполняя Konf{i,MJ. 5). Из всех структур массива Konf[i,M] выбрать реализующуюся чаще других и сопоставить ее с точкой на фазовой диаграмме. 6). Начальными конфигурациями в каждом i-ом опыте задаём конфигурации, реализованные на последнем шагу МК (i-l)-eo опыта. Записываем в Konfli,1] все значения Konf[i,MJ- 7). Изменить значение параметра Н с некоторым шагом ЛИ. 8). Повторять пункты 3-7, пока Ц не достигнет предельного значения (Не[-2;2]). 9). Изменить J2 с некоторым шагом AJ2. 10). Повторить 2-9, пока J2 не достигнет предельного значения (J2e[-2;2]).

В рамках модели Изинга разработан алгоритм, позволяющий суще-спыеипо повысить быстродействие компьютерных программ, использующих классический алгоритм Метрополиса для решёточных задач. Видно, что энергия системы (4) на каждом шагу МК зависит от суммы по

N N^1

узлам (Sum )» суммы произведений соседних (Spr - St Sj +i )*

i=I 1=1

N—2

вторых (Spr2= V s S ) и Т-Д- спиновых переменных с радиусом взаи-^^ i i + 2 i »1

n-vz

модействия vz (SprVZ= V s S )•

¿j i i t =1

Суть метода заключается в следующем. Sum, Spr рассчитываются в цикле от 1 до N только один раз, а затем для следующего шага уже не требуется цикл, зависящий от N, на который ЭВМ тратит существенную часть времени. Для очередного шага МК, после переворота спина SUI со случайно выбранным номером uz (рис. 4.1а) справедливы следующие соотношения:

Sumnoea^SunicTapM + 2SU2, (7)

SprHOBM= SprCTapaj, + 2Suz(SU2-vz+S„z+vz). (8)

Кроме того, представляется возможным вычислить Sum и Spr, если за один шаг МК переворачиваются не один, а несколько спинов и даже блоков спинов. Пусть перевернулся один блок спинов Sl...Sr (рис. 4.16), где L и R - крайние номера узлов блока (L<R). Тогда новая сумма произведений и сумма по узлам примут вид:

f R R-t >

^Ргновдя= 5ргСТАРАЯ+ 2 S^.^ + SrSr+vz + SS^-vz + Zs.S.+vz . (9)

Ч I=L+] I=L /

SumHOBAfl = SumcxAPAfl + 2(SL + ... + SR), (10)

а) Один спин на узле МЪ б) Блок спинов с краями Ь и И

Рис. 4.1, Варианты изменения состояний системы на очередном

шагу Монте-Карло

В разделе 3 моделируются кинетические особенности модели квазиодномерного ферромагнетика с примесью и без неё. В рамках разработанного комплекса алгоритмов и программ рассчитаны вероятности реализации магнитных структур для неравновесных процессов "АФ— Методами компьютерного моделирования также рассчитаны и проанализированы статические и динамические критические индексы модели квазиодномерного ферромагнетика.

На фазовых диаграммах приведены магнитные фазы, реализующиеся чаще других, но, насколько стабильна магнитная фаза, по ФД определить невозможно. Для этого необходимо знать вероятности стабильности фаз \У, которые зависят от температуры. Таким образом, моделировался прямой процесс (поле увеличивалось с шагом ЛН=0.1). Вероятность перехода рассчитывалась по формуле (3). Было показано, что с повышением напряженности поля Н или параметра ^ вероятность ФП АФ—►Ф увеличивается (рис. 5).

О 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8

а) Т = 0,1 б)Т = 0,3

Рис. 5. Зависимость вероятности реализации ферромагнитной фазы (255) от напряженности поля. N=8; Т=0,1. Значения параметра

¡2. 1 (}2 =-0,8), ю2 = -1), За2 = - 1,2)

Одним из критериев, позволяющих судить, насколько можно доверять результатам компьютерного эксперимента, может служить распределение Гиб-бса. Теоретическая кривая распределения Гиббса очень близка (в среднем отклонение около 1 - 3%) к аналогичной кривой, рассчитанной по методу Монте-Карло (рис. 5.1). Кроме того, полученные результаты прошли проверку известным статистическим критерием "хи-квадрат". Из таблицы распределения "хи-квадрат" следует, что полученные значения статистики '^хи-квадрат" во всех экспериментах лежат в "правильных" процентных диапазонах и, таким образом, генерируемые числа считаются достаточно квазислучайными.

Для описания свойств флуктуаций параметра порядка (для ферромагнетика это намагниченность на узел решётки) вводился показатель корреляционной длины V, определяющий температурную зависимость корреляционной длины который рассчитывался по формуле для слабых полей

§~(т-те)-\ (11)

где Е, — средняя по ансамблю частиц длина самого длинного магнитного кластера (область, где сохраняется определенная упорядоченность в расположении спинов, Тс=0).

Из анализа данных компьютерного моделирования установлено, что в слабых полях у(1М) - возрастающая функция, в сильных - убывающая (рис. 66). Характер поведения V одинаков как для чистого, так и с немагнитной примесью образцов, причём у чистой системы среднее значение индекса <у> ~ 0,1 ± 0,006 больше на 10%, чем у образца с примесным атомом. Полученное <у> в 10 раз меньше, чем в двумерном пространстве в модели Изинга (у=1), в 6 раз меньше, чем в трёхмерном (у=0,63) и в 5 раз меньше, чем в теории фазовых переходов Ландау.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

с. 5.1. Сравнение вероятностей реализации структуры по Гиббсу и Монте-Карло при Т = 0,11

Ри

чистым примесь

О 0,15 0,3 0,45 а) у(Н) при Т=0,2; .1^0,1; N=12

6 7 8 9

б) \'(ГЧ) при Т=0,2. Погрешность расчёта 6%

Рис. 6. Некоторые зависимости критического индекса корреляционной

длины V

Алгоритм расчёта критического индекса корреляционной длины V

1). Задаём постоянные параметры /V, nm.cs, а также Н и Уг< соответствующие ферромагнитной структуре на ДОС. 2). При фиксированной температуре Т на очередном шагу МК проделать пункты 3.1-3.6 из алгоритма расчёта ФД, доводя систему до равновесного состояния в течение 0,6птс$ шагов. Начальная конфигурация берётся Ф. 3). На каждом следующем шаге рассчитываем корреляционную длину соответствующую Г/, которую усредняем по конечным 0,4птсз шагам. 4). Изменяем температуру на Тъ " повторяя пункты 2-3, получаем 5). По формуле (11) рассчитываем V в одном опыте. 6). Усредняем V по опытам (?.

Для определения того, насколько быстро система будет достигать состояния термодинамического равновесия, вводится кинетический критический индекс времени релаксации У, характеризующий быстроту убывания времени релаксации при увеличении температуры системы и рассчитываемый по формуле:

т - Ту (12)

Методами компьютерного моделирования было установлено, что: 1). В нулевом поле У(Ы) является монотонной, возрастающей функцией, при наличии магнитного поля У тоже в среднем растет, но зависимость У(Ы) имеет уже пилообразный характер; 2), В среднем, У монотонная, убывающая функция Н; 3). С увеличением температуры V сначала убывает (до Т=0,3), а затем возрастает.

Для исследователей, занимающихся вопросами теории критических явлений, значительный интерес представляет динамический критический индекс (ДКИ) Z, являющийся важнейшей характеристикой критической динамики. Известно, что в критической области для систем конечных размеров справедливо соотношение:

т~М2, (13)

где х - время релаксации- В рамках проведённого компьютерного эксперимента показано, что: 1). Ъ является монотонной, убывающей функцией размеров системы и температуры для ферромагнетиков обоих сортов; 2). В чистом образце 2Щ) также в среднем является убывающей функцией; 3). Внедрение немагнитного атома в систему слабо увеличивает среднее значение Ъ и существенно влияет только на зависимость 7Щ). Остальные же зависимости с внедрением немагнитной примеси качественно не изменяются; 4). Полученное в ходе компьютерного моделирования среднее значение <2> = 3,46 ± 0,3 больше, чем для трехмерных систем, где Ъ = 2. Также установлено, что гипотеза-динамического скейлинга У = \Ъ не выполняется.

0,1 0,2 а) в нулевом поле

0,3 0,4 0 0,1 0,2 0,3 0.4

б) Т=0,2. Погрешность расчета 9% Рис. 7. Зависимости Z(T,H)

Алгоритм расчёта времени релаксации т одномерного

ферромагнетика

1). Задать постоянные параметры И и З2 из ДОС, при которых стабильна ферромагнитная структура, N, Т, nmcs, Q. 2). Задать начальной - неферромагнитную конфигурацию. 3). Для каждого шага проделать пункты 3.1—3.6 из алгоритма расчёта ФД, одновременно занося значение каждой энергии на очерёдном шагу МК в одномерный массив Energy. 4). Полагая, что на 0,6nmcs шаге система пришла в равновесие, рассчитать среднюю энергию Е на оставшемся участке [0,б„1]nmcs. 5). Начиная с первого, сравнивать каждый i-ый элемент массива Energy со средним значением Е. Как только Energy( < Е, считать номер i временем релаксации т = L 6). Усреднить г по опытам Q.

В разделе 4 в рамках разработанного комплекса алгоритмов и программ моделируется равновесная статистика одномерного ферромагнетика. Основные результаты, полученные в ходе компьютерного моделирования, качественно согласуются с данными наблюдений для реальных квазиодномерных ферромагнитных структур. Относительная погрешность расчётов равновесной статистики составила не более 8%.

На ЭВМ генерировались марковские цепи длиной до 105 шагов МК на спин. Для вывода системы в равновесное состояние в критической области отсекался неравновесный участок, состоящий из 6*104 МК шагов/спин.

На основе усовершенствованной модели исследована намагниченность на узел М. Это позволило установить следующее: 1). М(Т)-убывающая функция, имеющая максимум при Т —► 0 (рис. 86); 2). М является возрастающей функцией Н, N и 3). Для систем с примесным немагнитным атомом аналогичные зависимости качественно не меняют-

Рис. 8. Изотермическая зависимость намагниченности при разных полях

На основе разработанного комплекса алгоритмов и программ изучено поведение восприимчивости % и теплоёмкости на узел С, которые вычислялись по формулам для слабых полей

г/ге

а) М(Т) сплава 5с31п (И. Масуда, 1979)

б) М(Т) одномерного Ф (метод МК)

Т

(14)

(15)

150

100

5С

<

Н

г 0,5 0,001

200

150

100

50

О

н

0,001 0,01 0,1 0,5

а) хСГ,Н) для N=8

б)х(Н)для N=8, 10

Рис. 9. Температурные и полевые зависимости магнитной

восприимчивости х

I I I—г

0,1 0,4 0,7 1 1,3 1,6 1,9

' I ........"Г

0 0,05 0,1 0,15 0,2

а) С(Т) при 12 - -0,3; б) С(Н) для N=6; ^=-0,3

Рис. 10. Температурные и полевые зависимости теплоёмкости С

На основе разработанного комплекса алгоритмов и программ, методом конечномерного масштабирования, был рассчитан критический индекс теплоёмкости одномерного ферромагнетика <а> = - 0,1 ± 0,016, Итоги расчётов следующие: 1). Среднее значение критического индекса <а> практически совпадает со средним значением «*> для реальных переходных ферромагнитных металлов. Для сравнения у N1, Ре <а> ~ - 0,11; 2). Внедрение немагнитной примеси существенно не влияет на равновесную статистику для систем с а < 0.

Перечень разработанных автором диссертации алгоритмов расчёта: I). ДОС чистого магнетика. 2). ДОС магнетика с немагнитной примесью. 3). ФД напряженность-энергия взаимодействия. 4). ФД напряженность-температура. 5). Вероятностей реализации магнитных структур, б). Энтропии для магнитных превращений, 7). Корреляционной длины £ с радиусам взаимодействия Я—1 для чистого и примесного ферромагнетика. 8). Корреляционной длины % с радиусом взаимодействия К-2 для чистого и примесного ферромагнетика. 9). Показателя корреляционной длины V для чистого и примесного ферромагнетиков. 10). Времени релаксации г. 11). Кинетического критического индекса времени релаксации У для обоих сортов ферромагнетиков. 12). Динамического критического индекса X для обоих сортов ферромагнетиков. 13). Намагниченности для обоих сортов ферромагнетиков. 14). Восприимчивости для обоих сортов ферромагнетиков. 15). Теплоёмкости для обоих сортов ферромагнетиков. ¡6). Алгоритм, существенно повышающий быстродействие компьютерных программ, использующих классический ачгоритм Метрополиса для решёточных задач.

Заключение

1. Разработан научно-исследовательский комплекс алгоритмов и программ для исследования модели квазиодномерных ферромагнитных систем с помощью ЭВМ. Разработаны 16 алгоритмов и методика по-

строения и интерпретации диаграмм основных состояний модели одномерного ферромагнетика во внешнем магнитном поле с учётом ближнего и дальнего взаимодействия. Указаны точные параметры стабилизации ферромагнитной и антиферромагнитной фазы.

2. На основе разработанного комплекса алгоритмов и программ исследовано влияние периодических граничных условий на диаграммы основных состояний модели квазиодномерного ферромагнетика. Показано, что при замыкании цепочки в кольцо существует всего 3 различных вида диаграмм. Установлено, что энергетический параметр взаимодействия вторых соседей }2, а также немагнитная примесь существенно влияют на вид диаграмм основных состояний.

3. Разработан дополнительный комплекс алгоритмов и программ для построения изотермических фазовых диаграммы с учётом метастабиль-ных состояний магнетика. Показано, что вид фазовых диаграмм зависит от направления процесса. При низких температурах фазовые диаграммы при прямом и обратном превращениях имеют различный вид, и значительное место на них занимают области долгоживущих мётастабильных состояний.

4. Предложен комплекс алгоритмов и программ, позволяющий моделировать кинетические особенности модели ориентационных фазовых переходов "антиферромагнетик —► ферромагнетик" в критической области. Рассчитаны вероятности реализации ферромагнитной и антиферромагнитной фазы для неравновесных процессов. Исследованы некоторые важнейшие динамические и статические критические индексы модели квазиодномерного ферромагнетика. Внедрение немагнитного атома в систему существенно влияет только на зависимость динамического критического индекса Ъ от напряженности поля.

5. В рамках усовершенствованной компьютерной модели исследована равновесная статистика одномерного изинговского ферромагнетика. Полученные результаты в целом качественно согласуются с экспериментальными данными, полученными другими авторами. Внедрение немагнитной примеси существенно не влияет на равновесную статистику одномерного ферромагнетика.

6. Разработан эффективный алгоритм, позволяющий существенно повысить быстродействие компьютерных программ, использующих классический алгоритм Метрополиса для решёточных задач.

Публикации автора по теме диссертации

1. Санников, Е. В. Фазовые переходы в одномерных магнетиках / Е. В. Санников, Р. А. Козлитин, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев // Изв. вузов. Физика.- Томск, 2006, № 3. - С. 54-58.

2. Санников, Е. В. Динамический критический индекс Ъ для квазиодномерных магнетиков в рамках модели Изинга / Е. В. Санников,

Р. А. Козлитин, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев // Ред. журн. «Изв. ву-зов.Физика».-Томск, 2003.- Деп. в ВИНИТИ 05.12.03, № 2112-В2003.- 8 с.

3. Санников, Е, В. Исследование кинетики фазовых переходов ферромагнетик «-+ антиферромагнетик с учётом взаимодействия вторых соседей в одномерной модели Изинга / Е. В. Санников, Р. А. Козлитин, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев; Ред. журн. «Изв. вузов.Физика».-Томск, 2004. - Деп. в ВИНИТИ 15.12.04, № 2000-В2004. - 7 с.

4. Санников, Е. В. Исследование восприимчивости малого одномерного изинговского ферромагнетика / Е. В. Санников, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев И Фундаментальные проблемы современного материаловедения. Т. 2., №2. - Барнаул, 2005. - С. 52-54.

5. Санников, Е. В. Исследование фазовых переходов антиферромагнетик - ферромагнетик и ферромагнетик - антиферромагнетик в рамках модели Изинга / Е. В. Санников, Р. А. Козлитин, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев // Вестник ХГУ им. Н. Ф, Катанова. Выпуск 1. Серия 9: Математика. Физика.-Абакан: Изд-во ХГУ им. Н, Ф. Катанова, 2004. - С. 122-127,

6. Санников, Е. В. Фазовые переходы в одномерных магнетиках с учетом взаимодействия вторых соседей в рамках модели Изинга / Е. В. Санников, Р. А. Козлитин, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев // Вестник ХГУ им. Н. Ф. Катанова Выпуск 2. Серия 9; Математика. Физика. - Абакан: Издательство ХГУ им. Н. Ф. Катанова, 2005. - С. 70-74.

7. Санников, Е. В. Повышение быстродействия и оптимизация компьютерных программ использующих алгоритм Метрополиса / Е.В. Санников, А. Н. Таскин // «Моделирование неравновесных систем - 2005»: материалы VIII Всероссийского семинара. - Красноярск, 2005. - С. 167.

8. Санников, Е. В. Динамический критический индекс Z для одномерного ферромагнетика в рамках аксиальной модели Изинга / Е. В. Санников, В. Н. Удодов // Эволюция дефектных структур в конденсированных средах. Компьютерное моделирование: сборник тезисов докладов. - Барнаул, 2003. - С. 124-126.

9. Санников, Е. В. Критический индекс v для одномерного ферромагнетика в рамках модели Изинга / Е. В. Санников, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев // «Моделирование неравновесных систем - 2005»: материалы VIII Всероссийского семинара.-Красноярск, 2005. - С. 166.

10. Санников, Е.В. Исследование кинетики фазовых переходов ферромагнетик - антиферромагнетик в малой одномерной модели / Е. В. Санников, Р. А. Козлитин, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев // «Моделирование неравновесных систем - 2002»: материалы V Всероссийского семинара, -Красноярск, 2004.-С.144-145. J .

11. Санников, Е.В. Критический индекс Y для одномерного ферромагнетика в рамках модели Изинга / Е.В. Санников, В. Н. Удодов,

A. И. Потекаев // «Моделирование неравновесных систем — 2005»: материалы VIII Всероссийского семинара. - Красноярск, 2005. - С. 167.

12. Санников, Е. В. Нарушение динамического скейлинга малого одномерного магнетика Е. В, Санников, Р. А. Козлитин, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев. //«Моделирование неравновесных систем — 2003»: материалы VI Всероссийского семинара. - Красноярск, 2003. - С. 149-150.

13. Санников, Е, В. Теплоёмкость малого одномерного магнетика с немагнитной примесью в рамках модели Изинга / Е. В. Санников,

B. Н. Удодов // Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности: сборник трудов Второй международной научно-практической конференции. 07-09.01.2006, Санкт-Петербург, Россия / Под ред. А. П. Кудинова, Г. Г. Матвиенко, В. Ф. Самохина. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2006. - С. 288-290.

. 14. Санников, Е. В. Исследование малого одномерного ферромагнетика в рамках модели Изинга / Е. В.Санников, В. Н.Удодов // «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию в электронике»: материалы Международной научно-технической школы-конференции 26-30 сентября 2005 г., г. Москва. - М.: МИРЭА, 2005, часть 1. - С.244-247.

15. Санников, Е. В. Влияние граничных условий на вид фазовых диаграмм основных состояний одномерного ферромагнетика / Е. В. Санников, В. Н. Удодов if «Пленки 2005»: материалы Международной научно-технической школы-конференции. - М.: МИРЭА, 2005, часть 1. - С.234-235.

16. Санников, Е. В. Исследование восприимчивости малого одномерного ферромагнетика с примесью в рамках модели Изинга / Е. В. Санников, В.Н. Удодов // «Моделирование неравновесных систем - 2005»: материалы VIII Всероссийского семинара. - Красноярск, 2005. - С.164-165.

17. Санников, Е. В. Исследование малого одномерного магнетика методом Монте-Карло / Д. В. Спирин, Р. А. Козлитин, Е. В. Санников, В. Н. Удодов // «Моделирование неравновесных систем - 2002»: материалы V Всероссийского семинара. - Красноярск, 2002. - С.151-152.

18. Санников, Е. В. Вероятности реализации одномерных магнитных структур для фазовых переходов антиферромагнетик—»ферромагнетик / Е. В. Санников, В. Н. Удодов // «Моделирование неравновесных систем -2006»: Материалы IX Всероссийского семинара. - Красноярск, 2006. — СЛ59-160.

19. Санников, Е. В. Тестирование результатов компьютерного эксперимента, полученных на основе алгоритма Метрополиса, в рамках одномерной модели Изинга в среде Borland Delphi 7 / Е. В. Санников, В.Н. Удодов // «Моделирование неравновесных систем - 2006»: материалы IX Всероссийского семинара. - Красноярск, 2006. - С.161-162.

Подписано в печать 19.09.2006, Формат60х84 1/16. Печать - ризограф. Бумага офсетная. Физ.печ.л. 1,25. Усл.псч.л. 1,16. Уч.-издл. I. Тираж 100 экз. Заказ № 173.

Отпечатано в типографии Хакасского государственного университета им. Н.Ф. Катанова

655017, г. Абакан, пр. Ленина. 94

Введение.

1 Модели магнетиков.

1.1 Модели квазиодномерных магнетиков.

1.2 Критическое поведение магнитных систем.

1.3 Модель Изинга и ее применение к описанию одномерного ферромагнетика.

1.4 Метод Монте-Карло. Моделирование фазовых переходов между магнитными структурами методом Монте-Карло.

1.5 Постановка задачи.

2 Диаграммы состояний модели одномерного ферромагнетика.

2.1 Методика построения и расчёт диаграмм основных состояний одномерного ферромагнетика.

2.2 Расчёт диаграмм основных состояний одномерного ферромагнетика с немагнитной примесью.

2.3 Расчёт диаграмм основных состояний с учетом взаимодействия первых, вторых и третьих соседей одномерного ферромагнетика.

2.4 Исследование влияния вторых соседей на вид ДОС одномерного ферромагнетика с учетом дальнего взаимодействия.

2.5 Влияние граничных условий на вид ДОС с учетом взаимодействия первых и вторых соседей одномерного ферромагнетика.

2.6 Фазовые диаграммы магнитных превращений в поле внешних напряжений при постоянной температуре с учетом метастабильных состояний.

2.7 Повышение быстродействия и оптимизация компьютерных программ, использующих алгоритм Метрополиса.

2.8 Разработанные алгоритмы и некоторые программы для исследования одномерных ферромагнетиков.

Выводы по второму разделу.

3 Моделирование кинетики фазовых переходов анитиферромагнетик—^ферромагнетик (АФ —> Ф).

3.1 Вероятности реализации магнитных структур в магнитных фазовых переходах ферримагнетик—^ферромагнетик.

3.2 Распределение Гиббса и критерий "хи - квадрат".

3.3 Расчет критического индекса корреляционной длины v для одномерного ферромагнетика.

3.4 Критический индекс времени релаксации Y для одномерного ферромагнетика

3.5 Динамический критический индекс Z одномерного ферромагнетика.

Выводы по третьему разделу.

4 Расчет термодинамических функций модели одномерного ферромагнетика.

4.1 Расчет параметра порядка одномерного ферромагнетика.

4.2 Расчет магнитной восприимчивости % одномерного ферромагнетика.

4.3 Расчет теплоёмкости одномерного ферромагнетика.

Выводы по четвёртому разделу.

В последние десятилетия моделирование низкоразмерных магнитных систем привлекает всё большее внимание [1-6]. Низкоразмерные магнетики актуальны как один из классов таких систем, а их моделирование позволит продвинуться в создании теории компьютерного конструирования принципиально новых материалов [7]. В последние годы интерес к моделированию низкомерных магнитных систем усилился ещё и в связи с тем, что были синтезированы вещества, которые можно рассматривать как аналоги низкомерных модельных систем [3,8] и в связи с возможными приложениями.

Всё большое внимание уделяется вопросам моделирования, связанным с природой образования тех или иных вариантов упорядоченных фаз квазиодномерных магнетиков, имеющих сложную структуру. В этом отношении моделирование магнитных фазовых переходов представлет собой обширную и еще не завершенную область исследований, где в последние десятилетия активно выясняется природа переходов в магнитоупорядоченное состояние в самых разнообразных кристаллах [8].

Моделирование систем конечных размеров позволяет воспроизвести многие существенные черты фазовых переходов, а исследование их особенностей, в зависимости от размеров системы, дает много ценной информации о фазовых переходах в "бесконечных" системах.

Менее изученными являются модели магнитных фазовых переходов типа порядок—► порядок (в том числе и переходы антиферромагнетик—^-ферромагнетик), связанные с перестройкой магнитной структуры под действием внешнего магнитного поля [7,8]. На данный момент найдено множество образцов реальных квазиодномерных ферромагнетиков, свойства которых, несмотря на большой экспериментальный материал, далеко ещё не изучены [8].

Именно поэтому много внимания уделяется моделированию низкоразмерных ферромагнетиков, а также изучению кинетики магнитного фазового перехода антиферромагнетик —> ферромагнетик [3,8,9]. Кинетические свойства таких ферромагнетиков интенсивно исследуются [8-12], однако экспериментальные измерения всё еще вызывают большие трудности [8]. В такой ситуации логичным является проведение исследования методами компьютерного моделирования [1-3], причем целесообразно использовать хорошо зарекомендовавшую себя модель Изинга [13-22] в сочетании с известным методом Монте-Карло [23-25]. Многочисленные исследования, выполненные методами Монте-Карло, убедительно доказали их пригодность [3].

Актуальность данной работы определяется возросшим интересом к моделированию свойств одно- и двумерных ферромагнетиков в последние годы. Особый интерес к таким системам обусловлен перспективностью их использования в качестве магнитных носителей информации нового поколения. Внимание к моделированию малых систем возросло не только из-за значительных перспектив их практического применения [26-30], но и в связи с тем, что малые частицы (кластеры) являются мезоскопическими объектами, т.е. их можно рассматривать как промежуточное звено между классическим макромиром и квантовым микромиром [31-41]. Несмотря на значительное количество исследований различных свойств малых квазиодномерных ферромагнетиков, их критические свойства практически не изучены, а значительное количество экспериментальных данных не имеют единого теоретического описания.

Тем не менее, в последнее время наметился существенный прогресс в понимании физических процессов, происходящих в низкоразмерных системах. Это, в первую очередь, обусловлено возможностью получения качественных монокристаллов металлооксидных соединений. Ранее детально исследованные квазиодномерные системы, представляли собой органические соединения с довольно сложной структурой и были сложны в изготовлении. Наличие химически устойчивых квазиодномерных систем позволило проводить более детальное изучение их физических свойств методами компьютерного моделирования [42]. При этом серьёзный интерес представляет моделирование низкомерных ферромагнитных систем в следующих аспектах: а) при изучении формирования ферромагнитного порядка и его особенностей в кристаллах с различной магнитной размерностью и типами обменного взаимодействия; б) при исследовании критического поведения ферромагнетиков в области фазового перехода в магнитоупорядоченное состояние; в) при возникновении ориентационных фазовых переходов, связанных с перестройкой ферромагнитной структуры во внешнем магнитном поле [8].

Необходимо также отметить, что в последние два десятилетия усилия многих исследователей были направлены на изучение того, как примеси и другие дефекты структуры сказываются на поведении различных квазиодномерных ферромагнитных систем при фазовых переходах. Особенно интересно математическое моделирование замороженных примесей, чье присутствие проявляется как случайные возмущения локальной температуры для ферромагнитных систем в отсутствие внешнего магнитного поля [43]. При этом исследование стабильности различных структур как чистого ферромагнетика, так и с вмороженной немагнитной примесью - одна из центральных проблем физики магнетизма, в том числе и для малых низкоразмерных систем. Поэтому расчёт диаграмм стабильности фаз одномерного ферромагнетика является одной из первоочередных задач исследования малых низкоразмерных магнитных систем [44,45]. Использование методов компьютерного моделирования в рамках одномерной модели Изинга конечного размера позволит решить ряд задач, связанных с разработкой новых математических методов и алгоритмов моделирования квазиодномерных ферромагнитных систем.

Таким образом, объект исследования - критическое поведение квазиодномерных ферромагнетиков в зависимости от внешних и внутренних энергетических параметров. Предметом исследования настоящей работы является компьютерное моделирование магнитных фазовых превращений в рамках модели Изинга.

Основная идея диссертации

В рамках усовершенствованной модели Изинга разработать методы моделирования кинетических свойств и критического поведения квазиодномерных магнетиков.

Целью диссертационной работы является разработка и применение компьютерных моделей, алгоритмов и прикладных программ для комплексного исследования критического поведения квазиодномерного ферромагнетика в рамках обобщенной модели Изинга конечных размеров методами Монте-Карло.

Методы исследований. Использовался классический алгоритм Метрополией как вариант статистического метода Монте-Карло, а также классический метод распределения Гиббса статистической механики.

Основные результаты

1 На основе усовершенствованной компьютерной модели, разработан комплекс алгоритмов и программ для расчета диаграмм основных состояний квазиодномерного ферромагнетика, а также фазовых диаграмм магнитных превращений в кристаллах, позволяющих рассчитывать диаграммы в плоскостях изменения энергетических параметров при конечных температурах.

2 Разработан комплекс алгоритмов и прикладных программ для исследования кинетических особенностей модели ориентационных фазовых переходов антиферромагнетик—^ферромагнетик, критического поведения модели квазиодномерного ферромагнетика, а также равновесной статистики одномерного ферромагнетика.

3 Разработан новый математический алгоритм, позволяющий существенно повысить быстродействие компьютерных программ, использующих классический алгоритм Метрополиса для решёточных задач.

Научная новизна работы

1. Разработан научно-исследовательский комплекс алгоритмов и программ для исследования малого квазиодномерного ферромагнетика в рамках модели Изинга конечного размера с немагнитной примесью.

2. Разработана методика расчёта диаграмм основных состояний модели квазиодномерного ферромагнетика с вмороженным немагнитным примесным атомом, а также методика расчёта фазовых диаграмм при конечных температурах с учётом метастабильных состояний. Выявлены основные закономерности влияния граничных условий модели, а также параметра взаимодействия неближайших соседей на спектр стабильных структур модели квазиодномерного ферромагнетика.

3. В рамках усовершенствованной модели рассчитаны характеристики критической динамики квазиодномерного ферромагнетика. Методами компьютерного моделирования найдены закономерности ориентационных фазовых переходов: "антиферромагнетик-*ферромагнетик" и "ферримагнетик—► ферромагнетик". Рассчитаны термодинамические характеристики квазиодномерного ферромагнетика (параметр порядка, теплоёмкость, восприимчивость) и влияние на них немагнитной примеси.

Значение для теории

На основе усовершенствованной модели разработан подход, позволяющий строить диаграммы основных состояний с немагнитной примесью и фазовые диаграммы для квазиодномерных ферромагнетиков. Рассчитанные динамические и статические индексы могут использоваться при трактовке физических процессов в реальных квазиодномерных ферромагнетиках с точки зрения теории критических явлений, физической кинетики и критической динамики. Разработана теоретическая методика изучения моделей квазиодномерных ферромагнетиков и комплекс прикладных компьютерных программ.

Значение для практики Рассчитанные диаграммы основных состояний и фазовые диаграммы дают теоретическую основу для конструирования новых материалов с использованием магнитных превращений. В связи с быстрым развитием теории моделирования полученные результаты могут применяться в разработке материалов с использованием нанотехнологий. На основе разработанного комплекса алгоритмов и программ возможна математическая обработка экспериментальных данных реального эксперимента. Предложен алгоритм, позволяющий значительно повысить быстродействие компьютерных программ, использующих классический алгоритм Метрополиса для решёточных задач.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием в качестве базовой - классической модели Изинга, хорошо зарекомендовавшего себя метода статистических испытаний - метода Монте-Карло, применением апробированных и надежных численных алгоритмов и программ и подтверждается сопоставлением с данными экспериментальных исследований, а также с результатами, полученными другими авторами. Отметим, что методы Монте-Карло и распределение Гиббса имеют надежное математическое обоснование.

Использование результатов диссертации Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в учебном процессе для студентов и аспирантов и при создании нового программного обеспечения в Хакасском государственном университете им. Н.Ф. Катанова, в Томском государственном университете, Сибирском физико-техническом институте им. акад. В. Д. Кузнецова (г. Томск), Томском государственном архитектурно-строительном университете, Институте физики прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск), Институте металлофизики НАН Украины (г. Киев).

Личный вклад автора состоит в участии в постановке задач, разработке алгоритмов и программ, проведении численных расчетов и анализе результатов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования были изложены на ежегодных "Республиканских Катановских чтениях" (2002-2006 гг., г. Абакан), на 5,7,8,9 Всероссийских семинарах "Моделирование неравновесных систем" (2002 - 2006 гг, г. Красноярск), на Международных конференциях: "Эволюция дефектных структур в конденсированных средах" (2003 г., г. Барнаул); «Современные проблемы физики и высокие технологии» (2003 г., г. Томск); «Фундаментальные проблемы современного материаловедения» (2005 г., г. Барнаул); на Международной научно-технической школе-конференции «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию в электронике» (26-30 сентября 2005 г., г. Москва); «Пленки 2005» (2005 г., г. Москва), Второй международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» ( 7-9 января 2006 г., г. Санкт-Петербург).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 научных работ, из которых: 1 статья в периодическом издании и в соответствии со списком BAJEC, 3 статьи в научных журналах, 2 статьи депонированы в ВИНИТИ, 4 работы в сборниках международных научно-технических конференций, 9 работ в материалах Всероссийских научно-технических конференций.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, содержит основной текст на 125 е., 48 иллюстраций, одну таблицу, список литературы из 104 наименований.

Выводы по четвёртому разделу

Используя разработанный комплекс алгоритмов и программ, проведено исследование некоторых термодинамических функций одномерного ферромагнетика в состоянии термодинамического равновесия.

Методами компьютерного моделирования показано, что намагниченность одномерного ферромагнетика является убывающей функцией температуры в постоянном внешнем магнитном поле, имеющей максимум при Т —> 0. Намагниченность является возрастающей функцией Н, N и J2. Поведение намагниченности качественно согласуется с экспериментальными данными в реальных трехмерных и квазиодномерных образцах. Для систем с примесным немагнитным атомом аналогичные зависимости качественно не меняются.

На основе разработанного комплекса алгоритмов и программ показано, чтохарактер зависимости %(Н) одномерного изинговского ферромагнетика отличается от аналогичной экспериментальной зависимости реальных трёхмерных и квазиодномерных образцов только отсутствием области возрастания восприимчивости до максимального значения. В случае образца с наличием немагнитного примесного атома поведение восприимчивости существенно не меняется.

Температурная зависимость теплоёмкости имеет совпадающий максимум для всех малых N < 10. Это отличается от систем также достаточно малых (порядка

2000), но несколько больших по размеру, у которых смещение температурного максимума зависит от размеров системы. При этом зависимость С(Н) различна при разных температурах. При высоких температурах С(Н) монотонная возрастающая функция, и убывающая при низких и средних температурах. Причём для систем с примесным немагнитным атомом все значения и зависимости теплоёмкости от разных параметров практически не отличаются

Методом конечномерного масштабирования был рассчитан критический индекс теплоёмкости а. Показано, что среднее значение критического индекса <а> составляет <а> = - 0,1 ±0,016, что практически совпадает со средним значением критического индекса <а> для реальных переходных ферромагнитных металлов. Для сравнения у Ni, Fe <а> ~ - ОД 1 [11].

Исследования реальных квазиодномерных систем показали [11], что присутствие замороженных примесей изменяет свойства лишь тех магнетиков при фазовых переходах, теплоемкость которых в однородном состоянии расходится в критической точке с индексом а > 0. В противном случае, присутствие примесей не сказывается на поведении магнетиков при критической температуре, что и наблюдается для одномерного ферромагнетика <а> = - ОД < 0.

Таким образом, в рамках разработанного комплекса алгоритмов и программ показано, что внедрение немагнитного примесного атома существенно не влияет на равновесную статистику одномерного изинговского ферромагнетика.

Перечень разработанных автором алгоритмов расчёта

1) Алгоритм расчёта ДОС чистого магнетика.

2) Алгоритм расчёта ДОС магнетика с немагнитной примесью.

3) Алгоритм расчёта ФД напряженность-энергия взаимодействия.

4) Алгоритм расчёта ФД напряженность-температура.

5) Алгоритм расчёта вероятностей реализации магнитных структур.

6) Алгоритм расчёта энтропии для магнитных превращений.

7) Алгоритм расчёта корреляционной длины с радиусом взаимодействия R=1 для чистого и примесного ферромагнетика.

8) Алгоритм расчёта корреляционной длины \ с радиусом взаимодействия R=2 для чистого и примесного ферромагнетика.

9) Алгоритм расчёта показателя корреляционной длины v для чистого и примесного ферромагнетиков.

10) Алгоритм расчёта Времени релаксации т.

11) Алгоритм расчёта кинетического критического индекса времени релаксации Y для обоих сортов ферромагнетиков.

12) Алгоритм расчёта динамического критического индекса Z для обоих сортов ферромагнетиков.

13) Алгоритм расчёта намагниченности для обоих сортов ферромагнетиков.

14) Алгоритм расчёта восприимчивости для обоих сортов ферромагнетиков.

15) Алгоритм расчёта теплоёмкости для обоих сортов ферромагнетиков.

16) Алгоритм расчёта существенно повышающего быстродействие компьютерных программ, использующих классический алгоритм Метрополиса для решеточных задач.

Заключение

1) Разработан научно-исследовательский комплекс алгоритмов и программ для исследования модели одномерных ферромагнитных систем с помощью ЭВМ. Разработано 16 алгоритмов, методика построения и интерпретации диаграмм основных состояний модели одномерного ферромагнетика во внешнем магнитном поле при температуре абсолютного нуля с учётом ближнего и дальнего взаимодействия. Указаны точные параметры стабилизации ферромагнитной и антиферромагнитной фазы.

2) В рамках разработанного комплекса алгоритмов и программ исследовано влияние периодических граничных условий на диаграммы основных состояний модели одномерного ферромагнетика. Показано, что при замыкании цепочки в кольцо существует всего 3 различных вида диаграмм. Установлено, что энергетический параметр Jji существенно влияет на вид диаграмм в координатах Н и J;. Показано, что с уменьшением Jj.i ферромагнетик становится менее стабильным, а внедрение немагнитной примеси увеличивает количество ферромагнитных областей на диаграммах основных состояний в 2 раза.

3) Разработан дополнительный комплекс алгоритмов и программ для построения изотермических фазовых диаграммы с учётом метастабильных состояний магнетика. При низких температурах фазовые диаграммы при прямом и обратном превращениях имеют различный вид, и значительное место на них занимают области долгоживущих метастабильных состояний.

4) Предложен комплекс алгоритмов и программ, позволяющий моделировать кинетические особенности модели ориентационных фазовых переходов антиферромагнетик —> ферромагнетик в критической области. Рассчитаны вероятности реализации ферромагнитной и антиферромагнитной фазы для неравновесных процессов. Исследованы некоторые важнейшие динамические и статические критические индексы модели квазиодномерного ферромагнетика. Внедрение немагнитного атома в систему существенно влияет только на зависимость динамического критического индекса Z от напряженности поля. Гипотеза динамического скейлинга Y = vZ не выполняется.

5) В рамках усовершенствованной компьютерной модели исследована равновесная статистика одномерного изинговского ферромагнетика. Полученные результаты в целом качественно согласуется с экспериментальными данными полученными другими авторами. Внедрение немагнитной примеси существенно не влияет на равновесную статистику одномерного ферромагнетика.

6) Разработан новый математический алгоритм, позволяющий существенно повысить быстродействие компьютерных программ, использующих классический алгоритм Метрополиса.

1. Гулд, X. Компьютерное моделирование в физике Текст. / X. Гулд, Я, Тобочник.-М: Мир,1990.-400 с.

2. Биндер, К. Методы Монте-Карло в статистической физике Текст. / К. Биндер. М.: Мир, 1982.- 400 с.

3. Камилов, И.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте Карло Текст. / И.К. Камилов, А.К. Муртазаев, Х.К. Алиев //УФН.-1999.- Т.169.-Ж7.- с. 773-795.

4. Белащенко, Д.К. Компьютерное моделирование некристаллических веществ метододами молекулярной динамики / Д.К. Белащенко // Соросовский Образовательный Журнал. 2001. № 8. с. 44-50.

5. Немухин, А.В. Компьютерное моделирование в химии / А.В. Немухин // Соросовский Образовательный Журнал. 1998. № 6. с. 48-52.

6. Скнепнек, Р. Размытый фазовый переход в трёхмерной модели Изинга с планарными дефектами. Моделирование методом Монте-Карло / Р. Скнепнек, Т. Войта. // Phys. Rev. В. 2004. v. 69, № 17 с. 174410/1-174410/9 Англ.

7. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов Текст. / Под ред. В. Е. Панина Новосибирск: Наука, 1995.-302 с.

8. Александров, К.С.Магнитные фазовые переходы в галоидных кристаллах Текст. / К.С. Александров, Н.В. Федосеева, И.П. Спевакова. Новосибирск: Наука. - 1983.-192 с.

9. Туров, Е.А. Симметрия и физические свойства антиферромагнетиков Текст. / Е.А.Туров, А.В.Колчанов, В.В.Меныненин, И.Ф.Мирсаев.- Физматлит, М. -2001.-560 с.

10. Ма, Ш. Современная теория критических явлений Текст. / Ш. Ма; перевод с англ. А.Н. Ермилова, A.M. Курбатова-М.: Мир, 1980 -304 с.

11. Тикадзуми, С. Физика ферромагнетизма. Магнитные свойства вещества Текст. / С. Тикадзуми; перевод, с япон. М.В. Быстрова М.: Мир, 1983.-304 с.

12. Бекстер, Р. Точно решаемые модели в статистической механике Текст. / Р. Бекстер; перевод с англ. Е. П. Вольского, Л. И. Дайхина. -М.:Мир, 1985.-488 с.

13. Емченко, О.В. Реализация модели Изинга для магнетиков в случае слабого топологического беспорядка / О.В. Емченко, Маякова С.А. // Вестн. УГАТУ. 2004. 5, №2, с. 67-73.

14. Xavier, I. Exact calculation of the energy contributions to the T=0 random-field Ising model with metastabile dynamics on the Bethe lattice /1. Xavier, O. Jordi // Phys. Rev. B. 2005. v. 71, № 18, c. 184435/1-184435/6.

15. Оитмаа, И. Ферримагнетизм и точки компенсации в декорированной трёхмерной модели Изинга / Й. Оитмаа, В. Шенг. // Physica. А. 2003. v. 328, № 1-2, с. 185-192.

16. Бородихин, В.Н. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей / В.Н. Бородихин, Д.В. Дмитриев, В.В. Прудников // Изв.вузов. Физика, 2004.-№5- С.58-62.

17. Белоколос, Е. Д. Теория мартенситных переходов в поле внешних напряжений на основе аксиальной модели Изинга. Приложение к системе Cu-Al-Ni Текст. : препринт ИМФ 15.88 / Е. Д. Белоколос, А.Ю. Гаевский. Киев, 1988.-30 с.

18. Болецкая, Т.К. Применение модели Изинга со случайным магнитным полем для описания спиновых стёкол / Т.К. Болецкая, Н.Н. Криченко // Вестн. Омск, ун-та. 2003, №4, с. 22-23.

19. Канеёши, Т. Новые аспекты магнитных свойств тонких плёнок в поперечной модели Изинга / Т. Канеёши // Physica. В. 2003. 329-333, с. 862-863.

20. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела Текст.: учеб. руководство /

21. Ч. Китель; перевод с англ. А. А. Гусевой, А. В. Пахнева. -М:. Наука, 1978. -792 с. 40000 экз.

22. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие Текст. В 10 т. Т. 5. Статистическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука, 1995.— 608 с.-ISBN 5-02-014423-1.

23. Биндер, К. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике Текст. / К.Биндер, Д.В. Хеерман. М:. Наука, 1995.-300 с.

24. Замалин, В.М. Методы Монте-Карло в статистической физике Текст. / В.М. Замалин, Г.Э. Норман, В.С.Филинов; М:. Наука, 2003. - 250 с.

25. Хеерман, Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике Текст. / Д.В. Хеерман . М:. Наука, 1999. - 350 с.

26. Гроуссон, М. Изучение методом Монте-Карло фрустрированного изингова ферромагнетика / М. Гроуссон, Дж. Тарьюс // Phys. Rev. Е. 2001. v. 64, № 3, ч. 2, с. 036109/1-036109/9.

27. Петров, Ю.И. Физика малых частиц Текст. / Ю.И. Петров. М.: Наука, 2004.208 с.

28. Katzgraber, H.G. Dynamical scaling in Ising and vector spin glasses / H.G. Katzgraber, I A. Campbell //Phys. Rev. B. 2005. v. 72, № 1, c. 014462/1014462/13.

29. Шенг, Г. Выращивание низкоразмерных магнитных наноструктур на диэлектрике / Г. Шенг, Дж. Фарнан // Appl. Phys. Lett. 2002. 81, № 4, с. 742744.

30. Монсеау, П. Распределение кластеров по фрактальным размерностям между 2 и 3, моделируемое методом Монте-Карло. Скейлинговые свойства и динамические аспекты в модели Изинга / П. Монсеау, П. Хсиао // Phys. Rev. В. 2002. v. 66, № 10, с. 104422/1-104422/5.

31. Мейлихов, Е.З. Магнитное упорядочение в случайной системе точечных изинговых диполей / Е.З. Мейлихов // ЖЭТФ. 2003. 124, № з, с 650-655

32. Козлов, Э. В. Структуры и стабильность упорядоченных фаз Текст. / Э. В. Козлов [и др.].- Томск: Изд-во Томского ун-та, 1994 248 с. — 1000 экз. — ISBN 5-7511-0713-6.

33. Калита, В.М. О магнитных фазовых переходах типа смещения при спиновом упорядочении в магнетиках с сильной одноионной анизотропией / В.М. Калита, В.М. Локтев // ФТТ. 2003. 45, № 8, с. 1450-1455.

34. Мейлихов, Е.З. Магнитные свойства случайной системы линейных изинговских диполей / Е.З. Мейлихов, P.M. Файзетдинова // ЖЭТФ. 2003. 124, №3, с 656-663.

35. Кассан-Оглы Ф.А. Рассеяние нейтронов на цепочке спинов в магнитном поле в модели Изинга. / Ф.А. Кассан-Оглы, В.Е. Найш, И.В. Сагарадзе // Физ. мет. и металловед. 2003. т . 96, № 3, с 39 51.

36. Зиновьев, Ю.М. Спонтанная намагниченность в двумерной модели Изинга / Ю.М. Зиновьев // Теор. и мат. Физ. 2003. 136, № 3, с. 444-462.

37. Шутз, Ф. Незатухающий спиновый поток в мезоскопическом гейзенберговском кольце / Ф. Шутз, М. Коллар, П. Копиетз // Phys. Rev. В. 2003. v. 91, № 1, с. 017205/1-017205/4.

38. Катсоулакис, М. Мезоскопическое моделирование непрерывных систем со спиновой решёткой. Модельные задачи и микромагнитные применения / М. Катсоулакис, П. Плечак // J. Statist. Phys. 2005. v. 119, № 1-2, с. 347-389.

39. Гаевский, А. Ю. Статистико-механическая теория плотноупакованных кристаллов. Низкотемпературное разложение Текст. : препринт ИМФ 24.88 / А. Ю. Гаевский. Киев, 1988.- 36 с.

40. Карпасюк В.К. Современные физические методы исследования материалов Текст.: учеб. пособие для вузов / В.К. Карпасюк. Астрахань, 1994- 232 с.

41. Манаков, Н.А. Численное моделирование процесса перемагничивания неоднородных цилиндрических квазиоднодоменных частиц / Н.А. Манаков, И.В. Лебедев, Ю.В. Толстобровов // Вестн. Оренбург, гос. ун-та. 2004, № 10, с. 119-122.

42. Марков, О.Н. Фазовая диаграмма неупорядоченной антиферромагнитной модели изинга с конкурирующими взаимодействиями / О.Н. Марков, Е.В. Осинцев, В.В. Прудников // Вестник Омского университета, 1996, Вып. 2. С. 47-49.

43. Ефремов, О.Н. Фазовая диаграмма магнетика с ромбической симметрией / О.Н. Ефремов //Научные доклады Ежегодной межвузовской 58 научной конференции СГПУ. Изд-во СамГПУ. 2004, с. 232-236.

44. Лозано, Г.С. Статические свойства диссипативной случайной квантовой изинговой ферромагнитной цепочки / Г.С. Лозано, X. Лозза // Phys. Rev. В. 2005. v. 71, № 22 с. 224421/1-224421/9.

45. William, J. L., Spin-wave response in the one-dimensional anisotropic antiferromagnet CsCoCl3 Text. / J. L.William, I. K. Buyezs, J Yamanaka. // Solid State Commun. 1980, v. 33, p. 857—860.

46. Smith, T. Linear chain antiferromagnetism in CsMnCl3'2H20 Text. / T. Smith, S.A.Friedberg // Phys. Rev. 2005, v. 176, №2, p. 660—665.

47. McCurn, A. R. Effect of single ion anisotropy on the critical temperature of classical quasi-dimensional magnets Text. / A. R. McCurn, D. J. Scalapino, Y. Imry // Solid State Gommun., 1975. v. 17, N 3, p. 305 308.

48. Lebesque, I. V. CsNiF3: Ferromagnetic chains with X Y like anisotropy Text. /1. V. Lebesque, I. Snel, 1.1. Smit //.- Solid State Commun., 1973, v. 13, N 3, p. 371373.

49. Liu, X. Dynamical phase transition in a spin-crossover complex / X. Liu, Moritomo Y// J. Phys. Soc. Jap. 2003. v. 72, № 7, c. 1615-1618.

50. Миао, M. Квантовая динамика молекулярного магнетика во внешнем магнитном поле / М. Миао, Ксиминг Ч, Чанг П // Phys. Rev. В. 2004. 70, № 21, с. 214408/1-214408/5.

51. Фишер, М. Е. Природа критического состояния Текст. / М. Е. Фишер М.: Мир, 1968, 222 с.

52. Hirotsu, S. Jahn Teller. Induced phase transition in CsCuCl3: structural phase transition with helical atomic displacements Text. / S. J. Hirotsu // J. Phis. C:Solid State Phys., 1997, v. 10, p. 967 - 985.

53. Ютака, С.Численное моделирование однонаправленной анизотропии в обменно-связанных слоях ферромагнетик(Ф)/антиферромагнетик(АФ) с компенсированной АФ-гетерограницей / С. Ютака, Ф. Хидео // J. Appl. Phys. 2003. v. 93, № 10, ч.З, с. 8615-8617

54. Беннет, А.Д. Моделирование магнитной восприимчивости решеток магнитных нанопроволок / А.Д. Беннет, Д.М. Key // J. Appl. Phys. 2003. v. 82, № 19, с. 3304-3306.

55. Dunlavy, M.J. Critical slowing down in the two-dimensional Ising model measured using ferromagnetic ultrathin films / M.J. Dunlavy, D. Venus // Phys. Rev. B. 2005. v. 71, № 14, c. 144406/1-144406/6.

56. Гавилано, Д.JI. Необычные магнитные свойства низкоразмерного квантового магнетика Ка2Уз07 / Д.Л. Гавилано, Е. Фелдер // Phys. Rev. В. 2005. v. 72, № 6, с. 064431/1-064431/10.

57. Тошихиро, К. Изучение частично разупорядоченных состояний аксиальной модели Изинга со смешанным спином и вторыми ближайшими соседями методом Монте-Карло / К. Тошихиро, И. Тошихиро // Czechosl. J. Phys. 2004. v. 54, прил. 4, с. 635-638.

58. Eibschutz, М. Magnetism in orbitally unguenched cheinar compounds. II. The ferromagnetic case: RbFeCl3 Text. / M. Eibschutz, M. E. Lines, R. C. Sperwood // Phys. Rev., 1975, v. Bll,№ 11, p. 4595-4605.

59. Бострем, И.Г. К вопросу о квантовом плато намагниченности в металл-органических квазиодномерных ферромагнетиках / И.Г. Бострем, А.С. Боярченко, А.А. Коновалов // ЖЭТФ. 2003. т. 124, № 3, с. 680-690.

60. Калита, В.М. Температурные магнитные фазовые переходы при конкуренции одно- и межионной магнитных анизотропий / В.М. Калита, В.М. Локтев // ФТТ 2005. v. 47, № 4, с 666-672.

61. Шульц, М. Кинетически ограниченная модель Изинга с временной задержкой / М. Шульц, С. Тримпер // Phys. Status solidi. В. 2002. v. 231, № 2, с. 477-484.

62. Юинг, JI. Моделирование методом Монте-Карло ориентационного перехода в гейзенберговской модели с дипольным взаимодействием / JI. Юинг, К. Нанксиан // Solid State Commun. 2003. v 126, № 4, c.223-227.

63. Kang Kun Wu, Brown T. Refinement of the crystal structure of Na2MnCl4 Text. / Kang Kun Wu, T. Brown // Acta Cristallogr., 1971, v. B27, p. 1672 1674.

64. Удодов, B.H. Фазовые переходы в малых решеточных моделях как аналог переходов в больших системах Текст. / Удодов В.Н., Паскаль Ю.И., Потекаев А.И. // Металлофизика и новейшие технологии. 1994.- Т.16, №5.- С.43- 51.

65. Удодов, В.Н. Статистическое моделирование политипных переходов на основе конечных цепочек Изинга Текст. / В.Н. Удодов, B.C. Игнатенко, М.Б. Симоненко, Ю.И. Паскаль, А.И. Потекаев // Металлофизика и новейшие технологии.- 1997.-Т.19, №5.- С.37-39.

66. Паташинский, А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов Текст. / А.З.Паташинский,В .А.Покровский. М.: Наука, 1982382 с.

67. Васильев, А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике / А. Н. Васильев. СПб.: Изд-во ПИЯФ, 1998.-774 с.

68. Стенли, Г. Фазовые переходы и критические явления Текст. / Г. Стенли. М.: Мир, 1973.-401 с.

69. Хатско, Е.Н. Изучение слоистого изингова магнетика CsDy(Mo04)2 методом рассеяния нейтронов / Е.Н. Хатско, А. Желудёв // Физ. низ. температур. 2004. Т. 30, №2, с. 184-192.

70. Ксавиер, И. Точное вычисление вкладов энергии в модель Изинга со случайным полем при Т=0 с метастабильной динамикой на решётке Бете / И. Ксавиер, О. Джорди // Phys. Rev. В. 2005. v. 71, № 18, с. 184435/1-184435/6.

71. Глейзер, П. Медленная динамика в двумерной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями / П. Глейзер, Ф. Тамарит, С. Каннас // Phys. Rev. В. 2003. v. 68, № 13, с. 134401/1-134401/6.

72. Беттс, Д.Д. Новый метод расчёта свойств антиферромагнитных моделей Изинга с S=l/2 на бесконечной квадратной решётке при произвольных температурах и магнитных полях / Д.Д. Беттс // Physica. А. 2003. V 330, № 3-4, с. 507-518.

73. Боярский, J1.A. Об устойчивости неколлинеарной антиферромагнитной структуры в редкоземельных металлах и сплавах Текст. / Л.А.Боярский // «Сплавы редких метгалов с особыми физическими свойствами», М.: Наука, 1983.- с. 42-45.

74. Ращиков, В. И. Численные методы решения физических задач : Учебное пособие для ВТУЗов / В. И. Ращиков, А. С. Рошаль. СПб.: Издательство «Лань», 2005.-208 с.

75. Эфрос, А.Л. Физика и геометрия беспорядка Текст. / А. Л. Эфрос. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 176 с.

76. Вуд, В. В. Исследование моделей простых жидкостей методом Монте-Карло Текст. / Вуд, В.В.- М.: Мир, 1978.- 195 с.

77. Санников, Е.В. Исследование малого одномерного магнетика методом Монте-Карло /Д.В. Спирин, Р.А. Козлитин, Е.В. Санников, В.Н. Удодов // «Моделирование неравновесных систем -2002». -Материалы V Всероссийского семинара. Красноярск, 2002. -С. 151-152.

78. Санников, Е.В. Динамический критический индекс Z для одномерного ферромагнетика в рамках аксиальной модели Изинга / Санников Е.В., Удодов

79. B.Н. //. Эволюция дефектных структур в конденсированных средах. Компьютерное моделирование. Сборник тезисов докладов. Барнаул, 2003.1. C.124-126.

80. Санников, Е.В. Исследование кинетики фазовых переходов ферромагнетик -антиферромагнетик в малой одномерной модели / Е.В. Санников, Р.А.

81. Козлитин, В.Н. Удодов, А.И. Потекаев //«Моделирование неравновесных систем-2002». -Материалы V Всероссийского семинара. Красноярск, 2004. -С.144-145.

82. Санников, Е.В. Критический индекс Y для одномерного ферромагнетика в рамках модели Изинга / Санников, В.Н. Удодов, А.И. Потекаев // «Моделирование неравновесных систем -2005». -Материалы VIII Всероссийского семинара. Красноярск, 2005. -С. 167.

83. Санников, Е.В. Критический индекс v для одномерного ферромагнетика в рамках модели Изинга / Е.В. Санников, В.Н. Удодов, А.И. Потекаев // «Моделирование неравновесных систем -2005». -Материалы VIII Всероссийского семинара. Красноярск, 2005. - С. 166.

84. Санников, Е.В. Динамический критический индекс Z для квазиодномерных магнетиков в рамках модели Изинга / Е. В. Санников, Р.А. Козлитин, В.Н. Удодов, А.И. Потекаев //Ред. Журн. «Изв. вузов.Физика».-Томск, 2003.- Деп. в ВИНИТИ 05.12.03, № 2112-В2003.-8с.

85. Санников, Е.В. Исследование кинетики фазовых переходов ферромагнетик <-> антиферромагнетик с учётом взаимодействия вторых соседей в одномерной модели Изинга / Е. В.Санников, Р.А.Козлитин, В.Н.Удодов, А.И. Потекаев;

86. Ред. Журн. «Изв. вузов.Физика».-Томск, 2004.- Деп. в ВИНИТИ 15.12.04, № 2000-В2004.-7с.

87. Санников, Е.В. Исследование восприимчивости малого одномерного изинговского ферромагнетика/Е.В.Санников, В.Н.Удодов, А.И. Потекаев //Фундаментальные проблемы современного материаловедения. Т.2.№2 -Барнаул,2005. -С. 52-54.

88. Санников, Е.В. Нарушение динамического скейлинга малого одномерного магнетика Е.В. Санников, Р.А. Козлитин, В.Н. Удодов, А.И. Потекаев. //«Моделирование неравновесных систем-2003». -Материалы VI Всероссийского семинара. Красноярск, 2003. - С. 149-150.

89. Санников, Е.В. Фазовые переходы в одномерных магнетиках / Е.В.Санников, Р.А. Козлитин, В.Н.Удодов, А.И. Потекаев // Изв.вузов. Физика Томск, 2006, №3.-С. 54-58.

90. Байдышев, B.C. Политипные превращения в плотноупакованных кристаллах в рамках перколяционного подхода Текст. / B.C. Байдышев, В. Н. Удодов,

91. A. И. Потекаев; Ред. журн. "Изв. вузов. Физика". — Томск, 2005. — 15 с. — Деп. в ВИНИТИ 20.04.05, № 561-В2005.

92. Байдышев, B.C. Статистическая теория метастабильных фазовых диаграмм политипных превращений в плотноупакованных кристаллах Текст. /

93. B. С. Байдышев, В. Н. Удодов, А. А. Попов, А. И. Потекаев; Ред. журн. "Изв. вузов. Физика". — Томск, 2005. — 16 с. — Деп. в ВИНИТИ 20.04.05, № 562-В2005.

94. Байдышев, В. С. Фазовые диаграммы политипных превращений в плотноупакованных кристаллах с учетом метастабильных состояний // Изв. Вузов. Физика. — 2003. — № 12 .— С. 42-46.

95. Кнут, Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2. Получисленныеалгоритмы. М.: Мир, 1977, 725 с.

96. Вонсовский, С. В. Магнетизм, монография. / С. В. Вонсовский. М.: Наука, 1971, 1128 с.