автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование непрерывных фазовых переходов в рамках задачи связей одномерной теории протекания

На правах рукописи _.

Буреева Мария Александровна

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В РАМКАХ ЗАДАЧИ СВЯЗЕЙ ОДНОМЕРНОЙ ТЕОРИИ ПРОТЕКАНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Барнаул-2011

4845942

Работа выполнена на кафедре теоретической физики

и информационных технологий в образовании ГОУ ВПО «Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Удодов Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Плотников Владимир Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент Хаимзон Борис Бернардович

Ведущая организация: Институт физики прочности

и материаловедения СО РАН, г. Томск

Защита диссертации состоится 20 мая 2011 года в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 при ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан «18» апреля 2011 года.

Учёный секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук,

профессор

С. А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Проблема моделирования фазовых переходов - это одна из центральных и современных проблем как математического и компьютерного моделирования, так и других областей науки, в которых свойства описываемой системы меняются скачкообразно. Существенный вклад в решение этой задачи вносит применение методов теории протекания. В первую очередь это обусловлено тем, что теория адекватно описывает многие системы, в которых имеет место геометрический фазовый переход: переход проводник-изолятор в смесях проводящих и изолирующих частиц, раскалывание горных пород при образовании достаточного количества трещин и т.д. Кроме того, она используется при описании упругости полимерных гелей, прыжковой проводимости в легированных полупроводниках, аномальной диффузии в одномерных (квазиодномерных) дефектных структурах, квазиодномерных изинговских магнетиков с немагнитными атомами и целом ряде других задач в экономике, социологии, биологии, демографии и т.д.

В настоящее время, в связи с активным развитием такой области науки, как наноэлектроника, особенно актуальным становится исследование дефектных систем малых размеров и пониженной размерности (нульмерные, одномерные и двумерные структуры). Экспериментальное и теоретическое изучение таких явлений крайне сложно, поэтому важное значение приобретает создание и исследование математических и компьютерных моделей малых систем.

Помимо этого, достоинством моделей ограниченного размера является то, что они могут быть исследованы математически строго комбинаторными методами.

Степень изученности проблемы. В своих исследованиях автор полагался на труды отечественных и зарубежных исследователей, внесших значительный вклад в развитие теории моделирования фазовых переходов в рамках перколяционного подхода: Дж. Хаммерсли, С. Бродбент, А. Л. Эфрос, Б. И. Шкловский, Дж. Займан, М. Сайке, Дж. Эссам, Ю. Ю. Тарасевич, Е. Н. Манжосова, О. С. Вайтанец, М. В. Меньшиков, Б. А. Аронзон, В. Е. Архинчеев, В. Н. Удодов и др.

Наибольших результатов удалось достичь в вычислении порога протекания, как в задаче узлов, так и в задаче связей. Найдены значения порога протекания в термодинамическом пределе (для системы бесконечного размера) для некоторых плоских решеток (треугольная, квадратная, шестиугольная, решетка «галстук-бабочка», решетка Кагоме). Приближенными методами (в

частности, методами компьютерного моделирования) получены значения порога протекания как в задаче узлов, так и в задаче связей, для многих решеток размерности с/>2 кубической, объемноцентрированной, гранецентрирован-ной, решетки типа алмаза и др. В одномерной задаче узлов с различным радиусом перколяции найдены значения порога протекания для систем конечного размера и для бесконечной решетки.

Однако значения критических индексов, отражающих характер зависимости исследуемых величин от управляющих параметров, найдены только для размерности пространства с/ > 2. Для модели одномерной перколяции найдены значения критических индексов лишь в задаче узлов.

Цель диссертационного исследования - разработка и реализация математических и компьютерных моделей, алгоритмов и прикладных программ для комплексного исследования задачи связей одномерной теории протекания в системах конечных размеров с произвольным радиусом перколяции.

Для достижения этой цели в работе решались следующие задачи:

1. Разработать метод математического моделирования и алгоритмы расчета порога протекания и основных критических индексов для задачи связей одномерной теории перколяции при произвольном радиусе протекания.

2. В рамках разрабатываемой модели рассчитать порог протекания, аналог свободной энергии и критические индексы корреляционной длины и теплоемкости с учетом внешнего поля с целью сопоставления одномерных задач узлов и связей.

3. С целью проверки устойчивости и адекватности модели провести анализ справедливости термодинамических условий устойчивости системы и гипотезы подобия для одномерной теории перколяции в системах малого размера для задачи связей.

Объект исследования - моделирование фазового перехода на одномерной цепочке узлов в рамках теории протекания в зависимости от управляющего и внешних параметров.

Предметом исследования настоящей работы является компьютерное моделирование геометрического (без учета взаимодействия) фазового перехода в рамках математической задачи связей одномерной теории протекания.

Методы исследований. В качестве основного математического метода компьютерного эксперимента был выбран статистический метод Монте-Карло. Кроме того, использовались методы теории одномерной перколяции, теории графов и математической статистики, а также методы линейной и не-

линейной экстраполяции при расчете индексов в термодинамическом пределе (для системы бесконечного размера).

Научная новизна работы состоит в том, что впервые разработаны метод математического моделирования и алгоритмы решения одномерной задачи связей теории протекания для систем конечного размера при произвольном радиусе протекания с использованием теории графов без построения покрывающей решетки, позволяющие вычислять характеристики геометрических фазовых переходов в одномерном случае. Впервые рассчитан критический индекс аналога теплоемкости выше порога протекания. Показано, что значения индекса теплоемкости выше и ниже порога существенно различаются в одномерной задаче связей, что говорит о сильном нарушении математической гипотезы подобия для одномерных систем конечного размера.

Разработаны алгоритмы, компьютерные программы и методики нахождения аналогов свободной энергии и критического индекса теплоемкости с учетом внешнего поля выше и ниже порога протекания для задачи связей на модели конечного размера с произвольным радиусом перколяции.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод математического моделирования одномерной задачи связей теории протекания для систем конечного размера при произвольном радиусе перколяции, основанный на теории графов.

2. Оригинальный алгоритм маркировки кластеров для одномерной задачи связей при произвольном радиусе протекания.

3. Эффективные алгоритмы расчета критических индексов корреляционной длины и теплоемкости для одномерной задачи связей при произвольном радиусе протекания на основе численного метода Монте-Карло.

4. Комплекс компьютерных программ для расчета порога протекания, аналога свободной энергии и критических индексов корреляционной длины и теплоемкости для одномерной задачи связей теории перколяции.

Значение для теории. Разработан новый метод математического моделирования, на основе которого создан комплекс эффективных алгоритмов и компьютерных программ для вычисления основных показателей задачи связей одномерной теории протекания для систем конечного размера с произвольным радиусом протекания. Рассчитанные при помощи комплекса программ критические индексы, характеризующие сингулярности термодинамических функций, могут служить основой для новых теорий моделирования фазовых превращений и диффузии.

Значение для практики. Разработанный комплекс проблемно-ориентированных программ позволяет вычислять основные характеристики задачи связей одномерной теории перколяции для систем из сотен узлов и отслеживать их изменение в зависимости от размеров системы, величины внешнего поля и радиуса протекания. Рассчитанные критические индексы могут использоваться при модельном описании фазовых превращений. Предложенные алгоритмы значительно повышают быстродействие компьютерных программ. Полученные результаты могут найти применение при моделировании прыжковой проводимости полупроводников при низких температурах, поли-типных превращений в плотноупакованных кристаллах, аномальной диффузии и в ряде других случаев, в особенности для объектов или зерен наномет-ровых размеров.

Достоверность полученных результатов достигается за счет использования в качестве основополагающей системы модели решеточного газа, нашедшей широкое применение в теории моделирования. Использовался хорошо зарекомендовавший себя численный метод статистических испытаний -метод Монте-Карло, позволяющий определять погрешность расчета в рамках самого метода. Также применялись апробированные и надежные алгоритмы, в том числе алгоритмы теории перколяции. Подтверждение достоверности осуществлялось сопоставлением с данными экспериментальных исследований, а также с результатами, полученными другими авторами с использованием других методов, в том числе и теоретических. Проводилось тестирование предложенного метода на основе сравнения с аналитическим решением задачи связей на четырех узлах, которое показало согласие численных и аналитических результатов в пределах погрешности расчета.

Использование результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования используются в Хакасском государственном университете им. Н. Ф. Катанова и могут быть использованы в учебном процессе для студентов, магистров и аспирантов и при создании нового программного обеспечения в Томском государственном университете, Сибирском физико-техническом институте им. акад. В. Д. Кузнецова (г. Томск), Алтайском государственном университете (г. Барнаул), Сибирском федеральном университете (г. Красноярск), Институте физики прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск), а также в других организациях, где ведется моделирование прыжковой проводимости полупроводников при низких температурах, квазиодномерных магнетиков с примесями, аномальной диффузии при низких темпера-

турах и моделирование других явлений в низкоразмерных неупорядоченных системах нанометрового размера.

Личный вклад автора состоит в участии в постановке задач, разработке алгоритмов и компьютерных программ, проведении численных расчетов и анализе результатов, а потому является определяющим. Все основные положения и выводы диссертации получены лично автором. Оригинальный математический метод решения одномерной задачи связей при произвольном радиусе протекания с использованием теории графов без построения покрывающей решетки предложен автором. Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены результаты, полученные лично соискателем.

Апробация результатов диссертация. Результаты диссертационного исследования были изложены на ежегодных «Республиканских Катановских чтениях» (2004-2008 гг., г. Абакан), на X Российской научной студенческой конференции «Физика твердого тела» (2006 г, г.Томск), на 8, 9, 12, 13 Всероссийских семинарах «Моделирование неравновесных систем» (20052006 гг, 2009-2010 г., г. Красноярск); на IV, V и VI Всесибирских конгрессах женщин-математиков (2006 г., 2008 г., 2010г., г.Красноярск), на 4 Всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (2008 г.,г. Томск); на Международных конференциях: «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах» (2003 г., г. Барнаул); «Фундаментальные проблемы современного материаловедения» (2006 г., г. Барнаул); на Международной научно-технической школе-конференции «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию в электронике» (2005 г., 2006 г., 2008 г., г. Москва), на конференции Американского физического общества (2011 г., Даллас, США).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 научных работ, из которых 13 статей (4 статьи в журналах), в том числе: 1 статья в периодическом издании в соответствии со списком ВАК, 1 статья депонирована в ВИНИТИ, 5 статей в трудах Международных научно-технических конференций, 6 работ в материалах Всероссийских научно-технических конференций, 1 статья в сборнике научных трудов, 1 статья в электронном архиве в США.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, содержит основной текст на 124 е., 25 иллюстраций, список литературы из 201 наименования, 6 приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, сформулированы научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, приведены защищаемые положения, дана краткая характеристика глав диссертации.

В первой главе «Моделирование фазовых переходов в системах конечного размера в рамках перколяционного подхода» представлен обзор современных данных о математических моделях фазовых переходов первого и второго рода. Сформулирован ряд актуальных вопросов о моделировании фазовых превращений в системах конечного размера. Рассмотрены основные положения теории протекания и ее приложение к моделированию фазовых переходов.

Проблема моделирования фазовых переходов является одной из важнейших проблем теории математического моделирования. Это обусловлено в первую очередь огромным интересом к характерным особенностям фазовых превращений, которые проявляются в резком изменении свойств системы. Кроме того, в окрестностях фазового перехода свойства системы не только меняются резким образом, но и поведение системы в этом интервале оказывается чувствительным даже к небольшим внешним воздействиям, что существенно с точки зрения технических приложений и вызывает интерес у представителей других областей науки, например у биологов, медиков, экономистов, социологов, экологов.

Существует множество теоретических моделей, применяемых для описания систем, совершающих фазовый переход. Одной из самых распространенных среди них является модель решеточного газа. Эта модель первоначально служила для модельного описания критической точки жидкость - пар. Модель решеточного газа описывается числами заполнения 0 или 1: единица (нуль) соответствует состоянию узла, в котором есть (нет) атом. Далее решетка заполняется нулями и единицами многократно с помощью генератора случайных чисел.

Компьютерное моделирование фазовых переходов тесно связано с методами теории перколяции, так как перколяционный переход является моделью простейшего фазового перехода.

В основе математических решеточных задач теории протекания лежит решетка неограниченных размеров, каждый узел которой либо занят случайным образом (т.е. является целым), либо свободен (т.е. блокирован). Концентрация (доля) целых узлов равна х.

Два целых узла связаны, если они соединены цепочкой целых узлов, причем любые два соседних узла цепочки являются ближайшими соседями (радиус протекания К равен 1). Совокупность связанных узлов называется кластером. Существует такая критическая концентрация целых узлов хс, что для х < хс на решетке существуют только кластеры конечного размера, в то время как при х > хс образуется бесконечный кластер, «связывающий» противоположные стороны решетки. Это значение хс и называется порогом протекания задачи узлов и находится по формуле

где УУ- общее число узлов решетки, N\ - среднее число целых узлов решетки на пороге протекания.

В задаче связей, наоборот, все узлы целые, а связи разрываются случайным образом, то есть связи бывают целые и блокированные.

В связи с тем, что перколяционный переход является фазовым переходом без взаимодействия, некоторые величины теории протекания аналогичны величинам из математической теории фазовых переходов второго рода. Многие важные характеристики кластера (корреляционная длина, среднее число узлов) вблизи перехода описываются степенной функцией с различными критическими показателями:

Г(х)х\х-хс\2-а, (2)

1(х)к(хс-х)~", (3)

где Г(х) - аналог свободной энергии системы, £(х) - корреляционная длина (определяет поведение пространственной корреляционной функции), х - доля целых узлов в цепочке, хс - порог протекания, а - критический индекс теплоемкости ниже порога протекания, у - критический индекс корреляционной длины.

Введенную в задаче связей теории одномерной перколяции цепочку узлов вполне естественно рассматривать в виде неориентированного графа: узлы цепочки соответствуют вершинам графа, а связи - ребрам графа. Достаточно эффективным средством представления и исследования свойств неориентированного графа является матрица смежности.

В настоящее время модели фазовых переходов и критических явлений интенсивно исследуются методами Монте-Карло. Это обусловлено в первую очередь тем, что современный этап моделирования фазовых переходов харак-

теризуется изучением более сложных и реалистических моделей, аналитическое описание которых невозможно.

Одним из эффективных алгоритмов метода Монте-Карло, применяемым для моделирования перколяции, является метод простой выборки. В данной задаче он означает генерацию конфигураций и их последующий анализ с учетом равных статистических весов этих конфигураций.

Для перколяционной модели заполненная решетка рассматривается как конфигурация в методе простой выборки. Для генерации конфигурации необходимо просмотреть по одному разу все узлы решетки, заполняя (числами 1) или оставляя их при этом свободными (число 0) с помощью генератора случайных чисел. Анализ сгенерированной конфигурации обычно состоит в подсчете числа и размеров кластеров в данной конфигурации.

Кроме того, важную роль играют непосредственно перколяционные алгоритмы - алгоритм определения порога протекания и алгоритм многократной маркировки кластеров Хошена-Копельмана.

Вторая глава «Расчет порога протекания и критического индекса корреляционной длины для одномерной модели решеточного газа» посвящена моделированию одномерного решеточного газа в рамках теории перколяции. Изложены методы нахождения порога протекания и критического индекса корреляционной длины в задаче узлов и задаче связей.

Разработана модель решения одномерной задачи связей, основанная на методах теории графов. Цепочка узлов представляется в виде неориентированного графа С: каждый узел цепочки соответствует вершине графа С, а каждая связь - ребру графа б. Так как мы рассматривали модель с оборванными концами (рис. 1 а), то концу каждой оборванной связи также поставим в соответствие вершину графа С. В результате полученный граф будет иметь на 2 (/?-1) вершин больше, чем количество узлов в цепочке (рис. 16), Я - радиус протекания.

0 6 . 4-^-i-^---; ,

Рис. 1 Цепочка из пяти узлов при радиусе протекания R - 2 (а) и соответствующий ей

граф G

Полученный граф исследуется с помощью матрицы смежности (рис. 2). Элемент матрицы q [/'; _/] = 0, если /-я и j-я вершины графа G не связаны между

собой ребром (то есть связь между г'-м и у'-м узлами исходной цепочки блокированная или отсутствует вовсе). В противном случае элемент матрицы <7 [/;;] = !•

0 1 2 3 4 5 б

0 ' 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 0

2 1 ] 0 1 1 0 0

3 0 1 ] 0 1 1 0

4 0 0 1 1 0 1 1

5 0 0 0 1 1 0 0

6 ^0 0 0 0 1 0 0 1

Рис. 2. Матрица смежности графа, соответствующего цепочке из пяти узлов при радиусе протекания Я-2; все связи целые.

В программировании матрица смежности графа, соответствующего заданной цепочке, представляется с помощью двумерного массива, заполненного числами 0 и I. Матрица смежности является симметричной относительно главной диагонали. Поэтому целесообразно рассматривать только часть двумерного массива, расположенную выше главной диагонали.

Разобьем полученный неориентированный граф С на подграфы следующим образом: если в исходной цепочке /-й узел принадлежит 5-му кластеру, то в графе С /-я вершина принадлежит подграфу Для разбиения графа б на подграфы (маркировки кластеров в математической задаче связей при произвольном радиусе протекания) нами был разработан оригинальный алгоритм, обобщающий алгоритм Хошена-Копельмана. Данный алгоритм предназначен для определения наличия протекания в цепочке, а также размера кластеров по матрице смежности неориентированного графа, соответствующего исходной цепочке, и состоит в следующем:

1. Вводим метку к и присваиваем ей начальное значение к ~ 2.

2. Находим элемент матрицы смежности (массива) ц [г;/] = 1 и присваиваем ему текущее значение к.

3. В г'-ой иу'-ой строках, а также в г-ом и_/-ом столбцах всем единичным элементам матрицы (массива) ц присваиваем текущее значение к.

4. Просматриваем все элементы матрицы (массива) и для каждого элемента q [/;/] = к выполняем шаг 3; шаг 4 выполняем до тех пор, пока не достигнем конца матрицы (массива).

5. Увеличиваем значение метки к на единицу и возвращаемся к шагу 2.

Описанные шаги проделываем до тех пор, пока в матрице (массиве) не

останется единичных элементов. По завершении алгоритма в матрице смеж-

ности каждый подграф (кластер в исходной цепочке) пронумерован собственной меткой, что позволяет определить наличие протекания по связям в цепочке и размер любого отдельно взятого кластера. Протекания в исходной цепочке не будет, если не будет ни одного подграфа, содержащего одновременно первые R и последние R вершин графа G.

Критический индекс корреляционной длины находим по формуле (3).

Разработан комплекс алгоритмов и программ, реализованных в среде объектно-ориентированного программирования Turbo Pascal 7.0, который позволяет рассчитывать порог протекания и критический индекс v как в задаче узлов, так и в задаче связей с произвольным радиусом протекания. Обработка данных (нахождение среднего значения и среднего квадратичного уклонения), полученных в результате компьютерного эксперимента, осуществлялась методами математической статистики в среде табличного редактора Microsoft Office Excel. В рамках разработанного комплекса алгоритмов и программ исследуется влияние размеров системы на значение критического индекса корреляционной длины.

Порог протекания возрастает с увеличением длины цепочки и уменьшается с увеличением радиуса протекания как в задаче узлов, так и в задаче связей (рис. 3). Кроме того, можно сделать вывод о справедливости теоремы Хам-мерсли, так как для цепочек одинаковой длины порог протекания

Рис. 3. Зависимость порога протекания от длины цепочки и радиуса протекания (задача связей): 1) Д = 2; 2) Л = 3; 3) К = 4; 4) Л = 5; погрешность вычислений 5-20%.

Рис. 4. Зависимость критического индекса корреляционной длины от длины цепочки и радиуса протекания (задача связей): 1) Я = 2, 2) Л = 3; погрешность вычислений 10-25%.

в задаче связей не больше, чем в задаче узлов.

Индекс корреляционной длины, напротив, увеличивается с увеличением радиуса протекания и уменьшается с увеличением длины цепочки (рис. 4). Но в то же время в задаче связей индекс V больше, чем в задаче узлов для цепочек одинаковой длины.

С целью проверки математической корректности модели нами была рассмотрена описанными методами тестовая задача, которая состояла в нахождении порога протекания в задаче связей для цепочки из четырех узлов при радиусе протекания /? = 2. Путем комбинаторного полного перебора всех конфигураций получено аналитическое решение данной задачи (точное решение).

В третьей главе «Расчет аналога свободной энергии и критического индекса теплоемкости для одномерной модели решеточного газа» представлен комплекс алгоритмов и программ для вычисления свободной энергии и критического индекса теплоемкости в различных задачах теории протекания.

В теории протекания роль свободной энергии ^ играет среднее число кластеров в расчете на один узел

(4)

£

где х - доля целых узлов (связей) в цепочке; п,— среднее число кластеров размера 5; И - параметр, играющий роль безразмерной напряженности поля.

В теории протекания величина И имеет следующий смысл. Введем дополнительный узел («демон» Кастелайна и Фортуина), не принадлежащий рассматриваемой решетке, но по определению связанный с каждым из ее узлов с вероятностью \-е~н. Множитель е'^ в перколяционной модели имеет смысл доли кластеров из 5 узлов, у которых ни один из узлов не связан с демоном. Таким образом, величина к не имеет прямого физического смысла и является дополнительным управляющим параметром.

Критический индекс аналога теплоемкости (далее для краткости - теплоемкости) находим из соотношения (2).

Как в задаче узлов, так и в задаче связей аналог свободной энергии и критический индекс теплоемкости (рис. 5) ниже порога протекания уменьшаются с увеличением длины цепочки и внешнего поля; график свободной энергии представляет собой кривую выпуклую вверх, что согласуется с термодинамическими условиями устойчивости системы (в устойчивом состоянии свободная энергия минимальна). Экстраполяция по обратному размеру показала, что индекс а уменьшается с увеличением радиуса протекания.

I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I и

О

100

200

300

10

20

50

N 60

Рис. 5. Зависимость критического индекса теплоемкости от внешнего поля и длины цепочки ниже порога протекания (задача связей); 1)/г = 0; 2) Л = 0,01; 3) к = 0,05; радиус протекания Л = 2; погрешность вычислений 8,7-21,7%.

Рис. 6. Зависимость критического индекса теплоемкости выше порога протекания от длины цепочки и радиуса протекания в отсутствие внешнего поля (задача связей); 1) Л = 3; 2) Я = 4; 3) Л = 5; погрешность вычислений 4-24%.

Также нами были вычислены значения критического индекса теплоемкости в задаче связей выше порога протекания (рис. 6). Особенностью индекса а' выше порога является наличие области возрастания и точки максимума для малых цепочек (IV < 15). С увеличением внешнего поля меняется характер зависимости индекса а' от длины цепочки, и функция становится монотонно возрастающей. При радиусе протекания Я > 4 этот факт проявляется уже при поле к = 0,001. Вследствие этого можно сделать предположение, что при радиусе Я > 4 поле И = 0,001 уже является достаточно сильным, и имеет смысл рассматривать критический индекс теплоемкости при поле А <0,001. Значения критического индекса теплоемкости в одномерной задаче связей выше и ниже порога протекания в отсутствие внешнего поля существенно различаются, что говорит о нарушении гипотезы скейлинга.

Кроме того, проверено выполнение условия устойчивости системы а + V г/> 2, где с! - размерность пространства (в нашем случае й= 1). Результаты представлены в таблице.

Значения критических индексов а и V в одномерной задаче узлов и задаче связей в зависимости от длины цепочки (Я = 2)

Задача узлов Задача связей

■лг а V а + V й N а V а + V с/

5 2,48 3,36 5,84 • 5 2,58 7,65 10,23

10 1,93 3,22 5,15 10 1,90 . 4,74 6,63

50 1,73 2,36 4,09 50 1,56 3,47 5,02

Данные таблицы показывают, что условие устойчивости выполняется всегда как неравенство. Кроме того, из таблицы видно, что с увеличением длины цепочки величина а + V с! уменьшается, но всегда превышает двойку. Экстраполяция по обратному размеру показывает, что для бесконечной системы в одномерной задаче связей а + V с/ ~ 4,8. Таким образом, на основании данных компьютерного эксперимента можно сделать вывод, что гипотеза подобия для системы конечного размера (и даже согласно оценке для бесконечной системы) в одномерной теории протекания нарушается как в задаче узлов, так и в задаче связей (для задачи связей это доказано впервые). Это нарушение оказывается столь существенным, что необходимо сделать вывод, о неприменимости гипотезы подобия к одномерным случайным наноструктурам размером в сотни и тысячи структурных единиц. Следствия из этого утверждения нуждаются в дальнейших исследованиях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны метод математического моделирования и компьютерная модель, позволяющая рассматривать одномерную задачу связей теории пер-коляции с произвольным радиусом протекания на неориентированном графе. В рамках данной модели становится возможным решение одномерной задачи связей без построения покрывающей решетки, что значительно сокращает время работы компьютерных программ.

2. В рамках разработанной модели сформулирован новый алгоритм маркировки кластеров для одномерной задачи связей при произвольном радиусе протекания.

3. С помощью разработанных алгоритмов и компьютерных программ рассчитаны порог протекания и критический индекс корреляционной длины для системы конечного размера с радиусом перколяции 2 < Я < 3 в задаче узлов и 2 < К < 5 в задаче связей. Проверена справедливость основных положений теории перколяции (в частности, теорема Хаммерсли). Показано, что критический индекс корреляционной длины, уменьшается с увеличением длины цепочки и растет с увеличением радиуса протекания независимо от типа задачи.

4. В рамках разработанной компьютерной модели произведен расчет аналога свободной энергии и критического индекса а с учетом внешнего поля выше и ниже порога протекания для задачи связей на модели конечного размера с радиусом перколяции 2 < Я < 5 и сопоставление с известными. Как в задаче узлов, так и в задаче связей аналог свободной энергии представляет собой кривую выпуклую вверх, что согласуется с термодинамическими ус-

15

ловиями устойчивости системы. Ниже порога протекания в задаче связей критический индекс аналога теплоемкости уменьшается (монотонная функция), а выше порога протекания индекс теплоемкости имеет максимум как функция длины цепочки.

5. Проведен сравнительный анализ результатов задачи узлов и задачи связей в рамках модели одномерной перколяции. Показано, что зависимости порога протекания, аналога свободной энергии и критических индексов корреляционной длины и теплоемкости от длины цепочки и радиуса протекания имеют одинаковый вид (кроме индекса теплоемкости), но значения перечисленных величин в одномерной задаче узлов и задаче связей существенно различаются.

6. Сделана проверка на математическую корректность построенной модели для задачи связей одномерной перколяции. Среднее квадратичное уклонение всех вычисленных параметров модели убывает пропорционально величине у,—, где т - количество шагов Монте-Карло. Проведено сравнение

/ V т

результатов вычислений порога протекания в рамках построенной модели с точным значением порога протекания в тестовой задаче, найденным путем перебора всех конфигураций. Показано, что наблюдается согласие в пределах погрешности расчета.

7. Проверено выполнение условий устойчивости системы. Показано, что неравенство а + V с/ > 2 выполняется всегда как неравенство независимо от типа задачи и радиуса протекания. Это согласуется с термодинамическими условиями устойчивости системы, то есть модель устойчива.

8. Анализ рассмотренной модели показал несправедливость гипотезы подобия в одномерной задаче связей для систем конечного размера при радиусе протекания Я>3, так как значения критического индекса аналога теплоемкости выше и ниже порога протекания существенно различаются. Таким образом, гипотеза подобия для модели одномерной перколяции как в задаче узлов, так и в задаче связей не применима для системы конечного размера (из сотен узлов). Следовательно, гипотеза подобия неприменима к одномерным случайным (неупорядоченным) наноструктурам размером в сотни структурных единиц. Возможно, именно это объясняет (хотя бы в некоторой степени) аномальные свойства нанометровых систем.

Таким образом, в работе впервые методами математического и компьютерного моделирования с помощью численного метода Монте-Карло решена

задача связей для модели одномерной перколяции при произвольном радиусе

протекания на цепочках конечного размера в десятки нанометров.

Список публикации автора

В журналах, рекомендуемых ВАК по специальности

1. Буреева М. А., Волкова Т. В., Удодов В. Н., Потекаев А. И. Задача связей в одномерной теории перколяции для конечных систем // Известия вузов. Физика. - 2010. -№ 2. - С. 33-39.

Другие публикации

2. Шпигальская Е. О., Кулакова М. А. (Буреева М. А.) Моделирование од-номерно-разупорядоченных состояний в плотно упакованных кристаллах в рамках перколяционного подхода // Молодые ученые - 2005: материалы Международной технической школы-конференции «Молодые ученые -науке, технологиям и профессиональному образованию в электронике», 26-30 сентября 2005 г. - М.: МИРЭА, 2005. - Ч. 1. - 292 с. - С. 48-51.

3. Кулакова М. А. (Буреева М. А.), Удодов В. Н. Порог протекания и критические индексы а и V для модели одномерной перколяции // Моделирование неравновесных систем: материалы VIII Всероссийского семинара, 14-16 октября 2005 г.; под ред. В. В. Слабко. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - 245 с. - С. 109-110.

4. Кулакова М. А. (Буреева М. А.), Удодов В. Н. Порог протекания и критические индексы а, (3, v для модели одномерной перколяции // IV Всеси-бирский конгресс женщин-математиков (в день рождения Софьи Васильевны Ковалевской): материалы конференции, 15-19 января 2006 г.; под ред. Г. М. Рудаковой. - Красноярск: РИО СибГТУ, 2006. - 212 с. - С. 9495.

5. Шпигальская Е. О., Кулакова М. А. (Буреева М. А.), Удодов В. Н., Мар-тыненко М. В. Теория одномерной перколяции и ее приложения // Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование: сборник трудов Второй международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», 7-9 февраля 2006 г.; под ред. А. П. Кудинова, Г. Г. Матвиенко, В. Ф. Самохина. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2006. -Т.5.-388 с.-С. 312-313.

6. Кулакова М. А. (Буреева М. А.) Порог протекания и критический индекс V в задаче связей и задаче узлов для модели одномерной перколяции // Физика твердого тела: сборник материалов X Российской научной сту-

денческой конференции, 4-6 мая 2006 г., Томск. - Томск: Томский государственный университет, 2006. - 274 с. - С. 73-76.

7. Кулакова М. А. (Буреева М. А.), Удодов В. Н. Дефектные структуры в кобальтовых сплавах // IX Международная конференция в электронном формате «Градиентные структурно-фазовые состояния в сталях и сплавах», 24 мая 2006 г. - Новокузнецк, 2006. - С. 56-59.

8. Кулакова М. А. (Буреева М. А.), Удодов В. Н. Критические индексы а и v в задаче связей для модели одномерной перколяции II Фундаментальные проблемы современного материаловедения: сборник трудов конференции, июнь 2006. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2006. - Т. 3. - № 2. - 124 с. -С. 72-74.

9. Кулакова М. А. (Буреева М. А.), Удодов В. Н. Сравнение свободной энергии и индекса а в задаче связей и задаче узлов для систем конечного размера // Моделирование неравновесных систем: материалы IX Всероссийского семинара, 13-15 октября 2006 г.; под ред. В. В. Слабко. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - 205 с. - С. 109-110.

10. Буреева М. А., Удодов В. Н. Условия устойчивости для модели одномерной перколяции (доклад): материалы Международной научно-технической школы-конференции «Молодые ученые - науке, технол. и проф. образ, в электронике», 5-9 декабря 2006 г. - М.: МИРЭА. - Ч. 2. -С. i 07-109.

11. Буреева М. А., Удодов В. Н. Задача связей и задача узлов для модели одномерной перколяции в системе конечного размера // Вестник Хакасского государственного университета им. Н. Ф. Катанова. Серия 9: Математика. Физика. Вып. 3 / отв. ред. В. Н. Удодов - Абакан: Издательство Хакасского государственного университета им. Н. Ф. Катанова, 2006. - 60 с. -С. 52-54.

12. Буреева М. А., Удодов В. Н. Влияние внешнего поля на свободную энергию и индекс альфа в задаче узлов теории одномерного протекания // V Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения Софьи Васильевны Ковалевской): материалы конференции, 15-18 января 2008 г.; под ред. О. Ф. Александровой. - Красноярск: РИО СФУ, 2008. -462 с.-С. 61-66.

13. Буреева М. А., Удодов В. Н. Одномерная теория перколяции: задача связей и задача узлов // Хакасск. гос. ун-т им. Н. Ф. Катанова. - Абакан, 2008. - 11 с. - Библиогр. 8 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 31.10.08, № 852-В2008.

14. БурееваМ. А., Волкова Т. В. Зависимость порога протекания от длины цепочки и от радиуса протекания для модели одномерной перколяции // Физика и химия высокоэнергетических систем: сб. материалов IV Всероссийской конференции молодых ученых, 22-25 апреля 2008 г. - Томск: ТМЛ-Пресс, 2008. - 576 с. - С. 182-184.

15. БурееваМ. А., Удодов В. Н. Задача связей для модели одномерной перколяции с переменным радиусом протекания // Актуальные вопросы современной науки: сборник научных трудов (Вып. 6) В 3-х кн. Кн. 1. / под общ. ред. С. С. Чернова. - Новосибирск: ЦРНС - Изд-во «Сибпринт», 2009.-212 с.-С. 61-68.

16. Bureeva Mariya, Udodov Vladimir. Solution of the One-Dimensional Bond Problem in a Percolation Theory. arXiv: 1101.4449vl [cond-mat.dis-nn], 2011.

17. Буреева M. А., Удодов В. H. Условие устойчивости в задаче связей и задаче узлов для модели одномерной перколяции // Материалы Международной научно-технической школы-конференции «Молодые ученые -науке, технологиям и профессиональному образованию», 2008; под. ред. чл.-корр. РАН А. С. Сигова. - М.: Энергоатомиздат, 2008. - Ч. 1. - С. 7982.

18. Буреева М. А., Удодов В. Н. Критические индексы а и v для одномерной задачи связей с переменным радиусом протекания // VI Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения Софьи Васильевны Ковалевской): материалы Всероссийской конференции, 15-17 января 2010 г.; под ред. Н. Ф. Ноженковой. - Красноярск: РИЦ СибГТУ, 2010. -455 с.-С. 35-39.

19. Буреева М. А., Удодов В. Н. Применение теории графов к решению задачи связей одномерной теории перколяции // Моделирование неравновесных систем: материалы XIII Всероссийского семинара, 15-18 октября 2010 г.; под ред. В. В.Слабко. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2010. - 258 с. - С. 17-22.

20. Udodov Vladimir, Bureeva Mariya. The bond problem with an arbitrary percolation radius is solved! // Bulletin of the American Physical Society. APS March Meeting, 2011.- Volume 56. - Number 2.

Подписано в печать с готового оригинал-макета 5.04.2011. Формат 60x84 1/16. Гарнитура Times New Roman. Печать - ризограф. Бумага офсетная. Физ. печ. л. 1,25. Усл. печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 0,92. Тираж 100 экз. Заказ № 60.

Отпечатано в типографии ГОУ ВПО «Хакасский государственный университет

им. Н. Ф. Катанова» 655017, г. Абакан, пр. Ленина, 90а, тел. 22-51-13; e-mail: izdat@khsu.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В СИСТЕМАХ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА В РАМКАХ ПЕРКОЛЯЦИОННОГО ПОДХОДА. 1 Модели фазовых переходов.

2 Модель Изинга и ее применения.

3 Моделирование фазового перехода в одномерной модели Изинга

4 Модель решеточного газа.

5 Решеточные и континуальные задачи теории протекания.

6 Критические индексы и гипотеза подобия в задаче моделирования перколяционного перехода.

Л Обзор основных результатов, полученных в теории протекания . 49 . .8 Моделирование перколяциош юго перехода методами теории графов. .9 Моделирование фазовых переходов методом Монте-Карло.

1.10 Алгоритмы теории перколяции.

ГЛАВА 2. РАСЧЕТ ПОРОГА ПРОТЕКАНИЯ И КРИТИЧЕСКОГО ИНДЕКСА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ДЛИНЫ ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ РЕШЕТОЧНОГО ГАЗА.

2.1 Расчет порога протекания в одномерной задаче узлов для системы конечного размера.

2.2 Расчет порога протекания в задаче связей для системы конечного размера модели одномерной перколяции.

2.3 Расчет критического индекса корреляциош юй длины в задаче узлов и задаче связей для модели одномерной перколяции.

2.4 Проверка математической корректности модели.

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ АНАЛОГА СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ И КРИТИЧЕСКОГО ИНДЕКСА ТЕПЛОЕМКОСТИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ РЕШЕТОЧНОГО ГАЗА.

3.1 Расчет аргалога свободной энергии в одномерной задаче узлов и задаче связей для системы конечного размера.

3.2 Расчет критического индекса теплоемкости в задаче узлов и задаче связей для модели одномерной перколяции конечного размера ниже порога протекания.

3.3 Расчет критического индекса теплоемкости в одномерной задаче связей выше порога протекания.

3.4 проверка устойчивости модели одномерной перколяции.

Моделирование является общепризнанным средством познания действительности и составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и прикладной науки [1,2]. Этот процесс состоит из трех больших этапов: разработки модели, анализа разработанной модели и переноса полученной информации на подлинный объект исследования. Моделирование позволяет исследовать, суть сложных процессов и явлений с помощью экспериментов не с реальной системой, а с ее моделью.

Теоретическая модель может быть качественной или количественной (математической) [3]. Важным шагом на пути познания является переход от качественно-описательных методов к математическим абстракциям, то есть к созданию достаточно сложных математических моделей. В свою очередь все существующие способы исследования математической модели делят на две группы [3]: аналитические и численные. Аналитические методы зачастую предусматривают проведение громоздких математических рассуждений. Результаты такого решения нуждаются в интерпретации, предполагающей анализ полученных функций, построение графиков.

Численные методы исследования математической модели предполагают создание компьютерной программы, моделирующей изучаемое явление [3]. Чтобы создать математическую модель, необходимо определить совокупность состояний системы, множество внешних воздействий (входных сигналов) и откликов (выходных сигналов), а также задать соотношения, связывающие отклик системы с воздействием и ее внутренним состоянием. Они позволяют исследовать огромное количество различных ситуаций, задавая иные параметры системы, начальные условия и внешние воздействия [1,3]. Искомая функция, характеризующая отклик системы, получается в табличном или графическом виде. Зачастую компьютерное моделирование является единственным способом получения следствий из математической модели [2, 3]. Заметим, что точно решаемых содержательных моделей в науке известно крайне мало. ' 4

Компьютерное моделирование становится сегодня обязательным этапом в принятии ответственных решений во всех областях деятельности в связи с усложнением систем, в рамках которых человек должен действовать и которыми он должен управлять [1].

Физика фазовых переходов в этом смысле не исключение. Моделирование фазовых переходов в настоящее время является междисциплинарной областью науки типа теории колебаний [4-9]. Проблема моделирования фазовых переходов - это одна из центральных и современных проблем математического моделирования [2, 10-12], значение которой далеко выходит за рамки физики.

Одним из наиболее эффективных и распространенных методов решения этой проблемы является компьютерное моделирование [10, 13-17].

Задачами, приводящими практически сразу к компьютерному моделированию, являются задачи теории перколяции (протекания) [18-20].

Применение теории протекания к моделированию фазовых переходов обусловлено следующими причинами:

1. Модели теории протекания адекватно описывают многие системы, в которых имеет место геометрический фазовый переход [18,20,21]: переход проводник-изолятор в смесях проводящих и изолирующих частиц [22], раскалывание горных пород при образовании достаточного количества трещин [18] и т.д. Она используется при моделировании упругости полимерных гелей [18], прыжковой проводимости в легированных полупроводниках [23], андерсоновской локализации в неупорядоченных системах [24], аномальной диффузии в одномерных (квазиодномерных) дефектных структурах [25], квазиодномерных изинговских магнетиков с немагнитными атомами [26] и целом ряде других задач [18, 20, 27].

2. Модели теории протекания просты и наглядны [7, 10, 18-20]. Под простотой следует понимать как простоту исходной формулировки задачи:, так и возможность достаточно далеко продвинуться в ее решении. Простые модели вскоре становятся стандартными, и их рассмотрение увлекает специалистов на многие годы. Польза стандартных моделей состоит в том, что они представляют собой полигон для опробования различных теоретических (математических) методов. При этом единообразие исходной задачи дает возможность сравнения и интеграции их результатов [21].

3. Решеточные модели теории протекания могут быть легко реализованы при численном моделировании на ЭВМ. Простота исходной формулировки и высокая эффективность алгоритмов (в основном сортировки и поиска, а также решения систем линейных уравнений) дают возможность исследования этих моделей методом Монте-Карло [7, 10, 18].

Актуальность работы. Математическое и компьютерное моделирование составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и прикладной науки [2, 10]. Решение большинства научных и технических задач невозможно без исследования математических моделей физических, химических, биологических и других естественнонаучных, а также социальных, экономических и технических объектов [28].

Модели статистической механики не являются исключением с этой точки зрения. Главная задача равновесной статистической механики состоит в вычислении статистической суммы по состояниям. К сожалению, для любых реалистических систем макроскопического размера со взаимодействием вычисление статсуммы представляет собой безнадежно трудную математическую задачу, решение которой значительно упрощается путем замены реальной системы некоторой простой идеализированной моделью [10,29]. При модельном описании фазовых переходов широко используется рассмотрение систем ограниченного размера [30].

Достоинством решеточных моделей ограниченного размера является то, что они могут быть исследованы математически строго посредством полного перебора конфигураций. Актуальность исследования малых моделей тем более увеличивается, так как , были обнаружены конфигурационные изменения, подобные фазовым переходам, в реальных малых объектах — двумерных белковых кристаллах. Кроме этого, представляют интерес процессы в малых частицах [31-35], в том числе с точки зрения нанотехнологий [30, 35, 36].

Известно, что политипный плотноупакованный кристалл можно представить моделью Изинга — моделью жесткой решетки, каждый узел которой может находиться лишь в двух состояниях [31, 37]. Несмотря на то, что в работах многих исследователей [19,21,24,38] приведены значения различных характеристик модели перколяционного перехода для плоских и объемных решеток, в процессе комплексного исследования реального трехмерного плотноупакованного кристалла в рамках аксиальной модели Изинга переходят к одномерной модели решеточного газа [37], которую можно рассматривать в рамках перколяционного подхода. В этом случае в качестве объекта моделирования выступает идеальный кристалл, в каждом слое которого атомы образуют правильную треугольную решетку. В модели решеточного газа узлы заполняются нулями и единицами, причем взаимодействие между атомами решеточного газа считается отсутствующим. Любой последовательности нулей и единиц можно сопоставить набор участков ЗС, 4Н, 2Н, 9R и др., разделенных дефектами упаковки. Длины участков соответствуют толщинам блоков в кристалле. Модель справедлива для любых плотноупакованных структур [39]. Так, например, ГЦК-структуре соответствуют конфигурации 000000.и .111111. К данной модели далее применяются методы теории перколяции.

Моделирование фазовых переходов в рамках перколяционного подхода рассмотрено в работах многих исследователей: Дж. Хаммерсли, С. Бродбент, А. Л. Эфрос, Б. И. Шкловский, Дж. Займан, М. Сайке, Дж. Эссам,

Б. Мандельброт, Е. Федер, Ю. Ю. Тарасевич, Е. Н. Манжосова, О. С. Вайтанец, М. В. Меньшиков, Б. А. Аронзон, В. Е. Архинчеев, В. Н. Удодов, М. В. Мартыненко, В. С. Байдышев и др. Наибольших результатов удалось достичь в вычислении порога протекания, как в задаче узлов, так и в задаче связей. Найдены математически точные значения порога протекания в термодинамическом пределе для некоторых плоских решеток [18,19,21,23,24] (треугольная, квадратная, шестиугольная, решетка «галстук-бабочка», решетка Кагоме). Приближенными методами (в частности, методами компьютерного моделирования) получены значения порога протекания как в задаче узлов, так и в задаче связей, для многих решеток размерности й>2 [18,19,21,24]: кубической, объемноцентрированной, гранецентрированной, решетки типа алмаза и др. Однако точных решений для трехмерных решеток не найдено. В одномерной задаче узлов с различным радиусом перколяции найдены значения порога протекания для систем конечного размера, а при протекании любого конечного радиуса - и для бесконечной решетки [18, 19, 25, 40].

Но значения критических индексов, отражающих характер зависимости исследуемых величин от внешних параметров, найдены только для размерности пространства й> 2. Для модели одномерной перколяции найдены значения критических индексов лишь в задаче узлов [7, 18-21, 2325,37,41,42].

Моделирование фазового перехода на одномерной решетке гораздо проще, чем при использовании плоской, не говоря уже об объемной решетке. Кроме того, граничные эффекты в одномерных системах выражены значительно слабее, чем в двумерных и тем более трехмерных системах [43].

Использование методов компьютерного моделирования в рамках одномерной теории перколяции [7, 10, 18, 19] позволит решить ряд задач, связанных с разработкой новых математических методов и алгоритмов моделирования фазовых переходов в случайных средах. В рамках задачи связей возможно рассмотрение социологических, медицинских, экологических и экономических задач [44-48].

Таким образом, объект исследования - моделирование фазового перехода на одномерной цепочке узлов в рамках теории протекания в зависимости от управляющего и внешних параметров.

Предметом исследования настоящей работы является компьютерное моделирование геометрического (без учета взаимодействия) фазового перехода в рамках математической задачи связей одномерной теории протекания.

Целью диссертационной работы является разработка и реализация математических и компьютерных моделей, алгоритмов и прикладных программ для комплексного исследования задачи, связей одномерной теории протекания в системах конечных размеров с произвольным радиусом перколяции.

Для достижения этой цели в работе решались следующие задачи:

1. Разработать метод математического моделирования и алгоритмы расчета порога протекания и основных критических индексов для задачи связей одномерной теории перколяции при произвольном радиусе протекания.

2. В рамках разрабатываемой модели рассчитать порог протекания, аналог свободной энергии и критические индексы корреляционной длины и теплоемкости с учетом внешнего поля с целью сопоставления одномерных задач узлов и связей.

3. С целью проверки устойчивости и адекватности модели провести анализ справедливости условий устойчивости системы и гипотезы подобия для одномерной теории перколяции в системах малого размера для задачи связей.

Методы исследований. В качестве основного математического метода компьютерного эксперимента был выбран статистический метод Монте-Карло. Кроме того, использовались методы теории одномерной перколяции, теории графов и математической статистики, а также методы линейной и нелинейной экстраполяции при расчете индексов в термодинамическом пределе (для системы бесконечного размера).

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод математического моделирования одномерной задачи связей теории протекания для систем конечного размера при произвольном радиусе перколяции, основанный на теории графов.

2. Оригинальный алгоритм маркировки кластеров для одномерной задачи связей при произвольном радиусе протекания.

3. Эффективные алгоритмы расчета критических индексов корреляционной длины и теплоемкости для одномерной задачи связей при произвольном радиусе протекания на основе численного метода Монте-Карло.

4. Комплекс компьютерных программ для расчета порога протекания, аналога свободной энергии и критических индексов корреляционной длины и теплоемкости для одномерной задачи связей теории перколяции.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые разработаны метод математического моделирования и алгоритмы решения одномерной задачи связей теории протекания для систем конечного размера при произвольном радиусе протекания с использованием теории графов без построения покрывающей решетки, позволяющие вычислять характеристики геометрических фазовых переходов в одномерном случае. Впервые рассчитан критический индекс аналога теплоемкости выше порога протекания. Показано, что значения индекса теплоемкости выше и ниже порога существенно различаются, что говорит о сильном нарушении математической гипотезы подобия для одномерных систем конечного размера.

Разработаны алгоритмы, компьютерные программы и методики нахождения аналогов свободной энергии и критического индекса теплоемкости с учетом внешнего поля выше и ниже порога протекания для задачи связей на модели конечного размера с произвольным радиусом перколяции.

Значение для теории. Разработан новый метод математического" моделирования, на основе которого • создан комплекс эффективных алгоритмов и компьютерных программ для вычисления основных показателей задачи связей одномерной теории протекания для систем конечного размера с произвольным радиусом протекания. Рассчитанные при1 помощи комплекса программ критические индексы, характеризующие сингулярности термодинамических функций, могут служить основой для новых теорий моделирования фазовых превращений и диффузии.

Значение для практики. Разработанный комплекс проблемно-ориентированных программ позволяет вычислять основные характеристики задачи связей одномерной теории перколяции для систем из сотен узлов и отслеживать их изменение в зависимости от размеров' системы, величины внешнего поля и радиуса протекания. Рассчитанные критические индексы могут использоваться при модельном описании фазовых превращений. Предложенные алгоритмы значительно повышают быстродействие компьютерных программ. Полученные результаты могут найти применение при моделировании прыжковой проводимости полупроводников при низких температурах [25], политипных превращений в плотноупакованных кристаллах [31,49], аномальной диффузии [25] и в ряде других случаев [19, 21, 24], в особенности для объектов или зерен нанометровых размеров.

Достоверность полученных результатов достигается за счет использования в качестве основополагающей системы модели решеточного газа, нашедшей широкое применение в теории моделирования. Использовался хорошо зарекомендовавший себя численный метод статистических испытаний — метод Монте-Карло, позволяющий определять погрешность расчета в рамках самого метода. Также применялись апробированные и надежные алгоритмы, в том числе алгоритмы теории перколяции. Подтверждение достоверности осуществлялось сопоставлением с данными экспериментальных исследований, а также с результатами, полученными другими авторами с использованием других методов, в том числе и теоретических. Проводилось тестирование предложенного метода на основе сравнения с аналитическим решением задачи связей на четырех узлах, которое показало согласие численных и аналитических результатов в пределах погрешности расчета.

Использование результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования используются в Хакасском государственном университете им. Н. Ф. Катанова и могут быть использованы в учебном процессе для студентов, магистров и аспирантов и при создании нового программного обеспечения в Томском государственном университете, Сибирском физико-техническом институте им. акад. В. Д. Кузнецова (г. Томск), Алтайском государственном университете (г. Барнаул), Сибирском федеральном университете (г. Красноярск), Институте физики прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск), а также в других организациях, где ведется моделирование прыжковой проводимости полупроводников при низких температурах, квазиодномерных магнетиков с примесями, аномальной диффузии при низких температурах и моделирование других явлений в низкоразмерных неупорядоченных системах нанометрового размера.

Личный вклад автора состоит в участии в постановке задач, разработке метода математического моделирования, алгоритмов и компьютерных программ, проведении численных расчетов и анализе результатов, а потому является определяющим. Все основные положения и выводы диссертации получены лично автором. Оригинальный математический метод решения одномерной задачи связей при произвольном радиусе протекания с использованием теории графов без построения покрывающей решетки предложен автором. Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены результаты, полученные лично соискателем.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования были изложены на ежегодных «Республиканских Катановских чтениях» (2004—2008 гг., г. Абакан), на X Российской научной студенческой конференции «Физика твердого тела» (2006 г, г. Томск), на 8, 9, 12, 13 Всероссийских семинарах «Моделирование неравновесных систем» (20052006 гг., 2009-2010 г., г. Красноярск); на IV, V и VI Всесибирских конгрессах женщин-математиков (2006 г., 2008 г., 2010 г., г. Красноярск), на IV Всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (2008 г., г. Томск); на Международных конференциях: «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах» (2003 г., г. Барнаул); «Фундаментальные проблемы современного материаловедения» (2006 г., г. Барнаул); на Международной научно- • технической школе-конференции «Молодые ученые — науке, технологиям и профессиональному образованию в электронике» (2005 г., 2006 г., 2008 г., г. Москва), на конференции Американского физического общества March miting 2011 (2011 г., Dallas, USA).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 научных работ, из ' • которых 13 статей (4 статьи в журналах), в том числе: 1 статья в периодическом издании в соответствии со списком ВАК, 1 статья депонирована в ВИНИТИ, 5 статей в трудах Международных научно-технических конференций, 6 работ в материалах Всероссийских научно-технических конференций, 1' статья в сборнике научных трудов, 1 статья в электронном архиве в США.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, содержит основной текст на 124 е., 25 иллюстраций, список литературы из 201 наименования, 6 приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны метод математического моделирования и компьютерная модель, позволяющие рассматривать одномерную задачу связей теории перколяции с произвольным радиусом протекания на неориентированном графе. В рамках данной модели становится возможным решение одномерной задачи связей без построения покрывающей решетки, что значительно сокращает время работы компьютерных программ.

2. В рамках разработанной модели сформулирован новый алгоритм маркировки кластеров для одномерной задачи связей при произвольном 1 радиусе протекания. [ I

3. Разработаны алгоритмы и компьютерные программы для расчета порога протекания и критического ' индекса корреляционной длины для одномерной модели решеточного газа в рамках теории перколяции (задача узлов и задача связей) при произвольном радиусе протекания.

4. Рассчитаны порог протекания' и критический индекс корреляционной длины для системы конечного размера с радиусом перколяции 2<Я<3 в задаче узлов и 2 < Я < 5 в задаче связей. Проверена справедливость основных положений теорий перколяции (в частности, теорема Хаммерсли). Показано, что критический индекс корреляционной длины, уменьшается с увеличением длины цепочки и растет с увеличением радиуса протекания независимо от типа задачи.

5. Разработаны алгоритмы и компьютерные программы для нахождения аналогов свободной энергии и критического индекса теплоемкости с учетом внешнего поля выше и ниже порога протекания для задачи связей на модели конечного размера с произвольным радиусом перколяции.

6. В рамках разработанной компьютерной модели произведен расчет аналога свободной энергии и критического индекса а с учетом внешнего поля выше и ниже порога протекания для задачи связей на модели конечного размера с радиусом перколяции 2 <Я<5 и сопоставление с известными. Как в задаче узлов, так и в задаче связей аналог свободной энергии представляет собой кривую выпуклую вверх, что согласуется с термодинамическими условиями устойчивости системы. Ниже порога протекания в задаче связей критический индекс аналога теплоемкости уменьшается (монотонная функция), а выше порога протекания индекс теплоемкости имеет максимум как функция длины цепочки.

7. Проведен сравнительный анализ результатов задачи узлов и задачи связей в рамках модели одномерной перколяции. Показано, что зависимости порога протекания, аналога свободной энергии и критических индексов корреляционной длины и теплоемкости от длины цепочки и радиуса протекания имеют одинаковый вид (кроме индекса теплоемкости), но значения перечисленных величин в одномерной задаче узлов и задаче связей существенно различаются.

8. Сделана проверка на математическую корректность построенной модели для задачи связей одномерной перколяции. Среднее квадратичное уклонение всех вычисленных параметров модели убывает

Карло. Проведено сравнение результатов вычислений порога протекания в рамках построенной модели с точным значением порога протекания в тестовой задаче, найденным путем перебора всех конфигураций. Показано, что наблюдается согласие в пределах погрешности расчета.

9. Проверено выполнение условий устойчивости системы. Показано, что неравенство а + V (I > 2 выполняется всегда как неравенство независимо от типа задачи и радиуса протекания. Это согласуется с термодинамическими условиями устойчивости системы, то есть модель устойчива.

10. Анализ рассмотренной модели показал несправедливость гипотезы подобия в одномерной задаче связей для систем конечного размера при радиусе протекания Я > 3, так как значения критического индекса аналога теплоемкости выше и ниже порога протекания существенно различаются. пропорционально величине количество шагов Монте

Таким образом, гипотеза подобия для модели одномерной перколяции как в задаче узлов, так и в задаче связей не применима для системы конечного размера (из сотен узлов). Следовательно, гипотеза подобия неприменима к одномерным случайным (неупорядоченным) наноструктурам размером в сотни структурных единиц. Возможно, именно это объясняет (хотя бы в некоторой степени) аномальные свойства нанометровых систем.

Таким образом, в работе впервые методами математического и компьютерного моделирования с помощью численного метода Монте-Карло решена задача связей для модели одномерной перколяции при произвольном радиусе протекания на цепочках конечного размера в десятки нанометров.

1. Карпов, Ю. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic 5 / Ю. Карпов. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. -400 с.

2. Гулд, X. Компьютерное моделирование в физике. Ч. 1 IX. Гулд, Я. Тобочник. М.: Мир, 1990.-350 с.

3. Майер, Р. В. Компьютерное моделирование физических явлений: Монография / Р. В. Майер. Глазов: ГГПИ, 2009. - 112 с.

4. Гинзбург, В. Л. О физике и астрофизике: Статьи и выступления / В. Л. Гинзбург. М.: Наука; ФИЗМАТЛИТ, 1992. - 528 с.

5. Балеску, Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 1 / Р. Балеску, пер. с англ. под ред. Д. Н. Зубарева, Ю. Л. Климонтовича. — М.: Мир, 1978.-405 с.

6. Васильев, А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике / А. Н. Васильев. Спб.: Изд-во ПИЯФ, 1998.-774 с.

7. Гулд, X. Компьютерное моделирование в физике. Ч. 2 / X. Гулд, Я. Тобочник. М.: Мир, 1990. - 400 с.

8. Захаров, А. Ю. Решеточные модели статистической физики / А. Ю. Захаров. — Великий Новгород: НовГУ им. Ярослава Мудрого, 2006. 74 с.

9. Биндер, К. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике: Введение / К. Биндер, Д. В. Хеермащ пер. с англ. В. Н. Задкова. — М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1995. 144 с.

10. Прудников, В. В. Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования / В. В. Прудников, А. Н. Вакилов, П. В. Прудников. -Омск: ОмГУ, 2007. 288 с.

11. Хеерман, Д. В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике / Д. В. Хеермащ пер. с англ. В. Н. Задкова; под редакцией С. А. Ахманова. — М: Наука; ФИЗМАТЛИТ, 1990. 176 с.

12. Марков, О. Н. Компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения неупорядоченных систем: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.04.02 / О. Н. Марков, Омск. гос. ун-т, Омск, 1999. -18 с.

13. Камипов, И. К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло / И. К. Камилов, А. К. Муртазаев, X. К. Алиев П УФН. 1999. - Т. 169. - №7. - С. 773-795.

14. Прудников, В. В. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга / В. В. Прудников, П. В. Прудников, А. Н. Вакилов, А. С. Криницын II ЖЭТФ. — 2007. — Т. 132. Вып. 2. - С. 417-425.

15. Малютин, В. М. Компьютерное моделирование физических явлений / В. М. Малютин, Е. А. Склярова. — Томск: Изд-во ТПУ, 2004. 156 с.

16. Тарасевич, Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы / Ю. Ю. Тарасевич. М.: Едиториал УРСС, 2002. - 112 с.

17. Эфрос, А. Л. Физика и геометрия беспорядка / А. Л. Эфрос. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 167 с.

18. Соколов, И. М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания / И. М. Соколов II УФН. 1986. - Т. 150. - № 2. — С. 221-255.

19. Шкловский, Б. И. Электронные свойства легированных полупроводников / Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос. М.: Наука; ФИЗМАТ ЛИТ, 1979. -416 с.

20. Шкловский, Б. И. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред / Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос И УФН. 1975. -Т. 117. - Вып. 3. - С. 401-435.

21. Мартыненко, М. В. Моделирование аномальной диффузии с переменным радиусом протекания / М. В. Мартыненко, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев И Известия Вузов. Физика. 2000. - № 10. - С 67-70.

22. Спирин, Д. В. Немагнитные примеси и перколяционпые эффекты в одномерном изинговском магнетике / Д. В. Спирин, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев И Известия вузов. Физика. 2009. - № 9/2. - С. 145-150.

23. Иванской, В. А. Подходы теории перколяции и свободная энергия кластеров дислокаций / В. А. Иванской II Журнал технической физики. -2008. Т. 78. - Вып. 4. - С. 65-75.

24. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. М.: Физматлит, 2001. -320 с.

25. Бэкстер, Р. Точно решаемые модели в статистической механике / Р. Бэкстер', пер. с англ. Е. П. Вольского, Л. И. Дайхина. М.: Мир, 1985. -488 с.

26. Таскин, А. Н. Моделирование адсорбции в наноструктурах в рамках случайной модели Изинга: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / А. Н. Таскин, Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова, Абакан, 2007. 19 с.

27. Моргунов, Р. Б. Влияние наноструктурирования монокристаллического сплава Ge\xMnx на перколяционный и кластерный ферромагнетизм /' Р. Б. Моргунов, А. И. Дмитриев, О. L. Kazakova // Физика твердого тела. 2004. - Т. 52. - Вып. 4 - С. 697-699.

28. Akola, J. Structural phase transitions on the nanoscale: The crucial pattern in the phase-change materials Ge2Sb2Te5 and GeTe / J. Akola, R. O. Jones II Phis. Rev. В., 2007. Vol. 76. - № 23. - P. 235201/1-235201/10.

29. Clark, S. M. Size dependence of the pressure-induced у to a structural phase transition in iron oxide nanocrystals / S. M. Clark, S. G. Prilliman, С. K. Endormez, A. P. Alivisatos II Nanotechnology, 2005. Vol. 16. - № 12. -P. 2813-2818.

30. Рогинский, E. M. Динамика решеток, фазовые переходы и нанокластеры в кристаллах чистых и смешанных галогенидов одновалентной ртути: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.04.07 I Е. М. Рогинский, Физ-техн. ин—•г РАН, Санкт-Петербург, 2006. 19 с.

31. Ахкубеков, А. А. Фазовые переходы в наноматериалах: учебное пособие / А. А. Ахкубеков, Б. С. Карамурзов, В. А. Созаев. — Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2008. 206 с.

32. Потекаев, А. И. Естественные длиннопериодические наноструктуры / А. И. Потекаев, И. И. Наумов, В. В. Кулагина и др.; под общ. ред. А. И. Потекаева. — Томск: Изд-во НТЛ, 2002. — 260 с.

33. Галлямов, С. Р. Порог протекания простой кубической решетки в задаче узлов в модели решетки Бете / С. Р. Галлямов И Вестник Удмуртского университета. Компьютерные науки. 2008. - Вып. 3. - С. 109-115.

34. Займан, Дж. Модели беспорядка / Дж. Займан. — М.: Мир, 1982. — 592 с.

35. Федер, Е. Фракталы / Е. Федер. М.: Мир, 1991. - 260 с.

36. Фазовые переходы в биологических системах и эволюция биоразнообразия / под ред. О. В. Ковалева, С. Г. Жилина СПб: ПИЯФ РАН, 2007. - 196 с.

37. Кониченко, А. В. Фазовые переходы в жизненном цикле телекоммуникационных систем / А. В. Кониченко, Р. П. Кошкин II Телекоммуникации. 2005. - № 5. - С. 16-20.

38. Фомина, Ю. А. Конфигуратор российской экономики / Ю. А. Фомина II Научные труды ДонНТУ. Серия: экономическая. 2007. - Вып. 31-2. -С. 159-164.

39. Халкечев, К. В. Математическое моделирование техногенных катастроф. I. Фрактальная кластерная модель внезапных выбросов / К В. Халкечев, Р. К. Халкечев. — Режим доступа: http://www.tvp.ru/conferen/vsppm09/ kipev438.pdf

40. Новиков, В. В. Перколяционная модель финансового рынка / В. В. Новиков, С. В. Филиппова, • О. В. Мовчанюк. Режим доступа: http://www.nbuv.gov.ua/portal/natural/Popu/20092/7-2.pdf

41. Удодов, В. Н. Статистическое моделирование политипных переходов на основе конечных цепочек Изинга / В. Н. Удодов, В. С. Игнатенко, М. Б. Симоненко, Ю. И. Паскаль, А. И. Потекаев II Металлофизика и новейшие технологии. 1997. - Т. 19. — № 5. — С. 37-39.

42. Буляница, А. Л. Фазовые переходы в колониях несовершенных мицелиальных грибов / А. Л. Буляница II Научное приборостроение. — СПб: Наука-2004.-Т. 14.-№3.-С. 97-101.

43. Тарасевич, Ю. Ю. Решение задач теории перколяции с помощью пакета MATLAB / Ю. Ю. Тарасевич, Е. Н. Манжосова II Exponenta Pro. Математика в приложениях. — 2004. № 2 (6). — С. 22-26.

44. Pratip, Bhattacharyya. Phase transition in fiber boundle models with recursive dynamics / Pratip Bhattacharyya, Srutarshi Pradhan, BikasK. Chakrabarti II Phis. Rev. E. 2003. - Vol. 67. - № 4. -P. 046122(9).

45. Загинайченко, С. Ю. Изучение фазового перехода типа ПКР—>ГЦКР в фуллерите / С. Ю. Загинайченко, 3. А. Матысина, Д. В. Щур Н

46. Наносистемы, наноматерилаы, нанотехнологии. 2007. - Т. 5. — № 3. — С. 775-778.

47. Terki, R. Cubic-to-tetragonal phase transition of НЮ2 from computational study / R. Terki, G. Bertrand, H. Aourag, C. Coddet И Mater. Lett. 2008. -Vol. 62.-№ Ю-11.-P. 1484-1486.

48. Kato, Takaaki. Irreversible phase transition and spontaneous strain in CSHSO4 / Takaaki Kato, Junko Hatori, Yukiniko Yoshida, Yasumitsu Matsuo, Seiichiro Ikenata И Solid State Ionics. 2007. - Vol. 178. - № 7-10. - P. 735-739.

49. Мельникова, С. В. Фазовые переходы в ромбическом оксофториде (NH4)2Mo02F4 / С. В. Мельникова, Н. М. Лаптаил II Физика твердого тела. 2008. - Т. 50. - № 3. - С. 493-496.

50. Румер, Ю. Б. Термодинамика, статистическая физика и кинетика / Ю. Б. Румер, М. Ш. Рывкин. М.: Наука; ФИЗМАТЛИТ, 1972. - 400 с.

51. Физическая энциклопедия. Том 5 / под ред. А. М. Прохорова. М.: Изд-во «Большая Российская энциклопедия», 1998. — 691 с.

52. Паскаль, Ю. И. О содержании понятий «фаза» и «фазовый переход» / Ю. И. Паскаль II Известия вузов. Физика. 1988. - № 8. - С. 67-71.

53. Удодов, В. Н. Фазовые переходы в больших и малых системах (доклад) /

54. B. И. Удодов И Моделирование неравновесных систем: материлаы IX Всероссийского семинара, 13—15 октября 2006 г. — Красноярск. ИВМ СО РАН. СФУ. - 2006. - С. 180-181.

55. Скворцов, А. М. Обычные и необычные фазовые переходы / А. М. Скворцов II Соросовский образовательный журнал. 1996. — № 5. —1. C. 103-108.

56. Гюнтер, В. Э. Эффекты памяти формы и их применение в медицине / В. Э. Гюнтер, В. И. Итин, Л. А. Монасевич и др. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. - 742 с.

57. Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов / А. Г. Хачатурян. М.: Наука; ФИЗМАТЛИТ, 1974. - 384 с.

58. Yuan, B. Microstructure and martensitic transformation behavior of porous NiTi shape memoiy alloy prepared by hot isostatic pressing processing / B. Yuan, C. Y. Chung, M. Zhu II Mater. Sci. and Eng. A. 2004. - Vol. 382. -№ 1-2.-P. 181-187.

59. Hirth, J. P. On the fee —> monoclinic martensite transformation in a Pu-1.7 at.% Ga alloy / J. P. Hirth, J. N. Mitchel, D. S. Schwartz, Т. E. Mitchell 11 Acta, mater. 2006. - Vol. 54. - № 7. - P. 1917-1925.

60. Гиббс, Дж. Термодинамика. Статистическая механика / Дэ!с. В. Гиббс. — М.: Наука, 1982.-584 с.

61. Николин, Б. И. Многослойные структуры и политипизм в металлических сплавах / Б. И. Николин. Киев: Наукова думка, 1984. - 240 с.

62. Паташинский, А. 3. Флуктуационная теория фазовых переходов / А. 3. Паташинский, В. Л. Покровский. М.: Наука; ФИЗМАТ ЛИТ, 1982. -382 с.

63. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. Ч. I / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 616 с.

64. Изюмов, Ю. А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю. А. Изюмов, В. Н. Сыромятников. — М.: Наука, 1984. 248 с.

65. Курош, А. Г. Лекции по общей алгебре / А. Г. Курош. М.: Наука; ФИЗМАТЛИТ, 1973.-400 с.

66. Хамермеш, М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам / М. Хамермеш. М.: Едиториал УРСС, 2002. - 588 с.

67. Рюэлъ, Д. Статистическая механика. Строгие результаты / Д. Рюэль. — М.: Мир, 1971.-368 с.

68. Фишер, М. Природа критического состояния / М. Фишер. — М.: Мир, 1968.-222 с.

69. Хуанг, К. Статистическая механика/^. Хуанг. -М.: Мир, 1966. 515 с.

70. Эткинс, П. Физическая химия. Т. I / 77. Эткинс. М.: Мир, 1980. - 584 с.

71. Куни, Ф. М. Физические основы теории фазовых превращений вещества / Ф.М.Куни Н Соросовский образовательный журнал. 1996. № 1. — С.108-112.

72. Камилов, И. К. Фазовые переходы второго рода в ферромагнетиках в слабых магнитных полях вблизи точки Кюри / И. К. Камилов, X. К. Алиев IIУФН. 1983. - Т. 140. - Вып. 4. - С. 639-669.

73. Физическая энциклопедия. Том 1 / под ред. А. М. Прохорова. — М.: Изд-во «Большая Российская энциклопедия», 1988. — 704 с.

74. Физическая энциклопедия. Том 3 / под ред. А. М. Прохорова. М.: Изд-во «Большая Российская энциклопедия», 1992. — 672 с.

75. Физическая энциклопедия. Том 4 / под ред. А. М. Прохорова. — М.: Изд-во «Большая Российская энциклопедия», 1994. — 704 с.

76. Владимиров, И. В. Спин-переориентационные фазовые переходы в кубическом магнетике с наведенной вдоль направления 211. магнитной анизотропией / И. В. Владимиров, Р. А. Дорошенко II Физика металлов и металловедение. 1996. - Т. 82. - Вып. 4. - С. 5-9.

77. Кащенко, М. 77. Модель образования полос макросдвига мартенсита деформации с границами / М. 77. Кащенко, В. В. Летучее, Л. А. Теплякова, Т. Н. Яблонская II Физика металлов и металловедение. — 1996. Т. 82. - Вып. 4. - С.10-21.

78. Воронов, В. 77. Экспериментальное исследование поведения теплоемкости в конечных системах в окрестности критической точки смешения / В. И Воронов, В. М. Булейко И ЖЭТФ. 1998. - Т. 113. -Вып. З.-С. 1071-1080

79. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. В 2 т. Том 2 / под ред. В. Е. Панина. — Новосибирск: Наука, 1989.-302 с.

80. Эбелинг, В. Физика процессов эволюции / В. Эбелинг, А. Энгель, Р. Файстелъ\ пер. с нем. Ю. А. Данилова. М.: Эдиториал УРСС, 2001. -328 с.

81. Ершова, Т. В. Путь к справедливому информационному обществу должен идти через консенсус и ответственность / Т. В. Ершова II Информационное общество. 2005. - Вып. 6. - С. 6-11.

82. Гуфан, Ю. М. Структурные фазовые переходы / Ю. М. Гуфан. М.: Наука, 1982.-304 с.

83. Ма, 777. Современная теория критических явлений / 77/. Ма; пер. с англ.

84. A. Н. Ермилова, А. Н. Курбатова; под ред. Н. 77. Боголюбова,

85. B. К. Федянина. М.: Мир, 1980. - 299 с.

86. Дайсон, Ф. Устойчивость и фазовые переходы / Ф. Дайсон, Э. Монтролл, М. Кац, М. Фишер\ пер. с англ. С. 77. Малышенко, Е. Г. Скроцкой. — М.: Мир, 1973.-369 с.

87. Ашкрофт, Н. Физика твердого тела. Том 2 / Н. Ашкрофт, Н. Мермин. -М.: Мир, 1979.-424 с.

88. Займам, Дж. Принципы теории твердого поля / Дж. Займам. М.: Мир, 1974.-470 с.

89. Синай, Я. Г. Теория фазовых переходов / Я. Г. Синай. М.: Наука; ФИЗМАТЛИТ, 1980. - 207 с.

90. Zhang, X. Critical behavior of Ising models with random long-range (small-world) interactions / X. Zhang, M. A. Novothy II Braz. J. Phys. 2006. -Vol. 36. -№ ЗА.-P. 664-671.

91. Садовский,M. В. Лекции по статистической физике / M. В. Садовский. -Екатеринбург: Изд-во Института Электрофизики УрО РАН, 1999. -265 с.

92. Вгаип, О. М. Two-dimensional two-state lattice-gas model I О. M. Braun, Bambi Ни // Phys. Rev. E. 2005. - Vol. 71. - № 3. - P. 031111/1— 031111/11.

93. Saracco, Gustavo P. Critical and dynamical behavior of a driven diffusive lattice gas / Gustavo P. Saracco, Ezequiel V. Albano II Chem. Phys. — 2003. — Vol. 118.-№9.-P. 4157-4163.

94. Аксенова, E. В. Вычислительные методы исследования молекулярной динамики / Е. В. Аксенова, М. С. Кшевецкий. СПб.: СПбГУ, 2009. -50 с.

95. Фейнман, Р. Статистическая механика. Курс лекций / Р. Фейнмащ пер. с англ. Н. М. Плакиды и Ю. Г. Рудого; под редакцией проф. Д. Н. Зубарева. -М.: Мир, 1975.-407 с.

96. Рыжова, А. В. Анализ поляризации мнений в социальной группе на основе обобщенной модели Изинга / А. В. Рыэюова II Материалы III Всероссийского социологического конгресса. — М.: Институт социологии РАН, Российское общество социологов, 2008.

97. НО. Глаголев, К. В. Термодинамика: Электронное учебное пособие / К В. Глаголев, А. Н. Морозов. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - Режим доступа: http://fn.bmstu.ru/phys/bib/teorphysics/thermodynamics/front.html.

98. Учайкин, В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы / В. В. Учайкин И УФН. 2003. - Т. 173. - № 8. - С. 847-876.

99. Исихара, А. Статистическая физика / А. Исихара\ пер. с англ. под ред. Д. Н. Зубарева, А. Г. Башкирова. М.: Мир, 1973. - 472 с.

100. Удодов, В. Н. Многослойные политипы в аксиальной модели Изинга конечных размеров / В. Н. Удодов, А. А. Попов, А. И. Потекаев П Известия вузов. Физика, Издательство Томского университета. 1998. -№6.-С. 128-129.

101. Олейник, Г. С. Политипизм в неметаллических кристаллах: препр. ИМФ 94.12 / Г. С. Олейник, О. А. Шевченко, Н. В. Даниленко. Киев, 1994. -67 с.

102. Канзычакова, Е. Н. Модель полиморфных превращений в плотноупакованных структурах при произвольных температурах / Е. Н. Канзычакова, В. Н. Удодов, Ю. И. Паскаль и др. II Известия вузов. Физика. 1992. - № 12. - С. 42^6.

103. Бойко, В. С. Обратимая пластичность кристаллов / В. С. Бойко, Р. И. Гарбер, А. М. Косевич. М.: Наука, 1991.-280 с.

104. Кестен, X. Теория просачивания для математиков / X. Кестен. М.: Мир, 1986.-392 с.

105. Зуев, С. А. Непрерывные модели теории протекания. Часть 1 I С. А. Зуев, А. Ф. Сидоренко II Теоретическая и математическая физика. 1985. -Т. 62.-№ 1.-С. 76-86.

106. Эфрос, А. Что такое теория протекания? / А. Эфрос II Квант, 1982. № 2. - С. 2-9.

107. Гинзбург, С. Л. Микроскопическая теория подобия в задаче протекания / С. Л. Гинзбург II Письма в ЖЭТФ. 1976. - Т. 23. - Вып. 6. - С. 342-344.

108. Якимов, А. И. Мезоскопические эффекты в прыжковой проводимости тонких слоев аморфного кремния, полученных ионным облучением / А.И.Якимов, Н. П. Степина, А. В. Двуреченский II ЖЭТФ. 1992. -Т. 102.-Вып. 6(12).-С. 1882-1890.

109. Ткачев, Е. Н. Магнитополевые и температурные зависимости электросопротивления углерода луковичной структуры / Е. Н. Ткачев,

110. А. И. Романенко, О. Б. Аникеева и др. II Вестник НГУ. Серия Физика. — 2008. Т. 3. - Вып. 2. - С. 95-98.

111. Якимов, А. И. Мезоскопические эффекты в прыжковой проводимости тонких слоев аморфного кремния, полученных ионным облучением /

112. A.И.Якимов, Н. П. Степина, А. В. Двуреченский // ЖЭТФ. 1992. -Т. 102.-Вып. 6(12).-С. 1882-1890.

113. Карнаухов, А. П. Адсорбция. Текстура дисперсных и пористых материалов / А. П. Карнаухов. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1999.-470 с.

114. Крючков, Ю. Н. Моделирование пористой структуры и массопереноса в порошковых проницаемых материалах с учетом нелинейных структурных эффектов / Ю. Н. Крючков. — HAH Украины, Ин-т пробл. материаловедения им. И.Н.Францевича. К., 1996. - 216 с.

115. Абрикосов, А. А. Уравнение для распределения кластеров в перколяционной теории / А. А. Абрикосов II Письма в ЖЭТФ. — 1979. — Т. 29.-Вып. 1.-С. 72-76.

116. Попов, И. Ю. Модель потенциалов нулевого радиуса для планарного волновода в фотонном кристалле / И. Ю. Попов II Письма в ЖТФ. 1999. - Т. 25. - Вып. 16. - С. 45-49.

117. Неволин, В. К. Тепловой эффект на аноде при автоэлектронной эмиссии /

118. B. К Неволин II Письма в ЖТФ. 2006. - Т. 32. - Вып. 23. - С. 66-72.

119. Ъ\.Ликальтер, А. А. Газообразные металлы / А. А. Ликалътер II УФН. -1992.-Т. 162. -№7. -С. 119-147.

120. Гринчук, П. С. Перколяционный фазовый переход при горении гетерогенных смесей / П. С. Гринчук, О. С. Рабинович // Физика горения и взрыва. 2004. - Т. 40. - № 4. - С. 41-53.

121. Смирнов, А. Д. Монетизация глобального долга: погашение или кризис / А. Д. Смирнов II Экономический журнал ВШЭ. 2007. - № 4. - С. 467519.

122. Alekhin, A. D. Critical indices for system of different space dimensionality /

123. A. D. Alekhin II J. Mol. Liq. 2005. - Vol. 120. - № 1-3. - P. 43-45.

124. Perlsman, E. Method to estimate critical exponents using numerical studies / E. Perlsman, S. Havlin II Europhys. Lett. 2002. - Vol. 58. - № 2. - P. 176181.

125. Покровский, В. Л. Гипотеза подобия в теории фазовых переходов /

126. B. Л. Покровский II УФН. 1968. - Т. 94. - Вып. 1. - С. 127-142.137 .Holroyd, Alexander Е. Inequalities in entanglement percolation / Alexander E. Holroyd II J. Statist. Phys. 2002. - Vol. 109. - № 1-2. -P. 317-323.

127. Lorenz, С. D. Universality of the excess number of clusters and the crossing probability function in three-dimensional percolation / C. D. Lorenz, R. M. Ziffll J. Phys. A: Math. Gen. 1998. - № 31. - P. 8147-8157.

128. Ginelli, F. Directed percolation with long-range interactions: Modeling nonequilibrium wetting / F. Ginelli, H. Hinrichsen, R. Livi, D. Muhamel, A. Politill Phys. Rev. E. 2005. - Vol. 71. -№ 2. - P. 026121/1-026121/11.

129. Ul.Sinha, Santanu. Directed spiral percolation hull on the square and triangular lattices / Santanu Sinha, S. B. Santra II Int. J. Mod. Phys. C. 2005. -Vol. 16.-№8. -P. 1251-1268.

130. Majumdar, Satya N. Exact solution of a drop-push model for percolation / Satya N. Majumdar, David S. Dean II Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89. -№ 11.-P. 115701/1-115701/4.

131. Денисенко, В. А. Моделирование объединенной задачи связей и узлов с разделением связей в-теории перколяции / В. А. Денисенко, В. А. Соцков II Журнал технической физики. 2009. - Т. 79. - Вып. 7. - С. 154-155.

132. Jimenez-Dalmaroni, Andrea. Directed percolation with incubation times / Andrea Jimenez-Dalmaroni И Phys. Rev. E. 2006. - Vol. 74. - № 1. -P. 011123/1-011123/16.

133. Москалев, П. В. Анализ структуры перколяционного кластера / П. В. Москалев II Журнал технической физики. 2009. - Т. 79. - Вып. 6. -С. 1-7.

134. Байдышев, В. С. Моделирование политипных превращений в плотноупакованных кристаллах методами Монте-Карло: дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / В. С. Байдышев, КГТУ. Красноярск, 2005. -113 с.

135. Спирин, Д. В. Особенности критической динамики изинговских наноразмерных магнетиков: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.04.07 / Д. В. Спирин, ИФПМ СО РАН. Томск, 2008. - 112 с.

136. Wagner, N. Monte Carlo results for continuum percolation in low and high dimensions / N. Wagner, I. Balberg, D. Klein II Phys. Rev. E. 2006. -Vol. 74. - № 1. - P. 011127/1-011127/9.

137. Н. Кристофидес. М.: Мир, 1978. - 433 с. : |

138. Белоусов, А. И. Дискретная математика / А. И. Белоусов, С. Б. Ткачев. —

139. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 744 с. 163 .Татт, У. Теория графов / У. Татт; с англ. Г. П. Гаврилова. — М.: Мир, 1988.-424 с.

140. Ловас, Л. Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии / Л. Ловас, М. Пламмер; пер. с англ. Г. П. Гаврилова, В. В. Мартынюка, М. А. Никитиной. — М.: Мир, 1998. — 653 с.

141. Поттер, Д. Вычислительные методы в физике / Д. Поттер. М.: Мир, 1975.-392 с.

142. ПО. Соболь, И. М. Метод Монте-Карло / И. М. Соболь. М.: Наука, 1968. -64 с.

143. De Santis, Emilio. Stab percolation and phase transitions for the Ising model / Emilio De Santis, Rossella Micieli II J. Statist. Phys. 2006. - Vol. 122. -№ l.-P. 59-72.

144. Вайтанец, О. С. Перколяционный механизм фазовых переходов в ионных кристаллах / О. С. Вайтанец, С. В. Карпенко, А. П. Савинцев //Физика экстремальных состояний вещества — 2007: сб. и др. — Черноголовка: Ин-т пробл. Хим. Физ. РАН. 2007. - С. 213-215.

145. Liu, Da-Jiang. Lattice-ges modeling of CO adlayers on Pd (100) / Da-Jiang Liu II J. Chem. Phys. 2004. - Vol. 121. - № 9. - P. 4352-4357.

146. Satz, Helmut. Cluster percolation and thermal critical behavior / Helmut Satz II Comput. Phys. Commun. 2002. - Vol. 147. - № 1-2. - P. 46-51.

147. Tarasov, VasilyE. Thermodynamics of few-particle systems / VasilyE. Tarasov И Int. J. Mod. Phys. B. 2005. - Vol. 19. - № 5. - P. 879897.

148. Научная тематика лаборатории оптического разряда НИИ Ядерной физики им. Д. В. Скобельцына. Режим доступа: http://dbcquantum2. narod.ru/kaskO.htm

149. Гринчук, П. С. Перколяционный фазовый переход при горении гетерогенных смесей / П. С. Гринчук, О. С. Рабинович // Физика горения и взрыва. 2004. - Т. 40. - № 4. - С. 41-53.

150. Соцков, В. А. О явлениях самоорганизации в электрофизике макросистем / В. А. Соцков II Журнал технической физики. 2009. - Т. 79. - Вып. 8. -С. 129-132.

151. Басакер, Р. Конечные графы и сети / Р. Басакер, Т. Саати. М.: Наука; ФИЗМАТЛИТ, 1974. - 368 с.

152. Судоплатов, С. В. Элементы дискретной математики / С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова. Мл ИНФРА-М, 2002. - 280 с.

153. Кулакова, М. А. Дефектные- структуры в кобальтовых сплавах / М. А. Кулакова, В. Н. Удодов II IX Международная конференция в электронном формате «Градиентные структурно-фазовые состояния в сталях и сплавах». — Новокузнецк, 2006. С. 56—59.

154. Буреева, М. А. Одномерная теория перколяции: задача связей и задача узлов / М. А. Буреева, В. Н. Удодов II Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова. — Абакан, 2008. — 11 с. Деп. в ВИНИТИ 31.10.08, № 852-В2008.

155. Левинштейн, М. Е. О связи между критическими индексами теории протекания / М. Е. Левинштейн, М. С. Шур, Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос IIЖЭТФ, 1975. Т. 69. - С. 386.

156. Гинзбург, И. Ф. Введение в физику твердого тела. Часть II. Основы статистической физики и отдельные задачи физики твердого тела /

157. И. Ф. Гинзбург. Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2003. - 198 с.

158. Dunn, A. G. Series expansion study of the pair connectedness in bond percolation models I A. G. Dunn, J. W. Essam, D. S. Ritchie 11 J. Phys. 1975. -V. C8.-P. 4219.

159. Муртазаев, А. К. Критические свойства трехмерной фрустрированной модели Изинга на кубической решетке / А. К. Муртазаев, И. К. Каминов, М. К. Рамазанов И Физика твердого тела, 2005. Т. 47. - Вып. 6. -С. 1125-1129.

160. Румшиский, Л. 3. Математическая обработка результатов эксперимента / Л. 3. Румшиский. -М.: Наука; ФИЗМАТЛИТ, 1971. 192 с.

161. Буреева, М. А. Задача связей в одномерной теории перколяции для конечных систем / М. А. Буреева, Т. В. Волкова, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев II Известия вузов. Физика. 2010. - № 2. — С. 33-39.

162. Bureeva, Mariya. Solution of the One-Dimensional Bond Problem in a Percolation Theory / Mariya Bureeva, Vladimir Udodov II arXiv: 1101.4449vl cond-mat.dis-nn., 2011.

163. F:=F+nss.; {находим свободную энергию} svoben:=F; end;

164. F1 <>0) and (F2<>0) and (abs(sumsred1-sumsred2)>=0.001); aIfa1:=2-ln(F1/F2)/ln(abs((sumsred1-porog)/(sumsred2-porog))); alfa:=alfa1; {находим значение критического индекса аналога теплоемкости} end;