автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование тепломассопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЯКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. К. АММОСОВА

На правах рукописи

ПАВЛОВ Борис Никифорович

УДК 532.546 : 519.6

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ПРОМЕРЗАЮЩИХ И ПРОТАИВАЮЩИХ ГРУНТАХ

05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание з^ченой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор технических наук, профессор Е.Е.Петров

Якутск - 1999

Содержание

Введение 3

Глава 1. Математическая формулировка задач 9

1.1. Краткий обзор литературы.............. 9

1.2. Вывод основных уравнений.............. 14

Глава 2. Одномерные фронтовые модели промерзания водонасыщенных пористых сред 20

2.1. Зависимость температуры фазового перехода от порового давления.................... 20

2.2. Зависимость температуры фазового перехода от давления и концентрации . . ............. 33

Выводы ко второй главе................: . . 47

Глава 3. Одномерные математические модели с учетом образования двухфазной зоны 49

3.1. Учет фильтрации влаги................ 49

3.2. Учет диффузии соли................... 67

Выводы к третьей главе................... 84

Глава 4. Обобщение на двумерный случай 87

4.1. Математическая модель промерзания - протаива-

ния пористой среды, насыщенной раствором соли 87 Выводы к четвертой главе .................103

Заключение 104

Обозначения ^^^

Ю8

Литература

Введение

Актуальность темы. Для районов с сезонным и глубоким протаиванием земной коры одним из решающих факторов, определяющих их физико - технические свойства, является тепловое состояние почв и горных пород. Известно, что глубокому промерзанию земной коры подвержены около половины территории России, части земель, принадлежащих таким государствам как США, Канада, Монголия, Китай.

Изменение физико-технических,теплофизических свойств почв и горных пород в процессе их протаивания или промерзания приводит иногда к совершенно новым законам переноса в них механической, электромагнитной, электрической и тепловой энергии. Данные законы в практическом и тео1 ретическом плане играют существенную роль в разработке методов поиска и разведки полезных ископаемых, изучении условий распространения радиоволн и сейсмических колебаний.

Промерзание - протаивание почв и горных пород влекут такие явления, как пучение, просадка, солифлюкция, перераспределение влаги и формирование криогенной структуры, морозобойное растрескивание и образование жильных льдов и т.п. Так, например, протаивание мерзлых грунтов может привести к разрушению наземных и подземных сооружений. В то же время, рыхлые талые грунты после промерзания приобретают свойства скальных грунтов из которого следуют соответствующие преимущества в строительстве соору-

жений. После промерзания значительно изменяются свойства грунтов: практически прекращается конвективный теплообмен, фильтрующие грунты становятся водонепроницаемыми. При изучении физической природы этих явлений теория тепломассопереноса имеет первостепенное значение.

Качественные математические модели и численные методы решения, позволяют значительно сэкономить, сократить расходы на научные эксперименты и, при правильном моделировании, дополняют результаты натурных наблюдений, что достигается легкостью изменения входных данных математической модели, чем натурного эксперимента. Тем самым, достигается получение широкого спектра результатов при самых разных режимах протекания природных процессов.

Экспериментальный факт наличия в мерзлых грунтах не-замерзшей воды, сосуществующей со льдом был обобщен Н.А.Цытовичем: "... в любой момент времени в мерзлом грунте (в порах или между контактами минеральных частиц) предполагается наличие некоторого количества воды в жидкой среде, находящейся в равновесном состоянии с рядом внешних факторов (температурой, давлением и пр.)" [77]. Таким образом, возникла принципиально новая проблема - необходимость в дополнение к теплопереносу в мерзлом грунте учитывать массоперенос и рассматривать их взаимовлияние.

Целью настоящей работы является: разработка эффективных вычислительных алгоритмов, пригодных для численной реализации одно- и многомерных задач тепломассопереноса с протяженной областью фазовых переходов.

Задачи исследований:

1. Построение эффективного метода расчета для фронтовой модели промерзания пористой среды насыщенной как пресной водой так и раствором соли.

2. Исследование одномерной задачи теплообмена и массо-переноса при фазовых переходах с образованием двухфазной области. Построение численного метода расчета, позволяющего исследовать модели в случае периодических граничных условий (сложные структуры вида талая - двухфазная -талая - ... или двухфазная - талая - двухфазная - ...).

3. Исследование двумерной математической модели с учетом образования в расчетной области двухфазной и талой участков.

4. Исследование предложенных численных моделей и алгоритмов на адекватность физическому процессу.

Научная новизна. В результате конкретизации фундаментальных законов механики многофазных сред разработаны упрощенные одномерные и двумерные математические модели процессов переноса тепла, растворенной в воде примеси или массы воды в промерзающе - протаивающих грунтах с учетом образования двухфазной зоны; предложен эффективный метод численного решения одномерной и двумерной задачи для уравнений тепломассопереноса в талой и двухфазной зонах, позволяющий решать "многофронтовые" задачи с широким кругом возможных граничных условий; численно реализована фронтовая модель промерзания водона-сыщенной пористой среды с вытеснением поровой влаги в направлении движения фронта как с учетом растворенных в поровой влаге примесей, так и без их учета; исследован

характер промерзания при расчете по фронтовой модели.

Теоретическая ценность. Предложенные математические модели и алгоритмы могут служить основой для построения численных алгоритмов решения широкого класса задач (многофронтовых, многомерных) с учетом массо- и солепере-носа. Также описанные задачи могут быть взяты за основу при расчете задач механики.

Практическая ценность. Предложенные численные методы решения можно использовать для решения актуальных задач строительства, разработки полезных ископаемых, экологии и т.д. в районах распространения многолетней мерзлоты. Например, при расчете устойчивости инженерных сооружений, строящихся на промерзающе - протаивающих грунтах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры информатики и вычислительного эксперимента Якутского государственного университета; на семинарах д.ф.-м.н., профессора И.Е.Егорова "Дифференциальные уравнения с частными производными"; на научно-технической конференции, посвященной памяти профессора Н.С.Иванова (6-7 декабря 1995 г.); на международной научной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов-96" (г.Москва, 1996); на научной конференции студентов и молодых ученых РС(Я) в рамках программы " Лаврентьевские чтения" (г.Якутск, апрель 1997 г.); на Второй Международной конференции по математическому моделированию, посвященной Году Образования Республики Саха (Якутия) и 365-летию г.Якутска (г.Якутск, 28 июня - 2 июля 1997 г.); на Второй Международной конференции "Finite -

Difference Methods: Theory and Application" (г.Минск, Беларусь, 6 - 9 июля 1998 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [52, 60, 61, 62, 63, 89, 90].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 119 страницах машинописного текста, состоит из введения,четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

В параграфе 1 главы 1 приведен краткий обзор литературы.

В параграфе 2 главы 1 дается вывод уравнений для двухфазной зоны [18], описывающих процессы переноса тепла, массы воды и растворенной в воде соли в двухфазной области.

В параграфе 1 второй главы предлагается численное решение методом ловли фронта в узел пространственно - временной сетки задачи промерзания водонасыщенной пористой среды с учетом вытеснения поровой влаги в направлении движения фронта фазового перехода и зависимости температуры фазового перехода от порового давления. Показана область параметров, при которых начинает происходить переохлаждение.

В параграфе 2 главы 2 предложен численный метод решения задачи промерзания пористой среды, насыщенной раствором соли с учетом фильтрации воды, а также диффузии соли в направлении движения фронта фазового перехода. Рассмотрено совместное воздействие давления и концентрации на температуру фазового перехода.

Параграф 1 третьей главы посвящен математической модели, описывающей перенос тепла и массы воды, с учетом

образования двухфазной зоны. Предложено упрощение модели для параметров, при которых не образуется полностью мерзлая зона, учитывается образование только двух зон: талой и двухфазной. Предлагается численная реализация методом сквозного счета. Исследуется процесс протаивания, на диаграмме приводятся полученные типичные критические кривые, отделяющие область параметров, при которых про-таивание происходит без парообразования.

В параграфе 2 главы 3 рассматривается одномерная математическая модель промерзания - протаивания насыщенной раствором соли пористой среды, с образованием двухфазной зоны. Предложена конечно-разностная схема сквозного счета и вычислительный алгоритм, позволяющий моделировать процесс промерзания - протаивания с появлением и исчезновением талых и двухфазных участков, при постановке задачи с периодическими граничными условиями для температуры. Приводится диаграмма, на которой приведены типичные критические кривые, выделяющие область начальных данных, при которых по данной модели не образуется полностью мерзлая зона.

В главе 4 предложено двумерное обобщение математической модели промерзания - протаивания пористой среды, насыщенной раствором соли, с учетом образования двухфазной зоны. Предлагаемая локально - одномерная схема для решения задачи исследована для различных граничных и начальных условий, с образованием сложных структур вида талая - двухфазная - талая - ... или двухфазная - талая -двухфазная - ... .

В заключении приведены основные результаты работы.

Глава 1

Математическая формулировка задач

1.1. Краткий обзор литературы

Математическое описание процессов кристаллизации (плавления) строится на основе известной задачи Стефана и ее обобщений [21, 51, 66, 91]. В основополагающих работах Г.Ламэ, Б.Клапейрона, а также И.Стефана [85, 91] рассмотрены процессы затвердевания вещества, имеющего известную постоянную температуру кристаллизации и находящегося в начальный момент при температуре фазового перехода (в однофазной постановке) или выше нее (в двухфазной постановке).

В модели, предложенной в [91] предполагалось, что жидкость полностью переходит в твердое состояние при определенной, жестко зафиксированной температуре фазового перехода. Граница раздела жидкой и твердой фаз представляет собой плоский фронт промерзания, на котором выполняются условия непрерывности по температуре и равенства ее постоянной температуре фазового перехода, а также условие теплового баланса Стефана. В дальнейшем, фронтовой подход нашел широкое применение в моделировании процессов те-пломассопереноса в промерзающе - протаивающих грунтах. Во фронтовых математических моделях тепломассопереноса считается, что фильтрация влаги происходит только в про-

ницаемой талой зоне и теплоперенос вычисляется только в талой зоне [4, 24, 25, 26, 57, 73, 83, 97].

Подстановка закона Дарси в уравнение неразрывности для массы воды в талой зоне приводит к уравнению пье-зопроводности, а совместное решение с уравнением теплопе-реноса к учету зависимости температуры фазового перехода от давления [86, 87].

Далее в работе Г.Гаймона, Т.Хромадка, Р.Берг [84] при попытке решения задачи о кристаллизации бинарного сплава в рамках классической фронтовой модели было обнаружено "диффузионное переохлаждение" жидкой фазы.

Последующие исследования принадлежат А. Бермудец,

A. Кроули, Г. Фикс и другим [78, 80, 82, 93, 94, 96] и подтверждают выводы работы Г.П.Иванцова [31] и Д.С.Каменецкой, Э.П.Рахманова, Е.З.Спектор [38].

Впервые возможность образования смеси жидкой й твердой фаз ("двухфазной зоны") была реализована в работах

B.Т. Борисова, М.К. Лихт, С.Б. Кузьминской [5, 6, 43]. Данная теория получила свое дальнейшее развитие в [1, 7]. Считается, что в двухфазной зоне выполняются законы сохранения энергии, массы растворенной примеси и термодинамические условия фазового равновесия или кинетические соотношения.

Теория о фазовых переходах в спектре температур в первую очередь связано с экспериментальными работами И.Юнга, Н.А. Пытовича, З.А. Нерсесовой [54, 55, 77, 88], а также предложенной на основании этих данных А.Г. Колесниковым [39] математической формулировкой задачи о температурном режиме грунта, промерзающего в спектре темпера-

тур. В дальнейшем задача теплопереноса была расширена и дополнена задачей массопереноса [40, 71].

Параллельно с развитием модельных представлений развивались численные методы расчета. Первые публикации по разностным методам решения задач типа Стефана были опубликованы в пятидесятых годах в работах Д.Дугласа и Г.Гайи [81]. В данной работе была предложена и обоснована неявная итерационно - разностная схема с ловлей фронта в узел сетки. В дальнейшем данный метод получил широкую популярность и было сделано множество обобщений, в частности в работах [32, 52, 58, 61]. Недостатком данного метода является невозможность распространения на многофронтовые и многомерные задачи. Для реализации многофронтовых и многомерных задач требовались другие схемы.

Первые разностные схемы сквозного счета были построены A.A. Самарским, Б.Д. Моисеенко [68] и Б.М. Будаком, E.H. Соловьевой и A.B. Успенским [9]. В данных работах исходные параболические уравнения с условиями Стефана на искомых поверхностях раздела фаз с помощью функции Дирака записываются в виде одного параболического уравнения с разрывными коэффициентами. Далее производится сглаживание разрывных коэффициентов по температуре в некотором интервале, содержащем температуру фазового перехода. Таким образом, в результате данной процедуры сглаживания вместо исходной задачи, имеют дело с краевой задачей для квазилинейного параболического уравнения. Для ее численного решения, авторы используют чисто неявную однородную итерационно - разностную схему свозного счета.

Следует отметить решение конечно-элементным мето-

дом одномерной задачи типа Стефана [79]. В цикле работ В.П.Ильина и его сотрудников [23, 36] предложены и реализованы балансные разностные схемы для численного решения задач типа Стефана при моделировании процессов тепло-массопереноса в каталитических реакторах и технических устройствах различного назначения.

Интересный метод реализации многофронтовых задач -метод выпрямления фронтов реализован в работе Б.М. Бу-дака, H.JI. Гольдмана, A.B. Успенского [8].

Цикл работ по разработке оригинальных численных методов решения задач типа Стефана выполнен П.Н.Вабищеви-чем и его коллегами [11, 12, 14].

Исследования по математическому моделированию процессов тепломассопереноса в мерзлых горных породах при фазовых переходах обобщены в монографиях В.И. Васильева [13] - [18], Н.С. Иванова [30], Г.М. Фельдмана [72], В.Ю. Изак-сона, Е.Е. Петрова [32, 33, 34, 35].

В.М. Ентов, A.M. Максимов и Г.Г. Цыпкин в своих работах [27]-[29] при различных тепловых режимах рассмотрели задачу промерзания пористой среды, насыщенной раствором соли. Также была рассмотрена задача промерзания пористой среды, насыщенной пресной водой. Показали, что понижение температуры фазового перехода, связанное с повышением концентрации растворенной соли и фильтрационного давления в некоторой области параметров, приводит к переохлаждению. И для построения решения, не допускающего переохлаждения, первыми ввели реальные модели двухфазной зоны для пористой среды насыщенной водой и раствором соли. В этих моделях предполагается, что между талой

и мерзлой зонами существует зона древовидных структур, в которой лед и водный раствор соли (пресная вода) сосуществуют при температуре фазового перехода. Для задачи в мерзлой и талой зонах были построены автомодельные решения. Расположение фронта и температура на фронте фазового перехода, в случае фронтовой задачи, а также границы двухфазной области и температура, давление, концентрация, водонасыщенность в двухфазной области, в случае с двухфазной областью находились с помощью численных методов. Данная задача решена для постоянных начальных То и граничных Т° условий в одномерной области [0,оо).

Численное решение для фронтовой модели кристаллизации толщи морской воды с учетом зависим�