автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование деформаций грунта при оттаивании с учетом фильтрационной консолидации

На правах рукописи

Протодьяконова Надежда Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ ГРУНТА ПРИ ОТТАИВАНИИ С УЧЕТОМ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ КОНСОЛИДАЦИИ

05.13.18. - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□□3458 161

Якутск - 2008

003458161

Работа выполнена в Институте физико-технических проблем Севера Сибирского отделения Российской Академии Наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

Колмогоров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Бондарев Эдуард Антонович, Институт проблем нефти и газа СО РАН

доктор физико-математических наук, действительный член Академии наук Республики Саха (Якутия) Григорьев Юрий Михайлович, ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова»

Ведущая организация:

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН г. Новосибирск

Защита состоится « 27 » декабря 2008 г. в 15— часов на заседании диссертационного совета Д 212.306.04 при ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова» по адресу: 677000, г.Якутск, ул. Кулаковского, 48, КФЕН ЯГУ, ауд.324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова.

Автореферат разослан ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д. ф.-м. н. ¿р!**^

Н.А. Саввинова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проектирование, строительство и эксплуатация инженерных сооружений на многолетнемерзлых грунтах сопряжены с проблемой деградации вечной мерзлоты. Появление и увеличение вблизи сооружений неравномерной области растепленных и оттаивающих грунтов может привести к возникновению неоднородных перемещений фундаментов. Оттаивание грунтов в основании сооружений приводит к дополнительным и зачастую опасным деформациям элементов конструкций. В связи с этим необходимо уметь оценивать величину осадки при оттаивании мерзлого грунта, скорость и глубину оттаивания. При этом необходимо учитывать влияние температуры на теплофизические и физико-механические характеристики протаивающего грунта.

Первые исследования по определению осадок грунтов при оттаивании принадлежат Н.А.Цытовичу. Позже многие исследователи, такие как A.M. Пчелинцев, А.Е. Федосов, И.Н. Вотяков и др., предложили различные расчетные формулы для определения осадок оттаивающих грунтов. Общим недостаток этих формул является то, что они содержат экспериментально определяемые коэффициенты и величины, зависящие от типа грунта.

Основы теории фильтрационной консолидации грунтов развиты в работах К. Терцаги, Н.М. Герсеванова, В.А. Флорина и др. Дальнейшее развитие данная теория, с привлечением основ механики гетерогенных сред, получила в работах М. Био, В.Н. Николаевского и др.

Для более точного описания и прогнозирования теплового и механического режимов массива грунта актуальным является совершенствование математических моделей и методов решения задач многофазного тепломассопереноса с учетом реальных физических процессов.

В настоящей работе разработаны модель и метод численного расчета реологических деформаций оттаивающего грунта, с использованием теории вязкоупругости.

Целью работы является исследование методами математического моделирования осадок грунтовых оснований, вызванных фильтрационной консолидацией при оттаивании мерзлых грунтов.

В соответствии с поставленной целью сформулированы следующие основные задачи исследования:

в рамках двухфазной математической модели необратимого деформирования оттаивающего грунта под действием внешней нагрузки сформулировать граничные условия на фронте фазового перехода порового раствора с учетом изменения пористости скелета грунта;

разработать алгоритм и программы совместного численного решения задачи теплообмена и задачи фильтрационной консолидации в талой области. Научная новизна работы заключается в следующем: - разработаны алгоритм и программа решения сопряженной задачи фильтрационной консолидации оттаивающего грунта с учетом фазового перехода лед - вода в спектре температур;

- выведены граничные условия на фронте фазового перехода с учетом

изменения пористости грунта;

- определены осадки грунта за счет таяния порового льда и за счет

фильтрационной консолидации.

Обоснованность и достоверность положений, выводов и результатов,

защищаемых в диссертации, подтверждается использованием фундаментальных законов термодинамики, механики и теории фильтрации, применением эффективных и теоретически обоснованных вычислительных методов.

Теоретическая и практическая ценность. Предложенные модели и алгоритмы решения могут служить основой для построения численных алгоритмов решения задач тепломассообмена и задач механики. Область их применения - прогнозирование осадок протаивающего грунта, которые являются одной из основных причин разрушений инженерных сооружений и зданий, возводимых в криолитозоне.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции по моделированию тепломассопереноса (Кипр, 1999 г.), на Международном форуме по тепломассообмену (г. Минск, 2000 г.), на Международной конференции «Физико-технические проблемы Севера» (г. Якутск, 2000 г.), на ГУ-й Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 2004 г.), на 1-м, Н-м, IV-м Евразийских симпозиумах по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата (г. Якутск, 2002, 2004, 2008 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 98 страницах машинописного текста, состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследований, определены цели и задачи работы, изложены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена численным методам решения задач теплопереноса с фазовыми переходами поровой влаги. Приведен обстоятельный обзор литературы, посвященной данной теме, рассмотрены различные модели теплопереноса с фазовыми переходами и методы их решения. Для апробации алгоритмов и программ температурная задача протаивания мерзлого массива в зависимости от типа грунта решена в двух различных постановках. Для крупнозернистых грунтов, где фазовый переход свободной воды полностью происходит при Тф = 273К, решена классическая задача типа Стефана. Для тонкодисперсных грунтов применена математическая модель, учитывающая фазовый переход связанной воды в спектре температур. При данном подходе на границе происходит фазовый переход не всей влаги, а разности между начальной влажностью и величиной незамерзшей воды при

температуре фазового перехода. Обычно перед тем, как строить разностную схему, пригодную для численного решения нелинейной краевой задачи, делают «размазывание» разрывных функций в некотором интервале изменения неизвестной функции. Существенным недостатком такого подхода является отсутствие алгоритма выбора интервала сглаживания. В работе применен метод свободный от указанного недостатка, который был предложен В.И.Васильевым. При этом для численной реализации задачи протаивания мёрзлого грунта использовали чисто неявную разностную схему сквозного счёта на равномерной сетке. Полученная система линейных трехточечных разностных уравнений решается методом прогонки и с использованием итерации.

При численных расчетах решения задачи протаивания грунта температурная зависимость количества незамерзшей воды задана в следующем виде:

где Тф - температура фазового перехода; - начальная влажность грунта; IV - промежуточное значение влажности, соответствующее температуре Т2; -

количество прочносвязанной воды, которая не замерзает при отрицательных температурах.

При данной аппроксимации, особенно в случае влагонасыщения, температура Тф практически всегда равна 273°К. Температурная зависимость

количества незамерзшей воды определяется экспериментально. При этом необходимо иметь в виду, что количество незамерзшей воды невозможно измерить при температуре, равной Тф. Поэтому разность ~^не(Тф) ни

экспериментально, ни теоретически в настоящее время невозможно определить. Следовательно, для определения температурной зависимости количества незамерзшей воды вблизи температуры Тф, в случае влагонасыщения, следует

применять вышеприведенную формулу. При этом необходимо учитывать то, что температура Т2 должна быть равна той температуре, где кончается область возможности экспериментального измерения.

Решение температурной задачи протаивания мерзлого массива грунта с учетом фазового перехода в спектре температур проведено для суглинка. Также для апробации алгоритма решения задачи проведено сравнение с данными, полученными ранее П.П. Пермяковым, которое показало хорошее совпадение результатов расчетов. Для сравнения решений температурной задачи протаивания мерзлого массива грунта в двух различных постановках (в

пс т —Т 2 1

(1)

IV ,Т<Т.

постановке типа Стефана и с учетом количества незамерзшей воды) задача решена за летний период времени. Из решения температурной задачи найдены распределения значений температуры по толщине грунта, движение фронта протаивания. Анализ результатов расчета показал, что при одинаковой начальной влажности грунта решение температурной задачи с учетом количества незамерзшей воды дает более интенсивный ход процесса протаивания, чем соответствующее решение данной температурной задачи в виде постановки Стефана. Расхождение вычисленных значений температуры в разных постановках наблюдается за счет того, что эти модели по-разному учитывают теплоту фазового перехода.

Вторая глава посвящена деформациям оттаивающего массива грунта. Проведен анализ существующих методик определения осадки талого грунта. Рассмотрена задача компрессии упруго-пористого слоя грунта. Распределение порового давления в слое талого грунта представлено в виде известного ряда, осадка талого слоя грунта под воздействием поверхностной нагрузки также представлена в виде ряда. Для проверки эффективности используемого алгоритма и сравнения результатов численного решения рассмотрены модельные задачи, имеющие точное решение. В качестве модельной задачи консолидации рассмотрим задачу компрессии талого грунта, описываемого двухфазной моделью. Решение данной задачи проведено численно с помощью конечно-разностных методов и с помощью рядов. Для апробации построенного алгоритма проведено сравнение точного решения с численным, которое показало хорошее совпадение результатов вычислений.

Найдено распределение порового давления в массиве водонасыщенного грунта толщиной Ь=2м при компрессии под действием постоянной нагрузки Ро=0.2 МПа после четырех месяцев приложения нагрузки. Наибольшие значения поровое давление достигает на нижней границе грунтового массива.

в, см

4

3

<0 2 1

0 1.25 2.5 3.75 6

Рис.1 Развитие осадки слоя грунта по времени при следующих входных данных: Р0=0.2 МРа; су=Ю "7 м 2/с; шу =6.5-Ю"8 1/Па.

Как следует из рис.1, в начальный период времени деформация слоя растет линейно, но в дальнейшем, с уменьшением градиента порового

давления, скорость развития осадки понижается и постепенно выходит на асимптоту, соответствующую полной стабилизированной осадке слоя.

Увеличение поверхностной нагрузки, как и ожидалось, вызывает пропорциональный рост значения общей осадки и величины эффективного напряжения в определенной точке слоя грунта в каждый момент времени. При этом, характер развития деформации грунтового слоя во времени и характер распределения эффективных напряжений по его толщине не меняются.

Далее рассмотрена задача фильтрационной консолидации оттаивающего грунта, которая предполагает совместное решение уравнения теплопроводности и уравнения пьезопроводности. Основные уравнения представляют собой уравнение теплопроводности для мерзлой зоны: дГ(х,р 5 f дГ(х,0) dWHB(T)

Рм dt ~дх{м дх J LP dt ■ (2)

В талой зоне справедливы уравнения теплопроводности и пьезопроводности: dT(xJ) д ( ЩхЛ)

d2P(x,t) dP(xj)

(4)

Граничные условия на поверхности грунта имеют вид:

Ä(T)?IM=a{mt)-TB(tj). (5)

дх

Верхняя поверхность оттаявшего грунта принята свободно дренирующей:

Щ/) = 0. (6)

На подвижной границе фазового перехода выполнены условия:

Т(№,0 = Тф, (7)

дЩЩ , дЩЩ) frw w (т лдт —д--Л- —я-=ЫК-Кв(тф))-гг> (8)

дх дх dt

= (9)

На нижней границе грунтового массива х = R задан геотермальный поток:

(10)

дх

Здесь T(x,t) - поле температур; P(x,i) - поровое давление; Тф -температура фазового перехода; срт,сри - объёмная теплоёмкость талого и мерзлого грунта; Я,, - теплопроводность талого и мёрзлого грунта соответственно; где L - скрытая теплота фазового перехода воды; р -плотность скелета грунта; W0 - начальная влажность грунта; 4(0 - граница раздела между талой и мёрзлой зонами; а - коэффициент теплообмена грунта с воздухом; q - геотермический поток; Тв - зависимость температуры воздуха от времени; cv - коэффициент консолидации; Ра - внешняя нагрузка.

Осадки протаивающего грунта находим как сумму двух составляющих:

+5С, (11)

где - осадки при протаивании грунта без фильтрационного оттока жидкости, Яс - осадки фильтрационной консолидации грунта без учета скачка плотностей поровой фазы.

Для слоя водонасыщенного грунта мощностью ? осадки определены

по формуле*

0.09

(12)

1.09+1/(0^)'

где - суммарная влажность грунта в мерзлом состоянии; 05 - плотность частиц грунта.

В каждый момент времени осадки консолидации 5С представлены как

интеграл от деформации скелета: «о «'1

5С = ¡ссс1х=ту \[Р0+гсх-Р{х,Щ1х, (13)

о о

где ес - деформация скелета грунта; щ коэффициент сжимаемости; ус -удельный вес сухого грунта.

Для численной реализации задачи фильтрационной консолидации оттаивающего грунта использована чисто неявная разностная схема сквозного счета на равномерной сетке. Полученная система линейных трехточечных разностных уравнений решается методом прогонки с использованием итераций. Разработана программа совместного решения температурной и консолидационной задач.

Проведены численные расчеты при различных значениях исходных данных. В ходе решения задачи фильтрационной консолидации оттаивающего грунта найдены движение границы протаивания фунта, распределение порового давления по глубине оттаявшего слоя грунта, осадки за счет таяния порового льда и осадки фильтрационной консолидации. На рис.2 показано распределение порового давления по глубине грунта при внешней нагрузке Р0 =0.2 МРа.

Р, Па

3000

2250

1500

750

У

х, м

0 0.5 1 1.5 2 Рис.2. Распределение значений порового давления по глубине оттаявшего грунта. Р0=0.2 МРа; Т0=-4 °С; Тв=12.2 °С; су=8.7-10 "6 м 2/с; =6.5-10"81/Па.

Как видно из графика, изменение порового давления по глубине носит прямолинейный характер. Увеличение поверхностной нагрузки, как и ожидалось, вызывает пропорциональный рост значения осадки и величины порового давления.

На рис 3. представлены осадки оттаявшего грунта за летний период времени при приложенной нагрузке Р0 = 0.2МРа. Осадки фильтрационной консолидации зависят от приложенной нагрузки и чем больше нагрузка, тем больше осадки.

в, см

10 7.5

- 5

2.5

0 1 2 3 4 5

Рис 3. Распределение значений осадки за 5 летних месяцев при Ро=0.2 МРа; То=-4 °С; Тв=12.2 °С; су =8.7-10 "6 м 2/с; ту=6.5-10-81/Па; 51 - значения осадки за счет таяния порового льда; б2- значения осадки за счет фильтрационной консолидации.

При решении температурной задачи теплофизические характеристики и в талом, и в мерзлом состояниях обычно считаются постоянными. В действительности, при фильтрационной консолидации, по мере отжатия воды, изменяются объемный вес скелета грунта, пористость, удельная теплоемкость и теплопроводность в талом состоянии. Рассмотрена данная корректировка теплофизических и структурных свойств (у ,т ,с7.,Яг) талого грунта с учетом осадки после оттаивания. Получены формулы для определения удельного веса грунта в талом состоянии, пористости с учетом осадки при оттаивании. Для расчета теплопроводности грунта использована формула В.И. Одолевского, дающая достаточно хорошее совпадение экспериментальных данных с результатами исследований. Проведено решение задачи фильтрационной консолидации с учетом изменения теплофизических характеристик и без учета. Расчеты показали, что учет изменения теплофизических характеристик грунта несущественно влияет на осадки грунта.

Также определены деформации пластично-мерзлого слоя грунта, учитывающие влияние количества незамерзшей воды на осадки оттаивающего слоя грунта. Деформации этого слоя происходят за счет изменения объема поровой воды в результате фазового перехода. Таким образом, если в мерзлом

грунте содержится значительное количество незамерзшей воды, то осадки такого грунта определяем по формуле И.Н. Вотякова: „ , 0.08

~ 2.7(]¥ - 1УНВ)+0.9' (И)

где IVнп - функция зависимости количества незамерзшей воды от температуры в долях !; И: - суммарная весовая влажность грунта в долях 1.

Задача фильтрационной консолидации оттаивающего грунта решена для суглинка. Полученные результаты вычислений показали, что осадки, за счет количества незамерзшей воды в пластично-мерзлом слое грунта, не вносят существенный вклад в величину общей осадки (рис.4).

Б, СМ

I, месяц

Рис.4. Распределение осадки грунта за летний период при Ро=0.2 МРа;

Т0=-4 °С; Тв=12.2 °С; су=8.7-10 ^ м 2/с; ту=6.5-10"8 1/Па. - значения осадки за счет таяния порового льда;

62 - значения осадки за счет фильтрационной консолидации;

63 - значения осадки за счет количества незамерзшей воды в пластично-мерзлом слое.

Третья глава посвящена консолидации оттаивающего грунта с учетом ползучести. Рассмотрена задача о распределении порового давления и развитии осадки в слое водонасыщенного грунта, описываемого вязкоупругими моделями. Для нахождения решения вязкоупругой задачи компрессии воспользовались принципом соответствия и методом интегральных преобразований Лапласа. Распределение порового давления и осадки в задаче компрессии водонасыщенного грунта, описываемые вязкоупругой моделью Максвелла получены в виде рядов. Найдены значения порового давления и осадки при различных значениях времени релаксации.

Если считать мерзлый грунт реологически деформируемым под действием внешних нагрузок, то при фазовых переходах необходимо в талом состоянии учитывать эффект памяти истории деформирования и нагружения грунта в мерзлом состоянии. Для однородных сред с наследственной ползучестью, претерпевающих фазовый переход, в работе Дубина М.М. с

соавторами была предложена гипотеза о сохранении остаточных напряжений при фазовом переходе, позволяющая учитывать влияние истории деформирования среды до фазового перехода. В общем случае такой подход вполне возможен в рамках теории неоднородной ползучести сред. Для задачи деформирования грунтов при оттаивании обобщена данная гипотеза на случай фильтрационной консолидации водонасьнценной ползучей пористой среды, претерпевающей фазовый переход.

Рассмотрены соотношения, определяющие реологическое поведение сред при фазовом переходе льда в воду в порах. Обобщена гипотеза о сохранении остаточных напряжений в наследственно ползучих средах при фазовых переходах на случай, когда в талом состоянии грунт представляет пористую ползучую среду, насыщенную вязкой упругосжимаемой жидкостью. Рассмотрен вклад остаточных напряжений на релаксацию. Из этого сделан вывод о том, что при оттаивании мерзлого грунта учет сохранения остаточных напряжений при фазовом переходе приводит к тому, что кривые релаксации напряжений в талом грунте будут отличаться от кривых релаксации без учета эффекта сохранения остаточных напряжений на Дст(г) и со временем эта разница будет уменьшаться.

При постановке математической задачи промерзания или оттаивания водонасыщенных грунтов, наряду с системой основных уравнений механики, описывающих движения среды в талом и мерзлом состояниях, и внешних граничных условий, необходимо сформулировать условия на движущейся границе фазового перехода, рассматривая её как поверхность разрыва внутри среды, обусловленного разницей свойств и движения фаз.

Рассмотрен баланс потоков массы и импульса через поверхность разрыва. Считая, что через поверхность разрыва массоперенос мерзлой среды и твердой фазы отсутствует, а движение жидкой фазы происходит согласно закону Дарси, получено условие вида:

где: р,,р2,р3- плотности, соответственно минерального скелета, воды и льда; тт и ти - пористость в талой и мерзлой среде; к— проницаемость талой среды, р. - вязкость поровой воды, р - поровое давление.

Обозначая изменение пористости среды при фазовом переходе порового заполнителя через Ат = тм -тТ, запишем условие (15) в виде:

Если пренебречь изменением пористости Дт = 0, то из соотношения (15) получим граничное условие:

Л'

(15)

Гд рЛ &т(Рх ___

Л|Л Рг) тт\ Рг )\ Ртт

(16)

dt { рг) ¡л dx

предложенное A.M. Максимовым, Г.Г. Цыпкиным для описания промерзания водонасыщенной пористой среды.

В случае, когда вклад второго составляющего намного превосходит вклад первого и изменением пористости среды нельзя пренебречь (например, при протаивании льдонасыщенного грунта) на границе фазового перехода получено условие:

d£, dp

dt

dx

(18)

Моргенштерн и Никсон предложили использовать это условие (18) для описания процесса консолидации грунта при оттаивании.

Таким образом, граничное условие (16) на подвижной границе = является обобщением ранее полученных условий (17) и (18).

Решена задача фильтрационной консолидации оттаивающего массива грунта при трех различных граничных условиях. Получены распределения значений осадки за счет таяния порового льда и осадки фильтрационной консолидации. Осадки за счет таяния порового льда не зависят от порового давления и поэтому не меняются от вида граничного условия.

Осадки фильтрационной консолидации, полученные при решении задачи консолидации с различными граничными условиями приведены на рис.5. Как видно из графиков, значения осадки, полученные с использованием граничного условия вида (17), представляют оценку величины осадки снизу, осадки, найденные при условии (18), дают оценку сверху, а значения осадки, найденные с использованием граничного условия (16), дают промежуточные значения.

б, см

yi_

у2 2

уз" .... 1

х, месяц

О 1

Рис.5. Распределение значений осадки фильтрационной консолидации грунта при различных граничных условиях за летний период времени при Ро=0.3 МРа; Т0=-4 °С; Тв=12.2 °С; су =8.7-10 ^ м 2/с; ту=6.5-10"8 1/Па;

yl -распределение значений осадки при условии Ат = 0 (17); у2 - распределение значений осадки при условии Am # О (18); уЗ - распределение значений осадки с использованием условия общего вида (16).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе дано решение актуальной научно-технической задачи, связанной с определением осадок при оттаивании грунта в основании инженерных сооружений. Основные выводы работы заключаются в следующем:

1. В рамках математической модели двухфазной среды описаны деформации водонасыщенного грунта с учетом фазовых переходов поровой влаги и фильтрационной консолидации под действием внешней нагрузки.

2. Получено обобщенное граничное условие на подвижной границе фазового перехода с учетом двухфазности талого грунта и изменения пористости среды при фазовом переходе. Установлено влияние вида граничного условия на фронте фазового перехода на развитие порового давления и деформации в талом грунте.

3. Предложен алгоритм и создана программа численного расчета, с использованием метода конечных разностей, для совместного решения задачи теплопереноса в среде с фазовыми переходами и деформирования пористой среды при фильтрационной консолидации.

4. В вычислительном эксперименте установлено, что наиболее деформированными при фильтрационной консолидации являются верхние слои грунтового массива, в нижних слоях основная нагрузка приходится на поровую воду. Со временем из-за фильтрационного оттока воды происходит перераспределение нагрузки между минеральным скелетом и жидкостью, и этот процесс продолжается до тех пор, пока градиент порового давления в грунте будет равняться нулю.

5. Проведен учет деформации грунта, находящегося в пластично-мерзлом состоянии, за счет изменения количества незамерзшей влаги. Результаты расчетов показали, что влияние осадки пластично-мерзлого слоя грунта на общую осадку незначительно.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1]. Колмогоров, A.B., Протодьяконова H.A. Математическое моделирование реологических деформаций насыщенной пористой среды при фазовых переходах поровой влаги/ A.B. Колмогоров, H.A. Протодьяконова // Наука и образование. - 2007. - №1. - С. 77-83.

[2]. Колмогоров, A.B., Протодьяконова H.A. Учет изменения теплофизических характеристик в задаче деформации двухфазной среды при фазовых переходах/ A.B. Колмогоров, H.A. Протодьяконова // Труды Минского международного

форума по тепло- и массообмену. Тезисы докладов и сообщений ММФ, том 8.

- Минск: Институт тепло- и массообмена им. A.B. Лыкова, 2000, С. 234-239.

[3]. Протодьяконова, H.A. Учет изменения теплофизических характеристик в задаче деформации двухфазной среды при фазовых переходах/ A.B. Колмогоров, H.A. Протодьяконова // Тезисы докладов I Всесибирского конгресса женщин - математиков. - Красноярск, 2000. - С. 171.

[4]. Колмогоров, A.B.. Протодьяконова H.A. Деформации водонасыщенного грунта при протаивании с учетом пластично-мерзлого состояния/ A.B. Колмогоров, H.A. Протодьяконова // Труды Международной конференции «Физико-технические проблемы Севера», г. Якутск, 10-11 июля 2000. - Якутск: Изд-во ЯНЦ СО РАН, 2000. - С. 234-239.

[5]. Колмогоров, A.B., Протодьяконова H.A. Математическая модель ползучести насыщенных грунтов оснований при фазовых переходах поровой влаги/ A.B. Колмогоров, H.A. Протодьяконова // Сборник научных трудов «Ресурсы строительного комплекса Республики Саха (Якутия)». - Якутск: Якутский гос. инж. - технич. институт, 2001. - С. 196-202.

[6]. Колмогоров, A.B., Протодьяконова H.A. Математическое моделирование ползучести насыщенных грунтов при фазовых переходах поровой жидкости/ A.B. Колмогоров, H.A. Протодьяконова // Тезисы докладов III Международной конференции по математическому моделированию// г. Якутск, 1 -6 июля 2001г.

- Якутск: Якутский госуниверситет, 2001 - С.134-136.

[7]. Колмогоров, A.B., Протодьяконова H.A. Релаксация напряжений в вязкоупругой пористой среде при фазовых переходах поровой жидкости/ A.B. Колмогоров, H.A. Протодьяконова // «Современные проблемы теплофизики в условиях Крайнего Севера»: материалы V научно-технической конференции, посвященной памяти профессора, д.т.н. Н.С.Иванова, Якутск: ЯФГУ «Изд-во СО РАН», 2002 г. - С.12-21.

[8]. Колмогоров, A.B., Протодьяконова H.A. Математическое моделирование вязкоупругих деформаций водонасыщенных дисперсных сред при промерзании

- протаивании/ A.B. Колмогоров, H.A. Протодьяконова // Труды I Евразийского симпозиума по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата. - Якутск: ЯФГУ «Изд-во СО РАН», 2002. - Часть IV. -С.91-98.

[9]. Колмогоров, A.B., Протодьяконова H.A. Граничные условия на подвижном фронте фазового перехода поровой влаги в деформируемой пористой среде/ A.B. Колмогоров, H.A. Протодьяконова // Тезисы докладов IV Международной конференции по математическому моделированию// г. Якутск, 27-31 июля 2004г. - Якутск: Якутский госуниверситет, 2004. - С. 71-72.

[10]. Колмогоров, A.B., Протодьяконова H.A. Учёт изменения пористости в задаче промерзания-протаивания водонасыщенной пористой среды/ A.B. Колмогоров, H.A. Протодьяконова // «Современные проблемы теплофизики в условиях Крайнего Севера»: материалы VI научно-технической конференции, посвященной памяти профессора, д.т.н. Н.С.Иванова, г. Якутск, 7 декабря 2003. -Якутск: Изд-во Якутского госуниверситета, 2004 г. - С.37-41.

[11]. Колмогоров, А.В., Протодьяконова Н.А. Моделирование деформирования насыщенных пористых сред при фазовых переходах порового вещества/ А.В. Колмогоров, Н.А. Протодьяконова // Труды II Евразийского симпозиума по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата. -Якутск: ЯФГУ «Изд-во СО РАН», 2004. - Часть V. - С.210-215.

[12]. Колмогоров, А.В., Протодьяконова Н.А. Математическое моделирование реологических деформаций насыщенной пористой среды при фазовых переходах поровой влаги/ А.В. Колмогоров, Н.А. Протодьяконова// Труды III Евразийского Симпозиума по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата. - Якутск: ЯФГУ «Изд-во СО РАН», 2006. С. 182193.

[13]. Protodyakonova N.A. Deformation of saturated soil under thawing// Proceedings of the International Conference on Computational Heat and Mass Transfer. 26-29 April 1999, Gazimagusa, Northern CyprusTurkey. Pp. 311-314.

Подписано в печать 25.lt.2008. Формат 60х 84/16. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ

Издательство ЯГУ, 677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

Отпечатано в типографии издательства ЯГУ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛО-ПЕРЕНОСА С ФАЗОВЫМИ ПЕРЕХОДАМИ ПОРОВОЙ ВОДЫ.

1.1. Математические модели теплопереноса при фазовых переходах влаги в дисперсных средах.

1.2. Существующие методы решения задач переноса тепла с фазовыми переходами.

1.3. Расчет динамики протаивания мёрзлого массива грунта.

1.3.1. Классическая постановка задачи типа Стефана.

1.3.2. Численное решение температурной задачи с учетом количества незамерзшей влаги.

1.4. Вычислительный эксперимент.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОТТАИВАЮЩЕГО ГРУНТА

2.1. Определение деформаций грунта при оттаивании.

2.1.1. Существующие методы расчета осадки мёрзлых грунтов при оттаивании.

2.1.2. Модель фильтрационной консолидации грунтов.

2.2. Математическая постановка и алгоритм решения задачи фильтрационной консолидации оттаивающего грунта.

2.2.1. Задача компрессии талого грунта.

2.2.2. Задача фильтрационной консолидации грунта при заданном законе движения фронта протаивания.

2.3. Учет изменения теплофизических характеристик грунта при решении задачи фильтрационной консолидации.

2.4. Расчёт деформаций водонасыщенного грунта при протаивании с учётом пластично-мерзлого состояния.г.

ГЛАВА 3. КОНСОЛИДАЦИЯ ОТТАИВАЮЩЕГО ГРУНТА С УЧЕТОМ

ПОЛЗУЧЕСТИ

3.1 Вторичная консолидация грунтов.

3.2. Реологические эффекты при консолидации оттаивающего грунта.

3.3.Учет изменения пористости в задаче промерзания - протаивания водонасыщенной пористой среды.

3.4. Учет сохранения остаточных напряжений на границе фазового перехода в реологической среде.

Обширная территория Республики Саха (Якутия) покрыта сезонно и многолетнемерзлыми грунтами. Проектирование, строительство и эксплуатация инженерных сооружений на грунтах данного типа сопряжено с проблемой деградации вечной мерзлоты. При тепловом режиме, вызывающем оттаивание мерзлоты, поведение грунта существенно изменится, так как скачкообразно изменятся значения теплофизических и механических характеристик. Эти изменения вызывают деформации грунтов, как за счет таяния порового льда, так и за счет уплотнения оттаявшего грунта под воздействием давления от собственного веса и внешней нагрузки. Появление и увеличение вблизи инженерных сооружений областей неравномерно оттаивающих грунтов может привести к возникновению неоднородных перемещений фундаментов. Оттаивание грунтов в основании сооружений приводит к дополнительным и зачастую опасным деформациям элементов сооружений. В связи с этим необходимо уметь оценивать величину осадки при оттаивании мерзлого грунта, скорость и глубину оттаивания. При этом необходимо учитывать влияние температуры на теплофизические и физико-механические характеристики протаивающего грунта.

Первые исследования по определению осадок грунтов при оттаивании принадлежат Н.А.Цытовичу [71], который предложил разделять осадку мёрзлых грунтов при оттаивании на две составляющие: «условную осадку оттаивания и переменную осадку обжатия, принимаемую пропорциональной увеличению давления сверх того, при котором испытывался мёрзлый грунт». Позже многие исследователи [7, 18, 19, 56, 66] разработали и предложили различные методы расчетов и расчетные формулы для определения осадок оттаивающих грунтов. И.Н.Вотяков [15] исследовал физико-механические свойства мерзлых и оттаивающих грунтов Якутии и установил, что величина относительной осадки оттаивающих мелкодисперсных грунтов в зависимости от их влажности варьируется в пределах от 3 до 9 % по отношению к приведенной высоте льда в грунте. Все расчетные формулы являются приближенными, так как зависят от типа грунта, его влажности, структуры и других факторов. Определенная расчётом осадка является стабилизированной деформацией основания. Процесс протекания осадок грунта при оттаивании не заканчивается в момент прекращения оттаивания, а продолжает развиваться во времени. У некоторых видов грунтов (водонасыщенные, глинистые) процесс стабилизации осадки может составлять от нескольких десятков до сотен лет. Только у песков осадки зданий заканчиваются по окончании строительства.

Результаты многочисленных исследований показывают, что режим консолидации при оттаивании грунтов зависит от их тепловых, компрессионных свойств, граничных условий нагрева и дренажа, а также от приложенной нагрузки. Отмечается, что суммарная осадка при оттаивании складывается из трех составляющих: 1) осадка за счет уменьшения объема льда при таянии (скачка плотностей порового заполнителя); 2) осадка под действием собственного веса и приложенной нагрузки; 3) осадка за счет оттока поровой воды под действием избыточного порового давления. Последний механизм тесно связан с проницаемостью и ползучестью грунта, а также со скоростью оттаивания. Обнаружено, что на осадки оттаивающего грунта температурный фактор влияет, в основном, через скорость протаивания. Это дает основание при математическом моделировании задачу деформирования при оттаивании свести к двум задачам: во-первых, к решению температурной задачи протаивания и нахождения в каждый момент времени размеров области, в которой грунт находится в талом состоянии, и во-вторых, к решению задачи деформации грунта под действием внешней нагрузки и веса. В силу того, что основным механизмом оттока воды из насыщенного грунта является фильтрация, модель, описывающая осадки талого грунта под действием внешних сил, должна быть основана на теории фильтрационной консолидации.

Поведение оттаивающего грунта описывается на основе совместного рассмотрения уравнения теплопроводности и уравнения фильтрационной консолидации. При решении задачи фильтрационной консолидации необходимо учитывать деформации минерального скелета грунта, которые могут быть не только упругими, но и носить реологический характер, что требует применения моделей и методов теории наследственной ползучести [16, 22, 57]. Большинство исследователей при определении деформации грунта при оттаивании не учитывают деформации и напряжения мерзлого грунта. Для тонкодисперсных мерзлых грунтов, особенно в пластично-мерзлом состоянии, переход определенного количества влаги в незамерзшее состояние, также может вызвать осадки в области отрицательных температур [15, 56].

Для более точного описания и прогнозирования теплового и механического режимов массива грунта актуальным является совершенствование математических моделей и методов решения задач многофазного тепломассопереноса с учетом реальных физических процессов.

В настоящей работе разработаны модель и метод численного расчета реологических деформаций оттаивающего грунта, с использованием теории вязкоупругости.

Целью работы является исследование методами математического моделирования осадок грунтовых оснований, вызванных фильтрационной консолидацией при оттаивании мерзлых грунтов.

В соответствии с поставленной целью сформулированы следующие основные задачи исследования: в рамках двухфазной математической модели необратимого деформирования оттаивающего грунта под действием внешней нагрузки сформулировать граничные условия на фронте фазового перехода порового раствора с учетом изменения пористости скелета грунта; разработать алгоритм и программы совместного численного решения задачи теплообмена и задачи фильтрационной консолидации в талой области.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработаны алгоритм и программа решения сопряженной задачи фильтрационной консолидации оттаивающего грунта с учетом фазового перехода лед - вода в спектре температур;

- выведены граничные условия на фронте фазового перехода с учетом изменения пористости грунта;

- определены осадки грунта за счет таяния порового льда и за счет фильтрационной консолидации.

Обоснованность и достоверность положений, выводов и результатов, защищаемых в диссертации, подтверждается использованием фундаментальных законов термодинамики, механики и теории фильтрации, применением эффективных и теоретически обоснованных вычислительных методов.

Теоретическая и практическая ценность. Предложенные модели и алгоритмы решения могут служить основой для построения численных алгоритмов решения задач тепломассообмена и задач механики. Область их применения - прогнозирование осадок протаивающего грунта, которые являются одной из основных причин разрушений инженерных сооружений и зданий, возводимых в криолитозоне.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции по моделированию тепломассопереноса (Кипр, 1999 г.), на IV Международном форуме по тепломассообмену (г. Минск, 2000 г.), на Международной конференции «Физико-технические проблемы Севера» (г. Якутск, 2000 г.), на IV-й Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 2004 г.), на 1-м, П-м, IV-м Евразийских симпозиумах по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата (г. Якутск, 2002, 2004, 2008 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 98 страницах машинописного текста, состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе дано решение актуальной научно-технической задачи, связанной с определением осадок при оттаивании грунта в основании инженерных сооружений. Основные выводы работы заключаются в следующем:

1. В рамках математической модели двухфазной среды описаны деформации водонасыщенного грунта с учетом фазовых переходов поровой влаги и фильтрационной консолидации под действием внешней нагрузки.

2. Получено обобщенное граничное условие на подвижной границе фазового перехода с учетом двухфазности талого грунта и изменения пористости среды при фазовом переходе. Установлено влияние вида граничного условия на фронте фазового перехода на развитие порового давления и деформации в талом грунте.

3. Предложен алгоритм и создана программа численного расчета, с использованием метода конечных разностей, для совместного решения задачи теплопереноса в среде с фазовыми переходами и деформирования пористой среды при фильтрационной консолидации. Адекватность модели и точность предложенного алгоритма численного решения задачи проверены на модельных задачах имеющих точное решение.

4. В вычислительном эксперименте установлено, что наиболее деформированными при фильтрационной консолидации являются верхние слои грунтового массива, в нижних слоях основная нагрузка приходится на поровую воду. Со временем из-за фильтрационного оттока воды происходит перераспределение нагрузки между минеральным скелетом и жидкостью, и этот процесс продолжается до тех пор, пока градиент порового давления в грунте будет равняться нулю.

5. Определены закономерности развития поля порового давления, деформации и осадки грунта под действием внешней нагрузки. Обнаружено, что в начальный период времени общая осадка упругого слоя растет линейно.В дальнейшем, с уменьшением градиента порового давления, скорость развития осадки понижается и постепенно выходит на асимптоту, соответствующую полной стабилизированной осадке слоя. Увеличение значения коэффициента консолидации приводит к более быстрому росту осадки грунтового слоя и выхода его на стабилизированное значение. Дана оценка вклада каждой из составляющих осадки за счет изменения объема из-за фазового перехода порового льда и за счет консолидации грунта из-за оттока поровой воды. Деформации, связанные с изменением плотности при переходе порового льда в талое состояние, с увеличением глубины талого слоя монотонно растут.

6. Проведен учет деформации грунта, находящегося в пластично-мерзлом состоянии, за счет изменения количества незамерзшей влаги. Результаты расчетов показали, что влияние осадки пластично-мерзлого слоя грунта на общую осадку незначительно.

7. Исследовано влияние значения времени релаксации на развитие порового давления и деформации грунта, скелет которого обладает вязкоупругими свойствами.

8. Дано обобщение гипотезы сохранения необратимых деформаций при фазовом переходе для случая, когда в талой области имеется двухфазная среда и показано, что при этом наблюдается скачок напряжений, величина которого зависит от скорости движения фронта и изменения плотности среды при этом.

1. Ананян А.А. Искажение структуры воды в тонкодисперсных горных породах.-Мерзлотные исследования. - М.:МГУ-1969.-Вып.9. - С. 117-121.

2. Ананян А.А. Кристаллизация воды в замерзающих мерзлых горных породах // Современные представления о связанной воде в породах//Мерзлотные исследования, 1961.-Вып. 1. С. 173-177.

3. Ананян А.А. Природа воды в тонко дисперсных горных породах и особенности ее кристаллизации// Докл. II Межд.конф. по мерзлотоведению. Якутск, 1973.-Вып.4. - С. 11-116.

4. Андерсленд О. и др. Геотехнические вопросы освоения Севера. М.: Недра, 1983.-551 с.

5. Арутюнян Н.Х. Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. -М.: Наука, 1983.-336 с.

6. Бакирова О.И. О некоторых методах решения задачи Стефана//Диф.уравнения. 1983. Т.19, №3. С. 491-500.

7. Бакулин Ф.Г., Жуков В.Ф. Деформации мерзлых дисперсных грунтов при оттаивании. «Изв. АН СССР.ОТК», 1955, №7, - С. 132-136.

8. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана.- В кн.: Численные методы в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1965,Вып.4. - С. 139-183.

9. Будак Б.М., Соловьева Е.Н., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана// Журн. выч. мат. и Мат. физ. 1965. Т.5. №5. С. 828-840.

10. Ю.Вабищевич П.Н. Численное моделирование.- М. Изд-во МГУ, 1993.-152 с.

11. П.Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 164 с.

12. Вабищевич П.Н., Вабищевич Т.Н. Об одном методе численного решения задачи Стефана// Вестник МГУ. Сер.15. 1983. №4. С. 17-22.

13. З.Васильев В.И. Численное интегрирование дифференциальных уравнений с нелокальными граничными условиями. — Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1985. 159 с.

14. Н.Васильев В.И., Максимов A.M., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепломассоперенос в промерзающих-протаивающих грунтах. М.: Наука, 1997. - 224 с.

15. Вотяков И.Н. Физико-механические свойства мерзлых и оттаивающих грунтов Якутии. Нов-ск: Изд-во Наука, 1975. - 174 с.

16. Вялов С.С Реологические основы механики грунтов. М.: «Высшая школа», 1978. - 447 с.

17. Галиуллина Н.Е., Храмченков М.Г. Изучение реологических свойств глин на примере задачи об усадке глинистого слоя.// ИФЖ. 2006. Т. 79, №1. -С. 110-113.

18. Гольдштейн М.Н, Механические свойства грунтов. М.: Стройиздат, 1971.-367 с.

19. Давыдочкин А.Н. Полевая оценка льдистости и просадочности мерзлых глинистых грунтов.- «Труды совещания по инж.-геол. свойствам горных пород и методов их изучения», 1957. -Т.П.- С.249-254.

20. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. -М.: Наука, 1965. 288 с.

21. Дубина М.М., Красовицкий Б.А., Лозовский А.С., Попов Ф.С. Тепловое и механическое взаимодействие инженерных сооружений с мерзлыми грунтами. Новосибирск: Наука, 1977. - 144 с.

22. Ершов Э.Д. Физико-химия и механика мерзлых пород. М.: Изд-во МГУ, 1986.-336 с.23.3арецкий Ю.К. Вязкопластичность грунтов и расчеты сооружений. М.: Стройиздат, 1988. - 349 с.24.3арецкий Ю.К. Теория консолидации грунтов. М.: Наука, 1967. - 296 с.

23. Иванов Н.С. Гаврильев Р.И. Тепло физические свойства мерзлых пород: Справочное пособие. М.: Наука, 1965. - 73 с.

24. Иванов Н.С. Моделирование тепловых процессов в горных породах. М.: Наука, 1972. - 128 с.

25. Изаксон В.Ю., Петров Е.Е. Численные методы прогнозирования и регулирования теплового режима горных пород области многолетней мерзлоты. Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1986. - 96 с.

26. Ильин В.П. Разностные методы решения эллиптических уравнений. -Нов-ск.: Изд-во НГУ, 1970. 263 с.

27. Ильин В.П., Яушева JI.B. Об одной разностной схеме решения задачи Стефана.- В кн.: Методы решения систем вариационно-разностных уравнений. Нов-ск, 1979. С.82-96.

28. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. -М.: Наука, 1970. 280 с.

29. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. -488с.

30. Кисилев М.Ф. К расчету осадок фундаментов на оттаивающих грунтах-основаниях. М., Госстройиздат, 1957. - 40 с.

31. Колесников А.Г. К изменению математической формулировки задачи о промерзании грунта// Докл. АН СССР. 1952. Т.82, №6. С. 889-892.

32. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса.-М.-Л., Госэнергоиздат, 1963. 535 с.

33. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Математическая модель промерзания водонасыщенной пористой среды. ЖВМ и МФ. 1986. Т.26, №11. - С. 1743-1747.

34. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Фазовые переходы вода-лед в ненасыщенных грунтах// Препринт ИПМ АН СССР. 1989. №382. 44 с.

35. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Явление «перегрева» и образования двухфазной зоны при фазовых переходах в мерзлых грунтах// Докл. АН СССР. 1987. Т.294, №5.-С. 1117-1121.

36. Мартынов Г.А. К выводу основного уравнения теплопроводности для промерзающих и протаивающих грунтов// Материалы к основам учения о мерзлых зонах земной коры. М., 1956. Вып.2. - С.167-178.

37. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. - 240 с.

38. Мордовской С.Д., Павлов Б.Н., Петров Е.Е. Математические модели промерзания-протаивания мерзлого грунта// Наука и образование, Вып.З. Якутск, 1996. С.52-56.

39. Мордовской С.Д., Петров Е.Е. Взаимовлияние механических температурных полей в рамках модели образования двухфазной зоны// Мат.заметки ЯГУ. 1994. №1. С. 145-148.

40. Мордовской С. Д., Петров Е.Е., Изаксон В.Ю. Математическое моделирование двухфазной зоны при промерзании-протаивании многолетнемерзлых пород. Нов-ск: Наука. 1997. - 119 с.

41. Нерсесова З.А. Изменение льдистости грунтов в зависимости от температуры// Докл. АН СССР. 1950. Т. 75. №6. С. 845-846.

42. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.:Наука, 1978. - 336 с.

43. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. - 335 с.

44. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996. -448 с.47,Олейник О.А. Об одном методе решения общей задачи Стефана//Докл, АН СССР. 1960. Т.135, №5. С. 1054-1057.

45. Павлов А.В. Расчет и регулирование мерзлотного режима почвы. Нов-ск.: Наука, 1980.-240 с.

46. Павлов А.Р. Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса и температурных деформаций в строительных материалах при фазовых переходах. Нов-ск: Наука, 2001. - 276 с.

47. Павлов А.Р., Пермяков П.П., Бараней Т.В. Разностный метод решения задачи промерзания при фазовых переходах в спектре температур// Процессы переноса деформируемых дисперсных средах. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1980. -С.111-119.

48. Павлов А.Р., Пермяков П.П., Попов В.И., Степанов А.В. Исследование динамики промерзания при фазовых переходах в спектре температур// Методы прикладной математики и автоматизации научного эксперимента. Якутск, 1980.-С.3-13.

49. Павлов Б.Н. Численное моделирование тепломассопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах. Автореф. дисс. канд.физ.-мат. наук.

50. Пермяков П.П. Идентификация параметров математической модели тепло-влагопереноса в мерзлых грунтах. Нов-ск.:Наука, 1989. - 86 с.

51. Пчелинцев A.M. Прогноз осадки при оттаивании вечномерзлых грунтов.-«Труды Игарской мерзлотной станции», 1954, вып.1. С.7-21.

52. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. - 383 с.

53. Роман JI.T. Механика мерзлых грунтов. М.: МАИК: Наука, 2002. - 426 с.

54. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана.- Рига: Звайгзне,1967. 457 с.

55. Самарский А.А. Однородные разностные схемы для нелинейных уравнений параболического типа.- ЖВМ и МФ,1962, Т.2,№1. С. 25-56.

56. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача.2003. -784 с.

57. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д., Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана.- ЖВМ и МФ, 1965, Т.5. №5. С.816-827.

58. СНиП 2.02.04.-88. Основания и фундаменты на вечномерзлых грунтах. -М.: ГУЛ ЦПП, 2001.- 52 с.

59. Ушкалов В.П. Основные закономерности сжимаемости мерзлых оттаивающих и оттаявших под давлением грунтов.- «Матер.УШ Всес. межд. совещ. по геокриологии (мерзлотоведению)», 1966, вып.8. С.226-237.

60. Федоренко Р.П. Разностная схема для задачи Стефана//Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1975. Т.15, №5. С. 1339-1344.

61. Федосов А.Е. Прогноз осадок сооружений при оттаивании грунтов в оснований. -«Труды Ин-та мерзлотоведения», 1944. -T.IV.- С.93-124.

62. Храмченков М.Г. Математическое моделирование реологических свойств глин и глинистых горных пород// ИФЖ. 2003. Т.76, №3. С. 159-164.

63. Храмченков М.Г. Элементы физико-химической механики природных пористых сред. Казань: Изд-во Казанского матем. об-ва. 2003. - 178 с.

64. Цытович Н.А. К теории равновесного состояния воды в мерзлых грунтах//Изв. АН ССР. Сер. геогр. и геофиз.-1945.-Т.9, №5-6.-С.493-502.

65. Цытович Н.А. Механика мёрзлых грунтов. М.: Высшая школа, 2008. -448 с.

66. Цытович Н.А. Механика грунтов. М.: Высшая школа, 1973. - 227 с.

67. Чистотинов Л.В. К проблеме экспериментального изучения иколичественного описания криогенной миграции влаги в тонкодисперсных горных породах// Криогенные процессы. М., 1978.-С.119-134.

68. Чистотинов JI.В. Миграция влаги в промерзающих неводонасыщенных грунтах. М.: Наука, 1973. - 144 с.

69. Шукле Л. Реологические проблемы механики грунтов. М.: Стройиздат, 1976.-485 с.

70. Douglas J., Gallie G.M. On the numerical integration of a parabolic differential equation subject to a moving boundary condition// Duke Math. J. 1955. V.22. №4. P. 557-572.

71. Lame G., Clapeiron B.P. Memoire sur la solidification far refroidissement d4m glob solid//Am. Chem. Phys. 1831. T. XL VII. P.250-256.

72. Murayama. On the Secondary Consolidation of Clay. Proc. 11 Jap. Congress Test. Mat, 1958.

73. Stefan J. Uber einige probleme der theorie de warmeleitung//Sitz.Ber.Wiln. Akad. Mat.Naturwiss. 1889.Bd 98.1 la. P.473-484.

74. Taylor G.S., Luthin J.N. A model for coupled heat and moisture transfer during soil fruzing// Canad. Geotech. Journal.- 1978.-Vol.15. P.548-555.

75. Wheeler J.A. Permafrost thermal design for the Trans-Alaka pipeline// Moving boundary problems/ D.G.Wilson et.al.- N.Y.: Academic Press, 1978. P.267-284.