автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка алгоритма численного исследования морозного пучения грунтов

На правах; рукописи

МАТВЕЕВА Майя Васильевна

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ МОРОЗНОГО ПУЧЕНИЯ ГРУНТОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 «,]Д? 2я:э

Якутск - 2009

003464549

Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики и информатики ГОУ ВПО "Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова"

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Павлов Алексей Романович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Вабищевич Петр Николаевич, Институт математического моделирования РАН (г. Москва)

кандидат физико-математических наук, Колмогоров Алексей Васильевич, Институт физико-технических проблем Севера СО РАН (г Якутск)

Ведущая организация: Институт горного дела Севера

имени Н.В. Черского СО РАН (г. Якутск)

Защита состоится 6 апреля 2009 года в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.306.04 при ГОУ ВПО "Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова" по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кула-ковского, 48, КФЕН ЯГУ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова.

Автореферат разослан 6 марта 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Н.А. Саввинова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Строительство в районах Севера, Сибири и Дальнего Востока требуют решения ряда проблем, связанных с необходимостью повышения устойчивости, прочности и долговечности зданий и сооружений, возводимых на вечномерзлых и сезоннолромерзающих грунтах. Одной из таких проблем, имеющей важное научно-теоретическое и прикладное значение, является проблема морозного пучения сезоннопромерзакмцих грунтов.

Напряженно-деформированное состояние грунта при морозном пучении обуславливает недопустимые неравномерные перемещения и серьезные повреждения промышленно-гражданских зданий, гидротехнических, мелиоративных и других сооружений (автомобильных, железных дорог, аэродромов, мостов и др.). Недостаточная его изученность и недоучет приводят к огромному ущербу материальных, финансовых средств, ухудшают условия и снижают сроки эксплуатации сооружений. Существующие модели морозного пучения либо содержат много трудноопределяемых эмпирических параметров, либо не доведены до окончательного решения, либо не учитывают основных особенностей промерзания грунтовых систем и поэтому недостаточно адекватно и полно отражают рассматриваемый процесс.

В изучении природы морозного пучения грунтов при промерзании, в разработке и совершенствовании методов его расчета, а также в применении численных методов при решении задач тепломассообмена с фазовыми переходами большой вклад сделали М.И. Сумгин, H.A. Цытович, Б.И. Далма-тов, С.С. Вялов, В.О. Орлов, И.А. Тютюнов, A.B. Лыков, М.Н. Гольдштейн, A.B. Павлов, Н.С. Иванов, Г.М. Фельдман, В.Я. Хаин, Д.В. Редозубов, H.A. Пузаков, И.А. Золотарь, И.А. Комаров, В.А. Кудрявцев, JI.T. Роман, Э.Д. Ершов, С.Е. Гречищев, JI.B. Чистотинов, Ю.А. Хохолов, С.А. Кудрявцев и другие исследователи.

Необходимость совершенствования методов прогноза надежности и долговечности инженерных сооружений требует изучения закономерностей процессов тепломассопереноса во влажных грунтах и их морозного пучения в процессе промерзания.

Цель работы заключается в разработке методики численного прогнозирования теплового и влажностного режимов и морозного пучения в промерзающих грунтах.

В сооответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:

1. Построение математической модели задачи тепломассопереноса при промерзании грунтов.

2. Разработка алгоритма численной реализации математической модели

тепломаесопереноса и морозного пучения при промерзании грунтов.

3. Исследование закономерностей развития динамики температурного и клажностного полей, а также возникающего при этом пучения.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является процесс тепломаесопереноса и морозного пучения грунтов при их промерзании.

Предмет исследований — закономерности процесса морозного пучения влажных грунтов различного минералогического состава.

Методы исследования. В работе используется метод численного моделирования. На основе анализа современного состояния вопроса тепломаесопереноса и морозного пучения в дисперсных средах и существующих методов расчета, предложена математическая модель переноса влаги, тепла и морозного пучения при промерзании грунтов. Разработана методика расчета динамики режимов влаги, тепла и морозного пучения.

Научная новизна работы.

1. Построена математическая модель тепломаесопереноса с фазовыми переходами поровой влаги, представляющая модификацию известной системы уравнений тепломаесопереноса, позволяющая использовать при ее численной реализации разностные схемы сквозного счета.

2. Разработан алгоритм численного решения задач тепломаесопереноса в одномерной постановке и методом вычислительного эксперимента исследованы закономерности промерзания влажных грунтов. Доказана сходимость решений построенной итерационно-разностной схемы к решениям исходных задач тепломаесопереноса с фазовыми переходами.

3. Предложен программный продукт для исследования морозного пучения грунтов на основе, численного решения задачи тепломаесопереноса с фазовым переходом.

Теоретическая и практическая ценность. Проведенные исследования предназначены для совершенствования расчетных моделей промерзания и морозного пучения грунтов. Разработанные программные продукты могут быть использованы в моделировании различных задач геокриологии.

Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов работы в рамках принятых математических моделей обеспечивается применением теоретически обоснованных численных методов, проверкой работоспособности разработанных алгоритмов на тестовых задачах и сопоставлением в отдельных случаях с известными аналитическими решениями.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Сформулирована задача тепловлагопереноса при промерзании в виде нелинейной задачи тепломаесопереноса относительно функции, не имеющей

скачка на границе фазового перехода. Предложен новый способ учета льда, образующегося на фронте промерзания в виде дополнительного слагаемого в уравнении для влажности в математической модели тепломассопереноса с фазовым переходом поровой влаги.

2. Разработана методика исследования морозного пучения грунтов на основе численного решения задачи тепломассопереноса с фазовым переходом.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на ХЬ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002), на IV, V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2004, 2007), на Республиканской научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" (Якутск, 2002, 2007), на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2001, 2003, 2007, 2008), на Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий РФ" (Якутск, 2004, 2007), на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование развития Северных территорий РФ" (Якутск, 2008), на I, IV Евразийских симпозиумах по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата (Якутск, 2002, 2008), на научном семинаре кафедры "прикладной математики" института математики и информатики ЯГУ (Якутск, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах (тезисы 9 докладов и 7 статей), список которых приведен в конце автореферата.

Работа поддержана грантом имени академика В.П. Ларионова для молодых ученых, специалистов и студентов по физико-техническим наукам (№0705/28 от 22.01.2008 г).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 102 страницы. Каждая из трех глав состоит из трех параграфов. Список литературы содержит 132 наименований. В работе 11 рисунков и 4 таблиц, нумерация их сквозная.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, сформулированы цели и задачи работы, приводится краткий анализ структуры и содержания диссертационной работы.

В параграфах 1.1 и 1.2 первой главы дан краткий обзор литературы по

математическому моделированию для задачи теплопереноса и тепломассо-иерепоса в промерзающих дисперсных средах, а в параграфе 1.3 сформулирована. постановка задачи тепломассопереноса при промерзании грунта, основанная на модификации системы уравнений тепломассопереноса A.B. Лыкова в случае, когда не учитываются количество тепла, переносимое миграционным потоком влаги, и термоградиентный механизм переноса влаги. Промерзающая область состоит из двух зон - талой и мерзлой, и в каждой из них распределения температуры и влажности удовлетворяют уравнениям теплопроводности и влагопроводности.

Рассматривается следующая температурная задача. В одномерном случае, когда пространственная переменная х направлена от дневной поверхности грунта внутрь массива, температура Т{х, i) удовлетворяет следующим уравнениям:

лт о rjni

С!/;!—= —(Л!—), Т>Т,ф, £(£) < х < l, t> 0, (1)

дТ д дГ dW->

На границе раздела фаз при t > 0 имеет место условие:

. дТ

Г" ОХ

дТ

z=f-0 ОХ

_£+о= LP[W% - т = 7ф, X = (3)

На верхней границе области (дневной поверхности грунта) задано условие теплообмена по закону Ньютона: дТ

\— = а{Т-Тс), х = 0, ¿>0, (4)

а на нижней границе области - отсутствие теплового потока:

ОТ

А— = 0, х = 1, t > 0. (5)

да;

Начальное распределение температуры по толщине грунта известно:

Т{х,0) = <р{х), 0 < х < I. (6)

В уравнениях (1) - (3) приняты следующие обозначения: су (сг), (h ((>2), М (^2) _ удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности талой (мерзлой) зоны соответственно; р - плотность скелета (сухого) грунта; L - удельная теплота кристаллизации воды (плавления льда); W -влажность в талой зоне; TFi, W2 - влажности по жидкой и твердой фазам в мерзлой зоне соответственно; W* — W(Тф) - значение влажности на фронте со стороны талой зоны; Wi(T$) - такая же величина со стороны мерзлой зоны; Тф - температура фазового перехода; а - коэффициент теплопередачи; Тс - температура среды; х — £(i) - уравнение фронта фазового перехода.

Влажностная задача ставится с учетом миграции влаги как в талой, так и мерзлой областях:

д\¥ д д\¥

Ж = №<х<1> Т>Тф' 1>0> ^

г)\У д д\¥,

= 0<;/;<^)' т<т*>0- <8>

Уравнение баланса массы на фазовой границе можно записать в виде:

к

д\¥х

2-

~к — х^-о 1 дх

л

= Ь > 0. (9)

дх

Граничные условия для влажности записываются в зависимости от фазового состояния границы.

В талом состоянии всей толщи грунта задаются условия:

д IV

к1—=а,(\¥-ф), х — 0, Т> ТФ, ¿>0, (Ю)

д\¥

— = 0, х = 1, Т>ТФ, Ь>0. (И)

ах

Для мерзлых границ указанные условия принимают следующий вид:

х ~ 0, Т<Тф, £>0, (12)

0, х = I, Т < Г$, I > 0. (13)

- дх

дщ

дх

Начальное распределение влаги во всей области известно:

\У(х,0) = <р*(х), 0 < х<1. (14)

В уравнениях (7) - (14) приняты следующие обозначения: IV- влажность в талой зоне; И^Т) - известная функция, выражающая количество незамерз-шей воды при температуре Т; - льдосодержание (количество льда);

IV = Ш1+\¥2 - суммарная влажность в мерзлой зоне; И'г(Тф) = 1У„ —(Т$) - свободная влага (вода), которая замерзает скачком на фронте фазового перехода; к\, к-2 - коэффициенты диффузии влаги соответственно в талой и мерзлой зонах; ф(х) - равновесная с окружающей средой влажность материала; о:» - коэффициент влагообмена.

Когда интересуются только распределением температуры, уравнения теплопроводности, написанные в каждой зоне, и условие на. границе фазового перехода, заменяются одним нелинейным уравнением теплопроводности, заданным во всей области изменения температуры. Распределение температуры затем находится из решения краевой задачи для этого уравнения.

13 данной работе указанный прием распространяется на случай системы уравнений тепловлагопереноса, при этом уравнение влажности содержит сосредоточенный источник на границе фазового перехода, наличие которого создает определенные трудности при построении разностной схемы. Для их преодоления предлагается заменить сосредоточенный источник распределенным в окрестности фазовой границы. Показано, что решение уравнения с распределенным источником, когда длина интервала, на котором он определен, неограниченно уменьшается, совпадает с решением уравнения с сосредоточенным источником.

Доказаны следующие утверждения.

Утверждение 1. Уравнения (7) - (9) можно записать в виде одного уравнения _

оф д эф д д\у2 д\¥2

от ах ах дх ах от определенного во всей области 0 < х < I, где

К = I ки Т > Тф' Ф к2, Т<ТФ,

(W, Т> ТФ) \ W, Т<Тф.

Функция ^(Т) должна удовлетворять следующим свойствам:

1. Т^з(Т) непрерывна и отлична от нуля в промежутке (Тф — Д, Тф], а вне его тождественно равняется нулю.

2. При Т = Тф она принимает значение равное И^Тф) = И^Тф).

3. Производная (^^^ > 0.

аТ

Утверждение 2. Уравнения (1) - (3) можно записать в виде одного уравнения

ОТ д ,,дТ . д\¥2 определенного во всей области 0 < х < I, где

>'2Р2, Т < Тф, | Л2, Т < Тф.

Функция W2, в отличие от соответствующей функции в уравнении (2), определена и при Т — Тф. Ее значение при этой температуре, как следует из условия (3), равно = W* — ^(Тф).

В силу утверждений 1 и 2 функция Ф будет удовлетворять следующим граничным и начальным условиям, получаемым из условий (10) - (14):

ОФ

h~ = а.{Ф-ф), х = 0, Т>ТФ, t> О, (17)

д(ф - ИМ

к2 V = a^Wi - ф), х — 0, Г<Гф, ¿>0, (18)

(20) (21)

Вторая глава включает три параграфа, в параграфе 2.1 дан краткий обзор литературы по построению разностных схем для решения задач тепло-и массопереноса в промерзающих (протаивающих) дисперсных средах. В этом параграфе также построена интегро-интерполяционным методом разностная схема для сформулированной задачи тепломассопереноса при промерзании грунта, которая решается итерационным методом с применением метода прогонки на каждой итерации. В параграфе 2.2 изложено обоснование построенной итерационно-разностной схемы, доказаны теоремы о сходимости.

Теорема 1. Пусть существуют решения Г и Ф разностных задач. Если положительные функции С = С(Г, \Уи И^), ^ = ^(Т), кх = /.^(ТУ), к2 — ^(И7!, ТУо) ограничены и имеют ограниченные производные по всем своим аргументам, то при достаточно малых ей т решения разностных задач Т, Ф сходятся к точным решениям краевой задачи для системы уравнений тепломассопереноса (16), (4)-(6) и (15), (17)—(21).

Теорема 2. Пусть существуют решения Т и Ф разностных задач. Если положительные функции С = С(Т, И^, И^)» ^ — <Ч^)> = ^(ТУ), = ¿'2(1-^1, И-2) ограничены и имеют ограниченные производные по всем своим

аргументам, то при достаточно малом т решения итерационной схемы Т, Ф сходятся к решениям разностных задач.

Разработан алгоритм численного исследования задачи тепломассопереноса с фазовыми переходами.

В параграфе 2.3 представлены результаты численной реализации задачи тепломассопереноса в промерзающих грунтах. Из сопоставления полученных результатов с результатами, полученными в работах других авторов, следует, что разработанный алгоритм дает достаточно точный прогноз динамики температуры и влажности грунтов различного минералогического состава.

Третья глава состоит из трех параграфов. В параграфе 3.1 дано понятие морозного пучения грунтов и обзор литературы по определению величины морозного пучения грунта. В параграфе 3.2 на основе численного решения задачи тепломассопереноса в промерзающих грунтах разработан алгоритм определения величины морозного пучения. Вывод формулы для расчета величины пучения основан на предположении, что увеличение объема грунта

происходит вследствие увеличения объема иорового вещества за счет перехода воды и лед, и расширение объема происходит по высоте (по направлению к дневной поверхности грунта) без возможности бокового расширения, как это принимается в задаче о компрессионном уплотнении грунтов в работе H.A. Цытовича (1973).

Построение разностной сетки по пространственной переменной соответствует разбиению всей рассматриваемой толщины грунта на отдельные слои. В результате пучения слои мерзлой области перемещаются в направлении к поверхности грунта и границы между слоями (сеточные линии) займут новое положение. Поэтому в случае возникновения пучения делается переход к другой сетке с новыми шагами Л*. Если выполняется условие

т <■& + ?!< 2.09т, (22)

то шаг новой сетки определяется по следующей формуле

и

где ß, г] - объемные влажности по жидкой и твердой фазам влаги, т -коэффициент пористости грунта. При

i9 + ri> 2.09m (24)

шаг новой сетки ограничен

. „ . . 1 + 2.09т

/, < (25)

Исходя из изложенного, алгоритм определения морозного пучения грунтов можно сформулировать в следующем виде:

1. На каждом временном шаге решается разностная температурно-влаж-ностная задача.

2. Вычисляются T]j по найденным в первом пункте функциям W, W2

г) = —И7, Т > Г.; = Т < Т.,

Pi Pi

n = ~w2, Т < т;,

Р2

где р, pi, Р2 - плотности сухого грунта, воды и льда соответственно.

3. Проверяются условия (22) и (24) во всех узлах сетки. Если они не выполнены, то переходим к следующему временному шагу и возвращаемся к пункту 1. Если имеет место одно из условий (22), (24), то переходим к следующему пункту.

4. Вычисляются шаги новой сетки по формуле (23) или (25) в зависимости от выполненных условий, и определяется величина пучения как расстояние начального узла, новой сетки от первоначальной дневной поверхности грунта

Я = Хц - .т0.

5. На новой сетке пересчитываются значения искомых функций Т,

ИЪ, Ф-

6. Делается переход к следующему временному шагу и далее повторяются пункты 1-5.

В параграфе 3.3 приведены части результатов численных расчетов по построенному алгоритму для определения величины пучения, температуры и влажности. Начальная влажность грунта зависит от степени влагонасыщен-ности (] (см. табл.1), которая меняется от 0.8 до 0.95. Для изучения влияния начальной влажности на величину пучения проведены серии расчетов. Из рис. 1 следует, что увеличение начальной влажности грунта приводит к росту величины пучения.

Таблица 1.

Исходные данные полной влагоемкости \¥тпх и начальной влажности грунтов от степени влагонасыщенности ч

Вид грунта И/1и,и-, % г; - 0.8 <1 = 0.9 Ч = 0.95

Песок 18.5 14.8 17.6 18.1

Суглинок 26 20.8 23,1 24.7

Известно, что немонотонный характер изменения температуры поверхности грунта вызывает неравномерное льдообразование внутри слоя зимнего промерзания. Для исследования влияния указанного фактора выполнены следующие расчеты, когда температура окружающей среды в процессе промерзания изменяется от —30°С до — 15°С и затем опять становится равной —30°С, т. е. происходит некоторое потепление в процессе промерзания. Результаты расчетов показывают, что в случае промерзания с потеплением пучение грунтов превышает его величины при постоянной температуре окружающей среды.

Сравнение результатов численного исследования величины пучения, полученных в данной работе, с расчетными формулами Г.М. Фельдмана (1977)

Рас. l. Развитие пучения во времени для суглинистых (а) и песчаных (Ь) грунтов при различных степенях влагонаеыщенностн ц и Тс — —15 "С: (—) - q — 0.95, (- — —) -q = 0.9, (---) — g = 0.8

Рис. 2. Сравнение величины пучения при Тс = —30 "С и Wo — 22 % (а), Wo = 23 % (Ь): (- - -) - по формуле H.A. Золотаря, (— • -) - по формуле Г.М. Фельдмана, (—) -члслешюе решение

и И.А. Золотаря (1965) представлено на рис. для песчаных грунтов при Г, = ~30°С и Wo = 22 % (a), W0 = 23 % (Ь).

В работе A.B. Павлова (1965) сделано сопоставление величин пучения рассчитанных по формуле В.О. Орлова (1962) и измеренных на Воркутин-ском опытном участке. Первая площадка с глубоким дренажем. При начальной влажности Wo — 17.8 % после 57 дней начала замораживания глубина промерзания составила 1.2 м. В работе A.B. Павлова рассчитанная величина пучения (# = 4.7 см) отличается от измеренной (H = 4.4 см) всего на 7 %. При тех же входных данных по алгоритму, предложенному в данной работе, найдена величина пучения и она меньше на 12 % (Н = 3.87 см) от измеренной. Вторая площадка - естественная, и при Wo — 22.0 % за 185 дней глубина промерзания составила 1.9 м. Рассчитанная величина пучения (H = 10.3 см) превосходит на 2.5 см измеренную (H = 7.8 см). С использованием алгоритма, предложенного в данной работе, величина пучения равна H = 8.99 см, т.е. отличается на 15 %.

В заключении сформулированы основные результаты исследований:

1. Задача тепловлагопереноса при промерзании сформулирована в виде нелинейной задачи тепломассопереноса относительно функции, не имеющей скачка на границе фазового перехода. Предложен новый способ учета льда, образующегося на фронте промерзания в виде дополнительного слагаемого в уравнении для влажности. Благодаря этому удалось построить разностную схему для влажностной задачи, решение которой дает картину льдообразования во всей промерзающей зоне, близкую к реальному процессу промерзания.

2. Построен алгоритм исследования температурного и влажностного режимов при промерзании грунта. Численные расчеты процесса промерзания грунтов показали пригодность предлагаемой методики для исследования закономерностей распределения температуры и влажности в процессе промерзания. Методом априорных оценок доказана сходимость решения разностной задачи к решению исходной задачи. Исследована сходимость построенной итерационной схемы. Получена априорная оценка для решения итерационно-разностной схемы, из которой следует сходимость ее при достаточно малых т.

3. Разработана методика численного моделирования динамики морозного пучения грунтов, основанный на результатах численного решения задачи тепловлагопереноса в промерзающих грунтах.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] Матвеева, М.В. Численное моделирование динамики морозного пучения грунта / А.Р. Павлов, М.В. Матвеева // Вестник Поморского университета. — Серия: "Естественные науки". — Вып. 4/2008. — С. 79-84.

[2] Матвеева, М.В. Итерационная разностная схема для задачи тепломассопереноса при промерзании грунтов / А.Р. Павлов, М.В. Матвеева // Вестник Самарского университета. - Самара, 2007. — Серия: естественнонаучная, — №6 (56). — С. 242-252.

[3] Михайлова, М.В. Разностный метод решения задачи промерзания влажного материала / М.В. Михайлова // Информационные технологии в науке, образовании и экономике: тез. докл. 1-й респ. научн.-практ. конф. / М-во науки и проф. образования РС(Я), Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова; [науч.ред.: В.И. Васильев]. - Якутск, 2001. - С. 28-29.

[4] Михайлова, М.В. Разностный метод решения краевой задачи для одной системы уравнений тепломассопереноса / М.В. Михайлова // Студент и научно - технический прогресс: Математика: материалы XL междунар. конф. / М-во образования Рос. Федерации, СО РАН, Новосиб. гос. ун-т; [редкол.: A.C. Морозов и др.]. — Новосибирск, 2002. — С. 152 -153.

[5] Михайлова, М.В. Алгоритм численного исследования объемного расширения влажных капиллярно пористых материалов при промерзании / А.Р. Павлов, М.В. Михайлова // Труды I Евразийского симпозиума по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата. -Часть 4. Теплофизика и тепломассоперенос в материалах и конструкциях на Севере; [редкол.: А.Г1. Аммосов и др.]. — Якутск, 2002. — С. 134-137.

[6] Михайлова, М.В. О формулировке условий Стефана для системы уравнений тепломассопереноса / А.Р. Павлов, М.В. Михайлова // Современные проблемы теплофизики в условиях Крайнего Севера: матер, науч. конф. Изд-во ЯФ СО РАН; [редкол.: Э.А. Бондарев и др.]. — Якутск, 2002. — С. 21-25.

[7] Михайлова, М.В. Алгоритм решения задачи для одной системы уравнений тепломассопереноса / М.В. Михайлова // Информационные технологии в науке, образовании и экономике: тез. докл. 2-й респ. научн.-практ. конф. / М-во науки и проф. образования РС(Я), Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; [редкол.: В.И. Васильев и др.). — Якутск, 2003. — С. 38-40.

[8] Михайлова, М.В. Численное моделирование процесса промерзания грунта с учетом влаги / М.В. Михайлова, А.Р. Павлов // IV международная конференция по математическому моделированию : тез. докл. [отв. ред. И.Е.

Егоров]. - Якутск, 2004. - С. 74-76.

[9] Михайлова, М.В. Итерационная разностная схема для задачи тепло-массопереноса с фазовыми переходами в пористой среде / А.Р. Павлов, И.Г. Ларионова, М.В. Михайлова // Мат. заметки ЯГУ. — 2006. — Т. 13, вып. 2.

- С. 68-78.

[10] Матвеева, М.В. Численное моделирование процесса промерзания и морозного пучения влажных грунтов / А.Р. Павлов, М.В. Матвеева // Мат. заметки ЯГУ. - 2007. - Т. 14, вып. 1. - С. 162-170.

[11] Матвеева, М.В. Итерационная разностная схема для задачи тепло-массопереноса в процессе промерзания грунта / М.В. Матвеева // Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации: тез. докл. V Всерос. школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова; — Якутск, 2007. — С. 37-38.

[12] Матвеева, М.В. Численное исследование процесса промерзания и морозного пучения грунтов / М.В. Матвеева // V международная конференция по математическому моделированию: тез. докл. [отв. ред. И.Е. Егоров].

- Якутск, 2007. - С. 121-122.

[13] Матвеева, М.В. Численное моделирование процесса промерзания и морозного пучения грунтов / М.В. Матвеева // Материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" / Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев. (Электронный ресурс] — Москва, 2008. — С. 32. [Адрес ресурса в сети интернет: http://www.lomonosov-msu.ru/2008].

[11] Матвеева, М.В. Разработка алгоритма численного исследования морозного пучения грунтов / А.Р. Павлов, М.В. Матвеева // Информационные технологии в науке, образовании и экономике: материалы II Всерос. науч. конф. [отв. ред. В.В. Максимов и М.С. Троева]. — Якутск, 2007. — С. 56-57.

[15] Матвеева, М.В. Алгоритм численного исследования морозного пучения грунтов / М.В. Матвеева // Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации: тез. докл. Всерос. научи, конф. студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова; — Якутск, 2008. - С. 27-28.

[16] Матвеева, М.В. Разработка алгоритма численного исследования морозного пучения грунтов / М.В. Матвеева // Информационные технологии в науке, образовании и экономике: материалы III Всерос. науч. конф. [отв. ред. В.В. Максимов и М.С. Троева]. - Якутск, 2008. - С. 35-39.

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ МОРОЗНОГО ПУЧЕНИЯ ГРУНТОВ

автореферат

МАТВЕЕВА Майя Васильевна

Пописано в печать 05.03.2009 г. Формат 60x84/16. Печ.л. 1, 0. Тираж 100 экз. Заказ 2.

Отпечатано в филиале издательства ЯГУ, Институт математики и информатики ЯГУ. Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112) 496833

ВВЕДЕНИЕ.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И ВЛАГИ ПРИ ПРОМЕРЗАНИИ ГРУНТОВ

§1.1 Математические модели процесса теплопереноса в средах с фазовыми переходами.

1.1.1 Модель с образованием границы раздела фаз (задача типа Стефана).

1.1.2 Модель с образованием зоны фазовых переходов.

§1.2 Математические модели тепломассопереноса в грунтах

1.2.1 Модель, описывающая тепломассоперенос при движении влаги в талой зоне.

1.2.2 Модели, описывающие тепломассоперенос при движении влаги в талой и мерзлой зонах.

1.2.3 Математические модели, основанные на методах механики многофазных сред

§1.3 Формулировка задачи тепловлагопереноса при промерзании в виде нелинейной задачи тепломассопереноса.

2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛО- И ВЛАГОПЕРЕНО-СА ПРИ ПРОМЕРЗАНИИ ГРУНТА

§2.1 Разностная схема для системы уравнений тепломассопереноса

2.1.1 Численные методы решения задач теплопереноса с фазовыми переходами.

2.1.2 Разностная схема для системы уравнений тепломассопереноса

§2.2 Итерационная схема решения разностной задачи.

2.2.1 Алгоритм решения итерационной разностной задачи тепломассопереноса

2.2.2 Исследование сходимости.

§2.3 Численные эксперименты.

3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОРОЗНОГО ПУЧЕНИЯ ГРУН

§3.1 Закономерности и прогноз морозного пучения грунтов.

3.1.1 Основные закономерности процесса морозного пучения грунтов.

3.1.2 Формулы расчета морозного пучения грунтов.

§3.2 Алгоритм определения морозного пучения.

§3.3 Численные эксперименты.

Актуальность темы. Строительство в районах Севера, Сибири и Дальнего Востока требу ют решения ряда проблем, связанных с необходимостью повышения устойчивости, прочности и долговечности зданий и сооружений, возводимых на вечномерзлых и сезоннопромерзающих грунтах. Одной из таких проблем, имеющей важное научно-теоретическое и прикладное значение, является проблема морозного пучения сезоннопромерзающих грунтов.

Напряженно-деформированное состояние грунта при морозном пучении обуславливает недопустимые неравномерные перемещения и серьезные повреждения промышленпо-гражданских зданий, гидротехнических, мелиоративных и других сооружений (автомобильных и железных дорог, аэродромов, мостов, трубопроводов и др.). Недостаточная его изученность и недоучет приводят к огромному ущербу материальных, финансовых средств, ухудшают условия и снижают сроки эксплуатации сооружений [61]. Существующие модели морозного пучения либо содержат много трудноопределяемых эмпирических параметров, либо не доведены до окончательного решения, либо не учитывают основных особенностей промерзания грунтовых систем и поэтому недостаточно адекватно и полно отражают рассматриваемый процесс [102].

В изучении природы морозного пучения грунтов при промерзании, в разработке и совершенствовании методов его расчета, а также в применении численных методов при решении задач тепломассообмена с фазовыми переходами большой вклад сделали М.И. Сумгин, Н.А. Цытович, Б.И. Далматов, С.С. Вялов, В.О. Орлов, И.А. Тютюнов, А.В. Лыков, М.Н. Гольдштейн, А.В. Павлов, Н.С. Иванов, Г.М. Фельдман, В.Я. Хаин, Д.В. Редозубов, Н.А. Пуза-ков, И.А. Золотарь, И.А. Комаров, В.А. Кудрявцев, J1.T. Роман, Э.Д. Ершов, С.Е. Гречищев, JI.B. Чистотинов, Ю.А. Хохолов, С.А. Кудрявцев и другие исследователи.

Впервые с неблагоприятными последствиями этого явления столкнулись дорожники. Интерес к вопросам стабилизации грунтов значительно возрос в связи со строительством и эксплуатацией железных дорог, первая из которых была построена на Урале в 1834 г. [61]. Начавшееся в 1895 г. строительство Забайкальской и позднее Амурской железных дорог показали всю важность решения этой проблемы и направило инженерную мысль на изучение мерзлотных явлений и взаимодействия их с инженерными сооружениями. Предпосылками этому послужили работы И.А. Лопатина, В.И. Штукенберга и С.Г. Войслова, заложивших в 1870-1880 г.г. основу изучения физической сущности процессов пучения и миграции влаги в промерзающих грунтах [59, 61].

Работы зарубежных исследователей о пучении грунтов появились в Швеции и США в 10-е годы XX столетия [61]. Среди них наибольший интерес представляют работы шведа С. Иогапссона, первого исследователя за рубежом, обратившего внимание на перемещение влаги к промерзающему грунту, норвежца Ф. Нансена, американцев С. Тэбера и Д. Буюкоса.

Изучению движения влаги в почвах и грунтах большое внимание уделяли русские почвоведы и агрофизики В.В. Докучаев, Г.Я. Близнин, А.Ф. Лебедев и др.

Существенное значение для разработки научных основ и расчета устойчивости сооружений на пучинистых грунтах, имели работы 30-х годов XX в. Это работы М.И. Сумгина, Н.А. Цытовича, А.Е. Федосова, П.И. Андрианова, Н.И. Быкова, П.Н. Каптерева, Б.В. Дерягина и др. Исследования этого периода главным образом и послужили той экспериментально-теоретической базой, которая была положена Н.А. Цытовичем.и М.И. Сумгиным [101] в основу новой научной дисциплины - механики мерзлых грунтов.

Широкая перспектива в разработке и познании природы физических процессов и свойств мерзлых грунтов открылась в связи с выдвинутой и экспериментально доказанной Н.А. Цытовичем [101] теорией динамического равновесия твердой и жидкой фаз воды в мерзлых грунтах, нашедшей подтверждение и развитие во всех направлениях геокриологии [59], в том числе в решении задач о пучении, влагопакопления и льдовыделения [14, 15, 20, 24, 56, 60, 90, 97, 100 и др.].

Экспериментальными работами отечественные и зарубежные исследователи качественно доказали влияние на пучение комплекса многочисленных факторов [14, 20, 24, 44, 60, 84, 90, 98, 100, 114 и др.]. Дальнейшее развитие имели разработки связанные с условиями моделирования процесса пучения [14, 24], разработка и совершенствование методов расчета влагонакоплеиия и пучения грунтов [3, 14, 18, 20, 21, 22, 33, 35, 43, 50, 52, 55, 60, 73, 90, 93, 94, 96, 97, 114, 115 и др.], а также лабораторными и полевыми [15, 24, 60 и др.] методами определения сил пучения.

Одной из основных причин морозного пучения грунтов является увеличение объема замерзающей влаги с учетом ее миграции к фронту промерзания. Количественная оценка этих процессов аналитическими способами затруднена из-за нелинейности определяющих уравнений [50].

Во многих областях науки широко применяется метод математического моделирования с применением вычислительных средств - вычислительный эксперимент [11], созданный в основном усилиями отечественных ученых -научными школами академиков А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, Н.Н. Янен-ко, Г.И. Марчука и Н.Н. Моисеева. Суть этого мощного средства научного познания состоит из трех неразрывных этапов исследования: модель - алгоритм - программа.

Исследование широкого круга проблем освоения Севера основано на изучении процессов тепло- и массопереиоса в промерзающих - протаивающих средах. Математические модели тепло- и массопереноса в промерзающих (протаивающих) дисперсных средах строятся в рамках механики сплошных сред на основе законов сохранения массы, импульса, энергии, а также законов термодинамики. Их можно разделить на две группы. Первая, представленная в основном системой уравнений А.В. Лыкова и их модификациями, получена применением указанных законов к единице объема пористой среды, насыщенной жидкостью. Другая группа моделей исходит из структуры пористой среды и применения законов сохранения к каждой фазе в отдельности - скелету, жидкости и льду - с учетом их объемной доли в единице объема смеси.

Количественное исследование процессов теплоиереноса в дисперсных средах, проводится на основе двух математических моделей: задача типа Стефана и задача в спектре температур. Они основаны на двух различных физических интерпретациях процесса промерзания. В соответствие с одной из них, фронт фазового перехода представляет собой резкую границу раздела между двумя фазами одного материала, что соответствует фазовому переходу при определенной постоянной температуре. По другой интерпретации фронт фазового перехода представляет протяженную границу раздела фаз, что соответствует фазовому переходу в спектре температур.

Резкая граница раздела имеет место, например, при промерзании крупнодисперсных сред - песков средних и крупных фракций, при плавлении и кристаллизации металлических материалов. Протяженная граница раздела образуется при промерзании мелкозернистых материалов со значительным содержанием связанной воды.

Промерзание капиллярно-пористых водонасыщенных материалов сопровождается образованием льда в порах и капиллярах. Фазовый состав влаги (вода - лед) определяется температурой, и его характеристикой служит уравнение фазового состава влаги - функция количества незамершей воды. При промерзании водонасыщенных материалов одновременно с теплоперено-сом происходит массоперенос, связанный с миграцией и фильтрацией влаги к фронту промерзания, где выделяется теплота фазовых переходов влаги. Влияние этих факторов на температурное поле может быть существенным, а следовательно, исследование промерзания в рамках кондуктивной задачи может оказаться недостаточным для полного описания процесса. В связи с этим наряду с теплопереносом в таких ситуациях необходимо рассматривать и массоперенос.

В процессе промерзания влагонасыщенных грунтов происходит их морозное пучение, которое является частой причиной деформаций инженерных сооружений, построенных на таких грунтах.

Необходимость совершенствования методов прогноза надежности и долговечности инженерных сооружений требует изучения закономерностей процессов тепломассопереноса во влажных грунтах и их морозного пучения в процессе промерзания.

Цель работы заключается в разработке методики численного прогнозирования теплового и влажностного режимов и морозного пучения в промерзающих грунтах.

В сооответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:

1. Построение математической модели задачи тепломассопереноса при промерзании грунтов.

2. Разработка алгоритма численной реализации математической модели тепломассопереноса и морозного пучения при промерзании грунтов.

3. Исследование закономерностей развития динамики температурного и влажностного полей, а также возникающего при этом пучения.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является процесс тепломассопереноса и морозного пучения грунтов при их промерзании.

Предмет исследований — закономерности процесса морозного пучения влажных грунтов различного минералогического состава.

Методы исследования. В работе используется метод численного моделирования. На основе анализа современного состояния вопроса тепломассопереноса и морозного пучения в дисперсных средах и существующих методов расчета, предложена математическая модель переноса влаги, тепла и морозного пучения при промерзании грунтов. Разработана методика расчета динамики режимов влаги, тепла и морозного пучения.

Научная новизна работы.

1. Построена математическая модель тепломассопереноса с фазовыми переходами поровой влаги, представляющая модификацию известной системы уравнений тепломассопереноса, позволяющая использовать при ее численной реализации разностные схемы сквозного счета.

2. Разработан алгоритм численного решения задач тепломассопереноса в одномерной постановке и методом вычислительного эксперимента исследованы закономерности промерзания влажных грунтов. Доказана сходимость решений построенной итерационно-разностной схемы к решениям исходных задач тепломассопереноса с фазовыми переходами.

3. Предложен программный продукт для исследования морозного пучения грунтов на основе численного решения задачи тепломассопереноса с фазовым переходом.

Теоретическая и практическая ценность. Проведенные исследования предназначены для совершенствования расчетных моделей промерзания и морозного пучения грунтов. Разработанные программные продукты могут быть использованы в моделировании различных задач геокриологии.

Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов работы в рамках принятых математических моделей обеспечивается применением теоретически обоснованных численных методов, проверкой работоспособности разработанных алгоритмов на тестовых задачах и сопоставлением в отдельных случаях с известными аналитическими решениями.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Сформулирована задача тепловлагопереноса при промерзании в виде нелинейной задачи тепломассопереноса относительно функции, tie имеющей скачка на границе фазового перехода. Предложен новый способ учета льда, образующегося на фронте промерзания в виде дополнительного слагаемого в уравнении для влажности в математической модели тепломассопереноса с фазовым переходом поровой влаги.

2. Разработана методика исследования морозного пучения грунтов на основе численного решения задачи тепломассопереноса с фазовым переходом.

Перейдем к изложению результатов диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов. В параграфах 1.1 и 1.2 дан краткий обзор литературы по математическому моделированию для задачи теплопереноса и тепломассопереноса в промерзающих дисперсных средах, а в параграфе 1.3 сформулирована постановка задачи тепломассопереноса при промерзании грунта в одномерном случае, основанный на модификации системы уравнений тепломассопереноса А.В. Лыкова [52]. Промерзающая область состоит из двух зон - талой и мерзлой, и в каждой из них распределения температуры и влажности удовлетворяют уравнениям теплопроводности и влагопроводности. Когда интересуются только распределением температуры, уравнения теплопроводности, написанные в каждой зоне, и условие на границе фазового перехода, заменяются одним нелинейным уравнением теплопроводности, заданным во всей области изменения температуры. Распределение температуры затем находится из решения краевой задачи для этого уравнения. В этой работе указанный прием распространяется на случай системы уравнений тепловлагопереноса, при этом уравнение влажности содержит сосредоточенный источник на границе фазового перехода, наличие которого создает определенные трудности при построении разностной схемы. Для их преодоления предлагается заменить сосредоточенный источник распределенным в окрестности фазовой границы. Показано, что решение уравнения с распределенным источником, когда длина интервала, на котором он определен, неограниченно уменьшается, совпадает с решением уравнения с сосредоточенным источником.

Вторая глава включает три параграфа. В параграфе 2.1 дан краткий обзор литературы по построению разностных схем для решения задач тепло- и массопереноса в промерзающих (протаивающих) дисперсных средах, а также построена интегро-интерполяционным методом разностная схема для сформулированной задачи тепломассопереноса при промерзании грунта, которая решается итерационным методом с применением метода прогонки на каждой итерации. В параграфе 2.2 изложено обоснование построенной итерационно-разностной схемы, доказанная ее сходимость сформулирована в виде теорем. Разработан алгоритм численного исследования задачи тепломассопереноса с фазовыми переходами. В параграфе три представлены результаты численной реализации задачи тепломассопереноса в промерзающих грунтах.

Третья глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе дано понятие морозного пучения грунтов и обзор литературы для определения величины морозного пучения грунта. В параграфе 3.2 на основе численного решения задачи тепломассопереноса в промерзающих грунтах разработан алгоритм определения величины морозного пучения. Вывод формулы для расчета величины пучения основан на предположении, что увеличение объема грунта происходит вследствие увеличения объема порового вещества за счет перехода воды в лед и расширение объема происходит по высоте (по направлению к дневной поверхности грунта) без возможности бокового расширения, как это принимается в задаче о компрессионном уплотнении грунтов [100]. В третьем параграфе приведены части результатов численных расчетов по построенному алгоритму для определения величины пучения, температуры и влажности.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XL Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002), на IV, V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск, 2004, 2007), на Республиканской научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" (Якутск, 2002, 2007), на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2001, 2003, 2007, 2008), на Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий РФ" (Якутск, 2004, 2007), на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование развития Северных территорий РФ" (Якутск, 2008), на I, IV Евразийских симпозиумах по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата (Якутск, 2002, 2008), на научном семинаре кафедры "прикладной математики" института математики и информатики ЯГУ (Якутск, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах (тезисы 9 докладов и 7 статей) [117] - [132].

Работа поддержана грантом имени академика В.П. Ларионова для молодых ученых, специалистов и студентов по физико-техническим наукам (№0705/28 от 22.01.2008 г).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 102 страницы. Каждая из трех глав состоит из трех параграфов. Список литературы содержит 132 наименований. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в параграфе. В работе 11 рисунков и 4 таблиц, нумерация их сквозная.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена разработке и совершенствованию методов расчета величины пучения грунтов.

Промерзание влажных грунтов часто сопровождается их пучением, которое обусловлено рядом массообменных, физико-химических и физико-механических процессов. Работами многих исследователей доказано значительная роль миграции влаги в морозном пучении. К основным параметрам, определяющим морозное пучение грунтов, относятся: начальная влажность, полная влагоемкость, содержание незамерзшей воды, температурный режим, глубина сезонного промерзания, скорость промерзания, глубина залегания водоносного горизонта, теплофизические и массообменные свойства пород. Таким образом, исследование морозного пучения грунтов, в первую очередь, предполагает знание динамики теплового и влажностного режима грунтов в процессе их промерзания.

Сформулирована задача тепловлагопереноса при промерзагога грунтов в виде нелинейной задачи тепломассопереноса. Построен алгоритм исследования температурного и влажностного режимов при промерзании. Предложен новый способ учета льда, образующегося на фронте промерзания в виде дополнительного слагаемого в уравнении для влажности. Благодаря этому удалось построить разностную схему для влажностной задачи, решение которой дает картину льдообразования во всей промерзающей зоне, близкую к реальному процессу промерзания. Численные расчеты процесса промерзания грунтов показали пригодность предлагаемой методики для исследования закономерностей распределения температуры и влажности в процессе промерзания.

Методом априорных оценок доказана сходимость разностной задачи к краевой задаче. Для численного решения разностной задачи построена итерационная схема. Получена априорная оценка для решения разностно-итерационной схемы, из которой следует сходимость ее при достаточно малых т.

Разработана методика численного моделирования морозного пучения грунтов, основанный на результатах численного решения задачи теп лов л а-гопереноса.

Приведенные в работе результаты решения некоторых типичных задач промерзания сезонноталых грунтов показывают, что разработанная методика численного исследования процесса промерзания грунтов дает достаточно точный прогноз динамики температурного и влажностного полей, а также возникающего при этом пучения. Она дает возможность в достаточно близкой к реальным условиям постановке вскрыть основные закономерности формирования криогенных текстур и величины пучения.

1. Антипов В.И., Володина Л.А., Николаев Б.П. и др. Тепломассоперенос в процессе растепления вечномерзлых пород, окружающих эксплутацион-ную скважину // Изв. вузов. Нефть и газ, 1979. - №7. - С. 47-51.

2. Бондарев Э.А., Красовицкий Б.А. Температурный режим нефтяных и газовых скважин. — Новосибирск: Наука, 1974. 83 с.

3. Бредюк Г.П. Определение величины и интенсивности пучения связных грунтов. В кн. "Материалы по физике и механике мерзлых грунтов". - М.: Изд-во АН СССР, 1959.

4. Бровка Г.П. Тепло- и массопернос в природных дисперсных системах при промерзании. — Минск: Навука i тэхшка, 1991. 191 с.

5. Бровка Г.П., Иванов С.Н. Расчет температурных полей в грунте с фазовыми переходами вода-лсд в спектре температуры // ИФЖ, 2004. Т. 77. - т. - С. 112-119.

6. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Егорова А.Т. Об одном варианте неявной разностной схемы с ловлей фронта в узел сетки для решения задач типа Стефана // Вычислительные методы и программирование. М: Изд-во МГУ, 1967. - Вып. 4. - С. 231-241.

7. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана // Численные методы в газовой динамике. М: Изд-во МГУ, 1965. - Вып. 4. - С. 139-183.

8. Будак Б.М., Гольдман H.JT., Успенский А.Б. Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения многофронтовых задач типа Стефана // Доклад АН СССР, 1966. Т. 167, №4. - С. 735-738.

9. Будак Б.М., Голъдман H.JI., Успенский А.Б. Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения многофронтовых задач типа Стефана // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. - Вып. 4. - С. 206-216.

10. Будак Б.М., Соловьев Е.Н., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // Журнал выч. математики и мат. физики, 1965. Т. 5, №5. - С. 828-840.

11. Бабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Изд-во МГУ, 1993. -152 с.

12. Бабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1991. - 156 с.

13. Васильев В.И., Максимов A.M., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепло-массоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука, 1997. - 224 с.

14. Водно-тепловой режим земляного полотна и дорожных одежд / под ред. И.А. Золотаря, Н.А. Пузакова, В.М. Сиденко. М.: Транспорт, 1971. -416 с.

15. Вялое С.С. Реологические свойства и несущая способность мерзлых грунтов. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 190 с.

16. Гамаюпов Н.И., Гамаюнов С.Н. Перенос тепла и влаги при промерзании грунтов // ИФЖ, 2004. Т. 77, №5. - С. 72-81.

17. Гарагуля Л.С., Кондратьева К.А., Кудрявцев В.А., Меламед В.Г. Основы мерзлотного прогноза при инженерно-геологических исследованиях. М.: Изд-во Моск-го ун-та, 1974. - 432 с.

18. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. -400 с.

19. Гольдштейн М.Н. Деформация земляного полотна и оснований сооружений при промерзании и оттаивании // Труды ВНИИ железнодорожного транспорта. М.: Трансжелдориздат, 1948. - Вып. 16. - 212 с.

20. Голли О.Р. Закономерности морозного пучения грунтов и их использование при проектировании фундаментов. // Известия ВНИИ гидротехники, 2003. №242. - С. 135-141.

21. Гречиш}ев С.Е., Чистотинов Л.В., Шур Ю.Л. Криогенное физико-геологические процессы и их прогнозы. — М.: Недра, 1980. 384 с.

22. Гурьянов И.Б Теплофизические характеристики глинистых грунтов при численном решении задач о промерзании и оттаивании // Интегральные исследования мерзлых грунтов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1981. - С. 36-45.

23. Далматов Б. И. Воздействие морозного пучения на фундаменты сооружений. JI: Изд-во лит-ры по строительству и архитектуре, 1957.

24. Данилюк И.И. О задаче Стефана // УМН, 1985. Вып. 5 (245). - С. 132-185.

25. Дробышевич В. И. Алгоритм решения двухфазной задачи Стефана па основе формул потокой прогонки // Числ. методы и пакеты программ для решения уравнений мат. физики. Новосибирск, 1985. - С. 82-93.

26. Дробышевич В.И., Яушева Л.В. Анализ моделей и алгоритмов процессов тепломассопереноса в каталитических реакторах // Автоматизация построения алгоритмов для задач мат. физики. Новосибирск, 1983. -С. 72-77.

27. Дубина М.М., Краеовицкий Б.А. Теплообмен и механика взаимодействие трубопроводов и скважин с грунтами. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983. 136 с.

28. Дубина М.М., Ионов А.В., Кашеваров А.А., Малышкин А.П. Повышение долговечности зданий при морозном воздействии. — М.: Изд-во МГУ, 1999. 174 с.

29. Ершов Э.Д., Чеверев В.Г., Николаева Г.В., Брушков А.В., Шевченко Л. В. Природа аномальных температурных деформаций мерзлых грунтов // Геокриологические исследования / Под ред. Ершова Э. Д. М.: Изд-во МГУ, 1989. - С. 171-183.

30. Ершов Э.Д., Орлов В.О., Булдевич С.Н., Медведев А.В., Чеверев В.Г. Морозное пучение грунтов и его воздействие сооружения. В кн.: Основы геокриологии. 4.5. Инженерная геокриология // Под ред. Ершова

31. Э.Д. М.: Изд-во Моск-го ун-та, 1999. - С. 109-133.

32. Ершов Э.Д., Видяпин И.Ю., Булдович С.Н., Медведев А.В., Чеверев В. Г. Математическое моделирование промерзания и морозного пучения дисперсных грунтов // Материалы второй конференции геокриологов России. М.: Изд-во МГУ, 2001. - С. 74-81.

33. Ершов Э.Д., Комаров И.А., Брушков А.В., Хоре М.А. Температурные деформации мерзлых дисперсных льдонасыщенньтх пород при низких отрицательных температурах // Материалы второй конференции геокриологов России. М.: Изд-во МГУ, 2001. - С. 81-88.

34. Золотарь И.А. Расчет промерзания и величина пучения грунта с учетом миграции влаги // Процессы тепло- и массопереноса в горных породах.- М.: Наука, 1965. С. 19-25 с.

35. Иванов Н.С. Теплообмен в криолитозоне. М.: Изд-во АН СССР, 1962.- 142 с.

36. Иванов Н.С. Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах. М.: Наука, 1969. - 239 с.

37. Иванов Н.С., Гаврилъев Р.Н. Тенлофизические свойства мерзлых горных пород. М.: Наука, 1965. - 73 с.

38. Ильин В.П., Яушева Л.В. Об одной разностной схеме решения двухфазной задачи Стефана // Методы решения систем вариационно-разностных уравнений. Новосибирск, 1979. - С. 82-96.

39. Каменомосткая С.Л. О задаче Стефана // Матем. сб., 1961. Т. 53, №4.- С. 489-514.

40. Карамышев В.Б., Ковенл В.М., Слепцов А.Г., Шокип Ю.И. Математическое моделирование в механике сплошных сред // Фундаментальные проблемы мат. и мех. М.: Изд-во МГУ, 1994. - Ч. 1. - С. 238-239.

41. Катышева А.С. Исследование процессов миграции влаги и пучения в промерзающих породах. Автореф. дисс. . канд. техн. наук. JL, 1979.- 27 с.

42. Киселев М. Ф. Предупреждение деформации грунтов от морозного пучения. Л.: Стройиздат, 1985. - 128 с.

43. Колесников А. Г. К изменению математической формулировки задачи о промерзании грунта. // ДАН СССР, 1952. Т. LXXXII, №6. - С. 889-891.

44. Комаров И. А. Термодинамика и тепломассообмен в дисперсных мерзлых породах. М.: Научный мир, 2003. - 608 с.

45. Коновалов А.А. Прочностные свойства мерзлых грунтов при переменной температуре. Новосибирск: Наука, 1991.

46. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, 1988. - 164 с.

47. Коробицына Ж.Л., Тычков С.А. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса с учетом фазового перехода в геодинамике // Журнал выч. мат. и мат. физики, 1997. Т. 37, №6. - С. 733-741.

48. Кудрявцев С.А. Численное моделирование процесса промерзания, морозного пучения и оттаивания грунтов // Основания, фундаменты и механика грунтов, 2004. №5. С. 21-26.

49. Куликов Ю.Г., Перетрухин Н.А. Определение величины нормальных сил пучения // Труды ВНИИ трансстроя. М.: Изд-во транспорт, 1967.- Вып. 62. С. 106-109.

50. Лыков А.В. Явление переноса в капиллярно пористых телах. - М.: Изд-во техн.-теор. лит., 1954. - 296 с.

51. Лукьянов B.C., Головко М.Д. Расчет глубины промерзания грунтов. -М.: Трансжслдориздат, 1957. 164 с.

52. Мейрманов A.M. Задача Стефана. — Новосибирск: Наука, 1986. 240 с.

53. Меламед В.Г. Тепло- и массообмен в горных породах при фазовых переходах. М.: Наука, 1980. - 288 с.

54. Нерсесова З.А. Изменение льдистости грунтов в зависимости от температуры // ДАН СССР, 1950. Т. LXXV, №6. - С. 845-846.

55. Никитенко Н.И. Теория тепломассопереноса. Киев: Наук, думка, 1983.

56. Олейник О.А. Об одном методе решения общей задачи Стефана // ДАН, 1960. Т. 135, №5. С. 1054-1057.

57. Основы геокриологии (мерзлотоведения). М.: Изд-во АН СССР, 1959.- Ч. 1. 460 с.

58. Орлов В. О. Криогенное пучение тонкодисперсных грунтов. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 188 с.

59. Орлов В.О. Пучение промерзающих грунтов и его влияние на фундаменты сооружений. «П.: Стройиздат, 1977.

60. Орлов В.О., Железняк И.И., Филиппов В.Д., Фурсов В.В. Морозоопас-ные грунты как основания сооружений. Новосибирск: Наука, 1992. -168 с.

61. Павлов А.В. Теплообмен промерзающих и протаивающих грунтов с атмосферой. М.: Наука, 1965. - 254 с.

62. Павлов А.Р. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса при фазовых переходах: Учебное пособие. Якутск: Изд-во Якутского госуниверситета, 2001. - 56 с.

63. Павлов А.Р. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса и температурных деформаций в строительных материалах при фазовых переходах. Новосибирск: Наука, 2001. - 176 с.

64. Павлов А.Р., Пермяков П.П. Математическая модель и алгоритм расчета на ЭВМ тепло- и массопереноса при промерзании грунта // ИФЖ, 1983. Т. 44, т. - С. 311-316.

65. Павлов А.Р., Пермяков П.П. Алгоритм идентификации массообмснных характеристик дисперсных сред с фазовыми переходами // ИФЖ, 1983. Т. 45, т. - С. 658-659.

66. Павлов А.Р., Пермяков П.П., Попов В.И., Степанов А.В. Исследования динамики промерзания при фазовых переходах в спектре температур // Методы прикладной математики и автоматизации научного эксперимента. Якутск: Изд-во ЯФ СО АН СССР, 1980. - С. 3-13.

67. Пасконов В.М. и др. Численное моделирование процессов тепло- и мас-сообмена. М.: Наука, 1984. - 267 с.

68. Пермяков П.П. Идентификация параметров математической модели теп-ловлагопереноса в мерзлых грунтах. Новосибирск: Наука, 1989. - 86 с.

69. Петров Е.Е., Павлов Б.Н. Численное моделирование тепломассопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах. Якутск: Изд-во ЯГУ, 2000. - 68 с.

70. Порхаев Г. В. Тепловое взаимодействие зданий и сооружений с вечно-мерзлыми грунтами. — М.: Наука, 1970. 208 с.

71. Редозубов Д.В. Экспериментальные исследования процессов теплообмена в мерзлых горных породах. М.: Наука, 1972.

72. Роман Л. Т. Механика мерзлых грунтов. М.: Наука, 2002. - 426 с.

73. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. — Рига: Звайгзне, 1967. 458 с.

74. Руководство по проектированию оснований и фундаментов на пучинис-тых грунтах. М.: Стройиздат, 1979.

75. Самарский А.А. Теория разностных схем: Учебное пособие. М.: Наука, 1983. - 616 с.

76. Самарский А. А. Введение в численные методы: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1987. - 288 с.

77. Самарский А.А., Вабиш,евич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

78. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многофазной задачи Стефана // Журнал выч. мат и мат. физики, 1965. Т. 5, №5. - С. 816-827.

79. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

80. Самарский А.А., Тихонов А.Н. Уравнения математической физике. -М.: Наука, 1977. 736 с.

81. Соколова В.М. Зависимость пучения грунтов от их природной влажности // Труды НИИ Оснований и фундаментов. М.: Стройиздат, 1966. -Вып. 56.

82. Соколова О.В., Горковенко Н.Б. Оценка морозоопасности крупнообломочных грунтов с пылевато-глинистым заполнителем // Основания и фундаменты, 1997. №2. - С. 11-15.

83. СНиП Н-15-74. Основания зданий и сооружений. Нормы проектирования. М.: Стройиздат, 1975. 65 с.

84. Степанов А.В., Тимофеев A.M. Теплофизические свойства дисперсных материалов. Якутск: Изд-во ЯНЦ СО РАН, 1994. - 124 с.

85. Сумгин М.И. Физико-механические процессы во влажных и мерзлых грунтах. М.: Транспечать, 1929. - 592 с.

86. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа // Бондарев Э.А., Васильев В.И., Воеводин А.Ф. и др. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 272 с.

87. Тютюнов И.А., Нерсесова З.А. Природа миграции воды в грунтах при промерзании и основы физико-химических приемов борьбы с пучением.- М.: Изд-во АН СССР, 1963.

88. Федоренко Р.П. Разностная схема для задачи Стефана // Журнал выч. мат. и мат. физики, 1975. Т. 15, №5. - С. 1339-1344.

89. Федосов А.Е. Физико-механические процессы в грунтах при их промерзании и оттаивании. М.: Трансжелдориздат, 1935.

90. Фельдман Г.М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов. М.: Наука, 1973. - 254 с.

91. Фельдман Г.М. Прогноз температурного режима грунтов и развитие криогенных процессов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977. - 192 с.

92. Фельдмлн Г.М. Передвижение влаги в талых и промерзающих грунтах.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 258 с.

93. Хаин В.Я. Расчет промерзания грунта с учетом миграции влаги в талой и мерзлой зонах // Тр. ДИИН. Вопросы геотехники. Днепропетровск, 1969. - Вып. 15. - С. 65-72.

94. Хакимов Х.Р. Замораживание грунтов в строительных целях. — М.: Гос-стройиздат, 1962. 188 с.

95. Хархута Н.Я., Васильев Ю.М. Прочность, устойчивость и уплотнение грунтов земляного полотна автомобильных дорог. — М.: Транспорт, 1975.

96. Хохолов Ю.А. Физико-техническое обоснование теплового режима горных выработок криолитозоны. Автореф. дисс. . докт. техн. паук. М., 2006. - 34 с.

97. Цытович Н.А. Механика мерзлых грунтов. — М.: Высшая школа, 1973. 446 с.

98. Цытович Н.А., Сумгин М.И. Основы механики мерзлых грунтов. -- М.: Изд-во АН СССР, 1937.

99. Чеверев В.Г., Лебеденко Ю.П. О природе сил морозного пучения грунтов и методике их оценки // Мерзлые породы и криогенные процессы. Сб. науч. трудов. М.: Наука, 1991. - С. 112-119.

100. Чистотинов Л. В. Миграция влаги в промерзающих неводонасыщенных грунтах. М.: Наука, 1973. - 142 с.

101. Чистотинов Л.В. К проблеме экспериментального количественного описания криогенной миграции влаги в тонкодисперсных горных породах // Криогенные процессы. — М.: Наука, 1978. С. 119-155.

102. Шерстов В.А., Киселев В.В., Хохолов Ю.А. Тепловой режим россыпных шахт криолитозоны. Якутск: Изд-во ЯНЦ СО РАН, 2007. - 315 с.

103. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988. -544 с.

104. Ясин Ю. Д. Гистерезис фазовых превращений влаги в ячеистом бетоне // Долговечность конструкций из автоклавных бетонов: Тез. локл. V республ. конф. Таллин, 1984. - Ч. 1. - С. 205-209.

105. Clavier L., Arquis E.; Caltagirone J. P., Gobin D. A fixed grid method for the numerical solution of phase change problems // Ins. J. Numer. Meth. End. 1994. - Vol. 37, №24. - P. 4247-4261.

106. Crank J. Free and moving boundary problems. Oxford: Clarendon Press. -1987.

107. Douglas J., Gallie G.M. On the numerical integration of parabolic differential equation subject to a moving boundary condition // Duke Math. J. 1955.- Vol. 22, №4. P. 557-572.

108. Konovalov A.N. Tne fictitions regions method in problems of mathematical physics // Computing Method in Applied Sciences and Engineering. -Amsterdam, New York, Oxford, 1980. P. 29-40.

109. Leese M. A linear three-level difference scheme for quasilinear parabolic equation // Math, of Comput. 1966. - Vol. 20, №96. - P. 516-522.

110. Takagi S. Fundamentals of the theory of frost heaving // Permafrost Internal. Conf. Washington, 1965.

111. Taylor G.S., Luthin J.N. A model for coupled heat moisture transfer during soil freezing // Canadian Geotechnical journal, 1978. Vol. 15, №4, - P. 548- 555.

112. Voller V.R., Swaminathan C.R., Thomas B.G. Fixed grid techniques for phase change problems: A review // Int. J. Numcr. Meth. Engng. 1990. -Vol. 30, №4, P. 875 - 898.

113. Михайлова M.B. Разностный метод решения задачи промерзания влажного материала // Информационные технологии в науке, образовании и экономике : тез. докл. 1-й респ. научн.-практ. конф. Якутск, 2001. — С. 28-29.

114. Михайлова М.В. Разностный метод решения краевой задачи для одной системы уравнений тепломассопереноса // Студент и научно технический прогресс: Математика : материалы XL междунар. конф. - Новосибирск, 2002. - С. 152-153.

115. Михайлова М.В., Павлов А.Р. О формулировке условий Стефана для системы уравнений тепломассопереноса // Современные проблемы теплофизики в условиях Крайнего Севера: матер, науч. конф. Якутск,2002. С. 21-25.

116. Михайлова М. В. Алгоритм решения задачи для одной системы уравнений тепломассопереноса // Информационные технологии в науке, образовании и экономике: тез. докл. 2-й респ. научн.-практ. конф. Якутск,2003. С. 38-40.

117. Павлов А.Р., Михайлова М.Б.Численное моделирование процесса промерзания грунта с учетом влаги //IV международная конференция по математическому моделированию: тез. докл. Якутск, 2004. - С. 74-76.

118. Павлов А.Р., Ларионова И.Г., Михайлова М.В. Итерационная разностная схема для задачи тепломассопереноса с фазовыми переходами в пористой среде // Мат. заметки ЯГУ, 2006. Т. 13, вып. 2. - С. 68-78.

119. Павлов А.Р., Матвеева М.В. Численное моделирование процесса промерзания и морозного пучения влажных грунтов // Математические заметки ЯГУ, 2007. Т. 14, вып. 1. - С. 162-170.

120. Матвеева М. В. Численное исследование процесса промерзания и морозного пучения грунтов. //V международная конференция по математическому моделированию : тез. докл. — Якутск, 2007. — С. 121-122.

121. Павлов А.Р., Матвеева М. В. Итерационная разностная схема для задачи тепломассопереноса при промерзании грунтов // Вестник Самарского государственного университета. Самара, 2007. - Серия: естественнонаучная, №6 (56). - С. 242-252.

122. Павлов А.Р., Матвеева М.В. Разработка алгоритма численного исследования морозного пучения грунтов // Информационные технологии внауке, образовании и экономике: материалы II Всерос. науч. конф. -Якутск, 2007. С. 56-57.

123. Матвеева М.В. Разработка алгоритма численного исследования морозного пучения грунтов // Информационные технологии в науке, образовании и экономике: материалы III Всерос. науч. конф. Якутск, 2008. -С. 35-39.

124. Павлов А.Р., Матвеева М.В. Численное моделирование динамики морозного пучения грунта // Вестник Поморского университета. Серия: "Естественные науки". - Вып. 4/2008. - С. 79-84.