автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование политипных превращений в плотноупакованных кристаллах методами Монте-Карло

На правах рукописи

Байдышев Виктор Сергеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛИТИПНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В ПЛОТНОУПАКОВАННЫХ КРИСТАЛЛАХ МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова» и Сибирском физико-техническом институте им. акад. В.Д. Кузнецова при Томском государственном университете

Научный руководитель Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Удодов Владимир Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Добронец Борис Станиславович кандидат физико-математических наук, доцент Тимофеев Иван Владимирович

ГОУ ВПО Алтайский государственный университет

Защита состоится 7 октября 2005 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.098.04 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: ул. Академика Киренского, 26, Красноярск, 660074, ауд. Д 501.

Факс: (3912) 43-06-92 (КГТУ, для каф. САПР)

E-mail: sovet@front.ru

Телефон: (391 -2) 49-77-28 (КГТУ, каф. САПР)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан 6 сентября 2005 года.

Учёный секретарь

диссертационного совета -

д.т.н. Ю/WOU С А Бронов

/гггз

Л? 3

Общая характеристика работы

Актуальность. Проблема математического и компьютерного моделирования фазовых превращений в твердых телах является одной из важных проблем теории моделирования. Прогресс в ее решении позволит продвинуться в создании теории компьютерного конструирования принципиально новых материалов. Данная работа посвящена компьютерному исследованию математических моделей фазовых переходов в плотноупа-кованных кристаллах.

В кристаллах распространено явление полиморфизма - способность одного и того же вещества кристаллизоваться в различных структурных формах, которые называются полиморфными модификациями. Политипизм - это частный случай явления полиморфизма в одном направлении. Огромное количество политипных модификаций являются плотноупако-ванными. Переходы между политипными модификациями - это частный случай фазовых переходов, которые называются политипными превращениями. Однако отсутствует общая теория моделирования различных политипных превращений. В известных работах (Е.Д. Белоколос, А.Ю. Гаевский, А.И. Устинов) в рамках аксиальной модели Изинга рассмотрена система бесконечного размера. Строгий анализ в этом случае возможен только для абсолютного нуля температуры и предсказывает шесть плотноупакованных политипных фаз, что далеко не исчерпывает экспериментально наблюдаемые структуры. Метастабильные состояния также невозможно описать в рамках классических подходов. Особый интерес эта проблема приобретает для мелкодисперсных веществ и нанома-териалов, в частности, в связи с практическими приложениями. Это диктует необходимость рассмотрения моделей малых размеров. Политипные структуры представляют собой структуры наномасштаба, так как период повторяемости для них составляет от нескольких единиц до десятков и сотен плотноупакованных атомных слоев. Процессы в малых кристаллах вызывают особый интерес, так как классические методы моделирования к ним неприменимы и необходимо использование новых или обобщенных подходов. Использование методов компьютерного моделирования в рамках аксиальной модели Изинга конечного размера позволит решить ряд задач, связанных с политипными превращениями: исследование влияния температуры на фазовые диаграммы с учетом метастабильных состояний, на серии политипных превращений, расчет распределения по толщинам политипов и влияния взаимодействия на порог протекания. Поэтому моделирование политипных превращений в плотноупакованных кристаллах является актуальной задачей, которая может быть решена в рамках указанных подходов.

Диссертационное исследование выполнялось в рамках темы: «Исследование фазовых превращений в металлах и сплавах с особенностями

е. С. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

наноразмеров в рамках обобщенной модели Изинга и электронной теории», финансируемой из бюджета Министерства образования Российской Федерации.

Объект исследований - моделирование фазовых превращений в твердых телах.

Предмет исследований - компьютерное моделирование политип-ных превращений в рамках модифицированной аксиальной модели Изинга конечного размера.

Цель диссертационной работы - разработка и применение компьютерных моделей, алгоритмов и прикладных программ для исследования политипных превращений в плотноупакованных кристаллах (в том числе превращения ГЦК - ГПУ) в рамках обобщенной модели Изинга конечных размеров методами Монте-Карло (алгоритм Метрополиса и теория перколяции) с учетом метастабильных состояний.

Для достижения этой цели в работе решались следующие задачи:

1 Разработать методику расчета фазовых диаграмм в рамках компьютерной реализации аксиальной модели Изинга при конечных температурах с учетом метастабильных состояний.

2 В рамках разрабатываемой модели исследовать влияние температуры на вид фазовых диаграмм, провести сравнительный анализ фазовых диаграмм и диаграмм основных состояний для политипов, содержащих до 30 слоев в элементарной ячейке.

3 Рассчитать объемные доли политипных структур для различного спектра плотноупакованных политипов в рамках перколяционного подхода и алгоритма Метрополиса (метод Монте-Карло).

4 Модифицировать перколяционный подход для описания политипных превращений с целью расширения класса рассматриваемых политипов и учета влияния взаимодействия на порог протекания. Рассчитать распределение по толщинам политипов при учете структур ЗС, 2Н, 4Н, 9И, 12Я, 18И,.

Основная идея диссертации. Расширить область применимости аксиальной модели Изинга для рассмотрения фазовых диаграмм новых типов и расширения спектра учитываемых структур в рамках перколяционного подхода путем разработки новых алгоритмов и модификации модели

Методы исследований. Использовались классический алгоритм Метрополиса (метод Монте-Карло), классический метод распределения Гиббса статистической механики, методы теории протекания (перколяции).

Основные результаты

1 Разработанный комплекс алгоритмов и программ для расчета фазовых диаграмм политипных превращений в плотноупакованных кристаллах на основе усовершенствованной компьютерной модели позволяет рассчитывать диаграммы в плоскостях изменения энергетических па-

4

, А <»» '

раметров при конечных температурах и диаграммы напряжение - температура.

2 Алгоритмы и программы для расчета неравновесных политипных превращений дают возможность определять метастабильные структуры и рассчитывать сложные многоступенчатые превращения в плотноупако-ванных кристаллах.

3 Предложенные программы и алгоритмы на основе перколяционно-го подхода позволяют рассчитывать доли структур и функции распределения политипов по толщинам для сложного спектра политипных структур, который характерен для реальных неупорядоченных материалов.

Научная новизна

1 В рамках аксиальной модели Изинга разработаны алгоритмы и методика расчета фазовых диаграмм политипных превращений в плотно-упакованных кристаллах при конечных температурах с учетом метаста-бильных состояний.

2 Путем компьютерного моделирования рассчитаны изотермические сечения фазовых диаграмм для различных температур, а также фазовые диаграммы напряжение - температура для многослойных политипных структур.

3 Рассчитаны объемные доли политипных структур при различных условиях в рамках перколяционного подхода и алгоритма Метрополиса, впервые в рамках перколяционного подхода рассчитаны распределения по толщинам при учете структур 9Я, 12И, 18Л| и влияние межслоевого взаимодействия на порог одномерного протекания.

Значение для теории

Разработан подход, позволяющий строить фазовые диаграммы новых типов для плотноупакованных кристаллов. Впервые рассчитано влияние взаимодействия на порог протекания в применении к политипным превращениям. Показана адекватность предлагаемого подхода д ля описания мар-тенситных превращений и расчета распределения структур по толщинам при учете более широкого спектра политипов, чем ранее. Получены новые результаты в области компьютерного моделирования политипных превращений в плотноупакованных кристаллах, которые вносят вклад в теорию компьютерного конструирования новых материалов.

Значение для практики

Рассчитанные фазовые диаграммы дают теоретическую основу для будущих практических приложений новых материалов с использованием политипных превращений. Разработанные 8 алгоритмов и программ могут быть использованы в дальнейших исследованиях. Предлагаемый подход обеспечивает снижение затрат машинного времени при компьютерных расчётах и уменьшает требования к ресурсам ЭВМ.

*

ч

4

Достоверность полученных результатов обеспечивается использо- 1

ванием в качестве базовой классической модели Изинга, хорошо зарекомендовавшего себя метода статистических испытаний - метода Монте-Карло; применением апробированных и надежных численных алгоритмов и программ, в том числе в рамках теории перколяции (протекания), и подтверждается сопоставлением с данными экспериментальных исследований, а также с результатами, полученными другими авторами. Заметим, что методы Монте-Карло, распределение Гиббса и теория протекания надежно математически обоснованы.

Использование результатов диссертации

Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в учебном процессе для студентов и аспирантов и при создании нового программного обеспечения в Хакасском государственном университете, в Томском государственном университете, Сибирском физико-техническом институте им. акад. В.Д. Кузнецова (г. Томск), Томском государственном архитектурно-строительном университете, Институте физики прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск), Институте металлофизики HAH Украины (г. Киев).

Личный вклад автора состоит в участии в постановке задач, разработке алгоритмов и программ, проведении численных расчетов и анализе результатов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационных исследований докладывались на «Республиканских Катановских чтениях» (2000-2004 гт, г. Абакан), на 4-6 всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем" (2001-2003 гг, г. Красноярск), на международной конференции «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах» (2001, 2003, г. Барнаул), на международной научной-технической конференции «Пленки и слоистые структуры» (26-30.11.2002, г. Москва), на V Всероссийской конференции молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов» (18-22.08.2003, г. Томск).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, из которых: 1 статья в периодических изданиях по списку ВАК, 1 статья в зарубежном журнале, 1 статья в сборнике научных трудов, 2 статьи депонированы в ВИНИТИ, 3 работы в трудах международных научно-технических конференций, 6 работ в трудах Всероссийских научно-технических конференций.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из 4 разделов, содержит основной текст на 102 е., 23 иллюстрации, список использованных источников из 103 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении отражена актуальность темы исследования, сформулированы научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, приведены защищаемые положения.

В разделе 1 представлен обзор современных данных о политипизме, моделях и методах его исследования. Сформулированы вопросы физики политипных превращений: обоснование стабильности политипных фаз (в том числе многослойных структур). Также анализируется применение модели Изинга и методов Монте-Карло к описанию политипных превращений. Дано определение аксиальной модели Изинга, которая может быть применена к слоистым плотноупакованным кристаллам, имеющим анизотропию межатомных взаимодействий. Для описания плотнейших упаковок используются классические обозначения А, В, С и обозначения Рамсделла. В классическом обозначении каждая из букв А, В и С обозначает плотно-упакованные слои атомов, которые геометрически и структурно эквивалентны, но отличаются друг от друга только своим положением относительно исходного слоя А, выбранного за начальный. Каждый слой может быть расположен на предыдущем лишь двумя способами: либо занять пустоты типа В, либо пустоты типа С (рисунок 1). При таком обозначении любая плотноупакованная структура однозначно описывается последовательностью слоев. Каждый слой считается единым целым.

В обозначениях Рамсделла, которые используются далее, для описания структуры с плотнейшей упаковкой применяется цифра - число плотноупакованных слоев X в элементарной ячейке, и буква С, Н, к, или Т, указывающая тип (симметрию) решетки (АД - структура с X слоями в элементарной ячейке ромбоэдрической симметрии, Х.Т - Х-слойная решетка с тетрагональной симметрией). Для обозначения структур с одинаковыми типами решеток, а также одинаковыми периодами идентичности, добавляют подстрочный индекс 1, 2,3 и т.д. (например, 18К|).

Плотноупакованны й кристалл можно описать в рамках одномерной модели решеточного газа с числами заполнения п, = 1 (есть «атом» в узле решеточного газа) и п, = 0 (нет «атома» в узле). В реальном кристалле числа заполнения трактуются следующим образом: п,- 1 -сдвиг соседних слоев в положительном направ-

лении - укладки AB, ВС, CA, п,= 0- сдвиг соседних слоев в отрицательном направлении - укладки АС, СВ, В А. Таким образом, любую плотно-упакованную структуру можно представить последовательностью нулей и единиц. Например, гранецентрированная кубическая структура (ГЦК структура) имеет последовательность слоев ...АВСАВС..., которой будет соответствовать блок решеточного газа «...11111...» или «...00000...» -двойниковые модификации ГЦК; гексагональную плотноупакованную структуру (ГПУ структура), имеющую последовательность слоев ...АВАВАВ..., можно представить как «...10101...» и т.д. Двойниковые модификации структур будем обозначать штрихом «/» (например, ЗС7 -двойниковая модификация структуры ЗС).

Блок из N+1 атомных плоскостей модельного кристалла соответствует решеточному газу на N узлах. Система имеет 2 конфигураций, каждая из которых соответствует некоторому типу укладки плоскостей в реальном кристалле с периодом X, измеренным в межслоевых расстояниях: "к= 2 - для 2Н-решетки, Х=3 - для ЗС-решетки, h=A - для структуры 4Н и т.д.

Энергия модельных плотноупакованных политипов Е рассчитывается по формуле

£ N N-1 N-2 N-3

Е = = о£п, + £пд+| +¿2 л,п|+2 Хи.'и«+э + VnAH , (1) (0\ ;=i 1=1 1=1 ¿=1

Е - энергия модели, Е0 - энергия кристалла, щi - энергетический параметр взаимодействия ближайших соседей, а - внешнее сдвиговое напряжение, A2-(02/(0i -относительный энергетический параметр взаимодействия вторых соседей, А3=са/(о, - относительный энергетический параметр взаимодействия третьих соседей, V - относительный энергетический параметр, влияющий на стабильность структуры 4Н, п4И - число блоков структуры 4Н (1100, 0110, 0011, 1001). В качестве граничных условий выбраны «свободные поверхности», то есть оборванные связи на границах модельного решеточного газа.

В рамках модели Изинга метод Монте-Карло (МК) реализуется следующим образом. Задается начальная конфигурация. Алгоритм Метро-полиса состоит в выборе вероятностей перехода из одного состояния в другое, отличающееся состоянием только одного узла, конфигурации на остальных узлах остаются фиксированными

—ехр(-если АЕ > 0, N в (2)

—, если АЕ < 0,

N

Р(п, ->/г/) =

к Т

где ДЕ - разность энергий новой и старой конфигураций, 0 = к - от-

Щ

носительная температура. После этого сгенерированное случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0;1], сравнивается с вероятностью перехода. Если она больше случайного числа, переход к новой конфигурации принимается, в противном случае сохраняется старая конфигурация. Этим заканчивается один шаг МК.

По типу упорядочения политипы можно разделить на два вида: упорядоченные с отчетливо выраженной повторяемостью блоков, то есть с периодом, одинаковым по всему кристаллу, и неупорядоченные, характеризующиеся тем, что блоки различной толщины располагаются случайным образом без определенной периодичности, причем одновременно может наблюдаться несколько структур, представленных блоками различной толщины. Неупорядоченные политипы также называют одномерно разу-порядоченными состояниями (ОРС). Так как при одномерном разупорядо-чении плотноупакованные слои перетасованы случайно, то естественно использовать перколяционный подход, при котором одномерная модельная решетка заполняется «атомами» (единицами) случайным образом.

Теория перколяции (протекания) в настоящее время является обширной областью компьютерного моделирования и ряд ее задач не связан с протеканием в прямом смысле.

Рассмотрим одномерную регулярную решетку конечного размера N = Ц где Ь - длина решетки из N узлов. Узлы заполнены некоторыми объектами («атомами») с вероятностью р. Это - модель одномерного решеточного газа, которая описывается числами заполнения 0 или I: единица (нуль) соответствует состоянию узла, в котором есть (нет) атом. Решетка заполняется нулями и единицами многократно с помощью генератора случайных чисел. Взаимодействие атомов при стандартной постановке задачи не учитывается. При таком подходе удается рассчитать объемные доли политипных структур и распределения по толщинам, которые измеряются экспериментально. Получено качественное согласие с экспериментом.

Раздел 2 посвящен оригинальному исследованию политипных превращений в плотноупакованных кристаллах в рамках обобщенной модели Изинга. Разработан комплекс алгоритмов и программ, который позволяет рассчитывать фазовые диаграммы политипных превращений при отличных от нуля температурах с учетом метастабильных состояний с анализом периодов идентичности структур и их симметрии. Проведен сравнительный анализ диаграмм основных состояний (ДОС) и фазовых диаграмм, который позволил определить влияние температуры на серии политипных превращений и области метастабильных структур.

В рамках данной модели возможно построение диаграммы основных состояний (ДОС) - диаграмм стабильности фаз в пространстве энергетических параметров при температуре абсолютного нуля (рисунок 2). При этом под стабильной фазой понимается политип, имеющий наименьшую энергию при абсолютном нуле. Учитываются все возможные политипы в рамках рассматриваемого блока. Основным состоянием считается структура, энергия которой в данной области изменения энергетических параметров имеет наименьшее значение по сравнению с другими возможными структурами (политипами). Рассматривается плоскость энергетических параметров, по одной оси которой отложена характеристика внешнего поля а, по другой - некоторый параметр А2, А3 или V. Эта плоскость разбивается на области, в которых стабилен или какой-то политип, или смесь политипов при температуре абсолютного нуля. При изменении внешнего поля в модели происходят политипные переходы, так как изображающая точка на ДОС пересекает линию границы стабильности фаз. Возможны переходы при изменении концентрации компонент сплава, при легировании, это соответствует изменению какого-либо параметра А2, А3, V. ДОС - частный случай фазовых диаграмм, относящихся к равновесным состояниям, однако ДОС не учитывают ряд особенностей по-литипных превращений: температуру, наличие потенциальных барьеров, направление процесса, метастабильные состояния.

Для учета таких особенностей построена модель, описывающая фазовые диаграммы при температуре больше нуля. Разработан следующий алгоритм. Моделируется процесс, при котором внешнее сдвиговое напряжение изменяется (увеличивается либо уменьшается) через определенное количество шагов Монте-Карло на узел (птсв). После птсв шагов запоминается реализованная структура. Процесс повторяется многократно, в результате чего в каждой точке диаграммы получается набор структур, среди которых и выбирается структура, реализованная чаще других, она и будет стабильна (или метастабильна) в данной точке диаграммы. Заметим, что в методе Монте-Карло решающее значение, особенно при низких температурах, имеет выбор начальной конфигурации, поэтому в качестве начальной конфигурации выбиралась структура стабильная на диаграмме основных состояний, при данном (начальном) значении внешнего напряжения. Интерпретация блоков решеточного газа проводится следующим образом. Во-первых, считаем, что все реализующиеся на фазовых диаграммах структуры являются бездефектными, во-вторых, из политипа рассматриваем транслируемую часть длиной Ь < N. то есть периодическую часть одномерной структуры, записанную через числа заполнения решеточного газа. Чтобы найти период реального кристалла X, необходимо перейти к классическому обозначению через А, В, С. При

этом возможны два случая: X = Ь для решеток с тетрагональной и гексагональной симметриями, X = ЗЬ для ромбоэдрических структур.

Алгоритм расчета изотермических фазовых диаграмм

1 Задать начальные параметры а, Л г, постоянные параметры N. Аз, V, в, птсв, О,, пределы и шаг изменения параметров.

2 Задать начальную конфигурацию (стабильную на ДОС при этих параметрах).

3 Проделать nm.cs шагов Монте-Карло на узел.

3.1 Вычислить энергию конфигурации Е/, по формуле (I).

3.2 Выбрать случайным образом узел решетки и изменить состояние на нем.

3.3 Вычислить энергию новой конфигурации Е2, найти разность энергий АЕ=Е2-Е/.

3.4 Используя функцию Метрополиса (2), найти вероятность перехода Р(п,-п,/).

3.5 Генерировать случайное число Л, равномерно распределенное на отрезке Ие[0;1].

3.6 Если Р<Н, то принять новую конфигурацию, иначе сохранить старую.

3.7 Повторить пункты 3.1.-3.6. птс$ раз.

4 Запомнить последнюю реализовавшуюся политипную структуру и занести ее в одномерный массив №1.

5 Повторить пункты 2-4 нужное количество раз (О).

6 Из всех структур массива №1 выбрать реализующуюся чаще других и занести ее в двумерный массив №2 и сопоставить ее точке на фазовой диаграмме.

7 Изменить значение параметра а, с некоторым шагом Л а.

8 Повторять пункты 3-6, пока ц не достигнет предельного значения (а е[-5;51).

9 Изменить А2, повторить 2-7, пока А2 не достигнет предельного значения (А2е[-5;5]).

Возможно моделирование двух видов процессов: при первом внешнее сдвиговое напряжение увеличивается, при втором уменьшается. Назовем такие процессы соответственно прямыми и обратными (рисунок 2, б и рисунок 3). В результате моделирования было обнаружено, что вид фазовых диаграмм и ДОС при низких температурах почти всегда совпадает, за исключением некоторых политипных превращений, для которых характерным будет наличие потенциальных барьеров.

При низких температурах фазовые диаграммы при прямом и обратном превращениях имеют различный вид, и значительное место на них занимают области метастабильных состояний. При высоких температурах увеличиваются области стабильности некоторых политипов, на гра-

нице фаз появляются дополнительные области стабильности, это, как правило, либо смесь политипов соседних областей, либо один из них, но с дефектом упаковки (рисунок 3 а, б).

Были построены фазовые диаграммы другого типа. По осям диаграммы откладывались внешнее сдвиговое напряжение и температура, другие параметры считаем постоянными. На фазовых диаграммах показан один и тот же процесс при различных температурах (рисунок 4).

При низкой температуре одна из двойниковых модификаций ЗС (из всех нулей) находится в метастабильном состоянии. Фаза 2Н при низких температурах находится в метастабильном состоянии. Ширина области стабильности фазы 2Н на фазовой диаграмме равна ширине на ДОС только при низких температурах (ниже 9=0,1). Следовательно, если переход происходит при высоких температурах, то стабильность фазы 2Н увеличивается.

Рисунок 2 - Диаграмма основных состояний (а) и фазовая диаграмма (б), N=6, о),>0, А3=0, У=0, (а) - 6=0; (б) - 6=0,1.

Стрелкой показано направление процесса.

Таким образом, фазовые диаграммы напряжение - температура позволяют проследить влияние температуры процесса на серии политипных превращений, последовательности стабильных структур, определять области метастабильных и дефектных структур.

В разделе 3 рассмотрены кинетические особенности политипных превращений в плотноупакованных кристаллах. Рассчитаны вероятности реализации политипных структур как для равновесных, так и для неравновесных процессов. Рассчитана конфигурационная энтропия как функция внешнего поля. Рассмотрено политипное ГЦК - ГПУ превращение, рассчитаны объемные доли структур. Проведено сравнение с экспериментом.

зс

2Г ЗС"

✓Г ж^-.—-

и « и м V «4 0,1 0» » 1

911111111

зс

б)

Рисунок 4 - Фазовые диаграммы напряжение - температура, N=8, Ш|>0, А3=0, У=0, (а) - А2=-5, (б) - А2=-1. Стрелкой показано направление процесса.

Методика определения вероятностей реализации заключается в следующем: при данном наборе энергетических параметров проделывается определенное количество шагов Монте-Карло на узел (пшсв), на последнем шаге берется получившаяся конфигурация (и она впоследствии станет начальной для нового набора параметров). Процедура повторяется многократно. Затем изменяем значение интересующего нас параметра и опять проделываем пшсб шагов. Таким образом, при каждом наборе энергетических параметров получаем набор структур. По этому набору можно определить вероятность реализации любой структуры как отношение количества данной структуры в наборе к полному числу структур (классическое определение вероятности). Усреднение проводится по многократному повторению одного и того же процесса (рисунок 5).

Мартенситное превращение ш (ГЦК-ГПУ) является классическим примером мартенситного превращения, которое наблюдается во многих веществах, например в кобальте, в железо-марганцевых сталях (Ре-21%М) и в фуллеренах, причем доля мартенситной фазы измеряется экспериментально. В рамках нашего подхода построена компьютерная мо-

дель данного превращения. На рисунке 6 представлен процесс охлаждения ансамбля кристаллических блоков системы, находящейся в области стабильности структуры ЗС. Параметры в модельном гамильтониане выбирались близкими к линии равновесия структур ГЦК и ГПУ на ДОС, однако минимальную энергию имела ГЦК-решетка. Чистота сплава моделируется различными значениями энергетических параметров, в данном случае различно значение внешнего напряжения а. Заметим, что модельное напряжение а определяется не только реальным напряжением, но и вкладом других факторов, в частности легированием.

В компьютерном расчете в процессе охлаждения, начиная с некоторой температуры, доля ГЦК-структуры замораживается и остается постоянной до конца процесса, а доля ГПУ-структуры увеличивается за счет остальных структур, это соответствует особенностям мартенситного превращения. Получена зависимость доли мартенситной фазы (ГПУ) от температуры, качественно согласующаяся с экспериментальной зависимостью. Для данного случая рассчитано количество дефектных структур. Показано, что для данного превращения доля дефектных структур не превышает 5%, и при низких температурах обращается в ноль. Начиная с температуры 0<О,25, превращение прекращается и высокотемпературная ГЦК фаза существует в метастабильном состоянии.

Рисунок 5 - Зависимость вероятностей стабильности структур от внешнего сдвигового напряжения, (а) - 9=0,1, (б) - 0=0,3; N=10, са,>0, А3 =1, У=-1, птсвНОО. Стрелкой показано направление процесса.

В разделе 4 в рамках перколяционного подхода рассчитаны объемные доли структур (ЗС, 2Н, 4Н, 1211, 18Я,) при политипных превращениях. Рассчитано распределение по толщинам участков с различными типами укладки атомных плоскостей (ЗС, 2Н, 4Н, 9Ы, 12Я, 18Я,). Изучены влияние внешнего сдвигового напряжения и взаимодействие первых и вторых соседей в модельном решеточном газе на значение перколяционного порога.

14

Доля превращения 1.0,

Доля превращения

Рисунок 6 - Ход р~>а (ГЦК-ГПУ) превращения в образцах кобальта различной чистоты (кривые 1, 2,3). (а) по данным Мирзаева Д.А., Счастливцева В.М. и др.; (б) расчет по методу Монте-Карло N=12, м,>0, А2=-5, А3=0, У=0.

Кривая (I) -о=-3,6, (2) о=-3,9, (3) о=-4,2

Моделируется одномерное разупорядочение без учета взаимодействия, существует один управляющий параметр р - доля целых узлов (единиц) в решетке. Каждый узел решетки заполнялся единицами с вероятностью р (нулями - с вероятностью (1-р)). Конфигурации генерируются многократно. По всем генерируемым конфигурациям проводится усреднение. В рамках данного подхода были рассчитаны объемные доли участков с укладками кристаллических структур 1811,, 1211, 9Я, ЗС, 4Н, 2Н в зависимости от доли целых узлов р (рисунок 7).

о * ал о а о.«

•0,5 " " " И' а) и " " " "0,5........ 1" б)

Рисунок 7 - Зависимость долей структур 18К|, 12Я, 9Я+9Я',4Н, ЗС (ГЦК), 2Н (ПТУ) от доли единиц р. Доли определяются в следующей последовательности (а) 12Я-4Н-9к+9Я'-2Н-ЗС, (б) 181*|-12К-4Н-1211-91и91г'-2Н-ЗС

Таким образом, при учете более длиннопериодичееких структур доля структур с коротким периодом уменьшается, если добавляемая структура в

своем периоде содержит уже имеющиеся структуры. Заметим, что результаты расчетов сильно зависят от набора учитываемых структур. Такая же ситуация имеет место и при обработке экспериментальных данных.

В рамках данного подхода произведен расчет функций распределения блоков по толщинам с различной укладкой атомных плоскостей, которые измеряются экспериментально. Толщина блока измеряется количеством плотноупакованных плоскостей данной структуры. Рассматривались цепочки длиной 200 узлов, что соответствует кристаллу из 201 плотноупакованной плоскости. Было рассчитано распределение по толщинам участков с укладками атомных слоев 181*1, 12Я, 4Н, 91*., 2Н, ЗС (рисунок 8). Разработан следующий алгоритм.

Алгоритм расчета распределений по толщинам при перколяционном подходе

1 Задать начальные параметры и пределы изменения параметров.

2 Задать список структур и последовательность их поиска.

3 Сформировать конфигурацию при данном р, занести в массив №1.

4 Определить распределения по толщинам всех структур в конфигурации.

4.1 Структуру из массива №1, разбить на блоки структур, учитывая набор структур и последовательность поиска.

4.2 Определить толщину каждого блока структуры.

4.3 Занести полученное распределение по толщинам в массив №2.

5 Изменить значение р с некоторым шагом.

6 Повторить пункты 3-5, пока р не достигнет предельного значения.

7 Усреднить доли структур по необходимому количеству опытов.

при последовательности поиска 4Н-9Я-2Н-ЗС, (а) - р=0,1 (б) - р=0,5, N=200,0=1000

Показано, что: а) вид функций распределения существенно зависит от набора рассматриваемых структур и при добавлении новых функции распределения по толщинам изменяются; б) для всех рассматриваемых структур возможны случаи немонотонности функций распределения по толщинам, отмечаются максимумы на различных толщинах.

Приведем перечень разработанных автором алгоритмов / Алгоритм расчета фазовой диаграммы при постоянной температуре.

2 Алгоритм расчета фазовой диаграммы напряжение - температура.

3 Алгоритм расчета вероятностей реализации политипных структур.

4 Алгоритм расчета энтропии для политипных превращений.

5 Алгоритм расчета долей политипных структур в плотноупакованных кристаллах методом Метрополией (вариант метода Монте-Карло).

6 Алгоритм расчета долей политипов при перколяционном подходе.

7 Алгоритм расчета распределений по толщинам политипных кристаллов при перколяционном подходе.

8 Алгоритм расчета влияния взаимодействия на порог одномерного протекания.

Заключение

1 Разработаны алгоритмы и методика построения и интерпретации фазовых диаграмм при конечных температурах с учетом метастабильных состояний для плотноупакованных кристаллов в рамках модели Изинга конечного размера. Произведен расчет фазовых диаграмм, при постоянной температуре и фазовых диаграмм напряжение - температура.

2 Исследовано влияние температуры на стабильность реализующихся структур и последовательности политипных переходов. Компьютерный анализ показывает, что вид фазовых диаграмм зависит от направления процесса. При низких температурах фазовые диаграммы при прямом и обратном превращениях имеют различный вид, и значительное место на них занимают области долгоживущих метастабильных состояний.

3 В рамках усовершенствованной компьютерной модели рассчитаны вероятности реализации политипных структур (для широкого спектра реализующихся структур) при различных температурах как для равновесных процессов, так и для неравновесных. Найдены возможные мета-стабильные состояния в плотноупакованных кристаллах при низких температурах. Показано, что максимумы энтропии расположены на линиях фазовых переходов на фазовой диаграмме.

4 Разработана компьютерная модель мартенситного превращения ГЦК - ГПУ при уменьшении температуры, получена мартенситная кривая, качественно согласующаяся с экспериментальными данными.

5 В рамках перколяционного подхода рассчитаны доли плотноупакованных структур выше и ниже перколяционного порога. Показано, что в

модели реализуется политипиое превращение ЗС-4Н-2Н, наблюдаемое экспериментально. Рассчитано распределение по толщинам структуры 2Н, которое является немонотонным и качественно согласуется с экспериментальными данными. Показано, что при учете взаимодействия между атомами решеточного газа можно как увеличивать, так и уменьшать значения перколяционного порога, достигая предельно возможных значений. Впервые рассчитано влияние межслоевого взаимодействия на порог протекания.

Автор выражает искрению признательность профессору А. И. Поте-каеву и доценту А. А. Попову за содействие и помощь в работе.

Публикации автора по теме диссертации

1 Байдышев, B.C. Фазовые диаграммы политипных превращений в плотноупакованных кристаллах с учетом метастабильных состояний / B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, A.A. Попов, А.И. Потекаев // Изв. вузов. Физика. - 2003. - № 12 . - С. 42-46.

2 Байдышев, B.C. Равновесные и неравновесные свойства политипов в рамках аксиальной модели Изинга / B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, A.A. Попов, А.И. Потекаев // Вестник Хакасского госуниверситета. Серия 9. Математика. Физика. - Вып. 1. - 2004. - С. 104-107.

3 Байдышев, B.C. Фазовые диаграммы напряжение - температура в рамках аксиальной модели Изинга/ B.C. Байдышев, В.Н. Удодов II Журнал проблем эволюции открытых систем. - 2004. - Т. 1, № 6. - С. 61-66.

4 Байдышев, B.C. Влияние температуры на стабильность политипных фаз в плотноупакованных кристаллах / B.C. Байдышев, В.Н. Удодов,

A.A. Попов, А.И. Потекаев // Пленки и слоистые структуры: сб. материалов международной науч.-тех. конференции (26-30.11.2002, г. Москва). -Москва: Изд-во Московского гос. института радиотехники, электроники и автоматики тех. ун-та, 2003. - С. 133-134.

5 Байдышев, В. С. Статистическая теория метастабильных фазовых диаграмм политипных превращений в плотноупакованных кристаллах /

B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, A.A. Попов, А.И. Потекаев; Ред. журн. «Изв. вузов. Физика». - Томск, 2005. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.04.05, № 562-В2005.

6 Байдышев, В. С. Политипные превращения в плотноупакованных кристаллах в рамках перколяционного подхода / B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, А.И. Потекаев; Ред. журн. «Изв. вузов. Физика». - Томск, 2005. -15 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.04.05, № 561-В2005.

7 Байдышев, B.C. Одномерно разупорядоченные состояния в плотноупакованных структурах в рамках перколяционного подхода / B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, А.И. Потекаев // Эволюция дефектных структур в конденсированных средах: сб. материалов международной школы семи-

нара (19-23.11.2001, г. Барнаул). - Барнаул: Изд-во Алтайского гос. тех. ун-та, 2001.-С. 182-184.

8 Байдышев, B.C. Квазиодномерная модель мартенситного превращения ГЦК-ГПУ / B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, A.A. Попов, А.И. По-текаев // Эволюция дефектных структур в конденсированных средах: тезисы докладов международной школы-семинара (25-29.07.2003, г. Барнаул). - Барнаул: Изд-во Алтайского гос. тех. ун-та, 2003. - С. 24.

9 Байдышев, B.C. Моделирование мартенситного превращения ГЦК-ГПУ в рамках обобщенной модели Изинга / B.C. Байдышев, A.A. Попов, В.Н. Удодов, А. И. Потекаев // Физическая мезомеханика материалов: сб. материалов V всероссийской конференции молодых ученых (1822.08.2003, г. Томск). - Томск: Изд-во Института физики прочности и материаловедения СО РАН, 2003. - С. 50.

10 Байдышев, В. С. Моделирование одномерно разупорядоченных состояний в плотноупакованных структурах в сплавах на основе кобальта /

B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, А.И. Потекаев // Моделирование неравновесных систем 2001: сб. материалов всероссийского семинара (12-14.10.2001, г. Красноярск). - Красноярск: Изд-во Красноярского гос. тех. ун-та, 2001. -

C. 3-4.

11 Байдышев, В. С. Влияние температуры на неравновесное двой-никование в ГЦК решетке через промежуточную структуру (ЗС-2Н-ЗС) в плотноупакованных кристаллах / B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, A.A. Попов, А. И. Потекаев // Моделирование неравновесных систем 2002: сб. материалов всероссийского семинара (18-20.10.2002, г. Красноярск). -Красноярск: Изд-во Красноярского гос. тех. ун-та, 2002. - С. 10-11.

12 Байдышев, В. С. Политипные превращения в плотноупакованных структурах в рамках перколяционного подхода с учетом взаимодействия / B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, A.A. Попов, А.И. Потекаев II Моделирование неравновесных систем 2002: сб. материалов всероссийского семинара (18-20.10.2002, г. Красноярск). - Красноярск: Изд-во Красноярского гос. тех. ун-та, 2002. - С. 12.

13 Байдышев, B.C. Моделирование неравновесных политипных превращений в плотноупакованных кристаллах I B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, A.A. Попов, А.И. Потекаев // Моделирование неравновесных систем 2003: сб. материалов всероссийского семинара (24-26.10.2003, г. Красноярск). - Красноярск: Изд-во Красноярского гос. тех. ун-та, 2003. - С. 10-11.

14 Байдышев, В. С. Влияние взаимодействия и температуры на порог одномерного протекания / B.C. Байдышев, В.Н. Удодов, А.И. Потекаев // Моделирование неравновесных систем 2003: сб. материалов всероссийского семинара (24-26.10.2003, г. Красноярск). - Красноярск: Изд-во Красноярского гос. тех. ун-та, 2003. - С. 12.

Э15593

:лс' ев,

Потекаев // Моделирование неравновесных систем 1

15 Байдышев, B.C. Превращения в многослс^-д ^ ^ * рамках перколяционного подхода / B.C. Байдышев, ZUU0"4

всероссийского семинара (14-16.10.2003, г. Красноя 13223 Изд-во Красноярского гос. тех. ун-та, 2005. - в печат1

16 Байдышев, B.C. Влияние температуры на чаиильншль поли-типных фаз в плотноупакованных кристаллах / B.C. Байдышев, А.И. Потекаев // Молодые ученые - 2005: сб. трудов III международной науч.-тех. конференции «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию в электронике» (26-30.09.2005, г. Москва). - Москва: Изд-во Московского гос. института радиотехники, электроники и автоматики тех. ун-та, 2005. - в печати.

Байдышев Виктор Сергеевич Моделирование политипных превращений в плотноупакованных кристаллах методами Монте-Карло Автореф. дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-магг. наук. Подписано в печать 01.09.2005. Заказ X» 140. Формат 60x84 1/16 Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии Хакасского государственного университета им. Н.Ф. Катанова 655017, г. Абакан, пр. Ленина, 94

Введение.

1 Проблема политипных превращений в плотноупакованных кристаллах.

1.1 Актуальные вопросы политипных превращений в плотноупакованных кристаллах.

1.2 Модель Изинга и ее применение к описанию политипных превращений.

1.3 Моделирование политипных превращений методом Монте-Карло.

1.4 Возможности перколяционных моделей для описания политипных превращений.

Выводы по разделу 1.

2 Фазовые диаграммы политипных превращений при изменении внешнего поля и температуры.

2.1 Модель Изинга политипных превращений в плотноупакованных кристаллах

2.2 Разработанные алгоритмы и некоторые программы для исследования политипных превращений в плотноупакованных кристаллах.

2.3 Фазовые диаграммы политипных превращений в поле внешних напряжений при постоянной температуре с учетом метастабильных состояний.

2.4 Фазовые диаграммы политипных превращений напряжение - температура.

Выводы по разделу 2.

3 Кинетические особенности политипных превращений в плотноупакованных кристаллах.

3.1 Вероятности реализации политипных структур.

3.2 Расчет конфигурационной энтропии при политипных превращениях.

3.3 Компьютерная модель политипного превращения ГЦК-ГПУ. Сравнение с экспериментом.

Выводы по разделу 3.

4 Перколяционный подход к описанию политипных превращений.

4.1 Доли структур при политипных превращениях в рамках перколяционного подхода.

4.2 Распределение по толщинам для структур 2Н, ЗС, 9R, 4Н, 18Ri в рамках перколяционного подхода.

4.3 Влияние внешнего напряжения и взаимодействия вторых соседей в модельном решеточном газе на значения порога перколяции.

Выводы по разделу 4.

Проблема математического и компьютерного моделирования фазовых превращений в твердых телах является одной из важных проблем теории моделирования. Прогресс в решении этой проблемы позволит продвинуться в создании теории компьютерного конструирования принципиально новых материалов. Наиболее разнообразны фазовые переходы в кристаллах [1-6]. В кристаллах распространенно явление полиморфизма - способность одного и того же вещества кристаллизоваться в различных структурных формах, которые называются полиморфными модификациями [7]. Проблема полиморфных превращений представляет большой интерес, и достаточно интенсивно изучается [5, 8-10]. Политипизм - это частный случай явления полиморфизма в одном направлении [7]. Огромное количество политипных модификаций являются плотноупакованными [11], поэтому моделирование политипных превращений в плотноупакованных кристаллах является весьма актуальной задачей.

Особый интерес проблема политипных превращений приобретает для ультрамелкодисперсных веществ и наноматериалов, в частности, в связи с практическими приложениями [5, 12-14]. Методы моделирования наноматериалов интенсивно развиваются, так как фундаментальная теория отсутствует.

Политипные структуры представляют собой структуры наномасштаба, так как период повторяемости для них составляет от нескольких единиц до десятков и сотен плотноупакованных атомных слоев.

Ультрамелкодисперсные материалы часто представляют собой совокупность сравнительно слабо взаимодействующих кристаллических и аморфных частиц. Процессы в малых кристаллах вызывают особый интерес, так как классические методы моделирования к ним неприменимы, и необходимо использование новых или обобщенных подходов [15].

Впервые политипизм был обнаружен в 1912 году в монокристаллах SiC [7]. К настоящему времени накоплен обширный материал о явлении политипизма в твердых телах различных классов и возможных механизмах его реализации [7, 11, 16]. Физическая природа этого явления вызывает большой интерес как фундаментальное свойство кристаллических твердых тел.

Многочисленные экспериментальные данные показали, что политипизм широко распространен и проявляется во многих веществах: в полупроводниковых, молекулярных кристаллах, в минералах [7], в металлических сплавах [17, 18], интерметаллидах, керамиках, органических веществах, причем обнаружен при изучении многих веществ: монокристаллов, пленок, порошков, поликристаллических и наноматериалов, органических веществ.

В металлических материалах политипные структуры могут образовываться как при равновесных условиях - при диффузионном отжиге в области высоких температур или при кристаллизации из расплава, так и при бездиффузионных мартенситных превращениях [11].

Имеющийся в настоящее время теоретический и экспериментальный материал по политипизму свидетельствует о том, что единого механизма политипообразования не существует, и это явление может определяться множеством факторов. Основное в понимании сущности политипообразования -это механизм их упорядоченного возникновения, то есть знание того, какие факторы и свойства кристаллической решетки ответственны за этот процесс.

Для объяснения стабильности политипных структур использовались различные подходы: феноменологический подход [19-21], метод псевдопотенциала [22], различные эмпирические концепций, включающие разнообразные факторы, влияющие на стабильность фаз [21].

Термодинамические модели политипизма [23] позволяют определить лишь необходимые, но не достаточные условия для реализации фазовых превращений. Это обусловлено тем, что данные условия относятся к равновесию фаз, описываемых равновесной диаграммой состояния. Между тем, в твердых телах наиболее часто превращения происходят в неравновесных условиях, например, при низких температурах, когда диффузия атомов протекает достаточно медленно или совсем не протекает. В результате чего равновесное состояние в системе не достигается, а образующаяся фаза является метастабильной и при нагреве до более высоких температур или других воздействиях переходит в стабильную фазу. При любом процессе первоначально возникает не наиболее устойчивое состояние с наименьшей свободной энергией, а наименее устойчивое, но наиболее близкое по величине свободной энергии к исходному состоянию [7]. Это значит, что при политипных превращениях между исходным и конечным состоянием существует ряд промежуточных относительно устойчивых состояний, которые сменяют друг друга в процессе снижения свободной энергии [7].

Кристаллическая структура метастабильных фаз может существенно отличаться от структуры равновесных фаз. Она зависит от состояния кристаллической решетки исходной фазы, а также от механизма фазового перехода. Явления, связанные с возникновением метастабильных состояний, не могут быть объяснены с чисто термодинамических позиций, они связаны с величинами энергетических барьеров, препятствующих указанным переходам. Поэтому для объяснения политипизма необходимо учитывать структурный и кинетический аспекты превращений.

В последние годы многообразие политипных структур и их устойчивость в кристаллических твердых телах, довольно часто, рассматривается на основе модельного описания, учитывающего конкурентный характер взаимодействия между политипными слоями, различные варианты упаковки которых и определяют политипообразование. Одной из распространенных моделей является модель Изинга [24]. Во-первых, она самая простая модель, в которой происходит фазовый переход, во-вторых, имеет множество модификаций (магнетик, бинарный сплав, решеточный газ), в-третьих, для одномерного и двумерного случая допускает строгий математический анализ. Модель Изинга и ее модификации могут быть применены к слоистым плотноупакованным кристаллам, основные ее положения состоят в следующем: а) политипы рассматриваются как серии различных вариантов упаковки структурных единиц (слоев); б) политипообразование и устойчивость политипов являются следствием изменения эффективной энергии взаимодействия между структурными единицами; в) эффективная энергия является функцией температуры, химического состава среды [11].

Данная работа развивает подход [25-28], в котором рассматриваются кристаллы малого размера, и имеет ряд преимуществ перед традиционным подходом, а именно: удается рассматривать как равновесные, так и неравновесные превращения, исследовать метастабильные состояния; получать набор большого количества экспериментально наблюдаемых политипных структур; в рамках аксиальной модели Изинга возможен учет дальних и многочастичных взаимодействий. Анализ модели проводится математически строго без приближений при конечных температурах.

За последние десятилетия в различных областях теоретических исследований широко используются методы машинного моделирования [1, 29, 30]. Наиболее распространенные из них это метод молекулярной динамики, вариационный метод и метод Монте-Карло [30-32], или метод статистических испытаний. Выбор того или иного метода исследования зависит от рассматриваемой задачи. Модель Изинга довольно часто исследуется методами Монге-Карло (МК)[31,33].

Обоснованность применения метода МК к исследованию политипных превращений в рамках аксиальной модели Изинга, заключается в том, что, во-первых, в методе МК заложена зависимость вероятности перехода от температуры, это позволяет учитывать влияние температуры на серии реализующихся в модели политипных превращений, во-вторых, возможен учет энергетических барьеров (разность энергий новой и старой конфигурации), которые свойственны для политипных превращений, что позволяет исследовать метастабильные состояния.

Многие из перечисленных выше задач сводятся к проблеме построения фазовых диаграмм как равновесных, так и с учетом метастабильных состояний. Проблема экспериментального и теоретического построения фазовых диаграмм (диаграмм состояний) является одной из центральных проблем физики твердого тела и теории компьютерного моделирования поведения материалов [33-35]. Обычно под фазовой диаграммой понимается графическое отображение соотношения термодинамических параметров фаз, находящихся в равновесии при определенных условиях [36]. В качестве таких параметров могут рассматриваться общее давление в системе, мольный объем, температура, химические потенциалы компонентов. Существует множество типов фазовых диаграмм, например диаграммы "температура - состав" (широко распространенные в материаловедении), диаграммы при постоянной температуре в осях "давление -состав". Для твердых тел при сравнительно низких температурах никогда нет полной уверенности, что структуры на экспериментальной фазовой диаграмме находится в истинном термодинамическом равновесии [11]. Аналогичная проблема возникает и при теоретическом построении диаграмм состояний методом Монте-Карло [33]. Для ультрамелкодисперсных систем и наноструктур проблема диаграмм состояний приобретает новые аспекты, так как не всегда ясно однофазным или многофазным является данное состояние. Дело в том, что в классическом определении фазы [37], последняя считается макроскопической. Когда "фазы" перемешаны на микроуровне определение фазы теряет однозначность. Решить эту проблему позволяет расчет функций распределения частиц "фаз" по размерам или расчет функций распределения по толщинам для политипных структур [38].

Ранее в работах [39, 40], было проведено исследование политипных превращений в плотноупакованных кристаллах в рамках аксиальной модели Изинга, причем были построены диаграммы основных состояний (ДОС) -диаграммы стабильности фаз при температуре абсолютного нуля. ДОС - это частный случай изотермических диаграмм состояний. ДОС позволили определить параметры в модельном гамильтониане, отвечающие за стабильность той или иной фазы, а также серии реализующихся политипных превращений при температуре абсолютного нуля [40]. Оказывается, что при изменении внешнего поля в модели происходят политипные переходы, так как изображающая точка на ДОС пересекает линию границы стабильности фаз. Однако ДОС не учитывают ряд особенностей политипных превращений: температуру, при которой происходит процесс, наличие потенциальных барьеров, направление процесса, метастабильные состояния. Учесть такие особенности и построить фазовые диаграммы позволит моделирование методом Монте-Карло при конечных температурах в рамках рассматриваемой модели конечного размера.

Таким образом, целесообразно исследование политипных превращений и проблемы построения фазовых диаграмм для плотноупакованных структур провести в рамках обобщенной модели Изинга конечных размеров, используя методы Монте-Карло (алгоритм Метрополиса и теорию перколяции), что позволит выяснить влияние температуры на фазовые диаграммы с учетом метастабильных состояний, на серии политипных превращений, рассчитать распределение по толщинам для широкого набора политипов и влияние межслоевого взаимодействия на порог протекания.

Основная идея диссертации. Расширить область применимости аксиальной модели Изинга для рассмотрения фазовых диаграмм новых типов и расширения спектра учитываемых структур в рамках перколяционного подхода путем разработки новых алгоритмов и модификации модели.

Цель диссертационной работы - разработка и применение компьютерных моделей, алгоритмов и прикладных программ для исследования политипных превращений в плотноупакованных кристаллах (в том числе превращения ГЦК -ГПУ) в рамках обобщенной модели Изинга конечных размеров методами Монте-Карло (алгоритм Метрополиса и теория перколяции) с учетом метастабильных состояний.

Для достижения этой цели в работе решались следующие задачи:

1 Разработать методику расчета фазовых диаграмм в рамках компьютерной реализации аксиальной модели Изинга при конечных температурах с учетом метастабильных состояний.

2 В рамках разрабатываемой модели исследовать влияние температуры на вид фазовых диаграмм, провести сравнительный анализ фазовых диаграмм и диаграмм основных состояний для политипов, содержащих до 30 слоев в элементарной ячейке.

3 Рассчитать объемные доли политипных структур для различного спектра плотноупакованных политипов в рамках перколяционного подхода и алгоритма Метрополиса (метод Монте-Карло).

4 Модифицировать перколяционный подход для описания политипных превращений с целью расширения класса рассматриваемых политипов и учета влияния взаимодействия на порог протекания. Рассчитать распределение по толщинам политипов при учете структур ЗС, 2Н, 4Н, 9R, 12R, 18Ri.

Методы исследований. Использовались классический алгоритм Метрополиса (метод Монте-Карло), классический метод распределения Гиббса статистической механики, методы теории протекания (перколяции).

Основные результаты 1 Разработанный комплекс алгоритмов и программ для расчета фазовых диаграмм политипных превращений в плотноупакованных кристаллах на основе усовершенствованной компьютерной модели позволяет рассчитывать диаграммы в плоскостях изменения энергетических параметров при конечных температурах и диаграммы напряжение - температура.

2 Алгоритмы и программы для расчета неравновесных политипных превращений дают возможность определять метастабильные структуры и рассчитывать сложные многоступенчатые превращения в плотноупакованных кристаллах.

3 Предложенные программы и алгоритмы на основе перколяционного подхода позволяют рассчитывать доли структур и функции распределения политипов по толщинам для сложного спектра политипных структур, который характерен для реальных неупорядоченных материалов.

Научная новизна

1 В рамках аксиальной модели Изинга разработаны алгоритмы и методика расчета фазовых диаграмм политипных превращений в плотноупакованных кристаллах при конечных температурах с учетом метастабильных состояний.

2 Путем компьютерного моделирования рассчитаны изотермические сечения фазовых диаграмм для различных температур, а также фазовые диаграммы напряжение - температура, для многослойных политипных структур.

3 Рассчитаны объемные доли политипных структур при различных условиях в рамках перколяционного подхода и алгоритма Метрополиса, впервые в рамках перколяционного подхода рассчитаны распределения по толщинам при учете структур 9R, 12R, 18Ri и влияние межслоевого взаимодействия на порог одномерного протекания.

Значение для теории Разработан подход, позволяющий строить фазовые диаграммы новых типов для плотноупакованных кристаллов. Впервые рассчитано влияние взаимодействия на порог протекания в применении к политипным превращениям. Показана адекватность предлагаемого подхода для описания мартенситных превращений и при расчете распределения структур по толщинам при учете более широкого спектра политипов, чем ранее. Получены новые результаты в области компьютерного моделирования политипных превращений в плотноупакованных кристаллах, которые вносят вклад в теорию компьютерного конструирования новых материалов.

Значение для практики

Рассчитанные фазовые диаграммы дают теоретическую основу для будущих практических приложений новых материалов с использованием политипных превращений. Разработанные 8 алгоритмов и программ могут быть использованы в дальнейших исследованиях. Предлагаемый подход обеспечивает снижение затрат машинного времени при компьютерных расчётах и уменьшает требования к ресурсам ЭВМ.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием в качестве базовой классической модели Изинга, хорошо зарекомендовавшего себя метода статистических испытаний - метода Монте-Карло; применением апробированных и надежных численных алгоритмов и программ, в том числе в рамках теории перколяции (протекания), и подтверждается сопоставлением с данными экспериментальных исследований, а также с результатами, полученными другими авторами. Заметим, что методы Монте-Карло, распределение Гиббса и теория протекания надежно математически обоснованы.

Использование результатов диссертации

Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в учебном процессе для студентов и аспирантов Хакасского государственного университета и при создании нового программного обеспечения, в Томском государственном университете, Сибирском физико-техническом институте им. акад. В.Д. Кузнецова (г. Томск), Томском государственном архитектурно-строительном университете, Институте физики прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск), Институте металлофизики НАН Украины (г. Киев).

Личный вклад автора состоит в участии в постановке задач, разработке алгоритмов и программ, проведении численных расчетов и анализе результатов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационных исследований докладывались на "Республиканских Катановских чтениях" (2000— 2004 гт, г. Абакан), на 4—6 всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем" (2001-2003 гг, г. Красноярск), на международной конференции "Эволюция дефектных структур в конденсированных средах" (2001, 2003, г. Барнаул), на международной научной-технической конференции "Пленки и слоистые структуры" (26—30.11.2002, г.Москва), на V Всероссийской конференции молодых ученых "Физическая мезомеханика материалов" (18— 22.08.2003, г. Томск).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, из которых: 1 статья в периодических изданиях по списку ВАК, 1 статья в зарубежном журнале, 1 статья в сборнике научных трудов, 2 статьи депонированы в ВИНИТИ, 3 работы в трудах международных научно-технических конференции, 6 работ в трудах Всероссийских научно-технических конференций.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из 4 разделов, содержит основной текст на 113 е., 23 иллюстрации, список использованных источников из 103 наименований.

В первом разделе на основе проводимого анализа современных данных о политипизме моделях и методах его исследования сформулирован ряд актуальных вопросов физики политипных превращений: обоснование стабильности политипных фаз (в том числе многослойных структур), проблема равновесных и неравновесных политипных превращений. Также, анализируется применение модели Изинга к описанию политипных превращений. Рассмотрен метод компьютерного моделирования Монте-Карло. На основании рассмотренных в этой главе вопросов сформулированы цель и задачи исследования.

Второй раздел посвящена оригинальному исследованию политипных превращений в плотноупакованных кристаллах в рамках обобщенной модели Изинга. Разработаны алгоритмы и программы, которые позволяют рассчитывать фазовые диаграммы политипных превращений при отличных от нуля температурах с учетом метастабильных состояний с анализом периодов идентичности структур и их симметрии. Проведен сравнительный анализ диаграмм основных состояний (ДОС) и фазовых диаграмм, который позволил определить влияние температуры на серии политипных превращений и области метастабильных структур. Показано, что при низких температурах фазовые диаграммы при прямом и обратном превращениях имеют различный вид, причем значительное место на них занимают области метастабильных состояний. При конечных температурах на фазовых диаграммах вблизи границы стабильности некоторых фаз появляются дополнительные области. При увеличении температуры эти дополнительные структуры становятся более стабильными за счет энтропийного фактора.

В третьем разделе рассмотрены кинетические особенности политипных превращений в плотноупакованных кристаллах. Рассчитаны вероятности реализации политипных структур, как для равновесных, так и для неравновесных процессов. Рассчитана конфигурационная энтропия, как функция внешнего поля. Исследовано влияние температуры, скорости процесса на высоту и ширину максимума энтропии. Рассмотрено политипное ГЦК - ГПУ превращение, рассчитаны объемные доли структур. Проведено сравнение с экспериментом.

В четвертом разделе в рамках перколяционного подхода проведено моделирование политипных превращений. Рассчитаны объемные доли структур при политипных превращениях в рамках данного подхода. Рассчитано распределение по толщинам участков с различными типами укладки атомных плоскостей (ЗС, 2Н, 4Н, 9R, 12R, 18Ri). Получено качественное согласие с экспериментом. Изучено влияния взаимодействия и температуры на значение перколяционного порога. Показано, что значение перколяционного порога при учете взаимодействия можно как увеличить, так и уменьшить, достигая почти предельно возможных значений.

Выводы по разделу 4

В данном разделе рассмотрены одномерно разупорядоченные состояния при политипных превращениях в рамках перколяционного подхода. Рассчитана зависимость объемных долей структур I8R1, 12R, 9R, ЗС, 4Н, 2Н, от доли целых узлов. Получены распределения при различных последовательностях поиска структур и количестве рассматриваемых политипов. Показано, что при учете более длиннопериодических структур доля короткопериодных уменьшается, если добавляемая структура в своем периоде содержит уже имеющиеся структуры.

Рассчитано распределение по толщинам для тех же структур. Показано, что функции распределения являются немонотонными, что согласуется с экспериментальными данными.

Учтено влияние внешнего напряжения и взаимодействие вторых соседей в модельном решеточном газе. Показано, что при учете взаимодействия между узлами решеточного газа, можно как увеличивать, так и уменьшать значения перколяционного порога, почти достигая предельно возможных значений.

Заключение

1 Разработаны алгоритмы и методика построения и интерпретации фазовых диаграмм при конечных температурах с учетом метастабильных состояний для плотноупакованных кристаллов в рамках модели Изинга конечного размера. Произведен расчет фазовых диаграмм, при постоянной температуре и фазовых диаграмм напряжение - температура.

2 Исследовано влияние температуры на стабильность реализующихся структур и последовательности политипных переходов. Компьютерный анализ показывает, что вид фазовых диаграмм зависит от направления процесса. При низких температурах фазовые диаграммы при прямом и обратном превращениях имеют различный вид, и значительное место на них занимают области долгоживущих метастабильных состояний.

3 В рамках усовершенствованной компьютерной модели рассчитаны вероятности реализации политипных структур (для широкого спектра реализующихся структур) при различных температурах, как для равновесных процессов, так и для неравновесных. Найдены возможные метастабильные состояния в плотноупакованных кристаллах при низких температурах. Показано, что максимумы энтропии расположены на линиях фазовых переходов на фазовой диаграмме.

4 Разработана компьютерная модель мартенситного превращения ГЦК - ГПУ при уменьшении температуры, получена мартенситная кривая, качественно согласующаяся с экспериментальными данными.

5 В рамках перколяционного подхода рассчитаны доли плотноупакованных структур выше и ниже перколяционного порога. Показано, что в модели реализуется политипное превращение ЗС-4Н-2Н, наблюдаемое экспериментально. Рассчитано распределение по толщинам структуры 2Н, которое является немонотонным и качественно согласуется с экспериментальными данными. Показано, что при учете взаимодействия между атомами решеточного газа можно как увеличивать, так и уменьшать значения перколяционного порога, достигая предельно возможных значений. Впервые рассчитано влияние межслоевого взаимодействия на порог протекания.

Автор выражает искрению признательность профессору А. И. Потекаеву и доценту А. А. Попову за содействие и помощь в работе.

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов Текст. / Под ред. В. Е. Панина Новосибирск: Наука, 1995.-302 с.5

2. Лысак, Л.И. Механизм перехода ГЦК—>ГПУ в сплаве Cu-Si Текст. / Л.И. Лысак, А.И. Устинов // Докл. АН СССР.- 1976.- Т.231, № 2.- С. 339-341.

3. Бродова, И. Г. Новые перспективные материалы и новые технологии Текст. / И. Г. Бродова, А. В. Добромыслов, Н. И. Носкова. -Екатеринбург: УрО РАН, 2001.-212с.

4. Носкова, Н. И. Субмикрокристаллические и нанокристаллические металлы и сплавы Текст. / Н. И. Носкова, Р. Р. Мулюков. -Екатеринбург: УрО РАН, 2003.-279 с.

5. Верма, А. Полиморфизм и политипизм в кристаллах Текст. / А. Верма, П. Кришна; перевод с англ. В. Б. Александрова, В. Е. Тепкина. — М.: Мир, 1969. — 274 с.

6. Олейник, Г.С. Особенности развития диффузионных политипных переходов обратимого типа в карбиде кремния и нитриде алюминия Текст. / Г.С. Олейник, Н.В. Даниленко // Металлофизика и новейшие технологии. 1997.-Т.19, №7.- С.48- 52.

7. Дубровинский, Г.Б. Закономерности образования политипных структур в слоистых дихалькогенидах металлов Текст./ Г.Б. Дубровский // ФТТ 2003-Т.45, №6.- С.1590-1592.

8. Мирзаев, Д.А. Закономерности образования мартенсита в кобальте при понижении температуры Текст./ Д. А. Мирзаев, В. М.Счастливцев, И. JI. Яковлева//ФММ.- 2003.- Т.95 , №4.-С.57-60.

9. Николин, Б.И. Многослойные структуры и политипизм в металлических сплавах Текст. / Б.И. Николин. — Киев: Наукова думка, 1984. — 240 с.

10. Fech, Н. Nanostructure formation by mechanical attrition Text. / H. Fech // Nanostructured Materials. 1995. - V. 1. P. 33-42.

11. Гусев, А. И. Нанокристаллические материалы: методы получения и свойства Текст. / А. И. Гусев. Екатеринбург: УрО РАН, 1998. - 199 с.

12. Андриевский, Р. А. Компактирование ультрадисперсного нитрида титана магнитоимпульсным методом и в условиях деформации сдвигом под давлением Текст. / Р. А. Андриевский, А. Н. Вихрев, В. В. Иванов // ФММ. -1996.Т. 81, вып. 1.С. 137—145.

13. Потекаев, А.И. Естественные длиннопериодические наноструктуры Текст. / А.И. Потекаев [и др.].-Томск: HTJI, 2002.-260с.

14. Олейник, Г.С. Политипизм в неметаллических кристаллах Текст.: препринт ИМФ 94.12 / Г.С. Олейник, О.А. Шевченко, Н.В. Даниленко.- Киев, 1994.-67 с.

15. Лысак, Л.И. Мартенситная фаза с многослойной решеткой Текст. / Л.И. Лысак, Б.И. Николин // Докл. АН СССР.- 1963.- Т.163, №4.- С. 812-815.

16. Nishiyama, S. Electron microscope study of the crystal structure of the martensite in a copper-aluminium alloy Text. / Z. Nishiyama, S. Kajiwara // Jap. J. Appl. Phys-1963.- V.2, N 8.- P. 478-484.

17. Джонсон, Г. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах Текст. / Г. Джонсон,- М.: Мир, 1968.- 264 с.

18. Юм-Розери, В. Структура металлов и сплавов Текст. / В. Юм-Розери, , Г. В. Рейнор.-М.: Металлургия, 1959.-391 с.

19. Устойчивость фаз в металлах и сплавах текст. / Под ред. В. С. Соколова М.: Мир, 1970.-408 с.

20. Харрисон, У. Псевдопотенциалы в теории металлов Текст. / У Харисон.- М.: Мир, 1968.-366 с.

21. Кристиан, Дж. Теория превращений в металлах и сплавах Текст. В 2 ч. Ч. 1. Термодинамика и общая кинетическая теория / Дж. Кристиан; перевод с англ. А. Я. Беленького, Д. Е. Темкина М.: Мир, 1978 - 806 с.

22. Васильев, А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике / А. Н. Васильев. СПб.: Изд-во ПИЯФ, 1998.-774 с.

23. Удодов, В.Н. Фазовые переходы в малых решеточных моделях как аналог переходов в больших системах Текст. / Удодов В.Н., Паскаль Ю.И., Потекаев А.И. // Металлофизика и новейшие технологии. 1994.- Т.16, №5.- С.43- 51.

24. Канзычакова, Е. Н. Модель полиморфных превращений в плотноупакованных структурах при произвольных температурах Текст. / Е. Н. Канзычакова, В. Н. Удодов, Ю. Н. Паскаль, А. И. Потекаев // Изв. вузов. Физика.- 1992.- №12.-С.42-46.

25. Удодов, В. Н. Многослойные политипы в аксиальной модели Изинга конечных размеров Текст./ В. Н. Удодов, А. А. Попов, А. И. Потекаев // Изв. вузов. Физика.- 1998.- №6 С. 128-129.

26. Дефекты в кристаллах и их моделирование на ЭВМ. JL: Наука, 1980.-214 с.

27. Компьютерное моделирование в физике: в 2 т. / X, Гулд, Я, Тобочник.-М: Мир, 1990.-400 с.

28. Методы Монте-Карло в статистической физике / Под ред. К. Биндера. М.: Мир, 1982.- 400 с.

29. Камилов, И.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло / И.К. Камилов, А.К. Муртазаев, Х.К. Алиев // УФН-1999.- Т. 169, №7- С.773-795.

30. Фазовые диаграммы смесей и магнитных систем Текст. / Д. Лендоу // Методы Монте-Карло в статистической физике: сб. ст. М.: Мир, 1982 - С. 138-161.

31. Физическое металловедение Текст. В 3 т. Т. 2. Фазовые превращения в металлах и сплавах и сплавы с особыми физическими свойствами / Под. ред. Р. У. Кана, П. Хаазена; пер. с. англ. Н. В. Абросимова [и др.]. — М.: Металлургия, 1987. Т.2.- С.365-406.

32. Физика. Большой энциклопедический словарь / Под. ред. А.Н. Прохорова.- 4-е изд.-М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.-944 с.

33. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие Текст. В 10 т. Т. 5. Статистическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука, 1995.— 608 с. ISBN 5-02-014423-1.

34. Скородзиевский, B.C. Закономерности образования одномерных разупорядоченных структурных состояний в сплавах на основе кобальта /B.C. Скородзиевский, А.Д. Рудь, А.И. Устинов, К.В. Чуистов // ДАН СССР 1985-Т.285, №4- С. 887-891.

35. Guinier, A. Report of the International Union of Crystallography ad-hoc Comitee on the nomenclature disordered, modulated and polytype structures Текст. / Guinier, A [et al.] // Acta Crystallogr. 1984.- Vol. A40. - P.399-404.

36. Белов, H.B. Структура ионных кристаллов и металлических фаз Текст. / Н. В. Белов. — М.: Изд-во АН СССР, 1947. — 237 с.

37. Белов, Н. В. Систематика плотнейших плотноупакованных упаковок Текст. / Н. В. Белов // Докл. АН СССР. 1939.- Т.23, №2.- С.171-175.

38. Жданов, Г.С. Числовой комплекс плотной сферовой упаковки и его применение в теории плотных шаровых упаковок Текст. / Г.С. Жданов/ Докл. АН СССР.- 1945-Т. 48, № 1.- С. 40-43.

39. Потекаев, А. И. Длиннопериодические состояния металлических упорядоченных сплавов. 2. Физические представления о природе образованияс Текст. / А. И. Потекаев // Изв. вузов. Физика.- 1996.- №6.- С .2239.

40. Ramsdell, L. S. Studies on silicon carbide Текст. / L. S. Ramsdell // Amer. Miner-1947.-V. 32, N l.-P. 64-82.

41. Маделунг, О. Теория твердого тела Текст. / О. Маделунг.- М.: Наука, 1980540 с.

42. Китгель, Ч. Введение в физику твердого тела Текст.: учеб. руководство / Ч. Китель; перевод с англ. А. А. Гусевой, А. В. Пахнева. М:. Наука, 1978. -792с.-40000 экз.

43. Козлов, Э. В. Структуры и стабильность упорядоченных фаз Текст. / Э. В. Козлов [и др.].- Томск: Изд-во Томского ун-та, 1994.-248 с. — 1000 экз. — ISBN 5-7511-0713-6.

44. Zangwill, A. Phase stability and structural transitions in close-packed metals Текст. / A. Zangwill, R. Bruinsma // Comments Cond. Matter Phys 1987 - V.13, Nl.-P.l-19.

45. Немошкаленко, В. В. Методы вычислительной физики в теории твердого тела. Зонная теория металлов Текст. / В. В. Немошкаленко, В.Н. Антонов.- Киев: Наук. Думка, 1985.-407 с.

46. Ройтбурд, A.JI. О доменной структуре кристаллов, образующихся в твердой фазе Текст. .А.Л. Ройтбург // ФТТ.- 1968.- Т. 10, №12.- С.3619-3627.

47. Ройтбурд, А.Л. Упругое взаимодействие кристаллов и формирование структуры при фазовых превращениях в твердом состоянии Текст. / А.Л Ройтбург // ФТТ,- 1969 Т.11, №6 - С.1465-1475.

48. Бекстер, Р. Точно решаемые модели в статистической механике Текст. / Р. Бекстер; переводе англ. Е. П. Вольского, Л. И. Дайхина. -М.:Мир, 1985.- 488 с.

49. Балеску, Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика Текст. / Р. Балеску; перевод с англ. Д. Н. Зубарева.-М.: Мир, 1978 407 с.

50. Otsuka, К. New description of long period stacking order structures of martensites in P -phase alloys Текст. / К. Otsuka, Т. Ohba, M. Tokonami, C.M. Wayman // Scripta metallurgica et materialia 1993.- V. 29, N 10 - P.1359-1364.

51. Frohlich, J. The phase transition in the one- dimensional Ising model with l/r2 interaction energy Text. / J. Frohlich, T.Spenser // Commun. Math/ Phys- 1982-V.84, Nl.-P. 87-101.

52. Selke, W. Axial Ising model with third-neighbour interactions Text. / W. Selke, M. Barreto, J. Yeomans // J. Phys. C: Solid State Phys.- 1985.- V.18, № 14.- P. L393-L399.

53. Blackburn, L.D. Phase transformations in iron-rutenium alloys under high pressure Текст. /L.D. Blackburn, L. Kaufman, M. Cohen. // Acta met.- 1965 V.13, N 4-P. 533-541.

54. Breedis, J.F. Formation of HCP and BCC phases in austenetic iron alloys Text. / J.F. Breedis, L. Kaufman // Met. Trans.- 1971.- V. 2, N 9.- P. 2359-2371.

55. Trigunayat, G.C. Progress in the study of polytypism in crystals Text. / G.C. Trigunayat, G.K. Chadha // Phys.Stat.Sol.- 1971.- A4, N1.- P. 9-42.

56. Гаевский, А. Ю. Статистико-механическая теория плотноупакованных кристаллов. Низкотемпературное разложение Текст. : препринт ИМФ 24.88 / А. Ю. Гаевский. Киев, 1988 - 36 с.

57. Белоколос, Е. Д. Теория мартенситных переходов в поле внешних напряжений на основе аксиальной модели Изинга. Приложение к системе Cu-Al-Ni Текст. : препринт ИМФ 15.88 / Е. Д. Белоколос, А.Ю. Гаевский. Киев, 1988.- 30 с.

58. Белоколос, Е. Д. Модель ANNNI для мартенситных переходов в поле внешних напряжений Текст. / Е. Д. Белоколос, А. Ю. Гаевский //ФММ. 1990 - Т.69, №4. — С. 48-58.

59. Белоколос, E. Д. Квазиспиновая модель политипизма в соединениях МХ2 Текст.: препринт ИМФ 35.88 / Е. Д. Белоколос, А.Ю. Гаевский Киев, 1988 -24 с.

60. Fontane, D. Application of ANNNI model to long-period superstructures Text. / D. Fontane, J. Kulic // Acta met.- 1985.-V. 33, N 2.- P. 145-165.

61. Эффекты памяти формы и их применение в медицине / Под ред. Л. А. Монасевича. — Новосибирск: Наука, 1992. 740 с.

62. Shimizu, К. Otsuka К. Phase diagram associated with stress-induced martensite transformation in Cu-Al-Ni alloy Text. / K. Shimizu, H. Sakamoto, K. Otsuka // Scr. met.- 1978.- V.12, N 9.- P.965-972.

63. Мартынов, В.В. Сверхупругая деформация, обусловленная рядом последовательных мартенситных переходов Текст. / В.В. Мартынов, Л.Г. Хандрос // ФММ.- 1981.- Т. 51.- Вып. 3.- С. 603-608.

64. Курдюмов, Г. В. Без диффузионные (мартенситные) превращения в сплавах Текст. / Г.В. Курдюмов // ЖТФ, 1948.- Т. 18.- Вып. 8.- С. 999-1025.

65. Паскаль, Ю.И. Химический формализм в теории фазовых превращений Текст. / Ю.И. Паскаль, С.С. Борисов.— Томск: Из-во томского ун-та, 1980.— 198 с.

66. Марочник сталей и сплавов Текст. / Под ред. В.Г. Сорокина.- М.: Машиностроение, 1989.-640 с.

67. Иванов, Ю.Ф. Эволюция пакета мартенсита в условиях многоцикловых усталостных нагружений Текст. / Ю.Ф. Иванов [и др.] // Изв. вузов. Физика.-2003.- №12.- С. 3-6.

68. Демин, С.А. Влияние углерода на процесс полиморфного превращения в сплавах Co-Fe Текст. / С.А. Демин, А.А. Некрасов, Л.А. Олиховская, А.И. Устинов // Металлофизика,- 1990.-Т.12, №6.- С.69.

69. Удодов, В.Н. Одномерно разупорядоченные состояния в рамках теории перколяции Текст. / В.Н. Удодов, B.C. Игнатенко, М.Б. Симоненко, А.И. Потекаев // Изв. вузов. Физика.- 1997 № 4.- С.109-110.

70. Удодов, В.Н. Статистическое моделирование политипных переходов на основе конечных цепочек Изинга Текст. / В.Н. Удодов, B.C. Игнатенко, М.Б. Симоненко, Ю.И. Паскаль, А.И. Потекаев // Металлофизика и новейшие технологии.- 1997-Т. 19, №5.- С.37-39.

71. Шкловский, Б. И. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред Текст. / Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос // УФН.- 1975.-117.-вып.З.-С.401-435.

72. Федер, Е. Фракталы Текст. / Е. Федер.-М.:Мир, 1991.- 260 с.

73. Долгополов, В.Т. Перколяционные переходы металл-диэлектрик в двумерных электронных системах Текст. / В.Т. Долгополов // УФН.-1996.-Т.166, №4.-С. 428-431.

74. Ликальтер, А.А. Примесная проводимость в окресности точки перехода металл-изолятор Текст. / А.А. Ликальтер // ЖЭТФ.-1995.Т.107, вып.6.-С.1996-2006.

75. Эфрос, А. Л. Физика и геометрия беспорядка Текст. / А. Л. Эфрос.-М.: Наука, 1982-.176 с.

76. Николин, Б.И. Влияние пластической деформации на изменение фазового состава в сплаве Co-Fe Текст. / Б. И. Николин, Ю. Н. Макогон // Металлофизика 1977-Вып. 68 - С. 87-94.

77. Price, G. D. The application of the ANNNI model to the polytypic behaviour text. / G. D. Price, J.R. Yeomans // Acta crystallogr 1984 - V. 40, N 5 - P. 448-454.

78. Колмогорцев, С.И. Влияние многочастичных энергий на упорядочение бинарного сплава Текст. / С.И. Колмогорцев, В.Н. Удодов; Ред. журн. "Изв. вузов. Физика". Томск, 1984.- Деп. в ВИНИТИ 4.05.84, № 2858-84Деп.- 13 с.

79. Бойко, B.C. Обратимая пластичность кристаллов Текст. / B.C. Бойко, Р.Н. Гарбер, A.M. Косевич. — М.: Наука, 1991. — 280 с.

80. Гаевский, А. Ю. Межслоевые взаимодействия и политипизм в металлических сплавах Текст. / А. Ю. Гаевский // Металлофизика. 1990.- Т. 12, № 1- С. 31-38.

81. Байдышев, В. С. Фазовые диаграммы политипных превращений в плотноупакованных кристаллах с учетом метастабильных состояний Текст. /

82. В. С. Байдышев, В. Н. Удодов, А. А. Попов, А. И. Потекаев // Изв. Вузов. Физика. — 2003. — № 12 .— С. 42-46.к

83. Красноярск: Изд-во Красноярского гос. тех. ун-та, 2002. — С. 10—11.

84. Байдышев, B.C. Фазовые диаграммы напряжение температура в рамках ^ аксиальной модели Изинга Текст. / B.C. Байдышев, В.Н. Удодов // Журналпроблем эволюции открытых систем. 2004. - Т. 1, № 6. - С. 61-66.

85. Байдышев,B.C.Равновесные и неравновесные свойства политипов в рамках S аксиальной модели Изинга Текст. / В. С. Байдышев, В. Н. Удодов,

86. A. А. Попов, А. И. Потекаев // Вест. Хакасского ун-та. Сер. 9, Математика. " Физика. — 2003. — № 12. — С. 104-107. — Библиогр.: с. 107.

87. Байдышев, В. С. Статистическая теория метастабильных фазовых диаграмм политипных превращений в плотноупакованных кристаллах Текст. /

88. B. С. Байдышев, В. Н. Удодов, А. А. Попов, А. И. Потекаев; Ред. журн. "Изв.j>illвузов. Физика". — Томск, 2005. — 16 с. — Деп. в ВИНИТИ 20.04.05, № 562-В2005.

89. Мирзаев, Д.А., Закономерности Р~+а полиморфного превращения в кобальте при возрастании скорости охлаждения Текст. / Д.А. Мирзаев, В.М. Счастливцев, И.Л. Яковлева // ФММ.- 2002.- Т.93 , №6.-С.58-64.

90. Мирзаев, Д. А. Влияние размера зерна на кинетику полиморфного перехода и прочность кобальта Текст. / Д. А. Мирзаев, В. М. Счастливцев, И. Л. Яковлева // ФММ.- 2002.- Т.93 , №6.-С.65-69.

91. Байдышев, В. С. Моделирование мартенситного превращения ГЦК-ГПУ в рамках обобщенной модели Изинга Текст. / В. С. Байдышев, А. А. Попов,

92. B. Н. Удодов, А. И. Потекаев // Физическая мезомеханика материалов: сб. материалов V всероссийской конференции молодых ученых (18—22.08.2003, г. Томск). — Томск: Изд-во Института физики прочности и материаловедения СО РАН, 2003. —С. 50.

93. Байдышев, В. С. Политипные превращения в плотноупакованных кристаллах в рамках перколяционного подхода Текст. / В. С. Байдышев, В. Н. Удодов,

94. A. И. Потекаев; Ред. журн. "Изв. вузов. Физика".— Томск, 2005.— 15 с.— Деп. в ВИНИТИ 20.04.05, № 561-В2005.

95. Байдышев, B.C. Одномерно разупорядоченные состояния в плотноупакованных структурах в рамках перколяционного подхода Текст. /

96. B. С. Байдышев, В. Н. Удодов, А. И. Потекаев // Эволюция дефектныхструктур в конденсированных средах: сб. материалов международной школы семинар (19—23.11.2001, г. Барнаул). — Барнаул: Изд-во Алтайского гос. тех. ун-та, 2001. —С. 182-184.