автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическая модель дендритной кристаллизации металлического расплава

Введение.

Глава 1. Анализ литературы по физике процесса кристаллизации и обзор существующих моделей различных масштабных уровней.

1.1. Описание процесса кристаллизации на макроуровне.

1.2. Описание процесса кристаллизации на мезоуровне. Дендритная кристаллизация.

1.3. Физика процесса кристаллизации на атомарном уровне.

1.4. Влияние литой структуры сплава на механические свойства металлической конструкции.

1.5. Обзор существующих моделей процесса формирования структуры при кристаллизации.

1.6. Концептуальная постановка.

Глава 2. Постановка и решение задачи устойчивости уединенной ячейки параболической формы на ячеистом фронте кристаллизации.

2.1. Анализ применения теории устойчивости к исследованию процесса кристаллизации и образования структуры литого металла.

2.2. Устойчивость уединенной ячейки параболической формы.

2.2.1. Постановка задачи устойчивости уединенной параболической ячейки.

2.2.2. Решение задачи в квазистационарном приближении.

2.2.3. Анализ устойчивости квазистационарных решений.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Модель фазового поля (МФП) для описания структурообразования кристаллизующегося расплава.

3.1. Обзор результатов моделирования структурообразования, полученных с помощью МФП.

3.2. Физические и термодинамические основы модели фазового поля

3.2.1. Физические основы МФП как теории роста кристалла.

3.2.2. Основы теории фазовых переходов Ландау - Гинзбурга (функционал свободной энергии Ландау - Гинзбурга).

3.2.3. Переход к функционалу энтропии для кинетики фазового перехода первого рода.

3.2.4. Вывод уравнений МФП для изотропного поверхностного натяжения.

3.2.5. Вывод уравнений МФП для анизотропного поверхностного натяжения.

3.3. Анализ уравнений МФП на тестовых одномерных задачах.

3.3.1. Пространственно однородная задача.

3.3.2. Анализ устойчивости линеаризованной задачи.

3.3.3. Эволюция неустойчивых возмущений.

3.4. Двумерная задача МФП для описания структурообразования.

3.4.1. Эволюция границы раздела фаз при изотропном поверхностном натяжении.

3.4.2. Эволюция границы раздела фаз при анизотропном поверхностном натяжении.

3.4.3. Количественное описание результатов МФП.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Применение фракталов для описания дендритной структуры.

4.1. Основные понятия фрактальной геометрии.

4.2. Обзор применения фракталов для описания формирования кристаллизующихся структур.

4.3. Фрактальное описание пространственной структуры растущего дендрита.

4.3.1. Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур.

4.3.2. Результаты реализации модели.

Выводы по главе 4.

В последние десятилетия отмечается неуклонное повышение интереса отечественных и зарубежных исследователей к построению моделей кристаллизации, описывающих формирование структуры закристаллизовавшегося расплава, химическую неоднородность, распределенную пористость отливки. Эти модели используют описание процессов на различных структурных уровнях. Рассмотрение кристаллизации на нескольких уровнях (микро-, мезо-, макроуровни) представляется необходимым, поскольку позволяет отказаться от ряда трудно доказуемых полуэмпирических гипотез, которые заменяются теоретическими выводами, основанными на анализе процессов, имеющих место на более низком структурном уровне. Такой подход дает возможность сформулировать идеи для эффективного математического моделирования процесса структурообразования при кристаллизации.

Изучение процесса затвердевания - область интересов большого числа дисциплин: материаловедения и металлургии, термодинамики, механики твердого тела и жидкости, теории тепломассопереноса и др. Построению моделей процесса затвердевания на различных масштабных уровнях посвящено множество работ, среди которых можно отметить работы В.Т. Борисова, Е.А. Бренера, П.Н. Вабищевича, В.А. Ефимова, Г.П. Иванцова, Б.Я. Любова, Ю.А. Самойловича, В.П. Скрипова, E.J1. Тарунина, Д.Е. Темкина, А.Р. Уманцева, А.И. Цаплина, С. Beckerman, G. Caginalp, J.W. Cahn, M.C. Flemings, R. Kobayashi, J.S. Langer, G.B. McFadden, H. Muller-Krabhaar, W.W. Mullins, R.F. Sekerka, R. Trivedi, A.A. Wheller и др.

Одна из важнейших неразрешенных проблем моделирования затвердевания -описание сложного взаимодействие физических явлений, имеющих место на разных масштабных (структурных) уровнях, начиная с атомарного уровня, уровня взаимодействия одного растущего кристалла с расплавом, заканчивая макроуровнем (описание тепломассопереноса на уровне системы в целом). Иерархия уровней изображена на рис.0.1.

На макро- и мезоуровнях протекают сходные процессы тепломассопереноса, они описываются похожими - управляющими параметрами и уравнениями определенными на своих уровнях); на микроуровне действую силы межатомного взаимодействия. Основной вопрос, который необходимо решить при построении многоуровневой модели - как связаны между собой характерные величины различных уровней и как происходит передача информации с одного уровня на другой. Этот вопрос до конца еще не решен. Отметим, что деление на масштабные уровни весьма условно. Они вводятся из-за невозможности одновременного описания процесса образования структуры на одном уровне.

Несмотря на то, что модели процесса затвердевания, построенные в рамках одного масштабного уровня и одной научной дисциплины, способны описывать достаточно сложные явления на своих уровнях, в последнее время возникают новые направления исследований, касающиеся совместных моделей мезо- и макроуровней. Цель этих исследований - построение совместных моделей зарождения и роста кристаллов на мезоуровне с расчетами макроскопического теплопереноса для более точного описания выделения скрытой теплоты кристаллизации и структурообразования на макроуровне.

На основе анализа известных экспериментальных и теоретических результатов представляется возможным следующее описание процесса кристаллизации (конечно, нельзя исключать и иные точки зрения на этот вопрос). На макроуровне рассматривается отливка в целом. В расплаве металла по мере охлаждения начинает появляться твердая фаза (фазовый переход 1-го рода), при этом выделяется скрытая теплота фазового перехода. Температура начала кристаллизации многокомпонентного сплава зависит от концентрации компонентов, что приводит к перераспределению компонентов, которое, во-первых, влияет на температурный режим, а во-вторых, приводит к химической неоднородности в затвердевшей отливке. Кроме того, нельзя не учитывать влияние тепловой конвекции расплава на распределение температур в объеме отливки, а также зависимость физических свойств металла от температуры.

Классические постановки задачи тепломассопереноса, учитывающие распределение температуры и концентрации компонентов, конвективное движение расплава, не описывают процессы, происходящие в двухфазной области, где и осуществляется образование структуры (в том числе усадочной пористости), а значит - закладываются прочностные и другие рабочие характеристики литой конструкции.

В условиях промышленного получения металлических отливок двухфазная область имеет сложную геометрию: твердая фаза растет в виде массива дендритов, между ветвями которых распределена жидкая фаза; твердая фаза может образовывать отдельные взвешенные в расплаве кристаллы. В этой двухфазной области протекают качественно те же процессы тепломассопереноса, однако анализировать их с помощью традиционных постановок не представляется возможным, поэтому кажется разумным рассматривать эту задачу на более мелком структурном уровне - на мезоуровне, на масштабах порядка расстояния между главными осями дендритов.

Рис. 0.1. Схема физических масштабов дендритной кристаллизации: (а) - макромасштаб (уровень всей системы в целом); (б) - масштаб одного металлического зерна (столбчатые и равноосные дендриты); (в) - масштаб появляющихся на поверхности раздела возмущений; (г) - атомарный уровень

В зависимости от условий кристаллизации реализуется один из возможных типов рельефа поверхности раздела: плоский, ячеистый или дендритный фронт. Процессы появления так называемых ячеек на плоском фронте кристаллизации, а затем развития этих ячеек в дендриты, ветвления дендритов связаны с нарушением устойчивости сначала плоского, а затем и ячеистого фронтов. Неустойчивость фронта обусловлена следующими причинами: во-первых, температурным переохлаждением; во-вторых, концентрационным переохлаждением, вызванным примесной блокадой на фронте; в-третьих, поверхностным натяжением и различными условиями теплоотвода от участков фронта различной кривизны; в-четвертых, влиянием конечной скорости движения фронта. Следует отметить тот факт, что дендриты растут в направлении предпочтительной кристаллографической ориентации, то есть проявляется анизотропия свойств кристаллов. Ответы на вопросы о величине скорости движения фронта кристаллизации, о механизмах влияния кристаллографической ориентации, о критериях появления зародышей твердой фазы в расплаве должно дать рассмотрение процессов, протекающих на микроуровне - на масштабах порядка нескольких десятков и сотен атомов.

Как показывают эксперименты, вблизи температуры начала кристаллизации в расплаве появляется дальний порядок, то есть образуются кластеры атомов, в которых расположение атомов аналогично их расположению в кристаллической решетке твердого металла. Присоединение атомарных слоев идет с учетом кристаллографической ориентации площадки присоединения.

Можно сделать следующие выводы.

Процессы, происходящие в двухфазной области, невозможно описать в рамках традиционных постановок макрозадач из-за сложной геометрии этой области, поэтому необходим анализ задачи на нескольких масштабных уровнях.

На макроуровне процессы контролируются тепломассопереносом, а также движением расплава сквозь дендритный каркас твердой фазы.

На мезоуровне формируется структура литой конструкции, которая определяется устойчивостью поверхности раздела фаз в зависимости от параметров процесса и свойств расплава.

На микроуровне можно описать кинетику присоединения к твердой фазе атомарных слоев, используя представления о кластерной природе расплава вблизи температуры начала кристаллизации.

В целом иерархическая модель процесса кристаллизации представляется в следующем виде.

На макроуровне рассматривается отливка в целом. Предполагается решать задачу тепломассопереноса с учетом движения расплава как вязкой жидкости и зависимости физических параметров от температуры. В зависимости от структуры твердой фазы движение расплава в двухфазной области можно описать либо с помощью эффективной вязкости, либо посредством аппарата теории фильтрации. Неизвестные параметры (доля твердой фазы, проницаемость, шероховатость, эффективная вязкость) будут определяться на мезоуровне при моделировании структуры двухфазной области. При решении можно определить поля температур, скоростей, концентрации компонентов расплава, распределение термонапряжений, интегральную характеристику пористости затвердевшего расплава по характеру изменения плотности при затвердевании. То есть данный подход предполагает постановку краевой задачи.

Итак, на макроуровне решающее значение имеют процессы тепломассопереноса (теплопроводности, диффузии химических компонентов сплава, конвекции расплава) в масштабах всей системы в целом. Эти процессы описываются такими параметрами, как поля температур в каждой из фаз, концентраций химических элементов, скоростей движущегося расплава, остаточных напряжений в растущей твердой фазе, а также выделяющаяся теплота кристаллизации, макросегрегация (неоднородность химического состава), пористость.

На мезоуровне рассматриваются процессы, происходящие непосредственно на фронте кристаллизации на масштабах порядка расстояния между главными осями дендритов. Бифуркационный анализ устойчивости фронта кристаллизации с учетом концентрационного переохлаждения и поверхностного натяжения расплава позволит выявить зависимость критической длины волны возмущения (которая может служить оценкой параметров структуры, таких, как расстояние между вторичными ветвями дендритов на его главной оси) от параметров процесса и физических свойств металла. Рассматривая поведение отдельной «ячейки» на фронте кристаллизации, которая представляется в виде параболоида вращения, используя уравнения для эволюции пульсаций поверхности раздела и сопровождающие их пульсации температурных и концентрационных полей, можно получить уравнение гиперповерхности нейтральной устойчивости в пространстве параметров процесса, физических свойств металла и волнового числа возмущений (задаваемых в виде гармоник). Анализ развития неустойчивости уже не может быть проведен в рамках линейной теории устойчивости, а нелинейный анализ сопряжен со значительными трудностями, поэтому нужно построить упрощенную модель фронта кристаллизации, основанную на использовании нелинейных уравнений локального движения фронта, как это делается в уравнениях теории фазового поля.

Фотографии дендритов, полученные с помощью электронного микроскопа, позволяют различать ветви до восьмого порядка; такая геометрия наталкивает на мысль использовать для описания дендритной структуры фракталы. Однако, как показывают экспериментальные данные, при развитии дендритной структуры происходит оплавление некоторых ветвей, что приводит к необходимости использования так называемых нерегулярных фракталов. Геометрическая модель дендритов в виде нерегулярных фракталов позволит вычислять долю твердой фазы на каждом этапе кристаллизации и прогнозировать распределение мезопористости. Из геометрических характеристик дендритов можно получить оценку шероховатости поверхности раздела фаз и эффективную вязкость для решения задачи движения расплава на макроуровне, а также количественный и фракционный состав твердой фазы, взвешенной в расплаве. Таким образом, этот подход предполагает создание алгоритма, с помощью которого генерируется фрактальная структура дендритного каркаса (со скейлинговыми параметрами, распределенными по некоторому вероятностному закону) и вычисляется фрактальная размерность.

Итак, на мезоуровне действуют механизмы структурообразования, то есть зарождение и рост твердой фазы как появление и развитие неустойчивости фронта кристаллизации. Движущей силой этих процессов являются явления тепломассопереноса, аналогичные имеющим место на макроуровне. Следует отметить взаимосвязь этих явлений на разных масштабных уровнях. Например, теплота кристаллизации, выделяемая на фронте кристаллизации и зависящая от количества затвердевшего расплава, отводится через твердую или жидкую фазы, изменяя поля температур на макроуровне; концентрационное переохлаждение вблизи фронта кристаллизации приводит к перераспределению химических компонентов расплава как на мезоуровне (микросегрегация), так и в масштабах всей отливки в целом (макросегрегация) и т.д. Отметим также, что масштабы порядка 10"4 - 10"5 м содержат достаточное количество элементарных частиц, для того, чтобы можно было использовать статистические осреднения и вводить такие понятия термодинамики как температура, теплота кристаллизации и т. п., то есть сохраняют смысл определения, принятые на макроуровне. Кроме того, появляются параметры, присущие только этому уровню, характеризующие устойчивость границы раздела: концентрационное и кинетическое переохлаждение, кривизна поверхности раздела, поверхностное натяжение на границе раздела.

На микроуровне анализируются процессы, происходящие на атомарных масштабах. Прежде всего, это процессы присоединения атомов к растущей твердой фазе и появление зародышей твердой фазы в расплаве. Движущей силой этих процессов является переохлаждение (на мезоуровне), имеющее место вблизи фронта, которое влияет на кинетическую энергию атомов. На присоединение атомных слоев к твердой фазе влияет анизотропия свойств растущего кристалла (энергия присоединения атомов в определенном кристаллографическом направлении кристаллической решетки), что приводит к выделению предпочтительного кристаллографического направления роста, выраженного в появлении дендритных ветвей, растущих в этом направлении. Построение модели присоединения атомов позволит определить атомарную скорость продвижения фронта кристаллизации, необходимую в задаче мезоуровня.

Итак, наиболее важным для построения модели кристаллизации на микроуровне являются механизмы присоединения атомов к растущему кристаллу. Кинетика присоединения описывается в терминах потенциальной и кинетической энергии отдельных атомов и их ансамблей.

В таблице приведена общая схема многоуровневой задачи. В схеме отражены основные процессы и параметры, имеющие место на каждом уровне, основные проблемы, решаемые на каждом уровне, и связи между уровнями, посредством которых происходит передача информации.

Масштабный уровень Фазовый состав Представительный объем Процессы, имеющие место Движущие силы Характерные параметры Решаемые задачи Используемые модели

МАКРО твердая фаза частицы твердой, жидкой фаз; частица, содержащая обе фазы 10~2 м перенос энергии; диффузия компонентов сплава; конвекция; течение расплава сквозь каркас твердой фазы; деформирование растущих кристаллов градиенты температуры, концентрации, плотности, давления; фазовая и температурная усадки температура, концентрация, скорость, давление, плотность; меры деформации и напряжения; скорости деформаций определение времени затвердевания, полей температур, концентраций, скоростей, напряжений, деформаций; распределение остаточных напряжений модели тепломассо-переноса, модели движения жидкости; модели МДТТ; жидкость двухфазная область

Передаваемые параметры: рост доли твердой фазы в двухфазной области; геометрия твердой фазы и ее влияние на движение расплава

МЕЗО твердая фаза частицы твердой, жидкой фаз; 10"5 -10"4 м перенос энергии; диффузия; течение расплава сквозь каркас твердой фазы; деформирование кристаллов; структурообразо- вание градиенты температуры, концентрации, плотности, давления; поверхностное натяжение, переохлаждение температура, концентрация, скорость, давление, плотность, меры деформации и напряжения; кривизна поверхности раздела; крисаллографичес-кая ориентация определение полей температур, концентраций, скоростей, напряжений и деформаций; описание роста и структуры твердой фазы; распределение мезопористости модели тепломассо-переноса; модели МДТТ; модели устойчивости границы раздела; клеточные автоматы; модель фазового поля жидкость

Передаваемые параметры: критерий зарождения твердой фазы; кинетика присоединения атомов; зависимость скорости роста твердой фазы от температуры

МИКРО группа атомов 10"9м появление зародышей твердой фазы; кинетика присоединения атомов силы межатомного взаимодействия время жизни скопления атомов, свободный пробег и т.п. критерии зарождения молекулярная динамика; клеточные автоматы; статистическая термодинамика

Более подробный анализ процессов, явлений и механизмов, действующих на каждом уровне, а также описание методов и подходов к их моделированию приводится ниже в первой главе.

Актуальность. Структура сплава является фактором, во многом определяющим рабочие характеристики литой конструкции. Процесс формирования структуры происходит при кристаллизации и зависит от рельефа поверхности раздела фаз, то есть от геометрии кристаллов, растущих в двухфазной области; в реальных условиях в двухфазной области растут дендритные кристаллы. Как показывают эксперименты, расстояние между дендритными ветвями (дисперсность дендритного каркаса) влияют на многие физико-механические свойства литой конструкции, в частности на предел текучести и прочность на разрыв. Поэтому представляется актуальным построение модели дендритной кристаллизации.

Процессы структурообразования при кристаллизации затруднительно анализировать с помощью традиционных постановок макрозадач из-за сложной геометрии растущей твердой фазы, поэтому предлагается рассматривать эти процессы на мезоуровне.

Целью работы является построение более корректной и универсальной модели дендритной кристаллизации, учитывающей основные факторы и механизмы структурообразования.

Задачи, поставленные в работе.

1. Определить факторы, влияющие на устойчивость фронта кристаллизации. Выяснить качественное влияние внешних параметров процесса на геометрические параметры формирующейся дендритной структуры. Определить спектр волновых чисел неустойчивых возмущений.

2. Описать эволюцию неустойчивых возмущений поверхности раздела. Получить количественные зависимости между параметрами дендритной структуры и внешними условиями кристаллизации.

3. Построить фрактальную модель растущей дендритной структуры, которая позволит определять долю твердой фазы в каждый момент времени при различных начальных условиях.

Научная новизна.

1. Получено аналитическое решение задачи устойчивости уединенной параболической ячейки, в которой учтены основные факторы нарушения устойчивости границы раздела фаз: концентрационное переохлаждение, поверхностное натяжение и кривизна поверхности раздела.

2. Исследовано применение модели фазового поля (МФП) к описанию структурообразования при кристаллизации и влияние параметров процесса кристаллизации на параметры структуры.

3. Предложено фрактальное описание растущей дендритной структуры с помощью случайных фракталов.

4. Получены выражения для фрактальной размерности и объема, занимаемого растущей дендритной частицей в ¿/-мерном топологическом пространстве.

Практическая значимость.

1. Объяснены важные для производства качественных металлических конструкций особенности механизмов структурообразования при кристаллизации.

2. Выявлены основные факторы, влияющие на дендритный рост твердой фазы.

3. Разработано программное обеспечение для расчетов формирования дендритной структуры при кристаллизации.

Диссертационная работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования РФ по фундаментальным проблемам металлургии 1998 № 98-26-5.2-33.

Достоверность научных положений, выводов и результатов работы подтверждается сравнением теоретических результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными другими авторами.

На защиту выносятся:

- решение задачи устойчивости уединенной параболической ячейки, растущей в переохлажденном бинарном металлическом сплаве;

- определение с помощью задачи устойчивости спектра волновых чисел неустойчивых возмущений;

- численное исследование эволюции неустойчивых возмущений фронта кристаллизации и формирования дендритной структуры в рамках МФП;

- численное исследование влияние внешних условий на геометрические параметры дендритной структуры;

- фрактальная модель растущей дендритной структуры;

- определение фрактальной размерности случайного фрактала.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Выводы по главе 4

1. В главе приведены основные определения и понятия фрактальной геометрии; рассмотрены существующие модели фрактального описания дендритов; предложено описание растущих дендритов с помощью модели случайных фракталов, геометрические параметры которых зависят от времени.

2. В рамках модели случайных фракталов описана геометрия растущей дендритной частицы при произвольной форме элементарных фрагментов, аппроксимирующих дендритные ветви. Выведены соотношения для фрактальной размерности и объема, занимаемого случайным фракталом, растущим в пространстве топологической размерности с/= 2 и ¿/=3; при выводе не накладывались никакие ограничения на тип и свойства статистического распределения случайных величин, характеризующих масштаб.

3. Приведены результаты вычислений площади и фрактальной размерности растущей дендритной частицы. В расчетах были использованы четыре различные распределения случайных величин. Форма дендритных ветвей аппроксимировалась параболой, половиной эллипса или равнобедренным треугольником.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные итоги исследований, изложенных в работе, состоят в следующем.

1. Предложена математическая модель формирования литой структуры при кристаллизации расплава, с помощью которой можно описать развитие дендритных структур. Модель также позволяет связывать условия протекания процесса кристаллизации и геометрические параметры растущих дендритов.

2. Поставлена и решена задача устойчивости параболической формы поверхности раздела фаз. При решении учтены основные факторы, влияющие на устойчивость: концентрационное переохлаждение, поверхностное натяжение и кривизна поверхности раздела. Получен критерий устойчивости поверхности раздела параболической формы в терминах волнового числа, декремента затухания возмущения и параметров процесса. С помощью этого критерия получены оценки для величины расстояния между вторичными дендритными ветвями в зависимости от условий кристаллизации.

3. Исследованы основные особенности поведения решений уравнений МФП. Установлено, что система уравнений МФП при различных начальных условиях может иметь три стационарных решения. Определены области начальных условий, приводящих к каждому из стационарных решений. Получен спектр волновых чисел неустойчивых возмущений фронта кристаллизации.

4. Численно исследована эволюция неустойчивых возмущений поверхности раздела фаз. Получены реалистичные дендритные структуры.

5. Исследовано влияние начального переохлаждения на параметры растущей дендритной структуры. Установлено, что при увеличении начального переохлаждения, во-первых, развивается более массивная дендритная структура; во-вторых, увеличивается скорость роста дендритных ветвей; в-третьих, увеличивается частота появления вторичных дендритных ветвей.

6. Предложена модель описания растущей дендритной структуры с помощью случайных фракталов. В рамках этого подхода дендритная частица аппроксимируется фракталом, для которого масштабный параметр и характеристика разветвленности являются случайными величинами.

7. Получены аналитические соотношения для фрактальной размерности и объема дендритной частицы в ¿/-мерном топологическом пространстве.

175

1. Авдонин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации. Рига: Зинатне, 1980. 180 с.

2. Аксенова А.Е., Вабищевич П.Н., Чуданов В.В., Чурбанов А.Г. Численное моделирование процессов затвердевания в задачах диффузии / конвекции. Обзор. Москва, 1995. Препринт IBRAE-95-0! Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН. 31с.

3. Баландин Г.Ф. Основы теории формирования отливки. 4.1. М.: Машиностроение, 1976. 328 с.

4. Баландин Г.Ф. Основы теории формирования отливки. 4.2. М.: Машиностроение, 1976. 335 с.

5. Беленький В.З. Геометрико вероятностные модели кристаллизации. М.: Наука, 1980. 88 с.

6. Бернштейн М.Л., Займовский В.А. Структура и механические свойства металлов. М.: Металлургия, 1970. 472 с.

7. Борисов В.Т., Духин А.И. Формы и скорости роста дендритов в переохлажденном металлическом расплаве // Рост кристаллов. Т. IX. М.: Изд-во АН СССР, 1972. С. 185-189.

8. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1987. 224 с.

9. Бочвар А.А. Металловедение. М.: Металлургия, 1956. 495 с.

10. Бояршинов М.Г. Численные методы. 4.2. Пермь: Изд-во Перм. гос. тех. ун-та, 1999. 200 с.

11. Бренер Е.А., Темкин Д.Е. Ячеистая, дендритная, дублонная структуры при направленной кристаллизации//ЖЭТФ, 1996. Т. 109. Вып. 3. С. 1038-1053.

12. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.

13. Буевич Ю.А., Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. Нелинейная устойчивость и формирование структур при направленном затвердевании бинарного расплава. I // Расплавы, 1989. №6. С. 44-50.

14. Буевич Ю.А., Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. Нелинейная устойчивость и формирование структур при направленном затвердевании бинарного расплава. II // Расплавы, 1990. №2. С. 65-73.

15. Буевич Ю.А., Мансуров В.В. Динамическая неустойчивость фронта направленного затвердевания бинарных расплавов // Расплавы, 1993. №6. С. 59-65.

16. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: МГУ, 1987. 165 с.

17. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963. 487 с.

18. Вичек Т. Формирование структур отвердевания в моделях агрегации. В кн.: Фракталы в физике. М.: Мир, 1988. С. 345-349.

19. Данилов В.И. Строение и кристаллизации жидкости. Киев: Изд-во АН УССР, 1956. 568 с.

20. Ефимов В.А. Разливка и кристаллизация стали. М.: Металлургия, 1976. 552 с.

21. Журавлев В.А., Китаев Е.М. Теплофизика формирования непрерывного слитка. М.: Металлургия, 1974. 216 с.

22. Иванова B.C., Баланкин A.C., Бунин И.Ж., Оксогоев A.A. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383 с.

23. Иванцов Г.П. Температурное поле вокруг шарообразного, цилиндрического и иглообразного кристалла, растущего в переохлажденном расплаве // Доклады АН СССР, 1947. Т. 58. № 4. С. 567-570.

24. КалиткинН.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

25. Кан Дж. Теория роста кристалла и движения границы раздела фаз в кристаллических материалах // Успехи физических наук, 1967. Т.91. Вып. 4. С. 677-689.

26. Кан Дж., Хиллинг У., Сире Дж. Молекулярный механизм кристаллизации // Успехи физических наук, 1967. Т.91. Вып. 4. С. 691-719.

27. Каприле Б., Леви А., Лиджери Л. Моделирование дендритного роста на основе «случайного дождя». В кн.: Фракталы в физике. М.: Мир, 1988. С. 388-394.

28. Кваша Ф.С., Певзнер Г.Б. Классификация дефектов отливок. В кн.: Дефекты отливок и меры по их предупреждению. 1970. С. 108-110.

29. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

30. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.П. М.: Наука, 1977. 400 с.

31. Куклин Р.Н., Кузьмин В.Н. Зародышеобразование при фазовом переходе кристалл жидкость // ФТТ, 1991. Т. 33. № 8. С. 2400-2407.

32. Ландау Л.Д., Гинзбург В.Л. К теории сверхпроводимости // ЖЭТФ, 1950. Т. 20. С. 1064-1083.

33. Ландау Л.Д., Халатников И.М. Об аномальном поглощении звука вблизи точек фазового перехода второго рода // ДАН СССР, 1954. Т. 96. С. 469-476.

34. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. 567 с.

35. Ландау Л.Д. Собрание трудов. I. М.: Наука, 1969. С. 253-261.

36. Лахтин Ю.М., Леонтьева В.П. Материаловедение. М.: Машиностроение, 1980. 493 с.

37. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука, 1975. 256 с.

38. Мартынов Г.А. Проблема фазовых переходов в статистической механике // УФН, 1999. Т. 169. № 6. С.595 600.

39. Мартюшев Л.М., Селезнев В.Д., Скопинов С.А. Компьютерное моделирование потери устойчивости и развития дендритных форм методом диффузионных потоков // Кристаллография, 1997. Т. 42. №5. С. 802-808.

40. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1958. Т.1. 886с.

41. Нигматуллин P.P., Сутугин H.H. Структура неоднородных сред в модели случайных фракталов // Инженерно физический журнал, 1989. Т. 57. № 2. С. 291-298.

42. Няшина Н.Д., Трусов П.В. Анализ устойчивости ячеистого фронта кристаллизации и формирование структуры затвердевающего расплава // Математическое моделирование систем и процессов: Сб. науч. тр. / Перм. гос. техн. ун-т, Пермь, 1998. № 6. С. 66-74.

43. Няшина Н.Д. Определение параметров дендритной структуры бинарного затвердевающего сплава с помощью линейного анализа устойчивости / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1999. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 19.05.99 № 1609 В99.

44. Няшина Н.Д., Трусов П.В. О возможности применения модели фазового поля для описания структуры фронта кристаллизации расплава // Математическое моделирование систем и процессов: Сб. науч. тр. / Перм. гос. техн. ун-т, Пермь, 1999. № 7. С. 57-66.

45. Няшина Н.Д. Модель фазового поля в задаче кристаллизации расплава // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ. 1999. С.57-61.

46. Олемской А.И., Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды//УФН, 1993. Т. 163. № 12. С. 1-50.

47. Оно А. Затвердевание металлов. М.: Металлургия, 1980. 152 с.

48. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

49. Ракова Н.К., Швидковский Е.Г. Кристаллизация олова из переохлажденного состояния / Изв. АН СССР. ОТН. Металлургия и топливо, 1960. №6. С. 137-142.

50. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

51. Самойлович Ю.А. Формирование слитка. М.: Металлургия, 1977. 160 с.

52. Самойлович Ю.А. Тепловые процессы при непрерывном литье стали. М.: Металлургия, 1982. 152 с.

53. Самойлович Ю.А. Системный анализ кристаллизации слитка. Киев: Наукова думка, 1983. 246 с.

54. Самойлович Ю.А. Микрокомпьютер в решении задач кристаллизации слитка. М.: Металлургия, 1988. 182 с.

55. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука, 1987. 232 с.

56. Скрипов В.П. Метастабильная жидкость М.: Наука, 1972. 312 с.

57. Скрипов В.П., Коверда В.П. Спонтанная кристаллизация переохлажденных жидкостей М.: Наука, 1984. 232 с.

58. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991. 136 с.

59. Справочник по теории вероятности и математической статистике /B.C. Королюк, Н.И. Портенко, A.B. Скороход, А.Ф. Турбин. М.: Наука. 1985.640с.

60. Тарунин E.JT. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 228 с.

61. Темкин Д.Е. О скорости роста кристаллической иглы в переохлажденном расплаве//ДАН СССР, 1960. Т. 132. №6. С. 1307-1310.

62. Толедано Ж.-К., Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов: Пер. с англ. М.: Мир, 1994. 461с.

63. Тяжельникова И.Л., Борисов В.Т., Борисов В.И. Кристаллизация цилиндрической ячейки двухфазной зоны // Изв. АН СССР. Металлы, 1970. №5. С. 122-128.

64. Уманцев А.Р., Виноградов В.В., Борисов В.Т. Математическое моделирование роста дендритов в переохлажденном расплаве // Кристаллография, 1985. Т. 30. №3. С. 455-466.

65. Уманцев А.Р., Виноградов В.В., Борисов В.Т. Моделирование эволюции дендритной структуры// Кристаллография, 1986. Т. 31. №5. С. 1002-1008.

66. Уманцев А.Р., Ройтбург А.Л. Неизотермическая релаксация в нелокальной среде //ФТТ, 1988. Т. 30, Вып. 4. С. 1124-1131.

67. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 260 с.

68. Физическое металловедение. Т.2 / Под ред. P.M. Кана. М.: Мир, 1987. 624 с.

69. Флеминге М. Процессы затвердевания. М.: Мир, 1977. 424 с.

70. Фракталы в физике / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. М.: Мир, 1988. 670 с.

71. Хворинов Н.И. Кристаллизация и неоднородность стали. М.: Машгиз, 1958. 392 с.

72. Хворов М.М., Нигматуллин P.P. Фрактальные модели пространственной структуры высокодисперсных металлических частиц // ФТТ, 1990. Т. 32. № 8. С. 2294-2297.

73. Холломон Д.Н., Тарнбалл Д. Успехи физики металлов. Т.1. М.: Металлургиздат, 1956. 304 с.

74. Цаплин А. И. Теплофизика внешних воздействий при кристаллизации стальных слитков на машинах непрерывного литья. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. 238 с.

75. Чалмерс Б. Теория затвердевания. М.: Металлургия, 1968. 288 с.

76. Шульце Г. Металлофизика. М.: Мир, 1971. 503 с.

77. Allen S.M., Cahn J.W. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening // Acta Metall., 1979. Vol. 27. P. 1085-1095.

78. Amritkar R.E. Fractals end growth processes // Indian Journal of Pure and Applied Physics, 1994. Vol. 32. № 7. P. 595-601.

79. Beckerman C., Viskanta R. Mathematical modeling of transport phenomena during alloy solidification//Appl. Mech. Rev., 1993. Vol. 46. №1. P. 1-27.

80. Bosh A., Muller-Krumbhaar H., Shochet O. Phase-field models for moving boundary problems: controlling metastability and anisotropy // Z. Phys. B, 1995. Vol. 97. P. 367-377.

81. Bower T.F., Brody H.D., Flemings M.C. Measurements of solute redistribution in dendritic solidification // Transactions of the Metallurgical Society of AIME, 1966. Vol. 236. №5. P. 624-634.

82. Braun R.J., Merchant G.J., Davis S.H. Pulsatile- and cellular-mode interaction in rapid directional solidification // Physical Review B, 1992. Vol. 45. № 13. P. 7002-7016.

83. Brener E.A., Mel'nikov V.I. Pattern selection in two-dimensional dendritic growth // Advances in Physics, 1991. Vol. 40. № 1. P. 53-97.

84. Brody H.D., Flemings M.C. Solute redistribution in dendritic solidification // Transactions of the Metallurgical Society of AIME, 1966. Vol. 236. №5. P. 615-624.

85. Burden M.H., Hunt J.D. Cellular and dendritic growth. II // J. Crystal Growth, 1974. Vol. 22. P. 109-116.

86. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Arch. Rat. Mech. Anal., 1986. Vol. 92. P. 205-245.

87. Caginalp G. Stefan and Hele-Show type models as asymptotic limits of the phase-field equations // Physical Review A, 1989. Vol. 39. № 11. P. 5887-5896.

88. Caginalp G. Phase-field and sharp-interface alloy model // Physical Review E, 1993. Vol. 48. №3. P. 1897-1909.

89. Cahn J.W. On spinodal decomposition // Acta Metall., 1961. Vol. 9. P. 795-801.

90. Chen S.-L., Oldfield W., Chang Y.A., Thomas M.K. Modeling solidification of turbine blades using theoretical phase relationships // Metall. and Mater. Trans. A, 1994. Vol. 25A. №7. P. 1525-1533.

91. Coriell S.R., Sekerka R.F. Oscillatory morphological instabilities due to non-equilibrium segregation // J. Crystal Growth, 1983. Vol. 61. P. 499-508.

92. Dulfan A.Ya., Panchenko I.P. Dynamics of the fractal phase interface geometry at phase transition of 1st kind // Functional Materials, 1997. Vol. 4. № 3. P. 434-438.

93. Flemings M.C., Poirer D.R., Baron R.V., Brody H.D. Microsegregation in iron-base alloys // Journal of the Iron and Steel Institute, 1970. №4. P. 371-381.

94. Flemings M.C. Solidification processing // Metallurgical Transactions, 1974. Vol. 5. №10. P. 2121-2134.

95. Kobayashi R. Simulations of dendritic crystal growth // Physica D, 1993. Vol. 63. P. 410-423.

96. Kotler G.R., Tarshis L.A. On dendritic growth of pure materials // J. Crystal Growth, 1968. Vol. 3. № 4. P. 603-610.

97. Kurz W., Trivedi R. Solidification microstructures: recent developments and future directions // Acta Metall. Mater., 1990. Vol. 38. №1. P. 1-7.

98. Langer J.S., Muller-Krumbhaar H. Theory of dendritic growth I. Elements of a stability analysis // Acta Metall., 1978. Vol. 26. P. 1681-1687.

99. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Reviews of Modern Physics, 1980. Vol. 52. №1. p. 1-28.

100. Langer J.S. Models of pattern formation in first-order phase transition. B kh.: Directions in Condensed Matter Physics. Singapore: World Scientific, 1986. P. 165-186.

101. Laxmanan V. Dendritic solidification I. Analysis of current theories and models // Acta Metall., 1985. Vol. 33. №6. P. 1023-1035.

102. McFadden G.B., Wheller A.A., Braun R.J., Coriel S.R., Sekerka R.F. Phase-field method for anisotropic interfaces // Physical Review E, 1993. Vol. 48. № 3. P. 2016-2024.

103. Merchant G.J., Davis S.H. Morphological instability in rapid directional solidification // Acta Metall. Mater., 1990. Vol. 38. № 12. P. 2683-2693.

104. Miettinenen J. Mathematical simulation of interdendritic solidification of low-alloyed and stainless steels // Metall. Trans. A/ 1992. Vol. 23A. №4. P. 1155-1170.

105. Mozos J.-L., Guo H. Dendritic growth at very low undercoolings // Europhys. Lett., 1995. Vol. 32. № 1. P. 61-66.

106. Mullins W.W., Sekerka R.F. Stability of a planar interface during solidification of dilute binary alloy // J. Appl. Phys., 1964. Vol. 35. № 2. P. 444-451.

107. Nathal M.V., McKay R.A., Garlik R.G. Temperature dependence of lattice mismatch in Nikel-base superalloys // J. Mater. Sci., 1985. Vol. 75. P. 195-205.

108. Nigmatullin R.R. The generalized fractals and statistical properties of the pore space of the sedimentary rocks // Physica status solidi (b), 1989. Vol. 153. № 1. P. 49-57.

109. Nyashina N.D., Trusov P.V. Fractal description of a growing dendritic structure // Regular and Chaotic Dynamics, 1999. № 4. P. 94-99.

110. Penrose O., Fife P. Thermodynamically consistent models of phase-field type for the kinetics of phase transitions // Physica D, 1990. Vol. 43. P. 44-62.

111. Rappaz M. Modeling of microstructure formation in solidification processes // International Materials Reviews, 1989. Vol. 34. №3. P. 93-123.

112. Shocher O., Kassner K., Ben-Jacob E., Lipson S.G., Muller-Krumbhaar H. Morphology transition during non-equilibrium growth. I. Study of equilibrium shapes and properties //Physica A, 1992. Vol. 181. P. 136-155.

113. Shocher O., Kassner K., Ben-Jacob E., Lipson S.G., Muller-Krumbhaar H. Morphology transition during non-equilibrium growth. II. Morphology diagram and characterization of the transition // Physica A, 1992. Vol. 187. P. 87-111.

114. Thomas L., Feller-Kniepmeier M. Analysis of subgrain boundaries in the y'-phase of a Nikel-base crystal alloys after high temperature creep // Zs. Metallkunde, 1987. Vol. 78. №2. P. 75-79.

115. Trivedi R. Effects of anisotropy properties on interface pattern formation: Part 2 // Applied Mechanics Review, 1990. Vol. 43. №5. P. 79-84.

116. Upadhya G., Wang C.M., Paul A.J. Solidification modeling: coupling of solidification kinetics an a comprehensive model with fluid flow and heat transfer for cast iron // Proc. Symp. TMS Ann. Mett., San Diego, Calif., March 1-5, 1992, P. 773-787.

117. Wang S.-L., Sekerka R.F., Wheller A.A., Muray B.T., Coriel S.R., Braun R.J., McFadden G.B. Thermodynamically-consistent phase-field models for solidification // PhysicaD, 1993. Vol. 69. P. 189-200.

118. Warren J.A., Boettinger W.J. Prediction of dendritic growth and microsegregation patterns in a binary alloy using the phase-field method // Acta Metall. Mater., 1995. Vol. 43. №2. P. 689-703.

119. Wheller A.A., Murray B.T., Schaefer R.J. Computation of dendrites using a phase-field model // Physica D, 1993. Vol. 66. P. 243-262.

120. Young G.W., Davis S.H., Brattcus K. Anisotropic interface kinetics and tilted cells in unidirectional solidification//J. Crystal Growth, 1987. Vol. 83. P. 560-571.