автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численный анализ кинетической модели многомерной диффузии

Введение

Глава 1. Общее описание модели

1.1. Постановка задачи

1.2. Преобразование Фурье-Лапласа

1.3. Баллистический режим

1.4. Выводы

Глава 2. Метод моментов

2.1. Моменты пространственного распределения

2.2. Метод стохастических соотношений. Общий случай

2.3. Метод стохастических соотношений. Нормальный случай

2.4. Некоторые частные случаи

2.5. Восстановление плотности распределения методом моментов

2.6. Выводы

Глава 3. Нормальная кинетика

3.1. Уравнение Больцмана

3.2. Нормальная диффузионная асимптотика

3.3. Преддиффузионное поведение моментов

3.4. Преддиффузионное поведение распределения

3.5. Скользящий скейлинг

3.6. Асимптотический анализ моментов

3.7. Выводы

Глава 4. Аномальная кинетика

4.1. Аномальная кинетика с ловушками показательного типа (а < 1)

4.2. Аномальная кинетика с ловушками показательного типа {а > 1)

4.3. Аномальная кинетика с ловушками степенного типа

4.4. Аномальная кинетика с пробегами и ловушками степенных типов

4.5. Выводы 93 Заключение 94 Литература 96 Приложение 1 104 Приложение

Наличие неоднородностей в различных средах (например, магнитных островов в плазме [1], скоплений и туманностей в межзвездном пространстве [2-4] и т.п.), приводит к возникновению так называемых структур фрактального типа (к ним относятся также пористые материалы [5], аморфные полимеры [6], турбулентные потоки [7], шероховатые поверхности [8] и др.) [9-11]. Диффузионные процессы в подобных средах: перенос космических лучей в магнитном поле Галактики [12,13], аномальный перенос заряженных частиц в стохастическом магнитном поле [14,15], а также явление перколяции [16] и др. [17-20] - носят название аномальных и интенсивно изучаются в последние годы. В связи с вышесказанным наблюдается возрастающий интерес к различным математическим моделям [21-25], способным описать основные особенности процессов аномальной диффузии в статистическом смысле с использованием минимума информации о физических процессах, подобно тому, как диффузионное уравнение описывает процесс с помощью единственного параметра -коэффициента диффузии.

Большинство подходов основано на обобщении обычного диффузионного уравнения путем превращения его в уравнение в дробных производных:

0<р<1.

1)

ГэУ

Здесь — - оператор дробного дифференцирования Римана-Лиувилля, а dt)

-(-д)а/2 - лапласиан дробного порядка а [26]. Вывод этого уравнения и его автомодельное решение р(х, 0 = (Dfp )-А"а ¥<,а-р) (|x|(Z)rр )~1/а), (2) выраженное через jV -мерное сферически симметричное g^ir) и одномерное одностороннее g,(P) (т) устойчивые распределения соотношением

00 na'P)(0=j^a)("p/ab№)(T)T'vp/Vx, (3) о приведены в работе [27]. Там же исследованы и свойства функций ЧР^а-Р)(г), названных аномальными диффузионными распределениями и показано, что распределение (2) является, в то же время, асимптотическим (при / со) распределением для скачкообразного ступенчатого процесса с изотропным распределением вектора мгновенного перескока (в зарубежной литературе этот процесс обозначается аббревиатурой CTRW - Continuous Time Random Walk [28-33]). Последовательные значения модуля вектора перескока и случайного промежутка времени между ними j = 1, 2,., считаются взаимно независимыми, их распределения подчиняются условиям г} = P(r) ~ [А / Г(1 - а / 2)]г "а, г -> оо, и

Р{т>/} = б(0~[5/Г(1-Р)]Гр, ^оо. Коэффициент диффузии связан с параметрами А, а, В и /3 соотношением [27]:

D2a T(N / 2) А Г((а + N)/2) В '

Одномерный аналог формулы (3) для асимметричного одномерного блуждания впервые получен М. Котульским [34].

Дробные порядки производных по координатам и времени интерпретируются как фракталъностъ (самоподобная стохастическая неоднородность) среды и наличие ловушек с памятью [22,35,36]. Нормальной диффузии соответствуют а = 2 (однородная среда) и р = 1 (ловушки без памяти), в аномальном случае один или оба этих показателя отличаются от указанных значений. Как непосредственно следует из формулы (3), ширина диффузионного пакета растет по закону A(t)<xtr, где значение показателя у = р/а соответствует следующим диффузионным режимам: у < 1 / 2 - субдиффузия (замедленная диффузия), у = 1/2 - квазинормальная диффузия, 1/2 < у <1 - супердиффузия (ускоренная диффузия), у = 1 - квазибаллистический режим, у > 1 - супербаллистический режим. Мы называем режим с у = 1 / 2 квазинормалъным, поскольку отношение р / а может быть равно 1/2 и в случае, когда аир отличны от нормальных значений а = 2 и р = 1. При этом форма диффузионного пакета отличается от гауссовой, наличие степенных хвостов приводит к расходимости дисперсии. По этой же причине появляется название «квазибаллистический режим»: ширина пакета растет, как в случае свободного движения, но это не есть свободное движение, форма диффузионного пакета не может быть произвольной, как в обычном баллистическом режиме.

Общим для всех режимов, описываемых уравнением (1), является нефизическое поведение в области малых времен, отмечавшееся в свое время еще Эйнштейном: частица, находившаяся в начале координат в начальный момент времени / = 0, в сколь угодно близкий к нему момент t > 0 может быть обнаружена сколь угодно далеко от начала координат.

Более "физической" и более богатой по содержанию является модель, в которой CTRW-процесс заменен процессом случайного блуждания частицы с конечной (и постоянной) скоростью v. Эта модель, которую мы будем называть кинетической, свободна от указанного выше дефекта: в любой момент времени t частица не может быть обнаружена за пределами N-мерного шара радиуса vt. При надлежащем (показательном) выборе распределений случайных величин \ и т (назовем такую среду нормальной) она включает в себя односкоростную модель переноса нейтронов с учетом запаздывающих нейтронов, а после выключения ловушек (т = 0) приводит к стандартной односкоростной модели переноса [37-39]. Стационарные версии этих моделей широко используются в теории космических лучей [40-41], ядерных реакторов [42-44], а также в теории прохождения излучения через вещество [45-47]. При степенном характере распределений Е, (фрактальность среды) и х (память среды) эта модель асимптотически (при * со) выходит на аномальный диффузионный режим, описываемый уравнениями (1), (2).

В настоящее время для кинетической модели известны лишь качественные результаты, относящиеся к асимптотическому поведению ширины диффузионного пакета, определяемой средним квадратом координаты [48,49]. Ни высших моментов, ни, тем более, самих распределений в работах, посвященных аномальной кинетике с конечной скоростью, не найдено.

Целью диссертационной работы является вычисление высших пространственных нестационарных моментов плотностей распределений и исследование с их помощью пространственных распределений в кинетических моделях многомерной диффузии.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Вычислить нестационарные пространственные моменты высших порядков в пространстве произвольной размерности;

• Разработать алгоритм восстановления по известным моментам пространственных распределений в различных временных диапазонах: баллистических - при малых временах, преддиффузионных и диффузионных - при больших;

• Исследовать пространственные распределения в режимах нормальной диффузии, супердиффузии и субдиффузии, выявить эффект влияния конечной скорости свободного движения частицы между столкновениями.

Научная новизна полученных автором результатов:

1. Впервые найдены общие выражения для трансформант Лапласа всех моментов в многомерной аномальной кинетике с произвольными независимыми законами распределения свободных пробегов частицы и времен пребывания в ловушках q(r).

2. Установлено влияние эффекта конечной скорости свободного движения на форму диффузионного пакета в зависимости от режима диффузии.

3. Впервые установлено свойство, названное скользящим скейлингом: учет времени в коэффициенте диффузии позволяет существенно расширить область применимости предельных распределений.

Практическая значимость

1. Разработанная в математическом пакете Maple V Release 4 программа позволяет моделировать процессы переноса как в однородных, так и в неоднородных средах с различными заданными характеристиками.

2. Найденные в работе распределения могут быть использованы для феноменологического описания диффузии в пористых средах, распространения космических лучей в Галактике, решения некоторых задач физики плазмы и т.п.

Положения, выносимые на защиту

1. Точные выражения для трансформант Лапласа нестационарных пространственных моментов обобщенной теории переноса.

2. Наличие конечной скорости v свободного движения частицы уменьшает число возможных (при v = оо) диффузионных режимов с пяти до четырех с изменением их областей на диаграмме в плоскости параметров а(3.

3. Учет влияния конечной скорости в случае нормальной диффузионной асимптотики приводит к уменьшению коэффициента диффузии при сохраняющейся форме распределения.

4. В случае субдиффузии эффект конечной скорости не влияет на форму асимптотического распределения частиц: при больших временах не имеет значения, с какой - конечной или бесконечной - скоростью движутся частицы в промежутках между пребыванием в ловушках. Само распределение описывается дробно-устойчивым распределением.

5. В случае супер диффузии (а>1) конечная скорость замедляет расширение диффузионного пакета частиц, однако форма распределения по-прежнему описывается устойчивым законом. При а < 1 ситуация противоположная: кинематическое ограничение становится доминирующим фактором в формировании асимптотического распределения и найденное в настоящей работе распределение имеет совершенно иной вид, чем в случае а > 1.

6. Свойство скользящего скейлинга диффузионных процессов существенно расширяет область применимости предельных распределений.

Апробация работы

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на 22-ом Европейском симпозиуме по статистике и 7-ой международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс-98), на Всероссийской конференции «Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов» (Ульяновск-98), на 7-ой международной конференции по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000» (Москва-2000), на Международном симпозиуме «Chaotic Transport and Complexity» (Марсель-2000), на 12-ом международном семинаре по теоретической и математической физике (Казань-2000), 2-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара-2001), а также на ежегодных конференциях студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета (1997-2000 гг.), на семинарах ИТФ и кафедры теоретической и математической физики физико-технического факультета УлГУ.

Личный вклад автора в получение результатов, изложенных в диссертации: исходные теоретические положения разработаны совместно с профессором В. В. У Чайкиным. Вывод аналитических выражений для трансформант Лапласа моментов, проведение конкретных расчетов, численное моделирование и анализ его результатов выполнены автором самостоятельно. Приводимые для сравнения результаты статистического моделирования получены В. В. Саенко.

Достоверность результатов

Представленные в диссертации результаты доказаны с использованием аналитических методов теории преобразования Лапласа, асимптотического анализа и теории вероятностей. Достоверность подтверждается также согласием с результатами одномерной теории и независимым статистическим моделированием методом Монте-Карло.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 5 статей (из них 2 в центральной печати) и 5 тезисов докладов на международных научных конференциях.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения, 36 рисунков и трех таблиц, содержит 108 страниц текста, включая оглавление и список литературы из 110 наименований.

4.5. Выводы

1. Асимптотические выражения для моментов различных режимов аномальной диффузии показали, что в отличие от второго момента, моменты высших порядков оказываются зависящими от размерности пространства. При каждом t существуют, однако, конечные предельные значения моментов проекции радиус-вектора на координатную ось.

2. Приведены численные результаты расчета пространственных распределений для различных значений времени t, параметров а , |3 и размерностей пространства N. Результаты подтверждены данными метода Монте-Карло.

3. В случае супер диффузии (а>1) конечная скорость замедляет расширение диффузионного пакета частиц, однако форма распределения по-прежнему описывается устойчивым законом. При а < 1 ситуация противоположная: кинематическое ограничение становится доминирующим фактором в формировании асимптотического распределения и найденное распределение имеет совершенно иной вид, чем в случае а > 1.

4. В случае субдиффузии эффект конечной скорости не влияет на форму асимптотического распределения частиц: при больших временах не имеет значения с какой - конечной или бесконечной - скоростью движутся частицы в промежутках между пребыванием в ловушках.

5. Наличие конечной скорости v свободного движения частицы уменьшает число возможных (при v = оо) диффузионных режимов с пяти до четырех с изменением их областей на диаграмме в плоскости параметров оф.

Заключение95 пяти до четырех с изменением их областей на диаграмме в плоскости параметров ар.

3. Учет влияния конечной скорости в случае нормальной диффузионной асимптотики приводит к уменьшению коэффициента диффузии при сохраняющейся форме распределения.

4. В случае субдиффузии эффект конечной скорости не влияет на форму асимптотического распределения частиц: при больших временах не имеет значения с какой - конечной или бесконечной - скоростью движутся частицы в промежутках между пребыванием в ловушках. Само распределение описывается дробно-устойчивым распределением.

5. В случае су пер диффузии (а > 1) конечная скорость замедляет расширение диффузионного пакета частиц, однако форма распределения по-прежнему описывается устойчивым законом. При а < 1 ситуация противоположная: кинематическое ограничение становится доминирующим фактором в формировании асимптотического распределения и найденное в настоящей работе распределение имеет совершенно иной вид, чем в случае а > 1.

6. Установлено свойство скользящего скейлинга диффузионных процессов, существенно расширяющее область применимости предельных распределений.

1. G.M.Zaslavsky, M.Edelman, H.Weitzner, B.Carreras, G.McKee, R.Bravenec, R.Fonk. Large-scale behavior of the tokamak density fluctuations // Phys. of Plasmas, 2000, v.7, N9, p.3691-3697.

2. A. A.Lagutin, Yu. A.Nikulin, V. V.Uchaikin. The "Knee" in the Primary Cosmic Ray Spectrum as Consequence of the Anomalous Diffusion of the Particles in the Fractal Interstellar Medium. // Nuclear Phys. В (Proc. Suppl.), 2001, v.97, p.267-270.

3. T.A. Lozinskaya. Supernova and Star Wind: interaction with galactic gas. M.:Nauka. 1986.

4. A.A. Rusmaikin, D.D.Sokolov, A.M.Shukurov. Magnetic fields of Galaxies. // Kluwer. Dordrecht. 1988.

5. G.Margolin, B.Berkowitz. Application of CTRW to Transport in Porous Media. // J. Phys. Chem. B, 2000, v. 104, p.3942-3947.

6. U.A.Handge, I.M.Sokolov, A.Blumen. Scaling Laws in the Fragmentation of Disordered Layers. // J. Phys. Chem. B, 2000, v. 104, p.3881-3886.

7. M.Antoni, A.Torconi.//Phys. Rev. E, 1998, v.57,p.3975.

8. H.Shulz-Baides. //Phys. Rev. Lett, 1997, v.78, p.2176.

9. В.В.Зосимов, Л.М. Лямшев. //УФН, 1995, т.165, №4, с.361-401.

10. Ю.А.И.Олемской, А. Л.Флат. //УФН, 1994, т.163, №12, с.1-50.11 .В . С.Иванова, А.С. Баланкин, И.Ж.Бунин, А. А.Оксогоев. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука. 1994, 384с.

11. А.В.Кулаков, А.А.Румянцев. // ДАН, 1994, т.336, №2, с.183-185.

12. В.R.Ragot, J.G.Kirk. //Astr.Astrophys., 1997, v.327, р.432-440.

13. J.M.Rax, R.B.White. //Phys. Rev. Lett., 1992, v.68, p.1523-1526.

14. R.Balesku. //Phys. Rev. E, 1995, v.51, p.4807-4822.

15. V.V.Uchaikin, V.M.Zolotarev. // Chance and stability: stable distribution and their applications. VSP.Utrecht, 1999, 570 p.

16. J.-P. Bouchaud, A. Georges. //Phys. Rep., 1990, v.195, p. 127293.

17. B.J. West, W.Deering. //Phys. Rep., 1994, v. 246, p.l.

18. R.Granek, J.Klafter. Anomalous motion of membranes under a localized external potential. // Europhys. Lett., 2001, v.56, N1, p. 15-21.

19. J.Koga, T.Odagaki. Stochastic Orientational Relaxation of a Plastic Crystal. // J. Phys. Chem. В., 2000, v. 104, p.3808-3811.

20. M. B. Isichenko.//Rev. Mod. Phys. 1992, v. 64, p. 961-1043.

21. R.Metzler, J.Klafter. //Phys. Rep., 2000, v.339, N1, p. 1-77.

22. R.R.Nigmatullin. // Phys. Stat. Sol. (b)., 1984, v,123,p.739.

23. В.В.Учайкин // Критические технологии и фундаментальные проблемы физики конденсированных сред. Труды лекторов школы. УлГУ, Ульяновск, 1999, с.4-25.

24. W.Cai, M.Lax, R.R.Alfano. Analytical Solution of the Elastic Boltzmann Transport Equation in an Infinite Uniform Medium Using Cumulant Expansion. // J. Phys. Chem. B, 2000, v.104, p. 3996-4000.

25. C.C. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

26. V. V.Uchaikin. // Intern. Journal of Theor Physics., 2000, v.39, N8, p.2087-2107.

27. E. W.Montroll, G.H.Weiss.//J. Math. Phys., 1965, v. 6, p. 167.

28. A.I. Saichev, G.M.Zaslavsky. Fractional kinetic equations: solutions and applications. // Chaos, 1997, v.7, N4, p. 753-765.

29. M.F.Shlesinger, G.M.Zaslavsky, J. Klafter. //Nature, 1993, v.363,p. 31-38.

30. G.Zumofen, J. Klafter.//Phys. Rev. E, 1995, v.51, p.1818.

31. J.Klafter, A.Blumen, M.F.Shlesinger. // Phys. Rev. A, 1987, v.35, p.3081.

32. W.A.Curtin. Accurate DC Conductivity for Hopping Conduction within the CTRW Approach. // J. Phys. Chem. B, 2000, v. 104, p.3937-3941.

33. M.Kotul ski. //J. Stat. Phys., 1995, v.81, p.777.

34. R.Metzler, J.Klafter. //Physica A, 2000, v.278, p.107.

35. V.V.Uchaikin Anomalous transport equations and their application to fractal walking. // Physica A, 1998, v. 255, p. 65-92.

36. К.Кейз, П.Цвайфель. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972, 384с.

37. Б. Дэвисон. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1962, 520с.

38. Г. И. Map чу к. Методы расчета ядерных реакторов. М.:Госатомиздат, 1961.

39. А.А. Беляев, И.П. Иваненко, Т.М. Роганова и др. Электронно-фотонные каскады в космических лучах при сверхвысоких энергиях. М.: Наука, 1980, 306с.

40. И.П.Иваненко, Т.М.Роганова. Каскадные ливни, вызываемые частицами сверхвысоких энергий. М.: Наука, 1983, 144с.

41. А.П.Платонов. О дифференцируемости по энергии интеграла упругих соударений в задачах замедления нейтронов. // ЖВМиМФ, 1999, т.39, №4, с.663-669.

42. А.П.Платонов. Об одном подходе к решению задачи упругого замедления нейтронов в однородной среде от моноэнергетического изотропного точечного источника. // ЖВМиМФ, 2000, т.40, №1, с. 144152.

43. А.П.Платонов. Решение уравнения замедления нейтронов в (х,у)-геометрии методом расщепления. // Атомная энергия, 1998, т.84, вып.З, с.216-219.

44. Э.Т. Шипатов. Взаимодействие заряженных частиц с кристаллами. Изд. У л ГУ, Ульяновск, 1997, 124с.

45. Э.Т. Шипатов. Каналирование ионов. Изд. РГУ, Ростов, 1986, 144с.

46. Е.Г. Калашников, Э.Т. Шипатов. Взаимодействие жестких излучений с веществом: рассеяние, торможение и пробеги заряженных частиц в веществе. Изд. УлГУ, Ульяновск, 1997, 142с.

47. R.Metzler, Е. Barkai, J.K1 after. // Physica А, 1999, v.266, р.343-350.

48. A. Vazquez, О. Stolongo-Cocta, F.Brouers. // Physyca A, 1999, v.264, p.424-431.

49. V.V.Uchaikin, V.V.Saenko // Journal of Physical Studies, 2000, v.4, N4, p.371-379.

50. V. V. Afanasiev, R.Z.Sagdeev, G.M.Zaslavsky.//Chaos, 1991, v.l(2), p.143-159.

51. R.Garcia-Pelayo. Multiple scattering. //Physica A, 1998, v.258, p.365-382.

52. Г. Крамер. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

53. С. У и л к с. Математическая статистика. М.: Наука, 1967.

54. В .В .У чайкин, И.В.Яровикова. Пространственные моменты в нестационарной односкоростной задаче теории переноса с изотропным рассеянием. Точечный изотропный источник. // Известия ВУЗов. Физика, 2000, №2, с.88-94.

55. В .В. У чайкин, И.В.Яровикова, В.В.Саенко. Пространственные моменты в нестационарной односкоростной задаче теории переноса с изотропным рассеянием. Плоский изотропный источник. // Известия ВУЗов. Физика, 2000, №10, с.71-76.

56. И.В.Яровикова. // VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000», секция «Физика». Сборник тезисов. Москва. 2000, с.266.

57. I.V.Yarovikova. // The Workshop "Chaotic Transport and Complexity". Abstracts. Marseille. 2000, p.88.

58. И.В.Яровикова. // Вычисление нестационарных пространственных моментов в обобщенной теории переноса. Ученые записки УлГУ. Сер.физическая, 2000, вып. 2(9), с.12-18.

59. В .В.У чайкин. К теории аномальной диффузии частицы с конечной скоростью свободного движения. // ТиМФ, 1998, т.115, №1, с. 154-160.

60. V.V.Uchaikin, I.V.Yarovikova, V.V.Saenko. // 7th Vilnius Conference on Probab. Theory. Abstracts. Vilnius. 1998, p.440.

61. В .В .У чайкин, И.В .Яровикова. // Труды научной конференции «Математическое моделирование физических, экономических и социальных систем и процессов». Ульяновск. 1998, с.39.

62. И.С.Градштейн, И.М.Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

63. Ф.Франк, Р.Мизес. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. М.: ОНТИ, 1937, 999с.

64. М.Кац. Несколько вероятностных задач физики и математики. М: Наука, 1967. 176с.

65. В. Фе л л ер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М: Мир. 1967, 752 с.

66. В.А.Слободенюк, В.В.Учайкин. О фрактальном характере асимптотики решения интегрального уравнения с устойчивым (по Леви) ядром. // Теоретическая и экспериментальная физика. Ученые записки УлГУ. 1996, вып. 2, с. 154-159.

67. В .И.Крылов, Н. С. Скобля. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука. Физматлит. 1974, 224 с.

68. А.С.Монин. // Известия АН СССР, сер. Геофиз, 1956, т. 12, с. 14611473.

69. А.С.Монин. //Известия АН СССР, сер. Геофиз, 1951, т.З, с.234-248.

70. А.С.Монин, А.М.Яглом. Статистическая гидромеханика, т. 1, М.: Гидрометеоиздат, 1992,617с.

71. В .В .Учайкин, И.В .Яровикова, В.В.Саенко. О телеграфном уравнении в теории переноса. // Ученые записки УлГУ. Сер. физическая, 1999, вып. 1(6), с.31-40.

72. К.Бекурц, К.Виртц. Нейтронная физика. М.: Атомиздат. 1968, 456с.

73. М .V.Maslennikov. Axiomatic Model of particles transport phenomena. Nauka. Moscow. 1989.

74. A.M.Weinberg, L.C.Noderer. //Theory of Neutron Chain Reactions. 1951, p.l 135-1139.

75. А.М.Вейнберг, Е.Вигнер. Физическая теория ядерных реакторов. М.: ИЛ, 1967.

76. Р.В .Daitch, D.B.Ebeoglu. //Nucl. Sci. and Eng. 1961, v.17, p.212-219.

77. У.Фано, Л. Спенсер, M. Бергер Перенос гамма-излучений. Госатомиздат, 1963, 284 с.

78. W. Wyss. //J. Math. Phys., 1986,v.27,p. 2782.

79. A. M. Кольчужкин, В. В. Учайкин. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. М.: Атомиздат, 1978, 255с.

80. R. Marshak, Н. Brooks, Н. Hurwitz.//Nucleonics. 1949, v.4, р.43.

81. М. Абрамович, И.Стиган. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979, 830 с.

82. Л. Коллатц. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.:Мир. 1969, 448с.

83. К.Ланцош. Практические методы прикладного анализа. М: Изд. Физ-мат. лит. 1961, 524 с.

84. Математическая Физика. Энциклопедический словарь. М.: Большая Российская энциклопедия. 1998.

85. Ю.П.Никитин, И.П.Розенталь. Теория множественных процессов. М.: Атомиздат, 1976.

86. М.А.Евграфов. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Гостехиздат. 1957, 159 с.

87. T.F.Nonnenmacher, D.J.F.Nonnenmacher. // Acta. Phys. Hungarica. 1989, v.66, p.145.

88. В.В .Mandelbrot. Fractals, forms, chance and dimensions. Freeman. San-Francisco. 1977.

89. D.D.Joseph, L.Preziosi. //Rev. Mod. Phys., 1989, v.61, p.41.

90. R.Garcia-Pelayo. // Physica A, 1995, v.216, p.299-315.

91. C. Л.Соболев. // УФН, 1997, т. 167, c.1095-1107.

92. S.Godoy, L.S.Garcia-Colin.//Physica A, 1998, v.258, p.414-428.

93. A. J. Akhiezer, V. I. Truten, N. F. Shulga. //Phys. Rep., 1991, v. 195, p. 289-343.

94. D. R. Cox. Renewal Theory. Chapman & Hall. 1982.

95. R. Metzler, W.G.Glockle, T.F.Nonnenmacher.//Physica A, 1994, v. 211, p.13.

96. H.C. Fogedby.//Phys. Rev. Lett., 1994, v. 73,p.2517.

97. A. Compte. //Phys. Rev., 1996, v. E 53, p. 4191.

98. П. Леви. Стохастические процессы и Броуновское движение. М.: Наука. 1972, 164 с.

99. I. Yarovikova. The moment method in generalized transport theory. // International Summer School-Seminar on Recent Problems in Theoretical and Mathematical Physics, Abstracts of Communications, Kazan, 2000, p.79.

100. В.М.Золотарев, В.В.Учайкин, Саенко В.В. Супердиффузия и устойчивые законы. // ЖЭТФ. 1999, т. 115, вып. 4, с.1411-1425.

101. В.М.Золотарев. Одномерные устойчивые распределения. Мир. Москва. 1983.

102. V.M.Zolotarev .in Contributions to probability. Ed. By J. Gani and V.K.Rohatgi. //Acad. Press. Inc.(London).1981. p. 283.

103. А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Специальные функции математической физики. М.: Наука. 1978, 277с.

104. A.G.Yodh, B.Tromberg, Е.Sevick-Muraca, D.J.Pine. Diffusing photons in turbid media // Special issue of J. Opt. Soc. Am. A, 1997, v.14, p.136-342.

105. К.В .Чу кбар. // ЖЭТФ. 1995, т.108, с.1875-1884.

106. V. V.Uchaikin. // Int. Journ. of Theoretical Physics. 1999, v.38 N9, p.2389-2400.

107. В.В.Учайкин. Субдиффузия и устойчивые законы. // ЖЭТФ. 1999, т. 115, в.5, с. 1 -20.

108. Е. W. Montroll, В.J. Wеiss.// in fluctuation Phenomena, ed. by E. W. Montroll, J.L.Lebowitz, Amsterdam. 1979, p. 61.