автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование взаимодействия водорода с твердым телом

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

Чернов Илья Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОДОРОДА С ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ (ТЕРМОДЕСОРБЦИОННАЯ СПЕКТРОМЕТРИЯ)

05.13.18 — математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

01.04.07 — физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

доиш

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

Научные руководители:

докгор физико-математических наук, профессор Заика Юрий Васильевич

доктор физико-математических наук Габис Игорь Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физика математических наук, профессор Курдюмов Александр Александрович

кандидат физико-математических наук, ст.н.с. Федоров Александр Львович

Ведущая организация: Петрозаводский государственный университет

Защита состоится 23 июня 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д-212.232.50 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан « П * мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук,

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В связи с возрастающими экологическими требованиями особое внимание уделяется перспективам использования водорода в качестве энергоносителя, ведется интенсивный поиск материалов для эффективного решения задач хранения и транспортировки. Наличие водорода в конструкционных материалах приводит к ухудшению их эксплуатационных качеств (охрупчивание металлов), что требует особых защитных покрытий. Наконец, перспективы термоядерной энергетики связаны с использованием изотопа водорода — трития. Роль математического моделирования в таких задачах достаточно весома. Экспериментальные исследования требуют разработки вычислительных методов, позволяющих моделировать взаимодействие водорода с твердым телом с учетом новых физико-химических представлений. Вычислительные эксперименты позволяют выбрать адекватные модели по экспериментальным данным, выделить лимитирующие процессы и оценить кинетические параметры, дают возможность уточнить механизм взаимодействия и сократить расходы на дорогостоящие эксперименты. Равновесные закономерности достаточно хорошо изучены (РТС-диаграммы), возрастающий интерес вызывает кинетика десорбции водорода, а также гидрирования и дегидрирования металлов. Возникает новый класс краевых задач, характеризующийся:

1. нелинейными динамическими граничными условиями (III рода, а также неклассическими: дифференциальные уравнения не только в объеме, но и на поверхности);

2. подвижной границей раздела фаз и условиями типа Стефана на подвижной границе.

ЦЕЛИ РАБОТЫ:

1. моделирование взаимодействия водорода с твердым телом с учетом распада гидридной фазы и процессов на поверхности для экспериментального метода термодесорбционной спектрометрии (ТДС);

2. математическое обоснование краевых задач с подвижной границей и нелинейными граничными условиями — моделей термодесорбцион-ной спектрометрии;

3. разработка численных методов для задач с подвижной границей и нелинейными граничными условиями;

4. проведение серии вычислительных экспериментов с целью проверки адекватности математических моделей, выделения лимитирующих факторов, анализа чувствительности к вариациям параметров; оценка кинетических параметров дегидрирования (гидрид эрбия).

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Основные результаты работы получены на основе методов решения краевых задач математической физики, функционального анализа, теории разностных схем. Уравнения моделей выводятся на основе закона сохранения вещества — предельным переходом в балансовых соотношениях. Доказательства теорем опираются на принцип сжимающих отображений и принцип максимума для параболических уравнений в частных производных.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. модели дегидрирования для метода ТДС в форме диффузионных краевых задач с подвижной границей и нелинейными краевыми условиями, а также в форме систем обыкновенных дифференциальных уравнений в случае быстрой диффузии;

2. теоремы существования и единственности для краевой задачи с динамическими нелинейными граничными условиями (дифференциальные уравнения на поверхности), анализ свойств решения; обоснование предельного перехода с ростом коэффициента диффузии;

3. численные методы решения одно- и двухфазных задач типа Стефана (моделей выделения водорода из порошков гидридов металлов);

4. оценки кинетических параметров выделения водорода из порошка гидрида эрбия.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ.

1. В диссертации получены новые модели взаимодействия водорода с металлами: модели выделения водорода из порошков гидридов металлов. Они имеют форму краевых задач для уравнения диффузии с нелинейными граничными условиями (III рода и динамическими) и подвижной границей раздела фаз, а также форму систем обыкновенных дифференциальных уравнений (в случаях, когда диффузию можно считать быстрой). Адекватность подтверждена численными экспериментами.

2. Доказана теорема существования и единственности для краевой задачи ТДС, с нелинейными динамическими граничными условиями,

доказаны свойства решения, подтверждающие соответствие модели физическим представлениям.

3. Разработаны разностные схемы (явные и неявные) повышенного порядка аппроксимации для краевой задачи ТДС.

4. Доказано, что предел (с ростом коэффициента диффузии) решений распределенной диффузионной краевой задачи является решением обыкновенного дифференциального уравнения модели дегидрирования с быстрой диффузией.

5. Разработаны численные методы для решения краевых задач с нелинейными граничными условиями и подвижной границей (моделей дегидрирования). Специфика задачи — неклассическое условие Стефана на границе раздела фаз.

6. Получены оценки кинетических параметров дегидрирования для гидрида эрбия.

Основные результаты диссертации получены автором.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. В работе получены новые модели выделения водорода из порошков гидридов металлов, предложены численные методы решения соответствующих краевых задач. Адекватность моделей обоснована численными экспериментами. Получены оценки кинетических параметров для конкретного материала (гидрид эрбия). Результаты диссертации могут быть использованы при разработке методов решения обратных задач идентификации параметров выделения водорода из гидридов, а также служить основой для моделирования поглощения водорода металлами.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ. По результатам диссертационной работы опубликовано 18 научных работ (в том числе 2 статьи в международных журналах, 2 статьи в центральных российских журналах, 4 статьи в сборниках научных трудов). Список работ приведен на с. 13.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Результаты диссертации обсуждались на 2-ом Международном семинаре «Взаимодействие изотопов водорода с конструкционными материалами» (Саров, 2004), 2-ом и 4-ом Симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001; Петрозаводск, 2003), Всероссийской научной школе «Математические методы в экологии» (Петрозаводск, 2001), Пятой санкт-петербургской ассамблее молодых ученых и специалистов (С.-Петербург, 2000) и на международных конференциях International Conference in Hydrogen Material Science, Крым, Украина, 2003; International Symposium on Metal Hydrogen Systems,

Fundamental and Applications, Annecy, France, 2002; Fifth Inter-Karelian Conference «Learning and Teaching Science and Mathematics in Secondary and Higher Education», Петрозаводск, 2000; The Third International Conference «Differential Equations and Applications», С.-Петербург, 2000.

СВЯЗЬ С НАУЧНЫМИ ПРОГРАММАМИ. Результаты диссертации были получены в ходе работы над:

• темой «Краевые задачи взаимодействия водорода с твердым телом» (2002-2005), входящей в план НИР ИПМИ КарНЦ РАН;

• проектом ФЦП «Интеграция» Б0027 «Совместные фундаментальные и поисковые исследования по актуальным направлениям современной физики», подпроект «Ингибирование водородопроницаемости твердотельными пленками» (НИИФ СПбГУ);

• проектом «Численные методы решения задач с динамическими граничными условиями и подвижной границей» программы фундаментальных исследований ОМН РАН «Вычислительные и информационные проблемы решения больших задач».

Работа автора поддержана:

• Конкурсным центром фундаментального естествознания Министерства образования России (грант М00-2.1Д-808),

• стипендией республики Карелия

• и грантом ФЦП «Интеграция» для доклада на Международном симпозиуме «Metal Hydrogen Systems. Fundamentals and Applications», Краков, Польша, 2004.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы включает 88 наименований. Работа изложена на 121 странице и 6 страницах приложения, содержит 46 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы, приводится краткий обзор литературы по теме, описаны структура и содержание диссертации, приведены общие для всей работы обозначения и соглашения, описан экспериментальный метод ТДС. Суть метода: образец материала помещается в вакуумную камеру. Поток водорода из образца фиксируется.

ПЕРВАЯ ГЛАВА посвящена математическому моделированию. В параграфе 1.1 приводятся математические модели поверхностных процессов, которые используются при построении моделей дегидрирования и метода ТДС.

В параграфе 1.2 приводится модель метода ТДС. Пластина, предварительно насыщенная водородом, нагревается в вакуумной камере. С помощью масс-спектрометра измеряется десорбционный поток. Математическая модель:

dtc(t,x) = D(t)dxxc(t,x), х € (0,£), t € (0,t+), t+ > 0, (i)

q(t) - D(t)dxc{t,0) - Kt)q2(t), c(t, 0) - c(jt,t) = g(t)q(t), (2)

c(i, x) == c(i, e-x), c(0, x) = Ф), x e [0, e], ¥>(0) = Co > 0. • (3)

Здесь c(t,x) и q(t) — объемная и поверхностная концентрации, b(f) = b(T(t)), D{t) = D{T(t)), g(t) = g{T(t)). Зависимость коэффициентов от температуры — по закону Аррениуса: D{T) = D0 exp{—E£>/(RT)}, аналогично для коэффициентов десорбции b и растворения д. Условие быстрого растворения получается из k+c(t,L) — k~q(t) = —Ddrc(t,L), когда диффузия мала по сравнению с потоками растворения/выхода на поверхность (д = к~/к+). Плотность десорбционного потока квадратична относительно поверхностной концентрации, что связано с образованием двухатомных молекул Щ. По постановке эксперимента ТДС все процессы симметричны относительно середины пластины.

В параграфе 1.3 выводятся модели дегидрирования для экспериментального метода ТДС. Учет диффузии приводит к моделям в форме краевых задач с нелинейными граничными условиями и подвижной границей (задачи типа Стефана). Различные предположения о природе поверхностных процессов приводят к нелинейным краевым условиям III рода (объем-пая десорбция) и к динамическим краевым условиям в виде нелинейных дифференциальных уравнений на поверхности, аналогичным (2) (поверхностная десорбция).

Базовые предположения. Имея в виду гидрид в виде порошка, рассматриваем сферическую частицу радиуса L. Предполагаем, что в гид-ридном ядре радиуса p(t) ^ L имеется водород с концентрацией c«(í,r) (г — радиус). В металле растворен водород с концентрацией c(t,r)., В силу сферической симметрии с = c(t, г), с» = c,(t,r). При уменьшении концентрации в гидриде до критического уровня c,(ti,p) = Q получаем металл с растворенным водородом. Из симметрии следует условие Концентрации си с, подчинены уравнению диффузии. Для ряда материалов (солеподобные гидриды)

Модель дегидрирования, объемная десорбция (£ € [¿1,^2)):

Здесь J(t) — плотность десорбционного потока, /(£) — поток распада гид-ридной фазы, к, Л и £>» — аррениусовские по температуре коэффициенты. Условие (4) — баланс потоков на поверхности, (5) — на подвижной границе, (6) — условие типа Стефана. Существенно, что на подвижной границе решение терпит разрыв: нет аналогии с задачами теплопроводности, в которых, как правило, решение непрерывно. Уравнения выводятся из балансовых соотношений. Для потока I возможны и другие модели, например 7(!Г(£)) = А:(Т)(ф — с(4, р)), при которой скорость движения границы р зависит только от температуры. Возможна также постановка задачи с локальным равновесием на подвижной границе: условие (5) заменяем на с(4,р) = с, (7) убираем. Для поверхностной десорбции заменяем условие (4) на 4 = -7(0 -Одтс(Ь, I), J(t) = Ьд2, ф, Ь) = зИ^М (аналогично (2)). Момент времени £2 определяется условием />(£2) = 0 (окончание гидрида). Начальные распределения <р, <р, определяются из задачи

д(с = о{дтгс+2дтф), Г е (ро,Ь), г е (о,^).

34с. = £>,(<9ггс. + 2дГс./г), г € (0,ро), с(£, р0) = с, 6с2(£, £) = -£> 9гс(<, £), Згс.(£, 0) = 0, Б.дгс,{1, р0) = Шгс(£, р0), с(0, г) = <ро (г) = А + В/г, с,(0, г) = <р5(г).

Здесь с — равновесная концентрация в растворе. Время определя-

ется тем, что распадаться гидрид может, только достигнув критической концентрации ф. Если изначально в каждой точке г 6 [0, р(0)| было больше, то "лишний" водород переходит из гидрида в раствор, диффузионно перемещается к поверхности и десорбируется. Этот процесс идет до тех пор, пока на границе не будет достигнута критическая концентрация:

дгс. = В. (дггс. + 2дтс,/г), г £ (0, р(£)), дхс = 0(дгтс+ 2дгф), г € (р(£), Ь),

0гс.(£,О) = О, с.(£,р(£))=д, Щ = 6с2(£, Ь) = -£>агс(£, £-),

(4)

(5)

(6) (7)

Я,Эгс,(£,р) -Рдгс(«,р) = /(Г(£)), (<5 - ф,р))р = Шгс(£,р) - Б,drC.it,р),

с(£ъг) = <р(г), с.(£ьг) = уз. (г)

c,(íi,p(0)) = Q. На неподвижной границе раздела фаз поддерживается локально равновесная концентрация растворенного в металле водорода. Второе условие в четвертой строке: непрерывность потока через неподвижную границу раздела фаз, получается из условия Стефана (6) при р — 0. Начальное распределение в гидриде достаточно произвольно, оно должно удовлетворять лишь условиям

(*5)'(0) = 0, D,(0)(у>5)'(р(0)) = D(O)<p'o(p(0)), vl(r) > Q.

В случае поверхностной десорбции граничное условие при г — L имеет следующий вид:

q{t) = —b(t)q2(t) - D(t)drc(t,L), c(t,L) = g(t)q(t).

В случае объемной десорбции начальное распределение у>о(»0 не произвольно: должно выпоняться Выбор специального вида tpo (гипербола) связан с тем, что такое распределение стационарно для уравнения диффузии. Таким образом, 3*с(0, г) = 0, что при малой температуре Т(0) согласуется с физическими представлениями.

После исчерпания гидрида, т.е. когда р = 0, имеем модель остаточной дегазации:

dtc = D(drTc+2dTc/r), re(0,L), t>t2,

При поверхностной десорбции граничное условие при г — L имеет вид q = —bq2 — Ddrc(t,L), c(t,L) = g(t)q(t). Момент ¿2 определяется исчерпанием гидрида: p(f2) = 0.

Если концентрация в гидриде постоянна (c,(£,r) = Q), то в случае объемной десорбции распределение в корке при í = 0 нетривиально и из (6) следует р(0) ф 0. Постоянство концентрации может быть обусловлено химическими причинами (солеподобные гидриды), либо концентрация не успевает существенно изменяться. Примем

После этого применима описанная выше модель («предначального» этапа нет, так как уже

В параграфе 1.4 выводятся модели дегидрирования для быстрой диффузии (высокотемпературный пик ТДС-спектра).

Считаем, что динамика концентрации растворенного водорода определяется балансом потоков: десорбционного / (десорбция объемная) и из гидридной фазы I. Модель имеет вид:

[L3 - p*(t)\ ¿(0 = 3 [/(t)p2(í) - J(t)L% с(0) = с, (8)

Уравнение (9) — условие Стефана. Плотность десорбционного потока J — Ь{Ь)<Р^,Ь). Плотность потока 1(Ь) задается в зависимости от физических представлений. Возможные варианты: / = к(Ь)С}, I = к(1)С}( 1 — с/с), I = к(£)(С2 — с), 4тгр21 = 4тг 1 — т'т(к<2, Л?/р2). Последние два варианта отвечают простейшей модели (распад гидрида определяется только десорбцией) и модели с переключением (поток распада гидрида не превосходит десорбции и его плотность ограничена Учет распределения частиц по размерам (усреднение потока) приводит к значительному сглаживанию кривых и удовлетворительной аппроксимации экспериментальных данных.

Предположение о поверхностной десорбции и быстром растворении приводит к модели

Теперь предположим, что диффузия в растворе достаточно быстрая по сравнению с процессами на фронте раздела фаз и у поверхности, но все же недостаточно, чтобы выравнивать концентрацию. Распределение концентрации все время квазистационарное (А+В/г), параметры А и В определяются соотношением потоков из гидридной фазы I и десорбционного J. Изменения потоков приводят к перестройке квазистационара по г, медленной по сравнению с диффузией. Смысл понятия «медленно» в том, что А = В = В{() и А/Б и О, В/Б и 0. В диссертации построены модели для потоков вида /(£) = к{р)(} и /(<) = к{Ь)С} [1 — с(4, р)/с]. Системы уравнений имеют вид

начальные данные определяются условием равновесной начальной концентрации с на границе раздела фаз.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена математическому исследованию поставленных краевых задач. В параграфе 2.1 доказывается теорема существования и единственности для задачи (1)-(3). Заменяем время по формуле 4' = £ Л(т)с1г (новое время обозначим опять £). Исключая переменную д из условия получим:

с(г,0) = с2М) + |с(«,0) + 50*сМ), * е (0,£+),

Ищем решение в виде ряда Фурье с(£,х) = + £ К„8т{кпх/£). Подставляя в граничное условие, имеем:

Суммирование — по нечетным натуральным п. Специфика полученного уравнения — в «хвосте» /о • Если бы на его месте была функция времени, не зависящая от Л, то имели бы уравнение Риккати. Производная А входит в обе части уравнения. Справа нельзя использовать интегрирование по частям — один из рядов будет расходящимся. По той же причине нельзя менять знаки суммы и интеграла в правой части. Решение уравнения однозначно определяет решение краевой задачи.

ТЕОРЕМА 1. Для достаточно малых решение А € С1^) на отрезке !=[0,существует и единственно.

ТЕОРЕМА 2. Классическое решение с(£, х) € С1,2 краевой задачи ТДС (1)-(3) существует и единственно в и = [0, £+] X (О,/).

На основе принципа максимума для параболических уравнений доказан ряд свойств классического решения краевой задачи ТДС, соответствующих физическим представлениям о динамике моделируемых процессов.

В параграфе 2.2 рассматривается связь моделей дегидрирования с учетом диффузии и с быстрой диффузией. Предположения: коэффициент диффузии имеет вид <!£)({), где (1 — число, а £> ограниченная при 4 > 0 функция; при каждом существует классическое решение краевой

задачи

д(с - ¿Ь (дггС + 2дгс/г), г € (р(*), ь), бс2 (г, ь) = -аЬ <эГс(г, ь), с(о, г) = ^(г),

(модели дегидрирования); существует непрерывно дифференцируемый предел решений при Доказано, что не зависит от и удовлетворяет уравнению (8):

¿ПтЮ (£3 ~ Р3) = 3 (Щр2 - ЩЬ2)

являющемуся уравнением модели при быстрой диффузии. При этом I(t) =

k(t)Q( 1-е»,„(0/2), J(t) = b{t)4m.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ строятся разностные схемы для решения поставленных краевых задач. В параграфе 3.1 построены разностные схемы порядка аппроксимации 0(/i4 + г2) (т — шаг по времени, h — шаг по пространственной переменной) для задачи (1)-(3), в том числе — трехслойная явная схема на равномерной сетке. Параграф 3.2 посвящен численным методам для задач с подвижной границей. Для модели с постоянной концентрацией в гидриде (варианты с объемной и поверхностной десорбцией, стр. 9) описан разностный численный метод порядка аппроксимации 0(т + К), являющийся развитием метода ловли подвижного фронта в узел сетки. Разностная схема неявная на равномерной по пространственной переменной сетке. Шаг по времени т подбирается (используется аппроксимация условия Стефана (б)) так, чтобы смещение подвижной границы равнялось с погрешностью аппроксимации шагу

Для моделей с диффузией в обеих фазах (стр. 7) конструируется численный метод на основе метода выпрямления фронта. Замены переменных

сводят краевую задачу с подвижной границей к задаче в фиксированной области (но с нелинейно входящим в уравнения параметром p(t)). Для полученной задачи построена неявная схема порядка аппроксимации 0(h2 + r). Значение параметра p{t) на текущем слое времени определяется из аппроксимации условия Стефана (6) с порядком О (h2 + т).

В параграфе 3.3 приведены результаты численных экспериментов. Обоснована адекватность моделей. Изучено влияние параметров математических моделей на вид кривых плотности десорбционного потока. Получены оценки кинетических параметров для гидрида эрбия (высокотемпературный пик ТДС-спектра).

В ПРИЛОЖЕНИИ компактно приведены модели дегидрирования, подробно описанные в главе 1 диссертации.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы следующие выводы по результатам диссертации.

1. Построены математические модели выделения водорода из порошков гидридов металлов в форме диффузионных краевых задач с подвижной границей, а также в форме систем нелинейных ОДУ (диффузия быстрая).

2. Для краевой задачи ТДС с нелинейными динамическими граничными условиями (дифференциальные уравнения на поверхности) дока-

залы существование и единственность классического решения. Исследованы свойства решения.

3. Предложена явная трехслойная разностная схема повышенного порядка аппроксимации для краевой задачи ТДС с нелинейными динамическими граничными условиями.

4. Для решения краевых задач с подвижной границей развиты численные методы для задач типа Стефана: ловли подвижного фронта в узел сетки и выпрямления подвижного фронта. Специфика: неклассическое условие Стефана и нелинейные граничные условия.

5. Показано, что влияние параметров десорбции, диффузии, растворения на поверхности на вид десорбционных кривых для модели дегазации и моделей выделения водорода из порошков гидридов металлов методом ТДС находятся в соответствии с современными физическими представлениями.

6. Получены оценки кинетических параметров для гидрида эрбия для высокотемпературного пика ТДС-спектра, соответствующего превращению ErHi в Er (модель с быстрой диффузией, объемной десорбцией и балансом потоков десорбции и распада гидрида).

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:

Статьи

1. Zaika Yu.V., Chernov LA. Nonlinear dynamical boundary-value problem of hydrogen thermal desorption // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Y«23, 2003, pp. 1447-1463.

2. Gabis I., Evard E., Voit A., Chernov I., Zaika Yu. Kinetics of decomposition of erbium hydride // Journal of Alloys and Compounds, v. 356357, 2003, pp. 353-357.

3. Заика Ю.В., Чернов И.А. Моделирование динамики взаимодействия водорода с конструкционными материалами // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 10, вып. 1, 2003, с. 11-24.

4. Заика Ю.В., Чернов И.А. Краевая задача с динамическими граничными условиями и движущейся границей (кинетика дегидрирования) // Математическое моделирование, т. 16, ЛН, 2004, с. 3-16.

5. Заика Ю.В., Чернов И.А., Родченкова Н.И. Краевая задача с движущейся границей: моделирование дегидрирования // Труды института прикладных математических исследований КарНЦ РАН, выи. 4, Петрозаводск, 2003, с. 36-60.

6. Чернов И.А. Классическое решение нелинейной краевой задачи с динамическими граничными условиями // Труды Петрозаводского государственного университета, серия: Математика, вып. 7, ПетрГУ, Петрозаводск, 2000, с. 109-121.

7. Чернов И.А. Существование и свойства решения нелинейной краевой задачи переноса газа в твердом теле // Труды института прикладных математических исследований КарНЦ РАН, вып. 2, Петрозаводск, 2000, с. 226-246.

8. Чернов И.А Математическое моделирование переноса газа в твёрдом теле (термодесорбционная спектрометрия) // Труды института прикладных математических исследований КарНЦ РАН, вып. 1, Петрозаводск, 1999, с. 205-216.

Тезисы докладов

9. Габис И.Е., Войт А.П., Евард Е.А., Заика Ю.В., Чернов ИА Кинетика выделения водорода из порошков гидридов металлов // II Международный семинар «Взаимодействие изотопов водорода с конструкционными материалами», Саров, апрель 12-17, 2004, с. 126.

10. Gabis I., Voyt A., Evard E., Zaika Yu., Chernov I., Dobrotvorski A. Mechanisms of metal hydrides decomposition // VIII International Conference in Hydrogen Material Science, Crimea, Ukraine, September 14-20, 2003, pp. 106-109.

11. Zaika Yu.V., Chernov LA. Modelling of TDS-spectra of dehydrating // VIII International Conference in Hydrogen Material Science, Crimea, Ukraine, September 14-20, 2003, pp. 140-143.

12. Заика Ю.В., Чернов И.А. Краевая задача с динамическими граничными условиями и подвижной границей // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 10, вып. 1, 2003, с. 152-154.

13. Gabis I., Evard E., Voit A., Chernov I., Zaika Yu. Kinetics of decomposition of erbium hydride // International Symposium on Metal Hydrogen Systems, Fundamental and Applications, Annecy, France, September 26, 2002, p. 102.

14. Заика Ю.В., Чернов И.А. Моделирование переноса водорода в конструкционных материалах // Математические методы в экологии, Петрозаводск, 2001, с. 261-264.

15. Заика Ю.В., Чернов И. А. Краевая задача с динамическими граничными условиями // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 8, вып. 1, 2001, с. 174-175.

16. Chernov LA. Mathematical modelling of gas transportation in solids (thermodesorbtion spectrometry) // Proceedings of the Fifth Inter-Karelian Conference, Petrosavodsk, Russia, 2000, pp. 215-220.

17. Чернов И.А. Модель переноса водорода сквозь мембрану. Метод тер-модесорбционной спектрометрии // Третья международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», СПбГТУ, С.-Петербург, 2000, с. 196-197.

18. Чернов И.А Моделирование водородопроницаемости: краевая задача с динамическими граничными условиями // Пятая санкт-петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов, Санкт-Петербург, 2000, с. 47-48.

Изд. лиц. № 00041 от 30.08.99. Подписано в печать 11.05.04. Формат 60x84 1/16.Бумага офсетная. Гарнитура «Times». Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Изд. № 36. Заказ № 423

Карельский научный центр РАН 185003, Петрозаводск, пр. Л. Невского, 50 Редакционно-издательский отдел

»10 4 08

Введение

Обозначения.

Описание экспериментального метода.

1. Математические модели взаимодействия водорода с твердым телом

1.1. Поверхностные процессы.

1.2. Математическая модель дегазации методом ТДС.

1.3. Модели дегидрирования с учетом диффузии.

1.3.1. Основные предположения

1.3.2. Объемная десорбция и условие на подвижной границе

1.3.3. Связь условия Стефана и уравнения диффузии

1.3.4. Поверхностная десорбция.

1.3.5. Формирование начальных распределений

1.3.6. Этап с движущейся границей.

1.3.7. Остаточная дегазация.

1.3.8. Вариант с постоянной концентрацией в гидриде

1.4. Модели дегидрирования с быстрой диффузией.

1.4.1. Простейшая модель.

1.4.2. Модель с переключением.

1.4.3. Балансовая модель.

1.4.4. Модель с относительно быстрой диффузией.

1.4.5. Модели с поверхностью.

1.4.6. Учет изменения концентрации в гидриде.

2. Математическое обоснование

2.1. Существование и свойства решения краевой задачи ТДС

2.1.1. Единственность, положительность и монотонное убывание решения.

2.1.2. Теорема существования.

2.1.3. Убывание и продолжимость решения.

2.2. Сходимость по коэффициенту D

3. Численные методы

3.1. Разностная схема повышенного порядка аппроксимации

3.1.1. Трехслойная явная разностная схема.

3.1.2. Граничные условия.

3.1.3. Двухслойные схемы.

3.2. Численные методы для задач с подвижной границей.

3.2.1. Неявная схема с ловлей подвижного фронта в узел сетки.

3.2.2. Метод замены переменной.

3.2.3. Распределение по радиусам

3.3. Результаты численных экспериментов.

Актуальность темы

Проблемы энергетики являются одним из фундаментальных научных направлений. В связи с возрастающими экологическими требованиями особое внимание уделяется перспективам использования водорода в качестве энергоносителя. Ведется интенсивный поиск материалов для эффективного решения задач хранения и транспортировки. Кроме того, наличие водорода в конструкционных материалах приводит к ухудшению их эксплуатационных качеств (охрупчивание металлов), что требует особых защитных покрытий. Наконец, перспективы термоядерной энергетики связаны с использованием изотопа водорода — трития. Достаточно полное представление о направлениях исследований можно получить из [2, 8, 9, 13, 14, 16, 17, 25, 27, 44, 52, 67, 68, 69, 73]. Роль математического моделирования в таких задачах достаточно весома.

Имеется широкий спектр физико-химических представлений и соответствующих математических моделей для различных стадий взаимодействия водорода с твердым телом. В списке литературы указаны лишь некоторые работы, соответствующие контексту диссертации и содержащие дальнейшую библиографию ([10, 11, 44, 55, 56, 57, 61, 62, 63, 64, 67]). Перенос водорода в различных материалах изучается в работах [12, 19, 58, 60]. Методам параметрической идентификации моделей водородо-проницаемости посвящены работы [20, 21, 70]. Экспериментальные исследования требуют разработки вычислительных методов, позволяющих моделировать взаимодействие водорода с твердым телом с учетом новых физико-химических представлений и оценивать различного рода кинетические параметры. Вычислительные эксперименты позволяют выбрать адекватные модели по экспериментальным данным, выделить лимитирующие процессы и оценить кинетические параметры, дают возможность понять механизм взаимодействия и сократить расходы на эксперименты.

В данной работе остановимся лишь на некоторых возможных моделях применительно к методу термодесорбционной спектрометрии (ТДС), широко применяемому в экспериментальной практике. Краткое описание метода приведено ниже (стр. 13), подробнее см. [2, 11, 13, 14, 73]. В построенных моделях специфика материала не существенна, поэтому физико-химическую терминологию будем использовать в минимальном объеме. Равновесные закономерности достаточно хорошо изучены (так называемые РТС-диаграммы), возрастающий интерес вызывает кинетика десорбции водорода, а также гидрирования и дегидрирования металлов. Здесь возникает новый класс краевых задач, характеризующийся нелинейными динамическими граничными условиями, подвижной границей раздела фаз и условиями сопряжения на стыках слоев. К нелинейным граничным условиям приводит рассмотрение физико-химических процессов на границе, к подвижной границе — учет фазового перехода.

В литературе подробно изучены линейные краевые задачи I—III рода [26, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 39, 46, 49, 54, 59]. Численному решению посвящены (полностью или частично) книги [1, 18, 36, 40, 41, 43]. Нелинейные краевые задачи и уравнения изучены в значительно меньшей степени [3, 15, 24, 28, 30, 31, 32, 47, 49, 59]. Нелинейность краевых задач, рассмотренных в работе, обусловлена нелинейными граничными условиями для линейного параболического дифференциального уравнения в частных производных — уравнения диффузии. В литературе встречаются термины «нелинейность II рода» [24] и «внешняя нелинейность» [32]. Линейность уравнения позволяет адаптировать для задач некоторые методы линейной теории [49]. Задачи с подвижной границей (задачи типа Стефана) образуют важный для приложений класс краевых задач.

Поскольку положение подвижной границы определяется решением, то задачи с подвижной границей всегда нелинейны, даже если само уравнение и краевые условия линейны. В настоящее время теория задач типа Стефана получила широкое развитие. Следует упомянуть, в частности, [4, 5, 6, 7, 24, 31, 32, 36, 37, 42, 47, 48, 49, 65].

Задачи с подвижной границей часто возникают в теории теплопроводности в связи с фазовыми переходами агрегатных состояний. Обычно в таких задачах решение (температура) на границе непрерывно, а поток (тепловой) терпит разрыв. У полученных в работе задач разрывно решение (концентрация), а поток (атомов) может как быть, так и не быть непрерывным. Это существенное отличие ограничивает аналогии между задачами тепло- и массопереноса.

Прямые задачи требуют разработки численных методов достаточно высокого порядка точности, эффективных в классе жестких задач [38]. Наличие свободной (подвижной) границы является дополнительной проблемой при конструировании разностных схем. Обзор численных методов решения задач с подвижной границей содержится в [36]. Численный метод «ловли подвижного фронта в узел сетки» для широкого класса нелинейных задач Стефана с нелинейными граничными условиями и доказательство его сходимости к точному решению (и, следовательно, доказательство существования последнего) приведены в [4].

Цели работы и основные методы

Цели работы:

1) Моделирование взаимодействия водорода с твердым телом (металлами) для экспериментального метода термодесорбционной спектрометрии (ТДС) с учетом процессов на поверхности и подвижной границы раздела фаз.

2) Математическое обоснование и разработка численных методов для краевых задач с подвижной границей и нелинейными граничными условиями — моделей термодесорбционной спектрометрии.

3) Проведение серии численных экспериментов с целью проверки адекватности моделей, выделения лимитирующих факторов, анализа чувствительности к вариациям параметров; оценка кинетических параметров дегидрирования (гидрид эрбия).

Основные результаты работы получены на основе методов решения краевых задач математической физики, функционального анализа, теории разностных схем. Уравнения моделей выводятся на основе закона сохранения вещества — предельным переходом в балансовых соотношениях. Доказательства теорем опираются на принцип сжимающих отображений и принцип максимума для параболических уравнений.

Научная новизна

1) В диссертации получены новые модели взаимодействия водорода с металлами: модели выделения водорода из порошков гидридов металлов. Модели имеют форму краевых задач для уравнения диффузии с нелинейными граничными условиями (III рода и динамическими) и подвижной границей раздела фаз, а также форму систем обыкновенных дифференциальных уравнений (в случаях, когда диффузию можно считать быстрой).

2) Доказана теорема существования и единственности для краевой задачи ТДС с нелинейными динамическими граничными условиями, доказаны свойства решения, подтверждающие соответствие модели физическим представлениям.

3) Разработаны разностные схемы (явные и неявные) повышенного порядка аппроксимации для краевой задачи ТДС.

4) Доказано, что предел решений (с ростом коэффициента диффузии D) распределенной диффузионной краевой задачи ТДС является решением обыкновенного дифференциального уравнения модели дегидрирования с быстрой диффузией.

5) Разработаны численные методы для решения краевых задач с нелинейными граничными условиями и подвижной границей (моделей дегидрирования). Специфика задачи — неклассическое условие Стефана на границе раздела фаз.

6) Получены оценки кинетических параметров дегидрирования для гидрида эрбия.

Основные результаты диссертации получены автором.

Практическая ценность

В работе получены новые модели выделения водорода из порошков гидридов металлов, предложены численные методы решения соответствующих краевых задач. Адекватность моделей обоснована численными экспериментами. Получены оценки кинетических параметров для конкретного материала (гидрид эрбия). Результаты диссертации могут быть использованы при разработке методов решения обратных задач идентификации параметров выделения водорода из гидридов, а также служить основой для моделирования поглощения водорода металлами.

Положения диссертации, выносимые на защиту

1) Математические модели дегидрирования для метода ТДС: диффузионные краевые задачи с подвижной границей и нелинейными краевыми условиями и системы обыкновенных дифференциальных уравнений для случая быстрой диффузии.

2) Теоремы существования и единственности для краевой задачи с динамическими нелинейными граничными условиями, анализ свойств решения; обоснование предельного перехода с ростом D.

3) Численные методы решения одно- и двухфазных краевых задач типа Стефана (моделей выделения водорода из порошков гидридов металлов).

4) Результаты численных экспериментов, выделение лимитирующих факторов и оценка кинетических параметров дегидрирования (гидрид эрбия).

Структура работы

Диссертация, объемом 127 страниц, состоит из введения, трех глав, выводов, списка литературы и приложения. Во введении обосновывается актуальность темы, производится обзор литературы по теме, описаны цели работы, научная новизна и практическая ценность, приведены общие для всей работы обозначения и соглашения и описан экспериментальный метод термодесорбционной спектрометрии (ТДС).

Заключение

Таким образом, в работе получены следующие результаты.

1) Построены математические модели выделения водорода из порошков гидридов металлов в форме диффузионных краевых задач с подвижной границей, а также в форме систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (диффузия быстрая).

2) Для краевой задачи ТДС с нелинейными динамическими граничными условиями в форме дифференциальных уравнений на поверхности доказаны теоремы существования и единственности классического решения. Кроме того, доказаны такие свойства решения, как положительность, ограниченность и убывание. Эти свойства обусловлены физическим смыслом: концентрация положительна, ограничена и убывает по постановке эксперимента ТДС. В работе соответствующие свойства решения краевой задачи выведены из ее уравнений.

3) Предложена явная трехслойная разностная схема повышенного порядка аппроксимации для краевой задачи ТДС с нелинейными динамическими граничными условиями.

4) Для решения краевых задач с подвижной границей (моделей дегидрирования) развиты численные методы для задач типа Стефана: ловли подвижного фронта в узел сетки и выпрямления подвижного фронта. Специфика задач: неклассическое условие Стефана и нелинейные граничные условия.

5) Проведено сравнение модельных кривых с экспериментальными данными (гидрид эрбия). Показано, что модели с быстрой диффузией в предположении как объемной, так и поверхностной десорбции одинаково хорошо аппроксимируют экспериментальные данные. Более того, вариация только скорости линейного нагрева не позволяет выделить более адекватную модель.

6) Показано, что влияние параметров десорбции, диффузии, растворения на поверхности на вид десорбционных кривых для модели дегазации методом ТДС и моделей выделения водорода из порошков гидридов металлов методом ТДС находятся в соответствии с современными физическими представлениями.

7) Получены оценки кинетических параметров для гидрида эрбия для высокотемпературного пика, соответствующего превращению ЕгН2 в Ег (модель с быстрой диффузией, объемной десорбцией и балансом потоков десорбции и распада гидридной фазы). Рассмотрены 4 скорости нагрева. Полученные параметры: bo = 6 • 10-18cm4/s, Еь= 164 ± 1KJ (десорбция), к0 = (4.5 ± 1) • l(T5cm4/s, Ек е [0,11] KJ (скорость распада гидридной фазы).

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.-М.: Лаборатория базовых знаний, 2000.- 624 с.

2. Бекман И.Н., Габис И.Е., Компаниец Т.Н., Курдюмов А.А., Лясни-ков В.Н. Исследование водородопроницаемости в технологии производства изделий электронной техники // Обзоры по электронной технике, серия 7, выпуск 1 (1084), М., 1985.- 66 с.

3. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики.- Киев: АН СССР, 1974.- Т. 1. 452 с. Т. 2 292 с.

4. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностный метод решения некоторых краевых задач типа Стефана // В книге: Численные методы в газовой динамике, выпуск 4 / Под. ред. Павлова Б.М.- М.: МГУ, 1965, с. 139-183.

5. Будак Б.М., Соловьева Е.Н., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965, т. 5, №5, с. 828-840.

6. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики.- М.: МГУ, 1991.- 156 с.

7. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей.- М.: МГУ, 1987.- 163 с.

8. Взаимодействие водорода с металлами / Ред. А.П. Захаров.- М.: Наука, 1987.- 296 с.

9. Водород в металлах / Ред. Г. Алефельд и В. Фёлькль.- М.: Мир, 1981.- Т. 1.506 с. Т. 2. 430 с.

10. Габис И. Е. Метод концентрационных импульсов для исследования транспорта водорода в твердых телах // Журнал технической физики, 1999, т. 69, №1, с. 99-103.

11. Габис И.Е. Перенос водорода в металлах 16 группы и тонкопленочных системах полупроводник-металл.- Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, СПбГУ, 1995.

12. Габис И.Е. Перенос водорода в пленках графита, аморфного кремния и оксида никеля // Физика и техника полупроводников, 1997, т. 31, №2, с. 145-151.

13. Габис И.Е., Компаниец Т.Н., Курдюмов А.А. Поверхностные процессы и проникновение водорода сквозь металлы // В книге: Взаимодействие водорода с металлами / Под ред. Захарова А.П.- М.: Наука, 1987, с. 177-206.

14. Габис И.Е., Курдюмов А.А., Тихонов Н.А. Установка для проведения комплексных исследований по взаимодействию газов с металлами // Вестник Санкт-Петербургского университета, 1993, серия 4, выпуск 2, с. 77-79.

15. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения.- М.: Мир, 1978.- 336 с.

16. Гельд П.В., Мохрачева Л.П. Водород и физические свойства металлов и сплавов.- М.: Наука, 1985.- 231 с.

17. Гельд П.В., Рябов Р.А., Кодес Е.С. Водород и несовершенства структуры металла.- М.: Металлургия, 1979.- 221 с.

18. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем.-М.: Физматгиз, 1962.- 340 с.

19. Евард Е.А., Сидоров Н.И., Габис И.Е. Водородопроницаемость аморфного и рекристаллизованного сплавов на основе железа // Журнал технической физики, 2000, т. 70, выпуск 3, с. 90-92.

20. Заика Ю.В. Идентификация модели водородопроницаемости металлов // Журнал технической физики, 1998, т. 68, №11, с. 38-42.

21. Заика Ю.В. Параметрическая идентификация модели переноса водорода сквозь двухслойные мембраны // Журнал технической физики, 2000, т.70, выпуск 5, с. 32-39.

22. Заика Ю.В. Разрешимость уравнений модели переноса газа сквозь мембраны с динамическими граничными условиями // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1996, т. 36, №12, с. 108-120.

23. Заика Ю.В. Управление и алгоритмы наблюдения и идентификации: уч. пособие.- Петрозаводск: ПетрГУ, 2001.- 164 с.

24. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности,- М.: Наука, 1975.- 228 с.

25. Колачев Б.А. Водородная хрупкость металлов.- М.: Металлургия, 1985.- 217 с.

26. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики.- М.: Гос. издательство физ.-мат. литературы, 1962.- 767 с.

27. Кунин Л.Л., Головин А.И., Суровой Ю.И., Хохрин В.М. Проблемы дегазации металлов.- М.: Наука, 1972.- 324 с.

28. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения.-М.: Наука, 1988.- 304 с.

29. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.- М.: Наука, 1973.- 408 с.

30. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука, 1967.560 с.

31. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- М.: Мир, 1972.- 587 с.

32. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики.- М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.- 368 с.

33. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных- М.: Наука, 1983.- 424 с.

34. Михлин С.Г. Курс математической физики.- М.: Наука, 1968.- 575 с.

35. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.- М.: Высшая школа, 1977.- 431 с.

36. Никитенко Н.И. Исследование нестационарных процессов тепло- и массопереноса методом сеток.- Киев: Наукова думка, 1971.- 226 с.

37. Радкевич Е.В., Меликулов А.С. Краевые задачи со свободной границей.- Ташкент: ФАН, 1988.- 183 с.

38. Ракитский Ю .В., Устинов С .М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем.- М.: Наука, 1979.- 208 с.

39. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике.- М.: Мир, 1985.- 589 с.

40. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики.- М.: Наука, 1999.- 319 с.

41. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.: Наука, 2002.350 с.

42. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965, т. 5, №5, с. 816-827.

43. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М., Наука, 1983.- 616 с.

44. Сборник тезисов VIII международной конференции Водородное материаловедение и химия углеродных наноматериалов. Крым, Украина, 2003. / Ред. Д.В. Щур, С.Ю. Загинайченко, Т.Н. Везироглу.-Киев, 2003.- 1163 с.

45. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1979.- 288 с.

46. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1972.- 702 с.

47. Толубинский Е.В. Теория процессов переноса.- Киев: Наукова думка, 1969.- 259 с.

48. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами.- М.: Мир, 1990.- 535 с.

49. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.- М.: Мир, 1968.- 427 с.

50. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.-М.: Мир, 1984.- 421 с.

51. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных.- М.: МГУ, 1991.- 112 с.

52. Шаповалов В.И. Влияние водорода на структуру и свойства железоуглеродистых сплавов.- М.: Металлургия, 1982.- 232 с.

53. Azoulay A., Shamir N., Fromm Е., Nagy-Szokefalvi A., Mintz М.Н. Hydrogen Interactions with Polycrystalline and with Deposited Titanium Surfaces //Journal of Alloys and Compounds, 1997, v. 248, pp. 209-214.

54. Bleecker D., Csordas G. Basic Partial Differential Equations. -International Press, Cambridge, Mass., USA, 1996.- 735 p.

55. Bloch J., Mintz M.H. Kinetics and mechanisms of metal hydrides formation — a review // Journal of Alloys and Compounds, 1997, v. 253-254, pp. 529-541.

56. Bloch J. The kinetics of a moving metal hydride layer // Journal of Alloys and Compounds, 2000, v. 312, pp. 135-153.

57. Castro F.J., Meyer G. Thermal desorption spectroscopy (TDS) method for hydrogen desorption characterization (I): theoretical aspects // Journal of Alloys and Compounds, 2002, v. 330-332, pp. 59-63.

58. Evard E.A., Kurdumov A.A., Berseneva F.N., Gabis I.E. Permeation of hydrogen through amorphous ferrum membrane // International Journal of Hydrogen Energy, 2001, v. 26, pp. 457-460.

59. Evans Lawrence C. Partial Differential Equations.- Graduate Studies in Mathematics, volume 19, AMS, Providence, Rhode Island, 1998.- 662 p.

60. Inomata A., Aoki H., Miura T. Measurement and modelling of hydriding and dehydriding kinetics // Journal of Alloys and Compounds, 1998, v. 278, pp. 103-109.

61. Fernandez J.F., Sanchez C.R. Simultaneous TDS-DSC measurements in magnesium hydride // Journal of Alloys and Compounds, 2003, v. 356357, pp. 348-352.

62. Lufrano J., Sofronis P., Birnbaum H.K. Elastoplastically accomodated hydride formation and embrittlement // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1998, v. 46, pp. 1497-1520.

63. Mintz M.H., Zeiri Y. Hydriding kinetics of powders // Journal of Alloys and Compounds, 1994, v. 216, pp. 159-175.

64. Rubenstem L.I. The Stefan Problem.- Translations of Mathematical Monographs, volume 27, AMS, 1971.- 419 p.

65. Suzuki Y., Haraki Т., Uchida H. Effect of LaNi5H6 hydride particles size on desorption kinetics // Journal of Alloys and Compounds, 2002, v. 330-332, pp. 488-491.

66. Varias A.G., Massih A.R. Hydride-induced embrittlement and fracture in metals-effect of stress and temperature distribution // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2002, v. 50, pp. 1469-1510.

67. Varias A.G., Massih A.R. Temperature and constraint effects on hydride fracture in zirconium alloys // Engineering Fracture Mechanics, 2000, v. 65, pp. 29-54.

68. Yukawa H., Nakatsuka K., Morinaga M. Design of hydrogen storage alloys in view of chemical bond between atoms // Solar Energy Materials and Solar Cells, 2000, v. 62, pp. 75-80.

69. Zaika Yu. V. Identification of a hydrogen transfer model with dynamical boundary conditions // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2004, №4, pp. 195-216.

70. Публикации автора по теме диссертации

71. Заика Ю.В., Чернов И.А. Краевая задача с динамическими граничными условиями и движущейся границей (кинетика дегидрирования) // Математическое моделирование, 2003, том 16, №4, с. 3-16.

72. Заика Ю.В., Чернов И.А., Родченкова Н.И. Краевая задача с движущейся границей: моделирование дегидрирования // Труды института прикладных математических исследований КарНЦ РАН, 2003, выпуск 4, с. 36-60.

73. Gabis I., Evard Е., Voit A., Chernov I., Zaika Yu. Kinetics of decomposition of erbium hydride // Journal of Alloys and Compounds, 2003, v. 356-357, pp. 353-357.

74. Zaika Yu.V., Chernov I.A. Nonlinear dynamical boundary-value problem of hydrogen thermal desorption // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2003, №23, pp. 1447-1463.

75. Заика Ю.В., Чернов И.А. Моделирование динамики взаимодействия водорода с конструкционными материалами // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003, том 10, выпуск 1, с. 11-24.

76. Чернов И.А. Классическое решение нелинейной краевой задачи с динамическими граничными условиями // Труды Петрозаводского государственного университета, серия: Математика, 2000, выпуск 7, с. 109-121.

77. Чернов И.А. Существование и свойства решения нелинейной краевой задачи переноса газа в твердом теле // Труды института прикладных математических исследований КарНЦ РАН, 2000, выпуск 2, с. 226-246.

78. Чернов И.А. Математическое моделирование переноса газа в твёрдом теле (термодесорбционная спектрометрия) // Труды института прикладных математических исследований КарНЦ РАН, 1999, выпуск 1, с. 205-216.

79. Габис И.Е., Войт А.П., Евард Е.А., Заика Ю.В., Чернов И.А. Кинетика выделения водорода из порошков гидридов металлов // Второй международный семинар Взаимодействие изотопов водорода с конструкционными материалами, г. Саров, 2004, с. 126.

80. Gabis I, Voyt A., Evard Е., Zaika Yu., Chernov I., Dobrotvorski A. Mechanisms of metal hydrides decomposition // VTII International Conference in Hydrogen Material Science & Chemistry of Carbon Nanomaterials, Crimea, Ukraine, 2003, pp. 106-109.

81. Zaika Yu.V., Chernov I.A. Modelling of TDS-spectra of dehydrating // VIII International Conference in Hydrogen Material Science & Chemistry of Carbon Nanomaterials, Crimea, Ukraine, 2003, pp. 140-143.

82. Заика Ю.В., Чернов И.А. Краевая задача с динамическими граничными условиями и подвижной границей // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003, т. 10, выпуск 1, с. 152-154.

83. Gabis I., Evard Е., Voit A., Chernov I., Zaika Yu. Kinetics of decomposition of erbium hydride // International Symposium on Metal Hydrogen Systems, Fundamental and Applications, Annecy, France, September 2-6, 2002, p. 102.

84. Заика Ю.В., Чернов И.А. Моделирование переноса водорода в конструкционных материалах // Всероссийская научная школа Математические методы в экологии, Петрозаводск, 2001, с. 261-264.

85. Заика Ю.В., Чернов И. А. Краевая задача с динамическими граничными условиями // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2001, т. 8, выпуск 1, с. 174-175.

86. Chernov I.A. Mathematical modelling of gas transportation in solids (thermodesorbtion spectrometry) // Proceedings of the Fifth Inter-Karelian Conference, Petrosavodsk, 2000, pp. 215-220.

87. Чернов И.А. Модель переноса водорода сквозь мембрану. Метод термодесорбционной спектрометрии // Третья международная конференция Дифференциальные уравнения и их приложения, Санкт-Петербург, 2000, с. 196-197.

88. Чернов И.А. Моделирование водородопроницаемости: краевая задача с динамическими граничными условиями // Пятая санкт-петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов, Санкт-Петербург, 2000, с. 47-48.