автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование ТДС-спектра дегидрирования с подвижными границами раздела фаз

На правах рукописи

Родченкова Наталья Ивановна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТДС-СПЕКТРА ДЕГИДРИРОВАНИЯ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА ФАЗ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Петрозаводск 2007

003069284

Работа выполнена в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

Научный руководитель:

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Заика Юрий Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Фофанов Анатолий Дмитриевич

кандидат физико-математических наук, доцент Агапитов Константин Викторович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится ыСг&Я 2007 г. в час. на заседании дис-

сертационного совета Д 212.190 03 при Петрозаводском государственном университете по адресу: 185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан «.¿У » 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

"х

В. В. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Взаимодействие водорода с твердым телом (в частности, с конструкционными материалами) привлекает все больший интерес исследователей в связи с перспективами водородной энергетики. Ведется интенсивный поиск материалов для эффективного решения задач хранения и транспортировки водорода и его изотопов. Равновесные закономерности достаточно хорошо изучены (РТС-диаграммы), возрастающий интерес вызывает кинетика взаимодействия водорода с твердым телом. Одним из эффективных экспериментальных методов является метод тер-модесорбциошюй спектрометриии (ТДС) В контексте работ по проектированию гидридных аккумуляторов водорода актуальными являются задачи математического моделирования сложных физико-химических процессов с учетом образования и распада гидридных фаз. Здесь имеется недостаток адекватных математических моделей. Учет динамических физико-химических процессов па поверхности приводит к нелинейным неклассическим грашпшым условиям в краевых задачах, а учет распада гидридных фаз — к подвижным границам (задачам типа Стефана). Численное моделирование позволяет уточнить лимитирующие факторы при различных условиях эксперимента и эксплуатации материалов, оценить кинетические параметры, существешю сократить затраты на экспериментальные исследования. Поэтому тема диссертации является актуальной.

Цель и задачи исследования. Целыо исследования является разработка математических моделей взаимодействия водорода с металлами в условиях ТДС-эксперимента. Задачи построить математические модели ТДС-дегидрировшшя, разработать численные методы решения соответствующих краевых задач с подвижными границами раздела фаз и нелинейными граничными условиями, провести серию вычислительных экспериментов для выявления диапазона адекватности моделей и выделения лимитирующих факторов при различных условиях эксперимента

Объекты исследования. Объектами исследования являлись физико-химические процессы при разложении гидридов металлов (на основе современных экспериментальных данных) и их математические модели.

Методы исследования. Результаты диссертационной работы получены методами математического моделирования на основе законов сохранения вещества и энергии, теории краевых задач математической физики и теории разностных схем.

Научная новизна. Результаты исследований, изложенные в тексте диссертации, являются новыми. Построены новые математические модели ТДС-дегидрирования в форме краевых задач для уравнения диффузии с нелинейными граничными условиями (III рода и неклассическими

динамическими) и подвижными границами раздела фаз. Исследованы модели в классе систем обыкновенных дифференциальных уравнений для случая быстрой диффузии. Разработаны разностные схемы, вычислительные алгоритмы и программное обеспечение для расчетов по моделям ТДС-дегидрирования. Проведены численные эксперименты, подтверждающие адекватность моделей экспериментальным данным и позволяющие выделить лимитирующие факторы в различных условиях эксперимента.

Значение для теории и практики. Результаты диссертации позволяют уточнить теоретические представления о физико-химических процессах разложения гидридов металлов и переноса водорода в твердом теле в условиях ТДС-эксперимента, существенно сократить затраты на экспериментальные исследования при экстремальных условиях эксплуатации материалов и выделить лимитирующие факторы. Разработанные математические модели, численные методы и программное обеспечение могут быть эффективно использованы для оценки кинетических параметров дегидрирования конкретных материалов.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Математические модели ТДС-спектра дегидрирования металлов: диффузионные краевые задачи с подвижными границами раздела фаз и нелинейными динамическими граничными условиями с учетом эффектов сжатия и теплопоглощения при фазовом переходе, системы обыкновенных дифференциальных уравнений для случая быстрой диффузии.

2. Численные методы (в том числе и разностные схемы повышенного порядка аппроксимации) решения нелинейных краевых задач ТДС-дегидрирования с подвижными границами (с условиями типа Стефана) и динамическими граничными условиями.

3. Результаты численных экспериментов: определение диапазона адекватности моделей, выделение лимитирующих факторов в различных условиях эксперимента, оценка кинетических параметров.

Связь с научными программами и темами. Базой представленных математических исследований послужили экспериментальные и теоретические работы, выполненные в соответствии с планами НИР в НИИ Физики им. В.А. Фока при СПбГУ. Результаты диссертации получены в рамках научно-исследовательской темы Института прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН «Краевые задачи

взаимодействия водорода с твердым телом» (номер государственной регистрации 01.200.2 02222) и проекта «Численные методы решения задач с динамическими граничными условиями и подвижной границей» программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН «Современные вычислительные и информационные технологии решешы больших задач» (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН). Работа поддержана грантом «Фонда содействия отечественной науке» по программе «Лучшие аспиранты РАН» (2007 г.).

Публикация результатов. По результатам диссертации опубликовано 14 научных работ, 7 из которых в соавторстве, в том числе 1 статья в журнале «Математическое моделирование», 1 статья в международном периодическом издании, 3 публикации в журнале «Обозрение прикладной и промышленной математики», 4 статьи в сборниках научных трудов. Список публикаций приведен на с. 15.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались на 55-й и 56-й научной студенческой конференции ПетрГУ (Петрозаводск, 2003, 2004), Всероссийской научной школе «Математические методы в экологии* (Петрозаводск, 2003), XII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005» (лучший секционный доклад, физический факультет МГУ, 2005), на научном форуме «Всемирный год физики в Московском университете» (приглашенный пленарный доклад, МГУ,

2005), I Международной школе молодых ученых и специалистов «Взаимодействие водорода с конструкционными материалами: эксперимент и математическое моделирование» (Петрозаводск, 2005), VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006), IX International Conference in Hydrogen Material Science and Chemistry of Carbon Nanomaterials (Crimea, Ukraine, 2005), П Международной школе молодых ученых и специалистов «Взаимодействие изотопов водорода с конструкционными материалами: методы исследования» (Петрозаводск,

2006), XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2007» (лучший сек-ЦИОШ1ЫЙ доклад, физический факультет МГУ, 2007).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 116 страниц. Список литературы включает 96 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, приводится краткий обзор литературы по теме, сформулированы цель работы

и основные результаты, выносимые на защиту, описана структура диссертации. Приведены общие для всей работы обозначения, описан экспериментальный метод термодесорбционной спектрометрии (ТДС)

Первая глава посвящена построению математических моделей процесса ТДС-дегидрирования (разложения порошкообразного гидрида металла при нагреве) в случае, когда диффузия является относительно быстрой и можно ограничиться классом обыкновенных дифференциальных уравнений. В параграфах 1.1-1.3 приводятся математические модели поверхностных процессов, используемые при построении моделей ТДС-дегидрирования; моделируется эффект объемного сжатия; представлены модели с быстрой диффузией, соответствующие различным сценариями ТДС-дегидрирования металлов. Физически обоснованные предположения о природе поверхностных процессов приводят к нелинейным граничным условиям Ш рода (объемная десорбция) и к динамическим граничным условиям в форме нелинейных дифференциальных уравнений для поверхностных концентраций (поверхностная десорбция).

Базовые предположения. Модели излагаются в одночастичном приближении. Учет распределения частиц по радиусам приводит при численном моделировании к сглаживанию модельных пиков ТДС-спсктра. Имея в виду гидрид в виде порошка, рассматриваем сферическую частицу радиуса L(t). Предполагаем, что в гидридном ядре (в /3 фазе) радиуса p(t) < L(t) концентрация водорода постояшга, и равна Q, во внешней корке металла (в а фазе) толщины L — p концентрация растворенного атомарного водорода равна с, z — концентрация водорода в ловушках (в дефектах структуры металла, в частности, в микропорах); аг — коэффициенты обратимого захвата. В силу сферической симметрии с — c(t, г), z — z(t, г) (i — радиус) Равновесные концентрации обозначаем с, z. В первой главе рассматриваются модели с быстрой диффузией, поэтому с = c(t), z = z(t). В процессе дегидрирования гидридное ядро сжимается, атомарный водород диффундирует к поверхности и десорбируется, объединяясь в молекулы Щ. Также при распаде гидрида происходит существенное увеличение плотности (уменьшение объема). Это связано с перестройкой решетки на границе раздела фаз. Обозначим через 7 коэффициент сжатия: если в ¡3 фазе образец занимает объем У, то в а фазе его объем равен 7V, 7 < 1. Сжавшийся на границе раздела фаз внутренний шаровой слой приводит к уменьшению L(t) настолько, чтобы «пропавший» объем равнялся уменьшению объема частицы. Отсюда, имеем (1 — 7)[/?о ~ Р3] = — 1Л Здесь L0 = L(0), Ро — р(0), момент времени t = 0 соответствует началу всплеска десорбции.

Для определенности из всего класса моделей с быстрой диффузией, соответствующих различным сценариям дегидрирования, приведем лишь од-

ну (с кратким обоснованием). При этом используем физические предположения, приводящие к наименее громоздким выкладкам. Модель с переключением. Обозначим коэффициент десорбции (объемной для простоты) через b(t) = b(T(t)) = b0 cxp{-Eb/(RT)}. Зависимость от температуры — по закону Аррениуса, Еь — энергия активации, Ь0 — предэкспоненциальный множитель, R = const. Плотность досорбциошюго потока J = 6(t)c2(t) квадратична, что связано с образованием двухатомных молекул Я2. Давление молекулярного водорода в камере инициирует плотность потока ps(T)p(t) атомов Я на поверхность (в приповерхностный объем). Здесь р — кинетическая константа, s(T) — коэффициент прилипания, p(t) — давление Н2 в камере. Дегидрирование предполагает psp < be2. Лишь часть десорбировавшегося водорода возвращается обратно в результате откачки II-2 Плотность потока распада гидрида I(t) задается в зависимости от физических представлений. Возможные варианты. I = k(t)Q, I = k(t)Q[ 1 - с/с], где k{t) = k(T(t)).

Вначале (ро = L0) потенциальный поток распада I превышает десорб-щгониый J: I — k(T)Q > b(T)c2. Потоки подразумеваем отнесенными к единичной площадке, т. е. слово плотность обычно опускаем. Гидрида распадается столько, чтобы поддерживать равновесную концентрацию с в а фазе. Когда при р —► 0 это уже станет невозможным, c(t) начнет убывать. Условие переключения в момент ts следует из равенства потоков на границе раздела фаз: десорбционного J и из гидридной фазы I.

Балансовое соотношение при распадающемся гидриде до переключения:

QV(Lo) = QV(p(t)) + {c + z) [V(L(t)) - V(p(t))] +

+ [\ь(т)с2 - ps(T)p(T)}S(L(r))dT Jo

Здесь V(r) — объем шара радиуса r, S(r) — площадь сферы. Дифференцируя по t, получим:

{psp - bc2}L2 = [Q- 7(с + z) ] р2р, (1 - l)p2p = L2L,

L{0) = L0 => L(t) = _ .. [ {psp - be2} dr + L0 (1)

Q ~ 7(c + zj J0

Условие переключения:

kQS(p) = {be2 - psp}S(L(t))^> kQp2 = {bc2 - psp}L2(t), t = ts (2)

Рассмотрим отрезок времени [0, ts}: c{t) = с. Изменение радиуса частицы L определяется формулой (1). По L(t) однозначно находим p{t). Подставляя

L(t) и p{t) в (2), получаем уравнение для момента времени i,:

Оно эффективно числе1шо решается методом Ньютона Рассмотрим период t ^ ts. Гидрид распадается с максимально возможной скоростью, а скорость убывания концентрации растворенного водорода определяется разностью десорбционного потока и потока из гидридной фазы. Баланс:

QV(p) + [c(t) + z(t)] [V(L) - V{p)} + f {be2- nsp}S(L) dr = const

Jte

Дифференцируя no t, получаем

{psp - bc2}L2 = {Q- 7(c + z)]p2p + [c + z] [L3 - p3}/3 (3)

Рассмотрим теперь материальный баланс у грашщы раздела фаз:

-[Q - 7(c(i) + г(4))]ДV(p(i)) = Щ S(p(t))At + o(At) (AV < 0)

Отсюда находим условие Стефана — уравнение для p(t) (р < 0).

[Q—y(c(t) + z(t))]p(t) = -I(t), I(t) — k(t) Q, p(ts)=ps (4)

Начальные данные ps определяются предыдущим этапом (t < ts). Подставляя (4) в (3) получаем уравнение для концентрации c(t)-

(L3 - р3) с = 3[Ip2 + {nsp - Ьс2}Ь2] — z (L3 — р3), c{ts) = с

Приведем уравнения модели в компактной форме:

0 < t < ts с = с, L(t) = -- 1 ,_7 _. f {psp - be2} dr + L0,

Q - 7(c + z) J о

{l-l)\pl~ P3{t)} = L3-L3{t), P0 = L0, a2z = aic,

t > tt (L3 - p3)c{t) = 3[i>2 + {psp - bc2}L2~\ —z(t)(L3 - p3),

[Q-l(c{t)+z(t))]p(t) = -I(t), I(t) = k(t)Q, (5)

г = ciic(i) - a2z(t), z(ts) = z, c(ts) = с

Аналогичным образом вьшодятся более сложные модели, например, для случая поверхностной десорбции, когда нужно дополнительно учесть процесс растворения на поверхности. Отметим, что в физически реальном

диапазоне параметров некоторые модели оказались жесткими, что требует определенной осторожности при их численном интегрировании. Модели с относительно быстрой диффузией. Предположим, что диффузия в растворе быстрая по сравнению с процессами на фронте раздела фаз и у поверхности, но все же недостаточно, чтобы выравшшать концентрацию вдоль радиуса. Пусть функция c(t, г) при p(t) < г < L(t) подчинена уравнению диффузии в сферических координатах

дtc = D(t)[dirc + 2дтс/г], D{t) = D0 exp{-ED/[RT]}, T = T(t)

Если процессы на границах (г = p(t),L(t)) относительно медленные (что приводит к медленному изменению концентрации ct ~ 0), а коэффициент диффузии D достаточно велик, то можно полагать, что crr+2cr/r « 0. Интегрируя это уравнение 2-го порядка по г, находим вид квазистационарного профиля концентрации c(t,r) = A(t) + B(t)/r, г G [p(t),L(t)], p0 < L0 Скорость диффузии такова, что дополнительный эффект сжатия (движущаяся навстрет1у среда) существешю не меняет гиперболический характер распределения c(t, г) растворешюго в металле водорода. Таким образом, распределение концентрации вдоль радиуса в каждый фиксировашшй момент времени стационарное (гипербола). Параметры A(t) и В (t.) определяются соотношением потоков из гидридной фазы и десорбциошюго По физическому смыслу процесса дегидрирования концентрация c(t, г) убывает с ростом г G [p,L], поэтому нас интересует вариант B{t) > 0. Изменения потоков и постепегаюе сжатие ядра приводят к перестройке квазистационара по г, медленной по сравнению с диффузией. Смысл приставки «квази» в том, что А — A(t), В = B(t) и А « О, В « 0 в относительном масштабе.

В диссертации построены модели в форме систем обыкновенных дифференциальных уравнений для вариантов I(t) = k{t)Q и I(t) = k(t)Q [1 — c(t,p)/c], для объемной и поверхностной десорбции. Начальные данные определяются либо условием локально равновесной начальной концентрации с(0, ра) = с на границе раздела фаз, либо из условия того, что распад гидрида в начальный момент ТДС-всплеска соответствует диффузиошюму отводу: 1(0) = -Ddrc(0,po) = D(0)B(0)/p% Особенность при г = p(t) О «не опасна»: B(t) —► 0 быстрее. Если принять во внимание дефекты материала (добавится уравнение для z), то системы усложняются и становятся интегро-дифференциальными.

Вторая глава посвящена диффузионным моделям ТДС-спектра дегидрирования. Учет диффузии приводит к математическим моделям в форме краевых задач с подвижными границами раздела фаз (задачи типа Стефана) При этом также учитываются эффект сжатия и теплопоглощения при фазовом переходе. Разлишгые предположения о природе поверхностных

процессов приводят к нелинейным краевым условиям Ш рода (объемная десорбция) и к динамическим краевым условиям в виде нелинейных дифференциальных уравнений для поверхностных концентраций (поверхностная десорбция). Остановимся для определенности на упрощенной модели с объемной десорбцией и локальным равновесием на границе раздела фаз, пренебрегая дефектами (г(£, г) = 0, «, = 0).

,п Ч Л , В LqCq - сро с - Со 1 , .

c(0,r)=A+- = -I-—re(Po,Io),

t,(t, г) = (1 - 7) & = [Q - 7c(t, p)]p(t) = D(r[t,

Be

D{Tl)ö? L(t) = -KrbJ^^b), c(t,p(i)) = c, Tb(i) = T(t,L),

T=A0(i) + JB°(i)r-1, reHi),L(i)], (l-7)[^-p3] =L%-L3, A°(t) + B°(t)L~l(t)=T,(t), B°{t) = xp\t)p(t), TL(t)=T0 + vt

Здесь со = c(0, Lo) < с < Q, p(0) = po- Величины Q, c, >r, 7 считаем постоянными в пределах ТДС-пика Т е [Г-,Т+], коэффициенты диффузии и десорбции зависят от температуры по закону Аррениуса: D{T) = D0exp{-ED/RT}, b(T) = b0exp{-Eb/RT}.

Кратко прокомментируем модель. В уравнении диффузии учитывается, что за счет сжатия на границе гидрид-металл внешняя корка металла «оседает» со скоростью v(t, г) («пропавший» объем компенсируется внешними слоями). Начальное распределение — квазистационар. Условие Стефана определяет закон движения границы (p(t) = ). Поскольку теплопроводность значительно быстрее диффузии, то распределение температуры считаем квазистационарным Выражения для коэффициентов A°(t), B°(t) определяются тем, что приток тепла на границе раздела фаз «утилизируется» теплопоглощением при разложении гидрида

После того как гидридное ядро исчезнет (p(t») = 0), переходим к задаче дегазации без подвижных границ (г е [0, L»], L, — L(t*)) с условием симметрии Cr(i,0) = 0 и равномерным прогревом металлических частиц

T(t,r)=TL{t)=T(t):

дс . /д2с 2 дс\ , _ . , . ,

= D(t)[^rS + te(U,t*), re (0,1,), <p(r)=c(U,r),

Ot

-f

,9/ T . dc = -bc2(t,Lt), —

L. ОГ

r=+0

: 0, D(t) = D(T(t)), b(t) = b(T(t))

Момент t* определяется условием J(t*) = b(t*)c2(t*,L*) « 0. Преобразование краевой задачи. При р L можно пренебречь малым ядром /3 фазы и числешю переключиться на этап дегазации. Требование к точности вычислений снижается на этапе спада десорбции Поэтому остановимся на следующем варианте: движущийся и расширяющийся отрезок [р(£), L(t)] преобразуется в [0,1] с последующим выбором равномерной сетки. Введем замену переменных:

(t,r) <-» (t,x), г = p{t) + x[L(t) - p(t)}, u(t,x) = c(t,r(t,x)) Краевая задача ТДС-дегидрирования после замены переме1тых:

ди 1 д кди\ . ди ,„ .

at = м ^ И3^)+ /{i'fe' <'6 (0':^ хе (0'1}'

(L-P)

/(t,a:) = [p(<)(l-x)+i(i)z

2D(T)

— w(t, x)

w(t, x) = v(t, r(t, x)) —

p+x(L- p) (1 - 7)P2P _ L2L

L-p>

(p + x(L-p)) 2 (p + x(L-p)) Lppoju - up)_

2 '

/Q ч = LqUq - Upo _______________^ _ ^

Lo-po (L0 - po)[po + x(L0 - Po)V u0 = u( 0,1), [Q-7U(t)0)]p(i)=(^l||)|a!=o, /9(0) = p0,

(1 - 7) [pg - P3] = ¿g - L3, TL (t) = T(t, L(t)) = T0 + vt, T(i,z) = A°(t)-

p + x(l-pY l l '

Формально можно забыть о физическом смысле р(£) как границы раздела фаз, а Ь(Ь) как радиуса частицы, и рассматривать их как функциональные параметры. Заметим, что обобщенно краевую задачу для уравнения диффузии можно записать в стандартной форме:

Но здесь «коэффициенты» Ф, = Фг (i, х; и()) являются нелинейными функционалами от решения и. Действительно, считая функцию u(t, х) формально известной, получаем из условия Стефана (с учетом зависимости температуры на (а-/3)-грашще T(t,0) от p(t), p{t)) обыкновешюе дифференциальное уравнение для p(t): р — G(t,p,p). Значе1ше ро задано, а ро вычисляется (см. п. 1,2 изложенного ниже алгоритма). По решению p{t) однозначно определяются функции L(t), f(t,x), T(t, х). По этим причинам вычислительный алгоритм будет основан на неявной схеме и носить итерационный характер.

Неявная разностная схема. Введем равномерную сетку хг = ih, г = 0,1, , N, tn = тгт, где h — 1/N — шаг по пространственной переменной, т — по времени. Введем сеточные аппроксимации

17™ « u{tn, хг), Ln « L(tn), рп » p{tn), Рп « p(tn), Ln к L(t„),

а™ = (D(T[tn хг]) + D(T[tn, хг_г]))/2. Из начальных дшшых имеем U° = и(0,хг). Для аппроксимации уравнения диффузии с порядком О (к2 + т) в узле (хг^п) используем четырехточечный шаблон (x,±i, tn+i), (xi,tn), (xtjtn+i). Как вьгшсляются неизвестные величины рп+1, Ln+1 и рп+ь Ln+1 укажем ниже. Здесь воспринимаем их формально как параметры. Итерации на каждом слое по времени будут связаны именно с уточнением производных рп+1, Ln+1. Далее реализуется метод прогонки. Алгоритм численного решения. Рассматриваем краевую задачу ТДС-дегидрирования в переменпых (£, х), х £ [0,1].

1. Определяем начальные данные ф(х) = и(0,х) Для этого находим и о = м(0,1), используя при t = 0 грашгшое условие

u(t, 0) = С, (ф3 g) = -b(TL)u\t, 1)

D(Tb) ди\

-b(TL)u2(t,l), TL(t) = T0+vt,

и начальное распределение с(0, г) = А + В/г в форме

х) .....| _Ь°Ро(-й ~ и_ й = с < О

Получается уравнение с одним положительным корнем и0-

2 , Р(То)ро Р(Т0)р0й _

+ Ь(Т0)Ь0(Ь0 - р0) Щ Ь(Т0)Ы10 - р0)

2. Вычисляем начальную скорость р0 = р(0) из условия Стефана

-ьо — Ро р о

Здесь коэффициет диффузии является нелинейной функцией от ро- Температура Т(£, г) = + В°(г)/г в переменных (4, ж):

Т(«, ж) = Ть (Ь) + хр2р (Ь - - [¿(Р + " />))] ~\т1м=Т0 + Ы

Следовательно, Т(0,0) = Т0 + хр0ро(Ь0 - ра)/Ь0 = /0(ро) С учетом арре-ниусовской зависимости -О (Г) для нахождения р0 получаем

- Ш^Ш^К!хр'{-ададм}

Это задача о неподвижной точке (р0 = -?Ь(ро)) В физически реальном диапазоне параметров она решается методом простой итерации. Функция /о(ро) линейна, начальное приближете определяется графически. Значение ро определяет распределите Г(0, х)

3 Вычисляем величину р\ = ро+ тр0 и значение Ьг « Ь{т) из условия (1 - 7) [р1 - р'1] = Щ - Ь\. Определяем температуру Т(т, г) при г € [рг, Ьг], используя в выражении В°(т) ~ хргр\ вместо неизвестного пока р\ начальное значение ро. В переменных х) полагаем

4. Неявным методом на слое Ь = т решаем диффузионную задачу. При этом в формуле для К} величины р\, Ьл заменяем на известные пока только ро и Ь0 из соотношения (1 — 7)РоРо = Порядок аппроксимации останется по-прежнему О (К1 + г).

5. Зная приближенное значение градиента с.г « сг(т, р\), подставляем в уравнение движения границы [<3 - 7с]р\ = В(Т(т, р1))сг выражение температуры Т(т, р1) через переменную р\ в силу соотношений

А°(т) + В°{т)Ь~\т) = Гь(т), В°(т) = хР1Р\

В переменных (Ь, х) получаем уравнение для определения р\\

ШЫ) ~ - „ди

- 1и)рх =

т=0

Ь\ — р1 дх

/1 {рл) = Т, (г) + хр\рг (£1 - р\)/Ь\. Задачу р\ = (р3) решаем простыми итерациями, ро — начальное значение (т С 1).

6. Возвращаемся к пункту 3, где мы вынуждены были использовать вместо р1 значение ро Теперь уже в выражении В°(т) = хр\ р2 подставляем текущее приближение р\ и переходим к пункту 4. В формуле для К] используем р\ и соответствующее Ьг = (1 — Таких итераций целесообразно сделать несколько.

7. Переходим на слой £ = 2т и действуем аналогично пунктам 3-6: р2 = р1 + тр\ и т.д. Критерием остановки служит рЦ„) ~ 0.

8. Переходим к этану дегазации металла с растворенным Н.

В параграфе 2.7 приводится модификация алгоритма для варианта поверхностной десорбции. Вместо граничного условия Ш рода имеем

яг

В£"2 = -Ъ(Ть)д2 + г, 0 = ЯЬ2, ф,Ь) = дд{1)

ь

Кроме локального равновесия на границе раздела фаз рассмотрена модель с саморегулированием распада гидрида = к(Тр)С2[1 — с(1.р)/с]. Здесь 1н — плотность потока атомов водорода, вызвашюго распадом гидрида Граничное условие (вместо локального равновесия с(£, р) = с): к(Тр)С2[ 1 — с(Ь,р)/с] — —0(тр)дгс(Ь. р(Ь)). Усложнение модели связано с учетом обратимого захвата в объеме, диффузией в гидридном ядре «избыточного» водорода, неравномерным («параболическим») прогревом гидридного ядра. Дальнейшей детализации препятствует отсутствие экспериментальных данных (в известных автору изданиях физико-химического профиля), которые бы позволили надеяться на корректное решение столь многопараметрической обратной задачи идентификации.

В заключении сформулированы выводы по результатам диссертации

1. Построены адекватные различным условиям эксперимента математические модели ТДС-спектра дегидрирования: диффузионные краевые задачи с подвижными границами и нелинейными динамическими

граничными условиями с учетом сжатия и теплопоглощения, системы обыкновенных дифференциальных уравнений для случая быстрой диффузии.

2. Для решения краевых задач с подвижной границей развит эффективный числешшгй метод для задач типа Стефана — метод выпрямления подвижного фронта. Специфика: неклассическое условие Стефана и динамические граничные условия.

3. Показано, что влияние параметров десорбции, диффузии, растворения на поверхности на вид десорбционпых кривых для моделей выдел сшы водорода из порошков гидридов металлов (для метода тер-модесорбционной спектрометрии) находятся в соответствии с современными физическими представлениями.

4. Результаты диссертации могут быть использовапы для обработки данных по конкретным материалам с целыо выявления лимитирующих факторов и оценки кинетических параметров.

Публикации по теме диссертации Статьи

1. Заика Ю.В., Родченкова Н.И. Моделирование высокотемпературного пика ТДС-спектра дегидрирования / / Математическое моделирование, 2006, т. 18, № 4, с. 100-112.

2 Zaika Yu. V., Rodchenkova N.I. TDS-Spcctra of Hydride Powder Decomposition- Modelling with Size Reduction Effect // NATO Security through Science Senes A, Springer, 2006, pp. 585-596.

3. Заика Ю.В., Чернов И.А., Родченкова Н.И. Краевая задача с движущейся границей: моделирование дегидрирования // Труды ИПМИ КарНЦ РАН, вып. 4, 2003, с.36-60.

4. Заика Ю.В., Родченкова Н.И. Моделирование высокотемпературного пика ТДС-спектра дегидрировшшя // Труды ИПМИ КарНЦ РАН, вып. 5, 2004, с. 33-42.

5. Родченкова Н.И. ТДС-спектр дегидрирования- моделирование с учетом сжатия // Труды ИПМИ КарНЦ РАН, вып. 6, 2005, с. 78-88.

6. Родченкова Н.И. Разностная схема для моделирования ТДС-спектра дегидрирования металлов с учетом теплопоглощения и сжатия // Труды ИПМИ КарНЦ РАН, вып. 7, 2006, с. 183-198.

Расширенные тезисы (краткие сообщения)

7. Заика Ю.В., Родченкова Н.И. Моделирование высокотемпературного ТДС-спектра дегидрирования / / Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 11, вып 4, 2004, с. 807-809

8. Заика Ю.В., Родченкова Н.И. Моделирование ТДС-спектра дегидрирования с учетом сжатия и теплопоглощения / / Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005, т. 12, вып. 4, с. 957-960.

Тезисы докладов

9. Родченкова Н.И Разностные схемы для краевой задачи диффузии с объемной десорбцией и движущейся границей // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 10, вып. 1, 2003, с. 211.

10. Родченкова IIИ Моделирование ТДС-спектра дегидрировашм // Материалы 56-й научной студенческой конференции, ПетрГУ, Петрозаводск, 2004, с. 58-59.

11. Родченкова Н.И. Математическое моделирование ТДС-спектра дегидрирования металлов // Сборник тезисов международной конференции «Ломоносов-2005», физический факультет МГУ, т 1, 2005, с. 124-125.

12. Заика Ю В., Родченкова Н.И. ТДС-спектр дегидрирования: моделирование с учетом сжатия частиц порошка гидрида // Abstracts of IX International Conference Hydrogen Materials Science and Chemistry of Carbon Nanomaterials, Sevastopol, Ukraine, September 5-11: Kiev, AHEU, 2005, pp. 168-171.

13. Родченкова Н.И. Разностные схемы для моделирования ТДС-спектра дегидрирования металлов с учетом теплопоглощения и эффекта сжатия / / Сборник тезисов международной конференции «Ломоносов-2006», физический факультет МГУ, т. 2, 2006, с. 168-169.

14. Родченкова Н.И. Численное моделирование ТДС-спектра дегидрирования металлов с учетом теплопоглощения и сжатия // II международная школа молодых ученых и специалистов «Взаимодействие изотопов водорода с конструкционными материалами», изд-во СПб-ГУ, 2006, с. 74-75.

Изд лиц № 00041 от 30 08 99 Подписано в печать 18 04 07 Формат 60x84 Vii Бумага офсетная Гарнитура «Times» Печать офсетная Уч-изд л 1,0 Усл-печ л 1,0 Тираж 100 экз Изд №21 Заказ 656

Карельский научный центр РАН 185003, Петрозаводск, пр А Невского, 50 Редакционно-издательский отдел

Введение

I Математические модели ТДС-дегидрирования

1. Поверхностные процессы.

2. Эффект объемного сжатия.

3. Модели дегидрирования с быстрой диффузией.

3.1. Основные предположения.

3.2. Простейшая модель.

3.3. Модель с переключением.

3.4. Саморегулирование скорости распада гидрида

3.5. Модели с поверхностью

4. Модель с относительно быстрой диффузией.

II Диффузионная краевая задача

1. Основные предположения.

2. Объемная и поверхностная десорбция.

3. Накопление на границе раздела фаз.

4. Построение разностных схем.

5. Результаты численных экспериментов.

6. Модели со сжатием и теплопоглощением

7. Численное решение краевой задачи ТДС

8. Модификация алгоритма для ПД-модели . . . . ,.

Актуальность темы. Проблемы энергетики являются одним из фундаментальных научных направлений. В связи с возрастающими экологическими требованиями особое внимание уделяется перспективам использования водорода в качестве энергоносителя. В контексте проблем водородной и термоядерной энергетики ведется интенсивный поиск материалов для эффективного решения задач хранения и транспортировки водорода и его изотопов. Экспериментальные исследования требуют разработки адекватных математических моделей. Это позволяет не только уточнять физико-химические представления о характере взаимодействия водорода с твердым телом, выявлять лимитирующие факторы, оценивать различного рода кинетические параметры, но и существенно сокращать затраты на исследования, проводя численное моделирование для различных наборов параметров и условий эксперимента (в том числе и экстремальных). Кроме того, наличие водорода в конструкционных материалах приводит к ухудшению их эксплуатационных качеств (охрупчивание металлов), что требует особых защитных покрытий. Наконец, перспективы термоядерной энергетики связаны с использованием изотопа водорода — трития. Достаточно полное представление о направлениях исследований можно получить из [2,8,9,11,12,15,16,23,25,50,65-67]. Роль математического моделирования в таких задачах достаточно весома, а компьютерное моделирование в материаловедении — бурно развивающееся междисциплинарное направление.

Имеется широкий спектр физико-химических представлений и соответствующих математических моделей для различных стадий взаимодействия водорода с твердым телом. В списке литературы указаны лишь некоторые работы, соответствующие контексту диссертации и содержащие дальнейшую библиографию ( [10,53-55,60-62,65,79]). Исследованию переноса водорода в различных материалах посвящены работы [57,59]. Методам параметрической идентификации моделей во-дородопроницаемости посвящены работы [19,20,68,71]. Вычислительные эксперименты позволяют выбрать адекватные модели по экспериментальным данным, выделить лимитирующие процессы и оценить кинетические параметры, дают возможность понять механизм взаимодействия и сократить расходы на дорогостоящие эксперименты.

В данной работе остановимся лишь на некоторых возможных моделях применительно к методу термодесорбционной спектрометрии (ТДС), широко применяемому в экспериментальной практике. Краткое описание метода приведено ниже, подробнее см. [2,11,12]. В построенных моделях специфика материала не существенна, поэтому физико-химическую терминологию будем использовать в минимальном объеме. Равновесные закономерности достаточно хорошо изучены (так называемые РТС-диаграммы), возрастающий интерес вызывает кинетика десорбции водорода, а также гидрирования и дегидрирования металлов. Здесь возникает новый класс краевых задач, характеризующийся нелинейными динамическими граничными условиями (третьего рода, а также неклассическими: дифференциальные уравнения не только в объеме, но и на поверхности), подвижными границами раздела фаз и условиями сопряжения на стыках слоев (многослойные защитные покрытия). В литературе подробно изучены линейные краевые задачи I—III рода [24,27,28,30-33,37,44,47,52,58]. Численному решению посвящены (полностью или частично) книги [1,18,34,38-40,42]. Нелинейные краевые задачи и уравнения изучены в значительно меньшей степени [3,13,22,26,28-30,45,47,58]. Нелинейность краевых задач, рассмотренных в работе, обусловлена нелинейными граничными условиями (нелинейность II рода в терминах [22], внешняя нелинейность в терминах [30]) для линейного параболического дифференциального уравнения в частных производных (уравнения диффузии). Линейность уравнения позволяет адаптировать для задач некоторые методы линейной теории [47]. Задачи с подвижной границей (задачи типа Стефана) образуют важный для приложений класс краевых задач. Поскольку положение подвижной границы определяется решением, то задачи с подвижной границей всегда нелинейны (даже если само уравнение и краевые условия линейны). В настоящее время теория задач типа Стефана получила широкое развитие. Следует упомянуть, в частности, [4-7,21,22,29,30,34,35,41,45-47,63]. Обычно в задачах с подвижной границей (они часто возникают в теории теплопроводности в связи с фазовыми переходами агрегатных состояний) решение (температура) на границе непрерывно, а поток (тепловой) терпит разрыв; у полученных в работе задач разрыв терпит само решение (концентрация), а поток (атомов) может как быть, так и не быть непрерывным. Это существенное отличие ограничивает аналогии между задачами тепло- и массопереноса.

Прямые задачи требуют разработки численных методов достаточно высокого порядка точности, эффективных в классе жестких задач [36]. Наличие свободной границы является дополнительной проблемой при конструировании разностных схем. Обзор численных методов решения задач с подвижной границей содержится в [34]. Метод «ловли подвижного фронта в узел сетки» для широкого класса нелинейных задач Стефана с нелинейными граничными условиями и доказательство сходимости к точному решению приведены в [4].

Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка математических моделей взаимодействия водорода с металлами в условиях ТДС-эксперимента. Задачи:

1) построить математические модели ТДС-дегидрирования;

2) разработать численные методы решения соответствующих краевых задач с подвижными границами раздела фаз и нелинейными граничными условиями;

3) провести серию вычислительных экспериментов для выявления диапазона адекватности моделей и выделения лимитирующих факторов при различных условиях эксперимента.

Объекты исследования. Объектами исследования являлись физико-химические процессы при разложении гидридов металлов (на основе экспериментальных данных) и их математические модели.

Методы исследования. Результаты диссертационной работы получены методами математического моделирования на основе законов сохранения вещества и энергии, теории краевых задач математической физики и теории разностных схем.

Научная новизна. Результаты исследований, изложенные в тексте диссертации, являются новыми.

1) Построены новые математические модели ТДС-дегидрирования в форме краевых задач для уравнения диффузии с нелинейными граничными условиями (III рода и неклассическими динамическими) и подвижными границами раздела фаз. Исследованы модели в классе систем обыкновенных дифференциальных уравнений для случая быстрой диффузии.

2) Разработаны разностные схемы, вычислительные алгоритмы и программное обеспечение для расчетов по моделям ТДС-дегидрирования.

3) Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие адекватность моделей экспериментальным данным и позволяющие выделить лимитирующие факторы в различных условиях ТДС-эксперимента.

Значение для теории и практики. Результаты диссертации позволяют уточнить теоретические представления о физико-химических процессах разложения гидридов металлов и переноса водорода в твердом теле в условиях ТДС-эксперимента, сократить затраты на экспериментальные исследования при экстремальных условиях эксплуатации материалов и выделить лимитирующие факторы. Разработанные математические модели, численные методы и программное обеспечение могут быть эффективно использованы для оценки кинетических параметров дегидрирования конкретных материалов.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1) Математические модели ТДС-спектра дегидрирования металлов: диффузионные краевые задачи с подвижными границами раздела фаз и нелинейными динамическими граничными условиями с учетом эффектов сжатия и теплопоглощения при фазовом переходе; системы обыкновенных дифференциальных уравнений для случая быстрой диффузии.

2) Численные методы (в том числе и разностные схемы повышенного порядка аппроксимации) решения нелинейных краевых задач ТДС-дегидрирования с подвижными границами (с условиями типа Стефана) и динамическими граничными условиями.

3) Результаты численных экспериментов: определение диапазона адекватности моделей, выделение лимитирующих факторов в различных условиях эксперимента, оценка кинетических параметров.

Связь с научными программами и темами. Базой представленных математических исследований послужили экспериментальные и теоретические работы, выполненные в соответствии с планами НИР в НИИ Физики им. В.А. Фока при СПбГУ. Результаты диссертации получены в рамках научно-исследовательской темы Института прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН «Краевые задачи взаимодействия водорода с твердым телом» (номер государственной регистрации 01.200.2 02222) и проекта «Численные методы решения задач с динамическими граничными условиями и подвижной границей» программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН «Современные вычислительные и информационные технологии решения больших задач» (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН). Работа поддержана грантом «Фонда содействия отечественной науке» по программе «Лучшие аспиранты РАН» (2007 г.).

Публикация результатов. По результатам диссертации опубликовано 14 научных работ, 7 из которых в соавторстве, в том числе 1 статья в журнале «Математическое моделирование», 1 статья в международном периодическом издании, 3 публикации в журнале «Обозрение прикладной и промышленной математики», 4 статьи в сборниках научных трудов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались на 55-й и 56-й научной студенческой конференции ПетрГУ (Петрозаводск, 2003, 2004), Всероссийской научной школе «Математические методы в экологии» (Петрозаводск, 2003), XII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005» (лучший секционный доклад, физический факультет МГУ, 2005), на научном форуме «Всемирный год физики в Московском университете» (приглашенный пленарный доклад, МГУ, 2005), I Международной школе молодых ученых и специалистов «Взаимодействие водорода с конструкционными материалами: эксперимент и математическое моделирование» (Петрозаводск, 2005), VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006), IX International Conference in Hydrogen Material Science and Chemistry of Carbon Nanomaterials (Crimea, Ukraine, 2005), II Международной школе молодых ученых и специалистов «Взаимодействие изотопов водорода с конструкционными материалами: методы исследования» (Петрозаводск, 2006), XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2007» (лучший секционный доклад, физический факультет МГУ, 2007).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 116 страниц. Список литературы включает 96 наименований. Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, приводится краткий обзор литературы по теме, сформулированы цель работы и основные результаты, выносимые на защиту, описала структура диссертации. Приведены общие для всей работы обозначения, описан экспериментальный метод термодесорбционной спектрометрии (ТДС).

Заключение

Таким образом, в работе получены следующие результаты.

1) Построены адекватные различным условиям эксперимента математические модели ТДС-спектра дегидрирования: диффузионные краевые задачи с подвижными границами и нелинейными динамическими граничными условиями с учетом сжатия и теплопоглощения; системы обыкновенных дифференциальных уравнений для случая быстрой диффузии.

2) Для решения краевых задач с подвижной границей развит эффективный численный метод для задач типа Стефана — метод выпрямления подвижного фронта. Специфика: неклассическое условие Стефана и динамические граничные условия.

3) Показано, что влияние параметров десорбции, диффузии, растворения на поверхности на вид десорбционных кривых для моделей выделения водорода из порошков гидридов металлов (для метода термодесорбционной спектрометрии) находятся в соответствии с современными физическими представлениями.

4) Результаты диссертации могут быть использованы для обработки данных по конкретным материалам с целью выявления лимитирующих факторов и оценки кинетических параметров.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы - М.: Лаборатория базовых знаний, 2000.- 624 с.

2. Бекман И.Н., Габис И.Е., Компаниец Т.Н., Курдюмов А.А., Ляс-ников В.Н. Исследование водородопроницаемости в технологии производства изделий электронной техники // Обзоры по электронной технике, серия 7, выпуск 1 (1084), М., 1985 66 с.

3. Березовский А.А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики.- Киев: АН СССР, 1974.- Т. 1. 452 с. Т. 2 292 с.

4. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностный метод решения некоторых краевых задач типа Стефана //В книге: Численные методы в газовой динамике, выпуск 4 / Под. ред. Павлова Б.М.- М.: МГУ, 1965, с. 139-183.

5. Будак Б.М., Соловьева Е.Н., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965, т. 5, №5, с. 828-840.

6. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики М.: МГУ, 1991.- 156 с.

7. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей.- М.: МГУ, 1987.- 163 с.

8. Взаимодействие водорода с металлами / Ред. А.П. Захаров М.: Наука, 1987.- 296 с.

9. Водород в металлах / Ред. Г. Алефельд и В. Фёлькль.- М.: Мир, 1981.- Т. 1. 506 с. Т. 2. 430 с.

10. Габис И. Е. Метод концентрационных импульсов для исследования транспорта водорода в твердых телах // Журнал технической физики, 1999, т. 69, №1, с. 99-103.

11. Габис И.Е., Компаниец Т.Н., Курдюмов А.А. Поверхностные процессы и проникновение водорода сквозь металлы //В книге: Взаимодействие водорода с металлами / Под ред. Захарова А.П.- М.: Наука, 1987, с. 177-206.

12. Габис И.Е., Курдюмов А.А., Тихонов Н.А. Установка для проведения комплексных исследований по взаимодействию газов с металлами // Вестник Санкт-Петербургского университета, 1993, серия 4, выпуск 2, с. 77-79.

13. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения М.: Мир, 1978.- 336 с.

14. Гапонцев А.В., Кондратьев В.В. Диффузия водорода в неупорядоченных металлах и сплавах // Успехи физических наук, 2003, т. 173, №10, с. 1107-1129.

15. Гельд П.В., Мохрачева Л.П. Водород и физические свойства металлов и сплавов.- М.: Наука, 1985.- 231 с.

16. Гельд П.В., Рябов Р.А., Кодес Е.С. Водород и несовершенства структуры металла М.: Металлургия, 1979.- 221 с.

17. Гидридные системы: справ, изд./ Колачев Б.А., Ильин А.А., Лав-ренко В.А., Левинский Ю.В. — М.: Металлургия, 1992.

18. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем.- М.: Физматгиз, 1962 340 с.

19. Заика Ю.В. Идентификация модели водородопроницаемости металлов // Журнал технической физики, 1998, т. 68, №11, с. 38-42.

20. Заика Ю.В. Параметрическая идентификация модели переноса водорода сквозь двухслойные мембраны // Журнал технической физики, 2000, т.70, выпуск 5, с. 32-39.

21. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами // Известия Академии Наук, Энергетика, 1999, №5, с. 3-34.

22. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности.- М.: Наука, 1975 228 с.

23. Колачев Б.А. Водородная хрупкость металлов.- М.: Металлургия, 1985.- 217 с.

24. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики.- М.: Гос. издательство физ.-мат. литературы, 1962.- 767 с.

25. Кунин Л.Л., Головин А.И., Суровой Ю.И., Хохрин В.М. Проблемы дегазации металлов М.: Наука, 1972.- 324 с.

26. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1988.- 304 с.

27. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука, 1973.- 408 с.

28. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М.: Наука, 1967.- 560 с.

29. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач М.: Мир, 1972.- 587 с.

30. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.- 368 с.

31. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных- М.: Наука, 1983.- 424 с.

32. Михлин С.Г. Курс математической физики М.: Наука, 1968575 с.

33. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.- М.: Высшая школа, 1977 431 с.

34. Никитенко Н.И. Исследование нестационарных процессов тепло-и массопереноса методом сеток.- Киев: Наукова думка, 1971.226 с.

35. Радкевич Е.В., Меликулов А.С. Краевые задачи со свободной границей Ташкент: ФАН, 1988.- 183 с.

36. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем.- М.: Наука, 1979.- 208 с.

37. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике М.: Мир, 1985.- 589 с.

38. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики.- М.: Наука, 1999.- 319 с.

39. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003.- 784 с.

40. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы- М.: Наука, 2002.- 350 с.

41. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965, т. 5, №5, с. 816-827.

42. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М., Наука, 1983.- 616 с.

43. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач М.: Наука, 1979.- 288 с.

44. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики М.: Наука, 1972.- 702 с.

45. Толубинский Е.В. Теория процессов переноса.- Киев: Наукова думка, 1969.- 259 с.

46. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами М.: Мир, 1990.- 535 с.

47. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа М.: Мир, 1968 - 427 с.

48. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений М.: Мир, 1984.- 421 с.

49. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных М.: МГУ, 1991.-112 с.

50. Шаповалов В.И. Влияние водорода на структуру и свойства железоуглеродистых сплавов М.: Металлургия, 1982.- 232 с.

51. Azoulay A., Shamir N., Fromm Б., Nagy-Szokefalvi A., Mintz M.H. Hydrogen Interactions with Polycrystalline and with Deposited Titanium Surfaces // Journal of Alloys and Compounds, 1997, v. 248, pp. 209-214.

52. Bleecker D., Csordas G. Basic Partial Differential Equations-International Press, Cambridge, Mass., USA, 1996.- 735 p.

53. Bloch J., Mintz M.H. Kinetics and mechanisms of metal hydrides formation — a review // Journal of Alloys and Compounds, 1997, v. 253-254, pp. 529-541.

54. Bloch J. The kinetics of a moving metal hydride layer // Journal of Alloys and Compounds, 2000, v. 312, pp. 135-153.

55. Castro F.J., Meyer G. Thermal desorption spectroscopy (TDS) method for hydrogen desorption characterization (I): theoretical aspects // Journal of Alloys and Compounds, 2002, v. 330-332, pp. 59-63.

56. Crank J. The mathematics of diffusion Clarendon Press, Oxford, London, England, 1975.- 414 p.

57. Evard E.A., Kurdumov A.A., Berseneva F.N., Gabis I.E. Permeation of hydrogen through amorphous ferrum membrane // International Journal of Hydrogen Energy, 2001, v. 26, pp. 457-460.

58. Evans Lawrence C. Partial Differential Equations Graduate Studies in Mathematics, volume 19, AMS, Providence, Rhode Island, 1998.662 p.

59. Inomata A., Aoki Н., Miura Т. Measurement and modelling of hydriding and dehydriding kinetics // Journal of Alloys and Compounds, 1998, v. 278, pp. 103-109.

60. Fernandez J.F., Sanchez C.R. Simultaneous TDS-DSC measurements in magnesium hydride // Journal of Alloys and Compounds, 2003, v. 356-357, pp. 348-352.

61. Mintz M.H., Zeiri Y. Hydriding kinetics of powders // Journal of Alloys and Compounds, 1994, v. 216, pp. 159-175.

62. Rubenstem L.I. The Stefan Problem Translations of Mathematical Monographs, volume 27, AMS, 1971.- 419 p.

63. Suzuki Y., Haraki Т., Uchida H. Effect of LaNi^He hydride particles size on desorption kinetics // Journal of Alloys and Compounds, 2002, v. 330-332, pp. 488-491.

64. Varias A.G., Massih A.R. Hydride-induced embrittlement and fracture in metals-effect of stress and temperature distribution // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2002, v. 50, pp. 14691510.

65. Varias A.G., Massih A.R. Temperature and constraint effects on hydride fracture in zirconium alloys // Engineering Fracture Mechanics, 2000, v. 65, pp. 29-54.

66. Yukawa H., Nakatsuka K., Morinaga M. Design of hydrogen storage alloys in view of chemical bond between atoms // Solar Energy Materials and Solar Cells, 2000, v. 62, pp. 75-80.

67. Zaika Yu. V. Identification of a hydrogen transfer model with dynamical boundary conditions // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2004, №4, pp. 195-216.

68. Габис И.Е. Перенос водорода через пленки графита, аморфного кремния и оксида никеля // Физика и техника полупроводников, 1997, т. 31, вып. 2, с. 209-215.

69. Самсонов А. В., Кореньков А. А., Габис И. Е., Курдюмов А. А. Лимитирующая роль десорбции в транспорте водорода через напыленную пленку бериллия // Журнал технической физики, 1998, т. 68, № 1, с. 128-130.

70. Заика Ю.В., Габис И.Е. Определение параметров водородопро-ницаемости металлов методом сопряженных уравнений // Заводская лаборатория, 1996, JVfi 1, с. 18-26.

71. Заика Ю.В. Разрешимость уравнений модели переноса газа сквозь мембраны с динамическими граничными условиями // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1996, т. 34, № 12, с. 108-120.

72. Заика Ю. В. Идентификация модели переноса газа сквозь слоистые мембраны // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2000, т. 7, № 1, с. 60-74.

73. Заика Ю.В. Оценка параметров водородопроницаемости металлов методом концентрационных импульсов // Заводская лаборатория, 2001, т. 67, № 5, с. 23-32.

74. Заика Ю.В. Параметрическая идентификация модели водородопроницаемости с динамическими граничными условиями // Математическое моделирование, 2001, т. 13, с.69-87.

75. Заика Ю. В. Определение параметров переноса водорода сквозь мембраны методом концентрационных импульсов // Известия вузов, Физика, 2002, Ж 1, с. 81-87.

76. Заика Ю.В., Чернов И. А. Моделирование динамики взаимодействия водорода с конструкционными материалами // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003, т. 10, вып. 1, с. 11-24.

77. Gabis I., Evard Е., Voit A., Chernov I., Zaika Yu. Kinetics of decomposition of erbium hydride // Journal of Alloys and Compounds, 2003, v. 356-357, pp. 353-357.

78. Lufrano J., Sofronis P., Birnbaum H.K. Elastoplastically accomodated hydride formation and embrittlement // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1998, v. 46, pp. 1497-1520.

79. Zaika Yu. V., Chernov I. A. Modelling of TDS-spectra of dehidrating // Hydrogen Materials Science and Chemistry of Carbon Nanomaterials / T.N. Veziroglu et al. (eds.). Kluwer Academic Publishers, 2004, pp. 415-426.

80. Zaika Yu.V., Chernov I. A. Nonlinear dynamical boundary-value problem of hydrogen thermal desorption // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2003, № 23, pp. 1447-1463.

81. Заика Ю. В., Чернов И. А. Краевая задача с динамическими граничными условиями и движущейся границей (кинетика дегидрирования) // Математическое моделирование, 2004, т. 16, № 4, с. 3-16.

82. Публикации автора по теме диссертации

83. Заика Ю.В., Родченкова Н.И. Моделирование высокотемпературного пика ТДС-спектра дегидрирования // Математическое моделирование, 2006, т. 18, № 4, с. 100-112.

84. Zaika Yu. V., Rodchenkova N.I. TDS-Spectra of Hydride Powder Decomposition: Modelling with Size Reduction Effect // NATO Security through Science Series A, Springer, 2006, pp. 585-596.

85. Родченкова Н.И. Разностные схемы для краевой задачи диффузии с объемной десорбцией и движущейся границей// Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 10, вып. 1, 2003, с. 211.

86. Заика Ю.В., Родченкова Н.И. Моделирование высокотемпературного ТДС-спектра дегидрирования // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 11, вып. 4, 2004, с. 807-809.

87. Заика Ю.В., Родченкова Н.И. Моделирование ТДС-спектра дегидрирования с учетом сжатия и теплопоглощения // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005, т. 12, вып. 4, с. 957-960.

88. Заика Ю.В., Чернов И.А., Родченкова Н.И. Краевая задача с движущейся границей: моделирование дегидрирования // Труды ИПМИ КарНЦ РАН, вып. 4, 2003, с. 36-60.

89. Заика Ю.В., Родченкова Н.И. Моделирование высокотемпературного пика ТДС-спектра дегидрирования // Труды ИПМИ КарНЦ РАН, вып. 5, 2004, с. 33-42.

90. Родченкова Н.И. ТДС-спектр дегидрирования: моделирование с учетом сжатия // Труды ИПМИ КарНЦ РАН, вып. 6, 2005,с. 78-88.

91. Родченкова Н.И. Разностная схема для моделирования ТДС-спектра дегидрирования металлов с учетом теплопоглощения и сжатия // Труды ИПМИ КарНЦ РАН, вып. 7, 2006, с. 183-198.

92. Родченкова Н.И. Моделирование ТДС-спектра дегидрирования // Материалы 56-й научной студенческой конференции, ПетрГУ, Петрозаводск, 2004, с. 58-59.

93. Родченкова Н.И. Математическое моделирование ТДС-спектра дегидрирования металлов // Сборник тезисов международной конференции «Ломоносов-2005», физический факультет МГУ, т. 1, 2005, с. 124-125.

94. Родченкова Н.И. Разностные схемы для моделирования ТДС-спектра дегидрирования металлов с учетом теплопоглощения и эффекта сжатия // Тезисы международной конференции «Ломо-носов-2006», физический факультет МГУ, 2006, т. 2, с. 168-169.