автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование диффузионных процессов в полупроводниках и электролитах

г , -•БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

- и С,\и' I--'"1

УДК 519.6:621.3

МУЧИНСКИЙ АНАТОЛИЙ НИКОЛАЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ЭЛЕКТРОЛИТАХ

05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1998

Работа выполнена в Институте математики Национальной акал мии наук Беларуси

Научные руководители: доктор физико-математических на^тс

ВЕЛИЧКО О. И.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ЦУРКОВ.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор ЛЕВАНОВ Е. И.

доктор физико-математических наук профессор МОНАСТЫРНЫЙ П. И.

Оппонирующая: организация: Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится "2Рп марта 1998 г. в ЧО " часов на засед нии совета по защите диссертаций Д 02.01.15 Белорусского госуда ственного университета по адресу: 220050, г. Минск, пр. Ф.Скорины, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского г сударственного университета.

Автореферат разослан февраля 1998 года.

Учёный секретарь совета по защите диссертаций доктор технических наук

И. В. Совпель

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Широкое распространение в различных областях техники (микроэлектроника, радиоэлектроника, приборостроение, биологические системы) получили диффузионные процессы. Большинство реальных процессов описывается; нелинейными уравнениями математической физики и лишь в первом приближении эти уравнения можно заменить линейными и использовать для их решения аналитические методы. В настоящее время учет многих физических факторов, применение сложных кинетических моделей приводит к дифференциальным уравнениям и системам дифференциальных уравнений, численное решение которых требует разработки оригинальных подходов, проведения вычислительного эксперимента.

Существенным компонентом в прогрессе технологии изготовления полупроводниковых интегральных схем (ИС) является разработка эффективных средств имитации реальных технологических процессов. Предварительное исследование физических явлений с помощью вычислительного эксперимента при изготовлении ИС обеспечивает ощутимую экономию дорогостоящих материалов и времени. Для современных технологий изготовления интегральных микросхем характерно формирование и использование разнообразных многослойных структур со слоями субмикронных размеров. В процессе проведения технологических операций, включающих термообработки формируемых и сформированных слоев, происходит диффузия и отжиг дефектов, перераспределение примесных атомов. Ввиду наличия границы раздела процессы диффузии и отжига в таких структурах существенно отличаются от процессов диффузии и отжига в объеме, что зачастую не позволяет достичь ожидаемых параметров проектируемых полупроводниковых приборов. В то же время эффективный контроль и управление этими процессами должны обеспечить близость характеристик приборов предельно достижимым значениям. Ввиду крайней малости размеров формируемых структур и ограниченности возможностей экспериментальных исследований эффективное управление свойствами создаваемых структур невозможно без разработки методов моделирования вышеуказанных процессов и соответствующего программного обеспечения.

Составной частью математической модели электрохимических процессов в электролитах также являются диффузионные уравнения. При изучении такого рода явлений в большинстве публикаций рассматриваются линейные модели в предположении стационарного процесса электролиза. В то же время современные исследования, многочисленные

эксперименты показывают, что наиболее эффективный режим электро: лиза — нестационарный, импульсный. И сам процесс в большинстве случаев определяется нелинейными коэффициентами проводимости е диффузии. Процесс электролиза, как правило, длится долго, эксперименты дорогостоящи, и в этих случаях численное моделирование существенно помогает в определении оптимальных параметров электролиза Связь работы с крупными научными программами, темами. Работа нал диссертацией проводилась в лаборатории математиче ских проблем автоматизации проектирования и в отделе параллельны: вычислительных процессов Института математики HAH Беларуси ] соответствии с госбюджетными темами "Исследование математически: проблем теории принятия решений, моделирования процессов легирова ния многослойных полупроводниковых структур, проблем размещена и укладки графо-геометрических систем, проектирования систоличе ских спецпроцессоров на база СБИС" (1990 — 1992 гг., Постановле ние Президиума АН Беларуси N 147 от б декабря 1989 г.), "Метод! моделирования процессов переноса в полупроводниковых структурах : .отображение вычислительных алгоритмов на систолические спецпрс цессоры" (1993 — 1995 гг., Постановление Президиума АН Беларус: N 3 от 21 января 1993 г.), "Разработать математический аппарат, сс здать базу данных л программы технологического моделирования ai-тивных областей элементов СБИС" (1992 — 1995 гг., республика! екая научно-техническая программа "Информатика"), "Вычислителз ные методы и программные средства для сквозного технологическ( го и физико-топологического моделирования полупроводниковых струз тур" (государственная программа фундаментальных исследований Pei публики Беларусь на 1996 — 2000 гг "Методы и алгоритмы вычислз тельной и дискретной математики: разработка, анализ, оптимизация отражение на архитектуру вычислительных систем"),

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является п строение численных методов решения систем дифференциальных ура нений, описывающих диффузионные процессы в полупроводниках электролитах и разработка на их основе программного обеспечен! для моделирования технологических операций изготовления кремни вых интегральных схем и для моделирования нестационарного импуль ного электролиза. В связи с этим необходимо решить следующие зад чи:

• разработать метод численного решения уравнений переноса пр месных атомов, диффузии и отжига дефектов при формирован]

и термообработках слоистых структур субмикронных размеров с учетом явления: сегрегации примеси вблизи границы раздела фаз;

• построить экономичные алгоритмы для двумерного моделирования современных операций легирования при изготовлении элементов кремниевых ИС, основанных на использовании методов ионной имплантации и радиационно-стимулированной диффузии;

• разработать численные методы решения систем дифференциальных уравнений, описывающих диффузионно-электрические процессы в системах с распределенными параметрами;

• провести численное моделирование процессов совместной диффузии примесных атомов с учетом явления сегрегации и неоднородного распределения дефектов вблизи границы раздела фаз;

• создать программные средства и провести двумерное моделирование процессов имплантации, отжигов и радиационно-стимули-рованной диффузии, используемых при изготовлении кремниевых ИС;

• провести численное моделирование режима нестационарного импульсного электролиза.

Научная новизна полученных результатов. Научная новизна результатов диссертации обусловлена следующим.

Впервые предложен метод коррекции краевых условий, согласованный с расщеплением основного оператора, для промежуточных задач локально-одномерного метода решения многомерных диффузионных уравнений математической физики. Построена двухслойная аддитивная разностная схема решения многомерного параболического уравнения со смешанными производными.

Впервые предложен численный алгоритм сквозного счета для системы квазилинейных уравнений диффузии примесных атомов, учитывающей неоднородность распределения собственных точечных дефектов и явление сегрегации примесей вблизи границы раздела поликремний-кремний, когда коэффициенты диффузии и концентрация претерпевают разрыв.

Разработан достаточно эффективный численный метод решения цвумерной системы уравнений, описывающей одновременную радиаци-энно-стимулированную диффузию нескольких примесей разного типа зроводимости, основанный яа разностных аппроксимациях и сводящий дифференциальные уравнения к нелинейным алгебраическим уравнением. Построен итерационный процесс нахождения приближенного решетя систем алгебраических уравнений.

Впервые предложены разностные схемы для нахождения приближенного решения системы уравнений, описывающей диффузионно-электрические явления. Доказана их устойчивость и сходимость. Построен и исследован итерационный процесс для численного решения предложенных разностных схем.

Практическая значимость полученных результатов. На базе разработанных численных методов созданы программные средства двумерного моделирования имплантации, отжигов и радиационно-сти-мулированной диффузии, позволяющий рассчитывать процессы эволюции дефектно-примесной подсистемы, включающей до четырех примесей различного типа проводимости, при разнообразных граничных условиях, и одномерного моделирования процессов переноса примесных атомов в системе поликремний-кремний, которые можно непосредственно использовать при проектировании новых полупроводниковых приборов и ЙС, а также при отработке технологических процессов изготовления изделий микроэлектроники. Созданы также программные средства для моделирования процессов нестационарного импульсного электролиза, дающие возможность рассчитывать электрохимические поля для различных режимов импульсного тока.

Экономическая значимость полученных результатов. Применение разработанных программных средств позволит существенно сократить объем экспериментальных исследований, необходимых для разработки новых приборов микроэлектроники и эффективных технологий электролиза формирования сложных тонкопленочных структур, а также сократить сроки самой разработки.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных параболических уравнений, учитывающие при постановке краевых условий свойства решения расщепленной дифференциальной задачи [1], [3], [6].

2. Аддитивные двухслойные разностные схемы для многомерных параболических уравнений со смешанными производивши [2], [4]. [о],

3. Численный метод решения системы нелинейных уравнений диффузии примесей в области, состоящей из двух фаз, на границе раздела которых решение и коэффициенты претерпевают разрыв [8], [10], [12], [13], [14].

4. Разностные схемы решения систем уравнений, описывающих диффузионно-электрические процессы в электролитах и априорные опенки устойчивости в линейном приближении [9], [11], [15], [16].

5. Результаты численного моделирования процессов совместной диффузии примесных атомов и собственных точечных дефектов с учетом явления сегрегации и неоднородного распределения дефектов вблизи границы раздела фаз Si* — Si [8], [12], [13], [14], и двумерного моделирования процессов радиационно-стимулированной диффузии при "горячей" имплантации ионов водорода в локальные области кремниевой подложки, показавшие реальную возможность локальной трансформации распределений примесных атомов в рабочих областях элементов ИС [17].

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертационной работы получены автором лично. Из работ, опубликованных вместе с соавторами, в диссертацию вошли результаты, полученные автором самостоятельно. Вклад соавторов связан с постановкой задач и целей исследования, обсуждением разработанных методов и результатов моделирования.

Апробация результатов диссертации. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались и обсуждались на VI конференции математиков Беларуси (29 сентября — 2 октября 1992 года, Гродно), Межгосударственной научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение", (16 — 20 мая 1994 года, Минск), Международной конференции "Математическое моделирование и вычисления в физике" (16 — 21 сентября 1996 года, Дубна, Россия), VII Белорусской математической конференции (18 — 22 ноября 1996 года, Минск) и семинарах в Институте математики HAH Беларуси.

Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы в 17 работах, в том числе 6 статей в журналах Российской АН и HAH Беларуси; 6 препринтов Института математики HAH Беларуси; 5 тезисов докладов.

Структура" и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырёх глав, выводов и списка использованных источников из 132 наименований. Объём диссертационной работы составляет 112 страниц машинописного текста, включая 22 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся краткая оценка современного состояния проблемы, рассматриваемой в диссертации.

В первой главе приведён краткий обзор полученных до настоящего времени результатов. Отпечена эффективность вычислительного эксперимента как метода научных исследований сложных проблем. Приведены основные принципы использования вычислительного эксперимента для решения крупных задач современной физики и техники.

Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям и процессам, формулируются в виде уравнений в частных производных. В настоящее время для приближенного решения уравнений математической физики широкое распространение получил метод конечных разностей. Построению и исследованию разностных схем для решения уравнений в частных производных посвящены монографии Яненко, Лионса, Дьяконова, Самарского, Годунова и Рябенького, Мар-чука. Эффективный метод исследования нелинейных разностных схем предложен Абрашиным.

Отмечена важная роль экономичных алгоритмов решения многомерных задач, предложенных Дугласом, Письменом, Рэкфордом, Яненко, Самарским, Дьяконовым, Марчуком, Абрашиным.

Показана действенность метода вычислительного эксперимента для исследования сложных физических процессов в задачах микроэлектроники и электрохимических системах.

Отмечены особенности современных технологических процессов изготовления кремниевых интегральных микросхем: использование ионно-имплантированных слоев поликремния в качестве источника диффузии примесных атомов при коротких термических отжигах, а также таких перспективных процессов, как радиационно-стимулиро-ванная диффузия при "горячей" имплантации ионов водорода. Показана необходимость разработки оригинальных численных методов для решения неклассических систем нелинейных диффузионных уравнений.

Кратко изложены известные подходы для моделирования диффузионно-электрических явлений в электролитах и проблемы, возникающие при решении подобного рода задач. Обоснован выбор используемого в диссертации подхода.

Вторая глава диссертации посвящена построению экономичных методов решения многомерных задач математической физики, возникающие при моделировании сложных диффузионных процессов. С этой

целью цилиндре Qт = ^ х [0 < t < Т] рассмотрена задача:

^ = + (а:,0е<?т, (1)

и(х, о) = «0(®), хеб, и \5т=ф,г), (2)

х = (хих2,...,хр), 5т = Тх[0 <г<Г], б = С + где Ь — эллиптический оператор, представимый в виде суммы операторов простой структуры Ьи = £ Ьаи, Ьа — одномерные эллиптические

а=1

операторы.

В разделе 2.1 предлагается постановка краевых условий для цепочки одномерных задач локально-одномерного метода, учитывающая расщепление основного уравнения:

У{а)(х,^+а/р) = хеуа, (3)

р

Фа = ц(х, г) - г [^/¿(¡с, *) + //?],<* = 1,2,...,р, У = 0,1,...,7о-1.

Тогда локально-одномерные разностные схемы имеют вид:

)'+а/р _ У+(а-1)/р

- — ЛаУ(а) + Р(а) > I4;

а = 1,2,... ,р, 3 = 0,1,...,7'0- 1,

2/(1) - 2/(а—1) —2/(о) > ябш/,, [о;

^Ч1 =г,(р)' « = .. 7 =0,1,... ,7о - 1,

ог=1,2,...,Л 7 = 0,1,(6)

В линейном случае (Ьаи = Для предлагаемых схем

расщепления имеют место известные оценки аппроксимации, устойчивости и сходимости локально-одномерных схем.

Для аддитивных схем, построенных на основе элементарных схем Кранка-Николсона, предлагается задавать краевые условия в виде:

У(а)=Ч+\ н,о, а =1,2 з = 0,1,..., Уо-1,

Фа = ц(х^) -т\ £ (Гр- +

Е Е

1 Я=а+1 17=3+1 ' ^

Для согласования краевых условий при аппроксимации краевых условий для второй краевой задачи используются выражения вида:

кау>£°М = + 0.5Л -1--<ра), ха = О,

/1 - . , ,ин<*/р — ,,У+(а-1)/Р ч

- + 0.5/г^--2--<рв), ха = 1а,

где

0=а+1 ^а

уЗ=а+1

В разделе 2.2 построено семейство разностных аддитивных двухслойных схем, аппроксимирующих многомерные диффузионные уравнения со смешанными производными. В линейном случае оператор Ь в (1) имеет вид:

р р д

Lu— Е - XI я—

а,/3=1 а,/3=1 öa;a

для которого выполняется условие

dxß

о < С! Е £ < Е А:^^ < с2 Е &

а=1 <¡1,0=1 а=1

С1. С2 — положительные постоянные, £ = (£1,..., — произвольный вещественный вектор. Разностные схемы имеют вид

,j+a/p ,,i+(<*-l)/p

= + 0 = 1,2,...,*, (7)

где

л „i+а/р _ д „J+Q/P I V A(m)„i+°/P /3=1, /З^а

Aajy = + (ЩаУх.)rj, а ^ /3,

д(2) i 0.5[(aQ/5y^)lQ + {аеауха)хр\, а < ß, \0.5[(аа/3уг,)га+(аДауго)д, а > ß.

Выражения Л^г/ построены на основе известных (см. Самарский A.A. Теория разностных схем) разностных аналогов смешанных производных второго порядка. В предлагаемых разностных схемах смешанные

производные аппроксимируются на верхнем слое, причем погрешность суммарной аппроксимации схем семейства (7), (5), (6) на точном решении и(хЛ) является величиной порядка 0(|/1|2-Ь г), в то время как (7), в обычном смысле аппроксимируют соответствующие промежуточные дифференциальные уравнения лишь с первым порядком по пространству. Приводятся и обсуждаются также результаты тестовых расчетов.

Третья глава диссертации посвящена численному моделированию диффузии примесей в системе поликремний-кремний и "горячей" имплантации ионов, сопровождающейся радиационно-стимулированной диффузией примесных атомов.

В разделе 3.1.1 рассмотрены особенности дифференциальной задачи, учитывающей неоднородность распределения собственных точечных дефектов и явление сегрегации примесей вблизи границы раздела поликремний-кремний. Используемый для описания дефектной подсистемы подход допускает аналитическое решение, использование которого позволяет решать только уравнения диффузии примесных атомов в первой и второй фазах. Рассмотренный процесс диффузии описывается системой квазилинейных параболических уравнений в области, состоящей из двух фаз, на границе раздела хр которых решение и коэффициенты претерпевают разрыв:

ЭСЦд1 = У[Ят + О'Ухт], т = I, II, (8)

= а = 1,2,..., г. (9)

^11,а

й&п? + В?Ъхг\х=гр_0 = ЬпЧМ?! + Ь^хп

где т — I соответствует поликремнию, т = II — кремнию, г — количество примесей, СТ — вектор полных концентраций диффундирующих примесей, № и х — векторы, Б и О 4 — матрицы, вид которых представлен в разделе 3.1. В качестве граничных рассматриваются условия в общем виде, а начальные условия представляют собой распределение Гаусса или более точное распределение Пирсон - IV концентраций легирующих примесей, получаемых в результате ионной имплантации.

В разделе 3.1.2 построены нелинейные разностные схемы, аппроксимирующие исходную дифференциальную задачу (8), (9), и итерационный процесс для нахождения решения нелинейной системы уравнений.

С помощью условий на границе раздела фаз (9) системы получаемых линейных уравнений приводятся к трехдлагональному виду относительно новой переменной г = (¿1, го, ■ • ■, гт)

А; - С, % + Вг = -я, г" = 1,2,..., N - 1,

которые решаются методом прогонки. Решение у = (у1,уп) на каждой итерации определяется из соотношений

¿4-1 к к

У 1,а,г = (2а,; * ц))/{к'а * *>,„.*,(»/)), 0 < г < А^,

У II,СЛ — < г < 7\Г,

ИЛИ

¿4-1

У /,„,,• = ¿а.г, 0 < г < ТУр,

к+1 к к У 11,а,1 = (*о,< * ^11а,кР{Уп) * Ар < I < К

в зависимости от вида А,-, С{, Функции определяются в

соответствие с условиями (9).

В разделе 3.1.3 представлены результаты численного моделирования процессов совместной диффузии примесных атомов и неоднородно распределенных собственных точечных дефектов в системе поликремний-кремний.

Разделы 3.2.1 — 3.2.3 посвящены разработке достаточно эффективных численных методов решения двумерной модели процессов формирования активных областей полупроводниковых приборов, использующих наиболее современные методы легирования, включая имплантацию ионов, ко роткие термические обработки, радиационно-стимулированную диффузию, вызванную "горячей" имплантацией ионов водорода. В разделе 3.2.1 отмечается, что аналитическое решение уравнения, описывающего дефектную подсистему, неизвестно. Следовательно, в двумерном случае систему диффузионных уравнений вида (1) необходимо решать совместно с уравнениями диффузии соответствующих дефектов с концентрацией С а'-

АС-|+1±1(мШ = 0. (10)

и^Ц + т^с =

где Я — вектор нормали к границе области моделирования.

В разделе 3.2.2 с полохцью метода суммарной аппроксимации разработан экономичный разностный алгоритм решения двумерных диффузионных уравнений:

Ч>{У( 1)к,П = («н(У( 1))2/(1),+ (а21(У(1)Ж У(1))х1)»х,»1, (И)

<Р{У(2))^2 = (а12(У(2))2/(2),г3)®2,.-: + (а22(У(2)ЖУ(2))х2)хг,Ь, (12) ¿2 = 1,2,. ..,N2-1.

Здесь у(1), 1/(2) — приближенное решение исходной задачи в новых переменных (исходная система диффузионных уравнений предварительно приводится к виду удобному для построения разностных схем).

Для применения предложенного численного метода необходимо знать распределения дефектов, ответственных за диффузию примеси. Для решения эллиптического уравнения (10) используется разностная схема вида:

-гг,», + - q(xl,x2)z = -f(xux1), х£ш/„ (13)

Здесь г — приближенное решение, 5(2:1,2:2) = 1 /I2, /(а^ь^г) = (1+ +д{х1, хг)/д$/12. В рассматриваемой в диссертации модели процесса диффузии примесных атомов дефектная подсистема квазистационарна. Однажды рассчитанные распределения дефектов подставляются в систему уравнений диффузии примесных атомов. Оптимальными методами в этом случае являются прямые, устойчивым к ошибкам округления методы. В частности, для решения системы линейных алгебраических уравнений (13) в данной работе используется метод матричной прогонки. Построены также формулы приведения системы разностных уравнений с краевыми условиями общего вида с учетом специальной аппроксимации в уголках сетки к каноническому виду.

Решение систем нелинейных разностных уравнений (11), (12) определяется с помощью итерационного процесса вида:

Ра(У(1)1в) + <р'а(У{1),«)(%),« - У(1),о) = (14)

г1 = 1; 2,... — 1, а = 1,2, а = 0,1,..., ¿2 = 0,1,... ,N2, ут = у\ Ра(»(2),а) + 4>'аф( 2),<,)(%),а ~ »(2),а) = (15)

¿2 = 1,2,. ..,ЛГ2-1, а- 1,2, 5 = 0,1,-.., ч-= 0,1,...,М, у {2) = у(+0-5.

В разделе 3.2.3 на основе разработанных численных методов проводится моделирования процессов формирования легированных областей МДП-транзистора.

В четвертой главе разработан и исследован разностный метод приближенного решения системы уравнений, описывающей диффузионно-электрические явления. В разделе 4.1.1 приведена используемая в диссертации модель описания совместных процессов диффузии растворенного вещества и распространения электромагнитных волн в электрохимических системах и возникающие вычислительные проблемы. В одномерном случае в ограниченной области (5 = [0 <!</], б = (7 + Г имеет вид:

В разделе 4.1.2 для линейного случая (коэффициенты соотношений (16), (17) — константы) построены и исследованы разностные схемы, обоснован итерационный процесс. Разностная схема имеет вид:

ауш + Ьухо - су2*. - 0.5(у1й + г/щ,), (18)

у2. = О.Ы(уцх + у2хх) - + у^), (19)

Теорема 4.1. Разностная схема (18), (19) устойчива по начальным данным, ее решение единственно.

Для решения системы разностных уравнения (18) — (19) используется итерационный процесс вида:

а Уш +ЪУй-с У2<,, = 0.5( Уцх + уш), хеиь> í € шТ, (20]

= 0.ай( Уцх + у2£Х) - 0.5д(У15 + г/;«), 4 6 ит, (21,

о о

5=0,1,..., У1=2у1-уи У2=2у2-у2-

Теорема 4.2. Итерационный процесс (20), (21) сходится. Ско рость сходимости характеризуется оценкой

Я(У1 - Уъ У1 ~ Уз) < ~~Я(Р1,Р2).

1 — г

Здесь г = у/тМ, Я{р\,р2), М — ограниченные величины. В разделе 4.1.3 построены нелинейные разностные схемы для дифференциальной системы (16), (17) и итерационный процесс для нахождения их решения близкий к (20), (21). В разделе 4.1.4 проведены численные расчеты электрохимических полей в растворе меднения для режима нестационарного тока.

В разделах 4.2.1 — 4.2.3 использованный в диссертации подход для моделирования диффузионно-электрических явлений применяется для исследования распространения электромагнитных волн в системах, в которых емкость и индуктивность распределены непрерывно.

ВЫВОДЫ

Диссертационная работа посвящена разработке эффективных численных алгоритмов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих сложные диффузионные процессы в полупроводниках и электролитах и созданию на их основе программных средств для численного моделирования технологических операций изготовления кремниевых интегральных схем и для моделирования нестационарного импульсного электролиза. В процессе выполнения работы получены следующие результаты.

1. Предложены локально-одномерные разностные схемы для многомерных параболических уравнений, учитывающие при постановке краевых условий свойства решения расщепленной дифференциальной задачи.

2. Построены аддитивные двухслойные разностные схемы для многомерных диффузионных уравнений со смешанными производными.

3. Разработан численный метод решения системы нелинейных уравнений, описывающей процессы совместной диффузии примесей различных типов проводимости и точечных дефектов в области, состоящей из двух фаз, на границе раздела которых решение и коэффициенты претерпевают разрыв. Созданы программные средства для моделирования этих процессов и проведено численное моделирование перераспределения имплантированных бора и мышьяка в системе поликремний-кремний при коротких термических отжигах. Сравнение расчетов с экспериментальными данными показывает высокую эффективность используемой модели и разработанных алгоритмов и программных средств, которые позволяют

проводить моделирование диффузионных процессов в окрестности границы раздела с учетом неоднородного распределения дефектов и явления сегрегации примесных атомов.

4. Построен эффективный численный алгоритм, основанный на методе суммарной аппроксимации, решения двумерных систем уравнений, описывающих процессы совместной диффузии примесей различных типов проводимости и точечных дефектов при формировании легированных областей кремниевых ИС с использованием таких современных методов легирования как ионная имплантация и короткие термические отжиги, а также радиационно-стимулированная диффузия при "горячей" имплантации ионов водорода. Предложен итерационный процесс нахождения приближенного решения систем нелинейных алгебраических уравнений, получаемых в результате разностной аппроксимации исходных уравнений. Создан программный комплекс двумерного моделирования процессов имплантации, отжигов и радиационно-стимулированной диффузии.

5. Построены разностные схемы решения систем уравнений, описывающих диффузионно-электрические процессы в электролитах. Доказана их устойчивость и сходимость. Построен и исследован итерационный процесс численного решения предложенных разностных схем. Проведено моделирование нестационарного импульсного электролиза и показана эффективность предложенной методики для выполнения теоретических расчетов предельных параметров электролиза.

6. Разработан алгоритм численного решения телеграфного уравнения, описывающего процесс заряда однородной изотропной среды с распределенными параметрами. Показана его устойчивость. Проведены численные расчеты локальных значений напряженности электрического поля.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

[1] Мучинский А. Н., Цурко В. А. О точности вычислений по аддитивным разностным схемам. — Препринт / Ин-т математики АН БССР. — Минск, 1991. — 24 с.

[2] Мучинский А. Н.,. Цурко В. А. Аддитивные схемы для многомерных параболических уравнений со смешанными производными.— Препринт / Ин-т математики АН БССР. — Минск, 1991. — 31 с.

[3] Мучинский А.Н., Цурко В. А. О краевых условиях локально-одномерных схем для многомерных параболических уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1992. — Т. 32, N 5.

— С. 733 — 741.

[4] Мучинский А. Н., Цурко В. А. Экономичные алгоритмы численного решения многомерных параболических уравнений общего вида // Конференция математиков Беларуси: Тез. докл. конф. — Гродно, 1992. С. 155.

[5] Мучинский А. Н., Цурко В. А. Аддитивные разностные схемы для решения уравнений параболического типа со смешанными производными // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1993. — Т. 33, N 3. С. 397 — 403.

[6] Мучинский А. Н. О краевых условиях и точности локально-одномерных схем // Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение: Тез. докл. конф.

— Минск, 1994. — С. 224 — 225.

[7] Мучинский А.Н. Экономичные схемы для систем уравнений параболического типа со смешанными производными // Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. — 1994. — N 4. — С. 27 — 32.

[8] Velichko O.I., Muchinskii A.N., Tsurko Y.A. A Diffusion Model of Ion-implanted Arsenic in the Polysilicon-silicon system // Int. Conf. on Computational Modelling and Computing in Physics (CMCP 96) / Book of abstracts. — Dubna, Russia, 1996. — P. 137.

[9] Гринчик H. H., Мучинский А. H., Цурко В. А. Численное моделирование распространения электромагнитных волн // VII Белорусская

Математическая конференция: Тез. докл. конф. — Минск, 1996. — Т. 3. — С. 108 — 109.

[10] Цурко В. А., Мучинский А.Н. Разностные схемы для диффузионных уравнений с разрывными решениями // VII Белорусская Математическая конференция: Тез. докл. конф. — Минск, 1996. — Т. 3.—С. 115 — 116.

[11] Гринчик Н.Н., Мучинский А. Н., Цурко В. А. Моделирование электрических явлений в распределенных системах // Весщ АН Беларусь — 1997. — N 2. С. 66 — 70.

[12] Velichko О.Д., Komaiov F.F., Muchinskii A.N., Tsurko V. A. Simulation of impurity diffusion near the polysilicon-silicon interface. — Preprint / Academy of Sciences of Belarus. Institute of Mathematics. — Minsk, 1997. —11 p.

[13] Величко О.И., Комаров Ф.Ф., Мучинский А. Н., Цурко В. А. и др. Моделирование диффузии примесей при термическом отжиге системы поликремний-кремний // Математическое моделирование. — 1997.—Т. 9, N 5. С. 68 — 76.

[14] Величко О. II., Комаров Ф.Ф., Мучинский А. Н., Цурко В. А. и др. Моделирование процесса диффузии ионно-имнлантированного мышьяка в системе поликремний-кремний. // Инженерно-физический журнал. — 1997. — Т. 70, N 6. — С. 1025 — 1032.

[15] Grinchik N. К., Khmyl A. A., Muchinskii A. N., Tsurko V. A. Numerical simulation of diffusional-electrical phenomena. — Preprint / Academy of Scienses of Belarus. Institute of Mathematics. — Minsk, 1997. — 10 p.

[16] Мучинский А.Н. Разностные схемы для систем уравнений, описывающих диффузионно-электрические явления. — Препринт / Ин-з математики НАН Беларуси. — Минск, 1997. — 9 с.

[17] Величко О. И., Комаров Ф. Ф., Мучинский А. Н., Цурко В. А. Чи сленное моделирование процессов совместной диффузии примесньс атомов и собственных точечных дефектов при проектировании ин тегральных микросхем. Препринт / Ин-т математики НАН Бела руси. —• Минск, 1997. — 22 с.

РЕЗЮМЕ

Мучинский Анатолий Николаевич "Численное моделирование диффузионных процессов в полупроводниках и электролитах"

Ключевые слова: аппроксимация, разностная схема, моделирование, диффузия в системе поликремний-кремний, радпационно-стимули-рованная диффузия, нестационарный импульсный электролиз

Предложены локально-одномерные разностные схемы для многомерных параболических уравнений, }~читывающие при постановке краевых условий свойства решения расщепленной дифференциальной задачи. Построены аддитивные двухслойные разностные схемы для многомерных диффузионных уравнений со смешанными производными. Разработан численный метод решения системы нелинейных уравнений диффузии в области, состоящей из двух фаз, на границе раздела которых решение и коэффициенты претерпевают разрыв. Созданы программные средства и проведено численное моделирование процессов совместной диффузии примесных атомов и собственных точечных дефектов с учетом явления сегрегации и неоднородного распределения дефектов вблизи границы раздела фаз поликрёмний-кремний. Построен эффективный численный алгоритм, основанный на методе суммарной аппроксимации, решения двумерных систем уравнений, описывающих современные процессы легирования — короткие термические отжиги и радиационно-стимулированную диффузию при "горячей" имплантации ионов водорода. Предложен итерационный процесс нахождения приближенного решения систем нелинейных алгебраических уравнений, получаемых в результате разностной аппроксимации исходных уравнений. Создан программный комплекс двумерного моделирования процессов имплантации, отжигов и раднапионно-стимулированной диффузии в кремниевых подложках. Построены разностные схемы решения систем уравнений, описывающих диффузионно-электрические процессы в электролитах. Доказана их устойчивость и сходимость. Построен и исследован итерационный процесс численного решения предложенных разностных схем. Проведено моделирование нестационарного импульсного электролиза. Проведены численные расчеты локальных значений напряженности электрического поля.

РЭЗЮМЭ

Мучынаа Анатолш Мп<алаев1ч "¿Пкавае мадэляванне дыфузшных працэсау у пауправадшках 1 электралатах" Ключавыя словы: апракамацыя, рознасная схема, мадэляванне, дыфyзiя у сктэме палшрэмнш-крэмнш, радыядыйна-стымуляваная ды-фуз1я, нестацыянары ¡мпульсны электрол!з

Прапанаваны лакальна-аднамерныя рознасныя схемы для мнага-мерных парабал1чных раунанняу, ЯК1Я ул!чваюць пры пастаноуцы кра-явых умоу уласщвасш рашэння расшчаплёнай дыферэнцыяльнай заданы. Пабудаваны адытыуныя рознасныя схемы для мнагамерных дыфузшных раунанняу са змешаным! вытворнъпп. Распрацаваны лпсавы метад рашэння нелшейных раунанняу дыфузп у абсязе, як! складаец-ца з дзвюх фаз, на мяжы падзелу яюх рашэнне 1 каэфщыенты маюць разрыу. Створаны праграмныя сродш 1 праведзена лжавае мадэляванне працэсау сумеснай дыфузи прьшесных атамау 1 уласных кроп-кавых дэфектау з улшам з'явы сегрэгацьп 1 неаднароднага размерка-вання дэфектау недалёка ад мяжы падзелу фаз палшрэмнш-крэмнш. Пабудаваны эфектыуны лшавы алгарытм, заснаваны на метадзе су-марной апракамацьп, рашэння двухмерных сктэм раунанняу, яшя аш-сваюць сучасныя нрацэсы леправання — каротюя тэрмаапрацоуш 1 радыяцыйна-стымуляваную дыфуз1ю пры "гарачай" Ьшлантацьп ¿ёнау вадароду. Прапанаваны 1тэрацыйны працэс знаходжання набл!жанага рашэння сктэм нелшейных алгебра1чных раунанняу, яшя атрымл1ва-юцца у вынжу рознаснай апракамацьп зыходных раунанняу. Створаны праграмны комплекс двухмернага мадэлявання працэсау ¡мплантацьп, тэрмаапрацоуш 1 радыяцыйна-стымуляванай дыфузП у крэмшявых пад-ложках. Пабудаваны рознасныя схемы рашэння сктэм раунанняу, яшя ашсваюць дыфузшна-электрычныя працэсы у электралатах. Даказана 1х устойл1васць 1 сыходнасць. Пабудаваны 1 даследаваны ¡.тэрацыйны працэс лшавага рашэння прапанаваных рознасных схем. Праведзена мадэляванне нестацыянарнага ¡мпульснага электрол1зу. Праведзены лшавыя разящ лакальных значэнняу электрычнага поля.

SUMMARY

Muchynski Anatoli Nikolaevich "Numerical simulation of diffusion processes in the semiconductors and in the electrolytes Key words: approximation, difference scheme, simulation, diffusion in the polisilicon-silicon system, radiation enhanced diffusion, nonstationary pulse electrolysis

The locally one-dimensional difference schemes for the multi-dimensional parabolic equations, boundary conditions taking into account at statement of property of the decision of a splitted differential problem are proposed. Additive two-layer difference schemes is constructed that approximate multi-dimensional diffusional equations with mixed derivatives. A numerical method for the solving system of nonlinear diffusion equations in the region containing two phases. Solution and coefficients of the differential system have break on the boundary polysilcon-silicon interface. A software tools is created and numerical simulation of coupled impurity diffusion taking into account segregation phenomena and nonhomogeneity of distribution of point defects near the polysilicon-silicon interface. The efficient numerical algorithms on the basis of summarized approximation method for the solving two-dimensional equation systems is constructed These systems describe a contemporary doping processes (a short thermal bake and a radiation enhanced diffusion during a "hot" ion implantation of hydrogen). A iteration method for the approximate solution of the nonlinear algebraic equation systems concerned with difference approximation of original equations is proposed. A created software complex allows us to carry out a two-dimensional simulation of implantation, annealings and radiation enhanced diffusion into the silicon bulks. Difference schemes for approximate solution of equation system describing diffusional-electrical phenomena in electrolytes are constructed and their stability and convergence are proved. A iteration process for numerical solving proposed difference schemes is constructed and is investigated. Both numerical simulation of the regime of nonstationary pulse electrolysis and numerical computations of the local values of strength of electrical field are carried out.