автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Двумерные математические модели переноса бинарного электролита в мембранных системах

На правах рукописи

00504ЫЯI

ЧУБЫРЬ Наталья Олеговна

ДВУМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА БИНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА В МЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 2012

005046817

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный технологический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Уртенов Махамет Али Хусеевич

Официальные оппоненты: Калайдин Евгений Николаевич,

доктор физико-математических наук, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», профессор кафедры теоретической экономики; Шапошникова Татьяна Леонидовна, доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет», заведующая кафедрой физики.

Ведущая организация: «М АТИ» - Российский государственный

технологический университет им. К.Э. Циолковского.

Защита состоится « 25 » мая 2012 г. в // ч. $0 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.101.17 в ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, д. 149, в ауд. 231

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», с авторефератом - на сайте http://www.kubsu.ru/

Автореферат разослан « » апреля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.101.17 '

кандидат физ.-мат. наук, доцент /^/¡¡у В.Ю. Барсукова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время имеется большое количество математических моделей переноса бинарного электролита (Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий, С.С. Духин, Б.П. Графов, A.A. Черненко, В.М. Волгин, А.П. Григин, А.Д. Давыдов, К.А. Лебедев, A.B. Листовничий, Ю.И. Харкац, М.Х. Уртенов, J.-L. Afonso, M.J. Clifton, I. Rubinstein, L. Shtilman и др.). Однако в двумерных и трехмерных моделях предполагают электронейтральность среды и вместо уравнения Пуассона используется условие электронейтральности (Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий, В.М. Волгин, А.П. Григин, А.Д. Давыдов, К. А. Лебедев, М.Х. Уртенов, Ю.И. Харкац, J.-L. Afonso, M.J. Clifton), хотя запредельный режим переноса непосредственно связан с наличием пространственного заряда, вызываемого этим эффектом, например электроконвекции (I. Rubinstein, L. Shtilman, E.H. Калайдин, Е.А. Демехин, М.Х. Уртенов, A.M. Узденова). Математические модели, учитывающие влияние пространственного заряда на перенос ионов соли (Б.П. Графов, A.A. Черненко, A.B. Листовничий, М.Х. Уртенов, I. Rubinstein, L. Shtilman), являются одномерными, даже если изучаемый процесс исследуется на плоскости или пространстве.

Имеющиеся асимптотические методы погранслойных функций Люстер-ника Л.А., Вишика М.И., Васильевой А.Б. и Бутузова В.Ф. и других удобны для решения краевых задач мембранной электрохимии при допредельных токах. Однако при запредельных токах вырожденные задачи, лежащие в основе этих методов, не имеют решения во всей области, поэтому необходимо эти методы модифицировать, использовать их в сочетании с методом согласования асимптотических решений, с новыми методами, разработанными специально для краевых задач мембранной электрохимии.

Таким образом, тему диссертационной работы, посвященной построению двумерных моделей переноса ионов соли в мембранных системах с учетом пространственного заряда, разработке эффективных численных и асимптотических методов решения соответствующих краевых задач, следует признать актуальной.

Актуальность темы исследования подтверждается поддержкой, оказанной работе Федеральным Агентством по образованию и науке РФ в рамках темы 1.4.08 («Методы регулярного представления сингулярно возмущенных уравнений и их приложения. Метод модулирующих функции в обратной задаче теории фильтрации» (направление фундаментальных научных исследований «Ра-

циональное природопользование») и гранта РФФИ-Юг (№ 09-08-96529 «Модифицирование поверхности ионообменных мембран с использование углеродных нанотрубок с целью совершенствования процессов электродиализного обессоливания и концентрирования»).

Объектом исследования является перенос бинарного электролита.

Предметом исследования математическое моделирование краевых задач переноса бинарного электролита.

Цель исследования. Разработка и исследование двумерных математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах, построение эффективных численных и асимптотических методов их решения.

Цель исследования предопределила следующие задачи исследования:

1. Построение математических моделей переноса бинарного электролита.

2. Построение эффективных численных и асимптотических методов решения краевых задач соответствующих моделей.

3. Разработка комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов.

4. Установление основных закономерностей переноса бинарного электролита.

Научная новизна:

1. Выведена иерархическая система двумерных математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах с учетом пространственного заряда: модель переноса бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель без начального погранслоя (БНП), модель переноса бинарного электролита в приближении закона Ома (ЗОМ), модель с функцией Хэвисай-да. Все модели, за исключением модели ЗОМ, являются оригинальными и не имеют аналогов;

2. Разработан новый асимптотический метод решения двумерных краевых задач соответствующих математических моделей, основной особенностью которого является следующее: 1) решение в разных областях имеют различные асимптотические разложения, типы уравнений для коэффициентов разложения зависят от области (например, в области электронейтральности - эллиптический, в области пространственного заряда — параболический), 2) в области про-

странственного заряда для текущего асимптотического приближения получаем неопределенную систему, а для следующего переопределенную, поэтому для однозначной разрешимости текущего асимптотического приближения используем условие разрешимости для следующего приближения;

3. Предложены алгоритмы численного решения двумерных краевых задач математических моделей переноса бинарного электролита на основе модификации метода установления, которая заключаются в следующем: вводится специальный дифференциальный оператор, имеющий разный тип в разных областях и два разных времени;

4. Установлены основные закономерности переноса бинарного электролита и показано: а) существенное влияние пространственного заряда на перенос в камере обессоливания, б) вместо исходной краевой задачи можно рассматривать значительно более простую краевую задачу в приближении закона Ома,

в) область камеры обессоливания разбивается на области пространственного заряда, примыкающие к мембранам, область электронейтральности в ядре потока и промежуточный слой между ними, а также на погранслои вблизи границ,

г) закономерности изменения электрохимических полей по времени и ширине канала обессоливания.

Научная и практическая значимость

1. Разработанные в работе алгоритмы решений модельных задач реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и могут быть использованы на практике для выбора оптимальных технологических параметров работы мембранных систем.

2. Методы асимптотического и численного решения краевых задач, предложенные нами, могут быть применены при решении краевых задач для систем квазилинейных уравнений математической физики.

3. Установленные нами основные закономерности переноса бинарного электролита могут быть использованы научно-исследовательскими группами, проектными организациями при разработке новых конструкций электродиализных аппаратов водоподготовки с целью повышения эффективности этих аппаратов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Иерархическая система математических моделей переноса в бинарного электролита в мембранных системах: модель переноса бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в про-

точной мембране, модель без начального погранслоя, модель переноса бинарного электролита в приближении закона Ома, модель с функцией Хэвисайда.

2. Новое уравнение для функции тока, устанавливающее соответствие между функцией тока, напряженностью электрического поля и концентрацией электролита для двумерного случая с учетом пространственного заряда.

3. Алгоритмы асимптотического и численного решения, соответствующих краевых задач соответствующих математических моделей.

4. Основные закономерности переноса бинарного электролита в мембранных системах с учетом пространственного заряда: распределение областей электронейтральности, пространственного заряда, промежуточных и пограничных слоев, закономерности изменения электрохимических полей по ширине и длине камеры обессоливания электродиализного аппарата.

5. Комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов

Внедрение. Результаты диссертационного исследования использованы в работе инновационного технологического Центра «Кубань-Юг» при проектировании новых систем водоподготовки, в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Кубанский технологический университет».

Достоверность результатов. Достоверность исследований подтверждается согласованием их с результатами других авторов, когда это возможно.

Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены лично автором. Диссертантке принадлежат: иерархическая система математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах, алгоритмы численного и асимптотического решения краевых задач соответствующих математических моделей, комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов. Ею лично выявлены основные закономерности переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены:

1. На 13 Международных, Всероссийских и Региональных конференциях: «Ion transport in organic and inorganic membranes» (Krasnodar 2009-2010), VI-VII

Всероссийских конференциях «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Анапа 2009, 2010); на научных конференциях студентов и аспирантов КубГУ (2006-2009 гг.) и КубГТУ (2007-20II гг.);

2. На научных семинарах кафедры прикладной математики КубГУ (2006,2007, 2009 гг.), прикладной математики КубГТУ (2007-2010 г.)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 27 печатных работ, из них 1 монография, 16 статей, 9 тезисов докладов, в том числе 6 статей в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук, 1 свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (142 наим.). Работа изложена на 167 стр., в том числе содержит 12 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи, перечислены результаты, выносимые на защиту, сформулированы научная новизна и практическая ценность исследования, определен личный вклад автора, указано содержание работы по разделам.

В главе 1 рассматриваются электродиализные процессы, приведен обзор математических моделей, описывающих эти процессы, а также обзор методов асимптотического решения сингулярно-возмущенных уравнений, проведен анализ современных математических моделей, описывающих процессы переноса в электромембранных системах, а также предлагается новая иерархическая классификация этих моделей. Рассматриваются основные асимптотические методы решения сингулярно-возмущенных уравнений: метод Л.А. Люстерника, М.И. Вишика, погранслойных функций Васильевой А.Б. и Бутузов В.Ф., метод сращиваемых асимптотических разложений. Дан обзор методов решения сингулярно-возмущенных задач мембранной электрохимии.

В главе 2 в п. 2.1 предлагается следующий алгоритм вывода моделей, описывающих перенос бинарного электролита в мембранных системах (например, в канале обессоливания электродиализного аппарата):

1. В качестве исходной системы уравнений рассматривается система уравнений Нернста - Планка и Пуассона. В этой системе переходим к безраз-

мерному виду, используя характерные для мембранных систем переменные и величины. При этом появляются два малых параметра:

Я], = ДО,г,С.Е - ДО,УС, + С,У, г = 1,2 аИл'Е = 2[С| + г2С2

= -Мл>1, / = 1,2 д1 '

I = г>7, +

Ё = -Уср

где ^ > 0, Я > 0 - безразмерные малые параметры, £>(. - безразмерные коэффициенты диффузии, г, - зарядовые числа, 7 искомые потоки, концентрации ионов и напряженность электрического поля и плотность тока, соответственно, е [0,1],у е [0, Л] - безразмерные время, ширина и длина канала обессоливания.

Таким образом, исходная система электродиффузионных уравнений является сингулярно - возмущенной, поэтому она неудобна для численного решения. Кроме того, структура системы уравнений такова, что из нее можно вывести лишь модельную задачу с условием электронейтральности. Она содержит 11 уравнений с 11 неизвестными функция, причем можно показать, что все эти функции имеют погранслои возле мембран и начальные погранслои.

2. В связи с этим производится преобразование исходной системы уравнений путем введение новых неизвестных функций: обобщенной концентрации

5 = + 212, — Ш общей плотности тока Ф = £ —+ — 7 и функции тока

211 11 81 Ре

для общей плотности тока 77: — = -Ф,, ^ = ф2, так чтобы число неиз-

ду дх

вестных функций уменьшилась, структура уравнений улучшилась, а по-гранслой возникал только для напряженности электрического поля. Полученную систему уравнений мы называем декомпозиционной:

-^-еМ^Щ +£Мъ\ЧЕ^\2 + +

2 .2

+ EMг^{d¡vË)-div{SV)~-divЩv) + z^zг-—Щ,

= Xdizlz2SE — — MiZ\z\\e\e - sM^EdlvE -dt 2 11 "

где й?|, d2, i/3,cl4 - некоторые константы.

3. Поскольку декомпозиционная система уравнений содержит новую неизвестную функцию тока для общей плотности тока /;, то из исходной системы уравнений для нее выводится новое уравнение и краевые условия:

Д?7 = Д(V^- c/3zjz2(5 -z,z21ё||2) + ¿-с?4 div/j,^), +

+ гг(Д E,V\+£divE-rty).

4. Используя предположение о том, что порядок функций при стремлении малого параметра к нулю аналогичен одномерному случаю, а именно: 5 = 0(1), Ё = 0( 1/Vf), т/ = 0(1), при е—>0+, равномерно относительно (/,;t,y)e[0,co)x[0,l]x[0,Z,] и относительно малого параметра А, производим оценку членов декомпозиционных уравнений и, отбрасывая малые члены, получаем уравнения, описывающие соответствующие модели.

Например, для проточных мембранных систем получена модель, описанная следующей системой уравнений:

— = AAS - div(SV)- - divMf V) + ~ z,z2 — ¡¿f (i)

dt 2 11 11 2 dt11 "

E^- = £XAE + Azxz2Si--lez^zli\Ef +Ф (2)

dt 2 '' 11

Д /; = -Az,z2 (V^S - iz,z2 j, Ё), (3)

Так как для получения этой системы уравнений кроме предположения о порядке функций мы воспользовались малостью параметра А, а это выполняется для проточных мембранных систем, поэтому модель, описываемую системой уравнений (1)-(3), назовем моделью ППМС (переноса в проточных мембранных системах).

Если не учитывать переходные процессы, то с учетом Ф = А/, получим систему уравнений:

— = AAS - div(SV) - - div^f V) (4)

&:АЁ + - ~ Ё\Щ + 7 = 0 (5)

Д?7 = -12^2-12,г21|£|21 Е\ (6)

Модель, описываемую системой уравнений (4)-(6), назовем моделью БНП (без начального погранслоя по функции Ё).

Если не учитывать погранслои по функции Ё , то можно отбросить член бД£, тогда получим «нестационарную модель переноса о приближении закона Ома»:

у- = ДД5 - с1Ь'(§У) -1 ЛмЦяЦ2 V) (7)

2]г2?#-1й,2222£||£||2 + 7 = 0 (8)

А77 = -Я2,г2(У^-|г,22|ё|2],£), , (9)

Приведенные выше модели, включая соответствующие стационарные модели, можно рассматривать как иерархическую систему моделей (рис. 1).

Рисунок 1 - Иерархическая система моделей, выведенная в диссертации

Системы уравнений дополнены естественными краевыми условиями. При гальваностатическом режиме естественными являются следующие краевые условия.

1) Граничные условия

SI =A(t,y)< О,

дл

дх

C(t,x), = 0 ,

S = B(t,y) < 0,

I r = l

si =D(t,x)

I y=L

dJl

tlx

= 0, ?/|v=0=0, n\v = i=~'a^

v=0 "л ï=l

2) Начальное условие

=S«(x>y^ ч[=0=По(х>У)

3) Условия согласования граничных условий:

С(/,0) = A(t,0); C(i,l)=B(/,0);

D(t,0) = AQ,L); D(t,\)= B(t,L)

4) Условия согласования граничных и начальных условий:

S0(0,y) = A(0,y); S0(l,y)=B(0,y);

S0 (х,0) = С(0, х)- S0 (х, L) = D( 0, x)

Для функции ц граничные условия и начальное условие будет согласовано, если взять t]0(x,y), например, в виде >]0(x,y) = -imy.

В п. 2.2 произведено расщепление системы уравнений модели переноса в приближении закона Ома и выведены отдельные уравнения для обобщенной концентрации и функции тока для плотности тока, не зависящие от других неизвестных функций для симметричного бинарного электролита (z, =-г2 =1):

ÔS

(П)

(12)

(13)

dt ал

= AAS - div(uV)

3\

2б

9г| 5г) д Г|

и2(зи - 2s)v<3x J J 5х2 и2(зи-2§)3х ду дкду

1-

u2(3u - 2§)1^у /

¿51]

д\ Эу2

2иъ =2u2S + e\3nf,

£ II -||2 ~ гдек= —|£j| +S.

Далее приведены численные и асимптотические алгоритмы решения этой системы уравнений. На основе одного из методов решена еще одна модель:

2

А П

-¡¿¡:£ + 5£= 7 (14)

Д^И2}*], <15>

/>Ц д:б(0,1),уе(О^), которую мы называем моделью переноса с функцией Хэвисяйда.

В п. 2.3 рассмотрены методы решения уравнения 2/<3 = 2г/25 +й-||У/;[|2: метод сведения к эталонному уравнению, методом итераций и асимптотическое решение. В п. 2.4. предложены методы решения уравнения для обобщенной

концентрации ~ = ЛАЯ- сИу(иУ) с учетом предложенных методов решения

уравнения для функции и. В п. 2.5. предложены асимптотическим метод и метод последовательных приближений решения уравнения для функции ц. Алгоритм асимптотического решения

Для асимптотического решения краевой задачи с функцией Хэвисайда предлагается использовать следующий алгоритм:

1) Решаем краевую задачу

от

5| =А(1,у)< 0, £1 = В(/, у) < О,

2) Решая уравнение Б((,х,у) = 0, определяем области электронейтральности и1, где 5 > 0 и пространственного заряда (/2, где 5 < 0, а также промежуточный слой и, около нулей функции

3) В каждой из областей уравнение для функции тока плотности тока ц упрощается. На границах областей используются условия непрерывности этой функции и ее первых производных.

Находим плотность тока 7 по формуле /, = - —, /, = -91 2 дх

4) Нами показано, что

и =

5 + ...,

2 1 -I ,„2 1

II II з 9II II

1 _1 Ше22~2

(/, х, у) е и, (Г,х,у)еи3

(1,х,у)еи2

5) Находим напряженность электрического поля Ё по формуле £ = -/

и

Алгоритм итерационного решения

1) Берем некоторое начальное приближение г/"". Например, в качестве начального приближения можно использовать найденное выше асимптотическое представление. Пусть уже найдены приближения м"',...,«10 ^1)((,х,у), ...,

2) Приближение 5"1" определим как решение краевой задачи

ЛЬ'

д(

= ЛА$ -сИф(пР)

5|^ = Л(Л.У)<0, Щ = ВО,у)<0,

= С(Г,х),

= ^а(.Х,у).

=0(?,л)

I-

3) Приближения /;('+1,(/, х, >>) как решение краевой задачи: е

ГзП(01 2х

дх \ /

52П

- ■■ _ 2е_'10

дх2 (и(1))2(зи(')-2§('+1)) дх ду дхду+

"(и«)2(Зи«-28<|+,>)

ду

\ 1 У

дЛ дх

= 0,

дп

дх

= 0' = 0 > = , п1_а = 3»),

4) В качестве к'"0 берем решение уравнения 2н3 = 2н25(М,+г|7»;('+1)||2, найденное, например, методом Ныотона:

НМ..НМ- 4...... _______Ь,?('Ч1||2.

В третьей главе предлагается алгоритм нахождения высших приближений для краевых задач, построенных в работе моделей переноса, основные пункты которого прослеживаются при решении всех модельных задач. Выведены уравнения, описывающие погранслойные функции для напряженности электрического поля.

В п. 3.1 строятся высшие асимптотические разложения модельной краевой задачи с функцией Хэвисайда.

1. В области электронейтралыюсти используем для асимптотического решения следующие разложения:

Ё=Е<0) + £(|)£ + ..., П = П(0)+г]те + ... (16)

Для начального приближения система уравнений принимает следующий

вид:

Д = (17)

¿(0)=1/(0); (18)

Так как, = {-Ч(уК>7'°'), то второе уравнение можно преобразовать к

виду:

Д7

,(о).

1(У5,У7(0))=0. (19)

5

Для / -го приближения разложения имеют вид:

Д77(/) -4(У5,У77(,))= (е(0),£(|)... г/(м))

5

где (р,_,(£(0',£(|)...£('_|)), некоторые известные функции

от предыдущих коэффициентов.

2. В области пространственного заряда для асимптотического решения используем следующие разложения:

Ё = ± Ё<-" + Ё(0) +... ,п = //(0) + Гвг!т +..., 7 = 7(0) + 1те +... (20)

1) Приравнивая коэффициенты при -4= получаем, что система уравне-

ЫЕ

ний для нулевого приближения имеет вид:

¿(ч (22)

-|(5+Е(-ОЕ(«) + Е("Ое(О)).е(-,).

Уравнения (21), (22) не позволяют однозначно определить Выпи-

шем систему для первого приближения относительно вектора Ё:

+ = (24)

Е \

(23)

+ (25)

'-2

Условие разрешимости системы (24), (25) имеет вид:

^11/(0) _яН)/(о) = 0 (26)

Решая совместно уравнение (21) и условие разрешимости (26) получим:

/(о) еГ^'

ЕН = /Со)__111___ £И = ¡(о) (2Ъ

1 Чт+т' Чт+ы' ()

'2

Таким образом, из условия разрешимости следующего приближения получается система уравнений для начального приближения Из последних двух формул следует, что необходимо вывести уравнение для ?/<0).

В диссертации выведено это уравнение, имеющее вид:

Ы0))2г2л(0) ,0п(оЧ(оЬУ°) и(°П2зУ°)

. . 2 ------ о

/

\

---+ —--1—~

ду ду дх. дх. 2Б

—+

Аналогично, условие разрешимости для / + 1 члена разложения даёт возможность однозначного определения для /— го члена разложения.

В п. 3.2 приведены высшие асимптотические разложения краевой задачи модели в приближении закона Ома, в п. 3.3 найдены высшие асимптотические разложения краевой задачи для декомпозиционной системы уравнений. Все описанные выше асимптотические решения справедливы для Е всюду за исключением области начального времени и границ области. В п. 3.4 вычислены погранслойные функции для Ё, которые совместно с построенными выше решениями дают асимптотическое решение во всей области.

В четвертой главе проводится численное исследование переноса бинарного электролита в мембранных системах в гальваностатическом режиме. В п. 4.1 главы предлагаются различные алгоритмы численного решения краевой задачи с функцией Хэвисайда. В п. 4.2 приведены различные обобщения. В п. 4.3 описан программный комплекс «Моделирование переноса бинарного электролита в МС»

В п. 4.4 выявлены основные закономерности переноса бинарного электролита и приведены некоторые результаты численного решения (рис. 2).

Для повышения точности расчетов и оценки численной устойчивости использовался метод дробления шага в два раза. Сравнение результатов показывает достаточно хорошую точность расчетов и их численную устойчивость. В п. 4.5 произведена верификация результатов путем сравнения с результатами других авторов там где это возможно.

с) с!)

Рисунок 2 - Графики решений краевой задачи при г = 0.01: а) Б{1,х,у),Ь)^{1,х,у),с) /{(!,х,у),6) 12(г,х,у).

По итогам исследования в главе 4 определены следующие основные закономерности переноса бинарного электролита в мембранных системах:

1. Показано существенное влияние пространственного заряда на перенос в камере обессоливания;

2. На основании численного анализа показано, что вместо исходной краевой задачи можно рассматривать значительно более простую краевую задачу в приближении закона Ома (ЗОМ).

3. Показано, что камера обессоливания (КО) разбивается на ряд областей: область пространственного заряда, примыкающая к мембране, область электронейтральности в ядре и промежуточный слой между ними, кроме того, напряженность электрического поля значительно меняется в начальный момент времени, а также на границах; исследованы закономерности изменения электрохимических полей по ширине и длине камеры обессоливания электродиализного аппарата.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В итоге проведенных в диссертации исследований можно сформулировать следующие основные результаты и предложения:

1. Предложена иерархическая система математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах: модель переноса бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель БНП, модель переноса бинарного электролита в приближении закона Ома, стационарная модель ЗОМ, стационарная модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель с функцией Хэвисайда;

2. Разработан новый асимптотический метод решения краевых задач соответствующих математических моделей;

3. Разработан новый численный метод решения краевых задач соответствующих математических моделей;

4. Выведено полое уравнение для функции тока, устанавливающее соответствие между функцией тока, напряженностью электрического поля и концентрацией электролита для двумерного случая с учетом пространственного заряда.

5. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Монография:

1. Чубырь И.О. Двумерные математические модели переноса бинарного электролита в мембранных системах (численный и асимптотический анализ) : монография / И.О. Чубырь, A.B. Коваленко, М.Х. Уртенов. - Краснодар : ФГБОУ ВПО «КубГТУ», 2012. - 132 с.

Статьи в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук:

2. Чубырь И.О. Полная декомпозиция неодномерной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона для бинарного электролита / Лаврентьев A.B., Урте-

нов K.M., Хромых A.A. // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - Краснодар. - 2009. - № 2. - С. 32-37.

3. Чубырь Н.О. Численное и асимптотическое решение неодномерной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона / Лаврентьев A.B., Уртенов K.M., Хромых A.A. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки.-2010.-№5.-С. 17-22.

4. Чубырь Н.О. Краевая задача для плотности тока в области пространственного заряда / Уртенов K.M., Коваленко A.B., Хромых A.A. // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2010. - № 1. - С. 70-74.

5. Чубырь Н.О., Численное решение краевой задачи модели переноса бинарного электролита в приближении закона Ома / Коваленко A.B., Узденова A.M., Уртенов М.Х., Хромых A.A., Барсукова В. Ю. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета [Электронный ресурс]. - Краснодар : КубГАУ, 2012. - №77 (03), шифр Ин-формрегистра: 0421100012. Режим доступа http://ej.kubagro.ru/2012/03/pdf/58.pdf

6. Чубырь Н.О. Анализ краевой задачи модели переноса бинарного электролита в приближении закона Ома / Коваленко A.B., Уртенов М.Х., Узденова A.M., Хромых A.A., Барсукова В. Ю. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, [Электронный ресурс]. - Краснодар : КубГАУ, 2012. -№77 (03), шифр Ин-формрегистра: 0421100012. Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2012/03/ pdf757.pdf

7. Чубырь Н.О. Численное решение краевых задач для квазилинейных уравнений математической физики с функцией Хэвисайда / Коваленко A.B., Уртенов М.Х., Узденова A.M. // Современные проблемы науки и образования. -2012. - № 2, шифр информрегистра: 0421100037, URL: http://www.science-education.ru/102-5919

Публикации но теме диссертации в других изданиях:

8. Чубырь Н.О. (Фоменко Н.О.) Вывод уравнения для плотности тока для бинарного электролита // Прикладная математика XXI века: Материалы VI: объединенной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. - Краснодар : КубГУ, 2006. -С. 122-125.

9. Чубырь Н.О. (Фоменко Н.О.) Приближенное решение уравнения для плотности тока для бинарного электролита // Прикладная математика XXI века: Материалы VII объединенной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. - Краснодар : КубГУ,

2007.-С. 55-56.

10. Чубырь И.О., Баталии И.Г., Ковалев A.B. Нахождение первого приближения для плотности тока в модельной задачи с кубическим уравнением И Сборник студенческих научных работ, отмеченных наградами на конкурсах. Выпуск 9. - Краснодар : Изд-во КубГТУ, 2008. - С. 76-77.

11. Чубырь Н.О., Самсон С. Пример решения модельной задачи переноса бинарного электролита с условием КРЗ // Сборник научных трудов студентов факультета КТАСиЗИ и ИСТЭК. Выпуск 1. - Краснодар : Изд-во КубГТУ,

2008.-С. 180-181.

12. Чубырь Н.О. Приведение к каноническому виду уравнения первого приближения для плотности тока краевой задачи с условием квазиравномерного распределения заряда// Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. - Краснодар : Просвещение-Юг, 2009. -С. 121-123.

13. Чубырь Н.О. Полная декомпозиция системы трехмерных электродиффузионных уравнений / Лаврентьев A.B., Усова Е.С., Уртенов М.Х., Хромых A.A. // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. - Краснодар : Просвещение-Юг, 2009. - С. 84—86.

14. Чубырь Н.О. Полная декомпозиция двумерной системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона для бинарного электролита / Лаврентьев A.B., Усова Е.С., Уртенов М.Х., Хромых A.A. // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. - Краснодар : Просвещение-Юг,

2009. - С. 87-89.

15. Чубырь Н.О. Вывод модельных задач из полной системы декомпозиционных / Лаврентьев A.B., Усова Е.С., Уртенов М.Х., Хромых A.A. // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. - Краснодар : Просвещение-Юг, 2009.-С. 89-91.

16. Чубырь H.О., Хромых А.А. Сопоставительный анализ асимптотического и численного решения краевой задачи с условием квазиравномерного распределения заряда // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. - Краснодар : Просвещение-Юг, 2009. -С. 123-125.

17. Чубырь И.О. Нахождение первого приближения для плотности тока в одной модельной задаче переноса бинарного электролита // Прикладная математика XXI века: Материалы IX объединенной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. -Краснодар : КубГУ, 2009. - С. 124-125.

18. Чубырь Н.О., Морозова П.А. Решение краевой задачи с условием КРЗ // Сборник научных трудов студентов факультета КТАСиЗИ и ИСТЭК. Выпуск 2. -Краснодар : Изд-во КубГТУ, 2010. - С. 59-61.

19. Чубырь Н.О. Асимптотическое решение краевой задачи переноса бинарного электролита в области пространственного заряда // Прикладная математика XXI века: Материалы IX объединенной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. -Краснодар : КубГУ, 2010. - С. 62- 64.

20. Chubyr N.O., M.Kh. Urtenov About one particular solution of QECS tasks. International conférence «Ion transport in organic and inorganic and inorganic membranes». - Krasnodar, 2009. - P. 38-10.

21. Chubyr N.O., Asymptotics in the solution of two-dimensional marginal task of transferring binary electrolyte in the sphere of space charge. International conférence «Ion transport in organic and inorganic and inorganic membranes». - Краснодар, 2010.-P. 40^42.

22. Чубырь H.O., Уртенов M.X. Асимптотическое решение одной модельной задачи электромассопереноса / Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Труды VII Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. - Краснодар : Просвещение-Юг, 2010.-С. 179-180.

23. Чубырь Н.О. Асимптотическое решение декомпозиционной системы уравнений в области пространственного заряда / Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Труды VII Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. - Краснодар : Просвещение-Юг, 2010.-С. 181-182.

24. Чубырь Н.О. Решение одной рекуррентной системы уравнений // Прикладная математика XXI века: Материалы IX объединенной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. - Краснодар : КубГУ, 2011. - С. 87-88.

25. Чубырь Н.О. Алгоритм асимптотического решения краевой задачи переноса бинарного электролита // Прикладная математика XXI века: Материалы IX объединенной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. - Краснодар : КубГУ, 2011. -С. 88-89.

26. Чубырь Н.О., Красин П.С., Приходько A.A. Решение системы уравнений асимптотических приближений в области пространственного заряда // Сборник научных трудов студентов факультета КТАС КубГТУ. Выпуск 4. Краснодар : Изд-во КубГТУ, 2011. - С. 57-59.

Свидетельства о государственной регистрации программ

27. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010615502 от 27.08.2010 г. Алгоритм численного решения одной краевой задачи с условием КРЗ. Чубырь Н.О., Хромых A.A., заявка №2010613989 от 5.07.2010 г.

Подписано в печать 18.04.2012. Печать трафаретная. Формат 60x84 Усл. печ. л. 1,35. Тираж 100 экз. Заказ № 649. Отпечатано в ООО «Издательский Дом-ЮГ» 350072, г. Краснодар, ул. Московская 2, корп. «В», оф. В-120, тел. 8-918-41-50-571

61 12-1/853

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

ЧУБЫРЬ НАТАЛЬЯ ОЛЕГОВНА

ДВУМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА БИНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА В МЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ

05ЛЗЛ8 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор М.Х. Уртенов

Краснодар - 2012

Содержание

Список обозначений.......................................................................................... 4

Введение .................................................................................................. 6

Глава 1.

Процесс переноса бинарного электролита ............................................... 17

1.1 Электромембранные процессы...................................................... 17

1.2 Уравнения, описывающие электромембранные

процессы.............................................................................................19

1.3 Математические модели электродиализных аппаратов ............. 21

1.4 Асимптотические методы решения сингулярно-возмущенных задач.................................................... 26

1.5 Методы решения сингулярно-возмущенных задач мембранной электрохимии ............................................................ 40

Выводы к главе 1.............................................................................................50

Глава 2.

Модель переноса бинарного

электролита в приближении закона Ома................................................. 52

2.1 Вывод моделей переноса бинарного электролита

в мембранных системах.................................................................. 52

2.2 Декомпозиция системы уравнений модели переноса

в приближении закона Ома............................................................ 69

2.3 Методы решения уравнения для функции и ............................... 73

2.4 Методы решения уравнения для обобщенной

концентрации.................................................................................... 81

2.5 Методы решения уравнения для функции 77 ............................... 83

2.6 Алгоритм решения краевой задачи модели переноса в приближении закона Ома для симметричного

электролита........................................................................................86

Выводы к главе 2...........................................................................................88

Глава 3.

Методы асимптотического решения. Высшие приближения .............. 90

3.1 Нахождение высших асимптотических разложений

краевой задачи модели с функцией Хэвисайда ........................... 90

3.2 Нахождение высших асимптотических разложений

краевой задачи модели в приближении закона Ома....................... 98

3.3 Нахождение высших асимптотических разложений краевой задачи для декомпозиционной системы

уравнений ....................................................................104

3.4 Вычисление асимптотики напряженности электрического поля в погранслоях................................................108

Выводы к главе 3......................................................................118

Глава 4.

Алгоритмы и методы численного решения ............................................120

4.1 Численное решение краевой задачи модели переноса бинарного электролита с функцией Хэвисайда.................... 120

4.2 Различные обобщения...................................................130

4.3 Программный комплекс «Моделирование переноса бинарного электролита в МС» ........................................132

4.4 Основные закономерности переноса

бинарного электролита..................................................135

4.5. Верификация результатов...............................................140

Выводы к главе 4......................................................................148

Заключение ..................................................................................................149

Литература....................................................................................................150

Список обозначений

(2 ~ концентрации катионов и анионов, соответственно,

^ пр

/

моль м ;

С - эквивалентная концентрация электролита,

С — г ¡С I — —г2С2, моль/ м3 ; £) - коэффициенты диффузии катионов и анионов,

соответственно, м2 /с; £) - коэффициент диффузии электролита,

Р,Р2(г1-г2) 2 /

и =-,м ¡с;

г,О, -г202

с^ср - падение потенциала на межмембранном пространстве, В;

Е - напряженность электрического поля, В/м\

Р - постоянная Фарадея, Кл/моль\

Сг Г А, Г

- число Грасгофа, иг = —---;

Р0 У

I - плотность тока, А/м 2 ;

- предельная электродиффузионная плотность тока, а/м2;

]х,]г - плотность потока катионов и анионов, моль/м2с; Р -давление, Па\

Ре У0Н

- число Пекле, Ре =--/

й

Я - универсальная газовая постоянная, 8.314 Дж/моль ■ К;

- изменение концентрации /-го сорта ионов в единице объема за единицу времени в результате химических реакций, моль/м3 с;

Т - абсолютная температура, К;

/ - время, с;

- число переноса ионов /-го сорта в растворе;

44, _ числа переноса ионов /-го сорта в анионо- и катионообменной

мембранах, соответственно;

У - плотность силы электрического поля, / = ~р{г ¡С! + г2С2 (р;

у - скорость течения раствора, м/с\

2,, г2 - зарядовые числа катионов и анионов,

Д - оператор Лапласа,

5 - толщина диффузионного слоя, м;

£ - диэлектрическая проницаемость электролита, Ф/м;

<р - потенциал электрического поля, В;

р0 - характерная плотность раствора, кг/м3 ;

у - коэффициенты кинематической вязкости, м2¡с;

V - градиент.

Ьр - дебаевская длина в растворе, см;

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Одним из самых экологичных методов опреснения, очистки сточных вод, выделения из загрязненных вод определенных видов ионов являются электромембранные технологии и, в частности, электродиализ.

При эксплуатации и моделировании мембранных систем принято различать мягкие токовые режимы, при которых можно пользоваться условием электронейтральности (например, допредельные токи для бинарных электролитов и токи Харкаца при учете диссоциации воды и т.д.) и жесткие (интенсивные, запредельные) токовые режимы, когда этого делать нельзя.

Для глубокой деминерализации воды с исходным солесодержанием до 0.01 М предпочтительнее использование интенсивных токовых режимов (токов больше предельного и тока Харкаца), при которых происходит повышение эффективности процесса обессоливания за счет так называемых вторичных или сопряженных эффектов (эффект экзальтации предельного тока, гравитационная конвекция, электроконвекция и т.д.), способствующих уменьшению эффективной толщины диффузионного слоя и облегчающих доставку ионов соли из ядра потока к межфазной границе раствор/мембрана.

Таким образом, процессы, происходящие в мембранных системах при жестких токовых режимах, имеют сложную природу. Их изучение требует учета гидродинамических, термодинамических, электродиффузионных явлений. Математические модели мембранной электрохимии строятся на основе связанной системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона. Однако эта система уравнений неудобна для численного и асимптотического решения и вывода модельных задач [82].

В настоящее время имеется большое количество математических моделей переноса бинарного электролита (Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий,

С.С. Духин, Б.П.Графов, A.A. Черненко[14-15, 18,21-25, 27, 29-31, 92], В.М. Волгин, А.П. Григин, А.Д. Давыдов [10], К.А. Лебедев, A.B. Листов-ничий, [46, 49, 50], Ю.И. Харкац, М.Х. Уртенов,[72-74, 81, 86, 89-91], J.-L. Afonso, M.J., Clifton, I. Rubinstein, L. Shtilman [108, 133], и др.). Однако в двумерных и трехмерных моделях предполагается электронейтральность среды и вместо уравнения Пуассона используется условие электронейтральности (Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий, В.М. Волгин, А.П. Григин, А.Д. Давыдов, К.А. Лебедев, М.Х. Уртенов, Ю.И. Харкац, J.-L. Afonso, M.J. Clifton), хотя запредельный режим переноса непосредственно связан с наличием пространственного заряда, вызываемого этим эффектом, например электроконвекции (I. Rubinstein, L. Shtilman, E.H. Калайдин, Е.А. Де-мехин, М.Х. Уртенов, A.M. Узденова) [39,40,71,81,133]. Математические модели, учитывающие влияние пространственного заряда на перенос ионов соли (Б.П. Графов, A.A. Черненко, A.B. Листовничий, М.Х. Уртенов, I. Rubinstein, L. Shtilman), являются одномерными, даже если изучаемый процесс исследуется на плоскости или пространстве. Поэтому в настоящее время актуально построение и исследование двухмерных моделей переноса бинарного электролита с учетом пространственного заряда.

Имеющиеся асимптотические методы погранслойных функций Люс-терника Л. А., Вишика М. И., Васильевой А.Б. и Кутузова В.Ф. [8,9,12]и др. удобны для решения краевых задач мембранной электрохимии при допредельных токах. Однако, при запредельных токах вырожденные задачи, лежащие в основе этих методов, не имеют решения во всей области, поэтому необходимо эти методы модифицировать, использовать их в сочетании с методом согласования асимптотических решений, с новыми методами, разработанными специально для краевых задач мембранной электрохимии.

Таким образом, тему диссертационной работы, посвященной построению двумерных моделей переноса ионов соли в мембранных систе-

мах с учетом пространственного заряда, разработке эффективных численных и асимптотических методов решения соответствующих краевых задач, следует признать актуальной.

Актуальность темы исследования также подтверждается поддержкой, оказанной работе Федеральным Агентством по образованию и науке РФ в рамках темы 1.4.08 («Методы регулярного представления сингулярно- возмущенных уравнений и их приложения. Метод модулирующих функций в обратной задаче теории фильтрации» (направление фундаментальных научных исследований «Рациональное природопользование») и гранта РФФИ-Юг (№ 09-08-96529 «Модифицирование поверхности ионообменных мембран с использование углеродных нанотрубок с целью совершенствования процессов электродиализного обессоливания и концентрирования»).

Объектом исследования является перенос бинарного электролита.

Предметом исследования математическое моделирование краевых задач переноса бинарного электролита.

Цель исследования. Разработка и исследование двумерных математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах, построение эффективных численных и асимптотических методов их решения.

Цель исследования предопределила следующие задачи исследования:

1. Построение математических моделей переноса бинарного электролита;

2. Построение эффективных численных и асимптотических методов решения краевых задач соответствующих моделей;

3. Разработка комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания

электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов;

4. Установление основных закономерностей переноса бинарного электролита.

Научная новизна:

1. Выведена иерархическая система двумерных математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах с учетом пространственного заряда: модель переноса бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель без начального погранслоя (БНП), модель переноса бинарного электролита в приближении закона Ома (ЗОМ), модель с функцией Хэвисайда. Все модели, за исключением модели ЗОМ, являются оригинальными и не имеют аналогов;

2. Разработан новый асимптотический метод решения двумерных краевых задач соответствующих математических моделей, основной особенностью которого является следующее: 1) решения в разных областях имеют различные асимптотические разложения, типы уравнений для коэффициентов разложения зависят от области (например, в области электронейтральности - эллиптический, в области пространственного заряда - параболический), 2) в области пространственного заряда для текущего асимптотического приближения получаем неопределенную систему, а для следующего переопределенную, поэтому для однозначной разрешимости текущего асимптотического приближения используем условие разрешимости для следующего приближения;

3. Предложены алгоритмы численного решения двумерных краевых задач математических моделей переноса бинарного электролита на основе модификации метода установления, которая заключаются в следующем: вводится специальный дифференциальный оператор, имеющий разный тип в разных областях и два разных времени;

4. Установлены основные закономерности переноса бинарного электролита и показано: а) существенное влияние пространственного заряда на перенос в камере обессоливания; б) вместо исходной краевой задачи можно рассматривать значительно более простую краевую задачу в приближении закона Ома; в) область камеры обессоливания разбивается на области пространственного заряда, примыкающие к мембранам, область электронейтральности в ядре потока и промежуточный слой между ними, а также на погранслои вблизи границ; г) закономерности изменения электрохимических полей по времени и ширине канала обес-солевания.

Научная и практическая значимость

1. Разработанные в работе алгоритмы решений модельных задач реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и могут быть использованы на практике для выбора оптимальных технологических параметров работы мембранных систем.

2. Методы асимптотического и численного решения краевых задач, предложенные нами, могут быть применены при решении краевых задач для системы квазилинейных уравнений в математической физике.

3. Установленные нами основные закономерности переноса бинарного электролита могут быть использованы научно-исследовательскими группами, проектными организациями при разработке новых конструкций электродиализных аппаратов водоподготовки с целью повышения эффективности этих аппаратов

Основные положения, выносимые на защиту

1. Иерархическая система математических моделей переноса в бинарного электролита в мембранных системах: модель переноса бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель без начального погранслоя,

модель переноса бинарного электролита в приближении закона Ома, модель с функцией Хэвисайда.

2. Новое уравнение для функции тока, устанавливающее соответствие между функцией тока, напряженностью электрического поля и концентрацией электролита для двумерного случая с учетом пространственного заряда.

3. Алгоритмы асимптотического и численного решения, соответствующих краевых задач соответствующих математических моделей.

4. Основные закономерности переноса бинарного электролита в мембранных системах с учетом пространственного заряда: распределение областей электронейтральности, пространственного заряда, промежуточных и пограничных слоев, закономерности изменения электрохимических полей по ширине и длине камеры обессоливания электродиализного аппарата.

5. Комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов

Внедрение. Результаты диссертационного исследования используются в работе инновационного технологического Центра «Кубань-Юг» при проектировании новых систем водоподготовки, в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет».

Достоверность результатов. Достоверность исследований подтверждается согласованием их с результатами других авторов, когда это возможно.

Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены лично автором. Диссертантке принадлежат: иерархическая система математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных сис-

темах, алгоритмы численного и асимптотического решения краевых задач соответствующих математических моделей, комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов. Ею лично выявлены основные закономерности переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены:

1. на 13 Международных, Всероссийских и Региональных конференциях: «Ion transport in organic and inorganic membranes» (Krasnodar 2009 -2010), VI-VII Всероссийских конференциях «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Анапа (2009, 2010)); на научных конференциях студентов и аспирантов КГУ ( 20062009гг) и КубГТУ ( 2007- 2011 гг);

2. на научных семинарах кафедры прикладной математики КубГУ (2006,2007,2009гг), прикладной математики КубГТУ (2007- 20 Юг)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 27 печатных работ, из них 1 монография, 16 статей, 9 тезисов докладов, в том числе 6 статей в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук, 1 свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (142 наим.). Работа изложена на 167 стр., в том числе содержит 12 рисунк