автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование электроконвекции в мембранных системах

На правах рукописи

Узденова Аминат Магометовна

М АТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ В МЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и: комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 [!Д? Ш

Краснодар - 2012

005012396

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Карачаево-Черхесский государственный университет им. У.Д. Алиева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Уртенов Махамет Али Хусеевич

Официальные оппоненты-, доктор физико-математических наук,

Демехин Евгений Афанасьевич,

кандидат физико-математических наук, Письменский Александр Владимирович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Российский государственный

университет нефти и газа имени И.М. Губкина» г. Москва

Защита состоится «19» марта 2012 г. в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.101.17 в ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, д. 149, в ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», с авторефератом - на сайте http://www.kubsu.ru/

Автореферат разослан «16» февраля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.101.17 кандидат физ.-мат. наук, доцент

В.Ю. Барсукова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование электроконвекции привлекало внимание многих ученых. В работах по электроконвекции в мембранных системах выделяют два её типа: объемную электроконвекцию, обусловленную действием электрического поля на пространственный заряд в квазиэлектронейтральном растворе, и электроосмос, связанный с существованием на границе фаз двойного электрического слоя. В настоящее время доказано отсутствие объемной электроконвекции в реальных условиях. В зависимости от структуры двойного электрического слоя для электроосмотического скольжения выделяют два фундаментально различных режима: электроосмос первого и второго родов.

Теория электроосмоса первого и второго родов была разработана С.С. Духиным, Б.В. Дерягиным, H.A. Мищук, Э. Жолковским, Э. Стодом, М. Воротынцевым и др. В работах И. Рубинштейна, Б. Зальцмана, И. Лерман и др. были проведены теоретические и экспериментальные исследования электроконвекции. В указанных выше работах заложены основы математического моделирования и теории электроконвекции в мембранных системах. Однако в них ограничиваются рассмотрением сравнительно простых математических моделей при различных упрощающих предположениях:

1) предположение об электронейтральности раствора,

2) стационарности электроконвекции,

3) принятие концентрации постоянной на границе с мембраной,

4) рассматривалась лишь непроточная ячейка и др.

Таким образом, тему диссертации, посвященную построению и исследованию математических моделей электроконвекции в мембранных системах, свободных от указанных выше ограничений, разработке эффективных алгоритмов численного и асимптотического анализа, установлению основных закономерностей электроконвекции, следует признать актуальной.

Актуальность темы исследования подтверждается также поддержкой, оказанной работе Федеральным Агентством по образованию и науке РФ в рамках темы 1.4.08 («Методы регулярного представления сингулярно возмущенных уравнений и их приложения. Метод модулирующих функций в

обратной задаче теории фильтрации» (направление фундаментальных научных исследований «Рациональное природопользование») и гранта РФФИ-Юг (№ (19-08-96529 «Модифицирование поверхности ионообменных мембран с использованием углеродных нанотрубок с целью совершенствования процессов электродиализного обессоливания и концентрирован та»).

Объектом__исследования являются закономерности

злектроконвекции в мембранных системах.

Предметом исследования являются математические модели электроконвекцни в мембранных системах.

Цель исследования. Разработка математических моделей электроконвекции в мембранных системах, асимптотических и численных методов их исследования.

Цель исследования предопределила следующие задачи исследования:

1. Построение математических моделей электроконвекции в мембранных системах.

2. Построение эффективных численных и асимптотических методов решения.

3. Разработка проблемно-ориентированных программ для проведения вычислител эных экспериментов.

4. Установлен де основных закономерностей электроконвекции в мембранных системах.

Научная новизна:

1. Разработанг иерархическая система новых моделей, адекватно описывающих электроконвекцию в мембранной системе в потенциостатичсском и гальваностатическом режимах: общая модель, модель в приближении соленоидальности поля плотности тока, модель в приближении закона Ома. Эти модели разработаны, как для гладких мембран, так и мембран с выступами и кавернами.

2. Предложены новые алгоритмы и методы численного и асимптотического решения краевой задачи, отвечающей модели в приближении закона Ома, особенностью которых является оригинальное сочетание численных и асимптотических методов с последовательным уточнением области

4

применимости асимптотических решений. Даны асимптотические оценки электрического и концентрационного полей.

3. Впервые установлены основные закономерности электроконвекции в проточных мембранных системах: структура и динамика электрического и концентрационного полей, динамика возникновения и развития электроконвективных вихрей, влияние геометрической неоднородности поверхности мембраны на электроконвекцию.

Научная и практическая значимость

1. Предложенные в диссертации уравнение для плотности электрического тока, формула для напряженности электрического поля, модели в приближении соленоидальности плотности тока и закона Ома могут быть использованы для разработки математических моделей в других задачах, описывающих перенос в мембранных, нано- и микрофлюидных системах.

2. Методы асимптотического и численного решения краевых задач, предложенные в диссертации, могут быть применены при решении краевых задач для системы квазилинейных уравнений математической физики.

3. Установленные в диссертации основные закономерности электроконвекции могут быть использованы научно-исследовательскими группами, проектными организациями для повышения эффективности электродиализных аппаратов водоподготовки, при разработке новых конструкций этих аппаратов и нано- и микрофлюидных устройств.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Иерархическая система математических моделей электроконвекции в мембранных системах для потенциостатического и гальваностатического режимов, выведенная на основе предложенного в диссертации метода моделирования процессов переноса в мембранных системах.

2. Алгоритмы численного и асимптотического решения краевых задач, соответствующих математическим моделям. Особенностью предлагаемых методов является оригинальное сочетание численных и асимптотических методов, причем в ходе решения последовательно уточняются области применимости асимптотических решений.

Приближенные аналитические формулы для расчета электрохимических полей.

3. Новое уравнение для плотности электрического тока, устанавливающее соответствие между плотностью тока, напряженностью электрического поля и концентрацией электролита. Формула для напряженности электрического поля, устанавливающая зависимость напряженности электрического поля от плотности тока, градиента концентрацией электролита и скорости конвективного потока электролита.

4. Основные закономерности электроконвекции в мембранных системах, а именно структура распределения электрохимических и гидродинамических полей по ширине и длине канала обессоливания, влияние на перенос ионов соли электроконвекции и геометрической неоднородности поверхности мембран при интенсивных токовых режимах, критическая (пороговая) кривая возникновения электроконвекции в координатах «скорость вынужденного течения раствора/падение потенциала», установленные с помощью комплексного исследование с использованием математических моделей и вычислитель] юго эксперимента.

5. Комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислитель) шх экспериментов по исследованию электроконвекции в канале обессоливания электродиализного аппарата с учетом геометрической неоднородности поверхности мембран и проведение вычислительных экспериментов.

Внедрение. Результаты диссертационного исследования иснользованы в работе инновационного технологического Центра «Кубань-Юг» при проектировании новых систем водоподготовки, в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Карачаево-Черкесский государственный университет им. У.Д. Алиева».

Обоснованность и достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается выбором адекватных моделей, применением строгих математических методов, сравнением с результатами других авторов и с литературными экспериментальными данными, в тех случаях, когда это возможно.

Личный вклад автора. Основные результаты работы получены лично автором: построена иерархическая система математических моделей процесса электроконвекции; построены алгоритмы численного и асимптотического решения краевых задач соответствующих математических моделей; разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по моделированию массопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата с учетом электроконвекции и геометрической неоднородности поверхности мембран; выявлены основные закономерности электроконвекции в канале обессоливания электродиализного аппарата для бинарного электролита.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены:

1. на 4-х Международных конференциях: «Ion transport in organic and inorganic membranes» (г. Туапсе, 2008 - 2011 гг.) и 2-х Всероссийских конференциях: «VI-VII Всероссийские конференции «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах»» (г. Анапа, 2009, 2010 гг.);

2. на научных семинарах кафедры математического анализа КЧГУ (2008, 2009, 2010 гг.), прикладной математики КубГУ (2009, 2010 г.), кафедры физической химии КубГУ (2011 г.);

3. на научных конференциях студентов и аспирантов КЧГУ (г. Карачаевск, 2009, 2010, 2011 гг.) и КубГУ (г. Краснодар, 2009, 2010 гг.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 18 печатных работ, из них 1 монография, 8 статей, 9 тезисов докладов, в том числе 5 статен в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов докторских и кандидатских диссертаций.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (164 наим.), двух приложений. Работа изложена на 144 стр., в том числе содержит 33 рисунка, 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи, перечислены результаты, выносимые на защиту, сформулированы научная новизна и практическая ценность исследования, определен личный вклад автора, указано содержание работы по разделам.

В первой главе приводятся краткие сведения по электромембранным системам и процессам, необходимые для понимания и содержательной интерпретации математических моделей массопереноса в этих системах. В этой же главе пр вставлены основные законы, описывающие массоперенос в мембранных системах с учетом электроконвекции. Анализируются известные математические модели электроконвекции С.С. Духина, Б.В. Дерягина, И. Рубинштейна, Б. Зальцмана и др., составляющие основу теории электроконвекци я в мембранных системах.

Пусть Н и Ь - ширина и длина камеры обессоливания, соответственно, У0 - средняя скорость прокачивания раствора, х = 0 -соответствует условной межфазной границе катионообменная мембрана/раствор, х-Н- соответствует условной межфазной границе анионообменная мембрана/раствор, у- 0 - входу, а у = I - выхода из камеры обессоливания, V - скорость течения раствора, р0 - характерная плотность раствора, Р - давление, С„ С2- концентрации катионов и анионов в растворе, соответственно, , г2 - зарядовые числа катионов и анионов, 0{, В2 - коэффициенты диффузии катионов и анионов, соответственно, <р -потенциал электрического поля, Ё - напряженность электрического поля, / -плотность электрического тока, е- диэлектрическая проницаемость электролита, Р - постоянная Фарадея, Я - газовая постоянная, Т -абсолютная температура, ? - время, к - коэффициент кинематической вязкости, /^-/'(^С, +г2С2)У<р - плотность силы электрического поля. В данной задаче Р. V, <р, С,, С2 - неизвестные функции, зависящие от времени / и координат х , у .

При моделировании электроконвекции в главах 2-4 учитывается тот факт, что мембранные системы используют, как правило, в двух разных режимах работы: потенциостатическом режиме, которому соответствует условие:

ip(H, у, t) - <p(0, у, t) ---- dv = const, (1)

означающее, что величина падения потенциала в камере обессоливания постоянна, и гальваностатическом режиме, когда ток, протекающий через любое сечение камеры обессоливания, является постоянным, т.е.:

j L

= — jX (х, у, t)dy = const, (2)

о

где - средний ток.

К системе уравнений, которые будут ниже использоваться для разработки различных математических моделей электроконвекции, должны быть добавлены соответствующие краевые условия, причем они должны быть согласованыхо свойствами мембран и величиной iav или d9 («интенсивным» или «мягким» токовым режимом).

Наряду' с одним из указанных выше условий на потенциал или плотность тока, используются и другие условия для потенциала (плотности тока), для скорости и следующие граничные условия для концентраций:

1). На поверхности катионообменной мембраны х = 0,уе[0,1], t >0 будем считать граничную концентрацию катионов равной фиксированному заряду внутри мембраны:

Ф,у.*)=сы (3)

Кроме того, предположим катионообменную мембрану идеально

селективной, т.е. непроницаемой для анионов:

\

(0,_у,/) = 0. (4)

г „„ — \

5С' F г,С,*

дх ЯТ

2). На поверхности анионообменной мембраны х = Н,уе[0,Ц,1>0 будем считать граничную концентрацию анионов равной фиксированному заряду внутри мембраны:

С2[Н,у,і)=С„ (5)

Предположим анионообменную мембрану идеально селективной, то есть непроницаемой для катионов:

3). На входе в рассматриваемую область _у = е [О,//], г > 0 будем ¡полагать:

4). На выходе из рассматриваемой области у = Ь,хе[О,Я],(>0 будем использовать «мягкие» условия на концентрации:

5). Нач.'льные условия при 1=0 примем согласованными, по возможности, с остальными граничными условиями.

Во второй главе описана разработанная в диссертации иерархическая система математических моделей электроконвекции в гальваностатичес ком режиме. Для математического моделирования явлений переноса, как правило, используются уравнения Нернста-Планка и Пуассона, совместно с системой уравнений Навье-Стокса. Система уравнений Нернста-Планка и Пуассо та удобна для моделирования потенциостатического режима, так как уравнение Пуассона используется для нахождения потенциала. Однако она неудобна для исследования гальваностатического режима, поскольку нет явного уравнения для плотности тока. Отсюда следует, что систему уравнен:-ш Нернста-Планка и Пуассона необходимо преобразовать к виду удобному для решения указанной проблемы. Для этого оказалось необходимым решить следующие две задачи:

1. Вывести дифференциальное уравнение для плотности тока I, которое должно использоваться вместо уравнения Пуассона.

2. Вывести формулу, выражающую напряженность электрического поля через плотность тока и концентрацию, которая должна использоваться вместо уравнения плотности тока.

В §2.1 предлагается математическая модель переноса ионов в канале обессоливания электродиализного аппарата в гальваностатическом режиме в виде системы квазилинейных уравнений с частными производными.

В §2.2 предложена новая математическая модель переноса ионов в канале обессолизания электродиализного аппарата в гальваностатическом

С,.(х,0,0 = С0, I = 1,2.

(7)

ду

(8)

режиме в приближении ссшеноидальности плотности тока. Введено новое понятие «функция тока» т] для плотности тока:

?Л-=Т Ё1 = -Т (9)

&

В трехмерном случае функции 77 соответствует векторный потенциал для плотности тока.

Указанная выше модель описывается следующей системой уравнений:

^ = ДДС, - Лу(С,У)-« = 1,2, (Ю)

от К1

АГ1 = + + М2^ + 2гСг)Л +

КГ

дх ду

/

(П)

- ДГ _7 | /Щг,ДУС, +22Р2УС2) ДТ^.С, +г2С2) - (12)

Р^ДС, +г22ДС2) + Я^ДС, +Г22ДС2) Дг^ДС, +22ДС2)

Здесь - кососимметричное скалярное произведение. Эта

система уравнений дополняется соответствующими краевыми условиями.

В §2.3 для симметричного бинарного электролита приведен алгоритм полной декомпозиции системы электродиффузионных уравнений и получена система декомпозиционных уравнений, включающая новое уравнение для функции тока для общей плотности тока:

д{ кт V / 2 ЯгТ2 11 11

II2 -^¡К||2 + ^Д(сИУЁ)-СИУ(8У)~ (13) ят ят 1 яг] п ^

е 8 II -II2

"I II ' 1 ГЯТ Вг»

2ЯТ 11 11 2ЯТ дг

Ы ЯТ 2Я2Т2 11 11 ЯТ (14)

+ £^2. уШ|2 _ а/ Д£ - £(г СИУЁ)+ Ф, 2ЯТ Н II 1 4

А т] -

( г V

V V

ят

~ еМ II -II2

1 2ЛГ1' II 2

£

^дх ду ,

СНУЕ.

~ Е 1М12 Здесь 5 =С, +С2 -___- обобщенная суммарная концентрация,

2 КТ\

Ф--г— + / - сойдя плотность тока, д, =-----, с12 =

дЕ д(

В §2.4 пре дложена новая математическая модель переноса ионов в канале обессоливг ния электродиализного аппарата в гальваностатическом режиме в декомпозиционных переменных, приведен переход к безразмерному вицу и дана оценка параметров характерных для камеры обессоливания

В третьей главе предлагаются математические модели элекгроконвекции в потенциостатическом режиме. Математическая модель рассматривается сначала для канала обессоливания, исследование которого позволяет сформулировать более простую математическую модель элеюроконвекции в диффузионном слое и определить границы ее применимости.

В §3.1 сформулирована математическая модель электроконвекции в камере обессоливания электродиализного аппарата. Модель строится на основе системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона (18)-(20). Здесь (16), (17) - уравнения Навье-Стокса, описывающие движение раствора с учетом пространственной электрической силы.

ЗУ

+ (УУ)У = -—1\7Р + УАУ -—+ ггС^Г(р, & р0 р0

СИУ(У) = О,

= _</Т ят2А с'У<р ~°х+ с'У1'

^ = -(¡М- —г2В2С2У<р - £>, УС, + С2У

д( I ят 2 2 2 2

(16)

(17)

(18)

р

Д (р =--(2,С,+22С2).

Е

(20)

Для решения задачи (16)-(20) применяется метод конечных элементов.

Показано, что при заданном падении потенциала электроконвекция проявляется, когда скорость прокачки не превышает некоторое пороговое значение. При этом течение в камере обессоливания электродиализного аппарата несимметрично: для раствора НаС1 электроконвекция возникает вначале только у катионообменной мембраны. Показано, что это связано с различием значений коэффициентов диффузии для катионов и анионов. Численно определена пороговая кривая возникновения электроконвекции: чем больше скорость вынужденной конвекции, тем выше пороговая разность потенциалов.

0.7

0.5 0.4

Рис. 1. Зависимость пороговой разности потенциалов (1д> от скорости прокачивания К0 раствора при С0 =10 моль/м1

Нами было проведено численное исследование устойчивости, которое показало систематическое уменьшение колебаний плотности тока с уменьшением величины возмущающей добавки и, поэтому, можно утверждать, что процесс сверхпредельного массопереноса ионов соли устойчив как при отсутствии, так и при наличии электроконвекции.

В §3.2 приводится упрощенная модель электроконвекции в диффузионном слое, прилегающем к катионообменной мембране.

В §3.3 предлагается математическая модель влияния эдектроконвекцик на перенос ионов соли в камере обессоливания электродиализного аппарата при наличии вынужденной конвекции и геометрической неоднородности поверхности мембран. Геометрическая неоднородность поверхности мембраны моделируется кавернами и выступами. Вьюлено, что наличие геометрической неоднородности поверхности может приводить как к увеличению, так и к уменьшению массопереноса. Вклад от неоднородности в плотность тока зависит от скорости прокачивания раствора, приложенного скачка потенциалов, размеров неоднородности.

В четвертой главе проводится численное исследование электроконвекции в гальваностатическом режиме. В §4.1 главы дан вывод модельной задачи в «приближении закона Ома» из системы декомпозиционных уравнений.

В §4.2 приведено найденное нами асимптотическое представление решения краевой задачи из §4.1. Выявлена структура электрохимических полей и показано, что канал обессоливания, разбивается на области электронейтральЕ ости и пространственного заряда, причем асимптотическое представление решения имеет разный вид в областях электронейтральности и пространственного заряда. В §4.3 выведены формулы для расчета силы электрического коля, даны относительные оценки этой силы в областях электроне йтралькости и пространственного заряда.

В §4.4 предлагается следующий алгоритм численного решения краевой задачи, соответствующей математической модели электроконвекции в «приближения ; акона Ома»:

1. Задаются две начальные функции, определяющие области электронейтралы юсти и пространственного заряда, например, хк о(у)> у € ц для нахождения £/2, и хА0(у), у е [О,ь] для нахождения и22, причем Ц^оЦ^О, ||хло|я1. Пусть уже определены приближения, *д-,0')> у е [0,4, хА !{у), у е [0,ц 1 = 1,...,л.

2. Определяются области (/21„ = {(х,у):у е[0,£],0< х <хкп(у)} и = {(*,У) ■ У[0,!],*,,„(>') < * < 1} •

3. В области пространственного заряда 112 п = £/21„ и £Л2,„ решается уравнение для 77 с соответствующими краевыми условиями. Полученное

решение обозначим т]„ и рассчитаем /у „ = ; •

дх оу

4. В области пространственного заряда И1п рассчитывается сила /„ по формуле

п = V н К ¿п -лттт-7»

Л ....... V II'-. ,

, при(х,у)ви2,

а в области электронейтральности полагается равным нулю, т.е.: /„=0, (х,у)еи{.

5. Решая краевую задачу для системы уравнений Навье-Стокса, находим распределение поля скоростей Уп.

6. Решается уравнение для функции 5 :

а/ Ре к

с соответствующими краевыми условиями. Полученное решение обозначаем .

7. Находится следующие приближения для функций, определяющих

области электронейтральности и пространственного заряда:

д$(хАл(у),у) 1 (>') = ХА,„ С?) - 5 (ХА,„ (У),У) '-^-;

~ дЯ(хк п(у),у) хк,п+! (у) = ХК,п (У) - 5 (%,* 00> у)1-^-•

8. Определяются области СГ2 _п+, - {(х, у): у е [0, £], 0 < х < хКп+1(у)} и и2,2,^ = {(х,у):у€[0,1],хАп+](у)<х<1}.

9. Расчеты продолжаются до тех пор, пока не выполнится условие остановки:

тах(|К+1 (у) - хп Су)||+||/л+10>) - Л Су)!)+м(и2Х„ \с/2,м+1 иС/2,2,„ \с/2Дл+1)<<?,

>40, ¿]

где <5 - некоторая заданная точность, а ¡л - площадь фигуры.

В §4.5 проведен численный анализ математической модели электроконвекции в «приближении закона Ома». Установлены основные закономерности .электроконвекции в гальваностатическом режиме.

Верификация результатов моделирования электроконвекции в мембранных системах проведена сравнением ширины диффузионного слоя с экспериментальными данными (рис. 2), сопоставлением вольтамперной характеристики с результатами Гнусина Н.П. и др. (ЕЫЛАЬ) (рис. 3), печения с экспериментальными данными С. Рубинштейна и др. Результаты показывают хорошее согласие, таким образом, предложенные нами математические модели электроконвекции, адекватны.

Рис. 2. Сопоставление вычислений ширины диффузионного слоя (1) с экспериментальными данными (2) Шапошника В.А. и др.1

' Шапошник В. А. и др. // Электрохимия. - 2006. - Т. 42, №11. - С. 1-6.

16

20 18 16 и 12

.А/л

10

-----ЕГСото

в ЕЮото

■■¡И И8—~И-

в—а-

,0.6

й? .В

РЯС

0.8

1.2

Рис. 3. Вольтамперная характеристика при скорости прокачивания раствора У0 = Ю-4 м/с, начальной концентрации раствора С0 = 10 моль/м3;

ЕЮопу - расчет по модели (16)-(20); расчет по ЕЬ01АЬ2

Теоретически рассчитанная нами вольтамперная кривая (рис. 3) имеет классический вид. А именно, на графике вольтамперной характеристики можно выделить три области: начальный участок (допредельный режим, ток возрастает с ростом разности потенциалов), плато (предельный режим, рост разности потенциалов приводит к незначительному увеличению тока), сверхпредельный режим (ток возрастает с ростом напряжения). Таким образом, можно сделать вывод, что сверхпредельный режим объясняется появлением электроконвекции, поскольку электроконвективные вихри обеспечивают доставку раствора из ядра потока к границе мембрана/раствор, что приводит к дополнительному переносу ионов, т.е. к интенсификации массопереноса.

2 Гнусин Н.П. и др. // Электрохимия. - 1986. - Т. 22. - С. 298-302

17

По итогам комплексного исследования электроконвекции определены следующие основные закономерности электроконвекции в канале обессоливания электродиализного аппарата:

1. Проявление электроконвекции зависит от значений коэффициентов диффузии катионов и анионов. Для раствора №С1 электроконвекция возникает в диффузионном слое, прилегающем к катионообменной мембране при истощении коЕщентрации катионов соли при запредельной плотности тока. Причиной 'шектроконвекции в проточных мембранных системах является действие силы электрического поля на пространственный заряд, который образуете?: на межфазной границе мембрана/раствор электролита.

2. Процесс электроконвекции быстро выходит на стационарный режим. Поскольку протяженность пространственного заряда увеличивается с разбавлением рас-вора (с уменьшением концентрации соли) или (и) увеличением плотности тока, то вклад электроконвекции в сверхпредельный л.'Эссоперенос растет.

3. С увеличением линейной скорости протока раствора вклад электроконвекции в сверхпредельный массоперенос уменьшается, с увеличением абсолютной величины падения потенциала вклад ллектроконвекции в сверхпредельный массоперенос увеличивается. При :аданной скорости прокачки электроконвекция проявляется, когда падение потенциала превышает некоторое пороговое значение. При заданном падении потенциала электроконвекция проявляется, когда скорость прокачки не превышает некоторое пороговое значение. Численно определена пороговая кривая возникновения электроконвекции: чем больше скорость вынужденной конвекции, тем выше пороговое падение потенциала (рис. 1).

4. Сверхпредельный режим объясняется появлением электроконвекции, поскольку электроконвективные вихри обеспечивают доставку раствора из ядра потока к границе мембрана/раствор, что приводит к дополнительному переносу ионов, т.е. к интенсификации массопереноса. Во всех вариантах введения возмущения наблюдается уменьшение колебаний плотности тока с уменьшением величины возмущающей добавки и можно утверждать, что процесс сверхпредельного массопереноса ионов соли устойчив несколько выше и под пороговой кривой, как при отсутствии, так и наличии при электроконвекции.

5. Наличие геометрической неоднородности поверхности может приводить как к увеличению, так и к уменьшению массопереноса. Вклад от неоднородности в плотность тока зависит от скорости прокачивания раствора, приложенного скачка потенциалов, размеров неоднородности. В случае каверн наблюдается усиление добавочного массопереноса при совмещении электроконвекции и геометрической неоднородности. В то же время, наличие вставок ослабляет добавочный массоперенос, вызванный электроконвекцией.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ В итоге проведенных в диссертации исследований можно сформулировать следующие основные результаты и предложения.

1. Предложена иерархическая система математических моделей процесса электроконвекции в мембранных системах для потенциостатического и гальваностатического режимов: общие модели на основе связанной системы уравнений Нернста-Планка, Пуассона и Навье-Стокса, модели в приближении соленоидальности и закона Ома.

2. Разработаны эффективные алгоритмы численного и асимптотического решения краевых задач, соответствующих математических моделей. Выведены приближенные аналитические формулы для расчета электрохимических полей. Выведены новое уравнение для плотности электрического тока и формула для напряженности электрического поля.

3. Установлены причина и основные закономерности электроконвекции в мембранных системах в двумерном случае, а именно структура распределения электрохимических и гидродинамических полей по ширине и длине канала обессоливания, влияние на перенос ионов соли электроконвекции и геометрической неоднородности поверхности мембран при интенсивных токовых режимах. Определена критическая (пороговая) кривая электроконвекции в координатах «скорость/падение потенциала». Проведена верификация математических моделей и алгоритмов численного решения путем сравнения с результатами других авторов.

4. Создан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по моделированию процесса переноса ионов соли в канале обессоливания электродиализного аппарата с учетом электроконвекции и геометрической неоднородности поверхности мембран.

ОСНОВНЫЕ ІШЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Монография:

1. Узденова A.M., Коваленко A.B., Уртенов М.Х. Математические модели электроконвекцик в электромембранных системах. - Карачаевск.: Изд-во КЧГУ, 2011.- 156 с.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов кандидатских и докторских диссертаций:

2. Узденова A.M., Коваленко A.B., Уртенов М.Х. Моделирование элзктроконвекцик в электромембранной системе при наличии вынужденной конвекции // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - Краснодар. - 2011. - №1. — С. 77 — 83.

3. Узденова A.M., Коваленко A.B., Никоненко В.В., Уртенов М.Х. Математическое моделирование электроконвекции в электромембранных системах с вынужденной конвекцией // Конденсированные среды и межфазные грани: ды. - Воронеж. - 2011.-Т. 13 - №4. - С. 492-498.

4. Узденова A.M., Коваленко A.B., Никоненко В.В., Уртенов М.Х. Математическое моделирование электроконвекции в канале обессоливания электродиализато за с учетом вынужденной конвекции // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. -Краснодар. - 2011. - №4. - С. 86-93.

5. Узденова A.M., Коваленко A.B., Уртенов М.Х. Математическое моделирование процесса обессоливания в ЭДА с учетом электроконвекции и геометрической неоднородности поверхности мембраны [Электронный ресурс] // Полшематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. - №72(08). - 2011. - С. 1-11. Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/201 l/08/pdf718.pdf

6. Узденова А.М., Коваленко A.B., Никоненко В.В., Уртенов М.Х. Причины возникновения электроконвекции в электромембранных системах [Электронный ресурс] // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. - №73(09). -2011. - С. 1-14. Режим доступа: http://ej.kiibagro.ru/2011/09/pdgy33.pdf.

Публикации по теме диссертации в других изданиях:

7. Узденова A.M., Уртенов М.Х. Условие скольжения и его использование в моделях мембранной электрохимии // Ионный перенос в органических и неорганических мембранах. Электромембранные технологии на базе фундаментальных исследований явлений переноса. Материалы российской конференции с международным участием. - Краснодар, 2008. - С. 231.

8. Узденова A.M., Уртенов М.Х. Анализ влияния условия скольжения на течение электролита // Ионный перенос в органических и неорганических мембранах. Электромембранные технологии на базе фундаментальных исследований явлений переноса. Материалы российской конференции с международным участием. - Краснодар, 2008. - С. 232-233.

9. Uzdenova A.M., Urtenov М. Kh. About a mathematical model of electroosmosis of the second kind // Ion transport in organic and inorganic membranes. International conference. Book of Abstracts. - Krasnodar. 2009. - P. 209.

10. Uzdenova A.M., Urtenov M. Kh. Instability influence on processes in electro-membrane systems // Ion transport in organic and inorganic membranes. International conference. Book of Abstracts. - Krasnodar. 2009. - P. 210.

П. Узденова A.M., Уртенов М.Х. Условие скольжения в задачах моделироваши течения электролита в электромембранной системе // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и

студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2009.-С. 110-112.

12. Узденова A.M., Уртенов М.Х. Моделирование электроконвекции в мембранных процессах, связанной с неоднородной электропроводностью поверхности мембраны // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2009.-С. 106-110.

13. Узденова A.M. Алгоритм численного решения одной математической модели электроосмоса второго рода // Прикладная математика XXI века. Материалы IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. -Краснодар, 2009. - С. 115-117.

14. Uzdenova A.M., Urtenov M.Kh. Using the COMSOL Multiphasics in mass transfer modeling in desalination channel of the electrodialysis device // Ion transport in organic and inorganic membranes. International conference. Book of Abstracts. - Krasnodar. 2010. - P. 193-195.

15. Узденова A.M. Математическая модель стационарного течения электролита в примембранном слое Н Прикладная математика XXI века: материалы X объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. -Краснодар, 2011. - С. 91-93.

16. Узденова A.M., Уртенов М.Х. Численное решение задачи массопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата методом конечных элементов при выполнении условия электронейтральности // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VII Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2010. - С. 168-171.

17. Узденова А.М., Уртенов М.Х. Анализ различных моделей стационарного переноса бинарного электролита в КО ЭДА // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VII Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2010.-С. 171-174.

18. Uzdenova А.М., Kovalenko A.V., Urtenov M.Kh., Nikonenko V.V. Modeling of electroconveotion in membrane system // Proceedings of the international conference "Ion transport in organic and inorganic membranes" June 6-11. -Krasnodar. 2011. - P. 205-207.

Узденова Аминат Магометовна " МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ В МЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 10.02.2012. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,35. Тираж 100 экз. Заказ № Издательство Карачаево-Черкесского

государственного университета: 369202, г. Карачаевск, ул. Ленина, 29. ЛР №040310 от 21. 10. 1997.

61 12-1/733

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КАРАЧАЕВО-ЧЕРКЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. У.Д. АЛИЕВА»

На правах рукописи

УЗДЕНОВА АМИНАТ МАГОМЕТОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ

В МЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор М.А.Х. Уртенов

Краснодар - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Список обозначений и сокращений ..................................................................4

Введение ................................................................................................................6

Глава 1. Электроконвекция в мембранных системах................................13

§1.1. Электромембранные системы............................................................13

§1.2. Обзор математического моделирования

электроконвекции в мембранных системах.....................................19

Выводы к главе 1..........................................................................................31

Глава 2. Моделирование электроконвекции в канале обессоливания электродиализного аппарата для бинарного электролита

в гальваностатическом режиме ..................................................................33

§ 2.1. Моделирование переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного

аппарата в гальваностатическом режиме...........................................34

§ 2.2. Вывод модельных задач для гальваностатического

режима ...................................................................................................39

§2.3. Декомпозиция системы уравнений Нернста-Планка

и Пуассона.............................................................................................43

§2.4. Моделирование электроконвекции в гальваностатическом

режиме в декомпозиционных переменных........................................48

Выводы к главе 2..........................................................................................57

Глава 3. Моделирование электроконвекции в мембранных системах

в потенциостатическом режиме..................................................................58

§3.1. Моделирование электроконвекции в канале

обессоливания электродиализного аппарата.....................................58

§3.2. Моделирование электроконвекции в диффузионном слое,

прилегающем к катионообменной мембране ....................................75

§3.3. Моделирование электроконвекции в системах

с мембранами с геометрически неоднородной поверхностью ........81

Выводы к главе 3..........................................................................................94

Глава 4. Численное исследование электроконвекции

в гальваностатическом режиме...................................................................95

§4.1. Вывод и обоснование модельной задачи в «приближении закона Ома» из системы

декомпозиционных уравнений............................................................95

§4.2. Асимптотическое решение модельной задачи

в приближении «закона Ома»............................................................99

§4.3. Вывод формулы и алгоритм расчета силы

электрического поля............................................................................109

§4.4. Алгоритм численного решения краевой задачи,

соответствующей математической модели электроконвекции

в «приближения закона Ома».............................................................110

§4.5. Численный анализ математической модели

электроконвекции в «приближении закона Ома»............................119

Выводы к главе 4.........................................................................................121

Заключение.........................................................................................................123

Список использованных источников...........................................................125

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

С - эквивалентная концентрация электролита, моль/мъ;

С,, С2 - концентрации катионов и анионов, соответственно, моль/мг;

2) ^ ДДДг,-г2) 2/

- коэффициент диффузии электролита, и =-,м /с]

д 5 £) - коэффициенты диффузии катионов и анионов, соответственно, м2/с;

(1Ф - падение потенциала на межмембранном пространстве, В;

Е - напряженность электрического поля, В/м;

- постоянная Фарадея, Кл/моль;

§ - ускорение свободного падения, м/с2 ■

I - плотность тока, Д/м2;

1цт - предельная электродиффузионная плотность тока, Д/'м'

С - средняя плотность тока, Д/м2;

7 7 - плотность потоков катионов и анионов, соответственно,

моль/(м2с\ Р -давление, Па\

Ре ^ К И

- число Пекле, Ре - ——;

£

Я - универсальная газовая постоянная, 8.314 Дж/{моль • К);

Л; - изменение концентрации ¿-го сорта ионов в единице объема за

единицу времени в результате химических реакций, моль/(м3с},

Яе КПЯ

- число Рейнольдса, Яе = ——;

V

.2.

£ - обобщенная суммарная концентрация, моль

- число Шмидта, ¿>с = —;

м~

Т - абсолютная температура, К;

Ф - общая плотность тока, Ajмг\

t - время, с;

tj - число переноса ионов i-ro сорта в растворе;

tjA, tiK - числа переноса ионов i-ro сорта в анионо- и катионообменной

мембранах, соответственно;

Uj - подвижность ионов i-ro сорта,м2/(В-с);

f - плотность силы электрического поля Н/мг;

у - скорость течения раствора, м/с\

z,, z2 — зарядовые числа катионов и анионов,

8 - толщина диффузионного слоя, м\

s - диэлектрическая проницаемость раствора электролита, Ф/м;

(р - потенциал электрического поля, В\

Ро - характерная плотность раствора, кг/м3;

г] - «функция тока» плотности электрического тока, Aj м;

v - коэффициенты кинематической вязкости, м2¡с;

у/ - функция тока;

£ - функция вихря;

Д - оператор Лапласа;

V - градиент;

Div - дивергенция;

Rot - ротор;

ЭМС - электромембранная система;

КО - камера обессоливания;

КК - камера концентрирования;

ЭДА - электродиализный аппарат;

ВАХ - вольтамперная характеристика.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Математическое моделирование электроконвекции привлекало внимание многих ученых. В работах по электроконвекции в мембранных системах выделяют два её типа: объемную электроконвекцию, обусловленную действием электрического поля на пространственный заряд в квазиэлектронейтральном растворе и электроосмос, связанный с существованием на границе фаз двойного электрического слоя. В настоящее время доказано отсутствие объемной электроконвекции в реальных условиях. В зависимости от структуры двойного электрического слоя для электроосмотического скольжения выделяют два фундаментально различных режима: электроосмос первого и второго родов.

Построению и исследованию математических моделей электроконвекции в мембранных системах посвящены работы С.С. Духина, H.A. Мищук, Б.В. Дерягина [28, 29, 31], Э. Жолковского, Э. Стода, М. Воротынцева [164], И. Рубинштейна, Б. Зальцмана [53, 130-141], Демехина Е.А., Полянских C.B. [102, 103] и др. Однако в этих работах ограничиваются рассмотрением сравнительно простых математических моделей при различных упрощающих предположениях (отсутствие вынужденного течения, предположения об электронейтральности раствора, стационарности электроконвекции, принятие концентрации постоянной на границе с мембраной и др.), из-за математических трудностей исследования краевых задач для общих систем уравнений Нернста-Планка-Пуассона и Навье-Стокса, лежащих в основе моделирования электромембранных процессов.

Тему диссертации, посвященную построению и исследованию математических моделей электроконвекции в мембранных системах, построению эффективных алгоритмов численного и асимптотического анализа, установлению основных закономерностей электроконвекции, следует признать актуальной.

Актуальность темы исследования подтверждается также поддержкой, оказанной работе Федеральным Агентством по образованию и науке РФ в

рамках темы 1.4.08 («Методы регулярного представления сингулярно возмущенных уравнений и их приложения. Метод модулирующих функций в обратной задаче теории фильтрации» (направление фундаментальных научных исследований «Рациональное природопользование») и гранта РФФИ-Юг (№ 09-08-96529 «Модифицирование поверхности ионообменных мембран с использованием углеродных нанотрубок с целью совершенствования процессов электродиализного обессоливания и концентрирования»).

Объектом исследования являются закономерности электроконвекции в мембранных системах.

Предметом исследования являются математические модели электроконвекция в мембранных системах.

Цели исследования. Разработка математических моделей электроконвекции в мембранных системах, асимптотических и численных методов их исследования.

Цель исследования предопределила следующие задачи исследования:

1. Построение математических моделей электроконвекции в мембранных системах.

2. Построение эффективных численных и асимптотических методов решения.

3. Разработка проблемно-ориентированных программ моделирования и проведение вычислительных экспериментов.

4. Установление основных закономерностей электроконвекции в мембранных системах.

Научная новизна:

1. Разработана иерархическая система моделей, адекватно описывающих электроконвекцию в мембранной системе в потенциостатическом и гальваностатическом режимах: общая модель, модель в приближении соленоидальности поля плотности тока, модель в приближении закона Ома. Причем эти модели разработаны, как для гладких мембран, так и

мембран с выступами и кавернами. Модели в приближении соленоидальности поля плотности тока, закона Ома не имеют аналогов;

2. Предложены алгоритмы и методы численного и асимптотического решения краевой задачи модели в приближении закона Ома. Даны асимптотические оценки электрохимических полей;

3. Установлены основные закономерности электроконвекции: структура и динамика электрохимических полей, динамика возникновения и развития электроконвективных вихрей, влияние геометрической неоднородности поверхности мембраны на электроконвекцию.

Научная значимость и практическая ценность:

1. Предложенные нами модели в приближении соленоидальности плотности тока и закона Ома могут быть использованы для разработки математических моделей в других задачах мембранных систем.

2. Методы асимптотического и численного решения краевых задач, предложенные нами, могут быть применены при решении краевых задач для системы квазилинейных уравнений в математической физике.

3. Установленные нами основные закономерности электроконвекции могут быть использованы научно-исследовательскими группами, проектными организациями для повышения эффективности электродиализных аппаратов водоподготовки, при разработке новых конструкций этих аппаратов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели электроконвекции в мембранных системах для потенциостатического и гальваностатического режимов.

2. Алгоритмы численного и асимптотического решения краевых задач, соответствующих математических моделей. Приближенные аналитические формулы для расчета электрохимических полей.

3. Новое уравнение для плотности электрического тока, устанавливающее соответствие между плотностью тока, напряженностью электрического поля и концентрацией электролита. Формула для напряженности

электрического поля, устанавливающая зависимость напряженности электрического поля от плотности тока, градиента концентрации электролита и скорости конвективного потока электролита.

4. Основные закономерности электроконвекции в мембранных системах, а именно структура распределения электрохимических и гидродинамических полей по ширине и длине канала обессоливания, влияние на перенос ионов соли электроконвекции и геометрической неоднородности поверхности мембран при интенсивных токовых режимах. Критическая, пороговая кривая возникновения электроконвекции в координатах «скорость/падение потенциала».

5. Комплекс проблемно-ориентированных программ моделирования электроконвекции в канале обессоливания электродиализного аппарата с учетом геометрической неоднородности поверхности мембран и проведение вычислительных экспериментов.

Внедрение. Результаты диссертационного исследования использованы в работе инновационного технологического Центра «Кубань-Юг» при проектировании новых систем водоподготовки, в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Карачаево-Черкесский государственный университет им. У.Д. Алиева».

Обоснованность и достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается выбором адекватных моделей, применением строгих математических методов, сравнением с результатами других авторов и с литературными экспериментальными данными, в тех случаях, когда это возможно.

Личный вклад автора. Основные результаты работы получены лично автором: построена иерархическая система математических моделей процесса электроконвекции; построены алгоритмы численного и асимптотического решения краевых задач соответствующих математических моделей; разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по моделированию

массопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата с учетом электроконвекции и геометрической неоднородности поверхности мембран; выявлены основные закономерности электроконвекции в канале обессоливания электродиализного аппарата для бинарного электролита.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены:

1. на 4-х Международных конференциях: «Ion transport in organic and inorganic membranes» (г. Туапсе, 2008 - 2011 гг.) и 2-х Всероссийских конференциях: «VI-VII Всероссийские конференции «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах»» (г. Анапа, 2009, 2010 гг.);

2. на научных семинарах кафедры математического анализа КЧГУ (2008, 2009, 2010 гг.), прикладной математики КубГУ (2009, 2010 гг.), кафедры физической химии КубГУ (2011 г.);

3. на научных конференциях студентов и аспирантов КЧГУ (г. Карачаевск, 2009, 2010, 2011 гг.) и КубГУ (г. Краснодар, 2009, 2010 гг.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 18 печатных работ, из них 1 монография, 8 статей, 9 тезисов докладов, в том числе 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов докторских и кандидатских диссертаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (164 наим.), двух приложений. Работа изложена на 144 стр., в том числе содержит 33 рисунка, 1 таблицу.

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и задачи, перечислены результаты, выносимые на защиту, сформулированы научная новизна и практическая ценность исследования, определен личный вклад автора.

В главе 1 диссертации приводятся краткие сведения по электромембранным системам и процессам, необходимые для понимания и содержательной интерпретации математических моделей массопереноса в этих системах. В этой же главе представлены основные законы,

описывающие массопереиос в электромембранных системах с учетом электроконвекции. Анализируются известные математические модели электроконвекции, предложенные в работах С.С. Духина, Б.В. Дерягина, Н.А. Мищук [28, 29, 31], И. Рубинштейна, Б. Зальцмана [53, 130-141] и др., составляющие, в настоящее время, основу теории электроконвекции в мембранных системах.

Во второй главе описана разработанная в диссертации иерархическая система математических моделей электроконвекции в гальваностатическом режиме. Описывается обобщение метода декомпозиции на двумерный случай. Принципиальным моментом является то, что в двумерном случае необходимо вывести новое уравнение для неизвестной вектор-функции плотности тока из исходной системы электродиффузионных уравнений, так чтобы, оно совместно с системой декомпозиционных уравнений, позволило однозначно определить все искомые функции.

В третьей главе предлагаются математические модели электроконвекции в потенциостатическом режиме. Математическая модель рассматривается сначала для канала обессоливания, исследование которого позволяет сформулировать более простую математическую модель электроконвекции в диффузионном слое и определить границы ее применимости. Экспериментально доказано [15, 143], что поверхность мембраны является геометрически неоднородной. Кроме того, в настоящее время ведутся исследования по целенаправленной модификации поверхности мембраны и ее влияния на массоперенос. Установлено, что в зависимости от модифицирующего агента и микроструктуры мембраны наблюдается увеличение или уменьшение скорости массопереноса [48, 82]. В связи с этим возникает проблема теоретического исследования взаимодействия электроконвекции и геометрической неоднородности поверхности мембраны. Предлагается математическая модель влияния электроконвекции на перенос ионов соли в камере обессоливания электродиализного аппарата при наличии вынужденной конвекции и с мембранами с негладкой

поверхностью. Выявлены основные закономерности процесса электроконвекции.

В четвертой главе численно исследуются математические модели электроконвекции в гальваностатическом режиме. Приведено найденное нами асимптотическое представление решения краевой задачи электроконвекции. Выявлена структура электрохимических полей и показано, что канал обессоливания, разбивается на различ�