автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Двумерные математические модели переноса тернарного электролита в мембранных системах

На правах рукописи

Хромых Анна Алексеевна

ДВУМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА ТЕРНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА В МЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

3 о СЕН 2т

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар, 2015 005562813

005562813

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «КубГУ»),

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Уртенов Махамет Али Хуссевнч

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Калайдин Евгений Николаевич, Краснодарский филиал ФГОБУ ВО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»

кандидат физико-математических наук, доцент

Коржов Евгений Николаевич,

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

университет»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Российский государственный

университет нефти и газа имени И.М. Губкина».

Защита диссертации состоится 26 ноября 2015 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет» но адресу: пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406, г. Таганрог, Ростовская область, Россия, 347928.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет». С текстом автореферата можно ознакомиться на сайте ЮФУ http://sfedu.ru/

Автореферат разослан «22» сентября 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.208.22 доктор технических наук, профессор

А.Н. Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Мембранные технологии относятся к критически важным технологиям, в связи с чем, исследование электромембранных процессов является актуальной задачей. Одним из эффективных методов исследования является математическое моделирование. Для математического моделирования явлений переноса в мембранных системах используется система уравнений Нернста-Планка - Пуассона, которая достаточно сложна для аналитического и численного решения. В связи с этим возникает актуальная проблема развития методов математического моделирования, разработке самих математических моделей, аналитических и численных методов решения соответствующих краевых задач.

Степень разработанности темы. Развитие методов математического моделирования переноса в мембранных системах, разработка самих математических моделей основана на методе декомпозиции систем уравнений Нернста— Планка и Пуассона. Метод декомпозиции одномерных систем уравнений Нернста-Планка и Пуассона, в том числе для тернарного электролита, был предложен в работах Уртенова М.Х. В последующем он был обобщен для двумерных уравнений Нернста-Планка и Пуассона для бинарного электролита в работах Коваленко A.B., Уртенова М.Х., ЧубырьН.О. Декомпозиция сисгемы двумерных уравнений Нернста-Планка и Пуассона для тернарного электролита, вывод уравнения для плотности тока и разработка иерархической системы математических моделей переноса оставались нерешенными задачами. Исследование поддержано РФФИ, грант 13-08-96525р юг-а, что также подтверждает актуальность темы исследования.

Объектом исследования является двумерные математические модели переноса тернарного электролита в электромембранных системах в виде краевых задач для систем квазилинейных уравнений с частными производными.

Целыо исследования является развитие двумерных математических моделей переноса тернарного электролита, построение эффективных асимптотических и численных методов их решения и комплекса программ.

Цель исследования предопределила следующие задами исследования:

• Вывод декомпозиционной системы уравнений переноса тернарного электролита в электромембранных системах из исходной системы уравнений

Нернста-Планка м Пуассона, включая вывод нового уравнения для плотности тока.

• Разработка иерархической системы математических моделей переноса тернарного электролита.

• Разработка эффективных асимптотических и численных методов решения краевых задач математических моделей. •

• Разработка комплекса проблемно-ориентированных программ для моделирования и численного исследования переноса тернарного электролита.

Научная новизна.

В области моделирования:

• Предложен метод декомпозиции для двумерной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона для тернарного электролита и получена новая декомпозиционная система уравнений. Эти результаты являются нетривиальным обобщением метода декомпозиции как для одномерной системы уравнений, так для системы двумерных уравнений Нернста-Планка и Пуассона для бинарного электролита. Метод декомпозиции является математическим методом, позволяющим разрабатывать новые математические модели.

• Выведена новая иерархическая система математических моделей переноса тернарного электролита: декомпозиционная модель переноса тернарного электролита, модель ППМС (переноса в проточной мембраной системе), модель БНП (без начального погранслоя), модель ЗОМ (переноса тернарного электролита в приближении обобщенного закона Ома).

• Введена новая функция г| (функция тока) для общей плотности тока и выведено уравнение для этой функции, которое вместе с декомпозиционной системой уравнений образует замкнутую систему уравнений, моделирующую перенос тернарного электролита в мембранных системах.

В области численных методов:

• Впервые предложен асимптотический метод решения краевых задач всех моделей переноса тернарного электролита: 1) исходная область разбивается на несколько подобластей: электронейтралыюсти и пространственного заряда, промежуточных и пограничных слоев, в каждой из которых, асимптотическое разложение имеет свой вид, 2) в области пространственного заряда для

однозначной разрешимости текущего приближения используется условие разрешимости следующего приближения, 3) для согласования асимптотических разложений из подобластей электронейтральности и пространственного заряда вводится промежуточный слой, 4) поскольку решения в предыдущих областях не удовлетворяют, вообще говоря, некоторым краевым и начальным условиям, то вводятся погранслои вблизи границ, а также угловые и начальные по-гранслои.

• Предложены три различных численных метода решения краевых задач переноса тернарного электролита, две из них независимы друг от друга. Первый метод основан на методе конечных элементов. Во втором методе используются специальные растянутые переменные. Третий метод заключается в численном решении главного асимптотического приближения с использованием конечных разностей, метода последовательных приближений и метода сглаживания. При этом вводится некоторый дифференциальный оператор, тип которого меняется в разных областях и используется модификация метода установления, которая заключаются в введении двух разных времен.

В области программирования:

• Разработан программный комплекс «ТегпЕ1ес(го1И» для моделирования и численного исследования переноса тернарного электролита в мембранных системах, который позволяет находить решение при значениях параметра 8 от 1(Г17 до 1(Г2.

Научная и практическая значимость.

• Научную значимость имеют предложенный метод декомпозиции переноса тернарного электролита, асимптотические и численные методы решения краевых задач. Рассматриваемые методы могут быть применены для асимптотического и численного исследования и решения краевых задач для сингулярно-возмущенных квазилинейных уравнений с частными производными.

• Практическую значимость имеют предложенные нами математические модели ППМС, БНП, ЗОМ, которые могут использоваться при конструировании электромембранных аппаратов очистки воды и разделения ионов. Кроме того, комплекс программ для ЭВМ, разработанный в диссертационной работе, может быть использован для расчета оптимальных геометрических и технологических параметров электродиализных аппаратов.

Основные положения, выносимые на защиту.

В области моделирования (стр. 40-67):

• Метод декомпозиции для тернарного электролита и основанная на нем полная система декомпозиционных уравнений для тернарного электролита, включая новое уравнение для плотности тока. Положение о том, что метод декомпозиции является математическим методом, позволяющим разрабатывать новые математические модели на основе асимптотических оценок членов декомпозиционных уравнений, а также иерархическая система математических моделей переноса тернарного электролита.

В области численных методов (стр. 69-166):

• Метод асимптотического решения краевых задач моделей переноса тернарного электролита, основная идея которого заключается в разбиении области решения на несколько областей. Особенностью предлагаемого асимптотического метода является то, что для однозначной разрешимости уравнений для текущего приближения необходимо использовать условие разрешимости уравнений для следующего приближения.

• Эффективные алгоритмы численного решения исходной краевой задачи и краевой для начального приближения модели ЗОМ, основанные на использовании растянутых переменных и метода конечных элементов, сочетания метода установления, последовательных приближений, конечных разностей и сглаживающих процедур.

В области программирования (стр. 166—170):

• Программный комплекс «ТегпЕ1есггоИь>, предназначенный для расчета параметров и основных закономерностей переноса тернарного электролита в мембранных системах и состоящий из четырех модулей.

Внедрение. Имеются акты о внедрении результатов диссертации в учебный процесс ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет», в работе ИТЦ «Кубань-Юг» при проектировании новых систем водоподготовки.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием уравнений, представляющих основные законы

физики, строгих математических методов, проверена сопоставлением их с известными результатами.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены лично автором, а именно: метод декомпозиции системы уравнений переноса тернарного электролита, новое уравнение для функции тока, модели ЗОМ, БНП, ППМС, методы асимптотического и алгоритмы численного решения краевых задач этих моделей, комплекс проблемно-ориентированных программ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались:

• На Международных конференциях: «Ion transport in organic and inorganic membranes» (Krasnodar 2009-2014), на VI-VII Всероссийских конференциях «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Анапа 2007, 2009-2013); на XVIII-XI Всероссийских научно-практической конференциях «Математические методы и информационно-технические средства» (Краснодар, 2012 - 2014 гг.), на научных конференциях студентов и аспирантов КубГУ (2007-2011 гг.) и КубГТУ (2007-2012 гг.);

• На научных семинарах кафедр прикладной математики КубГУ (20072014 гг.), КубГТУ (2007-2013 г.).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 39 печатных работ, включая 1 монографию, 20 статей, в том числе 11 статей в журналах из перечня научных журналов, рекомендованных ВАК России для публикации результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук, 1 статья входит в базу данных Scopus, 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ, 15 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, пять глав, заключение, список литературы из 107 наименований и изложена на 186 страницах, включает 44 рисунка, 1 таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи, перечислены результаты, выносимые на защиту, сформулированы научная новизна и практическая ценность исследования, определен личный вклад автора, указано содержание работы по главам.

В главе 1 приведен обзор различных одномерных и двумерных математических моделей переноса тернарного электролита. Проведен аналитический обзор численных и асимптотических алгоритмов решения сингулярно-возмущенных краевых задач математических моделей мембранных систем в одномерном и двумерном случаях.

В главе 2 выведен метод декомпозиции системы двумерных уравнений Нернста-Планка и Пуассона для тернарного электролита и новое уравнение для плотности тока.

В § 2.1 предлагается декомпозиция системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона для тернарного электролита. Выведено новое уравнение для функции тока.

Система уравнений Нернста-Планка и Пуассона для тернарного электролита имеет следующий безразмерный вид:

7; = + ; = 1,2,3, (1)

7 = Ь, У„ (2)

/=1

Ре^-ЯгЗ,. (3)

ст

гсИ\'Ё = 7,С: + 22С2 + гъСъ, (4)

где безразмерные функции и постоянные имеют следующий смысл: С,- -концентрация, - поток ионов г-го сорта, V - известная скорость течения, - зарядовые числа, О,- коэффициенты диффузии, 7 - плотность тока, Ё - напряженность электрического поля, Ре - число Пекле, 8 > 0 - малый параметр. С учетом того, что Е = -Уф, где ф - потенциал электрического поля, система (1)-(4) содержит 14 скалярных уравнений (если перейти к скалярной форме) и 14 скалярных переменных.

С целью упрощения системы уравнений перейдем от парциальной концентрации С,- к суммарным концентрациям

50=С1+С2+С3, S, = D1C]+D2C2+D3C3. (5)

Для S0, выведена система декомпозиционных уравнений

Ре-^- = -a2dh{sQE)- М'Ч^Ь-Í2z(divÉf —МдЦ^Ц2 + +

+ y2e¡VE2f + AS, - Pedi\(s0v), (6)

Ре3^- = -a3di\{s0E)-P3í//v(5,£)-y3e(divÉf -^A¡e( +

oí ' 2 " "

+ У3е|У£,||2 + y3e|¡V£2||2 + A(a,S0 + p,S, + ylzdivE)- Pediv{sxv). (7)

Здесь и далее a(-,p;,y(. - постоянные зависящие от зарядовых чисел и коэффициентов диффузии. При выводе уравнений (6), (7) учтено, что

II2

dh(EdivE)= (divEf + (д£, Ё)= (divEf + ^аЦЁЦ2 -|V£,f -ЦУ^ц .

Для вывода уравнения для функции Е, введена общая плотность тока Ф ,

8Ё 1 -состоящая из плотности тока смещения е— и плотности тока —/,

д! Рс

дЁ 1 -

обусловленного потоком ионов Ф = е —+ — /. Показано, что Ф является

at Ре

соленоидальным полем. Для функции Е получено уравнение

Pes ~ = -(«450 + fl4St + у4аНгЁ)Ё + cr9V50 + fJ2VSt + y2fAE -

(it (SJ

-cPcVdivE+РеФ.

Из соленоидальности поля Ф в двумерном случае следует существование

такой функции i], что — = -Ф,, ---- = Ф2. Для функции // выведено уравнение

ду Ох

А>1 = -~ (V(n<So + М + y,£divE\ Ё\ + £'(л£,1;), + nHvE ■ г(к), (9)

Таким образом, для нахождения искомых 5 функций 50, 51,, Е^Е2, Ц получена система из 5 уравнений (6) - (9) вместо первоначальных 14 (в скалярном виде) уравнений, с учетом соотношения Ё = -Уф, с 14 неизвестными функциями С,-,У(-, / = 1,...,3, Ё, /, ф. Следовательно, число уравнений и неизвестных уменьшилось почти втрое. После определения 50, 5,, Ег, ц остальные искомые функции рассчитываются по простым формулам. Таким образом, произведено расщепление (декомпозиция) исходной системы уравнений. Для удобства вывода модельных задач вводится замена

50 = а450 + р45, + /л31е||Ё|2, 5, = и»3250 + + /и34е|£|2, (10)

тогда система уравнений преобразуются к виду

= /л0|ЛД.?0 + т02Лс1п$0Ё)-С1П^0у)+ И103ЛД5, + (?,£')+

+ ¿"¡¿Ц2^ + /»„(^гг/^^кЦе'Ц2 ^ + «г06гг Цё^2 - т07Ае((ЦуЁУ + (11)

+ т01Ле§7Е$ + т07Я£-|У£'2|2 + т08МА'у£,

^ = Ат, ¡Л^ + }цпА(Л\(^Ё)-Ат^АЯа + Атис1п(^()Ё)+

+ + - Ат1(,е(сИ\ЁУ + Ат^рЕ^ + (12)

+ Ат^е^Е^ + Атп£Л(1п'Ё,

£= -Л^дЁ)- Ам06е(¿¡¡¿Ц 1 - Ал11,6 ^ЁС//РЁ)+ Ат22Ч80 +

д: V ) ' (13)

+ Л»12з УЗ1, + Д«723гУ||£[|" + Ат24£ЛЁ - е УСНУЁ + Ф,

А'1 = *.(у(£0 + л/06еЦ£||2+ тпыП\<Ё\Ё\ + е(л£,к), + г.Л\Ё-г(у), (14)

, 1

где А. = а ; некоторые постоянные, зависящие от а/,р,,у, [2, 13].

В § 2.2 путем оценки членов декомпозиционного уравнения произведен вывод трех математических моделей тернарного электролита:

и

1) Модель ППМС (переноса в проточных мембранных системах):

~ = »101АА50 + 1>102ЛсЛ\(80Ё)- </п(.?0к)+ ;;1ЮЯД5| + /?)+

= Я»), |А?| +т12/!ЛЧ'(5,1£)- Ят]3А.?0 + Ятиг/н(50£)+

(16)

Д77 = я(у(50+«г0бг.-|£|2\£

(18)

Для проточных мембранных систем параметр Л = — является малым уже

Ре

при небольших скоростях протока раствора. С этим связано название модели, описываемой системой уравнений (15) - (18).

2) Члены уравнений £— и ——Ш отвечают за переходные процессы,

д/ 2 дI" 11

поэтому если не учитывать переходные процессы, то уравнения (15) - (17) упростятся, причем Ф = к!, и получим модель БНП (без начального но-гранслое):

^г1 = »г01АД50 + т02М\^0Ё)- ¿/п(§()Г')+ т03ЛА^ + т04Лс//у(^Ё)+ + Лт05ес1М \ + тоь£(1п\ КШ I,

= ДотцД^, +/н,2^//Ч(?1£)-Лу(51К)+Яш13Д5;0 + Дш,4г/п'(50£)+ш^гг/п^7!^2 (20) (50^миг:(£И2]-т24гМ-/=0. (21)

3) Внешнее по отношению к погранслоям по вектор-функции Ё, т.е. справедливое внутри области, асимптотическое представление получим, отбрасывая еД£, тогда уравнение (21) упроститься:

(,?0£)+,л064е|2£-/=0. (22)

Из этого уравнения получаем, что напряженность электрического поля пропорционально плотности тока, т.е. выполняется некоторое обобщение закона Ома. Следовательно, модель переноса тернарного электролита, описываемую системой уравнений (18) - (20), (22) можно назвать «моделью переноса в приближении закона Ома». После решения системы уравнений (18) - (20), (22) для получения решения справедливого во всей области для исходной задачи необходимо учесть погранслои для функции Ё.

Наряду с нестационарными моделями 1) - 3) можно рассматривать и соответствующие стационарные модели.

Используя исходные уравнения Нернста-Планка и Пуассона, удается сформулировать лишь упрощенную модельную задачу с условием электроней-тралыюсти. Таким образом, получается, что условие электронейтральности и уравнение Пуассона являются как бы альтернативными друг другу. Как показано выше, декомпозиционная система уравнений позволяет формировать большое количество различных модельных задач.

В третьей главе предлагается асимптотический метод решения краевой задачи двумерной математической модели ЗОМ для тернарного электролита. Основная идея решения заключается в разбиении области решения, например, канала обессоливания электродиализного аппарата [13], на несколько областей: область пространственного заряда, область электронейтральиости, промежуточная область. В главе приведены асимптотические разложения в основных областях,- пространственного заряда и электронейтральности. Особенностью предлагаемого асимптотического метода является то, что в области пространственного заряда для однозначной разрешимости уравнений для текущего приближения необходимо использовать условие разрешимости уравнений для следующего приближения. Границы области пространственного заряда, и соответственно, области электронейтральности, определяются по ходу решения.

В § 3.1 найдено асимптотическое решение в области электронейтральиости. Введем в рассмотрение вектор Р = (¿,50,5,,|;)7'. В области электронейтральиости для асимптотического решения используем разложения в ряд по

— со ^ .

степеням малого параметра е: . Например, для начального прибли-

жения Р{0) = (£(0),5Г0(0,,5|<0),11(0>)7', получается система уравнений: Я?(0) / \ / \

= -лч-(£010)и)+ + (23)

^ = тиЛА§Г + т12Му($ГЁт)~ <Иу&°>р)+ тпАА$0т, (24)

(25)

¿<0)=~У,0)- (26)

В § 3.2 найдено асимптотическое решение в области пространственного

заряда. Сделаем замену и введем в рассмотрение вектор

л/е

(? = (£.'$о>51>т1)7'- Для асимптотического решения используем разложения в ряд

по дробным степеням малого параметра е: = ¿¿"V'2 •

(=1

Система уравнений, полученная приравниванием коэффициентов при е° имеет вид:

50(0)£(0)+Ш06||£(0»|!2£(0»=0) Аналогично, система уравнений при е2 имеет вид:

Л? (0) / N

= тт ДД?0(0) + (?0,0,£(1) + ОТ0))- ^ (?о<0)'7)+

+ Лт0 зД5,<0) + Лт^Ь^Е™ + 5,(1>£<°>)+

(27)

(28)

(29)

(30)

д' (32)

а?,(0) д!

(33)

Л>/(0) = + ».об[£(0)|2)^,1>);+ + '"об £<0')) ■ (34)

Из уравнения (29) следует, что уравнения (27) к (28) тождественно выполняются и поэтому система уравнений (27) - (30) не позволяет однозначно определить приближение 2<0) = (Е'1"Д|'))Д("\//<<")7'. В то же время система уравнений (31)-(34) в общем случае неразрешима и кроме того, содержит как неизвестные нулевого приближения. ¿><0) = (£'<(>),5''()(0),,5I(0>,^(0,), , так и неизвестные первого приближения ¿(,> = (£",,5'с"),51(|),/;"))г. Проблема решается использованием условия разрешимости (/("),Я(0)), =0 для уравнения (33) и исключением неизвестных первого приближения из (31), (32), (34). После ряда преобразований для начального приближения = (£(0,,5'(51",5,"",?;<0))г, получена следующая система уравнений:

= «„ЛД5Г + - а„с1п>($0<а)у), (35)

АЧ'((-/н,252,("+ям5о(0,^в,)=0, (36)

= ОТ)

06

1|/(°)|| у т,

п !7(0)|! V «

V"

II

• Ю) ?(0)

с С>) И II

(38)

(Ч ("I Г* I1'» П ("I

где ¿2 = /н1260 -тмЪ[ , а «у выражается через/Ну.

Из асимптотических решений, приведенных в § 3.1 и § 3.2, следует, что они не могут быть справедливыми в некоторой области (промежуточном слое), где - 6(е) < 50 < 6(е) , причем 3(е)0, при ¿-»0. Для построения асимптотического разложения в этой области в §3.3. для начального приближения получена система уравнений:

35,

' д1

я;,, Л </Л'

7(0Т

:?(о)7(,„

■ <//у (у,«"?)*

7<"Т

(о) = I____

, з Д а*

' ^ V

дх

с1п'\ || /(")||-117

7(0)

+ |,"1А

2 4 а

-> \

^ ду / )

¿V2 '

аУ°>

4 з^0) аУ°> 3 а_у Злг Дг5)>

(40)

(41)

дуг

■ = 0.

Предложенное выше асимптотическое решение, в отличие ог численного метода, позволяет находить решение при произвольно малых значениях параметра а. Уравнения для коэффициентов разложения являются стандартными уравнениями математической физики, что упрощает их исследование, приближенное аналитическое и численное решение. Кроме того, формулы (26) и (37) даюг аналитическое соотношение между плотностью тока и напряженность электрического поля в областях электронейтралыюсти и пространственного заряда.

В главе 4 описывается алгоритм асимптотическое решение краевой задачи модели ППМС тернарного электролита. Основная идея решения, как и в главе 3, заключается в разбиении области решения на несколько областей: область электронейтралыюсти, область проегранственного заряда и промежуточная область. Однако, в случае краевой задачи модели ППМС к описанным выше областям, необходимо добавить еще пограничные слои, включая угловые и начальные погранслои (рис. 1).

В §4.1 и §4.2 приведены асимптотические разложения в основных областях,- электронейтралыюсти, пространственного заряда.

В § 4.3 уравнения начального приближения приводятся к виду, удобному для численного решения.

В § 4.4 приведены асимптотические разложения решения в погранслоях.

и3 и4

ь

* х

-Ж

> ) > I <

-1-Н-

I I I

2

и,

О

н

х

Рис. /. Разбиение области решения на подобласти: =(/ии£/12 - область пространственного заряда; И2 - область электронейтраяыюсти; (У4 -промежуточные слои; I - ПОУ - погранслой около л =0, \/у; 2 - ПНУ -погранслой около х = Н , Уу; 3 - ПХО — погранслой около у = О, ; 4 - УПОО - угловой погранслой около л" = 0, у = О; 5 - У11НО - угловой погранслой около х = Н , у = О.

В пятой главе описывается алгоритм и методы численного решения краевой задачи тернарного электролита. В данной главе приведены три различных метода численного решения, два из которых независимы друг от друга. Первый метод, основанный на использовании метода конечных элементов (рис. 2), позволяет решать краевую задачу для £-~10 \ Во втором методе используются специальные растянутые переменные, позволяющие проводить расчеты для е ~ 10 *.

В § 5.2 и § 5.3 описывается численный метод решения, основанный на использовании начального асимптотического приближения. Анализ уравнений начального приближения показывает необходимость привести их к виду,

удобному для численного решения. Введем замену 52(0) = -//;045'1(0).

Показано, что уравнение для функции 52(0' можно записать, используя функцию Хэвисайда х> одним уравнением для всех трех областей: электронейтральности, промежуточного слоя и пространственного заряда. Для

численного решения уравнения для функции т] вводится в рассмотрение дифференциальный оператор ¿(г/,5), составленный из левых частей уравнений (25), (30), (33), с помощью которого уравнение для функции запишется в виде Ц/7(о), 40)) = 0, х € (0,1), у € (0, Ь).

а)

б)

в) г)

Рис. 2. Графики решений краевой задачи для концентраций а) С^,х,у), б) С2(1,х,у), в) С3(1,х,у), г) п(',х,у)

Для нахождения решения полученной краевой задачи для функций Г]'0', 7<°>, Ёпредлагается сочетание модификации метода установления, которая заключаются во введении двух разных времен, метода последовательных приближений, конечных разностей и метода сглаживаний.

1 шаг. Возьмем некоторые начальные приближения и обозначим их через

с(0) с(о) (0) 7(0) в(о) °0,0 ' °2,0' По ' у0 ' Ло •

2 шаг. 1) Находим а) Решаем краевую задачу для уравнения

(НУ

|5п(0)-

"12

?(0)

Л 0 (т\2тп~тмт\*) 2-°

?(0)

= 0

граничными условиями

50| = ЛоОО> 0 <у<ук, (>0, 50| = В00(х), 0 < х < х0, ?>0. Решение

х=0

обозначим Находим кривую х = х0^,у) такую, что (?,*(/,у),>)= 0. Обозначим = {(/,х, г > 0,0 < х< х0 (?,>"), 0<у<ук}. б) Решаем краевую

Г/

задачу для уравнения div

s (о) _ тп £(о)

0 (т\2тП ~т04ти) 2' .

Л

(0)

= 0 с граничными

VV V"12'"12 04 14 / У у

условиями 50 =4oi(y), 0 <у<ук, t> 0, S0 = Я02(х), х,<х<1, t> 0.

Ix=l l_v=u

Решение обозначим So°i,2- Находим кривую x = xl{t,y) такую, что S$2 {t, x(t, у), jy) = 0. Обозначим L/{$ = {(t, х, у): / > 0, х, (г, у) < х < 1, 0 < у < ук }. в) В области uf* = {(/,х,у) :х0(/, у) < х < x1 (t,у), 0 < у < ук} с соответствующими граничными условиями решаем краевую задачу для уравнения

= тттм +т0,тп ЯА~(0) _ яд?<о> _ div(s^v)+ Adiv({mnS™ - §™)е«»). dt тм тм

Определяем функцию

S$(t, х, у) = S$0 (t,x,y),t>0,0<x<yk,0<x<x0 (t, у), (t, x, у) = (t, x,y),t>0,0<y<yk, x0 it, y)<x<xx (t, y), x,y) = S,¡® (t, x, y), t > 0,0 < у < yk, x, (t, y) < x < 1. Производим численное сглаживание функции S$(t,x,y).

2) Находим решение уравнения

(0)

oS2K = ГПтЩ2 ' Щ4тП ^ (0) + dt т04

+ щЛт0\тп - Щ4т\з)+тп(тозтп - 0<°) _ div(s2(0)v)+

m04

06ff?12 + m04m15 x{_ s0i0(0))d!v(s0;0(0¥) .

+

m,

06

в области и = и1ии2х [0,+оо)= {^,х,у): ¡>0,0< х <1,0< у< ук} с соответствующими краевыми условиями. Обозначим решение .

Производим численное сглаживание решения (рис. 3 а).

3) Находим решение уравнения 51,'0' = --—52(0). Обозначим

ш04 т04

решение (рис. 3 б).

а) б)

Рис. 3. Сглаженные графики функций а) 52'0); б) 5/0'

а) б)

Рис. 4. Графики функций а) г]"г>; б) сглаженной г/т

2.3. Находим решение уравнения 0 с соответствующими краевыми условиями методом установления. Обозначим полученное решение

Производим численное сглаживание решения (рис. 4), находим 7,'0'.

2.4. Находим по формулам: £,(0) = Ц^//0', (г,х,у)е и,, , ^ , 1 /М,(г,х,У)еи2, ЕГ' ШТГ, (г,Х,у)е ии.

II1 I* 06

Производим численное сглаживание решения. Следующее приближение 5<?>, л{0), А(0), Е,(0) определено.

3 шаг. Если выполнено условие сходимости, то решение найдено, в противном случае делаем переприсваивание: 5^:= = г|, := ¿^ и возвращаемся к шагу 2.

В § 5.4 представлена структура программно-вычислительного комплекса «ТегпЕ1е&гоШ», предназначенного для моделирования переноса тернарного электролита в мембранных системах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан метод декомпозиции для тернарного электролита. Введена новая функция ц (функция тока) для общей плотности тока и выведено уравнение для этой функции, что позволило получить замкнутую систему уравнений, моделирующую перенос тернарного электролита.

2. Используя метод декомпозиции, выведена новая иерархическая система математических моделей переноса тернарного электролита: декомпозиционная модель переноса тернарного электролита, модель ППМС, модель БНП, модель ЗОМ. Таким образом, показано, что метод декомпозиции является математическим методом, позволяющим разрабатывать новые математические модели.

3. Предложен асимптотический метод решения краевых задач основной особенностью, которого является то, что: 1) исходная область разбивается на несколько подобласти: электронейтральности и пространственного заряда, в каждой из которых, асимптотическое разложение имеет свой вид; 2) в области пространственного заряда для однозначной разрешимости текущего приближения используется условие разрешимости следующего приближения; 3) для согласования асимптотических разложений в областях электронейтральности и пространственного заряда вводится промежуточный слой; 4) для удовлетворения краевым и начальным условиям, вводятся погранслои вблизи границ, а также угловые и начальные погранслои. Асимптотический метод решения позволяет находить приближенное решение при достаточно малых значениях параметра в.

4. Предложены три различных численных методов решения краевых задач переноса тернарного электролита, два из которых независимы друг от друга. Первый метод, основанный на использовании метода конечных элементов, позволяет решать краевую задачу для s ~ 10"3. Во втором методе используются специальные растянутые переменные, позволяющие проводить расчеты для £ ~ 1(Г6. Третий метод заключается в численном решении главного асимптотического приближения с использованием конечных разностей и метода последовательных приближений и позволяет находить численное решение при произвольно малых значениях параметра е.

5. Разработан и реализован программный комплекс «TernElectrolit», позволяющий моделировать и проводить численное исследование переноса тернарного электролита в мембранных системах при значениях параметра е от 10~п до 10"2.

Основные публикации по теме диссертации Публикации в изданиях, включенных в БД Scopus

1. A.V. Kovalenko, A.A. Khromykh, M.Kh. Urtenov. Decomposition of Two-Demensional Nernst-Planck-Poisson Equations for a Ternary Electrolyte / Kovalenko A.V., Khromykh A.A., Urtenov M.Kh. // Mathematical physics.- 2014.Vol. 90, № 2. pp.635-636.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК и приравненных к ним

2. Хромых A.A. Декомпозиция двумерной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона для тернарного электролита. / A.B. Коваленко, A.A. Хромых, М.Х. Уртенов // Доклады академии наук. - 2014. Т.8, №5, С. 1-2.

3. Хромых A.A. Асимптотическое решение краевой задачи модели ЗОМ тернарного электролита. / A.A. Хромых, A.B. Коваленко, М.Х. Уртенов // Фундаментальные исследования. - 2014. С. 600-606. - № 8; URL: http://wvvvv.rae.ru/fs/pdf/2014/8-3/34601.pdf.

4. Хромых A.A. Нахождение высших асимптотических разложений краевой задачи модели с функцией Хэвисайда / A.A. Хромых, A.B. Коваленко, Н.О. Чубырь, М.Х. Уртенов // Современные проблемы науки и образования. М., 2013. № 4. URL. http://www.science-education.rU/pdf/2013/4/264.pdf.

5. Хромых A.A. Нахождение высших асимптотических разложений краевой задачи модели ЗОМ / A.A. Хромых, А.В.Коваленко, М.Х. Уртенов, Н.О. Чубырь // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. Краснодар: КубГАУ, 2013. №10(094). URL. http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/35.pdf.

6. Хромых A.A. Численное решение краевой задачи модели переноса бинарного электролита в приближении закона Ома / A.A. Хромых, A.B.'Коваленко, Н.О. Чубырь, A.M. Узденоиа, М.Х. Уртенов, В.Ю. Барсукова // Политематическин сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. Краснодар: КубГАУ, 2012. №77 (03). URL. http://ej.k ubagro.ru/20! 2/03/pdГ/58,pdf.

7. Xpövt'bi>i A.A. Анализ краевой задачи модели переноса бинарного электролита в приближении закона Ома / A.A. Хромых, A.B. Коваленко, И.О. Чубырь, A.M. Узденова, М.Х. Уртенов, В.Ю. Барсукова // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. Краснодар: КубГАУ, 2012. №77 (03); URL. http://ej.kubagro.ru/2012/03/ pdf/57 .pdf.

8. Хромых A.A. Моделирование и численный анализ процесса переноса бинарного электролита в канале обессоливання электродиализного аппарата в потенциостатическом режиме / A.A. Хромых, A.B. Коваленко, М.Х. Уртенов, Д.К. Мамий // Вестник Адыгейского государственного университета. Майкоп: ЛГУ, * 2012. '№2; '' URL. ' • http://vestnik.adygnet.rU//files/2012.2/1880/ kovalenko20l2 2.pdf. ' ; '"''"' ' "

"9. Хромых А'.А.' 'Моделирование переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата в потенциостатическом режиме / A.A. Хромь'Гху'А.В: Кбваленко.; М.Х. Уртенов // Политематический сетевой электронный научный журнШг Кубанского государственного аграрного университета. Краснодар: КубГАУ, 2012. №75 (01). URL. http://ej.kubagro.ru/ 2012/01/pdf/24.pdf.

10. Хромых A.A. Численное и асимптотическое решение неодномерной системы уравнений Нернста- Планка- Пуассона / A.A. Хромых, A.B. Лаврентьев, • K.M. Уртенов, Н.О. Чубырь // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. 2010. № 5. С. 17-22.

11. Хромых A.A. Краевая задача для плотности тока в области пространственного заряда / A.A. Хромых, K.M. Уртенов, A.B. Коваленко, Н.О. Чубырь // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. № 1. С. 70-74.

12. Хромых A.A. Полная декомпозиция неодномерной системы уравнений Нернста - Планка - Пуассона для бинарного электролита / A.A. Хромых, A.B. Лаврентьев, K.M. Уртенов, Н.О. Чубырь // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. Краснодар, 2009. № 2. С. 32-37.

13. Хромых A.A. Двумерные математические модели переноса тернарного электролита в мембранных системах: монография / A.A. Хромых, А.В.Коваленко, М.Х. Уртенов.-Краснодар: ФГБОУ ВПО «КубГУ», 2014227 с.

Свидетельства о государственной регистрации программ

14. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2010615502 от 27.08.2010 г. Алгоритм численного решения одной краевой задачи с условием КРЗ. Чубырь Н.О., Хромых A.A.

15. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2012613903 от 26.04.2012 г. Программный комплекс для моделирования процессов переноса в мембранных системах в двумерном случае. Хромых A.A., Коваленко A.B., Чубырь Н.О., Уртенов М.Х., Узденова A.M.

16. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2012614170 от 11.03.2012 г. «QEMP-FUN-NEV-01» (The quasilinear equations of mathematical physics with the function by Hevisajda) Квазилинейные уравнения математической физики с функцией Хевисайда. Хромых A.A., Коваленко A.B., Чубырь Н.О., Уртенов М.Х., Узденова A.M.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве В статьях [4-12] автору принадлежат алгоритмы численного и асимптотического решения переноса бинарного типа тернарного электролита. В работах [1-3, 13] автору принадлежит декомпозиция системы уравнений для тернарного электролита, вывод модельных задач, их асимптотическое и численное решения.

Хромых Анна Алексеевна

ДВУМЕРНЫЕ .МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА ТЕРНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА В МЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ

Подписанов печать 17.09.2015. Печать трафаретная. Формат 60x84 '/,6. Усл. неч. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1451. Отпечатано н ООО «Издательский Дом - Юг» 350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2, тел. 8-918-41-50-571