автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование задач оптимального управления динамическими системами дробного порядка методом моментов

На правах рукописи

Постнов Сергей Сергеевич

Исследование задач оптимального управления динамическими системами дробного порядка методом моментов

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О МАЯ 2015

Москва 2015

005569100

005569100

Работа выполнена в лаборатории № 6 Федерального государственного бюджетного учреждения науки "Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук".

Научный руководитель: доктор технических наук,

с.н.с. КУБЫШКИН Виктор Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

проф. МИЛЛЕР Борис Михайлович, г.н.с. лаборатории № 2 Федерального государственного бюджетного учреждения науки "Институт проблем передачи информации им. A.A. Харкевича Российской академии наук г. Москва

кандидат физико-математических наук, МАХАЛДИАНИ Нугзар Владимирович, с.н.с. Лаборатории информационных технологий Объединённого Института ядерных исследований, г. Дубна Московской области

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования "Самарский государственный технический университет г. Самара

Защита диссертации состоится 18 " июня 2015 года в 14 часов на заседании совета Д002.226.02 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке и на сайте Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, www.ipu.ru.

Автореферат разослан "_"_2015 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Дробное интегро-дифференциальное исчисление (дробное исчисление, ДИ) имеет достаточно долгую и богатую историю развития. На сегодня весьма полно проработаны фундаментальные математические вопросы ДИ и теории дифференциальных (интегро-дифференциальных) уравнений дробного порядка. Немало работ посвящено и приложениям дифференциальных уравнений дробного порядка к моделированию различных явлений. Здесь можно указать самые разнообразные системы и процессы. Во-первых, это механические системы, в которых присутствуют вязкоупругие элементы. Такие системы (и само явление вязкоупругости) изучаются с 20-х гг. XX века и для них многими авторами показано наличие эффектов степенной релаксации, корректное описание которых возможно лини, с использованием аппарата ДИ. Аналогичные эффекты степенной релаксации проявляются и в поведении диэлектриков и электролитов. Накоплен значительный объём экспериментальных и теоретических данных и относительно других физических систем: плазмоподобные среды (в том числе, неупорядоченные полупроводники), космические лучи, поверхностные явления и т.д.

В упомянутых выше примерах описания физических систем и процессов с помощью аппарата ДИ, как правило, рассмотрение проводится для неуправляемых систем. Только в последние годы стали активно развиваться исследования в области динамики систем дробного порядка с управлением и изучение вопросов оптимального управления. Известно, что на сегодня не существует конструктивных методов исследования задачи оптимального управления для динамических систем дробного порядка, аналогичных принципу максимума Л.С. Понтрягина. Полученные в этой области результаты базируются, в основном, на применении вариационных методов, обладающих рядом серьёзных ограничений. В частности, данный подход не позволяет явным образом учитывать ограничения на норму управление! и работать с разрывными управлениями.

Разумной альтернативой упомянутым методам исследования задач оп-тимлыюго управления (по крайней мере, для линейных систем) является метод моментов. Он обладает следующими преимуществами по сравнению с вариационным подходом: 1) определяет необходимые и достаточные условия оптимальности; 2) определяет единую вычислительную процедуру поиска оптимального управления; 3) даёт условия оптимальности для разрывных (в общем случае измеримых по Лебегу) управляющих воздействий; 4) позволяет учитывать ограничения на норму управления. Кроме того, этот метод даёт единую процедуру решения двухточечной краевой задачи

— задачи, вызывающей большие трудности при использовании принципа максимума Л.С. Понтрягина.

Цель работы.

В связи с вышеизложенным целью диссертационной работы является: применение метода моментов для исследования задач оптимального управления динамическими системами дробного порядка с сосредоточенными и распределёнными параметрами.

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

, сведение задач оптимального управления линейными динамическими системами с сосредоточенными параметрами к проблеме моментов, анализ и вывод условий, определяющих возможность постановки и разрешимость последней;

исследование и решение задач оптимального управления некоторыми частными системами дробного порядка с сосредоточенными параметрами;

анализ качественной динамики систем дробного порядка с сосредоточенными параметрами;

сведение задач оптимального управления к проблеме моментов для линейной динамической системы дробного порядка с распределёнными параметрами, описываемой уравнением типа уравнения переноса, анализ и вывод условий, определяющих возможность постановки и разрешимость проблемы моментов;

исследование и решение задач оптимального управления для частных случаев системы с распределёнными параметрами.

Основные результаты.

Поставлены задачи оптимального управления линейными динамическими системами дробного порядка с сосредоточенными и распределёнными параметрами.

Продемонстрирована возможность сведения поставленных задач оптимального управления к классической проблеме моментов. Выведены условия, определяющие возможность постановки и разрешимость соответствующей проблемы моментов.

: Получены явные решения в аналитическом виде задач оптимального управления для систем, описываемых одномерными и двумерными уравнениями: одиночного интегратора, одномерной линейной системы, двойного интегратора, маятника. Исследованы зависимости нормы управления и минимального времени управления от показателей дробного дифференцирования указанных систем.

Проведено исследование качественная динамика динамических систем дробного порядка с сосредоточенными параметрами. В частности, показано, что границы интегральной воронки дифференциального включения.

соответствующего системам дробного порядка, оказываются уже, чем в случае систем целого порядка. Также показано, что в динамике двойного интегратора дробного порядка при показателе дифференцирования первого звена интегратора, отличном от 1, проявляется эффект перерегулирования.

Поставлена задача оптимального управления для линейных систем с распределёнными параметрами, которые описываются уравнением типа уравнения переноса. Продемонстрирована возможность сведения поставленной задачи к бесконечномерной проблеме моментов. Выведены условия, определяющие возможность постановки и разрешимость соответствующей проблемы моментов.

Для линейной динамической системы дробного порядка с распределёнными параметрами, описываемой уравнением типа згравнения переноса рассмотрена задача граничного управления, для которой найдено решение для случая, когда бесконечномерная проблема моментов аппроксимируется конечномерной. Исследована зависимость нормы управления от показателя дробного дифференцирования.

Рассмотрены возможности практического использования полученных результатов.

Научная новизна.

В работе впервые предложено и исследовано применение метода моментов для исследования и решения задач оптимального управления системами дробного порядка. Рассмотрено две постановки задач оптимального управления: управление с минимальной нормой при заданном времени управления и управление с минимальным временем при заданном ограничении на норму управления. Возможность сведения задач оптимального управления к проблеме моментов продемонстрирована для систем дробного порядка как с сосредоточенными, так и с распределёнными параметрами.

Для многомерных линейных стационарных систем дробного порядка с сосредоточенными параметрами выведены условия, при которых соответствующая проблема моментов может быть поставлена и является разрешимой. В случае систем с распределёнными параметрами аналогичные условия выведены для одномерных линейных стационарных систем, описываемых уравнением типа уравнения переноса с дробной производной по времени, в случае счётного числа моментных уравнений. В опубликованных на сегодня работах других авторов эти вопросы не рассматривались.

Рассмотрен ряд задач оптимального управления одно- и двумерными системами дробного порядка с сосредоточенными параметрами частного вида: одиночным интегратором, одномерной системой общего вида, двойным интегратором и маятником. Получены явные аналитические решения задач оптимального управления для упомянутых систем, неопубликован-

шло рапсе. Исследовано поведение нормы и времени управления от показателей дробных производных в уравнениях динамики систем. Получены аналитические выражения, определяющие границы интегральной воронки дифференциальных включений, соответствующих исследуемым системам. Также получены явные аналитические выражения для законов движения систем в режиме оптимального управления.

Рассмотрена задача граничного управления для систем, описываемых уравнением типа уравнения переноса с дробной производной по времени. Получены приближённые явные аналитические решения задачи оптимального управления в случае, когда управление непосредственно входит в одно из граничных условий и в случае, когда управление является дробной производной от некоторой функции, входящей в упомянутое условие. Исследовано поведение нормы управления от показателя дробного дифференцирования.

Теоретическая ценность и практическая значимость.

Теоретическая ценность состоит в постановке и исследовании задач оптимального управления динамическими системами нецелого порядка с помощью метода моментов. В результате проведённого исследования были установлены условия, при которых возможно сведение задачи оптимального управления для динамических систем нецелого порядка к проблеме моментов и получено решение данной проблемы для ряда линейных систем. Исследованы зависимости нормы управления и минимального времени перехода системы в конечное состояние от показателя дробного дифференцирования в соответствующих уравнениях динамики системы. Рассмотрены вопросы качественной динамики изучаемых систем. Фактически, в диссертационной работе развит альтернативный способ исследования задачи оптимального управления системами нецелого порядка (по отношению к описанному в литературе вариационному подходу), позволяющий конструктивным образом строить решение данной задачи в рамках единой вычислительной процедуры, в том числе и в случае разрывных управлений, и при наличии явных ограничений на норму управления. Все перечисленные результаты являются оригинальными.

Практическая значимость работы заключается в обосновании возможности использования метода моментов для получения явных законов управления системами дробного порядка, позволяющих проводить синтез систем управления.

Полученные зависимости нормы и времени управления от показателей дробных производных в уравнениях динамики систем могут быть полезны при выборе параметров систем управления и расчёте поведения систем.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы доложены и обсужде-

ны на Всероссийской конференции «Управление в технических, эргати-ческих, организационных и сетевых системах» (Санкт-Петербург, 2012); VII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2013); Международной конференции "Математическое моделирование и вычислительная физика" ("Mathematical Modeling and Computational Physics") (Дубна, 2013); Международной научно-технической конференции «Нигматуллинские чтения - 2013» (Казань,

2013); XII Всероссийском совещании по проблемам управления (Москва,

2014); Международной научной конференции "Физико-математические проблемы создания новой техники"(Москва, 2014); X Международной научной конференции "Идентификация систем и задачи управления" (Москва, 2015); VIII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2015).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ в профильных журналах из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 132 страницах текста и состоит из введения, 4-х глав, практических рекомендаций, заключения и библиографии. Работа иллюстрирована 33 рисунками. Библиография включает 58 отечественных и 137 иностранных источника. Рисунки и таблицы нумеруются по главам.

Содержание работы

Во введении содержится обоснование актуальности работы, обозначение цели и постановка задач исследования. Перечисляются основные результаты, полученные в ходе проведённого исследования, и выносимые на защиту. Демонстрируется научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе описана история развития дробного исчисления, приведены основные математические сведения по дробному исчислению и дан обзор современного состояния теории оптимального управления дробными динамическими системами.

В п. 1.1 приведён краткий исторический очерк развития дробного интегро-дифференциального исчисления, демонстрирующий, что данная область исследований имеет весьма долгую и богатую историю, а также широкие перспективы. Показано, что данная область включает в себя классические математический анализ, теорию дифференциальных уравнений и вариационное исчисление в качестве особых случаев.

В п. 1.2-1.3 представлено систематическое изложение математических основ дробного исчисления, сформулированы основные определения операций дробного порядка, их свойства и приведён явный вид решений ряда

уравнений дробного порядка.

В п. 1.4 приведён обзор современного состояния исследований в области динамики систем дробного порядка с управлением и теории оптимального управления такими системами. Перечислены основные подходы и направления исследований в данной проблематике, приведены формулировки основных определений и теорем. Показано, что наибольшее число опубликованных результатов в области оптимального управления системами дробного порядка получено в рамках вариационного подхода, в связи с чем обоснованным представляется развитие других подходов, в том числе подхода, связанного с использованием метода моментов.

Во второй главе исследуется вопрос о применимости метода моментов к динамическим системам дробного порядка с сосредоточенными параметрами.

В п. 2.1 сделаны общие замечания относительно проблемы моментов и условий, определяющих возможность её постановки (корректность) и разрешимость. Рассматривается следующая формулировка проблемы моментов.

Задача 1 (Проблема моментов) Пусть задана система функций € £р-[0, Т\ и числа а, ъ = 1,-ЛГ. Пусть также задано конечное действительное число I > 0. Необходимо найти функцию и{€) 6 Ьр[0,Т],

1 + 1-1, о

Р Р1

1 < р < оо, 1 < р' < со, для которой выполнялись бы следующие условия:

т

/*<тМт>*-«<Г), (2)

о

\Ш\\<1. (3)

Пространства ,Т\ и £р>[0,Г] являются сопряжёнными, что отражает равенство (1). В данном пункте приводятся общие формулы, определяющие решение задачи оптимального управления в форме проблемы моментов.

В п. 2.2 подробно описано приведение задачи оптимального управления для линейной стационарной динамической системы дробного порядка с сосредоточенными параметрами к проблеме моментов. Рассматриваются системы следующего вида:

= ацф) + +

(4)

где о Щ* - левосторонний оператор дробного дифференцирования в смысле Капуто, С (0,1], £ £ [0,Т], - фазовые координаты (состояние) системы, щ(£) - управления, /;(£) - возмущающие функции (считаются известными), сщ и Ь^ — коэффициенты, г,з = По повторяющимся

индексам подразумевается суммирование. Рассматриваются случаи, когда управление и(0 = ..., идг(е)) принадлежит пространству 1оо[0,Т]

или пространству Ьр[0,Т].

Начальные и конечные условия для системы ( 4) задаются в виде:

Ставится следующая задача оптимального управления.

Задача 2 (Задача А) Найти управление u(i), t € [0,Tj, такое, чтобы, система (4) перешла из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) и при этом или норма управления в пространстве L - ооО, Т\ или Lp[О, Т] достигла минимального значения, когда значение Т задано.

Задача 3 (Задача Б) Найти управление и(t), t е [0,Т], такое, чтобы система (4) перешла из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) и при этом время управления Т было минимальным при условии ||и|| <1, I > 0, где I задано.

Подробно проанализирован случай одномерной системы и две разновидности многомерных систем: система, у которой все показатели дифференцирования одинаковы, и система, типа цепочки интеграторов с различными показателями дифференцирования в разных звеньях.

Постановка проблемы моментов (2)-(3) имеет смысл, если для функций gi(t) и u(t) определена норма в соответствующем функциональном пространстве. Для функции u(t) норма в пространстве Lp[0, Т] определена по построению. В отношении же функций gt{t) нельзя заранее гарантировать существование нормы в сопряжённом пространстве О, Г]. В связи с этим вводится следующее определение.

Определение 1 Проблема моментов 1 корректна, если в сопряжённом пространстве £у[0,Т] определена норма функций gi{t).

В диссертационной работе получены условия на величину показателей дифференцирования, при которых возможна постановка ЗОУ в форме проблемы моментов и поставленная проблема моментов является корректной и разрешимой. Доказаны следующие утверждения.

q(0) = q° = (9?, -q(T)=qT = (ql ..., qrN).

(5)

(6)

Теорема 1 Пусть дана одномерная система (4) с начальным условием (5) и конечным условием (б). Пусть гг(£) 6 £Р[0,Т]_. 1 < р < оо. В случае Ь ф О проблема моментов (2)-(3) для данной системы будет, корректна и

разрешима тогда, когда выполняется следующее условие:

р'

Теорема 2 Пусть дана система (4) при произвольном N и одинаковых показателях дифференцирования щ -— а, г — 1, N с начальным условием (5) и конечным условием (6). Пусть и(Ь) € Ьр[0,Т], 1 < р < оо. В случае А ф О, В ф 0 и при А и В ограниченных по норме проблем,а моментов (2)-(3) для этой системы будет корректна и разрешима тогда, когда выполнено условие (7).

Теорема 3 Пусть дана система (4) при произвольном N с начальным условием (5) и конечным условием (б):

&АО4ф(0 = <7ш(г), г = 1, Лт — 1, ? = и(ь)

Пусть м(£) € Ьр[0,Т], 1 < р < оо. Тогда проблема моментов (2)-(3) для этой системы будет корректна и разрешима в случае, когда выполнено следующее условие:

Р'~ 1

а„ > —7~, (8)

Как видно из приведённых теорем, в случае систем целого порядка полученные условия тривиально выполняются и вопрос о корректности проблемы моментов не возникает, в отличие от исследуемого в диссертационной работе случая систем нецелого порядка. Видно также, что в случае и(£) 6 £р[0, Т] проблема моментов корректна не для всех значений показателей дифференцирования (из рассматриваемого интервала а 6 (0.1)), в отличие от случая и(/.) е /^[0, Т\.

В третьей главе обсуждаются вопросы оптимального управления одно- и двумерными динамическими системами дробного порядка с сосредоточенными параметрами для ряда частных случаев: одиночного интегратора, одномерной системы общего вида, двойного интегратора и маятника. Для всех рассматриваемых систем получены решения задачи оптимального управления в различных случаях и разобраны численные примеры. Продемонстрировано, что все полученные результаты переходят в аналогичные результаты для систем целого порядка при показателях дробного дифференцирования, равных единице.

В п. 3.1 рассматриваются одномерные системы. Для одиночного интегратора явное аналитическое решение получено для «(¿) е ¿оо[0,Т] и для

u(t) 6 LP[0,T] при произвольном p, 1 < p < oo. Для одномерной системы общего вида получено явное аналитическое решение для u(t) € /^[О, Т] и общий вид решения в квадратурах для u(t) € Ьр[0,Т]. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 4 Пусть дан одиночный интегратор

= «(<)

с начальным условием (5). Пусть € ¿Р[0,Т], р > 1. Предположим, что соответствующая проблема моментов для данной системы корректна и является разрешимой (т.е., выполнены условия теоремы 1). Тогда:

управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) с минимальной нормой (т.е., решением задачи 2 или задачи А) является управление.

«О = {-{а~^Х1{а)(<1Т - № - О"-1"-1',* € [0,71;

управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) за минимальное время при заданном ограничении па норму управления (т.е., решением задачи 3 или задачи Б) является управление

где

т = (I*—\ (р>(а _ 1} +1)71^1

Теорема 5 Пусть дана одномерная система (4) с начальным условием (5). Пусть и(1) € £ОС[0,Т]. Предположим, что соответствующая проблема моментов для данной системы корректна и является разрешимой (т.е., выполнены условия теоремы 1). Тогда:

управлением, переводягцим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) с минимальной нормой (т.е., решением задачи 2 или задачи А) является управление

u(t) = ¡

Еа(аТа) - 1

,í€ [0,71;

управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) за минимальное время при заданном ограничении на норму управления (т.е., ре-

шением задачи 3 или задачи Б) является управление

u(f) = i Sign i€ [0,7м],

где Т* может быть получено как наименьишй действительный неотрицательный корень уравнения

ас

Ъ[Еа{аТ°)

= 1.

Теорема 6 Пусть дана одномерная система (4) с начальным условием (5). Пусть и(£) € Ьр[0,Т], 1 < р < оо. Предположим, что соответствующая проблема моментов для данной системы корректна и является разрешимой (т.е., выполнены условия теоремы 1). Тогда:

управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (б) с минимальной нормой (т.е., решением задачи 2 или задачи А) является управление

u(t) =

KI

ЬЕаа(а(Т — t)a)

с (Т - i)1-"

sign [ -

управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (б) за минимальное время при заданном ограничении на норму управления (т.е.. решением задачи 3 или задачи Б) является управление

,,\bEa<a{a(T*-tr)

| с (T*-ty-a

р'-г

sign

где Т* может быть получено как наименьший действительный неотрицательный корень уравнения

1 1С

ATI ь

К1

I,

J \ (Г - г)1-*

dt

i/p'

Для исследованных систем проанализировано поведение нормы управления в зависимости от показателей дробного дифференцирования и времени управления, а также минимального времени перехода в конечное состояние от показателей дифференцирования. Выявлены основные закономерности.

В п. 3.2 обсуждаются двумерные системы. Для двойного интегратора дробного порядка получено аналитическое решение в квадратурах для u(t) € Lo[0,T]. В случае u(t) е ¿^[0, Г] для двойного интегратора продемонстрирована невозможность получения явного (аналитического) решения в общем случае. При этом получено базовое алгебраическое уравнение, позволяющее строить решение для конкретных значений показателей дробного дифференцирования в обоих звеньях интегратора. Также продемонстрировано, что получить явное решение удаётся для и{1) € Ьх[0, Т] в ряде частных случаев. Для маятника дробного порядка получено аналитическое решение в квадратурах для u(t) 6 £2[0,Т]. Доказаны следующие два утверждения.

Теорема 7 Пусть дан двойной интегратор

$D?qi(t) = q2(t),

0D?2(l2(t) = U(t)

с начальным условием (о). Пусть u(t) Е L2[0,T]. Предположим, что соответствующая проблема моментов для данной системы корректна и является разрешимой (т.е., выполнены условия теоремы 1). Тогда:

управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) с минимальной нормой (т.е., региением задачи 2 или задачи А) является управление

т _ 7i73C2r(a2)(72(r-¿)Q'-7irQ') v Щ>" a\T~t¡ (Т — í)1_Q2

72с1Г(а1 + а2) 71(Т - - 7зГа' _ j 7зс2Г(а2):Г«1 72(Т - í)ttl - 1iTai

где 7i = a¡ + 2а2 - 1, 72 = 2а\ + 2а2 — 1, 7з = 2а2 - 1;

управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) за минимальное время при заданном ограничении на норму управления (т.е., решением задачи 3 или задачи Б) является управление

/27зС2Г(а2)(ГТ' ЫГ* - - 71(ГТ') v

= Z{T, _ Í}1_Q2 x

■ Г ЪСгГ(ах + а2) 7i(Г* ~ О"1 ~ 7з(Г*)°' _

L73C2r(a2)(T*)ai 72(Т* - í)ai -

где Z - |7i72qr2(a! + а2) - 2ъ*ГзГ(а1 + а2)Г(а2)Гй' + 717з^Г2(а2)Т2а,|.. а Т* определяется как наименьший действительный положительный корень уравнения

^1/2 _ rjyу2/2

; ' ' у/Ъ

Теорема 8 Пусть дан маятник дробного порядка

= -?!(*) + «(«)

с начальным условием (5). Пусть и(Ь) € /^{О, 7']. Предположим., что соответствующая проблема моментов для данной системы корректна и является разрешимой (т.е., выполнены условия теоремы 2). Тогда:

управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) с минимальней нормой (т.е., решением задачи 2 или задачи А) является управление

и® = Т (П е М-

1х{а, 1 )/2(а, 1) - Ц{а, Г)

где

К№ = (Т- ¿Г"1[Е2аА-(т - Ь)2а) - - 1)аЕ2аМ{-{Т - г)2")],

т

1г(а, Г) = |(Т - т)2а-2Е^а(-(Т - г)2а)йт = ||51(4)||2, о т

12(а, Т) — J(Т — т)'а-2Е1^а{-(Т - г)2а)йт = ||52(01!2, о

т

1,(а,Т) = У йт{Т - т)3"~2Е2а,а(-(Т - т)2а)Е2а,2а{-{Т - г)2«);

управлением, переводящим рассматриваемую систему из заданного начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) за минимальное время при заданном ограничении на норму управления (т.е., решением задачи 3 или задачи Б) является управление

где значение Т* определяется как наименьший действительный неотри-

цательный корень уравнения

qf - fiEhai-T**) - fa

Е2а,^а(-Т2а)

Г(1-а) 1/2

/ h{a,T) _\=

\h(a,T)I2(a,T)-I¡(a,T)J

Как и для одномерных систем, в данном случае проанализировано поведение нормы управления в зависимости от показателей дробного дифференцирования и времени управления, а также минимального времени перехода в конечное состояние от показателей дифференцирования.

Изучены особенности качественной динамики рассматриваемых систем. Вычислены граничные траектории для изучаемых систем, аналогичные границам интегральной воронки соответствующих дифференциальных включений для систем целого порядка (см. рис. 1 и 2).

Рис. 1: Граничные траектории двойного интегратора дробного порядка при I = 10: Qi = с*2 = 1/2 (сплошная линия), ai = а2 — 1 (штрихпунктирная линия) и «1 = 1, «2 = 1/3 (пунктирная линия )

Рассчитаны законы движения и фазовые траектории систем в режиме оптимального управления (рис. 3 и 4 для двойного интегратора и рис. 5 для маятника). Показано, что в случае систем нецелого порядка граничные траектории заметают область, границы которой оказываются уже, чем область, определемая границами интегральной воронки соответствующих дифференциальных включений в случае аналогичных систем целого порядка. Аналогичная ситуация наблюдается и для фазовых траекторий систем в режиме оптимального управления. Для двойного интегратора

Рис. 2: Граничные траектории для маятника дробного порядка

I

продемонстрировано наличие эффекта перерегулирования в случае, когда показатель дифференцирования в первом звене интегратора отличен от единицы.

Рис. 3: Фазовые траектории двойного интегратора дробного порядка в режиме оптимального управления при а2 = 1 и разных значениях показателя

В четвёртой главе проведено обобщение развитого в предыдущих главах подхода к исследованию задачи оптимального управления на случай линейных систем дробного порядка с распределёнными параметрам!!.. Рассмотрение проведено для системы, описываемой уравнением типа уравне-

ч

Рис. 4: Фазовые траектории двойного интегратора дробного порядка в режиме оптимального управления при а\ = 1 и разных значениях показателя «2-

Рис. 5: Фазовые траектории осциллятора дробного порядка в режиме оптимального управления

ния переноса с дробной производной по времени. Для этой системы поставлены две разновидности ЗОУ: задала поиска управления с минимальной нормой при заданном времени управления и задача поиска управления, переводящего систему в конечное состояние за минимальное время при заданном ограничении на норму управления.

В п. 4.1 приведены общие замечания о проблеме моментов для систем с

распределёнными параметрами и продемонстрирована возможность сведения поставленной ЗОУ к обобщённой, бесконечномерной, проблеме моментов. Рассматривается система, описываемая уравнением типа уравнения диффузии с дробной производной по времени:

%D?Q{x, t) = + Ф, О + /(*, t), (9)

где Q(x, t.) — состояние системы, и(х, t) € LP(Q) — распределенное управление, X < р < оо, а € (0,1], {х, t) € Q = [0, оо) х [О, L). Начальное условие задаётся в виде:

<Э(аг,0+) = Q0(x),xe [О, L),

Будем рассматривать граничные условия смешанного типа с учётом того, что в правой части стоит сумма некоторых известных функций и граничных управлений:

= Л1,а(0+"1,2(0. *>0. (10)

x=0,L

Функции ui,2(i) € LP[0,T] определяют граничные управления и связаны с состоянием системы на границе либо непосредственно, либо через интегрирующее звено нецелого порядка. Рассматривается два случая граничного управления: 1) локальное управление, когда управлениями являются сами функции ui,2(0; 2) нелокальное управление, когда управления определяются как дробные производные функций ui.2(0> «1,2(0 =о' Аа^1,г(0- Граничные управления можно объединить в вектор U(t) = (щ(1), и2(0) е Lp[0, Т]. Аналогично можно определить вектор U(t) = (ui(0,w2(0) € £j>[0, Т]

Желаемое состояние системы, которое требуется получить в момент t = Т, задаётся в виде:

Q(x,T) = Q'(x), T>0,xe[0,L}.

Иссле,дуются следующие две постановки ЗОУ (как и в случае сосредоточенных систем).

Задача 4 (Задача А) Задан момент времени t = Т, Т > 0. Найти такие управления u(x,t) и ui,2(0 € LP[Q,T] (или u\.2{t) € Lp[0,T}), при которых система (9) с начальным условием (5) и граничными условиями (10) перейдёт в желаемое состояние (6) при минимальной норме (или

\\т

Задача 5 (Задача Б) Найти такие управления u(x,t) и €

Lp\0,T] (или Й1.2(0 € Lp[0,T]), ограниченные по норме ¡|(7|| < I (или |[(7j| < I), I > 0, при которых система (9) с начальным условием (5)

Ьг, 2—т:--raipQ(x,t)

и граничными условиями (10) перейдет в желаемое состояние (б) за минимально возможное время Т.

Показано, что ЗОУ для системы (9) в случае нелокального управления может быть сведена к бесконечномерной проблеме моментов вида

г

{Ы*,Т)Ый1№ + у2пй2У)]М = сп(Т), (11)

о

где

4(Т) = ОР(Т) + иыщ(Т) + у2пи2(Т) - С&, Б0,а[-/хп(Г - ¿)а]

srn(í.T) -

(Г - ty~a

а2(х - L) -Ь2 bx- diX Vi(x) = ------v2(x) ~

a2bi — a\h2 — aia2L' a2b\ — a\b2 — a\a2L'

Q°(x,T) = V(x,T)+

ОС

+ Y, Ea[-»nTa] [Qon - K(0+) - «i„ui(0+) - w2„«2(0+)] Xn(x) +

71—1

Tr Ea,a[-»n(T - t)°] [/„(0 - gp?vn(t)] dt

Еад/-

(т — ty-°

цп и Xn(x) ■— соответственно собственные числа ir собственные функции однородной задачи Штурма-Лиувилля для уравнения (9); un(t), Qo,„ fn(t) 11 f(i.2).T ~ коэффициенты разложения функций u(x,t), Qo(x), V(x, í), f(x, í) и vi42(x) по системе функций (vYn(x)}; V(x, t) = i'i(;r)/ii(í) + v2(x)h2(t).

В случае локального управления показано, что ЗОУ сводится к аналогичной проблеме моментов:

г

J gn(t,T)[vlnul(t) + v2nib(t)}dt = cn{T), (12)

о

где

Сп(Т) = Q°n(T) + (ülnUl(0) + v2„u2(0)) Еа(-ИпТ<) - Q*n, i. rr\ Eaa[—fin(T - t)a] _

9n(t,T) = -Дп— ^T_ty_a-= -Hn9n(t,T).

В п. 4.2 для счётпомерной проблемы моментов получены условия на

величину показателей дифференцирования, при которых возможна постановка ЗОУ в форме проблемы моментов и поставленная проблема моментов является корректной и разрешимой. Доказано следующее утверждение.

Теорема 9 1. Если выполнено условие

Р'~ 1

а >

Р> '

то проблема моментов (11) или (12) при каждом фиксированном (конечном) п корректна.

2. Проблема моментов (11) или (12) при каждом фиксированном п является разрешимой Vа £ (0,1], е [О, Т], УТ > 0.

В п. 4.3 разобран пример решения ЗОУ в случае поиска оптимального граничного управления. Рассмотрена система (9) при К = 1, /(х,Ь) — 0 с Начальным условием в виде константы:

Желаемое состояние системы также задано в виде константы: Граничные условия (10) ставятся в виде:

<2(0, г) = и(«),

Для данного примера получено приближённое решение задачи А в случае, когда исходная бесконечномерная проблема моментов аппроксимируется конечномерной. В случае трёхмерной проблемы моментов получено явное решение ЗОУ:

, _Ых ~ ¡1_

щ> - 1М + 2/4/5/6 - /3/4 - ЬЦ - Ы1 х (13)

-(ш - !«.>) - ^ н -1«'))+

/2/1 - ц

где

А = / [ш - Л, Ь = 1 (ш ~ («)У Я,

о о

г г

/з = ^ /и = / - -

о о

г г

/5=^ / ~ /б=4 / (®2(<)"

о ' о

. В качестве моментов с^, г — 1,2,3 в формуле (13) и формулах для к, — 1,6, берутся либо моменты сЦТ) = —^^р (в случае локального управления), либо моменты с„(Т) (в случае нелокального управления).

На рис. б и 7 представлены зременнйе зависимости локального и нелокального управлений, построенные в соответствии с решением (13).

Рис. 6: Временная зависимость локального управления при различных значениях а: а = 0.6 (сплошная линия), а = 0.8 (пунктирная линия), а = 0.9 (штрих-пунктирная линия) (по оси ординат - логарифмическая шкала).

В работе также построены оценки конечного состояния системы и вычислены погрешности этих оценок. Показано, что наилучшее соответствие граничным условиям и наилучшую точность достижения конечного состояния даёт оценка следующего вида:

N

фп1(х, г) = £ д'Ловд + у(х, о,

п—1

Рис. 7: Временная зависимость нелокального управления при различных значениях а: а = 0.6 (сплошная линия), а = 0.8 (пунктирная линия), а — 0.9 (штрих-пунктирная линия) (по оси ординат - логарифмическая шкала).

где

Qn(t) = ^ [(Qo -«(0) + (-i)"(Qr-Qo))Ea(-/inta)-

J (i-r)1"« ^ 0

Qn(t) = — [(Qo - u(0) + (-l)"(Qr - Qo)) Ea(-nnta)~

7Г Tl

t

—u(t)Ea(—fj,n(T -1)°) + Ы(0)£Ц-Мг.П + /х„ J .

о

Исследованы зависимости нормы управления от показателя дробного дифференцирования в случае локального и нелокального управления. Продемонстрировано, что нелокальное управление, в целом, обеспечивает большую точность достижения конечного состояния (рис. 8 и 9).

В разделе "Практические рекомендации "приведены соображения о возможности практического использования полученных в диссертационной работе результатов. В частности, указано, что полученные результаты дают основания и методическую основу для практического использования метода моментов при решении прикладных задач расчёта динамики систем дробного порядка с управлением. Полученные формулы и алгоритмы расчёта позволяют на. практике проводить автоматизированный синтез си-

29,95 -

29 9 ----J-1-1--1--1-'-----'---1---'----у

'0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 *

Рис. 8: Конечное состояние управляемого объекта при различных значениях а: локальное управление при N = 3. Сплошной, пунктирной и штрих-пунктирной линиями показаны кривые для а — 0.6, 0.8,0.9 соответственно.

т,х)

30,0005 30,0004 30,0003 30,0002 30,0001 30

29,999«'

[ __ __ _

0 0,1 0,2 03 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 х

Рис. 9: Конечное состояние управляемого объекта при различных значениях а: нелокальное управление при Лг = 3. Сплошной, пунктирной и штрих-пунктирной линиями показаны кривые для и = 0.6,0.8,0.9 соответственно.

стем управления. Результаты, касающиеся зависимости нормы управления и миимального времени перехода системы в конечное состояние от показателя дробного дифференцирования позволяют проводить дополнительную подстройку параметров системы в тех случаях, когда имеется возможность изменять показатель дробного дифференцирования.

Заключение содержит перечень основных результатов, полученных в работе.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

|1| Исследование задачи оптимального управления для одиночного и двойного интеграторов дробного порядка с помощью метода моментов // Проблемы управления. - 2012. - № 5. - С. 9-17.

|2] Дробное интегро-дифференциальное исчисление и его приложения в теории управления. I. Математические основы и проблема интерпретации /7 Автоматика и телемеханика. - 2013. - № 4. - С. 3-42.

|3] Дробное интегро-дифференциальное исчисление и его приложения в теории управления. II. Дробные динамические системы: моделирование и аппаратная реализация // Автоматика и телемеханика. - 2013.

№ 5. - С. 3-34.

|4] Исследование задачи оптимального управления для одиночного и двойного интеграторов дробного порядка с помощью метода моментов при поиске допустимых управлений // Проблемы управления. -2013. - № 3. - С. 9-17.

¡о| Задача оптимального управления линейной стационарной системой дробного порядка: постановка и исследование // Автоматика и телемеханика. - 2014. - № 5. - С. 3-17.

|6] Исследование двух задач оптимального управления маятником дробного порядка с помощью метода моментов // Проблемы управления.

2014. - № 3. - С. 14-22.

|7] Задача оптимального управления для линейных распределённых систем дробного порядка // Вестник РУДН. Сер. Математика, физика, информатика. - 2014. - № 2. - С. 381-385.

Другие публикации:

[8| Кубышкин В.А., Постнов С.С. Задача оптимального управления в форме проблемы моментов для одиночного и двойного интеграторов дробного порядка. // Материалы конференции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭОСС-2012), 9-11 октября 2012 г., Санкт-Петербург, ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2012, с. 155-158.

|9] Постнов С.С. Использование метода проблемы моментов для исследования задачи об оптимальном управлении линейными стационарными динамическими системами нецелого порядка. // Труды VII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», 29-31 января 2013 г., Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, ч. II, с. 25-27.

[10] Кубышкин В.А., Постнов С.С. Оптимальное управление линейными стационарными системами дробного порядка // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции «Нигматул-линские чтения - 2013», Казань, 19-21 ноября 2013 г., с. 97-99.

[11] Кубышкин В.А., Постнов С.С. Оптимальное управление линейными динамическими системами нецелого порядка. // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления, Москва, ИПУ РАН, 16-19 июня 2014 г., с. 2562-2574.

[12] Кубышкин В.А., Постнов С.С. Дробное интегро-дифференциалыюе исчисление и его приложения в теории управления. . М.: ИПУ РАН, 2014. - 154 с.

[13] Кубышкин В.А., Постнов С.С. Оптимальное управление линейными системами нецелого порядка. // Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'15, Москва, ИПУ РАН, 26-29 января 2015 года, с. 473-498.

[14] Кубышкин В.А., Постнов С.С.. Оптимальное управление маятником нецелого порядка. // Труды VIII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», 27-29 января 2015 г., Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015, ч. I, с. 96-99.

[15] Кубышкин В.А., Постнов С.С.. Оптимальное управление распределённой системой нецелого порядка. // Труды VIII Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», 27-29 января 2015 г., Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015, ч. I, с. 100-103.

Научное издание

Постнов Сергей Сергеевич

Исследование задач оптимального управления динамическими системами дробного порядка методом моментов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 13.04.2015. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,37. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 33.

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук 117997, ул. Профсоюзная, д. 65 Россия, Москва E-mail: snv@ipu.ru http://www.ipu.ru